Ocenovanı financnıch derivatu ve spojitem case
Vaclav Kozmık
Matematicko-fyzikalnı fakultaUniverzity Karlovy
4. 10. 2010
Uvod
Stochasticky kalkulus Wieneruv proces stochasticke procesy Itoovo lemma zmena mıry - Radon-Nikodymova derivace Cameron-Martin-Girsanov veta o reprezentaci martingalu
Konstrukce portfolia strednı hodnota vs. arbitraz samofinancujıcı portfolio replikace financnıho derivatu Black-Scholesuv model
2 z 31
Wieneruv proces
DefiniceRekneme, ze nahodny proces Wt , t ≥ 0 je Wieneruv podle mıry P,jestlize platı:
1. W0 = 0 a Wt je spojity
2. Wt ∼ N (0, t) podle P3. Prırustky Ws+t −Ws ∼ N (0, t) podle P a jsou nezavisle na
historii procesu Fs do casu s
nenı s.j. diferencovatelny v zadnem bode
je libovolne skalovatelny
s.j. dosahne jakekoliv realne hodnoty
3 z 31
Wieneruv proces
4 z 31
Geometricky Brownuv pohyb
Brownuv pohyb s driftem
Xt = σWt + µt
geometricky Brownuv pohyb s driftem
Xt = exp σWt + µt
zakladnı model ceny akcie
St = S0 exp σWt + µt
logaritmicko-normalnı rozdelenı ceny v case t strednı hodnota zavisı na cene v case 0 a driftu
5 z 31
Geometricky Brownuv pohyb
6 z 31
Stochasticky proces
DefiniceStochasticky proces Xt , t ≥ 0 je spojity proces, pro ktery platı:
Xt = X0 +
∫ t
0σsdWs +
∫ t
0µsds,
kde σt a µt jsou Ft-adaptovane procesy, tak ze s.j. platı:∫ t
0σ2s + |µs |ds <∞
Diferencialnı tvar lze zapsat jako:
dXt = σtdWt + µtdt
7 z 31
Jednoznacnost volatility a driftu
Pokud se dva procesy Xt a Xt shodujı v case 0, tj. X0 = X0, a majıidentickou volatilitu σt a drift µt , pak jsou si rovny, tj. Xt = Xt ∀t.
K danemu procesu Xt existuje pouze jedna dvojice volatility σt adriftu µt tak, ze platı ∀t:
Xt = X0 +
∫ t
0σsdWs +
∫ t
0µsds.
Jednoznacnost σt a µt plyne z Doob-Meyerova rozkladusemimartingalu.
8 z 31
Itoovo lemma
LemmaNecht’ Xt je stochasticky proces ve tvaru dXt = σtdWt + µtdt a f jedeterministicka dvakrat diferencovatelna funkce. Potom Yt = f (Xt) jetake stochasticky proces a platı:
dYt =(σt f
′(Xt)
)dWt +
(µt f
′(Xt) +
1
2σ2t f
′′(Xt)
)dt
PrıkladdXt = σtdWt + µtdtYt = exp XtdYt = σtYtdWt +
(µtYt + 1
2σ2t Yt
)dt
9 z 31
Ocenovanı financnıch derivatu
forward na koupi jedne akcie strednı hodnota budoucı ceny
cena akcie Xt , 0 ≤ t ≤ T sleduje geometricky Brownuv pohyb spocatecnı cenou S0
cena v case T ma pak logaritmicko-normalnı rozdelenı strednı hodnota je E [XT ] = S0 exp µT
arbitraz = postup, ktery vede k bezrizikovemu kladnemu vynosu urokova mıra r na obdobı delky T , spojite urocenı v case 0 si pujcım S0 a koupım akcii, v case T splatım S0 exp rT a
dostanu cenu forwardu muzeme aplikovat i opacny postup cena forwardu tedy musı byt S0 exp rT ocenovanı pomocı strednı hodnoty je spatne
10 z 31
Konstrukce portfolia
predpokladame trh s jednou akciı a bezrizikovym dluhopisem
portfolio je dvojice procesu φt a ψt , ktere udavajı pocet kusu akciea dluhopisu, ktere drzıme v case t
povolujeme neomezene prodeje nakratko, hodnoty procesu jsoukladne i zaporne
proces φt by mel zaviset pouze na historii do casu t, Ft-previsible
predpokladejme cenu akcie St a dluhopisu Bt
hodnota portfolia v case t
Vt = φtSt + ψtBt
11 z 31
Samofinancujıcı portfolio
DefinicePortfolio (φt , ψt) s cenou akcie St a dluhopisu Bt je samofinancujıcı,pokud platı:
dVt = φtdSt + ψtdBt
Prıkladψt = 1, φt = 1 ∀tSt = Wt , Bt = 1, ∀tPotom overıme podmınku:dSt = dWt , dBt = 0Vt = Wt + 1dVt = dWt = φtdSt + ψtdBt
12 z 31
Replikace derivatu
DefinicePredpokladejme, ze na trhu je k dispozici bezrizikovy dluhopis Bt arizikova akcie St s volatilitou σt a derivat XT , ktery zavisı naudalostech do casu T . Replikacnı strategiı pro XT je samofinancujıcıportfolio (φt , ψt) takove, ze platı:
1.∫ T
0 σ2t φ
2t dt <∞
2. VT = φTST + ψTBT = XT
pokud mame k danemu derivatu replikacnı strategii, pakobdobnymi argumenty pro arbitraz muzeme odvodit,ze pro cenu derivatu v case t platı:
Xt = Vt
13 z 31
Black - Scholesuv model
Predpokladejme existenci konstantnı bezrizikove urokove mıry r ,volatility akcie σ a driftu akcie µ. Dale predpokladame nulovetransakcnı naklady a moznost obchodovat v libovolnem case libovolnemnozstvı v dlouhe i v kratke pozici za stanovenou cenu.
Bt = exp rt
St = S0 exp σWt + µt
Pro zjednodusenı uvodnıho resenı budeme navıc predpokladat r = 0.
14 z 31
Nalezenı replikacnı strategie
1. Najıt mıru Q, podle ktere je St martingal,
2. Zavest proces Et = EQ [XT |Ft ],
3. Najıt previsible proces φt takovy, ze dEt = φtdSt .
rovnice pro cenu akcie:
St = exp σWt + µt = exp Yt
pro urcenı diferencialu pouzijeme Itoovu formuli
dYt = σdWt + µdt
dSt = σStdWt +
(µ+
1
2σ2
)Stdt
15 z 31
Zmena mıry
DefiniceNecht’ jsou mıry P a Q definovany na stejnem meritelnem prostoru(Ω,A).Mıra Q je absolutne spojita vzhledem k P, pokud ∀A ∈ A platı:
P(A) = 0⇒ Q(A) = 0.
Mıry Q a P nazyvame ekvivalentnı, pokud ∀A ∈ A platı:
P(A) > 0⇔ Q(A) > 0.
16 z 31
Radon - Nikodymova veta
VetaNecht’ jsou mıry P a Q definovany na stejnem meritelnem prostoru(Ω,A), mıra Q je σ-konecna a absolutne spojita vzhledem kσ-konecne mıre P. Pak existuje meritelna konecna funkce f tak, ze∀A ∈ A platı:
Q(A) =
∫A
f dP.
Funkci f rıkame Radon - Nikodymova derivace a znacıme ji dQdP .
17 z 31
Zmena mıry
Necht’ Xt , 0 ≤ t ≤ T je proces adaptovany vzhledem k historii Ft .Oznacme ζt = EP
[dQdP |Ft
]pro Radon-Nikodymovu derivaci dQ
dP v caseT . Pak platı:
EQ [XT ] = EP
[dQ
dPXT
]EQ [Xt |Fs ] =
1
ζsEP [ζtXt |Fs ] , s ≤ t ≤ T
18 z 31
Cameron - Martin - Girsanov
VetaNecht’ Wt je Brownuv pohyb vzhledem k mıre P a γt jeFt-adaptovany proces, ktery splnuje podmınku
EP exp
12
∫ T0 γ2
t dt<∞. Pak existuje mıra Q takova, ze platı:
1. Q je ekvivalentnı s P
2. dQdP = exp
−∫ T
0 γtdWt − 12
∫ T0 γ2
t dt
3. Wt = Wt +∫ t
0 γsds je Brownuv pohyb vzhledem k mıre Q.
DusledekWt je Brownuv pohyb vzhledem k mıre Qs driftem −γt v case t.
19 z 31
Cameron - Martin - Girsanov
Platı i opacne tvrzenı:
VetaNecht’ Wt je Brownuv pohyb vzhledem k mıre P a mıra Q jeekvivalentnı s P. Pak existuje Ft-previsible proces γt tak, ze proces
Wt = Wt +
∫ t
0γsds
je Brownuv pohyb vzhledem k mıre Q.
20 z 31
Martingaly
DefiniceNahodny proces Mt je martingal vzhledem k mıre P, pokud splnujenasledujıcı:
1. EP [|Mt |] <∞ ∀t
2. EP [Mt |Fs ] = Ms ∀s ≤ t
LemmaNecht’ Xt je stochasticky proces ve tvaru dXt = σtdWt + µtdt , ktery
splnuje podmınku E
[(∫ T0 σ2
s ds) 1
2
]<∞. Pak platı:
Xt je martingal ⇔ X je bez driftu (µt ≡ 0).
21 z 31
Veta o reprezentaci martingalu
VetaNecht’ Mt je martingal vzhledem k mıre Q, jehoz volatilita σt je s.j.nenulova. Pokud Nt je libovolny martingal vzhledem k mıre Q, pakexistuje Ft-previsible proces φt tak, ze s.j. platı
∫ T0 φ2
tσ2t dt <∞ a Nt
lze psat jako:
Nt = N0 +
∫ t
0φsdMs .
Proces φt je navıc urcen jednoznacne.
PoznamkaPrırustky dvou martingalu vzhledem k Q se lisı pouze vevolatilitach, proces φt reprezentuje jejich pomer.
22 z 31
Replikace derivatu
diferencialnı rovnice pro vyvoj ceny akcie
dSt = σStdWt +
(µ+
1
2σ2
)Stdt
zavedeme proces γt a Wt
γt =µ+ 1
2σ2
σ
Wt = Wt + γt
podle vety C-M-G existuje mıra Q tak, zeWt je vuci nı Brownuv pohyb
dSt = σStdWt
23 z 31
Replikace derivatu
St je martingal vuci mıre Q, nenı zde zadny drift
dSt = σStdWt
z derivatu XT vytvorıme proces:
Et = EQ [XT |Ft ]
Et i St jsou martingaly podle mıry Q, a tak podle vety oreprezentaci martingalu existuje previsible proces φt tak, ze platı:
Et = EQ [XT |Ft ] = EQ [XT ] +
∫ t
0φsdSs
24 z 31
Replikacnı strategie
nase strategie bude:1. drzet φt jednotek akcie v case t2. drzet ψt = Et − φtSt jednotek dluhopisu v case t
hodnota portfolia (Bt = 1)
Vt = φtSt + ψtBt = Et
portfolio je samofinancujıcı (dBt = 0)
dVt = dEt = φtdSt = φtdSt + ψtdBt
nalezli jsme replikacnı strategii, protoze platı:VT = ET = XT
cena derivatu je strednı hodnota podle mıry Q resenı rovnice pro cenu akcie je
St = exp
σWt −
1
2σ2t
25 z 31
Rozsırenı o urokovou sazbu
prevedeme na predchozı prıpad diskontovanım
diskontovacı procesB−1t = exp −rt
diskontovana akcieZt = B−1
t St
diskontovany derivatB−1T XT
zbytek postupu je analogicky, pouzije se stejne odvozenıs diskontovanymi verzemi procesu
26 z 31
Call opce
ocenenı opce se strike k
XT = max 0,ST − k
V0 = exp −rTEQ [XT ]
stacı najıt marginalnı rozdelenı ST podle mıry Q
d (log St) = σdWt +
(r − 1
2σ2
)dt
prevedenı na normalnı rozdelenı
Z ∼ N(−1
2σ2T , σ2T
)ST = S0 exp Z + rT
technickou manipulacı lze odvodit znamy vzorec27 z 31
Urcenı obchodovacı strategie
VetaPokud se cena derivatu XT rovna f (ST ) pro nejakou funkci f , pak jecena derivatu v case t rovna Vt = V (St , t), kde:
V (s, t) = exp −r (T − t)EQ [f (ST )|St = s] .
Obchodovacı strategie je dana vzorcem: φt = ∂V∂s (St , t).
PoznamkaPodle vety o reprezentaci martingalu je φt lokalnepomerem volatilit prıslusnych procesu, v tomto prıpadezmeny ceny opce a zmeny ceny akcie.
28 z 31
Urcenı obchodovacı strategie
Dukaz.
pro cenu akcie platı:
dSt = σStdWt + rStdt
pouzitım Itoovy formule:
dVt = dV (St , t) =
(σSt
∂V
∂s
)dWt + (...) dt
samofinancujıcı portfolio:
dVt = φtdSt + ψtdBt
opet pouzitım Itoovy formule:
dVt = (φtσSt) dWt + (...) dt
29 z 31
Literatura
Baxter, M. and Rennie A. (1996): Financial calculus: AnIntroduction to derivative pricing, Cambridge University Press,ISBN 0-521-55289-3
30 z 31