papan basis bilangan

5/10/2018 Papan Basis Bilangan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/papan-basis-bilangan 1/14

PAPAN BASIS BILANGAN

Oleh

SITTI FITHRIANI SALEH



PROGRAM STUDI D II PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSAR

2003

2



PAPAN BASIS BILANGAN

“But don’t panic, base 8 is just like base 10 really,

if you are missing two fingers”

Tom Lehrer.

A. Nama Alat

Papan Basis Bilangan.

B. Fungsi

Papan basis bilangan dapat digunakan untuk membantu siswa memahami

bilangan basis beserta operasinya.

Dengan menggunakan alat ini diharapkan siswa mampu

1. Mengubah bilangan dari suatu basis ke basis lain.

2. Melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian

bilangan dengan berbagai basis.

C. Alat dan Bahan

Alat dan bahan yang diperlukan adalah:

1. Tatakan dan sekatnya

2. Kartu-kartu basis

3. Kancing-kancing atau manik-manik berwarna

4. Kartu-kartu bilangan

D. Pembuatan

5. Tatakan dibuat dari papan berukuran 35 cm × 35 cm dan dibagi

menjadi 5 petak yang sama. Tiap petak dicat dengan warna berbeda.

Masing-masing 5 cm sisi atas dan sisi bawah tatakan dicat putih

sebagai tempat meletakkan kartu basis. Bagian tengah tatakan diberi celahuntuk meletakkan sekat bila diperlukan. Papan basis bilangan

diilustrasikan pada Gambar 1.

1



Gambar 1. Papan basis bilangan

6. Sekat dibuat dari kertas manila berukuran 35 cm × 3 cm.

7. Kartu basis dibuat dari kertas manila berukuran 35 cm × 5 cm

sebanyak 9 lembar. Setiap kartu mewakili satu sistem bilangan basis

(sistem bilangan basis 2 sampai dengan sistem bilangan basis 10). Setiap

kartu berisi 5 kolom. Kolom-kolom tersebut bertuliskan pangkat berurut

dari bilangan yang menjadi basis kartu, dan menunjukkan nilai tempat dari

tiap petak berwarna pada papan basis bilangan.

4

5

3

5

2

5

1

5 1

Gambar 2. Kartu basis 5

8. Kartu bilangan dibuat dari karton berwarna berukuran 4 cm × 4

cm. Tiap kartu bertuliskan 1 angka tunggal. Warna kartu disesuaikan

dengan warna petak-petak papan basis bilangan.

Gambar 3. Kartu bilangan 3 untuk petak biru

9. Kancing-kancing atau manik-manik berwarna disediakan sesuai

dengan warna petak-petak papan basis bilangan.

2

Tempat

kartu basisSekat

3



E. Petunjuk dan Contoh Penggunaan

Konsep nilai tempat memegang peran penting dalam penggunaan papan

basis bilangan. Jika pada papan basis bilangan dipasang kartu basis b, maka

- petak biru menunjukkan petak satuan

- petak merah menunjukkan petak b atau

disebut juga b-an

- petak putih menunjukkan petak b2 atau

disebut juga b b-an

- petak kuning menunjukkan petak b3

- petak hijau menunjukkan petak b4.

Setiap petak hanya boleh ditempati kancing-kancing dengan warna yang sama.

Suatu kancing dapat dikonversi ke kancing berwarna lain dengan ketentuan

sebagai berikut.

- b kancing biru senilai dengan 1 kancing merah

- b kancing merah senilai dengan 1 kancing putih

- b kancing putih senilai dengan 1 kancing kuning

- b kancing kuning senilai dengan 1 kancing hijau.

Gambar 4. Representasi 3122

Gambar 5. Representasi 31225

3

•

•°

•

• •

•

•

Penempatan kancing-kancing seperti tampak

pada gambar di samping merepresentasikan

3122 basis 10

2 kancing biru berarti 2 × 1 = 2

2 kancing merah berarti 2 × 10 = 20

1 kancing putih berarti 1 × 102 = 100

3 kancing kuning berarti 3 × 103 = 3000+

3122

103104 102 101 1

•

•°

•

• •

•

•

Penempatan kancing-kancing seperti tampak

pada gambar di samping merepresentasikan

31225

2 kancing biru berarti 2 × 1 = 2

2 kancing merah berarti 2 × 5 = 10

1 kancing putih berarti 1 × 52 = 25

3 kancing kuning berarti 3 × 53 = 375+

412

53 52 5154 1



Ada 2 kegiatan penting dalam penggunaan papan basis bilangan, yaitu:

1. Pengelompokan (grouping)

Jika pada papan basis bilangan berlaku sistem bilangan basis b, maka

pengelompokan adalah mengganti setiap b kancing pada suatu petak

dengan 1 kancing senilai. Dengan demikian

Setiap b kancing biru diganti dengan 1 kancing merah

Setiap b kancing merah diganti dengan 1 kancing putih

Setiap b kancing putih diganti dengan 1 kancing kuning

Setiap b kancing kuning diganti dengan 1 kancing hijau.

2. Perombakan (removing)

Jika pada papan basis bilangan berlaku sistem bilangan basis b, maka

perombakan adalah menukar 1 kancing pada suatu petak dengan b kancing

senilai. Dengan demikian

1 kancing hijau dapat ditukar dengan b kancing kuning

1 kancing kuning dapat ditukar dengan b kancing putih

1 kancing putih dapat ditukar dengan b kancing merah

1 kancing merah dapat ditukar dengan b kancing biru.

Penggunaan papan basis bilangan.

a. Mengubah penulisan

bilangan dari suatu basis ke basis lain

Untuk mengubah bilangan dari suatu basis ke basis lain dilakukan

langkah-langkah berikut.- Pasang sekat pada

tempatnya untuk memisahkan daerah basis asal dan daerah basis

tujuan. Pasang kartu basis asal pada ujung atas papan basis bilangan

dan kartu basis tujuan pada ujung bawah papan basis bilangan.

Letakkan kancing-kancing pada daerah basis awal untuk

merepresentasikan bilangan yang akan diubah.

4



- Lakukan penukaran

kancing-kancing sedemikian hingga hanya tersisa kancing-kancing

biru pada papan basis bilangan.

- Pindahkan kancing-

kancing tersebut pada daerah basis tujuan, kemudian lakukan

pengelompokan.

Contoh: mengubah 132 ke basis 5.

Keterangan:

Pada daerah basis asal (basis 10), 1 kancing putih, 3 kancing merah, dan 2

kancing biru senilai dengan 132 kancing biru. Kancing-kancing tersebutdipindahkan ke daerah basis tujuan (basis 5). Selanjutnya dilakukan

pengelompokan pada sistem bilangan basis 5 sebagai berikut.

- 132 kancing biru dikelompok-

kelompokkan tiap 5 kancing sehingga diperoleh 26 kelompok limaan

(senilai dengan 26 kancing merah) dan 2 kancing tersisa, tidak

membentuk kelompok limaan (senilai dengan 2 kancing biru).

- 26 kancing merah dikelompok-

kelompokkan lagi tiap 5 kancing, diperoleh 5 kelompok kancing dan 1

kancing tersisa, senilai dengan 5 kancing putih dan 1 kancing merah.

- 5 kancing putih dikelompokkan

diperoleh 1 kelompok berisi 5 kancing, senilai dengan 1 kancing

kuning.

Setelah proses pengelompokan ternyata kancing-kancing tersebut

merepresentasikan 10125.

5

•

• •

°

•

•

103104 102 101 1

54 53 52 51 1

•

•

•

•

1

1

51525354

104 103 102 101



Jadi 132 = 10125.

b. Penjumlahan

Untuk menjumlahkan 2 bilangan basis b dilakukan langkah-langkah

berikut.

- Pasang sekat pada

tempatnya untuk memisahkan daerah kedua bilangan. Pasang kartu

basis b pada tempatnya. Letakkan kancing-kancing untuk

merepresentasikan kedua bilangan tersebut pada daerahnya masing-

masing.

- Lepaskan sekat

sehingga terjadi penggabungan kancing-kancing yang

merepresentasikan kedua bilangan tersebut.

- Lakukan

pengelompokan.

Contoh: menghitung 3245 + 2435.

Keterangan:

Jika kancing-kancing yang merepresentasikan kedua bilangan digabung,

maka diperoleh 7 kancing biru, 6 kancing merah, dan 5 kancing putih.

Selanjutnya dilakukan pengelompokan sebagai berikut.

- 7 kancing biru senilai dengan 1

kancing merah dan 2 kancing biru.

- 6 kancing merah ditambah 1

kancing merah hasil pengelompokan kancing biru senilai dengan 1

kancing putih dan 2 kancing merah.

6

•

•

• •

• •

° °°

° °

• • • •

•

• •

1

54 53 52 51

1

•°

•

•

•

•

1

1

51525354

5454 5353 5252 51 51



- 5 kancing putih ditambah 1

kancing putih hasil pengelompokan kancing merah senilai dengan 1

kancing kuning dan 1 kancing putih.



Jadi 3245 + 2435 = 11225.

c. Pengurangan

Untuk mengurangkan 2 bilangan basis b dilakukan langkah-langkah

berikut.

- Pasang sekat pada

tempatnya untuk memisahkan daerah bilangan yang akan dikurangi

dan bilangan pengurang. Pasang kartu basis b pada tempatnya.

Letakkan kancing-kancing untuk merepresentasikan kedua bilangan

tersebut pada daerahnya masing-masing.

- Keluarkan kancing

dari petak-petak di daerah bilangan yang akan dikurangi sebanyak

kancing pada petak-petak bersesuaian di daerah bilangan pengurang.

Jika kancing pada petak di daerah bilangan yang akan dikurangi lebih

sedikit dari kancing pada petak di daerah bilangan pengurang, maka

lakukan perombakan.

- Kancing-kancing

tersisa pada petak-petak di daerah bilangan yang akan dikurangi

merepresentasikan hasil pengurangan kedua bilangan tersebut..

Contoh: menghitung 11225 – 3245.

7

•

•

• •

°

° °

°

•

•

•

• •

• •

1

54 53 52 51

1

° °

• •

• •

•

• •

1

1

51525354

5454 5353 5252 51 51

Daerah bilangan yang akan dikurangi (atas)

Daerah bilangan pengurang (bawah)



Keterangan:

Setelah kancing-kancing untuk merepresentasikan 11225 dan 3245 ditata,

maka dilakukan proses sebagai berikut.

- Akan dikeluarkan 4 kancing biru

dari daerah atas. Karena hanya ada 2 kancing biru pada daerah atas,

maka tidak mungkin dikeluarkan 4, dengan demikian harus dilakukan

perombakan 1 kancing merah menjadi 5 kancing biru. Sekarang telah

ada 7 kancing biru. Jika dikeluarkan 4, maka tersisa 3 kancing biru.

- Akan dikeluarkan 2 kancing merah

dari daerah atas. Karena 1 kancing merah telah dirombak, maka tersisa1 kancing merah pada daerah atas. Karena hanya ada 1 kancing merah,

maka tidak mungkin dikeluarkan 2, dengan demikian harus dilakukan

perombakan 1 kancing putih menjadi 5 kancing merah. Sekarang ada 6

kancing merah. Jika dikeluarkan 2, maka tersisa 4 kancing merah.

- Akan dikeluarkan 3 kancing putih

dari daerah atas. Karena 1 kancing putih telah dirombak, maka tak

tersisa kancing putih pada daerah atas sehingga tidak mungkin

dikeluarkan 3. Dilakukan perombakan 1 kancing kuning menjadi 5

kancing putih. Sekarang telah ada 5 kancing putih. Jika dikeluarkan 3,

maka tersisa 2 kancing putih.

Setelah proses pengeluaran kancing dan perombakan dilakukan ternyata

kancing-kancing tersebut merepresentasikan 2435.

Jadi 11225 – 3245 = 2435.

d. Perkalian

Perkalian adalah penjumlahan berulang dari suatu bilangan. Untuk

mengalikan suatu bilangan basis b dengan bilangan lain dilakukan

langkah-langkah berikut.

- Pasang kartu basis b

pada tempatnya. Jika b ≠ 10, maka ubah salah satu bilangan ke basis

10. Letakkan kancing-kancing untuk merepresentasikan bilangan yang

tidak diubah.

8



- Gandakan kancing-

kancing pada setiap petak sebanyak bilangan yang telah diubah.

- Lakukan

pengelompokan.

Contoh: menghitung 105 × 2035.

Keterangan:

Karena sistem bilangan basis yang digunakan bukan basis 10, maka ubah

105 ke basis 10 sehingga diperoleh 5. Tata kancing-kancing untuk

merepresentasikan 2035, lalu gandakan sebanyak 5 kali. Ternyata

diperoleh 10 kancing putih dan 15 kancing biru. Selanjutnya dilakukan

pengelompokan sebagai berikut.

- 15 kancing biru senilai dengan 3

kancing merah.

- 10 kancing putih senilai dengan 2

kancing kuning.



Jadi 105 ×

2035 = 20305.e. Pembagian

Pembagian adalah pengurangan berulang dari suatu bilangan. Untuk

membagi suatu bilangan basis b dengan bilangan lain dilakukan langkah-

langkah berikut.

- Pasang kartu basis b

dan sekat pada tempatnya. Jika b ≠ 10, maka ubah bilangan pembagi

9

° °

° °

° °

° °

° °

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

1

54 53 52 51 1

•

•

•

•

•

1

1

51525354

5454 5353 5252 51 51



ke basis 10. Letakkan kancing-kancing untuk merepresentasikan

bilangan yang akan dibagi.

- Lakukan pengurangan

berulang sebanyak bilangan pembagi dimulai dari petak paling kiri,

hingga kancing-kancing yang tersisa tidak dapat lagi dikurangkan

dengan bilangan pembagi. Kancing-kancing yang tersisa dirombak.

Selanjutnya lakukan hal yang sama untuk petak-petak berikutnya.

Banyak pengurangan yang dilakukan pada tiap petak

merepresentasikan angka hasil bagi untuk petak yang bersangkutan.

- Lakukan

pengelompokan.

Contoh: menghitung 20305 : 105.

Keterangan:

Karena sistem bilangan basis yang digunakan bukan basis 10, maka ubah

105 ke basis 10 sehingga diperoleh 5. Tata kancing-kancing untuk

merepresentasikan 20305. Selanjutnya dilakukan pengurangan dan

perombakan sebagai berikut.

- 2 kancing kuning tidak dapat

dikurangi 5. Lakukan perombakan terhadap 2 kancing kuning sehingga

diperoleh 10 kancing putih.

- Dari 10 kancing putih dipindahkan

5, ternyata masih tersisa 5. Pindahkan lagi 5 kancing putih ini sehingga

tak tersisa lagi kancing putih. Dengan demikian terjadi 2 kali

pemindahan (pengurangan) pada petak putih.

10

°°°°°

°°°°°

•••••

•••••

•••••

1

54 53 52 51 1

• •

•

1

1

51525354

5454 5353 5252 51 51

• •



- 3 kancing merah tidak dapat

dikurangi 5. Lakukan perombakan terhadap 3 kancing merah sehingga

diperoleh 15 kancing biru.

- Dari 15 kancing biru dipindahkan

5, ternyata masih tersisa 10. Dari 10 kancing biru dipindahkan lagi 5,

ternyata masih tersisa 5. Pindahkan lagi 5 kancing biru ini sehingga tak

tersisa lagi kancing biru. Dengan demikian terjadi 3 kali pemindahan

(pengurangan) pada petak biru.

Setelah pengurangan dan perombakan dilakukan ternyata kancing-kancing

tersebut merepresentasikan 2035.

Jadi 20305 : 105 = 2035.

Untuk meningkatkan daya abstraksi siswa, maka pemakaian kancing-

kancing dapat diganti dengan kartu-kartu bilangan.

11



Referensi

B. Bennet, Jr, Albert, Leonard T. Nelson. 1985. Mathematics an Activity

Approach 2nd Edition. USA: Allyn and Bacon, Inc.

Negoro, St, B. Harahap. 1987. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia

Indonesia.

W. Heddens, James, William R. Speer. 1995. Today’s Mathematics Part 1

Concepts and Classroom Methods 8th Edition. USA: Prentice-Hall, Inc

12

papan basis bilangan

Documents