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8/8/2019 Nu Me Rico
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TEMA 1
Problemas resueltos de Calculo Numerico
1. Interpolacion y aproximacion
1. Escribir los polinomios de interpolaci on de Lagrange y de Newton para los siguientesdatos:
xi -2 0 1
f(xi) 0 1 -1
Escribir ambos polinomios en la formaa+bx+cx2 con el fin de verificar que son identicos.
SOLUCION:
Metodo de Lagrange:
Construimos los polinomios de Lagrange, i(x), i = 0, 1, 2.
0(x) =(x x1)(x x2)
(x0 x1)(x0 x2) =(x 0)(x 1)
(2 0)(2 1) =1
6x (x 1)
1(x) =
(x
x0)(x
x2)
(x1 x0)(x1 x2) =(x + 2)(x
1)
(0 + 2)(0 1) = 1
2 (x + 2) (x 1)2(x) =
(x x0)(x x1)(x2 x0)(x2 x1) =
(x + 2)(x 0)(1 + 2)(1 0) =
1
3(x + 2) x
El polinomio de interpolacion viene dado por
p2(x) =
2i=0
f(xi)i(x) = f(x0)0(x) + f(x1)1(x) + f(x2)2(x)
= 0
1
6x (x 1)
+ 1
1
2(x + 2)(x 1)
1
1
3(x + 2) x
= 12
(x + 2)(x 1) 13
(x + 2)x = 1 76
x 56
x2
Metodo de Newton:
Escribimos el polinomio de interpolacion en la forma
p2(x) = f(x0) + f[x0, x1](x x0) + f[x0, x1, x2](x x0)(x x1)
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2 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
Calculamos la tabla de diferencias divididas
xi f(xi
-2 01/2
0 1 -5/6
-21 -1
Luego,
p2(x) = 0 +1
2(x + 2) 5
6(x + 2)(x 0) = 1 7
6x 5
6x2
2. Determinar un polinomio p(x) = ax6 + bx4 + cx2 + d que satisfaga los siguientes datos
p(0) = 2 , p(
1) = 8 , p(0) =
2 , p(
1) = 8 .
SOLUCION:
p(x) = a x6 + b x4 + c x2 + d
p(x) = 6a x5 + 4b x3 + 2c x
p(x) = 30a x4 + 12b x2 + 2c
Al imponer las condiciones de interpolacion se tiene
p(0) = 2 d = 2p(1) = 8 a + b + c + d = 8p(0) = 2 2c = 2
p(
1) = 8
30a + 12b + 2c = 8
Resolviendo el sistema anterior obtenemos
a = 379
, b =100
9, c = 1, d = 2.
El polinomio pedido sera
p(x) = 376
x6 +100
9x4 x2 + 2.
3. En estudios de polimerizaci on inducida por radiaci on, se emplea una fuente de rayosgamma para obtener dosis medidas en radiaci on. Sin embargo, la dosis vara con laposicion del aparato, segun los datos que se dan a continuacion.
Posicion Dosis(en pulgadas) (105 rads/h)1.0 2.711.5 2.982.0 3.203.0 3.20
(a) Cual es la estimacion para el nivel de dosis en 2.5 pulgadas?
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1. INTERPOLACION Y APROXIMACION 3
(b) Si se efectua una nueva medicion que indica que a 3.5 pulgadas el nivel de dosiscorrespondiente es de 298, cual sera ahora la estimacion para el nivel de dosis en2.5 pulgadas?
SOLUCION:
(a) Calculamos el polinomio de interpolacion para los datos de la tabla anterior. Utilizamos elmetodo de Newton.
xi f(xi)1.0 2.71
0.541.5 2.98 -0.1
0.44 -0.29/32.0 3.20 -0.44/1.5
03.0 3.20
El polinomio de interpolacion vendra dado por
p3(x) = 2.71 + 0.54(x 1) 0.1(x 1)(x 1.5) 0.293
(x 1)(x 1.5)(x 2).Ahora podemos estimar la dosis de radiacion para x = 2.5 evaluando el polinomio deinterpolacion en ese punto.
p3(2.5) = 2.71 + 0.54(1.5) 0.1(1.5)(1) 0.293
(1.5)(0.5) = 3.2975.
(b) Observemos que ahora disponemos de un dato mas de interpolacion. Una forma de obtenerel nuevo polinomio de interpolacion es anadir este dato a nuestra tabla de diferencias divi-didas y completarla.
xi f(xi)1.0 2.71
0.541.5 2.98 -0.1
0.44 -0.29/32.0 3.20 -0.44/1.5 0.29/7.5
0 03.0 3.20 -0.44/1.5
-0.443.5 2.98
El nuevo polinomio de interpolacion sera
p4(x) = 2.71 + 0.54(x 1) 0.1(x 1)(x 1.5) 0.29
3(x 1)(x 1.5)(x 2) +
0.297.5
(x 1)(x 1.5)(x 2)(x 3).La estimacion del nivel de radiacion para x = 2.5 sera ahora
p4(2.5) = 3.2975 +0.29
7.5(1.5)(0.5)(0.5) = 3.283
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4 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
4. Para los valores siguientes
E 40 60 80 100 120
P 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93
donde E son los voltios y P los kilovatios en una curva de perdida en el nucleo para unmotor electrico.
(a) Elaborar una tabla de diferencias divididas(b) Calcular el polinomio de interpolacion de Newton de segundo grado para E =
80, 100, 120. Utilizarlo para estimar el valor de P correspondiente a E = 90 voltios.
SOLUCION:
(a) Calculamos la tabla de diferencias divididas
xi f(xi)40 0.63
0.036560 1.36 0.0001125
0.041 -0.000001875
80 2.18 0 0.0000000521
0.041 0.00002292
100 3.00 0.00013750.0465
120 3.93
(b) En la tabla anterior hemos marcado los coeficientes del polinomio de interpolaci on paraE = 80, 100, 120. El polinomio sera
p2(x) = 2.18 + 0.041(x 80) + 0.0001375(x 80)(x 100).
La estimacion de P para E = 90 se obtendra evaluando el polinomio de interpolacion enx = 90. En nuestro caso
p(90) = 2.18 + 0.041(10) + 0.0001375(10)(10) = 2.57625
5. Una funcion f(x) de la que solamente se conocen los datos de la tabla que figura a con-tinuacion, alcanza un maximo en el intervalo [1, 1.3]. Hallar la abscisa de dicho maximo.
xi 1.0 1.1 1.2 1.3f(xi) 0.841 0.891 0.993 1.000
Interpreta los resultados.
SOLUCION:
La solucion de este problema pasa necesariamente por determinar una funcion que interpole oaproxime los datos anteriores. A continuacion calculamos el punto donde esta funcion alcancesu maximo o su mnimo. Por tanto, una primera estrategia puede ser calcular el polinomio deinterpolacion.
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1. INTERPOLACION Y APROXIMACION 5
xi f(xi)1.0 0.841
0.51.1 0.891 2.6
1.02 -24.51.2 0.993 -4.75
0.071.3 1.00
El polinomio de interpolacion sera
p(x) = 0.841 + 0.5(x 1) + 2.6(x 1)(x 1.1) 24.5(x 1)(x 1.1)(x 1.2)= 35.541 93.65x + 83.45x2 24.5x3
Calculamos los puntos crticos
p
(x) = 0 73.5x2
+ 166.9x 93.65 = 0 x = 1.25754x = 1.01321Para precisar si hay maximo o mnimo recurrimos a la segunda derivada.
p(x) = 147x + 166.9
p(1.25754) = 17.95838 < 0 max. relativop(1.01321) = 17.95813 > 0 mn. relativo
Puesto que
p(1.25754) = 1.018062648073915
deducimos que la funcion p(x) alcanza su maximo absoluto en el intervalo [1, 1.3] en el punto deabscisa x = 1.25754.
Otra forma de abordar este problema sera utilizando interpolacion lineal a trozos. De acuerdocon este nuevo modelo y observando los datos de la tabla anterior concluiramos que la funcion
f(x) alcanzara su maximo absoluto en x = 1.30.
6. En la siguiente tabla, R es la resistencia de una bobina en ohms y T la temperatura dela bobina en grados centgrados. Por mnimos cuadrados determinar el mejor polinomiolineal que represente la funcion dada.
T 10.50 29.49 42.70 60.01 75.51 91.05R 10.421 10.939 11.321 11.794 12.242 12.668
SOLUCION:
Se trata de ajustar una funcion del tipo
R = a + b T
al conjunto de datos (Ti, Ri). Matricialmente el sistema que tenemos que resolver vendra dadopor
6i=1
16
i=1
Ti
6i=1
Ti
6i=1
T2i
a
b
=
6i=1
Ri
6i=1
TiRi
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6 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
Construimos la siguiente tabla
Ti Ri T2i TiRi
10.50 10.421 110.25 109.420529.49 10.939 869.6501 322.5911142.70 11.321 1823.29 483.406760.01 11.794 3601.2001 707.7579475.51 12.242 5701.7601 924.3924291.05 12.668 8290.1025 1153.4214
309.26 69.385 20396.2628 3700.99107
Por tanto, el sistema que tenemos que resolver sera,6a + 309.26b = 69.385
309.26a + 20396.2628b = 3700.99107
a = 10.1222293891b = 0.0279752430495
Luego, la solucion vendra dada por
R = 10.1222293891 + 0.0279752430495 T
7. Aproximar mediante los mnimos cuadrados un polinomio de grado dos a los siguientesdatos
xi 1 2 4 10 16yi 6 1 2 4 5
SOLUCION:
Se trata de ajustar una funcion del tipo
y = a + b x + c x2
al conjunto de datos (xi, yi).Matricialmente el sistema que tenemos que resolver vendra dado por
5i=1
15
i=1
xi
5i=1
x2i
5i=1
xi
5i=1
x2i
5i=1
x3i
5i=1
x2i
5i=1
x3i
5i=1
x4i
a
b
c
=
5i=1
yi
5i=1
xiyi
5i=1
x2i yi
Construimos la siguiente tabla
xi yi x2i x
3i x
4i xiyi x
2i yi
1 6 1 1 1 6 62 1 4 8 16 2 44 2 16 64 256 8 32
10 4 100 1000 10000 40 40016 5 256 4096 65536 80 128033 18 377 5169 75809 136 1722
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1. INTERPOLACION Y APROXIMACION 7
Por tanto, el sistema que tenemos que resolver sera,
5a + 33b + 377c = 18
33a + 377b + 5169c = 136377a + 5169b + 75809c = 1722
a = 4.08582
b = 0.45685c = 0.03355
Luego, la solucion vendra dada por
y = 4.08582 0.45685x + 0.03355x2
8. Hallar la funcion del tipo
g(x) = a
x +b
x
que mejor se ajuste, mediante el criterio de los mnimos cuadrados, a los datos
(1, 2) , (2, 4) , (3, 0).
SOLUCION:
Matricialmente el sistema que tenemos que resolver vendra dado por
3i=1
xi
3i=1
1xi
3i=1
xi
3i=1
1
x2i
a
b
=
3i=1
xi yi
3i=1
1
xiyi
Construimos la siguiente tabla
xi 1/
xi 1/x2i
xi yi yi/xi
1 1 1 2 22 0.7071 0.25 5.65685 24 0.5 0.0625 0 07 2.20711 1.3125 7.65685 4
Por tanto, el sistema que tenemos que resolver sera,7a + 2.20711b = 7.65685
2.20711a + 1.3125b = 4
a = 0.43556b = 2.20774
Luego, la solucion vendra dada por
y = 0.43556
x +2.20774
x.
9. En la siguiente tabla aparecen recogidos los datos de poblacion de un pequeno barrio deuna ciudad en un periodo de 20 anos. Como ingeniero que trabaja en una compana deservicio debes pronosticar la poblacion que habra dentro de 5 anos, para poder anticiparla demanda de energa. Emplea un modelo exponencial y regresion lineal para hacer estaprediccion.
t 0 5 10 15 20p 100 212 448 949 2009
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8 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
SOLUCION:
Pretendemos ajustar una funcion del tipo
p = a ebt .
Se trata de un modelo de aproximacion no lineal. Tomando logaritmos y denotando P = ln p yA = ln a se llega al modelo lineal
lnp = ln
a ebt
= ln a + b t P = A + b t.Ahora nuestro objetivo sera ajustar una funcion del tipo P = A + b t al conjunto de datos (ti, Pi).Matricialmente el sistema que tenemos que resolver sera
5i=1
15
i=1
ti
5
i=1
ti
5
i=1
t2i
A
b
=
5i=1
Pi
6
i=1
tiPi
Construimos la siguiente tabla
ti pi Pi = lnpi t2i tiPi0 100 4.6052 0 05 212 5.3566 25 26.783
10 448 6.1048 100 61.04815 949 6.8554 225 102.83120 2009 7.6054 400 152.10850 30.5274 750 342.77
Por tanto, el sistema que tenemos que resolver sera,
5A + 50b = 30.527450A + 750b = 342.77
A = 4.60564 a = eA = e4.60564 = 100.0470b = 0.149984
Luego, la solucion vendra dada por
p(t) = 100.0470 e0.149984 t.
La poblacion estimada en los proximos 5 anos se obtendra calculando p(25). En nuestro caso,
p(25) = 100.0470e3.7496 4252.
2. Resolucion numerica de ecuaciones
10. Probar que la ecuacion
ex 2ex = 0tiene una unica solucion real. Obtenerla mediante el metodo de Newton-Raphson (3 it-
eraciones). Utiliza 5 cifras decimales en los calculos.
SOLUCION:
Consideramos la funcion
f(x) = ex 2ex.Buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo
f(0) = 1 , f(1) = 1.9825
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2. RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES 9
Puesto que f es una funcion continua, el teorema de Bolzano nos garantiza la existencia de almenos una solucion en el intervalo (0, 1). Ademas se tiene que
f(x) = ex + 2ex = 0 , x IR,por lo que la solucion es unica.
Apliquemos el metodo de Newton para obtener de forma aproximada la solucion.
xn+1 = xn f(xn)f(xn)
, n 0.
Elegimos como punto de arranque un x0 [0, 1] tal que f(x0)f(x0) > 0. En este caso, puestoque
f(x) = ex 2ex,
podemos tomar como punto de arranque cualquier x0 [0, 1].Partiendo de x0 = 0 generamos las siguientes aproximaciones
x0 = 0
x1 = x0 f(x0)f(x0)
= 0 f(0)f(0)
= 13
= 0.33333
x2 = x1 f(x1)f(x1)
= 0.33333 f(0.33333)f(0.33333)
= 0.34654
x3 = x2 f(x2)f(x2)
= 0.34654 f(0.34654)f(0.34654)
= 0.34657
En este caso, podemos resolver algebraicamente la ecuacion para obtener la solucion exacta.
ex 2ex = 0 e2x 2 = 0 x = 12
ln2 = 0.346573590279972
11. Aproximar mediante el metodo de la regula falsi la raz de la ecuacion
x3 2x2 5 = 0
en el intervalo [1, 4], realizando 5 iteraciones y utilizando cinco cifras decimales.
SOLUCION:
Definimos la funcion f(x) = x3 2x2 5. Puesto que f(1) = 6 y f(4) = 27, el teorema deBolzano nos garantiza la existencia de al menos una solucion en el intervalo (1, 4). Ademas, puesto
quef(x) = 6x 4 > 0 , x [1, 4],
la funcion f es convexa en [1, 4]. Esto nos asegura que hay solucion unica en [1, 4] y que el metodode regula falsi es convergente. Generamos las aproximaciones
xn = an f(an)(bn an)f(bn) f(an) , n = 0, 1,
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10 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
partiendo de a0 = 1, b0 = 4. Los valores an y bn se eligen en cada paso de forma que f(an)f(bn) 0. Puesto que f(x) = 1/x2podemos tomar como punto de arranque x0 = 4.
x0 = 4
x1 = x0 f(x0)f(x0)
= 4 f(4)f(4)
= 3.181725815
x2 = x1 f(x1)f(x1)
= 3.181725815 f(3.181725815)f(3.181725815)
= 3.146284844
x3 = x2 f(x2)f(x2)
= 3.146284844 f(3.146284844)f(3.146284844)
= 3.146193221
14. Resolver la ecuacion diferencial
y
+ y
3y
y = 0.SOLUCION:
El conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial anterior se obtiene resolviendola ecuacion caracterstica
r3 + r2 3r 1 = 0.
Dado que la ecuacion es polinomica de grado impar sabemos que tiene al menos una solucionreal. Las posibles soluciones racionales de esta ecuacion son 1. La comprobacion mediante laregla de Ruffini nos revela que ninguna de ellas es solucion. Hemos de buscar, por tanto, races
irracionales. En este caso, la regla de Ruffini no es operativa. Afortunadamente podemos obteneruna solucion aproximada utilizando el metodo de Newton-Raphson.
Comenzamos definiendo la funcion f(r) = r3 + r2 3r 1 y buscamos un intervalo donde hayaalternancia de signo.
f(1) = 2 , f(2) = 5
Tenemos, por tanto, asegurada la existencia de solucion en el intervalo [1, 2]. Ademas,
f(r) = 3r2 + 2r 3
cuyas races son 1.38742588672 y 0.72075922005, por lo que f(x) = 0, x [1, 2]. Esto nosgarantiza que la solucion en [1, 2] es unica. Generamos las aproximaciones
rn+1 = rn f(rn)f(rn)
, n = 0, 1,
partiendo de un punto r0 [1, 2] tal que f(r0)f(r0) > 0.
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2. RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES 13
Puesto que f(r) = 6r 2, entonces f(2)f(2) > 0. Podemos tomar r0 = 2.r0 = 2
r1 = r0 f(r0)f(r0)
= 2 f(2)f(2)
= 1.6153846154
r2 = r1 f(r1)f(r1)
= 1.6153846154 f(1.6153846154)f(1.6153846154)
= 1.4939568508
r3 = r2 f(r2)f(r2)
= 1.4939568508 f(1.4939568508)f(1.4939568508)
= 1.4813275882
r4 = r3 f(r3)f(r3)
= 1.4813275882 f(1.4813275882)f(1.4813275882)
= 1.4811943189
r5 = r4 f(r4)f(r4)
= 1.4811943189 f(1.4811943189)f(1.4811943189)
= 1.4811943041
r6 = r5
f(r5)
f
(r5)
= 1.4811943041
f(1.4811943041)
f
(1.4811943041)
= 1.48119430409
Podemos tomar como solucion r 1.48119430409. Ahora para determinar las otras solucionesaplicamos la regla de Ruffini
1 1 -3 -11.48119430409 1.48119430409 3.67513087056 0.999999999989
1 2.48119430409 0.67513087056 -0.000000000011
y resolvemos la ecuacion
r2 + 2.48119430409r + 0.67513087056 = 0
r = 0.31110781746r = 2.17008648663
La solucion general de la ecuacion diferencial sera
y = c1e1.48119430409x + c2e
0.31110781746x + c3e2.17008648663x , c1, c2, c3
IR .
15. La velocidad hacia arriba de un cohete se puede calcular usando la siguiente formula
v = u lnm0
m0 q t g t,
donde v = velocidad hacia arriba, u = la velocidad con la que el combustible sale relativaal cohete, m0 = masa inicial del cohete en el tiempo t = 0, q = razon de consumo decombustible y g = aceleracion hacia abajo debido a la gravedad (considerese la gravedadconstante = 9.8 m/s2). Si u = 2200 m/s, m0 = 160000 Kg y q = 2680 Kg/s, calcule eltiempo para el cual v = 1000 m/s.
SOLUCION:
Se trata de resolver la ecuacion
1000 = 2200 ln
160000160000 2680 t
9.8 t
Simplificando se llega a la ecuacion equivalente
0.00445454545454 t + ln(4000 67 t) 7.83950418556 = 0 .Definimos la funcion
f(t) = 0.00445454545454 t + ln(4000 67 t) 7.83950418556
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14 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
y buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo
f(25) = 0.0233348 , f(26) = 0.00145126.Luego existe una solucion en el intervalo [25, 26]. Ademas,
f[t] = 0.00445454545454 674000 67t = 0 , t > 0,
lo que nos asegura que la solucion buscada es unica.
Generamos las aproximaciones mediante el algoritmo
tn+1 = tn f(tn)f(tn)
, n = 0, 1,
partiendo de un punto inicial t0 [25, 26] tal que f(t0)f(t0) > 0. En nuestro caso f(t) =4489/(4000 67t)2, por lo que f(26)f(26) > 0 y podemos tomar, t0 = 26.
t0 = 26
t1 = t0 f(t0)f(t0)
= 26 f(26)f(26)
= 25.9424508478
t2 = t1 f(t1)f(t1)
= 25.9424508478 f(25.9424508478)f(25.9424508478)
= 25.9423929821
t3 = t2 f(t2)f(t2)
= 25.9423929821 f(25.9423929821)f(25.9423929821)
= 25.9423929820
La solucion aproximada sera t 25.9423929820.
3. Derivacion e Integracion Numerica
16. Obtener la derivada segunda en x = 3.7 para la funcion f(x) de la que se conocen los
siguientes datosxi 1 1.8 3 4.2 5
f(xi) 3.00 4.34 6.57 8.88 10.44
SOLUCION:
Calculamos el polinomio de interpolacion de la funcion f para el conjunto de datos.
xi f(xi)1.0 3.00
1.6751.8 4.34 0.0916667
1.85833 -0.01996533.0 6.57 0.027778 0.00379774
1.925 -0.004774314.2 8.88 0.0125
1.955.0 10.44
El polinomio de interpolacion vendra dado por
p(x) = 3 + 1.675(x 1) + 0.0916667(x 1)(x 1.8) 0.0199653(x 1)(x 1.8)(x 3) +0.00379774(x 1)(x 1.8)(x 3)(x 4.2)
= 1.68395 + 1.03148 x + 0.338715 x2 0.0579427 x3 + 0.00379774 x4
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3. DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA 15
Ahora podemos estimar el valor de f(3.7) evaluando p(3.7). En nuestro caso,
p(x) = 1.03148 + 0.677431 x 0.173838 x2 + 0.05191 x3
p
(x) = 0.677431 0.347656 x + 0.0455729 x2Luego,
f(3.7) 0.677431 0.347656 (3.7) + 0.0455729 (3.7)2 = 0.014991717. Dado un circuito con un voltaje V(t), una inductancia L y una resistencia R, la primera
ley de Kirchoff que lo modela es
V = LdI
dt+ RI.
La siguiente tabla recoge los valores experimentales de I correspondientes a varios tiempost dados en segundos.
Si la inductancia L es constante e igual a 0.97 henrios y la resistencia R es de 0.14ohmios, aproximar el voltaje V cuando t = 0.97.
t 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.0I 0.90 1.92 2.54 2.88 3.04 3.10
SOLUCION:
Dado que conocemos I(0.97) = 2.54, el problema se reduce a calcular I(0.97). Para ello calculamosel polinomio de interpolacion p(t) para el conjunto de datos de la tabla anterior. La derivada deeste polinomio para t = 0.97 nos dara una estimacion de I(0.97).
ti Ii0.95 0.90
102
0.96 1.92 -200062 20000.97 2.54 -1400 -250000/3
34 50000/3 00.98 2.88 -900 -250000/3
16 40000/30.99 30.4 -500
61.00 3.10
El polinomio de interpolacion vendra dado por
p(t) = 0.90 + 102(t 0.95) 2000(t 0.95)(t 0.96) +20000(t 0.95)(t 0.96)(t 0.97) 250000
3(t 0.95)(t 0.96)(t 0.97)(t 0.98)
=
91858.4 + 358719.83 t
525191.67 t2 + 341666.67 t3
250000
3t4 .
Luego,
p(t) = 358719.83 1050383.33 t + 1025000 t2 333333.33 t3
Evaluando en t = 0.97 se tiene
I(0.97) p(0.97) = 358719.83 1050383.33(0.97) + 1025000 (0.97)2 333333.33(0.97)3 = 46.1667
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16 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
Por tanto,
V(0.97) = 0.97 I(0.97) + 0.14 I(0.97) = 0.97(46.1667) + 0.14(2.54) = 45.1373
18. Utilizar la formulas usuales de derivacion numerica para calcular un valor aproximado dela derivada de la funcion f(x) = (1 + x)ex en el punto x = 0.6 para h = 0.1, 0.01, 0.001.Comparar los resultados obtenidos con el valor exacto.
SOLUCION:
En nuestro caso se tiene que
f(x) = ex + (1 + x)ex = (2 + x)ex .
Por tanto,
f(0.6) = (2 + 0.6)e0.6 = 4.737508881015323
Al aplicar la formulas de derivacion numerica se obtiene
f(0.6)
f(0.6 + h)
f(0.6)
h
h Valor aproximado Error0.1 5.0798952207499504 0.3423863397346274
0.01 4.7704471413621885 0.0329382603468655330.001 4.7407900922387114 0.003281211223388425
f(0.6) f(0.6 + h) f(0.6 h)2h
h Valor aproximado Error0.1 4.7514884832480853 0.013979602232762289
0.01 4.7376485777921973 0.000139696776874309590.001 4.7375102779729783 0.13969576553307661 105
f(0.6) 4f(0.6 + h) 3f(0.6) f(0.6 + 2h)2h
h Valor aproximado Error0.1 4.7068724881917579 0.030636392823565117
0.01 4.7372269244113419 0.000281956603981114990.001 4.7375060845467054 0.27964686175607767 105
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3. DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA 17
19. De una funcion f conocemos los siguientes datos
x 0 1 2 3
f(x) 2 -2 -1 0
Calcular un valor aproximado de
3
0
f(x)dx a partir de:
(a) Un polinomio de interpolacion, a lo sumo de grado tres, p(x) obtenido de dichosdatos.
(b) La recta y(x) que mejor se ajusta a estos datos en el sentido de los mnimos cuadra-dos.
(c) La regla del trapecio compuesta.SOLUCION:
(a) Construimos la tabla de diferencias divididas
xi f(xi)0 2 41 2 5
21 562 1 0
13 0
El polinomio de interpolacion sera
p(x) = 2 4x + 52
x(x 1) 56
x(x 1)(x 2) = 2 496
x + 5 x2 56
x3
Luego,
3
0
f(x)dx 3
0
p(x)dx = 3
0 2 49
6x + 5 x2 5
6x3 dx =
21
8
(b) Se trata de ajustar una funcion del tipo y(x) = a + b x al conjunto de datos (xi, yi) dondeyi = f(xi). Los coeficientes a y b se obtienen resolviendo el sistema
4i=1
14
i=1
xi
4i=1
xi
4i=1
x2i
a
b
=
4i=1
yi
4i=1
xiyi
Para ello construimos la siguiente tabla
xi yi x2i xiyi
0 2 0 0
1 -2 1 -22 -1 4 -23 0 9 06 -1 14 -4
Luego, 4a + 6b = 16a + 14b = 4 a =
1
2, b = 1
2
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3. DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA 19
21. Obtener un valor aproximado de
0
sen x dx utilizando:
(a) El metodo de Simpson.
(b) El polinomio de interpolacion en los puntos 0, /2, .Explicar razonadamente lo que sucede en los apartados anteriores.
SOLUCION:
(a)
0
sen x dx 06
f(0) + 4f
2
+ f()
=
6[0 + 4 1 + 0] = 2
3
(b) Calculamos el polinomio de interpolacion de la funcion f(x) = sen x en los puntos x =0, /2, . Para ello construimos la tabla de diferencias divididas
xi f(xi)0 0
2//2 1 4/22/
0
El polinomio de interpolacion vendra dado por
p(x) =2
x 4
2x
x 2
= 4
2x(x ).
Luego,
0
sen x dx
0 4
2x(x
) dx =
4
2x3
3
x2
2
0
=2
3
No es casualidad la coincidencia de resultados en los apartados (a) y (b), puesto que la f ormulade Simpson,
ba
f(x)dx =b a
6
f(a) + 4f
a + b
2
+ f(b)
,
se obtiene precisamente integrando el polinomio de interpolacion de la funcion f en los puntos
a, (a + b)/2 , b. En nuestro caso, estos puntos se corresponden con 0, /2, .
22. Estimar mediante la regla de Simpson el valor de la integral
10
cos xdx
dividiendo el intervalo de integracion en dos subintervalos iguales y utilizando en loscalculos seis cifras decimales redondeadas.
SOLUCION:
Dividimos el intervalo [0, 1] en los subintervalos
0, 12
y1
2, 1
. Ahora aplicamos la formula de
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20 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
Simpson para estimar el valor de la integral en cada uno de los subintervalos.
10
cos
x dx = 1
2
0
cos
x dx + 11
2
cos
x dx
1
2 06
f(0) + 4f
1
4
+ f
1
2
+
1 12
6
f
1
2
+ 4f
3
4
+ f(1)
=
1
12
f(0) + 4f
1
4
+ 2f
1
2
+ 4f
3
4
+ f(1)
=
1
12[1 + 4(0.877583) + 2(0.760244) + 4(0.647860) + 0.54302] = 0.763547
En este caso podemos calcular el valor exacto de la integral. En efecto, efectuando el cambio devariable x = t2 se obtiene:
10
cos x dx = x = t2
dx = 2t dt =10
2t cos t dt = u = 2t du = 2 dtdv = cos t dt v = sen t
= [2t sen t + 2 cos t]1
0= 2 sen 1 + 2 cos 1 2 = 0.763547.
4. Resolucion numerica de ecuaciones diferenciales
23. Consideremos el problema de valores iniciales
y = x2y 1.2y , y(0) = 1 .(a) Resolverlo de manera analtica.(b) Calcular una solucion aproximada en el intervalo [0, 2] aplicando el metodo de Euler
conh = 0.5, h = 0.25 y h = 0.1. Comparar los resultados obtenidos con los valoresexactos.
SOLUCION:
(a) La ecuacion diferencial puede resolverse mediante separacion de variables
dy
dx= (x2 1.2)y dy
y= (x2 1.2)dx.
Por integracion se llega a
ln y =1
3x2 1.2 x + c y = k e 13x21.2x.
Al imponer las condiciones iniciales, y(0) = 1, se obtiene k = 1, luego la solucion vendradada por
y(x) = e1
3x21.2x.
(b) Tomando la funcion f(x, y) = x2y 1.2y, el metodo de Euler con paso h nos proporcionalas aproximaciones
yk+1 = yk + h f(xk, yk) = yk + h(x2kyk 1.2yk) , k = 0, 1, ,
partiendo de y0 = y(0) = 1, donde xk = k h.
-
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4. RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 21
Para h = 0.5 se generan las siguientes aproximaciones
k xk yk y(xk) ek = |yk y(xk)|0 0 1. 1. 01 0.5 0.4 0.5721618727 0.17216187272 1.0 0.21 0.4203503845 0.21035038453 1.5 0.189 0.5091564206 0.32015642064 2.0 0.288225 1.305605172 1.017380172
Para h = 0.25 se generan las siguientes aproximaciones
k xk yk y(xk) ek = |yk y(xk)|0 0.00 1. 1. 01 0.25 0.7 0.7446867144 0.044686714372 0.50 0.5009375 0.5721618727 0.071224372743 0.75 0.3819648437 0.4679588099 0.085993966144 1.00 0.3210891968 0.4203503845 0.09926118773
5 1.25 0.3050347369 0.4278603878 0.12282565096 1.50 0.33267851 0.5091564206 0.17647791067 1.75 0.4200066188 0.7308539261 0.31084730738 2.00 0.6155722007 1.305605172 0.6900329713
Para h = 0.1 se generan las siguientes aproximaciones
k xk yk y(xk) ek = |yk y(xk)|0 0.0 1. 1. 01 0.1 0.88 0.8872161261 0.0072161261422 0.2 0.77528 0.7887283347 0.013448334753 0.3 0.68534752 0.7039837539 0.018636233864 0.4 0.6092739453 0.6321259184 0.022851973145 0.5 0.545909455 0.5721618727 0.026252417776 0.6 0.4940480567 0.5230909131 0.029042856357 0.7 0.45254802 0.4840017935 0.031453773538 0.8 0.4204171106 0.4541474594 0.033730348799 0.9 0.3968737524 0.4330075996 0.0361338472710 1. 0.381395676 0.4203503845 0.0389547084811 1.1 0.3737677625 0.416306574 0.0425388115212 1.2 0.3741415303 0.4214728148 0.047331284513 1.3 0.383120927 0.4370679226 0.0539469956114 1.4 0.4018938524 0.4651788455 0.0632849930915 1.5 0.4324377852 0.5091564206 0.076718635416 1.6 0.4778437527 0.5742636505 0.0964198978617 1.7 0.542830503 0.6687577893 0.125927286318 1.8 0.634568858 0.8057353019 0.1711664439
19 1.9 0.7640209051 1.006353431 0.242332526220 2.0 0.9481499432 1.305605172 0.3574552289
24. Usar el metodo de Euler con h = 0.2 para estimar la solucion del siguiente problema devalor inicial en x = 2
y = ey , y(1) = 0
SOLUCION: Tomamos la funcion f(x, y) = ey y generamos las aproximaciones
yk+1 = yk + h f(xk, yk) = yk + h eyk , k = 0, 1,
-
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22 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO
partiendo de y0 = y(1) = 2. En este caso, xk = 1 + k h. Las aproximaciones obtenidas se recogenen la siguiente tabla
k xk yk
0 1 01 1.2 0.22 1.4 0.44428055163 1.6 0.75615413314 1.8 1.1821678315 2. 1.834455188
El valor aproximado de y(2) obtenido viene dado por
y(2) 1.83445518825. Utilizar el metodo de Euler mejorado con h = 0.2 para obtener un valor aproximado de
y(1) en el problema de valores iniciales
y = 3x2 , y(0) = 0.
Comparar con el resultado exacto.
SOLUCION:
La solucion de la ecuacion diferencial y = 3x2 viene dada por y = x3 + c. Al imponer la condicioninicial, y(0) = 0, se obtiene y = x3.
Consideramos ahora la funcion f(x, y) = 3x2. Las aproximaciones generadas por el metodo deEuler mejorado o metodo del trapecio vienen dadas por
yk+1 = yk +h
2[f(xk, yk) + f(xk + h, yk + h f(xk, yk))] , k = 0, 1,
partiendo de y0 = y(0) = 0, donde xk = k h. En la practica se calcula yk+1 en la forma
yk+1 = y
k+
h
2(K1 + k2)
dondeK1 = f(xk, yk) K2 = f(xk + h, yk + h K1).
Las aproximaciones obtenidas se recogen en la siguiente tabla
k xk K1 K2 yk y(xk) |yk y(xk)|0 0 0 0 01 0.2 0 0.12 0.012 0.008 0.0042 0.4 0.12 0.48 0.072 0.064 0.0083 0.6 0.48 1.08 0.228 0.216 0.0124 0.8 1.08 1.92 0.528 0.512 0.0165 1. 1.92 3. 1.02 1. 0.02
26. Utilizar el metodo de Runge-Kutta para obtener un valor aproximado de y(0.5) para el
siguiente problema de valor inicial y comparar con la solucion exacta.
y = y2 , y(0) = 1 , h = 0.1
SOLUCION:
Resolviendo la ecuacion diferencial por separacion de variables se obtiene
dy
y= dx 1
y= x + c y = 1
x c
-
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4. RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 23
Al imponer la condicion inicial, y(0) = 1, se obtiene c = 1. La solucion sera, por tanto,y(x) =
1
1 x.
Tomando la funcion f(x, y) = y2, el metodo de Runge-Kutta genera las siguientes aproximaciones
yk+1 = yk +h
6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4) , k = 0, 1,
donde
K1 = f(xk, yk)
K2 = f
xk +
1
2h, yk +
1
2h K1
K3 = f
xk +
1
2h, yk +
1
2h K2
K4 = f(xk + h, yk + h K3)
partiendo de y0 = y(0) = 1 y tomando xk = k h.Los resultados se recogen en la siguiente tabla
k xk K1 K2 K3 K4 yk y(xk) |yk y(xk)|0 0 1. 1. 01 0.1 1.0 1.1025 1.1133 1.2350 1.11111049 1.11111111 0.6211062 0.2 1.2345 1.3755 1.3921 1.5633 1.24999799 1.25 0.2011053 0.3 1.5625 1.7639 1.7907 2.0422 1.42856618 1.42857142 0.5231054 0.4 2.0408 2.3428 2.3892 2.7805 1.66665326 1.66666667 0.000013415 0.5 2.7777 3.26 3.3476 4.0057 1.99996326 2. 0.00003674