ripasso di matematica -...
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P
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ziam
ento
for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
• Numeri relativi ed operazioni con i medesimi • Frazioni • Potenze e relative proprieta’ • Monomi, polinomi, espressioni algebriche • Potenze di dieci e notazione scientifica • Soluzione di equazioni di primo grado • Proporzioni • Percentuali • Richiami di geometria piana e solida • Angoli • Funzioni e loro rappresentazione grafica • Equivalenze e conversioni tra unità di misura
MATEMATICA DI BASE CHE OCCORRE CONOSCERE
P
oten
ziam
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for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
NUMERI RELATIVI
-3 1/2 0.4
102
€
2 4a2b
P
oten
ziam
ento
for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno –
a = - 5,2 modulo o valore assoluto (si indica con |a|) segno
ALGEBRA DEI NUMERI RELATIVI
P
oten
ziam
ento
for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno –
a = - 5,2 modulo o valore assoluto (si indica con |a|) segno
Due numeri relativi sono • concordi se hanno lo stesso segno es: (–3 ; –7,15 ; –6001); • discordi se hanno segno contrario es: (+73,6 ; –12,2); • opposti se hanno stesso modulo e segno contrario es: (–2,13 ; +2,13) • reciproci (inversi) se hanno lo stesso segno e modulo inverso
es: (–4/5 ; –5/4)
ALGEBRA DEI NUMERI RELATIVI
P
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ziam
ento
for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
• Addizione (somma)
• Sottrazione (differenza)
Addendi concordi:somma dei moduli stesso segno
Addendi discordi:differenza dei moduli segno dell’addendo di modulo maggiore
Si ottiene sommando al primo numero (minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo)
LE 4 OPERAZIONI
P
oten
ziam
ento
for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
• Addizione (somma)
• Sottrazione (differenza)
Addendi concordi:somma dei moduli stesso segno
Addendi discordi:differenza dei moduli segno dell’addendo di modulo maggiore
Si ottiene sommando al primo numero (minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo)
LE 4 OPERAZIONI
Nota: per lo scioglimento delle parentesi in una espressione
• si elimina la parentesi se preceduta dal segno +
• si elimina la parentesi cambiando segno a tutti i fattori al suo interno se preceduta dal segno -
P
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ziam
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for
mat
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Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
• Addizione (somma)
• Sottrazione (differenza)
• Moltiplicazione (prodotto)
• Divisione (quoziente o rapporto)
Addendi concordi:somma dei moduli stesso segno
Addendi discordi:differenza dei moduli segno dell’addendo di modulo maggiore
Si ottiene sommando al primo numero (minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo)
Il modulo è il prodotto dei moduli
Il segno è positivo -> numero pari di segni -
negativo -> numero dispari di segni -
Si ottiene moltiplicando il dividendo per il reciproco del divisore
LE 4 OPERAZIONI
P
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for
mat
ivo,
Inf
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ieri
stic
a, M
. Rus
pa
Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b numeratore
denominatore
FRAZIONI
P
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a, M
. Rus
pa
Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b
Frazioni equivalenti
numeratore
denominatore
Dividendo o moltiplicando numeratore e denominatore per un fattore comune, la frazione non cambia.
Es: sono frazioni equivalenti
FRAZIONI
P
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mat
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Inf
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ieri
stic
a, M
. Rus
pa
Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b
Frazioni equivalenti
numeratore
denominatore
Dividendo o moltiplicando numeratore e denominatore per un fattore comune, la frazione non cambia.
Es: sono frazioni equivalenti
Riduzione ai minimi termini Esprimere una frazione in una forma equivalente con valori minimi del numeratore e denominatore (divisione per tutti i fattori comuni)
3
FRAZIONI
P
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Inf
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a, M
. Rus
pa
Moltiplicazione di due frazioni
Es: 2
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
P
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stic
a, M
. Rus
pa
Somma/differenza di frazioni: Es:
(12 = minimo comune multiplo di 6 e 4)
2
1
Moltiplicazione di due frazioni
Es: 2
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
P
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for
mat
ivo,
Inf
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ieri
stic
a, M
. Rus
pa
Somma/differenza di frazioni: Es:
(12 = minimo comune multiplo di 6 e 4)
2
1
Moltiplicazione di due frazioni
Es: 2
Es:
Divisione di due frazioni:
2
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
P
oten
ziam
ento
for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
Somma/differenza di frazioni: Es:
(12 = minimo comune multiplo di 6 e 4)
2
1
Moltiplicazione di due frazioni
Es: 2
Es:
Divisione di due frazioni:
2
Inverso di una frazione:
Es:
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
P
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for
mat
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Inf
erm
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stic
a, M
. Rus
pa
€
1518
= ?
€
379
= ?
[R = 8/5]
[R = 1/21]
Esempi di operazioni con le frazioni
P
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for
mat
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Inf
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stic
a, M
. Rus
pa
3/4 e’ maggiore di 5/6 ? Equivalentemente, 3/4-5/6 > 0 ?
Per confrontare due frazioni e’ opportuno esprimerle in forma equivalente con denominatore comune
Il minimo comune denominatore tra 4 e 6 e’ 12
CONFRONTO TRA FRAZIONI
P
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ziam
ento
for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
a = base, b = esponente
• una potenza di esponente pari e`sempre positiva;
• una potenza di esponente dispari e` negativa se la base e negativa.
ELEVAMENTO A POTENZA
P
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ento
for
mat
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Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
a = base, b = esponente
• una potenza di esponente pari e`sempre positiva;
• una potenza di esponente dispari e` negativa se la base e negativa.
ELEVAMENTO A POTENZA
a-b = 1/ab potenza a esponente negativo
a0 = 1 potenza a esponente nullo
P
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for
mat
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Inf
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stic
a, M
. Rus
pa
• Somma di potenze di ugual base e uguale esponente an + an (nessuna particolare proprietà, sono pero’ monomi simili)
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
a2 + a2 = 2a2
P
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Inf
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a, M
. Rus
pa
• Somma di potenze di ugual base e uguale esponente an + an (nessuna particolare proprietà, sono pero’ monomi simili)
a3 + a2 = (a·a·a) + (a·a)
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
• Somma di potenze di ugual base e diverso esponente an + am (nessuna particolare proprietà)
a2 + a2 = 2a2
P
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ento
for
mat
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Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
• Somma di potenze di ugual base e uguale esponente an + an (nessuna particolare proprietà, sono pero’ monomi simili)
a3 + a2 = (a·a·a) + (a·a)
• Prodotto di potenze di ugual base e diverso esponente an·am = an+m a3·a2 = (a·a·a)·(a·a) = a·a·a·a·a = a5
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
• Somma di potenze di ugual base e diverso esponente an + am (nessuna particolare proprietà)
a2 + a2 = 2a2
P
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Inf
erm
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stic
a, M
. Rus
pa
• Somma di potenze di ugual base e uguale esponente an + an (nessuna particolare proprietà, sono pero’ monomi simili)
a3 + a2 = (a·a·a) + (a·a)
• Prodotto di potenze di ugual base e diverso esponente an·am = an+m a3·a2 = (a·a·a)·(a·a) = a·a·a·a·a = a5
• Rapporto di potenze di ugual base e diverso esponente an/am = an-m
a3/a2 = (a·a·a)/(a·a) = a = a1
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
• Somma di potenze di ugual base e diverso esponente an + am (nessuna particolare proprietà)
a2 + a2 = 2a2
P
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mat
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stic
a, M
. Rus
pa
• Somma di potenze di ugual base e uguale esponente an + an (nessuna particolare proprietà, sono pero’ monomi simili)
a3 + a2 = (a·a·a) + (a·a)
• Prodotto di potenze di ugual base e diverso esponente an·am = an+m a3·a2 = (a·a·a)·(a·a) = a·a·a·a·a = a5
• Rapporto di potenze di ugual base e diverso esponente an/am = an-m
a3/a2 = (a·a·a)/(a·a) = a = a1
• Potenza di potenza (an)m = an*m (a3)2 = (a·a·a)·(a·a·a) = a·a·a a·a·a·a = a6
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
• Somma di potenze di ugual base e diverso esponente an + am (nessuna particolare proprietà)
a2 + a2 = 2a2
P
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mat
ivo,
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ieri
stic
a, M
. Rus
pa
E` l’operazione inversa dell’elevamento a potenza:
è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a :
• la radice di indice pari di un numero negativo non esiste
• la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica
• esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo
a = radicando, n = indice
RADICE
P
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mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
m√an = an/m
Esempio: 2√a6 = a6/2 = √(a*a*a)*(a*a*a) = √(a*a*a)2 = a*a*a = a3
E` l’operazione inversa dell’elevamento a potenza:
è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a :
• la radice di indice pari di un numero negativo non esiste
• la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica
• esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo
Nota: una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale che ha per indice il denominatore della frazione
a = radicando, n = indice
Infatti an/m·an/m·an/m··· (m volte) = amn/m= an
RADICE
P
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a, M
. Rus
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Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali
Coefficiente Parte letterale
Grado nella lettera b
MONOMI E POLINOMI
P
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stic
a, M
. Rus
pa
Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali
Coefficiente Parte letterale
Grado nella lettera b
identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale
simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente
MONOMI E POLINOMI
P
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ento
for
mat
ivo,
Inf
erm
ieri
stic
a, M
. Rus
pa
Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali
Coefficiente Parte letterale
Grado nella lettera b
identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale
simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente
Polinomio: è una somma algebrica di più monomi non simili
binomio trinomio
MONOMI E POLINOMI
P
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a, M
. Rus
pa
Le operazioni algebriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenza, e ricordando che solo monomi simili possono essere sommati algebricamente
Espressioni algebriche: operazioni con monomi
P
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mat
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a, M
. Rus
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Le operazioni algebriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenza, e ricordando che solo monomi simili possono essere sommati algebricamente
Sommare due o piu’ grandezze fisiche (grandezza fisica = numero + unita’ di misura) equivale a sommare due o piu’ monomi. Solo grandezze fisiche omogenee (ovvero monomi simili) si possono sommare!
120 km/h + 60 km/h = 180 km/h
120 km/h + 60 kg NON SI PUO’ ESEGUIRE LA SOMMA!
Espressioni algebriche: operazioni con monomi
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stic
a, M
. Rus
pa
Il prodotto di due polinomi si ottiene come somma algebrica dei prodotti di ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo.
Espressioni algebriche: operazioni con polinomi
Il quoziente di un polinomio per un monomio è uguale alla somma algebrica dei quozienti di ciascun termine del polinomio per il monomio divisore.