PROBLEM OPTIMALNE ASIGNACIJE

(02.05.2012)

Doc. dr. Tunjo Perić

1. Problem optimalne asignacije

Problem optimalne asignacije sastoji se u tome da se na

optimalan način rasporedi n ljudi na n poslova, uzimajući da svi

ti ljudi nisu jednako podesni za pojedini posao. Taj problem je moguće riješiti ako se na neki način, recimo, testiranjem izmjeri efikasnost, cij, osobe i u poslu j, (i,j = 1, 2, ..., n). Svaki raspored osoba 1, 2, ..., n na poslove j1, j2, ..., jn je jedna permutacija. Optimalni raspored ili asignacija j1, j2, ..., jn je ona permutacija od 1, 2, ..., n koja maksimizira sumu individualnih efikasnosti,

c1 j1

c2 j2

...

c

njn

∑nc

kjk

k 1

3.5.2012 2

Očigledno je da je tako postavljeni problem kombinatorne prirode. Iz kombinatorike znamo da postoji n! različitih permutacija od prvih n prirodnih brojeva. Dakle, imamo n! različitih asignacija. Poznato je da taj broj postaje vrlo velik kad n pređe 10. Na primjer za n = 20, n! = 2 432 902 008 176 640 000. Vidimo da je praktički nemoguće nabrojiti tolike asignacije, ocijeniti njihovu efikasnost i izabrati asignaciju sa maksimalnom efikasnosti. Međutim, problem se može riješiti brzo i lako, ako se formulira kao problem transporta. Neka je

xij

1 ako je i -ta osoba dodijeljena na posao j(1)

0 u protivnom slučajuBudući da smo pretpostavili da je svaka osoba dodijeljena samo na jedan posao imamo:

n

∑x ij 1, i 1,2,..., n (2)3.5.2012 j1 3

Iz razloga što se na svaki posao dodjeljuje samo jedna osoba,slijedi n

∑x ij 1, j 1,..., n (3)i1

Matrice x , i , j 1,..., n, kao rješenja sustava jednadžbi (2) iij

(3), imaju to svojstvo da svaki njihov redak i stupac ima sumujednaku jedinici. Takve matrice pojavljuju se u statistici i zovu sedvostruko stohastičke matrice. Njihovi se elementi interpretirajukao vjerojatnosti. Ako matrica x zadovoljava također i uvjet

ij

(1), to jest ako predstavlja rješenje problema asignacije (1), (2) i(3), zove se matrica permutacija.Cilj u problemu asignacije je izabrati takvu asignaciju x ij koja

zadovoljava (1), (2) i (3) i maksimizira ukupnu efikasnost, to jest

n n n∑ c

kjk ∑∑c i j xij max (4)

k 1 i 1 j1

3.5.2012 4

Problem asignacije (1), (2), (3) i (4) ekvivalentan je problemu transporta (2), (3), (4) i

xij ≥ 0 (5)

Prema tome, problem asignacije (2), (3), (4) i (5) je specijalan sluč aj Hitchcock-ovog problema transporta. Dovoljno je

postaviti si = dj = 1, da se Hitchcock-ov problem reducira na problem asignacije. Problem asignacije ima svojstvo da je svako njegovo bazično rješenje degenerirano, jer samo n bazičnih varijabli ima vrijednost 1, a preostale, njih n – 1 uzimaju vrijednost 0. Po tome se može zaključiti da je problem asignacije u visokom stupnju degeneriran. Kao takav, problem asignacije može se riješiti bilo kojom metodom koja se koristi u slučaju degeneracije. Međutim, za problem asignacije je razvijena jedna specijalna metoda koja je

pokazala veliku efikasnost, mađarska metoda.

3.5.2012 5

2. Mađarska metoda

Autor mađarske metode za problem asignacije je američki matematičar H. W. Kuhn (1955). Mađarska metoda koristi u rješavanju problema asignacije njegov dualni problem na osobito efektivni način. Njezina polazna točka

je neko moguće rješenje duala problema asignacije (2), (3), (4) i (5), to jest problema

ui v j≥ c

ij

Min(∑ui ∑v j ).i j

Treba primijetiti da mjera individualne efikasnosti cij može biti vrijeme potrebno radniku i da izvrši posao j. U tom slučaju cilj u direktnom problemu asignacije je

min(∑∑c ij xij ),

3.5.2012 i j 6

max( u v )a cilj u dualu tog problema je ∑ i ∑ j dok su uvjeti

ui v j ≤ c

ij .i j

Prvi korak po mađarskoj metodi sastoji se u tome da se reducira

c c c− u −v .

matrica efikasnosti c ij na matricu ij , gdje su ij ij i j

Redukcija se provodi na način da se minimalni element svakogretka odbija od svih elemenata retka. Zatim se u dobivenoj matriciodbija minimalni element svakog stupca od svih elemenata stupca.Tako modificirana matrica zove se prva reducirana matrica. Ta matrica sadrži samo pozitivne brojeve i nule i to bar jednu nulu u svakom retku i svakom stupcu.Primjer: Imamo 4 radna mjesta, odnosno 4 posla koja treba obaviti i 4 osobe koje su kvalificirane da na njima rade. Matrica njihove individualne efikasnosti cij dana je u satima rada, kako slijedi

3.5.2012 7

Poslovi

1 2 3 4

1 8 15 10 9

Osobe 2 17 18 12 12

3 11 14 7 13

4 9 16 14 6

sadrži elemente:Prva reducirana matrica cij

Poslovi

1 2 3 4

1 0 1 2 1

Osobe 2 5 0 0 0

3 4 1 0 6

4 3 4 8 0

3.5.2012 8

Svaka asignacija koja minimizira ukupne troškove na osnovi te reducirane matrice troškova, minimizira ukupno potrebno vrijeme rada. Sa druge strane ta prva reducirana matrica sadrži samo pozitivne elemente ili nule, pa ukupni troškovi ni za jednu asignaciju ne mogu

biti negativni. Iz toga slijedi da je optimalna svakac

asignacija s ukupnim troškovima ij jednakim nuli.

U sljedećem koraku traži se takva asignacija.U drugom koraku raspoređuje se maksimalni broj osoba naraspoloživa radna mjesta ili poslove. Ako je takva asignacijakompletna (obuhvaća sve osobe), rješenje je nađeno. Ako se nedobije kompletna asignacija, prelazi se na treći korak.

→ →U našem primjeru lako se vidi da je optimalna asignacija 1 1, 22, 3→ 3 i 4→ 4.U slučaju kad reducirana matrica ima velike dimenzije postupa se na sljedeći način:(a) Sukcesivno se ispituju reci dok se ne nađe redak u kojem je samo

jedna nemarkirana nula. Ta nula se markira sa a ostale nule u3.5.2012 9

istom stupcu sa X. Tako se postupa dok se ne ispitaju svi reci.