МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2002 год, том 14, номер 8, стр. 107-112

УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ И РЕДКИЕ КАТАСТРОФИЧЕСКИЕ СОБЫТИЯ

© ГТ.Малинецкий

Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 01-01-01041) и РГНФ (проект № 01-02-00128)

Рассмотрены вопросы прогноза редких катастрофических событий. Обоснована необходимость но­вых подходов к оценке возможности их возникновения в сложных технических и социальных сис­темах, а также к управлению рисками.

RISK CONTROL AND RARE DISASTROUS EVENTS

G.G.Malinetskii

Keldysh Institute of Applied Mathematics

The problems of forecasting of rare disastrous events are discussed. The necessity of new approaches to estimation of possibility of breakdowns in technical and social systems and to the risk control is substanti­ated.

Сейчас в области научных исследований, связанных с прогнозом, в центре внимания на­ходятся описание и предсказание редких катастрофических событий. Новые возможности их анализа открываются благодаря достижениям современных информационных технологий.

Приведем пример, показывающий, что самые разные катастрофические события могут развиваться по одним законам. На рис.1 показаны графики поведения характеристик, описы­вающих две сложно организованные иерархические системы - фондовый рынок и тектониче­ский разлом - незадолго перед катастрофой. Как видим, в обоих случаях, происходит быстрый катастрофический рост, на который накладываются ускоряющиеся колебания. Сглаженная кри­вая хорошо описывается формулой

/ ( / ) = ^ + 5 ( / c - / ) a [ l + Ccos( (o log( / c - / ) -9) ] ,

т.е. мы имеем одно и то же решение уравнений, которых пока не знаем. Следует обратить вни­мание на то, что асимптотикой таких процессов перед катастрофой является так называемый режим с обострением (когда одна или несколько величин, характеризующих систему, за ко­нечное время вырастают до бесконечности). Этот класс режимов в течение более 30-ти лет ис­следуется в научной школе, сложившейся в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН. Последняя книга на эту тему "Режимы с обострением. Эволюция идеи" вышла в прошлом году в издательстве "Наука" [3].

В свое время Джон фон Нейман говорил: "Я не верю, что можно найти общие законо­мерности в поведении сложных систем. Это то же самое, что построить теорию не слонов". Раз­витие нелинейной динамики опровергло это утверждение. Нелинейная динамика позволила ус­тановить универсальные сценарии возникновения хаоса из упорядоченного состояния [4]. То, что происходит сейчас в науке, показывает, что в ряде случаев можно говорить и о неких универ­сальных сценариях возникновения катастроф.

108 Малинецкий Г.Г.

Управление рисками - одна из важнейших технологий нашей цивилизации [5,6]. Она со­ответствует магистральному пути прогресса - менять одни угрозы и опасности на другие. На­пример, опасность голодать и мерзнуть - на риск пожинать плоды заражения воды, земли, воз­духа, связанные с работой тепловых или атомных станций.

Не надо думать, что здесь "иного не дано", что здесь можно только плыть по течению. Иное дано. Швеция приняла решение отказаться от атомной энергетики как от слишком опас­ной технологии. В то же время во Франции, где более 70 процентов электроэнергии произво­дится на АЭС, правительство рассматривает форсированное развитие этой отрасли как важ­нейший способ сохранения окружающей среды. Цена вопроса весьма высока, и свобода манев­ра достаточно велика.

13.4 93.90 94.06 W.22 9138 94J3 94.69 94J5 9101 95.17

Рис.1. Характерный вид зависимости, возникающей перед катастрофами в сложных системах.

Сверху - зависимость логарифма индекса Доу-Джонса (этот индекс определяется ценой са­мого эффективного пакета акций 30-ти ведущих компаний Соединенных Штатов) от време­ни перед Великой депрессией с 1921 по 1930 год. Точки - это точные данные, а сплошная кривая - сглаженная зависимость, простроенная по ним [1]. Снизу - зависимость логарифма концентрации ионов хлора в родниках перед катастрофи­ческим землетрясением в Кобе в 1995 году от времени (указано в года х) [2].

Глубокая связь между идеями нелинейной динамики и управлением рисками стала ясна недавно. Осознать ее помогла парадоксальная статистика аварий. Вспомним "Титаник", "Чел-ленджер", Чернобыль, Тримайл, Бхопал... Каждая из этих крупнейших катастроф XX века свя­зана с длинной цепью причинно-следственных связей, с "неблагоприятным стечением многих маловероятных случайных обстоятельств", как часто пишут в актах государственных комиссий. И в самом деле, вздумай злоумышленник специально сделать что-то подобное, ему пришлось бы трудно. При знакомстве с бедствиями не оставляет чувство, что нам просто очень не везет.

Управление риском и редкие катастрофические события 109

Что же является математическим образом этого "невезения"? Выше уже звучало слово "случайность". В начале прошлого века Карл Гаусс установил, что сумма независимых, одина­ково распределенных случайных величин подчиняется вполне определенному закону. Соответ­ствующая ему кривая, получающаяся после нормировки, показана на рис.3. Видно, что она очень быстро убывает, большие отклонения, в соответствии с этим законом, очень редки. На­столько редки, что ими можно пренебречь.

Гауссово распределение лежит в основе множества инженерных расчетов и технических норм. Все инженеры знают, что есть "правило трех сигм". Это правило говорит о том, что веро­ятность отклонения случайной величины от среднего значения более, чем на три "сигмы" со­ставляет менее 0,001 (см. рис.2). "Сигма" здесь - среднеквадратичное отклонение.

Но есть и другой класс законов, которые называют степенными (тонкая кривая на том же рисунке). Здесь "хвост" убывает гораздо медленнее, поэтому такие законы часто называют "распределениями с тяжелыми хвостами". В этом случае большими отклонениями пренебречь нельзя. Такова статистика землетрясений, наводнений, ураганов, инцидентов с хранением ядер­ного оружия, биржевых крахов, ущерба от утечки конфиденциальной информации, многих дру­гих невзгод.

P(x)f гч \ 1\_

1 1

^ — Gauss Power

- 1 l 2о Зо

In p(x)

Inx

Рис.2. Типичный вид нормального и степенного распределений.

Классическим, привычным является гауссово распределение (верхний рисунок, жирная ли­ния). В соответствии с ним, большие отклонения настолько редки, что ими можно пренеб­речь. Однако многие бедствия, аварии, катастрофы порождают статистику со степенным распределением (тонкая линия). В этом случае редкими катастрофическими событиями пренебречь нельзя. На нижнем рисунке графики тех же распределений представлены в логарифмическом мас­штабе, при котором степенные зависимости приобретаю вид прямых линий.

no Малинецкий Г. Г.

Чтобы не быть голословным, приведем американскую статистику за последний век (рис.3). По оси абсцисс отложено число жертв, а по ординате число событий, в которых число жертв было больше заданной величины. Здесь представлены торнадо, землетрясения, наводне­ния, ураганы. Идеальной степенной статистике соответствовала бы прямая. Видим, что экспе­риментальные данные с достаточно хорошей точностью ложатся на прямые.

Почему это жизненно важно? Когда мы определяем, браться ли нам за какой-то техниче­ский проект или не браться, то есть несколько подходов. Первый подход был реализован и до­веден до совершенства еще во времена Колумба.

Мы считаем все возможные исходы N> берем их вероятности p h умножаем на соответст­вующие выигрыши или проигрыши Xi и суммируем

N

И в зависимости от того, какая величина получится, мы беремся за этот проект или не беремся.

Однако еще в XVIII веке был замечен следующий парадокс. Представим такую игру: мы бросаем монетку - выпадает орел или решка. Если выпал орел, Вы получаете два золотых дука­та и игра кончается. Если он выпал во второй раз, Вы получаете четыре золотых дуката и игра кончается. Если третий раз, - восемь. При этом сумма 5 Ь которая входит в "колумбов алгоритм" бесконечна.

Рис.3. Распределение бедствий по количеству погибших в их результате в США в XX веке.

По оси абсцисс отложена фатальность F стихийного бедствия, измеряемая логарифмом числа погибших в его результате. Логарифм числа бедствий (log N)t имеющих фатальность не меньше данной отложен по оси ординат. Идеальным степенным законам соответствуют прямые. Видно, что эти законы являются хорошим приближением для реальной статистики бедствий и катастроф. Приведены данные для торнадо (ромбы), наводнений (квадратики), ураганов (кружки), зем­летрясений (треугольники).

Спрашивается, сколько можно заплатить за право войти в такую игру? Бернулли, кото­рый был в Санкт-Петербурге и наблюдал за такой игрой, был поражен тем, что люди готовы платить за это не более 20 дукатов.

Когда человек оценивает вероятность и решает, следует ли рисковать, то, по мнению Бернулли, он действует не по "колумбову алгоритму". Он оценивает не реальный выигрыш, а полезность выигрыша

Управление риском и редкие катастрофические события 111

где U(Xi) - функция полезности. Если у Вас есть рубль, то 100 рублей для Вас - огромный выиг­рыш. А если у Вас есть тысяча рублей, то 100 рублей Вы цените гораздо меньше, его "полез­ность" для Вас гораздо меньше. В середине XX века Джон фон Нейман показал, что в экономи­ческом поведении для массы ситуаций "бернуллиевский алгоритм" хорош.

Однако дальнейшие исследования экономического поведения, в частности, работы Алена и его школы, показали, что алгоритм принятия решений у людей во многих ситуациях иной, более сложный. Человек имеет дело не с формулой Бернулли, а с формулой, где есть не только функция полезности, но и субъективные вероятности, отражающие наши представления об опасности

Яз-ЕЛлИ'Ы. /=1

гдеДр,) - субъективные вероятности [7]. Они отражают наше мнение о том, насколько вероятно то или иное событие. Психологи утверждают, что если человеку сообщают, что риск меньше 10"6 год'1, то он просто игнорирует эту возможность.

То есть для того, чтобы анализировать какие-то проекты, мы должны иметь некую сис­тему оценок. В 50-е годы предполагалось, что люди, если им регулярно платят зарплату и они имеют достаточную квалификацию, способны обеспечить абсолютную безопасность работы любого объекта.

Исходя из представлений о гауссовом распределении аварий, проектировалось очень многое, начиная с систем вооружений и кончая атомными станциями. Оказалось, что предпо­ложение о гауссовой статистике приводит к заключению о том, что возможность вероятности аварии на атомной станции 10*7 год'\ т.е. одна авария за 10 миллионов лет. Однако, как показа­ли проведенные в последние годы исследования, во всех этих случаях мы имеем дело со сте­пенной статистикой. Поэтому оценки должны быть совершенно другие.

Защищаться от "степенных катастроф" нужно совсем иначе, чем от обычных "гауссовых аварий". Среди последних можно выделить проектные (иногда возникающие), запроектные (ко­торые бывают совсем редко) и гипотетические аварии (настолько редкие, что ими обычно пре­небрегают). А в случае "степенных бедствий" надо рассчитывать на худшее. В случае землетря­сений нужно не надеяться "на авось", а вести сейсмостойкое строительство. Другой пример: плотины Волжского каскада закрывают водохранилища, содержащие десятки кубических ки­лометров воды. Их разрушение может привести к возникновению волны в десяток метров вы­соты. Это сотни тысяч жизней.

Чтобы представить масштаб редких катастрофических событий, достаточно напомнить несколько эпизодов из истории XX века. При наводнении 1931 года на реке Янцзы в Китае по­гибло 1,3 млн. человек, при Тянь-Шанском землетрясении в 1976 году - около 650 тысяч. На­воднение в Бангладеш в 1970 году унесло более 500 тысяч жизней и оставило без крова 28 млн. человек [6].

14 12 10 + 8

^uuU^SiL *^~**-**ЛЛ\Ь =t= =F =F =F н

300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900

t-20000 Рис.4. Типичная картина при возникновении жесткой турбулентности.

На "хаотическом фоне" изредка возникают гигантские пики.

112 Малинецкий Г.Г.

В управлении риском основное и наиболее важное связано не только с описанием, со статистикой, с пониманием механизмов. Главное связано с тем, что в ряде случаев можно опре­делить предвестники. Пример такого поведения дает интересное явление, которое называется жесткой турбулентностью. В 70-х годах его обнаружили в физике плазмы, а в последнее вре­мя в самых разных системах типа "реакция-диффузия". Пусть есть некая величина, которая ме­няется в хаотическом режиме, но иногда совершает гигантские скачки (см. рис.4). И вот для та­ких модельных задач удается выявить предвестники, которые сигнализируют об опасности. Еще ничего не произошло, катастрофа далеко, а некоторая медленно меняющаяся переменная уже говорит о том, что мы вошли в опасную область (рис.5). Сейчас такие вещи ищутся для многих технических, природных и социальных систем.

t-20000

Рис.5. Изменение медленных переменных перед гигантскими пиками.

Наиболее важна с точки зрения предупреждения катастрофических событий переменная M(t).

В мероприятиях по предупреждению и смягчению последствий чрезвычайных ситуаций в природной и техногенной сфере акцент необходимо делать на прогнозе и предупреждении бедствий и катастроф, поскольку прогноз и предупреждение, с экономической точки зрения, обходятся в десятки, а иногда и в сотни раз дешевле, чем ликвидация последствий уже проис­шедших бед. Однако масштаб этих работ в стране, на наш взгляд, пока не соответствует их зна­чению. Здесь нужен широкий междисциплинарный подход и гораздо более активное участие Академии наук. Многие вещи здесь должны быть пересмотрены и переоценены.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. D.Sornette, AJohansen. Large financial crashes// Physica A. 1997, v.245, №3-4, p.411-422. 2. AJohansen, D.Sornette et al. Discrete scaling in earthquake precursory phenomena: Evidence in Kobe earth­

quake, Japan// J. Phys. France. 1996, v.6, p. 1391-1402. 3. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. - М.: Наука, 1998,

255с. 4. Г.Г.Малинецкий. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику.

М.: Эдиториал УРСС, 2000. 5. Reduction and predictability of natural disaster. // Eds. J.B. Rundle, D.L. Turcotte, W. Klein. / Proceedings of

the workshop "Reduction and predictability of natural disasters" held January 5-9, 1994 in Santa Fe, New Mexico.- 1995.

6. В.А.Владимиров, Ю.Л.Воробьев, Г.Г.Малинецкий и др. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика. - М.: Наука, 2000,432с.

7. О.И.Ларичев. Теория и методы принятия решения. - М: Логос, 2000, 296с. 8. P.Bak. How nature works: the science of self-organized criticality. - Springer-Verlag New York, Inc. 1996,

205p.