pres geometria prehispanica

Geometrıa prehispanica mixteca

Octavio Alberto Agustın Aquino

Universidad Tecnologica de la MixtecaInstituto de Fısica y Matematicas

2 de junio de 2006

O. A. Agustın Aquino (UTM-IFM) Geometrıa prehispanica mixteca 2 de junio de 2006 1 / 64

Parte I

De sabor clasico


Herramientas de dibujo

Cuando dibujamos, ¿que herramientas utilizamos? La respuesta esdiferente segun a quien le preguntemos.

Un griego de hace mas de dos mil anos, por ejemplo, dirıa quesolamente dos cosas: una regla sin marcas y un compas.

¿Y que se puede dibujar con solamente estos dos utensilios?


No todo es miel sobre hojuelas

Aunque se puede hacer mucho (dividir un segmento en cualquier numerode partes, bisecar angulos, trazar cuadrados y triangulos, etcetera), losgriegos pronto encontraron algunos problemas que parecıan sumamentedifıciles de realizar con solamente regla no graduada y compas.


Tres grandes problemas

Los griegos se plantearon tres cuestiones en particular que son de estanaturaleza.

1 Dado un cırculo de radio r , hallar el lado ` de un cuadrado de modoque tenga la misma area que el cırculo.

2 Dado la arista a de un cubo, hallar la arista a′ de un cubo con eldoble de volumen que el original.

3 Encontrar una construccion para trisecar un angulo cualquiera.


¡Imposible!

Muchos matematicos griegos intentaron resolver estos tres grandesproblemas, pero ninguno tuvo exito usando solamente regla no graduada ycompas.Varios siglos despues un frances, Evariste Galois, tuvo las brillantes ideasalgebraicas que nos permitieron demostrar que estos enigmas eranimposibles de resolver de esta manera.


Los polıgonos ¿tambien?

Los problemas anteriormente mencionados no son los unicosimposibles. Resulta que no todos los polıgonos regulares se puedentrazar. Uno de ellos es, por ejemplo, el heptagono.

De hecho, existe una bellısima caracterizacion en terminos de la teorıade numeros de los polıgonos que se pueden obtener y los que no.


Las hazanas geometricas prehispanicas

Sin embargo, los geometras precolombinos lograron dividir al cırculoen numeros de partes que son imposibles de lograr con solamenteregla no graduada y compas.

Hay quienes afirman incluso que tenıan los medios geometricossuficientes para trisecar un angulo cualquiera.

Si no se puede con el uso exclusivo de regla no graduada y compas...¿como lo hicieron entonces?


Lo constructible

Definicion

Dado S ⊂ C, diremos que una recta es constructible a partir de S si dicharecta pasa por dos puntos distintos en S. Igualmente, diremos que unacircunferencia es constructible si su centro esta en S y su radio coincidecon la distancia entre dos puntos de S.

&%'$r r

��

r


Lo constructible

Definicion

Sea S ⊂ C no vacıo. Diremos que P ∈ C es 1-constructible a partir de S sise puede obtener como interseccion de rectas o circunferenciasconstructibles a partir de S. En general, diremos que P es constructible apartir de S si existe una sucesion de puntos P1, . . . ,Pr ∈ C tales que Pk es1-constructible a partir de S ∪ {P1, . . . ,Pk−1} para n = 2, . . . , r .

&%'$r r

��

r&%'$

r 1-constructible

r r constructibles


Puntos de partida

Suponiendo que (0, 0), (0, 1) ∈ S , es posible demostrar que todopunto de coordenadas racionales es constructible a partir de S .

Este supuesto es razonable, pues a cualesquiera dos puntos en elplano es posible asignarle estas coordenadas.

Por lo tanto, supondremos de ahora en adelante que S = Q(i).


Un teorema importante

El siguiente teorema es fundamental para sustentar la teorıa. Observeseque, bajo nuestros supuestos, Q(i) es el menor cuerpo que contiene a lospuntos en S .

Teorema

Sea K0 el menor cuerpo que contiene a las coordenadas de los puntos enS, P = (x0, y0) ∈ C y definamos K1 = K0(x0, y0). El punto P es1-constructible a partir de S si, y solo si, x2

0 , y20 ∈ K0 y [K1 : K0] = 2ε,

donde ε = 0 o 1.



Necesidad.

Si P es la interseccion de dos rectas constructibles, es claro que P ∈ K0.En este caso no agregamos algo nuevo a K0, es decir, K1 = K0. Deaquı que [K1 : K0] = 1.Supongamos ahora que P es la interseccion de una recta

x − p

r − p=

y − q

s − q, (p, q), (r , s) ∈ S

con el cırculo

(x − t)2 + (y − u)2 = w2, (p, q), (r , s) ∈ S

donde w es la distancia entre dos puntos en S . Tenemos quep, q, r , s, t, u,w2 ∈ K0.



Necesidad.

La primera coordenada x0 de P es la raız del polinomio cuadratico

(x − t)2 +

(s − q

r − p(x − p) + (q − u)

)2

= w2,

lo que implica que o bien K1 = K0(x0) es un cuerpo distinto a K0 o biencoinciden. Como y0 ∈ K0(x0), se sigue que o bien [K1 : K0] = 1 o bien[K1 : K0] = 2, pues x0 es raız de un polinomio de grado 2.Finalmente, si P es la interseccion de dos circunferencias de ecuaciones C1

y C2, entonces ese punto esta en la interseccion del cırculo con ecuacionC1 y la recta con ecuacion C1 − C2. Este caso ya esta considerado, y lademostracion termina.



Suficiencia.

Si [K1 : K0] = 1, es claro que P es 1-constructible. Si [K1 : K0] = 2,entonces el polinomio mınimo de las coordenadas de P es monico y degrado 2. Pero la raız de cualquier numero en K0 se puede construir.

Por lo tanto, P es 1-constructible.


Y sus corolarios

Corolario

Sea K0 el menor cuerpo que contiene a S, P = (x0, y0) ∈ C y Kr = K0(P).El punto P es constructible a partir de S si, y solo si, existe una sucesionde puntos 1-constructibles P1, . . . ,Pn tal que P2

i+1 ∈ Q(P1, . . . ,Pi ) para1 ≤ i ≤ n − 1 y P es 1-constructible a partir de Q(P1, . . . ,Pn).

Corolario

Si P(x , y) es constructible, entonces el grado de x y y sobre Q es unapotencia de 2.


Triseccion de cualquier angulo... no

No podemos trisecar el angulo de 120◦. Su tercera parte es 40◦. Seaα = cos(40◦). Tenemos que 4α3 − 3α + 1

2 = 0, en virtud de la identidad

cos(3θ) = cos3(θ)−(

n

2

)cos θ sen2 θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.

y considerando ademas que cos(3× 40◦) = cos(120◦) = −12 . Por lo tanto

α es raız de 4X 3 − 3X + 12 , que se puede demostrar que es irreducible

sobre Q. Como es de grado impar, el grado de la extension de campo sobresus raıces no es una potencia de 2. Entonces es imposible construircos(40◦), y en consecuencia no se puede trisecar a 120◦.


Un recıproco parcial

Para el caso de los polıgonos regulares no seran suficientes los resultadosanteriores, por lo que necesitamos este resultado (que no demostraremos).

Teorema

Sea K0 el menor cuerpo que contiene a las coordenadas de los puntos enP. Si P = (x , y) ∈ C es algebraico y la cerradura normal de K0(x , y) es degrado 2n para algun entero no negativo n, entonces P es constructible.

Una extension F : K es normal cuando existe un conjunto de polinomioscon coeficientes en K tales que todas sus raıces generan F.Si K0(x , y) es normal, entonces la cerradura normal de K0(x , y) : K0 esprecisamente K0(x , y).


Cortando cırculos

Definicion

Una n-ciclotomıa es un conjunto de puntos sobre una circunferencia quedeterminan un polıgono regular de n lados.

Consideraremos a una n-ciclotomıa como numeros complejos de la forma

Xk = cos

(2kπ

n

)+ i sen

(2kπ

n

), k = 0, . . . , n − 1.


Un grupo interesante

Por la identidad de De Moivre,

X nk = cos(2kπ) + i sen(2kπ) = 1, k = 0, . . . , n − 1.

Como todos los puntos X0, . . . ,Xn−1 son distintos, entonces todas lasraıces complejas del polinomio

f (X ) = X n − 1

nos dan puntos distintos sobre un polıgono regular. Ademas,{X0, . . . ,Xn−1} es un grupo bajo la multiplicacion de numeros complejos,y lo denotaremos por κ(n).


Raıces primitivas

Definicion

Se dice que ζ es una raız primitiva n-esima de la unidad si ζ genera aκ(n). Esto es, para cada t ∈ κ(n) existe u tal que ζu = t.

Recordemos dos enteros son primos relativos si no tienen un divisor comunaparte de 1, y que la funcion φ(n) de Euler esta definida como el numerode enteros primos relativos con n que son menores que n (incluıdo el 1).Por ejemplo: φ(6) = 3, pues 4 y 5 son primos relativos con 6 aparte del 1.

Teorema

Sea ζ una raız n-esima de la unidad sobre Q. Entonces [Q(ζ) : Q] = φ(n).


¿Que polıgonos regulares se pueden construir?

Teorema

Una n-ciclotomıa es constructible si, y solo si, n = 2rp1 · · · ps donde r ∈ Ny p1, . . . , ps son primos impares distintos de la forma 2t + 1.

Demostracion.

Si ζ es una raız primitiva n-esima de la unidad y n = 2rpa11 · · · pam

m ,entonces, por el teorema anterior,

[Q(ζ) : Q] = φ(n) =

{2r−1(p1 − 1)a1−1 · · · (pm − 1)am−1 r ≥ 1,

(p1 − 1)a1−1 · · · (pm − 1)am−1 r = 0,

El polinomio X n − 1 tiene todas sus raıces en Q(ζ). Puesto que φ(n) = 2k

para algun k entero si, y solo si, a1 = · · · = am = 1 y pi = 2ti + 1 paraalgunos ti enteros, el teorema se sigue.


Construccion de cualquier ciclotomıa... tampoco

Los numeros primos de la forma 2t + 1 se llaman primos de Fermat. Hastahoy, solo se sabe de la existencia de 5 de ellos: 3, 5, 17, 257 y 65537.El numero 7 es primo, y como no es primo de Fermat, no se puede dividiral cırculo en 7 partes iguales.

Ejercicio

Comprobar que pasa lo mismo para 9, 11, 13, 14, 48 y 260.


Una aproximacion a la geometrıa prehispanica

Por las piedras nahuas grabadas sabemos que los antiguos nahuaspudieron dividir al cırculo en 7 y 260 partes iguales, lo cual es imposiblecon el uso exclusivo de una regla graduada y un compas. En principio, nosabemos si tenıan instrumentos que funcionaran como reglas, aunque nolas necesitaban, segun el siguiente teorema.

Teorema (Mohr-Mascheroni)

Todos los problemas de construccion que se resuelven con ayuda decompas y regla, pueden resolverse con precision usando solamente uncompas.


El papel de los nuu savi

Hay poca documentacion sobre como resolvıan los problemas deciclotomıa los antiguos mesoamericanos. El unico codice que el autorconoce que en algo ayuda a resolver estos misterios es el codiceVindobonensis, de origen nuu savi.En los folios 5, 10, 11, 13, 14, 16, 18 y 20 aparecen personajes con actitudde medir usando un mecate. Por comunicacion personal con un habitantede Yuku Kimi de Ocampo, sabemos que aun se miden terrenos usandomecates.


El papel de los nuu savi

Es factible suponer que los antiguos nuu savi pudieran trazar cırculos, porla evidencia arqueologica hallada en la Tumba 7 de Monte Alban. Seentraron allı diversos ornamentos circulares obtenidos girando un punzonalrededor de un centro.La conjetura consiste en que los nuu savi (y quiza tambien los nahuas)medıan la circunferencia de la piedra con un mecate. Lo partıan en elnumero entero de partes requerido con solo un compas y marcaban eldisco en los puntos apropiados.


La construccion de Tales

A0 B = An

a a��

��

��*

C

Dn

aaD1a

A1 · · ·

· · · aAn−1

Dn−1

a

Figura: La particion del mecate es posible por medio de la construccion de Tales.


Otra posibilidad

No hay evidencia documental ni arqueologica de que los antiguos nuusavi o los nahuas conocieran la construccion de Tales.

Otra posibilidad es que fueran conscientes de que la razon delperımetro al diametro de una circunferencia arbitraria es unaconstante.

Podıan tomar un mecate que ya estuviera dividido en n partes (estoes facil de conseguir por medios mecanicos sin usar regla ni compas),y usando la constante y la longitud del mecate, era posible construirun disco de piedra cuya circunferencia se aproximara a la longitud delmecate. Despues simplemente se transfieren al disco los puntos queya se tenıan marcados en el mecate.


Otra posibilidad

Ca

Da��

D ′a

��

aA

aB

��B ′a

Figura: Construccion del diametro de un cırculo con circunferencia dada, cuando

se sabe que |AB||CD| = π.


Las ciclotomıas en el codice Vindobonensis

Cabe observar que la mayorıa de las ciclotomıas que aparecen en el codiceVindobonensis tienen 4, 8, 10, 12 y 15 puntos y todos ellas sonconstructibles. En el folio 23 del codice, sin embargo, aparece un ejemplode 48 puntos, mientras que en el folio 3 aparece otro de 14 puntos, yfinalmente en el folio 49 aparece una de 11 puntos; todos ellos no sonconstructibles.


Parte II

De sabor contemporaneo


La presencia del concepto de fractal

En esta seccion propongo que los antiguos nuu savi (o por lo menoslos ta’ani wisi taku, los filosofos-artistas que componıan los codices)ya poseıan el concepto de lo que en la matematica contemporanea seconoce como fractal.

El doctor Gerardo Burkle Elizondo, de la Universidad Autonoma deZacatecas ha realizado extensivas mediciones fractales de la esculturay ceramica mayas y mexicas; los resultados que ha obtenido son muysugestivos.


Mediciones fractales

“En mas de 130 figuras analizadas hasta ahora, que hemosdivido en 10 grupos:

1 Tableros de Palenque,2 Estelas mayas,3 Jeroglıficos mayas,4 Piramides mayas y mexicas,5 Paginas de codices diversos correspondientes a tonalamatl,6 Paginas diversas del codice Dresden,7 Monumentos de piedra (vista frontal),8 Piedras astronomicas circulares,9 Secciones de varios murales mesoamericanos y10 Vasos mayas y otras figuras,

todas han resultado con una dimension fractal alta, que de hechohasta ahora en nuestros resultados preliminares hemos podidoubicar en el rango entre 1.803 y 2.277, estando la mayorıa entre1.9 y 2.”


Hay que tomarlo con calma

En la escritura nuu savi, la posicion, forma, color y relacion entre loselementos intervienen en su semantica. Por lo tanto no hay otraforma de tratarlo mas que como una imagen.

De aquı que la dimension fractal de la escritura mixteca (si es que latiene) debe ser superior a 1.

Sin embargo, que los codices nuu savi tengan esta complejidadmanifestada en su dimension fractal, no significa que los nuu saviconocieran lo que nosotros denominamos como fractal. Aun ası, hayalgunas evidencias que tienen un peso considerable.


El Arbol de Apoala

En el folio 37 del codice Vindobonensis aparece lo que se muestra en lafigura. En la parte inferior, al centro, esta la representacion de lo que seconoce como el Arbol de Apoala, de donde los mitos dicen quedescendieron los primeros nuu savi.

Figura: Folio 37 del codice Vindobonensis.


El Arbol de Apoala

Si removemos los adornos propios del estilo, obtenemos esencialmente laestructuras presentes en la figura. En el lado izquierdo aparece con angulosrectos para asemejarse mas a la representacion del codice. No hay quealterarlo demasiado para llegar a lo que se ve en el lado derecho; bastadisminuir un poco los angulos entre las ramas.

Figura: Estructura del arbol de Apoala.


Una interpretacion

Observemos lo siguiente.

1 En el arbol, la ramificacion izquierda es mas larga que la derecha.2 En el subarbol izquierdo, el arbol se refleja y reescala, pues ahı la

rama derecha es mas larga que la rama izquierda.3 Una vez mas esto se repite en las dos ramificaciones pequenas, siendo

(como en el arbol mas grande) la ramificacion izquierda mas largaque la derecha.


Autosemejanza

Los objetos fractales son invariantes bajo las llamadastransformaciones de Hutchinson, que reescalan y copian una imagen.De hecho, a muchos tipos de fractales esta propiedad los caracterizacompletamente.

Son semejantes a sı mismos, en un forma parecida (aunque no igual)a la que lo son las grecas de Mitla.

Mas aun, los objetos fractales son los puntos fijos o atractores de losoperadores de Hutchinson, por lo cual tambien esta presente la ideade estabilidad.


Recursion escalada

Para trazar los arboles de la estructura del Arbol de Apoala.requerimos de un programa recursivo, donde cada paso se veıaafectado por un factor de escala menor que 1.

La misma idea tambien esta presente en la ciclicidad del calendario,donde los bucles se escalan en bucles sucesivamente mas grandes.

Una caracterıstica de la recursividad es que cada paso de larealizacion de un proceso depende del anterior.

El doctor Gerardo Burkle Elizondo atinadamente senala: “Si bien losfractales son recursivos, no toda geometrıa recursiva es fractal, puesse requiere que exista escalancia... en lo referente a los fractales, lasramificaciones del objeto varıan de acuerdo a leyes de potencia...”(Comunicacion personal).


Caos y complejidad

La manera en la que se construye cada paso de un objeto fractaldepende del paso anterior, por lo cual pequenas alteraciones en unode los pasos puede afectar de manera dramatica el resultado final,conduciendonos a una respuesta no lineal de un sistema.

Una medida de que tan complejo es un fractal es su dimension, lacual discutiremos mas adelante en la concepcion de Felix Hausdorff.


Un algoritmo

Algoritmo (Figura fractal semejante a un arbol)

Se invoca inicialmente como Apoala(r , `0, α), donde 0 < r < 1 es elfactor de escala, `0 es la longitud del tronco original y α es el angulo entreel tronco y las ramas.

1: funcion Apoala(r , `, α)2: si ` > 0.1 entonces3: Traza una rama avanzando ` y gira α grados a la derecha.4: Apoala(r , `r , α).5: Gira 2α grados a la izquierda.6: Apoala(r , `r , α).7: Retrocede `.8: fin si9: fin funcion


Transformaciones de Hutchinson

Supongase que se tiene un subconjunto compacto S de R2, y unoperador T que toma al conjunto, lo reescala en un factor 0 < k < 1y hace un “collage” de copias de S .

Un ejemplo de tal transformacion es la que genera la figura fractal delarbol: se toma al arbol, se escala en un factor r y se colocan doscopias de la reduccion como ramas del arbol. Una transformacioncomo T se llama tranformacion de Hutchinson.


Puntos fijos

Si T es una transformacion de Hutchinson, ¿tiene solucion laecuacion T (S) = S?

Eligiendo una metrica apropiada (la metrica de Hausdorff) para elconjunto de todos los subconjuntos compactos de R2, entonces lastransformaciones de Hutchinson son contracciones.

Ademas el conjunto de todos los subconjuntos compactos de R2 esun espacio metrico completo.

Por el teorema de contraccion de Banach obtenemos que T tiene unpunto fijo y que, ademas, es unico. Mas aun: si U ⊂ R2 es compactoentonces la sucesion T (U),T 2(U), . . . converge a dicho punto fijo.


Multifractales

Definicion

El fractal F definido por una transformacion de Hutchinson T es el unicosubconjunto compacto de R2 que es punto fijo de T . Esto es, T (F ) = F .

Cuando el factor de escala es constante en todo el espacio metrico, sedice que el fractal es uniformemente autosimilar.

Puede ser, sin embargo, que el factor de escala sea distinto endiferentes puntos del espacio metrico, en cuyo caso hablamos demultifractales. Aun en ese caso una transformacion de Hutchinsontiene un unico punto fijo.


Medida de Hausdorff

Una forma de medir la “complejidad” de un fractal es a traves delconcepto de dimension.

Definicion (Medida de Hausdorff)

Sea X un espacio metrico, A ⊂ X, d ≥ 0 y

CR = {B(si , ri ) : si ∈ X , ri ≤ R}

una cubierta contable de bolas abiertas de A. El numero

Hd(A) = infCR

{y :

∞∑i=0

rdi ≤ y

}

es la medida d-dimensional de Hausdorff del conjunto A.

Notamos que la medida d-dimensional de Hausdorff puede no ser entera nifinita.


Dimension de Hausdorff

Definicion (Dimension de Hausdorff)

Con la notacion de la definicion anterior, la dimension de Hausdorff delconjunto A es el numero

D(A) = infd{Hd(A) = 0}.

Por ejemplo, un punto x en Rn puede cubrirse con una bola cerrada deradio 0. Ahora bien, 0d = 0 para d > 0, por lo tanto Hd = 0 para d > 0,de donde D({x}) = 0. Esto coincide con la dimension euclidiana.La dimension de Hausdorff es extremadamente difıcil de determinar engeneral. No permite estimar de manera practica la dimension de unaimagen dada. Por ello se utiliza una definicion alternativa de dimension.


Otra dimension

Definicion (Dimension de capacidad)

Sea X un espacio metrico, A ⊂ X totalmente acotado y una cubierta finitade cardinalidad n(r) mınima de bolas cerradas de radio r de A. Definimosla dimension inferior de capacidad Db(A) de A como

Db(A) = − lım infr>0

log n(r)

log r

y la dimension superior de capacidad de Db(A) como

Db(A) = − lım supr>0

log n(r)

log r.

Si ambos valores coinciden designamos a dicho valor como la dimension decapacidad Db(A) de A.


Discrepancias

Tristemente la dimension de capacidad no siempre coincide con ladimension de Hausdorff. Puede demostrarse que todo conjunto contabletiene dimension de Hausdorff 0. Sin embargo, { 1

nα }∞n=1 para α > 1 escontable pero

Db

({1nα

}∞n=1

)=

1

α + 1> 0

como demuestran Misık y Zacik. Solo para el caso de fractalesuniformemente autosimilares se sabe que estas dimensiones coinciden,como fue demostrado por Hutchinson.


Discrepancias

No es de esperar que los codices nuu savi sean fractales autosimilares.Por eso, no podemos aspirar a conocer su dimension segun Hausdorff.

En su lugar, la dimension de capacidad puede estimarse por elalgoritmo de conteo de cajas.

Esta dimension da una idea de “que tanta informacion” contiene laimagen en cuestion.


Algoritmo de conteo de cajas

Algoritmo

Entrada: Un subconjunto compacto S ⊂ R2, el lado inicial de las cajas dy un factor de contraccion 0 < r < 1.

Salida: Una estimacion de la dimension de capacidad de S .1: para k = 0 hasta L hacer2: Cubrir a S con un retıculo de cajas de lado drk .3: Contar cuantas cajas n(drk) contienen alguna porcion de S .4: fin para5: Graficar − ln drk = −k ln r − ln d contra ln n(drk).6: Ajustar una recta de mınimos cuadrados.7: devolver La pendiente de la recta de ajuste.


Una imagen dice mas que mil palabras

Figura: Folio 13 del codice Vindobonensis.


Una imagen dice mas que mil palabras

Figura: Conteo de cajas para el folio 13 del codice Vindobonensis con FDC.


Conteos de cajas

d n(d) − ln d ln n(d)

135 30 -4.90527 3.4012

112 48 -4.7185 3.8712

93 71 -4.5326 4.26268

77 97 -4.34381 4.57471

64 127 -4.15888 4.84419

53 186 -3.97029 5.22575

44 261 -3.78419 5.56452

36 374 -3.58352 5.92426

29 572 -3.3673 6.34914

24 804 -3.17805 6.6896

19 1187 -2.94444 7.07918

15 1793 -2.70805 7.49165

Cuadro: Algunos resultados para el algoritmo de conteo de cajas para el folio 13del codice Vindobonensis (r = 1.2).


La grafica

Figura: Grafica de los conteos y el ajuste de mınimos cuadrados para el folio 13del codice Vindobonensis.


La estimacion

Utilizamos el programa R para calcular el ajuste de mınimoscuadrados, devolviendonos la estimacion Db = 1.784811 condesviacion estandar de 0.01692.

Como puede verse en la figura anterior, el ajuste es bastante bueno.

Este resultado es un poco bajo para los estandares de Burkle Elizondo.

Una razon es que las paginas de codices que el tomo corresponden apictografıas concernientes al calendario.

Otra razon es que el utilizo un programa comercial para realizar susmediciones.


Una comparacion

A fines de comparacion, estimaremos la dimension fractal de un fragmentode texto (visto como imagen) de una nota periodıstica reciente.

Figura: Texto de prueba.


Ajuste para el texto

Figura: Grafica de los conteos y el ajuste de mınimos cuadrados para el texto deprueba.


Resultado

En este caso la estimacion de la dimension fractal es Db = 1.646313con una desviacion estandar de 0.02956.

El ajuste no es tan bueno como en el caso del codice. Ademas, ladimension de capacidad resulto menor.

En conclusion, podemos considerar que tiene mayor “fractalidad” laimagen proveniente del codice que una muestra de texto alfabeticovisto como imagen.


Observadores de la naturaleza

Como puede confirmarse en los codices, los sabios de los antiguospueblos nuu savi eran acuciosos observadores de la naturaleza.

Probablemente esa atencion a los fenomenos naturales lesrevelo algunos de los principios matematicos que los gobiernan.

Tuvieron conciencia de la recursividad y autosimilaridad presente en elcrecimiento de los vegetales, como lo atestiguan los glifos.

Figura: Ejemplos de vegetales recursivos y autosimilares que aparecen en el codiceBodley, Selden y Vindobonensis.


Nduta, nuu, nima, tachitii

Pero el ejemplo quiza mas soprendente es la manera en la querepresentaban algunos fluidos como el aire, el humo, el fuego y elagua.

Para ellos el humo y el viento se trasladan en lıneas de flujo biendefinidas que se bifurcan y reescalan.

Incluso en el perfil de la ola del mar se percibe la autosimilaridad a unnivel de recursion.

Figura: Flujos autosimilares en el codice Vindobonensis.


Conclusiones

1 El pensamiento prehispanico (en particular en el ambito matematico)era completamente diferente al pensamiento europeo de la epoca.

2 Los antiguos pueblos prehispanicos hacıan matematicas mas alla de laaritmetica elemental, pero sus motivaciones para hacerlas estabanıntimamente ligadas a su religion.

3 Los pensadores prehispanicos observaban con gran atencion a lanaturaleza.

4 Se necesita mas investigacion de campo y que los arqueologos,historiadores y etnologos recopilen datos utiles para completar lahistoria de las matematicas prehispanicas.


Bibliografıa

ORTIZ, Ignacio y ORTIZ, Reina (eds.) Pasado y presente de lacultura mixteca. Universidad Tecnologica de la Mixteca. Huajuapan deLeon, Mexico, 2005.

BURKE, Paul. Fractal dimension calculator.URL: http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals

BURKLE ELIZONDO, Gerardo. Analisis fractal de dos estructurasmesoamericanas. URL:www.ciu.reduaz.mx/investigacion/Humanisticas/HE06.htm

CASTELLANOS, Abraham. Conferencias historico-pedagogicas.Ayuntamiento de Merida. Yucatan, 1917.

Equipo de desarrollo del nucleo de R. R: Un lenguaje y entorno para elcomputo estadıstico, la fundacion R para el computo estadıstico,Viena, URL: http://www.R-project.org


Bibliografıa

KOSTOVSKY, A. N. Construcciones geometricas mediante uncompas. Ed. Mir. Moscu, 1980.

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PEITGEN, Otto, et al. Chaos and fractals: new frontiers in science.Spriger-Verlag, Nueva York, 1992.

RAMIREZ BAUTISTA, Francisco Miguel. Primera vision de lageometrıa prehispanica. Mexico Desconocido, No. 219, mayo de 1995.

VARGAS MENDOZA, Jose A. Algebra abstracta. Limusa. Mexico,1986.

Codice Vindobonensis.


¡Gracias por su atencion!

(Y no olviden comprar los libros delas memorias de la Semana de la Cultura Mixteca)


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graduada ycompas

puntos de

crculo de radio r

constructibledefiniciondado

polgonos tambien

polgonos regulares

crculoen numeros de