INGENIERÍA MECATRÓNICA

VIBRACIONES MECANICAS

M.C. DAGOBERTO TOLOSA MATA

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

JAFET E. RIOS HIGUERA

Culiacán, Sin. 03/Feb/2015

INDICE

1.- Movimiento Armónico Simple………………………………………………….3

1.1.- Velocidad……………………………..………………………....…………..3

1.2.- Aceleración………………..…………..…………………………………….3

2.- Parámetros del M.A.S………………………………………………………………4

2.1.- Amplitud………………………………………………………....…………..4

2.2.- Frecuencia………………..………………………………………………….4

2.3.- Periodo…………………….....……………………………………………...4

2.4.- Fase……………………………..………………………………………………4

3.- Dinámica del M.A.S…………………….…………………………………………...5

4.- Energía del M.A.S………………………….…………………………………………6

4.1.- Energía Potencial……………………………………………………….…6

4.2.- Energía Cinética……………………………………………………………6

Referencias Bibliográficas……………………………………………………………..7

1.-Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, donde la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento y dirección opuesta.

Suponiendo que fijamos una masa M al extremo libre de un resorte y tiramos de esta hacia la derecha llevándola a una distancia X0. Si a continuación soltamos la masa, la fuerza elástica del resorte hará que la masa oscile alrededor del punto de equilibrio (x=0). Si despreciamos la fricción la masa oscilara entre el punto X=0 y –X0. Como se muestra en la fig.1.

Fig. 1

1.1.-Velocidad

La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

1.2. -Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:

2.- Parámetros del M.A.S.

2.1.- Amplitud (A): Es la desviación máxima de la masa de su posición de equilibrio como se muestra en la fig. 2.

Fig. 2

2.2.- Frecuencia (f): Es la cantidad de periodos o ciclos completos en cada unidad de tiempo. La fórmula de frecuencia es la siguiente:

f = 1/T (Hz)

La frecuencia se mide en Hertz, con abreviación Hz la cual equivale a un ciclo por segundo y a la vez es la inversa del periodo.

2.3.- Periodo (T): Tiempo que demora en llevarse a cabo una oscilación completa. Como se fe en la fig. 3.

Fig. 3

2.4.- Fase: Es el estado de oscilación o vibración en el que se encuentra la masa.

3.- Dinámica del M.A.S.

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional:

Un ejemplo sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración se deduce:

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

El cuerpo unido a un resorte que realiza un M.A.S, forma un sistema oscilante masa-resorte. Mientras el cuerpo oscila, está sometido a una fuerza recuperadora ejercida por el resorte que obedece a la Ley de Hooke.

Mientras la fuerza ejercida sobre la masa sujeta al resorte genera una elongación, a su vez el resorte presenta una fuerza contraria de contracción.

Debido a este juego de fuerzas la masa tiene a oscilar y pasa constantemente por estados de equilibrio donde:

∑ F=0

Al soltar la bola la fuerza recuperadora del resorte le comunica una aceleración que es proporcional a la elongación:

a=−ω2 x

4.- Energía del M.A.S

El sistema oscilante, formado por un resorte y un bloque sujeto a él, describe un M.A.S. y tiene una energía mecánica (Em = Ec + Ep).

El Principio de conservación de la energía mecánica afirma que: La energía mecánica total permanece constante durante la oscilación donde:

Em = Ec + Ep = cte.

Em = ½kx2 + ½mv2

4.1.- Energía Potencial

El resorte presenta una constante de elasticidad que depende de varios factores: forma del resorte, material de que está hecho, etc. Esta constante determina el valor de la fuerza de recuperación del resorte cuando lo estiramos. Esta fuerza es de tipo conservativo y el trabajo realizado por ella se acumula en forma de energía potencial. Cuando el resorte se estira o se contrae va acumulando una energía que llamamos energía potencial elástica, que es la que utilizará para volver a su posición inicial.

Esta energía potencial elástica depende de la elongación: cuanto más lejos esté la masa del punto de equilibrio, más energía acumula.

Ep = ½kx2

4.2- Energía Cinética

La masa que oscila posee una energía cinética que es función de su masa y de su velocidad. Al variar la velocidad entre un valor máximo y cero, la energía cinética alcanza su valor máximo en el centro de la oscilación y será nula en los extremos, ya que en ellos la velocidad se hace cero (el cuerpo se detiene un instante cuando invierte el sentido de la oscilación).

Ec = ½mv2

De tal forma podemos representar tanto la energía cinética como potencial mediante la gráfica siguiente que se muestra en la fig. 4.

Fig. 4

Referencias Bibliográficas

1. Mecánica de materiales, Dinámica - Beer Johnson, 9a Edición.2. Ingeniería Mecánica, Dinámica - R.C Hibbeler, 12a Edición. 3. http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/

mas/MAS_indice.htm#definicion4. http://es.slideshare.net/cristianclebiro/2-mecnica-vectorial-para-ingenieros-

dinmica-beer-y-otros-9ed5. http://www.fisicanet.com.ar/fisica/elasticidad/

ap03_ecuaciones_del_movimiento_armonico_simple.php6. http://ulises-fisica-ulises.blogspot.mx/2011/08/movimiento-armonico-simple-

mas.html