Ocenovanı financnıch derivatu ve spojitem case

Vaclav Kozmık

Matematicko-fyzikalnı fakultaUniverzity Karlovy

4. 10. 2010

Uvod

Stochasticky kalkulus Wieneruv proces stochasticke procesy Itoovo lemma zmena mıry - Radon-Nikodymova derivace Cameron-Martin-Girsanov veta o reprezentaci martingalu

Konstrukce portfolia strednı hodnota vs. arbitraz samofinancujıcı portfolio replikace financnıho derivatu Black-Scholesuv model

2 z 31

Wieneruv proces

DefiniceRekneme, ze nahodny proces Wt , t ≥ 0 je Wieneruv podle mıry P,jestlize platı:

1. W0 = 0 a Wt je spojity

2. Wt ∼ N (0, t) podle P3. Prırustky Ws+t −Ws ∼ N (0, t) podle P a jsou nezavisle na

historii procesu Fs do casu s

nenı s.j. diferencovatelny v zadnem bode

je libovolne skalovatelny

s.j. dosahne jakekoliv realne hodnoty

3 z 31

Wieneruv proces

4 z 31

Geometricky Brownuv pohyb

Brownuv pohyb s driftem

Xt = σWt + µt

geometricky Brownuv pohyb s driftem

Xt = exp σWt + µt

zakladnı model ceny akcie

St = S0 exp σWt + µt

logaritmicko-normalnı rozdelenı ceny v case t strednı hodnota zavisı na cene v case 0 a driftu

5 z 31

Geometricky Brownuv pohyb

6 z 31

Stochasticky proces

DefiniceStochasticky proces Xt , t ≥ 0 je spojity proces, pro ktery platı:

Xt = X0 +

∫ t

0σsdWs +

∫ t

0µsds,

kde σt a µt jsou Ft-adaptovane procesy, tak ze s.j. platı:∫ t

0σ2s + |µs |ds <∞

Diferencialnı tvar lze zapsat jako:

dXt = σtdWt + µtdt

7 z 31

Jednoznacnost volatility a driftu

Pokud se dva procesy Xt a Xt shodujı v case 0, tj. X0 = X0, a majıidentickou volatilitu σt a drift µt , pak jsou si rovny, tj. Xt = Xt ∀t.

K danemu procesu Xt existuje pouze jedna dvojice volatility σt adriftu µt tak, ze platı ∀t:

Xt = X0 +

∫ t

0σsdWs +

∫ t

0µsds.

Jednoznacnost σt a µt plyne z Doob-Meyerova rozkladusemimartingalu.

8 z 31

Itoovo lemma

LemmaNecht’ Xt je stochasticky proces ve tvaru dXt = σtdWt + µtdt a f jedeterministicka dvakrat diferencovatelna funkce. Potom Yt = f (Xt) jetake stochasticky proces a platı:

dYt =(σt f

′(Xt)

)dWt +

(µt f

′(Xt) +

1

2σ2t f

′′(Xt)

)dt

PrıkladdXt = σtdWt + µtdtYt = exp XtdYt = σtYtdWt +

(µtYt + 1

2σ2t Yt

)dt

9 z 31

Ocenovanı financnıch derivatu

forward na koupi jedne akcie strednı hodnota budoucı ceny

cena akcie Xt , 0 ≤ t ≤ T sleduje geometricky Brownuv pohyb spocatecnı cenou S0

cena v case T ma pak logaritmicko-normalnı rozdelenı strednı hodnota je E [XT ] = S0 exp µT

arbitraz = postup, ktery vede k bezrizikovemu kladnemu vynosu urokova mıra r na obdobı delky T , spojite urocenı v case 0 si pujcım S0 a koupım akcii, v case T splatım S0 exp rT a

dostanu cenu forwardu muzeme aplikovat i opacny postup cena forwardu tedy musı byt S0 exp rT ocenovanı pomocı strednı hodnoty je spatne

10 z 31

Konstrukce portfolia

predpokladame trh s jednou akciı a bezrizikovym dluhopisem

portfolio je dvojice procesu φt a ψt , ktere udavajı pocet kusu akciea dluhopisu, ktere drzıme v case t

povolujeme neomezene prodeje nakratko, hodnoty procesu jsoukladne i zaporne

proces φt by mel zaviset pouze na historii do casu t, Ft-previsible

predpokladejme cenu akcie St a dluhopisu Bt

hodnota portfolia v case t

Vt = φtSt + ψtBt

11 z 31

Samofinancujıcı portfolio

DefinicePortfolio (φt , ψt) s cenou akcie St a dluhopisu Bt je samofinancujıcı,pokud platı:

dVt = φtdSt + ψtdBt

Prıkladψt = 1, φt = 1 ∀tSt = Wt , Bt = 1, ∀tPotom overıme podmınku:dSt = dWt , dBt = 0Vt = Wt + 1dVt = dWt = φtdSt + ψtdBt

12 z 31

Replikace derivatu

DefinicePredpokladejme, ze na trhu je k dispozici bezrizikovy dluhopis Bt arizikova akcie St s volatilitou σt a derivat XT , ktery zavisı naudalostech do casu T . Replikacnı strategiı pro XT je samofinancujıcıportfolio (φt , ψt) takove, ze platı:

1.∫ T

0 σ2t φ

2t dt <∞

2. VT = φTST + ψTBT = XT

pokud mame k danemu derivatu replikacnı strategii, pakobdobnymi argumenty pro arbitraz muzeme odvodit,ze pro cenu derivatu v case t platı:

Xt = Vt

13 z 31

Black - Scholesuv model

Predpokladejme existenci konstantnı bezrizikove urokove mıry r ,volatility akcie σ a driftu akcie µ. Dale predpokladame nulovetransakcnı naklady a moznost obchodovat v libovolnem case libovolnemnozstvı v dlouhe i v kratke pozici za stanovenou cenu.

Bt = exp rt

St = S0 exp σWt + µt

Pro zjednodusenı uvodnıho resenı budeme navıc predpokladat r = 0.

14 z 31

Nalezenı replikacnı strategie

1. Najıt mıru Q, podle ktere je St martingal,

2. Zavest proces Et = EQ [XT |Ft ],

3. Najıt previsible proces φt takovy, ze dEt = φtdSt .

rovnice pro cenu akcie:

St = exp σWt + µt = exp Yt

pro urcenı diferencialu pouzijeme Itoovu formuli

dYt = σdWt + µdt

dSt = σStdWt +

(µ+

1

2σ2

)Stdt

15 z 31

Zmena mıry

DefiniceNecht’ jsou mıry P a Q definovany na stejnem meritelnem prostoru(Ω,A).Mıra Q je absolutne spojita vzhledem k P, pokud ∀A ∈ A platı:

P(A) = 0⇒ Q(A) = 0.

Mıry Q a P nazyvame ekvivalentnı, pokud ∀A ∈ A platı:

P(A) > 0⇔ Q(A) > 0.

16 z 31

Radon - Nikodymova veta

VetaNecht’ jsou mıry P a Q definovany na stejnem meritelnem prostoru(Ω,A), mıra Q je σ-konecna a absolutne spojita vzhledem kσ-konecne mıre P. Pak existuje meritelna konecna funkce f tak, ze∀A ∈ A platı:

Q(A) =

∫A

f dP.

Funkci f rıkame Radon - Nikodymova derivace a znacıme ji dQdP .

17 z 31

Zmena mıry

Necht’ Xt , 0 ≤ t ≤ T je proces adaptovany vzhledem k historii Ft .Oznacme ζt = EP

[dQdP |Ft

]pro Radon-Nikodymovu derivaci dQ

dP v caseT . Pak platı:

EQ [XT ] = EP

[dQ

dPXT

]EQ [Xt |Fs ] =

1

ζsEP [ζtXt |Fs ] , s ≤ t ≤ T

18 z 31

Cameron - Martin - Girsanov

VetaNecht’ Wt je Brownuv pohyb vzhledem k mıre P a γt jeFt-adaptovany proces, ktery splnuje podmınku

EP exp

12

∫ T0 γ2

t dt<∞. Pak existuje mıra Q takova, ze platı:

1. Q je ekvivalentnı s P

2. dQdP = exp

−∫ T

0 γtdWt − 12

∫ T0 γ2

t dt

3. Wt = Wt +∫ t

0 γsds je Brownuv pohyb vzhledem k mıre Q.

DusledekWt je Brownuv pohyb vzhledem k mıre Qs driftem −γt v case t.

19 z 31

Cameron - Martin - Girsanov

Platı i opacne tvrzenı:

VetaNecht’ Wt je Brownuv pohyb vzhledem k mıre P a mıra Q jeekvivalentnı s P. Pak existuje Ft-previsible proces γt tak, ze proces

Wt = Wt +

∫ t

0γsds

je Brownuv pohyb vzhledem k mıre Q.

20 z 31

Martingaly

DefiniceNahodny proces Mt je martingal vzhledem k mıre P, pokud splnujenasledujıcı:

1. EP [|Mt |] <∞ ∀t

2. EP [Mt |Fs ] = Ms ∀s ≤ t

LemmaNecht’ Xt je stochasticky proces ve tvaru dXt = σtdWt + µtdt , ktery

splnuje podmınku E

[(∫ T0 σ2

s ds) 1

2

]<∞. Pak platı:

Xt je martingal ⇔ X je bez driftu (µt ≡ 0).

21 z 31

Veta o reprezentaci martingalu

VetaNecht’ Mt je martingal vzhledem k mıre Q, jehoz volatilita σt je s.j.nenulova. Pokud Nt je libovolny martingal vzhledem k mıre Q, pakexistuje Ft-previsible proces φt tak, ze s.j. platı

∫ T0 φ2

tσ2t dt <∞ a Nt

lze psat jako:

Nt = N0 +

∫ t

0φsdMs .

Proces φt je navıc urcen jednoznacne.

PoznamkaPrırustky dvou martingalu vzhledem k Q se lisı pouze vevolatilitach, proces φt reprezentuje jejich pomer.

22 z 31

Replikace derivatu

diferencialnı rovnice pro vyvoj ceny akcie

dSt = σStdWt +

(µ+

1

2σ2

)Stdt

zavedeme proces γt a Wt

γt =µ+ 1

2σ2

σ

Wt = Wt + γt

podle vety C-M-G existuje mıra Q tak, zeWt je vuci nı Brownuv pohyb

dSt = σStdWt

23 z 31

Replikace derivatu

St je martingal vuci mıre Q, nenı zde zadny drift

dSt = σStdWt

z derivatu XT vytvorıme proces:

Et = EQ [XT |Ft ]

Et i St jsou martingaly podle mıry Q, a tak podle vety oreprezentaci martingalu existuje previsible proces φt tak, ze platı:

Et = EQ [XT |Ft ] = EQ [XT ] +

∫ t

0φsdSs

24 z 31

Replikacnı strategie

nase strategie bude:1. drzet φt jednotek akcie v case t2. drzet ψt = Et − φtSt jednotek dluhopisu v case t

hodnota portfolia (Bt = 1)

Vt = φtSt + ψtBt = Et

portfolio je samofinancujıcı (dBt = 0)

dVt = dEt = φtdSt = φtdSt + ψtdBt

nalezli jsme replikacnı strategii, protoze platı:VT = ET = XT

cena derivatu je strednı hodnota podle mıry Q resenı rovnice pro cenu akcie je

St = exp

σWt −

1

2σ2t

25 z 31

Rozsırenı o urokovou sazbu

prevedeme na predchozı prıpad diskontovanım

diskontovacı procesB−1t = exp −rt

diskontovana akcieZt = B−1

t St

diskontovany derivatB−1T XT

zbytek postupu je analogicky, pouzije se stejne odvozenıs diskontovanymi verzemi procesu

26 z 31

Call opce

ocenenı opce se strike k

XT = max 0,ST − k

V0 = exp −rTEQ [XT ]

stacı najıt marginalnı rozdelenı ST podle mıry Q

d (log St) = σdWt +

(r − 1

2σ2

)dt

prevedenı na normalnı rozdelenı

Z ∼ N(−1

2σ2T , σ2T

)ST = S0 exp Z + rT

technickou manipulacı lze odvodit znamy vzorec27 z 31

Urcenı obchodovacı strategie

VetaPokud se cena derivatu XT rovna f (ST ) pro nejakou funkci f , pak jecena derivatu v case t rovna Vt = V (St , t), kde:

V (s, t) = exp −r (T − t)EQ [f (ST )|St = s] .

Obchodovacı strategie je dana vzorcem: φt = ∂V∂s (St , t).

PoznamkaPodle vety o reprezentaci martingalu je φt lokalnepomerem volatilit prıslusnych procesu, v tomto prıpadezmeny ceny opce a zmeny ceny akcie.

28 z 31

Urcenı obchodovacı strategie

Dukaz.

pro cenu akcie platı:

dSt = σStdWt + rStdt

pouzitım Itoovy formule:

dVt = dV (St , t) =

(σSt

∂V

∂s

)dWt + (...) dt

samofinancujıcı portfolio:

dVt = φtdSt + ψtdBt

opet pouzitım Itoovy formule:

dVt = (φtσSt) dWt + (...) dt

29 z 31

Literatura

Baxter, M. and Rennie A. (1996): Financial calculus: AnIntroduction to derivative pricing, Cambridge University Press,ISBN 0-521-55289-3

30 z 31

Zaver

Dekuji za pozornost!

Vaclav Kozmıkvkozmik@gmail.com

31 z 31