naČrtovanje robustnega regulatorja z metodo qft - … · my learning of qft began in 1990 and i...
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Dalibor Igrec
NAČRTOVANJE ROBUSTNEGA REGULATORJA Z METODO QFT
Magistrsko delo
Maribor, januar 2010
Avtor: Dalibor Igrec, univ. dipl. inž. el.
Naslov: Načrtovanje robustnega regulatorja z metodo QFT
Naslov v angleščini: Robust control design with QFT
UDK: 681.5.015.8(043.3)
Ključne besede: metoda QFT, Nicholsov diagram, negotovost parametrov, vzorec objekta, robustna stabilnost
Število strani: 121
Obdelava besedila: Dalibor Igrec, univ. dipl. inž. el.
Razmnoževanje: Laboratorij za sisteme in vodenje, UM FERI Maribor
Število izvodov: 8
Kraj in datum: Maribor, januar 2010
My learning of QFT began in 1990 and I was captivated by its simplicity and brilliance. I jumped in at once, and since then have been learning, teaching, and applying this
wonderfully practical tool at IIT Bombay. I have just this much to say to the memory of Professor Horowitz (1920-2005): “Thank you, sir for this wonderful invention.”
Professor P. S. V. Nataraj of IIT, Bombay, India
Zahvala
Za pomoč in koristne nasvete pri magistrskem delu se iskreno
zahvaljujem komentorju dr. Amorju Chowdhuryu. Povrhu tega se
zahvaljujem tudi mentorju izr. prof. dr. Rajku Svečku ter družini, ki mi je
ves čas stala ob strani.
Načrtovanje robustnega regulatorja z metodo QFT
UDK: 681.5.015.8(043.3)
Ključne besede: metoda QFT, Nicholsov diagram, negotovost parametrov, vzorec objekta,
robustna stabilnost
Povzetek:
Načrtovanje regulatorja v frekvenčni domeni po Horowitzovi [2] metodi, oziroma metodi
QFT, se je izkazala za učinkovito pri razvoju robustnih regulatorjev za doseganje standardnih
zahtev frekvenčne domene tako pri sistemih z enim vhodom in enim izhodom (SISO) kot pri
sistemih z več vhodi in več izhodi (MIMO). Razlog za učinkovitost metode QFT je neposredno
upoštevan problem zmanjšanja negotovosti objekta. Namen naloge je predstaviti načrtovanje
regulatorja s metodo QFT, ki je verjetno edina znana tehnika načrtovanja vodenja, kjer je zajeto
hkratno upoštevanje faze in negotovosti objekta. Prednost metode je možnost doseganja
robustne stabilnosti ter robustnega učinka z minimalnim učinkom povratne vezave [7]. Metoda
QFT je grafično-analitični postopek načrtovanja vodenja, ki zahteva precej predpriprav pri
oblikovanju vzorcev objekta ter empiričnih izkušenj, obenem pa daje načrtovalcu precej
manevrskega prostora in direktnega vpogleda v spremembe regulatorja pri načrtovanju.
Temeljna ovira metode je določanje mej objekta v Nicholsovem diagramu, saj izračun mej
metode QFT eksponentno narašča z natančnostjo vzorca objekta. Za nazornejšo predstavitev
metode je predstavljen eksperiment na realnem objektu, kjer je izvedeno vodenje sistema z
regulatorjem načrtovanim s metodo QFT. Dobljeni rezultati so primerjani z rezultati vodenja
sistema z regulatorjem načrtovanim po metodi H∞.
Robust control design with QFT
UDK: 681.5.015.8(043.3)
Keywords: QFT design, Nichols chart, parameter uncertainty, plant template, robust
stability
Abstract:
The frequency domain controller design methodology by Horowitz [2], namely
quantitative feedback theory (QFT), has proved to be very effective in terms of designing robust
controllers to meet standard frequency domain specifications for both single input single-output
(SISO) and multiple-input multiple-output (MIMO) systems. The reason for this is that QFT
directly addresses the plant uncertainty reduction issue, the primary reason for feedback; hence
allowing for the minimum energy to be demanded from a plant to meet certain performance
specifications. The aim of the present work is to present the usage of the QFT method for the
controller design. It is a graphic technique for designing feedback controllers which is probably
the only known technique that simultaneously considers large parametric uncertainty and phase
information. The ability to satisfy robust stability and different performance constraints with the
minimum possible cost of feedback [7] is the biggest advantage of the method. The downside is
that the method, though systematic and powerful in hands of an experienced control engineer,
has only recently lent itself to a formal mathematical form as is the case with the more recent
paradigms such as H∞ control and µ-synthesis. A major advantage of QFT is that the design is
performed in the frequency domain. This enables a good insight into the plant operation and
difficulties that may arise during the controller design. Uncertainties can be caused either by
changing the plant characteristics or ambient conditions or by unknown external disturbances.
QFT starts by defining the plant and then specifying its uncertainties. The defined uncertainties
are then used to determine the differential gain and phase from the nominal ones, over the range
of frequencies through which the plant operates. At each distinct frequency, differential gains
and phases are used to generate the Plant template. The given example illustrates the steps taken
in the QFT controller design. To allow for a more illustrative presentation we made an
experiment with a real object with the controller designed according to the QFT method. In the
work we show the complete procedure of the QFT design from the model analysis to the
controller design. At the end we also compared the system performances of the QFT and H∞
controller design.
Kazalo
POVZETEK............................................................................................................................................................... 5
ABSTRACT ............................................................................................................................................................... 6
KAZALO .................................................................................................................................................................... 7
KAZALO SLIK .........................................................................................................................................................10
1 UVOD...............................................................................................................................................................13 1.1 Vsebina naloge po poglavjih......................................................................................................15
2 TEORIJA VODENJA SISTEMOV..................................................................................................................17 2.1 Postopek načrtovanja vodenja sistemov......................................................................................17
2.1.1 Regulacijski problem........................................................................................................18 2.1.2 Prenosne funkcije in frekvenčne karakteristike..................................................................20
2.2 Vodljivost in spoznavnost sistemov ...........................................................................................20 2.2.1 Vodljivost sistemov..........................................................................................................21 2.2.2 Spoznavnost sistemov ......................................................................................................21
2.3 Modeliranje in simulacija ..........................................................................................................21 2.4 Analiza sistemov v frekvenčni domeni.......................................................................................24
2.4.1 Polarni diagram................................................................................................................24 2.4.2 Nicholsov diagram ...........................................................................................................25
2.5 Stabilnost regulacijskih sistemov ...............................................................................................26 2.5.1 Nyquistov stabilnostni kriterij...........................................................................................27
2.6 Občutljivost in komplementarna občutljivost sistema .................................................................29 2.7 Odstopanja ................................................................................................................................30
2.7.1 Strukturna odstopanja.......................................................................................................30 2.7.2 Parametrična odstopanja...................................................................................................31
2.8 Analiza stabilnosti .....................................................................................................................32 2.8.1 Analiza stabilnosti s Khartionovim teoremom...................................................................32 2.8.2 Analiza stabilnosti z mejnim teoremom ............................................................................32
3 TEORIJA REGULIRANIH SISO SISTEMOV...............................................................................................34 3.1 Uvod .........................................................................................................................................34 3.2 Osnovne lastnosti frekvenčne domene........................................................................................34
3.2.1 Relativna stabilnost, frekvenca fazne rezerve, pasovna širina ............................................35 3.2.2 Pogojno stabilni sistemi....................................................................................................36 3.2.3 Visoko frekvenčno ojačanje..............................................................................................36
3.3 Lastnosti zaprte zanke................................................................................................................38 3.3.1 Časovna domena ..............................................................................................................39
8
3.3.2 Frekvenčna domena..........................................................................................................39 3.3.3 Preslikava lastnosti sistema iz časovne v frekvenčno domeno............................................40
3.4 Omejitve učinkovitosti objektov z neminimalno fazo (NMP)......................................................44 3.4.1 Stabilni objekti .................................................................................................................44 3.4.2 Nestabilni objekti .............................................................................................................50
4 OPIS METODE QFT.......................................................................................................................................58 4.1 Uvod .........................................................................................................................................58
4.1.1 Različni pristopi pri oblikovanju vzorca............................................................................58 4.1.2 Ekstrakcija mejne linije ....................................................................................................61 4.1.3 Oblikovanje mejne linije...................................................................................................61 4.1.4 Povzetek ..........................................................................................................................63
4.2 Oblikovanje vzorcev..................................................................................................................63 4.2.1 Izračun meje vzorca .........................................................................................................64 4.2.2 Dokaz ..............................................................................................................................67 4.2.3 Opombe ...........................................................................................................................69
4.3 Princip načrtovanja....................................................................................................................70 4.4 Potek načrtovanja ......................................................................................................................73
4.4.1 Mejni krivulji ...................................................................................................................73 4.4.2 Izbrane frekvence.............................................................................................................74 4.4.3 Vzorci objekta..................................................................................................................74 4.4.4 Nominalni model..............................................................................................................76 4.4.5 Meje robustne stabilnosti in robustnega učinka .................................................................76 4.4.6 Spreminjanje oblike..........................................................................................................80 4.4.7 Načrtovanje predfiltra.......................................................................................................84
5 EKSPERIMENT ..............................................................................................................................................85 5.1 Modeliranje objekta...................................................................................................................85 5.2 Načrtovanje regulatorja..............................................................................................................93
5.2.1 Lineariziran model objekta ...............................................................................................93 5.2.2 Zahteve vodenja ...............................................................................................................94 5.2.3 Mejni krivulji ...................................................................................................................94 5.2.4 Nominalni model..............................................................................................................96 5.2.5 Izbrane frekvence.............................................................................................................96 5.2.6 Vzorci objekta..................................................................................................................97 5.2.7 Meje robustne stabilnosti..................................................................................................97 5.2.8 Meje robustnega učinka....................................................................................................98 5.2.9 Spreminjanje oblike..........................................................................................................99 5.2.10 Načrtovanje predfiltra ...............................................................................................105
5.3 Rezultati..................................................................................................................................106
6 PRIMERJAVA METOD QFT IN H∞ ............................................................................................................110 6.1 Metoda H∞ ..............................................................................................................................110 6.2 Metoda QFT............................................................................................................................111 6.3 Primerjava metod ....................................................................................................................111 6.4 Primerjava delovanja regulatorjev............................................................................................112
9
6.5 Sklep.......................................................................................................................................112
7 ZAKLJUČEK.................................................................................................................................................114
8 LITERATURA...............................................................................................................................................115
ŽIVLJENJEPIS.......................................................................................................................................................121
10
Kazalo slik
Slika 2.1: Odnos med sistemom, modeliranjem in simulacijo....................................................... 22 Slika 2.2: Polarni diagram ........................................................................................................... 25 Slika 2.3: Regulacijski sistem...................................................................................................... 28 Slika 2.4: Kompleksna preslikava................................................................................................ 29 Slika 2.5: Struktura zaprtozančnega sistema ................................................................................ 29 Slika 3.1: Zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama ................................................ 34 Slika 3.2: Nicholsov diagram sistema z odprto zanko s prikazanimi parametri ............................. 35 Slika 3.3: Različne odprte zanke sistemov s različnimi odzivi pri visokih frekvencah .................. 37 Slika 3.4: Graf prenosne funkcije šuma senzorja za različne tipe regulatorjev .............................. 38 Slika 3.5: Shema reguliranega sistema......................................................................................... 38 Slika 3.6: (a) Stopnični odziv mora biti med obema krivuljama, (b) prenosna funkcija
občutljivosti glede na krivulje iz (a) v frekvenčni domeni ............................................ 42 Slika 3.7: (a) Izhod objekta mora biti med krivuljama a(t) in b(t), (b) črtkana krivulja predstavlja
šibkejši pogoj .............................................................................................................. 43 Slika 3.8: Fazna rezerva proti amplitudni rezervi pri različnih vrednostih α in aφω ................ 46
Slika 3.9: Zančno ojačanje od ( )L s kjer je φω blizu maksimuma ( )1 3.5L j dBω+ > − ........... 47
Slika 3.10: Primerjava treh prenosnih funkcij kjer ( )1L s vsebuje ničlo pri 3, ( )2L s ničlo pri 6,
( )dL s pa zakasnitev 2 3T = ................................................................................... 49
Slika 3.11: Nicholsov diagram prenosne funkcije z enostavno kompleksno ničlo pri različnih faktorjih dušenja 2 1, 1ML sα = = ............................................................................. 50
Slika 3.12: Definicija zgornje in spodnje amplitudne rezerve (ML, MH), fazne rezerve (φ ), frekvence fazne rezerve ( φω ) in frekvence amplitudne rezerve ( Mω ).......................... 51
Slika 3.13: Frekvenca fazne rezerve φω in fazna rezerva φ (zgoraj) ter amplitudni rezervi
(spodaj) proti nω pri 0.5ξ = ...................................................................................... 53
Slika 3.14: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri 0.5ξ = in različnih vrednostih nω .................. 54
Slika 3.15: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri 1ξ = in različnih vrednostih nω ...................... 55
Slika 3.16: Nicholsov diagram ( )1L s in ( )2L s .......................................................................... 56
Slika 4.1: Meje tolerance za ojačanje zaprte zanke....................................................................... 71 Slika 4.2: Zaprta zanka sistema ................................................................................................... 71 Slika 4.3: Diagram poteka načrtovanja regulatorja ....................................................................... 73 Slika 4.4: Mejni krivulji v časovni in frekvenčni domeni ............................................................. 74 Slika 4.5: Območje negotovosti parametrov objekta .................................................................... 75 Slika 4.6: Vzorec objekta pri določeni frekvenci.......................................................................... 75 Slika 4.7: Preslikava meje stabilnosti izbranih frekvenc iz Bodejevega diagrama v Nicholsov
diagram....................................................................................................................... 77 Slika 4.8: U krivulja .................................................................................................................... 78 Slika 4.9: Določitev mejne linije pri izbrani frekvenci ................................................................. 79
11
Slika 4.10: Mejni liniji za fazo 0º do -360º................................................................................... 80 Slika 4.11: Nicholsov diagram za kompleksni pol na levi in kompleksno ničlo na desni strani ..... 82 Slika 4.12: Nicholsov diagram za lead in lag element .................................................................. 83 Slika 4.13: Nicholsov diagram za Notch filter za različne ξ faktorje............................................. 83 Slika 5.1: Model objekta ............................................................................................................. 85 Slika 5.2: Spreminjanje induktivnosti objekta v odvisnosti od položaja krogle ............................. 88 Slika 5.3: Izmerjena statična karakteristika F i xm ( , ) ................................................................... 89 Slika 5.4: Aproksimirana statična karakteristika F i xm ( , ) ........................................................... 89 Slika 5.5: Razlika med izmerjeno in aproksimirano statično karakteristiko ∆F i xm ( , ) .................. 90 Slika 5.6: Parameter k x1( ) ......................................................................................................... 91 Slika 5.7: Parameter k x2 ( ) ......................................................................................................... 91 Slika 5.8: Parameter k x3( ) ......................................................................................................... 92 Slika 5.9: Parameter k x4 ( ) ......................................................................................................... 92 Slika 5.10: Parameter k x5( ) ....................................................................................................... 93 Slika 5.11: Stopnični odziv zgornje in spodnje mejne prenosne funkcije ...................................... 95 Slika 5.12: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – dovoljena sprememba ojačanja zaprte
zanke v Bodejevem diagramu in ( )0P s izbran pri delovni točki x = 15 mm .............. 95
Slika 5.13: Različne vrednosti ( )R ijδ ω pri izbranih frekvencah................................................. 96
Slika 5.14: Odprto-zančni odziv v Nicholsovem diagramu z vzorci pri izbranih frekvencah objekta ........................................................................................................................ 97
Slika 5.15: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – proces načrtovanja ........................ 98 Slika 5.16: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – končni rezultat .............................. 98 Slika 5.17: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – dejanska sprememba ojačanja zaprte
zanke v Nicholsovem diagramu ................................................................................... 99 Slika 5.18: ( )L s pri ( ) 1C s = ...................................................................................................100
Slika 5.19: Povečano ojačanje na 2200.......................................................................................100 Slika 5.20: Dodan integrator 1s− ................................................................................................101 Slika 5.21: Dodana realna ničla ( 1)s + ......................................................................................101 Slika 5.22: Dodana realna ničla ( 10)s + ....................................................................................102 Slika 5.23: Dodana realna ničla ( 30)s + ...................................................................................102
Slika 5.24: Dodan kompleksni pol 6 2 3 610 ( 10 10 )s s+ + ..........................................................103
Slika 5.25: ( )L s s končnim regulatorjem ..................................................................................104
Slika 5.26: Spreminjanje oblike v Nicholsovem diagramu (vsi koraki v enem diagramu) ............104 Slika 5.27: Rezultat spreminjanja oblike v Nicholsovem diagramu .............................................105 Slika 5.28: Izbira predfiltra v Bodejevem diagramu ....................................................................106 Slika 5.29: Občutljivosti sistema za tri različne odmike krogle....................................................107 Slika 5.30: Stopnični odziv zaprte zanke sistema ........................................................................108 Slika 5.31: Primerjava odzivov v delovnem območju .................................................................109
12
Seznam kratic GM Gain margin PM Phase margin QFT Quantitative feedback theory SISO Single-input single-output MIMO Multi-input multi-output TF Transfer function LTI Linear time-invariant LTV Linear time-varying RHP Right half plane MP Minimum-phase LHP Left half plane NMP Nonminimum-phase DOF Degree-of-freedom 2DOF Two-degree-of-freedom 1DOF One-degree-of-freedom dB Decibels UHFB Universal high frequency bound
13
1 UVOD
Robustno vodenje je veja teorije vodenja sistemov, ki se ukvarja z analizo in sintezo
sistemov z zajetimi negotovostmi modela. Omenjeni problem rešuje z ustreznim načrtovanjem
regulatorja in povratne vezave. V zadnjih desetletjih so bile razvite številne metode sinteze v
robustnem vodenju, kot so H∞ metode, strukturirana singularna vrednost (»structured singular
value«) in teorija kvantitativne povratne zanke imenovana metoda QFT [2].
Načrtovanje vodenja sistemov je pogosto povezano z negotovostjo sistemov in s tem
povezanimi težavami pri uporabi ustreznih regulatorjev, vzdrževanju stabilnosti sistema in
preprečevanju neželenih učinkov kot npr. zunanjih motenj in perturbacij sistema. Za
odpravljanje učinka negotovosti se uporabljajo adaptivni regulatorji, kjer se parametri objekta
(proge) sproti identificirajo, kar ustrezno vpliva na dinamično sintezo regulatorja in robustni
regulatorji, ki upoštevajo najslabše možne pogoje celotne družine modelov objekta s stališča
negotovosti ob nespremenjenem regulatorju. Delovanja sistemov v realnosti nikoli ne poznamo
v celoti, saj se njihovo delovanje spreminja s časom zaradi staranja komponent, spreminjanja
parametrov ali spremembe delovnih pogojev (obremenitve, motnje). Cilj načrtovanja je izdelati
takšen regulator, ki bo zagotavljal stabilno in zadovoljivo performančno delovanje vodenega
sistema.
Vodenje sistemov predstavlja področje, ki je v povezavi s teorijo sistemov, teorijo
simulacij, računalništvom, robotiko, številnimi drugimi področji in s sodobno tehnologijo
odločilno krojilo razvoj številnih teoretičnih in praktičnih znanj, katerih rezultati so omogočili
povsem drugačen način življenja. Regulacija pa predstavlja pomemben in teoretično
najzahtevnejši pojem področja vodenja sistemov, ki je bolj kot očitno prisoten v vsakdanjem
življenju. Človeški organizem vsebuje ogromno zelo kompliciranih regulacijskih zank. V
tehniških regulacijskih sistemih pa so regulacijski algoritmi lahko zelo enostavni ali pa tudi
silno komplicirani, tako da postopki načrtovanja zahtevajo dobro poznavanje številnih zahtevnih
metod ob ustreznem predznanju matematike, fizike in teorije sistemov.
Avtomatsko vodenje je vedno igralo pomembno vlogo pri razvoju znanosti in inženirske
prakse. Razen izjemne vloge pri vodenju vesoljskih ladij, izstrelkov v vojni industriji, izvedbi
avtopilotskih sistemov v letalski industriji in vodenju robotskih sistemov, je vodenje oz.
14
avtomatska regulacija kot nekoliko ožje področje vodenja sistemov postala ključni in integralni
del sodobnih industrijskih procesov. To velja predvsem v procesni industriji za regulacijo tlaka,
temperature, vlažnosti, viskoznosti, pretoka, itd. Uporabnost se je razširila tudi na druga
področja kot npr. ekonomijo, biologijo, biomedicinske sisteme, urbanizacijo in ekologijo.
Avtomatizacija tehnološko vse bolj zahtevnih in zapletenih proizvodnih procesov
omogoča večjo produktivnost, boljšo kvaliteto izdelkov, večjo ponovljivost proizvodnje, manjšo
porabo energije ter nenazadnje tudi sociološke in ekološke izboljšave proizvodnih procesov.
Ker sta regulacija in avtomatsko vodenje osnovna gradnika avtomatizacije le-teh, je uporaba
klasičnih in sodobnih metod vodenja dinamičnih sistemov nepogrešljiva v skoraj vseh
proizvodnih procesih in predstavlja eno izmed osnov uspešne proizvodnje.
Teorija kvantitativne povratne zanke (QFT), ki jo je razvil Horowitz [1], [2], [6], [21],
[22], [23] predstavlja serijo robustnih sinteznih tehnik s povratno vezavo. Metoda QFT
načrtovanja robustnih regulatorjev [2] se je razvila v zadnjih 25 letih sistematičnega ukvarjanja
z negotovostjo modelov. Začetki reševanja problematike segajo v leto 1980, ko sta Gera in
Horowitz objavila članek o uporabi Bodejevega ojačitveno-faznega integrala za ugotavljanje
karakteristike nominalne zanke z iteracijskim postopkom [2]. Postopek ni bil vedno
konvergenčen, prav tako je bila za rešitev potrebna aproksimacija. Postopek je bil avtomatiziran
z uporabo orodja QFT Toolbox [1], ki je poenostavil postopek iteriranja in uporabo
aproksimacij višjega reda. Thompson in Nwokah [24] sta za izračunavanje uporabila nelinearne
tehnike programiranja, kjer sta meje QFT funkcij določila s pretvorbo QFT funkcij v H∞
funkcije. Bryant in Halikias [25] sta uporabila linearne tehnike programiranja, vendar so bili
njuni rezultati močno poenostavljeni in zaradi neupoštevanja polov in ničel funkcij nesposobni
zagotavljanja stabilnosti sistemov. Zhao in Jayasuriya [26] sta uporabila Youlovo
parametrizacijo za transformiranje QFT funkcije v eno-dimenzionalen problem, vendar se s tem
lahko avtomatično spreminja le en parameter regulatorja.
Metoda QFT poudarja, da je povratna vezava potrebna samo zaradi negotovosti in zato
mora biti količina povratne informacije neposredno povezana z velikostjo negotovosti in
zunanjimi motnjami [14]. Metoda QFT je primerna za objekte s negotovimi parametri tako
strukturiranimi kot nestrukturiranimi. Da bi metodo razlikovali od klasičnih in modernih teorij
vodenja, kjer so dolgo zanemarjali negotovost objekta, so kasneje dodali in poudarili besedo
kvantitativna. Metoda QFT uporablja predstavitev v obliki vhodno-izhodnega opisa, za razliko
od moderne regulacijske teorije, ki uporablja prostor stanj v časovni domeni.
Houpis [27] je povzel naslednje prednosti metode QFT:
• rezultat metode QFT je robustna konstrukcija, ki ni občutljiva na spremembe objekta,
15
• preverjanje objektov znotraj vzorca ni potrebno,
• morebitne omejitve v metodi so takoj vidne,
• dosegljive zahteve vodenja je mogoče določiti zgodaj v procesu,
• metodo je mogoče hitro prilagoditi novim zahtevam vodenja,
• struktura regulatorja je vnaprej določljiva.
Pri načrtovanju vodenja po metodi QFT kvantitativno opredelimo specifikacije
negotovosti in dovoljena odstopanja izhodnega signala v frekvenčnem delovnem področju. Cilj
metode je zagotoviti, da bo pri vsaki frekvenci izhodni signal objekta v razredu dovoljenih.
V primerjavi z ostalimi optimizacijskimi metodami načrtovanja robustnega vodenja ima
metoda QFT nekaj prednosti, kot na primer možnost upoštevanja faznih zamikov v procesu
načrtovanja ali možnost izbire med zahtevnostjo načrtovanja procesa in kompleksnostjo
regulatorja. Omenjena prednost je še posebej pomembna, saj omogoča izdelavo preprostih
regulatorjev, ki jih je v praksi mogoče enostavno implementirati.
Čeprav so številne raziskave [28], [29], [30], [31], [32] pokazale, da je pristop metode
QFT bolj splošen, pa metoda QFT ne more zagotoviti zanesljivosti in točnosti nastalih vzorcev
objektov in meja regulatorja. Zato pogosto manjka ocena napake. Težave pri metodi QFT se
pojavljajo pri izbiri končnih izbranih frekvenc, končnih približkih v oblikovanju vzorca in v
končni izbiri faz mejne linije, kot je pokazano v [33] in [34]. Težave se pojavljajo zaradi tega,
ker je metoda zasnovana na uporabi točkovnih metod, iz česar sledi:
• točkovne metode in izračuni z realnimi števili (plavajočo vejico) ne morejo
neposredno opisati sklopov, ki vsebujejo neskončno mnogo ali nepreštevno število
točk [35, 5. del],
• pri uporabi točkovnih metod ni nobene indikacije, še manj pa zagotovila, da so
rezultati pravilni ali celoviti [36].
1.1 Vsebina naloge po poglavjih
V uvodnem delu je v splošnem predstavljeno področje načrtovanja robustnih sistemov s
pregledom stanja in razvoja ter osnovnih prednosti metode QFT.
Drugo poglavje obravnava teorijo vodenja sistemov. Sem spadajo vodljivost in
spoznavnost sistemov ter modeliranje in simulacija. Predstavljena je analiza sistemov v
frekvenčnem področju s pomočjo polarnega in Nicholsonovega diagrama. Opisani so še analiza
16
stabilnosti s Khartionovim in z mejnim teoremom, strukturna in parametrična odstopanja ter
občutljivost in komplementarna občutljivost sistema.
Tretje poglavje opisuje osnovne lastnosti frekvenčne domene, v katero spadajo relativna
stabilnost, frekvenca fazne rezerve in pasovna širina. Predstavljene so lastnosti zaprte zanke v
časovnem in frekvenčnem področju. Opisani so še nestabilni in stabilni objekti.
Četrto poglavje opisuje metodo QFT. Podrobno je razložen postopek za oblikovanje
vzorcev s matematičnim izračunom, izrekom in dokazom. Opisan je še princip načrtovanja
regulatorja s pomočjo QFT metode.
Peto poglavje opisuje eksperiment, ki zajema modeliranje realnega objekta in potek
načrtovanja regulatorja po QFT metodi na tem objektu. Nato so predstavljeni rezultati, ki
zajemajo voden sistem z QFT regulatorjem in z reduciranim sub-optimalnim H∞ regulatorjem na
celotnem delovnem področju.
Šesto poglavje opisuje primerjavo metod in delovanja regulatorjev načrtovanih s metodo
QFT in H∞.
V zaključku so predstavljena sklepna razmišljanja ter smernice nadaljnjih raziskav.
17
2 TEORIJA VODENJA SISTEMOV
2.1 Postopek načrtovanja vodenja sistemov
Pri vodenju sistemov skušamo z ustreznim spreminjanjem vhodnih veličin procesa doseči
primerne odzive procesa. Pri načrtovanju mora načrtovalec zadostiti številnim ciljem, ki jih
običajno obravnavamo postopoma, v več korakih načrtovanja, [15]:
1. proučevanje sistema in pridobivanje izhodiščnih informacij o zahtevah načrtovanja,
2. modeliranje in prilagajanje modela (poenostavljanje, dopolnjevanje do primerne
kompleksnosti),
3. izbira oz. določitev vhodnih in izhodnih veličin,
4. skaliranje (normiranje) spremenljivk in analiza načrtovanega modela,
5. načrtovanje izvajanja meritev, izbira primernih senzorjev in aktuatorjev ter njihova
namestitev,
6. izbira konfiguracije sistema vodenja,
7. izbira strukture regulatorja,
8. določitev zahtev načrtovanja, ki vključujejo tudi vse predvidene omejitve,
9. načrtovanje regulatorja,
10. analiza delovanja načrtovanega zaprtozančnega sistema in preverjanje ali le-ta zadošča
vsem zastavljenim zahtevam; če temu ni tako, je potrebno ustrezno modificirati
regulator ali/in zahteve načrtovanja,
11. simulacija sistema vodenja s pomočjo računalnika ali/in s testno napravo,
12. če je potrebno, ponovimo nekatere korake načrtovanja,
13. izberemo primerno strojno in programsko opremo za končno izvedbo vodenja,
14. testiranje in vrednotenje delovanja vodenega sistema in v kolikor je potrebno, dodatno
sprotno uglaševanje.
18
V teoriji načrtovanja vodenja se običajno osredotočimo na koraka 9 in 10, to je na metode
načrtovanja regulatorjev in analizo zaprtozančnih sistemov. Zanimivo pa je, da je mnogo realnih
sistemov realiziranih brez upoštevanja teh dveh korakov.
Celo pri kompleksnih sistemih z več vhodi in izhodi je mogoče na takšen način načrtovati
delujoči zaprtozančni sistem. Pri tem je pogosto v rabi hierarhično in kaskadno načrtovanje
regulacijskih zank ob uporabi zgolj pristopov sprotnega uglaševanja (uporaba korakov 1, 3, 5, 6,
7, 13 in 14). Vsekakor pa drži, da je celo v takšnih primerih včasih težko vnaprej določiti
primerno regulacijsko strukturo. Pri tem se seveda pojavi potreba po bolj sistematičnem
pristopu in orodjih za načrtovanje.
Čeprav drži, da brez načrtovanja ni pričakovati rešitve problemov vodenja, nikoli ne
smemo zanemariti dejstva, da je analiza sistema osrednjega pomena za uspešnost reševanja. Ne
samo, da razkriva lastnosti obravnavanega procesa in s tem tudi potencialne probleme, ki jih
moremo pri delu pričakovati. Odpira tudi možnosti argumentirane izbire med številnimi
metodami načrtovanja in argumentirano izbiranje med rezultati načrtovanja, kar pa je običajno
pri obravnavi sistemov vodenja nakazano le površno.
Ena od lastnosti sistemov vodenja je vodljivost, ki pogojuje doseganje primernih lastnosti
zaprtozančnega sistema. Odvisna je od lokacije senzorjev in aktuatorjev. Zato bi v nekaterih
primerih pri načrtovanju morali dodati tudi korak 0, ki bi zagotavljal primerno načrtovanje same
procesne opreme. Ideja pravzaprav ni nova, saj sta nanjo že leta 1943 opozorila Ziegler in
Nichols [16] nekako takole:
»Pri izvedbi zaprtozančnih sistemov se moramo zavedati, da regulator in proces tvorita
celoto; uspešnost vodenja je tako odvisna od obeh. Tudi relativno slabo načrtovan regulator
lahko deluje sprejemljivo z lahko vodljivim sistemom, medtem ko je najkompleksnejši regulator
lahko neuspešen pri slabo načrtovanem sistemu.«
Res je sicer, da tudi v takšnih primerih dajejo v splošnem napredno načrtovani regulatorji
boljše rezultate, vendar pa obstaja določena meja, ki jo omogoča izbrana instrumentacijska
oprema in ki je zato ni mogoče preseči.
2.1.1 Regulacijski problem
Cilj obnašanja reguliranega sistema je, da s spreminjanjem regulirnega signala ( )u t
dosežemo želeni potek izhodnega signala ( )y t . Pri tem večkrat ločimo med regulacijskim
(regulacijski problem - regulator problem) in sledilnim (servo problem) načinom delovanja. V
obeh primerih želimo vzdrževati signal pogreška čim manjši. Le-ta je lahko definiran kot:
19
( ) ( ) ( )1e t r t y t= − (2.1)
ali kot:
( ) ( ) ( )2e t y t r t= − (2.2)
Algoritem ustreznega prilagajanja signala ( )u t temelji na načrtovanem regulatorju C(s).
Za ustrezno načrtovanje regulatorja C(s) potrebujemo vnaprej znano informacijo o pričakovanih
motnjah in referenčnih signalih, v splošnem pa moramo poznati tudi model sistema P(s) ter
model, preko katerega delujejo motnje na izhod Pd(s), kar lahko zapišemo kot:
( ) ( ) ( ) ( )u dy s P s P s d s= + (2.3)
kjer smo z d(s) označili motilni signal.
Glavni razlog težav izvira iz dejstva, da modela P(s) in Pd(s) nista povsem zanesljiva,
oziroma se lahko s časom tudi spreminjata. Ko se želimo spoprijeti s tovrstnimi problemi, se
izkaže priročna vpeljava koncepta nezanesljivosti modela. Namesto, da bi obravnavali en sam
model sistema P(s), lahko opazujemo obnašanje razreda modelov ( ) ( ) ( )pP s P s E s= + , kjer je
nezanesljivost ali perturbacija modela E(s) omejena, sicer pa nepoznana. V mnogih primerih
uporabljamo za izražanje E(s) utežne funkcije ( )w s :
( ) ( ) ( )E s w s s= ∆ (2.4)
kjer je ( )s∆ normalizirana preturbacija, kar pomeni, da je amplituda (norma) ( )s∆ manjša ali
enaka 1.
Definirajmo nekaj pojmov, ki so pogosto v rabi pri obravnavi tovrstnih problemov:
• Nominalna stabilnost (»nominal stability«)
Sistem je stabilen za nominalen model è brez upoštevanja nezanesljivosti.
• Nominalno obnašanje (»nominal performance«)
Sistem zadošča zahtevam glede obnašanja pri nominalnem modelu è pri modelu brez
upoštevanja nezanesljivosti.
• Robustna stabilnost (»robust stability«)
Sistem je stabilen za vse perturbirane modele v okolici nominalnega, vključno z
najslabšo možnostjo nezanesljivosti.
• Robustno obnašanje (»robust performance«)
20
Sistem zadošča zahtevam glede obnašanja za vse perturbirane modele v okolici
nominalnega, vključno z najslabšo možnostjo nezanesljivosti.
2.1.2 Prenosne funkcije in frekvenčne karakteristike
Za predstavitev sistemov z diferencialnimi enačbami (vključno s prostorom stanj)
uporabljamo prenosne funkcije ( )P s in frekvenčne karakteristike ( )P jω iz naslednjih
razlogov:
• zelo informativen vpogled v postopek načrtovanja je mogoče dobiti z opazovanjem
preprostih, frekvenčno-odvisnih grafov,
• na takšen način je mogoče definirati pomembne lastnosti sistema, kot sta pasovna
širina in resonančni vrh,
• serijsko povezavo sistemov lahko v frekvenčni domeni določimo z enostavnim
množenjem posameznih blokov, za kar je v časovni domeni potrebno uporabiti
konvolucijski integral,
• poli in ničle so pri univariabilnih sistemih eksplicitno razvidni v faktorizirani
predstavitvi,
• nezanesljivosti laže obravnavamo v frekvenčni domeni, kar je povezano z dejstvom,
da je dva sistema mogoče obravnavati kot podobna, če imata frekvenčni karakteristiki,
ki ležita blizu skupaj. Pri predstavitvi sistema v prostoru stanj lahko že majhna
sprememba katerega od parametrov povzroči velike spremembe v odzivu sistema.
Prenosno funkcijo linearnega, časovno nespremenljivega sistema lahko predstavimo kot:
( )1 2 0
1 2 01 2
1 2 0
......
m m mm m m
n n nn n
b s b s b s b sP ss a s a s a
− −− −
− −− −
+ + + +=
+ + + + (2.5)
V primeru multivariabilnih sistemov je ( )P s matrika prenosnih funkcij. V enačbi (2.5)
predstavlja n red sistema. Razliko n - m, ki kaže na to, za koliko je število polov večje od števila
ničel, imenujemo relativni red sistema.
2.2 Vodljivost in spoznavnost sistemov
Vodljivost sistema zagotavlja, da regulirna veličina lahko deluje na vsa stanja sistema, ki
ga regulira. Ker le teh včasih ni možno meriti ali pa so meritve zelo drage, s pomočjo
21
opazovalnikov iz merjenih izhodov določimo spremenljivke stanja, kar je možno le v primeru,
če je sistem spoznaven.
Večina fizikalnih sistemov je vodljivih in spoznavnih, lahko pa se zgodi, da to ne velja za
njihove modele, ki jih uporabljamo pri načrtovanju regulacijskih sistemov.
2.2.1 Vodljivost sistemov
Sistem je vodljiv v smislu spremenljivk stanj, če je možno z omejenim vhodnim signalom
začetno stanje ( )0x t pripeljati v končno stanje ( )1x t v končnem časovnem intervalu 0 1t t t≤ ≤ .
Vodljive sisteme je možno zapisati v vodljivostni kanonični obliki.
Pogoj za vodljivost izpeljemo iz časovnega odziva sistema zapisanega v prostoru stanj, pri
čemer predpostavimo končno stanje ( )1 0x t = .
Ker so pri modalni obliki stanja odvisna le od vhodnega signala, ne pa od povezav med
stanji, je zato to zelo primerna oblika za proučevanje vodljivosti.
2.2.2 Spoznavnost sistemov
Sistem je spoznaven, če lahko stanje ( )0x t določimo s pomočjo opazovanega vhodnega in
izhodnega signala ( )y t v končnem časovnem intervalu 0 1t t t≤ ≤ . Sistem je spoznaven, če
vsaka spremenljivka stanja deluje na izhod. Spoznavnost sistema je pomembna takrat, kadar
želimo iz merjenega izhoda določiti spremenljivke stanja (vse ali samo nekatere).
2.3 Modeliranje in simulacija
Modeliranje in simulacija sta dva neločljiva postopka, katera vsebujeta kompleksne
aktivnosti v zvezi s konstrukcijo modelov, ki predstavljajo realne objekte, in eksperimentiranje
z modeli v smislu pridobivanja podatkov o obnašanju modeliranega procesa. Pri tem je
modeliranje vezano predvsem na relacije med realnim procesom in njegovimi modeli.
Simulacija pa se ukvarja s povezavo med matematičnim in simulacijskim modelom. Slednji
tvori kot svoj izhod časovne odzive, ki jih vrednotimo glede na obravnavani proces, kar nekako
zaključi celotni krog (slika 2.1).
22
Slika 2.1: Odnos med sistemom, modeliranjem in simulacijo
Namen proučevanja sistemov s pomočjo modeliranja in simulacije je doseganje različnih
ciljev ne da bi morali eksperimentirati na realnem objektu, pri čemer gre tako za opis kot tudi za
razlago njegovega obnašanja. Pristop je uporaben celo v primeru, ko obravnavani sistem še ne
obstaja.
Cilji so:
• izboljšati poznavanje in razumevanje nekaterih mehanizmov delovanja obravnavanega
sistema,
• napovedovati obnašanje sistema v različnih situacijah, kjer kakršnikoli nivo predikcije
predstavlja koristno informacijo,
• omogočiti načrtovanje sistemov vodenja in njih vrednotenje,
• oceniti parametre procesa, ki niso direktno merljivi,
• preizkušati občutljivost sistemskih parametrov,
• optimizirati obnašanje sistema,
• omogočiti učinkovito odkrivanje napak v sistemu,
• omogočiti raziskavo primerov, ki bi bili v realnem svetu dragi, tvegani ali
problematični, kar je pomembno tudi pri simulatorjih za učenje operaterjev.
Čeprav obstaja mnogo tehnik modeliranja in je na voljo precej različnih simulacijskih
orodij, pa se moramo zavedati, da niti model niti računalnik ne moreta popolnoma nadomestiti
človeških odločitev, presoje, intuicije in izkušenj, ki še vedno igrajo odločilno vlogo pri
določanju vrednosti in uporabnosti modelov v praktičnih aplikacijah. Pri tem je modeliranje bolj
problemsko orientirano, medtem ko je simulacija relativno neodvisna od obravnavanega
primera.
23
Čeprav je človek zaradi svojih sposobnosti spomina, asociacij, intuicije, razpoznavanja
vzorcev, računanja itd. izredno primeren za pristop k gradnji modela, saj je to v bistvu
formalizacija in abstrakcija realnega procesa, pa se je tudi tu kmalu srečal z nekaterimi
omejitvami. S slednjimi se je seveda najprej soočil na področju čutil, saj je jasno, da so šele
senzorski sistemi ustrezno razširili območje človekovih čutil. Kot v omenjenem primeru, se je
tudi pri modeliranju pojavilo vprašanje, kako razširiti človeške sposobnosti. To vprašanje je bilo
rešeno s prihodom računalnikov.
Sledijo definicije modela, ki prikazujejo njegove osnovne značilnosti:
• model je objekt ali koncept, ki predstavlja nekaj drugega, se pravi, da je realnost
prenesena v neko uporabno in razumljivo obliko,
• model je poenostavljena predstavitev realnega sistema, ki naj omogoči razumevanje,
razlago, spremembe ali ohranitve lastnosti, napovedovanja in morda tudi vodenje
obravnavanega sistema,
• model je nadomestek nekega konkretnega sistema ali opreme. Model naj obravnava le
bistvene aspekte realnega sistema,
• model poudarja tiste učinke gradnikov sistema, ki so pomembni s stališča namena
modeliranja,
• model mora predstaviti naše znanje o sistemu v primerni obliki tudi na nekaterih
drugih medijih (papir, računalniški spomin).
• model mora biti kar najbolj enostaven, saj je razvoj univerzalnega modela nemogoč,
razvoj prekompleksnega modela pa je nepraktičen in neekonomičen.
Podobno kot za model je v nadaljevanju naštetih nekaj definicij simulacije, ki prikažejo
prepletenost modeliranja in simulacije in se tičejo predvsem največ uporabljane računalniške
simulacije:
• simulacija je metoda, ki omogoča študij obnašanja sistema s pomočjo
eksperimentiranja na ustreznem modelu,
• simulacija omogoča eksperimentiranje z modelom v realnem, skrajšanem ali
podaljšanem času,
• simulacija omogoča zamenjavo realnega procesa in kompleksnih meritev z enostavnim
in cenenim računalnikom, ki dovoljuje eksperimentiranje brez tveganja in daje
ilustrativne rezultate,
24
• računalniška simulacija pomeni tek specialnega programa, katerega rezultat je časovni
odziv modela, ki opisuje obnašanje modeliranega procesa,
• simulacija pomeni postopek za reševanje diferencialnih enačb z zaporednim
integriranjem (diferencialno enačbo integriramo tolikokrat, kolikor je njen red).
2.4 Analiza sistemov v frekvenčni domeni
Linearne sisteme obravnavamo v frekvenčni domeni s pomočjo frekvenčnih karakteristik.
Frekvenčna karakteristika je lastnost sistema, ki pove, kako se sistem v ustaljenem stanju odziva
na sinusni vhodni signal. Posnamemo jo tako, da preko določenega področja spreminjamo
frekvenco sinusnega signala na vhodu in merimo ustrezen izhodni signal v ustaljenem stanju.
Zaradi številnih dobro izdelanih metod se frekvenčni pristop pogosto uporablja tako pri
analizi kakor tudi pri načrtovanju regulacijskih sistemov. Predvsem ga učinkovito uporabljamo
pri analizi absolutne in relativne stabilnosti. Pri tem je potrebno poznati le frekvenčno
karakteristiko odprto-zančnega sistema (prenosne funkcije), iz katere sklepamo na stabilnost
zaprto-zančnega sistema. Druga prednost je v dejstvu, da je možno enostavno eksperimentalno
določiti frekvenčno karakteristiko, saj potrebujemo le sinusni signalni generator in ustrezno
merilno opremo za merjenje (snemanje) izhodnega signala.
2.4.1 Polarni diagram
Polarni diagram predstavlja frekvenčno karakteristiko ( )P jω v kompleksni ravnini.
Vsaka točka je podana s polarnim zapisom kompleksorja ( ) ( ) ( )j P jP j P j e ωω ω ∠ = pri
določeni frekvenci. V intervalu od 0 do ∞ kompleksor zariše polarni diagram. Pozitivni fazni
kot je definiran od pozitivne realne osi proti določenemu kompleksorju v obratni smeri urinega
kazalca. Primer polarnega diagrama prikazuje slika 2.2.
25
Slika 2.2: Polarni diagram
Določitev polarnega diagrama je nekoliko zahtevnejši postopek kot npr. računanje Bode-
jevega diagrama, saj absolutne vrednosti v tem primeru ne moremo dobiti s seštevanjem
prispevkov posameznih gradnikov. Zato se včasih posredno uporablja Bode-jev diagram tudi za
določitev polarnega diagrama. Običajno pa za izris polarnega diagrama kot tudi za druge oblike
frekvenčne karakteristike z ustreznimi računalniškimi programi.
2.4.2 Nicholsov diagram
Nicholsov diagram predstavlja združitev obeh Bodejevih diagramov v en diagram.
Frekvenčno karakteristiko predstavimo v diagramu, v katerem na abscisno os nanašamo
fazni kot, na ordinatno os pa logaritem absolutne vrednosti ( )( )20log P jω . Glede na ostale
frekvenčne diagrame nudi Nicholsov diagram nekatere prednosti v načrtovalnih postopkih (npr.
določitev relativne stabilnosti, metoda QFT, ...).
Sprememba ojačanja v frekvenčni karakteristiki ( )P jω vpliva v Nicholsovem diagramu
tako, da se krivulja premika navzgor oz. navzdol, njena oblika pa se ne menja. Nicholsov
diagram frekvenčne karakteristike ( )1
P jω je simetričen glede na koordinatno izhodišče
prenosne funkcije ( )P jω , ker velja
( ) ( )120log 20 log P jP j
ωω
= − (2.6)
26
( ) ( )1 P jP j
ωω
∠ = −∠
(2.7)
Primer Nicholsovega diagrama je prikazan na sliki 5.14 (poglavje 5.2.6).
2.5 Stabilnost regulacijskih sistemov
Stabilnost predstavlja pomembno kvalitativno lastnost sistema avtomatskega vodenja. Pri
načrtovanju vodenja je zagotovljena stabilnost primarna zahteva, šele ko je stabilnost
zagotovljena je mogoče zadostiti druge kvalitativne lastnosti. S teorijo stabilnosti so se
znanstveniki ukvarjali vse od začetka teorije diferencialnih enačb. Osnovna naloga teorije je
podati zaključke o obnašanju stanj (trajektorije stanja) sistema brez reševanja diferencialnih
enačb sistema. Teorija stabilnosti obravnava obnašanje sistema v daljšem časovnem obdobju,
oziroma kako se obnaša stanje sistema ko gre t → ∞ . Eden izmed prvih, ki so se ukvarjali s
stabilnostjo mehaničnih sistemov v "sodobnem" pomenu, je bil Joseph Louis Lagrange, ki je
trdil, da je ravnovesno stanje ne-vzbujenega sistema stabilno, če je na minimumu potencialne
energije [76]. Prvo diskusijo o nestabilnosti sistema vodenja je opravil Fuller, predlagal je, naj
teleskop rotira nasprotno od rotacije Zemlje, da bi lahko dlje časa opazoval zvezde [77]. V ta
namen so potrebovali kvalitetni sistem za regulacijo hitrosti vrtenja teleskopa. Kot regulator so
v tistem času uporabljali centrifugalno nihalo. Airy (1840) je opazil, da pri regulaciji hitrosti
teleskopa lahko regulator hitrosti privede sistem v nestabilno področje ter s tem povzroči
"divje" obnašanje teleskopa. Po Fullerju je Airy prvi analiziral dinamiko sistema vodenja s
pomočjo diferencialne enačbe. Pomemben napredek pri obravnavi stabilnosti je prispeval ruski
matematik Alexander Mihajlovič Ljapunov (1892), ko je definiral splošno zasnovane
stabilnosti, ki so veljale za linearne in nelinearne sisteme. Poleg Ljapunova so se v tem času s
stabilnostjo linearnih sistemov ukvarjali še: James Clerk Maxwell, Edward John Routh, I.A.
Višnegradski (1876), A. Stodola (1893) in A. Hurwitz (1895). Vsi so se ukvarjali z iskanjem
pogojev, ki jih morajo zadovoljiti koeficienti linearne diferencialne enačbe, da bo sistem
stabilen. Za razliko od Maxwella (1868) in Višnegradskega (1876), ki sta trdila, da je edino za
sistem tretjega reda mogoče postaviti takšne pogoje, je Routh (1877) v nagrajenem delu (Adam
Prize Essay) prišel do splošnih pogojev stabilnosti linearnega sistema za sistem, ki ga opisuje
linearna diferencialna enačba poljubnega reda [78]. Podrobnejši opis danes zelo pomembnega
področja raziskovanja – teorije stabilnosti dinamičnih sistemov, 1ahko najdemo v literaturi [79].
Stabilnost lahko obravnavamo iz vhodno-izhodnega opisa, kjer analiziramo, ali se odziv
sistema obnaša »ustrezno« v določenem pomenu, ko na sistem deluje določeno znano vzbujanje.
Poleg vhodno-izhodnega opisa lahko stabilnost sistema obravnavamo s spremljanjem
27
asimptotičnega obnašanja stanj sistema v okolici ravnovesja periodičnih nihanj sistema. Tedaj
govorimo o notranji stabilnosti v smislu stabilnosti po Ljapunovu [80]. Pojem »stabilnost«
običajno uporabljamo za sistem, vendar to ni popolnoma korektna raba tega pojma. Stabilno je
vse, kar se lahko obdrži v daljšem časovnem obdobju. V dinamični teoriji in teoriji vodenja je o
stabilnosti pravilno govoriti ne samo za sistem, temveč tudi za njegova stanja - ravnovesja ali
gibanja. Edino, če sistem vsebuje samo eno ravnovesno stanje, je razumna raba pojma
»stabilnost sistema«. Če pa obstaja več ravnovesnih stanj, tedaj je pravilno uporabljati pojem
»stabilnost ravnovesnih stanj«. Ker imajo linearni sistemi samo eno ravnovesno stanje, se je v
teoriji linearnih sistemov udomačil pojem stabilnosti sistema, za razliko od nelinearnih
sistemov, pri katerih lahko obstaja več kot eno ravnovesno stanje.
Splošno uporabljena načina za določitev absolutne stabilnosti regulacijskih sistemov:
• iskanje korenov karakteristične enačbe ( ) ( )1 0P s C s+ = (slika 2.3),
• uporaba Routhovega stabilnostnega kriterija.
Vendar pa informacija o tem, ali je sistem stabilen ali ne (absolutna stabilnost) ni najbolj
uporabna v raznih postopkih načrtovanja vodenja. Zato potrebujemo metode, ki razen
informacije o absolutni stabilnosti pokažejo tudi, koliko je sistem »oddaljen« od meje
stabilnosti oz. na kakšen način lahko sistemu to »oddaljenost« spremenimo, kar določa t.i.
relativna stabilnost. Ena od možnosti za določitev absolutne in relativne stabilnosti je Nyquistov
stabilnostni kriterij [14].
2.5.1 Nyquistov stabilnostni kriterij
Nyquistov stabilnostni kriterij ima naslednje značilnosti, ki omogočajo uspešno uporabo
pri analizi in načrtovanju regulacijskih sistemov:
• daje enako informacijo o stabilnosti lineranih sistemov kot Routhov kriterij,
• razen absolutne stabilnosti daje informacijo o »oddaljenosti« sistema od meje
stabilnosti in omogoča izboljšati stabilnostne lastnosti,
• kot izhodišče uporablja frekvenčno karakteristiko odprtozančne prenosne funkcije in
omogoča določitev zaprtozančne stabilnosti,
• učinkovito se lahko uporablja za sisteme z mrtvim časom,
• metodo se lahko modificira za nelinearne sisteme.
Izhodišče za obravnavo predstavlja regulacijski sistem na sliki 2.3:
28
Slika 2.3: Regulacijski sistem
Karakteristična enačba ima obliko
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 mj
n
K s z s z s zF s P s C s
s s p s p s p+ + +
= + =+ + +
KK
(2.8)
Značilnosti sistema, ki je podan na sliki 2.3 oz. z enačbo (2.8) v zvezi s poli in ničlami:
1. Vrste polov in ničel
• ničle odprto-zančne prenosne funkcije ( ) ( )P s C s ,
• poli odprto-zančne prenosne funkcije ( ) ( )P s C s ,
• zaprto-zančni poli so poli prenosne funkcije ( )( )
Y sR s
oz. ničle karakterističnega izraza
( ) ( ) ( )1F s P s C s= + oz. koreni karakteristične enačbe ( ) ( ) ( )1 0F s P s C s= + = .
2. Poli karakterističnega izraza ( ) ( ) ( )1F s P s C s= + so enaki polom odprto-zančne prenosne
funkcije ( ) ( )P s C s .
3. Za zaprto-zančno stabilnost ni nobenih omejitev glede lege polov in ničel odprto-zančne
prenosne funkcije ( ) ( )P s C s . Važno je le, da so poli zaprto-zančne prenosne funkcije oz.
koreni karakteristične enačbe v levem delu ravnine s .
Za določitev stabilnosti je potrebno preslikati določene točke iz ravnine s s pomočjo
kompleksne funkcije (preslikave) ( )F s (ali ( ) ( )P s C s ) v ravnino ( )F s (ali ( ) ( )P s C s ).
Preslikavo točke 0s iz ravnine s v ravnino ( )F s prikazuje slika 2.4:
29
Slika 2.4: Kompleksna preslikava
2.6 Občutljivost in komplementarna občutljivost sistema
Naloga vodenja je zagotavljanje čim manjšega pogreška sledenja ( ) ( ) ( )e t r t y t= −
med referenčnim signalom ( )r t in izhodnim signalom ( )y t , kadar je ( )y t moten z motilnim
signalom ( )d t , oziroma se spreminja referenčni signal ( )r t .
Slika 2.5: Struktura zaprtozančnega sistema
Mero za velikost tega pogreška imenujemo mera učinka in je v frekvenčni domeni
definirana z funkcijama občutljivosti ( )S jω in komplementarne občutljivosti sistema ( )T jω .
Izhod y sistema (slika 2.5) zapišemo kot:
rPCrdyPCyrPCdy
PCedy
)1()1()(
++−=+−+=
+=
(2.9)
Prenosna funkcija občutljivosti sistema za vhod w d r= − je tako definirana:
30
11 )()(
)()(
−− +=+==
−=−+
LIPCIweS
rdryPCI
L
we321
(2.10)
Komplementarna občutljivost je definirana kot:
11 )()( −− +=+= LILPCIPCT (2.11)
Zveza med občutljivostjo in komplementarno občutljivostjo je definirana z naslednjim
izrazom:
S T I+ = (2.12)
od tod izvira tudi ime za ( )T s komplementarna občutljivost na enoto I .
2.7 Odstopanja
Odstopanje je splošna oznaka za razhajanje obnašanja modela procesa in obnašanja
dejanskega procesa. Takšno splošno formulacijo pa lahko podrobneje opredelimo in sicer tako,
da odstopanja razdelimo na podvrste: parametrična in strukturna odstopanja.
Zaradi dveh razlogov se vodeni proces ne more obnašati kot model zaprtozančnega
sistema:
• motenj iz okolice sistema (veličine na katere ne moremo vplivati preko regulirnih
veličin in so običajno neodvisne od parametrov procesa),
• odstopanja matematičnega modela, ki ga uporabljamo pri postopku načrtovanja
vodenja glede na dejanski proces. Ta odstopanja predstavljajo razliko med modelom in
procesom. Njihovi učinki so odvisni od vodenja. Odstopanja modela od procesa
predstavimo kot dodaten model z neznano dinamiko.
2.7.1 Strukturna odstopanja
Frekvenčna analiza robustnosti vodenja je možna le, kadar poznamo odstopanja
(perturbacije), saj vrednotenje robustnosti temelji na vrednotenju vpliva odstopanj. Zaradi vseh
vzrokov odstopanj modela od dejanskega procesa privzamemo, da je dinamično obnašanje
procesa predstavljeno ne le z enim linearnim časovno nespremenljivim modelom, ampak z
množico modelov. To množico obravnavamo kot en linearno časovno nespremenljivi model z
ustreznimi odstopanji - perturbacijami. Odstopanje - perturbacija pomeni razlike med
posameznimi elementi omenjene množice.
31
Takšen časovno nespremenljivi linearni model procesa z ustreznimi odstopanji lahko
predstavimo na več različnih načinov [10]:
• aditivni model,
• multiplikativni izhodni model,
• multiplikativni vhodni model.
Strukturna odstopanja so običajno posledica nepopolnega ali neustreznega opisa strukture
procesa, do česar lahko pride zaradi linearizacije nelinearnih podsistemov, zaradi zanemarjanja
dinamike.
Glede na dostopno informacijo o odstopanjih delimo odstopanja na nestrukturirana in
strukturirana [10].
Nestrukturirana odstopanja so tista, pri katerih je znan le vpliv celotnih odstopanj na
obnašanje procesa, ne pa tudi mesto v procesu, kjer se pojavljajo. Takšna odstopanja so
relativno groba predstavitev odstopanj v frekvenčni domeni in opisujejo meje velikosti celotnih
odstopanj od nominalnega modela procesa.
Strukturirana odstopanja poleg vrednosti podajajo tudi informacijo o položaju elementa,
kjer to odstopanje nastopa. Sprememba obnašanja procesa je tako opisana s toleranco
odstopanja elementa ali več elementov tega sistema.
Velikost odstopanj tako, strukturiranih kot nestrukturiranih, vrednotimo z normo •∞
.
2.7.2 Parametrična odstopanja
Parametrična odstopanja predstavljajo razhajanja vrednosti parametrov procesa od
njihovih nominalnih vrednosti.
Prenosna funkcija je linearni model.
11 1 0
11 1 0
( ) ; m m
m mn n
n n
a s a s a s aP s m nb s b s b s b
−−
−−
+ + + += ≤
+ + + +LL
a a a i mi i i≤ ≤ =, , , 0 1 K (2.13)
b b b j nj j j≤ ≤ =, , , 0 1 K
Za koeficiente bi, aj prenosne funkcije P s( ) običajno predpostavimo, da so konstantni,
kar pa ne drži, ko so ai in bj funkcije fizikalnih parametrov npr. (kapacitivnost, induktivnost,
32
upornost) in so bolj ali manj nepoznani. Posledica je neustreznost polov in ničel prenosne
funkcije P s( ) .
Ker se fizikalni parametri spreminjajo le v omejenem območju, so tudi spremembe
koeficientov ai in bj omejene. Če bi želeli proučiti stabilnost vodenega sistema z negotovimi
koeficienti, bi lahko analizirali stabilnost pri vseh možnih kombinacijah koeficientov, vendar se
analiza poenostavi z uporabo Khartionovega teorema.
2.8 Analiza stabilnosti
2.8.1 Analiza stabilnosti s Khartionovim teoremom
Za polinom n-tega reda:
A s a s a s a s ann
nn( ) = + + + +−
−1
11 0L (2.14)
katerega koeficienti so v mejah
a a a i ni i i≤ ≤ =, , , 0 1 K (2.15)
velja, da za vsako tako neskončno družino polinomov obstajajo štirje kritični polinomi:
k s a a s a s a s a s a s a s
k s a a s a s a s a s a s a s
k s a a s a s a s a s a s a s
k s a a s a s a s a s a s a s
1 0 1 22
33
44
55
66
2 0 1 22
33
44
55
66
3 0 1 22
33
44
55
66
4 0 1 22
33
44
55
66
( )
( )
( )
( )
= + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + + + + +
L
L
L
L
(2.16)
Zato je dovolj, da opravimo analizo stabilnosti polinomov (2.16). Če so vsi štirje stabilni,
bo polinom A s( ) stabilen ob vseh možnih kombinacijah vrednosti koeficientov ai
( , , , )a a a i ni i i≤ ≤ = 0 1 K [11].
2.8.2 Analiza stabilnosti z mejnim teoremom
Nekoliko drugačen pristop omogoča mejni teorem, kjer obravnavamo koeficiente
karakterističnega polinoma kot linearne funkcije vektorja parametrov p. Zapis polinoma (2.14)
preoblikujemo:
A s a p s a p s a p s a pnn
nn( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + +−
−1
11 0L (2.17)
33
pri čemer je p vektor z elementi p k Nk = 1 2, ,Kb g . Tako ima na primer člen an(p)sn obliko:
a p s p p p snn
Nn( ) ( ... )= + + +1 2 (2.18)
Izraz (2.14) zapišemo v obliki:
A s s p sk kk
N
( ) ( ) ( )= +=
∑Φ Φ01
(2.19)
Polinomi Φk s k N( ) , , = 1 2Kb g imajo konstantne koeficiente s parametri
p k Nk = 1 2, ,Kb g , ki so omejeni na področju p p pk k k≤ ≤ . Družina polinomov podana z
izrazom (2.19), tvori polinomski politop.
Celotna izpeljava je opisana v [10].
34
3 TEORIJA REGULIRANIH SISO SISTEMOV
3.1 Uvod
V poglavju so predstavljene osnovne lastnosti sistemov z enim vhodom in enim izhodom
(SISO) brez upoštevanja robustnosti. Najprej so definirani in obravnavani pojmi: amplitudna
rezerva, fazna rezerva, pasovna širina in frekvenca fazne rezerve. Nato je razloženo, zakaj je
tako pomembno zmanjšati pasovno širino regulatorja, v kontekstu katerega je definirano visoko-
frekvenčno ojačanje.
Regulator je uspešno načrtovan takrat, ko ustreza zahtevam za vodenje zaprte zanke.
Uporabljata se časovna in frekvenčna domena. Čeprav ni direktnega prenosa opisov časovne
domene v frekvenčno domeno, sta podana dva algoritma, ki skušata to vrzel premostiti.
3.2 Osnovne lastnosti frekvenčne domene
Slika 3.1 prikazuje zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama.
Slika 3.1: Zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama
35
3.2.1 Relativna stabilnost, frekvenca fazne rezerve, pasovna širina
Primer Nicholsovega diagrama sistema z odprto zanko je prikazan na sliki 3.2. Vključuje
5 parametrov, ki označujejo sistem odprte zanke in imajo močan vpliv na obnašanje sistema
zaprte zanke:
1. Frekvenca fazne rezerve (»Crossover frequency«) φω : predstavlja frekvenco, kjer je
odprta zanka 0 dB, ( ) 0L j dBφω = ,
2. Fazna rezerva (»Phase margin«) φ : predstavlja fazo odprte zanke pri frekvenci fazne
rezerve nad 180− ° , ( )arg 180L j φφ ω= + ,
3. Frekvenca amplitudne rezerve (»Gain margin frequency«) Mω : predstavlja frekvenco,
kjer je ( ) 180ML jω = − ° ,
4. Amplitudna rezerva (»Gain margin«) M: predstavlja razdaljo ( )ML jω v dB od točke -1 v
Nyquistovem diagramu ( 0 , 180dB − ° v Nicholsovem diagramu), ( )20log MM L jω= − ,
5. Pasovna širina (»Bandwidth«) bω : predstavlja frekvenco, kjer je amplituda zaprte zanke
enaka 3dB− , ( )( )
31
b
b
PC jdB
L jωω
= −+
.
Slika 3.2: Nicholsov diagram sistema z odprto zanko s prikazanimi parametri
36
V splošnem amplitudna in fazna rezerva relativne stabilnosti predstavljata dobro stran
dveh pomembnih pojavov zaprto-zančnih sistemov:
• koliko negotovosti lahko objekt še dopušča, da bo zaprta zanka ostala stabilna (npr. če
je amplitudna rezerva 10 dB, lahko sistem dopušča povečanje ojačanja za 10 dB brez
izgube zaprto-zančne stabilnosti),
• uporaba zgornje meje kot amplitude prenosne funkcije zaprte zanke (od senzorja šuma
do izhoda objekta), spodnje meje pa kot občutljivosti.
Pri velikih amplitudnih in faznih rezervah je dušenje resonance zaprte zanke vključeno v
frekvence okoli pasovne širine bω , vendar pa resna izguba izvira iz povečanja odziva šuma
senzorja na vhodu objekta [14].
3.2.2 Pogojno stabilni sistemi
Prenosne funkcije odprtih zank sistemov v praksi imajo lahko pozitivne in negativne
amplitudne rezerve. Če ima odprto-zančni sistem pozitivne amplitudne rezerve pomeni, da ko je
zanka zaprta, sistem postane nestabilen, če se ojačanje odprte zanke preveč poveča. Nasprotno
je v obratnem primeru, če ima odprto-zančni sistem negativne amplitudne rezerve. Takrat
postane zaprto-zančni sistem nestabilen, če se ojačanje odprte zanke preveč zmanjša. Takšne
sisteme imenujemo pogojni stabilni sistemi.
3.2.3 Visoko frekvenčno ojačanje
Eden od faktorjev, ki omejuje pasovno širino sistema, je šum senzorja na vhodu objekta.
Poglejmo primer za tri različne regulatorje objekta 21 s , od katerih imajo vsi skoraj enako
nizko frekvenčno obnašanje odprte zanke in enako frekvenco fazne rezerve, imajo pa različne
odzive pri visokih frekvencah (njihove odprte zanke so prikazane na sliki 3.3).
37
Slika 3.3: Različne odprte zanke sistemov s različnimi odzivi pri visokih frekvencah
Graf prenosne funkcije šuma senzorja na vhodu objekta ( ) ( )( )1C j L jω ω+ je prikazan
na sliki 3.4. Če je razpon šuma senzorja skoncentriran nad 80 rad/sek, je regulator ( )3C jω
prevladujoč nad regulatorji ( )1C jω in ( )2C jω , ( )2C jω pa prevladujoč nad ( )1C jω
( ( )1C jω ojača visoko frekvenčni šum za 7 dB bolj kot ( )2C jω in za 20 dB bolj kot ( )3C jω ).
Pomemben element primerjave med obema regulatorjema je: koliko je šum senzorja ojačan v
visoko-frekvenčnem pasu (glede na medsebojno primerjavo). Iz tega sklepamo, da je visoko-
frekvenčno ojačanje enega sistema večje od drugega za x dB-ov, če je visoko-frekvenčno
ojačanje šuma senzorja večje od drugega za x dB-ov. To temo sta podrobno obdelala Helton in
Merino [83] z upoštevanjem kompromisa med pasovno širino in učinkovitostjo regulatorja.
38
Slika 3.4: Graf prenosne funkcije šuma senzorja za različne tipe regulatorjev
3.3 Lastnosti zaprte zanke
Slika 3.5 predstavlja shemo reguliranega sistema. Prenosni funkciji ( )P s pripada
množica negotovih objektov P . Prenosni funkciji ( )C s in ( )F s predstavljata regulator in
predfilter, ki sta načrtovana z namenom doseganja robustne stabilnosti sistema in lastnosti
zaprte zanke.
Slika 3.5: Shema reguliranega sistema
39
Lastnosti zaprte zanke opisujemo v časovni in/ali frekvenčni domeni.
3.3.1 Časovna domena
Lastnostni zaprte zanke sistema na sliki 3.5 so običajno predstavljene kot razmerje med
vhodnimi in izhodnimi signali objekta. Ti signali morajo biti omejeni tako, da sistem deluje v
svojem delovnem območju z zahtevanimi časovnimi odzivi.
3.3.2 Frekvenčna domena
Lastnosti zaprte zanke sistema na sliki 3.5 so običajno predstavljene kot razmerje med
vhodnimi in izhodnimi sistemskimi prenosnimi funkcijami objekta. Te so (pri zapisu
( ) ( ) ( ) ( )L j P j C j H jω ω ω ω= ):
1. Zmanjševanje motnje na izhodu objekta - občutljivost: za vsak P P∈ velja, da je
prenosna funkcija med motnjo na izhodu objekta in izhodom objekta omejena z:
( ) ( )11 s
yd L j
δ ωω
= <+
(3.3)
2. Zmanjševanje motnje na vhodu objekta: za vsak P P∈ velja, da je prenosna funkcija
med motnjo na vhodu objekta in izhodom objekta omejena z:
( )( ) ( )
1 pd
P jyu L j
ωδ ω
ω= <
+ (3.4)
3. Ujemanje modela: za vsak P P∈ velja, da je oddaljenost prenosne funkcije med r in y
od dane optimalne prenosne funkcije ( )mF jω omejena z:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1m m m
P j C j F jy F j F jr L j
ω ω ωω ω δ ω
ω− = − <
+ (3.5)
4. Sledenje: za vsak P P∈ velja, da je amplituda prenosne funkcije med r in y omejena z:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1P j C j F j
L jω ω ω
α ω β ωω
≤ ≤+
(3.6)
5. Zmanjševanje šuma: za vsak P P∈ velja, da je prenosna funkcija med izhodom senzorja
in izhodom objekta omejena z:
40
( ) ( )( ) ( )
1 n
P j C jyn L j
ω ωδ ω
ω= <
+ (3.7)
6. Učinek regulacije: za vsak P P∈ velja, da je prenosna funkcija med izhodom senzorja in
vhodom objekta omejena z:
( )( ) ( )
1 c
C jun L j
ωδ ω
ω= <
+ (3.8)
Če poenostavimo in postavimo 1H = , potem za točke 1 do 4 velja:
( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
1lim 01
lim 01
lim 01
max1
lim 1min
1
m
C j
C j
mC jF j F j
P j
C j
P j
L j
P jL j
L j F jF j
L j
L j F jL j
L j F jL j
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ωω
ω ωω
ω
ω ωω
ω ωω
→∞
→∞
→∞
≡
→∞
=+
=+
− =+
+=
+
(3.9)
3.3.3 Preslikava lastnosti sistema iz časovne v frekvenčno domeno
Enostavne direktne preslikave iz časovne v frekvenčno domeno ni. V praksi obstajajo
postopki, ki dajejo zelo dobre rezultate. V primeru, kadar načrtovalec ni zadovoljen z rezultati,
postopek ponavlja z dodajanjem ojačanja pri nizkih frekvencah (z ustreznimi spremembami pri
visokih frekvencah, da še zadostijo zahtevam vodenja), dokler niso doseženi želeni rezultati.
Priporočljivo je znižati zahteve vodenja v frekvenčni domeni nad določeno frekvenco hω
ter zadostiti le zahtevam ojačanja in fazne rezerve do te frekvence. To je uporabno predvsem
zaradi zmanjševanja učinka regulatorja z zanemarljivim vplivom na lastnosti zaprte zanke. Do
frekvence hω pridemo s iteracijskim postopkom. Ta je enostaven za izvedbo, prav tako je
enostavno oceniti kompromis med hω , učinkom regulatorja in lastnostmi sistema v časovni
domeni [14].
41
3.3.3.1 Postopek metode
Postopek temelji na predvidenih strukturah modela objekta in regulatorja (znano je število
polov in ničel objekta in regulatorja). Tako se za podan vhod izračuna struktura glede na podane
zahteve vodenja. Ideja je v iskanju parametrov predvidenega objekta in modelov regulatorjev z
uporabo maksimuma ali minimuma amplitude rezultirajoče prenosne funkcije na jω osi ter
zahtev podanih v frekvenčni domeni.
Primer:
Predpostavimo da objekt predstavlja preprost integrator 1 s , vključen v reguliran sistem,
ki mora zadostiti sledečim zahtevam zaprte zanke v časovni domeni: stopnični odziv objekta na
motnjo mora biti omejen z dvema krivuljama prikazanima na sliki 3.6a. Če je struktura
regulatorja preprost pol, potem je ( ) ( )C s k s a= + .
Prvi korak predstavlja izračun strukture modela izhoda objekta:
( ) ( ) ( )( )
2
1 1 1 11 1
s ay s kP s C s s s s as ks s a
+= ⋅ = ⋅ =
+ + +++
¸ (3.10)
Drugi korak je iskanje a in k da zadostijo zahtevam v časovni domeni. To množico
izhodov v frekvenčni domeni označimo s ( ) y s .
Tretji korak je izračun v frekvenčni domeni:
( ) ( ) ( )1 max
1 y y js j
s y jL s ω
ω
ω∈
=
=+
(3.11)
Rezultati izračuna [ ]1,8a ∈ in [ ]2,12k ∈ so prikazani na sliki 3.6b.
42
Slika 3.6: (a) Stopnični odziv mora biti med obema krivuljama, (b) prenosna funkcija občutljivosti glede na krivulje iz (a) v frekvenčni domeni
3.3.3.2 Krishnanova in Cruickshanksova tehnika
Predpostavimo da so lastnosti v časovni domeni predstavljene v obliki
( ) ( ) ( )2 2y t m t v t− ≤ (3.12)
kjer je ( )y t signal zaprte zanke in ( )m t , ( )v t določeni časovni funkciji. To pomeni, da ( )y t
naj ne odstopa od ( )m t za več kot ( )v t . Šibkejši pogoj kot ta je naslednji
( ) ( ) ( )2 2
0 0, 0
t ty t m t v t t− ≤ ∀ ≥∫ ∫ (3.13)
kar pomeni, da se namesto zgornje meje ( ) ( )y t m t− uporabi ( )v t . Energija signala na
intervalu [ ]0, t je omejena z energijo signala ( )v t v istem intervalu (za vsak t). Krishnan in
Cruickshanks predlagata uporabo tega šibkejšega pogoja za katerega je zadosten pogoj v
frekvenčni domeni ustrezanje spodnji neenakosti [86]
( ) ( ) ( )y j m j v jω ω ω− ≤ (3.14)
Glavna pomanjkljivost te metode je uporaba šibkejšega pogoja, vendar v splošnem
predstavlja razumno alternativo prvotni metodi.
Primer:
Za splošno predstavljen sistem na sliki 3.1 zapišemo
( ) ( ) ( )a t y t b t≤ ≤ (3.15)
43
kjer sta ( )a t in ( )b t predstavljena na sliki 3.7a. To razširimo v
( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ,2 2
a b b ay t m t v t m t v t+ −− ≤ = = (3.16)
prikazani ravno tako na sliki 3.7a.
Zapis v frekvenčni domeni je sledeč
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1rP j C j F j
m j v jP j C j
ω ω ωω ω
ω ω− ≤
+ (3.17)
ki z izbranim predfiltrom ( ) ( )rF s m s= predstavlja občutljivost sistema
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
1m j
v j L j P j C jL j
ωω ω ω ω
ω≤ =
+ (3.18)
Amplitudi ( )m jω ω in ( )v jω ω sta prikazani na sliki 3.7b na mestu ( )m jω in ( )v jω
zaradi priročnosti pri risanju grafa.
Metoda temelji na uporabi šibkejšega pogoja pri visokih frekvencah s katerim ohranimo
pasovno širino. Črtkana krivulja na sliki 3.7b predstavlja šibkejši pogoj ( )v jω ω , ki je
uporabljen pri načrtovanju.
Slika 3.7: (a) Izhod objekta mora biti med krivuljama a(t) in b(t), (b) črtkana krivulja predstavlja šibkejši pogoj
44
3.4 Omejitve učinkovitosti objektov z neminimalno fazo (NMP)
Objekti NMP so tisti, katerih modeli vsebujejo eno ali več ničel, ki ležijo izključno v
desni polravnini (RHP ničle). Vzorčenje po naravi vsebuje zakasnitev, zato regulirani sistemi, ki
vsebujejo vzorčenje, avtomatsko spadajo v skupino objektov NMP. Dobro znan primer
predstavlja inverzno nihalo na vozičku (Kailath 1980), na katerem je pojav NMP enostavno
razložljiv: če želimo, da se konica nihala premakne v desno, se mora voziček najprej premakniti
v levo, nato konica pade na desno in voziček se premakne v desno. Konica se rahlo premakne v
levo in nato v desno. Potrebno je več časa, da se konica premakne na želeno mesto na desni
strani v primerjavi z objektom, ki se najprej premakne v levo.
Frekvenca fazne rezerve odprte zanke φω objekta NMP ima zgornjo mejo, kar pomeni, da
je omejena tudi amplituda zančnega ojačanja pri frekvencah nižjih od frekvence fazne rezerve.
Razlog je v odvisnosti med amplitudo in fazo v Bodejevem diagramu. V objektih z minimalno
fazo se odprta zanka oblikuje s lead-lag, lag-lead, itd. elementi, s čimer se doseže katerakoli
zahtevana frekvenca fazne rezerve. Toda pri objektih NMP sta frekvenca fazne rezerve
zančnega ojačanja in zančno ojačanje pri nizkih frekvencah omejena.
3.4.1 Stabilni objekti
Vsako stabilno prenosno funkcijo odprte zanke lahko razstavimo v ( ) ( ) ( )ML s L s A s= ,
kjer ( )ML s predstavlja minimalno fazo (stabilno, brez ničel v desni polravnini) in ( )A s , ki
predstavlja visokoprepustno prenosno funkcijo (stabilno, za katero velja ( ) 1A jω = za vse ω ).
Primer:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )1 1 1
2 3 2 3 1
ML s A s
s s sL ss s s s s
− + −= = ⋅
+ + + + +
6447448
(3.19)
Na osnovi povezave med amplitudo in fazo v Bodejevem diagramu za prenosne funkcije z
minimalno fazo sklepamo: če je faza stabilne prenosne funkcije z minimalno fazo na velikem
frekvenčnem področju fiksirana (npr. na φ stopinj), lahko v tem frekvenčnem področju
uporabimo približek s prenosno funkcijo 90k sφ [14]. Približek je enakovreden zahtevi kjer
mora amplituda v Bodejevem diagramu imeti nespremenljiv naklon na velikem frekvenčnem
področju. S dodajanjem tega približka, ki omeji pasovno širino regulatorja, dodatno
45
pripomoremo k predpostavki, saj ta v veliki meri zadovolji večino realnih sistemov v praksi.
Numerična preverjanja sledijo v nadaljevanju.
Predpostavka P3.1
Približek med frekvenco fazne rezerve φω in frekvenco amplitudne rezerve Mω prenosne
funkcije minimalne faze ( )ML s zapišemo kot
( ) 2MkL s
s α≈ (3.20)
Pod predpostavko, da ( )L s vsebuje enostavno ničlo v desni polravnini pri a , takrat
zapišemo ( ) ( )Ma sL s L sa s
−=
+ in tako dobimo
( ) ( )1arg 2 tan ; ML j a φω απ ω ω ω ω−= − − ≤ ≤ (3.21)
Donos fazne rezerve φ , frekvence fazne rezerve φω in frekvence amplitudne rezerve Mω
zapišemo
( )1tan
2
def
a aφ
φ
ω α π φω
− −=
= (3.22)
( )1tan
2
defM
aM aα πω
ω −
=
= (3.23)
Iz zgornjih enačb (3.22), (3.23) in predpostavke P3.1 zapišemo amplitudno rezervo
22 tan
2tan
2
aM
a
M
αα
φ
απ φω
απω
+
= =
(3.24)
Iz vseh treh enačb (3.22), (3.23) in (3.24) je možno izračunati povezave med amplitudno
rezervo, fazno rezervo, frekvenco fazne rezerve in α . Te so prikazane na sliki 3.8.
46
Slika 3.8: Fazna rezerva proti amplitudni rezervi pri različnih vrednostih α in aφω
Primer:
Objekt z enostavno ničlo v desni polravnini pri 3a = se glasi
( ) 1 38
sP ss s
−= ⋅
+ (3.25)
pri fazni rezervi 40º in amplitudni rezervi 10M dB= (slika 3.8) so
0.61, 0.275, 3 0.275 0.825a aaφ φ φα ω ω ω= = = ⋅ = ⋅ = (3.26)
Tako s pomočjo enačbe (3.24) dobimo
10log 2.6 0.875 2.82M
Mφω ω
α= ⋅ = ⋅ = (3.27)
S spreminjanjem oblike povečujemo φω po pravilu ( )1 3.5L j dBω+ > − , ki ohranja
enako ojačanje in fazno rezervo:
( ) ( )2
2
2.8 7.8 5.53.5 0.67
s sL s P ss s
+ += ⋅
+ + (3.28)
Ta prenosna funkcija je prikazana na sliki 3.9. Njena frekvenca fazne rezerve je 0.93
rad/s, ki je višja od ocenjene vrednosti, temelječa na predpostavki P3.1, za 12%. Potrebno je
47
upoštevati, da je cena tega majhnega povečanja 150% povečanje Mω in zato zelo veliko
povečanje ojačanja šuma na vhodu objekta ter minimalnega časa vzorčenja v digitalnih
sistemih.
3.4.1.1 Razširitev na več ničel v desni polravnini z ali brez zakasnitve
Objekti NMP z enostavno realno ničlo v desni polravnini
Dobro oceno razmerja med amplitudno rezervo, fazno rezervo in frekvenco fazne rezerve
dosežemo z zamenjavo ničel v desni polravnini z enakovredno enostavno ničlo katere faza je
približek prvega reda prvotnih ničel. Preprosta formula: ničle v desni polravnini, ki se nahajajo
na 1, , nz zL , zamenja z , ki ga dobimo iz spodnjega približka prvega reda pri nizki frekvenci
1
1
11 1arg arg1 1 1
n
n
s zs z s zs z s z s z
−− −≈
+ + +L (3.29)
ki daje
1
1 1 1
nz z z≈ + +L (3.30)
Slika 3.9: Zančno ojačanje od ( )L s kjer je φω blizu maksimuma ( )1 3.5L j dBω+ > −
48
Približek je veljaven v frekvenčnem področju kjer so vsi vključeni parametri
nadomestljivi z linearnim razmerjem tani iz z
ω ω≈ . Rezultate je mogoče pojasniti s naslednjimi
prenosnimi funkcijami odprte zanke, ki sledijo predpostavki P3.1
( )
( ) ( )( )( )( )
( )
1 2
2 2
2
33
6 66 6
, 2 3sTd
k sL ss s
s skL ss s skL s e T
s
α
α
α−
−= ⋅
+− −
= ⋅+ +
= =
(3.31)
Enakovredna ničla 0z ničel v desni polravnini od ( )2L s in Pade-jev približek zakasnitve
prenosne funkcije ( )dL s je pri vrednosti 3. Prenosna funkcija je prikazana na sliki 3.10 z
amplitudno rezervo okoli 10dB in fazno rezervo približno 40º. Vse tri prenosne funkcije so
skoraj enake vse do Mω , amplitudna rezerva ( )2L s je le za 1dB nižja od ( )1L s in za 1.5dB
nižja od ( )dL s . Da bi dobili enako amplitudno rezervo za vse tri prenosne funkcije, mora biti
frekvenca fazne rezerve ( )2L s in ( )dL s približno 0.7 /rad s , kar predstavlja odmik manjši od
12% glede na ( )1L s .
49
Slika 3.10: Primerjava treh prenosnih funkcij kjer ( )1L s vsebuje ničlo pri 3, ( )2L s ničlo pri 6,
( )dL s pa zakasnitev 2 3T =
Objekti NMP z enostavno dušeno ničlo v desni polravnini
Po predpostavki P3.1 ( )L s preprosto zapišemo kot
( )2 2
2 2 2
22
k s sL ss s sα
ξω ωξω ω
− += ⋅
+ + (3.32)
Faktor dušenja se nagiba proti 0, njegov Nicholsov diagram konvergira proti trem ravnim
črtam na sliki 3.11. Od tod je razmerje med amplitudno rezervo M, fazno rezervo φ , Mω in
frekvenco fazne rezerve φω za dušeno kompleksno ničlo v desni polravnini pri ω kjer
konvergira 0ξ →
( )1
20log2
M
Mφ
φ π α
ω ω
ωω α
= −
=
=
(3.33)
50
Slika 3.11: Nicholsov diagram prenosne funkcije z enostavno kompleksno ničlo pri različnih faktorjih dušenja 2 1, 1ML sα = =
3.4.2 Nestabilni objekti
Obstoj nestabilnih polov postavlja spodnjo mejo na dosegljivo pasovno širino. Nestabilna
odprta zanka s poli v desni polravnini mora v Nicholsovem diagramu sekati linijo [ )1,− −∞ . To
pomeni, da mora imeti končno spodnjo amplitudno rezervo LM , vendar zgornja amplitudna
rezerva ne sme obstajati. Za zmanjšanje ojačanja šuma senzorja je potrebno zmanjšati visoke
frekvence. Zato mora imeti regulator več polov kot ničel, faza odprte zanke pri visokih
frekvencah pa se mora približati 270− ° , kar predstavlja obstoj Mω . Sledi obravnava: kako najti
minimalni φω pri podani spodnji amplitudni rezervi LM , zgornji amplitudni rezervi HM , fazni
rezervi φ in polih sistema v desni polravnini. Grafično predstavitev vseh vključenih parametrov
predstavlja slika 3.12.
51
Slika 3.12: Definicija zgornje in spodnje amplitudne rezerve (ML, MH), fazne rezerve (φ ), frekvence fazne rezerve ( φω ) in frekvence amplitudne rezerve ( Mω )
3.4.2.1 Nestabilni objekti z enostavnim polom v desni polravnini
Za razpravo uporabimo nestabilno prenosno funkcijo z enostavnim polom v desni
polravnini in končno amplitudno rezervo
( )2
2 21 2n
n n
kL ss a s s
ωξω ω
= ⋅− + +
(3.34)
V splošnem pol normaliziramo s postavitvijo 1a = . Kadar pa je 1a ≠ , nω zamenja naω ,
Mω zamenja Maω in φω zamenja a φω , so enačbe in rezultati sledeči
( )( ) ( )
2
2 22 2 21 2
L n
n n
ML j ωω
ω ω ω ξω ω=
+ − + (3.35)
( ) 1 12 2
2arg tan tan n
n
L j ξω ωω π ω
ω ω− −
= − + − − (3.36)
Za frekvenco fazne rezerve φω pri ( ) 1L j φω = se enačba (3.35) glasi
( ) ( )2 22 2 2 21 2L n n nM φ φ φω ω ω ξω ω ω= + − + (3.38)
52
Za zagotavljanje stabilnostnega pogoja ( )1 0L LM M dB> > mora veljati sledeča
neenakost
( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 42 1n nφ φ φ φω ω ξω ω ω ω− + + > (3.39)
Fazni kot zgornje frekvence amplitudne rezerve Mω iz enačbe (3.36) je ob upoštevanju
( )arg ML jω π= − sledeč
1 12 2
2tan tan n MM
n M
ξω ωπ π ω
ω ω− −
− = − + − − (3.40)
katerega rezultat je
2 2M n nω ω ξω= − (3.41)
Z namestitvijo enačbe (3.41) v enačbo (3.35) dobimo ( HM podan v aritmetični enoti)
( )2
12 1 2
n L
H n n
MM
ωξ ω ξω
=+ −
(3.42)
Za zagotavljanje stabilnostnega pogoja 1HM < (v aritmetični enoti) mora veljati sledeča
neenakost
( )21
2 1 2n L
n n
Mωξ ω ξω
<+ −
(3.43)
Enačbi (3.42) in (3.38) predstavljata tesno povezavo med amplitudnima rezervama LM ,
HM in frekvenco fazne rezerve φω . Naslednje pomembno bistvo je fazna rezerva φ . Iz enačbe
(3.36) ta izpolnjuje
1 12 2
2tan tan n
n
φφ
φ
ξω ωπ φ π ω
ω ω− −
− + = − + − − (3.44)
2 2
2 tan1 tan
n
n
φ φ
φ φ
ξω ω ω φω ω ω φ
−=
− + (3.45)
Z uporabo enačb (3.38, 3.42 in 3.45) dobimo množico grafov v odvisnosti od fazne
rezerve φ , amplitudnih rezerv LM , HM in frekvence fazne rezerve φω za različne ξ . Tako
53
najprej spremenimo obliko enačbe (3.36) z upoštevanjem ω in s ciljem doseči maksimum
( )L jω pri φω ω= . Rezultat je rešitev naslednje enačbe 4. reda
( ) ( ) ( )4 2 2 2 3 2 4 31 2 2 4 2 2 2 0n n n n n n nφ φξω ω ω ξ ω ξω ξω ω ω ξω− + − + − − + − = (3.46)
Ob uporabi φω kot funkcije nω dobimo fazno rezervo iz enačbe (3.44), LM iz enačbe
(3.38), HM pa iz enačbe (3.42). Te povezave so predstavljene na sliki 3.13 pri 0.5ξ = , kjer je
maksimum fazne rezerve pri dani normalizirani frekvenci n aω in minimum pri aφω dosežen
v vsakem primeru.
Slika 3.13: Frekvenca fazne rezerve φω in fazna rezerva φ (zgoraj) ter amplitudni rezervi
(spodaj) proti nω pri 0.5ξ =
Slika 3.14 prikazuje odprto zanko v Nicholsovem diagramu za n aω = 3.65, 5.3, 8.3,
14.5, 33 in 100 s fazno rezervo 30, 40, 50, 60, 70 in 80º. Slika 3.15 je enaka kot slika 3.14 le s
1.0ξ = . Očitno je, da je fazna rezerva nižja kot pri 0.5ξ = , vendar ima višjo amplitudno
rezervo.
54
Slika 3.14: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri 0.5ξ = in različnih vrednostih nω
3.4.2.2 Primeri in omejitve
V mnogih reguliranih sistemih v praksi je glavni interes zmanjšanje nω čim bolj je to
mogoče. Z njim zmanjšamo ojačanje šuma senzorja na vhodu objekta. Rezultate iz slike 3.13
uporabimo pri iskanju omejitev odprte zanke polov v desni polravnini.
Primer:
Predvidevajmo, da potrebujemo fazno rezervo 40φ = ° . Iz slike 3.13c odčitamo
5.3n aω = , saj predstavlja najnižjo vrednost, ki jo lahko uporabimo. Iz istega grafa odčitamo
še ostale vrednosti 1.8aφω = , 5.8LM dB= ter 7.2HM dB= iz slike 3.13d. Ti rezultati se
ujemajo v Nicholsovem diagramu na naslednji sliki 3.14, ki prikazuje nekatere ( )L jω ustrezne
enačbi (3.34).
Prenosne funkcije odprte zanke v praksi so bolj zapletene kot tukaj prikazane, saj
vsebujejo več polov in ničel kot enačba (3.34). Vendar pa osnovne značilnosti (v smislu najnižje
pasovne širine) ne glede na poenostavljeno strukturo enačbe (3.34) ostajajo enake.
55
Slika 3.15: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri 1ξ = in različnih vrednostih nω
3.4.2.3 Razširitev na več polov v desni polravnini
Objekti s enostavnim polom v desni polravnini
Razumno oceno razmerja med amplitudno rezervo, fazno rezervo in frekvenco fazne
rezerve dosežemo z zamenjavo polov v desni polravnini z enim enakovrednim polom, katerega
faza je približek prvega reda glede na originalne pole pri visokih frekvencah. Razlog je prevlada
območja pri visokih frekvencah nad pasovno širino enačbe. Preprosta formula: pole v desni
polravnini postavljene na 1, , np pL zamenja pol p , ki je približek prvega reda
1
1
11 1arg arg1 1 1
n
n
p sp s p sp s p s p s
++ +≈
− − −L (3.47)
ki daje
1 np p p≈ + +L (3.48)
Razlog za izbiro tega približka je v frekvenčnem področju v katerem za vse parametre
velja ipω = in približek tani iz z
ω ω≈ . Približek je ponazorjen s naslednjo prenosno funkcijo
56
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )( ) ( )( )
1 2 2
2 2 2
4 84 21.2 21.2 1 4
1 3 81 3 21.2 21.2 1 4
sL ss s s s
s sL s
s s s s s
+= ⋅
− + + +
+ += ⋅
− − + + +
(3.49)
( )1L s ima strukturo enačbe (3.34) z največjo fazno rezervo 40° . ( )2L s ima enako
strukturo, kjer je ( ) ( )4 4s s+ − zamenjan s približkom ( )( ) ( )( )1 3 1 3s s s s+ + − − . Obe
prenosni funkciji sta prikazani na sliki 3.16. Očitno je, da so fazna rezerva, zgornja amplitudna
rezerva in frekvenca fazne rezerve ( )2L s zelo blizu ( )1L s . Spodnja frekvenca amplitudne
rezerve ( )2L s je za 1.5dB nižja od tiste v ( )1L s , kar predstavlja približno 12% vsote
amplitudnih rezerv H LM M+ .
Slika 3.16: Nicholsov diagram ( )1L s in ( )2L s
Objekti z visoko pod-dušenimi poli v desni polravnini
Po predpostavki P3.1 je ( )L s zapisan v obliki
( )2 2
2 2 2
22
n n
n n
s skL ss s sα
ξω ωξω ω
+ += ⋅
− + (3.50)
57
Ko se faktor dušenja ξ približuje proti 0 njegov Nicholsov diagram konvergira k
minimalni fazi pri frekvencah višjih od nω . Takrat jo obravnavamo kot prenosno funkcijo z
minimalno fazo v tem frekvenčnem področju.
58
4 OPIS METODE QFT
4.1 Uvod
V nadaljevanju sledi kratek pregled obstoječih algoritmov in postopkov metode QFT, ki
so potrebni pri oblikovanju vzorca ter pridobivanju in oblikovanju mejne linije.
4.1.1 Različni pristopi pri oblikovanju vzorca
Vzorec objekta je množica točk, ki predstavlja frekvenčni odziv sistema pri izbrani
frekvenci. V literaturi se vzorci pojavljajo tudi kot sklop vrednosti ali sklopi slik [2]. Problem
načrtovanja vzorcev tako imenujemo tudi problem oblikovanja vzorca ali problem
preračunavanja sklopa vrednosti.
Obstajajo različni pristopi pri reševanju problema načrtovanja vzorca. Najenostavnejši
način je mrežna metoda. Pri tej metodi je vsak parameter postavljen v mrežo, za katero se
vrednosti prenosne funkcije izračunavajo za vsako možno kombinacijo mrež parametrov.
Horowitz [21] je za načrtovanje vzorca predlagal mrežo iz minimalno treh točk za vsak negotov
parameter posebej.
Mrežna metoda je enostavna in uporabna brez znanih omejitev glede na vrsto
parametričnih odvisnosti ali oblik prenosnih funkcij. Vendar ima nekaj pomanjkljivosti:
• zahteva veliko računanja (še posebej kadar imamo veliko število parametrov),
• nastanejo notranje točke vzorca zaradi katerih so v določenih primerih oblika in
njegove meje nerazločne,
• izbira primernih mrež je zahtevna (zaradi slabe izbire je mogoče, da nekaj kritičnih
točk izpustimo).
Cohen [37] predstavi rekurzivno mrežno metodo za izračunavanje sklopov prenosnih
funkcij s parametrično negotovostjo. Predlaga razširitev mrežne metode na način, da se mreža
lokalno prilagodi in s tem doseže predpisana razdalja med sosednjima točkama v sklopu
vrednosti. Prednost tega načina v primerjavi z enostavno mrežno metodo je, da je mogoče
vnaprej določiti ločljivost sklopa vrednosti. S tem se zmanjša število potrebnih preračunavanj.
59
Da načrtovalec izbere pravilno kombinacijo parametrov, ki definirajo meje, mora imeti
poglobljeno znanje o sistemu in z njim povezanimi negotovostmi. V istem delu avtorji
predstavijo algoritem za izračun zunanjih mej tako nastalih vzorcev.
East [38], [39] predlaga algoritem za oblikovanje krožnega vzorca objektov v Nyquistovi
ravnini. Postopek načrtovanja upošteva ničle in pole prenosne funkcije z nekoreliranimi
intervalnimi koeficienti. Prednosti metode so predvsem v tem, da je algoritem enostavno
realizirati s računalnikom, ter da so zunanje meje vzorca enostavno določljive. Rezultati
algoritma so izključno konveksne oblike vzorcev.
Bailey [40] predlaga algoritem za oblikovanje vzorca na intervalu racionalne prenosne
funkcije. Pri tej metodi upoštevamo preslikave, ki jih je mogoče ponazoriti kot razmerje med
polinomom števca in polinomom imenovalca. Predpostavimo, da na jω -osi ni polov ali ničel.
Kadar vsi polinomski koeficienti neodvisno nihajo, sta meji vzorcev imenovalca in števca
pravokotnika v kompleksni ravnini, ki ju je mogoče izračunati. Dejansko mejo vzorca v
amplitudno/fazni ravnini izračunamo z upoštevanjem različnih točk iz teh dveh vzorcev.
Rezultat metode so dejanske meje vzorca. Kadar pa so posamezni koeficienti polinomov
odvisni, ali kadar obstaja odvisnost med posameznimi polinomi, je končni rezultat le približek
zunanjih mej vzorca.
Barmish [41] predstavi koncept dekompozicije z drevesno strukturo (TSD), kjer je v
kompleksni ravnini mogoče mejne sklope vrednosti zapletenih prenosnih funkcij izračunati z
osnovnimi računskimi operacijami +,-,*,/ (med mejnimi sklopi vrednosti elementarnih
prenosnih funkcij).
Gutman [42], [43] predlaga algoritem za izračun sklopov vrednosti negotove prenosne
funkcije (definirane s koeficienti v realni obliki) z negotovim zamikom in nestrukturirano
negotovostjo. Pri tem predpostavimo, da vsak negotov parameter pripada omejenemu in
enostavno povezanemu intervalu. Predpostavimo še, da so vsi parametri neodvisni drug od
drugega ter da so posamezni členi formule prav tako neodvisni. Tako najprej izračunamo robove
vzorca osnovnih členov. Nato izvedemo dvodimenzionalni pregib in dobimo končne meje.
Prednost te metode je, da je mreža definirana v Nicholsovem diagramu, kjer je prikazan končni
sklop vrednosti. Metoda predstavlja primer TSD pristopa.
Fialho [44] predlaga algoritem za direktni izračun mej vzorca v Nicholsovi ravnini za
racionalne prenosne funkcije z negotovostjo neodvisnih parametrov. Metoda temelji na
konceptu Kharitonovih polinomov [45]. Vzorec je pri katerikoli frekvenci mogoče oblikovati z
upoštevanjem največ 32 Kharitonovih členov.
60
Ohta [46] uporabi aritmetiko nekonveksnih poligonskih intervalov (NPIA), da oceni
sklope vrednosti prenosnih funkcij v sprejemljivem času. NPIA je izračun, definiran na sklopu
vseh poligonov v kompleksni ravnini. Obravnava poseben razred prenosnih funkcij, katerih
imenovalci in števci so linearne funkcije negotovih parametrov.
Eszter in Pena [47] obravnavata sisteme, ki nastanejo neposredno iz aplikacijskih
problemov, vključno s tistimi z večkrat povezanimi sklopi. Predstavita razširitev TSD koncepta.
V prvem koraku povezane sisteme razdelimo na podsisteme. V drugem pa sklope vrednosti
pridobimo s kombiniranjem vzorcev podsistemov z delovanjem znotraj mej njihovih sklopov
vrednosti. Obravnava tudi delitveni algoritem za operacije med večkrat povezanimi sklopi.
Teorem mapiranja (»mapping theorem«) [45] podaja način izračuna konveksnega ovoja
sklopa vrednosti linearnih negotovih sistemov. Konveksni ovoj predstavlja enostaven poligon,
katerega vrhove dobimo iz vrhov področja negotovih parametrov. Barmish in Tempo [48] ta
teorem razširita na bolj splošni razred negotovih sistemov s pomočjo posplošenega teorema
mapiranja.
Chen in Ballance [50] predstavita algoritem za neposredno računanje mej vzorca
negotovega sistema z linearnimi in nelinearnimi negotovostmi. Negotovi sistemi so omejeni na
sisteme, ki nimajo izključno imaginarnih polov in tiste, pri katerih v desni polravnini ni
kompenziranih (okrajšanih) ničel in polov. Postavita teorijo, da je mogoče pri takih prenosnih
funkcijah meje izračunati samo z robovi negotovih področij ter kritičnimi notranjimi točkami.
Kritične notranje točke je mogoče identificirati z rešitvijo sklopa enačb z uporabo programske
opreme. Mejo izračunamo na robovih ter najdenih kritičnih notranjih točkah. V primerjavi z
metodami po Kharitonovem teoremu so vzorci, ki jih dobimo po tej metodi, kompaktnejši.
Nataraj in Sardar predlagata dva IATG algoritma v [51] in [52]. Splošna lastnost teh
algoritmov je možnost apliciranja na katerokoli prenosno funkcijo ter da nastali vzorci zmeraj
vsebujejo originalni vzorec.
Algoritmu, predstavljenem v [51], ponavljajoče parametre razdelimo s pomočjo
arbitrarnega razdelitvenega faktorja, katerih funkcije amplitudnih velikosti uporabimo na
kombinacijah parametrov. Vzorec ocenimo z uporabo vzporedne ocene funkcij zaradi česar je
algoritem zelo hiter. Pomanjkljivosti te metode sta manjkajoča navodila za izbiro razdelitvenih
faktorjev ter nezmožnost ocenitve rezultatov metode.
Algoritem predstavljen v [53] uporablja prilagodljivo razdelitev parametrov, s katerim
nastanejo vzorci arbitrarne točnosti. Algoritem pri vsaki ponovitvi uporabi korak posplošenega
Gauss-Seidelovega algoritma, ki pospeši proces konvergence. Algoritem je precej počasen, saj
je vsak pododdelek ponovno razdeljen na zaporedni način.
61
4.1.2 Ekstrakcija mejne linije
Lasky in Ravani [54] predstavita metodo za hitro oceno mejne linije v Nicholsovem
diagramu, ki temelji na oceni konveksnega ovoja, katere rezultat je prekrivajoča mejna linija.
Metoda je uporabna za sisteme z negotovimi členi z mrtvim časom.
Agamennoni [55] predstavi algoritem za ekstrakcijo konveksnega ovoja meje vzorca iz
danega vzorca v kompleksni ravnini. Algoritem vključuje premikanje vzdolž meje vzorca v
korakih izbranega kota.
Boje [56] predstavi algoritem za eliminacijo notranjih točk danega vzorca, s čimer
zmanjša število točk vzorca v Nicholsovi ravnini.
4.1.3 Oblikovanje mejne linije
Ključni korak metode QFT predstavlja preslikava lastnosti zaprte zanke v frekvenčni
domeni v domene v Nicholsonovem diagramu z dodatki faznih in amplitudnih vrednosti
regulatorja. Te domene imenujemo meje metode QFT. Rezultat je regulator nominalne prenosne
funkcije zanke, ki je znotraj meja pri vsaki izbrani frekvenci.
V posebnem razredu racionalnih funkcij Fialho [44] uvede metodo izračunavanja mej.
Pokaže, da je za ta razred objektov mogoče natančno izračunati meje z uporabo največ 32 eno-
parametričnih družin racionalnih funkcij, s ti. Kharitonovimi členi.
Za posebni razred splošnih objektov, kjer sta tako števec kot imenovalec polinoma, Zhao
in Jayasuriya [57] predlagata računsko učinkovit algoritem za meje robustne stabilnosti in
odpravo motenj. Meje izračunamo z reševanjem sklopa simultanih neenakosti pri vsaki
frekvenci z uporabo Kharitonovih polinomskih rezultatov. Izpeljemo eksplicitne enačbe za
določitev frekvenčno odvisnih prepovedanih regij, ki se jim ( )0L s mora izogniti. Te enačbe
neposredno uporabimo za oblikovanje mej, pri tem pa ni potrebe po običajnem
enodimenzionalnem iskanju faze prenosne funkcije nominalne zanke.
V nadaljevanju sledi pregled algoritmov za splošne strukture objektov in negotovosti.
V prvotnem zapisu metode QFT [58] so bile meje dosežene s poskusi in napakami, z
manipulacijami vzorca objektov v Bodejevem diagramu. Kasneje Horowitz in Sidi [59]
predlagata enak proces v Nicholsovem diagramu.
Longdon in East [60] predlagata enostavno geometrijsko tehniko za izračunavanje mej z
določeno občutljivostjo z uporabo ravnila. Metoda je natančna v primeru, kadar je mogoče
odstopanja parametrov objekta ponazoriti s konveksnim poligonom. Metoda je primerna za
62
ročno ali računalniško uporabo. Njena implementacija je enostavnejša kot algoritemsko iskanje
s poskusom in napako.
East [38] predlaga postopek razvit posebej za CAD sintezo prenosnih funkcij zanke
neposredno iz podatkov variacij objekta. Ballance in Gawthrop [61] nato razvijeta QFT program
za načrtovanje reguliranih sistemov, ki temeljijo na Eastovih zamislih. Vendar v Eastovem
pristopu obstajajo določene napake [62].
Nekateri avtorji predlagajo algoritem za oblikovanje mej na podlagi iskanja (npr. v [63] in
[64]). Vendar so ti algoritmi razmeroma počasni zaradi same narave iskalnega procesa.
Kot posledica tega več avtorjev predlaga učinkovitejše algoritme za oblikovanje mej, ki
temeljijo na pristopu kvadratnih neenakosti. Wang [65] predstavi neenakost za pridobivanje mej
na nominalni prenosni funkciji ( )0L s za doseganje robustnih sledilnih lastnosti. Neenakost
izpeljemo glede na nominalni objekt 0L , negotov objekt in sledilne mejne lastnosti. Avtorji
pokažejo, da je meja pri dani frekvenci mejna linija sklopa krožnic v kompleksni ravnini.
Chait in Yaniv [66] predstavita lastnosti zaprtih zank in meje v obliki kvadratnih
neenakosti. Obdelata širok spekter problemov robustnih učinkov: amplitudne in fazne meje,
odpravljanje šuma, odpravljanje motenj izhoda in vhoda objekta, ujemanje modelov, sledljivost
in učinek. Za vsakega od teh problemov podata enostaven algoritem oblikovanja mej, ki temelji
na sklopu kvadratnih neenakosti. Pri objektu predvidevata le strukturirano negotovost.
Chait in Yaniv [67] prav tako predstavita neposredno metodo QFT v z-domeni za
diskretne negotove sisteme z vzorčenimi podatki. Meje z-domene izračunamo iz sklopa
kvadratnih neenakosti, ki vzorčene podatke preslikajo v meje metode QFT (podobno kot pri
zveznih časovnih sistemih). Oblikujejo se meje za robustno stabilnost, robustno ojačanje in
fazni kot. Neposredna metoda z-domene zaradi uporabe bilinearne transformacije odpravi
problem ovoja.
Nordgren [3] predstavi objekte modelov z ničlami in poli v desni polravnini, časovnimi
zamiki in določenimi visoko frekvenčnimi nestrukturiranimi negotovostmi. Robustno stabilnost,
sledenje in odpravljanje motenj izpeljemo glede na funkcije občutljivosti in urejene negotovosti
objekta. Thompson [68] opisuje strukturo mej pri nizkih frekvencah in poda izraz v obliki
zaprtega gradienta.
Chait [33] razširi pristop kvadratnih neenakosti na objekte z nestrukturiranimi
negotovostmi.
Rodrigues [34] predstavi izboljšan algoritem za izračun mej z uporabo kvadratnih
neenakosti. Pri izračunu mej metode QFT se točnost meje povečuje z večanjem števila točk
63
vzorca, ki jih upoštevamo pri izračunu, vendar se pri tem povečuje tudi zahtevnost računanja.
Uporaba verzije Edgevega teorema z realnim korenom predvideva, da je realni koren sklopa
polinomov enak realnemu korenu sklopa robov. V [45] Rodrigues predstavi teoretične rezultate,
iz katerih je razvidno, da je pri izračunu mej potrebno upoštevati samo vrhove konveksnega
ovoja. Na ta način dobimo natančnejšo mejo z uporabo natančnejših konveksnih ovojev vzorca,
ne da bi pri tem povečali zahtevnost računanja.
Eitelberg [69] predstavi metodo, ki zagotavlja sledenje tolerance napake kljub
negotovostim v povratni vezavi sistema. Postopek temelji na občutljivostni funkciji in ne
vključuje dodatnega načrtovanja v primeru, kadar sledenje vsebuje nično nominalno napako
(»zero nominal error«).
4.1.4 Povzetek
Obstoječi algoritmi za oblikovanje mej temeljijo na točkah in uporabljajo le končen sklop
objektov iz vzorca objektov. Za oblikovanje mej uporabimo približek končnega vzorca, ki pa ne
daje nikakršnih zagotovil, da so meje veljavne za celotno družino objektov. Meje v algoritmih
izračunamo le na končnem številu faznih vrednosti regulatorja, ki jih izbere uporabnik
(ponavadi v faznem razponu [ ]2 ,0π− , vsakih pet stopinj). Mej pri ostalih faznih vrednostih ne
izračunavamo, temveč jih linearno interpoliramo iz sosednjih (izbranih) faz. Tako ni zagotovil,
da so meje veljavne v celotnem faznem razponu - v splošnem ni zagotovil, da so meje,
izračunane s točkovnimi algoritmi, veljavne za celotno družino objektov in celotno fazno
območje regulatorja.
4.2 Oblikovanje vzorcev
Prvi in ključni korak metode QFT predstavlja oblikovanje vzorcev negotovih objektov. To
pomeni ugotavljanje nujnih notranjih točk negotovih parametrov, ki ležijo na mejah vzorcev
objekta. Meje vzorcev so podane z robovi negotovih parametrov in identificiranimi notranjimi
točkami.
Pri metodi QFT je ključno opisati objekt z negotovostmi, vključno s parametričnimi,
nestrukturiranimi in mešanimi negotovostmi v frekvenčni domeni. Zato je nujno potrebno
poznavanje analize frekvenčnih lastnosti in izračunavanja frekvenčnih odzivov takih objektov.
Pri metodi QFT se vse negotovosti preoblikujejo v vzorce objektov v Nicholsovem ali
Nyquistovem diagramu. Termin vzorec se nanaša na skupino frekvenčnih odzivov negotovih
objektov. Za preprosto povezane vzorce je potrebno in hkrati tudi dovolj delati samo z mejami
vzorcev po metodi QFT [2].
64
Najbolj pogosta metoda oblikovanja vzorcev objektov je omejevanje nastavitev
parametrov in izračun vrednosti prenosnih funkcij v diskretnih točkah parametrov. To je
računalniški pristop, katerega rezultat je veliko število nepotrebnih notranjih točk v vzorcih. Pri
vzorcu s q negotovimi parametri, kjer se za vsak parameter uporablja n mrežnih točk, bi se
vrednost prenosne funkcije izračunala qn krat. Tako bi npr. pri vzorcu s petimi negotovimi
parametri bilo potrebno preračunati prenosno funkcijo 100.000-krat, če bi bil vsak parameter
razdeljen 10-krat. Ker je to prvi korak v procesu oblikovanja povzroča veliko breme v sledečih
izračunih mej robustne stabilnosti in mej robustnega obnašanja [1].
Zaradi tega je bilo v preteklosti predlaganih več pristopov poenostavitve procesa
oblikovanja vzorcev za objekte s negotovimi strukturami [12]. Bailey in Hui [70] sta preučila
problem tako, da so negotovi parametri v števcu in imenovalcu neodvisni in sorodni. Fu [71] in
Barlett [72] trdita, da ko so negotovi parametri v števcu in imenovalcu neodvisni in sorodni, se
meje vzorcev oblikujejo z robovi množice parametrov. S pomočjo sistema Kharitonovega
polinoma in Kharitonovega segmenta so Tesi in Vicino [73] ter Keel in Bhattacharyya [74, 75]
pokazali, da se frekvenčni odziv lahko doseže s Kharitonovim polinomom ali Kharitonovim
segmentom.
Pri oblikovanju strukture negotovih parametrov ni omejitev. V splošnem je razvit
postopek za oblikovanje vzorca negotovih objektov, vključno z nelinearnimi in multilinearnimi
perturbacijami. Ta temelji na Jacobian-ovi funkciji, ki namesto direktnega izračuna vzorca
problem preoblikuje na testiranje ničle negotovega polinoma. Posledično je ugotovitev meje
vzorca enaka testiranju mej ničle negotovega polinoma.
4.2.1 Izračun meje vzorca
V negotovem objektu
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
0 1
0 1
,,
,
m iii
n iii
n q n q sN s qP s q
D s q d q d q s=
=
+= =
+∑∑
(4.1)
predstavlja q vektor negotovih parametrov. Z zgornjo strukturo lahko opišemo skoraj vse fizične
objekte s strukturiranimi negotovostmi vključno z multilinearnimi in nelinearnimi
negotovostmi. Vsak od p negotovih parametrov qi se neodvisno nahaja znotraj intervala
,i iq q . Vektor negotovih parametrov q pripada množici
: , , 1, ,pi i iQ q q R q q q i p= ∈ ≤ ≤ = K (4.2)
65
Pri fiksni frekvenci bo frekvenčni odziv objekta (4.1) z negotovimi parametri q Q∈
predstavljal rezultat v kompleksni ravnini, ki se imenuje vzorec objekta, definiran z
( ) ( ) , :P P j q q Qω ω= ∈ (4.3)
V metodi QFT se analiza in sinteza reguliranega sistema izvajata v Nicholsovem
diagramu. V praksi je dokazano [30], da točke parametrov, ki prispevajo k mejam vzorcev v
Nyquistovem diagramu, prispevajo tudi k tistim v Nicholsovem diagramu.
Pri obravnavi primera predpostavimo:
• P4.1: objekt (4.1) nima izključno imaginarnih polov za vsak q Q∈ ,
• P4.2: objekt (4.1) nima kompenziranih ničel in polov v desni polravnini za vsak
q Q∈ .
Naj bo
( ) ( ) ( ), , , ,F q y N j q y D j qω ω ω= − × (4.4)
kjer y predstavlja kompleksno spremenljivko, ( )ωϒ pa množico y točk za katere velja
( ), , 0F q yω = :
( ) ( ) : , , 0,y F q y q Qω ωϒ = = ∈ (4.5)
Množico ( )ωϒ imenujemo ničelna množica od ( ), ,F q yω . Sledeč predpostavkam P4.1
in P4.2 je enostavno pokazati da je
( )P P ω= (4.6)
samo če velja
( )y ω∈ ϒ (4.7)
in
( )P P ω= ∂ (4.8)
samo če velja
( )y ω∈∂ϒ (4.9)
kjer ( )ω∂ϒ označuje mejo množice ( )ωϒ .
66
Zaradi teh predpostavk je izračun vzorca enakovreden testiranju ničle polinoma
( ), ,F q yω pod vplivom negotovega parametra q Q∈ . Tako sta na osnovi predpostavk P4.1 in
P4.2 P in ϒ enakovredna.
Sedaj lahko funkciji ( ),P j qω in (4.1) zapišemo kot
( ) ( ) ( )( ) ( )
, ,,
, ,r i
r i
N q jN qP j q
D q jD qω ω
ωω ω
+=
+ (4.10)
Postavimo
y jσ θ= + (4.11)
kjer sta σ in θ realni spremenljivki. Takrat enačba (4.4) postane
( ) ( ) ( )( )
, , , , , ,
y y i i y i
F q y F q y j F q y
N D D j N D D
ω ω ω
σ θ θ σ
= ℜ + ℑ
= − + + − − (4.12)
Definicije
• D4.1: notranje točke množice negotovih parametrov Q se dodelijo vsem točkam razen
tistim na robovih množice parametrov Q,
• D4.2: leva stran (polravnine) množice negotovih parametrov Q se nanaša na
podmnožico množice parametrov Q, kjer se levo ležeči (polravnine) parametri lahko
premikajo v poljubnih smereh, vsi ostali pa so določeni v njihovih končnih točkah.
Izrek
Objekt (4.1) z negotovimi parametri Pq Q R∈ ⊂ izpolnjuje predpostavki P4.1 in P4.2
edino takrat, kadar točke množice negotovih parametrov Q (2) prispevajo k meji vzorca
( ),P j qω v kompleksni ravnini.
Glede na definicije in enačbe sklepamo:
• I4.1: upoštevamo le točke na robu množice negotovih parametrov Q,
• I4.2: za vse levo ležeče parametre množice negotovih parametrov Q, sestavljene iz
1 1 2, , , , , , 1,2, ,
l
Tll l lq q q l l l p ∈ ∈ K K K in 2 l q≤ ≤ velja, da točke zadostujejo
pogojema
67
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )1
1
, , , ,
2, , , ,
l
l
l l
l l
l l
l l
F q y F q y
q qrank
F q y F q y
q q
ω ω
ω ω
∂ ℜ ∂ ℜ ∂ ∂ < ∂ ℑ ∂ ℑ ∂ ∂
L
L
(4.13)
in
( ), , 0lF q yω = (4.14)
4.2.2 Dokaz
Za osnovo uporabimo objekt z dvema negotovima parametroma. Tega nato razširimo na
objekt s p negotovimi parametri. Dokazati moramo, da točke iz množice Q, ki ne izpolnjujejo
pogojev izreka, ne prispevajo k meji vzorca. Domnevamo, da obstaja točka 0y na meji množice
ničel ν od ( )0 0, ,F q yω , tj. na meji vzorca, kjer pa točka 0q iz množice negotovih parametrov
Q ne izpolnjuje pogojev izreka I4.1 in I4.2. To pomeni da
( )0 0, , 0F q yω = (4.15)
Taylorjeva razširitev funkcije ( ), ,F j q yω v točki ( )0 0,q y prinaša
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0 0 0 0, , , , , ,
q q y y
F q y F q q y y F q y
F Fq yq y
δ ω ω δ δ ω
δ δ= =
= + + −
∂ ∂= +
∂ ∂
(4.16)
Postavimo y jσ θ= + . ( )0 0, ,F j q yω predstavlja kompleksno funkcijo, 0q pa negotov
parameter, ki se ne pokorava pogoju izreka I4.1. To pomeni, da 0q ne leži na robovih množice
negotovih parametrov Q. Zato lahko zgornjo enačbo zapišemo kot
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
0
1 2 1
2
1 2 q q
F Fq q qF
MqF F F
q q
δδ δσδδ δθ
=
∂ ℜ ∂ ℜ ∂ ∂ℜ = + ℑ ∂ ℑ ∂ ℑ
∂ ∂
(4.17)
Kjer Fℜ in Fℑ predstavljata realni in imaginarni del funkcije F . M predstavlja
matriko, ki je rezultat F y∂ ∂ pri 0y y= . Ker 0q ne izpolnjuje pogoja (4.13) pomeni, da ima
matrika
68
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
0
1 2
1 2 q q
F Fq q
F Fq q
=
∂ ℜ ∂ ℜ ∂ ∂ ∂ ℑ ∂ ℑ
∂ ∂
(4.18)
popolni rank. To pomeni, da za katerikoli σδ in θδ obstajata 1qδ in
2qδ tako da velja
0FF
δδ
ℜ = ℑ
(4.19)
To izhaja iz
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , , , ,F q q y y F q y F q yω ω δ ω+ + = + (4.20)
katerega rezultat je
( ) ( )0 0 0 0, , , , 0F q q y y F q yω ω+ + = = (4.21)
To pomeni, da je ( )0 0, ,F q q y yω + + prav tako v množici ν oziroma vzorcu objekta. Ker
za vsako dovolj majhno perturbacijo v katerokoli smer na 0σ in 0θ (na 0y ) obstaja q Q∈ tako,
da velja y yδ ν+ ∈ . Ta predstavlja točko 0y , ki ni element množice ν∂ (ni na meji vzorca
objekta). To pa je v nasprotju s predpostavko.
Objekt s p dimenzionalnimi negotovimi parametri je sestavljen iz p-dimenzionalnega
mnogokotnika in vsebuje stranice od p-te to 0-te razsežnosti. Zato moramo preveriti ali točke
vsake l-stranice ( )2p l≤ ≤ prispevajo k meji vzorca. Preučimo l-stranico množice negotovih
parametrov Q sestavljeno iz 1 2 1 2, , , , , , , 1, 2, ,
l
ll l l lq q q q l l l n = ∈ K K K . To pomeni, da so
ostali p l− negotovi parametri določeni v njihovih končnih točkah. Glede na zgornjo razpravo
enačba (4.17) postane
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
11
10
l
l
l l l
ll l
ll l
q q
F Fqq qF
MF F F q
q q
δδ δσδ δθ
δ
=
∂ ℜ ∂ ℜ ∂ ∂ℜ
= + ℑ ∂ ℑ ∂ ℑ ∂ ∂
L
ML
(4.22)
Torej le točke na l-stranici izpolnjujejo pogoj (4.14) in so razporejene na vzorec objekta.
Rezultat je dosežen.
69
4.2.3 Opombe
• O4.1: Množica P ni nujno enostavno povezana.
• O4.2: Pri 0ω = funkcija ( )0, ,F q y postane funkcija realnih vrednosti in enačba
(4.13) več ne drži. A to v tem primeru ni pomembno, saj za izračun vzorca
potrebujemo le minimum in maksimum realnih vrednosti funkcije ( ) ( )0 0n q d q .
• O4.3: V enačbi (4.13) ni možno, da bi bila celotna vrstica matrike enaka 0, saj je
funkcija ( ), ,F q yω ali prenosna funkcija ( ),P j qω neodvisna od ustreznega
parametra il
q . Zato je testiranje enačbe (4.13) enako rešitvi spodnjih 1l − enačb
( ) ( )
( ) ( )
, , , ,
0, , , ,
l l
l li j
l l
l li j
F q y F q yq q
F q y F q yq q
ω ω
ω ω
∂ℜ ∂ℜ
∂ ∂=
∂ℑ ∂ℑ
∂ ∂
(4.23)
kjer je i določen v območju 1,2, ,i l= K , j v območju 1, 2, ,j l= K in j i≠ .
S kombinacijo enačbe (4.23) in pogoja (4.14) dobimo množico 1l + enačb in 2l +
spremenljivk 1 2, , ,
ll l lq q qK , σ in θ . Po zamenjavi spremenljivk 1 2, , ,
ll l lq q qK dobimo
krivuljo ( ), 0H σ θ = , ki opisujejo točke vzorca ( ),P j qω v Nicholsovem diagramu.
Te točke so razporejene na kritičnih notranjih linijah kjer izpolnjujejo pogoje (4.13) in
(4.14).
• O4.4: Izračun frekvenčnega odziva negotovega objekta je potreben le v točkah na
robovih ter v tistih, ki izpolnjujejo pogoja (4.13) in (4.14). Potrebno je preveriti ali
obstajajo točke na l-stranici množice negotovih parametrov Q, ki izpolnjujejo pogoje
(4.13) in (4.14). Prav tako je potrebno rešiti množico 1l + enačb. Simbolično
računanje ima pomembno vlogo v tem postopku. Ena od teh je izračun Jacobianove
matrike. Ker notranje točke na l-stranici izpolnjujejo pogoje (4.13) in (4.14)
sestavljajo krivuljo (če le-te obstajajo), kar pomeni, da obstaja neskončno numeričnih
rešitev za množico enačb. V splošnem so to nelinearne enačbe. Vendar, kot je dobro
znano, so koeficienti prenosne funkcije polinomske funkcije negotovih parametrov. Za
večino realnih sistemov v praksi velja, da je eksponent polinomov negotovih
parametrov ( )in q in ( )id q v (1) nižji od 3. Te enačbe rešujemo z obstoječimi
programskimi orodji za simbolično računanje (npr. Matlab).
70
Postopek za izračun vzorca objekta je sledeč:
1. Objektu (4.1) s negotovimi parametri določimo frekvenco ω in postavimo l p= ,
2. Z reševanjem sklopa enačb (4.13) in (4.14) identificiramo točke na l-stranici, ki prispevajo k
meji vzorca.
3. Postavimo 1l l= − in ponavljamo korak 2 dokler ne pridemo do 2l = .
4. Nazadnje izračunamo vrednosti ( )P jω na robovih in v točkah dobljenih v koraku 2 in 3.
4.3 Princip načrtovanja
Cilj robustnega vodenja je zadovoljivo performančno obnašanje vodenega sistema kljub
nepopolnemu poznavanju objekta. Zadovoljivo performančno obnašanje lahko opišemo kot
ojačanje ( )H jω prenosne funkcije zaprte zanke, ki leži v dovoljenem območju Bodejevega
diagrama na sliki 4.1 (osenčeno polje):
( ) ( ) ( )0 j H j jα ω ω β ω≤ ≤ ≤ (4.24)
Amplituda želene prenosne funkcije zaprte zanke je do določene frekvence enaka 0dB,
nato pa hitro pada. Ponavadi so meje ( )α ω in ( )β ω določene tako, da je sprememba
( ) ( )β ω α ω− dovolj majhna, da ne povzroča nestabilnosti in zadovolji performančne kriterije
v frekvenčnem območju hω ω< . Pri izbiri mej ( )α ω in ( )β ω je nerealno določiti ozko
spremembo nad frekvenco hω , saj je naraščanje občutljivosti sistema v visoko frekvenčnem
območju neizogibno. Predvidevamo, da so vrednosti ( ) ( )β ω α ω pri hω ω? zelo velike,
medtem ko so dejanske vrednosti ( )α ω in ( )β ω majhne.
71
Slika 4.1: Meje tolerance za ojačanje zaprte zanke
Za doseganje robustnosti je potrebno zadostiti vsem pogojem, prikazanim na sliki 4.1. Pri
objektih z neminimalno fazo moramo za fazo prenosne funkcije zaprte zanke dodatno definirati
tolerančne meje [6].
Elektromehanski objekti so lahko predstavljeni kot modeli, ki vsebujejo strukturirano in
nestrukturirano odstopanje [11]. Nestrukturirana odstopanja so zajeta z QFT metodo preko
omejitve amplitude zaprte zanke. Omejitev zagotavlja stabilnost za vse objekte iz družine
objektov z nestrukturiranim odstopanjem.
Slika 4.2: Zaprta zanka sistema
72
Cilj metode QFT za družino objektov z mešano negotovostjo je določitev točno določenih
parov natančnih, racionalnih in stabilnih prenosnih funkcij ( )C s in ( )F s v sistemu z dvema
prostostnima stopnjama (»2-DOF«) prikazanim na sliki 4.2, na način, da dosežemo:
• robustno stabilnost: zaprta zanka sistema je stabilna za vse objekte iz družine
objektov z mešano negotovostjo oziroma sistem je stabilen za vse perturbirane modele
v okolici nominalnega, vključno z najslabšo možnostjo nezanesljivosti,
• robustni učinek: vsi objekti družine izpolnjujejo zadane karakteristike v časovni in
frekvenčni domeni (čas vzpona, prenihaj, pogrešek, ...) oziroma sistem zadošča
zahtevam glede obnašanja za vse perturbirane modele v okolici nominalnega, vključno
z najslabšo možnostjo nezanesljivosti.
Med načrtovanjem mora biti ojačanje regulatorja ( )C s čim manjše. Med vsemi
regulatorji, ki zadostujejo pogojem, imenujemo tistega z minimalnim visoko frekvenčnim
ojačanjem optimalni regulator [7].
Vzemimo objekt, ki ga opisuje funkcija ( ),P s λ , in sta 1, , nλ λ λ= K realni vektor
parametrov objekta ter s Laplaceova spremenljivka. Predpostavimo, da parameter objekta iλ
neodvisno niha v določenih realnih intervalih 0iΛ tako, da imamo sklop parametrov objekta
0 01 , ,o
nΛ = Λ ΛK . Nominalni vektor parametrov objekta označimo z 0λ .
Predpostavimo, da je ta družina objektov vstavljena v strukturo z dvema prostostnima
stopinjama z regulatorjem ( )C s in predfiltrom ( )F s kot kaže slika 2. V tem primeru lahko na
kratko podamo korake metode QFT [59]:
1. Oblikovanje vzorca: za vsako izbrano frekvenco ω predstavimo vzorec objekta
( ) 0: , ,G P s λ λ= ∈ Λ v Nicholsovem diagramu,
2. Oblikovanje mejne linije: za vsako izbrano frekvenco vzorec objekta G premikamo
po zaprti zanki specifikacij robustne stabilnosti in robustnega učinka v zunanje meje
regulatorja v Nicholsovem diagramu,
3. Oblikovanje zanke: določimo prenosno funkcijo regulatorja ( )C s tako, da so pri
vsaki izbrani frekvenci zadovoljene meje, ki so bile ustvarjene v drugem koraku,
4. Oblikovanje predfiltra: določimo prenosno funkcijo predfiltra ( )F s tako, da
zadovoljimo zahtevam robustne sledljivosti.
73
Postopek načrtovanja regulatorja po QFT metodi je sestavljen iz več korakov. Diagram
poteka na sliki 4.3 predstavlja posamezne faze, ki so podrobneje predstavljene v nadaljevanju.
Slika 4.3: Diagram poteka načrtovanja regulatorja
4.4 Potek načrtovanja
4.4.1 Mejni krivulji
Slika 4.4 levo prikazuje stopnična odziva zgornje in spodnje mejne krivulje glede na
podane zahteve vodenja. Slika 4.4 desno prikazuje ti mejni krivulji v frekvenčni domeni. mM v
frekvenčni domeni se ujema z maksimalnim dovoljenim prenihajem pM v časovni domeni
( m pM M≈ ). ( )R ijδ ω predstavlja razliko v dB med mejnima krivuljama pri določeni izbrani
frekvenci iω . mM in vrednosti ( )R ijδ ω imajo ključno vlogo pri načrtovanju regulatorja.
74
Slika 4.4: Mejni krivulji v časovni in frekvenčni domeni
4.4.2 Izbrane frekvence
Množico frekvenc izberemo tako, da bodo meje vseh izbranih frekvenc zadostovale
pogojem za vse frekvence v opazovanem območju [2]. Frekvence so empirično določljive po
priporočilu v [14]. Pri grafičnem načrtovanju si pri izbiri frekvenc pomagamo s fizičnimi
oblikami vzorcev objekta ali vrednostmi ( )R ijδ ω . Med postopkom načrtovanja ne preverjamo
robustne stabilnosti ter robustnega učinka mej pri vseh frekvencah, temveč le pri tistih, katere
fizične oblike vzorca objekta ali vrednosti ( )R ijδ ω se razlikujejo od že prej izbranih (pri nižji
frekvenci). Z višanjem števila izbranih frekvenc se viša zapletenost načrtovanja.
4.4.3 Vzorci objekta
Vzorci objekta prikazujejo učinek negotovosti parametrov na ojačanje in fazo nominalne
zanke pri izbrani frekvenci. Učinek negotovosti parametrov je sorazmerno enak pri vseh
izbranih frekvencah.
Primer objekta predstavljenega s prenosno funkcijo:
( ) ( ) , , 1,10K aP s K as s a
⋅= ∈
+ (4.25)
Območje negotovosti parametrov objekta je prikazano na sliki 4.5.
75
Slika 4.5: Območje negotovosti parametrov objekta
S preslikavo tega območja v Nicholsov diagram dobimo vzorec objekta pri določeni
frekvenci. Matematično to predstavlja preračun vseh notranjih in mejnih točk območja v
amplitude in faze objekta pri določeni frekvenci v Nicholsovem diagramu. Primer rezultata
takšnega preračuna za eno frekvenco je prikazan na sliki 4.6.
Slika 4.6: Vzorec objekta pri določeni frekvenci
76
4.4.4 Nominalni model
Vzorec na sliki 4.6 lahko vsebuje neskončno število objektov (zaradi vseh možnih
kombinacij sprememb negotovosti parametrov). Zato izberemo takšen nominalni model ( )0P s ,
ki bo predstavljal vse ostale. Izberemo katerikoli objekt v vzorcu, pomembno je le, da tega
istega uporabljamo ves čas načrtovanja. Dobimo ga tako, da v prenosno funkcijo lineariziranega
modela objekta vstavimo izbrane koeficiente iz intervala negotovosti parametrov. Po nekaterih
priporočilih [8] se izbere tisti nominalni model, katerega točka v Nicholsovem diagramu leži v
spodnjem levem vogalu (za vse izbrane frekvence).
V primeru enačbe (4.25) je to točka A na slikah 4.5 in 4.6. Nominalni model je pri
določenih vrednostih parametrov 1k a= = sledeč
( ) ( )01
1P s
s s=
+ (4.26)
4.4.5 Meje robustne stabilnosti in robustnega učinka
4.4.5.1 Robustna stabilnost (U krivulja)
Meje robustne stabilnosti služijo kot vodilo pri načrtovanju regulatorja ( )C s za izbrane
frekvence. Poznamo grafični in analitični način pridobivanja teh mej.
Grafični način
Mejo stabilnosti vseh izbranih frekvenc sestavljajo nominalne točke, čigar vzorec se
dotika kroga območja stabilnosti v Nicholsovem diagramu (desna slika 4.7). Slika 4.7 prikazuje
preslikavo največjega dovoljenega ojačanja mM iz Bodejevega diagrama v Nicholsov diagram.
V nobenem primeru odprta zanka objekta ne sme prečkati tega območja (pri nobeni frekvenci).
Iz tega sledi, da je maksimalna dovoljena amplituda odvisna od omejitvenega kriterija ( )β ω ,
ki predstavlja supremum zgornje meje ( ( )β ω∞
). Tako dobimo mejo stabilnosti za nizke
frekvence.
Postavitev meje stabilnosti za visoke frekvence si zamislimo tako, da postavimo pisalo na
nominalno točko vzorca za določeno izbrano frekvenco. Nato celotni vzorec premikamo okoli
kroga območja stabilnosti, medtem ko še vedno držimo pisalo v nominalni točki vzorca. Slika
4.7 prikazuje, kako v korakih pri določeni izbrani frekvenci premikamo vzorec v smeri urinega
kazalca okoli kroga območja stabilnosti. Obris, ki ga vidimo na sliki 4.7 (s pisalom narisan
obris), je meja stabilnosti za pripadajočo izbrano frekvenco. Dobljen obris je na zgornji strani
77
fiksno določen z območjem stabilnosti (polna črta), na spodnji pa odvisen od same oblike
vzorca (črtkana črta).
Slika 4.7: Preslikava meje stabilnosti izbranih frekvenc iz Bodejevega diagrama v Nicholsov
diagram
Analitični način
Pri visokih frekvencah lahko vsako racionalno funkcijo zapišemo kot
( )( )
( )1
1
,
m
iin e
ii
s zCJ s Css p
ω=
=
+= → → ∞
+
∏
∏ (4.27)
kjer e predstavlja presežek ničel nad poli. Da vzorec objekta ne prečka mM pri visokih
frekvencah moramo spodnji del območja stabilnosti navzdol razširiti
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )max min max minlimLm J j Lm J Lm J Lm C Lm C V dBω
ω→∞
∆ = − = − = (4.28)
kjer ( )Lm x predstavlja ( )1020log x .
V primeru enačbe (4.25) je tako
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2max min
max min
lim
100 1 40
V Lm J j
Lm Ka Lm j Lm Ka Lm j
Lm Ka Lm Ka Lm Lm dBω
ω
ω ω→∞
= ∆
= − − −
= − = − =
(4.29)
Slika 4.8 prikazuje razširjeno področje stabilnosti, ki ga imenujemo univerzalna
visokofrekvenčna meja ali U krivulja.
78
Slika 4.8: U krivulja
4.4.5.2 Robustni učinek (mejna linija)
V sistemu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
1F s L s
Y s R s T s R sL s
= =+
(4.30)
predstavljajo ( )Y s izhod, ( )R s vhod, ( )T s pa komplementarno občutljivostno funkcijo. Za
( )L s velja
( ) ( ) ( )L s C s P s= (4.31)
Ker sta ( )C s in ( )F s fiksna dobimo
( )( ) ( )( ) ( )( )1
L jLm Y j Lm T j Lm
L jω
ω ωω
∆ = ∆ = ∆ +
(4.32)
( )( ) ( )( )Lm L j Lm J jω ω∆ = ∆ (4.33)
Za dosego predstavljenih lastnosti mora sprememba v ( )( )Lm T jω povzročiti premik v
področje med mejnima krivuljama predstavljenima na sliki 4.4 desno. Ta omejitev prenesemo
na mejno linijo v Nicholsovem diagramu.
Postopek določitve mejne linije pri izbrani frekvenci je sledeč:
79
1. Iz slike 4.4 desno odčitamo vrednosti ( )R ijδ ω za vse izbrane frekvence iω .
2. Vzorec objekta izbrane frekvence iω postavimo v Nicholsov diagram kjer stranico A-
B poravnamo s linijo 0º.
3. S pomočjo M linij ( ) ( )( )( )1Lm L j L jω ω+ , ki v Nicholsonovem diagramu služijo
kot vodilo pri načrtovanju, premikamo vzorec objekta gor ali dol tako dolgo, dokler
razlika ( )( )Lm T jω∆ med dvema M krivuljama, ki sta na skrajnih robovih vzorca
objekta, ne doseže vrednosti ( )R ijδ ω .
Pomembno in nujno je zadostiti sledeči pogoj
( )( ) ( ) ( )( ) ( )R i i i R iLm T j Lm j j jω α ω β ω δ ω∆ = − = (4.34)
4. Kadar je enačba (4.34) izpolnjena predstavlja točka A (oz. tista, ki je izbrana kot
nominalni model - A' na sliki 4.9) točko na mejni liniji ( )R iB jω . Na sliki 4.9 smo
vzorec objekta premaknili iz položaja 1 v položaj 2.
5. Korake 2 do 4 ponavljamo v intervalu 10 180− ° → − ° oz. tako dolgo, dokler vzorec
objekta ne preseka U krivulje. Dobljene točke povežemo in dobimo mejno linijo
( )R iB jω .
6. Korake 2 do 5 ponavljamo za vse izbrane frekvence iω izbrane v prvem koraku.
Slika 4.9: Določitev mejne linije pri izbrani frekvenci
80
Kadar je postopek zaključen dobimo množico mejnih linij (za vsako izbrano frekvenco
posebej). Slika 4.10 prikazuje primer U krivulje, dveh mejnih linij, vzorca objekta in potek
nominalne prenosne funkcije odprte zanke ( )0 iL jω .
Slika 4.10: Mejni liniji za fazo 0º do -360º
Točka A vzorca objekta na sliki 4.10 označenega s 1 določa točko nominalne prenosne
funkcije odprte zanke ( )0 iL jω pri iω . Medtem ko vzorec označen s 2 predstavlja premaknjen
vzorec v tisto področje, kjer razlika ( )( )Lm T jω∆ doseže vrednost ( )R ijδ ω . S tem se določi
točka na mejni liniji ( )R iB jω pri iω .
4.4.6 Spreminjanje oblike
Načrtovanje regulatorja s spreminjanjem oblike (»loop shaping«) izvajamo tako, da
dosežemo:
• robustno stabilnost: pri vsaki izbrani frekvenci je pripadajoči odziv odprte zanke
desno od pripadajoče meje stabilnosti ali na njej,
• robustni učinek: pri vsaki izbrani frekvenci je pripadajoči odziv odprte zanke nad
pripadajočo mejno linijo ali na njej.
Spreminjanje oblike pomeni dodajanje ojačanja, ničel ali polov v odprto zanko objekta. Je
metoda načrtovanja regulatorja ( )C s na način, da odprta zanka prenosne funkcije
81
( ) ( ) ( )L s C s P s= zadosti določenim zahtevam. Najpomembnejša zahteva je, da mora ( )L s
zadovoljiti Nyquistov stabilnostni kriterij [14]. Ostale so: doseganje robustne stabilnosti,
robustnega učinka, zadostitev zahtevam vodenja, ...
Pri objektih z neminimalno fazo obstajajo določene omejitve pri izvajanju »loop shaping«
metode zaradi povezave med amplitudo in fazo, ki sta podana s Hilbertovim transformom in
Bodejevim integralom. Te so še posebej izrazite takrat, kadar objekt vsebuje zakasnilni člen ali
pa je odprtozančno nestabilen. Vse to zmanjšuje svobodo pri izbiri regulatorja (njegove
strukture) in v določenih primerih vsiljuje nasprotovajoče si zahteve, katerega rezultat je, da
regulatorja sploh ni mogoče načrtati.
Osnovni elementi, ki jih dodajamo v odprto zanko objekta ( )L s med načrtovanjem
regulatorja, so:
• ojačanje: k,
• pol ali ničla: p
s p+,
s pp+
,
• lead ali lag element: s as b
++
,
• pol ali ničla drugega reda: 2
2 22s sωξω ω+ +
, 2 2
2
2s sξω ωω
+ +,
• Notch filter: 2 2
12 2
2
22
s ss s
ξ ω ωξ ω ω
+ ++ +
.
Efekt ojačanja k je premik ( )L jω navzgor za k dB, če je k > 0 dB, oz. navzdol, če je k < 0
dB. Pol postavljen pri –p premakne ( )L jω za ( )2 210log 1 p dBω− + in ( )1tan degpω−− .
Premik v točki [ ],degdB ničle in pola drugega reda z različnimi ξ faktorji kaže slika 4.11.
Premik v točki [ ],degdB lead/lag elementa kaže slika 4.12. Maksimalna (minimalna) faza lead
(lag) elementa s as b
++
se prikaže pri abω = in predstavlja 190 2 tan a bφ −= −o . Premik v
točki [ ],degdB Notch filtra z različnimi ξ faktorji kaže slika 4.13.
Kratka priporočila za načrtovanje [14]:
1. dodamo ojačanje, da zadovoljimo zahtevam pri nizkih frekvencah (meje QFT metode),
82
2. dodamo lead in/ali lag element, da zadovoljimo zahtevam mejne linije pri nizkih
frekvencah, bolj pomembno pri tem pa je, da z njim znižamo ojačanje celotnega
regulatorja,
3. dodamo lead element, da zadovoljimo zahtevam mejne linije pri visokih frekvencah,
4. z zniževanjem visoko frekvenčnega ojačanja znižujemo pasovno širino regulatorja (s
popravljanjem parametrov dodanih elementov); to ponavljamo tako dolgo, da dobimo
zadovoljive rezultate,
5. po potrebi dodamo presežke polov nad ničlami in/ali obratno.
Slika 4.11: Nicholsov diagram za kompleksni pol na levi in kompleksno ničlo na desni strani
Slika 4.11 prikazuje Nicholsov diagram za kompleksni pol ( ) 12 216 2 16 1s sξ−
+ + na levi
in kompleksno ničlo ( )2 216 2 16 1s sξ+ + na desni strani.
83
Slika 4.12: Nicholsov diagram za lead in lag element
Slika 4.12 prikazuje Nicholsov diagram za lead 11
s as b
++
in lag element 11
s bs a
++
za različne
vrednosti a b , b=16.
Slika 4.13: Nicholsov diagram za Notch filter za različne ξ faktorje
Slika 4.13 prikazuje Nicholsov diagram za Notch filter 2 2
2 2
16 2 16 116 2 16 1
s ss s
ξ+ ++ +
za različne ξ
faktorje.
Dodatni nasveti pri načrtovanju [2]:
84
• Pri načrtovanju ( )0L jω je potrebno paziti, da se ( )0 iL jω nahaja na pripadajoči
mejni liniji oz. tik nad njo. S tem ( ) ( )( )1L j L jω ω+ ohrani minimalno pasovno
širino.
• Krajšanje polov ali ničel je prepovedano zato, da se lahko katerakoli ničla ali pol v
desni polravnini od ( )P s vključi v ( )L s .
• Če ima ( )P s presežek polov nad ničlami enak e mora imeti ( )L s ta presežek vsaj
e i+ , kjer je 1i ≥ . Če je pasovna širina prevelika, takrat vrednost i še povečamo.
Zadovoljive rezultate ( )L s dobimo pri vrednostih 3e i+ ≥ [2].
• Če se ( )R ijδ ω nenehno ne povečuje s frekvenco dodamo kompleksi pol ali ničlo.
4.4.7 Načrtovanje predfiltra
Načrtovanje ( )0L s v smislu zadovoljevanja zahtev mejnih linij še ne zagotavlja, da so
zahteve vodenja izpolnjene. Ta garantira le, da so odstopanja ( ) ( ) ( )( )1T j L j L jω ω ω= +
nižja ali enaka dovoljenim. Kadar se mora ( )T jω nahajati med mejnima krivuljama (poglavje
4.4.1) moramo sistemu dodati predfilter.
Kratka priporočila pri načrtovanju predfiltra [2]:
1. Vzorce objekta združimo s ( )0L jω in jih vrišemo v Nicholsov diagram. To naredimo
tako, da nominalne točke vzorcev objektov izbranih frekvenc iω postavimo na točke
( )0 iL jω . Nato s pomočjo M linij določimo minT in maxT za vsako iω .
2. Določimo vrednosti ( )RULm T in ( )RLLm T pri različnih vrednostih iω . RUT in RLT
predstavljata zgornjo in spodnjo mejno krivuljo ( ( )jα ω in ( )jβ ω na sliki 4.4).
3. Dobljene vrednosti v korakih 1 in 2 vrišemo v Nicholsov diagram
( ) ( )maxRULm T Lm T − in ( ) ( )minRLLm T Lm T − glede na ω (4.35)
4. ( )F s sestavimo tako, da ( )( )Lm F jω leži znotraj grafov dobljenih v 3. koraku.
( )F s mora zadovoljevati kriterij ( )0
lim 1s
F s→
= .
85
5 EKSPERIMENT
5.1 Modeliranje objekta
Regulirati želimo višino lebdenja kovinske krogle v magnetnem polju. Model objekta
sestavljata kovinska krogla in elektromagnet (slika 5.1). Na kroglo, ki leži pod
elektromagnetom, delujeta magnetna sila Fm in gravitacijska sila Fg. Velikost in smer delovanja
magnetne sile je pogojena z delovanjem elektromagneta. Ker je elektromagnet nepremičen
bomo predpostavili, da se smer delovanja ne spreminja. Krogla se lahko premika le v navpični
smeri.
Slika 5.1: Model objekta
Nominalni parametri objekta:
• masa krogle m = 147 g ,
• maksimalna višina D = 0 025. m ,
• upornost navitja elektromagneta R = 2 8. Ω ,
86
• induktivnost elektromagneta L0 0 377= . H ,
• induktivnost krogle L1 0 02875= . H ,
• koeficient zmanjševanja induktivnosti ε = 64 3775 1, -m .
Model opisujejo enačbe
u t i t R d tdt
( ) ( ) ( )= +
ψ
, (5.1)
ψ ( ) ( ) ( )t L t i t= , (5.2) v v vF F Fm g= + . (5.3)
Vse tri sile (3) so na isti nosilki, zato lahko vektorski zapis izpustimo in obravnavamo
problem kot skalarni problem po višini.
m d x tdt
F Fm g
2
2
( )= + (5.4)
F mgg = (5.5)
Magnetna energija je funkcija, magnetnega fluksa in velikosti reže oziroma posredno
pozicije krogle.
W f x f Li xmag = =( , ) ( , )ψ (5.6)
Difrencial Wmag je
dWW
idi
Wx
dxmagmag mag=
∂
∂+
∂
∂, (5.7)
sestavljen iz električnega dela in mehanskega
dW dW dWmag el meh= +
dW iLdi i dLel = + 2 (5.8)
dW F dxmeh m= − (5.9)
∂∂
−FHG
IKJ +
∂∂
− +FHG
IKJ =
Wi
iL diW
xi dL
dxF dxmag mag
m2 0 (5.10)
Ker je tok i neodvisen od pozicije x sledi
∂
∂=
Wi
iLmag , (5.11)
87
∂
∂= −
Wx
i dLdx
Fmagm
2 . (5.12)
Izraza (5.11) in (5.12) integriramo po poziciji x in po toku i ter dobimo funkcijo magnetne
energije
W f x iLdi f x Limag
i
= + = +z( ) ( )0
2
2 (5.13)
Funkcijo Wmag (5.13) parcialno odvajamo po x in dobimo
∂
∂= +
Wx
df xdx
i dLdx
mag ( ) 2
2 (5.14)
Izenačitev izrazov (5.12) in (5.14) vodi do izraza
F df xdx
i dLdxm = − +
( ) 2
2. (5.15)
Ob toku i = 0 je magnetna sila enaka Fm = 0 ne glede na pozicijo x, tako velja za prvi
člen izraza (5.15) df x
dx( )
= 0 in magnetna sila je določena z izrazom:
F i dLdxm =
2
2 (5.16)
Induktivnost L je sestavljena iz induktivnosti L0 , ki jo prispeva elektromagnet in
induktivnosti L1 , ki je prispevek krogle. Prispevek krogle eksponencialno pada z večanjem
razdalje med kroglo in elektromagnetom. Za celotno induktivnost L velja aproksimativni
predpis
L L L e x= + −0 1
ε
88
0 5 10 15 20 250.38
0.38
0.39
0.39
0.4
0.40
0.41
x (mm)
L (H
)
Slika 5.2: Spreminjanje induktivnosti objekta v odvisnosti od položaja krogle
Rezultanta sil, ki delujejo na kroglo je:
m d xdt
i dLdx
mg
mx L i e mg
x Lm
i e g
x
x
2
2
2
1 2
1 2
2
2
2
= +
= − +
= − +
−
−
&&
&&
ε
ε
ε
ε
(5.17)
Napetost na izvoru, ki je enaka vsoti padcev napetosti:
u iR ddt
u iR L didt
i dLdt
u iR L didt
i dLdx
dxdt
u iR L L e didt
i L e dxdt
iL L e
u iR i L e x
x x
xx
= +
− = +
− = +
− = + −
=+
− +
− −
−−
ψ
ε
ε
ε ε
εε
0 1 1
0 11
1
c h
c h c h& &
(5.18)
89
Slika 5.3: Izmerjena statična karakteristika F i xm ( , )
Slika 5.4: Aproksimirana statična karakteristika F i xm ( , )
90
Slika 5.5: Razlika med izmerjeno in aproksimirano statično karakteristiko ∆F i xm ( , )
Razlika med statično karakteristiko nelinearnega modela (5.16) in dejansko izmerjeno
karakteristiko F i xm ( , ) je velika v neposredni bližini elektromagneta x mm= −0 3b g , v
preostalem delu x mm= −4 25b g pa se karakteristiki dokaj ujemata ∆F i x Nm ( , ) ,< ±0 5 .
Za nelinearni model objekta, ki ga opisujeta izraza (5.17) in (5.18) naredimo linearizacijo
v delovni točki ob pogoju ravnovesja sil;
0 = v (5.19)
02
1 2= − + =−εφεL
mi e g i xx ( , ) (5.20)
0 1
0 11=
+− + =
−−
L L eu iR i L e v i x u vx
xε
εε ϕc h c h ( , , , ) (5.21)
91
Izraza (5.20) in (5.21) parcialno odvajamo in dobimo:
k i xi
Lm
ie x1
1=∂
∂= − −φ ε ε( , )
0 5 10 15 20 256
7
8
9
10
11
12
13
14
x (mm)
k 1
Slika 5.6: Parameter k x1( )
k i xx
Lm
i e x2
21 2
2=
∂∂
= −φ ε ε( , )
0 5 10 15 20 25480
500
520
540
560
580
600
620
640
x (mm)
k 2
Slika 5.7: Parameter k x2 ( )
92
k i x u vu L L e x3
0 1
1=
∂∂
=+ −
ϕε
( , , , )c h
0 5 10 15 20 252.46
2.48
2.5
2.52
2.54
2.56
2.58
2.6
2.62
2.64
x(mm)
k 3
Slika 5.8: Parameter k x3( )
k i x u vi
R L e vL L e
x
x41
0 1
=∂
∂=
− ++
−
−
ϕ ε ε
ε
( , , , )c h
0 5 10 15 20 25-7.6
-7.55
-7.5
-7.45
-7.4
-7.35
-7.3
-7.25
-7.2
-7.15
-7.1
x (mm)
k 4
Slika 5.9: Parameter k x4 ( )
93
k i x u vv
i L eL L e
x
x51
0 1
=∂
∂=
+
−
−
ϕ ε ε
ε
( , , , )c h
0 5 10 15 20 25-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
x (mm)
k 5
Slika 5.10: Parameter k x5( )
k i x u vx
L i L e vL L e
x
x60
21
0 1
2 0=∂
∂=
−
+=
−
−
ϕ ε ε
ε
( , , , )
c h
Prenosna funkcija lineariziranega modela objekta je
P s k ks k s k k k s k k
( )( )
=− − + +
1 33
42
2 1 5 2 4
(5.22)
5.2 Načrtovanje regulatorja
Metoda QFT temelji na grafični predstavitvi prenosne funkcije odprte zanke v
Nicholsovem diagramu. Diagram omogoča viden efekt spremembe odprte zanke na prenosni
funkciji zaprte zanke sistema. Postopek načrtovanja bomo prikazali na izbranem primeru.
5.2.1 Lineariziran model objekta
Izraz (5.23) opisuje prenosno funkcijo lineariziranega modela objekta. S spreminjanjem
koeficientov k1, k2, k3, k4, k5 in k6 dobimo družino prenosnih funkcij lineariziranega modela.
Meje intervalov negotovosti koeficientov k1 do k5 so določene v odvisnosti od razdalje med
elektromagnetom in kroglo.
94
Prenosna funkcija lineariziranega modela objekta
P s k ks k s k k k s k k
( )( )
=− − + +
1 33
42
2 1 5 2 4
(5.23)
Intervali negotovih parametrov k1 do k5
[ ][ ][ ][ ][ ]
1
2
3
4
5
7;13
540;640
2.5;2.6
7.25; 7.55
4.7; 2.6
k
k
k
k
k
∈
∈
∈
∈ − −
∈ − −
(5.24)
5.2.2 Zahteve vodenja
Linearizirani model objekta je nestabilen. Kot izhodišče načrtovanja postavimo zahteve
vodenja:
• prenihaj na stopnico mora biti manjši od 60%,
• čas postavitve sistema mora biti krajši od 0,5 sekunde,
• stacionarni pogrešek naj bo manjši od 5%,
• sistem naj bo robustno stabilen.
5.2.3 Mejni krivulji
Iz zahtev določimo prenosni funkciji, ki opisujeta zgornjo in spodnjo mejno krivuljo [14]
zaprto-zančnega sistema:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
1113.5424 1113.54
522.9112 522.9
j j
j j
α ωω ω
β ωω ω
=+ ⋅ +
=+ ⋅ +
(5.25)
95
Slika 5.11: Stopnični odziv zgornje in spodnje mejne prenosne funkcije
Slika 5.12: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – dovoljena sprememba ojačanja zaprte
zanke v Bodejevem diagramu in ( )0P s izbran pri delovni točki x = 15 mm
96
5.2.4 Nominalni model
Izberemo prenosno funkcijo nominalnega objekta ( )0P s iz množice negotovih objektov.
Nominalni model ( )0P s je izbran pri delovni točki x = 15 mm , kjer so parametri 1k =9.8 ,
2k =638 , 3k =2.58 , 4k =-7.45 , 5k =-3.7 .
Nominalni model v našem primeru, ki je prikazan na sliki 5.12
( )0 3 2
25.2847.45 601.74 4753.1
P ss s s
=+ − −
(5.26)
5.2.5 Izbrane frekvence
Pri izbiri frekvenc si pomagamo s vrednostmi ( )R ijδ ω . Te se morajo pri različnih
frekvencah iω po vrednosti čim bolj razlikovati. Izbrali smo jih grafično. Na sliki 5.13 je
prikazanih pet izbranih frekvenc, ki so za izbrani primer: 2, 5, 10, 20, 45 [rad/s]. Vrednosti
( )R ijδ ω pri teh frekvencah so: 2 [rad/s] = 0.71 dB, 5 [rad/s] = 3.15 dB, 10 [rad/s] = 7.74 dB,
20 [rad/s] = 16 dB, 45 [rad/s] = 21.5 dB. Izbrali bi lahko tudi druge frekvence in ne točno te.
Pomembno je le, da so razlike med njimi čim večje.
Slika 5.13: Različne vrednosti ( )R ijδ ω pri izbranih frekvencah
97
5.2.6 Vzorci objekta
Določimo vzorce, ki prikazujejo učinek negotovosti parametrov na ojačanje in fazo
nominalne zanke pri izbrani frekvenci. Na sliki 5.14 so vzorci prikazani s sivim območjem (pet
vzorcev na spodnji strani slike), ki se zmanjšujejo z večanjem izbrane frekvence. Z izbiro
izbranih frekvenc (poglavje 5.2.5) so vzorci objekta avtomatsko določeni.
Slika 5.14: Odprto-zančni odziv v Nicholsovem diagramu z vzorci pri izbranih frekvencah
objekta
5.2.7 Meje robustne stabilnosti
Določimo meje stabilnosti vseh izbranih frekvenc katere sestavljajo nominalne točke,
čigar vzorec se dotika kroga (območja) 8.6 dB (sliki 5.15, 5.16). Z določitvijo tega območja
dobimo mejo stabilnosti pri nizkih frekvencah. Meje robustne stabilnosti pri visokih frekvencah
bomo poiskali na grafični način. Najprej postavimo pisalo na nominalno točko vzorca pri
določeni izbrani frekvenci in celotni vzorec premikamo okoli kroga 8.6 dB, medtem ko še
vedno držimo pisalo v nominalni točki vzorca. Slika 5.15 prikazuje, kako v 32-ih korakih pri
izbrani frekvenci 10 [rad/s] premikamo vzorec v smeri urinega kazalca okoli kroga 8.6 dB.
Obris, ki ga vidimo na sliki 5.16 (s pisalom narisan obris), je meja stabilnosti za pripadajočo
izbrano frekvenco. Tako smo dobili meje stabilnosti še pri visokih frekvencah.
98
Slika 5.15: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – proces načrtovanja
Slika 5.16: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – končni rezultat
5.2.8 Meje robustnega učinka
Določimo mejno linijo (»performance boundary«) pri izbrani frekvenci. Slika 5.17
prikazuje postopek pri izbrani frekvenci 10 [rad/s]. Pri fazi odprte zanke -110º smo premaknili
vzorec navzdol, kjer je bila pri položaju 2 sprememba ojačanja zaprte zanke enaka dovoljeni
spremembi ojačanja zaprte zanke ( )10R jδ pri 10 [rad/s] v meji tolerance na sliki 5.13.
99
Slika 5.17: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] – dejanska sprememba ojačanja zaprte
zanke v Nicholsovem diagramu
5.2.9 Spreminjanje oblike
Načrtovanje regulatorja s spreminjanjem oblike (»loop shaping«) izvajamo po korakih oz.
priporočilih [14] s pomočjo programskega orodja [1]. Načrtovanje temelji na principu poskusa
in napake. Končno potrditev dobimo šele s performančnim testom (Slika 5.30) in če so zahteve
vodenja izpolnjene, je načrtovanje končano. V nasprotnem primeru načrtujemo ponovno in
uporabimo drug nabor elementov QFT metode, ali pa drugačne vrednosti le-teh.
Kateri element dodamo je odvisno od trenutne oblike in lege krivulje v Nicholsovem
diagramu (Slika 5.26). Za lažjo izbiro najprej preverimo, kako in kam želimo, da se krivulja v
naslednjem koraku premakne. S tem zožimo nabor možnih in olajšamo izbiro naslednje
dodanega elementa. Z dodajanjem ne pretiravamo, saj vsak na novo dodan element poviša red
regulatorja, s tem pa tudi njegovo kompleksnost in izvedbo v praksi.
Na začetku postopka sinteze izberemo regulator ( )C s =1 tako, da je ojačanje nominalne
zanke ( )0L s enako:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0L s P s C s P s= = (5.27)
Pričnemo tako, da v Nicholsov diagram vrišemo ( )L s pri ( ) 1C s = (Slika 5.18 krivulja
A). Prenosna funkcija regulatorja:
( ) 1C s = (5.28)
100
Slika 5.18: ( )L s pri ( ) 1C s =
Povečamo ojačanje na ( ) 2200C s = in premaknemo ( )L s navzgor, s tem zadovoljimo
zahtevam pri nizkih frekvencah (Slika 5.19 krivulja B). Prenosna funkcija regulatorja:
( ) 2200C s = (5.29)
Slika 5.19: Povečano ojačanje na 2200
Dodamo integrator 1s− s katerim odpravimo stacionarni pogrešek, kar je ena od zahtev
vodenja. (Slika 5.20 krivulja C). Prenosna funkcija regulatorja:
101
2200( )C ss
= (5.30)
Slika 5.20: Dodan integrator 1s−
Dodamo realno ničlo ( 1)s + in z njo zvišamo zančno ojačanje in fazno rezervo, krivuljo
premaknemo v desno (Slika 5.21 krivulja D). Prenosna funkcija regulatorja:
2200 2200( ) sC ss+
= (5.31)
Slika 5.21: Dodana realna ničla ( 1)s +
102
Podobno storimo v naslednjih dveh korakih. Dodamo realni ničli ( 10)s + (Slika 5.22
krivulja E) in ( 30)s + (Slika 5.23 krivulja F). Prenosna funkcija regulatorja:
3 2
3
41 340 300( )136.4 10
s s sC ss−
+ + +=
⋅ (5.32)
Slika 5.22: Dodana realna ničla ( 10)s +
Slika 5.23: Dodana realna ničla ( 30)s +
Iz krivulje F je razvidno, da je sistem pri nizkih frekvencah v mejah pričakovanega.
Dodamo še kompleksni pol 6 2 3 610 ( 10 10 )s s+ + , ki premakne krivuljo v drugo smer, obrne
103
fazo in tako zadosti pogojem pri visokih frekvencah. (Slika 5.24 krivulja G). S tem izenačimo
število polov in ničel, ki je eden od pogojev za izvedljivost sistema.
Slika 5.24: Dodan kompleksni pol 6 2 3 610 ( 10 10 )s s+ +
Prenosna funkcija regulatorja:
6 3 8 2 9 9
3 3 2 6
7.333 10 3.007 10 2.493 10 2.2 10( )10 10
s s sC ss s s
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=
+ + (5.33)
Kot rezultat dobimo regulator, ki še ne zadosti v celoti podanim zahtevam vodenja. S
spreminjanjem parametrov posameznih elementov znižamo visoko frekvenčno ojačanje ter
krivuljo ( )L s premaknemo v QFT zahtevano področje [14]. ( )L s s končnim regulatorjem je
prikazana na sliki 5.25 krivulja H.
104
Slika 5.25: ( )L s s končnim regulatorjem
Vsi koraki pri načrtovanju regulatorja s spreminjanjem oblike so še enkrat prikazani na
sliki 5.26.
Slika 5.26: Spreminjanje oblike v Nicholsovem diagramu (vsi koraki v enem diagramu)
V primeru, da ima končni regulator previsoki red strukture, odziv sistema pa je v mejah
zahtevanega, izvedemo redukcijo regulatorja. Z odvzemanjem QFT elementov opazujemo
dogajanje s krivuljo v Nicholsovem diagramu. Če je krivulja blizu zahtevani ter če s popravkom
parametrov preostalih elementov dobimo performančno zadovoljive rezultate, smo redukcijo
uspešno izvedli.
105
Slika 5.27 prikazuje spremembo ojačanja in faze odprte zanke ( )L s pri frekvenci 10
[rad/s] ob dodanem končnem regulatorju, katerega prenosna funkcija je:
7 3 8 2 9 9
3 3 2 6
1.18 10 4.644 10 3.541 10 2.369 10( )1.086 10 1.073 10
s s sC ss s s
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=
+ ⋅ + ⋅ (5.34)
Slika 5.27: Rezultat spreminjanja oblike v Nicholsovem diagramu
5.2.10 Načrtovanje predfiltra
Na koncu postopka določimo še predfilter ( )F s tako, da zadostimo mejam performanc
(Slika 5.28). Na sliki 5.28 je območje A Bodejevega diagrama rezultat spreminjanja oblike
komplementarne občutljivostne funkcije T(s). Pravilno spreminjanje oblike zagotavlja, da je
širina področja odziva manjša ali enaka širini meje tolerance. Izbrani predfilter nam da odziv v
mejah tolerance prikazanih na sliki 5.1. Rezultat predfiltra je viden kot območje B na sliki 5.28.
Prenosna funkcija predfiltra:
5
3 2 4 5
1.825 10( )411.9 4.231 10 1.82 10
F ss s s
⋅=
+ + ⋅ + ⋅ (5.35)
106
Slika 5.28: Izbira predfiltra v Bodejevem diagramu
5.3 Rezultati
Občutljivost in komplementarno občutljivost sistema smo preverili v treh delovnih točkah
(slika 5.29) in ugotovili, da QFT regulator zagotavlja sistemu zahtevano občutljivost ter
komplementarno občutljivost v celotnem delovnem področju.
107
Slika 5.29: Občutljivosti sistema za tri različne odmike krogle
Sistem z QFT regulatorjem smo preizkusili tudi performančno z odzivom na stopnično
vzbujanje in ugotovili, da regulator zagotavlja zahtevano obnašanje sistema v celotnem
delovnem področju.
Delovanje sistema vodenega z QFT regulatorjem smo primerjali z delovanjem sistema
vodenega z H∞ regulatorjem. Reducirani sub-optimalni H∞ regulator smo zasnovali po postopku
[10]. Utežnostne funkcije za določitev performančnih zahtev in modeliranje dinamike
nestrukturiranih odstopanj pa smo določili po priporočilih [11]. Izbrali smo utežnostne funkcije
metode H∞:
1
105,5( )
1,5
s
W ss
+=
+, 2( ) 0W s = ,
3
3
3 3
2503,5( )
0,15 250
sW s
s
+ = +
(5.36)
Prenosna funkcija reduciranega sub-optimalnega H∞ regulatorja:
7 3 8 2 9 8
3 3 2 6
1.105 10 3.823 10 2.923 10 3.934 10( )2.360 10 1.251 10
s s sC ss s s
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=
+ ⋅ + ⋅ (5.37)
108
Slika 5.30: Stopnični odziv zaprte zanke sistema
Slika 5.31 prikazuje stopnični odziv sistemov vodenih z QFT regulatorjem in z
reduciranim sub-optimalnim H∞ regulatorjem na celotnem delovnem področju. Razvidno je, da
performančno sistem voden z QFT regulatorjem deluje bolje kot sistem voden z reduciranim
sub-optimalnim H∞ regulatorjem. Poleg direktne primerjave odzivov je pri primerjavi metod
potrebno upoštevati tudi dejstvo, da je prenosna funkcija sub-optimalnega H∞ regulatorja pred
redukcijo sedmega reda. Slednje je vsekakor pomanjkljivost pri izvedbi sub-optimalnega H∞
regulatorja, ki pa se jo da deloma kompenzirati z redukcijo.
109
Slika 5.31: Primerjava odzivov v delovnem območju
110
6 PRIMERJAVA METOD QFT IN H∞
6.1 Metoda H∞
Cilj metode H∞ je poiskati optimalen regulator ( )C s , ki zagotavlja stabilnost regulirane
zanke in upošteva motnje, ki jih povzročajo negotove strukture objekta. Fleksibilne strukture se
upoštevajo tako, da v proces načrtovanja vključimo ovojnico dinamike negotovosti.
Prvi korak načrtovanja s metodo H∞ predstavlja analiza prenosnih funkcij objekta glede na
potrebe in podane zahteve vodenja. S spreminjanjem oblike (»loop shaping«) v naslednjem
koraku je mogoče definirati parametre utežnostnih prenosnih funkcij, ki se uporabijo med
načrtovanjem. Z njimi sistem prilagodimo v skladu z zahtevami vodenja. Naslednja korak je
optimizacija utežnostnih parametrov prenosnih funkcij. Zadnji korak predstavlja zmanjšanje
velikostnega reda regulatorja (redukcija). S tem odstranimo oz. kompenziramo nepotrebne pole,
ki jih vpelje postopek načrtovanja.
Metoda H∞ je prirejena za nadzor dinamike objekta z velikimi negotovimi strukturami.
Med procesom načrtovanja je mogoče upoštevati različne kriterije sinteze:
• robustna stabilnost mej (občutljivost in komplementarna občutljivost); funkciji:
( ) ( ) ( )( ) 11S s P s C s
−= + in ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
1T s P s C s P s C s−
= + s ( )P s kot
prenosno funkcijo objekta,
• filtriranje visokih frekvenc za zmanjšanje prenosa šuma,
• omejitev ojačanja regulatorja za nadzor šuma senzorja in naprave, ki se prenaša
znotraj regulirane zanke,
• neposredni nadzor nad frekvenco fazne rezerve odprte zanke (»open loop cross over
frequency«) ter statičnim ojačanjem regulatorja s pomočjo parametrov utežnostnih
filtrov,
• v proces izdelave je mogoče vključiti tudi dodatne zahteve.
111
6.2 Metoda QFT
Metoda QFT se izkaže za uporabno pri načrtovanju vodenja kompleksnih SISO sistemov.
Omogoča načrtovanje regulatorjev za sisteme z negotovimi parametri. Načrtovanje po metodi
QFT zahteva nabor parametrov objekta za katerega se načrtuje vodenje, ki predstavljajo celotno
območje variacij negotovosti in so zato uporabljene pri načrtovanju za ugotavljanje negotovosti
modela objekta. Za vsako izbrano frekvenco v frekvenčni matriki se izračuna frekvenčni odziv
značilnih primerov, znanih kot vzorec sistema.
Prvi korak načrtovanja predstavlja preučevanje zahtev delovanja in, če je le mogoče,
njihove pretvorbe v meje načrtovanja metode QFT. Robustno stabilnost in meje delovanja
načrtujemo ločeno. Meje združimo po posameznih frekvencah, ki določajo enotno mejo, kateri
mora biti zadoščeno pri spreminjanju oblike zanke (pravimo ji vzorec objekta). Načrtovanje s
metodo QFT je proces poskusov in napak, ki je močno odvisen od izkušenj načrtovalca.
Načrtovanje regulatorjev s metodo QFT omogoča regulatorje nizkega reda, ki so zanimivi
zaradi obvladovanja strukture prenosne funkcije regulatorja. Vsi poli in ničle so rezultat metode
in ne samega procesa. Poskrbeti moramo da vzorci pokrivajo celotno območje negotovosti
objekta. Kot pri vseh ostalih robustnih metodah, kjer robustnost temelji na modelu negotovosti,
se lahko zgodi, da rezultat ni robusten za skrajne primere, ki niso bili upoštevani pri
načrtovanju.
Pri načrtovanju regulatorjev za MIMO sisteme je metoda načrtovanja QFT le delno
uspešna. Če se problem lahko razdeli v enostavne nepovezane probleme SISO, se metoda QFT
lahko uporabi, povezave med različnimi prostostnimi stopnjami pa se upoštevajo kot zunanje
motnje. Kljub temu metoda ne pridobi podatkov o povezavah med stopnjami, saj se ne
upoštevajo pri procesu načrtovanja. Zato z njo dosežemo le nabor regulatorjev SISO. Kljub
temu, da lahko pričakujemo uporabo naprednejših metod QFT načrtovanja regulatorjev, pri
katerih se bo uporabljala direktna MIMO metoda QFT, trenutno ni možno načrtovati
regulatorjev z veliko vhodi in izhodi z obstoječimi MIMO metodami QFT. Problem predstavlja
predvsem pomanjkanje programske podpore in prezapletene metode načrtovanja.
6.3 Primerjava metod
V primeru metode H∞ se pri sistemih z negotovimi parametri negotovosti lotimo s
pomočjo ovojnice dinamike negotovosti. Ovojnico izberemo na podlagi izkušenj in opisa
dinamike negotovosti. Sledi načrtovanje regulatorja, ki predstavlja iterativni optimizacijski
proces. Za dani nabor parametrov utežnostnih funkcij dobimo rezultat, ki predstavlja optimalni
regulator H∞. Z metodo H∞ lahko z isto metodologijo načrtujemo SISO in MIMO regulatorje.
112
Pri metodi QFT se z negotovostjo zaradi negotovih parametrov sistema spoprimemo z
začetnim naborom – vzorci objekta. Že v procesu načrtovanja moramo poskrbeti, da nabor
vzorcev vsebuje vse izbrane frekvence. Rezultat ni optimalen zaradi svoje odvisnosti od
izkušenosti načrtovalca. Za dani nabor zahtev, kriterijev načrtovanja in njihovih meja, rezultat
metode QFT ni enoličen.
6.4 Primerjava delovanja regulatorjev
Pri sistemih z eno ali dvema-prostostnima stopnjama so rezultati obeh metod primerljivi
glede na robustnost in doseženi odziv. Obe metodi omogočata obravnavanje negotovosti zaradi
negotovih parametrov objekta. Doseženi učinek metode je odvisen od razpoložljivega modela
negotovosti (ovojnica dinamike negotovosti pri metodi H∞ oziroma zadosten nabor značilnih
ekstremnih primerov pri metodi QFT – izbranih frekvenc). Metoda H∞ omogoča boljši nadzor
ojačanja regulatorja pri visokih frekvencah, kot metoda QFT, in s tem zmanjšuje prenos šuma in
nasičenja sistema.
Pri sistemih s šest in več prostostnimi stopnjami metoda H∞ dovoljuje integracijo
povezovanja dinamik neposredno v fazi načrtovanja. Tudi v primerih, ko povezovanje ni veliko,
ima metoda H∞ boljše rezultate v smislu napake kot metoda QFT.
6.5 Sklep
Načrtovanje robustnih regulatorjev uporabljamo za vodenje sistemov z negotovimi
parametri. Med procesom načrtovanja se za dinamične strukture upošteva negotovost modela
objekta.
Z metodo H∞ dosežemo dobro robustnost regulatorja zaradi zadostne ovojnice dinamike
negotovosti. Metoda načrtovanja za sisteme MIMO je podobna metodi za sisteme SISO.
Omogoča dobro razumevanje rezultatov načrtovanja in enostavno določanje zahtev.
Pri metodi QFT načrtovanja ne moremo avtomatizirati. Načrtovalec je potreben na vsaki
stopnji načrtovanja, za uspeh načrtovanja pa so še posebej pomembne njegove izkušnje. Zaradi
tega ima načrtovalec nadzor nad celotnim procesom načrtovanja in se lahko odloči za
zanemarjanje določenih specifikacij oziroma omejitev. Regulator, načrtovan z metodo QFT,
lahko zadosti strogim zahtevam sistemov z zahtevno dinamiko, ki jih je težko doseči z drugimi
metodami.
Pri enostavnih SISO negotovih objektih obe metodi dosegata podobne rezultate. Rezultat
obeh metod so robustni regulatorji, ki lahko regulirajo velike dinamične strukture. Za bolj
113
zapletene MIMO negotove objekte pa se priporoča uporaba metode H∞, saj je metodologija
načrtovanja podobna tisti pri sistemih SISO. Za enostavnejšo uporabo metode QFT v problemih
MIMO bodo potrebne še dodatne raziskave in razvoj.
Prednost metode QFT je, da ima načrtovalec direkten vpogled v potek načrtovanja, saj si
sam postavi strukturo regulatorja. Nadalje ima možnost upoštevanja faznih zamikov v procesu
načrtovanja, česar rezultat je znižana struktura regulatorja, kar pa H∞ nima.
114
7 ZAKLJUČEK
Metoda QFT je grafična metoda načrtovanja regulatorjev za SISO in deloma MIMO
negotove objekte. Pri načrtovanju regulatorjev za MIMO sisteme je metoda QFT uporabna, če
se problem lahko razgradi v enostavne nepovezane SISO probleme.
Osnovna ideja metode je razdeliti proces načrtovanja na več stopenj, od katerih vsaka
predstavlja poenostavljen problem povratne zanke SISO ali MISO. Ker proces zahteva veliko
računanja in grafične podpore, so računalniški programi še posebej primerni za načrtovanje [1].
Pri enostavnih SISO objektih metoda QFT dosega podobne rezultate kot ostale metode
načrtovanja robustnega vodenja. Prednost metode QFT je, da ima načrtovalec direkten vpogled
v potek načrtovanja, saj sam postavi strukturo regulatorja. Ker ima ves čas kontrolo nad
procesom načrtovanja lahko sproti upošteva fazne zamike (kar pri LQG, H∞ ali H2 metodah ni
izvedljivo [10]). Rezultat je znižana struktura regulatorja.
Metoda QFT je uporabna pri načrtovanju vodenja kompleksnih SISO sistemov. Pri metodi
QFT načrtovanje ni avtomatizirano in je načrtovalec potreben na vsaki stopnji načrtovanja.
Pozitivna lastnost tega je, da ima načrtovalec nadzor nad celotnim postopkom načrtovanja in se
lahko odloči za zanemarjanje določenih specifikacij oziroma omejitev. Načrtovanje s metodo
QFT je postopek poskusov in napak, ki je močno odvisen od izkušenj načrtovalca.
Rezultat načrtovanja s metodo QFT so regulatorji nižjega reda, ki so uporabni zaradi
obvladovanja strukture regulatorja. Vsi poli in ničle so rezultat metode in ne samega
analitičnega postopka kot pri LQG, H∞ ali H2 metodi.
Algoritmi za oblikovanje mej metode QFT so splošno uporabni in jih je mogoče razdeliti
na algoritme, ki temeljijo na iskanju in tiste, ki temeljijo na kvadratnih neenakostih. Algoritmi,
temelječi na iskanju, so počasnejši zaradi same narave iskalnega procesa. Algoritmi, ki temeljijo
na kvadratnih neenakostih, imajo dodatno prednost, saj omogočajo rešitve zaprte oblike za
vrednosti mej.
115
8 LITERATURA
[1] C. Borghesani, Y. Chait, O. Yaniv, The QFT Frequency Domain Control Design Toolbox, 2001.
[2] Isac M. Horowitz, Quantitative Feedback Design Theory (QFT), QFT Publications,
Boulder, Colorado, 1993. [3] R. Nordgren, O.D.I. Nwokah, M.A. Franchek, A New Perspective on the Formulation of
QFT, Proceedings of the American Control Conference, 2, 1716-1720, San Francisco, California, June, 1993.
[4] K. Zhou, John C. Doyle, K. Glover, J. Doyle Robust and Optimal Control, Prentice
Hall, 1st edition, 1995. [5] C. Houpis, John D Azzo, Linear Control System Analysis and Design, The McGraw-
Hill Companies, 1995. [6] I. M. Horowitz, M. Sidi, Optimum synthesis of nonminimum phase feedback system
with plant uncertainty, Int. J. Control, 1978. [7] D. F. Thompson, Gain-Bandwidth Optimal Design for the New Formulation
Quantitative Feedback Theory, J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control, V. 120, No. 3, 1998.
[8] J. Ackermann, A. Bartlett, D. Kaesbauer, W. Sienel, R. Steinhauser, Robust Control:
Systems with Uncertain Physical Parameters, London: Springer-Verlag, 1993. [9] Zhao, Y., Jayasuriya, S., Robust Stabilization of Uncertain Systems with Parametric
Uncertainties, Procs.12th IFAC Conf., Sydney, Australia, Vol. 6, 1993. [10] A. Chowdhury, Robustna sinteza regulacijskih sistemov z upoštevanjem performančnih
kriterijev : doktorska disertacija. Maribor, 2001. [11] K. Zhou, John C. Doyle, Essentials of Robust Control, Prentice Hall, 1998. [12] Wenhua Chen, Donald J. Ballanc, Plant Template Generation in Quantitative Feedback
Theory, University of Glasgow, 1998. [13] Wenhua Chen, Donald J. Ballanc, On Choice of the Nominal Plant in Quantitative
Feedback Theory, University of Glasgow, 1997.
116
[14] O. Yaniv, Quantitative Feedback Design of Linear and Nonlinear Control Systems, Kluwer Academic Publishers, 1999.
[15] M. Atanasijević-Kunc, Izbrana poglavja iz teorije avtomatskega vodenja, Študijsko
gradivo, Ljubljana, 2006. [16] M. Atanasijević-Kunc, Sinteza računalniškega načrtovanja vodenja multi-variabilnih
sistemov, Doktorska disertacija, Fakulteta za elektrotehniko, Ljubljana, 1997. [17] Lj. Kuljača, D. Đonlagić, Z. Vukić, S. Tešnjak, Nelinearni sistemi avtomatskega
vodenja (knjiga I), FERI Maribor, 1998. [18] R. Karba, Modeliranje procesov, Založba FE in FRI, Univerza v Ljubljani, Ljubljana,
1999. [19] B. Zupančič, Sinteza Zvezni regulacijski sistemi – I. del, Založba FE in FRI, Univerza v
Ljubljani, Ljubljana, 1996. [20] B. Zupančič, Sinteza Zvezni regulacijski sistemi – II. del, Založba FER, Univerza v
Ljubljani, Ljubljana, 1995. [21] I. M. Horowitz, Survey of quantitative feedback theory (QFT), International Journal of
Control, 53, 255-291, 1991. [22] C. H. Houpis, Rassmusen, S. J., Quantitative Feedback Theory: Fundamentals and
Applications, Marcel Dekker, New York, 1999. [23] O. Yaniv., Quantitative feedback design of linear and nonlinear control systems,
Kluwer Academic Publishers, Boston, 1999. [24] D. F. Thompson, O.D.I.Nwokah, Analytical loop shaping methods in quantitative
feedback theory, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 116, 169-177, 1994.
[25] G. F. Bryant, G. D. Halikias, Optimal loop-shaping for systems with large parameter
uncertainty via linear programming, Int. J. Control, 1995. [26] Y. Zhao, S. Jayasuriya, An H-infinity formulation of quantitative feedback theory, Trans.
of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 120, 305-313, 1998.
[27] C. H. Houpis, R. R. Sating, S. Rasmussen, S. Sheedon, Quantitative feedback theory
technique and applications, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 120, 305-313, 1998.
[28] Y. Chait, C. V. Hollot, A comparison between H-infinity methods and QFT for a SISO
plant with both parametric uncertainty and performance specifications, O.D.I. Nwokah, editor, Recent developments in quantitative feedback theory, 33-40, 1990.
117
[29] S. Jayasuriya, Frequency domain design for robust performance under parametric, unstructured, or mixed uncertainties, Trans. of the ASME journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 115, 439-451, 1993.
[30] O. D. I. Nwokah, S. Jayasuriya, Y. Chait, Parametric robust control by quantitative
feedback theory, AIAA Journal of Guidance and Control, 5, 207-214, 1992. [31] O. Yaniv, I. Horowitz, Quantitative feedback theory - reply to criticisms, International
Journal of Control, 40, 945-962, 1987. [32] Y. Zhao, S. Jayasuriya, An H-infinity formulation of quantitative feedback theory, Trans.
of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 120, 305-313, 1998.
[33] Y. Chait, C. Borghesani, Y. Zheng, Single loop QFT design for robust performance in
the presence of nonparametric uncertainties, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 117, 420-424, 1995.
[34] J. M. Rodrigues, Y. Chait, C. V. Hollot, An efficient algorithm for computing QFT
bounds, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 119, 548-552, 1997.
[35] R. E. Moore, Global optimization to prescribed accuracy, Computers Math. Appl., 21,
25-39, 1991. [36] J. E. Dennis, R. B. Schnabel, Numerical methods for unconstrained optimization and
nonlinear equations, Pretence-Hall, New York, 1983. [37] B. Cohen, M. Nordin, P. O. Gutman, Recursive grid methods to compute value sets of
transfer functions with parametric uncertainty, In Proc. Of ACC, 3861-3865, 1995. [38] D. J. East, A new approach to optimum loop synthesis, International Journal of Control,
34(4):731-748, 1981. [39] D. J. East, On the determination of plant variation bounds for optimum loop synthesis,
International Journal of Control, 35(5):891-908, 1982. [40] F. N. Bailey, D. Panzer, G. Gu, Two algorithms for frequency domain design of control
systems, International Journal of Control, 48, 1787-1806, 1988. [41] B. R. Barmish, J. Ackermann, H. Hu, The tree structured decomposition: A new
approach to robust stability anaylsis, Proc. Conf. Infor. Sci. Syst., Princeton University, 1990.
[42] P. O. Gutman, C. Baril, L. Neumann, An image processing approach for computing
value sets of uncertain transfer functions, Proc. 29th IEEE Conf. Decision and Control, volume 3, pages 1224-1229, Honolulu, HI, USA, 1990.
118
[43] P. O. Gutman, C. Baril, L. Neumann, An algorithm for computing value sets of uncertain transfer functions in factored real form, Proc. 29th IEEE Conf. Decision and Control, volume 39, pages 1268-1273, Honolulu, HI, USA, 1994.
[44] I. J. Fialho, V. Pande, P. S. V. Nataraj, Design of feedback systems using Kharitonov's
segments in QFT, Proc. First QFT Symposium, pages 457-470, Dayton, Ohio, USA, 1992.
[45] S. P. Bhattacharyya, H. Chapellat, L. H. Keel, Robust Control – The Parametric
Approach, Pretence Hall, New York, 1995. [46] Y. Ohta, L. Gong, H. Haneda, Polygon interval arithmetic and interval evaluation of
value sets of transfer functions, IEICE Trans. On Fundamentals of Electronics, Communication and Computer Sciences, E77-A(6):1033-1042, 1994.
[47] E. G. Eszter, R. S. S. Pena, Computation of algebraic combinations of uncertainty value
sets, IEEE Trans. on Automat. Control, 39(11):2315-2318, 1994. [48] B. R. Barmish, R. Tempo, On mappable nonlinearities in robustness anaylsis, Proc. 3rd.
ECC '95, volume 2, pages 1430-1435, Rome, Italy, 1995. [49] B. H. Wilson, B. Eriylmaz, B. Shafai, Improving control design for nonlinear
parametric uncertainty, International Journal of Control, 66(6):863-883, 1997. [50] W. Chen, D. J. Balance, Plant template generation for uncertain plants in QFT, Trans.
of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 121:359-364, 1999.
[51] G. Sardar, P. S. V. Nataraj, A template generation algorithm for non-rational transfer
functions in QFT designs, Proc. 36th IEEE Conf. Decision and Control, 2684-2689, San Diego, USA, 1997.
[52] P. S. V. Nataraj, G. Sardar, Template generation for continuous transfer functions using
interval analysis, Automatica, 36:111-119, 2000. [53] P. S. V. Nataraj, G. Sardar, Computation of QFT bounds for robust sensitivity and gain-
phase margin, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 36, 111-119, 2000.
[54] T. A. Lasky, B. Ravani, Use of convex hulls for plant template approximation in QFT
design, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 119(3):598-600, 1997.
[55] O. Agamennoni, J. L. Figueroa, A. Palazoglu, Robust contoller design under highly
structured uncertainty, International Journal of Control, 70(5):721-733, 1998. [56] E. Boje, Finding nonconvex hulls of QFT templates, Trans. of the ASME Journal of
Dynamic Systems, Measurement and Control, 112:230-231, 2000.
119
[57] Y. Zhao and S. Jayasuriya, On generation of QFT bounds for general interval plants, Trans. of the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 116(4):618-627, 1994.
[58] I. M. Horowitz, Synthesis of feedback systems, Academic Press, New York, 1963. [59] I. M. Horowitz, M. Sidi, Synthesis of feedback systems with large plant ignorance for
prescribed time-domain tolerances, International Journal of Control, 16(2):289-309, 1972.
[60] L. Longdon, D. J. East, A simple geometrical technique for determining loop frequency
bounds which achieve prescribed sensitivity specifications, International Journal of Control, 30(1):153-158, 1979.
[61] D. J. Ballance, P. J. Gawthrop, Control system design via a QFT approach, Proc. IEE
conference on Control '91, volume 1, pages 476-480, Edinburgh, UK, 1991. [62] D. J. Ballance, Comments on the papers »A new approach to optimum loop synthesis«
and »On the determination of plant variation bounds for optimum loop synthesis«, International Journal of Control, 55(1):241-248, 1992.
[63] P. S. V. Nataraj, A MATLAB based toolbox for synthesis of lumped linear and nonlinear
and distributed systems, IEEE/IFAC Symposium on Computer Aided Control System Design, pages 513-518, 1994.
[64] O. Yaniv, QFT software, Israel, 1990. [65] G. C. Wang, C. W. Chen, S. H. Wang, Equation for loop bound in QFT, Proc. IEEE
Conf. Decision and Control, pages 2968-2969, England, 1991. [66] Y. Chait, O. Yaniv, Multi-input/single-output computer-aided control design using
QFT, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 3(1):47-54, 1993. [67] Y. Chait, O. Yaniv, Direct control design in sampled-data uncertain systems,
Automatica, 29(2):365-372, 1993. [68] D. F. Thompson, Gradient formulations for sensitivity-based QFT performance bounds,
Proc. of ACC, pages 3975-3976, Seattle, Washington, USA, 1996. [69] E. Eitelberg, QFT design for tracking error tolerance, Automatica, 36:319-326, 2000.
[70] F. N. Bailey, C. H. Hui, A fast algorithm for computing parametric rational functions, IEEE Trans. Automatic Control, 34(11):1209-1212, 1989.
[71] M. Fu, Computing the frequency response of linear systems with parametric
perturbation, Systems & Control Letters, 15:45-52, 1990. [72] A. C. Barlett, Computation of the frequency response of systems with uncertain
parameters: a simplification, Int. J. Control, 57:1293-1309, 1993.
120
[73] A. Tesi, A. Vicino, Kharitonov segments suffice for frequency response analysis of
interval plant-controler families, Control of Uncertain Dynamic Systems, 403-415, CRC Press, Littleton, MA, 1991.
[74] L. H. Keel, S. P. Bhattacharyya, Frequency domain design of interval controllers,
Control of Uncertain Dynamic Systems, 423-438, CRC Press, Littleton, MA, 1991. [75] L. H. Keel, S. P. Bhattacharyya, Robust parametric classical control design, IEEE
Trans. Automatic Control, 39:1524-1530, 1994. [76] J. J. O'Connor, E. F. Robertson, Lagrangian and Hamiltonian mechanics, Computer
Based Learning Unit, University of Leeds, 1997 [77] R. Plume, G. A. Fuller, F. Helmich, The James Clerk Maxwell Telescope Spectral
Legacy Survey, PASP, Volume 119, Issue 851, pp. 102-111., 2007 [78] R. N. Clark, The Routh-Hurwitz stability criterion, Control Systems Magazine, IEEE,
Volume 12, Issue 3, Page(s):119 - 120, 1992 [79] V. L. Kharitonov, Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems
of linear differential equations, Differential Uravnen, 14(11):2086-2088, 1978 [80] C. Risito, On the Ljapunov stability of a system with known first integrals, Springer
Netherlands, 0025-6455, Volume 2, Number 4 / December, 1967 [81] A. Gelb, W. E. Vander Velde, Multiple-input describing functions and nonlinear system
design, McGraw-Hill Book Company, 1968 [82] B. Friedland, Advanced Control System Design, Pretence Hall, New Jersey, 1996 [83] J. W. Helton, O. Merino, Classical Control Using H-infinity Methods Theory
Optimization, SIAM, Philadelphia, 1998 [84] N. Cohen, Y. Chait, O. Yaniv, C. Borghesani, Stability Analysis Using Nichols Chart,
International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol. 4, pp. 3-20, 1994 [85] O. Yaniv, Quantitative Design Method for MIMO Uncertain Plants to Achieve
Prescribed Diagonal Dominant closed-loop MP Tolerances, Int. Jour. of Control, Vol. 27, no. 2, pp. 519-528, 1988
[86] K. R. Krishnan, A. Cruickshanks, Frequency Domain Design of Feedback Systems for
Specified Insensitivity of Time-Domain Response to Parameter Variations, Int. Jour. of Control, Vol. 25, No. 4, pp. 609-620, 1977
[87] D. Igrec, A. Chowdhury, R. Svečko, Uporaba metode QFT “Quantitative Feedback
Theory” pri načrtovanju robustnega vodenja, Elektroteh. vestn., 2008, letn. 75, št. 1/2,
str. 37-43
121
Življenjepis
Ime in priimek: Dalibor Igrec Rojen: 23. 12. 1974 Maribor Šolanje: 1982–1990 Osnovna šola Rado Robič Limbuš 1990–1994 Srednja elektrotehniška in računalniška šola Maribor 1994–2000 Dodiplomski študij; smer Avtomatika; Fakulteta za
elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Univerza v Mariboru
2000-2010 Podiplomski magistrski študij; smer Regulacije,
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Univerza v Mariboru
Zaposlitev: 2000–2005 Glavni razvojni inženir pri podjetju Ultra d.o.o.,
Razvojni center Maribor 2005–2006 Produktni vodja pri podjetju Telargo d.o.o.,
Poslovna enota Maribor 2006–2009 Svetovalec na področju tehnologij pri podjetju Ultra
d.o.o., Razvojni center Maribor 2009 Svetovalec na področju tehnologij pri podjetju
Margento R&D d.o.o., Maribor