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PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO
PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO
1.Cul es la tasa de inters por periodo de:
a)30% anual capitalizable mensualmente?
b)16% anual capitalizable trimestralmente?
c)2% trimestral?
d)15% anual?
SOLUCIONES
SOLUCION
Para conocer la tasa de inters por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversin:
a) 30% anual capitalizable mensualmente
Tasa anual = 30%
Frecuencia de conversin = 12
(
)
(
)
(
)
(
)
957.85
208
0.8358314
250000
0075
.
1
250000
0075
.
0
1
250000
1
24
24
=
=
=
+
=
+
=
-
-
-
C
C
C
C
i
M
C
n
i = 2.50% mensual
b) 16% anual capitalizable trimestralmente
Tasa anual = 16%
Frecuencia de conversin = 4
04
.
0
4
16
.
0
conversin
de
frecuencia
anual
inters
de
tasa
=
=
=
i
i = 4% trimestral
c) 2% trimestral
periodo = trimestre
Tasa anual = 2% x 4 = 8%
Frecuencia de conversin = 4
02
.
0
4
08
.
0
conversin
de
frecuencia
anual
inters
de
tasa
=
=
=
i
i = 2% trimestral
d) 15% anual
Tasa anual = 15%
Frecuencia de conversin = 1
15
.
0
1
15
.
0
conversin
de
frecuencia
anual
inters
de
tasa
=
=
=
i
i = 15% anual
2.Cul es la frecuencia de conversin de los ejemplos del problema anterior?
a)30% anual capitalizable mensualmente?
SOLUCION
Periodo = mes
Frecuencia de conversin = 12
b)16% anual capitalizable trimestralmente?
SOLUCION
Periodo = trimestre
Frecuencia de conversin = 4
c)2% trimestral?
SOLUCION
Periodo = trimestre
Frecuencia de conversin = 4
4. Determine el inters que gana en un ao un depsito de $1 000 en:
a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual simple.
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de inters semestral simple.
c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual compuesto semestralmente.
d) Una cuenta de valores que paga 20% de inters anual convertible trimestralmente.
SOLUCION
DATOS
I ?
Plazo = 1 ao
C = $1,000.00
a) i = 20% anual simple
La frmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el inters simple:
Como el plazo es 1 ao, t = 1.
200.00
I
20)(1)
(1,000)(0.
=
=
=
I
Cit
I
I = $200.00
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de inters semestral simple.
SOLUCION
Se utiliza la frmula de inters simple, con
I = 10% semestral simple y t = 2 semestres:
200.00
I
)
2
0)(
1
(1,000)(0.
=
=
=
I
Cit
I
I = $200.00
c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual compuesto semestralmente.
SOLUCION
Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto, y luego el resultado se resta del capital:
j = 20%
m =2
n = (1) (2) = 2 semestres
semestral
semestral
m
j
i
-
=
-
=
=
=
10
.
0
%
10
2
%
20
(
)
(
)
(
)
(
)
00
.
210
,
1
21
.
1
000
,
1
10
.
1
000
,
1
10
.
0
1
000
,
1
1
000
,
1
2
2
=
=
=
+
=
+
=
M
M
M
M
i
M
n
00
.
000
,
1
00
.
210
,
1
-
=
-
=
I
C
M
I
I = $210.00
d) Una cuenta de valores que paga 20% de inters anual convertible trimestralmente.
SOLUCION
Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto, y luego el resultado se resta del capital:
j = 20%
m = 4
n = (1) (4) = 4 trimestres
trimestral
trimestral
m
j
i
-
=
-
=
=
=
05
.
0
%
5
4
%
20
(
)
(
)
(
)
(
)
51
.
215
,
1
21550625
.
1
000
,
1
05
.
1
000
,
1
05
.
0
1
000
,
1
1
000
,
1
4
4
=
=
=
+
=
+
=
M
M
M
M
i
M
n
00
.
000
,
1
51
.
215
,
1
-
=
-
=
I
C
M
I
I = $215.51
5. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente:
a) Al cabo de un ao
b) Al cabo de dos aos
SOLUCION
Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto:
DATOS
C = $50 000.00
j = 15%
m = 12
La tasa de inters compuesto para cada inciso es:
mensual
mensual
m
j
i
_
0125
.
0
_
%
25
.
1
12
%
15
=
=
=
=
El nmero de periodos n depende del plazo, y se obtiene multiplicando el nmero de aos por la frecuencia de conversin.
a) Al cabo de un ao
n = 1(12) = 12 meses
(
)
(
)
(
)
(
)
160754518
.
1
000
,
50
025
.
1
000
,
50
.
0125
.
0
1
000
,
50
1
12
12
=
=
+
=
+
=
M
M
M
i
C
M
n
M = $58,037.73
b) Al cabo de dos aos
n = 2(12) = 24 meses
(
)
(
)
(
)
(
)
34735105
.
1
000
,
50
0125
.
1
000
,
50
.
0125
.
0
1
000
,
50
1
12
24
=
=
+
=
+
=
M
M
M
i
C
M
n
M = $67,367.55
9. Cunto dinero debe pagarse a un banco que hizo un prstamo de $300 000 si se reembolsa al ao capital e inters y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente?
DATOS
C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco)
Tasa nominal anual = 0.24 = 24%
Plazo = 1 ao
Periodo de capitalizacin = trimestre
Frecuencia de conversin = 4 (un ao tiene 4 trimestres)
M = ?
SOLUCION
trimestral
6%
conversin
de
frecuencia
anual
nominal
tasa
=
=
=
4
24
.
0
i
i
(
)
(
)
(
)
trimestres
aos
en
plazo
conversin
de
frecuencia
4
1
4
=
=
=
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
26247696
.
1
000
,
300
06
.
1
000
,
300
06
.
0
1
000
,
300
1
4
4
=
=
+
=
+
=
M
M
M
i
C
M
n
M = $378,743.09 (dinero que se le debe pagar al banco)
26.Cunto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 aos, y la tasa de inters es de 9% convertible mensualmente?
DATOS
C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)
M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)
Plazo = 2 aos
j = 9%
m = 12
SOLUCION
Entonces, se busca el valor actual a inters compuesto conociendo el monto.
025
.
0
12
30
.
0
conversin
de
frecuencia
anual
inters
de
tasa
=
=
=
i
0075
.
0
%
75
.
0
12
%
9
=
=
=
=
i
m
j
i
n = 2(12) = 24 meses
C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular
$250 000.00 en dos aos)
27.Qu cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de prstamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses?
DATOS
C = ? (La cantidad que recibe en prstamo es un valor actual)
M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro)
Plazo = 18 meses
j = 18%
m = 4
SOLUCION
(
)
(
)
(
)
(
)
957.85
208
0.8358314
250000
0075
.
1
250000
0075
.
0
1
250000
1
24
24
=
=
=
+
=
+
=
-
-
-
C
C
C
C
i
M
C
n
Entonces, se busca el valor actual a inters compuesto conociendo el monto.
45
.
0
%
50
.
4
4
%
18
=
=
=
=
i
m
j
i
n = (18/12)(4) = 6 trimestres
C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en prstamo
30.Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagar que incluye intereses a razn de 3% trimestral, y que ser pagadero al cabo de un ao. Qu cantidad puede obtenerse por l si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de inters de 12% convertible mensualmente?
DATOS
M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagar)
i = 3% trimestral (Tasa de inters por periodo de la deuda)
plazo = 1 ao (Tiempo en que se pagar la deuda)
plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se document la deuda)
plazo = 12 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)
j = 12%
m = 12
SOLUCION
Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses despus de que se firm el pagar.
01
.
0
%
12
%
12
=
=
=
=
i
m
j
i
n = 8 meses
(
)
(
)
(
)
(
)
132.229881
499
0.76789574
000
650
045
.
1
000
650
045
.
0
1
000
650
1
6
6
=
=
=
+
=
+
=
-
-
-
C
C
C
C
i
M
C
n
C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se
descuenta)
34.Por la venta de una casa, una compaa inmobiliaria recibe un pagar por $140 000 con vencimiento a 5 aos que devenga intereses a razn de 10% anual convertible semestralmente. Qu cantidad recibir la empresa si al cabo de un ao descuenta el documento en su banco y ste le cobra 16% de inters anual?
SOLUCION
El pagar produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del mismo en la fecha de su vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con los siguientes:
DATOS
C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual)
Plazo = 5 aos (tiempo en que vencer el pagar)
j = 10%
m = 2
M = ? (valor nominal del pagar)
(
)
(
)
(
)
24
46174.1611
2
0.92348322
000
50
01
.
0
1
000
50
1
8
=
=
+
=
+
=
-
-
C
C
C
i
M
C
n
M = $228 045.25 (valor del pagar cuando venza)
Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del descuento que aplica el banco:
M = 228 045.25
Plazo = 4 aos
j = 16%
m = 1
(
)
(
)
(
)
2477
.
228045
628894627
.
1
140000
05
.
0
1
140000
1
10
=
=
+
=
+
=
M
M
M
i
C
M
n
C = ?
C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un ao
despus)
36.En cunto tiempo se duplica un capital si la tasa de inters efectiva anual es de:
a)10%?
b)20%?
DATOS
Plazo = ?
C = C (el capital puede ser cualquier cantidad)
M = 2C (el monto ser el doble del capital)
De la frmula del monto a inters compuesto se despeja el plazo (n):
(
)
(
)
3615
.
125947
552291097
.
0
25
.
228045
16
.
0
1
25
.
228045
4
=
=
+
=
-
C
C
C
a)10%?
(
)
(
)
272540897
.
7
041392685
.
0
301029995
.
0
10
.
1
log
2
log
10
.
1
log
2
log
10
.
1
log
2
log
10
.
1
2
10
.
1
2
10
.
0
1
2
1
=
=
=
=
=
=
=
+
=
+
=
n
n
n
C
C
C
C
i
C
M
n
n
n
n
n
a) 20%?
(
)
(
)
8018
.
3
079181246
.
0
301029995
.
0
20
.
1
log
2
log
20
.
1
log
2
log
20
.
1
log
2
log
20
.
1
2
20
.
1
2
20
.
0
1
2
1
=
=
=
=
=
=
=
+
=
+
=
n
n
n
C
C
C
C
i
C
M
n
n
n
n
n
(
)
n
i
1
C
M
+
=
39.Una inversin duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de inters. En cunto tiempo lo triplicar?
SOLUCION
La inversin inicial puede ser cualquier cantidad, la condicin es que 18 meses despus ser el doble de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de inters con la que se duplica:
C = C
M = 2C
n = 18 meses
n = ?
aplicando la frmula de la tasa de inters compuesto, que se despeja de la frmula del monto a inters compuesto:
1
C
M
i
n
-
=
Despejando, tenemos:
6
0.03925922
i
=
-
=
-
=
-
=
-
=
1
039259226
.
1
1
2
1
2
1
18
18
i
C
C
i
C
M
i
n
Sustituyendo los datos, se tiene:
0.0125
i
12
15%
m
j
i
=
=
=
anual
%
17.4618943
i
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
174618943
.
0
1
174618943
.
1
1
5
1
5
1
10
10
i
i
C
C
i
C
M
i
n
Para conocer el tiempo en que se triplica el capital, los datos son:
C = C
M = 3C
i = 3.9259226% mensual
n = ?
Ahora, de la frmula del monto a inters compuesto se despeja otra para calcular el plazo:
(
)
(
)
309350417
.
0
=
=
=
=
j
j
j
m
i
m
j
i
12
1
0.02577920
(
)
(
)
(
)
(
)
meses
28.53
n
i
1
log
C
M
log
n
=
=
=
=
+
=
+
=
52932504
.
28
n
8
0.01672388
4
0.47712125
6
1.03925922
log
3
log
n
6
0.03925922
1
log
C
3C
log
n
40.Se realiza una inversin de $50 000 en un banco el da 1 de febrero. En qu fecha valdr $55 000 si la tasa de inters es de 15% compuesta mensualmente?
SOLUCION
(
)
(
)
mente
trimestral
e
convertibl
anual
31.74%
j
=
=
=
=
=
317393752
.
0
4
8
0.07934843
j
j
m
i
m
j
i
La cantidad invertida de $50 000 es el capital (C) y el 1 de febrero la fecha inicial. Los $55 000 es el monto (M)(o valor futuro de la inversin) y se busca la fecha final. Para encontrarla, primero calculamos el plazo de la inversin, determinando el valor de n a inters compuesto:
j = 15%
m = 12
(
)
(
)
(
)
(
)
exacto)
tiempo
ndo
(considera
septiembre
de
22
final
fecha
exacto)
(tiempo
das
233
365
x
7.67/12
n
)
aproximado
tiempo
ndo
(considera
septiembre
de
21
final
fecha
das
20
meses
7
n
meses
7.67
n
i
1
log
C
M
log
n
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
=
+
=
672370808
.
7
n
1887
0.00539503
5
0.04139268
1.0125
log
1.1
log
n
0.0125
1
log
50000
55000
log
n
42.A qu tasa de inters un capital quintuplica su valor en 10 aos?
SOLUCION
El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto (M) es 5 veces C, es decir, 5C.
DATOS
C = C
M = 5C
Plazo = 10 aos
m = 1 (la frecuencia de conversin es 1, pues el plazo se expresa en aos)
n = 10 aos
De la frmula del monto a inters compuesto se despeja la tasa de inters compuesto, se sustituyen los datos, y se resuelve:
(
)
(
)
mente
trimestral
e
convertibl
anual
201302508
.
0
4
050325627
.
0
20.13%
i
=
=
=
=
=
j
j
m
i
m
j
i
43.Qu tasa de inters nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha incrementado a $50 000 en 3 aos, si dicho inters se capitaliza:
a)mensualmente?
b)trimestralmente?
SOLUCION
Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de inters por periodo (i), con la frmula que se despeja de la frmula del monto a inters compuesto:
DATOS
j = ?
C = $20 000
M = $50 000
Plazo = 3 aos
a)mensualmente?
La frecuencia de conversin es:
m = 12 Entonces:
n = 3 aos x 12 = 36 meses
periodo)
por
(tasa
mensual
2.578%
i
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
025779201
.
0
1
025779201
.
1
1
5
.
2
1
20000
50000
1
36
36
i
i
i
C
M
i
n
0075
.
0
%
75
.
0
12
%
9
=
=
=
=
i
m
j
i
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
J = 30.94% anual convertible mensualmente
b)trimestralmente?
La frecuencia de conversin es:
m = 4 Entonces:
n = 3 aos x 4 = 12 trimestres
periodo)
por
(tasa
trimestral
7.9348438%
i
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
079348438
.
0
1
079348438
.
1
1
5
.
2
1
20000
50000
1
12
12
i
i
i
C
M
i
n
45
.
0
%
50
.
4
4
%
18
=
=
=
=
i
m
j
i
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
44.Pablo Prez deposit $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 aos y 9 meses. Actualmente tiene $208 862, y desea saber cul es la tasa de inters que ha ganado si la capitalizacin es trimestral.
DATOS
C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital)
M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depsito)
plazo = 3 aos y 9 meses
j = ?
m = 4 (la frecuencia de conversin es trimestral, o sea, 4 por ao)
SOLUCION
Se busca la tasa de inters por periodo y luego la tasa nominal:
n = 15 trimestres (3 aos x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15 trimestres
periodo)
por
(tasa
trimestral
5.03%
i
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
050325627
.
0
1
050325627
.
1
1
08862
.
2
1
100000
208862
1
15
15
i
i
i
C
M
i
n
(
)
(
)
(
)
(
)
132.229881
499
0.76789574
000
650
045
.
1
000
650
045
.
0
1
000
650
1
6
6
=
=
=
+
=
+
=
-
-
-
C
C
C
C
i
M
C
n
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
n = 7.272540897 aos es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 10% efectivo anual
EMBED Equation.3
n = 3.8018 aos es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 20% efectivo anual
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
A esta tasa se duplica el capital
La inversin se triplica en 28.53 meses
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(
)
(
)
(
)
24
46174.1611
2
0.92348322
000
50
01
.
0
1
000
50
1
8
=
=
+
=
+
=
-
-
C
C
C
i
M
C
n
(
)
(
)
(
)
2477
.
228045
628894627
.
1
140000
05
.
0
1
140000
1
10
=
=
+
=
+
=
M
M
M
i
C
M
n
(
)
(
)
3615
.
125947
552291097
.
0
25
.
228045
16
.
0
1
25
.
228045
4
=
=
+
=
-
C
C
C
(
)
(
)
mente
trimestral
e
convertibl
anual
201302508
.
0
4
050325627
.
0
20.13%
i
=
=
=
=
=
j
j
m
i
m
j
i