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E S T U D I A N T E : W I L L I A M G U I D O B A U T I S T A M E D I T A D O P O R : W I L L I A M G U I D O B A U T I S T A M A M A N I
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
WILLIAM GUIDO BAUTISTA MAMANI UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON
CONTENIDO
• El punto • Punto en los cuadrantes • Recta • Proyección diedrica de una recta • Trazas de una recta • Tipos de rectas • Ejercicios para el estudiante • Plano • Forma de definir un plano • Tipos de planos y rectas un los planos • Ejercicios para el estudiante • Intersecciones • Intersecciones entre recta y plano • Intersecciones entre planos • Ejercicios para el estudiante • Distancias • Cambios de planos • Giros o rotación
• UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON WILLIAM GUIDO BAUTISTA MAMANI
EL PUNTO
• Siendo: X: distancia al plano lateral, Y: vuelo ó alejamiento, Z: cota ó altura. En la práctica el mismo punto puede ser dado:
• Por tres coordenadas A (x;y;z) ;A (4;8;6)
• Vuelo • al lateral • Cota • Distancias a los Planos de Proyección
Distancia al plano lateral 4 cm., vuelo 8 cm. y cota 6 cm.
• 4 cm. al plano lateral, 8 cm. de vuelo, 6 cm. de cota
• PV: Es el plano de proyección vertical.
• PH: Es el plano de proyección horizontal.
Descripción de un punto
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PUNTO UBICADO EN UN PLANO PRINCIPAL DE PROYECCIÓN
Puntos en el plano vertical de proyección
Puntos en el plano horizontal de proyección
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UBICACIÓN DEL PUNTO
Punto ubicado en el Origen Punto ubicado en un Eje de
Coordenadas x
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Es una recta paralela al Plano Horizontal de Proyección, con ángulo cualquiera respecto al Plano Vertical de Proyección. Se proyecta sobre el Plano Horizontal en verdadero tamaño; su proyección vertical es paralela a la línea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual cota (Z=cte.), y por lo tanto forma un ángulo de cero grados con el plano horizontal de proyección (ao=00). Atraviesa dos cuadrantes y tiene una sola traza que es la Traza Vertical.
RECTA HORIZONTAL
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Es una recta paralela al plano vertical de proyección, se proyecta sobre este plano en verdadero tamaño; su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual vuelo (Y=cte.), y por lo tanto forma un ángulo de cero grados con el plano vertical de proyección (bo=00). Tiene una sola traza que es la Traza Horizontal. Atraviesa 2 cuadrantes.
RECTA FRONTAL
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Es una recta paralela simultáneamente a los planos vertical y horizontal de proyección; por lo tanto, es una recta horizontal y frontal, y en consecuencia tiene las propiedades de ambas; es decir, su cota es constante (Z=cte) y su vuelo también (Y=cte). Sus proyecciones horizontal y vertical son paralelas a línea de tierra; están en verdadero tamaño; y forman ángulos de cero grados con los planos vertical y horizontal de proyección (ao=bo=00). No tiene trazas en el Plano Vertical ni el Horizontal de proyección.
RECTA PARALELA A LA LÍNEA DE TIERRA
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Es una recta perpendicular al plano vertical de proyección; por lo tanto, su proyección vertical es un punto, y su proyección horizontal se observa en verdadero tamaño y perpendicular a línea de tierra; forma ángulos de cero grados con el plano horizontal de proyección (ao=00) y noventa grados con el plano vertical de proyección (bo=900). Tiene una sola traza y es la Vertical. Atraviesa dos cuadrantes.
RECTA DE VERTICAL
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Es una recta perpendicular al plano vertical de proyección; por lo tanto, su proyección vertical es un punto, y su proyección horizontal se observa en verdadero tamaño y perpendicular a línea de tierra; forma ángulos de cero grados con el plano horizontal de proyección (ao=00) y noventa grados con el plano vertical de proyección (bo=900). Tiene una sola traza y es la Vertical. Atraviesa dos cuadrantes.
RECTA DE PUNTA
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Es una recta perpendicular a la línea de tierra (paralela al plano lateral); sus proyecciones son perpendiculares a línea de tierra. Su verdadero tamaño, así como los ángulos que forma con los planos principales de proyección, pueden determinarse en una proyección lateral de la misma. Tiene dos trazas. Atraviesa tres cuadrantes o dos cuando pasa por la línea de tierra.
RECTA DE PERFIL
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RECTA QUE PASA POR LA LINEA DE TIERRA
• La única
particularidad de esta recta es que sus dos trazas horizontales y verticales, están confundidas en un mismo punto de la linea de tierra.
• Por tanto, las proyecciones r1 y r2 son concurrentes en un punto de LT.
EN EL DEPURADO EN EL ESPACIO
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RECTA PARALELA AL PRIMER BISECTOR
• Para que una recta sea paralela al primer bisector, una de sus proyecciones ha de ser paralela a la simétrica de la otra, respecto a LT.
• Si observamos la figura, veremos ángulo alfa con LT, aunque esta condición sola no basta ya que la recta t1-t2 no es paralela al primer bisector sino al segundo, que veremos a continuación.
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RECTA PARALELA AL SEGUNDO BISECTOR
• Las rectas paralelas al segundo bisector, tienen sus proyecciones paralelas entre si.
• También esta recta deberá tener en el infinito su traza con el segundo bisector, por ser paralelas a el y como dicha trazas, es la intersección de sus proyecciones, estas no deberán cortarse y, por tanto, serán paralelas, como sucede con la recta r1-r2.
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FORMA DE DEFINIR UN PLANO
POR TRES PUNTOS POR UN PUNTO Y UNA RECTA
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FORMA DE DEFINIR UN PLANO
DOS RECTAS QUE SE CORTAN DOS RECTAS PARALELAS
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Recta Horizontal de un Plano es la que está contenida en el plano y además es paralela a la Traza Horizontal del Plano Su proyección vertical es paralela a la Línea Tierra y su proyección horizontal paralela a la Traza Horizontal del Plano.
RECTA HORIZONTAL DEL PLANO
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Recta Frontal de un Plano es la que está contenida en el plano y además es paralela a la Traza Vertical del Plano Su proyección horizontal es paralela a la Línea de Tierra y su proyección vertical paralela a la Traza Vertical del Plano.
RECTA FRONTAL DEL PLANO
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Recta de Máxima Pendiente es aquella contenida en el plano que sea perpendicular a la Traza Horizontal del mismo. Por tanto la proyección horizontal de la recta será también perpendicular a la Traza Horizontal del Plano.
RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE
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Recta de Máxima Inclinación es aquella contenida en el plano que sea perpendicular a la Traza Vertical del mismo. Por tanto la proyección vertical de la recta será también perpendicular a la Traza Vertical del Plano.
RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN
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PLANO HORIZONTAL O PARALELO AL HORIZONTAL
DE PROYECCION
PLANO FRONTAL O PARALELO AL VERTICAL DE
PROYECCION
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C O M O T A R E A R E A L I Z A R L A S R E C T A S Q U E L O C O N T I E N E N A C A D A P L A N O
FIG 3.22: PLANO PARALELO A LA LT. FIG 3.24: PLANO QUE PASA POR LA LINIA DE TIERRA
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Son las rectas donde el plano se intercepta con los planos principales de proyección. Se denominan: a) Traza vertical de un plano. Es la intersección (f) del plano (a) con el plano vertical de proyección. b) Traza horizontal de un plano. Es la intersección (h) del plano (a) con el plano horizontal de proyección. Las trazas (f y h) de un plano (a) se cortan en la línea de tierra, excepto si el plano (a) es paralelo a ella.
TRAZAS DE UN PLANO
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PLANOS PROYECTANTE
Plano proyectante horizontal Plano proyectante vertical
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INTERSECCIONES
(Método recta tapada) a) Definir en el plano (α) una recta (t), cuya proyección horizontal (th) coincide (se tapa) con la proyección horizontal (rh) de la recta (r); por esta razón la recta (t) se denomina recta tapada. Las rectas (r y t) se cortan en el punto de intersección (I) buscado. b) La proyección vertical (Iv) del punto (I) queda definida por el corte de las proyecciones verticales (rv y tv) de las rectas (r y t). c) La proyección horizontal (Ih) del punto (I), se obtiene sobre la proyección horizontal (rh=th) de las rectas (r y t).
Intersección entre recta y plano
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INTERSECCIONES
Método de intersección de planos
Procedimiento:
1.- Se hace pasar por la recta r un plano auxiliar β. 2.- Se halla la intersección s del plano auxiliar con
el dado 3.- La intersección I de las rectas r y s, será el punto
Buscado I.
La intersección entre una recta (r) y un plano (a) es un punto (I)
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INTERSECCIONES DE DOS PLANOS
Método de intersección de recta con plano
La intersección entre dos planos α y β es una recta i.
• a) Se elige, cualquier recta (a) en el plano α, y se determina su intersección (I) con el plano β.
• b) Se elige, una segunda recta (b) en el plano α, y se determina su intersección (J) con el plano β.
• c) Los puntos de intersección (I y J) definen la recta de intersección (i) entre los planos α y β.
• Las rectas (a y b) también pueden ser elegidas en el plano β y ser interceptadas con el plano alfa.
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INTERSECCIÓN DE PLANOS EN EL SISTEMA DIÉDRICO
Método general simplificado
La intersección entre dos planos α y β es una recta i • Aplicando el método general, los
puntos J y K serán entonces las trazas de la recta i.
• De este modo, las dos trazas horizontales de los planos (α y β) al cortarse determinan el punto J.
• Análogamente donde se corten las trazas verticales de los planos (α y β) se hallará el punto K.
• Se deduce de aquí que la intersección de dos planos viene dada por las intersecciones de sus rectas homónimas.
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INTERSECCIÓN ENTRE TRES PLANOS
Esquema espacial • La intersección de tres planos
(α, β y γ) es un punto (I). El cual se define interceptando, la recta de intersección (i) entre los planos (α y β) con el plano (γ),
• Procedimiento: • a) Se determina la
intersección (i) entre los planos (α y β)
• b) Se determina la intersección (I) de la recta (i) con el Plano (γ).
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DISTANCIAS
Distancia de dos puntos La verdadera magnitud de un segmento AB, es la
hipotenusa de un triangulo rectángulo cuyos catetos son: uno, la proyección horizontal del
segmento, y el vertical, y el otro la diferencia de alejamiento de ambos puntos.
Para que tenga una mejor idea se le mostrara una figura mas detallada.
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ABATIMIENTO
• El abatimiento es un artificio usando en descriptiva para resolver problemas de: medir ángulos, establecer verdaderas distancias y otros.
• Abatir o reabatir un plano, consiste en girarlo a través de una de sus rectas características, la cual actúa como una ¨bisagra¨ ¨eje¨ o ¨charnela¨, hasta hacerlo coincidir con uno de los planos principales de proyección, o colocarlo paralelo a uno de ellos.
• Si el eje de rebatimiento es la traza horizontal αh, ó la traza vertical αv, del plano α. Se puede rebatir el plano α hasta colocarlo sobre el plano horizontal, ó vertical de proyección.
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ABATIMIENTO
Para abatir cualquier punto (A) contenido en un plano (α), usando como eje la traza horizontal (αh) del plano.
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ABATIMIENTO
• Para abatir un plano alfa, dado por sus trazas, sobre el plano horizontal se toma un punto de intersección de una recta máxima pendiente (p)con la trazas verticales.
• El punto Tv se abatirá teniendo a alfa h como eje de abatimiento, siendo el radio de giro Tv Qh, perpendicular a alfa h.
• Este radio de giro se obtiene mediante un abatimiento previo auxiliar de Tv sobre el plano Horizontal, como resultado de abatir sobre dicho Plano el triangulo rectangular TvThQh con centro en Qh y radio Qh Tav se consigue Tva1 sobre la proyección horizontal de la recta máxima pendiente .
• Uniendo S con Ta1v tenemos la traza vertical abatida (αva).
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CAMBIOS DE PLANOS
• Cuando se adopta un nuevo plano Horizontal, este es siempre perpendicular al plano vertical de proyección existente.
• Al adoptarse como Plano horizontal el H1 el Punto A reduce su cota de Ah-A, aAh1: en cambio el vuelo sigue siendo el mismo A-Av Para la recta r la proyección vertical rv es la misma con la nueva posición del Plano Horizontal de Proyección. Habrá de aparecer una nueva proyección horizontal de la recta, la cual será paralela a la proyección horizontal primitiva. La traza vertical Tv queda invariable. La nueva traza Horizontal Qh1 es un Punto de penetración de la recta en el nuevo Plano Horizontal.
Proyecciones de un punto y una recta al adoptarse un nuevo Plano Horizontal de Proyección
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CAMBIOS DE PLANOS
Adopción de un nuevo Plano Horizontal
no paralelo al primitivo • La nueva Línea de Tierra LT1
es la Traza Vertical Del nuevo Plano Horizontal.
• Dado un punto M sus proyecciones primitivas son Mh y Mv. Al adoptarse el nuevo Plano Horizontal Obtendremos una nueva Cota para M, así como una nueva proyección Mh1 Antes y después del cambio del Plano Horizontal, el Punto M se mantiene a la misma distancia del Plano Vertical, es decir, con el mismo vuelo.
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CAMBIOS DE PLANO
Cambio de plano vertical • Dado el punto P por sus proyecciones Ph Pv, adoptamos el nuevo Plano Vertical que forma un ángulo α con el Plano Vertical primitivo.
• Sobre el nuevo Plano se obtiene una nueva proyección vertical del punto Pv1
• El punto P mantiene su misma Cota Z; en cambio su Vuelo se ha alterado.
• La nueva Linea de Tierra: L1 T1, es la Traza Horizontal del nuevo Plano Vertical.
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GIROS
Rotación de un punto
• El Giro, también denominado Rotación, consiste en girar el objeto en estudio (punto, recta, plano, etc) un determinado ángulo (ao) alrededor de un eje de rotación, el cual es una recta vertical (v).
• Rotación de un punto (A), hasta la posición (A1), alrededor de un eje vertical (v).
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GIROS
Rotación de un punto • Cuando los puntos rotan a
través de un eje vertical (v) recorren arcos de circunferencia paralelos al plano horizontal de proyección, mientras que si la rotación se produce a
• través de un eje de punta (p) los arcos de circunferencia recorridos son paralelos al plano vertical de proyección.
• Rotación de un punto (A), hasta la posición (A1), alrededor de un eje de punta (p).
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ROTACIÓN DE UN PLANO A UNA POSICIÓN VERTICAL
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