Physico-Chimie II:

Partie 3 d-bis. Gaz parfait de Fermions

Vie et mort d’une etoile

P. Damman

Lab Interfaces & Fluides Complexes

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Une etoile

Le soleil (hydrogene, 92.1 % et helium, 7.8 % du volume)) : Nainejaune (etoile moyenne)

I Masse M ' 2 1030kg

I Rayon R ' 700 000 km

(⇢ ' 1400kg/m3,

⇢core

' 150 000kg/m3)

(Rmq. la Terre M ' 6 1024 kg,

R ' 6400 km, ⇢ ' 5500kg/m3)

I Quels facteurs determinentla taille, la temperatured’une etoile ?

I Peut-on determiner la fin devie d’une etoile ?

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Temperature d’une etoile “jeune” (naine jaune)

I Stabilisation d’une etoile: gravitation - pression

Astronomy 112: The Physics of Stars

Class 3 Notes: Hydrostatic Balance and the Virial Theorem

Thus far we have discussed what observations of the stars tell us about them. Now we willbegin the project that will consume the next 5 weeks of the course: building a physicalmodel for how stars work that will let us begin to make sense of those observations. Thisweek we’ll try to write down some equations that govern stars’ large-scale properties andbehavior, before diving into the detailed microphysics of the stellar plasma next week.

In everything we do today (and for the rest of the course) we will assume that stars arespherically symmetric. In reality stars rotate, convect, and have magnetic fields; these inducedeviations from spherical symmetry. However, these deviations are small enough that, formost stars, we can ignore them to first order.

I. Hydrostatic Balance

A. The Equation of Motion

Consider a star of total mass M and radius R, and focus on a thin shell of materialat a distance r from the star’s center. The shell’s thickness is dr, and the densityof the gas within it is �. Thus the mass of the shell is dm = 4�r2� dr.

r

dr R

ρ

The shell is subject to two types of forces. The first is gravity. Let m be the massof the star that is interior to radius r and note that � dr is the mass of the shellper cross sectional area. The gravitational force per area on the shell is just

Fg = �Gm

r2� dr,

where the minus sign indicates that the force per area is inward.

The other force per area acting on the shell is gas pressure. Of course the shellfeels pressure from the gas on either side of it, and it feels a net pressure force only

m(r) masse interne, dm masse de la coque:

dm = 4⇡r2⇢dr

Force de gravitation (per unit area)

Fg = �Gm

r

2⇢dr

Force gradient de pression

Fp = �dP

dr

dr

I Equilibre hydrostatique (P

F = 0)

dP

dr

= �⇢

Gm

r

2

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I En termes de masse ( dm = ⇢dr 4⇡r2)

dP

dm

=dP

dr

✓dm

dr

◆�1

=dP

dr

1

4⇡r2⇢

= � Gm

4⇡r4

I Pression au centre de l’etoile

Z P (M)

P (0)dP = �

Z M

0

Gm

4⇡r4dm

I Approx. P (M) ⌧ P (0) et r ' R

P (0) ' G

4⇡R4

Z M

0mdm

=GM

2

8⇡R4

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I considerant que P = rTn/V = rT⇢/Ma, l’equation devient

rT⇢

Ma=

GM

2

8⇡R4

comme ⇢ ⇠ M/(4/3⇡R3), on a

T =3GMMa

2Rr

I avec les valeurs

G = 6.67 10�11m

3kg

�1s

�2

r = 8.314Jmole

�1K

�1

Ma = 1kgmole

�1

M = 21030kg

R = 7108m

On trouve queT ' 107

K

(valeur surestimee, nous n’avons pas tenu compte de la variation de ⇢

avec R)

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Theoreme du viriel (Clausius 1851)

I Ecrivons la balance hydrostatique pour le volume complet

V dP = � Gm

4⇡r4dm

4

3⇡r

3 = �Gm

3rdm

I Integrons

Z P (r)

P (0)V dP = �1

3

Z m

0

Gm

r

dm =1

3⌦(r)

Rmq. �Gmdm/r est l’energie gravit. de la coque dm, ⌦(r) est l’energie

gravit. totale d’une sphere de rayon r

I Integration par partie (V (0) = 0)

Z P (r)

P (0)V dP = [PV ]r0 �

Z V (r)

0PdV = P (r)V (r) �

Z V (r)

0PdV

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I volume de la coque dV = dm/⇢, l’equation devient

P (r)V (r) �Z m

0

P

⇢

dm =1

3⌦(r)

I considerons la surf. externe r = R ( et P (R) ' 0)Z M

0

P

⇢

dm =

Z M

0

RT

madm =

Z M

0

2

3u dm = �1

3⌦

avec l’eq. des gaz pfts p = R⇢T/ma et l’energie du gaz pftpar unite de masse u = 3/2RT/ma

I Au final, nous obtenons le theoreme du viriel

U = �1

2⌦

E = U + ⌦ =1

2⌦

Pour un systeme de particules en interaction, a l’equilibre l’energie

cinetique est egale a l’oppose de la moitie de l’energie potentielle.

generalisation :X 1

2mv

2 = �1

2

X~r · ~F

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I Exemple d’utilisation: Estimation de la masse d’un amasd’etoile en connaissant la vitesse des etoiles et la distancemoyenne entre elles.

EK =1

2MV

2EG = �1

2

GM

2

R

avec le theoreme du viriel, EK = �1/2 EG

M =2RV

2

G

I Pour notre soleil (naine jaune constituee d’hydrogene)

U =3

2M

RT

maet ⌦ = �GM

2

R

avec U = �1

2⌦

! Temperature moyenne T = 2 106K

Rmq. Rayonnement corps noir Tsurf = 6000 K

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Fin de vie d’une etoile

I Apres epuisement du ”carburant” explosion : Supernova

I Nature de l’etoile ”morte” (residu de l’e↵ondrement) suivantla masse

I faible masse (< 8 soleil) ! naine blancheI etoiles massives (> 10 soleil) ! etoile a neutrons

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Naines blanches

I Objet celeste de petite taille et tres dense (plasmaelectrons/noyaux)

I Plus de gradient de pression (fin des reactions nucleaires)

I Quelle force contrebalance la gravite ?

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Gaz d’electrons extremement dense

Accroissement du nombre d’e dans un volume donne, augmentation

de l’energie cinetique, augmentation de la pression (pression de

degenerescence) empechant l’e↵ondrement gravitationel.

I Energie de gravite

UG ⇠ �GM

2

R

I energie cinetique d’un gaz de fermions ? (voir Chap. 3D)

kF =�3⇡2

�1/3✓N

V

◆1/3

; ✏F =~2k

2F

2m

UK =3

5N✏F ⇠ N

✓N

V

◆2/3

0 2,5 5 7,5 10 12,5 15

0,25

0,5

0,75

1 Distribution Fermi-Dirac

Maxwell-Boltzmann

I considerant M = N matom

UK ⇠ M

5/3

R

2

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I Equilibre minimisation de l’energie totale

E = UG + UK ⇠ M

5/3

R

2� GM

2

R

I rayon de la naine blanche

R⇤ ⇠ M

�1/3

R⇤R�

= 0.01

✓M�M

◆1/3

(R�,M� caracteristique du soleil)

I Notre soleil en naine blanche, R⇤ ' 7000km (taille de laTerre)

⇢ =2 1030

kg

1022m

3' 108

kg/m

3

Rmq: Densite du noyau atomique 1017 kg/m3

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La limite de S. Chandrasekhar (Nobel 1983)

I Naine blanche : R⇤ ⇠ 1/M1/3

Si M est su�samment grande les e sont relativistes !

I electrons relativistes (p = ~k)

✏ ' p c; g(p)dp ⇠ V

~3p

2dp

I Energie cinetique(pF = ~kF ⇠ ~ (N/V )1/3, M = N matom, V = 4/3 ⇡R

3)

UK ⇠ V c

~3

Z pF

0p

3dp ⇠ V c

~3p

4F ⇠ ~c M

4/3

R

I L’energie cinetique ne PEUT etre superieure a cette valeur !

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I Le limite de Chandrsekhar, masse critique UG = UK

GM

2

R

= ~c M

4/3

R

I Masse critique ! Mc = C

te

Mc = 1.4 M�

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I Pour des masses > Mc l’energie cinetique ne peut compenserl’energie de gravite : E↵ondrement .... jusqu’a ce que les e secombinent aux protons pour former des neutrons

I Etoile a neutrons (gaz degenere de neutron, meme calcul quegaz d’electron MAIS avec une densite de particules N/V

beaucoup plus grande ! )

R⇤R�

= 0.000011

✓M�M

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Une etoile a neutrons de la masse du soleil occupe une spherede 10 km (⇢ ' 1016

kg/m

3)

I Limite de masse lie a des e↵ets relativistes : Limited’Oppenheimer-Volko↵

MOV = 6.9 M�

Question: Si M > MOV , que devient l’etoile ?

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Trou noir

Edge-on galaxy (ESO 243-49)(trou noir de 20 000 M�)

Vitesse de liberation(1/2mv

2 = GMm/R)

vesc =

r2GM

R

Vitesse max c, rayon deSchwarzchild

Rsch =2GM

c

2

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