mÉtodos para optimizar el diseÑo de sistemas …
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MÉTODOS PARA OPTIMIZAR EL DISEÑO DE SISTEMAS
ESTRUCTURALES
by
Orlando Daniel Arroyo Amell
A Thesis submitted to the faculty ofUniversidad de los Andes
in partial ful�llment of the requirements for the degree of
Ingeniero Civil
Department of Ingeniería Civil
Universidad de los Andes
Mayo 2004
ABSTRACT
Tradicionalmente el diseño de estructuras se ha realizado mediante el uso de
factores parciales para la resistencia y para las cargas, el cual por su simplicidad
durante el siglo pasado se constituyó en una forma práctica de abordar el diseño.
Sin embargo, se ha demostrado que el uso de factores parciales presenta de-
�ciencias como la falta de invarianza, y la independencia de factores económicos
durante el proceso de diseño; además no involucran la concepción de sistema sino
que se concentra en el análisis de cada elemento aislado del conjunto, dando como
resultado diseños que no corresponden al medio socioeconómico en el cual tienen
lugar.
Considerando la idea anterior queda clara la necesidad de una metodología de
diseño que considere parámetros económicos, en la cual se analicen las estructuas
como un sistema y no como un conjunto de elementos independientes; y en la cual
exista una medida invariante de la seguridad de la misma.
La con�abilidad estructural en su concepción clásica puede dar respuesta al
problema de la invarianza, sin embargo, se necesita del análisis de vulnerabilidad
estructural para considerar la estructura como un sistema que trabaja en conjunto
y no como elementos independientes y la optimización para abordar el problema
desde el punto de vista económico.
Luego de una breve exposición de las metodologías de con�abilidad, vulnera-
bilidad y optimización se proponen dos metologías de diseño: la primera con un
enfoque de vulnerabilidad basado en sistemas estructurales y la segunda con un
enfoque de vulnerabilidad basado en inestabilidad de la matriz de rigidez de la
estructura. Finalmente se realiza una comparación de las dos metodologías con un
ejemplo sobre un pórtico plano sujeto a carga de sismo y distribuida.
v
CONTENTS
ABSTRACT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
LIST OF TABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
LIST OF FIGURES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
ACKNOWLEDGMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
I Con�abilidad xiii
Chapter
1 Historia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Primera Parte: 1920 a 1960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Segunda Parte: Investigación Académica . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Tercera Parte: La entrada al mundo estructural . . . . . . . . . . . . . 3
2 Evaluación de la Con�abilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 El problema de la con�abilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Medidas de la Con�abilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Métodos de Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Métodos de Transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II Vulnerabilidad 18
3 Enfoque Sistémico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Metodología de Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
vi
4 Enfoque Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Metodología de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III Optimización 41
5 Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Optimización de Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Funciones Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
IV Diseño basado en Con�abilidad, Vulnerabilidad yOptimización 50
7 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 Metodologías de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.1 Empleando enfoque sistémico de la vulnerabilidad . . . . . . . . . . . . 548.2 Empleando enfoque matricial de la vulnerabilidad . . . . . . . . . . . . 55
9 Ejemplo comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.1 Optimización del diseño de un pórtico plano . . . . . . . . . . . . . . . 579.2 Presente y Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Appendices
V Apéndices 73A. Operaciones Matriciales relacionadas con los determinantes . . . . . . . 74B. Esquema programa FORM para MathCad 11 . . . . . . . . . . . . . . 75
REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
vii
LIST OF TABLES
2.1 Parametros variables ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Convergencia del indice de con�abilidad y el vector normal . . . . . . . 17
3.1 Resumen escenarios falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.1 Funcion objetivo para diferentes estrategias de reemplazo . . . . . . . . 49
9.1 Variables ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.2 Resultados para diferentes criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.3 Resultados para diferentes criterios comparados porcentualmente re-
specto a la NSR98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.4 Resultados contexto social alto para diferentes valores de p . . . . . . . 67
9.5 Resultados contexto social medio para diferentes valores de p . . . . . . 68
9.6 Resultados contexto social bajo para diferentes valores de p . . . . . . 68
9.7 Volumen concreto utilizado normalizado respecto al contexto social bajo
para diferentes valores de p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
viii
LIST OF FIGURES
2.1 Visiones determinística y probabilístística de las variables del diseño . . 4
2.2 Estado límite factor de seguridad central . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Valores característicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Variables en el espacio real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Variables en el espacio transformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Principio de la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Índice de Hasofer y Lind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Viga sometida a carga ditribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 Esquema sistema en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Esquema sistema en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Esquema sistema arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Jerarquía de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Nodo arti�cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Pórtico ejemplo vulnerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 Jerarquía estructura ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1 Tipos Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1 Función objetivo para la optimización de costos . . . . . . . . . . . . . 48
7.1 Comparación entre el diseño tradicional y la metodología propuesta . . 52
ix
9.1 Pórtico a diseñar con la metodología propuesta . . . . . . . . . . . . . 57
9.2 Jerarquía estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.3 Resultados diseño de acuerdo a diferentes criterios . . . . . . . . . . . . 66
9.4 Resultados comparados porcentualmente respecto al diseño NSR98 . . 67
9.5 Esquema FORM para tres variables normales en MathCad . . . . . . . 75
x
ACKNOWLEDGMENTS
Tengo muchas personas a las cuales debo dar gracias desde el fondo de mi
corazón y trataré de expresar mi aprecio y afecto hacia ellas.
Para empezar quiero dar gracias a Dios quien me ha dado sabiduría y ha puesto
en mi camino personas maravillosas para guiarme y darme consejos en los momen-
tos cruciales. Quiero darle gracias por darme ideas en los momentos de confusión y
tenacidad para esforzarme día a día; quiero darle gracias por recordarme que como
persona y como ingeniero tengo el deber de ayudar a construir un nuevo país, darle
gracias por mostrarme el camino a seguir.
Quiero dar gracias a mis padres por su gran apoyo incondicional y por creer
en mí, darles gracias por todos sus sacri�cios y decirles que valen la pena y que
no les fallaré. A mi mamá, Emilse Amell quiero darte gracias por tu amor y
comprensión, por tenerme paciencia y ayudarme en los momentos más difíciles. A
mi papá, Orlando Arroyo quiero darte gracias por todos tus consejos, por tu apoyo
moral y por creer en mí, gracias por buscar mi bienestar.
Quiero dar gracias a mi novia Jalima Contreras por toda su compresión y
por darme ánimos para continuar cuando me faltaban las fuerzas. Gracias por
toda tu paciencia, por entenderme y sobre todo por estar siempre a mi lado de
manera incondicional, quiero que sepas que me has ayudado mucho y que se ha
visto re�ejado en este trabajo.
Quiero dar gracias a Mauricio Sánchez, mi asesor de tesis por guiarme en
todo momento, gracias por escuchar todas mis ideas; mil gracias por creer en mí
y apoyarme de la forma en la cual lo hiciste, gracias por tus consejos y por tus
ideas.Quiero dar gracias a Juan Carlos England por su colaboración en el área de
Vulnerabilidad, espero tengas éxito con tu trabajo
Quiero dar gracias igualmente a todas las personas del área administrativa del
Departamento de Ingeniería Civil, a Sandra, a Elizabeth, a Carmen C, John y
todos aquellos cuyos nombres se me escapan en estos momentos.
A mis amigos gracias por todo su apoyo, gracias Jorge, Nata, Alicia, Daniel
Bernal, Daniel Barreto, Manuel, Sandra, Sergio, Jhon, amigos gracias por es-
cucharme cada vez que les contaba con entusiasmo el desarrollo de este proyecto,
gracias por los momentos gratos que compartimos juntos estos años, por su com-
pañerismo, los llevo en mi corazón.
xii
Part I
Con�abilidad
xiii
CHAPTER 1
Historia
La historia de la Con�abilidad Estructural tiene sus orígenes en la tercera
década del siglo XX, y tuvo un desarrollo muy lento hasta la década de los 60�s.
La ingeniería estructural se encontraba ocupada desarrollando modelos inelásticos,
modelos de elementos �nitos, y en general comprendiendo el problema del com-
portamiento mecánico tanto de estructuras como de elementos estructurales. A
mediados de la década de los 60�s se despertó un súbito interés en el problema de
la con�abilidad, seguido de un vertiginoso desarrollo que se dividió en dos etapas:
la de investigación académica y la etapa de aplicaciones a códigos de diseño.
1.1 Primera Parte: 1920 a 1960
Los esfuerzos hechos durante este periodo en el área de con�abilidad fueron
escasos y aislados. El primer pionero fue Forssell quien en 1924 propuso el principio
de optimización de estructuras, según el cual el diseño debería minimizar el costo
esperado de una estructura, representado por el costo de construcción mas el costo
esperado de las pérdidas en caso de falla. Posteriormente en 1926 Meyer propuso
un diseño basado en la media y la desviación estándar de las variables aleatorias.
(Madsen, Krenk & Lind)
A lo largo de la década del 30 y hasta 1950 el avance en modelos estadísticos
de la resistencia fue bastante notorio, de los cuales vale la pena destacar a Weibull
2
(1930) y a Freudenthal (1947). Considerando estos trabajos, Johnson (1953) pro-
puso la primera presentación formal de la teoría de Con�abilidad Estructural y
diseño óptimo.
1.2 Segunda Parte: Investigación Académica
Durante este periodo la Con�abilidad Estrutural presentó un desarrollo teórico
bastante acelerado. De los adelantos vale la pena mencionar a Lind (1963) quien
de�nió el problema del diseño racional de los códigos como encontrar los mejores
valores para los factores de resistencia y carga. Cornell (1967) fue el primero
en sugerir el empleo de un método de segundo momento para el cálculo de la
probabilidad de falla, debido a las ya demostradas de�ciencias de la aproximación
del modelo Gaussiano. Posteriormente, Lind (1973) mostró la aplicabilidad del
índice de Cornell para obtener factores para la carga y la resistencia. En ese
mismo año Lind y Ditlevsen trabajando de manera independiente descubrieron el
problema de la invarianza y en 1974 empleando modi�caciones del método de Lind
se desarrollaron varios estándares de diseño estructural. (Madsen, Krenk & Lind)
A pesar de ser un periodo lleno de avances, muchos de ellos se quedaron como
desarrollos teóricos debido a dos razones:
� El diseño determinístico había servido de manera muy e�ciente hasta el mo-
mento, las fallas estructurales observadas habían sido pocas y se le atribuyeron
al error humano.
� La complejidad matemática desde el punto de vista abstracto y numérico era
3
muy alta para la época, haciendo la solución de problemas una tarea di�cil
de resolver.
1.3 Tercera Parte: La entrada al mundo estructural
A comienzos de los 70�s se presentaron dos aportes de gran importancia a
la Con�abilidad Estructural. El primero de ellos fue realizado por Hasofer y Lind
(1974) al desarrollar el índice de con�abilidad tal cual lo conocemos hoy en día. El
segundo aporte estuvo en manos de Veneziano en 1974, al aclarar las limitaciones
del índice de con�abilidad.
Como resultado de ello, se desarrollaron e implementaron varios códigos (CEB,
1976; CIRIA, 1977; CSA, 1981), los cuales desarrollaron métodos que eliminaban
la complejidad del diseño basado en probabilidad. Sin embargo, las fallas en las
estructuras mostraron que la teoría de con�abilidad estructural no describía de
manera apropiada las estructuras, que las fallas ocurridas podían ser atribuidas a
errores humanos que no eran contemplados por la con�abilidad.
La importancia de esta etapa es muy alta, la Con�abilidad Estructural dejó
de ser un ejercicio académico para convertirse en un elemento de importancia a la
hora del diseño. (Madsen, Krenk & Lind)
CHAPTER 2
Evaluación de la Con�abilidad
2.1 El problema de la con�abilidad
El diseño, el mantenimiento y el ciclo de vida de una estructura son funciones
de la resistencia y la solicitud. Las cargas son responsables de un cambio de la
estructura de un estado seguro a un estado de falla mientras que la resistencia es
responsable de mantener la estructura dentro de los límites de seguridad. El primer
paso hacia la con�abilidad es entender la naturaleza aleatoria de la resistencia y la
solicitud para dejar de lado el enfoque determinístico. La �gura 2.1 (b) muestra el
enfoque probabilístico de las variables de diseño. La resistencia y la solicitud son
modeladas de acuerdo a una distribución de probabilidad.
S R
fs(s)
fr(r)
(a) (b)
Figure 2.1: Visiones determinística y probabilístística de las variables del diseño
La de�nición mas general de con�abilidad es la probabilidad de no falla, la
5
cual puede representarse matemáticamente como
C = 1� Pf (2.1)
Siguiendo este orden de ideas, la con�abilidad estructural consiste en una me-
dida numérica que permita tener una idea de la seguridad de una estructura.
Para calcular la con�abilidad es necesario calcular la probabilidad de falla, la
cual es función de las variables de diseño. El cálculo de la probabilidad de falla se
efectúa sobre funciones de estado límite, que en su concepción más general son de
la forma
G(�!X ) = 0 (2.2)
En donde�!X = fX1; X2; X3::::Xng es un vector n-dimensional que contiene
parámetros de resistencia y solicitud.
2.2 Medidas de la Con�abilidad
Para el estudio de la con�abilidad estructural es importante contar con formas
en las cuales esta pueda ser cuanti�cada. Desde el punto de vista estadísticos
existen, para tal propósito dos tipos de medidas: determinísticas y probabilísticas,
las cuales toman sus nombres de acuerdo a los enfoques de las variables de diseño
que sean empleados.
2.2.1 Medidas Determinísticas: Las medidas determinísticas son aquellas en las
cuales la resistencia y la solicitud son consideradas como variables determinísticas.
La ingeniería colombiana utiliza este tipo de medidas como seguridad de los diseños.
Las medidas determinísticas mas comunes son:
6
1. Factor de Seguridad Central : el factor de seguridad central es quizás la me-
dida mas antigüa entre las medidas determinísticas. Consiste en tomar la
razón entre el valor medio de la resistencia y el valor medio de la solicitud.
Matemáticamente se expresa como
FS =�R�S
(2.3)
Una estructura es segura siempre que FS > 1; es decir la ecuación (2.2) en
la �gura (2.2) es
G(R;S) =R
S� 1 (2.4)
G(R,S) = 0RegiónSegura
Regiónde falla
R
S
Figure 2.2: Estado límite factor de seguridad central
El factor de seguridad central aún es utilizado en muchas aplicaciones de
ingeniería, siendo mas común en el área de Geotecnia en donde pueden llegar
a ser incluso superiores a 3.
2. Factores parciales: es la medida de seguridad típica que se emplea en el
diseño estructural de la NSR, consiste en utilizar factores para la resistencia
7
y para las cargas. En su versión mas general la ecuación (2.2) tiene la forma
G(R;S) = �R� S (2.5)
El factor � comúnmente es menor a 1, típicamente oscila entre 0.5 y 0.9, mien-
tras que el factor en la mayoría de los casos es mayor que 1, exceptuando
los casos de cargas que contribuyen a la estabilidad de las estructuras.
3. Factor de seguridad característico: entre las medidas determinísticas el factor
de seguridad característico posee el mayor componente probabilístico. Para
ello lo que se hace es tomar dos valores característicos: uno para la resisten-
cia y uno de la solicitud. La �gura (2.3) ilustra la selección de los valores
característicos. Es común que Rc = �R� kR�R y Sc = �S + kS�S con lo cual
el factor de seguridad característico se expresa como
FSc =�R � kR�R�S + kS�S
=�R (1� kRVR)�S (1 + kSVS)
= FS � 1� kRVR1 + kSVS
(2.6)
fs(s)
fr(r)
Sc Rc
Figure 2.3: Valores característicos
8
A pesar de haber sido ampliamente empleadas en el pasado y aún en el presente,
las medidas determinísticas no son apropiadas para la evaluación de la probabilidad
de falla en la ecuación (2.2) porque los resultados dependen de la forma en la cual
se escriba la ecuación. Éste problema se denomina falta de invarianza. (Sánchez,
2004)
2.2.2 Medidas Probabilísticas: Las medidas probabilísticas tienen en cuenta la
naturaleza probabilística de las variables de diseño. Dentro de las medidas prob-
abilísticas es ampliamente aceptado el índice de con�abilidad de primer orden y
segundo momento. Desarrollado originalmente por Hasofer y Lind en 1974. Éste
consiste en encontrar en el espacio normalizado, la mínima distancia al origen desde
la función de estado límite. Para normalizar una variable es necesario aplicar la
siguiente transformación
u =x� �x�x
(2.7)
La probabilidad de falla de la estructura puede calcularse como
Pf = �(��) (2.8)
en donde � es la distribución de probabilidad acumulada de una distribución
normal estándar y � es el índice de con�abilidad de Hasofer y Lind (ver Figura
2.5)
El índice de con�abilidad de Hasofer y Lind es una medida invariante de la
seguridad, y aunque conceptualmente parece sencillo, su cálculo puede resultar
una tarea complicada. Para encontrar el valor de � se han desarrollado diferentes
9
G(R,S) = 0
S
R
Figure 2.4: Variables en el espacio real
metodologías, las cuales dan soluciones muy buenas al problema y pueden ser
agrupadas en dos categorías: métodos de simulación y métodos de transformación
2.3 Métodos de Simulación
Los métodos de simulación pretenden, como lo dice su nombre simular numéri-
camente los fenómenos para observar la ocurrencia de algún evento de interés. Los
métodos de simulación son muy sencillos desde el punto de vista conceptual, pero
tienen un costo computacional elevado. El método de simulación mas popular es
el de Monte Carlo, el cual toma su nombre de la ciudad con los famosos casinos.
El método de Monte Carlo consiste en la generación de manera aleatoria de val-
ores para inferir información acerca de estos valores. Para generar tales valores es
necesario conocer las distribuciones de probabilidad de las variables involucradas.
Para generar un número aleatorio a partir de una distribución de probabilidad
F (x), es necesario generar primero un número aleatorio z entre 0 y 1 a partir del
10
G(ZR,ZS) = 0
ZR
ZS
Z*β
Figure 2.5: Variables en el espacio transformado
cual se obtiene x mediante
x = F�1(z) (2.9)
Para calcular la probabilidad de falla en la función G(�!X ) = 0, se generan
números aleatorios para cada una de las variables Xi involucradas en el problema.
A esto se le denomina una realización de la función G(�!X ): La probabilidad de falla
se estima a partir de
Pf =numero de veces que G(
�!X ) � 0
numero de realizaciones de G(�!X )
(2.10)
Este enfoque de análisis de denomina Monte Carlo Crudo.
11
númeroaleatorio
Figure 2.6: Principio de la simulación
La pregunta di�cil de responder acerca de la simulación es ¿cual es la can-
tidad mínima de simulaciones para que el estimado de la ecuación anterior sea
apropiado?. Esta respuesta ha sido proporcionada por la estadística y una de las
respuestas se obtiene utilizando la ecuación (2.11), en donde Pr es un estimado de
la probabilidad real y VP es la variación deseada en el estimado de Pf .
N =1� PrV 2P � Pr
(2.11)
En ocasiones vale la pena calcular el valor de VP cuando se realiza una cantidad
determinada de simulaciones, el cual se puede determinar de
VP =2
r1� PrN � Pr
(2.12)
Como puede verse, las simulaciones de Monte Carlo son una herramienta de
fácil uso para el cálculo de la probabilidad de falla. Adicionalmente, existen muchos
programas que facilitan la generación de números aleatorios (MathCad, MatLab,
Crystal Ball, etc.); sin embargo, el costo computacional es muy elevado cuando la
cantidad de variables es grande y se desea un número alto de simulaciones.
12
Considerando lo anterior, se han desarrollado métodos que permiten reducir
la varianza y obtener resultados de Pf con un menor número de simulaciones que
las requeridas en el caso de Monte Carlo crudo. Muchos autores han estudiado las
técnicas de reducción de invarianza; algunas de las mas utilizadas son:
� Simulación Direccional
� Latin HyperCube Sampling
� Muesteo por importancia.
2.4 Métodos de Transformación
Los métodos de transformación son la segunda alternativa al cálculo de la
probabilidad de falla de estructuras. En todas sus versiones calculan la mínima
distancia al origen en el espacio transformado. Existen dos metodologías amplia-
mente reconocidas dentro de los métodos de transformación: FORM y SORM.
FORM fue propuesto por Hasofer y Lind en 1974 y consiste en linealizar la
función de estado límite en el punto de diseño Z� en el espacio transformado; a
partir de esta aproximación, obtener la distancia al origen desde ese punto.
La probabilidad de falla se calcula con el índice � y la ecuación (2.8). Para el
cálculo del índice � cuando las variables son normales existe el siguiente proced-
imiento:
1. De�nir la función de estado límite G(�!X ) = 0; en términos de las n variables
e identi�car la media �i y desviación �i de cada una de las variables Xi:
13
ZR
ZS
β( , ) 0R SG Z Z =
(́ , ) 0R SG Z Z =
Z*
Figure 2.7: Índice de Hasofer y Lind
2. Seleccionar un punto de inicio para n� 1 variables. Típicamente las medias
son un buen punto de inicio.
3. Resolver en G(�!X ) = 0 para la n� �esima variable y completar el vector �!X
4. Obtener el vector�!Z de variables normalizadas. Los elementos de
�!Z pueden
obtenerse a partir de la ecuación (2.7).
5. Obtener el vector�!D de las derivadas en el espacio normalizado respecto a
las variables normalizadas�!Z : El vector
�!D puede calcularse a partir de las
derivadas en el espacio real de la siguiente manera:
Di = �dG(
�!X )
dXi� �i (2.13)
6. Obtener � de la ecuación
� =
�!DT � �!Zp�!DT � �!D
(2.14)
14
7. Calcular el vector normal a la super�cie � como
� =
�!Dp�!DT � �!D
(2.15)
8. Obtener un nuevo punto�!X para la n� 1 variables seleccionadas en el paso
2 a partir de la siguiente expresión:
Xi = �i + ��i�i (2.16)
9. Repetir los pasos 3 al 8 hasta obtener la convergencia.
Cuando se presentan variables no normales involucradas, es necesario hacer
una modi�cación al método basado en el procedimiento de Rackwitz y Fiessler, el
cual consiste en obtener una media y una desviación estándar equivalentes a una
distribución normal. Para ello se emplean las siguientes expresiones:
�e =1
f(x)����1 (F (x))
�(2.17)
�e = x� �e���1 (F (x))
�(2.18)
Las expresiones (2.17) y (2.18) deben calcularse entre los pasos 3 y 4 del FORM
para variables normales. El resto de los pasos son idénticos pero empleando �e y
�e en lugar de � y �:
El FORM es un procedimiento ampliamente aceptado y desde el punto de vista
computacional es poco exigente. Sin embargo, no debe olvidarse que consiste en
una aproximación de primer orden de la función de estado límite y por tanto puede
cometerse un error si la función G(�!X ) es altamente no lineal. Una alternativa a
este problema es el SORM, el cual se caracteriza por emplear una aproximación de
15
segundo orden de la función de estado límite en vez de la aproximación de primer
orden propuesta por Hasofer y Lind. El método SORM es sustancialmente mas
complejo que el FORM y su descripción se encuentra fuera de los alcances de este
documento.
Example 1 (Tomado de Nowak) Calcule el índice de con�abilidad de Hasofer y
Lind para la viga mostrada en la �gura (2.8). La información de las variables se
resume en la tabla a continuación:
Variable Media Desviación Estándar
w 10kNm
0:4KNm
L 5m � 0
E 2� 107 kNm2 0:5� 107 kN
m2
I 8� 10�4m4 1:5� 10�4m4
Table 2.1: Parametros variables ejemplo
1. La función de estado límite de en este caso está dada por
G(X1; X2; X3) =5
360� 0:0069 � 5
4X3
X1X2
(2.19)
Figure 2.8: Viga sometida a carga ditribuida
16
2. Asumiendo paraX1 yX2 las medias de E e I despejamos para w y obtenemos
w = 51:53:
3. Pasando al espacio normalizado obtenemos Z =
0BBBBBB@0
0
103:8
1CCCCCCA
4. Calculamos el vector de derivadas en el espacio normalizadoD =
0BBBBBB@�2:604� 10�3
�3:478� 10�3
1:078� 10�4
1CCCCCCA5. Calculando � a partir de la ecuación (2.14) se obtiene � = 2:578
6. Mediante la ecuación (2.15) se obtiene el vector normal a la super�cie � =0BBBBBB@�0:6
�0:8
0:025
1CCCCCCA7. Se obtienen X1 y X2 mediante la ecuación (2.16). X1 = 5:68� 10�4y X2 =
9:69� 106
Los pasos 2 a 7 se repiten hasta obtener convergencia. Después de cuatro
iteraciones se obtiene �nalmente como resultado � = 3:181 lo cual produce una
probabilidad de falla Pf = 7:35�10�4: La convergencia del valor de � y del vector
� se presenta en la Tabla 2.2:
17
Iteración 1 2 3 4 5 6 7
� 2.578 3.29 3.213 3.182 3.181 3.18 3.18
�1 -0.6 -0.445 -0.269 -0.199 -0.185 -0.181 -0.181
�2 -0.8 -0.89 -0.962 -0.979 -0.982 -0.983 -0.983
�3 0.025 0.039 0.042 0.036 0.035 0.034 0.034
Table 2.2: Convergencia del indice de con�abilidad y el vector normal
Part II
Vulnerabilidad
18
CHAPTER 3
Enfoque Sistémico
3.1 Introducción
La con�abilidad estructural es una herramienta que responde al problema del
cálculo de la probabilidad de falla, sin embargo, en su enfoque tradicional se limita
a elementos sencillos, para los cuales la ecuación (2.2) tiene una forma explícita.
Sin embargo, al trabajar con estructuras, las cuales son signi�cativamente mas
complejas que la suma de sus elementos de manera independiente, la ecuación
G(�!X ) = 0 no posee una forma explícita y el análisis de con�abilidad no puede
realizarse con los métodos expuestos.
El concepto de sistema es crucial para el análisis de con�abilidad de estructuras;
las cuales deben ser vistas como un conjunto de elementos que interactúan entre sí.
Una analogía del mundo animal que ilustra el concepto de la forma en la cual una
estructura resiste las solicitudes es la tela de araña; cualquiera que haya intentado
tirar de uno de sus extremos sabrá que toda la telaraña resistirá la solicitud que le
está siendo impuesta.
A pesar que todos los elementos de una estructura contribuyen a su resistencia,
la con�guración geométrica de la estructura determina un conjunto de elementos
que dominan en su estabilidad. La vulnerabilidad estructural simpli�ca el problema
de la función G(�!X ) = 0 para el caso de sistemas estructurales, para luego calcular
la probabilidad de falla mediante el análisis clásico de la con�abilidad.
20
En esta parte de mi tesis presento dos enfoques de la vulnerabilidad estructural.
El primero de ellos, el enfoque sistémico presenta una metodología para determinar
los modos de falla de una estructura expresados como una secuencia de fallas
sobre elementos de la estructura. Como se verá, esta metología posee un enfoque
sistemático que puede aplicarse a estructuras sin importar su tamaño, además,
toma en cuenta la geometría y resistencia de los elementos que la conforman.
Un segundo enfoque para la vulnerabilidad no considera elementos por sepa-
rado sino que radica en la matriz de rigidez de la estructura, analizando su esta-
bilidad mediante un procedimiento netamente algebraico basado en el número de
condicionamiento de la matriz como una medida del grado de inestabilidad de la
misma.
Pensar en una estructura como un sistema de elementos relacionados entre sí
resulta de gran utilidad para el análisis de con�abilidad. Para analizar las estruc-
turas desde un enfoque sistémico es necesario entender el concepto de sistema:
Un sistema es una entidad cuya existencia y funciones se mantienencomo un todo por la interacción de sus partes.
Un sistema tiene propiedades que lo diferencian de un conjunto de partes:
� Un sistema cambia si se quitan o añaden partes
� La disposición de las piezas es fundamental
� Las partes están conectadas y funcionan todas juntas
� El comportamiento del sistema depende de la estructura global. Al cambiar
la estructura se modi�ca el comportamiento del sistema
21
Con base en estos conceptos y mediante el análisis del nivel de deterioro de la
estructura por una secuencia de fallos individuales, es posible determinar los esce-
narios que conducen a la falla del sistema y por medio de la teoría de probabilidad
es posible modelar la falla de la estructura como una secuencia de fallas de eventos.
3.2 Tipos de sistemas
3.2.1 Sistemas en serie: La forma mas fácil de visualizar un sistema de cualquier
naturaleza es mediante una grá�ca de resortes
Figure 3.1: Esquema sistema en serie
En un sistema en serie como el de la �gura (3.1) la falla de uno de sus com-
ponentes conduce a la falla del sistema. De forma general, la probabilidad de falla
de un sistema en serie se calcula mediante la expresión
PfS = 1�Yi
(1� Pfi) (3.1)
En donde n es el número de elementos y Pfi es la probabilidad de falla del
elemento i: Si asumimos que la resistencia y la solicitud se distribuyen con dis-
tribuciones de probabiidad FR(r) y FS(s) la ecuación (3.1) se convierte en
PfS = 1�Yi
[1� P (Ri � Si)] (3.2)
22
Figure 3.2: Esquema sistema en paralelo
3.2.2 Sistemas en paralelo: Un sistema en paralelo puede idealizarse como lo mues-
tra la �gura (3.2), en el cual la falla de un elemento no conduce a la falla del sistema.
En un sistema en paralelo es necesaria la falla de todos los elementos para que el
sistema lo haga. Si la probabilidad de falla del elemento i es Pfi; entonces la
probabilidad de falla del sistema se obtiene mediante la expresión
PfS =Yi
Pfi (3.3)
3.2.3 Sistemas arbitrarios: Son pocos los sistemas que pueden ser idealizados como
un sistema en serie o un sistema en paralelo, sin embargo, es posible encontrar
combinaciones de ellos como lo muestra la �gura (3.3), en la cual apreciamos un
sistema de elementos en paralelo que se encuentra en serie con otros dos elementos.
Figure 3.3: Esquema sistema arbitrario
En el análisis estructural es poco común que los sistemas arbitrarios sean tan
23
sencillos como el de la �gura (3.3), sin embargo, existe una metodología que permite
establecer los modos de falla de un sistema, la cual se presenta a continuación.
3.3 Metodología de Análisis
A �n de poder plantear una función de estado límite con base en el análisis de
las estructuras como un sistema, es necesario desarrollar una metodología para el
análisis de una estructura cualquiera. A continuación se exponen los conceptos de
la teoría de vulnerabilidad estructural así como las funciones de estado límite que
pueden derivarse a partir de ella.
3.3.1 De�niciones: Las de�niciones proporcionadas a continuación fueron tomadas
de Vulnerability of Structural Systems (Xin Wu, David I. Blockley and Norman J.
Woodman, 1993):
1. Un cluster estructural primitivo contiene solo un miembro y dos nodos �nales
y es el nivel mas bajo de la jerarquía.
2. El cluster de referencia usualmente es el suelo. Es el cluster del cual la
estructura se separa en el escenario de falla.
3. Dos clústeres estructurales se dice que están conectados cuando uno o
mas nodos se encuentran contenidos en ambos clústeres.
4. Un nodo complejo es la intersección de dos clústeres mutuamente conec-
tados.
5. Una trayectoria estructural es una secuencia de clústeres conectados.
24
El número de clústeres es la longitud de la trayectoria y si todos los
clústeres son primitivos entonces es la cantidad de miembros.
6. Un anillo estructural es una trayectoria estructural que puede ser cer-
rada o abierta; determinada o indeterminada desde el punto de vista es-
tático. Un anillo estructural es capaz de resistir un conjunto de fuerzas
aplicadas.
7. Un anillo estructural indeterminado R es aquel en el cual si es liberado
de uno de los grados de libertad, permanece rígido.
8. Un anillo estructural primitivo es aquel que al perder un grado de lib-
ertad se transforma en un mecanismo.
9. El calidad de conformación1 de un anillo estructural es un indicador de
su capacidad de resistir daño o cargas en cualquier dirección.
10. Un sistema estructural puede representarse como una serie de anillos
Rl a un nivel de de�nición l, los cuales pueden contener clústeres de un
nivel de jerarquía mas bajo, o bien ser parte de anillos de niveles mas
altos.
11. Un evento deteriorante es el resultado de acciones que podrían causar
la pérdida de la capacidad de transmitir fuerza en un anillo estructural.
12. Un escenario de falla es una secuencia de eventos deteriorantes que
transforman un anillo estructural en un mecanismo.1 El término en inglés es well formedness
25
13. La demanda de daño es una medida del esfuerzo que es necesario por un
evento deteriorante. La demanda de daño es un escenario de fall es igual
a la suma de las demandas de daño de todos los eventos deteriorantes
contenidos en el escenario de falla.
14. La demanda relativa de daño (rdd) es el cociente entre la demanda de
daño de un escenario y la máxima demanda de daño del escenario.
15. El mínimo escenario de falla de un anillo estructural de nivel de de�ni-
ción l es aquel cuya demanda de daño requerida para transformar el
anillo estructural en un mecanismo es la menor todos los niveles l:
16. El escenario de mínima demanda es aquel que requiere la demanda de
daño mas pequeña.
17. El máximo escenario de falla de un anillo estructural de nivel de de�ni-
ción l es aquel en el cual la consecuencia de efectiva es máxima.
18. El escenario de falla total es el escenario que requiere el menor esfuerzo
para causar la desconexión del cluster de referencia
19. La separatividad2 de un anillo estructural de nivel de de�nición l es
una descripción de la consecuencia el escenario de falla. Es el número
de número de clústeres desconectados estructuralmente del cluster de
referencia en ese anillo.
20. El índice de vulnerabilidad de un escenario es el cociente entre la sepa-
ratividad del escenario y la demanda relativa de daño del escenario.
2 El término en inglés es separateness
26
21. El máximo escenario de falla es el escenario de falla que tiene el máximo
valor del índice de vulnerabilidad.
22. El análisis de vulnerabilidad estructural es el encargado de identi�car
(i) el mínimo escenario de falla (ii) el máximo escenario de falla (iii)
cualquier escenario de particular interés (iv) el escenario de mínima
demanda (v) el escenario de falla total
Por conveniencia se utilizará la siguiente notación:
� qi es la calidad de conformación del i� �esimo nodo.
� Q es la calidad de conformación de un anillo.
� Kii es la submatriz de la matriz de rigidez K asociada con el i� �esimo
nodo.
� N es el número de nodos en un anillo.
� det(Kii) es el determinante de la submatriz Kii de la matriz K:
� � es el eigenvalor.
3.3.2 Pasos de análisis: Tal como se expuso, el propósito de la vulnerabilidad
estructural es, en esencia, la obtención de escenarios de falla. Para el procedimiento
es necesario conocer las siguientes expresiones matemáticas (S es la estructura
27
intacta y S�es la estructura afectada):
qi = det(Kii) (3.4)
Q =1
N
NXi=1
qi (3.5)
rdd =daño recibido
máximo daño posible(3.6)
separatividad =Q(S)�Q(S 0)
Q(S)(3.7)
IV =separatividad
rdd(3.8)
Con base en las ecuaciones (3.4) y (3.5) los siguientes pasos para conformar la
estructura:
1. Se calcula qi para cada uno de los nodos empleando la ecuación (3.4), en
donde Kii es la submatriz asociada al nodo. Para nodos a los cuales llegan
varios elementos Kii es la suma de las submatrices ii de los elementos que
llegan al nodo.
2. Se calcula el valor de Q para cada uno de los elementos. Estos se obtienen de
la ecuación (3.5) a partir de la contribución del elemento al q de los nodos.
El elemento con el mayor Q es seleccionado como inicio del proceso y se
considera como cluster primario.
3. La segunda etapa comprende el proceso de formación de clústeres hasta antes
de incluir el clúster de referencia (suelo para nuestros casos). A partir de
un cluster se forma el siguiente incorporando los elementos con los cuales el
clúster se encuentra conectado y se observa el cambio entre el Q de los nuevos
28
C1 C2
C5 C3
C6 C4 (Ref)
C7
m1 m2
m3
Figure 3.4: Jerarquía de la estructura
clústeres respecto al inicial. El elemento que ingresando al cluster produzca
el cambio mas grande es incorporado y queda constituido el nuevo cluster.
Este proceso se repite hasta que sólo quede la referencia y se concluye la
segunda etapa.
El resultado del proceso es similar a lo que se muestra en la �gura (3.4).
El siguiente paso del análisis consiste en determinar la cantidad de daño que
deben recibir los elementos. En este punto identi�camos dos tipos de daño: daño
de corte y daño de articulación. El primero de ellos hace referencia a la cantidad
de daño necesaria para que el elemento se desconecte del cluster al cual pertenece,
mientras que el segundo es el daño requerido para crear una articulación3. Por
facilidad de análisis se trabajará con el daño en el centro del elemento. A contin-
uación se describe el procedimiento para calcularlos.
3 Los términos originales son Damage Demand to Cut y Damage Demand to Pin respectiva-mente
29
a
L/2
Figure 3.5: Nodo arti�cial
La �gura (3.5) sugiere que el elemento de longitud L sea dividido en dos partes
mediante un nodo �cticio en el centro del elemento y mediante el método matricial
se encuentre la submatrizM asociada al nodo �cticio a. El damage demand to cut
(ddc) y damage demand to pin (ddp) se calculan
ddc = max(eigenvals(M)) (3.9)
ddp = min(eigenvals(M)) (3.10)
3.3.3 Función de estado límite: El propósito del enfoque sistémico es determinar
modos de falla que nos permitan plantear una función de estado límite. Con el
siguiente ejemplo se pretende ilustrar el procedimiento para obtener la función de
estado límite.
Example 2 Obtener los escenarios de falla para el caso de la �gura (3.6). Asumir
E = 205 GPa, A = 8.08e-2 m2 e I = 2.75e-3 m4
Solution 3 El primer paso del análisis es obtener las matrices de rigidez para
cada elemento. Para las columnas nos conduce a
30
1
2 3
4
6 m
3 mm1
m2
m3
Figure 3.6: Pórtico ejemplo vulnerabilidad
[K111] = [K
344] =
2666666412EIL3
0 6EIL2
0 AEL
0
6EIL2
0 4EIL
37777775 [K122] = [K
333] =
2666666412EIL3
0 6EIL2
0 AEL
0
6EIL2
0 4EIL
37777775y para la viga
[K222] =
26666664AEL
0 0
0 12EIL3
6EIL2
0 6EIL2
4EIL
37777775 [K233] =
26666664AEL
0 0
0 12EIL3
�6EIL2
0 �6EIL2
4EIL
37777775Por lo tanto, para el nodo 1 se obtiene:
eigenvals([K111]) =
266666649:52� 105
4:97� 104
5:52� 106
37777775 ; con lo cual utilizando la ecuación (A.13)se obtiene
q1 = det([K111]) = 2:61� 1017: Por simetría q4 = q1:
31
Para el nodo 2 es necesario sumar las contribuciones de la columna y la viga,
por lo tanto se obtiene
eigenvals([K122] + [K
222]) =
266666641:06� 106
3:07� 106
5:50� 106
37777775 ; nuevamente utilizando la ecuación(A.13)
q3 = det([K122] + [K
222]) = 1:79� 1019: Por simetría q2 = q3:
El siguiente paso es determinar la demanda de daño en el centro de cada ele-
mento. Para ello se emplea el método sugerido en la �gura (3.5) y las ecuaciones
(3.9) y (3.10) para las columnas y la viga; lo cual da como resultado
ddccol = 2:2� 107; ddpcol = 3:0� 106
ddcviga = 1:1� 107; ddpcol = 5:0� 105
A continuación se procede al proceso de formación de clústeres. Para ello se
calcula el valor de Q para cada uno de los miembros:
Qcol = [q1 + det([K122])]
12= 2:61�1017; Qviga = [det([K
222]) + det([K
233])]
12=
8:06� 1015
Utilizando el procedimiento descrito por Pinto (2002), se procede a formar los
clústeres. Como el Q más grande pertenece a las columnas, debe empezarse el
proceso por una de ellas. Por lo tanto, el cluster 5 (el 4 es el suelo, del 1 al 3 son
32
los miembros) se compone de la una columna y la viga (única elección). El cluster
6 es el cluster 5 adicionando la columna restante (única elección). Finalmente se
incluye el suelo y queda conformada la estructura. La jerarquía se muestra en la
�gura (3.7):
C1 C2
C5 C3
C6 C4 (Ref)
C7
m1 m2
m3
Figure 3.7: Jerarquía estructura ejemplo
Para calcular Q para los clusteres 5 a 7 se procede de igual manera como se
calcularon para los miembros, lo cual conduce a
Q5 =13(q1 + q2 + q3) = 6:05� 1018;
Q6 = Q7 =14(q1 + q2 + q3 + q4) = 9:08� 1018:
El siguiente paso es determinar los escenarios de falla:
� El primer escenario es romper el cluster 6, para lo cual es necesario romper el
cluster 3 (columna), dejando el cluster 5, compuesto por la columna restante y
la viga. Como la columna se encuentra conectada a la referencia se selecciona
para introducir otro corte.
33
La demanda de daño para romper el cluster 6 es entonces, la suma de los ddc
de las columnas. El máximo daño posible es la suma de las ddc de las columnas y
la viga. Por lo tanto utilizando la ecuación (3.6) se obtiene
rdd =4:4� 1075:5� 107 = 0:8
La estructura no se encuentra conectada al suelo, por lo tanto Q(S�) = 0; y
por consiguiente utilizando las ecuaciones (3.7) y (3.8)
separatividad =9:08� 1018 � 09:08� 1018 = 1
IV =1
0:8= 1:25
� El nivel siguiente en la jerarquía es el cluster 5. Para romper éste cluster
basta con romper la columna; siguiendo un procedimiento similar al del paso
anterior
rdd =2:2� 1075:5� 107 = 0:4
separatividad =9:08� 1018 � 6:05� 1018
9:08� 1018 = 0:33
IV =0:33
0:4= 0:83
Continuando con el proceso es posible identi�car otros escenarios de interés,
los cuales se resumen en la Tabla (3.1).
Dentro de los escenarios descritos en la Tabla (3.1) se destacan el escenario 1
y el escenario 3 por tener separatividad 1, y adicionalmente, el escenario 3 es el
escenario de falla total. El escenario 5 es el escenario de máxima falla.
34
Escenarios de Falla
Escenario # 1 2 3 4 5
Evento deteriorante # 1 Corte C3 (CC3) CC1 CC3 CC2 PC2
Evento deteriorante # 2 Corte C1 - PC1 - -
Q(S�) 0 6:05� 1018 0 1:31� 1017 6:70� 1018
rdd 0.80 0.40 0.45 0.20 9:10� 10�3
separatividad 1 0.33 1 0.99 0.26
IV 1.25 0.83 2.22 4.95 29
Table 3.1: Resumen escenarios falla
Son de interés los eventos que ocasionen que la separatividad sea 1 puesto esto
signi�ca que la estructura se ha colapsado. Por lo tanto, nuestras funciones de
estado límite serán la ocurrencia de los eventos que conducen a una separatividad
de 1. Si suponemos independencia entre los diferentes escenarios y elementos, la
probabilidad de falla de la estructura será
PfE =mXj=1
nYi=1
Pfi
!j
(3.11)
En donde m son los escenarios de falla y n los elementos que hacen parte del
j � �esimo escenario de falla.
El método presentado presenta algunas ventajas, siendo la más importante de
ellas el ser un método sistemático, el cual hace posible aplicarlo a cualquier tipo
de sistema, sin importar si se trata de un edi�cio, un circuito, una red de trá�co,
etc.
35
Esta facultad hace que el método tenga un valor excepcional porque puede
extenderse a otras áreas del conocimiento, concediéndole el cali�cativo de universal.
Sin embargo, cuando se posee un sistema de excepcional complejidad, el proceso de
formación de clústeres y detección de escenarios puede hacerse extraordinariamente
complejo, haciéndolo poco e�ciente en el caso de estructuras de gran tamaño. Por
otra parte, es un sistema que involucra un nivel de criterio elevado, lo cual hace
compleja su programación en un lenguaje de computadora.
CHAPTER 4
Enfoque Matricial
4.1 Introducción
El enfoque sistémico de análisis de las estructuras presenta una metodología
para el cálculo de la probabilidad de colapso; sin embargo, el análisis puede com-
plicarse a medida que la complejidad del sistema aumenta. Ante tal di�cultad vale
la pena buscar una metodología mas simple mediante la cual puedan obtenerse
iguales resultados con un menor esfuerzo.
A diferencia de enfoque sistémico, el cual analiza la estructura como elementos
que interactúan, en el enfoque matricial se analiza toda la estructura a partir de la
matriz de rigidez. Las ventajas de este método tal como se verá a continuación son
su versatilidad; no es necesario entrar a analizar la forma en la cual interactúan
los elementos de las estructuras y proporciona una única función de estado límite.
4.2 Metodología de análisis
4.2.1 Singularidad de la Matriz de Rigidez: Se dice que una estructura es in-
estable cuando para pequeños cambios en las fuerzas externas se producen grandes
deformaciones. El análisis matricial de estructuras permite calcular las deforma-
37
ciones de una estructura, como:
[K] [�] = [F ] (4.1)
[�] = [K]�1 [F ] (4.2)
La ecuación (4.2) puede utilizarse para determinar la inestabilidad de la estruc-
tura debido a la presencia de [K]�1 en el lado derecho de la ecuación. Transformar
la ecuación (4.2) mediante la identidad [K]�1 = det([K])�1[MCOF ] conduce a (4.3).
Si el determinante de la matriz de rigidez se aproxima a cero la estructura se va
volviendo inestable.
[�] =1
det([K])[MCOF ][F ] (4.3)
Sin embargo, el determinante es una medida di�cil de utilizar como un indica-
tivo de la estabilidad, por lo cual resulta necesaria una forma de cuanti�carla mas
e�caz: el número de condicionamiento basado en la norma L2. La norma L2 de
un vector se calcula como
kXk2 =
vuut nXi=1
(Xi)2 (4.4)
Para una matriz la norma L2 se calcula como
kMk2 = max(eigenvals(ATA))1=2 (4.5)
A partir de la norma de condicionamiento L2 de una matriz es posible calcular
el número de condicionamiento de la matriz. El número de condicionamiento de
la matriz basado en la norma L2 se calcula como (4.6)
38
Cond(A) = kAk2 A�1
2(4.6)
Y en consecuencia,
Cond(A) = kAk21
det(A)kMCOFk2 (4.7)
Vale la pena observar que el número de condicionamiento involucra calcular el
determinante de la matriz, por lo tanto, si la matriz A se encuentra mal condi-
cionada (inestable en el caso de la matriz de rigidez de la estructura), el número
de condicionamiento será muy grande; o lo que es lo mismo, el inverso del número
de condicionamiento será muy cercano a cero.
Existen otras normas matriciales como la norma L1 y la norma 1; pero la
norma L2 proporciona la medida mas pequeña y mas apropiada de una matriz
(Ortega, 1974).
4.2.2 Función de estado límite: El inverso del número de condicionamiento basado
en la norma L2 es un excelente indicativo de la inestabilidad de la estructura.
Sin embargo, a �n de determinar una función de estado límite se requieren dos
elementos adicionales:
� Un límite a la inestabilidad.
� Incorporar las cargas como causas de la inestabilidad.
El cálculo del límite de la inestabilidad es una tarea compleja de realizar.
Hurtado (2003) sugiere compararlo con una precisión decimal; lo cual no es un mal
39
indicativo porque los programas de computador emplean métodos numéricos para
calcular el número de condicionamiento. Sin embargo vale la pena preguntarse
¿cuál es el valor apropiado para compararlo?, ¿tendría el valor alguna relación con
el entorno socioeconómico en el cual se lleva a cabo el diseño?.
Esta tesis es un estudio comparativo, y para tal �n, se tomarán como valores
límites para el número de condicionamiento un rango de valores comprendidos
entre 10�2 y 10�3:
A �n de incorporar las cargas como causa de la inestabilidad consideraremos
el pandeo como causa de la inestabilidad de la estructura, para lo cual podemos
incorporar la matriz de rigidez geométrica. Para ello es necesario realizar el análisis
de la estructura y determinar los esfuerzos axiales sobre los elementos.
Una vez solucionados los problemas enunciados, puede plantearse la siguiente
función de estado límite:
G(K;P;KG; p) =1
Cond([K]� fPg [KG])� 10�p (4.8)
En donde fPg [KG] es la matriz que toma encuenta los efectos de pandeo debido
a las cargas axiales sobre cada uno de los elementos de la estructura.
Esta metodología presenta ventajas respecto al enfoque sistémico. Algunas de
ellas son:
� Proporciona una única funcion de estado límite.
� No requiere analizar la interacción entre los elementos de la estructura,
porque se encuentra implícita en la matriz de rigidez.
40
� A medida que se incrementa la complejidad de las estructuras la di�cultad
se incrementa a una tasa inferior.
� Es un método sencillo de programar.
La principal desventaja de éste método es requerir una matriz de rigidez, lo
cual impide su aplicación a estructuras de cualquier tipo y lo limita a edi�cios y
estructuras que puedan analizarse mediante elementos �nitos.
Part III
Optimización
41
CHAPTER 5
Aspectos generales
La optimización es un proceso que hoy en día es crucial para el mundo. La
búsqueda de la mejor solución para problemas de la vida real es importante para
Ingenieros Civiles, Mecánicos, Automotrices, Industriales; así como para Econo-
mistas, Administradores e incluso, Amas de casa.
En un mundo con recursos económicos limitados encontrar la mejor relación
de costo/bene�cio, encontrar el punto de máximo bene�cio, el de mínimo costo se
ha vuelto una tarea del diario que bien vale la pena llevar a cabo en los diseños de
edi�caciones.
Considerando lo anterior vale la pena conocer los tipos de optimización que
existen. Sólo se enunciarán los métodos mediante los cuales se lleva a cabo porque
éstos se encuentran integrados a programas destinados para tal labor como Math-
Cad, MatLab, Mathematica, etc.
En su forma más general la optimización tiene la forma
Maximice=Minimice F (�!X ); (5.1)
Sujeto a :
[M ]�!X ��!b (5.2)
43
Figure 5.1: Tipos Optimización
En donde [M ] es una matriz que considera las restricciones y [M ]�!X � �!b es
una desigualdad con respecto a cero (�; �; <, >, =).
Existen muchos métodos mediante los cuales se puede resolver los problemas
de optimización, dentro de los cuales se encuentran:
� Mínimos cuadrados
� Cuadrados sucesivos
� Método del gradiente reducido
� Simulaciones
Cada método posee sus ventajas respecto a los demás, sin embargo, no es
propósito de esta tesis entrar en detalle en la matemática de los métodos. Para la
44
optimización de estructuras en la Parte IV se utilizó MathCad como herramienta
para llevar a cabo la optimización.
Con base en F y M pueden identi�carse diferentes clases de problemas. En
primera instancia, es necesario identi�car de cuántas variables depende F , lo cual
de�ne el problema de optimización como unidimensional o multidimensional. Pos-
teriormente se identi�ca si M es cero (no hay restricciones); en caso contrario
existen restricciones. Con base en lo anterior quedan de�nidos cuatro tipos de
optimización los cuales se presentan en la �gura (5.1).
CHAPTER 6
Optimización de Estructuras
6.1 Introducción
Establecer cuándo es óptima una estructura es una tarea compleja de realizar
puesto en ella se encuentran involucrados una gran cantidad de factores que son
difíciles de considerar cuando se realiza el diseño. Sin embargo, es claro que de�nir
criterios que permitan conocer lo aceptable es necesario para la competitividad y
que una estructura debe ser óptima con respecto a la inversión y los bene�cios que
se obtengan de ella (Sánchez, 2003).
En la búsqueda de un diseño óptimo se han establecido diferentes criterios,
dentro de los cuales se pueden destacar los siguientes:
Comparación con otros riesgos en la sociedad: es uno de los más comple-
jos de establecer puesto varía con parámetros como la edad, la clase social,
el sexo y en términos generales con las características socioeconómicas del
lugar, esto sin ocultar que posee una gran in�uencia de los medios de co-
municación. Básicamente éste criterio consiste en comparar los riesgos que
se obtienen en los diseños con riesgos de otras actividades o eventos en la
vida de las personas como son muerte por enfermedades, homicidios, etc. A
partir de éstas comparaciones es posible establecer un valor máximo de riesgo
por debajo del cual es intolerable y uno valor mínimo por debajo del cual
46
el diseño no tiene sentido. Aún cuando parezca simple, es más complejo de
lo que se puede pensar porque entran en discusión valores intrínsecos de la
sociedad y ésto conlleva a la subjetividad, lo cual hace de éste un criterio que
puede generar ambigüedades. Esto se corrobora con estudios que comparan
el riesgo sísmico con la probabilidad de muerte por causas comunes (Sánchez
y Arroyo, 2003)
Calibración con base en la experiencia pasada y presente: es una alter-
nativa en la búsqueda del diseño óptimo, sin embargo no es la mejor. Básica-
mente consiste en establecer valores aceptables basados en valores objetivos
que han sido de�nidos en el pasado y en la actualidad como los ideales. Este
tipo de estrategias han sido desarrolladas con base en prueba y error, lo
cual no las hace del todo erradas debido a su larga historia de veri�cación
(Sánchez, 2003).
Región ALARP: en Inglés (As Low as Reasonable Possible), es una región en
la cual existen dos valores, un límite superior y uno inferior; fuera de ésta
región el diseño no tiene sentido. La región ALARP se de�ne en una grá�ca
en la cual se dibujan las consecuencias con su probabilidad de falla en escala
logarítmica (Sánchez, 2003).
Análisis Costo/Bene�cio: se basa en la idea que cualquier proyecto que se
realice debe ser desde el punto de vista económico, viable. Uno de los prin-
cipales impaces que encontró ésta tendencia fue la forma en la cual se pon-
deraba el costo de la vida humana, para lo cual el Índice de Calidad de
47
Vida (LQI) es una alternativa excelente. Con base en lo anterior, el análi-
sis costo/bene�cio sugiere que, desde la perspectiva del interés público un
proyecto es viable si a la vez que lo es económicamente, permite extender la
esperanza de vida de la sociedad (Sánchez y Rackwitz, 2002).
A continuación se presenta una descripción mas a fondo del cuarto criterio, así
como las funciones objetivo que se convierten en la antesala del diseño óptimo.
6.2 Funciones Objetivo
La optimización de estructuras consisten en encontrar el conjunto de parámet-
ros �!p que, además de hacer el proyecto económicamente viable, producen el máx-
imo bene�cio de la existencia del mismo. El vector de parámetros �!p incluye todas
las medidas que ayuden a controlar la probabilidad de falla, como áreas de acero,
espesor de columnas, resistencia de los materiales, etc.
La función objetivo de la optimización, en su forma más general puede de�nirse
como
Z(�!p ) = B(�!p )� C(�!p )�D(�!p ) (6.1)
La �gura (6.1) esquematiza el comportamiento de las funciones B(�!p ); C(�!p )
y D(�!p ):
Como primera instancia se puede apreciar que asumir que el bene�cio es con-
stante respecto a los parámetros de diseño (B(�!p ) = b) es una suposición razonable.
Los costos de diseño y construcción C(�!p ) son una función que crece a medida que
la estructura se hace mas segura, pero que tienen un valor mínimo C0 el cual
48
CC((pp))
B(pB(p))
DD((pp) =) = HH**PfPf((pp))CC00
bb
pp
CostoCosto (US$)(US$)
ZZ((pp))>>00
ZZ((pp))
ppoptopt
maxmax
Figure 6.1: Función objetivo para la optimización de costos
constituye costos �jos como los diseñadores de planta, vigilancia, etc.
D(�!p ) es una función que considera las pérdidas en caso de falla de la estruc-
tura; sin embargo, como es un evento que bien puede ocurrir o no, es necesario
asociar la probabilidad de falla de la estructura, la cual también es función de los
parámetros. Pf(�!p ) es una función decreciente, mientras mas seguridad propor-
cionen los parámetros la probabilidad de falla es menor. Por consiguiente D(�!p )
será una función decreciente.
Hasofer y Rackwitz (2000) considerando que las decisiones deben tomarse en
un momento en el tiempo analizaron la ecuación (6.1) y considerando diferentes
estrategias de reparación en caso de falla analizaron los casos mostrados en la Tabla
(6.1)
Las siguientes son las convenciones para nomenclar la Tabla (6.1):
1. es la tasa anual de descuento, se incluye para traer a tiempo presente los
49
Estrategia de Reemplazo Función objetivo
Proyecto desechado al fallar )(1
)())(()()(
pP
pPHpCpCbpZ
f
f
−+−−=
γ
Falla al completarse o nunca )()(
)()(
)(p
pHpC
pb
pZλγ
λλγ +
−−+
=
Falla aleatoriamente en el tiempo γ
λ
γ
)())(()()(
pPHpCpCbpZ f+−−=
Table 6.1: Funcion objetivo para diferentes estrategias de reemplazo
costos y poder tomar una decisión sobre el diseño.
2. H es el costo de la falla. Aunque en la Tabla (6.1) aparece como un valor
constante, en la realidad no es así, el costo de falla se encuentra ligado pro-
fundamente al LQI y a los costos de construcción.
3. �(�!p ) es la tasa de falla debido a un proceso estacionario de Poisson.
Rackwitz (2003) ha discutido de manera amplia la incidencia de los parámetros
�nancieros, especialmente ; el cual posee una in�uencia notable sobre la función
Z(�!p ) porque afecta el bene�cio b y puede llegar a cambiar signi�cativamente el
punto �!p opt:
La optimización constituye el tercer elemento en nuestra búsqueda de un mejor
diseño. En la Parte IV se discuten los métodos para lograr un diseño integrando
la teoría expuesta hasta éste momento.
Part IV
Diseño basado en Con�abilidad,
Vulnerabilidad y Optimización
50
CHAPTER 7
Introducción
En la búsqueda de un mejor diseño parece vislumbrarse una puerta con base en
la teoría expuesta en las partes I, II y III. Ésta metodología sugiere pasar del en-
foque clásico del diseño a una metodología que integra el análisis de vulnerabilidad
con la con�abilidad y la optimización.
En el modelo tradicional se idealiza la estructura, luego se avalúan y mayoran
las cargas para luego realizar el análisis estructural y diseñar con la resistencia
disminuida. Gran parte de los diseños se realizan utilizando variantes de la ecuación
(2.5), en donde los factores y � han sido en la mayoría de las ocasiones calibrados
a partir de la experiencia pasada y presente.
A continuación se exponen dos metodologías de diseño basadas en con�abil-
idad, vulnerabilidad y optimización. Mediante el análisis de vulnerabilidad es
posible obtener los mecanismos mediante los cuales la estructura falla (enfoque
sistémico) o el punto en el cual el sistema se encuentra a punto del colapso (en-
foque matricial). El resultado del análisis de vulnerabilidad conduce a funciones
de estado límite de la estructura.
A partir de la función(es) de estado límite obtenidas en el análisis de vulnera-
bilidad es posible realizar el análisis de con�abilidad de la estructura, obteniendo
la probabilidad de falla de la estructura para un conjunto de parámetros �!p que
determinan su resistencia.
52
Estructura
Modelo idealizado
Avalúo y mayoraciónde cargas
Análisis Estructural
Diseño con resistenciadisminuida
Estructura
Modelo idealizado
Análisis devulnerabilidad
Análisis deConfiabilidad
Función objetivo conbase en confiabilidad y
optimización
Diseño comoresultado de laoptimización
Figure 7.1: Comparación entre el diseño tradicional y la metodología propuesta
Luego de determinar la función de probabilidad de falla a partir del análisis de
con�abilidad es posible seleccionar una función objetivo para la optimización (ver
tabla 8.1), la cual dependerá de los parámetros �!p de la estructura. Empleando al-
gún método de optimización o un paquete matemático (MatLab, MathCad, Maple,
Mathematica, etc.) se determina el conjunto de valores���!(popt) que maximizan el
bene�cio Z de la existencia de la estructura.
Es importante resaltar que los dos primeros pasos del diseño son idénticos en
ambas metodologías. La �gura (7.1) compara las dos metodologías expuestas con
la metodología tradicional de diseño de estructuras.
Aunque conceptualmente el Diseño basado en con�abilidad, vulnerabilidad y
53
optimización es una metodología clara, presenta dos variantes:
� Empleando el enfoque sistémico de la vulnerabilidad.
� Empleando el enfoque matricial de la vulnerabilidad.
La diferencia estriba en la forma en la cual se obtiene la función de estado
límite en el paso 3 del diseño. El resto del proceso de diseño es idéntico para
ambas metodologías.
A continuación se exponen las dos metodologías de diseño, seguidas de un
ejemplo en el cual se obtienen las dimensiones óptimas para un pórtico plano bajo
cargas de sismo y distribuidas por los dos métodos. Finalmente se comparan los
resultados obtenidos por las dos metodologías seguidos de una discusión acerca de
los resultados.
CHAPTER 8
Metodologías de Diseño
8.1 Empleando enfoque sistémico de la vulnerabilidad
Éste enfoque hace uso de la metodología de vulnerabilidad expuesta en el
capítulo 3. Los pasos para el diseño son:
1. Idealización de la estructura: a partir de la realidad es necesario construir un
modelo geométrico que permita llevar a cabo el análisis estructural mediante
el método matricial. Éste procedimiento es idéntico al realizado en el diseño
tradicional.
2. Modelaje probabilístico de las variables de diseño: el módulo de elasticidad,
la resistencia del acero, las dimensiones de los elementos, la resistencia del
concreto, deben ser modeladas probabilísticamente mediante distribuciones
de probabilidad.
3. Análisis de vulnerabilidad con el enfoque sistémico: se emplea el proced-
imiento descrito en el capítulo 4 para determinar los escenarios con separa-
tividad 1. Empleando las ecuaciones (3.3) y (3.1) se plantea la probabilidad
de falla como una secuencia de falla de eventos.
4. Utilizando los métodos descritos en las secciones 2.3 o 2.4 (métodos de sim-
ulación o métodos de transformación) plantear la probabilidad de falla del
55
sistema en función de los parámetros�!p que se deseen optimizar (dimensiones
de los elementos, área de acero).
5. Utilizando alguna de las ecuaciones descritas en la Tabla (6.1) plantear la
función Z(�!p ) en términos de los parámetros a optimizar.
6. Optimizar la función y obtener los parámetros �!p (dimensiones) que maxi-
mizan la función de bene�cio.
8.2 Empleando enfoque matricial de la vulnerabilidad
Éste enfoque hace uso de la metodología de vulnerabilidad expuesta en el
capítulo 4. Los pasos para el diseño son:
1. Idealización de la estructura: a partir de la realidad es necesario construir un
modelo geométrico que permita llevar a cabo el análisis estructural mediante
el método matricial. Éste procedimiento es idéntico al realizado en el diseño
tradicional.
2. Modelaje probabilístico de las variables de diseño: el módulo de elasticidad,
la resistencia del acero, las dimensiones de los elementos, la resistencia del
concreto, deben ser modeladas probabilísticamente mediante distribuciones
de probabilidad.
3. Análisis de vulnerabilidad con el enfoque matricial: realizar el análisis ma-
tricial de la estructura y de�nir el valor de p. Plantear probabilidad de falla
de la estructura a partir de la ecuación (4.8).
56
4. Utilizando los métodos descritos en las secciones 2.3 o 2.4 (métodos de sim-
ulación o métodos de transformación) plantear la probabilidad de falla del
sistema en función de los parámetros�!p que se deseen optimizar (dimensiones
de los elementos, área de acero).
5. Utilizando alguna de las ecuaciones descritas en la Tabla (6.1) plantear la
función Z(�!p ) en términos de los parámetros a optimizar.
6. Optimizar la función y obtener los parámetros �!p (dimensiones) que maxi-
mizan la función de bene�cio.
CHAPTER 9
Ejemplo comparativo
9.1 Optimización del diseño de un pórtico plano
Con el �n de comparar las metodologías propuestas se plantea la optimización
del siguiente pórtico:
Figure 9.1: Pórtico a diseñar con la metodología propuesta
La información de las variables se puede resumir en la Tabla (9.1), en donde
los datos se encuentran expresados en unidades del sistema MKS: La longitud de
los elementos se supuso determinística de 5m para la viga y 3m para las columnas.
El propósito de la optimización será encontrar las medias óptimas de las di-
mensiones de los elementos. Por convención los nodos se han nomenclado como se
muestra en la �gura (9.1) y los elementos van del nodo rotulado con un número
58
menor al rotulado con un número mayor. A continuación se procede a realizar
el análisis de vulnerabilidad de la estructura mediante las metodologías expuestas
anteriormente
Variable Tipo distribución Media Coe�ciente de Variación
E Normal 2.531e9 10%
Fy Lognormal 4.2e7 8%
fc Normal 2.8e6 10%
bc1 Normal ? 5%
hc1 Normal ? 5%
bc2 Normal ? 5%
hc2 Normal ? 5%
bv Normal ? 5%
hv Normal ? 5%
w Lognormal 1350 20%
P Lognormal 1350 20%
Table 9.1: Variables ejemplo
9.1.1 Enfoque sistémico: el primer paso es determinar q para cada nodo. Para
ello es necesario determinar la submatriz asociada a cada nodo, lo cual se logra a
partir del análisis matricial tradicional. Para el nodo 3 se tiene:
[K133] =
2666666412EIcL3c
0 6EIcL2c
0 AcELC
0
6EIcL2c
0 4EIcLc
37777775 ; con lo cual q3 = det(K133) =
481E3I2cAc
59
En este punto es necesario realizar una suposición sobre la igualdad de las
columnas, la cual se justi�ca porque se desconoce la dirección en la cual llegará el
sismo, por lo tanto q3 = q4: A manera de convención [Kijj] es la submatriz jj del
elemento i:
Para el nodo 1 observamos que la matriz de rigidez asociada es:
[K111+K
211] =
2666666412EIcL3c
+ AvELv
0 �6EIcL2c
0 AcELc+ 12EIv
L3v
6EIvL2v
�6EIL2c
6EIvL2v
4EIcLc+ 4EIv
Lv
37777775 ; sin embargo, obteneruna expresión para el determinante de la matriz es una tarea complicada de realizar,
sin embargo considerando que [K111] = [K
133] y la ecuación (A.16) se puede concluir
que q1 > q3: Por simetría de la estructura q1 = q2:
Ahora es necesario calcular Q para cada miembro. Para la columna izquierda
se obtiene
QC1 =q3 + q
C11
2(9.1)
En donde qC11 es la contribución a q1 por efecto de la columna izquierda.
Para éste caso qC11 = q3, por consiguiente QC1 = 481E3I2cAc: Por simetría QC2 =
481E3I2cAc: Empleando un argumento similar se puede calcular QV =
123125
E3I2VAV :
Se aprecia claramente que Q para las columnas es mayor que el Q para la viga,
por lo cual debe iniciarse por una de ellas.
El proceso de formación de la estructura es bastante sencillo en este caso porque
al iniciar con algunas de las dos columnas la única opción siguiente es la viga y
luego la columna restante. Por lo tanto la estructura queda de la siguiente manera:
Mediante el procedimento descrito en The risk of a vulnerable scenario (Pinto
60
Figure 9.2: Jerarquía estructura
et al. 2002) se obtienen como escenarios de falla, la falla de las dos columnas. El
procedimiento básicamente es empezar desde el cluster 6 deteriorando la columna
izquierda, después de lo cual se aprecia que la estructura es aún estable porque el
cluster 5 aún se mantiene. El cluster 5 se compone de la viga y la columna derecha,
como ésta se encuentra conectada al cluster 4 (suelo, la referencia) se selecciona
como el evento a seguir.
Existen otros escenarios que vale la pena analizar, sin embargo el anterior
conduce a una separatividad de 1 y causa la falla de la estructura. Por lo tanto la
función de estado límite es la falla de las dos columnas.
61
9.1.2 Enfoque matricial: si por convención asumimos � = EIL3, � = AL2
I; s =
sen(�); c = cos(�); con � el ángulo del eje x local de un elemento y el eje X de
coordenadas globales, la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales es
[K] = �
26666666666666666664
�c2 + 12s2 sc(12� �) 6Ls �(�c2 + 12s2) �sc(12� �) 6Ls
sc(12� �) �s2 + 12c2 6Lc �sc(12� �) �(�s2 + 12c2) 6Lc
6Ls 6Lc 4L2 �6Ls �6Lc 2L2
�(�c2 + 12s2) �sc(12� �) �6Ls �c2 + 12s2 sc(12� �) �6Ls
�sc(12� �) �(�s2 + 12c2) �6Lc sc(12� �) �s2 + 12c2 �6Lc
6Ls 6Lc 2L2 �6Ls �6Lc 4L2
37777777777777777775(9.2)
Si consideramos que la estructura de la �gura (9.1) se encuentra empotrada la
matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales es
[KG] = E
26666666666666666664
15AV +
127IC 0 1
18IC �1
5AV 0 0
0 1125IV +
13AC
150IV 0 � 1
125IV
150IV
118IC
150IV
115IV +
19IC 0 � 1
50IV
130IV
�15AV 0 0 1
5AV +
127IC 0 1
18IC
0 � 1125IV � 1
50IV 0 1
125IV +
13AC � 1
50IV
0 150IV
130IV
118IC � 1
50IV
115IV +
19IC
37777777777777777775(9.3)
En donde los subíndices V y C denotan viga y columna, respectivamente. Se
asume que las columnas son iguales por requisitos sìsmicos. Por lo tanto la ecuación
de estado límite está dada por (4.8).
62
9.1.3 Análisis de con�abilidad: el análisis de con�abilidad se realizó mediante
el método FORM a partir de la información de la tabla (9.1), sin embargo, fue
necesario emplear el procedimiento modi�cado de Rackwitz-Fiessler para variables
con distribuciones no normales. Se obtuvo una expresión para la probabilidad de
falla en función de las dimensiones de los elementos de la estructura.
Para reducir el costo computacional del programa para calcular la probabilidad
de falla (Ver Apéndice B), se utilizaron 6 iteraciones en el FORM; cantidad que es
su�ciente en la mayoría de los casos. A pesar de ser un pórtico bidimensional de
tres elementos, resultó ser un sistema con una probabilidad de falla compleja de
calcular, por lo cual fue imposible obtener una expresión explícita para la función
de estado límite.
9.1.4 Optimización: para la función de optimización es necesario seleccionar una
estrategia de reemplazo. Dentro de las funciones descritas en la Tabla (6.1) se
seleccionó la falla aleatoria en el tiempo con un bene�cio constante (por lo tanto no
cuenta para la optimización porque no depende de las variables). Los parámetros
y � son 0.075 (valor DTF en Colombia) y 0.1 respectivamente. Los costos C
se calcularon como función de las dimensiones de la estructura y el costo de las
pérdidas H se tomó como 1:3C: En este caso fue necesario colocar restricciones al
problema, las cuales en primera medida son las dimensiones, las cuales deberán
estar entre 20 y 60 cm, y la igualdad de las dimensiones de las columnas.
Para la optimización se utilizó MathCad 11, en el cual, para garantizar pre-
cisión en el cálculo de � (ver 2.4) se empleó una tolerancia de 10�6 en las opera-
63
ciones.
Considerando lo anterior, la función de optimización y sus restricciones son:
Maximice Z(�!p ) =b
� C(�!p )� [C(�!p ) +H(�!p )]�Pf(
�!p )
; s:a (9.4)
0:2 < bc1 < 0:6 (9.5)
0:2 < hc1 < 0:6 (9.6)
0:2 < bc2 < 0:6 (9.7)
0:2 < hc2 < 0:6 (9.8)
0:2 < bv < 0:6 (9.9)
0:2 < hv < 0:6 (9.10)
bc1 = bc2 (9.11)
hc1 = hc2 (9.12)
Adicionalmente, para �nes comparativos se incluyó dentro de las pérdidas el
ICAF para diferentes países en un escenario en el cual se desea preservar la vida de
15 personas. En el caso de la optimización con el enfoque sistémico se realizó para
valores p de 2.4 a 2.6 en intervalos de 0.05. Los resultados de la optimización en
el sistema MKS se muestran en la tabla (9.2) (DES signi�ca disipación especial).
Analizar la tabla (9.2) conduce a varias conclusiones. En primera instancia se
aprecia que el enfoque matricial presenta un criterio muy claro: dar mayor peso
a las dimensiones que afectan más signi�cativamente la resistencia global como
son en éste caso la altura de las columnas. Sin embargo, el parámetro p debe
64
ser seleccionado con sumo cuidado puesto afecta signi�cativamente el diseño. Es
interesante notar que las dimensiones para la base de la viga y la base de las
columnas son el límite inferior de las restricciones. Ésto sugiere una in�uencia
mínima de las bases de los elementos en la estabilidad de la estructura.
El enfoque sistémico exhibe resultados diferentes debido al papel que cumple
la viga para transmitir fuerzas en el pórtico, lo cual es inconsistente con su papel
en la resistencia, sin embargo, ésta metodología no sobreestima el papel en la
resistencia de las dimensiones que más contribuyen a la misma, es decir, busca un
balance entre todas las dimensiones de la estructura, privilegiando aquellas que
cumplen funciones de conectividad (porque su falla ocasiona la inexistencia de la
estructura).
El diseño con la NSR98 se realizó siguiendo los Requisitos Geométricos para
Columnas y Vigas del C.21.4.1 y C.21.3.1 respectivamente.
Con el �n de comparar los resultados obtenidos, en la tabla (9.3) se presentan
los resultados de las dimensiones como porcentajes de las obtenidas mediante el
diseño con la NSR98.
Para obtener un mejor panorama de las Tablas (9.2) y (9.3) conviene gra�car
sus resultados, los cuales se exponen en las �guras (9.3) y (9.4), de las cuales
es importante resaltar que, con excepción de la altura de la viga en el enfoque
sistémico; y las alturas de las columnas en el enfoque matricial, las dimensiones
son sustancialmente menores que las obtenidas mediante el diseño con la NSR98.
Igualmente vale la pena destacar la in�uencia del factor p en el diseño; para p = 2:4
65
Enfoque Enfoque Matricial NSR98
Dimensión Elemento Sist�emico p = 2:4 p = 2:45 p = 2:5 p = 2:55 p = 2:6 DES
Base viga 0:261 0:2 0:2 0:2 0:2 0:2 0:25
Altura viga 0:369 0:2 0:2 0:2 0:2 0:203 0:25
Base columna izq 0:243 0:2 0:2 0:2 0:2 0:2 0:3
Altura columna izq 0:228 0:409 0:365 0:328 0:295 0:245 0:3
Base columna der 0:243 0:2 0:2 0:2 0:2 0:2 0:3
Altura columna der 0:228 0:409 0:365 0:328 0:295 0:245 0:3
Table 9.2: Resultados para diferentes criterios
Enfoque Enfoque Matricial NSR98
Dimensión Elemento Sist�emico p = 2:4 p = 2:45 p = 2:5 p = 2:55 p = 2:6 DES
Base viga 104% 80% 80% 80% 80% 80% 100%
Altura viga 148% 80% 80% 80% 80% 81% 100%
Base columna izq 81% 67% 67% 67% 67% 67% 100%
Altura columna izq 76% 136% 122% 109% 98% 82% 100%
Base columna der 81% 67% 67% 67% 67% 67% 100%
Altura columna der 76% 136% 122% 109% 98% 82% 100%
Table 9.3: Resultados para diferentes criterios comparados porcentualmente re-
specto a la NSR98
66
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Sistémico p = 2.4 p = 2.45 p = 2.5 p = 2.55 p = 2.6 NSR98
Criterio de vulnerabilidad Matricial
Dim
ensi
ón (e
n m
)
Base viga
Altura viga
Base Columnas
Altura Columnas
Altura de lascolumnas
Alturaviga
BaseViga
Base de lasColumnas
Figure 9.3: Resultados diseño de acuerdo a diferentes criterios
se obtienen 41cm de altura en la sección de la columna, mientras que para p = 2:6
se tienen 24.5cm, los cuales son 136% y 82% del diseño de la NSR98.
El diseño con base en el enfoque matricial prueba ser mas consistente en la
búsqueda de la estabilidad de la estructura. Adicionalmente resultó ser computa-
cionalmente menos costoso, tomando el 60% del tiempo del diseño con el enfoque
sistémico. Sin embargo, el factor p debe de�nirse con mucho cuidado. Con el �n
de estudiar la incidencia del parámetro p y el contexto socioeconómico en el cual se
realice el diseño, las Tablas (9.4 a 9.6) muestran los resultados de diseño óptimos
para diferentes contextos socioeconómicos y valores de p:
67
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
150%
160%
Sistémico p = 2.4 p = 2.45 p = 2.5 p = 2.55 p = 2.6 NSR98
Porc
enta
je d
imen
sión
NSR
98
Base vigaAltura vigaBase ColumnaAltura Columnas
Criterio vulnerabilidad Matricial
Altura de lascolumnas
Alturaviga
BaseViga
Base de lasColumnas
Figure 9.4: Resultados comparados porcentualmente respecto al diseño NSR98
Dimensión p = 2.4 p = 2.5 p = 2.6
Base viga 0:2 0:2 0:2
Altura viga 0:27 0:26 0:234
Base columna izq 0:45 0:3 0:2
Altura columna izq 0:45 0:4 0:282
Base columna der 0:45 0:3 0:2
Altura columna der 0:45 0:4 0:282
Table 9.4: Resultados contexto social alto para diferentes valores de p
68
Dimensión p = 2.4 p = 2.5 p = 2.6
Base viga 0:2 0:2 0:2
Altura viga 0:2 0:2 0:232
Base columna izq 0:2 0:2 0:2
Altura columna izq 0:485 0:407 0:28
Base columna der 0:2 0:2 0:2
Altura columna der 0:485 0:407 0:28
Table 9.5: Resultados contexto social medio para diferentes valores de p
Dimensión p = 2.4 p = 2.5 p = 2.6
Base viga 0:2 0:201 0:2
Altura viga 0:2 0:2 0:2
Base columna izq 0:2 0:2 0:2
Altura columna izq 0:479 0:4 0:328
Base columna der 0:2 0:2 0:2
Altura columna der 0:479 0:4 0:328
Table 9.6: Resultados contexto social bajo para diferentes valores de p
Contexto Socioeconómico p = 2:4 p = 2:5
Alto (EUA, Europa) 1:92 1:42
Medio (Latinoamérica) 1:01 1:01
Bajo (África) 1 1
Table 9.7: Volumen concreto utilizado normalizado respecto al contexto social bajo
para diferentes valores de p
69
Tal cual se esperaba, el parámetro p posee una gran incidencia en el diseño
óptimo, independientemente del contexto socioeconómico. Las diferencias entre
los diferentes contextos son muy claras en términos de diseño; la brecha socioe-
conómica entre los países del primer mundo y del tercer mundo se evidencia clara-
mente de acuerdo con las Tablas (9.4 a 9.6), siendo más notorio al comparar la
Tablas (9.4) y (9.6) en donde apreciamos para p=2.5 diferencias hasta de 10cm en
las dimensiones . Nuevamente se aprecia que la altura de la columna es la dimen-
sión privilegiada; en el caso del contexto socioeconómico alto pasa de 28cm para
p = 2:6 a 45cm para p = 2:4. En la Tabla (9.7) se expresa el volumen de concreto
necesario para los diferentes contextos socioeconómicos normalizado respecto al
necesario en el contexto socioeconómico bajo. La segunda columna presenta los
cálculos para p = 2:4 y la tercera para p = 2:5:
9.1.5 Conclusiones: a partir de los resultados obtenidos con las metodologías de
diseño expuestas, y luego de compar los resultados con el diseño NSR98 pueden
extraerse las siguientes conclusiones para el pórtico analizado:
1. Las metodologías propuestas abordan el diseño desde dos perspectivas muy
diferentes. En el enfoque matricial la estructura es diseñada privilegiando la
estabilidad, mientras que el enfoque sistémico se diseña con la funcionalidad
como prioridad.
2. El enfoque matricial resultó ser mas e�ciente desde el punto de vista com-
putacional que el enfoque sistémico. Por consiguiente, desde el punto de
vista del diseño de estructuras, resulta ser un método más ventajoso, espe-
70
cialmente cuando la complejidad de la estructura aumenta. Sin embargo, es
importante seleccionar el valor de p de manera apropiada puesto éste controla
el resultado del diseño.
3. Al comparar el diseño obtenido mediante la metodología propuesta con el
diseño NSR98 queda expuesta la incapacidad de la NSR98 para responder a
la realidad actual, por lo menos para el ejemplo estudiado.
4. El diseño basado en con�abilidad, vulnerabilidad y optimización es una ex-
celente alternativa al diseño actual en nuestro país. Sus principales ventajas
respecto al diseño tradicional son su �exibilidad y la capacidad de responder
a todo tipo de condiciones socioeconómicas.
9.2 Presente y Futuro
Se ha propuesto una metodología de diseño que pasa de considerar una estruc-
tura como la resistencia individual de sus componentes a considerar la resistencia
de la estructura como conjunto. Dos enfoques de análisis son expuestos; el primero
analiza la estructura en términos de la interacción de sus partes y se concentra en
preservar dicha interacción, mientras que el segundo analiza la estructura en térmi-
nos de la estabilidad y la optimización encuentra la con�guración de dimensiones
cuya estabilidad maximiza el bene�cio de la existencia de la estructura.
La metodología tradicional de diseño de estructuras ha probado ser su�cien-
temente segura, sin embargo vivimos una época en la cual la competitividad es
fundamental y en éste ámbito presenta serias falencias (Sánchez y Arroyo, 2003).
71
El diseño basado en con�abilidad, vulnerabilidad y optimización presenta notables
ventajas con respecto al diseño tradicional, tales como:
1. Posee medidas invariantes de la seguridad.
2. Involucra la estructura como un todo, no como partes aisladas.
3. Toma en consideración aspectos socioeconómicos para el diseño.
4. Permite considerar la importancia de la estructura en las restricciones de la
optimización.
El único impedimento actual es el costo computacional del método; para llevar
a cabo la optimización del pórtico del ejemplo fue necesario emplear Mathcad,
el cual tomó un tiempo considerable para la optimización, especialmente con el
enfoque sistémico. El enfoque matricial resultó ser mas rápido computacional-
mente, tomando cerca del 60% del tiempo de ejecución del enfoque sistémico. Sin
embargo, utilizando programas como FORTRAN es posible desarrollar programas
excepcionalmente rápidos con interfaz grá�ca que lleven a cabo la tarea de manera
mas e�ciente.
En términos de funcionalidad ambos métodos se aproximan al colapso de la
estructura pero desde diferentes enfoques: la funcionalidad y la estabilidad. La
aproximación por medio de la inestabilidad de la matriz de rigidez posee ventajas
respecto al enfoque sistémico, las cuales fueron enunciadas en la sección 4.2.2 y se
resumen en la palabra versatilidad: mayor programabilidad, menor complejidad.,
sin embargo la de�nición del valor p es necesaria.
72
De�nir el valor apropiado de p no es sencillo. La comparación con la precisión
del ordenador constituye una excelente alternativa (Hurtado, 2003), sin embargo,
utilizar el valor de p como un indicativo de la calidad de vida es una alternativa
que merece ser analizada con cuidado. La Tabla (9.2) y la Tabla (9.7) muestran
cambios notorios a medida que cambia el parámetro y valdría la pena realizar un
estudio sobre éste tópico.
En el corto plazo la aplicación de la metodología propuesta es cuestionable y
probablemente se limite a un ejercicio académico para su maduración y se em-
pleará en obras de gran envergadura. En el mediano plazo las cosas son diferentes;
la competitividad es el estandarte del nuevo milenio y la ingeniería estructural
debe avanzar y mantenerse dentro de la tendencia global del diseño, que es muy
clara en sugerir que la base del diseño es la optimización basada en con�abilidad.
Probablemente en el pénsum de Ingeniería Civil de las universidades se incluirá la
perspectiva probabilística de los diseños, especialmente en el área de estructuras y
en geotecnia, lo cual abrirá el camino hacia un diseño que involucre la con�abili-
dad, la vulnerabilidad y la optimización como la amalgama del diseño en el tercer
milenio.
Part V
Apéndices
73
74
A. Operaciones Matriciales relacionadas con los determinantes
Las siguientes son las propiedades mas comunes de las matrices y sus determi-
nantes:
det(A) =Yi
�i (A.13)
det(AB) = det(A) det(B) (A.14)
det(A) = det(AT ) (A.15)
det(A+B) =Yi
��Ai + �
Bi
�(A.16)
En donde �i es el eigenvalor i; los cuales pueden obtenerse de resolver el sistema:
A�!x = ��!x (A.17)
75
B. Esquema programa FORM para MathCad 11
A continuación se presenta la versión de tres variables normales del programa
FORM elaborado en MathCad para el cálculo del índice �: El programa utilizado
para la optimización presenta variaciones por el número de variables y las distribu-
ciones de probabilidad.
β X1 mX1←
X2 mX2←
S1 sig1←
S2 sig2←
S3 sig3←
guess 6←
X3 root E X1 X2, guess,( ) guess,( )←
Z
X1 mX1−S1
X2 mX2−S2
X3 mX3−S3
←
G
X1E X1 X2, X3,( )d
d
− S1⋅
X2E X1 X2, X3,( )d
d
− S2⋅
X3E X1 X2, X3,( )d
d
− S3⋅
←
βGT( )Z⋅
GT( )G⋅ ←
αG
GT( )G⋅ ←
X1 mX1 α0 β⋅ S1⋅+←
X2 mX2 α1 β⋅ S2⋅+←
i 1 6..∈for
β
:=
Figure 9.5: Esquema FORM para tres variables normales en MathCad
76
REFERENCES
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