8/3/2019 Sap 2000 Part 1

1/16

BRNC BLM

YAPI MHENDSLNDE BLGSAYAR KULLANIMI

1.1. Giri

Yap tasarmnda tayc sistem olarak yksek dereceden hiperstatik sistemlertercih edilmektedir. Bunun iki nemli nedeni vardr; (1) emniyet, (2) ekonomi. Birsistemin kinematik belirsizlii(hiperstatiklik derecesi) nekadar fazla olursa,mekanizma durumuna o kadar ge ulaacaktr. Elde edilen kesit zorlarnn iseizostatik sistemlere nazaran daha kk olaca aikardr. Dier taraftan tasarmcnnprojelendirme aamasnda en hassas zme en ksa zamanda ulamasgerekmektedir. Hassas zm elde etmek ancak sistem zmnde bilinmeyensaysn, daha dorusu sistemin serbestlik derecesini artrmakla mmkn olmaktadr.Ancak bu kez sistemde bilinmeyen says arttndan zm sresi uzamaktadr. Herzaman birbiri ile atan, en ksa srede en hassas sonuca ulama isteitasarmcnn en zorland konudur. Gnmzde zm aamasnda byk kolaylksalayan birok paket program mevcuttur. Bu balamda serbestlik derecesiniartrmak mhendise ek bir yk getirmemektedir. Hassas bir zm elde edebilmek

iin bavurulan bu yol, ancak sistemde dm noktas saysn artrmakla dahadorusu sonlu eleman an geniletmekle mmkn olmaktadr. Bu yzden, sistemzm iin tasarmc tarafndan oluturulacak sonlu eleman ann (modelin) dikkatlibir ekilde tasarlanmas, hem daha hassas, hem de daha ksa srede sonucaulamay salayacaktr. Akademisyenler tarafndan onay grm bu programlararasnda, SAP serisi programlar, LUSAS, ANSYS saylabilir. Tm bu programlarsistem analizinde 2 ve 3 boyutlu elemanlar (Shell, Asolid, Solid) iin SonluElemanlar Yntemini, 1 boyutlu elemanlar (Frame) iin ise genelde MatrisDeplasman Yntemi veya Sonlu Elemanlar Yntemini kullanmaktadrlar.

1.2. Paket Program Kullanm

Paket program kullanm, mhendise birok fayda salamaktadr. Aadamaddeler halinde paket program kullanmnn kullancya salayaca faydalarsralanmtr. Hesap hatalarn en aza indirger. Daha emniyetli ve ekonomik sonu almay kolaylatrr. Proje retimini hzlandrr. Farkl modeller zerinde farkl yk etkilerinin hzl bir ekilde tanmlanabilmesi ve

hesaplanabilmesi sonucu en optimum zme en hassas ekilde ulalmasnsalar.

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

2/16

Tm bu faydalarn yannda paket program kullanmnn sakncalar da vardr.Buna en gzel rnek mhendisin hesaplama yeteneini ortadan kaldrmas vekapasitesini aan problemlerin zmne itmesidir. Bu soruna zm, paketprogramlarn tasarmcnn uzmanlk alan dndaki mhendislik yaplarnnzmnde kullanlmamas ve en azndan zm sonularnn bir ksmnn bilgisayar

yardm almadan denetlenmesi olacaktr. Bunun iin de programda kullanlan zmtekniklerinin kulanc tarafndan iyi bilinmesi gerekli ve yeterli art olacaktr.

1.3. Paket Program Kullanlmasnda Dikkat Edilecek Hususlar

Buraya kadar yaplan aklamalardan da anlalaca zere paket programkullanm, mhendisin hesap problemini en aza indirgemektedir. Gelimi yap analizprogramlar sayesinde modellenemeyecek mhendislik yaps yok denecek kadarazdr. Ancak hereyden nce uygun tayc sistemin doru ekilde belirlenmesi,modellenmesi ve son olarak ngrlen ykler altnda sistem elemanlarnnboyutlandrlmas gerekmektedir. Bu aamada tasarmc mhendise byk bir grevdmektedir; hesap sonularnn yorumlanmas ve denetlenmesi. Bu da ancak paketprogramlarn zm aamasnda kullanlm olan bilimsel yntemlerin ve uygulamasnrlarnn tasarmc tarafndan iyi bilinmesi ile salanr.

Blm 1.1de deinildii gibi SAP serisi ve benzeri paket programlar sistemanalizini genelde 1 boyutlu(Frame) elemanlar iin Matris Deplasman, 2 ve 3 boyutluelemanlar (Shell, Solid) iin Sonlu Elemanlar Yntemlerini kullanarak gerekletirirler.Blm 1.3.3de her iki yntem de zet eklinde verilmeye allmtr.

1.3.1. Yap Elemanlarnn Gerek Davranna Uygun Hesap Modelinin

Oluturulmas

Yapnn ykleri tayan ve bunlar zemine aktaran ksmna Tayc Sistem denir.Bilindii gibi Mekanik bilim dal hacim (Volum) ve zaman kavramlarn idealize ederektanmlar. Hacim 3 boyutla tanmlanan bir kavram olarak ele alnr. Uzayda her noktaX, Y, Z eksen takmyla tanmlanabilir ve bu ekilde belirlenen uzaya Euclid Uzaydenir, E3 ile gsterilir.

Yaplardaki tayc sistemi meydana getiren elemanlar da 3 boyutludurlar, ancakbazlarn idealize ederek 2 ve 1 boyutlu olarak ele almak mmkndr. Bunun tekamac hesap modelinin daha ksa srede oluturulmas ve zm sonularnn daha

kolay yorumlanabilmesi eklinde zetlenebilir. ekil 1.1de tayc sistemelemanlarnn boyutlarna gre snflandrlmas ematik olarak gsterilmitir.

Yaplardaki ubuk sistemleri meydana getiren ubuklar, eksenleriningeometrisine gre isimlendirilirler: Eri eksenli ubuklar, doru eksenli ubuklar, gibi.Ayrca tayc sistemler de kendilerini meydana getiren ubuklarn, yanielemanlarnn eksenlerinin konumuna gre iki ayr grupta incelenirler. Bunlardan biriUzaysal ubuk Tayclardr; ubuklarnn eksenleri uzayda, tamamen genelkonumdadr. Dier grup ise Dzlemsel ubuk Tayclardr; bu tr tayclardaubuklarn eksenleri hepsi ayn dzlemdedir; bu dzlem ayn zamanda ou kerekuvvetlerin etkidii dzlemdir.

2

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

3/16

T A I Y I C I E L E M A N

3 b o y u t l u l a r

2 b o y u t l u l a r

( Y z e y s e l e l e m a n l a r )

K a l n l k l a r ( h ) , e n v e b o y l a r y a n n d a

i h m a l e d i l i r .

h

l x< ql2/12olduundan szkonusu sistemindaha ekonomik olaca anlalmaktadr.

b) Hesap modelinde tm elemanlar gz nne alnmaldr.c) zellikle yksek yaplarn kolon ve perdelerinde boyuna (eksenel kuvvet altndaki)

ekil deitirmeleri hesaba katlmaldr.d) Denklem sisteminde stabilite bozukluuna neden olabilecek eleman boyut ve

modellerinden kanlmaldr.

4

ekil 1.2

l

ql2

/8

q

ql2/24

ql2/12

q

l

ekil 1.3

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

5/16

EI,GA

kiri

kiri

fiktifkirilerperde

EIx , EIyGA , EA

EIx , EIyGA , EA

Betonarme Perdeler

Bu blmde, zellikle depreme dayankl yap tasarmda sklkla kullanlan ikiboyutlu perde elemanlarn (levha) gerek davranlarna edeer olarak ne ekildebir boyutlu eleman (ubuk eleman) olarak modellenmesi gerektii, elenik sisteme ne

ekilde geilebilecei aklanmtr.

ekil 1.4 Perde sistemlerin modellenmesi

Perdenin kayma rijitlii hesaba katlmaldr.

G = 0,4E A = b h6

5

Fiktif ubuklarn rijitlii dier elemanlarn rijitliklerinin, stabilite problemine yolamayacak ekilde, 10~100 kat alnabilir.

Perde boyunun uzun olmas durumu ;

Gerek sistem Elenik sistem

ekil 1.5

Burada,EI :Eilme rijitliini,

EA : Uzama rijitliini,GA : Kayma rijitliini,

5

EIx

,GA , EA

EIy(b1) b1

EIy(b2)

b2

EIy

= 0EI

x,GA , EA

EA= 0, EIx= 0 EI

y(b1)

EA= 0, EIx= 0 EI

y(b2)

EI = GA =0

fiktifubuk

Gerek sistem Elenik sistem

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

6/16

b1,b2 : Perde ularndaki, perdeye dik dorultuda alan blmlerin genilikleriniifade etmektedir.

Perdeler arasnda deyde byk boluklarn bulunmas durumu (Bolukluperde) ;

Betonarme boluklu perdelerin yapsal davranlar, ba elemanlarnndavranlarndan olduka etkilenmektedir. Ba elemanlarnn davran ise elemanngeometrisine ve malzeme karakteristiklerine sk skya baldr. Yatay ykler perdeduvarlarda eilme ve eksenel kuvvet, ba elemanlarnda ise eilme ve byk ldekayma gerilmeleri meydana getirecektir. Geometrik olarak ba elemanlarnn geneldeakl kk ve ykseklikleri fazla olmaktadr. Dolays ile yapsal davranasndan sz konusu boyutlar ounlukla ubuk tanmlar dna taar. Perdeli-ereveli sistemlerin edeer ereve olarak modellenmesinde en nemli husus,yukarda da belirtildii gibi, ba elemanlarnn ubuk olarak edeerinin yeterlidorulukla tahmin edilebilmesidir. Ba elemannn ubuk edeerinin tahminindeki

parametre says olduka yksektir; genel bir yaklamda d, b, h, l, L, t geometrikbyklklerinin (ekil 1.6) yannda malzeme davran parametrelerinin de dikkatealnmas gerekir. Malzemenin dorusal-elastik davran snrlar iinde yaplacakyapsal zmlemelerde E, G, (elastisite modl, kayma modl ve Poissonoran) malzeme parametreleri olarak yeterlidir [?].

ekil 1.6 Boluklu perde ve edeer ereve

Bu tip yaplarn deprem hesabnda, elastik tesi davran olduka nem

kazanmaktadr. Teorik almalar, boluklu perdelerin son limit dayanmlarnnartabilmesi iin ba elemanlarnn nemli lde plastik deformasyon yapmalargerektiini gstermektedir. Dier taraftan edeer ereve yaklamnda baelemanlarnn perde iinde kalan blgelerinin belirli bir ksmnn sonsuz rijitmi gibikabul edilerek hesab (ekil 1.7), teden beri sk bavurulmu bir yaklamdr [?.

6

Fiktif ubuk =

f=(

0,3-0,6) ,

GA'

Gerek Sistem Elenik sistem

Ba KiriiEdeerereve

Baeleman

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

7/16

ekil 1.7 Edeer ubuk modeli [?]

Bu yaklamda, perde sonsuz rijit paralarnn balang noktas ile boluk kenararasnda kalan x boyu (yumuama derinlii), Mutonun nerdii gibi [?] d / 4 (kiri

yksekliinin drtte biri) deerine yakn bir deer alnabilir. Genelde bu deer h/2(kiri yksekliinin yars) alnmaktadr [?]. Ba kirilerindeki plastik ekildeitirmeleri hesaba katmak amacyla eilme rijitliinin EIf=(0,3-0,6)EI olarak vekayma rijitliklerinin de ( 'GA ) dikkate alnarak elenik sisteme geilmesi nerilir [?].

1.3.1.1 Elastik Zemine Oturan Kiriler

Elastik zemine oturan kirilerde p taban basnc, o noktadaki kme ile doruorantldr. Kiri ve zeminin elastik erileri akmaktadr. Burada bir kabul yaplarakelastik zeminin, birbirine sonsuz yakn fakat biririnden bamsz olarak kebilenyaylardan (Winkler yaylar) olutuu varsaylr. Bu yaylarn yay katsays, Ko yatak

katsays veAi=a.b yayn mesnetlendii alan olmak zere, Ki=Ko.Ai ile hesaplanabilir.Bu tip sistemlere en gzel rnek kme yetenei yksek zeminlere oturtulantemellerdir. Benzer dnce tarz plaklar iin de geerli olacaktr. ekil 1.8de gereksistem ve elenik sistem grlmektedir.

ekil 1.8 Elastik zemine oturan kiri

1.3.2. Sonlu Elemanlar YntemiSonlu elemanlar ynteminde, srekli veya sreksiz bir ortam fiktif snrlarla sonlu

sayda elemana blnr; gen, drtgen, paralelkenar.gibi. Elemann ekli, szkonusu ortamn ekline, snr artlarna bal olarak seilir. Bu sonlu elemanlarnbirbirleriyle balantsnn, dm noktalarnda olutuu varsaylr. Bilinmeyen olarak,dm noktalarnn telemeleri ve eimleri veya i kuvvetler seilebilir (ekil 1.9);bunlara dm parametreleri denir. Dm parametrelerinin artrlmas daha hassaszmler elde edebilmenin bir yoludur.

7

bGerek sistem

a

Ki

Elenik sistem

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

8/16

1

2

3

4

x

w 3

x3

y33

ekil 1.9 Eleman ve dm noktas bilinmeyenleri

Dm parametrelerinin ve alt olmas hallerine iki rnek;

w

w / xw / y

ue= {} { }{}

ve

w

w / x

w / y2w / x2

2w / y2

2w / y x ue= { } {} { } { } { } {}

(1.1)

dir.

Burada ue , elemana ait deplasman fonksiyonunu veya daha genel bir tanmlamaylaelemana ait alan byklklerini ifade etmektedir (ekil 1.10).

ekil 1.10

nce her eleman iin ue alan byklkleri (yer deitirme fonksiyonlar) seilir:

rNue

= (1.2)

burada N, ekil fonksiyonlar matrisini, rise eleman dm noktas yer deitirmelerivektrn gstermektedir. Sz konusu alan byklklerinden hareketle gerekli trevbantlar kullanlarak eleman ii ekil deitirmeleri ,

= B r (1.3)

eklinde elde edilebilir. Burada B ekil deitirme matrisidir. Dier taraftan dorusal-elastik malzemeler iin eleman ii gerilme-ekil deitirme bants (elastisitebants),

=C (1.4)

veya

8

e

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

9/16

rBC = (1.5)

eklindedir; C malzeme matrisi olarak adlandrlr.

Elemann dm noktalarna etkidii kabul edilen d kuvvetlerin potansiyel enerjisi,f d yk vektr olmak zere,

V frT= (1.6)

eklinde ifade edilebilir. ekil deitirme enerjisi ise,

U { } rdvBCBrdv TTT == )(2

1)(

2

1 (1.7)

olacaktr. Toplam potansiyel enerji,

{ } =+= frrdvBCBrVU TTT )(2

1(1.8)

dir. Burada toplam potansiyel enerjinin stasyoner deer prensibi uygulanrsa; elastikbir sistemde geometrik uygunluk artlarn ve geometrik snr artlarn salayanbtn konumlar arasnda sadece denge konumu iin potansiyel enerji bir stasyoner(kararl denge) deere sahiptir:

=

r0 (1.9)

Ara ilemler yaplr, ifade dzenlenirse:

{ } frdvBCBT = )( veya frke = (1.10)

elde edilir. Bu ifadede ek elemana ait rijitlik matrisidir. (1.10) bants, globalsistemde,

FrK = (1.11)

eklindedir. Burada K, yap sisteminin toplam rijitlik matrisi, F ise global sistemdeki(toplam sistem) yk vektrdr. Rijitlik bants olarak da tanmlanabilecek (1.11)bants, kinematik snr artlar uygulanarak zlr ve deplasmanlar elde edilir.Buradan (1.3) ve (1.4) bantlar yardmyla herhangi bir elemandaki gerilme ve ekildeitirmeler hesaplanabilir.

1.3.3. Matris Deplasman Yntemi

ubuk sistemlerin hesabnda sklkla kullanlan bu yntemde, bilinmeyen olarakdm noktas u yer deitirmeleri dikkate alnr. Rijitlik bantsnn karlaada aklanmtr.

9

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

10/16

R 1 , r1

v 2i

v3

i

i

F2

i

F3i

F1i

v 1i

m m

R 2 , r2m m

R 3, r

3

m m

m

( a ) ( b )

ekil 1.11 (a) Dm noktas kuvvetleri ve yer deitirmeleri, (b) elemanbamsz u i kuvvetleri ve ekil deitirmeleri

ekil 1.11de grlen byklkler, dm noktas ve eleman saysnn birdenfazla olmas durumunda matris zellii gsterecektir. Burada; m : dm noktassays, n : sistemin toplam dm noktas serbestlik says, p : eleman says, p*:eleman says eleman bamsz u i kuvvet veya ekil deitirme says olmakzere,

R

1

R2

.R

m

r1

r2

rm

F

1

F2

.

Fp

v1

v2

.v

p

R= {} { } { }{} n1 r= { } { } { } {}n1 F= { } { } { Dm noktas Dm noktas Bamsz u ekil deitirme

yk vektr yer deitirme i kuvvet vektr

vektr vektr

Bu vektriyel byklkler arasnda birtakm bantlar yazmak mmkndr;

R F denge bants FgR = ; g : Denge matrisiF v elastisite bants vkF r = ; kr : ndirgenmi sistem rijitlik matrisiv r kinematik bant rav = ; a : Kinematik matris

Virtel i teoremi gerei, i kuvvetleri ekil deitirme ii ile d kuvvetlerin ekildeitirme ii toplam enerjinin korunmas prensibi gerei sfra eit olacaktr;

0** =+ id WW (1.12)

10

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

11/16

Bilindii gibi d kuvvetlerin ekil deitirme ii: RrW Td =* ve i kuvvetlerin ekil

deitirme ii: FvW Ti =* dir. Buradan (1.12) denge art gerei;

0= FvRrTT

TTTarvravFgR === ,

(1.13)0= FarFgr

TTT

(1.13) eitliinden grlecei gibi; Tag= olacaktr. Buna gre;

rakavkaFaRr

T

r

TT === (1.14)

(1.14) bantsnda aka rT l matris arpm akaK r

T = olarak tanmlanr.Burada Kyap sisteminin toplam rijitlik matrisini ifade etmektedir. K, anlan bantdayerine konulursa;

rKR = (1.15)

elde edilir.

Blm 1.3.2 ve 1.3.3den izlenebilecei gibi, gerek sonlu elemanlar gereksematris deplasman yntemi ile elde edilen sreklilik denklemlerinin bir ekilde zmile i kuvvetler hesaplanabilmektedir. Ancak szkonusu bantnn zmndekullanlacak Kmatrisinin yaps ve boyutu nemlidir. Bilindii gibi Kmatrisi dorudansistemin serbestlik derecesine baldr. Dolays ile eer mmknse szkonusumatrisin boyutlarn indirgemek (simetri art, bir boyutun ihmal edilebildii dzlemsel

zmlemeler) sureti ile bilinmeyen saysn azaltacak daha ksa srede sonu almakmmkndr.

1.4.Serbestlik Derecesi

Sistem elemanlarnn bal olduklar dm noktalar 3 boyutlu Euklid uzayndatanmldr. Dolays ile her dm noktas iin alt serbestlik tanmlanr. teleme(yer deitirme; U) dier ise dnme (asal yer deitirme; R) serbestliidir.Dzlem de ise bu say tr. Mesnet artlar ve dm noktas serbestlikleritanmlanrken dikkat edilmesi gereken en nemli nokta, sistemin stabilitesini

bozmayacak ekilde sz konusu serbestliklerin belirlenmesidir. Tutulan serbestliklerdorultusunda yk, ktle, deplasman gibi byklkler tanmlanamaz. ekil 1.12dedm noktas serbestlikleri ve mesnet artlar gsterilmitir.

Serbestlik derecesi (SD); Ux, Uy, Uz, Rx, Ry, Rz

Uveya R= 1 ise tutulu

11

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

12/16

Uveya R= 0 ise serbest

(a) (b)

ekil 1.12 Dm noktas serbestlikleri ve mesnet artlar (a) Uzayda (b) Dzlemde

1.5.Rijit Diyafram Modeli

Betonarme demeler pratik olarak kendi dzlemleri iinde sonsuz rijit kabuledilebilir ve hesaplar bu kabule gre yaplr. Bu durumda bir diyafram hareketinin

varlndan szedilebilir. Bu kabule gre yaplacak hesaplarda bu hareketin sistemebir ekilde empoze edilmesi gerekir. Bunun iin deme iinde kalmak artyla bir

ekil 1.13 Diyafram hareketi

nokta (bamsz nokta) tanmlanr. Dier tm noktalarn (deme zerinde bulunan)bu bamsz noktaya sonsuz rijit fiktif ubuklarla baland dnlr (ekil 1.13).Bu durumda sz konusu noktalarn hareketleri bamsz dmn hareketlerineuyacaktr. zmlemelerde bu varsayma sk bavurulur; ilgili blmlerde bubalamda ek bilgiler yer almaktadr. zmlemelerde bu varsayma sk bavurulur;ilgili blmlerde bu balamda ek bilgiler yer almaktadr.

1.6.Dm, Eleman, Eleman Eksenleri, Global Eksenler

12

bamsz nokta

baml nokta

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

13/16

Sonlu eleman ann belirleyecei noktalar, sreksizlik noktalar birer dmnoktas, bu noktalarn snrlad sistem paralar ise eleman olarak dikkate alnr.Her nokta boyutlu uzayda yer aldndan koordinatlar global koordinat sistemine(sistem eksenleri) gre belirlenir (X, Y, Z). ekil 1.14de eleman ve sistemeksenleri grlmektedir.

ekil 1.14 Sistem eksenleri ve elemaneksenleri

Dm noktas koordinatlar dnda, dm noktas ykleri, deplasmanlar ve bazeleman ykleri yine global koordinat sistemine gre belirlenebilir. Sistem eksenleri iletanmlanan dm noktas kuvvetleri ve deplasmanlar ise kt dosyalarnda yer alr.

Elemanlar ile ilgili yn ve dorultu, eksen takmlar aras ilikiler bilgileri sa elkaidesine gre belirlenir (SAP 2000 programnda bu ilem otomatik olarak yaplr).Eleman eksenlerine gre belirlenebilecek yn ve dorultu parametreleri; eleman kesit

zellikleri ve baz yk ekilleridir. Szkonusu eksenlerde tanml i kuvvetler ise ktdosyalarnda grlr.

Elemanda sol uta tanmlanan eksen takmnda 1 ekseni eleman eksenidorultusunda, 3 ekseni ise genelde hakim eilme ekseni olarak tanmlanr. Dolaysile; 1-2 dzlemi ykleme dzlemi, 1-3 dzlemi ise eilme dzlemi olarak dnlebilir(ekil 1.15).

ekil 1.15 Eleman eksenlerine rnekler

13

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

14/16

Blm 1.7 ve 1.8 de; srasyla ubuk elemanlar (Frame) ve Kabuk elemanlar (Shellveya Area) iin eleman eksenlerinin pozitif ynleri ve bu eksenlerde tanml ikuvvetler verilmitir.

1.7. ubuk Elemanlar (Frame) iin Kuvvetler ve Pozitif Ynleri

Notasyon:

P : Eksenel kuvvetT : Burulma momentiV2, V3 : Kesme kuvvetleriM2, M3 : Eilme momentleri

Eksenel Kuvvet ve Burulma Momenti

ekil 1.16

(1-3) Dzleminde Etkiyen Kuvvetler

ekil 1.17

14

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

15/16

(1-2) Dzleminde Etkiyen Kuvvetler

ekil 1.18

1.8. Kabuk Elemanlar(Area) iin Kuvvetler

Kabuk elemanlarda genelde 3 ekseni, 1-2 dzleminde yeralan yzeyin d normalidorultusundadr. Sz konusu eksenlerde tanml olan kuvvet ve gerilmeler iinnotasyon aada verilmitir. Ayrca pozitif ynler ekillerden izlenebilir.

Notasyon:

M11, M22 : Eilme momentleriM12 : Burulma momentiF11, F22 : Normal gerilmelerF12 : Kayma gerilmesi

Birim uzunluk iin eilme momentleri

ekil 1.19

Membran Kuvvetleri

15

A

A

8/3/2019 Sap 2000 Part 1

16/16

ekil 1.20

Burada Fmax, Fmin, kayma gerilmelerinin sfr olduu dzlemdeki asal gerilemeleri ifade

etmektedir. Ayrca bu dzlemin yerini belirleyen a da hesalanmaktadr.

16