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OEDM:

OPTIMIZACION ESTOCASTICA DINAMICA MULTINIVEL

-TEORIA GENERAL-

DOCUMENTO DE TRABAJO - DW-DT-033

(REVISIÓN 2003)

PUBLICADO INICIALMENTE EN LA REVISTA ENERGÉTICA No. 13 (1995)

Jesús María Velásquez Bermúdez

DecisionWare Ltda., Colombia

[email protected]

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OPTIMIZACION ESTOCASTICA DINAMICA MULTINIVEL

-TEORIA GENERAL-

Ing. JESÚS M. VELÁSQUEZ BERMÚDEZ

([email protected])

...“Me podrías indicar, por favor, hacia dónde tengo que ir desde aquí ? “

“Eso depende de a dónde quieras llegar”, contestó el Gato.

“A mí no me importa demasiado a dónde ... “, empezó a explicar Alicia.

“En ese caso, da igual hacia dónde vayas”, interrumpió el Gato.

“... siempre que llegue a alguna parte”, terminó Alicia a modo de explicación.

“Oh! siempre llegarás a alguna parte”, dijo el Gato, “si caminas lo bastante”.

Lewis Carroll

Alicia en el País de la Maravillas

RESUMEN

Este artículo presenta los resultados teóricos de las técnicas dela aplicación de la Teoría de J. F.

Benders a la solución de problemas dinámicos estocásticos.

1. GENERALIZACION DE LA TEORIA DE J.F. BENDERS

En 1962, J.F. Benders [1] publicó su teoría orientada a la optimización de problemas de gran escala. La idea

fundamental es la partición de un problema de gran tamaño en dos subproblemas de menor complejidad con base en la

clasifican las variables como de coordinación y como subordinadas, o dependientes. La solución del problema original

se obtiene por medio de la solución coordinada de dos subproblemas complementarios en los cuales se independizan

las variables: para las variables de coordinación se formula un problema coordinador, y para las variables

subordinadas un problema dependiente, o primario. El problema primario aporta información al coordinador por

medio de las variables duales asociadas a sus restricciones. En el coordinador se toma la información proveniente del

nivel primario y la incorpora en forma de planos cortantes -cortes de Benders- que limitan la zona de factibilidad para

la solución óptima de las variables de coordinación. Los cortes de Benders sirven para evaluar indirectamente los

costos de las variables subordinadas como función de las variables de coordinación. El algoritmo definido por Benders

es convergente y soluciona el problema original a través de la solución del modelo coordinador.

Este artículo presenta la generalización de la teoría de Benders para varios casos típicos en que la estructura del

problema de optimización permite la utilización eficaz de los principios propuestos por Benders. Los casos analizados

son:

a) Teoría de descomposición: es útil cuando es posible agrupar las variables subordinadas en conjuntos

independientes con la finalidad de formular múltiples subproblemas subordinados. En este caso las variables

de coordinación también se denominan variables de acople.

b) Teoría multinivel: se utiliza cuando existe una estructura multinivel de relaciones jerárquicas dentro de las

variables que integran el problema, y es posible al interior de las variables subordinadas seleccionar un

nuevo conjunto de variables de coordinación para establecer un nivel adicional de partición.

c) Teoría de descomposición multinivel: es el resultado de la combinación de las dos teorías anteriores.

d) Teoría dinámica: cuando el sistema objeto de la optimización presenta una estructura dinámica temporal, es

posible combinar la teoría de Benders con los principios de programación dinámica.

e) Teoría de descomposición dinámica multinivel: es el resultado de la combinación de la teoría dinámica con

la teoría de descomposición multinivel.

f) Teoría estocástica: cuando se formulan modelos de optimización estocástica. En muchos casos, la estructura

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de los problemas permite utilizar las teorías de descomposición multinivel para aumentar la eficacia del

proceso de solución, y para caracterizar la estructura probabilística de la solución.

g) Teoría estocástica dinámica multinivel: es el resultado de la combinación de todos los casos estudiados.

2. TEORIA DE PARTICION DE BENDERS

Para el desarrollo de la teoría de Benders consideremos el problema de optimización P: compuesto por variables Y,

correspondientes a las variables de coordinación, y variables X, correspondientes a las coordinadas.

P: = { Min Z = CTX + f(Y) |

F0(Y) = b0 ; AX + F(Y) = b ; XR+ ; YS }

La teoría de Benders restringe el modelo sobre X a un problema lineal, en tanto que es flexible con respecto a Y. El

espacio S de existencia de Y puede ser continuo o discreto, lo que permite que las componentes de Y sean variables

continuas, enteras y/o binarias. Adicionalmente, las funciones asociadas a Y pueden ser no-lineales.

El problema P: puede partirse en dos subproblemas uno sobre Y y otro sobre X. Si se define Q(Y) como el valor óptimo

de la función objetivo correspondiente al problema sobre X para un valor dado de Y:

Q(Y) = {Min CTX | AX = b - F(Y); XR+ }

es posible formular un problema equivalente CY:

CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |

F0(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) = {Min CTX | AX = b - F(Y) ; XR+ } }

El subproblema SP(Y): para evaluar Q(Y) es

SP(Y): = {Min Q(Y) = CTX | AX = b - F(Y) ; XR+ }

y el problema dual de SP(Y):

DSP(Y): = {Max W(Y) = T[b - F(Y)] | TA CT }

donde corresponde al vector de variables duales de las restricciones AX=b-F(Y). Con base en la teoría de la

dualidad se sabe que la función objetivo del problema dual, W(Y), es menor o igual a la función objetivo del primal,

Q(Y), para cualquier valor factible de

Q(Y) T [b - F(Y)]

cumpliéndose la igualdad solo para el valor óptimo *, que es un punto extremo de la zona de factibilidad dual. Dado

que la zona de factibilidad de es independiente de Y, la anterior condición debe cumplirse para todo Y, y CY: puede

escribirse como

CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |

F0(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) T [b - F(Y)] ;

TA CT }


- TEORIA GENERAL -

Si se conocen todos los puntos extremos , es posible obviar la formulación explícita de las restricciones TA CT. CY:

puede formularse como

CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |

F0 (Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) (k)T [b - F(Y)] , kNP }

donde NP representa el conjunto de todos los puntos extremos del problema dual DSP(Y):.

Dado que para problemas reales el número de puntos extremos NP y tiende a infinito, el algoritmo propuesto por

Benders se concentra en definir un método eficaz para la generación de valores extremos k de forma tal que, con un

número finito de ellos, se obtenga la solución a CY: que es equivalente a P:. Si se soluciona SP(Y): para diferentes

valores de Y, se generarán valores factibles de , y es posible implementar un método de generación de planos

cortantes en CY:.

Benders propone la solución de P: por medio de un algoritmo que trabaja en dos niveles: en el nivel superior, nivel de

coordinación, se resuelve el problema coordinador CY: que genera una secuencia de valores Yk. En el nivel inferior,

los valores Yk son utilizados como parámetros del subproblema SP(Y): para generar una secuencia de puntos factibles

k, que se utilizan en el nivel superior para incluir en CY: un plano cortante que restringe la zona de optimalidad de Y.

SP(Yk): puede tener tres posibles soluciones: no acotada, factible y óptima, y no factible. En caso de solución no

acotada en SP(Yk): se puede concluir que P: también tiene solución no acotada. En caso de solución factible y óptima,

SP(Yk): proporciona un punto extremo a la zona de factibilidad dual, TAc, y se genera un corte en la zona de

factibilidad de Y por razones de optimalidad, es decir se eliminan valores de Y que no pueden ser óptimos. Este corte

tiene la forma

Q(Y) (k)T[b-F(Y)]

En caso de que no exista solución factible a SP(Yk): se debe generar el anterior corte, ya que, en un tablero simplex,

asociada a una solución no factible en el primal, existe una solución factible en el dual. Adicionalmente, se debe incluir

un corte por razones de la relación entre la zona de factibilidad de Y y la zona de factibilidad de X. De acuerdo con el

Lema de Farkas [2], para garantizar la factibilidad de X en SP(Yk) se debe satisfacer

0 VT[b - F(Yk)]

donde V es un rayo extremo de la región de factibilidad de . Al no existir factibilidad, la anterior condición no se

cumple automáticamente y por lo tanto se debe incluir explícitamente en el modelo coordinador CY:. En cada ciclo del

modelo coordinador se debe resolver

CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |

F0(Y) = b0 ;

Q(Y) (k)T[b - F(Y)] , k=1,ITE ;

0 (Vk)T[b - F(Y)] , k1,ITN }

donde ITE representa todas las iteraciones realizadas, e ITN el conjunto de las iteraciones en que no se ha conseguido

la factibilidad.

La convergencia del método propuesto por Benders se obtiene cuando dos valores consecutivos Yk y Yk+1 son iguales,

debido a que el último corte no proporciona información adicional. Existen otros mecanismos para detener el proceso,


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basados en la calidad de la solución que se tiene. La función Q(Yk) estima el costo asociado a X, como consecuencia de

tomar una decisión Yk. Este valor acota al valor real cTX(Yk), donde X(Yk) corresponde a la solución óptima de

SP(Yk):

valor estimado = Q(Yk) cTX(Yk) = valor real

la diferencia entre el valor real y el estimado determina la precisión de la solución que se tiene en el ciclo k. Si ésta

satisface los estándares de precisión definidos para determinar la convergencia, se ha obtenido la solución. La tabla

2.1 resume el algoritmo propuesto.

TABLA 2.1. ALGORITMO BASICO DE BENDERS

PASO SUB-

PASO DESCRIPCION

1 a) k = 1

b) En el nivel de coordinación se resuelve el problema coordinador CY: sin considerar las restricciones sobre p, el cual genera Y1

factible a F0(Y) = b0 2 a) En el nivel inferior se resuelve el problema primario SP(Yk): que genera puntos k extremos a AT c 3 a)

b)

Se regresa al nivel de coordinación y se introduce el corte correspondiente a los valores generados para pk : Q(Y) (pk)T [b -

F(Y)].

Si SP(Yk) no tuvo solución factible se introduce el corte correspondiente a los valores generados para Vk: 0 (Vk)T [b - F(Y)] 4 a) Se resuelve el problema coordinador CY: y se genera Yk+1

.

Si el valor generado Yk+1 es igual a Yk se ha conseguido la solución óptima STOP.

b) k = k+1, y se regresa al paso 2 y se continua el proceso.

3. TEORÍA DE DESCOMPOSICION

Cuando un problema tiene una estructura matricial dual-angular es posible el uso de la teoría de Benders para su

solución. Se dice que el problema P: tiene estructura dual angular cuando se puede expresar como:

P: = { Min Z = i=1,S ciTXi + f(Y) |

F0(Y) = b0 ;

AiXi + Fi(Y) = bi , i=1,S ;

XiR+ , i=1,S ; YS }

Matricialmente P: tiene la siguiente estructura:

X1 X2 . . . . . XS Y

A1 F1

A2 F2

. .

. . . .

. .

AT FT

F0


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El subíndice i esta asociado a un área de influencia relacionada con sectores industriales, zonas geográficas, períodos,

y/o realizaciones de un proceso estocástico, Y está asociada al consumo/producción de recursos comunes, y/o a la

transferencia de recursos entre áreas de acción, y Xi a la operación dentro del área de acción del subíndice i.

P: puede resolverse utilizando la teoría de Benders directamente. Y corresponde a las variables de coordinación, y Xi a

las variables coordinadas. Sin embargo, se puede tomar ventaja de la estructura de P: con la finalidad de diseñar un

algoritmo mas eficaz que el resultante de aplicar directamente la teoría de Benders.

Definamos Q(Y) como el valor óptimo de la función objetivo correspondiente al problema sobre las variables Xi para

un valor dado de Y

Q(Y) = {Min i=1,S ciTXi | AiXi = bi - BiY, i=1,S ; XiR+ , i=1,S }

Utilizando directamente la teoría de Benders el problema coordinador es

CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |

F0(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) i=1,S (ik)T[bi - Fi(Y)] , k=1,ITE ;

0 i=1,S (Vik)T[b - F(Y)] , k=1,ITN }

donde i representa las variables duales del i-ésimo conjunto de restricciones y Vi a los rayos extremos de las

soluciones no factibles. El subproblema asociado integra todas las Xi.

Es posible desacoplar el subproblema primario al formular la función Q(Y) como la suma de S funciones Qi(Y) cada

una de ellas correspondiente a un subproblema sobre Xi

Qi(Y) = {Min ciTXi | AiXi = bi - Fi(Y), XiR+ }

cumpliéndose

Q(Y) = i=1,S Qi(Y)

El problema SPi(Y) para evaluar Qi(Y) se formula como

SPi(Y): = {Min Qi(Y) = ciTXi | AiXi = bi - Fi(Y); XiR+ }

y su problema dual

DSPi(Y): = {Max Wi(Y) = iT [bi - Fi(Y)] | i

TAiT ci

T }

Como en el caso anterior, con base en la teoría de la dualidad se sabe que

Qi(Y) iT [bi - Fi(Y)]

cumpliéndose la igualdad solo para el valor óptimo i*. La zona de factibilidad de i es independiente de Y y la

anterior condición se debe cumplir para todo Y. El modelo coordinador CY: se formula como

CY: = { Min Z = f(Y) + Q(Y) |

F0(Y) = b0 ; YS ;


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Q(Y) = i=1,S Qi(Y)

Qi(Y) (ik)T[bi - Fi(Y)] , i=1,S, k=1,ITE(i) ;

0 (Vik)T[bi - Fi(Y)] , i=1,S, k1,ITN(i) }

donde ITE(i) define el conjunto de las iteraciones realizadas para el subproblema i, e ITN(i) el de las iteraciones en

que no se ha conseguido la factibilidad.

Las ventajas del enfoque de descomposición son:

a) la formulación original no considera la posibilidad de descomposición asumiendo un problema integrado para

las Xi. Bajo el esquema de descomposición en el nivel inferior se resuelve un subproblema por cada elemento

asociado al subíndice i.

b) en el esquema original se genera un solo corte por cada iteración que integra las variables duales

provenientes de todos los subproblemas. En la formulación propuesta se generan S cortes, uno por cada

SPi(Y): y se acoplan por medio de la ecuación que define a Q(Y). La diferencia es que un solo corte actúa

acotando el máximo de una suma, en tanto que S cortes actúan acotando la suma de los máximos, que es una

condición más exigente;

c) al desacoplarse el sistema, la información aportada por cada subproblema es independiente de los demás y no

existe una razón que obligue en una iteración, entre coordinador y subproblemas, a resolver todos los

subproblemas. Esta característica permite implementar esquemas de solución que solo resuelvan aquellos

subproblemas que aportan "más información".

4. TEORÍA MULTINIVEL

Existen problemas en los cuales se puede definir jerárquicamente más de un nivel de coordinación. Vale decir, que al

interior de un conjunto de variables subordinadas existe una relación tal que, unas funcionan como coordinadoras de

las demás. Para facilidad de la presentación de la teoría primero se analizará un caso de tres niveles y posteriormente

se generalizará para S niveles.

En el desarrollo de esta teoría, y en el de las siguientes, solo se presentan los procedimientos relativos a los cortes que

se generan para limitar la zona de factibilidad de Y por razones de optimalidad.

4.1. CASO DE TRES NIVELES

Consideremos el problema P: el cual puede ser particionado en tres niveles jerárquicos

P: = { Min cTX + eTZ + f(Y) |

F0(Y) = b0 ;

GZZ + FZ(Y) = bZ ;

AX + GZ +F(Y) = b ;

XR+ ; ZR+ ; YSdonde Y corresponde a las variables de coordinación general, y Z y X a las variables

coordinadas por Y; a su vez, Z actúa como coordinadora de X, una vez se ha definido el valor de Y. Si se aplica

directamente la teoría desarrollada por Benders, el modelo coordinador sobre Y es

CY: = { Min Z = Q(Y) + f(Y) |

F0(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) (Xk)T(b - F(Y)) + (Z

k)T(bZ - FZ(Y)) , K=1,ITE }

donde X corresponde al vector de variables duales del conjunto de restricciones AX+GZ=b-F(Y), Z al vector de

variables duales del conjunto de restricciones GZZ=bZ-FZ(Y), e ITE al número de cortes que se han generado a partir

del nivel inferior.


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Q(Y) esta compuesta por la suma de dos funciones QX(Y) que estima el valor del costo cTX(Y), y QZ(Y) para el costo de

eTZ(Y).

QX(Y) = (X )T(b - F(Y))

QZ(Y) = (Z)T(bZ - FZ(Y))

Consideremos el subproblema coordinado por Y para {X,Z} que aporta valores factibles para X y Z

SP1(Y) = { Min Q(Y) = cTX + eTZ |

GZZ = bZ FZ(Y) ;

AX + GZ = b - F(Y) ;

XR+ ; ZR+ }

El dual de SP1(Y): es

DSP1(Y) = { Max XT(b - F(Y)) +Z

T(bZ - FZ(Y)) |

XTA cT ;

XTG + Z

TGX eT }

Dado que Z coordina a X es posible resolver SP1(Y): utilizando nuevamente la teoría de Benders. Consideremos el

problema coordinador sobre Z condicionado en un valor de Y

CZ(Y): = { Min eTZ + W(Z|Y) |

GZZ = bZ - FZ(Y) ; ZR+ ;

W(Z|Y) = {Min cTX | AX = b - F(Y) - GZ ; XR+} }

La función W(Z|Y) corresponde al costo cTX(Z|Y) como función de Z cuando se ha definido previamente Y. El

subproblema coordinado para X es

SP2(Z|Y) = { Min W(Z|Y) = cTX | AX = b - F(Y) - GZ ; XR+ }

El modelo coordinador CZ(Y): formulado con base en la teoría de Benders es



W(Z|Y) (n)T(b - F(Y) - GZ) , n=1,ITEX }

donde n representa al n-ésimo vector de variables duales de las restricciones AX=b-F(Y)-GZ que ha sido generado

por SP2(Z|Y):, e ITEX representa el total de cortes.

El modelo coordinador CZ(Y): y el problema coordinado SP1(Y): son equivalentes. Para efectos de la coordinación en

CY: se debe determinar X y Z a partir de la solución de CZ(Y):. Para ello consideremos el problema dual de CZ(Y):

DCZ(Y): = { Max [ n=1,ITEX (n) n]T(b - F(Y)) + ZT(bZ - FZ(Y)) |

[n=1,ITEX (n) n]TG + ZTGZ eT ;

n=1,ITEX (n) = 1 ;

(n)R+ , n=1,ITEX }


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donde (n) es una componente del vector y corresponde a la variable dual del n-ésimo corte generado por el

subproblema SP2(Z|Y):

T = { (1), (2), ... ,(ITEX-1), (ITEX) }

En notación vectorial DCZ(Y): se puede expresar como

DCZ(Y): = { Max T(ITEX)T (b - F(Y)) + ZT(bZ - FZ(Y)) |

T(IITEX)TG + ZTGZ eT ;

T 1 = 1 ; R+ }

donde k representa la matriz que agrupa todos los vectores de variables duales que han sido generados hasta la

iteración k de CZ(Y):.

k = { 1, 2, ... , k-1, k }

y 1 corresponde a un vector con todas sus componentes iguales a 1.

Dado que los problemas duales DSP1(Y): y DCZ(Y): son equivalentes, se puede probar que Xk se calcula con base en

una ponderación de los vectores de variables duales generados por SP2(Z|Y):, utilizando como factor de ponderación

la variable dual asociada en el coordinador CZ(Y):

Xk = n=1,ITEX(k) (n) n = T ITEX(k)

donde ITEX(k) define el número de cortes que ha generado SP2(Z|Y): en CZ(Y): hasta la iteración k de CZ(Y):.

Si se tiene en cuenta la teoría de programación subrogada (Greenberg & Pierskalla [3], Velásquez [4]) es posible

tomar ventaja de esta relación. En términos generales, la programación subrogada prueba que un conjunto de

restricciones puede reemplazarse por una restricción equivalente, generada a partir de una combinación lineal de

todas las restricciones, siempre y cuando los pesos de ponderación sean colineales con los multiplicadores de

Lagrange de cada una de ellas. Con base en este hecho, los cortes generados por SP2(Z|Y): pueden reemplazarse por

uno equivalente con base en la subrogación de ellos, donde los pesos de ponderación corresponden a las variables

duales asociadas a cada corte. Este hecho ocurre cada vez que el coordinador CZ(Y): encuentra un punto óptimo

{X(Y), Z(Y)} y retorna un vector de variables duales al coordinador CY:.

El corte subrogado sintetiza toda la información que hasta ese momento ha sido procesada en CZ(Y):. De esta manera

se evita que el número de cortes provenientes del nivel inferior prolifere a medida que transcurre el proceso de

optimización, ya que cada vez que se comienza un ciclo de optimización en CZ(Y): todos los cortes generados son

reemplazados por el corte subrogado equivalente que preserva la memoria del sistema.

La definición de Xk es general para el cálculo en cualquier coordinador de las variables duales de las restricciones

que no están consideradas explícitamente en él y que son manejadas en niveles jerárquicos inferiores. Las variables

duales de estas restricciones corresponden al vector subrogado de variables duales del problema primario. Para el

coordinador de mayor nivel corresponderán a las variables duales de la solución del problema.

4.2. CASO GENERAL MULTINIVEL

La extensión de esta teoría, para casos en los cuales se tienen más de dos niveles de coordinación, es directa. Cada

coordinador de un nivel inferior, al generar un corte al coordinador de nivel superior, sintetiza la información con

base en la generación del vector subrogado de variables duales, que será utilizado por el coordinador de nivel superior


- TEORIA GENERAL -

para generar un corte, y reemplaza en el nivel inferior a todos los cortes que hasta ese momento se han utilizado para

generar la solución óptima parcial. Para el caso de S niveles consideremos el problema P:

P: = { Min i=1,S ciTXi + f(Y) |

F0(Y) = b0 ;

AiXi + q=1,i-1 Ei,qXq + Fi(Y) = bi , i=1,S ;

XiR+ , i=1,S ; YS }

donde Y corresponden a las variables de coordinación de primer nivel, nivel 0, y Xi a las variables de coordinación del

nivel i. XS corresponde al nivel inferior, o nivel primario. Matricialmente P: tiene una estructura triangular en bloques

que se presenta a continuación.

X1 X2 . . . . . XS Y

A1 F1

E2,1 A2 F2

E3,1 E3,2 A3 .

. . . . .

.

ES-1,1 ES-1,2 ES-1,3 . . . AS-1 .

ES,1 ES,2 ES,3 . . . ES,S-1 AT FT

F0

El modelo coordinador de nivel 0 es

CY: = { Min Z = Q(Y) + f(Y) |

F0(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) i=1,S (i,1k)T(bi - Fi(Y)) , k=1,ITE }

El modelo coordinador asociado a las variables Xi , para i entre 1 y S-1, es

CXi(Y,X1,X2, ... ,Xi-1): = { Min ciTXi + Wi(Xi|Y,X1,X2, ... ,Xi-1) |

AiXi = bi - q=1,i-1 Ei,qXq - Fi(Y) ; XiR+ ;

Wi(Xi|Y,X1,X2,...,Xi-1) q=i+1,S (q,i+1)T(bq - Eq,iXq-1) , k=1,ITEX(i+1) }

donde el q,ik corresponde al vector subrogado de variables duales en el nivel i asociado a las restricciones del nivel q,

y cumple con

q,ik = n=1,ITEX(i,k) i(n) q,i+1

n = ( ik)T q,i

k

donde i(n) es una componente del vector i y corresponde a la variable dual del n-ésimo corte generado por el

subproblema CXi+1(Y,X1,X2, ... ,Xi):

iT = { i(1), i(2), ... , i(ITEX(i+1)-1), i(ITEX(i+1)) }

y la matriz ik agrupa los vectores subrogados de variables duales se han generado en el nivel i hasta la iteración k de

CXi(Y,X1,X2, ... ,Xi-1):, siendo ITEX(i,k) el total de cortes.

q,ik = {q,i

1, q,i2, ... , q,i

ITEX(i,k)-1, q,iITEX(i,k) }


- TEORIA GENERAL -

Las variables duales correspondientes a las restricciones funcionales del nivel i en el coordinador i se denominaran

i,i.

El subproblema primario SPS(Y,X1,X2, ... ,XS-1):

SPS(Y,X1,X2, ... ,XS-1): = { Min cSTXS | ASXS = bS - q=1,S-1 ES,qXq - FS(Y) ; XSR+ }

equivale a un coordinador de nivel i, evaluado para i igual a S, sin incluir los cortes y la función W(). Dada la anterior

equivalencia la formulación del algoritmo se realiza en términos de solo problemas coordinadores.

En la forma convencional de implementar la teoría multinivel, cada nivel jerárquico retorna al nivel superior solo

cuando se ha obtenido la solución óptima al problema parametrizado por las decisiones prefijadas en los niveles

superiores, esto implica que en los niveles inferiores se realizan ciclos enlazados para los diferentes niveles superiores.

Las síntesis por medio de los vectores duales subrogados evitan la explosión de cortes a medida que transcurre el

proceso. Se pueden diseñar formas alternativas de implementación con la finalidad de acelerar el proceso de solución.

Estas alternativas no se presentan en este artículo.

5. TEORIA DE DESCOMPOSICION MULTINIVEL

La combinación de la teoría de descomposición y de la teoría multinivel permite la "atomización" de problemas con

estructuras especiales, descomponiendo y partiendo el problema de acuerdo con una escala jerárquica de criterios.

Consideremos un caso de tres niveles

P: = { Min Z = i=1,S ciTXi + eTZ + f(Y) |

F0(Y) = b0 ;

GZZ + FZ(Y) = bZ ;

AiXi + GiZ +Fi(Y) = bi , i=1,S ;

XiR+ , i=1,S ; ZR+ ; YS }

Utilizando la teoría multinivel el coordinador CY: es

CY: = { Min Z = Q(Y) + f(Y) |

F0(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) i=1,S Xik

(bi - Fi(Y)) + Zk

(bZ - FZ(Y)) , k=1,ITE }

donde Xi corresponde al vector de variables duales de las restricciones AiXi+GiZi=b-Fi(Y), Z al vector de variables

duales de GZZ=bZ-FZ(Y), e ITE al número de cortes que se han generado en CY: El coordinador sobre Z es



W(Z|Y) i=1,S ( in)T(b - Fi(Y) - GiZ) , n=1,ITEX }

donde in representa al n-ésimo vector de variables duales correspondientes a las restricciones AiXi=bi-Fi(Y)-GiZ que

ha sido generado por SP2(Z|Y):, e ITEX representa el total de cortes generados. El subproblema primario SPX(Z|Y):

es

SPX(Z|Y) = { Min W(Z|Y) = i=1,S ciTXi |

AiXi = bi - Fi(Y) - GiZ , i=1,S ; XiR+ , i=1,S }


- TEORIA GENERAL -

La teoría de descomposición desacopla SPX(Z|Y): y los cortes asociados a las restricciones propias de Xi. Los

subproblemas primarios quedan asociados al subíndice i

SPXi(Z|Y) = { Min Wi(Z|Y) = ciTXi | AiXi = bi - Fi(Y) - GiZ ; XiR+ }

El modelo coordinador CZ(Y): con cortes desacoplados es



W(Z|Y) = i=1,S Wi(Z|Y) ;

Wi(Z|Y) ( in)T(b - Fi(Y) - GiZ) , i=1,S , n=1,ITEX(i) }

donde ITEX(i) es el número de cortes generados con SPXi(Z|Y). El dual DCZ(Y): es

DCZ(Y): = { Max [ i=1,S [n=1,ITEX(i) i(n) in ]T(bi - Fi(Y))] + Z(bZ - FZ(Y)) |

[ i=1,S [n=1,ITEX(i) i(n) in ]TGi ] + Z

TGZ eT ;

n=1,ITEX(i) i(n) = 1 , i=1,S ;

i(n)R+ , i=1,S , n=1,ITEX(i) }

donde i(n) es una componente del vector i y corresponde a la variable dual del n-ésimo corte generado por

SPXi(Z|Y):

iT = { i(1), i(2), ... ,i(ITEX(i)-1), i(ITEX(i)) }

ik es la matriz que agrupa los vectores de variables duales generados por SPXi(Z|Y): hasta la iteración k de CZ(Y):,

con un número de elementos igual a ITEX(i,k)

ik = {Xi1, Xi

2, ... , XiITEX(i,k)-1, Xi

ITEX(i,k) }

los multiplicadores Xik se calculan como

Xik = n=1,ITEX(i,k) i(n) in = ( i

k)T i+1k

donde ik esta asociado a la iteración k de CZ(Y):. El coordinador general CY: es

CY: = { Min Z = Q(Y) + f(Y) |

F0(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) i=1,S (Xik)T(bi - Fi(Y)) + (Z

k)T(bZ - FZ(Y)) , k=1,ITE }

6. TEORIA DINAMICA

Consideremos el problema P:

P: = { Min t=1,T ctTXt | AtXt = bt - Et-1Xt-1 , t=1,T ; XtR+ }

el cual es un caso particular del enfoque multinivel cuando asociamos el nivel jerárquico a cada período, y se definen T

niveles, el primero de ellos asociado al período 1 y el último, nivel primario, al período T; adicionalmente, no existe el

vector Y, y las matrices que relacionan las variables entre diferentes períodos, solo son diferentes de cero para dos


- TEORIA GENERAL -

períodos consecutivos. Matricialmente P: tiene la siguiente forma

X1 X2 . . . . . XT

A1 E1 A2

E2 A3

. . . . . .

. . . AT-1

ET-1 AT

A partir de la teoría multinivel el modelo coordinador del período t se formula como

CXt(X1,X2, ... ,Xt-1): = { Min ctTXt + Qt(Xt|X1,X2, ... ,Xt-1) |

AtXt = bt - Et-1Xt-1 ; XtR+ ;

Qt(Xt|X1,X2,...,Xt-1) + (q+1,t)TEtXt q=t+1,T (q,t)Tbq , k=1,ITEX(t+1) }

donde el q,tk corresponde al vector subrogado de variables duales en el período t asociadas a las restricciones del

período q y cumple con

q,tk = n=1,ITEX(t,k) t(n) q,t+1

n = ( tk)Tq,t+1

k

donde t(n) es una componente del vector t y corresponde a la variable dual del n-ésimo corte generado por el

subproblema CXt+1(X1,X2, ... ,Xt):

tT = { t(1), t(2), ... ,t(ITEX(t+1)-1), t(ITEX(t+1)) }

y tk representa la matriz que agrupa todos los vectores subrogados de variables duales que han sido generados en el

período t hasta la iteración k de CXt(Y,X1,X2, ... ,Xt-1):, siendo ITEX(t,k) el número total de estos cortes.

q,tk = {q,t

1, q,t2, ... , q,t

ITEX(t,k)-1, q,tITEX(t,k) }

La función Qt(Xt|X1,X2,...,Xt-1) representa los costos futuros asociados al funcionamiento del sistema desde el período

t+1 hasta el período T, como función de la decisión Xt y de las decisiones realizadas entre 1 y t-1. El subproblema de

nivel primario SPT(X1,X2, ... ,XT-1):

SPT(X1,X2, ... ,XT-1): = { Min cTTXT | ATXT = bT - ET-1XT-1 ; XTR+ }

es equivalente al coordinador del período t, evaluado para t igual a T, sin incluir los cortes generados por el período

siguiente. Las variables duales correspondientes a este subproblema se denominaran T,T.

Con el propósito de simplificar la notación, en adelante el coordinador para el período t se denominará CXt(Xt-1): y la

función de costo futuro Qt(Xt).

Alternativamente, el desarrollo de la teoría para la solución a P: puede obtenerse utilizando el enfoque de

programación dinámica, como es el caso de estudios realizados en el sector eléctrico por M.F. Pereira y que dan

origen a la denominada SDDP -Stochastic Dual Dynamic Programming" [5] [6] [7]. Las formulaciones teóricas

presentadas en dichas referencias difieren en el cálculo del coeficiente constante del corte con respecto a la formula


- TEORIA GENERAL -

que se presenta en esta investigación. El enfoque de programación dinámica se basa en establecer el efecto de las

decisiones desde la etapa t hasta la T, como función de las decisiones en la etapa t-1. Comenzando por la etapa T se

van acumulando los efectos hasta llegar a la etapa 1; para obtener una formulación general se realiza un proceso de

inducción matemática. Una presentación detallada de la demostración de la teoría utilizando este esquema se

encuentra en la referencia [8].

El coordinador del período 1, CX1:, es el coordinador general del proceso de optimización. El algoritmo de solución

puede implementarse de acuerdo con el siguiente proceso: en una fase primal, nos movemos del período 1 al período T

resolviendo parcialmente los subproblemas de forma tal que se genera el valor de Xt-1 para los coordinadores CTt:,

esta fase se puede denominar fase primal. Una vez se ha llegado hasta el período T se comienza la fase dual, en la cual

se van insertando los cortes en los subproblemas. Este proceso es similar al propuesto por M.F. Pereira [5].

7. TEORÍA DINAMICA DE DESCOMPOSICION MULTINIVEL

La combinación de la teoría dinámica, la teoría de descomposición, y la teoría multinivel la "atomización" de un

problema. La teoría dinámica considera un solo tipo de variables Xt y define un proceso dinámico que relaciona Xt+1

con Xt. Las variables que acoplan dos períodos de tiempo consecutivos están relacionadas con el manejo del

almacenamiento de recursos, en tanto que las variables relacionadas con la operación no están involucradas

directamente en la relación dinámica. En estos casos se puede formular un problema con una mayor especificación de

variables. Consideremos el problema P:

P: = { Min t=1,T ctTXt + dt

TYt |

AtXt = b1t - Et-1Xt-1 , t=1,T ;

BtXt + GtYt = b2t , t=1,T ;

YtR+ ; XtR+ }

en el cual Xt esta asociada a la dinámica del sistema, normalmente niveles de inventario, y Yt a la operación del

sistema. Matricialmente P: tiene la siguiente estructura:


- TEORIA GENERAL -

X1 X2 . . . XT Y1 Y2 . . . YT

A1 B1 G1 E1 A2

B2 G2

E2 A3

B3 G3

... ...

...

... AT-1 BT-1 GT-1

ET-1 AT BT GT

Para la demostración de la teoría dinámica multinivel utilizaremos el enfoque de programación dinámica hacia atrás -

backward dynamic programming-. En primera instancia definamos a Xt como las variables de coordinación para así

descomponer el problema a nivel temporal. El problema coordinador para Xt es

CX: = { Min t=1,T ctTXt + Wt(Xt) |

AtXt = b1t - Et-1Xt-1 , t=1,T ; XtR+ ;

Wt(Xt) = { Min dtTYt | GtYt = b2t - BtXt ; YtR+ } , t=1,T }

Wt(Xt) representa los costos de operación en el período t como consecuencia de las decisiones Xt y corresponde a la

función objetivo del subproblema de operación SPYt(Xt):

SPYt(Xt): = { Min Wt(Xt) = dtTYt | GtYt = b2t - BtXt ; YtR+ }

El coordinador CX: incluyendo los cortes generados por los subproblemas SPYt(Xt): es

CX: = { Min t=1,T ctTXt + Wt(Xt) |

AtXt = b1t - Et-1Xt-1 , t=1,T ; XtR+ ;

Wt(Xt) + ( tk)TBtXt ( t

k)Tb2t = ßt(k) , t=1,T , k=1,ITEY(t) }

donde t corresponde al vector de variables duales del conjunto de restricciones GtYt=b2t-BtXt, y ßt(k) corresponde al

valor del lado derecho del k-ésimo corte generado por SPYt(Xt):. En notación vectorial ßtn agrupa todos los elementos

ßt(k) contemplados en la n-ésima iteración del coordinador CX:

(ßtn)T = { ßt(1), ßt(2), ... , ßt(ITEY(t,n) -1), ßt(ITEY(t,n)) }

donde ITEY(t,n) representa el número de cortes generados por SPYt(Xt): hasta la iteración n.

El coordinador CX: puede resolverse utilizando los principios en que se basa la teoría dinámica. Definamos la función

de costo futuro QT(XT-1) para el período T como función de las decisiones XT-1 que corresponde a la función objetivo de

SPXT(XT-1):

SPXT(XT-1): = { Min QT(XT-1) = cTTXT + WT(XT) |

ATXT = bT - ET-1XT-1 ; XTR+ ;


- TEORIA GENERAL -

WT(XT) + (T

k)TBTXT (Tk)T b2T = ßT(k) , k=1,ITEY(T) }

el problema dual correspondiente es

SPXT(XT-1): = { Max (T)T(b1T - ET-1XT-1) + (T)TßT |

(T)TAT + [n=1,ITEY(T) T(n)Tn ]T BT cT

T ;

n=1,ITEY(T) T(n) = 1 }

donde t(n) es la variable dual correspondiente al n-ésimo corte generado por SPYt(Xt) que se almacena en el vector

t.

tk= { t(1), t(2), ... , t(ITEY(t,k)-1), T(ITEY(t,k)) }

donde ITEY(t,k) representa el número de cortes generados por SPXT(XT-1):. El problema coordinador CXT: es

CXT-1: = { Min t=1,T-1 (ctTXt + Wt(Xt)) + QT(XT-1) |

AtXt = b1t - Et-1Xt-1 , t=1,T-1 ; XtR+ ;


k)Tb2t , t=1,T-1 , k=1,ITEY(t) ;

QT(XT-1) + (Tk)TET-1XT-1 (T

k)Tb1T + (Tk)TßT

k = T(k) , k=1,ITEX(T) }

t(k) es el valor del lado derecho del k-ésimo corte generado por SPXt(Xt--1): en CXt-1:. En notación vectorial tn

agrupa los elementos t(k) incluidos en la n-ésima iteración de CXt-1:

( tk)T = { t(1), t(2), ... , t(ITEX(t,k) -1), t(ITEX(t,k)) }

donde ITEX(t,k) representa el número de cortes generados hasta la iteración k.

Para el período T-1 se debe considerar la aplicación de la teoría de Benders sobre el coordinador CXT-1: que no

contempla XT, pero sí la función de costo futuro QT(XT-1) que estima los costos asociados a XT y YT. Seleccionando

como variables coordinadas a XT-1, y como variables de coordinación las Xt para los períodos 1 a T-2, SPXT-1(XT-2):

queda

SPXT-1(XT-2): = { Min QT-1(XT-2) = cT-1TXT-1 + WT-1(XT-1) + QT(XT-1) |

AT-1XT-1 = bT-1 - ET-2XT-2 ; XT-1R+ ;

WT-1(XT-1) + (T-1k)TBT-1XT-1 (T-1

k)T b2T-1 = ßT-1(k) , k=1,ITEY(T) ;

QT(XT-1) + (Tk)TET-1XT-1 (T

k)Tb1T + ( Tk)TßT(n) = T(k) , k=1,ITEX(T) }

el problema dual correspondiente es

DSPXT-1(XT-2): = { Max (T-1)T(b1T-1 - ET-2XT-2) + (T-1)TßT-1 + (T)TT |

(T-1)TAT-1 + [n=1,ITEY(T) T-1(n)T-1n]TBT-1 + [n=1,ITE(T) T-1(n)T-1

n]T ET-1 cT-1T ;

n=1,ITE(T) T-1(n) = 1

n=1,ITEY(T) T-1(n) = 1 }

donde t(n) corresponde a la variable dual del n-ésimo corte generado por SPt(Xt-1):, y es componente del vector t.

tT= { t(1), t(2), ... , T(ITEX(t)-1), T(ITEX(t)) }


- TEORIA GENERAL -

En notación vectorial DCZ(Y): se puede expresar como

DSPT-1(XT-2): = { Max T-1T(bT-1 - ET-2XT-2) + (T-1)TßT-1 + T

TT |

T-1TAT-1 + [n=1,ITEY(T) T-1(n)T-1

n]TBT-1 + TT (T

ITEX(T))T ET-1 cT-1T ;

TT 1 = 1 ; T-1

T 1 = 1 ;

T-1R+ ; TR+ }

donde tk representa la matriz que agrupa todos los vectores de variables duales que han sido generados por SPt-1(Xt-

2): hasta la iteración k de CXt-2:, siendo ITEX(t,k) el número total de cortes.

tk= {t

1, t2, ... , t

ITEX(t,k)-1, tITEX(t,k) }

el corte generado es

QT-1(XT-2) + (T-1k)TET-2XT-2 (T-1

k)Tb1T-1 + ( T-1k)TßT-1

k + (Tk)TT

k = T-1(k)

Se puede deducir que el corte para un período t es

Qt+1(Xt) + (t+1k)TEtXt (t+1

k )Tbt+1 + ( t+1k)Tßt+1

k + ( t+2k)T t+2

k = t+1(k)

el modelo coordinador CXt:

CXt: = {Min q=1,t (cqXq + Wq(Xq)) + Qt+1(Xt) |

AqXq = bq - Eq-1Xq-1 , q=1,t ;

Wq(Xq) + (qk)TBqXq (q

k)Tb2q = ßq(k) , q=1,T , k=1,ITEY(q);

Qt+1(Xt) + (t+1k)TEtXt (t+1

k )Tbt+1 + ( t+1k)Tßt+1

k + ( t+2k)T t+2

k , k=1,ITE(t+1) ;

XqR+ ; q=1,t }

y el subproblema SPXt(Xt-1):

SPXt(Xt-1) = { Min Qt(Xt-1) = ctXt + Wt(Xt) + Qt+1(Xt) |

AtXt = bt - Et-1Xt-1 ; XtR+ ;


k)Tb2t = ßt(k) ;

Qt+1(Xt) + (t+1k)T EtXt t+1(k) }

donde t(k) esta definida como

t(k) = (tk )Tbt + ( t

k)Tßtk + ( t+1

k)T t+1k

El coordinador del período 1, CX1:, es el coordinador general del proceso de optimización y su estructura es igual a la

del subproblema asociado a la etapa 1, SPX1(X0):. cuando X0 representa las condiciones iniciales del sistema.

El enfoque multinivel, con el cual se presentó la teoría dinámica, es equivalente al de programación dinámica hacia

adelante -fordward dynamic programming- y los resultados obtenidos son los mismos que se obtienen con el enfoque

presentado en el presente numeral con programación dinámica hacia atrás. Sin embargo, la visión del problema es

diferente: en el enfoque multinivel la solución del problema se convierte en la solución en cadena de subproblemas

coordinadores, en tanto que en el enfoque de programación dinámica hacia atrás, la solución se convierte en la

solución en cadena de subproblemas primarios. Esta visión dual implica que los subproblemas se comportan

simultáneamente como coordinadores y como subproblemas coordinados. Enfoque que es similar al que propone Van

Roy [9] cuando formula la teoría de descomposición cruzada para integrar la teoría de Benders con la de Relajación


- TEORIA GENERAL -

Lagrangiana.

8. TEORÍA ESTOCASTICA

8.1. FORMULACION

Para la optimización de sistemas probabilísticos existen dos alternativas básicas para modelar el proceso estocástico y

relacionarlo con el modelaje de optimización:

▪ modelaje del proceso estocástico embebido en el modelo de optimización.

▪ modelaje del proceso estocástico exógenamente al modelo de optimización

En el primer caso la complejidad del modelo probabilístico que describe el proceso estocástico queda limitada por la

capacidad de las técnicas de optimización utilizadas. Cuando el modelo del proceso estocástico es independiente del

modelo de optimización, se puede utilizar toda la potencia disponible para su modelaje y luego relacionarlo con el

modelo de optimización por medio de realizaciones sintéticas del proceso. La potencia del modelaje de optimización

esta directamente relacionada con la cantidad de series sintéticas que se puedan manejar. El uso de la teoría de

Benders permite el manejo eficaz de gran cantidad de series sintéticas lo que da mayor representatividad al proceso

optimización.

La relación entre modelo del proceso estocástico y el de optimización se realiza por medio de la matriz de relaciones

funcionales, de los vectores de costos y/o de los vectores de recursos, los cuales se asume que son el resultado de la

realización del proceso estocástico. En el modelo de optimización los aspectos probabilísticos se representan a través

de un espacio muestral finito pero de gran dimensionalidad que permite aproximar, de manera discreta, la realidad

continua del universo del proceso estocástico.

Otro aspecto asociado a la optimización estocástica es el relacionado con la caracterización de las variables. Existen

al menos dos tipos de variables: las asociadas directamente con la decisión "real" que se va a tomar con el apoyo del

modelo, y las de operación simulada del sistema para las posibles realizaciones del proceso estocástico. Esta

caracterización es la base de el esquema de partición que se propone. Consideremos el problema P:

P: = { Min h=1,NH [Probabilidad(h=h) chTXh] + f(Y) |

F(Y) = b0 ;

AhXh + F(Y) = bh , h=1,NH ;

XhR+ ; YS }

donde el subíndice h esta asociado a una posible realización del proceso estocástico, que en adelante se llamará serie

sintética, existiendo en total NH series. Y corresponde al conjunto de variables relacionadas con las decisiones reales,

y Xh al conjunto de variables relacionadas con la operación simulada, existiendo tantas operaciones simuladas como

posibilidades tiene el proceso estocástico. Los parámetros del sistema ch, Ah y bh se consideran funciones del proceso

estocástico, y existen NH juegos de parámetros, cada uno de ellos asociado a una serie sintética. En este caso la

función objetivo del modelo es minimizar el valor esperado del "costo" de funcionamiento del sistema. Cada posible

realización del proceso estocástico tiene asociada una probabilidad de ocurrencia, que en adelante será asumida igual

a 1/NH. Los valores de ch, Ah y bh pueden ser obtenidos a partir de la formulación explícita del proceso estocástico, si

está existe, o partir de modelos de simulación que representen apropiadamente el proceso y puedan generar

realizaciones sintéticas del mismo.

La estructura matricial de P: es dual-angular y se resuelve utilizando la teoría de descomposición para resolverlo.

Como variables de coordinación se seleccionan las Y que están relacionadas con las decisiones reales y son

independientes de la realización del proceso estocástico. En el nivel de descomposición se manejan NH subproblemas

cada uno de ellos asociado a una serie sintética. El modelo coordinador CY: es


- TEORIA GENERAL -

CY: = { Min f(Y) + Q(Y) |

F(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) = h=1,NH Qh(Y)/NH

Qh(Y) (h k)T(bh - F(Y)) , h=1,NH , k=1,ITE(h) }

y el subproblema asociado a la serie h

SPh(Y): { Min chTXh | AhXh = bh - F(Y) ; XhR+ }

el dual correspondiente es

DSPh(Y) = { Max hT(bh - F(Y)) | h

TAh chT }

8.2. ANALISIS ESTRUCTURAL

Si se analiza las características estructurales de las matrices del modelo de optimización y la relación de sus

parámetros con el proceso estocástico, se pueden obtener ventajas que permitan implementar algoritmos eficaces para

la solución de P:. La variación de los parámetros como función del proceso estocástico determina las relaciones entre

las zonas de factibilidad primal y la zona de factibilidad dual de SPh(Y):

A continuación, analizaremos las posibles fuentes de variación de los parámetros del modelo. La pregunta de fondo es

la relacionada con la determinación de las condiciones bajo las cuales un parámetro es función del proceso

estocástico. Se deben analizar tres casos: que el vector de recursos sea función del proceso estocástico, que lo sea el

vector de costos, y/o que lo sea la matriz de relaciones funcionales.

Para sistemas industriales y de manejo de recursos naturales es frecuente que los aspectos estocásticos considerados

en el modelaje de optimización afecten el vector de recursos ya que este contiene componentes asociadas a la oferta y

demanda de bienes y servicios. En el sector eléctrico, por ejemplo, los aspectos relacionados con las posibilidades de

uso de agua para generación afectan directamente el lado derecho de las restricciones de almacenamiento de los

embalses del sistema, de una forma similar actúa la demanda cuando es considerada como una variable aleatoria.

El vector de costos es función del proceso estocástico cuando los precios de los diferentes recursos se consideran como

variables aleatorias; es frecuente encontrar formulaciones que consideran los precios como factores determinísticos, o

su aleatoreidad es manejada exógenamente al modelo con base en los conceptos de escenarios.

La matriz de relaciones funcionales representa la estructura tecnológica del sistema, la cual es función de la topología

y de los coeficientes tecnológicos de producción. Normalmente, los elementos de esta matriz se consideran como

determinísticos y se puede afirmar que, en muchos casos, la matriz A es independiente del proceso estocástico. Cuando

A es constante, independiente de h, la forma que toma SPh(Y): es

SPh(Y): = { Min chTXh | AXh = bh - F(Y) ; XhR+ }

y su dual es


TA chT }

En el proceso de solución de los NH subproblemas se puede tomar ventaja de esta estructura.

Consideremos dos algoritmos básicos para la solución de problemas de programación lineal (PL): (i) PSRA(c, A, b,


- TEORIA GENERAL -

X): Primal-Simplex-Revisado-Acotado: que resuelve PL a partir de un punto X que cumple con ser una solución básica

factible, y (ii) DSRA(c, A, b, X): Dual-Simplex-Revisado-Acotado: el cual resuelve PL a partir de un solución básica X

que cumple con las condiciones de optimalidad de PL, y por lo tanto =cBB-1 es una solución básica factible al dual.

La solución a SPh(Yk): puede obtenerse utilizando el algoritmo PSRA(ch,A,b*h(Y),X) donde X es un punto factible al

conjunto de restricciones AXh=bh-F(Y)=b*h(Y). Definamos X*

hk como la solución óptima a SPh(Yk) y analicemos el

proceso para obtener X*h+1

k, solución óptima a SPh+1(Yk), a partir de X*hk. Se sabe que una solución básica a SPh(Yk)

lo es también a SPh+1(Yk).

Las características de X*h

k se deben analizar desde dos puntos de vista: factibilidad y optimalidad: factibilidad: si el

vector de recursos es diferente en ambos subproblemas, no se puede afirmar que X*h

k sea factible a SPh+1(Yk); y

optimalidad: si la función de costos es diferente en ambos subproblemas, no se puede afirmar que X*h

k cumpla con las

condiciones de optimalidad de SPh+1(Yk)

Para el caso general, consideremos un proceso de dos pasos para obtener X*h+1

k a partir de X*h

k: en el primero se

recobra la factibilidad utilizando el algoritmo DSRA a partir de X*h

k, obteniendo un punto XFh+1

k, el cual es factible a

SPh+1(Yk) más no óptimo. Esto es

XFh+1

k = DSRA[ch, A, b*h+1(Yk), X*

hk]

en el segundo se busca la optimalidad obteniendo X*h+1

k utilizando el PSRA a partir de XFh+1

k, esto es:

X*i+1

k = PSRA[ch+1, A, b*h+1(Yk), Xf

h+1k]

Para la solución secuencial de los problemas SPh(Yk): se utiliza siempre el mismo tablero simplex ya que la matriz A es

común a todos, y los vectores Xh contienen estructuralmente la misma información. Si el vector de costos es

independiente de h se obvia el segundo paso; y en el caso que lo sea el vector de recursos, se obvia el primero.

Cuando simultáneamente la matriz A y el vector c son independientes de h se presenta una situación especial. En este

caso el problema dual de SPh(Y): es


TA cT }

La zona de factibilidad dual es independiente de h lo que implica que cualquier vector h factible al subproblema

SPh(Y):, es factible a todos los subproblemas independientemente del valor de h. Este hecho se utiliza para aumentar la

eficacia del proceso de generación de cortes ya que un subproblema aporta información para generar cortes para todos

los subproblemas restantes.

Si se introduce el concepto de "banco" de variables duales, se puede definir un algoritmo tal que un ciclo coordinador-

subproblema implica la solución de un solo SPh(Yk): que aporta un valor factible de para que sea utilizado por todos

los subproblemas. La regla de selección del problema es el punto clave de este enfoque. El coordinador CY: puede

escribirse como

CY: = { Min f(Y) + Q(Y) |

F(Y) = b0 ; YS ;

Q(Y) = h=1,NH Qh(Y)/NH

Qh(Y) ( k)T(bh - F(Y)) , h=1,NH , k=1,ITE }

donde ITE agrupa todas los subproblemas que se han resuelto en el nivel primario independientemente de h.


- TEORIA GENERAL -

Existen varias posibilidades para establecer una estrategia para seleccionar eficazmente el subproblema que se debe

resolver en el nivel de descomposición. Por ahora, sin mayor fundamento teórico, se sugiere seleccionar el

subproblema que maximiza el valor de la variable dual asociada a los cortes, siempre y cuando la diferencia entre el

costo estimado Qh(Y) y el costo real chTXh(Y) sea diferente de cero. Lo anterior implica resolver el problema j que

cumpla con

(j) = Max { (1), (2), (3), ... , (NH-1), (NH) }

donde (h) representa el valor máximo de las variables duales asociadas a los cortes relacionados con la serie h, esto

es

(h) = Max { h(1), h(2), h(3), ... ,h(ITE-1), h(ITE) }

donde h(k) corresponde a la variable dual del k-ésimo corte de la serie sintética h.

Otra posibilidad es seleccionar j de tal forma que se maximize la diferencia entre costo estimado y costo real, esto es

(j) = Max { |Qh(Y) - chTXh(Y)| , h=1,NH }

Otro aspecto a tener en cuenta en la implementación de un algoritmo es la forma de la incorporación de las series

sintéticas al proceso de optimización, ya que no es necesario manejar a través de todo el proceso todas las series.

Puede definirse un proceso de incorporación paulatina, siguiendo un criterio "razonable", ya que lo que importa es que

al final de la optimización se pueda probar la optimalidad para un gran número de series, independiente de cuál ha

sido el proceso seguido para conseguirla.

8.3. SINTESIS PROBABILISTICA

El enfoque de partición y de descomposición no solo permite solucionar el problema de optimización estocástica sino

que facilita la síntesis probabilística de la solución ya que todas las variables involucradas se pueden caracterizar

estadísticamente por medio de funciones de distribución.

Por ejemplo, respecto de los costos de operación, es posible determinar su función de distribución condicionada en un

valor dado de Y ya que el conjunto de valores Qh(Y) definen el espacio muestral para esta variable. De manera similar

es posible establecer funciones de distribución para todas las variables del modelo, tanto primales como duales. Estas

funciones pueden ser sujetas a pruebas de hipótesis o a cualquier otro análisis estadístico que sea posible realizar

sobre una muestra.

El vector de los valores esperado de las variables de operación se calcula como

X = h=1,NH Xh(Y)/NH

y el vector de desvíos estándar como

X = [h=1,NH (X - Xh(Y))2 ] 1/2

Si definimos h(Y) como los precios sombra de la operación para una posibilidad h, condicionados en una decisión Y

se pueden calcular como

h(Y) = k=1,ITE(h) h(k) hk


- TEORIA GENERAL -

donde h(k) corresponde a la variable dual al k-ésimo corte de la serie sintética h, cuando el coordinador CY: a

generado a Y como una solución óptima parcial. Los valores h(Y) son un corte subrogado óptimo y pueden ser

utilizados para calcular las estadísticas principales de las variables duales de las restricciones AX+F(Y)=b.

Adicionalmente, a nivel del modelo coordinador es posible introducir restricciones relacionadas con el nivel de riesgo

asociado a la decisión Y. A manera de ejemplo se citan los siguientes tipos de restricciones:

a) limitar para el máximo costo de operación:

Qh(Y) costo máximo , h=1,NH

b) limitar para el valor esperado del costo de operación:

h=1,NH Qh(Y) costo esperado máximo

c) limitar la varianza del costo esperado asociado a la solución óptima

h=1,NH [([ h=1,NH Qh(Y)/NH ] - Qh(Y))2 ]/(NH-1) cota máxima

9. TEORIA ESTOCASTICA DINAMICA MULTINIVEL

La teoría estocástica dinámica multinivel es el resultado de la unión de todas las teorías analizadas previamente: la de

descomposición, la multinivel, la dinámica y la estocástica. La presentación de la teoría se realiza en dos etapas: la

primera relacionada con la descomposición estocástico temporal del sistema, y la segunda con la solución dinámica.

9.1. DESCOMPOSICION TEMPORAL

Consideremos el problema dinámico estocástico P:

P: = { Min c1TX1 + d1

TY1 + h=1,NH t=2,T [{ct,hTXt,h + dt,h

TYt,h}/NH] |

A1X1 = b11 - E0X0 ;

B1X1 + G1Y1 = b21 ;

A2,hX2,h = b12,h - E1,hX1 , h=1,NH ;

At,hXt,h = b1t,h - Et-1,hXt-1,h , t=3,T, h=1,NH ;

Bt,hXt,h + Gt,hYt,h = b2t,h , t=2,T, h=1,NH ;

X1 , Xt,hR+ ; Y1 , Yt,hR+ }

Las variables Xt,h representan el estado del sistema y acoplan su funcionamiento entre los diferentes períodos; las Yt,h

corresponden a las variables de operación al interior de un período. Todas las variables, con excepción de las del

primer período, están relacionadas con la simulación de la operación para cada serie sintética. Las variables del

período 1 corresponden a las decisiones reales y son independientes de las realizaciones aleatorias.

La solución a P: puede obtenerse aplicando la teoría dinámica multinivel y la teoría de descomposición estocástica. En

primera instancia se realizará la descomposición estocástico-temporal tomando como variables de coordinación a X1 y

a Xt,h, y como variables coordinadas a Y1 y a Yt,h.

Definamos la función Wt,h(Xt,h) que representa los costos de operación en el período t como consecuencia de las

decisiones de control sobre las variables de estado del mismo período para la serie h, y que corresponde al valor de la

función objetivo del subproblema de operación SPYt,h(Xt,h):


- TEORIA GENERAL -

SPYt,h(Xt,h): = { Min Wt,h(Xt,h) = dt,hTYt,h | Gt,hYt,h = b2t,h - Bt,hXt,h ; Yt,hR+ }

el modelo coordinador CX:, incluyendo los cortes generados por los SPYt,h(Xt,h): es

CX: = { Min c1TX1 + W1(X1) +h=1,NH t=2,T [ {ct,h

TXt,h + Wt,h(Xt,h)}/NH ] |

A1X1 = b11 - E0X0 ;

A2,hX2,h = b12,h - E1,hX1 , h=1,NH ;


W1(X1) + (1k)TB1X1 (1

k)Tb21 , k=1,ITEY(1) ;

Wt,h(Xt,h) + ( t,hk)TBt,hXt,h ( t,h

k)Tb2t,h , t=2,T , h=1,NH ,k=1,ITEY(t,h) ;

X1 , Xt,h R+ }

donde t,h corresponde al vector de variables duales del conjunto de restricciones Gt,hYt,h=b2t,h-Bt,hXt,h e ITEY(t,h) el

número de cortes generados por SPYt,h(Xt,h):

9.2 DESCOMPOSICIÓN ESTOCASTICA DEL COORDINADOR

Definiendo como variables de coordinación las correspondientes al período 1, que son independientes de h, es posible

realizar una descomposición estocástica de CX:. El subproblema primario para la serie h es:

SXh(X1): = { Min Qh(X1) = t=2,T {ct,hTXt,h + Wt,h(Xt,h)}] |

A2,hX2,h = b12,h - E1,hX1 , h=1,NH ;



k)Tb2t,h = ßt,h(k) , t=2,T , h=1,NH ,k=1,ITEY(t,h) ;

Xt,h R+ }

y también corresponde al coordinador de la operación simulada para la realización h. La función Qh(X1) corresponde

al valor del costo de la operación del sistema, si ocurre la realización h y se toma la decisión X1.

El coordinador general para el período 1 es

CX: = { Min c1TX1 + W1(X1) + Q(X1) |

A1X1 = b11 - E0X0 ;

W1(X1) + (1k)TB1X1 (1

k)Tb21 = ß1(k) , k=1,ITEY(1) ;

Q(X1) = h=1,NH Qh(X1)/NH

Qh(X1) + (1,hk)TE1X1) t=2,T [(t,h

k)T(b1t,h) + ( t,hk)Tb2t,h ] , h=1,NH , k=1,ITEX(h) ;

X1R+ }

donde t,hk corresponde al vector subrogado de variables duales t,h en la k-ésima iteración de SXh(X1):, 1,h

k al vector

de variables duales para las restricciones A2,hX2,h=b12,h-Et-1,hX1, e ITEX(h) el número de cortes generados por

SPh(X1):. La función Q(X1) corresponde al valor esperado del costo futuro de operación del sistema.

9.3. DESCOMPOSICION DINAMICA DE COORDINADORES ESTOCASTICOS.

La teoría dinámica puede utilizarse para resolver el problema de coordinación asociado a cada serie h. El

subproblema para cada período t es

SXt,h(Xt-1,h): = { Min Qt,h(Xt-1,h) = ct,hTXt,h + Wt,h(Xt,h) + Qt+1,h(Xt,h) |


- TEORIA GENERAL -

At,hXt,h = b1t,h - Et-1,hXt-1,h ;

Qt+1(Xt,h) + (t+1,t,h)TEtXt,h q=t+1,T (q,t,hTb1q,h ) + ( t+1,h

k)Tb2t,h , k=1,ITEX(t+1) ;


k)Tb2t,h , t=2,T , h=1,NH ,k=1,ITEY(t,h) ;

Xt,h R+ }

donde el q,t,hk corresponde al vector subrogado de variables duales en el período t asociados a las restricciones del

período q para la serie h, y cumple con

q,t,hk = n=1,ITEX(t,h,k) t,h(n) q,t+1,h

n = ( tk)T t+1,h

k

donde t,h(n) es una componente del vector t,h y corresponde a la variable dual del n-ésimo corte generado por el

subproblema SXt+1,h(Xt,h):

t,hT = { t,h(1), t,h(2), ... ,t,h(ITEX(t+1,h)-1), t,h(ITEX(t+1,h)) }

y t,hk representa la matriz que agrupa los vectores subrogados de variables duales que han sido generados en el

período t para la serie h hasta la iteración k de SXt,h(Xt-1,h):, siendo ITEX(t,h,k) el número total de estos cortes.

t,hk = {t,h

1, t,h2, ... , t,h

ITEX(t,h,k)-1, t,hITEX(t,h,k) }

La función Qt,h(Xt-1,h) representa los costos futuros asociados al funcionamiento del sistema desde el período t+1 hasta

el período T si ocurre la realización h.

El subproblema de nivel primario SXT,h(XT-1,h):

SXT,h(XT-1,h): = { Min cT,hTXT,h |

AT,hXT,h = b1T,h - ET-1,hXT-1,h ;

WT,h(XT,h) + (T,hk)TBT,hXT,h (T,h

k)Tb2T,h , k=1,ITEY(T,h) ;

XT,hR+ }

es equivalente al coordinador del período t, evaluado para t igual a T, sin incluir los cortes generados por el período

siguiente. Las variables duales correspondientes a este subproblema se denominaran T,T,h.

9.4 ANALISIS ESTRUCTURAL

A continuación, se analiza la estructura matricial de P: con la finalidad de tomar ventaja de está cuando ello sea

posible. Consideremos los subproblemas SPYt,h(Xt,h):

SPYt,h(Xt,h): = { Min Wt,h(Xt,h) = dt,hTYt,h | Gt,hYt,h = b2t,h - Bt,hXt,h ; Yt,hR+ }

y su dual

DSPYt,h(Xt,h): = { Max ( t,hk)T(b2t,h - Bt,hXt,h) | ( t,h

k)TGt,h dt,hT }

Como se analizó en la teoría estocástica, las mayores ventajas se presentan cuando la matriz de relaciones funcionales

y el vector de costos son comunes para todos los subproblemas SPYt,h(Xt,h):. En este caso existe una fuente de variación

adicional a la estocástica, la relacionada con la variación temporal de los parámetros.

El análisis sobre la matriz de relaciones funcionales es simple. Normalmente, como en el caso estocástico puro, la


- TEORIA GENERAL -

matriz G esta asociada a la topología del sistema y a sus características tecnológicas. Para una gran cantidad de casos

esta matriz es independiente de h y de t, esto es

Gt,h = G

Con respecto al vector de costos la situación es diferente. Si dt,h corresponde a una función de costo económico, y los

costos y precios son considerados como determinísticos se puede afirmar que existe independencia de los factores

estocásticos, dependiendo simplemente de t. Por lo tanto

dt,h = dt

Para este caso la zona de factibilidad dual de los subproblemas es independiente de h pero dependiente de t.

( t,hk)TG dt

T

Lo anterior implica que las variables duales t,h factibles a un período t y una serie h son factibles para cualquier serie

h para el mismo período. Este hecho independiza la variable dual de la realización aleatoria y se generan cortes para

todas las series h en el mismo período cuando se resuelve un subproblema SPYt,h(Xt,h):. Los cortes generados tienen en

este caso la siguiente estructura

Wt,h(Xt,h) + ( tk)TBt,hXt,h ( t

k)Tb2t,h , t=2,T , h=1,NH ,k=1,ITEY(t) ;

y

W1(X1) + ( tk)TB1X1 ( t

k)Tb21 , k=1,ITEY(1) ;

donde t corresponde a un vector de variables duales generadas por un subproblema SPYt,h(Xt,h):, e ITEY(t) define el

número de cortes generados para el período t.

Si se analiza la estructura de variación temporal de dt es posible obtener mayores ventajas. Asumamos una estructura

de variación temporal para dt dada por

dt = ß(t) d

donde ß(t) corresponde al factor utilizado para proyectar y/o pasar a valor presente los costos causados en el período

t. Cuando esta suposición es válida, se puede reorganizar la formulación para obtener ventaja de esta estructura. Para

este caso el área de factibilidad dual para cada subproblema es

( t,hk)TG ß(t) dT

es posible eliminar la dependencia temporal, si se realizan cambios en la formulación del coordinador. Consideremos

la definición de la función Wt,h(Xt,h)

Wt,h(Xt,h) = { Min ß(t) dTYt,h | GYt,h = b2t,h - Bt,hXt,h ; Yt,hR+ }

extrayendo el factor ß(t) del problema se puede formular la siguiente ecuación

Wt,h(Xt,h)/ß(t) = { Min dTYt,h | GYt,h = b2t,h - Bt,hXt,h ; Yt,hR+ }

Si se redefinen los subproblemas SPYt,h(Xt,h): como

SPYt,h(Xt,h): = { Min Wt,h(Xt,h) = dTYt,h | GYt,h = b2t,h - Bt,hXt,h ; Yt,hR+ }


- TEORIA GENERAL -

la zona de factibilidad dual asociada es independiente de t y de h

( t,h)TG dT

Esta relación garantiza que un vector factible t,h lo es también para cualquier pareja {t,h} independientemente del

SPYt,h(Xt,h): que lo genere. En este caso los cortes tienen la siguiente estructura

Wt,h(Xt,h)/ß(t) + (k)TBt,hXt,h (k)Tb2t,h , t=2,T , h=1,NH , k=1,ITEY ;

y

W1(X1)/ß(t) + (k)TB1X1 (k)Tb21 , k=1,ITEY ;

donde corresponde a un vector de variables duales generadas por un subproblema SPYt,h(Xt,h):, e ITEY define el

número total de cortes generados en el nivel de descomposición.

Como en el caso estocástico, es posible formular un algoritmo en el cual, en un ciclo coordinador-subproblema, solo se

soluciona un subproblema SPYt,h(Xt,h): que aporta información para generar cortes para todas las parejas (t,h).

Si adicionalmente las matrices At,h y Bt,h son independientes de h

At,h= At

Bt,h = Bt

y el vector de costos ct,h puede expresarse como un vector colineal independiente de h y escalado para los diferentes

períodos por medio de un factor ß(t)

ct = ß(t) c

En este caso cada coordinador estocástico puede escribirse como:

SXh(X1): = { Min Qh(X1) = t=2,T ß(t)[cTXt,h + W*t,h(Xt,h)] |

A X2,h = b12,h - E X1 , h=1,NH ;

A Xt,h = b1t,h - E Xt-1,h , t=3,T, h=1,NH ;

Wt,h(Xt,h) + (k)TB Xt,h (k)Tb2t,h , t=2,T , h=1,NH , k=1,ITEY ;

W1(X1)+ (k)TB X1 (k)Tb21 , k=1,ITEY ;

Xt,h R+ }

La zona de factibilidad dual del coordinador estocástico puede escribirse como:

(t,h)TA + (t+1,h )TA + k=1,ITEY t,hk (k)TB = ß(t) c , t=2,T-1

(T,h)T A + k=1,ITEY T,hk (k)TB = ß(T) c

k=1,ITEY t,hk (k)T= ß(t) , t=2,T

t,h R+ }

que es independiente de h y por lo tanto un vector de variables duales factible al dual de un subproblema SXh(X1): lo es

para todos los subproblemas independientemente del índice h, esto implica que un subproblema SXh(X1): genera cortes

para todos los subproblemas restantes. El corte generado puede escribirse como:


- TEORIA GENERAL -

Qh(X1) + (1

k)TE X1 t=2,T [(tk)Tb1t,h+ ( t

k)Tb2t,h ] , h=1,NH , k=1,ITEX ;

donde t corresponde al vector de variables duales generado por un subproblema SXh(X1): para el conjunto de

restricciones AXt,h=b1t,h-EXt-1,h, e ITEX define el numero total de cortes generados a nivel de los coordinadores

estocásticos.

Como consecuencia del análisis estructural es posible definir el concepto de familias de problemas a tres niveles:

a) a nivel de coordinación general se tiene el problema CX:

CX: = { Min c1TX1 + W1(X1) + Q(X1) |

A X1 = b11 - E X0 ;

W1(X1) + (k)TB X1 (k)Tb21 = ß1(k) , k=1,ITEY ;

Q(X1) = h=1,NH Qh(X1)/NH

Qh(X1) + (1k)TE X1 t=2,T [(t

k)Tb1t,h+ ( tk)Tb2t,h ] , h=1,NH ,k=1,ITEX ;

X1R+ }

b) a nivel intermedio se tienen los coordinadores dinámicos estocásticos SXh(X1):

SXh(X1): = { Min Qh(X1) = t=2,T ß(t)[cTXt,h + W*t,h(Xt,h)] |

A X2,h = b12,h - E X1 , h=1,NH ;

A Xt,h = b1t,h - E Xt-1,h , t=3,T, h=1,NH ;

W*t,h(Xt,h) + (k)TB Xt,h (k)Tb2t,h , t=2,T , h=1,NH , k=1,ITEY ;

Xt,h R+ }

c) a nivel primario se tienen los subproblemas

SPYt,h(Xt,h): = { Min Wt,h(Xt,h) = dTYt,h | G Yt,h = b2t,h - B Xt,h ; Yt,hR+ }

Es importante notar que los tres niveles pueden trabajar en paralelo en forma asincrónica, lo que permite utilizar para

la solución del problema integrado computadores con múltiples procesadores, en donde se tienen procesadores

dedicados a solucionar problemas de un determinado nivel. Esta es el fundamento de lo que se puede denominar

Optimización Paralela Asincrónica -OPA-.

10. REFERENCIAS

[1] Benders, J.F. "Partitioning Procedures For Solving Mixed Variables Programming Problems". Numer.

Math 4, 238-252 (1962).

[2] Lasdon, L. "Optimization Theory for Large Systems". London, MacMillan Company (1970).

[3] Greenberg & Pierskalla. "Subrogate Programming". ORSA.

[4] Velásquez, J., "P.D.S. Subrogate Primal-Dual Algorithm". Documento de Trabajo. Postgrado en

Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos, Facultad de Minas, Universidad Nacional, Medellín,

COLOMBIA (1994).

[5] Pereira, M.V.F.. "Stochastic Operation Scheduling of Large Hydroelectric Systems". Electric Power &

Energy Systems, Vol 11(3-1989)


- TEORIA GENERAL -

[6] Pereira, M.V.F. y Pinto, L.M.V.G.. "Stochastic Optimization of a Multireservoir Hydroelectric System: a

Decomposition Approach". Water Resources Research, Vol 21, No. 6, pp 779-792 (1985).

[7] Gorensin, B.G. et al. "Stochastic Optimization of a Hydro-Thermal System including Network

Constrains". Transaccion on Power Systems, Vol 7(2) 791-797 (1992)

[8] Velásquez, J., "Optimización Estocástica Dinámica Multinivel utilizando la Teoría de Benders".

Documento de Trabajo. Postgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos, Facultad de Minas,

Universidad Nacional, Medellín, COLOMBIA (1994).

[9] Van Roy, T.J. "A Cross Decomposition Algorithm For Capacited Facility Location". ORSA Vol 34 (1-

1986).

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