quantum physics 2(2)

8/6/2019 Quantum Physics 2(2)

1/9

P H Y C 3 0 0 1 8 - Q u a n t u m P h y s i c s

A s s i g n m e n t 2

J o e l J o n a t h o n G i l l - 3 6 0 3 7 8

1 . B o s e - E i n s t e i n C o n d e n s a t e s :

I n t h e w o r l d o f p h y s i c s , B o s e - E i n s t e i n C o n d e n s a t e s ( B E C ) a r e a r e a l l y i n t e r e s t i n g f o r m o f m a t t e r . B E C ' s

a r e i n t e r e s t i n g b e c a u s e t h e y a r e a m a c r o s c o p i c s y s t e m t h a t e x h i b i t s a q u a n t u m m e c h a n i c a l n a t u r e , b e c a u s e

e v e r y s i n g l e p a r t i c l e i s i n t h e e x a c t s a m e q u a n t u m m e c h a n i c a l s t a t e ( t h e g r o u n d s t a t e ) s o t h i s m a c r o s c o p i c

s y s t e m c a n b e t h o u g h t o f a s a s u p e r a t o m . N o w s u b - a t o m i c p a r t i c l e s a r e p u t i n t o t w o d i e r e n t c a t e g o r i e s :

f e r m i o n s ( h a l f i n t e g e r s p i n s ) a n d b o s o n s ( i n t e g e r s p i n s ) , s o w h a t i s i n t e r e s t i n g i s t h a t b y P a u l i e x c l u s i o n

p r i n c i p l e , i t i s k n o w n t h a t t w o f e r m i o n s c a n n o t o c c u p y t h e s a m e q u a n t u m s t a t e , b u t b o s o n s c a n a n d t h i s

i s t h e s t a r t i n g p o i n t a s t o w h y B E C ' s c a n e x i s t .

T h e w h o l e c o n c e p t o f t h i s s t a t e o f m a t t e r w a s p r e d i c t e d 1 9 2 5 w h e n S a t y e n d r a N a t h B o s e , a n I n d i a n

p h y s i c i s t , w a s i n v e s t i g a t i n g t h e n e w p h e n o m e n a o f l i g h t b e i n g q u a n t i s e d p h o t o n s . W h a t h e w a s w o r k i n g

o n w a s w h a t r u l e s c o u l d o n e u s e t o d e t e r m i n e w h e t h e r t w o i n d i v i d u a l p h o t o n s w e r e i d e n t i c a l o r d i e r e n t .

1

H a v i n g t r o u b l e g e t t i n g t h e s c i e n t i c c o m m u n i t y t o l o o k a t h i s w o r k , h e s e n t i t t o E i n s t e i n w h o t o o k a n

i n t e r e s t i n t h i s a n d r e a l i s e d t h e p o t e n t i a l t h a t t h i s c o u l d b e a p p l i e d t o a g a s o f b o s o n s , s u c h t h a t i f o n e

w e r e t o c o o l t h e m d o w n f a r e n o u g h , a c o n d e n s a t e w o u l d f o r m ( i . e . a m a c r o s c o p i c p o p u l a t i o n o f a t o m s

w o u l d b e i n a s i n g l e q u a n t u m s t a t e ) .

27 0 y e a r s l a t e r t h e r s t B E C w a s f o r m e d b y t h r e e p h y s i c i s t s ( E r i c

A l l i n C o r n e l l , C a r l E d w i n W i e m a n , W o l f g a n g K e t t e r l e ) w h o w e r e a w a r d e d t h e n o b e l p r i z e i n p h y s i c s i n

2 0 0 1 .

3

F i r s t t h e w a y a B E C i s f o r m e d i s i n t e r e s t i n g i n i t s e l f . L o o k i n g a t a g a s e o u s s y s t e m a l l t h e a t o m s

( I n t h e c a s e o f t h e r s t B E C i t w a s a s y s t e m w i t h R u b i d i u m 8 5 a t o m s ) a r e m o v i n g a r o u n d w i t h d i e r e n t

s p e e d s a n d e n e r g i e s , b u t a s t h e s y s t e m i s c o o l e d t h e v a r i a t i o n i n t h e e n e r g y d r o p s u n t i l a l l t h e a t o m s

h a v e t h e e x a c t s a m e e n e r g y ( s e e g u r e 1

4) , t h e t e m p e r a t u r e a t w h i c h t h i s i s r e a c h e d d e n e d a s a b s o l u t e

z e r o ( 0 K o r - 2 7 3 . 1 5

C ) . T h e s t a t e o f t h e s y s t e m s h o w n i n g u r e 1 ( c ) i s t h e s t a t e t h a t a B E C i s i n .

T h e r m o d y n a m i c s s t a t e s t h a t a c h i e v i n g a b s o l u t e z e r o i s i m p o s s i b l e , b u t i n t h e c a s e o f t h e r s t B E C b e i n g

c r e a t e d , t h e t e m p e r a t u r e a c h i e v e d w a s 1 7 0 n K ( t h a t ' s 0 . 0 0 0 0 0 0 1 7 K )

5.

F i g u r e 1 : T h e e n e r g y o f a g a s e o u s s y s t e m ( a ) h i g h t e m p e r a t u r e ( b ) l o w t e m p e r a t u r e ( c ) a b s o l u t e z e r o

T h e p r o c e s s o f t h i s c o o l i n g r e q u i r e s t w o s t a g e s . T h e r s t s t a g e i s l a s e r c o o l i n g , w h e r e t h e g a s e o u s

m i x t u r e o f a t o m s c o o l t o a t e m p e r a t u r e > 0 . 1 m K

6. T h e p r i n c i p l e i n v o l v e d i s t h a t i f l i g h t o f t h e r i g h t

w a v e l e n g t h i s a b s o r b e d b y t h e e l e c t r o n s o f t h e m o v i n g R u b i d i u m a t o m s i n t h e g a s e o u s m i x t u r e , t h e n t h e

e l e c t r o n s w i l l b e c o m e e x c i t e d a n d r e - e m i t t h e l i g h t a n d t h e y w i l l s t a r t s l o w i n g d o w n .

7T h e n e x t t h i n g t o

n o t e i s t h a t t h e v e l o c i t y o f t h e p a r t i c l e s i s d e n i t e l y n o t l i n e a r s o t h e l a s e r s y s t e m m u s t b e s e t u p s o t h a t

e a c h v e l o c i t y c o m p o n e n t i s s l o w d o w n t o f o r m a n o p t i c a l m o l a s s ( s e e g u r e 2

8) .

1


2/9

F i g u r e 2 : F o r m a t i o n o f a n o p t i c a l m o l a s s t h r o u g h a l a s e r t r a p s y s t e m

T h e s e c o n d s t a g e i s e v a p o r a t i v e c o o l i n g w h e r e t h e o p t i c a l m o l a s s i s c o o l e d t o a t e m p e r a t u r e o f 1 7 0 n K

a n d h e n c e f o r m a B E C . W h a t i s e s s e n t i a l l y d o n e i s t h a t a l l t h e e n e r g e t i c R u b i d i u m a t o m s a r e a l l o w e d

t o l e a v e t h e s y s t e m u n t i l o n l y t h e l e a s t e n e r g e t i c a r e l e f t o v e r a n d h e n c e a B E C i s f o r m e d . H o w t h i s i s

d o n e i s t h a t a s t r o n g m a g n e t i c e l d i s a p p l i e d t o t h e s y s t e m t o f o r m a m a g n e t i c t r a p . T h e m a g n e t i c e l d

s t r e n g t h c a n t h e n b e w e a k e n e d s o t h a t r s t o a l l m o s t e n e r g e t i c R u b i d i u m a t o m s e s c a p e , t h e n t h e n e x t

a n d s o o n u n t i l o n l y t h e t h e l e a s t e n e r g e t i c a r e l e f t o v e r , h e n c e f o r m i n g a B E C ( s e e g u r e 3

9) .

F i g u r e 3 : F o r m a t i o n o f a B E C t h r o u g h e v a p o r a t i v e c o o l i n g , n o t i c e t h a t a s t h e w a l l s a r e l o w e r e d , m o r e o f t h e

h o t p a r t i c l e s a r e r e l e a s e d .

I n c o n c l u s i o n o n e c a n s e e h o w i n t e r e s t i n g i t i s t o p r o d u c e a B E C . N o t o n l y t h a t b u t i t i s n ' t a n e a s y t a s k ,

a B E C i s o n e o f t h e m o s t f r a g i l e s t a t e s o f m a t t e r , s i n c e a n y i n t e r a c t i o n w i t h t h e o u t s i d e w o r l d w o u l d

u l t i m a t e l y c a u s e t h e c o n d e s a t e t o g o b a c k i n t o i t ' s g a s e o u s f o r m . W i t h t h e 1 9 9 5 e x p e r i m e n t , t h e 2 0 0 0

R u b i d i u m a t o m s t h a t f o r m e d t h e B E C o n l y s t a y e d i n t h a t s t a t e f o r 1 0 s .

10H a v i n g s a i d t h a t , B E C d o o e r

a p r o m i s i n g f u t u r e w i t h B E C e v e n b e i n g f o r m e d o u t o f p h o t o n s

11, a n d w i t h t h e f a c t t h a t a l l a t o m s a r e

i n t h e s a m e s t a t e , t h e y o e r t h e p o s s i b i l i t y t o b e u s e d t o c r e a t e a t o m i c l a s e r s t h a t w o u l d b e u s e f u l t o

q u a n t u m c o m p u t i n g . 12

2 . M u o n i u m i s a n e x o t i c a t o m c o m p r i s i n g a n a n t i m u o n a n d a n e l e c t r o n . T r e a t i n g t h i s s y s t e m a s a h y d r o g e n i c

a t o m , d e t e r m i n e t h e e q u i v a l e n t o f t h e L y m a n s e r i e s f o r m u o n i u m a n d i t s B o h r r a d i u s . I g n o r e e e c t s d u e

t o t h e n i t e l i f e t i m e o f t h e a n t i m u o n a n d P h y s i c s b e y o n d t h e S t a n d a r d M o d e l .

T r e a t i n g t h i s a s a h y d r o g e n i c s y s t e m :

G i v e n :

mp = 938.272M e V / c2 m+ = 105.658M e V / c2 me = 0.510998M e V / c2

q+ = +e

2


3/9

T h e L y m a n s e r i e s ( ni nf = 1 ) c a n b e f o u n d u s i n g :

En1 = E1n2

E1 = E1

1

n2 1

N o w :

E1 =

+

22

e q+

42

= +

22

e2

42

T o s i m p l i f y t h i n g s i t ' s k n o w n t h a t :

E1 = p

22

e2

4

2= 13.6eV

S o i f :

+ =+

p p

E1 = +

p p

22 e2

42

= +

p E

1 = +

p 13.6eV

N o w :

p

+=

938.272

105.658

106.168998

938.782998

= 1.004289 +

p= 0.995729

E1 = 13.54eV

En = 13.54

1 1

n2

eV

T h e B o h r r a d i u s c a n b e f o u n d u s i n g :

ao =

402

e q+ =40

2

e2

W h e r e :

+ =+

p p

T o s i m p l i f y t h i n g s w e k n o w :

ao =40

2

pe2= 0.529 1010

m

ao =40

2

p pe2 =

p

402

pe2=

p

ao =

p

0.529 1010

m

ao = 1.004289 0.529 1010 m = 0.531 1010 m

3 . T h i s q u e s t i o n c o n c e r n s s p i n a n d p e r t u r b a t i o n t h e o r y .

( a ) C o n s t r u c t t h e s p i n m a t r i c e s S + , S , S x , S y , S z , a n d S2

f o r a h y p o t h e t i c a l p a r t i c l e s p i n 3 / 2 . E x p r e s s

a l l t h e s e m a t r i c e s i n t h e z - b a s i s .

g i v e n :

s =3

2 ms = 3

2,1

2,

1

2,

3

2

T h i s g i v e s r i s e t o f o u r s t a t e s :

32 ,32,32 ,12

,32 , 12

,32 , 32

3


4/9

U s i n g t h e b a s i s o f t h e S z q u a n t i s a t i o n a x i s , d e n e :

32 ,32

=

1000

32 ,12

=

0100

32 , 12

=

0010

3

2,

3

2

=

0001

T o n d S u s e t h e r e l a t i o n :

S |s,ms = s(s + 1) ms(ms 1) |s,ms 1

T h u s ,

S

32 ,32

=

15

4+

3

4(3 2)

32 ,32 1

S +

32 ,32

=

15

4 3

4

32 ,12

=

3 32,

1

2

=

3

0100

S

32 ,32

= 0

32 ,52

=

0000

S

32 ,12

=

15

4+

1

4(1 2)

32 ,12 1

S +

32 ,12

= 2

32 , 12

= 2

0010

S

3

2,1

2 =

3 3

2,3

2

4


5/9

=

3

1000

S

3

2,

1

2

=

15

4 1

4(1 2)

3

2,

1

2 1

S +

32 , 12

= 332 , 32

=

3

0001

S

32 , 12

= 2

32 ,12

= 2

010

0

S

32 , 32

=

15

4 3

4(3 2)

32 , 32 1

S +

32 , 12

= 0

32 , 52

=

0000

S

3

2 ,

3

2

=

33

2 ,

1

2

=

3

0010

S + =

0

3 0 00 0 2 0

0 0 0

30 0 0 0

S =

0 0 0 03 0 0 00 2 0 0

0 0

3 0

T o n d S x & S y u s e t h e r e l a t i o n :

S = S x iS y

S x + iS y =

0

3 0 00 0 2 0

0 0 0

30 0 0 0

S x

iS y =

0 0 0 03 0 0 0

0 2 0 00 0

3 0

5


6/9

2S x =

0

3 0 03 0 2 0

0 2 0

3

0 0

3 0

S x = 2

0

3 0 03 0 2 0

0 2 0

3

0 0

3 0

2iS y =

0

3 0 03 0 2 00 2 0 30 0 3 0

S y = 2i 0

3 0 03 0 2 0

0 2 0 30 0 3 0

T o n d S z u s e t h e r e l a t i o n :

S z |s,ms = ms |s,ms

S z

32 ,32

= 32

32 ,32

= 32

100

0

S z

32 ,12

= 2

32 ,12

= 2

0100

S z

32 , 12

=

2

32 , 12

= 2

0

010

S z

32 , 32

=3

2

32 , 32

=3

2

0001

S

z =

23 0 0 00

1 0 0

0 0 1 00 0 0 3

T o n d S

2u s e t h e r e l a t i o n :

S

2 |s,ms = 2s(s + 1) |s,ms

S

2

32 ,32

=152

4

32 ,32

=152

4

1000

S

232 ,12

= 152

4

32 ,12

6


7/9

=152

4

0100

S

2

3

2,

1

2

=

152

4

3

2,

1

2

=152

4

0010

S

2

32 , 32

=152

4

32 , 32

=152

4

0001

S

2 =152

4

1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

( b ) A s s u m i n g q u a n t i s a t i o n a l o n g t h e z - a x i s , d r a w a d i a g r a m t h a t s h o w s t h e a l l o w e d s p i n s t a t e s a n d t h e

t o t a l i n t r i n s i c a n g u l a r m o m e n t u m .

( c ) A s s u m e t h a t t h e s p i n e x p e r i e n c e s a H a m i l t o n i a n o f t h e f o r m

H= g(Sz + Sy)

w h e r e

i s s o m e s m a l l p a r a m e t e r a n d

gm e a s u r e s t h e s t r e n g t h o f t h e i n t e r a c t i o n . C o n s t r u c t a u s e f u l

b a s i s t o e x p r e s s t h e z e r o t h o r d e r p r o b l e m , a n d q u a l i t a t i v e l y d e s c r i b e t h e e e c t o f e a c h o f t h e t e r m s i n

t h e H a m i l t o n i a n o n t h e s e b a s i s s t a t e s . D e t e r m i n e t h e r s t o r d e r c o r r e c t i o n t o t h e e n e r g y e i g e n s t a t e s

a n d e i g e n v a l u e s .

H= gSz + gSy

7


8/9

i f H= H(0) + V

H(0) = gSz

H(0) = g

2

3 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 3

H(0)n(0) = E(0)n n(0)

C h o o s e t h e b a s i s t o b e

1(0) , 2(0) , 3(0) , 4(0), w h e r e :

1(0) =3000

,

2(0) =

0100

,

3(0) =

0010

,

4(0) =

0003

N o w t o n o r m a l i s e e a c h b a s i s :

1 =

1(0)

1(0)

= A2 3 0 0 0

3000

= 9A2 A = 13

1 =

2(0)2(0) = B2 1 0 0 0

1000

= B2

1 =

3(0)3(0) = C2 1 0 0 0

1000

= C2

1 =

4(0)4(0) = D2 3 0 0 0

3000

= 9D2 D = 131(0) = 1

3

3000

,

2(0) =

0100

,

3(0) =

0010

,

4(0) = 13

0003

N o w : n(0)

H(0)

n(0)

=n(0)

E(0)n

n(0)

= E(0)n

n(0)

n(0)

= E(0)n

E(0)

1= 1(0) H(0) 1(0)

= g

18

3 0 0 0 3 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 3

3000

= g

18

9 0 0 0

3000

. . . ?

( d ) G i v e a n e x a m p l e o f a s y s t e m t h a t b e h a v e s a s a s p i n 3 / 2 s y s t e m .

D e l t a b a r y o n .

13

8


9/9

R e f e r e n c e s :

1 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / w h a t _ i s _ i t . h t m l

2 . A . E i n s t e i n . Z u r q u a n t e n t h e o r i e d e s i d e a l e n g a s e s . S i t z u n g s b e r . P r e u s s . A k a d . W i s s . , B e r i c h t 3 : 1 8 , 1 9 2 5

3 . h t t p : / / n o b e l p r i z e . o r g / n o b e l _ p r i z e s / p h y s i c s / l a u r e a t e s / 2 0 0 1 / i n d e x . h t m l

4 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / w h a t _ i s _ i t . h t m l

5 . N e w S t a t e o f M a t t e r S e e n N e a r A b s o l u t e Z e r o ( h t t p : / / p h y s i c s . n i s t . g o v / N e w s / U p d a t e / 9 5 0 7 2 4 . h t m l )

6 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / m a g _ t r a p . h t m l

7 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / l a s c o o l 2 . h t m l

8 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / l a s c o o l 4 . h t m l

9 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / e v a p _ c o o l . h t m l

1 0 . h t t p : / / w w w . s c i e n t i c a m e r i c a n . c o m / a r t i c l e . c f m ? i d = b o s e - e i n s t e i n - c o n d e n s a t e

1 1 . h t t p : / / w w w . n a t u r e . c o m / n a t u r e / j o u r n a l / v 4 6 8 / n 7 3 2 3 / f u l l / n a t u r e 0 9 5 6 7 . h t m l

1 2 . M I T p h y s i c i s t s c r e a t e r s t a t o m l a s e r ( h t t p : / / w e b . m i t . e d u / n e w s o c e / 1 9 9 7 / a t o m - 0 1 2 9 . h t m l )

1 3 . h t t p : / / p d g . l b l . g o v / 2 0 0 8 / l i s t i n g s / b 0 3 3 . p d f

9

quantum physics 2(2)

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