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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
Closed formulae for distance functionsinvolving ellipses
Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses
Gema R. Quintana Portilla
Tesis del Máster en Matemáticas y ComputaciónDirigida por D. Fernando Etayo y D. Laureano Glez-Vega
Curso 2008-2009
Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
Objetivo
Estudiaremos dos problemas relacionados con la obtención defórmulas cerradas para la determinación de la función distanciaentre objetos definidos por ecuaciones de grado bajo:
Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo dela distancia mínima entre dos elipsesDeterminación de una fórmula cerrada para el cálculo dela denominada closest approach entre dos elipses oelipsoides
Ambos problemas son de gran interés en el ámbito delmodelado geométrico y en CAGD
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
Índice
1 Distancia entre dos elipsesProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
2 Distancia “closest-approach”ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
Índice
1 Distancia entre dos elipsesProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
2 Distancia “closest-approach”ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
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ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
Introducción
Queremos calcular la distancia entre dos elipses coplanarias
La distancia mínima entre un punto y una elipse es un númeroreal positivo: buscamos obtenerlo como la raíz real de unpolinomio
Esta forma de caracterizar la distancia es independiente de losllamados “footpoints” y proporciona la distancia de formadirecta, pudiendo ser usada para analizar el caso dinámico
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ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
Aplicaciones
El cálculo de la mínima distancia entre dos elipses es unproblema fundamental en varios campos:
Detección de colisiones en robóticaAnálisis de interferencias en CAD/CAMInteracciones en Realidad VirtualJuegos de ordenadorAnálisis de órbitas (elipses no coplanarias)Interferencias entre moléculas en física computacional yquímica...
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ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
Trabajos previos
I. Z. EMIRIS, E. TSIGARIDAS, G. M. TZOUMAS. Thepredicates for the Voronoi diagram of ellipses. Proc. ACMSymp. Comput. Geom., 2006I. Z. EMIRIS, G. M. TZOUMAS. A Real-time and ExactImplementation of the predicates for the Voronoi Diagramfor parametric ellipses. Proc. ACM Symp. Solid PhysicalModelling, 2007C. LENNERZ, E. SCHÖMER. Efficient DistanceComputation for Quadratic Curves and Surfaces.Geometric Modelling and Processing Proceedings, 2002
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ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
Trabajos previos
J.-K. SEONG, D. E. JOHNSON, E. COHEN. A HigherDimensional Formulation for Robust and InteractiveDistance Queries. Proc. ACM Solid and PhysicalModeling, 2006K.A. SOHN, B. JÜTTLER, M.S. KIM, W. WANG.Computing the Distance Between Two Surfaces via LineGeometry. Proc. Tenth Pacific Conference on ComputerGraphics and Applications, 236-245, IEEE Press, 2002
Aspecto común: el problema se resuelve previo cálculo de los“footpoints”
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ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
Nuestra aproximación
El cálculo de la distancia mínima no depende de los“footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomiounivariado asociado a la distancia
Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinación de los mismos
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ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
Nuestra aproximación
El cálculo de la distancia mínima no depende de los“footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomiounivariado asociado a la distancia
Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinación de los mismos¿Alguna ventaja?
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ProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
Nuestra aproximación
El cálculo de la distancia mínima no depende de los“footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomiounivariado asociado a la distancia
Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinación de los mismos¿Alguna ventaja?
La distancia se comporta de forma continua, mientras que los“footpoints” no
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Distancia punto-elipse
Sean las ecuaciones paramétricas de la elipse ε0:
x =√a cos t, y =
√b sin t, t ∈ [0, 2π)
Construyamos la función fd cuyo mínimo positivo, d, nosproporcione el cuadrado de la distancia entre el punto (x0, y0) yla elipse:
fd := (x0 −√a cos t)2 + (y0 −
√b sin t)2 − d
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Distancia punto-elipse
Queremos resolver el sistema:fd(t) = 0
∂fd
∂t(t) = 0
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Distancia punto-elipse
Queremos resolver el sistema:fd(t) = 0
∂fd
∂t(t) = 0
Hay dos posibilidades para el cambio de variable:racionalcomplejo
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Distancia punto-elipse
Cambio de variable racional:
cos t = 1−t21+t2
sin t = 2t1+t2
Desventaja: más complicado
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Distancia punto-elipse
Cambio de variable racional:
cos t = 1−t21+t2
sin t = 2t1+t2
Desventaja: más complicado
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Distancia punto-elipse
Como z = cos t+ i sin t, z = 1z , luego podemos usar el cambio:
sin t = z− 1z
2i
cos t = z+ 1z
2
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Distancia punto-elipse
El nuevo sistema resulta:
(b− a)z4 + 2(x0
√a− iy0
√b)z3 − 2(x0
√a+ iy0
√b)z + a− b = 0
(b− a)z4 − 4(x0√a− iy0
√b)z3 − 2(2(x2
0 + y20 − d))z2+
+4(x0√a+ iy0
√b)z + b− a = 0
Usando resultantes eliminamos la veriable z
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Distancia punto-elipse
TeoremaSi d0 es la distancia del punto (x0, y0) a la elipse ε0 con centro(0, 0) y semiejes de longitudes
√a y√b entonces d = d2
0 es lamenor raíz no negativa del polinomio F [x0,y0]
[a,b] (d)
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F[x0,y0][a,b] (d) =
= (a− b)2d4
+2(a− b)(b2 + 2x20b+ y2
0b− 2ay20 − a2 − x2
0a)d3
+(y40b
2 − 8y20ba
2 − 6b2a2 + 6a3y20 − 2x2
0a3 + a4 + 6x2
0y20b
2 − 2y20b
3
+6y40a
2 + 4x20a
2b+ 2b3a+ 6x20y
20a
2 + 2a3b− 6x40ab+ 4y2
0b2a
+6x40b
2 + 4x40a
2 + 6b3x20 − 10x2
0y20ab+ b4 − 8x2
0ab2 − 6y4
0ab)d2
−2(ab4 + y40 − a2b3 + a4b+ 2y6
0a2 + 2b2x6
0 − a3b2 − bx20ay
40
−bx40ay
20 + 3x2
0ay20b
2 + 3x20a
2y20b− by6
0a+ b2y40x
20 + 3x4
0b3
+3y40a
3 + x20b
4 + x40a
2y20 − bx6
0a− 5x40ab
2 + 3b2y20x
40 + 3y4
0ab2
−2x20a
3u20 + 3x4
0a2b+ 3x2
0b2y2
0 − 2x20ab
3 − 2y20a
3b− 3y20ab
3
−3x20a
3b− 2x20b
3y20 − 5y4
0a2b+ 4x2
0a2b2 + 4y2
0a2b2)d
+(x40 + 2x2
0b+ b2 − 2x20a− 2ba+ a2 + y4
0 + 2x20y
20 − 2y2
0b+ 2ay20)·
(bx20 + ay2
0 − ba)2 ==∑4k=0 h
[a,b]k (x0, y0)dk
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Aclaraciones al teorema
La mayor raíz real de F [x0,y0][a,b] (d) es el cuadrado de la
distancia máxima entre (x0, y0) y ε0.Si x0 es un foco de ε0
F[√a−b,0]
[a,b] (d) = (a− b)2d2(d2 + 2(b− 2a)d+ b2)⇒ d = (
√a−√a− b)2, (
√a+√a− b)2
En el caso de una circunferencia a = b = R2 y sid = d2
0
F[√
a−b,0][a,b]
(d20) = R4(y20 + x20)2·
· (d20 + 2Rd0 +R2 − y20 − x20)(d20 − 2Rd0 +R2 − y20 − x2
0)
⇒ d0 =
∣∣∣∣R−√y20 + x20
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Distancia entre dos elipses
Sea ε1 una elipse disjunta con ε0, dada por la parametrizaciónx = α(s), y = β(s), s ∈ [0, 2π). Entonces
d(ε0, ε1) = min{√
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 : (xi, yi) ∈ εi, i = 1, 2}
es la raíz cuadrada de la menor raíz no negativa de lafamilia de polinomios univariados F
[α(s),β(s)][a,b] (d)
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Distancia entre dos elipses
Para hallar d(ε0, ε1) consideramos dos posibilidades:d es el menor real positivo tal que existe s ∈ [0, 2π)solución de{
F[α(s),β(s)][a,b] =
∑4k=0 h
[a,b]k (α(s), β(s))dk = 0
F̄[α(s),β(s)][a,b] :=
∑4k=0
∂∂sh
[a,b]k (α(s), β(s))dk = 0
d se determina a través del análisis de la curvaimplícita F
[α(s),β(s)][a,b] = 0
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Primer caso
Como α(s) y β(s) son lineales en cos(s) y sin(s) la pregunta seconvierte en un problema algebraico (al igual que en el casopunto-elipse) mediante el cambio de variable
cos s =12
(w +
1w
), sin s =
12i
(w − 1
w
)y luego usando resultantes para eliminar w.Obtenemos un polinomio univariado de grado 60, Gε1ε0 , cuyamenor raíz positiva es el cuadrado de d(ε0, ε1).Gε1ε0 depende sólo de los parámetros que definen ε0 y ε1
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Segundo caso
d se determina a través del análisis de la curva implícitaF
[α(s),β(s)][a,b] = 0 en la región d ≥ 0 y s ∈ [0, 2π). Para aplicar el
algoritmo dado en L. GONZALEZ-VEGA, I. NÉCULA, Efficienttopology determination of implicitly defined algebraic planecurves. Computer Aided Geometric Design, 19: 719-743, 2002,usamos el cambio de coordenadas:
cos s =1− u2
1 + u2sin s =
2u1 + u2
y la curva algebraica plana ral F [α(s),β(s)][a,b] = 0 se estudia en
d ≥ 0, u ∈ R
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Ejemplo
Consideremos ε0 y ε1. ε0 con centro (0, 0) y semiejes delongitudes 3 y 2. ε1 centrada en (2,−3) y semiejes, paralelos alos ejes coordenados, con longitudes 2 y 1
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
La mínima distancia se obtiene calculando las raíces reales delpolinomio:
Gε1ε0
(d) = k1d4(d12−216d11+...)(d2−54d+1053)2(d2−52d+1700)2(k2d
12+k3d11+...)3
donde los ki son números reales
El factor simple de grado 12 es el que aporta la mayor ymenor raíz real de Gε1
ε0(d). Aún no está claro el carácter
general de esta descomposición
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Trabajo futuro
Estudio del caso dinámicoGeneralización a elipsoidesElipses no-coplanariasAnálisis de otras cónicas
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Índice
1 Distancia entre dos elipsesProblemaNuestra aproximaciónEjemploTrabajo futuro
2 Distancia “closest-approach”ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Problema
La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp.elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuandoéstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largode la recta determinada por sus centros
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Problema
La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp.elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuandoéstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largode la recta determinada por sus centros
Aparece en el estudio del problema del cálculo de la distanciadel “closest approach of hard particles” que es un problemaclave en algunas áreas de la Física como la modelización ysimulación de sistemas de partículas anisométricas, como loscristales líquidos, o en el caso del análisis de interferenciasentre moléculas
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Trabajo previo
Un método que resuelve el problema anterior en el caso de doselipses rígidas está descrito en
X. ZHENG, P. PALFFY-MUHORAY, Distance of closestapproach of two arbitrary hard ellipses in two dimensions,Physical Review, E 75, 061709,2007
Se obtiene una expresión analítica para la distancia “closestapproach” en función de su orientación relativa respecto de larecta determinada por los centros
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Trabajo previo
Se afirma que: “[...]this problem seems simple enough for ahighschool geometry homework assignment. Furtherconsideration shows, however, that it is not simple at all. A prizefor its solution was informally announced at the Liquid CrystalGordon Conference in 1983 attended by W. M. Gelbart and R.B. Meyer; this, however, did not generate a solution. J. Vieillard-Baron, an early worker on this problem, was reportedly greatlydisturbed by the difficulties he encountered[...]”
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Trabajo previo
Pasos del método:1 Se consideran dos elipses separadas2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta
determinanda por ambos centros hasta que son tangentesexteriores
3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros endicho instante
4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculoy una elipse
5 Cálculo de la distancia d′ de “closest approach” entre elcírculo y la elipse
6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de laselipses iniciales mediante la transformación inversa
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Trabajo previo
Pasos del método:1 Se consideran dos elipses separadas2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta
determinanda por ambos centros hasta que son tangentesexteriores
3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros endicho instante
4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculoy una elipse⇒ “Anisotropic scaling”
5 Cálculo de la distancia d′ de “closest approach” entre elcírculo y la elipse
6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de laselipses iniciales mediante la transformación inversa
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Trabajo previo
Trabajar con “anisotropic scaling” y la transformación inversarequiere del cálculo de los vectores y valores propios de lamatriz de la transformación
Buscamos evitar dicho cálculo
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Nuestra aproximación
Usamos los resultados mostrados en:
F. ETAYO, L. GONZÁLEZ-VEGA, N. DEL RÍO, A new approach tocharacterizing the relative position of two ellipses depending onone parameter, Computed Aided Geometric Desing 23,324-350, 2006
W. WANG, R. KRASAUSKAS, Interference analysis of conics andquadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003
W. WANG, J. WANG, M. S. KIM, An algebraic condition for theseparation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing18, 531-539, 2001
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Nuestra aproximación
Siguiendo la notación de los autores, definimos el polinomiocaracterístico del haz determinado por dos elipses (resp.elipsoides)
DefiniciónSean A y B dos elipses (resp. elipsoides) dadas por lasecuaciones XTAX = 0 y XTBX = 0 resp. El polinomio degrado 3 (resp. 4)
f(λ) = det(λA+B)
se denomina polinomio característico del haz λA+B
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Nuestra aproximación
W. WANG, R. KRASAUSKAS, Interference analysis of conics andquadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003
W. WANG, J. WANG, M. S. KIM, An algebraic condition for theseparation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing18, 531-539, 2001
Caracterizan completamente la intersección de dos elipsoides entérminos del signo de las raíces reales del polinomio característicoen el caso que ambos elipsoides puedan ser separados por un plano
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Nuestra aproximación
Más aún:
Dos elipsoides están separados si y sólo si su polinomiocaracterístico tiene dos raíces reales positivas distintasSu ecuación característica siempre tiene al menos dosraíces negativasLos elipsoides son tangentes exteriores si y sólo si laecuación característica tiene una raíz doble positiva
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Nuestra aproximación
F. ETAYO, L. GONZÁLEZ-VEGA, N. DEL RÍO, A new approach tocharacterizing the relative position of two ellipses depending on oneparameter, Computed Aided Geometric Desing 23, 324-350, 2006
Proporciona una caracterización equivalente para el caso de dos elipses
De hecho se caracterizan las diez posiciones relativas de dos elipsesmediante herramientas de Geometría Algebraica Real, ÁlgebraComputacional y Geometría Proyectiva (sucesiones de Sturm-Habitch y laclasificacion de haces de cónicas en P2(R)). Cada una se determinamediante un conjunto de igualdades y desigualdades que dependen sólo delas matrices de las cónicas
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
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Empleamos la anterior caracterización para resolver elproblema
Obtenemos una fórmula cerrada para el polinomio S(t)(dependiente sólo de los parámetros de la elipse) cuya menorraíz real proporcione la distancia “closest approach”. Veremosque esto es generalizable de forma natural al caso de loselipsoides
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Consideremos dos elipses coplanarias dadas por lasecuaciones:
E1 ={
(x, y) ∈ R2 :x2
a+y2
b− 1 = 0
}
E2 ={
(x, y) ∈ R2 : a11x2 + a22y
2 + 2a12xy + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0}
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Configuración de las elipses
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Ecuación de una elipse que se mueve E1(t) a lo largo de larecta definida por los centros:
E1(t) ={
(x, y) ∈ R2 :(x− pt)2
a+
(y − qt)2
b− 1 = 0
}donde
p =a22a13 − a12a23
a212 − a11a22
q =a11a23 − a12a13
a212 − a11a22
Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
El polinomio característico del haz λA2 +A1(t):
H(t;λ) = det(λA2 +A1(t)) = h3(t)λ3 + h2(t)λ2 + h1(t)λ+ h0(t)
La situación de tangencia exterior tiene lugar cuando H(t;λ)tiene una raíz real positiva doble: la ecuación que nosproporciona el valor buscado de t, t0, es S(t) = 0 donde
S(t) = discλH(t;λ) = s8t8+s7t7+s6t6+s5t5+s4t4+s3t6+s2t4+s1t2+s0
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Distancia “closest approach” de dos elipses separadas
TeoremaDadas dos elipses separadas E1 y E2 la distancia “closestapproach” es
d = t0√p2 + q2
donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλH(t;λ),H(t;λ) es el polinomio característico del haz que definen, y(p, q) es el centro de E2
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Ejemplo
Sean A y B las elipses:
A :={
(x, y) ∈ R2 : x2 +12y2 − 1 = 0
}B :=
{(x, y) ∈ R2 : 9x2 + 4y2 − 54x− 32y + 109 = 0
}A centrada en el origen y semiejes de longitudes 1 y 1√
2.
B con centro en (3, 4) y semiejes de longitudes 2 y 3
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Posición de las elipses A (azul) y B (verde)
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Ejemplo
Hacemos que el centro de la primera se mueva a lo largo de larecta que pasa por los centros
A(t) :={
(x, y) ∈ R2 : (x− 3t)2 +(y − 4t)2
2− 1 = 0
}
Polinomio característico del haz λB +A(t):
HBA(t)(t;λ) = λ3 +
(−17
36 t2 + 17
18 t−524
)λ2+(
− 23648 −
1452592 t
2 + 1451296 t
)λ+ 1
2592
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Ejemplo
Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instantet = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores:
SBA(t)(t) = − 25124380621568 t+ 115599091
8707129344 t2 + 1478946641
34828517376 t4−
2667046818707129344 t
3 + 554711632902376448 t
6 − 1589718674353564672 t
5+6076225
8707129344 t8 − 6076225
1088391168 t7 + 40111
136048896
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Ejemplo
Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instantet = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores:
SBA(t)(t) = − 25124380621568 t+ 115599091
8707129344 t2 + 1478946641
34828517376 t4−
2667046818707129344 t
3 + 554711632902376448 t
6 − 1589718674353564672 t
5+6076225
8707129344 t8 − 6076225
1088391168 t7 + 40111
136048896
Las cuatro raíces reales de SBA(t)(t) son:
t0 = 0.2589113100, t1 = 0.7450597195,t2 = 1.254940281, t3 = 1.741088690
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Posiciones de A(t) (azul) y B (verde)
t = t0 t = t1
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Positions of A(t) (blue) and B (green)
t = t2 t = t3
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Sean A1 y A2 dos matrices simétricas definidas positivas que definenlos elipsoides separados E1 y E2 como XTA1X = 0 y XTA2X = 0donde XT = (x, y, z, 1), y
A1 =
1a 0 0 00 1
b 0 00 0 1
c 00 0 0 −1
A2 =
a11 a12 a13 a14
a12 a22 a23 a24
a13 a23 a33 a34
a14 a24 a34 a44
i.e.,
E1 ={
(x, y, z) ∈ R3 :x2
a+y2
b+z2
c− 1 = 0
}
E2 ={
(x, y, z) ∈ R3 :a11x
2 + a22y2 + a33z
2 + 2a12xy + 2a13xz+2a23yz + 2a14x+ 2a24y + 2a34z + a44 = 0
}
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Configuración de los elipsoides
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Polinomio característico
E1(t) ={
(x, y, z) ∈ R3 :(x− txc)2
a+
(y − tyc)2
b+
(z − tzc)2
c− 1 = 0
}Para encontrar el valor de t, t0, en el que los elipsoides sontangentes exteriores, tenemos que comprobar si el polinomioH(t;λ) = det(E1(t) + λE2), de grado 4, tiene una raíz real doble.Esto es, calcular las raíces de un polinomio de grado 12:
S(t) = discλ(H(t, λ)) = s12t12 + ...+ s0
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Distancia “closest approach” de dos elipsoides
TeoremaDados dos elipsoides E1 y E2 separados, la distancia “closestapproach” está dada por
d = t0√x2c + y2
c + z2c
donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλH(t;λ),H(t;λ) es el polinomio característico del haz que definen, y(xc, yc, zc) es el centro de E2
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Ejemplo
Sean E1(t) y E2 los elipsoides:
E1 :=
{(x, y, z) ∈ R3 :
1
4x2 +
1
2y2 + z2 − 1 = 0
}
E2 :=
{(x, y, z) ∈ R3 :
1
5x2 − 2 x +
1
4y2 − 3 y +
51
2+
1
2z2 − 5 z = 0
}
E1(t) :=
{(x, y, z) ∈ R3 :
1
4x2 +
1
2y2 + z2 − 5
2tx− 6 ty − 10 tz − 1 +
197
4t2 = 0
}
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Configuración de los elipsoides E1 (azul) y E2 (verde)
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ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Ejemplo
Polinomio característico de E2 y E1(t):
HE2E1(t)
(t;λ) = λ4 − 43λ3 − 1974 λ3t2 − 301
2 λ2 − 6594 λ2t2 + 197
2 λ3t−2372 λ− 265
2 λ t2 + 6592 λ2t+ 5 + 265λ t
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Ejemplo
Polinomio SE2E1(t)(t) cuya menor raíz real corresponde al instante t = t0
cuando los elipsoides son tangentes:
SE2(t)
E1(t) = 166411024
(t− 1)4(2725362025t8 − 21802896200t7 + 75970256860t6−150580994360t5 + 185680506596t4 − 145836126384t3+71232102544t2 − 19777044480t + 2388833408)
Las cuatro raíces reales de SE2E1(t)(t) que determinan los cuatro puntos de
tangencia provienen todas del factor de grado 8:
t0 = 0.6620321914, t1 = 0.6620321914t2 = 1.033966297, t3 = 1.337967809
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t0
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t1
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t2
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t3
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Distancia entre dos elipsesDistancia “closest-approach”
ProblemaDistancia de “closest approach” de dos elipsesDistancia de “closest approach” de dos elipsoidesTrabajo futuro
Algunas configuraciones geométricas de las cuádricas ycónicas objeto de nuestro estudio parecen estar relacionadascon descomposiciones especialmente simétricas o simples delos polinomios involucrados en el cálculo de las distanciasentre ellas
Estamos trabajando en la interpretación algebraico-geométricade dichas situaciones
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¡Muchas gracias!
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