KALKULUS I3 SKS

Pertemuan I

Kontrak PerkuliahanMateriFungsi dan Teori LimitTurunan dasar, berantai dan parsial

Aplikasi TurunanIntegralAplikasi Integral

Kontrak PerkuliahanPustakaKuhfitting, P.KF. 1984. Basic Technical

Mathematics with Calculus. California: Brooks/ Cole Publishing Company

Faires, J.D.1988. Calculus. Second Edition. New York: Random House

Purcell, E.J & Varberg, D.1996. Kalkulus dan Geometri analisis. Jilid I dan II. Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga

dsb

Kontrak PerkuliahanPenilaianUTS: 30 %UAS: 30 %Tugas: 40%- Quiz : 20 %- Tugas (Paper/ Makalah): 15 %- Keaktifan: 5%

MATERIFUNGSI:Pengertian fungsiIstilah dan lambang fungsiGrafik fungsiJumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi

fungsiFungsi KomposisiFungsi Invers.

1. PENGERTIAN FUNGSI

A. Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan asal (domain) dengan anggota himpunan kawan (kodomain)

Contoh : Relasi antara negara dan ibu kota. Relasi bilangan yang lebih besar dari. Relasi kuadrat suatu bilangan, dsb

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

l. Diagram panah2. Himpunan pasangan berurutan3. Diagram Cartesius

Contoh :Via: aku senang permen dan coklatAndre: aku senang coklat dan es krimIta: aku suka es krim

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

Diagram panah

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

Himpunan pasangan berurutan{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

Diagram Cartesius

B. FungsiRelasi yang bersifat khusus.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Syarat fungsi:1. Ada himpunan asal (domain)2. Ada himpunan kawan (kodomain)3. Ada himpunan daerah hasil (range)4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2

bayangan atau lebih

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

B. FungsiRelasi yang bersifat khusus.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Syarat fungsi:1. Ada himpunan asal (domain)2. Ada himpunan kawan (kodomain)3. Ada himpunan daerah hasil (range)4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2

bayangan atau lebih

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

Korespondensi satu-satuFungsi dari A ke B dikatakan berkorespondensi satu-

satu jika merupakan relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota himpunan B dan sebaliknya.

2. Istilah dan Lambang Fungsi

Notasi Fungsi :

Untuk memberi nama fungsi, biasanya digunakan sebuah huruf tunggal, seperti f.

Maka f(x) yang dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadap x, atau aturan yang harus dipenuhi oleh x

Contoh : Jika f(x) = x2 + 2x+1, maka : f(0) = f(1) = f(a) = f(a+b) =

Contoh :

1. Untuk f(x) = 3x2 – 4x+2, cari dan sederhanakan : a. f(5) b. f(5+h) c. f(5+h) – f(5) d. [f(5+h) – f(5)]/h

2. Untuk g(x) = 2/x, maka tentukan [g(a+h)-g(a)]/h

Jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x), maka x disebut variabel bebas, dan y disebut variabel tak bebas/terikat.

Contoh : y = f(x)= x +2, maka x adalah variabel bebas, dan y variabel terikat.

Variabel Bebas dan Terikat

Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi/aturan, juga daerah asal fungsi (domain), yang merupakan sumber nilai dari suatu fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain), yang merupakan nilai hasil dari aturan yang ada.

Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real.

Waspadai bilangan yang menyebabkan munculnya pembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan negatif.

Daerah Asal dan Daerah Hasil

Latihan:Carilah daerah asal dan daerah hasil dari :

a. f(x) = 2 / x-8b. f(w) = 1 / (9-w2)1/2

c. g(x) = (x-5)/xd. f(x) = 5x2+3xe. f(x) = x / (x-1)

3. Grafik Fungsi Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah

fungsi merupakan himpunan bilangan real, maka dapat dibayangkan fungsi itu dengan cara menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat.

Contoh : Tentukan daerah asal, daerah hasil dan grafik fungsi :

i. f(x) = (x-2)/x ii. g(x) = ( 4 – x)1/2

4. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Bagi Fungsi

Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan daerah asal masing-masing, maka :

(f+g)(x) = f(x) + g(x) (f-g)(x) = f(x) - g(x) (f.g)(x) = f(x) . g(x) (f/g)(x) = f(x) / g(x)

Catatan : hati-hati dengan daerah asal!

Contoh:

Jika f(x) = (x-1) /2 dan g(x) = (x)1/2, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.

Jika f(x) = 1/(x+2) dan g(x) = 2x-1, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.

5. Fungsi KomposisiJika f adalah fungsi pada x untuk

menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi g dengan f.

Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f.

Jadi : (g ○ f)(x) = g(f(x))Komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g.Jadi : (f o g)(x) = f(g(x))

Latihan (1):

Jika diketahui f(x) = (x-2)/1 dan g(x)= (x)1/2, maka tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)

Jika diketahui f(x) = 2x2 dan g(x)= x-5 maka tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)

Jika f(x) =2x2+5x dan g (x) = 1/x maka tentukan (fog)(2)

Jika f(x) = x2+4 dan g(y)=2/(y)1/2 maka tentukan (gof)(t)

Latihan (2): Jika f(x) = 2x+5 dan g(x) = (x-1)/(x+4). Jika (f

o g) (a)= 5 maka tentukan a

Jika f(x) = -x+3 maka tentukan f(x2)+f2(x)-2f(x)

Jika f(x) = 2x , g(x) = x+1, dan h(x) = x3 maka tentukan (h o g o f)

Jika f(x) = 2x2+3x-5 dan g(x)=3x-2, agar (gof)(a)=-11 maka tentukan a

6. Fungsi InversJika fungsi f : A B, maka fungsi g : B A merupakan fungsi invers dari

fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1(x)

Contoh 1: Jika f(x) = (x-5)/10, maka tentukan f -1(x)

Contoh 2: Jika f(x) = 1/x2, maka tentukan f -

1(x)

Latihan: Jika f(x)-1 = (x-1)/5 dan g(x)-1 = (3-x)/ 2 maka

tentukan (f 0 g)-1 (6)

Jika f (x) = ½ x -1 dan g (x) = 2x+4 maka tentukan (g o f)-1 (10)

Jika f(x) = 2x dan g(x) = 3 - 5x. Tentukan (g o f)-1 (x)

Jika (f o g)(x) = 4x2+8x-3 dan g(x)= 2x+4 maka tentukan f-1(x)

TUGAS 11. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang temanmu,

kemudian tanyakan nomor sepatu/bulan lahir/tanggal lahir/kota lahir/makanan kesukaan/warna kesukaan/tinggi badan/berat badan mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut.

a) Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota A!b) Jika B himpunan (baca soal diatas) teman-temanmu, tulislah

anggota B !c) Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram

panah, dan dengan himpunan pasangan berurutan.2. Untuk f(x) = 3x2 – 4x+2, cari dan sederhanakan :

[f(nim+h) – f(nim)]/h3. Carilah daerah asal dan daerah hasil beserta grafiknya dari :a. g(x) = 2x2 + 5 (NIM gasal)b. f(x) = x2 - 2x (NIM genap)

TUGAS 21. Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:

a. (f o g)(x)b. (g o f)(x)

2. Diketahui f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x2 + 6x + 7, maka tentukan g(x) !

3. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi

4. Jika diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 5x – 2 Tentukan (f o g)-1(x)

31,

1352)(

xxxxf