predicciÓn de la distribuciÓn de tamaÑo de partÍculas …

VIII CAIQ2015 y 3 JASP

AAIQ Asociación Argentina de Ingenieros Químicos - CSPQ

PREDICCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑO DE

PARTÍCULAS EN UN GRANULADOR INDUSTRIAL PARA LA

PRODUCCIÓN DE UREA GRANULADA

Carlos Renaudo, Diego Bertín, Verónica Bucalá

Planta Piloto de Ingeniería Química

(Universidad Nacional del Sur - CONICET)

Camino La Carrindanga km. 7 - 3000 Bahía Blanca - Argentina

E-mail: [email protected]

Resumen. En este trabajo se propone un modelo matemático basado en

balances de masa y población para describir un granulador industrial

multicámaras para producción de urea granulada. Se considera que las

partículas crecen por recubrimiento y aglomeración, y los mecanismos de

cambio de tamaño se modelan mediante cinéticas que intervienen en el

balance de población. Se utilizan datos de una planta industrial de gran

escala para ajustar la cinética de aglomeración. La herramienta desarrollada

resulta de utilidad para calcular los caudales y granulometrías de los

productos que abandonan cada cámara, así como la fracción de aglomerados

presente en cada corriente granular. Los resultados obtenidos demuestran

que el modelo es capaz de reproducir aceptablemente las granulometrías del

producto, y puede ser utilizado para explorar diferentes escenarios de

operación y establecer ventanas operativas que conduzcan a productos

granulares con la calidad granulométrica deseada.

Palabras clave: Granulador industrial, urea, balance de población.

1. Introducción

Dentro de las técnicas de granulación, la granulación fundida consiste en atomizar

una solución de un material fundido (ligante) sobre partículas sólidas para aumentarles

su tamaño y/o conferirle propiedades especiales. Dentro de las industrias que utilizan el

mailto:[email protected]

VIII CAIQ 2015 y 3JASP

AAIQ, Asociación Argentina de Ingenieros Químicos - CSPQ

proceso de granulación cabe mencionar la industria minera, alimenticia, farmacéutica y

la de fertilizantes (Litster et al., 2004). La formulación de fertilizantes granulares es de

particular importancia para la Argentina, por su intensa actividad agropecuaria. La urea,

uno de los fertilizantes más utilizados en el agro, es el más eficiente en cuanto al

suministro de nitrógeno. Desde el comienzo de la actividad industrial de la empresa

PROFERTIL S.A. en el año 2000, en el mercado argentino se encuentra urea granulada

de producción nacional.

En la producción de urea granulada, existen dos mecanismos diferentes para producir

el aumento de tamaño de las partículas: recubrimiento (adherencia exitosa de las gotas

de ligante sobre el material particulado y posterior solidificación de las mismas) y

aglomeración (colisión de dos partículas mojadas por ligante y solidificación del puente

líquido formado entre ellas) (Litster et al., 2004). El recubrimiento es el mecanismo

deseado de crecimiento debido a que permite obtener gránulos prácticamente esféricos,

de tamaños similares y adecuada resistencia a la rotura. El fenómeno de aglomeración

debe ser minimizado para evitar productos granulares con distribuciones de tamaño de

partículas no aceptables comercialmente o bien con propiedades mecánicas

desfavorables.

Tanto el mecanismo de recubrimiento como el de aglomeración se modelan mediante

la ecuación del balance de población (population balance equation, o PBE). Esta

ecuación está basada en leyes de conservación y permite calcular la distribución de

tamaño de partículas (particles size distribution, o PSD) del producto granular en

función de la PSD inicial y de las condiciones de operación del granulador

(Ramkrishna, 2000, Bertin et al., 2014). Las cinéticas de recubrimiento y aglomeración

deben ser introducidas en el PBE en forma de ecuaciones constitutivas. En la literatura,

frecuentemente se asume una cinética de recubrimiento en la que cada partícula recibe

una cantidad de ligante proporcional a su área superficial (Bertin et al., 2013; Litster et

al., 2004; Mörl et al., 2007; Villa et al., 2015). Sin embargo, para la obtención de la

cinética de aglomeración es necesario contar con datos experimentales.

En este trabajo se propone un modelo matemático basado en balances de masa y

población para describir el proceso de granulación de urea en un granulador industrial



multicámaras de lecho fluidizado. Utilizando diferentes caudales de una solución muy

concentrada de urea (prácticamente urea fundida), se establece la cinética de

aglomeración con el fin de predecir correctamente la PSD del producto granular. El

modelo propuesto contiene dos parámetros de ajuste, los cuales se determinan mediante

una optimización por cuadrados mínimos, definiendo como función objetivo (a

minimizar) el error cuadrático entre las PSDs medida y calculada.

2. Descripción de la unidad de granulación estudiada.

En la Fig. 1 se presenta un granulador de urea de lecho fluidizado industrial (Bertin

et al., 2007). Esta unidad está formada por cámaras consistentes en lechos de partículas

fluidizadas mediante aire. En la primera cámara, ingresan continuamente semillas

(partículas de urea de pequeño tamaño, producto fuera de especificación) sobre las que

se deposita material a partir de una solución de urea líquida concentrada que se atomiza

desde el fondo del equipo. Una solución acuosa muy concentrada en urea (96 % p/p),

comúnmente llamada fundido, pasa a la fase sólida por enfriamiento y evaporación de

agua (Nijsten et al., 1998; Niks et al., 1997). Este fenómeno es responsable del aumento

de tamaño de los gránulos. El régimen de operación del lecho (fluidización

burbujeante), facilita la circulación repetida de los gránulos por la zona de atomización

de la solución de urea como consecuencia del fuerte movimiento que las burbujas

imparten a los sólidos. Además, el flujo de aire actúa como una corriente de despojo del

agua evaporada. La energía para la evaporación es provista por la propia solución de

urea que ingresa a una temperatura relativamente alta (≈ 130 °C) (Nijsten et al., 1998;

Niks et al., 1997). El aire se suministra al lecho a través de un plato distribuidor. Para

aumentar el tiempo de residencia y obtener distribuciones de tamaño de partículas

relativamente estrechas, los equipos industriales poseen varias cámaras de crecimiento

(donde se atomiza la solución concentrada de urea) seguidas de algunas cámaras de

enfriamiento (Bertin et al., 2010).



Fig. 1. Esquema de un granulador industrial de lecho fluidizado para producción de urea

granulada.

3. Modelo Matemático del Granulador

3.1. Modelo de una Cámara de Crecimiento

Se asumen las siguientes hipótesis para formular el modelo de una cámara de

crecimiento:

Las partículas aumentan de tamaño por recubrimiento.

Las fases sólida y líquida están perfectamente mezcladas.

Los gránulos de urea tienen densidad constante y son esféricos. Las partículas

están libres de aditivos, i.e están compuestas de urea pura.

Se desprecian los fenómenos de elutriación de finos, atrición y ruptura de

partículas. Se considera que todas las gotas del ligante se adhieren de modo

Grilla de

distribución

de aire

Semillas

Aire de

fluidización

Gránulos

Aire de

salida

Solución

líquida

+

Aire de

atomización

Cámaras de

crecimiento

Cámaras de

enfriamiento



exitoso sobre la superficie de las semillas y, por ende, no se tiene en cuenta la

generación de nuevos núcleos sólidos por solidificación de gotas.

La evaporación del agua presente en las gotas es completa (Bertin et al.,

2007).

Balances de Masa

De acuerdo a la hipótesis de mezclado perfecto de las partículas, el balance de masa

para los sólidos en cada cámara es:

𝑑𝑚

𝑑𝑡= �̇�𝑖𝑛 + �̇�𝐿(1 − 𝑥𝑤) − �̇�𝑜𝑢𝑡 (1)

donde 𝑚 es la masa de urea granulada dentro de la cámara, 𝑡 es el tiempo y �̇�𝑖𝑛 y �̇�𝑜𝑢𝑡

son los caudales másicos de urea granulada que entran y salen de la cámara,

respectivamente. �̇�𝐿 es el caudal másico atomizado de la solución concentrada de urea

y 𝑥𝑤 es la fracción de agua en la solución.

Balance de población

En este trabajo se utiliza la formulación del PBE propuesta por Bertin et al. (2014).

Dicha formulación involucra una discretización del tamaño de partículas (i.e., el

dominio de tamaños se divide en rangos denominados clases) y un método numérico

para predecir el número de partículas correspondiente a cada una de las clases y el

diámetro representativo en el cual se concentran dichas partículas. Siguiendo el

procedimiento presentado por Bertin et al. (2014), es posible obtener PSDs que

satisfacen simultáneamente los balances en número y masa de partículas por clase.

De acuerdo a Bertin et al. (2014), el número de partículas en cada clase varía en el

tiempo según la siguiente ecuación:

𝑑𝑁𝑖

𝑑𝑡= 𝐹𝑖

𝐺+ − 𝐹𝑖𝐺− + 𝐻𝑖

𝐴+ − 𝐻𝑖𝐴− (2)

donde 𝑁𝑖 es el número de partículas en la clase 𝑖, 𝐹𝑖𝐺+ y 𝐹𝑖

𝐺− representan la velocidad de

aparición y desaparición de partículas en la clase 𝑖 por recubrimiento y 𝐻𝑖𝐴+ y 𝐻𝑖

𝐴−

describen la aparición y desaparición de partículas en la clase 𝑖 por aglomeración,

respectivamente.



A su vez, el número de partículas por clase 𝑁𝑖 está asociado a un diámetro

representativo 𝑑𝑝𝑖, el cual se calcula como (Bertin et al., 2014):

𝑑𝑑𝑝𝑖

𝑑𝑡= 𝐺 (𝑑𝑝𝑖

) +𝑑𝑝𝑖

−2

3𝑁𝑖

[𝐹𝑖𝐺+ (𝐷𝑝𝑖

3 − 𝑑𝑝𝑖

3) − 𝐹𝑖𝐺− (𝐷𝑝𝑖+1

3 − 𝑑𝑝𝑖

3) + 𝐻𝑖𝐴+ (𝐷𝑝

𝐴̅̅ ̅̅𝑖

3− 𝑑𝑝𝑖

3)] (3)

donde 𝐷𝑝𝑖y 𝐷𝑝𝑖+1

son los diámetros inferior y superior de la clase 𝑖, 𝐺 es la velocidad

de crecimiento por recubrimiento y 𝐷𝑝𝐴̅̅ ̅̅

𝑖es el diámetro medio de la clase 𝑖 en el que

aparecen las partículas aglomeradas (Bertin et al., 2014).

Los términos 𝐹𝑖𝐺+, 𝐹𝑖

𝐺−, 𝐻𝑖𝐴+ y 𝐻𝑖

𝐴− de las ecuaciones 2 y 3 se calculan

respectivamente como:

𝐹𝑖𝐺+ = 𝛼𝑖−1𝐺(𝐷𝑝𝑖

) (𝐶1𝑖−1𝐷𝑝𝑖

+ 𝐶2𝑖−1) (4)

𝐹𝑖𝐺− = 𝛼𝑖𝐺(𝐷𝑝𝑖+1

) (𝐶1𝑖𝐷𝑝𝑖+1

+ 𝐶2𝑖) (5)

𝐻𝑖𝐴+ =

1

2∑ ∑ 𝛽(𝑑𝑝𝑗

, 𝑑𝑝𝑘) 𝑁𝑗𝑁𝑘

𝑘 (𝑗,𝑘→𝑖)⁄𝑗

(6)

𝐻𝑖𝐴− = 𝑁𝑖 ∑ 𝛽(𝑑𝑝𝑗

, 𝑑𝑝𝑘) 𝑁𝑗

𝑗

(7)

donde 𝛽(𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘

) (llamado kernel de aglomeración) representa la velocidad de

nacimiento de aglomerados por unión de partículas de las clases 𝑗 y 𝑘. 𝐶1𝑖, 𝐶2𝑖

y 𝛼𝑖 son

variables asociadas al esquema numérico utilizado (Bertin et al., 2014). En la Ecuación

6, la expresión 𝑘 (𝑗, 𝑘 → 𝑖)⁄ indica: todas las partículas de clase 𝑘 tal que, al

aglomerarse con partículas de clase 𝑗, generan partículas de clase 𝑖. El diámetro medio

de la clase 𝑖 en el que aparecen las partículas aglomeradas es:

𝐷𝑝𝐴̅̅ ̅̅

𝑖= [

∑ ∑ 𝛽(𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘

) 𝑁𝑗𝑁𝑘 (𝑑𝑝𝑗

3 + 𝑑𝑝𝑘

3)𝑘 (𝑗,𝑘→𝑖)⁄𝑗

∑ ∑ 𝛽(𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘

) 𝑁𝑗𝑁𝑘𝑘 (𝑗,𝑘→𝑖)⁄𝑗]

13

(8)

Por último, las variables 𝐶1𝑖, 𝐶2𝑖

y 𝛼𝑖 se calculan como:

𝛼𝑖 = {1 𝑠𝑖 (𝐶1𝑖

𝐷𝑝𝑖+1+ 𝐶2𝑖

) > 0

0 𝑠𝑖 (𝐶1𝑖𝐷𝑝𝑖+1

+ 𝐶2𝑖) ≤ 0

(9)



𝐶1𝑖=

𝐷𝑝𝑖+1

4 − 𝐷𝑝𝑖

4

𝐷𝑝𝑖+1− 𝐷𝑝𝑖

− 4𝑑𝑝𝑖

3

12 (𝐷𝑝𝑖+1

+ 𝐷𝑝𝑖) (𝐷𝑝𝑖+1

4 − 𝐷𝑝𝑖

4) −45

(𝐷𝑝𝑖+1

5 − 𝐷𝑝𝑖

5)𝑁𝑖 (10)

𝐶2𝑖=

𝑁𝑖 −𝐶1𝑖

2 (𝐷𝑝𝑖+1

2 − 𝐷𝑝𝑖

2)


(11)

Cinéticas de recubrimiento y aglomeración

La velocidad de crecimiento 𝐺(𝑑𝑝) es la velocidad de cambio de tamaño de las

partículas como consecuencia de la deposición y solidificación de las gotas sobre la

superficie de las partículas. Asumiendo que las partículas crecen en forma proporcional

a su fracción de área superficial, se obtiene la siguiente función que resulta ser

independiente del valor del tamaño de los gránulos (Mörl et al., 2007):

𝐺(𝑑𝑝) =2�̇�

𝜋𝜌𝑝 ∑ 𝑁𝑖𝑑𝑝𝑖

2𝑖

(12)

donde 𝜌𝑝 es la densidad de partículas.

Con respecto a la cinética de aglomeración, Roy et al. (2009) estudiaron la

aglomeración de partículas de urea en un lecho fluidizado escala laboratorio, y

propusieron un kernel empírico de aglomeración proporcional al producto de los

volúmenes de las partículas que se aglomeran. Para este trabajo, se asume una expresión

similar a la de Roy et al. (2009):

𝛽 (𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘

) = 𝛽0 (𝑑𝑝𝑗𝑑𝑝𝑘

)𝑎

(13)

donde 𝛽0 es un parámetro que puede depender de las condiciones de operación del

granulador y de las propiedades del sistema partículas-gas (pero no del tamaño de

partículas). 𝑎 es un exponente que describe la influencia del tamaño de las partículas

sobre la probabilidad de aglomerarse. Específicamente, un valor 𝑎 = 0 indica que la

aglomeración es independiente del tamaño de las partículas que se aglomeran. Por otro

lado, si 𝑎 = 3 se obtiene la cinética propuesta por Roy et al. (2009). Para el presente

trabajo, 𝛽0 y 𝑎 son parámetros de ajuste del modelo.



3.2. Modelo del Granulador Multicámaras

Debido a que el granulador industrial está formado por 3 cámaras de crecimiento en

serie, el modelo matemático formulado en la sección 3.1 debe resolverse 3 veces.

Debido a la configuración en serie, el caudal másico y la PSD de salida de la cámara 1

son el caudal y PSD de entrada de la cámara 2. Análogamente, el caudal másico y la

PSD de salida de la cámara 2 se convierten en el caudal y PSD de entrada de la cámara

3. Debido a que en las cámaras de enfriamiento las partículas no cambian de tamaño, no

es necesario resolver el modelo matemático para estos compartimientos.

4. Ajuste de los parámetros del modelo

Las constantes de aglomeración 𝛽0 y 𝑎 se ajustan utilizando información

experimental proveniente de un granulador industrial. Se dispone de 9 conjuntos de

condiciones operativas en estado estacionario, para los cuales se conoce los valores de

las variables de entrada y salida del granulador. Las corrientes de ingreso y egreso

fueron monitoreadas regularmente, de modo que la información experimental se

dispone a diferentes tiempos de operación. El modelo del granulador es simulado para

cada escenario de condiciones operativas. Para el ajuste, se plantea una optimización

por cuadrados mínimos y, para definir la función objetivo de la optimización, se

considera que: a) la calidad granulométrica de la urea se establece a partir de la PSD

expresada en masa (la cual se transforma a PSD expresada en número a los efectos de

resolver el PBE, y luego la PSD en número del producto se transforma a PSD basada en

masa para comparación con datos experimentales) y b) cuando las grillas de

discretización poseen rangos de tamaños diferentes a la grilla usada para analizar

granulométricamente los datos experimentales, las PSDs deben representarse a través de

la variable llamada función densidad (i.e., cociente entre la masa o número de partículas

y el ancho de la clase en que se encuentran). En base a estas dos observaciones, la

función objetivo para el ajuste se define como:

𝐹𝑂 = min𝛽0,𝑎

∑ ∑ (𝑤𝑖|𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 − 𝑤𝑖|𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙


)

2

𝑖𝐸𝑠𝑐𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠

(16)



donde 𝑤𝑖 es la fracción en peso de partículas en la clase 𝑖. Como se menciona

anteriormente, los valores experimentales se obtuvieron por tamizado. Las fracciones en

peso calculadas se determinan a partir del número de partículas proveniente de la

solución numérica del modelo matemático:

𝑤𝑖|𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =𝑁𝑖𝑑𝑝𝑖

3

∑ 𝑁𝑖𝑑𝑝𝑖

3𝑖

(17)

En la Fig. 2 se muestra el ajuste realizado para tres, en donde se observan las PSDs

medidas de las corrientes de semillas y producto y las obtenidas del modelo con y sin

aglomeración. Cuando se considera aglomeración, el modelo utiliza los parámetros

ajustados. Como se observa, la incorporación del mecanismo de aglomeración produce

una mejora considerable en el cálculo de las PSDs del producto granular, especialmente

en la región de partículas de mayor tamaño.

(a)

(b)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0,002 0,004 0,006

Fu

nci

ón

den

sid

ad

en

masa

(1/m

)

dp (m)

Semillas

Producto - medido

Producto - Modelo

sin aglomeraciónProducto - modelo

con aglomeración

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0,002 0,004 0,006

Fu

nci

ón

den

sid

ad

en

masa

(1/m

)

dp (m)

Semillas

Producto - medido

Producto - Modelo


con aglomeración



(c)

Fig. 2. PSDs de la corriente de semillas y de la corriente de salida medida, obtenida del

modelo sin considerar aglomeración y obtenida del modelo con aglomeración y

parámetros ajustados, para tres de los escenarios analizados (a, b y c).

A partir del ajuste de la cinética de aglomeración, se encuentra que el valor óptimo

del exponente 𝑎 varía en cada escenario, dentro de un rango comprendido entre 0.5 y

4.5. El factor 𝛽0 también varía en cada escenario; más aún, el valor óptimo de 𝛽0 no es

independiente del exponente 𝑎, como puede observarse en la Fig. 3. Por lo tanto, la

cinética de aglomeración puede expresarse en función de un único parámetro (el

exponente 𝑎), mientras que 𝛽0 puede ser determinado a partir de la siguiente ecuación:

ln 𝛽0 = 11.8 𝑎 − 26.6 (18)

donde 𝛽0 tiene unidades de (m-2as-1).

El último paso para completar el ajuste de la expresión cinética del mecanismo de

aglomeración es relacionar el exponente 𝑎 con las condiciones de operación del

granulador. De las variables analizadas (caudales de semillas, fundido y aire de

fluidización, fracción de agua en la solución, temperaturas de las cámaras de

crecimiento, diámetro medio de la PSD de semillas), se encontró una relación entre 𝑎 y

el caudal en número de semillas que ingresa al granulador. En la Fig. 4 se grafican los

valores de 𝑎 en función del caudal de semillas observándose una tendencia que, por

simplicidad, puede aproximarse a una función lineal. Para los datos de la Fig. 4, resulta:

𝑎 = 6.96 − 6.91 × 10−7�̇�𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 (19)

donde �̇�𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 es el caudal en número de semillas y tiene unidades de (#/s).

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0,002 0,004 0,006

Fu

nci

ón

den

sid

ad

en

ma

sa

(1/m

)

dp (m)

Semillas

Producto - medido

Producto - Modelo


con aglomeración



Combinando las ecuaciones 13, 18 y 19, se obtiene la siguiente expresión para el

kernel de aglomeración:

𝛽 (𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘

) = 2.80 × 10−12 (1.33 × 105𝑑𝑝𝑗𝑑𝑝𝑘

)6.96−6.91×10−7�̇�𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠

(20)

La Ec. 20 es válida solamente para el rango de operación al que corresponden los

escenarios estudiados. En dichos escenarios, y como se observa en la Fig. 4, el caudal

en número de semillas varía aproximadamente entre 4x106 y 9 x106 #/s.

Fig. 3. Relación entre el factor 𝛽0 y el exponente 𝑎 en la expresión propuesta para el

kernel de aglomeración.

Fig. 4. Exponente 𝑎 de la expresión propuesta para el kernel de aglomeración en

función del caudal en número de semillas

ln y = 11,8x - 26,6

R² = 1,00

1,E-10

1,E-07

1,E-04

1,E-01

1,E+02

1,E+05

1,E+08

1,E+11

0 1 2 3 4 5

β0

(m-2

as-1

)

a (-)

y = -6,91E-07x + 6,96

R² = 0,85

0

1

2

3

4

5

3,E+06 5,E+06 7,E+06 9,E+06 1,E+07

a (-

)

(#/s)�̇�𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠



A partir de la Ec. 20 se observa que la velocidad de aglomeración es mayor cuando

los diámetros de partícula dentro del granulador aumentan. Además, debido a que la

base de la potenciación en la Ec. 20, (1.33 × 105𝑑𝑝𝑗𝑑𝑝𝑘

), suele ser menor a 1, la

velocidad de aglomeración es mayor cuando el caudal en número de semillas aumenta.

Debe aclararse también que el nacimiento de aglomerados (como variable extensiva)

depende no sólo de 𝛽 sino también de los números de partículas de cada clase que se

aglomeran (ver ecuaciones 6 y 7). Por lo tanto, se espera que la formación de

aglomerados sea mayor cuanto mayor sea el número de partículas dentro de la cámara.

5. Análisis de sensibilidad

A partir de un conjunto de condiciones operativas típicas industriales, se define un

caso base con el propósito de estudiar el efecto de algunas variables de entrada sobre la

aglomeración. La Fig. 5 muestra el cociente entre los caudales en número de partículas

de salida y entrada del granulador en función de cambios porcentuales (en el rango

±15%) realizados en los caudales másicos de semillas y ligante y en el diámetro medio

de la corriente de semillas. El cociente entre caudales en número es una variable

directamente relacionada con la ocurrencia de aglomeración debido a que en ausencia

de aglomeración y operando en estado estacionario los caudales en número de entrada y

salida deben iguales. Según la Fig. 5, cuando el caudal másico de semillas aumenta, el

cociente de caudales en número disminuye indicando una mayor formación de

aglomerados. Este comportamiento se debe a que el caudal en número de semillas

aumenta y al mayor número de partículas dentro del granulador.

Cuando la perturbación se produce en el caudal de ligante, la Fig. 5 muestra que

incrementos en dicho caudal ocasionan una tendencia decreciente en el cociente de

caudales en número salida/entrada, aunque menos pronunciada que cuando se varió el

caudal de semillas. En este caso, el caudal en número de semillas no varía al perturbar el

caudal de ligante. Sin embargo, las partículas crecen más al aumentar el caudal de

fundido, lo que resulta en un mayor kernel de aglomeración.

Cuando se aumenta el diámetro medio de la PSD de semillas (manteniendo constante

el caudal másico de entrada y la desviación estándar de la distribución), disminuye el



caudal en número de semillas y, en consecuencia, también lo hace el número de

partículas dentro de las cámaras. Por lo tanto, al aumentar el diámetro medio de semillas

disminuye la formación de aglomerados, por esta razón el cociente de caudales en

número salida/entrada se acerca a 1 (ver Fig. 5). Para valores muy bajos del diámetro

medio de semillas, se observa que el caudal en número de partículas que abandona la

cámara disminuye considerablemente respecto al valor de entrada, indicando la

formación de una gran cantidad de aglomerados. Este resultado es indeseado para

granuladores de urea y debería ser evitado en la práctica.

Fig. 5. Cociente entre los caudales en número de salida y entrada del granulador para

cambios porcentuales en los caudales másicos de semillas y ligante y en el diámetro

medio de semillas

6. Conclusiones

Cuando no se considera el mecanismo de aglomeración en el modelo, la distribución

de tamaños de partículas predicha es similar a la experimental en la región de las

partículas más pequeñas pero presenta desviaciones importantes para partículas grandes.

La inclusión del mecanismo de aglomeración en el modelo permite mejorar

sustancialmente la predicción de la PSD del producto que abandona el granulador. A

partir del ajuste con datos experimentales obtenidos en una planta industrial, se derivó

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-15 -10 -5 0 5 10 15

Co

cie

nte

en

tre

los

cau

dal

es

de

salid

a y

en

trad

a e

n n

úm

ero

de

par

tícu

las

Perturbación en la variable respecto a su valor de caso base (%)

Caudal másico de semillas

Caudal másico de ligante

Diámetro medio de semillas



una expresión para el kernel de aglomeración según la cual la velocidad de

aglomeración aumenta con los diámetros de partículas. Si bien el kernel propuesto está

basado en una expresión reportada en la literatura para urea granulada, fue necesario

incluir la influencia del caudal en número de semillas en la ecuación cinética para lograr

una adecuada representación de la PSD del producto.

En las plantas industriales de producción de urea granulada, el granulador forma

parte de un circuito de granulación en el que el caudal de semillas constituye una

corriente de reciclo. Específicamente, esta corriente de reciclo está formada por dos

caudales que no satisfacen la especificación granulométrica para su comercialización,

uno de los cuales proviene de un molino de rodillos. En función del comportamiento del

circuito de granulación, la corriente de reciclo suele variar significativamente en caudal

y PSD por lo que se espera que también afecte la performance del granulador. Cuando

la corriente de semillas está formada por una gran cantidad de finos, los resultados de la

simulación indican que la tendencia a aglomerarse será mayor. Debido a que la

aglomeración es un mecanismo de cambio de tamaño no deseado, debería evitarse que

la corriente de semillas esté formada por partículas demasiado pequeñas y/o presente un

caudal demasiado alto. Por otro lado, también es aconsejable no aumentar

considerablemente el caudal de urea líquida en el granulador ya que favorece la

formación de aglomerados, aunque este efecto es el menor de los tres comportamientos

estudiados. El modelo propuesto en este trabajo constituye una herramienta de gran

utilidad para predecir el comportamiento de granuladores de lecho fluidizado

industriales e identificar los parámetros críticos de operación de estas unidades.

Nomenclatura

𝑎 Exponente del kernel de aglomeración (-)

𝐶1𝑖 Parámetro del término de crecimiento en las ecuaciones 4 y 5 (m-2)

𝐶2𝑖 Parámetro del término de crecimiento en las ecuaciones 4 y 5 (m-1)

𝐷𝑝𝑖 Diámetro inferior de la clase 𝑖 (m)

𝐷𝑝𝐴̅̅ ̅̅

𝑖 Diámetro medio de aglomerados que nacen en la clase 𝑖 (m)

𝑑𝑝𝑖 Diámetro medio de partículas en la clase 𝑖 (m)



𝐹𝑖𝐺+ Término de aparición de partículas por recubrimiento en la clase 𝑖 (s-1)

𝐹𝑖𝐺− Término de desaparición de partículas por recubrimiento en la clase 𝑖 (s-1)

𝐹𝑂 Función objetivo

𝐺 Velocidad de recubrimiento

𝐻𝑖𝐴+ Término de nacimiento de partículas por aglomeración (s-1)

𝐻𝑖𝐴− Término de muerte de partículas por aglomeración (s-1)

𝑚 Masa de urea granulada dentro de una cámara de crecimiento (kg)

�̇�𝑖𝑛 Caudal de entrada de partículas a una cámara de crecimiento (kg/s)

�̇�𝐿 Caudal de solución líquida concentrada de urea alimentada a una cámara (kg/s)

�̇�𝑜𝑢𝑡 Caudal de salida de partículas de una cámara de crecimiento (kg/s)

𝑁𝑖 Número de partículas de clase 𝑖 (#/s)

�̇�𝑠𝑒𝑒𝑑𝑠 Caudal en número de semillas (#/s)

𝑡 Tiempo (s)

𝑤𝑖 Fracción en peso de partículas de clase 𝑖 (-)

𝑥𝑤 Fracción másica de agua en la solución concentrada de urea (-)

𝛼𝑖 Parámetro del término de crecimiento en la Ec. 9 (-)

𝛽 Kernel de aglomeración (s-1)

𝛽0 Factor en el kernel de aglomeración (s-1)

𝜌𝑝 Densidad de la urea (kg/m3)

Subíndices

𝑖 Clase de partículas

𝑗 Clase de partículas

𝑘 Clase de partículas

Referencias

Bertin, D.E., Mazza, G.D., Piña, J., Bucalá, V. (2007). Modeling of an Industrial

Fluidized bed Granulator for Urea Production. Industrial & Engineering Chemistry

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