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8/6/2019 Quantum Physics 2(2)
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P H Y C 3 0 0 1 8 - Q u a n t u m P h y s i c s
A s s i g n m e n t 2
J o e l J o n a t h o n G i l l - 3 6 0 3 7 8
1 . B o s e - E i n s t e i n C o n d e n s a t e s :
I n t h e w o r l d o f p h y s i c s , B o s e - E i n s t e i n C o n d e n s a t e s ( B E C ) a r e a r e a l l y i n t e r e s t i n g f o r m o f m a t t e r . B E C ' s
a r e i n t e r e s t i n g b e c a u s e t h e y a r e a m a c r o s c o p i c s y s t e m t h a t e x h i b i t s a q u a n t u m m e c h a n i c a l n a t u r e , b e c a u s e
e v e r y s i n g l e p a r t i c l e i s i n t h e e x a c t s a m e q u a n t u m m e c h a n i c a l s t a t e ( t h e g r o u n d s t a t e ) s o t h i s m a c r o s c o p i c
s y s t e m c a n b e t h o u g h t o f a s a s u p e r a t o m . N o w s u b - a t o m i c p a r t i c l e s a r e p u t i n t o t w o d i e r e n t c a t e g o r i e s :
f e r m i o n s ( h a l f i n t e g e r s p i n s ) a n d b o s o n s ( i n t e g e r s p i n s ) , s o w h a t i s i n t e r e s t i n g i s t h a t b y P a u l i e x c l u s i o n
p r i n c i p l e , i t i s k n o w n t h a t t w o f e r m i o n s c a n n o t o c c u p y t h e s a m e q u a n t u m s t a t e , b u t b o s o n s c a n a n d t h i s
i s t h e s t a r t i n g p o i n t a s t o w h y B E C ' s c a n e x i s t .
T h e w h o l e c o n c e p t o f t h i s s t a t e o f m a t t e r w a s p r e d i c t e d 1 9 2 5 w h e n S a t y e n d r a N a t h B o s e , a n I n d i a n
p h y s i c i s t , w a s i n v e s t i g a t i n g t h e n e w p h e n o m e n a o f l i g h t b e i n g q u a n t i s e d p h o t o n s . W h a t h e w a s w o r k i n g
o n w a s w h a t r u l e s c o u l d o n e u s e t o d e t e r m i n e w h e t h e r t w o i n d i v i d u a l p h o t o n s w e r e i d e n t i c a l o r d i e r e n t .
1
H a v i n g t r o u b l e g e t t i n g t h e s c i e n t i c c o m m u n i t y t o l o o k a t h i s w o r k , h e s e n t i t t o E i n s t e i n w h o t o o k a n
i n t e r e s t i n t h i s a n d r e a l i s e d t h e p o t e n t i a l t h a t t h i s c o u l d b e a p p l i e d t o a g a s o f b o s o n s , s u c h t h a t i f o n e
w e r e t o c o o l t h e m d o w n f a r e n o u g h , a c o n d e n s a t e w o u l d f o r m ( i . e . a m a c r o s c o p i c p o p u l a t i o n o f a t o m s
w o u l d b e i n a s i n g l e q u a n t u m s t a t e ) .
27 0 y e a r s l a t e r t h e r s t B E C w a s f o r m e d b y t h r e e p h y s i c i s t s ( E r i c
A l l i n C o r n e l l , C a r l E d w i n W i e m a n , W o l f g a n g K e t t e r l e ) w h o w e r e a w a r d e d t h e n o b e l p r i z e i n p h y s i c s i n
2 0 0 1 .
3
F i r s t t h e w a y a B E C i s f o r m e d i s i n t e r e s t i n g i n i t s e l f . L o o k i n g a t a g a s e o u s s y s t e m a l l t h e a t o m s
( I n t h e c a s e o f t h e r s t B E C i t w a s a s y s t e m w i t h R u b i d i u m 8 5 a t o m s ) a r e m o v i n g a r o u n d w i t h d i e r e n t
s p e e d s a n d e n e r g i e s , b u t a s t h e s y s t e m i s c o o l e d t h e v a r i a t i o n i n t h e e n e r g y d r o p s u n t i l a l l t h e a t o m s
h a v e t h e e x a c t s a m e e n e r g y ( s e e g u r e 1
4) , t h e t e m p e r a t u r e a t w h i c h t h i s i s r e a c h e d d e n e d a s a b s o l u t e
z e r o ( 0 K o r - 2 7 3 . 1 5
C ) . T h e s t a t e o f t h e s y s t e m s h o w n i n g u r e 1 ( c ) i s t h e s t a t e t h a t a B E C i s i n .
T h e r m o d y n a m i c s s t a t e s t h a t a c h i e v i n g a b s o l u t e z e r o i s i m p o s s i b l e , b u t i n t h e c a s e o f t h e r s t B E C b e i n g
c r e a t e d , t h e t e m p e r a t u r e a c h i e v e d w a s 1 7 0 n K ( t h a t ' s 0 . 0 0 0 0 0 0 1 7 K )
5.
F i g u r e 1 : T h e e n e r g y o f a g a s e o u s s y s t e m ( a ) h i g h t e m p e r a t u r e ( b ) l o w t e m p e r a t u r e ( c ) a b s o l u t e z e r o
T h e p r o c e s s o f t h i s c o o l i n g r e q u i r e s t w o s t a g e s . T h e r s t s t a g e i s l a s e r c o o l i n g , w h e r e t h e g a s e o u s
m i x t u r e o f a t o m s c o o l t o a t e m p e r a t u r e > 0 . 1 m K
6. T h e p r i n c i p l e i n v o l v e d i s t h a t i f l i g h t o f t h e r i g h t
w a v e l e n g t h i s a b s o r b e d b y t h e e l e c t r o n s o f t h e m o v i n g R u b i d i u m a t o m s i n t h e g a s e o u s m i x t u r e , t h e n t h e
e l e c t r o n s w i l l b e c o m e e x c i t e d a n d r e - e m i t t h e l i g h t a n d t h e y w i l l s t a r t s l o w i n g d o w n .
7T h e n e x t t h i n g t o
n o t e i s t h a t t h e v e l o c i t y o f t h e p a r t i c l e s i s d e n i t e l y n o t l i n e a r s o t h e l a s e r s y s t e m m u s t b e s e t u p s o t h a t
e a c h v e l o c i t y c o m p o n e n t i s s l o w d o w n t o f o r m a n o p t i c a l m o l a s s ( s e e g u r e 2
8) .
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F i g u r e 2 : F o r m a t i o n o f a n o p t i c a l m o l a s s t h r o u g h a l a s e r t r a p s y s t e m
T h e s e c o n d s t a g e i s e v a p o r a t i v e c o o l i n g w h e r e t h e o p t i c a l m o l a s s i s c o o l e d t o a t e m p e r a t u r e o f 1 7 0 n K
a n d h e n c e f o r m a B E C . W h a t i s e s s e n t i a l l y d o n e i s t h a t a l l t h e e n e r g e t i c R u b i d i u m a t o m s a r e a l l o w e d
t o l e a v e t h e s y s t e m u n t i l o n l y t h e l e a s t e n e r g e t i c a r e l e f t o v e r a n d h e n c e a B E C i s f o r m e d . H o w t h i s i s
d o n e i s t h a t a s t r o n g m a g n e t i c e l d i s a p p l i e d t o t h e s y s t e m t o f o r m a m a g n e t i c t r a p . T h e m a g n e t i c e l d
s t r e n g t h c a n t h e n b e w e a k e n e d s o t h a t r s t o a l l m o s t e n e r g e t i c R u b i d i u m a t o m s e s c a p e , t h e n t h e n e x t
a n d s o o n u n t i l o n l y t h e t h e l e a s t e n e r g e t i c a r e l e f t o v e r , h e n c e f o r m i n g a B E C ( s e e g u r e 3
9) .
F i g u r e 3 : F o r m a t i o n o f a B E C t h r o u g h e v a p o r a t i v e c o o l i n g , n o t i c e t h a t a s t h e w a l l s a r e l o w e r e d , m o r e o f t h e
h o t p a r t i c l e s a r e r e l e a s e d .
I n c o n c l u s i o n o n e c a n s e e h o w i n t e r e s t i n g i t i s t o p r o d u c e a B E C . N o t o n l y t h a t b u t i t i s n ' t a n e a s y t a s k ,
a B E C i s o n e o f t h e m o s t f r a g i l e s t a t e s o f m a t t e r , s i n c e a n y i n t e r a c t i o n w i t h t h e o u t s i d e w o r l d w o u l d
u l t i m a t e l y c a u s e t h e c o n d e s a t e t o g o b a c k i n t o i t ' s g a s e o u s f o r m . W i t h t h e 1 9 9 5 e x p e r i m e n t , t h e 2 0 0 0
R u b i d i u m a t o m s t h a t f o r m e d t h e B E C o n l y s t a y e d i n t h a t s t a t e f o r 1 0 s .
10H a v i n g s a i d t h a t , B E C d o o e r
a p r o m i s i n g f u t u r e w i t h B E C e v e n b e i n g f o r m e d o u t o f p h o t o n s
11, a n d w i t h t h e f a c t t h a t a l l a t o m s a r e
i n t h e s a m e s t a t e , t h e y o e r t h e p o s s i b i l i t y t o b e u s e d t o c r e a t e a t o m i c l a s e r s t h a t w o u l d b e u s e f u l t o
q u a n t u m c o m p u t i n g . 12
2 . M u o n i u m i s a n e x o t i c a t o m c o m p r i s i n g a n a n t i m u o n a n d a n e l e c t r o n . T r e a t i n g t h i s s y s t e m a s a h y d r o g e n i c
a t o m , d e t e r m i n e t h e e q u i v a l e n t o f t h e L y m a n s e r i e s f o r m u o n i u m a n d i t s B o h r r a d i u s . I g n o r e e e c t s d u e
t o t h e n i t e l i f e t i m e o f t h e a n t i m u o n a n d P h y s i c s b e y o n d t h e S t a n d a r d M o d e l .
T r e a t i n g t h i s a s a h y d r o g e n i c s y s t e m :
G i v e n :
mp = 938.272M e V / c2 m+ = 105.658M e V / c2 me = 0.510998M e V / c2
q+ = +e
2
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T h e L y m a n s e r i e s ( ni nf = 1 ) c a n b e f o u n d u s i n g :
En1 = E1n2
E1 = E1
1
n2 1
N o w :
E1 =
+
22
e q+
42
= +
22
e2
42
T o s i m p l i f y t h i n g s i t ' s k n o w n t h a t :
E1 = p
22
e2
4
2= 13.6eV
S o i f :
+ =+
p p
E1 = +
p p
22 e2
42
= +
p E
1 = +
p 13.6eV
N o w :
p
+=
938.272
105.658
106.168998
938.782998
= 1.004289 +
p= 0.995729
E1 = 13.54eV
En = 13.54
1 1
n2
eV
T h e B o h r r a d i u s c a n b e f o u n d u s i n g :
ao =
402
e q+ =40
2
e2
W h e r e :
+ =+
p p
T o s i m p l i f y t h i n g s w e k n o w :
ao =40
2
pe2= 0.529 1010
m
ao =40
2
p pe2 =
p
402
pe2=
p
ao =
p
0.529 1010
m
ao = 1.004289 0.529 1010 m = 0.531 1010 m
3 . T h i s q u e s t i o n c o n c e r n s s p i n a n d p e r t u r b a t i o n t h e o r y .
( a ) C o n s t r u c t t h e s p i n m a t r i c e s S + , S , S x , S y , S z , a n d S2
f o r a h y p o t h e t i c a l p a r t i c l e s p i n 3 / 2 . E x p r e s s
a l l t h e s e m a t r i c e s i n t h e z - b a s i s .
g i v e n :
s =3
2 ms = 3
2,1
2,
1
2,
3
2
T h i s g i v e s r i s e t o f o u r s t a t e s :
32 ,32,32 ,12
,32 , 12
,32 , 32
3
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4/9
U s i n g t h e b a s i s o f t h e S z q u a n t i s a t i o n a x i s , d e n e :
32 ,32
=
1000
32 ,12
=
0100
32 , 12
=
0010
3
2,
3
2
=
0001
T o n d S u s e t h e r e l a t i o n :
S |s,ms = s(s + 1) ms(ms 1) |s,ms 1
T h u s ,
S
32 ,32
=
15
4+
3
4(3 2)
32 ,32 1
S +
32 ,32
=
15
4 3
4
32 ,12
=
3 32,
1
2
=
3
0100
S
32 ,32
= 0
32 ,52
=
0000
S
32 ,12
=
15
4+
1
4(1 2)
32 ,12 1
S +
32 ,12
= 2
32 , 12
= 2
0010
S
3
2,1
2 =
3 3
2,3
2
4
-
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5/9
=
3
1000
S
3
2,
1
2
=
15
4 1
4(1 2)
3
2,
1
2 1
S +
32 , 12
= 332 , 32
=
3
0001
S
32 , 12
= 2
32 ,12
= 2
010
0
S
32 , 32
=
15
4 3
4(3 2)
32 , 32 1
S +
32 , 12
= 0
32 , 52
=
0000
S
3
2 ,
3
2
=
33
2 ,
1
2
=
3
0010
S + =
0
3 0 00 0 2 0
0 0 0
30 0 0 0
S =
0 0 0 03 0 0 00 2 0 0
0 0
3 0
T o n d S x & S y u s e t h e r e l a t i o n :
S = S x iS y
S x + iS y =
0
3 0 00 0 2 0
0 0 0
30 0 0 0
S x
iS y =
0 0 0 03 0 0 0
0 2 0 00 0
3 0
5
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2S x =
0
3 0 03 0 2 0
0 2 0
3
0 0
3 0
S x = 2
0
3 0 03 0 2 0
0 2 0
3
0 0
3 0
2iS y =
0
3 0 03 0 2 00 2 0 30 0 3 0
S y = 2i 0
3 0 03 0 2 0
0 2 0 30 0 3 0
T o n d S z u s e t h e r e l a t i o n :
S z |s,ms = ms |s,ms
S z
32 ,32
= 32
32 ,32
= 32
100
0
S z
32 ,12
= 2
32 ,12
= 2
0100
S z
32 , 12
=
2
32 , 12
= 2
0
010
S z
32 , 32
=3
2
32 , 32
=3
2
0001
S
z =
23 0 0 00
1 0 0
0 0 1 00 0 0 3
T o n d S
2u s e t h e r e l a t i o n :
S
2 |s,ms = 2s(s + 1) |s,ms
S
2
32 ,32
=152
4
32 ,32
=152
4
1000
S
232 ,12
= 152
4
32 ,12
6
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7/9
=152
4
0100
S
2
3
2,
1
2
=
152
4
3
2,
1
2
=152
4
0010
S
2
32 , 32
=152
4
32 , 32
=152
4
0001
S
2 =152
4
1 0 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 1
( b ) A s s u m i n g q u a n t i s a t i o n a l o n g t h e z - a x i s , d r a w a d i a g r a m t h a t s h o w s t h e a l l o w e d s p i n s t a t e s a n d t h e
t o t a l i n t r i n s i c a n g u l a r m o m e n t u m .
( c ) A s s u m e t h a t t h e s p i n e x p e r i e n c e s a H a m i l t o n i a n o f t h e f o r m
H= g(Sz + Sy)
w h e r e
i s s o m e s m a l l p a r a m e t e r a n d
gm e a s u r e s t h e s t r e n g t h o f t h e i n t e r a c t i o n . C o n s t r u c t a u s e f u l
b a s i s t o e x p r e s s t h e z e r o t h o r d e r p r o b l e m , a n d q u a l i t a t i v e l y d e s c r i b e t h e e e c t o f e a c h o f t h e t e r m s i n
t h e H a m i l t o n i a n o n t h e s e b a s i s s t a t e s . D e t e r m i n e t h e r s t o r d e r c o r r e c t i o n t o t h e e n e r g y e i g e n s t a t e s
a n d e i g e n v a l u e s .
H= gSz + gSy
7
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8/9
i f H= H(0) + V
H(0) = gSz
H(0) = g
2
3 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 3
H(0)n(0) = E(0)n n(0)
C h o o s e t h e b a s i s t o b e
1(0) , 2(0) , 3(0) , 4(0), w h e r e :
1(0) =3000
,
2(0) =
0100
,
3(0) =
0010
,
4(0) =
0003
N o w t o n o r m a l i s e e a c h b a s i s :
1 =
1(0)
1(0)
= A2 3 0 0 0
3000
= 9A2 A = 13
1 =
2(0)2(0) = B2 1 0 0 0
1000
= B2
1 =
3(0)3(0) = C2 1 0 0 0
1000
= C2
1 =
4(0)4(0) = D2 3 0 0 0
3000
= 9D2 D = 131(0) = 1
3
3000
,
2(0) =
0100
,
3(0) =
0010
,
4(0) = 13
0003
N o w : n(0)
H(0)
n(0)
=n(0)
E(0)n
n(0)
= E(0)n
n(0)
n(0)
= E(0)n
E(0)
1= 1(0) H(0) 1(0)
= g
18
3 0 0 0 3 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 3
3000
= g
18
9 0 0 0
3000
. . . ?
( d ) G i v e a n e x a m p l e o f a s y s t e m t h a t b e h a v e s a s a s p i n 3 / 2 s y s t e m .
D e l t a b a r y o n .
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8/6/2019 Quantum Physics 2(2)
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R e f e r e n c e s :
1 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / w h a t _ i s _ i t . h t m l
2 . A . E i n s t e i n . Z u r q u a n t e n t h e o r i e d e s i d e a l e n g a s e s . S i t z u n g s b e r . P r e u s s . A k a d . W i s s . , B e r i c h t 3 : 1 8 , 1 9 2 5
3 . h t t p : / / n o b e l p r i z e . o r g / n o b e l _ p r i z e s / p h y s i c s / l a u r e a t e s / 2 0 0 1 / i n d e x . h t m l
4 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / w h a t _ i s _ i t . h t m l
5 . N e w S t a t e o f M a t t e r S e e n N e a r A b s o l u t e Z e r o ( h t t p : / / p h y s i c s . n i s t . g o v / N e w s / U p d a t e / 9 5 0 7 2 4 . h t m l )
6 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / m a g _ t r a p . h t m l
7 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / l a s c o o l 2 . h t m l
8 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / l a s c o o l 4 . h t m l
9 . h t t p : / / w w w . c o l o r a d o . e d u / p h y s i c s / 2 0 0 0 / b e c / e v a p _ c o o l . h t m l
1 0 . h t t p : / / w w w . s c i e n t i c a m e r i c a n . c o m / a r t i c l e . c f m ? i d = b o s e - e i n s t e i n - c o n d e n s a t e
1 1 . h t t p : / / w w w . n a t u r e . c o m / n a t u r e / j o u r n a l / v 4 6 8 / n 7 3 2 3 / f u l l / n a t u r e 0 9 5 6 7 . h t m l
1 2 . M I T p h y s i c i s t s c r e a t e r s t a t o m l a s e r ( h t t p : / / w e b . m i t . e d u / n e w s o c e / 1 9 9 7 / a t o m - 0 1 2 9 . h t m l )
1 3 . h t t p : / / p d g . l b l . g o v / 2 0 0 8 / l i s t i n g s / b 0 3 3 . p d f
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