A. N. Beris, P. M. Mwasame and N. J. WagnerDepartment of Chemical and Biomolecular Engineering

1

Macroscopic Modeling of the Flow of Dilute Emulsions in the Presence of Micro‐Inertia

CBET 312146

NETL 2017 Workshop on Multiphase Flow Science August 8‐10, 2017

Morgantown Marriott at Waterfront Place, Morgantown, WV 

MOTIVATION• Macroscopic modeling of multiphase flows is very challenging:

– In addition to the molecular scale, they involve at least one (some times more!) intermediate mesoscales, corresponding to an intricate, usually variable, internal microstructure

– If the evolution of the microstructure is ignored, the resulting models have limited validity, and/or require many experimentally‐obtained adjustable parameters. For example:• Suspensions represented as Newtonian fluids with an effective viscosity • Slurries presented as viscoplastic (yield stress) and/or thixotropic (time dependence)

– If the evolution of the microstructure is followed based on a classical approach (for example using two‐fluid models and pre‐averaging) the models, in addition of containing many adjustable parameters, quickly increase in complexity

• Alternatively, one can use internal variables within a single macroscopic model, such as the use of a conformation model – This has found extensive use in describing viscoelasticity (polymeric systems)– In multiphase systems its use until now has been limited and fragmented 2

NEW APPROACH• Systematically explore the use of a much more powerful theoretical 

formalism such as the Bracket Formalism of Non‐Equilibrium Thermodynamics*  

• This approach already has been used in a number of applications:– Various polymeric systems, allowing, in addition of obtaining many previous models to develop extensions able to accommodate many additional effects:• Interactions of flow and mass and heat transfer• Description of shear‐induced migration and/or surface effects

– Various liquid crystalline systems allowing the reconciliation of previously independently proposed systems and the description of inertial and non‐inertial models and their comparison

– Non‐Equilibrium Reactions, plasma systems, etc.3*A.N. Beris and B.J. Edwards, Thermodynamics of Flowing Systems, Oxford U. Press, 1994 

GUIDING PRINCIPLES• The use of Hamiltonian dynamics to describe reversible effects along 

with the use of Irreversible Thermodynamics to describe dissipation and irreversibility leading to self‐consistent model equations for both the time evolution of the system variables and any effective macroscopic transport characteristics, like the extra stress under flow

• The approach* involves four steps– 1)  The specification of the system variables.  Those include traditional ones 

(like mass density and velocity) as well as any inner variables to describe the system’s microstructure

– 2)  The specification of the system’s Hamiltonian.  This is an extended free energy of the system that includes nonequilibrium effects (such as kinetic energy) to those applicable (through classical thermodynamics) at equilibrium

– 3)  The specification of the reversible dynamics through the Poisson brackets– 4)  The specification of the irreversible dynamics through dissipative bracket 

4*A.N. Beris and B.J. Edwards, Thermodynamics of Flowing Systems, Oxford U. Press, 1994 

MODEL ADVANTAGES• Self‐consistency between the evolution equation for the internal 

variables and any transport variables (such as the stress)• Straightforward, self‐consistent, transition between various 

descriptions as the system variables change– It allows to introduce more or less complexity as needed– It allows to add microinertia (Particle inertia)– It allows to introduce non‐local effects, coupling etc.

• Generation of any conditions to ensure thermodynamic well‐posedness (non‐negative entropy production)

• Through the use of physical theory to describe the system’s Hamiltonian as well as by forcing the resulting solutions to satisfy any previously known limiting results one can:– Significantly reduce (or even eliminate!) any adjustable parameters– Obtain a model that identically reproduces any known results 5

APPLICATION TO DILUTE EMULSIONS• Assume an incompressible system (thus of constant mass density) 

and a single population of same size droplets• We need to specify: 

– Appropriate state variables – System Hamiltonian (Extended Free Energy)– Poisson and Dissipation brackets 

• Apply chain rule for an arbitrary functional F & deduce the evolution equation for the microstructure and the corresponding extra stress (from the momentum evolution equation)

6

, , ?u C( , , ?)H H u C

, , ,F H F H

3

Reversible Irreversibledynamics  dynamics

?, ,  dF

F H Fu F

H d rdt tt u

C FC

Conformation Tensor‐Based Description• Several conformation tensor descriptions may be applicable for emulsions.  • Here: We use a second order conformation tensor, C, properly defined in terms 

of the deforming droplet (following Maffetone and Minale, JNNFM 1998) with eigenvectors and eigenvalues the orientation directions      and the squares of the semiaxes of a triaxial ellipsoid used to approximate individual, deformed, droplets  

• Key contribution:  Extending previous approach to all viscosity ratio systems and also allowing for micro‐inertia (finite Particle Reynolds number)

7

ieia

3 21 i i iia

C e e

Also note that the droplet volume conservation constraint leads to: 

detC=1

Standard, Inertialess Model Equations*

8

1 1 11 1 13 3 3

H H H HC D C C D C C C C C C

C C C C

2

2 1 ( ) 2 1 1  3continuous

H HP D C C

C C

EVOLUTION EQUATION FOR CONFORMATION TENSOR

EXTRA STRESS TENSOR

• Very similar to Johnson‐Segalman model, except for the detC=1 constraint and the different expressions for H, Λ: TCEE model:  Mwasame et al., JFM 2017 (Accepted for Publication) 

where

Model Parameters Fit Against Asymptotic Results*

9

1

22

3

2

1 2 2

2

3 2

2 2/3 ;

/42 2

36 25 41 40; ;

35 19 16

36 25 41 4300 119 16 2 3 35 19 16

dispersed

continuous

aR

a C C C CRI

a C C C C

a a

a

5 2 4 19 1651 ; ( ) 12 3 2 1 3 5 2 2 3

P

*Applicable in the limit of small Ca numbers: Taylor Deformation Theory, 1934; Chaffey and Brenner, 1967; Schowalter et al., 1968; Frankel and Acrivos, 1970 

Some Comparisons to Existing Results*

10*Kennedy et al., Computers & Fluids, 23, 251‐278 1994.

Some Comparisons to Existing Results* (2)

11*Kennedy et al., Computers & Fluids, 23, 251‐278 1994.

Some Comparisons to Existing Results* (3)

12*Guido and Villone, J. Rheol. 42, 395‐415 1998.

Some Comparisons to Existing Results* (4)

13

In a four row mill device:

*Bentley and Leal, J. Fluid Mech. 167 241‐283 1986.

14

Model Predictions/Limitations

*Previous references and Torza et al., J. of Col. and Inter. Sci. 38 (1972): 395‐411**Raja,R.V, G. Subramanian, D.L. Koch, JFM 646 (2010): 255‐296.***Li, X. and K. Sarkar, J. Rheol. 49 (2005): 1377‐1394.****Jansseune, T., Moldenaers, J., Minale, P. & Maffetone, P. L., JNNFM 93 (2000): 153‐165.

• Agree well with experiments and microscopic simulations* at small Ca, significantly improving the MM model, when particle inertia is negligible.

• Still, as the size of the dispersed droplets increases and/or the flow velocity increases, particle inertia effects can become important and manifest to important rheological observations**:• Negative First Normal Stress• Positive Second Normal Stress

• These rheological effects have been associated to a dramatic change in the orientation of the droplets in shear flow from towards parallel (θ < 45°) to towards perpendicular to the flow (θ > 45°)***

• A simple correlation has also been developed****

Introduction of Micro‐Inertia to a General* Conformation Model

15

where

* Considering no constraints

It can be achieved, by analogy to the damped oscillator and the liquid crystal examples, through the introduction of a structural momentum tensor, w, corresponding to a structural kinetic energy ½ w:w/Z and the use of an additional velocity coupling to the momentum equation involving the vorticity instead of the rate of strain tensor, weighted by a new parameter, ζ.

Generic Conformation‐Tensor Based Micro‐Inertial Model Equations

16

With the inertialess form consistently recovered from the inertial one when

Application to Dilute Emulsions

17

• Straightforward, albeit leading to slightly more complex equations due to the constraint detC=1

Asymptotic theories for small inertia (Raja et al., JFM 646:255‐296 2010) can also be used to determine through matching the two additional model parameters:

and

Note that for dilute system,                , and therefore Z0 but     can be finite!   0

Reduced (Z=0) Micro‐Inertia Model for Dilute Emulsions*

18

2

2 1 ( ) 2 1 1  3continuous

H HP D C C

C C

*Mwasame et al., JFM 2017, manuscript in preparation

The ONLY difference from the inertialess TCEE model is in the extra non‐affine, non‐materially objective, term that is weighted by the new non‐affine parameter ζ~Re/Ca

1 1 11 1 13 3 3

H H H HC D C C D C C C C C C C C

C C C C

Typical Predictions

19

JNNFM 93 (2000) 153‐165Reference [12]: Li, X. and K. Sarkar, J. Rheol. 49 (2005): 1377‐1394Jansseune et al.

Summary• Developed a rigorous and systematic methodology, through the one generator 

bracket NET formalism, to describe multiphase emulsion systems through a microscopically meaningful internal conformation tensor variable description

• The formalism allowed to introduce material inertia into inertialess material constitutive equations in a consistent fashion 

• Showed that the results are consistent with all asymptotic behavior from microscopic theory

• Used those microscopic asymptotic theories to determine all the model parameters 

• Reduced micro‐inertia model only extends the Gordon‐Schowalter derivative to include one more non affine term weighted by the Re/Ca ratio

• Reduced model verified anomalous rheological predictions for the normal stresses and is consistent to the Jansseune et al. correlation confirming that they arise due to lift forces on the emulsion droplets developed due to inertia that are also responsible in orienting the droplets perpendicular to the flow

• Theory can be extended to be used in many other conformation‐tensor‐based model applications 

20