n quy ọc như Ý. all rights reservedhocnhuy.com/books/hình học Ơ-clit – tỉ số và...


Chương TỈ SỐ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG

1 TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG

TÓM TẮT PHẦN LÝ THUYẾT

Tỉ số của hai đoạn thẳng

Là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ tnếu ta có

AB A'B'

CD C'D'

Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau

Giả sử tất cả các tỉ số sau đều có nghĩa, ta có các tính chất sau:

a ca c a c e a c ea b c d ; b d b d f b d fa b c d

b d

BÀI TẬP ỨNG DỤNG

1. Tìm x x 0 :

a. 12:7 bằng với 24:x . d. 8 4

15 x x

.

b. 8

x bằng với

x

18. e.

5 x

x 20 .

c. 12 x

3 4 .

2. Tìm tỉ số độ dài:

a. Cho đoạn thẳng MN dài gấp bảy lần đoạn thẳng PQ, và đoạn thẳng PQ dài

bằng hai phần ba đoạn thẳng RS. Tính tỉ số độ dài của MN và RS.

b. Cho đoạn thẳng MN dài gấp bảy lần đoạn thẳng PQ, và đoạn thẳng PQ dài

bằng hai phần ba đoạn thẳng RS. Tính tỉ số độ dài của MN và RS.


3. Cho tỉ lệ thức a c

=b d

. Chứng minh các tỉ lệ thức sau:

(Giả thiết tất cả các tỉ số đều có nghĩa).

a. a b c d

b d

. d.

a c

a b c d

.

b. a b c d

b d

. e.

a c

b a d c

.

c. a b c d

a b c d

.

4. Cho dãy tỉ số bằng nhau 1 2 n

1 2 n

a a a... k

b b b . Chứng minh 1 2 n 1

1 2 n 1

a a ... a a

b b ... b b

.


2 ĐỊNH LÝ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC


Định lý Ta-lét

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam

giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó

những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

GT ABC có:

D AB, E AC

DE//BC

KL AD AE AD AE DB EC

; ; DB EC AB AC AB AC


5. Tìm x bằng cách sử dụng định lý Ta-lét (đơn vị đo độ dài là cm).

a. b.

6. Cho tam giác ABC có DE // BC.

Cho biết: AC = 30 cm, AE = 20 cm, BD = 12 cm.

Tính AD.


7. Tìm x và y trong các hình sau:

(cho biết các đoạn đứt nét song song với nhau, đơn vị đo độ dài là cm).

a. c.

b.

8. Trong hình sau, cho biết AC = 36 cm, AD 2

BD 7 và

DE//BC . Tính AE, CE.

9. Cho tam giác ABC có DE // BC.

Biết ADE 90 , AE = BD = 10cm và DE = 8cm.

Tính AD, CE và BC.

10. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BE và L là

một điểm trên BC sao cho CL = 5BL. Gọi K là giao

điểm của AL và BE. Vẽ EF song song với AL, F nằm

trên BC. Chứng minh rằng:

a. LF = 2,5BL.

b. BK 2

BE 7 .


3 ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA-LÉT


Định lý Ta-lét đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định

ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì

nó song song với cạnh còn lại của tam giác.

GT

ABC có:

D AB , E AC

AD AE

DB EC

KL DE//BC

Hệ quả của định lý Ta-lét

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn

lại thì nó tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam

giác đã cho.

GT

ABC có:

D AB , E AC

DE//BC

KL AD AE DE

AB AC BC

Hệ quả vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh

tam giác.



11. Cho tứ giác KLMB nằm trong tam giác ABC như

hình vẽ. Đơn vị đo độ dài được sử dụng là cm.

Chứng minh KLMB là hình bình hành.

12. Tìm x và y trong những hình sau.

(Các đoạn đứt nét song song với nhau, đơn vị đo độ dài được sử dụng là cm).

a. c.

b. d.

13. Cho tam giác ABC có đường phân giác AD và tam

giác ABD có đường phân giác AE.

Cho o18 , tính BAC .


14. Cho hình thang ABCD AB//CD . Lấy hai điểm M, N

lần lượt nằm trên cạnh AD và BC sao cho MN song

song với hai đáy. Chứng minh AM BN

DM CN .

15. Trong hình sau, cho biết DE//BC , CE//BF .

Chứng minh rằng:

a. AD AC

CD CF .

b. 2AC AD AF .

16. Cho hình bình hành ABCD và F là một điểm nằm

trên cạnh CD. AF cắt BD tại K và cắt BC tại N.

Chứng minh rằng:

a. NK AK

AK KF .

b. BC DF

CN CF .

17. Cho hình thang ABCD có Q là giao điểm hai đường

chéo. Qua Q vẽ đường thẳng song song với hai

đáy, lần lượt cắt AD và BC tại M và N.

Biết DC = 18 cm, DQ = 9 cm và BQ = 3 cm, tìm MQ.

18. Cho tam giác ABC, lấy các điểm L, M và K lần lượt

nằm trên các cạnh AB, BC và AC sao cho:

AK CM AL

CK BM BL .

a. Chứng minh tứ giác KLMC là hình bình hành.

b. Biết BC = 10 cm và AL 1,5BL .

Tính độ dài LK.


19. Trong hình sau, cho biết AB // EF // CD.

Chứng minh rằng: 1 1 1

EF AB CD .

4 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC


Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia

cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh

kề hai đoạn ấy.

GT ABC có AD là đường phân giác

KL DB AB

DC AC



20. Tìm x trong mỗi hình sau, biết AM là tia phân giác của BAC (đơn vị đo độ dài là cm).

a. c.

b. d.

21. Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 28cm.

Đường phân giác BM của tam giác ABC cắt AC tại M

sao cho AM = 3MC. Tính độ dài MC.

22. Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong là

AD và CF. Biết AB = 18 cm, AC = 12 cm và CD = 6

cm. Tính độ dài AF.

23. Cho hình vuông ABCD có M là giao điểm của hai

đường chéo. Tia phân giác của ABD cắt AC tại N và

cắt AD tại E.

a. Tính DE

AE và

MN

AN.

b. Chứng minh tam giác ANE là tam giác cân.

c. Chứng minh DE = 2MN.


24. Cho tam giác ABC, trên tia đối tia CA lấy điểm D.

Tia phân giác của BAC cắt BC tại K và cắt BD tại N.

Qua N kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AD

tại M. Chứng minh: AB CM

AD DM .

25. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD.

Các tia phân giác của ADC và ADB lần lượt cắt AC

và AB tạo E và F.

Chứng minh rằng EF // BC.

26. Cho tam giác ABC có AC = 2BC.

Lấy hai điểm D và E lần lượt nằm trên AB và AC sao

cho DE // BC và AC = 3DE.

Chứng minh rằng BCD ACD .


5 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG


Định nghĩa

Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ

số k KH: ABC A'B'C' nếu:

AB BC CA

A'B' B'C' C'A'k .

A A' ; B B' ; C C' .

Tính chất

ABC A'B'C' ABC A'B'C' theo tỉ số k 1.

ABC A'B'C' theo tỉ số k A 'B'C' ABC theo tỉ số 1

k.

1 1 1

ABC A B C theo tỉ số m ; 1 1 1 2 2 2

A B C A B C theo tỉ số n

2 2 2

ABC A B C theo tỉ số n.m .

6 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC


Cạnh – Cạnh – Cạnh Cạnh – Góc – Cạnh Góc – Góc

AB BC CA

A'B' B'C' C'A'

AB AC; A A'

A'B' A'C'

Góc là góc xen giữa hai cạnh

A A'; B B'


Lưu ý:

Khi giải các bài toán về tam giác đồng dạng cần đặc biệt chú trọng việc viết đúng thứ tự

các đỉnh cũng như các yếu tố tương ứng.

Ngoài ra, ta cũng có một số trường hợp đồng dạng đặc biệt dành cho tam giác vuông

(tương tự như bài “Tam giác bằng nhau”).


27. Cho tam giác ABC vuông tại B có F, M và N là các

điểm lần lượt nằm trên AC, BC và AB sao cho FM

vuông góc với AC và MN song song với AC. Biết:

FC = 6 cm, BC = 12 cm, AB = 16 cm.

Tính độ dài MN.

28. Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CD. Biết CD = h; AD = a và BD = b.

a. Chứng minh h ab .

b. Chứng minh AC a a b , BC b a b .

c. Kẻ đường phân giác CE của tam giác ABC. Chứng minh: AE a

BE b .

29. Cho tam giác ABC có E là một điểm nằm trên AB

sao cho BAC ECB . Biết BC = 10 cm, BE = 8 cm.

Tính độ dài AB.


30. Cho tam giác ABC vuông tại C. Từ điểm M bất kì

trên AC, vẽ đường thẳng vuông góc với AB và cắt

AB tại N. Biết BC = 12 cm, AN = 4 cm, AB = 20 cm,

tính độ dài AM.

31. Trong hình sau cho hai tam giác với số đo các cạnh

(đo bằng cm).

a. Chứng minh hai tam giác này đồng dạng và

viết tên hai tam giác theo đúng thứ tự.

b. Liệt kê các cặp góc bằng nhau.

32. Cho hai tam giác ABC và BDC như hình vẽ.

Biết: AC = 16 cm, AB = 10 cm, BC = 8 cm, DC = 5 cm,

BD = 4 cm.

a. Chứng minh hai ABC và BDC đồng dạng.

b. Chứng minh AC//BD .

33. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Cho biết

AM = 3 cm, BM = 10 cm, CM = 6 cm, DM = 5 cm.

a. Chứng minh AMC DMB .

b. Có thể kết luận AC//BD được không? Vì sao?

c. Tìm AC nếu BD = 14 cm.


34. Cho tam giác ABC có D và E là hai điểm nằm trên

AB và AC sao cho: AD = 4 cm, BD = 11 cm, AE = 5

cm, CE = 7 cm. Chứng minh: ADE ACB .

35. Cho tam giác ABC có hai đường cao CD và BE.

a. Chứng minh rằng ABE ACD .

b. Cho biết AB = 18 cm, BE = 12 cm, CD = 10 cm,

tìm độ dài AC.

36. Cho tam giác ABC, lấy điểm K trên AC sao cho

AKB ABC . Chứng minh AKB ABC .

37. Cho hình bình hành ABCD. Kẻ đường cao AE và AF

ứng với các cạnh DC và BC.

a. Chứng minh rằng ABE ACD .

b. Chứng minh: DC.AE BC.AF và cho biết ý

nghĩa hình học của kết quả này.

38. Cho hình bình hành BKMC.

Trên tia đối tia KB lấy điểm A. Gọi L là giao điểm

của AC và KM. Chứng minh: LC.BC LM.AC .


7 TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG


Tỉ số hai đường cao (hai đường trung tuyến, hai đường phân giác) tương ứng của hai tam

giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k.

AM, A’M’ lần lượt là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và tam giác A’B’C’.

AH, A’H’ lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và tam giác A’B’C’.

AD, A’D’ lần lượt là hai đường phân giác của tam giác ABC và tam giác A’B’C’.

AM AH ADk

A'M' A'H' A'D'

Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

2ABC ABC

A'B'C' A 'B'C'

P Sk ; k

P S



39. Cho hai tam giác đồng dạng. Chứng minh rằng:

a. Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng cũng là tỉ số đồng dạng.

b. Tỉ số hai đường cao tương ứng cũng là tỉ số đồng dạng.

c. Tỉ số hai đường phân giác tương ứng cũng là tỉ số đồng dạng.

40. Chứng minh tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng với tỉ số đồng dạng.

41. Chứng minh tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng với bình phương tỉ số

đồng dạng.

42. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại M.

Biết AD//BC và AD = 4 cm, BC = 6 cm, 2

ADMS 36 cm .

a. Chứng minh: AMD BMC .

b. Tính diện tích tam giác MBC.

43. Cho tam giác ABC có D, E là hai điểm nằm trên AB

và AC sao cho DE//BC.

Biết: AD 2

BD 3 và 2

ADES 20 cm .

a. Tính diện tích tam giác ABC.

b. Tính diện tích tứ giác DECB.

44. Cho tam giác ABC và R, T là hai điểm lần lượt nằm

trên AB, AC sao cho BR = 4 cm, AT = 4 cm,

AR = 6 cm, CT = 11 cm và 2

ABCS 70 cm .

Tính diện tích tứ giác RTCB.


45. Cho tam giác ABC và tam giác đều ABD như hình

vẽ. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Qua E kẻ

đường thẳng song song với BC và cắt CD tại F.

Biết: DCB 40 , DBC 80 .

a. Chứng minh tam giác ABE và CDE đồng dạng.

b. Chứng minh

2

ABE

CDE

S CF

S DF

.

46. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và

CE cắt nhau tại M. Trong tam giác BCD, vẽ hai

đường trung tuyến CL và BK giao nhau tại O.

a. Chứng minh BL = 3ML.

b. Chứng minh AC // MO.

c. Cho biết 2

BLCS 27 cm ,

tính diện tích tam giác MOL.

47. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 3CD.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua A, kẻ

đường thẳng song song với BD và cắt CD tại E.

Đặt DOC

S S , biểu diễn diện tích tứ giác ABCE qua S.

48. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có đường trung

bình EF như hình vẽ. Đường chéo BD cắt EF tại K.

Biết AK//BC.

a. Chứng minh ABFK là hình bình hành.

b. Đặt BKF

S S , biểu diễn diện tích

hình thang ABCD qua S.


ĐÁP ÁN BÀI TẬP

1. a. 14x b. 12x c. 16x d. 5x e. 10x

2. a. AB = EF = 15 b. MN = RS = 14

.3

3. Bài tập chứng minh. 4. Bài tập chứng minh.

5. a. 2x b. 1x 6. AD = 24 cm.

7. a. 2x cm ; 12y cm b. 4,5x cm ; 12y cm c. 9x cm ; 56

3y cm

8. AE 8 cm EC 28 cm

9. AD 6 cm CE 6 cm 64

BC3

cm


12. a. 16x cm ; 25y cm b. 12,5x cm ; 4,8y cm

c. 9x cm ; 37,5y cm d. 5,25x cm ; 20

3y cm

13. EF 10,8 cm, FD 5,6 cm 14. Bài tập chứng minh.


17. MQ 4,5 cm

18. a. Bài tập chứng minh. b. LK 6 cm

19. Bài tập chứng minh.

20. a. 5,6x cm b. 20x cm c. 6x cm d. 12x cm

21. MC 3 cm AF 8 cm 22. AF 8 cm

23. a. DE

2AE

; MN 2

.AN 2

b. Bài tập chứng minh. c. Bài tập chứng minh.


26. Bài tập chứng minh. 27. 10

MN cm3

28. Bài tập chứng minh. 29. AB 12,5 cm

30. AM 5 cm

31. a. Bài tập chứng minh. b.

D C

E B

F A


33. a. Bài tập chứng minh. b. Bài tập chứng minh. c. AC 8,4 cm


35. a. Bài tập chứng minh. b. AC 15 cm





42. a. Bài tập chứng minh. b. 2

MBCS 81cm

43. a. 2

ABCS 125cm b. 2

DECBS 105cm

44. 2

RTCBS 58,8cm 45. Bài tập chứng minh.

46. a. Bài tập chứng minh. b. Bài tập chứng minh. c. 2

MOLS 3cm



MỤC LỤC

1 TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG ............................................................................................... 2

2 ĐỊNH LÝ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC ...................................................................................... 4

3 ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA-LÉT .................................................................. 6

4 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC ........................................................... 9

5 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ...................................................................................................... 12

6 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC ............................................................. 12

7 TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG .............................................................................................................. 16

ĐÁP ÁN BÀI TẬP ........................................................................................................................ 19

n quy ọc như Ý. all rights reservedhocnhuy.com/books/hình học Ơ-clit – tỉ số và...

Documents