presentation of my master's thesis

Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”

Closed formulae for distance functionsinvolving ellipses

Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses

Gema R. Quintana Portilla

Tesis del Máster en Matemáticas y ComputaciónDirigida por D. Fernando Etayo y D. Laureano Glez-Vega

Curso 2008-2009

Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09


Objetivo

Estudiaremos dos problemas relacionados con la obtención defórmulas cerradas para la determinación de la función distanciaentre objetos definidos por ecuaciones de grado bajo:

Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo dela distancia mínima entre dos elipsesDeterminación de una fórmula cerrada para el cálculo dela denominada closest approach entre dos elipses oelipsoides

Ambos problemas son de gran interés en el ámbito delmodelado geométrico y en CAGD



Índice

1 Distancia entre dos elipsesProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro

2 Distancia “closest-approach”ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro



ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro

Índice






Introducción

Queremos calcular la distancia entre dos elipses coplanarias

La distancia mínima entre un punto y una elipse es un númeroreal positivo: buscamos obtenerlo como la raíz real de unpolinomio

Esta forma de caracterizar la distancia es independiente de losllamados “footpoints” y proporciona la distancia de formadirecta, pudiendo ser usada para analizar el caso dinámico




Aplicaciones

El cálculo de la mínima distancia entre dos elipses es unproblema fundamental en varios campos:

Detección de colisiones en robóticaAnálisis de interferencias en CAD/CAMInteracciones en Realidad VirtualJuegos de ordenadorAnálisis de órbitas (elipses no coplanarias)Interferencias entre moléculas en física computacional yquímica...




Trabajos previos

I. Z. EMIRIS, E. TSIGARIDAS, G. M. TZOUMAS. Thepredicates for the Voronoi diagram of ellipses. Proc. ACMSymp. Comput. Geom., 2006I. Z. EMIRIS, G. M. TZOUMAS. A Real-time and ExactImplementation of the predicates for the Voronoi Diagramfor parametric ellipses. Proc. ACM Symp. Solid PhysicalModelling, 2007C. LENNERZ, E. SCHÖMER. Efficient DistanceComputation for Quadratic Curves and Surfaces.Geometric Modelling and Processing Proceedings, 2002




Trabajos previos

J.-K. SEONG, D. E. JOHNSON, E. COHEN. A HigherDimensional Formulation for Robust and InteractiveDistance Queries. Proc. ACM Solid and PhysicalModeling, 2006K.A. SOHN, B. JÜTTLER, M.S. KIM, W. WANG.Computing the Distance Between Two Surfaces via LineGeometry. Proc. Tenth Pacific Conference on ComputerGraphics and Applications, 236-245, IEEE Press, 2002

Aspecto común: el problema se resuelve previo cálculo de los“footpoints”




Nuestra aproximación

El cálculo de la distancia mínima no depende de los“footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomiounivariado asociado a la distancia

Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinación de los mismos






Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinación de los mismos¿Alguna ventaja?






Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinación de los mismos¿Alguna ventaja?

La distancia se comporta de forma continua, mientras que los“footpoints” no




Distancia punto-elipse

Sean las ecuaciones paramétricas de la elipse ε0:

x =√a cos t, y =

√b sin t, t ∈ [0, 2π)

Construyamos la función fd cuyo mínimo positivo, d, nosproporcione el cuadrado de la distancia entre el punto (x0, y0) yla elipse:

fd := (x0 −√a cos t)2 + (y0 −

√b sin t)2 − d





Queremos resolver el sistema:fd(t) = 0

∂fd

∂t(t) = 0





Queremos resolver el sistema:fd(t) = 0

∂fd

∂t(t) = 0

Hay dos posibilidades para el cambio de variable:racionalcomplejo





Cambio de variable racional:

cos t = 1−t21+t2

sin t = 2t1+t2

Desventaja: más complicado





Como z = cos t+ i sin t, z = 1z , luego podemos usar el cambio:

sin t = z− 1z

2i

cos t = z+ 1z

2





El nuevo sistema resulta:

(b− a)z4 + 2(x0

√a− iy0

√b)z3 − 2(x0

√a+ iy0

√b)z + a− b = 0

(b− a)z4 − 4(x0√a− iy0

√b)z3 − 2(2(x2

0 + y20 − d))z2+

+4(x0√a+ iy0

√b)z + b− a = 0

Usando resultantes eliminamos la veriable z





TeoremaSi d0 es la distancia del punto (x0, y0) a la elipse ε0 con centro(0, 0) y semiejes de longitudes

√a y√b entonces d = d2

0 es lamenor raíz no negativa del polinomio F [x0,y0]

[a,b] (d)




F[x0,y0][a,b] (d) =

= (a− b)2d4

+2(a− b)(b2 + 2x20b+ y2

0b− 2ay20 − a2 − x2

0a)d3

+(y40b

2 − 8y20ba

2 − 6b2a2 + 6a3y20 − 2x2

0a3 + a4 + 6x2

0y20b

2 − 2y20b

3

+6y40a

2 + 4x20a

2b+ 2b3a+ 6x20y

20a

2 + 2a3b− 6x40ab+ 4y2

0b2a

+6x40b

2 + 4x40a

2 + 6b3x20 − 10x2

0y20ab+ b4 − 8x2

0ab2 − 6y4

0ab)d2

−2(ab4 + y40 − a2b3 + a4b+ 2y6

0a2 + 2b2x6

0 − a3b2 − bx20ay

40

−bx40ay

20 + 3x2

0ay20b

2 + 3x20a

2y20b− by6

0a+ b2y40x

20 + 3x4

0b3

+3y40a

3 + x20b

4 + x40a

2y20 − bx6

0a− 5x40ab

2 + 3b2y20x

40 + 3y4

0ab2

−2x20a

3u20 + 3x4

0a2b+ 3x2

0b2y2

0 − 2x20ab

3 − 2y20a

3b− 3y20ab

3

−3x20a

3b− 2x20b

3y20 − 5y4

0a2b+ 4x2

0a2b2 + 4y2

0a2b2)d

+(x40 + 2x2

0b+ b2 − 2x20a− 2ba+ a2 + y4

0 + 2x20y

20 − 2y2

0b+ 2ay20)·

(bx20 + ay2

0 − ba)2 ==∑4k=0 h

[a,b]k (x0, y0)dk




Aclaraciones al teorema

La mayor raíz real de F [x0,y0][a,b] (d) es el cuadrado de la

distancia máxima entre (x0, y0) y ε0.Si x0 es un foco de ε0

F[√a−b,0]

[a,b] (d) = (a− b)2d2(d2 + 2(b− 2a)d+ b2)⇒ d = (

√a−√a− b)2, (

√a+√a− b)2

En el caso de una circunferencia a = b = R2 y sid = d2

0

F[√

a−b,0][a,b]

(d20) = R4(y20 + x20)2·

· (d20 + 2Rd0 +R2 − y20 − x20)(d20 − 2Rd0 +R2 − y20 − x2

0)

⇒ d0 =

∣∣∣∣R−√y20 + x20

∣∣∣∣Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09



Distancia entre dos elipses

Sea ε1 una elipse disjunta con ε0, dada por la parametrizaciónx = α(s), y = β(s), s ∈ [0, 2π). Entonces

d(ε0, ε1) = min{√

(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 : (xi, yi) ∈ εi, i = 1, 2}

es la raíz cuadrada de la menor raíz no negativa de lafamilia de polinomios univariados F

[α(s),β(s)][a,b] (d)




Distancia entre dos elipses

Para hallar d(ε0, ε1) consideramos dos posibilidades:d es el menor real positivo tal que existe s ∈ [0, 2π)solución de{

F[α(s),β(s)][a,b] =

∑4k=0 h

[a,b]k (α(s), β(s))dk = 0

F̄[α(s),β(s)][a,b] :=

∑4k=0

∂∂sh

[a,b]k (α(s), β(s))dk = 0

d se determina a través del análisis de la curvaimplícita F

[α(s),β(s)][a,b] = 0




Primer caso

Como α(s) y β(s) son lineales en cos(s) y sin(s) la pregunta seconvierte en un problema algebraico (al igual que en el casopunto-elipse) mediante el cambio de variable

cos s =12

(w +

1w

), sin s =

12i

(w − 1

w

)y luego usando resultantes para eliminar w.Obtenemos un polinomio univariado de grado 60, Gε1ε0 , cuyamenor raíz positiva es el cuadrado de d(ε0, ε1).Gε1ε0 depende sólo de los parámetros que definen ε0 y ε1




Segundo caso

d se determina a través del análisis de la curva implícitaF

[α(s),β(s)][a,b] = 0 en la región d ≥ 0 y s ∈ [0, 2π). Para aplicar el

algoritmo dado en L. GONZALEZ-VEGA, I. NÉCULA, Efficienttopology determination of implicitly defined algebraic planecurves. Computer Aided Geometric Design, 19: 719-743, 2002,usamos el cambio de coordenadas:

cos s =1− u2

1 + u2sin s =

2u1 + u2

y la curva algebraica plana ral F [α(s),β(s)][a,b] = 0 se estudia en

d ≥ 0, u ∈ R




Ejemplo

Consideremos ε0 y ε1. ε0 con centro (0, 0) y semiejes delongitudes 3 y 2. ε1 centrada en (2,−3) y semiejes, paralelos alos ejes coordenados, con longitudes 2 y 1




Ejemplo




Ejemplo

La mínima distancia se obtiene calculando las raíces reales delpolinomio:

Gε1ε0

(d) = k1d4(d12−216d11+...)(d2−54d+1053)2(d2−52d+1700)2(k2d

12+k3d11+...)3

donde los ki son números reales

El factor simple de grado 12 es el que aporta la mayor ymenor raíz real de Gε1

ε0(d). Aún no está claro el carácter

general de esta descomposición




Trabajo futuro

Estudio del caso dinámicoGeneralización a elipsoidesElipses no-coplanariasAnálisis de otras cónicas



ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro

Índice






Problema

La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp.elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuandoéstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largode la recta determinada por sus centros




Problema

La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp.elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuandoéstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largode la recta determinada por sus centros

Aparece en el estudio del problema del cálculo de la distanciadel “closest approach of hard particles” que es un problemaclave en algunas áreas de la Física como la modelización ysimulación de sistemas de partículas anisométricas, como loscristales líquidos, o en el caso del análisis de interferenciasentre moléculas




Trabajo previo

Un método que resuelve el problema anterior en el caso de doselipses rígidas está descrito en

X. ZHENG, P. PALFFY-MUHORAY, Distance of closestapproach of two arbitrary hard ellipses in two dimensions,Physical Review, E 75, 061709,2007

Se obtiene una expresión analítica para la distancia “closestapproach” en función de su orientación relativa respecto de larecta determinada por los centros




Trabajo previo

Se afirma que: “[...]this problem seems simple enough for ahighschool geometry homework assignment. Furtherconsideration shows, however, that it is not simple at all. A prizefor its solution was informally announced at the Liquid CrystalGordon Conference in 1983 attended by W. M. Gelbart and R.B. Meyer; this, however, did not generate a solution. J. Vieillard-Baron, an early worker on this problem, was reportedly greatlydisturbed by the difficulties he encountered[...]”




Trabajo previo

Pasos del método:1 Se consideran dos elipses separadas2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta

determinanda por ambos centros hasta que son tangentesexteriores

3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros endicho instante

4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculoy una elipse

5 Cálculo de la distancia d′ de “closest approach” entre elcírculo y la elipse

6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de laselipses iniciales mediante la transformación inversa




Trabajo previo

Pasos del método:1 Se consideran dos elipses separadas2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta

determinanda por ambos centros hasta que son tangentesexteriores

3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros endicho instante

4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculoy una elipse⇒ “Anisotropic scaling”

5 Cálculo de la distancia d′ de “closest approach” entre elcírculo y la elipse

6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de laselipses iniciales mediante la transformación inversa




Trabajo previo

Trabajar con “anisotropic scaling” y la transformación inversarequiere del cálculo de los vectores y valores propios de lamatriz de la transformación

Buscamos evitar dicho cálculo





Usamos los resultados mostrados en:

F. ETAYO, L. GONZÁLEZ-VEGA, N. DEL RÍO, A new approach tocharacterizing the relative position of two ellipses depending onone parameter, Computed Aided Geometric Desing 23,324-350, 2006

W. WANG, R. KRASAUSKAS, Interference analysis of conics andquadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003

W. WANG, J. WANG, M. S. KIM, An algebraic condition for theseparation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing18, 531-539, 2001





Siguiendo la notación de los autores, definimos el polinomiocaracterístico del haz determinado por dos elipses (resp.elipsoides)

DefiniciónSean A y B dos elipses (resp. elipsoides) dadas por lasecuaciones XTAX = 0 y XTBX = 0 resp. El polinomio degrado 3 (resp. 4)

f(λ) = det(λA+B)

se denomina polinomio característico del haz λA+B





W. WANG, R. KRASAUSKAS, Interference analysis of conics andquadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003

W. WANG, J. WANG, M. S. KIM, An algebraic condition for theseparation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing18, 531-539, 2001

Caracterizan completamente la intersección de dos elipsoides entérminos del signo de las raíces reales del polinomio característicoen el caso que ambos elipsoides puedan ser separados por un plano





Más aún:

Dos elipsoides están separados si y sólo si su polinomiocaracterístico tiene dos raíces reales positivas distintasSu ecuación característica siempre tiene al menos dosraíces negativasLos elipsoides son tangentes exteriores si y sólo si laecuación característica tiene una raíz doble positiva





F. ETAYO, L. GONZÁLEZ-VEGA, N. DEL RÍO, A new approach tocharacterizing the relative position of two ellipses depending on oneparameter, Computed Aided Geometric Desing 23, 324-350, 2006

Proporciona una caracterización equivalente para el caso de dos elipses

De hecho se caracterizan las diez posiciones relativas de dos elipsesmediante herramientas de Geometría Algebraica Real, ÁlgebraComputacional y Geometría Proyectiva (sucesiones de Sturm-Habitch y laclasificacion de haces de cónicas en P2(R)). Cada una se determinamediante un conjunto de igualdades y desigualdades que dependen sólo delas matrices de las cónicas





Empleamos la anterior caracterización para resolver elproblema

Obtenemos una fórmula cerrada para el polinomio S(t)(dependiente sólo de los parámetros de la elipse) cuya menorraíz real proporcione la distancia “closest approach”. Veremosque esto es generalizable de forma natural al caso de loselipsoides




Consideremos dos elipses coplanarias dadas por lasecuaciones:

E1 ={

(x, y) ∈ R2 :x2

a+y2

b− 1 = 0

}

E2 ={

(x, y) ∈ R2 : a11x2 + a22y

2 + 2a12xy + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0}




Configuración de las elipses




Ecuación de una elipse que se mueve E1(t) a lo largo de larecta definida por los centros:

E1(t) ={

(x, y) ∈ R2 :(x− pt)2

a+

(y − qt)2

b− 1 = 0

}donde

p =a22a13 − a12a23

a212 − a11a22

q =a11a23 − a12a13

a212 − a11a22




El polinomio característico del haz λA2 +A1(t):

H(t;λ) = det(λA2 +A1(t)) = h3(t)λ3 + h2(t)λ2 + h1(t)λ+ h0(t)

La situación de tangencia exterior tiene lugar cuando H(t;λ)tiene una raíz real positiva doble: la ecuación que nosproporciona el valor buscado de t, t0, es S(t) = 0 donde

S(t) = discλH(t;λ) = s8t8+s7t7+s6t6+s5t5+s4t4+s3t6+s2t4+s1t2+s0




Distancia “closest approach” de dos elipses separadas

TeoremaDadas dos elipses separadas E1 y E2 la distancia “closestapproach” es

d = t0√p2 + q2

donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλH(t;λ),H(t;λ) es el polinomio característico del haz que definen, y(p, q) es el centro de E2




Ejemplo

Sean A y B las elipses:

A :={

(x, y) ∈ R2 : x2 +12y2 − 1 = 0

}B :=

{(x, y) ∈ R2 : 9x2 + 4y2 − 54x− 32y + 109 = 0

}A centrada en el origen y semiejes de longitudes 1 y 1√

2.

B con centro en (3, 4) y semiejes de longitudes 2 y 3




Posición de las elipses A (azul) y B (verde)




Ejemplo

Hacemos que el centro de la primera se mueva a lo largo de larecta que pasa por los centros

A(t) :={

(x, y) ∈ R2 : (x− 3t)2 +(y − 4t)2

2− 1 = 0

}

Polinomio característico del haz λB +A(t):

HBA(t)(t;λ) = λ3 +

(−17

36 t2 + 17

18 t−524

)λ2+(

− 23648 −

1452592 t

2 + 1451296 t

)λ+ 1

2592




Ejemplo

Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instantet = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores:

SBA(t)(t) = − 25124380621568 t+ 115599091

8707129344 t2 + 1478946641

34828517376 t4−

2667046818707129344 t

3 + 554711632902376448 t

6 − 1589718674353564672 t

5+6076225

8707129344 t8 − 6076225

1088391168 t7 + 40111

136048896




Ejemplo

Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instantet = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores:

SBA(t)(t) = − 25124380621568 t+ 115599091

8707129344 t2 + 1478946641

34828517376 t4−

2667046818707129344 t

3 + 554711632902376448 t

6 − 1589718674353564672 t

5+6076225

8707129344 t8 − 6076225

1088391168 t7 + 40111

136048896

Las cuatro raíces reales de SBA(t)(t) son:

t0 = 0.2589113100, t1 = 0.7450597195,t2 = 1.254940281, t3 = 1.741088690




Posiciones de A(t) (azul) y B (verde)

t = t0 t = t1




Positions of A(t) (blue) and B (green)

t = t2 t = t3




Sean A1 y A2 dos matrices simétricas definidas positivas que definenlos elipsoides separados E1 y E2 como XTA1X = 0 y XTA2X = 0donde XT = (x, y, z, 1), y

A1 =

1a 0 0 00 1

b 0 00 0 1

c 00 0 0 −1

A2 =

a11 a12 a13 a14

a12 a22 a23 a24

a13 a23 a33 a34

a14 a24 a34 a44

i.e.,

E1 ={

(x, y, z) ∈ R3 :x2

a+y2

b+z2

c− 1 = 0

}

E2 ={

(x, y, z) ∈ R3 :a11x

2 + a22y2 + a33z

2 + 2a12xy + 2a13xz+2a23yz + 2a14x+ 2a24y + 2a34z + a44 = 0

}




Configuración de los elipsoides




Polinomio característico

E1(t) ={

(x, y, z) ∈ R3 :(x− txc)2

a+

(y − tyc)2

b+

(z − tzc)2

c− 1 = 0

}Para encontrar el valor de t, t0, en el que los elipsoides sontangentes exteriores, tenemos que comprobar si el polinomioH(t;λ) = det(E1(t) + λE2), de grado 4, tiene una raíz real doble.Esto es, calcular las raíces de un polinomio de grado 12:

S(t) = discλ(H(t, λ)) = s12t12 + ...+ s0




Distancia “closest approach” de dos elipsoides

TeoremaDados dos elipsoides E1 y E2 separados, la distancia “closestapproach” está dada por

d = t0√x2c + y2

c + z2c

donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλH(t;λ),H(t;λ) es el polinomio característico del haz que definen, y(xc, yc, zc) es el centro de E2




Ejemplo

Sean E1(t) y E2 los elipsoides:

E1 :=

{(x, y, z) ∈ R3 :

1

4x2 +

1

2y2 + z2 − 1 = 0

}

E2 :=

{(x, y, z) ∈ R3 :

1

5x2 − 2 x +

1

4y2 − 3 y +

51

2+

1

2z2 − 5 z = 0

}

E1(t) :=

{(x, y, z) ∈ R3 :

1

4x2 +

1

2y2 + z2 − 5

2tx− 6 ty − 10 tz − 1 +

197

4t2 = 0

}




Configuración de los elipsoides E1 (azul) y E2 (verde)




Ejemplo

Polinomio característico de E2 y E1(t):

HE2E1(t)

(t;λ) = λ4 − 43λ3 − 1974 λ3t2 − 301

2 λ2 − 6594 λ2t2 + 197

2 λ3t−2372 λ− 265

2 λ t2 + 6592 λ2t+ 5 + 265λ t




Ejemplo

Polinomio SE2E1(t)(t) cuya menor raíz real corresponde al instante t = t0

cuando los elipsoides son tangentes:

SE2(t)

E1(t) = 166411024

(t− 1)4(2725362025t8 − 21802896200t7 + 75970256860t6−150580994360t5 + 185680506596t4 − 145836126384t3+71232102544t2 − 19777044480t + 2388833408)

Las cuatro raíces reales de SE2E1(t)(t) que determinan los cuatro puntos de

tangencia provienen todas del factor de grado 8:

t0 = 0.6620321914, t1 = 0.6620321914t2 = 1.033966297, t3 = 1.337967809




Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t0




Algunas configuraciones geométricas de las cuádricas ycónicas objeto de nuestro estudio parecen estar relacionadascon descomposiciones especialmente simétricas o simples delos polinomios involucrados en el cálculo de las distanciasentre ellas

Estamos trabajando en la interpretación algebraico-geométricade dichas situaciones




¡Muchas gracias!


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