progetto di filtri a risposta impulsiva infinita...

1E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA INFINITA

(IIR)[Cap. 7]


FILTRI IIR (Infinite Impulse Response)

DOMINIO TEMPORALE (equazione alle differenze finite,sistema causale)

[ ] [ ] [ ]∑∑==

−−−=N

kk

M

kk knyaknxbny

10

Ordine del filtro: N


DOMINIO DELLA TRASFORMATA Z (funzione di trasferimento)

∏

∏

∑

∑

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−=

+= N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zP

zZb

za

zbzH

1

1

1

10

1

0

)1(

)1(

1)(

NM ≤


Se M > N filtro IIR di ordine N + filtro FIR di ordine M - N

→

Zk zeri del filtro

Pk poli del filtro

ak e bk reali: filtro reale

ak e bk complessi: filtro complesso


DOMINIO DELLA FREQUENZA)()()()( 2

Fjez eFHzHFH Fj

ϕπ ==

=

Risposta impulsiva infinita

Eccellenti risposte di ampiezza ma risposte di fase non lineari (filtri causali)È necessario verificare la stabilità dal filtro

CARATTERISTICHE

Progetto: determinare gli ak e bk in modo che H(F) soddisfi le specifiche


Caso particolare: N = 2

Sezione del 2° ordine (reale)

22

11

22

110

1)( −−

−−

++++

=zazazbzbbzH

Due zeri complessi coniugati: ∗00 ZeZ

Due poli complessi coniugati: ∗00 PeP


Filtro passa - tutto (2° ordine)[Cap. 3.10]

)()(

)()(

1)(

12

22

11

2112

zDzDz

zDzN

zazazzaazH p

−−

−−

−−

==++++

=

reali) (coeff. 1 )()(

)( 2

2

==−

Fj

Fj

p eDeD

FH π

π

0)( ≤Fϕ

N(z) e D(z) sono polinomi speculari


Filtro Passa-TuttoRisposta in frequenza di un filtro Passa-Tutto del 2° ordine. Poli: modulo 0.9, fase ± 0.25 π,Zeri sono definiti come il reciproco dei poli


Sezione del 2° ordine con solo poli(filtro accordato)

θjer ±= Poli

221cos211)( −− +−

=zrzr

zHθ

Im

Re

θx

x

r

πθ2

=pF Frequenza naturale del polo

pFje π2


Si può verificare che

)(FH ha un max relativo se :21

2cosrr

+<θ

per ,2

cos)1(2cos:2

00 rrFF θπ +

=

che valeθsenrr

HM )1(1

11

+−=

~ inversamente proporzionale alla distanza del polo dalla circonferenza unitaria


Per , la banda a - 3dB

πrB dB

−≅−

13

Il filtro è tanto più selettivo quanto più il polo si avvicina al cerchio unitario

1≅r


Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° Ordine con soli poliPoli: modulo 0.9, fase ± 0.25 π


IIR del 2° ordine con zeri sul cerchio unitario

Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° ordine con zeri e poli.Poli: modulo 0.9, fase ± 0.24 πZeri: modulo 1, fase ± 0.5 π


Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)

• Rispfreq II ord• IIR-II ord


PROGETTO FILTRI IIR

Due principali metodi di progetto

1 - Progetto indiretto da prototipi di filtri analogici

- sono disponibili espressioni notedi filtri analogici, semplici e efficienti

- metodo relativamente semplice e algebrico


2 - Progetto diretto del filtro numerico

- filtri molto efficienti

- flessibilità di progetto

- con l’ausilio del calcolatore(metodo non algebrico)


IIR: PROGETTO DA PROTOTIPI ANALOGICI[Cap. 7.2-7.3]

Specifichefiltro

analogicoHa(s) H(z)


- si parte da una funzione di trasferimento Ha(s) del filtro analogico

- successivamente Ha(s) viene trasformata tramite una appropriata corrispondenza tra il piano s e il piano z per ottenere la corrispondente funzione di trasferimento H(z) del filtro digitale


Trasformazione tale che:

asse immaginario

funzione razionale

semipiano sinistro

circonferenza unitaria (risposta in frequenza)

funzione razionale (realizzazione)

interno della circonferenza unitaria (stabilità)

s z

Proprietà (desiderabili) della trasformazione


TRASFORMAZIONE BILINEARE

skskz

zzks

−+

=⇔+−

= −

−

1

1

11

k costante opportuna (reale e positiva)


1) per Fjez π2=

=+−

= −

−

Fj

Fj

eeks π

π

2

2

11

Ftgkjeeeeeek FjFjFj

FjFjFj

ππππ

πππ

=+−

= −−

−−

)()(


2) Una funzione razionale è trasformata in una funzione razionale

3) z < 1 per Re(s) < 0

Verifica le tre condizioni

La trasformazione bilineare è quella più comunemente usata. Altre trasformazioni sono possibili e usate (es. invarianza dell’impulso [cap. 7.2])


PROCEDURA DI PROGETTO

1

1

11)()(

−

−

+−

==

zzksa sHzH

Ha(s) funzione di trasferimento di un filtro analogico (disponibile)


Relazione fondamentale [ che segue dal punto 1 ]

FtgkfFtgkf aa ππ

ππ2

2 =⇔=

21

21

−

F

fa

Frequenza numerica normalizzata

Frequenza analogica


Le frequenze del filtro analogico fa non corrispondono alle frequenze f = F fc del filtro numerico deformazione dell’asse delle frequenze (che deve essere tenuta in conto nel progetto)

⇒

Attenzione


Esempio di determinazione di k

Progettare un filtro (es. passa basso) con frequenza di taglio Ft

A disposizione un prototipo (passa basso) con frequenza di taglio fat.Molto spesso sono disponibili filtri normalizzati.

12 == atat fπω

Si sceglie k :

tattat FFfk πωππ cotgcotg2 ==


Trasformazione bilineare: svantaggi

- distorsione dell’asse delle frequenze

- risposta in frequenza del filtro numerico diversa da quella del filtro analogico

- trasforma un filtro analogico in un filtro numerico “dello stesso tipo” (per esempio un passa basso analogico in un passa basso numerico)


PROGETTO DI FILTRI IIRPASSA-ALTO, PASSA-BANDA e

ELIMINA-BANDA


Normalmente sono disponibili prototipi analogici passa-basso (generalmente normalizzati = pulsazione di taglio analogica unitaria). Si possono seguire diverse procedure. Per es.:

A) Progettare un prototipo passa-basso numerico mediante la bilineare ed operare successivamente una trasformazione nel piano z da passa-basso al tipo di filtro desiderato. Queste trasformazioni sono riportate nel Cap. 7.6.

B) Operare una trasformazione diretta dal prototipo analogico passa-basso al filtro numerico del tipo desiderato.


La prima procedura richiede due trasformazioni: bilineare e trasformazione nel piano z. La seconda procedura richiede una sola trasformazione, che può essere dedotta combinando le due della prima procedura.

Di seguito sono riportate le trasformazioni da effettuare per la procedura B.


Progetto di filtri passa-alto

1

1

11

−

−

−+

=zzks tat Ftgfk ππ2=

conFt frequenza di taglio del filtro numericofat frequenza di taglio del prototipo passa-basso

analogico [se normalizzata fat = 1/ (2 ) ]π

1

Ft 21

maschera ideale


Progetto di filtri passa-banda

1

F121

maschera ideale

F2 F


2

21

121

−

−−

−+−

=z

zzks α

)(cotg2 12 FFfk at −= ππ

)(cos)(cos

12

12

FFFF

−+

=ππα

conF1 frequenza di taglio inferiore del filtro

numericoF2 frequenza di taglio superiore del filtro

numericofat frequenza di taglio del prototipo

passa-basso analogico


Progetto di filtri elimina-banda

1

F121

maschera ideale

F2 F


21

2

211

−−

−

+−−

=zz

zksα

)(2 12 FFtgfk at −= ππ

)(cos)(cos

12

12

FFFF

−+

=ππα

con

F1 frequenza di taglio inferiore del filtro numerico

F2 frequenza di taglio superiore del filtro numerico

fat frequenza di taglio del prototipo passa-basso analogico


Nota

Ordine del filtro numerico rispetto a quello del prototipo analogico:- Rimane invariato per i filtri passa-basso e

passa-alto- Raddoppia per i filtri passa-banda e elimina

banda.


Prototipi analogici disponibili:[Cap. 7.3]

• Butterworth• Chebyshev I• Chebyshev II• Ellittici


( ) N

at

aH 22

1

1||

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ω

( ) ( )dBH ata 32

1−=ω

Esempi di prototipi di ButterworthLa risposta di ampiezza è massimamente piatta nella banda passante.La risposta di ampiezza è

pulsazione di taglio

L'ordine N specifica completamente il filtro: per si approssimala risposta ideale del filtro passa-basso

atat fπω 2=

∞→N


111 FtgFcotgFtgk tata ππωπω ==

( )110

210

log21log

a

ANω−

≅

Esempio di scelta dell'ordine N

Si vuole un filtro numerico con frequenza di taglio Ft e con unaattenuazione A ad una F1 .Per esempio per un passa-basso alla frequenza F1 corrisponde:

dove è la pulsazione di taglio del prototipo.

N si stima con la relazione ( ):1=atω

atat fπω 2=


Progetto di filtri IIR passa basso - Butterworth, Chebyshev (I e II), EllitticoOrdine dei filtri: 7, frequenza di taglio specificata: F1= 0.25Butterworth : F1 frequenza a -3dBChebyshev I : 0.5 dB ripple nella banda fino a F1Chebyshev II : 50 dB attenuazione a partire da F1Ellittici : 0.5 dB ripple, 50 dB attenuazione


Progetto di filtri IIR passa banda - Butterworth, Chebyshev (I e II), EllitticoOrdine dei filtri: 14, frequenze di taglio specificate: F1= 0.15, F2=0.35Butterworth : F1,F2 f requenze a -3dBChebyshev I : 0.5 dB ripple nella banda da F1 a F2Chebyshev II : 50 dB attenuazione prima di F1 e a partire da F2Ellittici : 0.5 dB ripple, 50 dB attenuazione


PROGETTO DIRETTO DI FILTRI IIR CON METODI ITERATIVI

[Cap. 7.4]

Non si parte da prototipi analogici, ma si progetta direttamente il filtro numerico dalle specifiche in frequenza


Minimizzazione dell’errore quadratico medio

Hd(F) risposta in frequenza desiderata

{ }21

)()( e.q.m. idi

L

i

FHFHE −=∑=

da minimizzare

Fi sono L prescelte frequenze arbitrarie


Supponiamo che il filtro da progettare sia

kk

N

k

kk

M

k

za

zbzH

−

=

−

=

∑

∑

+=

1

0

1)(

Si impone (per es. N=M ):

0=ka

E∂∂

0=kb

E∂∂

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

2N + 1 equazioni non lineari in 2N + 1 incognite


Algoritmi e programmi per la soluzione del sistema (con metodi iterativi, per es. in Matlab, [Cap. 7 esempi])


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Am

piez

za (d

b)

F freq. normalizzata

Yule Walker

Filtro PASSA BASSO

Filtro IIR passa-basso (Yule-Walker) Ordine: 8F1 = 0.2 fine banda passante F2 = 0.25 inizio banda attenuata


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-80

-60

-40

-20

0

Ampi

ezza

(db)


Yule Walker

Filtro PASSA ALTO

Filtro IIR passa-alto (Yule-Walker) Ordine: 8F1 = 0.25 fine banda attenuataF2 = 0.3 inizio banda passante


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Am

piez

za (d

b)


Yule Walker

Filtro PASSA BANDA

Filtro IIR passa-banda (Yule-Walker)Ordine: 20F1 = 0.15 fine prima banda attenuata F2 = 0.2 inizio banda passante F3 = 0.3 fine banda passante F4 = 0.35 inizio II banda attenuata


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Am

piez

za (d

b)


Yule Walker

Filtro ELIMINA BANDA

Filtro IIR elimina-banda (Yule-Walker)Ordine: 20F1 = 0.15 fine prima banda attenuata F2 = 0.2 inizio banda passante F3 = 0.3 fine banda passante F4 = 0.35 inizio II banda attenuata


Se il filtro da progettare è fattorizzato in S sezioni del II ordine

∏=

−−

−−

++++

=S

k kk

kk

zdzczbzaGzH

121

21

11)(


Si impone:

0=GE

∂∂

0=ka

E∂∂

0=kb

E∂∂

0=kc

E∂∂

0=kd

E∂∂

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

4S + 1 equazioni non lineari in 4S + 1 incognite

Ci sono metodi efficienti (es. algoritmo Fletcher-Powell) per la soluzione di questo sistema.


Osservazione

Il metodo diretto non pone vincoli sui poli e zeri. Poli e zeri possono risultare esterni al cerchio unitario filtro causale instabile

Metodo da completare con:

- determinazione dei poli - ogni polo esterno viene sostituito con il

suo inverso e coniugato risposta di ampiezza inalterata.

→

→∗0/1 P

0P


Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)

• IIR-prot analogici• IIR-diretto


STRUTTURE REALIZZATIVE per IIR[Cap. 4]

STRUTTURE REALIZZATIVE CANONICHE

Sono quelle che impiegano il minimo numero di operatori (memorie, moltiplicatori, addizionatori) elementari


Struttura canonica diretta

∑∑∑

∑=

−

=

−

=

−

=

−

+=

+=

N

k

kkN

k

kk

N

k

kk

N

k

kk

zbzaza

zbzH

0

11

0

1

1

1)(

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−−=

−−−=

∑

∑

∑∑

=

=

==

N

kk

N

kk

N

kk

N

kk

knwbny

knwanxnw

knyaknxbny

0

1

10


z-1

x[n] y[n]

z-1

z-1

b0

b1

b2

bN

-a1

-a2

-aN

w[n]

)1/(1 kkkza −∑+ k

kkzb −∑


Struttura canonica trasposta

Si ottiene con le operazioni di trasposizione per reti lineari


z-1

x[n] y[n]

z-1

z-1

b0

b1

bN-1

bN - aN

- aN-1

- a1


Caratteristica

Ciascun campione attuale dell’ingresso x[n]e dell’uscita y[n] è moltiplicato per tutti i corrispondenti coefficienti in successione: può semplificare la realizzazione HW/SW.


Realizzazione con sezioni in cascata

Si decompone

,)()(1

)(21

1

)2(

1

)1(

1

0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+= ∏∏

∑

∑==

=

−

=

−K

ii

K

iiN

k

kk

M

k

kk

zHzHGza

zbzH

21 2KKN +=

Hi(1) (z), sistema del 1° ordine con poli e zeri reali

Hi(2) (z), sistemi del 2° ordine con poli e zeri

complessi


x[n]H1(z) H2(z) H3(z)

K1+K2 filtri realizzati con strutture del 1° e del 2° ordine

y[n])(

21zH KK +


Problemi connessi con questa struttura

1. Associazione di zeri e poli per ogni sezione2. Ordinamento delle sezioni in cascata3. Fattore di scala fra una sezione e l’altra per

prevenire il generarsi di valori troppo grandi (overflow) o troppo piccoli (underflow).

Aritmetica esatta (a precisione “infinita”): 1, 2 e 3 non hanno conseguenze.

Aritmetica a precisione “finita”: necessità di soluzioni adeguate per 1, 2 e 3


Associazione zeri e poli

Per ridurre gli effetti della realizzazione con aritmetica a precisione finita, si segue in pratica la seguente procedura:

i) partire dal polo più vicino alla circonferenza unitaria ed associare ad esso lo zero più vicino

ii) continuare come in (i) fino ad esaurimento di tutti i poli restanti


Ordinamento delle sezioni

La procedura seguita in pratica per ridurre gli effetti di una realizzazione in aritmetica a precisione finita è la seguente:

- sezioni ordinate in ordine decrescente dei valori massimi delle loro risposte in ampiezza.


Struttura parallela

Si esprime (mediante scomposizione in fratti semplici [Cap. 2])

∑∑

∑=

=

−

=

−

+=+

=K

iiN

k

kk

M

k

kk

zHAza

zbzH

1

1

0 )(1

)(

con

K = intero opportunoA = bN / aN (M=N)

Hi (z) sezione del I o II ordine (a seconda del tipo di zeri e poli)


H1(z)

H2(z)

HK(z)y[n]

x[n]

A

67

FIR IIR Fase può essere

esattamente linearenon lineare

per filtri causaliStabilità sempre da controllare

Strutture realizzative

più facili e semplici più complicate

Numero di operazioni

maggiore minore

Precisione finita

effetti minori e più facili da analizzare

effetti maggiori e più difficili da analizzare

Procedure diprogetto

mediante calcolatore per filtri semplici procedura algebricain genere mediante

calcolatore

Confronto filtri FIR e IIR

progetto di filtri a risposta impulsiva infinita...

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