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Politecnico di Milano

Facoltà di Ingegneria Industriale

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria

Aeronautica

Funzioni di parete adattive per il modellodi turbolenza k − ω

Relatore: prof. Maurizio Quadrio

Correlatore: ing. Luca Gasparini

Tesi di Laurea di:Marco Angiolini

matr. 766217

Anno Accademico 2011/2012

Imagination is more important than knowledge.

For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world,

stimulating progress, giving birth to evolution.

(Cosmic Religion: With Other Opinions and Aphorisms)

Albert Einstein

Indice

1 Introduzione 1

1.1 Nascita e sviluppo della C.F.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Struttura della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Impostazione 5

2.1 Equazioni R.A.N.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Modelli di turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Modelli basati sulla viscosità turbolenta . . . . . . . . 62.2.2 Modelli per il tensore degli sforzi di Reynolds . . . . . 10

2.3 Modello k − ω SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Funzioni di parete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Approcio standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Metodo di Launder-Spalding . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 Funzioni di parete OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . 182.4.4 Funzioni di parete adattive . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Implementazione 22

3.1 Linguaggio C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Caso base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Funzioni di parete adattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Validazione 41

4.1 Calcolo Low-Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.1 Risultati Low-Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Risultati applicando le funzioni di parete . . . . . . . . . . . . 494.2.1 Funzioni di parete OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . 504.2.2 Funzioni di parete adattive . . . . . . . . . . . . . . . 544.2.3 Funzioni di parete adattive, v2 − f . . . . . . . . . . . 584.2.4 Funzioni di parete adattive, versione migliorata . . . . 60

INDICE II

5 Calcoli 2D 65

5.1 Dominio di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Calcoli 3D 78

6.1 Odoacre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2 Dominio di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Conclusioni 93

Bibliograa 96

Elenco delle gure

1.1 Impatto dell'uso della CFD in Airbus . . . . . . . . . . . . . . 3

4.1 Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Struttura del dominio. 424.2 Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento U+. . . . . 444.3 Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento k+. . . . . 454.4 Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento ω+. . . . . 464.5 Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento Cf al

bordo di attacco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento Cf . . . . . 484.7 Calcolo su lastra piana, modello con wall function tradizionali.

Andamento U+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8 Calcolo su lastra piana, modello con wall function tradizionali.

Andamento k+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9 Calcolo su lastra piana, modello con wall function tradizionali.

Andamento ω+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.10 Calcolo su lastra piana, modello con wall function tradizionali.

Andamento Cf in prossimità del bordo di attacco. . . . . . . 534.11 Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.

Andamento U+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.12 Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.

Andamento k+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.13 Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.

Andamento ω+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.14 Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.

Andamento Cf in prossimità del bordo di attacco. . . . . . . 574.15 Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.

Confronto tra k − ω SST e v2 − f . Andamento U+, y+1 = 3. . 58

4.16 Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.Confronto tra k − ω SST e v2 − f . Andamento U+, y+

1 = 10. 594.17 Calcolo su lastra piana. Confronto tra wall function tradizio-

nali, adattive e la loro versione migliorata. Andamento U+,y+

1 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

ELENCO DELLE FIGURE IV

4.18 Calcolo su lastra piana. Confronto tra wall function tradizio-nali, adattive e la loro versione migliorata. Andamento U+,y+

1 = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.19 Calcolo su lastra piana. Confronto tra wall function tradizio-

nali, adattive e la loro versione migliorata. Andamento k+,y+

1 = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.20 Calcolo su lastra piana. Confronto tra wall function tradizio-

nali, adattive e la loro versione migliorata. Andamento ω+,y+

1 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.21 Calcolo su lastra piana. Confronto tra wall function adattive

e la loro versione migliorata. Andamento Cf in prossimità delbordo di attacco, y+

1 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1 Mesh coarse per il prolo NACA 23018. Mesh strutturata distrato limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Mesh ne per il prolo NACA 23018. Mesh strutturata distrato limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Andamento del Cp in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4 Andamento del Cp in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh coarse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5 Andamento del Cf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.6 Andamento del Cf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh coarse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.7 Andamento di y+1 in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,

Rec = 500000, Mesh ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.8 Andamento di y+

1 in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh coarse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.9 Confronto tra wall function tradizionali e adattive. Anda-mento del Cf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.10 Confronto tra wall function tradizionali e adattive. Anda-mento del Cf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh coarse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.11 Andamento di ω sul prolo NACA 23018, wall function adat-tive, α = 0, Rec = 500000, Mesh ne. . . . . . . . . . . . . . 74

5.12 Andamento di ω sul prolo NACA 23018, wall function tra-dizionali, α = 0, Rec = 500000, Mesh ne. . . . . . . . . . . 75

5.13 Confronto tra k − ω SST e v2 − f , wall function adattive.Andamento del Cf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ELENCO DELLE FIGURE V

5.14 Confronto tra k − ω SST e v2 − f , wall function adattive.Andamento del Cf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh coarse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1 Modello Odoacre in galleria del vento. . . . . . . . . . . . . . 796.2 Modello Odoacre: disegno CAD. . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3 Modello Odoacre: caratterizzazione dell'assetto . . . . . . . . 816.4 Modello Odoacre: andamento e ripartizione del carico in fun-

zione dell'assetto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.5 Modello Odoacre: visualizzazione sperimentale del campo di

sforzo tangenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.6 Modello Odoacre: struttura globale della griglia. . . . . . . . 836.7 Modello Odoacre: Cx. Confronto tra wall function tradizio-

nali e adattive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.8 Modello Odoacre: Cz. Confronto tra wall function tradizio-

nali e adattive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.9 Mesh b-Fine. Campo di Cf sulla supercie di Odoacre, wall

function adattive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.10 Mesh b-Fine. Campo di Cf sulla supercie di Odoacre, wall

function tradizionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.11 Modello Odoacre: Cx. Confronto tra k−ω SST e v2−f , wall

function adattive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.12 Modello Odoacre: Cz. Confronto tra k−ω SST e v2−f , wall

function adattive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.13 Mesh c-Coarse. Campo di Cf sulla supercie di Odoacre.

Modello v2 − f , wall function adattive. . . . . . . . . . . . . . 906.14 Mesh c-Coarse. Campo di Cf sulla supercie di Odoacre.

Modello k − ω SST , wall function adattive. . . . . . . . . . . 916.15 Mesh c-Medium. Campo di Cf sulla supercie del diusore di

Odoacre. Modello v2 − f , wall function adattive. . . . . . . . 916.16 Mesh c-Medium. Campo di Cf sulla supercie del diusore di

Odoacre. Modello k − ω SST , wall function adattive. . . . . . 92

Elenco delle tabelle

5.1 Coeciente di portanza per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 Coeciente di resistenza, contributo viscoso, per il proloNACA 23018, α = 0, Rec = 500000. . . . . . . . . . . . . . . 77

Sommario

Questo lavoro di tesi svolto in collaborazione con FondTech, azienda diconsulenza aerodinamica nel settore automobilistico si inserisce nell'am-bito della uidodinamica computazionale, ed in particolare si propone distudiare una tipologia di funzioni di parete introdotta recentemente e notacome funzioni di parete adattive. La ragione di questa denominazione con-siste nel fatto che tali funzioni possono essere utilizzate indipendentementedalla distanza dalla parete a cui viene collocata la prima cella del reticolodi calcolo. L'approccio tradizionale al contrario richiede che il centro dellaprima cella ricada nella regione logaritmica dello strato limite.

In una tesi precedente, intitolata Implementazione e verica di un mo-

dello di turbolenza v2−f in OpenFOAM, le funzioni di parete adattive eranostate utilizzate con il modello di turbolenza v2 − f portando ad ottimi ri-sultati. L'obiettivo di questa tesi è quello di vericare le prestazioni dellefunzioni di parete adattive quando utilizzate con un modello di turbolen-za più consolidato, quale è il k − ω SST , sempre all'interno del pacchettosoftware OpenFOAM.

Partendo da un caso di strato limite su lastra piana, e studiando poicasi di complessità crescente, questa tesi dimostra che le funzioni di pareteadattive consentono comunque di ottenere dei beneci rispetto alle funzionidi parete standard, ma anche che l'entità dei miglioramenti è dipendente dalparticolare modello di turbolenza scelto.

Abstract

The present thesis work carried out in collaboration with FondTech, acompany of aerodynamics consulting in the automotive sector deals withComputational Fluid Dynamics and in particular explores a recently intro-duced family of wall functions known as adaptive wall functions. Their namefollows from their ability of being used regardless of the distance from thewall of the center of the rst computational cell. The traditional approach,on the other hand, relies on the rst cell center being in the logarithmicregion of the boundary layer.

A previous thesis work dealt with the adaptive wall functions when usedwith the v2 − f turbulence model, and documented very good results. Aimof the present thesis is to investigate the performance of the adaptive wallfunction when used with a more consolidated turbulence model, as is thek − ω SST . As in previous work, the adaptive wall functions are hereimplemented within the open-source software package OpenFOAM.

Starting from the simplest case of a at plate boundary layer, and gra-dually progressing towards cases of increasing compexity, we are able to showthat the adaptive wall functions always improve when compared to the stan-dard wall function formulation, but the degree of improvement is linked tothe specic turbulence model.

Parole chiave / Keywords

• R.A.N.S.

• OpenFOAM

• modello di turbolenza k − ω SST / k − ω SST turbulence model

• G. Kalitzin

• funzioni di parete adattive / adaptive wall function

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Nascita e sviluppo della C.F.D.

La volontà di conoscere in maniera esauriente i fenomeni di carattere ui-dodinamico è stata da sempre una sda cruciale nel campo dell'ingegneria.Per molti anni lo strumento più adatto a questa indagine è stato la galleriadel vento.Con l'avvento del computer si è presentata l'occasione di poter risolvere leequazioni che governano la uidodinamica e osservare i fenomeni di interessesenza ricorrere ad un approcio sperimentale. Si è vista così la nascita dellacosiddetta Computational Fluid Dynamics. Le equazioni di Navier-Stokesrimangono comunque di grande complessità e la loro risoluzione richiede unelevato sforzo computazionale. Di conseguenza si sono sviluppati alcuni mo-delli matematici per semplicare il problema.Del resto le gallerie del vento rivestono ancora un ruolo fondamentale per-mettendo di osservare i fenomeni al vero e spesso i dati raccolti vengonoutilizzati per validare i modelli matematici sopra citati. Allo stesso tempoperò la costruzione di una galleria del vento richiede un grande investimentoiniziale e la dimensione dei modelli che si possono studiare è vincolata dalledimensioni della camera di prova (solitamente qualche metro). In aggiuntala sezione frontale dei modelli non deve essere troppo elevata per impedirefenomeni di bloccaggio imponendo quindi un ulteriore vincolo sulle dimen-sioni ammissibili.Si può quindi capire perchè la C.F.D. risulta essersi aermata notevolmen-te negli anni [9]. Gli investimenti iniziali richiesti sono relativamente bassianche grazie alla diusione di ottimi programmi open-source agli elementiniti (OpenFOAM, Code-Saturne). Inoltre non c'è teoricamente limite alledimensioni dei modelli che si possono studiare ed è possibile quindi ottenerei risultati su scala reale.Ovviamente anche se questi aspetti sembrano allettanti non ci si può di-menticare che nel caso in cui si vogliano risolvere direttamente le equazioni

1.1 Nascita e sviluppo della C.F.D. 2

di Navier-Stokes (Direct Numerical Simulation) il costo computazionale saledrammaticamente all'aumentare del numero di Reynolds portando a prefe-rire talvolta un approcio di tipo sperimentale. I numerosi supercomputernati per arontare questo problema infatti superano abbondantemente i co-sti richiesti da una galleria del vento. Ancora oggi la D.N.S. viene utilizzataquando il numero di Reynolds è relativamente basso e le geometrie sono dimodesta complessità.Per superare queste limitazioni si sono sviluppati alcuni approci matematiciche non pretendono di risolvere direttamente le equazioni di Navier-Stokesma che si limitano a risolverne una parte e utilizzare un modello per tenerein considerazione ciò che volutamente viene trascurato. I ussi di interessesolitamente sono tridimensionali, dipendenti dal tempo e turbolenti. L'ap-procio generale consiste nel rimuovere la componente turbolenta, uttuante,di piccola scala (che viene considerata universale) e modellarla in manieraopportuna, concentrando l'attenzione sui fenomeni di grande scala che sonodirettamente dipendenti dalla geometria considerata.Si sono aermate due dierenti metodologie per arontare il problema:

• R.A.N.S. o Reynold Averaged Navier-Stokes con l'obiettivo di risol-vere il campo medio e modellare opportunamente i cosiddetti sforzi diReynolds che derivano dall'aver applicato un operatore di media sulleequazioni di Navier-Stokes.

• L.E.S. o Large Eddy Simulation dove si considera un campo ltrato(ossia risolto solo no a una determinata scala) e si utilizza un mo-dello per tenere in conto degli sforzi derivanti dalle scale inferiori cheappaiono nelle equazioni conseguentemente all'operazione di ltraggio.

Questi due approci permettono di investigare problemi di complessità mag-giore, di maggiori dimensioni e a un numero di Reynolds anche elevato.Cruciale è la scelta del modello che permetta di risalire alla parte che nonviene risolta nelle equazioni. Esistono una grande varietà di formulazioniche variano a seconda del tipo di uido (newtoniano/non newtoniano) e chepossono essere più o meno adatte a seconda degli aspetti che si voglionoconsiderare (comprimibilità, mescolamento di due uidi, ecc. . . ).Per quanto riguarda i modelli R.A.N.S. una panoramica generale verrà af-frontata nel prossimo capitolo, ma in sostanza si basano sull'aggiunta diequazioni che riguardano quantità turbolente del uido. A seconda delleequazioni scelte si denirà un ben preciso modello di turbolenza.Non bisogna comunque dimenticare che ci sono limitazioni dovute alle risor-se di calcolo disponibili e che il modello matematico non può essere l'unicoelemento studiato per rendere i calcoli più ecienti. La complessità del do-minio di calcolo e della mesh con cui viene approssimato possono comunqueportare a richiedere un consistente onere computazionale.

1.1 Nascita e sviluppo della C.F.D. 3

Ad esempio vicino a pareti solide è necessario utilizzare una mesh molto raf-nata per cogliere con precisione il gradiente di velocità e permettere così uncalcolo accurato del coeciente di attrito. Per superare questa dicoltà sonostate elaborate ulteriori strategie che evitano l'utilizzo di domini di calcoloeccessivamente ranati e permettano di imporre la condizione al contornopiù adeguata vicino al bordo anche con mesh che contano un numero mode-sto di celle in prossimità della parete. Nascono cosi le funzioni di parete [4]che verranno trattate diusamente nel capitolo successivo.Non è dicile comprendere che avendo apportato delle semplicazioni al pro-blema e basandosi ogni modello su determinate ipotesi la soluzione che verràtrovata potrebbe non essere aderente al reale. Una questione di caratterefondamentale è stabilire quanto la soluzione calcolata si discosti dalla solu-zione reale e se per le applicazioni di interesse può essere ammissibile unasoluzione approssimata.D'altra parte lo sviluppo e il perfezionamento continuo di questi modelli han-no portato a ridurre progressivamente le diverse fonti di errore determinandol'aermazione della C.F.D. in numerosi ambiti.

Figura 1.1: Impatto dell'uso della CFD in Airbus [2]. Nella parte superioreviene riportato come negli anni la descrizione delle proprietà del usso attor-no il velivolo si sia dettagliata e come la dimensione dei problemi consideratisia aumentata esponenzialmente. Nella parte inferiore viene specicata lanatura dei problemi, o meglio la loro geometria e il modello consideratoper approssimare l'aerodinamica, sempre in funzione del tempo. Vengonoindicati inoltre i velivoli sviluppati da Airbus nel corso degli anni.

1.2 Struttura della tesi 4

Ne hanno beneciato sia i campi più tradizionali quali il settore aeronautico,automobilistico e navale, sia quelli che ne hanno conosciuto solo recentemen-te le potenzialità, quali il settore eolico, medico o edile.Da non trascurare inne è il rapporto venutosi a creare tra la uidodinami-ca computazionale e quella sperimentale. Da una parte gli esperimenti ingalleria del vento danno una solida base di confronto per i modelli numericie ne permettono il miglioramento. Dall'altra parte le simulazioni numeri-che aiutano a stabilire i set-up ideali per gli esperimenti, prima che venganoeettuati in modo da correggere errori già in fase di progetto.

1.2 Struttura della tesi

Il seguente elaborato è stato sviluppato a partire da un precedente lavoro ditesi intitolato Implementazione e verica di un modello di turbolenza v2 − fin OpenFOAM.Entrambi i lavori sono stati sviluppati in collaborazione con l'azienda Fond-Tech e sfruttando le caratteristiche di OpenFOAM, software libero studiatoper la uidodinamica computazionale.Nella tesi precedente insieme al modello di turbolenza v2 − f sono stateutilizzate delle funzioni di parete di tipo adattivo. Si è deciso di applicarequesto nuovo approcio anche ad un altro modello di turbolenza per valutareeventuali beneci.Avendo lavorato in collaborazione con un'azienda presente da anni nel set-tore automobilistico verranno considerati ussi con le caratteristiche propriedi quest'ambito: turbolenti, con zone di separazione, un elevato numero diReynolds e una comprimibilità trascurabile (tanto da considerarli incompri-mibili).La tesi risulta così articolata

• Capitolo 2: Inquadramento sico-matematico del problema. Appro-cio R.A.N.S., modelli di turbolenza e wall function.

• Capitolo 3: Panoramica del software utilizzato e implementazionedelle funzioni di parete scelte.

• Capitolo 4: Validazione del metodo scelto. Viene considerato il casodi strato limite turbolento su lastra piana.

• Capitolo 5: Applicazione a congurazioni bidimensionali, nel caso unprolo alare.

• Capitolo 6: Applicazione a congurazioni tridimensionali di carattereautomobilistico.

• Capitolo 7: Sintesi degli obiettivi raggiunti.

Capitolo 2

Impostazione

Nel capitolo verranno esposti i principali aspetti dei metodi R.A.N.S. e leipotesi che ne stanno alla base. Si vedrà che per modellare gli sforzi appa-renti di Reynolds presenti nelle equazioni sono disponibili diverse opzioni.Inne verranno presentate diverse formulazioni per quanto riguarda le wallfunction, utilizzate per imporre le condizioni al contorno più adeguate vicinoa parete nel caso in cui la mesh non sia abbastanza ranata da cogliere tuttele informazioni di interesse.Particolare attenzione verrà prestata alle caratteristiche delle funzioni di pa-rete adattive e al modello di turbolenza al quale verranno applicate nel pre-sente lavoro di tesi.Quando necessario verrà mostrato come alcuni metodi qui presentati venganoimplementati eettivamente in OpenFOAM.

2.1 Equazioni R.A.N.S.

Per ricavare le equazioni R.A.N.S. viene applicata prima di tutto la cosiddet-ta decomposizione di Reynolds alle quantità che compaiono nelle equazionidi Navier-Stokes [17] (Cap.4). Ad esempio la velocità viene ridenita nelseguente modo

u(x, t) = u(x) + u′(x, t) (2.1)

dove u′(x, t) è la componente uttuante del campo (dipendente da t) e u(x)viene ottenuta attraverso un'operazione di media temporale e risulta quindiessere indipendente dal tempo.

u(x) = limT→∞

1

T

∫ T

0u(x, t)dt (2.2)

In maniera analoga si ricava l'espressione relativa alle altre quantità coinvol-te.Inne operando anche una media temporale direttamente sulle equazioni di

2.2 Modelli di turbolenza 6

Navier-Stokes così modicate, nel caso di uido incomprimibile si ottiene ilseguente risultato

• equazione di continuità∇ · u = 0 (2.3)

• equazione per il momento della quantità di moto

∇ · (uu) +∇ · (u′u′) = −1

ρ∇p+ ν∇2u (2.4)

dove occorre una denizione degli sforzi di Reynolds u′u′ per poter chiudereil problema.Al giorno d'oggi esistono due strade percorribili:

• ipotizzare che gli sforzi di Reynolds siano proporzionali a una quantitàricavabile dal campo medio

• calcolare direttamente gli sforzi, risolvendo delle equazioni relative allecomponenti del tensore

In sintesi l'obiettivo nale che ci si pone è di risolvere l'andamento medio delusso, dipendente dalla geometria in esame, evitando di risolvere in manieradiretta la sua componente uttuante attribuibile alle scale più piccole dellaturbolenza. Il loro comportamento può essere considerato universale e quindiricavabile attraverso un modello opportuno.Ovviamente questa è da ritenersi un'ipotesi che a seconda dei casi è più omeno vericata. Talvolta non si può prescindere dai dettagli e il rapportotra la sica del problema e le sue statistiche non è sempre univoco. C'èinevitabilmente una perdita di informazione che potrebbe essere rilevante.

2.2 Modelli di turbolenza

2.2.1 Modelli basati sulla viscosità turbolenta

I modelli appartenenti a questo gruppo ipotizzano che il tensore degli sforzidi Reynolds u′iu

′j sia proporzionale ad una quantità caratteristica del campo

medio. In realtà viene proposto un modello solo per la parte asimmetrica deltensore (aij) che contribuisce eettivamente al trasporto di momento dellaquantità di moto.Alla base di questa formulazione ci sono le ipotesi di Bousinnesq [17] (Cap.10)

• ipotesi intrinseca: aij dipende solo dai gradienti di velocità del campomedio.

• ipotesi specica: aij = −2νtSij dove Sij = 0.5(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi)


La seconda ipotesi aerma che la parte asimmetrica del tensore degli sforzi diReynolds è allineata con il tensore velocità di deformazione del moto medio.Il legame di proporzionalità viene denito attraverso una terza quantità νt,ossia la viscosità turbolenta.Ovviamente queste ipotesi non sono sempre vericate. Ad esempio la rela-zione considerata tra i due tensori potrebbe rivelarsi errata. Sicuramente illegame proposto risulta essere di natura non generale in quanto la viscositàturbolenta è uno scalare e non un tensore del quarto ordine.Le ipotesi di Boussinesq comunque risultano essere accettabili in alcuni casi,quando ad esempio i gradienti relativi al campo medio variano lentamente.Inserendo quanto detto nelle equazioni precedenti e denendo una nuova vi-scosità eettiva νe(x) = ν+ νt(x) ci si riconduce alla seguente equazione peril momento medio della quantità di moto

∇ · (uu) = −∇p+∇ · (νe(x)∇u) (2.5)

Si può notare che da un usso turbolento ci si è ricondotti ad un ussolaminare dove la viscosità cinematica caratteristica del uido ν risulta au-mentata.Per la chiusura denitiva del problema νt(x) deve essere nota. Viene soli-tamente denita sfruttando la conoscenza di una scala di lunghezza `∗ e diuna scala di velocità u∗ del usso.

νt ∼ u∗`∗ (2.6)

I diversi modelli di turbolenza dieriscono proprio per come vengono ricavatequeste due quantità.

• Modelli algebrici: deniscono la scala di lunghezza e di velocità apartire da caratteristiche del usso.Il modello più semplice considera viscosità turbolenta uniforme e vieneutilizzato per ussi elementari quali ad esempio i getti liberi.

νt = CU0(x)︸︷︷︸u∗

δ(x)︸︷︷︸`∗

(2.7)

Le quantità in gioco variano a seconda del caso in esame e lungo unasola direzione. Di conseguenza sarà così anche per νt.Un altro modello utilizzato per strati limite bidimensionali è la mixing-length di Prandtl [19] dove

u∗ = `m

∣∣∣∣dudy∣∣∣∣ =⇒ νt = u∗`m = `2m

∣∣∣∣dudy∣∣∣∣ (2.8)

e la lunghezza di mescolamento `m rimane da denire. Nella regionelogaritmica si può assumere che vari linearmente (`m = κy) mentre


vicino a parete è preferibile applicare una funzione di damping chene modichi l'andamento. Il modello rimane comunque incompleto inquanto `m dipende dalla particolare geometria del usso.

• Modelli a 1 equazione: aggiungendo un'equazione alle derivate par-ziali relativa ad una quantità turbolenta è possibile denire una scaladi lunghezza o di velocità per il usso in esame.Utilizzando ad esempio l'energia cineticà turbolenta si può considerare

νt = c√k︸︷︷︸

u∗

`m︸︷︷︸l∗

(2.9)

calcolando k dall'equazione di trasporto associata

∂k

∂t+ ui

∂k

∂xi=

∂

∂xi

[(ν +

νtσk

)∂k

∂xi

]− u′iu′j

∂ui∂xj− Cd

k3/2

`m(2.10)

dove sono stati opportunamente modellati il termine di redistribuzione(con σk = 1) e il termine di dissipazione (con Cd = c3). Il modellod'altra parte rimane incompleto richiedendo l'uso di costanti empirichee lasciando incognita la lunghezza di mescolamento `m.Tra i modelli del primo ordine ricopre un certo interesse il modello diSpalart-Allmaras [22]. Questo modello è completo in quanto consideraun'equazione di trasporto per la viscosità turbolenta νt = νfv1.

∂ν

∂t+ui

∂ν

∂xi= cb1Sν− cw1fw

(ν

d

)2

+1

σ

∂

∂xi

[(ν+ ν)

∂ν

∂xi

]+cb2σ

∂ν

∂xi

∂ν

∂xi

Risulta abbastanza adabile per applicazioni in campo aeronauticoma richiede comunque la conoscenza di ben 8 coecienti e 3 funzioniempiriche.

• Modelli a 2 equazioni: considerando due equazioni relative a duequantità turbolente si ottengono dei modelli completi che non hannobisogno di ulteriori funzioni note in maniera analitica.Come prima equazione si utilizza solitamente quella già presentata perl'energia cinetica turbolenta. Scegliendo inoltre il rateo di dissipazionedell'energia cinetica turbolenta ε è possibile la denizione delle seguentigrandezze

scala di lunghezza ≈ k3/2/ε

scala di velocità ≈ k/ε scala di tempo ≈ k1/2

viscosità turbolenta νt = Cµk2/ε con Cµ = 0.09


L'equazione di trasporto aggiuntiva risulta essere la seguente

∂ε

∂t+ uj

∂ε

∂xj= −Cε1

ε

ku′iu′j

∂ui∂xj− Cε2

ε2

k+

∂

∂xj

[(ν +

νtσε

)∂ε

∂xj

]con Cε1 = 1.44 Cε2 = 1.92 σε = 1.3

proposte da Launder e Sharma [12].Il modello presentato non è esente da problemi numerici soprattuttovicino al bordo dove il termine ε2/k è singolare. Per risolvere questacriticità si sono ideati modelli che al posto di ε considerano il rappor-to ε/k denominato ω. Questa quantità identica una frequenza delfenomeno turbolento e il suo inverso ω−1 denisce quindi una scala ditempo.La seconda equazione per il modello k−ω è di seguito presentata nellaformulazione proposta da Wilcox [24].

∂ω

∂t+ uj

∂ω

∂xj= −Cω1

ω

ku′iu′j

∂ui∂xj− Cω2ω

2 +∂

∂xj

[(ν +

νtσω

)∂ω

∂xj

]con νt =

k

ωCω1 = 0.55 Cω2 = 0.075 σω = 2

L'equazione per k risulta modicata per quanto riguarda il termine didissipazione ε = β∗kω con β∗ = 0.09 e il coeciente σk = 2.Anche se questo modello riduce i problemi numerici e richiede unaminore attenzione nella scelta delle costanti è piuttosto sensibile aivalori scelti per le condizioni al contorno.

• Modelli a 4 equazioni: tra questi modelli viene ricordato quelloproposto da Durbin [5]. Si basa su un modello k − ε a cui sono stateaggiunte due equazioni.La prima riguarda la media quadratica delle uttuazioni in direzionenormale a parete v′2, mentre la seconda è un'equazione di rilassamen-to ellittico per la quantità f . Utilizzando il valore calcolato di v′2 èpossibile fornire alla viscosità turbolenta il giusto smorzamento vicinoa parete.

νt = Cµv′2T (2.11)

Le equazioni che costituiscono il modello sono le seguenti

∂k

∂t+ uj

∂k

∂xj= Pk − ε+

∂

∂xj

[(ν +

νtσk

)∂k

∂xj

](2.12)

∂ε

∂t+ uj

∂ε

∂xj=Cε1Pk − Cε2ε

T+

∂

∂xj

[(ν +

νtσε

)∂ε

∂xj

](2.13)

∂v′2

∂t+ uj

∂v′2

∂xj= kf − 6v′2

ε

k+

∂

∂xj

[(ν +

νtσk

)∂v′2

∂xj

](2.14)


f − L2 ∂2f

∂2xj=C1

T

[2

3− v′2

k

]+ C2

Pkk

+ 5v′2

kT(2.15)

dove Pk = 2νtS2 con S =

√SijSij e Sij = 0.5(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi).

L'equazione per f tiene in conto degli eetti non locali dovuti al ca-rattere redistributivo della pressione e aiuta a prevedere il correttoandamento di v′2 in prossimità della parete.Le scala di tempo e di lunghezza risultano essere così denite

T = min

[max

[k

ε, 6

√ν

ε

],

0.6k√

6Cµv′2S

](2.16)

L = CL max

[min

[k3/2

ε,

k3/2

√6Cµv′2S

], Cη

ν3/4

ε1/4

](2.17)

comprensive di un vincolo di realizzabilità che si occupa di limitare laproduzione di energia cinetica turbolenta nei punti di ristagno.Inne le costanti sono raccolte qui di seguito

Cµ = 0.22 σk = 1 σε = 1.3 C1 = 0.4 C2 = 0.3

CL =0.23 Cη = 70 Cε1 = 1.4(1 + 0.05

√k/v′2) Cε2 = 1.9

(2.18)

Questa presentata è la cosiddetta versione code-friendly ideata per di-minuire i problemi numerici nel caso di utilizzo di un solutore segregato.Inoltre la condizione al contorno per f risulta semplicata rispetto ilmodello originale.

k(0) = 0 ε(0)→ 2νk

y2v′2(0) = 0 f(0)→ 0 (2.19)

2.2.2 Modelli per il tensore degli sforzi di Reynolds

Questi modelli si preggono l'obiettivo di ricavare direttamente il tensoredegli sforzi di Reynolds (Reynolds Stress Models). Essendo il tensore sim-metrico saranno necessarie sei equazioni alle derivate parziali per ottenere lecomponenti rij .È necessario aggiungere un'ulteriore equazione di trasporto per potere de-nire una scala di tempo o di lunghezza legata alla turbolenza. Solitamenteviene scelta l'equazione per il rateo medio di dissipazione dell'energia cineticaturbolenta.

uj∂ε

∂xj= Cε1

Pεk− Cε2

ε2

k+

∂

∂xj

[Cεk

εrij

∂ε

∂xj

](2.20)

dove il termine di produzione P è calcolato direttamente dagli sforzi di Rey-nolds e la diusione è anisotropa grazie alla presenza del termine rij . Per

2.3 Modello k − ω SST 11

le costanti si assumono i valori presentati per il modello di turbolenza k − εcon Cε = 0.15.Inne l'equazione in forma tensoriale per gli sforzi di Reynolds risulta essere

uk∂rij∂xk

= − ∂

∂xkTkij + Pij +Rij − εij (2.21)

dove Tkij tiene in conto della diusione viscosa e del trasporto dovuto allaturbolenza e alla pressione, Pij è un termine di produzione e εij è il tensoredi dissipazione.Un ruolo importante riveste il termine Rij che considera gli eetti redistri-butivi dovuti all'interazione tra pressione e velocità di deformazione. Tuttiquesti termini devono essere modellati in maniera opportuna tranne Pij cheè noto in forma chiusa.Il vantaggio di questo approcio è di prestare una maggiore attenzione al-la sica del problema avendo escluso l'ipotesi di Bousinnesq. È richiestocomunque un considerevole impiego di risorse di calcolo e per ovviare a que-sto problema è possibile considerare 6 equazioni algebriche per gli sforzi rij(Algebraic Stress Models).

2.3 Modello k − ω SST

Il modello scelto per l'implementazione delle wall function adattive appartie-ne alla famiglia dei modelli k−ω. La variante in questione è stata presentatada Menter nel 1994 [14] e prende il nome di k−ω SST (Shear Stress Trans-port).Questo modello nasce dall'unione del modello k−ω proposto da Wilcox [24]a un modello k − ε modicato in modo da far apparire la varibile ω nelleequazioni. Si vogliono così unire l'ecacia del modello proposto da Wilcoxvicino a parete e la scarsa sensibilità alle condizioni della corrente esterna diun modello k − ε.Le equazioni che compongono il modello di turbolenza sono le seguenti

• equazione per l'energia cinetica turbolenta k

∂k

∂t+ uj

∂k

∂xj= P − β∗ωk +

∂

∂xj

[(ν + σkνt

)∂k

∂xj

](2.22)

• equazione per il rateo medio di dissipazione ω

∂ω

∂t+uj

∂ω

∂xj=γ

νtP−βω2+

∂

∂xj

[(ν+σωνt

)∂ω

∂xj

]+2(1−F1)

σω2

ω

∂k

∂xj

∂ω

∂xj

con P = 2νtS2 con S =

√SijSij e Sij = 0.5(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi).

La funzione F1 presenta valore unitario vicino a parete (attivando così il


modello k−ω di Wilcox), mentre assume valore nullo lontano dalla supercie(passando così al modello k − ε).La viscosità turbolenta è così denita

νt =a1k

max(a1ω,ΩF2)(2.23)

dove Ω è il modulo della vorticità. All'interno dello strato limite F2 = 1e Ω > a1ω. Viene così limitato il valore relativo alla viscosità turbolentaal ne di tenere in considerazione l'eetto di trasporto legato agli sforzi diReynolds, che risulta importante soprattutto in presenza di un gradiente dipressione avverso.Allontanandosi da parete F2, in analogia a F1, diminuisce e l'espressionedella viscosità turbolenta si riconduce a quella valida per il modello k − ωstandard. I valori di tutte le costanti che appaiono nelle equazioni sonoottenuti tramite la seguente funzione peso

φ = F1φ1 + (1− F1)φ2 (2.24)

dove φ1 rappresenta il primo valore della costante e φ2 il secondo. Questoprocedimento deriva dal fatto che le costanti assumono valori diversi all'in-terno (primo valore) o all'esterno dello strato limite (secondo valore). Lefunzioni F1 e F2 sono così denite

F1 = tanh(arg41) (2.25)

arg1 = min

[max

( √k

β∗ωd,500ν

d2ω

),

4σω2k

CDkωd2

](2.26)

CDkω = max

(2σω2

1

ω

∂k

∂xj

∂ω

∂xj, 10−20

)(2.27)

F2 = tanh(arg22) (2.28)

arg2 = max

(2

√k

β∗ωd,500ν

d2ω

)(2.29)

Le costanti relative al modello vengono elencate qui di seguito

γ1 =β1

β∗− σω1κ

2

√β∗

= 0.5532 γ2 =β2

β∗− σω2κ

2

√β∗

= 0.4403 (2.30)

σk1 = 0.85 σω1 = 0.5 β1 = 0.075 (2.31)

σk2 = 1.0 σω2 = 0.856 β2 = 0.0828 (2.32)

β∗ = 0.09 κ = 0.41 a1 = 0.31 (2.33)

In OpenFOAM ci sono alcune lievi dierenze in accordo con la versione del


modello proposta sempre da Menter nel 2003 [16].Nella denizione di CDkω viene utilizzato come limite inferiore il valoredi 10−10 e non più di 10−20. Nell'equazione associata all'energia cineticaturbolenta il termine di produzione viene sostituito da

min(P, 10β∗ωk) (2.34)

Inoltre nell'espressione relativa alla viscosità turbolenta il termine√

2S pren-de il posto della vorticità Ω. Inne gli argomenti di F1 e F2 subiscono laseguente modica

argOF1 = min(arg1, 10) (2.35)

argOF2 = min(arg2, 100) (2.36)

per evitare una crescita eccessiva dei valori.Le condizioni al contorno proposte per il modello sono le seguenti, dove U∞è la velocità della corrente asintotica, L la dimensione del dominio di calcoloe ReL il numero di Reynolds calcolato utilizzando queste due quantità

U∞L

< ωfarfield < 10U∞L

(2.37)

10−5 U2∞

ReL< kfarfield < 0.1

U2∞

ReL(2.38)

10−5ν < νt−farfield < 10−2ν (2.39)

Il valore adeguato per la viscosità turbolenta si potrà ottenere combinandoi due valori scelti per k e ω.Vengono presentate inne le condizioni al bordo consigliate [15] , da denirenel caso si voglia ottenere una soluzione ranata delle equazioni mediate diReynolds (integrazione no a parete).

ωwall =60ν

β1y21

kwall = 0 (2.40)

Per νt−wall si considera solitamente una condizione di gradiente nullo.

2.4 Funzioni di parete 14

2.4 Funzioni di parete

Per risolvere le zone di strato limite in prossimità di contorni solidi è solita-mente necessario utilizzare un numero elevato di celle in direzione normalealla parete. In questa regione la velocità è nulla al bordo per la condizionedi perfetta adesione mentre il usso esterno presenta una sua velocità asin-totica.Per fare in modo che queste due condizioni si raccordino si genera un fortegradiente e quindi è necessaria una mesh molto ranata per cogliere il com-portamento del usso nella zona di strato limite. Come regola generale laprima cella deve essere posizionata nel substrato viscoso all'altezza circa diy+ = 1. Una scelta di questo tipo porta ad un risultato molto preciso, quasiparagonabile a quello ottenibile da un approcio DNS.All'aumentare della velocità del usso si può osservare che progressivamen-te si riduce anche la dimensione della prima cella portando ad un impiegosempre maggiore di risorse di calcolo. Inoltre le singole celle vicino a paretetendono a presentare rapporti elevati tra le loro dimensioni portando a in-trodurre problemi di carattere numerico.Per cercare di risolvere questi problemi sono stati introdotti dei metodi cheprevedono l'utilizzo delle funzioni di parete.Questo approcio si basa prima di tutto sul carattere universale della leggedi parete [21] ossia la velocità (ma non solo) nello strato limite, se scala-ta opportunamente, mostra il medesimo andamento indipendentemente dalusso considerato. Bisogna comunque tenere presente che il numero di Rey-nolds locale deve essere abbastanza elevato anchè lo strato limite si sviluppicompletamente e inoltre all'aumentare del numero di Reynolds il prolo divelocità si modica leggermente.L'assunzione che la legge di parete è universale però non è sempre vericatacome avviene in ussi con separazione e gradienti di pressione avversi (o fa-vorevoli) [18].Anche se esistono queste criticità si è comunque scelto di sfruttare la possibi-lità di conoscere a priori cosa avviene nel substrato viscoso e nel buer-layer.Il primo centro cella della griglia di calcolo viene posto nella regione loga-ritmica del prolo di velocità così da evitare di integrare le equazioni no aparete. Ovviamente ciò non garantisce che venga applicata la condizione alcontorno appropriata. Nel caso il usso rallenti e di conseguenza si ricada inuna regione al di sotto della zona logaritmica non sarà più valido quanto siè ipotizzato n ora.In aggiunta a ciò non è trascurabile l'errore numerico che può derivare daquest'approcio e i suoi limiti di applicabilità.Si può osservare che le griglie di calcolo si dividono in due gruppi

• griglie Low-Reynolds: la prima cella vicino a parete ricade nel sub-strato viscoso. Il numero di Reynolds calcolato utilizzando la velocità


media interna alla cella e la sua dimensione verticale sarà basso vistele dimensioni ridotte.

• griglie High-Reynolds: il primo centro cella si trova nella regione lo-garitmica. Il numero di Reynolds relativo alla cella sarà abbastanzaelevato viste le dimensioni maggiori rispetto una griglia Low-Reynolds.

Questa classicazione è legata alla scelta di come integrare il problema (cono senza l'ausilio di funzioni di parete) e ha portato a distingure i modelli diturbolenza tra

• modelli Low-Reynolds : studiati per l'integrazione no a parete. L'in-uenza dei contorni solidi è tenuta in considerazione tramite l'utilizzodi opportune damping-function.

• modelli High-Reynolds: studiati per essere utilizzati con l'ausilio dellefunzioni di parete.

2.4.1 Approcio standard

Si pensi di utilizzare un modello di turbolenza k − ε e di voler applicare lecondizioni al contorno tramite l'utilizzo delle funzioni di parete.L'approcio più consolidato si compone delle seguenti fasi [4]:

• risolvere l'equazione per il momento della quantità di moto conside-rando uno sforzo a parete modicato

• utilizzare un metodo iterativo per trovare la velocità di parete uτ

• imporre i valori di k di ε adeguati nel primo centro cella

Si consideri inoltre uno strato limite bidimensionale su lastra piana in cui Uè la componente media di velocità allineata con la direzione del usso e u′ ev′ sono le uttuazioni della velocità rispettivamente in direzione parallela enormale alla corrente.Se non si modicasse opportunamente l'equazione per la quantità di moto,lo sforzo a parete che si verrebbe a calcolare sarebbe inferiore rispetto aquello reale, a causa del forte gradiente di velocità presente nello strato limiteturbolento. La modica può essere eettuata o aggiungendo un terminesorgente del tipo τw ·A o ridenendo opportunamente la viscosità.Si consideri l'andamento della velocità nel substrato inerziale

U

uτ=

1

κln(Ey+) (2.41)

dove la costante presente nella legge di parete è stata inclusa nel terminelogaritmico.


Ne viene proposta anche una versione alternativa [18]

U

uτ=

1

ψκln(Ey+) (2.42)

dove ψ è un termine correttivo che tiene in conto della presenza di un gra-diente di pressione. Servendosi di questa formulazione è possibile ampliare ilcampo di validità della legge di parete e migliorare di conseguenza il compor-tamento delle wall function anche in ussi dove la pressione varia in manierasignicativa.Considerando per semplicità la prima denizione si possono calcolare sialo sforzo che deve assumersi a parete sia la viscosità eettiva, sempre daimporre a parete, corrispondente a tale sforzo

τw = ρu2τ =

ρuτUpκ

ln (Ey+)= µe

Upyp

=⇒ µe =ρuτypκ

ln(Ey+p )

(2.43)

dove con il pedice p sono indicati i valori nel centro della prima cella vicinaa parete.Per calcolare il valore di uτ viene risolta iterativamente l'equazione che de-scrive l'andamento della legge di parete nella regione logaritmica. Il processoiterativo è necessario in quanto uτ è presente implicitamente nell'equazioneattraverso y+

p = ypuτ/ν. Come valore iniziale di uτ se ne utilizza solitamen-

te una stima u∗τ = Cµ1/4kp

1/2. Il procedimento per ottenere tale valore èpresentato in [17] (Cap.11, pag.442-443).Utilizzando questa stima u∗τ si calcola un primo valore di y+

p . Sostituendolonell'espressione della legge di parete nella regione logaritmica si ottiene unnuovo uτ da utilizzare per ricalcolare y+

p . Il processo prosegue no a rag-giungere la convergenza.Inne, ottenuto uτ , vengono imposti i valori al bordo per k ed ε in accordocon i valori che assumono nella regione logaritmica

kp =uτ

2√Cµ

εp =uτ

3

κyp(2.44)

Un approcio simile a quanto appena presentato viene proposto da Pope [17](Cap.11, pag.442-444). Viene considerata la stima u∗τ vista in precedenzae sostituita direttamente nella legge di parete senza utilizzare un metodoiterativo.Con y∗p si indicherà la stima dell'altezza del primo centro cella in unitàviscose.

u∗τ = Cµ1/4kp

1/2 y∗p =ypu∗τ

ν(2.45)

La velocità nel centro cella si ricaverà utilizzando l'espressione della legge diparete nella regione logaritmica.

U∗p = u∗τ

(1

κln(Ey∗p)

)(2.46)


Al posto di modicare l'equazione associata al momento della quantità dimoto si impone una condizione al contorno robusta, specicando lo sforzo diReynolds nel primo centro cella

− u′v′p = u∗2τUpU∗p

(2.47)

Solitamente con questo metodo si impone una condizione di gradiente nulloper k mentre per ε si utilizza il valore stimato nell'espressione già presentata

εp =u∗τ

3

κyp(2.48)

2.4.2 Metodo di Launder-Spalding

Un metodo alternativo per applicare le funzioni di parete è stato propostoda Launder e Spalding [13].L'approcio scelto è il seguente:

• risolvere l'equazione per il momento della quantità di moto tenendo inconsiderazione una viscosità a parete modicata

• risolvere l'equazione associata all'energia cinetica turbolenta sostituen-do opportunamente i termini di dissipazione e di produzione

• imporre ε essendo a conoscenza del valore di k

Si utilizza la medesima metodologia vista precedentemente per imporre laviscosità a parete con la seguente modica. Ricordando l'espressione di u∗τ =Cµ

1/4kp1/2 la viscosità eettiva µe diventa

µe =ρCµ

1/4kp1/2ypκ

ln(Ey∗p)con y∗p =

ypCµ1/4kp

1/2

ν(2.49)

Successivamente gli integrali corrispondenti ai termini di produzione e didissipazione dell'energia cinetica turbolenta vengono sostituiti come seguenell'equazione per k.Si ricordi che nella regione logaritmica gli sforzi di Reynolds assumono unvalore molto vicino allo sforzo a parete. Di conseguenza l'integrale relativoalla produzione di energia cinetica turbolenta diventa∫ ∆y

0Pkdy =

∫ ∆y

0

τwρ

∂U

∂ydy =

τwρ

∆U =µeρ

Upyp

∆U =Cµ

1/4kp1/2ypκ

ln(Ey∗p)∆U

dove con ∆U è indicata la dierenza di velocità tra i valori ai bordi dellaprima cella a parete.Sapendo che Pk = ε nel substrato inerziale si può utilizzare l'espressione


ricavata per la produzione di k anche per ottenere il terminte legato alladissipazione di energia cinetica turbolenta∫ ∆y

0Pkdy =

∫ ∆y

0εdy =

∫ ∆y

0

τwρ

∂U

∂ydy =

∫ ∆y

0u2τ

∂U

∂ydy = u2

τ∆U (2.50)

Mentre nell'espressione precedente venivano considerati i valori ai bordi del-la prima cella a parete per calcolare ∆U in questo caso si opera in mododierente. Al bordo inferiore della cella la velocità si considera pari a zero(Uwall = 0), mentre al suo bordo superiore verrà ricavata attraverso la leggedi parete (Uedge)

∆U = Uedge − Uwall =uτκ

ln(Ey∗edge) (2.51)

L'integrale associato a ε si riduce a∫ ∆y

0εdy = u2

τ∆U =u3τ

κln(Ey∗edge) =

Cµ3/4kp

3/2

κln(Ey∗edge) (2.52)

Inne l'equazione associata ad ε non viene risolta per la prima cella vicino aparete ma ne viene imposto il valore in analogia a quanto visto per l'approciotradizionale

ε =u∗τ

3

κyp=Cµ

3/4kp3/2

κyp(2.53)

2.4.3 Funzioni di parete OpenFOAM

Una limitazione evidente degli approci nora presentati è il fatto di non con-siderare la presenza della regione lineare o del buer-layer. È quindi richiestoche il primo centro cella si trovi nella regione logaritmica, ma ciò non è sem-pre possibile.Segue ora una breve descrizione relativa alle funzioni di parete implementatein OpenFOAM, che cercano di risolvere in parte questo problema. Vengonoconsiderate solo le wall function che verranno utilizzate più avanti in questoelaborato.In accordo con l'approcio tradizionale viene modicato il valore della viscosi-tà a parete. Prima di tutto tramite il metodo di Newton applicato alla leggedi parete viene valutato il valore della y+ associata al primo centro cella. Seil valore calcolato è inferiore a 11 (y+

p < 11) non viene eettuata nessunacorrezione in quanto si presuppone di trovarsi nel substrato viscoso. In casocontrario viene imposto il valore adeguato per la viscosità turbolenta

νt = ν

(y+p κ

ln(Ey+p )− 1

)(2.54)


dove E = 9.8 e κ = 0.41 è la costante di Von Karman.Si osserva che OpenFOAM considera due regioni dello strato limite: la re-gione lineare e la regione logaritmica. Il valore di y+ = 11 rappresenta ilconne tra le due zone e si ricava eettuando l'intersezione tra la legge diparete e l'andamento della velocità nel substrato viscoso (U+ = y+). Nonviene comunque tenuta in considerazione la presenza del buer-layer.Per la dissipazione specica viene utilizzato un metodo che raccordi il suoandamento analitico vicino a parete al prolo che assume nella regione loga-ritmica. Come proposto da Menter [6] si ottiene

ωvis =6ν

β1y2p

ωlog =

√kp

β∗1/4κyp(2.55)

ω1 =√ω2vis + ω2

log (2.56)

Con una certa approssimazione risulta possible applicare un valore adeguatodi ω all'interno di tutto lo strato limite.Inne per k viene sempre considerata una condizione di gradiente nullo.Anche se le condizioni proposte non sono sempre corrette risulta possibileutilizzare le funzioni di parete anche con y+ ridotta.

2.4.4 Funzioni di parete adattive

Nel presente lavoro di tesi si cercherà di risolvere le limitazioni associateagli approci nora presentati, considerando le funzioni di parete adattive.Il termine adattive si riferisce al fatto che possono essere applicate indipen-dentemente dalla dimensione della prima cella a parete. Una loro possibileimplementazione viene fornita nell'articolo di Kalitzin [10].Si terrà conto delle seguenti quantità adimensionali in unità di parete

y+ =yuτν

U+ =U

uτk+ =

k

u2τ

ω+ =ων

u2τ

(2.57)

Viene denito prima di tutto il numero di Reynolds Rey dove come lunghezzadi riferimento viene utilizzata l'altezza del primo centro cella y1 e U1 è lavelocità nel medesimo punto

Rey =y1U1

ν= y+

1 U+1 (y+

1 ) = F (y+1 ) (2.58)

dove F è una funzione universale. Se è nota, invertendo la relazione si puòottenere uτ .

y1uτν

= F−1(Rey) (2.59)

In riferimento al modello k − ω è possibile applicare nel primo centro cella ivalori delle variabili turbolente come segue

k1 = k+(y+1 )u2

τ ω1 =ω+(y+

1 )u2τ

ν(2.60)


Bisogna essere a conoscenza degli andamenti di F (y+1 ), k+(y+

1 ) e ω+(y+1 ).

Per ottenerli si è eseguito un calcolo Low-Reynolds relativo a un caso distrato limite turbolento su lastra piana, in assenza di gradiente di pressionelongitudinale. In questo modo si sono ricavati i proli universali in unità diparete per le quantità considerate.Un metodo alternativo poteva prevedere l'utilizzo delle espressioni analiti-che solitamente note per le regioni, lineare e logaritmica, dello strato limite.Anche se questo approcio poteva risultare meno laborioso non si sarebbeottenuto un andamento corretto per il buer-layer, dove sarebbe stato ne-cessario fornire un opportuno raccordo.Nel presente lavoro di tesi non è stata direttamente invertita la funzione F .Avendo tabulato Rey in funzione di y+ una volta trovato il Reynolds asso-ciato al primo centro cella, la sua altezza in unità di parete y+

1 è subito notacome anche i valori da imporre per le varibili turbolente (k+

1 , ω+1 ).

La velocità di parete è stata quindi ottenuta utilizzando la relazione

uτ =y+

1 ν

y1(2.61)

Come già visto nell'approcio tradizionale per le wall function per ottenere ilvalore corretto dello sforzo a parete occorrerà modicare opportunamente ilvalore della viscosità.In OpenFOAM lo sforzo a parete è così denito

τw = (ν + νt)U1

y1(2.62)

Inserendo le quantità adimensionali denite in precedenza si ottiene il valoreche la viscosità turbolenta νt deve assumere a parete

νt = ν

(y+

1

U+1

− 1

)(2.63)

Viene ora proposta una possibile modica del metodo presentato. Nell'arti-colo di riferimento si esplora la possibilità che quando le funzioni di pareteadattive vengano applicate ad un modello di turbolenza della famiglia k−ωse la y+ relativa al primo centro cella è troppo piccola si manifesta un con-sistente errore numerico, evidente nell'andamento del prolo di velocità. Diconseguenza si registra una valutazione non corretta del coeciente di attri-to.Kalitzin propone di imporre il valore esatto relativo alle variabili turbolente,anche nelle celle immediatamente superiori alle celle di parete.Questo miglioramento è applicabile solo in assenza di gradienti di pressione oper ussi in quasi-equilibrio. L'altezza in unità di parete del secondo centrocella potrebbe risultare elevata e potrebbe venire imposto un valore errato.


Infatti in presenza di un gradiente di pressione, man mano che ci si allona-tana dal substrato viscoso, i proli universali (u+, k+, ω+) si modicano inmodo sempre più rilevante.Inne è bene osservare che nel caso di griglie di calcolo non ortogonali èneccessaria almeno una mesh strutturata di strato limite per poter imporrele funzioni di parete adattive o la loro versione migliorata.

Capitolo 3

Implementazione

Nel seguente capitolo verranno presentate le caratteristiche principali delprogramma utilizzato per l'elaborazione di questa tesi. La scelta è ricadutasu OpenFOAM, software libero studiato per il calcolo ad elementi niti.Il linguaggio di programmazione su cui si basa è il C++, ed è così possibilesfruttare le grandi potenzialità oerte dalla programmazione orientata aglioggetti.Seguirà una descrizione generale del software e degli aspetti fondamentaliche lo caratterizzano.Inne verrà trattata in maniera approfondita l'implementazione dal puntodi vista numerico delle funzioni di parete adattive.

3.1 Linguaggio C++

Il C++ è probabimente ad oggi uno dei linguaggi di programmazione piùutilizzati. Un motivo del suo successo è sicuramente il fatto di fare pro-prio il concetto di programmazione orientata agli oggetti. Questo approciosi distingue in maniera signicativa dalla più nota programmazione di tipoprocedurale.Il metodo classico si basa sulla costruzione di un programma principale(main) che richiama a seconda della necessità delle funzioni denite ester-namente. Per permettere il riutilizzo di parte del codice si può fare in mododi organizzare queste funzioni in librerie permettendo così anche ad altriprogrammi di invocarle durante l'esecuzione. La generalizzazione del codiceperò non può spingersi oltre.Attraverso la programmazione orientata agli oggetti invece è possibile riuti-lizzare gran parte del codice prodotto. Al tempo stesso risulta più agevole laleggibilità e la manutenzione. Base di questa losoa sono le entità dentecome oggetti. L'approcio che viene seguito per la loro creazione è di caratte-re concettuale: bisogna identicare quali caratteristiche possiede l'oggetto equali compiti deve essere in grado di svolgere.

3.1 Linguaggio C++ 23

In sintesi un oggetto è un elemento che racchiude in sè informazioni di duetipi: i metodi e le proprietà. I metodi sono le azioni che può compiere l'og-getto agendo sugli elementi che lo costituiscono, ossia le proprietà. Oggettiche hanno le stesse proprietà e gli stessi metodi possono essere raccolti inun'unica classe, e ogni oggetto potrà essere considerato un'istanza della clas-se a cui appartiene.Di norma un oggetto non può manipolare direttamente le proprietà relativead un altro oggetto, ma solo le proprie. Per far si che gli oggetti possanointeragire tra loro si ricorre all'uso di messaggi. Quando un oggetto riceveun messaggio agirà con un determinato metodo sulle sue proprietà, permet-tendo all'oggetto che lo ha inviato di operare in modo indiretto.Qui di seguito vengono ora presentate tre caratteristiche fondamentali dellaprogrammazione orientata agli oggetti

• incapsulamento: risiede nella denizione stessa di oggetto, un ele-mento che incorpora allo stesso tempo sia i metodi, sia le variabili sucui questi agiscono.

• polimorsmo: possibilità che oggetti simili rispondano in modo di-verso allo stesso messaggio.

• ereditarietà: da una classe madre si è in grado di denire delle classiglie che hanno le medesime caratteristiche della classe da cui derivano,ma al contempo presentano nuove varibili e funzionalità.

Ne seguono numerosi vantaggi. Ad esempio se è necessaria la modica diparte del programma basterà modicare la classe corrispondente e in manie-ra automatica la modica verrà trasmessa anche ad eventuali classi derivate.Inoltre risulta possibile denire classi dette astratte che contengano unica-mente dei metodi generali e siano la base per costituire via via classi piùspeciche. Ogni sotto-classe erediterà i metodi della classe astratta, ma po-trà rispondere in maniera diversa quando vengono invocati (polimorsmo).Nella classe glia è infatti possibile ridenire i metodi se necessario (overri-ding delle funzioni).Nel caso in cui in una classe astratta vengano indicati solo i nomi dei metodie la loro denizione è rimandata alle classi derivate si parlerà di interfaccia.Altra peculiarità delle classi è la possibilità di denire una diversa visibilitàper gli elementi che le compongono. In questo modo metodi e proprietà nonrisultano essere tutti direttamente accessibili dall'esterno. Sono presenti treoperatori di accesso

• private: elementi accessibili solo all'interno della classe di apparte-nenza

• protected: elementi accessibili dalla classe di appartenenza e dalleclassi da essa derivate

3.2 OpenFOAM 24

• public: elementi a cui si può accedere da ogni punto del programma

Inne non è secondario ricordare che il C++ mantiene molti aspetti dellinguaggio procedurale tipico del linguaggio C permettendo quindi anche unapproccio più tradizionale. In aggiunta porta alcuni miglioramenti come adesempio la possibilità di denire funzioni diverse utilizzando il medesimonome (overloading delle funzioni) a patto che gli argomenti e gli output nonsiano dello stesso tipo.

3.2 OpenFOAM

Il software utilizzato per l'elaborazione di questa tesi è OpenFOAM, nellospecico la versione 2.0.1.Questo programma può essere considerato una raccolta di numerose appli-cazioni per lo studio della meccanica dei continui. Allo stesso tempo com-prende un insieme di librerie speciche per denire la natura dei problemiche si vogliono analizzare. Le applicazioni disponibili si possono dividere indue categorie.La prima comprende i solutori (solvers). Ognuno di questi applicativi si pre-sta alla risoluzione di un ben preciso problema della meccanica del continuoa seconda delle equazioni che sono denite al suo interno. Per ottenere irisultati presentati in questa tesi si è scelto di utilizzare il solutore staziona-rio SimpleFoam, adatto allo studio di correnti di uido incomprimibile e inpresenza di turbolenza.La seconda invece comprende una serie di strumenti (utilities) divisibili indue gruppi

• applicazioni per il pre-processing, ad esempio per la creazione dellamesh di calcolo

• applicazioni per il post-processing, solitamente utilizzate per estrarredati signicativi dai risultati ottenuti

Nella presente tesi si è fatto l'uso delle seguenti

• blockMesh per creare il dominio di calcolo a partire dal le blockMesh-

Dict

• checkMesh per controllare la qualità della mesh

• deocomposePar per suddividere il dominio di calcolo in tante partiquante i processori disponibili in modo da poter eettuare calcoli inparallelo

• wallShearStress per calcolare gli sforzi agenti sulle pareti solide.

3.2 OpenFOAM 25

• wallGradU alternativa a wallShearStress. Calcola i gradienti in pros-simità delle pareti solide. Per ottenere gli sforzi a parete è necessariomoltiplicare i risultati per il valore della viscosità a parete.

• sample per estrarre dalla soluzione all'istante nale i dati di interesse

• yPlusRAS per calcolare l'andamento a parete della y+1 quando si uti-

lizza un modello di turbolenza R.A.N.S.

• reconstructPar per ricostruire la soluzione ai vari istanti nel caso ildominio sia stato suddiviso con il comando decomposePar

• gmshToFoam per convertire mesh create con il programma Gmsh informato compatibile a OpenFOAM

• paraFoam strumento per la visualizzazaione dei risultati tramite Para-view

Un motivo che ha portato alla scelta di questo programma è la possibilitàdata agli utenti di creare nuove applicazioni o modicare quelle esistenti.Sfruttando la programmazione orientata agli oggetti è stato possibile im-plementare le funzioni di parete adattive aggiornando unicamente solo unaporzione di OpenFOAM.La modiche necessarie sono state apportate alla sezione che riguarda i mo-delli di turbolenza per uidi incomprimibili e in particolare ci occuperemodei modelli R.A.N.S.. La cartella che contiene i le di interesse può essereun esempio indicativo di come si compone una libreria in OpenFOAM.In primo luogo sono presenti le cartelle che contengono le denzioni dei di-versi modelli di turbolenza o più in generale delle diverse classi che andrannoa comporre la libreria. Il contenuto delle singole cartelle è il seguente:

• file.H che contiene la dichiarazione della classe, delle varibili e deimetodi utilizzati

• file.C che contiene la denizione degli elementi che costiutiscono laclasse, in questo caso l'eettiva implementazione di ogni modello

I file.H rivestono una funzione importante assicurando l'esistenza degli ele-menti che poi eettivamente verranno dichiarati nel file.C. Di conseguenzaper costituire una classe bisognerà considerare tutti i file.H necessari perla sua denizione. Questa operazione viene eettuata all'inizio del codiceattraverso il comando #include seguito dal nome del le necessario.Sono presenti poi due ulteriori cartelle.La cartella denominata include contiene porzioni di codice al ne di snellirela denizione di alcune classi e raccogliere le parti comuni che possono essereriutilizzate. Utilizzando il comando #include sarà possibile inserire i ledove richiesto.

3.2 OpenFOAM 26

Inne all'interno della cartella Make si trovano i le necessari alla crezionedella libreria.

• les contiene l'elenco di tutti i file.C che occorrono per la creazionedella libreria

• options contiene invece le informazioni necessarie alla compilazione:le librerie a cui si deve fare riferimento e gli Header les (file.H)contenuti in altre parti del programma

Per la creazione della libreria occorrerà utilizzare il comando wmake libso.Il vantaggio di utilizzare delle librerie è notevole.Infatti nel caso in cui si crei un'applicazione a cui occorrano i le contenutiin una libreria basterà fornire il collegamento alla libreria stessa senza ricom-pilare nuovamente i le che contiene.Il procedimento che si è seguito per la modica della libreria relativa aimodelli di turbolenza per uidi incomprimibili è il seguente

• modica di un modello di turbolenza preesistente in modo che includal'utilizzo delle funzioni di parete adattive. Il modello scelto, come giàesposto, è il k − ω SST . Si è creata una nuova implementazione delmodello e i le ad esso relativi: kOmegaSSTnwf.C e kOmegaSSTnwf.H

(nwf acronimo per NewWallFunction).

• aggiunta nella cartella include dei le necessari all'implementazionedelle nuove funzioni di parete: interWallFunctionOmega.H, wallkI.H,wallOmegaI.H, setWallViscosity.H.

• aggiunta all'elenco les presente nella cartellaMake di kOmegaSSTnwf.C.

• compilazione della libreria

In questo modo alla libreria standard di OpenFOAM è stato aggiunto ilmodello di turbolenza modicato.

3.2.1 Caso base

Prima di analizzare nel dettaglio i le che hanno permesso di implementare lefunzioni di parete adattive viene presentata la struttura tipica di un problemauidodinamico in OpenFOAM. Gli elementi fondamentali sono i cosiddettidictionaries ossia i le in cui sono contenute le caratteristiche del caso, letecniche per la sua soluzione e numerosi altri parametri.Un caso standard è costituto da tre cartelle principali:

• 0 : contiene le condizioni iniziali e le condizioni al contorno del caso inquestione

3.2 OpenFOAM 27

• constant : contiene le caratteristiche del uido considerato e nella sot-tocartella polyMesh la denizione del dominio di calcolo

• system: contiene gli schemi numerici, la denizione dei solutori e alcuniparametri di controllo. Possono essere inoltre presenti dictionaries perraccogliere o monitorare dati di interesse

Analizziamo ora più in dettaglio il contenuto di ciascuna cartella.Nella cartella 0 vengono raccolti i valori che le variabili assumono all'istanteiniziale in ogni punto del dominio. Per un caso di interesse uidodinamicoè necessario in primo luogo denire il campo di velocità e di pressione. Nelnostro caso dovranno anche essere aggiunti i campi relativi alle varibili turbo-lente (viscosità turbolenta, energia cinetica turbolenta, ecc . . . ). Prendiamoad esempio il le U che contiene il campo di velocità

FoamFile

version 2.0;

format ascii;

class volVectorField;

object U;

dimensions [0 1 -1 0 0 0 0];

internalField uniform (10 0 0);

boundaryField

inlet

type fixedValue;

value uniform (10 0 0);

outlet

type zeroGradient;

...

side_left

type empty;

...

3.2 OpenFOAM 28

Viene prima di tutto denita la natura del campo in esame, in questocaso un campo vettoriale (VolVectorField). Sono ovviamente disponibi-li anche altre denominazioni a seconda delle caratteristiche delle variabili(VolScalarField, VolTensorField, ecc . . . ).Tramite l'array dimensions possono essere combinate le grandezze fonda-mentali del Sistema Internazionale per stabilire l'unità di misura adeguata(qui m/s).La riga internalField denisce il valore iniziale del campo ad eccezionedei bordi. Nelle righe successive (boundaryField) vengono stabilite invecele condizioni al contorno. Le più tipiche sono presentate nell'esempio: im-posizione di un valore (fixedValue) o richiesta di gradiente nullo al bordo(zeroGradient). Particolare rilevanza riveste la condizione del tipo empty

in quanto permette di risolvere ussi bidimensionali, anche se OpenFOAM èstudiato appositamente per operare su domini tridimensionali.Passiamo ora alla cartella constant. Al suo interno troviamo:

• la denizione delle proprietà del uido, quale ad esempio la viscositàcinematica, all'interno del le transportProperties

• il dizionario che seleziona il modello di turbolenza che verrà utilizzato(RASProperties)

• la cartella polyMesh necessaria per la costruzione del dominio di calcolo

In quest'ultima cartella è contenuto il le blockMeshDict qui di seguitopresentato

convertToMeters 1.0;

vertices

(

(0.0000 0.0000 0.0000)

...

);

blocks

(

hex (0 1 2 3 4 5 6 7) (10 10 10) simpleGrading (0.1 10 1)

...

);

patches

(

patch inlet

(

(1 2 3 4)

)

...

);

3.2 OpenFOAM 29

Nella prima riga (convertToMeters) viene denito il fattore di scala concui dovrà essere costruito il dominio e di seguito sono elencati i suoi vertici(vertices). Questi punti verranno poi raggruppati a costituire dei blocchi(blocks) rettangolari e permettere così di denire i parametri della mesh(numero di celle nelle tre direzioni dello spazio, algoritmo utilizzato per lasuddivisione, rapporto tra una cella e quella adiacente).Inne vengono raccolte le zone (patches) che costituiranno il bordo. I nomidelle diverse patch devono essere consistenti ai nomi che appaiono nei leper le condizioni al contorno.Utilizzando l'applicazione blockMesh si otterrà eettivamente il dominio dicalcolo con la creazione dei seguenti le:

• boundary : contiene l'elenco delle patch che deniscono il contorno deldominio.

• faces: contiene l'elenco delle facce che compongono la mesh. Per ognifaccia vengono indicati i suoi quattro vertici.

• neighbour e owner : deniscono a quali celle appartengono le singolefacce. A meno che non appartenga al bordo una faccia è comune a solodue celle.

• points: contiene i punti che deniscono la mesh.

Alternativamente si può utilizzare un diverso software per costruire la meshe convertirla in seguito utilizzando un comando oppportuno.Inne la cartella system contiene i parametri necessari alla risoluzione nu-merica del caso

• controlDict contiene i parametri di controllo fondamentali quali istan-te iniziale, numero totale di iterazioni, numero di cifre signicativeconsiderate, possibilità di modicare il caso run-time, ecc . . .

• fvSchemes contiene gli schemi numerici utilizzati per approssimare lederivate temporali, la divergenza, i gradienti e tutti gli altri operatorimatematici che possono comparire nelle equazioni. Si stabiliscono inol-tre gli schemi utilizzati per l'interpolazione dei risultati e se è necessariocalcolare un usso di un determinato campo.

ddtSchemes

default steadyState;

gradSchemes

default Gauss linear;

3.2 OpenFOAM 30

grad(p) Gauss linear;

grad(U) Gauss linear;

divSchemes

default Gauss linear;

div(phi,U) Gauss linearUpwind grad(U);

laplacianSchemes

default Gauss linear corrected;

interpolationSchemes

default linear;

interpolate(U) linear;

snGradSchemes

default corrected;

fluxRequired

default no;

p ;

Si può stabilire uno schema numerico di default per ogni operatorematematico oppure specicare lo schema più appropriato. Solitamenteviene utilizzata l'integrazione di Gauss con un interpolazione di tipolineare (Gauss linear), schema che risulta essere del secondo ordinema non limitato. In aternativa sono disponibili numerosi altri schemidel primo o secondo ordine, limitati o meno (upwind, leastSquares,TVD, linearUpwind, ecc . . . )

• fvSolution contiene i metodi utilizzati per ottenere una soluzione dalleequazioni approssimate.Ad ogni equazione viene associato un solutore, stabilità una tolleranzao un numero massimo di iterazioni. Ad ogni iterazione del solutorespecico per il problema scelto ci saranno i solutori lineari relativi adogni equazione che eettueranno le iterazioni necessarie a soddisfare latolleranza scelta (o no a raggiungere il valore limite di iterazioni).

3.2 OpenFOAM 31

Per la scelta della tolleranza sono disponibili due strade. Il residuo na-le relativo ad ogni equazione dovrà ricadere sotto una specica tolleran-za (tolleranza assoluta) oppure dovrà avere un determinato rapportocon il residuo iniziale (tolleranza relativa).

solvers

p

solver PCG;

preconditioner DIC;

tolerance 1e-12;

relTol 0.1;

U

solver PBiCG;

preconditioner DILU;

tolerance 1e-20;

relTol 0.1;

...

SIMPLE

residualControl

p 1e-3;

U 1e-5;

...

relaxationFactors

p 0.3;

U 0.5;

...

I solvers che vengono qui dichiarati si riferiscono al metodo iterativoutilizzato per trovare la soluzione dei sistemi lineari associati alle di-verse equazioni.Uno dei più utilizzati è il metodo del gradiente coniugato precondizio-nato (PCG). Come precondizionatore solitamente si usa una decomposi-

3.2 OpenFOAM 32

zione alla Cholesky della matrice dei coecienti (DIC). Usando questometodo è però necessario che la matrice sia simmmetrica. Nel caso diasimmetria la scelta può ricadere sul metodo del gradiente bi-coniugatoprecondizionato (PBiCG), dove come precondizionatore viene utilizzatauna decomposizione LU della matrice (DILU).Vengono poi deniti ulteriori parametri a seconda del solutore scel-to. In questo caso si intende per solutore l'applicativo che contiene ladenizione delle equazioni relative ad un ben preciso problema udo-dinamico e l'algoritmo più adatto alla loro risoluzione.Per problemi stazionari ad esempio si utilizza un metodo di tipo SIM-PLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equation). Vengonodeniti di conseguenza dei coecienti di rilassamento. Questi terminiquanticano il contributo della soluzione ad un'iterazione precedentesulla soluzione al passo attuale. Solitamente più è elevato il valore diun coeciente più sarà veloce la convergenza, ma d'altra parte potran-no presentarsi oscillazioni numeriche nei risultati. Per limitare questofenomeno basterà modicare opportunamente il rilassamento.Inne viene inserito un controllo sul residuo iniziale in modo da termi-nare il processo di calcolo quando si raggiunge la convergenza. Questiultimi parametri vanno scelti accuratamente dato che imponendo re-sidui troppo alti è possible che la soluzione non sia ancora giunta alvalore esatto.

Possono inoltre essere presenti altri dictionaries per la decomposizione deldominio per il calcolo parallelo (decomposeParDict), per la raccolta dei dati(sampleDict), per il calcolo dei coecienti aerodinamici (forceCoes).Soermiamoci sugli ultimi due.Il le forceCoes permette il calcolo durante la simulazione dei coecientiaerodinamici per la geometria in esame.

forceCoeffs

type forceCoeffs;

functionObjectLibs ( "libforces.so" );

outputControl timeStep;

outputInterval 1;

patches ( "airfoil" );

pName p;

UName U;

rhoName rhoInf;

log true;

rhoInf 1;

liftDir (0 1 0); // Direzione della portanza

dragDir (1 0 0); // Direzione della resistenza

CofR (0.25 0 0); // Centro di rotazione

3.2 OpenFOAM 33

pitchAxis (0 0 -1); // Asse di rotazione

magUInf 5; // Modulo della velocità

lRef 1; // Lunghezza di riferimento

Aref 1; // Area di riferimento

In primo luogo viene caricata la libreria che permette il calcolo delle forzeche agiscono su una supercie. Vengono poi selezionate le patch che deli-mitano il contorno solido dell'oggetto di cui vogliamo calcolare i coecientiaerodinamici. Seguono poi le quantità necessarie al calcolo dei coecienti(direzione di portanza, area di riferimento, ecc...). Eliminando queste infor-mazioni dal le è possibile calcolare direttamente il valore delle forze agenti.Il dizionario sampleDict determina i parametri per campionare il dominio dicalcolo ed estrarre i dati di interesse.

setFormat raw;

surfaceFormat raw;

interpolationScheme cellPointFace;

fields

(

p

U

...

);

sets

(

profile1

type midPointAndFace ;

axis xyz;

start (0.5 0 0.05);

end (0.5 0.05 0.05);

...

);

surfaces

(

profile2

type patch;

patches (airfoil);

interpolate true;

...

);

3.3 Funzioni di parete adattive 34

Prima di tutto viene denito il formato con cui verranno salvati i dati. Unodei più tipici è il formato raw. In questo modo i le che verranno creaticonterranno nelle prime tre colonne le coordinate (x, y, z) del punto in cuisono stati campionati i risultati, mentre le colonne successive presenterannoi dati di interesse. Per ottenerli sono tenuti in considerazione i valori dellasoluzione al centro delle celle, sulle loro facce e ai loro vertici a seconda delmetodo di interpolazione scelto.Segue un elenco dei campi da cui estrarre i valori di interesse. Nel caso ilcampionamento sia eettuato lungo una linea generalmente sono necessaritre parametri. Prima di tutto bisogna denire il punto iniziale e il puntonale della linea. Poi è necessario scegliere la densità del campionamento. Èpossibile scegliere un campionamento uniforme, oppure decidere di salvare ivalori presenti nelle celle o sulle facce che la linea interseca.Solitamente è necessario conoscere l'andamento di alcune quantità lungo lepareti solide presenti nel dominio. In questo caso basta indicare il nome dellapatch associata e si potranno ottenenere i valori che si cercavano. Nel casoil campionamento debba essere eettuato su un piano arbitrario occorreràinvece specicarne un punto e la sua normale.

3.3 Funzioni di parete adattive

Per implementare il metodo presentato è stato necessario modicare oppor-tunamente il modello di turbolenza k − ω SST e aggiungere alcuni le chepermettessero di applicare le funzioni di parete adattive.Prima di tutto deve essere caricata la tabella che contiene l'andamento dellavelocità e delle quantità turbolente in funzione della y+ e del numero di Rey-nolds locale calcolato utilizzando come lunghezza di riferimento la distanzada parete.Il comando utilizzato è il seguente

TABLE(IFstream("WF_TABLE.txt")())

portando così alla creazione della variabile TABLE dalla lettura del leWFTABLE.txt contenuto nella cartella del caso. La varibile TABLE è del tipoRectangularMatrix<doubleScalar> ossia una matrice rettangolare di nu-meri reali. Essendo così denita il le WFTABLE.txt è stato organizzato nelmodo qui di seguito presentato

300 5

(

( 0.000000e+00 4.382600e-08 0.000000e+00 7.435221e-13 4.165077e+05 )

( ... )

...

)


All'inizio vengono identicati il numero di righe e di colonne della matrice.Le colonne della matrice contengono nell'ordine il numero di Reynolds localeRey, il valore di y+, della velocità, dell'energia cinetica turbolenta e delladissipazione specica tutte espresse in unità di parete.Queste prime modiche hanno portato a includere nel le kOmegaSST.C ile IFStream.H e RectangularMatrix.H che contengono la denizione delcomando e della variabile che sono stati utilizzati. Viene inoltre salvato comevariabile globale il numero di righe della tabella

N_tbl(TABLE.n()-1)

Per facilitare l'imposizione della viscosità turbolenta al bordo viene inizializ-zato un campo ttizio dove verranno salvati i valori aggiornati per la viscositàa parete prima di essere applicati.

tmpnut_(a1_*k_/max(a1_*omega_,

F2()*sqrt(2.0)*mag(symm(fvc::grad(U_)))))

Segue ora la presentazione del le InterWallFuncOmega.H che implementaspecicatamente il metodo per applicare le funzioni di parete adattive. Primadi tutto viene creata una lista delle patch esistenti nel dominio

const fvPatchList& patches = mesh_.boundary();

e inizializzate alcune variabili

double ni=1e-5;

double y_plus, u_plus, k_plus, omega_plus;

int i1=0;

int i2=0;

int i3=0;

bool enter = true;

Le prime due righe presentano le varibili che conserveranno i valori dellequantità turbulente nelle prime celle vicino a parete. Vengono poi inizializ-zati i contatori necessari per l'algoritmo di bisezione riportato più avanti.Segue poi un ciclo per selezionare ogni patch e vericare se sia denita comeparete solida (wall)

forAll(patches, patchi)

const fvPatch& curPatch = patches[patchi];

if (isA<wallFvPatch>(curPatch))

...


Nel caso la patch sia una parete solida vengono calcolate le normali allefacce che la compongono e comincia un ciclo per selezionare ogni cella che lacostituisce

vectorField NN = curPatch.nf();

forAll(curPatch, facei)

label faceCelli = curPatch.faceCells()[facei];

Viene denita inoltre una varibile faceCelli che identica il numero dellacella. Di seguito viene poi calcolata la componente tangenziale della velocitànel primo centro cella.

vector n=NN[facei];

n = n / mag(n);

vector p = U_.internalField()[faceCelli]

- U_.boundaryField()[patchi][facei];

p = p - (p & n)*n;

Si considera la normale alla faccia selezionata e se ne ricava il versore cor-rispondente (normalizzando attraverso il modulo). Inoltre dalla velocità nelprimo centro cella viene rimossa la velocità della parete solida. Quando adesempio si simula il usso attorno a un veicolo, nel dominio di calcolo l'og-getto è da ritenersi fermo e per approssimare il suo moto viene assegnatauna velocità di avanzamento alla strada stessa. Nelle celle aventi un bordoin comune con la supercie in movimento sarà necessario eettuare questaoperazione.Inne il vettore velocità viene depurato della sua componente normale albordo. Ottenuta la velocità, viene determinata l'altezza del primo centrocella (y1) e ricavata la viscosità a parete (ni) per permettere così il calcolodel numero di Reynolds locale (u1y1).

scalar y1 = y()[patchi][facei];

ni = nu()().internalField()[faceCelli];

scalar u1y1 = mag(p)*y1/ni;

Segue l'algoritmo di bisezione per determinare i due valori della tabella trai quali ricade il numero di Reynolds appena calcolato.

enter = true;

i1 = 0;

i2 = N_tbl;

i3 = (i1+i2)/2;


while(enter)

if ( (TABLE[i3][0]-u1y1)*(TABLE[i1][0]-u1y1) >0 )

i1=i3;

else

i2=i3;

i3 = (i1+i2)/2;

if ( i1 == i3 )

enter = false;

;

Inne tramite interpolazione lineare tra i due valori trovati, è possibile ot-tentere le quantità turbolente relative al primo centro cella (espresse in unitàdi parete).

if (i2<N_tbl)

y_plus=TABLE[i1][1]+((TABLE[i2][1]-TABLE[i1][1])/

(TABLE[i2][0]-TABLE[i1][0]))*(u1y1-TABLE[i1][0]);

u_plus=TABLE[i1][2]+((TABLE[i2][2]-TABLE[i1][2])/


k_plus=TABLE[i1][3]+((TABLE[i2][3]-TABLE[i1][3])/


omega_plus=TABLE[i1][4]+((TABLE[i2][4]-TABLE[i1][4])/


Nel caso in cui si superi la dimensione massima della tabella verrà impostol'ultimo valore disponibile. La scelta è legittima in quanto ai valori piùelevati di y+ corrisponderà una zona esterna dello strato limite dove i valorirelativi alle quantità turbolente (in unità di parete) rimangono costanti omeglio dipendono dalle condizioni asintotiche del usso.

else

y_plus=TABLE[N_tbl][1];

u_plus=TABLE[N_tbl][2];

k_plus=TABLE[N_tbl][3];

omega_plus=TABLE[N_tbl][4];

I valori ottenuti sono in unità di parete e di conseguenza è necessaria unastima della velocità di parete, che si può ricavare in quanto si conosce ilvalore della y+.


double u_tau = ni*y_plus/y1;

double u_tau2 = pow(u_tau,2);

Sarà possibile quindi imporre nel centro cella i valori eettivi assunti dallequantità turbolente

k_[faceCelli] = u_tau2*k_plus;

omega_[faceCelli] = u_tau2/ni*omega_plus;

Inne viene corretto il valore della viscosità turbolenta a parete e salvato nelcampo ausiliario.

tmpnut_.boundaryField()[patchi][facei]=ni*(y_plus/u_plus - 1);

Talvolta è avvenuto che alcune quantità assumessero valore nullo. Per evi-tare questo inconveniente sono stati inseriti dei controlli che provvedessero asostituire il valore nullo con una quantità altrettanto piccola, evitando peròl'insorgenza di problemi numerici (divisione per zero).

if ( u_plus==0 )

u_plus=1e-11;

Tornando al le principale i valori assegnati nei centri cella devono ora es-sere imposti come valori noti (vincoli) nelle equazioni relative alle varibiliturbolente.

const fvPatchList& patches = mesh_.boundary();

forAll(patches, patchi)

const fvPatch& p = patches[patchi];

if (isA<wallFvPatch>(p))

kEqn().setValues

(

p.faceCells(),

k_.boundaryField()[patchi].patchInternalField()

);

Come già visto si cercano le patch che costituiscono il contorno solido. At-traverso kEqn().setValues si vincolano i valori per l'energia cinetica turbo-lenta nelle celle vicine a parete. Analogamente si procede per l'equazione diω.


Inne viene eettivamente imposto il valore esatto della viscosità turbolen-ta a parete grazie al le setWallViscosity.H. Per questa operazione vieneutilizzato il campo ausiliario creato in precedenza. Le facce che compongonoil bordo vengono selezionate seguendo la procedura consueta.

forAll(p, facei)

nut_.boundaryField()[patchi][facei]=

tmpnut_.boundaryField()[patchi][facei];

Queste sono le modiche apportate al modello di turbolenza. Per implemen-tare il miglioramento suggerito da Kalitzin ([10]) e diminuire la diusionenumerica che si verica nel caso il valore della y+ sia troppo piccolo sonostati aggiunti alcuni accorgimenti.Per imporre il valore delle variabili turbolente anche nella seconda cella vi-cina al bordo prima di tutto è necessario identicare la cella in questione.Nel le InterWallFunctionOmega.H veniva considerata solo la prima cellaa parete. In più ora si determinano anche le celle che hanno una faccia incomune con la cella selezionata: due saranno le celle laterali appartenentianch'esse al bordo, mentre la terza sarà la cella superiore.

labelList CellNeighbours = mesh_.cellCells()[faceCelli];

forAll(CellNeighbours, cellI)

label tmp_cell = CellNeighbours[cellI];

if ( y_[tmp_cell] > 2*y_[faceCelli] )

second_cell=tmp_cell;

Nel caso in cui l'altezza del centro cella sia maggiore della grandezza della pri-ma cella, si potrà dire di aver trovato la cella superiore. Si dovrà provvedereinoltre a salvare il numero identicativo associato a queste celle. Ovviamentequesto metoodo funziona unicamente su mesh ortogonali o almeno con unagriglia strutturata di strato limite.Avendo già a disposizione una stima della velocità di parete uτ si può subitoricavare il valore di y+ nel secondo centro cella.

double y_plus_2 = u_tau*y_[second_cell]/ni;

I valori relativi alle varibili turbolente si potranno ottenere tramite interpo-lazione lineare dei dati tabulati.

int k = 0;

for (int i = 0; i < N_tbl; i++)


if (TABLE[i][1] > y_plus_2 && k==0)

k_plus_2 = TABLE[i-1][3]+((y_plus_2-TABLE[i-1][1])/

(TABLE[i][1]-TABLE[i-1][1]))*(TABLE[i][3]-TABLE[i-1][3]);

omega_plus_2 = TABLE[i-1][4]+((y_plus_2-TABLE[i-1][1])/

(TABLE[i][1]-TABLE[i-1][1]))*(TABLE[i][4]-TABLE[i-1][4]);

k=1;

if ( k == 0 )

k_plus_2 = TABLE[N_tbl][3];

omega_plus_2 = TABLE[N_tbl][4];

La tabella viene esaminata per individuare tra quali valori ricada la y+ cal-colata nel secondo centro cella. Una volta trovati sarà possibile ricavare lequantità turbolente di interesse. Il contatore k è utilizzato unicamente perinterrompere il ciclo quando termina la ricerca. Se l'altezza del secondo cen-tro cella è notevole verranno imposti gli ultimi valori disponibili nella tabella,come già fatto in precedenza.Inne le variabili turbolente da applicare nel secondo centro cella vengo-no salvate in due campi ausiliari che dovranno essere stati precedentementecreati nel le principale del modello di turbolenza modicato.

tmpk_[faceCelli]= u_tau2*k_plus_2;

tmpomega_[faceCelli]= u_tau2/ni*omega_plus_2;

Anche in questo caso bisognerà applicare i valori trovati alle equazioni cor-rispondenti.Per assegnare questi ulteriori vincoli all'equazione per l'energia cinetica tur-bolenta dovranno essere aggiunte le seguenti righe al codice visto in prece-denza

kEqn().setValues

(

refCells,

tmpk_.boundaryField()[patchi].patchInternalField()

);

dove refCells si riferisce alla lista dei secondi centri cella salvata prece-dentemente. I valori da imporre vengono caricati dal campo ausiliario. Perl'equazione relativa alla dissipazione specica ω si opererà in maniera deltutto analoga.

Capitolo 4

Validazione

Per implementare il metodo proposto è stato necessario ottenere gli anda-menti delle quantità turbolente all'interno dello strato limite per il modellodi turbolenza considerato.Si è quindi arontata la risoluzione di un caso di strato limite su lastra pianacon gradiente nullo di pressione in direzione parallela alla corrente, utilizzan-do una griglia di calcolo Low-Reynolds. Ricavando i dati di interesse è statopossibile ottenere la tabella richiesta dal nuovo metodo.Le funzioni di parete adattive verranno poi applicate al medesimo caso, masu griglie di calcolo in cui la posizione del primo centro cella è man manopiù elevata (High-Reynolds).Prima di presentare i risultati relativi al nuovo metodo, si è scelto di analiz-zare il comportamento delle funzioni di parete attualmente implementate inOpenFOAM. In questo modo è stato possibile evidenziare le migliorie intro-dotte.Sono riportati inoltre i risultati ottenuti con un diverso modello di turbolen-za (v2 − f) in cui viene utilizzato il medesimo approcio per quanto riguardale wall function. Inne allo scopo di migliorare ulteriormente le funzionidi parete adattive ne viene prosposta una seconda versione che ore alcunibeneci.

4.1 Calcolo Low-Reynolds

Per ricavare in maniera precisa l'andamento delle variabili turbolente vicinoa parete è necessario utilizzare una griglia di calcolo molto ranata all'inter-no dello strato limite. Di conseguenza la scelta del caso deve orientarsi versoun problema semplice in modo che non si presentino ulteriori criticità. Inquesto lavoro di tesi si è optato per lo strato limite turbolento che si generasu una lastra piana investita da una corrente di uido.Per far si che l'andamento della legge di parete venga correttamente ripro-dotto è assente un gradiente di pressione in direzione parallela alla corrente.

4.1 Calcolo Low-Reynolds 42

Figura 4.1: Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Struttura del dominio inesame. In blu è evidenziata le regione occupata dalla lamina.

Per la costruzione del dominio di calcolo si è fatto riferimento a quantoproposto da Hirsch ([8]). La lamina si estende lungo il bordo inferiore deldomino, ma ad una certa distanza dall'inlet. Sarà necessario ranare in ma-niera opportuna la griglia di calcolo in prossimità del bordo di attacco, mad'altra parte in questo modo si rappresenta una situazione aderente al reale.In alternativa a questa soluzione si poteva considerare la parte inferiore deldominio occupata interamente dalla lastra piana, ma in questo caso il ussoavrebbe assunto un comportamntento irrealistico all'estremità anteriore.L'altezza del dominio di calcolo è pari a 0.05 m. Per ottenere un ranamen-to adeguato all'interno dello strato limite, sono state utilizzate 300 celle indirezione normale alla parete (asse y) con un rapporto tra la prima e l'ultimacella pari a 6000. Questo rapporto viene anche detto grading. Si ottengonocosì altezze del primo centro cella molto ridotte, e pari a circa y+

1 = 0.1spostandosi verso l'estremità posteriore della lastra piana.In direzione longitudinale (asse x ) invece il dominio di calcolo presenta duediverse zone

• regione anteriore alla lamina: 0.02 m, 20 celle, grading = 0.1

• regione occupata dalla lamina: 0.6 m, 280 celle, grading = 30

I rapporti di grading scelti fanno in modo che al bordo di attacco ci siacontinuità tra le dimensioni delle celle.I valori iniziali relativi alle quantità coinvolte nel caso in esame sono elencati


qui di seguito. I valori per quanto riguarda k, ω e νt sono stati scelti inaccordo a quelli proposti da Menter per il modello k − ω SST ([14]).

• velocità asintotica della corrente U = 166 m/s

• pressione nulla

• energia cinetica turbolenta k = 10−5 m2/s2

• viscosità cinematica ν = 10−5 m2/s

• viscosità turbolenta νt = 10−8 m2/s

• dissipazione specica ω = 1000 1/s

I medesimi valori costituiscono anche le condizioni al contorno applicateall'ingresso del dominio di calcolo, tranne per la pressione che presenta valorenullo all'outlet e una condizione di gradiente nullo all'inlet. Si ricordi inoltreche la velocità assume valore nullo a parete come anche l'energia cineticaturbolenta (k = 10−11 m2/s2).Per le restanti regioni appartenenti al bordo viene assunta una condizionedi gradiente nullo per tutte le variabili se non specicato diversamente nellerighe precedenti. Essendo un problema bidimensionale, ma costruito cometridimensionale, le patch ortogonali all'asse z presenteranno una condizionedi tipo empty.Per eettuare il calcolo Low-Reynolds è stato inne necessario imporre nelprimo centro cella vicino a parete il valore di ω proposto da Menter [15].

ω =60ν

β1y21

(4.1)

dove y1 è l'altezza relativa al primo centro cella e β1 = 0.075.I risultati presentati nei paragra successivi si riferiscono tutti a un nume-ro di Reynolds locale Rex = Ux/ν = 9 · 106, che si ottiene in prossimitàdell'estremità posteriore della lamina (x = 0.5422m).

4.1.1 Risultati Low-Reynolds

Segue ora la presentazione dei risultati ottenuti.Vengono dapprima presentati gli andamenti della velocità e delle quantitàturbolente di interesse in direzione normale alla parete.Per vericare la bontà dei risultati sono proposti dei confronti con le soluzio-ni analitiche note per i modelli di turbolenza della famiglia k − ω. Anche sedetti andamenti sono derivati da Kalitzin per il modello k − ω proposto daWilcox si è vericato che per il modello k − ω SST si ottengono i medesimirisultati se vengono utilizzate le ipotesi semplicative proposte nell'articolodi riferimento [10].


I risultati verranno presentati in unità di parete utilizzando le seguentiadimensionalizzazioni

U+ =U

uτy+ =

yuτν

k+ =k

uτ 2ω+ =

ων

uτ 2(4.2)

Viene presentato qui di seguito l'andamento della velocità in direzione per-pendicolare alla corrente.

Figura 4.2: Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento della velocitàin unità di parete, in funzione della quota, sempre in unità di parete. Rex =9 · 106.

Si distingue il substrato viscoso dello strato limite dove vale la legge lineare

U+ = y+ (4.3)

L'andamento analitico è in perfetto accordo con il calcolo Low-Reynolds pervalori inferiori a y+ = 5. Segue la regione di transizione o buer-layer chesi estende no a circa y+ = 30. Inne il prolo di velocità segue con buonaapprossimazione la legge logaritmica

U+ =1

κln y+ +B (4.4)

dove κ = 0.41 è la costante di Von Karman e B = 5.2 è stato ottenutosperimentalmente. Inne i valori nella regione più esterna si discostano sen-sibilmente dalla legge di parete ed assumono valore costante.


Come ulteriore conferma dell'accuratezza dei risultati viene eettuato unconfronto anche con i dati sperimentali ottenuti da Wieghardt [23] al me-desimo numero di Reynolds locale (Rex = 9 · 106). Si può osservare che loscostamento è alquanto ridotto.Il prolo ottenuto per quanto riguarda l'energia cinetica turbolenta è il se-guente.

Figura 4.3: Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento dell'energiacinetica turbolenta in unità di parete, in funzione della quota, sempre inunità di parete. Rex = 9 · 106.

A parete k+ assume valore pari a zero mentre l'andamento analitico nellaregione logaritmica è costante e pari a

k+ =1√β∗

(4.5)

con β∗ = 0.09. Il valore teorico non viene raggiunto in questa situazione inquanto il numero di Reynolds locale non è ancora abbastanza elevato. Lasoluzione analitica fa riferimento a Rex → ∞. Si ha comunque indicazionedel fatto che l'energia cinetica turbolenta tende ad assumere il suo valoremassimo nella regione logaritmica, in contrasto con la realtà dove presentaun picco molto più accentuato anche nella regione vicino a parete. Il modellok − ω SST non tiene quindi in considerazione della produzione di energiacinetica turbolenta che ha luogo nel buer-layer, al contrario di altri modellidi turbolenza quali il v2 − f .


Inne la dissipazione specica ω per il caso in esame assume il seguenteandamento.

Figura 4.4: Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento della dissi-pazione specica in unità di parete, in funzione della quota, sempre in unitàdi parete. Rex = 9 · 106.

Nella regione lineare viene proposto il prolo teorico qui riportato

ω+ =6

β1(y+)2(4.6)

Per il substrato inerziale si ottiene invece sotto opportune ipotesi la corri-spondente soluzione analitica

ω+ =1

κ√β∗y+

(4.7)

I risultati sono in buon accordo con entrambi gli andamenti.Si può osservare che i valori più elevati di ω si trovano vicino a parete,diminuiscono velocemente nel substrato viscoso (∼ 1/(y+)2) nchè la dimi-nuzione rallenta nella regione logaritmica (∼ 1/y+). Inne vi è un crollodel valore di ω quando si raggiunge il margine superiore dello strato limite,in accordo col fatto che nella corrente esterna la turbolenza si è molto ridotta.


Viene ora riportato il coeciente di attrito in funzione della posizione sullalastra piana.

Figura 4.5: Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento del Cf infunzione della posizione sulla lamina, particolare del bordo d'attacco.

In prossimità del bordo di attacco il coeciente di attrito presenta un piccoche diminuisce seguendo l'andamento analitico previsto per lo strato limitelaminare. Questa espressione si ottiene dalla soluzione esatta dello stratolimite laminare su lastra piana proposta da Blasius.

Cf =0.664√Rex

(4.8)

Bisogna ricordare che viene utilizzato un modello di turbolenza e per suastessa denizione non sarebbe in grado di cogliere la transizione dello stra-to limite da laminare a turbolento. Nelle immediate vicinanze del bordo diattacco però il modello di turbolenza non modica sensibilmente le equa-zioni di Navier-Stokes e grazie anche alla griglia molto ranata in direzionenormale alla parete si può cogliere la diminuzione e il successivo aumentodel coeciente di attrito. Tuttavia l'andamento è da considerarsi puramentequalitativo: i valori che presenta lo sforzo a parete in questa regione potran-no discostarsi sensibilmente da quelli reali.


Figura 4.6: Calcolo Low-Reynolds su lastra piana. Andamento del Cf infunzione della posizione sulla lamina.

All'aumentare del numero di Reynolds locale i risultati presentano man manoun maggiore accordo sia con i dati sperimentali [23], sia con la soluzioneanalitica proposta da Prandtl e Von Karman per lo strato limite turbolento.Anche se questa legge di attrito è stata originariamente studiata per il ussoall'interno di condotti, se ne può derivare una analoga per la corrente cheinveste una lastra piana. Il procedimento è il medesimo e consite nell'inserireall'interno della legge per il difetto di velocità, l'espressione della legge diparete. Il risultato è la seguente relazione in forma implicita

Cf =2κ2

ln(CCfRex)(4.9)

dove κ = 0.41 è la costante di Von Karman e C = 3.5 è una costante empirica.

4.2 Risultati applicando le funzioni di parete 49

4.2 Risultati applicando le funzioni di parete

Come già spiegato ampiamente nei capitoli precedenti non è sempre possibileeettuare un calcolo Low-Reynolds. Dovendo utilizzare un dominio di calco-lo molto ranato in prossimità dei contorni solidi, il tempo impiegato allarisoluzione di un problema potrebbe essere elevato. Le funzioni di parete vo-gliono superare questo inconveniente e applicare vicino a parete le condizionial contorno più adeguate, indipendentemente dalla dimensione della primacella.Il caso che verrà presentato per vericare l'ecacia delle funzioni di pareteadattive è il medesimo del calcolo Low-Reynolds, ossia l'analisi dello stratolimite su lastra piana in assenza di gradiente di pressione in direzione paral-lela alla corrente.Le condizioni iniziali e al bordo rimangono uguali rispetto al caso precedente,come anche le dimensioni del dominio di calcolo. Viene modicata invece ladimensione della prima cella in direzione normale alla parete agendo oppor-tunamente sul numero di celle e sul rapporto tra le dimensioni di due celleadiacenti. In direzione streamwise è stato mantenuto il medesimo numero dicelle.Verranno utilizzate cinque diverse griglie di calcolo

• 100 celle in direzione normale alla parete, grading = 981, y+1 = 1



• 60 celle in direzione normale alla parete, grading = 27.5, y+1 = 30


L'altezza dichiarata del primo centro cella in unità di parete si riferisce alpunto della lamina in cui Rex = 9 · 106. Ovviamente avendo dovuto crearela griglia di calcolo prima di ottenere i risultati si è utilizzata una stima diuτ . In questo caso è stato possibile ricavare il valore approssimativo dellavelocità di parete attraverso l'espressione del coeciente di attrito fornitadalla formula implicita di Prandtl-Von Karman vista in precedenza.Anche se sono stati prodotti risultati per tutte le griglie di calcolo verrannopresentati solo quelli ritenuti più signicativi, per rendere più agevole lalettura delle immagini proposte.


4.2.1 Funzioni di parete OpenFOAM

Prima di tutto si è deciso di ottenere dei risultati utilizzando le funzioni diparete già implementate in OpenFOAM. In questo modo sarà possibile valu-tare l'ecacia del nuovo metodo proposto.Per quanto riguarda il prolo di velocità si può osservare uno scostamentocondiderevole dal calcolo Low-Reynolds indipendentemente dall'altezza delprimo centro cella in unità di parete.

Figura 4.7: Calcolo su lastra piana, modello con wall function tradizionali.Andamento della velocità in unità di parete, in funzione della quota, semprein unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 = 1, 10, 100 e curva relativaal calcolo Low-Reynolds.

Si nota inoltre che per il centro cella collocato a y+1 = 10 si ritrova il valore

previsto dall'andamento analitico nel substrato viscoso. È una conferma delfatto che OpenFOAM consideri la presenza di solo due zone nello strato li-mite senza preoccuparsi del buer-layer.Il conne tra le due regioni si trova ad un'altezza di circa y+ = 11. Questovalore si può ottenere valutando il punto di intersezione tra i due andamentianalitici previsti nella regione lineare e nella regione logaritmica.


Per quanto riguarda invece l'energia cinetica turbolenta e la dissipazione spe-cica sono stati ottenuti i seguenti risultati.

Figura 4.8: Calcolo su lastra piana, modello con wall function tradizionali.Andamento dell'energia cinetica turbolenta in unità di parete, in funzionedella quota, sempre in unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 =1, 10, 100 e curva relativa al calcolo Low-Reynolds.

Si può osservare che l'energia cinetica turbolenta presenta uno scostamentoconsiderevole dai valori ottenuti dal calcolo Low-Reynolds soprattutto quan-do il primo centro cella viene posizionato ad un'altezza superiore alle 10unità di parete. In questi casi prima che il prolo combaci con la soluzioneideale è presente una zona di assestamento abbastanza estesa. Prendendoad esempio il prolo per y+

1 = 100 questa zona si estende per ben 900 unitàdi parete prima che la soluzione si attesti sul valore atteso.


L'errore è ben minore per quanto riguarda il prolo di ω ottenuto con lediverse griglie di calcolo.

Figura 4.9: Calcolo su lastra piana, modello con wall function tradizionali.Andamento della dissipazione specica in unità di parete, in funzione dellaquota, sempre in unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 = 1, 10, 100 ecurva relativa al calcolo Low-Reynolds.

Si osserva anche in questo caso che viene applicato il valore ottenuto attraver-so le soluzioni analitiche note per il substrato viscoso o la regione logaritmica.In realtà come visto in precedenza si utilizza una media quadratica dei duevalori e quindi con una certa approssimazione è possibile imporre anche unvalore realistico di ω nella regione di buer.


Per Rex elevato i valori relativi al coeciente di attrito presentano uno sco-stamento ridotto rispetto la soluzione analitica e il calcolo Low-Reynolds.Si è però osservato che in prossimità del bordo di attacco l'errore in alcunicasi è considerevole.

Figura 4.10: Calcolo su lastra piana, modello con wall function tradizionali.Andamento del Cf in funzione della posizione sulla lamina, in prossimitàdel bordo di attacco. Curve per y+

1 = 30, 100 e curva relativa al calcoloLow-Reynolds.

Per un altezza del primo centro cella pari a y+1 = 30 e y+

1 = 100 si vericauna diminuzione anomala del coeciente di attrito. Anche se al bordo diattacco si è osservato che con una griglia molto ranata è possibile coglierein maniera qualitativa la transizione dello strato limite, i risultati in questocaso sono notevolemte distanti dai proli di riferimento. L'errore è da ricer-carsi nelle funzioni di parete implementate in OpenFOAM che calcolano inmaniera errata il valore di ω, imponendo la soluzione per il substrato viscosonella regione logaritmica.


4.2.2 Funzioni di parete adattive

Verranno ora presentati i risultati ottenuti applicando le funzioni di pareteadattive. Il nuovo approcio prevede di imporre nel primo centro cella i valoridi k e di ω ottenuti attraverso il calcolo Low-Reynolds e in più eettuare lacorrezione della viscosità turbolenta a parete. L'eettiva implementazionedel metodo è stata ampiamente discussa nei capitoli precedenti.Il graco seguente presenta l'andamento del prolo di velocità per diversealtezze del primo centro cella.

Figura 4.11: Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.Andamento della velocità in unità di parete, in funzione della quota, semprein unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 = 1, 10, 100 e curva relativaal calcolo Low-Reynolds.

Si può osservare che se l'altezza del primo centro cella è ridotta (y+1 = 1, y+

1 =3) lo scostamento dalla soluzione di riferimento è consistente. D'altra partecon le nuove funzioni di parete il valore della velocità nel primo centro cellarisulta essere pari a quello ottenuto dal calcolo con la mesh più ranata. Inquesto modo si riesce a ottenere un lieve miglioramento rispetto le funzionidi parete tradizionali nei casi in cui l'altezza relativa al primo entro cella inunità di parete risulti essere superiore.


Facendo riferimento all'andamento per l'energia cinetica turbolenta si notache nel primo centro cella viene correttamente imposto il valore ricavato dal-la soluzione Low-Reynolds.

Figura 4.12: Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.Andamento dell'energia cinetica turbolenta in unità di parete, in funzionedella quota, sempre in unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 =1, 10, 100 e curva relativa al calcolo Low-Reynolds.

Purtroppo come nel caso delle funzioni di parete implementate in Open-

FOAM è evidente la presenza di una zona in cui la soluzione si discosta inmaniera sensibile da quella attesa (per y+

1 > 10).Questo comportamento è probabilmente dovuto al fatto che il valore vieneimposto in una regione dove il prolo di riferimento per k presenta deriva-ta tendente a zero. Bisogna ricordare inoltre che la griglia di calcolo nonè molto ranata. Sarebbe quindi necessario, oltre a imporre il valore del-l'energia cinetica turbolenta, imporre anche il valore della sua derivata locale.


Il seguente graco presenta invece i valori di ω al variare dell'altezza delprimo centro cella.

Figura 4.13: Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.Andamento della dissipazione specica in unità di parete, in funzione dellaquota, sempre in unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 = 1, 10, 100 ecurva relativa al calcolo Low-Reynolds.

Come è avvenuto per l'energia cinetica turbolenta viene imposto il valorecorretto per quanto riguarda la dissipazione specica. In questo caso loscostamento dal prolo Low-Reynolds è ridotto e limitato a una piccola partedello strato limite.


La stima del coeciente di attrito risulta essere in linea con gli andamenti diriferimento. In aggiunta viene risolto il problema che si era presentato conle funzioni di parete tradizionali. In prossimità del bordo di attacco non sirileva una diminuzione anomala del coeciente di attrito come accadeva inprecedenza.

Figura 4.14: Calcolo su lastra piana, modello con wall function adattive.Andamento del Cf in funzione della posizione sulla lamina, in prossimitàdel bordo di attacco. Curve per y+

1 = 30, 100 e curva relativa al calcoloLow-Reynolds.

In questo caso infatti viene imposto il valore esatto di k e di ω. Grazie aquesto non si registra più una sottostima del coeciente di attrito nel casoin cui la y+

1 sia elevata, miglioramento che porterà a beneci evidenti nelcalcolo bidimensionale proposto nel capitolo successivo.


4.2.3 Funzioni di parete adattive, v2 − f

Lo scostamento tra il prolo di velocità ottenuto applicando le funzioni diparete adattive e i risultati ricavati dal calcolo Low-Reynolds può essere con-sistente, nel caso in cui la dimensione in unità di parete della prima cella siaridotta.Per vericare se questo comportamento sia generale o dovuto al modello diturbolenza utilizzato si è scelto di eettuare un confronto con i risultati ot-tenuti applicando le funzioni di parete adattive anche ad un altro modello diturbolenza. La scelta è ricaduta sul v2 − f proposto da Durbin [5].L'implementazione dell'approcio adattivo sarà analoga a quanto già visto peril modello k − ω SST .Sono state utilizzate le medesime griglie di calcolo denite in precedenza.Qui di seguito vengono presentati solo i risultati più signicativi. In par-ticolare viene esaminato l'andamento dei proli di velocità relativi ai duemodelli nel caso in cui si applichino le funzioni di parete adattive.

Figura 4.15: Calcolo su lastra piana. Confronto tra i modelli di turbolenzak−ω SST e v2− f a cui sono state applicate le funzioni di parete adattive.Andamento della velocità in unità di parete, in funzione della quota, semprein unità di parete. Rex = 9 ·106. Curve per y+

1 = 3 e curve relative al calcoloLow-Reynolds.


Figura 4.16: Calcolo su lastra piana. Confronto tra i modelli di turbolenzak−ω SST e v2− f a cui sono state applicate le funzioni di parete adattive.Andamento della velocità in unità di parete, in funzione della quota, semprein unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 = 10 e curve relative alcalcolo Low-Reynolds.

Si osserva che nel caso la y+1 sia ridotta le funzioni di parete adattive applicate

al modello v2−f presentano un errore decisamente inferiore rispetto a quandovengono applicate al modello k−ω SST . Per un'altezza del primo centro cellapiù elevata gli scostamenti dal prolo di velocità risultano invece comparabili.Di conseguenza si può aermare l'ecacia delle funzioni di parete adattive,ma nel caso in cui vengano usate in congiunzione al modello k − ω SSTportano minori beneci. Viene di seguito discussa una possibile soluzione aquesto inconveniente.


4.2.4 Funzioni di parete adattive, versione migliorata

Come detto nel paragrafo precedente nel caso in cui il primo centro cella siaposizionato ad una y+

1 ridotta il prolo di velocità si discosta sensibilmentedal prolo atteso. Questo comportamento sembra caratteristico dei modellidella famiglia k − ω come evidenziato da Kalitzin in un suo articolo [10].L'autore propone come soluzione di imporre non solo nel primo centro cellavicino a parete i valori esatti delle variabili turbolente, ma di imporre anchenelle celle superiori i valori adeguati per k e ω.Questo metodo si è rilevato superiore sia rispetto le funzioni di parete tradi-zionali, sia rispetto le funzioni di parete adattive già presentate. Purtroppoha limiti di applicabilità abbastanza ristretti come già dimostrato.Per evidenziare i miglioramenti ottenuti verranno proposti anche dei con-fronti con le due metodologie precedentemente presentate.Vengono dapprima analizzati gli andamenti relativi al prolo di velocità. Icambiamenti più signicativi si sono vericati nel caso di altezze del primocentro cella pari a y+

1 = 3 e y+1 = 30.

Figura 4.17: Calcolo su lastra piana. Confronto tra le funzioni di pareteadattive, la loro versione migliorata e le wall function tradizionali applicateal modello. Andamento della velocità in unità di parete, in funzione dellaquota, sempre in unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 = 3 e curvarelativa al calcolo Low-Reynolds.


Figura 4.18: Calcolo su lastra piana. Confronto tra le funzioni di pareteadattive, la loro versione migliorata e le wall function tradizionali applicateal modello. Andamento della velocità in unità di parete, in funzione dellaquota, sempre in unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve per y+

1 = 30 e curvarelativa al calcolo Low-Reynolds.

È interessante osservare che nel primo caso (y+1 = 3) le funzioni di parete

implementate inOpenFOAM orono un risultato migliore rispetto le funzionidi parete adattive. Al contrario per altezze del primo centro cella più elevatel'approcio adattivo porta a un lieve miglioramento. Utilizzando inne laversione migliorata, il prolo di velocità che si ottiene è solo lievemente indifetto rispetto al calcolo Low-Reynolds in entrambi i casi presentati.Inoltre si può aermare di aver eliminato lo scostamento che si manifestavanel caso l'altezza del primo centro cella fosse di poche unità di parete.


Si possono notare signicativi miglioramenti anche per quanto riguarda ilprolo relativo all'energia cinetica turbolenta. I risultati in cui il cambia-mento è evidente si riferiscono ai casi in cui l'altezza del primo centro cellaè più elevata.

Figura 4.19: Calcolo su lastra piana. Confronto tra le funzioni di pareteadattive, la loro versione migliorata e le wall function tradizionali applicateal modello. Andamento dell'energia cinetica turbolenta in unità di parete,in funzione della quota, sempre in unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve pery+

1 = 100 e curva relativa al calcolo Low-Reynolds.

Imponendo il valore corretto di k anche nella cella superiore alla prima cellavicina a parete viene fornita una approssimazione della derivata locale. Conquesto metodo viene ridotto in modo consistente l'errore che si presentavanei casi precedenti.


In riferimento alla dissipazione specica non ci sono cambiamenti di rilievo.A titolo di esempio viene comunque presentato il seguente confronto.

Figura 4.20: Calcolo su lastra piana. Confronto tra le funzioni di pareteadattive, la loro versione migliorata e le wall function tradizionali applicateal modello. Andamento dell'energia cinetica turbolenta in unità di parete,in funzione della quota, sempre in unità di parete. Rex = 9 · 106. Curve pery+



Per quanto riguarda il coeciente di attrito si osserva un migliore accordocon gli andamenti di riferimento, per i casi dove l'altezza del primo centrocella è ridotta (y+

1 = 1, y+1 = 3). Questo comportamento è direttamente

collegato ai miglioramenti visti in precedenza, relativi al prolo di velocità.

Figura 4.21: Calcolo su lastra piana. Confronto tra le funzioni di pareteadattive e la loro versione migliorata applicate al modello. Andamento del Cfin funzione della posizione sulla lamina, in prossimità del bordo di attacco.Curve per y+


Capitolo 5

Calcoli 2D

Dopo aver analizzato il comportamento delle funzioni di parete adattive ap-plicate ad un caso semplice di strato limite turbolento su lastra piana si èdeciso di aumentare la complessità del problema. Viene ora arontata larisoluzione del campo di moto attorno a un prolo alare.I parametri che permetteranno di valutare l'ecacia delle funzioni di pareteadattive saranno i coecienti aerodinamici e in particolare la distribuzionedel coeciente di attrito lungo la supercia del prolo. Questi risultati siconfronteranno con la soluzione ottenuta attraverso Xfoil.Verranno inoltre proposti dei confronti con i risultati ottenuti utilizzando lefunzioni di parete attualmente implementate in OpenFOAM e il modello diturbolenza v2−f , a cui sono state sempre applicate le wall function adattive.

5.1 Dominio di calcolo

Il caso di strato limite su lastra piana non ha potuto esplorare appieno ivantaggi ottenuti applicando le funzioni di parete adattive. Viene ora pre-sentato un problema di interesse aeronautico, ossia la soluzione del campo dimoto attorno ad un prolo alare al ne di ottenere i coecienti aerodinamicie la distribuzione lungo la corda del coeciente di attrito.Il prolo scelto è il NACA 23018. Per la sua costruzione si è preferito con-siderare la formula che prevede il bordo di uscita troncato, al posto di farcombaciare il dorso e il ventre. In questo modo si sarebbe però deformatoleggeremente il prolo.Per la realizzazione del dominio di calcolo non sono stati sfruttati gli applica-tivi già disponibili in openFOAM, ma si è preferito utilizzare un programmapiù specico. La scelta è ricaduta su Gmsh software sempre open-source, maben più adatto alla generazione di una griglia di calcolo. Un grande pregio diGmsh è di orire all'utente un'interfaccia abbastanza semplice per costruirela mesh e gestirne i parameteri caratteristici.Il problema che si va ad arontare è bidimensionale e viene quindi trascurata

5.1 Dominio di calcolo 66

la direzione perpendicolare alla sezione del prolo.Seguendo una metodo abbastanza consolidato, il dominio di calcolo assumela forma di una D rovesciata. Al centro del dominio viene posto il prolo dicorda unitaria e l'inlet è costituito da un semicerchio di raggio pari a 15 voltela corda. La zona a valle del prolo si estende per la medesima lunghezza.Si può osservare che il dominio ha una dimensione elevata, ma in questomodo è possibile diminuire l'eetto delle condizioni al contorno sui risultatinelle vicinanze del prolo.Per permettere l'uso delle funzioni di parete (adattive e non) è richiesta lacostruzione di una mesh strutturata attorno al prolo. Prima di tutto è statonecessario denire il limite superiore della griglia di strato limite costruendouna linea parallela al contorno del prolo ad una distanza pari ad un cente-simo di corda.Operando in maniera opportuna su alcuni parametri di Gmsh sarebbe pos-sibile costruire nella regione così denta una griglia costituita da celle qua-drangolari. Putroppo è dicile denire zone in cui il ranamento deve esseremaggiore (ad esempio al bordo di attacco). Inoltre le celle non risultano es-sere ortogonali alla supercie del prolo, come invece sarebbe preferibile.Nel presente lavoro di tesi si è optato per denire le celle lungo la direzionecirconferenziale del prolo attraverso l'utilizzo di un semplice script, modi-cando opportunamente il le che denisce il dominio di calcolo in Gmsh. Inquesto modo è stato possibile costruire una mesh strutturata di strato limiteche presenta celle perpendicolari al contorno del prolo. Inoltre è stata di-scretizzata la corda utilizzando il metodo dei nodi di Chebyshev per aiutarea denire la posizione delle celle. Si ottiene così un ranamento al bordod'attacco e al bordo d'uscita.Nel nostro caso è stata costruita una mesh a C, ossia strutturata lungo tuttoil bordo del prolo, ma non nella regione di scia. In questa zona è statocomunque operato un ranamento. Denendo opportunamente un camposcalare, è stato possibile aumentare il numero di celle nella regione a valledel prolo. Dove il campo assume valore nullo, Gmsh prevedrà un rana-mento maggiore. La mesh all'esterno dello strato limite è costituita da celleprismatiche a base triangolare.I risultati ottenuti fanno riferimento a due griglie di calcolo, dove lungo ladirezione circonferenziale del prolo sono state utilizzate 400 celle

• Mesh Coarse, 5 livelli di strato limite, N totale di celle = 415000

• Mesh Fine, 10 livelli di strato limite, N totale di celle = 430000


Figura 5.1: Mesh coarse del dominio di calcolo per il prolo NACA 23018,griglia strutturata di strato limite.

Figura 5.2: Mesh ne del dominio di calcolo per il prolo NACA 23018,griglia strutturata di strato limite.

Vengono ora riportate le condizioni al contorno per il caso in esame.Il valore scelto per la velocità asintotica della corrente è di 5m/s, mentrela viscosità cinematica ν risulta essere pari a 10−5m2/s. Ne segue che ilnumero di Reynolds, prendendo la corda come lunghezza di riferimento, saràRec = 500000.I valori all'ingresso e all'interno del dominio per le varibili turbolente vengonoscelti facendo riferimento ai valori consigliati per il modello k−ω SST visti

5.2 Risultati 68

in precedenza. La pressione assume valore pari a zero all'interno del dominio,ad eccezione dell'inlet dove presenta una condizione di gradiente nullo. Inneper la velocità viene posta una condizione di perfetta adesione sulla superciedel prolo.Per le condizioni al bordo rimanenti si è scelta una condizione di gradientenullo e trattandosi di un problema bidimensionale le patch parallele allasezione del prolo presentano una condizione di tipo empty.

5.2 Risultati

Il campo di moto che si genera attorno un prolo alare può variare in ma-niera signicativa a seconda dell'angolo di attacco a cui viene posto.Per angoli di incidenza molto ridotti il usso rimane attaccato ed è limitatal'inuenza di fenomeni di tipo instazionario. Lo strato limite attorno al pro-lo non presenta separazioni, ma subisce solitamente una transizione.Nelle vicinanze del bordo di attacco è presente un gradiente di pressione fa-vorevole: lo strato limite è laminare e aderisce al prolo. Spostandosi verso ilbordo d'uscita invece si presenta un gradiente avverso di pressione e si deter-mina la formazione di una bolla di separazione. Lo strato limite per evitaredi separare completamente modica il suo regime da laminare a turbolento.Nel caso il numero di Reynolds sia particolarmente elevato la transizioneavviene direttamente all'estremità anteriore del prolo.Aumentando l'angolo di attacco può sopraggiungere anche una separazionecompleta dello strato limite che porta ad una condizione di stallo. Per angolielevati aumenta anche l'importanza di fenomeni instazionari.Tenendo in considerazione quanto detto il prolo in esame verrà posto ad unangolo di incidenza di zero gradi. Utilizzando un solutore di tipo stazionarioinfatti non sarebbe possibile cogliere le eventuali instazionarietà.Tramite l'applicazione delle funzioni di parete è inoltre impossibile rilevarela transizione dello strato limite da laminare a turbolento, che avviene diconseguenza direttamente al bordo di attacco. Non disponendo di dati spe-rimentali per eettuare un confronto al Rec considerato, come termine diparagone verranno utilizzati i risultati ottenuti attraverso Xfoil. Essendo unsoftware specico per il calcolo delle forze agenti su proli alari, ci si puòaspettare che fornisca risultati più attendibili rispetto a OpenFOAM.In più la scelta è ricaduta su Xfoil in quanto è possibile imporre la transizio-ne dello strato limite al bordo di attacco ed ottenere in questo modo i datidi confronto di cui si aveva bisogno.Qui di seguito verranno presentati i risultati ottenuti su entrambe le grigliedi calcolo, applicando le funzioni di parete adattive al modello di turbolenzak − ω SST . Non sarà possibile applicare la versione migliorata in quanto lapresenza di un gradiente di pressione potrebbe portare a imporre una con-dizione al bordo non corretta, come già detto in precedenza.

5.2 Risultati 69

In primo luogo si analizzeranno le dierenze con la soluzione ricavata daXfoil. Seguiranno poi ulteriori confronti.Le immagini successive mostrano l'andamento del coeciente di pressionelungo il dorso e il ventre del prolo. I risultati sono in perfetto accordo conl'andamento previsto da Xfoil.

Figura 5.3: Andamento del Cp in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh ne.

Figura 5.4: Andamento del Cp in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh coarse.

5.2 Risultati 70

I graci successivi propongono invece la distribuzione del coeciente di at-trito lungo la corda del prolo.

Figura 5.5: Andamento del Cf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh ne.

Figura 5.6: Andamento del Cf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000, Mesh coarse.

5.2 Risultati 71

Dove la mesh di strato limite risulta essere più tta, lo scostamento tra irisultati ottenuti e il prolo ricavato da Xfoil è minimo. Si osserva una di-screpanza più marcata al bordo di uscita. Questo è probabilmente dovuto alfatto che la y+

1 è ridotta e, come è già stato discusso nel capitolo precedente,si verica un certo errore numerico quando le funzioni di parete adattivevengono applicate al modello k − ω.Per la mesh coarse invece vi è una visibile dierenza nella regione vicina albordo di attacco, dove il prolo relativo al coeciente di attrito trasla leg-germente verso destra. In questo caso l'errore è probabilmente riconducibilealla dimensione delle celle nella zona dello strato limite, che è doppia rispettoal caso ne, e di conseguenza i gradienti di velocità in questa zona vengonocalcolati con minore accuratezza. Viene ora di seguito presentato come varial'altezza del primo centro cella in unità di parete per il prolo considerato.

Figura 5.7: Andamento di y+1 in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,

Rec = 500000, Mesh ne.

5.2 Risultati 72

Figura 5.8: Andamento di y+1 in corda per il prolo NACA 23018, α = 0,

Rec = 500000, Mesh coarse.

Per il caso in cui viene utilizzata la mesh ne, la y+1 assume i valori inferiori

al bordo di uscita e, come già anticipato, questo porta all'insorgere di uncerto errore numerico. Nel caso successivo questo problema non sussiste inquanto la y+

1 è globalmente più elevata (y+1 > 10).

Si può osservare che le funzioni di parete adattive vengono applicate in un in-tervallo abbastanza ampio di y+

1 e come si è visto dalle immmagini precedentiportano a buoni risultati. Anche in presenza di un gradiente di pressione vie-ne imposta una condizione al contorno adeguata. Infatti i proli universalirelativi alle variabili turbolente si modicano in maniera sensibile per altezzedel primo centro cella più elevate di quelle che sono state qui considerate.

5.2 Risultati 73

Si propone ora un confronto con le funzioni di parete tradizionali di Open-FOAM. Verrà analizzato l'andamento del coeciente di attrito.

Figura 5.9: Confronto tra le funzioni di parete adattive e le wall function

tradizionali applicate al modello di turbolenza k − ω SST . Andamento delCf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0, Rec = 500000, Mesh ne.

Figura 5.10: Confronto tra le funzioni di parete adattive e le wall functiontradizionali applicate al modello di turbolenza k − ω SST . Andamento delCf in corda per il prolo NACA 23018, α = 0, Rec = 500000, Mesh coarse.

5.2 Risultati 74

Sono evidenti dei miglioramenti signicativi soprattutto nella zona relativaal bordo di attacco. Anche se per la lastra piana le funzioni di parete adat-tive avevano portato dei benici limitati, bisogna ricordare cosa avveniva inprossimità del bordo di attacco della lamina per un'altezza elevata del primocentro cella (y+

1 > 30). In questi casi le funzioni di parete implementatein OpenFOAM tendevano a sottostimare il coeciente di attrito, in quantoveniva imposta una condizione al bordo erronea per k e per ω.In questo caso si registra la medesima situazione e utilizzando le funzionidi parete adattive viene imposto un valore più adeguato per le varibili tur-bolente permettendo una stima migliore del coeciente di attrito. L'eettobeneco del nuovo metodo si mostra quindi nelle zone dove i gradienti relativialle quantità coinvolte sono più elevati (ad esempio vicino punti di ristagno)e l'imposizione delle condizioni al bordo è di conseguenza più delicata.Per vericare questa aermazione viene ora mostrato come varia la distribu-zione di ω sulla supercie del prolo a seconda dell'approcio utilizzato perle wall function. Si farà riferimento al caso di mesh ne.

Figura 5.11: Andamento della dissipazione specica ω sulla supercie delprolo NACA 23018 per il modello k−ω SST a cui sono applicate le funzionidi parete adattive, α = 0, Rec = 500000, Mesh ne.

5.2 Risultati 75

Figura 5.12: Andamento della dissipazione specica ω sulla supercie delprolo NACA 23018 per il modello k−ω SST a cui sono applicate le funzionidi parete tradizionali, α = 0, Rec = 500000, Mesh ne.

Dall'analisi delle due immagini si nota che globalmente i valori di ω sono piùelevati nel caso vengano applicate le funzioni di parete adattive. In conclu-sione le funzioni di parete disponibili in OpenFOAM sottostimano i valorial bordo relativi alle varibili turbolente e ciò porta a una valutazione erratadel coeciente di attrito.Si è provato che anche per l'energia cinetica turbolenta si verica una situa-zione analoga.Inne viene presentato un confronto con l'andamento del coeciente di at-trito per il modello v2 − f dove sono state applicate le funzioni di pareteadattive.

5.2 Risultati 76

Figura 5.13: Confronto tra i modelli di turbolenza k − ω SST e v2 − f acui sono state applicate le funzioni di parete adattive. Andamento del Cf incorda per il prolo NACA 23018, α = 0, Rec = 500000, Mesh ne.

Figura 5.14: Confronto tra i modelli di turbolenza k − ω SST e v2 − f acui sono state applicate le funzioni di parete adattive. Andamento del Cf incorda per il prolo NACA 23018, α = 0, Rec = 500000, Mesh coarse.

5.2 Risultati 77

Le dierenze tra il modello proposto da Durbin e il modello k − ω SSTrisultano essere minime. Per il caso analizzato non insorgono i probleminumerici noti per il modello k − ω e di conseguenza l'approcio adattivoproduce buoni risultati.In ultima analisi vengono raccolti i coecienti aerodinamici relativi ai casinora analizzati. I valori di riferimento saranno quelli ottenuti utilizzandoXfoil

• CD = 0.01496 , CDp = 0.00396 , CDv = 0.0110

• CL = 0.120

dove per il CD vengono riportati anche il contributo viscoso CDv e quellodovuto alla pressione CDp.

Tabella 5.1: Coeciente di portanza per il prolo NACA 23018, α = 0,Rec = 500000.

CL k − ω SST (1) k − ω SST (2) v2 − fMesh Fine 0.120 0.119 0.121Mesh Coarse 0.121 0.118 0.122

(1) funzioni di parete OpenFOAM(2) funzioni di parete adattive

Tabella 5.2: Coeciente di resistenza, contributo viscoso, per il proloNACA 23018, α = 0, Rec = 500000.

CDv k − ω SST (1) k − ω SST (2) v2 − fMesh Fine 0.0098 0.0106 0.0110Mesh Coarse 0.0101 0.0109 0.0106

(1) funzioni di parete OpenFOAM(2) funzioni di parete adattive

Per quanto riguarda il coeciente di portanza non si notano dierenze si-gnicative.In riferimento alla parte viscosa del coeciente di resistenza invece si puòosservare che utilizzando le funzioni di parete adattive se ne migliora la sti-ma. Il contributo alla resistenza dovuto alla pressione non è stato tabulatoin quanto non varia signicativamente a seconda del caso.

Capitolo 6

Calcoli 3D

Lo scopo nale di questo lavoro di tesi era di valutare la possibilità di utiliz-zare le funzioni di parete adattive anche per problemi di interesse industriale.Avendo collaborato con un'azienda che opera prevalentemente nel settore au-tomobilistico, è stato scelto un problema relativo a quest'ambito.Verrà analizzato il usso che si genera attorno a Odoacre, un modello chepresenta, anche se in modo molto semplicato, le caratteristiche e il compor-tamento di un'autovettura da corsa.Il problema è di carattere tridimensionale e ha una dimensione computazio-nale considerevole. La sua risoluzione è stata portata a termine in FondTech.Avendo considerato diverse griglie di calcolo è stato possibile valutare comesi modica la soluzione all'aumentare del numero di celle nel dominio.Sono stati prodotti risultati sia applicando le nuove wall function, sia utiliz-zando quelle già disponibili in OpenFOAM, per determinare eventuali miglio-ramenti. Inne si eettuerà un confronto con i risultati ottenuti utilizzandoil modello di turbolenza v2 − f in cui vengono implementate le funzioni diparete adattive.

6.1 Odoacre

In FondTech si può trovare un esempio di come l'approcio sperimentale enumerico lavorino in stretto contatto, nell'ambiente automobilistico.La geometria di Odoacre in origine era stata progettata e realizzata allo sco-po di calibrare al meglio le gallerie del vento che possiede l'azienda. Si sonocosì ottenuti numerosi dati sperimentali adabili, relativi a questa congu-razione. Di conseguenza lo studio del campo di moto attorno Odoacre èdiventato un caso-test realistico per valutare l'adabilità anche di dati ot-tenuti attraverso un'analisi numerica.

6.1 Odoacre 79

Figura 6.1: Modello Odoacre in galleria del vento.

La forma di Odoacre è tale da approssimare gli aspetti principali che carat-terizzano un'automobile da competizione.Le forze agenti su un'autovettura sono fortemente dipendenti dall'angolo dirotazione che presenta rispetto il terreno (pitch) e dall'altezza media dellacarrozzeria da terra. Al posto di questi parametri, in modo del tutto equiva-lente, possono essere considerate le distanze dal suolo relative agli assi delleruote, anteriore e posteriore.

6.1 Odoacre 80

Figura 6.2: Modello Odoacre: disegno CAD.

Il modello considerato presenta caratteristiche simili alla realtà, dove il cari-co aerodinamico risulta molto sensibile alla variazione di assetto.La presenza di un diusore nella parte posteriore della geometria rallentail usso portando ad un recupero di pressione. A monte di questa regionesi verrà a creare una zona di depressione, determinante per la nascità del-l'eetto suolo, ossia il fenomeno di deportanza che porta ad un aumento diaderenza di una vettura sul piano stradale.

6.1 Odoacre 81

Non essendo presenti ruote e i relativi assi per Odoacre si utilizzerà l'altezzada terra dei margini anteriore (Hf ) e posteriore (Hr) della zona piana checostituisce il fondo del modello. Le prove sperimentali in galleria del ventosono state eettuate variando il valore di questi due parametri.

Figura 6.3: Modello Odoacre: caratterizzazione dell'assetto

I risultati possono essere tabulati in funzione di Hf e Hr, dove vengono evi-denziate le curve iso-valore per i coecienti aerodinamici.

Figura 6.4: Modello Odoacre: andamento e ripartizione del carico in funzionedell'assetto.


Anche se Odoacre è un modello molto semplicato, nella zona posteriore sipuò apprezzare la nascità di alcuni fenomeni tridimensionali. In particolareviene presentata la distribuzione degli sforzi tangenziali sulla supercie deldiusore.L'immagine è stata ottenuta tramite una tecnica di visualizzazione con chinaclay. Si nota un'ampia zona di separazione a partire dall'inizio del diuso-re. Successivamente la presenza di due vortici laterali permette al usso diriattaccare.

Figura 6.5: Modello Odoacre: visualizzazione sperimentale del campo disforzo tangenziale

6.2 Dominio di calcolo

Il problema che viene analizzato prende in considerazione un caso il più pos-sibile aderente al reale. Il dominio di calcolo considerato è infatti costituitodalla galleria del vento in cui sono stati eettuati i rilievi sperimentali suOdoacre.La velocità asintotica della corrente è stata scelta pari a 40m/s, mentre perla viscosità cinematica del uido viene considerata quella tipica per l'ariaalla temperatura di 20 C (ν = 1.5 · 10−5m2/s).In quanto la geometria relativa ad Odoacre risulta essere simmetrica rispettoun piano verticale, per ridurre l'onere computazionale viene considerata solola parte sinistra del modello. Il piano di simmetria costituisce un bordo deldominio a cui viene applicata una condizione del tipo symmetryPlane.In accordo con le caratteristiche della galleria del vento è presente un tappe-to mobile a cui viene imposta la medesima velocità della corrente asintotica.


Viene prevista quindi una patch al di sotto del modello che presenti unavelocità costante e pari a 40m/s.Come già visto per i casi analizzati nei precedenti capitoli, sono presentiun'inlet, un'outlet e le pareti laterali che delimitano il dominio. La deni-zione delle condizioni al bordo e al contorno per queste regioni è del tuttoanaloga (pressione di riferimento nulla, condizione di perfetta adesione sullepareti solide, . . . ).

Figura 6.6: Modello Odoacre: struttura globale della griglia. In rosso èevidenziata la posizione della geometria.

Per il caso in esame è denito il seguente assetto

• Hf = 32 mm

• Hr = 24 mm

Il modello presenta un lieve angolo di rotazione positivo rispetto il pavimentodella galleria.La soluzione del problema viene eettuata su diverse griglie di calcolo. Inanalogia a quanto visto per il prolo alare la mesh presenta una regionestrutturata di strato limite e una regione non strutturata, costituita da celletetraedriche.


Sono possibili due classicazioni.La prima si basa sul numero di celle presenti nella regione non strutturata

• Coarse

• Medium

• Fine

A partire dalla mesh Coarse e seguendo l'ordine presentato, il numero dicelle è crescente.Considerando invece la griglia di strato limite si può operare la seguentesuddivisione

• a: 4 livelli di strato limite, dimensione massima prima cella y+1 = 30

• b: 10 livelli di strato limite, dimensione massima prima cella y+1 = 30

• c: 28 livelli di strato limite, dimensione massima prima cella y+1 = 1

Il tipo b deriva dal tipo a in quanto le prime 4 celle in direzione perpedicolarealla parete hanno le medesime dimensioni. L'altezza totale della griglia distrato limite è invece praticamente la stessa per le griglie b e c. La regionestrutturata si estende sia lungo il contorno di Odoacre, sia lungo la pareteinferiore del dominio (il pavimento della galleria).Vengono utilizzate nove griglie di calcolo, derivate da tutte le possibili com-binazioni tra le due classicazioni proposte. Segue ora l'elenco dei casiconsiderati e il corrispondente numero di celle

• a-Coarse: 3.8 · 106

• a-Medium: 8.3 · 106

• a-Fine: 21.7 · 106

• b-Coarse: 4.5 · 106

• b-Medium: 10.2 · 106

• b-Fine: 26.8 · 106

• c-Coarse: 6.8 · 106

• c-Medium: 16.1 · 106

• c-Fine: 43 · 106

6.3 Risultati 85

6.3 Risultati

Prima di tutto verranno analizzati i coecienti aerodinamici ottenuti uti-lizzando il modello di turbolenza k − ω SST e funzioni di parete di tipoadattivo. Viene considerato l'approcio che prevede di imporre i valori solonel primo centro cella vicino a parete.Si realizzerà un confronto con i risultati prodotti sfruttando lo stesso modellodi turbolenza, ma applicando le funzioni di parete disponibili in OpenFOAM.Verrà proposto inoltre un secondo confronto con i dati acquisiti risolvendo ilmedesimo problema, ma facendo uso del modello di turbolenza v2− f , a cuisono applicate le funzioni di parete adattive.In tutti i casi verrà presentato anche il riferimento sperimentale relativoall'assetto considerato (Hf= 32 mm, Hr= 24 mm). La supercie di rife-rimento utilizzata per il calcolo dei coecienti aerodinamici è l'area dellasezione frontale di Odoacre. Per i coecienti di forza longitudinale (Cx) everticale (Cz) si terranno in considerazione le seguenti convenzioni

• Cx positivo: direzione parallela, verso concorde alla corrente asintotica

• Cz positivo: direzione perpendicolare, verso entrante al piano chedenisce il pavimento della galleria.

I graci relativi a questi coecienti presentano in ascissa il valore di 1/N1/3

dove N è il numero totale di celle nel dominio.

Figura 6.7: Modello Odoacre: Cx. Confronto dei risultati ottenuti con ilmodello di turbolenza k − ω SST utilizzando le funzioni di parete adattivee le wall function tradizionali.

6.3 Risultati 86

Figura 6.8: Modello Odoacre: Cz. Confronto dei risultati ottenuti con ilmodello di turbolenza k − ω SST utilizzando le funzioni di parete adattivee le wall function tradizionali.

Prendendo in considerazione i risultati relativi al Cz e al Cx per il modellodi turbolenza k − ω SST , sia nel caso vengano applicate le funzioni pareteadattive, sia nel caso vengano utilizzate le wall function implementate inOpenFOAM i valori ottenuti per i coecienti aerodinamici non presentanodierenze rilevanti.L'unico caso per cui si verica un visibile scostamento dei risultati, è quel-lo relativo alla mesh a-Coarse. Proprio per questa griglia di calcolo eraplausibile aspettarsi che le funzioni di parete adattive avrebbero portato deimiglioramenti.Bisogna considerare che l'altezza della zona strutturata è ridotta, in un casodi tipo a. Di conseguenza parte dello strato limite occuperà una regione nonstrutturata della griglia di calcolo portando ad una soluzione meno accura-ta. Le funzioni di parete tradizionali in OpenFOAM non aiutano a risolverequesto problema, in quanto applicano una condizione al bordo non adeguata.Le funzioni di parete adattive invece imponendo valori a parete più realisticimigliorano la precisione del risultato. Aumentando però il ranamento nel-la regione esterna allo strato limite, entrambi gli approci producono valorimolto simili.Si potrebbe contestare il miglioramento ottenuto in questo caso, osservandocome varia la stima del Cx per la mesh a Coarse. Nel caso in cui si utiliz-zino le funzioni di parete adattive il risultato si discosta maggiormente daldato sperimentale, rispetto a quando vengano applicate le funzioni di paretetradizionali. In quest'ultimo caso però si osserva una forte variazione del Cx

6.3 Risultati 87

passando da una mesh di tipo a-Coarse a una di tipo a-Medium. Di conse-guenza la migliore stima del coeciente è da ritenersi puramente fortuita.A sostegno di questa aermazione si possono inoltre considerare i risultatirelativi al Cz dove invece il miglioramento introdotto dalle funzioni di pareteadattive è evidente.Analizzando i casi relativi a una griglia di strato limite di tipo b si osservache il Cz risulta essere indipendente dal numero di celle utilizzate per discre-tizzare la parte non strutturata del domino. In riferimento al Cx invece sinota una lieve essione nel caso di mesh Medium, con un successivo miglio-ramento utilizzando una mesh Fine.In questo caso la soluzione subisce delle variazioni a seconda della grigliautilizzata. Questo comportamento è probabilmente dovuto al fatto che suOdoacre in alcune zone il usso separa, come verrà mostrato in seguito. Nonviene quindi mai raggiunta una soluzione veramente stazionaria, ma si regi-stra solo una certa stabilità per i valori dei coecienti quando il numero diiterazioni diventa elevato.Di conseguenza i risultati nali dipenderanno dall'evoluzione della soluzione,che è diversa a seconda della griglia di calcolo utilizzata. Può quindi succe-dere che aumentando il numero di celle nella regione non strutturata la stimadei coecienti non migliori. Non si verica però neanche un peggioramentosignicativo e aumentando ulteriormente il ranamento i valori tornano adavvicinarsi al dato sperimentale.Anche considerando i casi a si può osservare il medesimo comportamento,presente indipendentemente dal metodo con cui vengono imposti i valori albordo. Si può quindi dedurre che è il modello k − ω stesso a mostrare unacerta sensibilità al tipo di mesh utilizzata.Inne nel caso di una zona strutturata di tipo c, la soluzione risulta dipen-dere dal livello di discretizzazione presente nella regione esterna allo stratolimite. Questa tendenza potrebbe essere collegata alle dimensioni ridotte delprimo centro cella, in unità di parete. Bisogna ricordare infatti che per imodelli di turbolenza k− ω si riscontra un certo errore numerico nel caso lefunzioni di parete vengano utilizzate in presenza di y+

1 ∼ 1. Inoltre, come giàanticipato, la nascita di ampie separazioni e una conseguente diversa storiadi convergenza contribuiscono ulteriorimente a deteriorare i risultati.Il comportamento osservato si manifesta sia applicando le funzioni di pare-te adattive, sia utilizzando le wall function già disponibili in OpenFOAM.Quindi il problema è da attribuirsi al modello di turbolenza considerato enon all'approcio adattivo studiato in questo lavoro di tesi.Purtroppo come già discusso non si rilevano miglioramenti di rilievo se nonnel caso in cui viene considerata la mesh del tipo a-Coarse.Le griglie di calcolo disponibili presentano y+

1 massima pari a 30, anche sein realtà sulla maggior parte della supercie di Odoacre le altezze relativeal primo centro cella sono inferiori. Nei capitoli precedenti si è notato che i

6.3 Risultati 88

beneci introdotti dalle funzioni di parete adattive, risultano essere superioriman mano che aumenta l'altezza del primo centro cella in unità di parete.In questo caso avendo considerato y+

1 relativamente modeste, non si sonopotuti apprezzare cambiamenti sostanziali dei risultati.Le immagini presentate qui di seguito mostrano infatti un andamento moltosimile in riferimento al coeciente di attrito.

Figura 6.9: Mesh b-Fine. Campo di Cf sulla supercie di Odoacre. Modellok − ω SST e funzioni di parete adattive.

Figura 6.10: Mesh b-Fine. Campo di Cf sulla supercie di Odoacre. Modellok − ω SST e funzioni di parete tradizionali.

6.3 Risultati 89

Viene inne proposto un confronto con i risultati ottenuti utilizzando il mo-dello di turbolenza v2 − f e funzioni di parete adattive.

Figura 6.11: Modello Odoacre: Cx. Confronto dei risultati ottenuti con ilmodello k − ω SST e il modello v2 − f . In entrambi i casi sono utilizzate lefunzioni di parete adattive.

Figura 6.12: Modello Odoacre: Cz. Confronto dei risultati ottenuti con ilmodello k − ω SST e il modello v2 − f . In entrambi i casi sono utilizzate lefunzioni di parete adattive.

6.3 Risultati 90

In alcuni casi i coecienti di forza ricavati con i due diversi modelli di tur-bolenza, presentano valori molto vicini. Per entrambi nel caso di mesh distrato limite di tipo a e b la stima dei coecienti aerodinamici si avvicinaal dato sperimentale, all'aumentare del numero di celle nella regione nonstrutturata. La diminuzione del Cx che si verica per il modello k − ω SSTnel caso di mesh Medium è attribuibile come già detto ad una diversa storiadi convergenza.Quando vengono utilizzate griglie di calcolo relative al tipo c i risultati sidierenziano in maniera signicativa per i motivi esposti precedentemente.Si può concludere che il modello di Durbin risulti più robusto. Aumentandoil ranamento del dominio di calcolo la soluzione si rivela indipendente dallivello di discretizzazione utilizzato, comportamento che non si verica peril modello k − ω.Al contrario però il modello v2 − f non prevede regioni in cui la corrente sisepara dalla supercie del corpo. Il usso attorno Odoacre in realtà è invecemolto probabilmente oscillante e presenta ampie zone di separazione.Il modello di Durbin, avendo la capacità di riconoscere zone di moto laminarequando la y+

1 è sucientemente ridotta, prevede la transizione solo in modoqualitativo, non essendo un modello studiato appositamente per considerarequesta possibilità. Di conseguenza diminuisce la dimensione dello strato li-mite su tutto il modello, inibendo le separazioni che invece si osservano peril modello k−ω SST . Nelle immagini successive si confrontano i due diversicomportamenti.

Figura 6.13: Mesh c-Coarse. Campo di Cf sulla supercie di Odoacre.Modello v2 − f e funzioni di parete adattive.

6.3 Risultati 91

Figura 6.14: Mesh c-Coarse. Campo di Cf sulla supercie di Odoacre.Modello k − ω SST e funzioni di parete adattive.

Può essere considerato inoltre l'andamento dello sforzo tangenziale sulla su-percie del diusore, a ulteriore riprova che utilizzando il modello di Durbinsi ottenga una soluzione più stabile, ma non necessariamente realistica.Vengono riprodotti correttamente i vortici che si formano nella zona laterale,ma la regione centrale presenta un ulteriore vortice. Il comportamento nontrova riscontro nella visualizzazione sperimentale dove si osserva al contrariola separazione del usso.

Figura 6.15: Mesh c-Medium. Campo di Cf sulla supercie del diusore diOdoacre. Modello v2 − f e funzioni di parete adattive. Confronto con lavisualizzazione superciale ottenuta in galleria del vento.

6.3 Risultati 92

Invece per il modello k − ω, oltre ai vortici laterali, nella zona centrale lacorrente manifesta un comportamento più caotico e ricircolante, situazionepiù congeniale a una regione di usso separato.

Figura 6.16: Mesh c-Medium. Campo di Cf sulla supercie del diusore diOdoacre. Modello k − ω SST e funzioni di parete adattive. Confronto conla visualizzazione superciale ottenuta in galleria del vento.

Capitolo 7

Conclusioni

Nel corso del presente lavoro di tesi le funzioni di parete adattive sono stateapplicate a un discreto numero di problemi, di complessità crescente, e ne èstato valutato il comportamento.Analizzando i risultati ottenuti relativi al caso di strato limite su lastra pianasi è osservato che un approcio di tipo adattivo porta miglioramenti limitati.In riferimento al prolo di velocità è stato notato un certo scostamento trala soluzione Low-Reynolds e la soluzione ottenuta utilizzando le funzioni diparete adattive, quando l'altezza del primo cella in unità di parete è ridotta.Questa criticità si manifesta anche sfruttando le wall function già disponibiliin OpenFOAM.Il comportamento evidenziato è quindi caratteristico del modello k−ω SSTche sore di un certo errore di discretizzazione nel caso le funzioni di paretevengano applicate dove la y+

1 non è molto elevata. Infatti per il modellov2 − f non è presente questo problema.Per altezze superiori del primo centro cella si osservano beneci limitati, ameno che l'approcio adattivo non venga utilizzato in presenza di forti gra-dienti, come ad esempio nella zona posteriore a un punto di ristagno.Al bordo di attacco della lamina infatti le funzioni di parete implementatein OpenFOAM sottostimano in modo sempre maggiore lo sforzo a parete al-l'aumentare dell'altezza del primo centro cella. Questo si verica in quantoviene applicata una condizione al bordo erronea per k e ω. Il metodo adatti-vo invece permette di stimare in modo più accurato il coeciente di attritoin questa regione applicando i valori adeguati per le varibili turbolente.Bisogna anche ricordare che per y+

1 elevate il prolo relativo all'energia ci-netica turbulenta presenta un considerevole scostamento, rispetto il proloLow-Reynolds, per una regione estesa dello strato limite.Si è esplorata la possibilità di risolvere i problemi di carattere numerico dicui sore il modello k − ω SST imponendo valori adeguati per le variabiliturbolente anche nelle celle superiori alle celle a parete [10]. Questo metodoha dimostrato di diminuire e talvolta eliminare l'errore che si presenta per i

94

proli di velocità e di k+, ma ha forti limiti di applicabilità.Prima di tutto è necessario disporre di una griglia strutturata nella regionedi strato limite e non devono presentarsi ambiguità quando viene selezionatoil secondo centro cella.Inoltre se la y+

1 è elevata, l'altezza del secondo centro cella sarà ancora mag-giore e in questo punto potrebbero essere imposti dei valori non corretti.Infatti la presenza di un gradiente di pressione in direzione parallela alla pa-rete farebbe cadere l'ipotesi di universalità dei proli su cui si basa l'approcioadattivo e lo scostamento dagli andamenti calcolati quando dp/dx = 0 risul-ta essere sempre maggiore all'aumentare di y+.Nel caso della lastra piana è comunque risultato possibile applicare questomiglioramento, disponendo di una griglia formata da celle ortogonali e nonessendo presente un gradiente di pressione in direzione parallela alla corren-te.Potrebbe diventare oggetto di una futura analisi la possibilità di considerarela presenza di un gradiente di pressione, oppure fare in modo che il migliora-mento proposto sia applicato solo in regioni dove l'altezza del primo centrocella in unità di parete è ridotta e l'errore numerico risulterebbe di conse-guenza più elevato.I miglioramenti risultano essere più evidenti in riferimento al usso bidimen-sionale attorno a un prolo alare. Come avveniva all'estremità anteriore dellalamina, anche al bordo di attacco del prolo le funzioni di parete adattiveforniscono una stima migliore del coeciente di attrito rispetto le funzionidi parete disponibili in OpenFOAM, per le ragioni esposte in precedenza. Idati ottenuti sono in buon accordo con quelli ricavati utilizzando il modellodi Durbin.Anche se è presente un gradiente di pressione abbastanza signicativo ven-gono considerate y+

1 modeste e il suo eetto è trascurabile. Non è però statopossibile applicare il miglioramento visto per la lastra piana in quanto l'eet-to della pressione è risultato essere consistente per le y+ relative ai secondicentri cella.Inne prendendo in considerazione la geometria di Odoacre si sono osservatidei beneci per la griglia di calcolo meno ranata, come ci si poteva aspet-tare. Purtoppo avendo a disposizioni mesh in cui l'altezza del primo centrocella in unità di parete era abbastanza ridotta non si sono potuti apprezzareappieno i miglioramenti introdotti dalle funzioni di parete adattive che infat-ti hanno prodotto risultati molto simili a quelli ottenuti con le wall functiontradizionali di OpenFOAM. Come già detto infatti l'approcio adattivo mo-stra sensibili miglioramenti rispetto quello tradizionale in regioni prossime apunti di ristagno e se le celle hanno una y+

1 elevata.Per il modello k−ω SST non si sono raggiunti risultati indipendenti rispettola griglia di calcolo utilizzata, in constrato a quanto avviene per il modellov2 − f .

95

Questa tendenza probabilmente è associata al modello k−ω stesso in quantoè stata osservata sia con le funzioni di parete adattive, sia con quelle tradi-zionali. La presenza di ampie zone di usso separato su Odoacre, unito alfatto che si verica un certo errore numerico quando la y+

1 è ridotta, potreb-be aver causato l'insorgere di questo comportamento.In conclusione si può aermare che le funzioni di parete adattive portanodei miglioramenti rispetto l'approcio tradizionale. Purtroppo i beneci sonorisultati dipendenti dal modello di turbolenza a cui vengono applicate. Adesempio per il modello k−ω SST si è osservata la nascita di un certo erroredi discretizzazione per altezze ridotte del primo centro cella, comportamentonon riscontrato per il modello v2 − f .

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Ringraziamenti

Queste ultime righe chiudono un altro capitolo della mia vita. Indubbiamen-te sono state le persone che lo hanno vissuto insieme a me a renderlo cosìsignicativo e non posso fare a meno di ringraziarle.Colgo quindi questa occasione per esprimere la mia gratitudine ai miei ge-nitori, che con il loro supporto e amore, mi hanno regalato la possibilità diseguire la mia strada, donandomi gli strumenti per compiere le mie sceltee realizzare i miei sogni. Un profondo e sincero grazie lo devo anche a miofratello Fabio, il quale rappresenta per me la persona a cui chiedere consiglioe da cui trovare sempre rassicurazione.Un pensiero speciale è riservato per la mia danzata, Giulia. La ringrazio peravermi sopportato questi anni quando a volte ho dovuto scegliere lo studio alposto di passare del tempo insieme. Quando pensavo di non potercela fare,nei momenti dicili, mi ha sempre incoraggiato e tranquillizzato, restandomivicina e credendo in me.Vorrei ringraziare inoltre chi ha reso possibile la stesura di questa tesi, il pro-fessor Quadrio, che si è sempre dimostrato disponibile e cordiale, e l'ingegnerGasparini, i cui consigli si sono rivelati utili ed ecaci durante questo lungolavoro.Gli amici inne rivestono un ruolo fondamentale nella vita di ognuno. Nonvoglio e non posso quindi perdere l'occasione di ringraziare i miei più cariamici, Ronco, Enrico, Ste, Ube e Nibbio che regalandomi tanti bei momenti,mi hanno permesso di diventare la persona che sono.Poi ci sono gli amici che mi hanno accompagnato durante gli anni di uni-versità. Alcuni sono amici di lunga data, come Davide e Giorgio. Altri sonoaerodinamici come me. Insieme a Nic, Tia, Mitch, Boga, Giulio e Simo hocondiviso negli ultimi due anni di università momenti di divertimento e distudio. E inne voglio ricordare i compagni strutturisti e impiantisti, Alef,Artu, Fede, Cigo e Forans.E se ho dimenticato qualcuno non si preoccupi ringrazio anche lui.

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