Математический анализ

Попова Татьяна Михайловна, ауд 433п

2 часа лекции, 3 часа практических занятий

ЭКЗАМЕН

Содержание 1 семестра:

теория пределов, непрерывность функции,

основные понятия теории дифференциального

функции одной и нескольких действительных

переменных,

Математический анализ

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления. [В 3т.] : учеб. для вузов. Т. 1.

• Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. [В 2ч] :

учеб. для вузов. Ч.1.

• Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа. [В

2т.] : учеб. для вузов

• http://e.lanbook.com/

Лекция 1. Функция. Предел функции.

1. Множества вещественных чисел. Числовые

промежутки. Интервал, отрезок, полуинтервал,

окрестность.

2. Супремум, инфимум.

3. Функция: определение, способы задания, область

определения, множество значений, график.

Множество натуральных чисел.

Последовательность.

4. Понятие предела функции в точке. Предел

последовательности.

Основные обозначения

∈ - принадлежит

⊂ ⊆ - подмножество

∀ - квантор всеобщности (любой)

∃ - квантор существования (существует)

¬ - отрицание

⟹ - следует

⟺ - тогда и только тогда (необходимо и

достаточно)

1. Множества вещественных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

𝐑 − множество действительных (вещественных) чисел – объединение рациональных и иррациональных чисел

Свойства

1. Множество действительных упорядоченное: для любых двух различных чисел а и b имеет место одно из двух соотношений а<b либо b<а.

1. Множества вещественных чисел

3. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х<b.

3. Множество R непрерывное.

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой

1. Числовые промежутки

Числовыми промежутками называют подмножества

множества действительных чисел, имеющих

следующий вид:

Интервал: 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

Полуинтервал: 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 или

(𝑎, 𝑏] = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏

Отрезок: 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Окрестность точки: 𝑈 𝑥0 = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥 − 𝑥0 < 휀

2. Супремум, инфимум

• Мажоранта или верхняя грань (граница) числового множества A - число 𝑀: ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑀 .

Cупремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается sup𝐴

• Миноранта или нижняя грань (граница) числового множества A - число 𝑚: ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑥.

инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается inf 𝐴

2. Свойства супремума и инфимума

1. ∀휀 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴: 𝑦 > sup 𝐴 − 휀;

2. ∀휀 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴: 𝑧 < inf 𝐴 + 휀;

3. 𝐴 ⊆ 𝐵, то sup 𝐴 ≤ sup 𝐵, inf 𝐴 ≥ inf 𝐵

Теорема. Всякое непустое множество на

числовой прямой, ограниченное сверху (снизу),

имеет верхнюю (нижнюю) грань.

3. Функция действительной переменной

Пусть 𝐷𝑓, 𝐸𝑓 ⊆ 𝐑

Опр. 𝑓: 𝐷𝑓 → 𝑀: Действительной функцией

действительной переменной называется такое отображение, при котором каждому элементу 𝑥 из множества 𝐷𝑓 ставится единственный элемент 𝑦 из

множества 𝐸𝑓, и обозначается 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥 - независимая переменная, аргумент.

𝑦 - зависимая переменная, функция.

𝐷𝑓 - область определения функции.

𝐸𝑓 - множество значений функции.

Способы задания: аналитический , графический, табличный, алгоритмический, описательный

3. Функция действительной переменной

Графиком функции действительной переменной назовём множество точек 𝑥, 𝑦 таких что

𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑦 = 𝑓 𝑥 :

Γ𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑓 × 𝐸𝑓: 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ⇒ 𝑦 = 𝑓 𝑥

4. Предел функции

Опр. Число 𝐴 называется пределом функции 𝑓 при 𝑥 ⟶ 𝑥0, если для любого сколь угодно малого положительного существует зависящее от , такое что ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓: 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 следует

𝑓 𝑥 − 𝐴 < 휀. lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = 𝐴

∀𝑈 𝐴 ∃𝑈𝛿 𝑥0 : ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝑈𝛿 𝑥0 ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑈 𝐴

4. Предел последовательности

Если область определения функции есть множество натуральных чисел, то задана числовая последовательность: 𝑥𝑛 𝑛∈𝑵

Опр. Число а - предел последовательности при 𝑛 → ∞, если для любого сколь угодно малого положительного существует номер 𝑛, зависящий от : для любых 𝑛 > 𝑛 𝑥𝑛 − 𝑎 < 휀.

lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝑎

∀휀 > 0 ∃𝑛 ∈ 𝑵: ∀𝑛 > 𝑛 𝑥𝑛 − 𝑎 < 휀.