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Hier wird Wissen Wirklichkeit

Modul: B-CG Grundlagen der Computergraphikim Sommersemester 2008

Texturen

Prof. Dr. Detlef KrömkerProfessur für Graphische Datenverarbeitung

Institut für InformatikFachbereich Informatik und Mathematik (12)

Prof. Dr. Detlef KrömkerInstitut für Informatik

2 Hier wird Wissen WirklichkeitB-CG – V07 Direct Manipulation and VEs

Adobe Flash in 5 Days (Johannes Bufe)

Praxis - Workshop mit integrierten ÜbungenGrundlagen Flash Studio CS3Programmierung mit Action Script 3

21.07.2008 – 24.07.2008, 9:00 – 16:00 UhrRaum 601

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Ideal: Erfahrung mit einer dem ECMA – Script ähnlichen

Sprache wie Java/Script, C++, C# oder Action Script 2

Max Teilnehmerzahl: 14Kontakt und verbindliche Anmeldung: [email protected]



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� Release 3

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Also: mitmachen

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SS-Ferien ??

2



Übersicht

1. Einführung

2. Diskrete und prozedurale Texturen

3. Generalisierte Textur-Pipeline

4. Texturmapping‣ Ebene Polygone ‣ Zweischrittverfahren

5. Corresponder-Verfahren

6. Texturabtastung‣ Aliasing‣ Mipmap, SAT, FPA



Übersicht (Fortsetzung)

7. Beeinflussung der Beleuchtungsrechnung

8. Spezielle Texturen: 8.1 Environment-Mapping

8.2 Bump Mapping

9. Zusammenfassung

10. Ausblick – Nächste Schritte



Texturierung

3



Texturen

In der Realität finden wir ein großes Spektrum geometrischer Feinstrukturen

• Maserungen und Muster von Holz, Marmorplatten, Tapeten

• Wolken, Rauch,

• Strukturen unebener Oberflächen z.B. Rauhputzwand, rauhes Leder, Apfelsinen oder Baumrinde

• im Hintergrund sichtbare Häuser, Maschinen, Pflanzen und Personen

Die geometrische Form dieser Objekte durch Flächen exakt nachzubilden, ist um Größenordnungen zu aufwendig

„All it takes is for the rendered image to look right.“



Texturen‣ Texturen bieten reichhaltige Möglichkeiten, das visuelle Erscheinungsbild von Objekten detailreicher zu gestalten. ‣ Die Oberfläche einer Wand kann durch eine einzige planare Fläche(ein Polygon) modelliert werden. Ein „Tapezieren“ kann als Aufbringen eines Bildes auf die Wandoberfläche interpretiert werden. ‣ Diesen Vorgang bezeichnet man als Texturierung.‣ In diesem Bild: Die im Fenster sichtbare Außenwelt wird durch ein Bild representiert.



Texturen – das „Mittelding“ zwischen geometrischer Modellierung und klassischer Beleuchtungsrechnung

Geometrisches Modellieren

Oberflächen(grob)strukur durch Geometrie

Beleuchtungsrechnung

Oberflächen(mirko)struktur

durch z.B. Shininess-Faktor

Texturen

aber wie ??

4



Texturabbildungen

Erste einfache Definition:‣ Zweidimensionale Texturen oder kurz 2D-Texturen sind (Bild-) Funktionen, die Punkte der (u,v)-Ebene auf (r,g,b)-Farben abbilden:‣ Das Mapping (engl.: Abbildung) beschreibt, wie eine 2D-Textur bzw. ein Ausschnitt aus einer 2D-Textur auf eine Fläche aufgebracht wird. ‣ Beim Rendering muß jedoch das inverse Mapping-Problem gelöst werden, d.h. den bekannten (x,y,z)-Koordinaten des Flächenpunktes P müssen (u,v)-Koordinaten zugeordnet werden:

),(),,( vubgr texc=

),,()(),( zyxFPFvu mapinvmapinv ==



Texturabbildungen



Texturabbildungen ‣ Die Texturierung einer Fläche mit einer 2D-Textur lässt sich dann

mathematisch durch die Hintereinanderausführung dieser beiden Abbildungen beschreiben:‣ Dreidimensionale Texturen oder kurz 3D-Texturen sind Funktionen, die

Punkte eines (u,v,w)-Raumes auf (r,g,b)-Farben abbilden:

)),,((),,( zyxFCbgr invmaptex=

),,(),,( wvuCbgr tex=

5



3D-Texturen

Sie werden auch als Festkörpertexturen bezeichnet. Häufig genannte Beispiele

hierfür sind Holz- und Marmortexturen. Beim inversen Mapping

müssen den (x,y,z)-Flächenpunkten (u,v,w)-Koordinaten zugeordnet werden. Man

kann dieTexturierung mit 3D-Texturen auch so interpretieren, daß die Körper

quasi aus dem (u,v,w)-Texturkörper herausgeschnitten werden.

),,(),,( wvuCbgr tex=



Diskrete und prozedurale Texturen

Wir unterscheiden zwischen diskreten und prozeduralen Texturen‣ Diskrete farbige 2D-Texturen der Breite n und Höhe m lassen sich so z.B. durch‣ beschreiben, wobei C[i,j] ein Vektor mit drei Farbkomponenten ist und als Texel (TEXtur ELement) bezeichnet wird.

mjniji ≤≤≤≤ 00),(C



Vorteile diskreter Texturen

+ das Generieren komplexer 2D-Texturen für die photorealistische

Visualisierung geht vergleichsweise schnell und einfach, z.B. durch fotografieren oder malen der Oberflächen.

6



Probleme diskreter Texturen ‣ Texturen mit hoher Auflösung (n,m) haben einen hohen Speicherbedarf. ‣ Beim Vergrößern von Bildern treten Artefakte auf (Pixeleffekte)‣ Beim Mapping auf beliebige Flächen treten Verzerrungen und infolgedessen

Abtast-Probleme auf. ‣ Fortsetzung (Aneinandersetzen, Vergrößern) von Texturen ist oft problematisch‣ Der in den Bildern dargestellte Kontext (Sonnenstand, Schattenwurf, ...) stimmt

häufig nicht mit der geplanten Szene überein. Die Suche nach geeigneten

Vorlagen kann dann sehr aufwendig sein.



Probleme diskreter TexturenResampling ‣ Resampling-Methoden:‣ nächstgelegener Nachbar

(nearest neighbour)

, : u<1,v<1

1 , : u=1,v<1( , )

, 1 : u<1,v=1

1 , 1 : u=1,v=1

tex

C un vm

C n vmC u v

C un m

C n m

− = −

− −

i 1i +un

vm



Probleme diskreter TexturenResampling

2. Bilineare Interpolation

0

1

1 0

ˆ

ˆ

ˆ ˆ( , ) * 1, (1 )* ,

ˆ ˆ( , ) * 1, 1 (1 )* , 1

ˆ ˆ( , ) * ( , ) (1 )* ( , )tex

u un un

v vm vm

C u v u C un vm u C un vm

C u v u C un vm u C un vm

C u v v C u v v C u v

= −

= −

= + + −

= + + + − +

= + −

un

un

vm

1un +

vm

1vm +

3. Aufwendigere Filtern (später)

7



Abtastung diskreter 2D-Texturen ‣ Entspricht einem Resampling

eines Digitalen Bildes‣ Einfache Funktionen wie‣ nearest neightbour‣ bilinbeare Interpolation‣ erzeugen gravierende Aliasing-Effekte



Beispiel (Minification)

Abbildung einer Reihe Pixel auf eine Schachbrett-Textur



ProblemePixellation oder Unschärfe (Magnification)

Ausgangstextur: 32 x 64 Texels

Nearest bilineare

Neighbour Interpolation

8



Prozedurale Texturen‣ Prozedurale Texturen werten bei jedem Aufruf von Ctex( u, v) bzw. Ctex( u, v, w) eine Formel

bzw. einen (fraktalen) Algorithmus aus. Dies hat folgende Vorteile:

+ Der Speicheraufwand ist minimal. + Die Texturwerte können an jeder Stelle ( u, v) bzw. (u, v, w) mit optimaler Genauigkeit

berechnet werden.

+ Die Texturen sind im gesamten Raum definiert.

- Der entscheidende Nachteil prozeduraler Texturen ist, dass selbst Experten Probleme haben, komplexe Texturen, die sie bildlich vor Augen haben, durch mathematische Formeln

zu beschreiben. (hilfreich sind auf jeden Fall gute Grundkenntnisse der Fourier-Synthese und der fraktalen Geometrie).



Generalisierte 2D-Textur-Pipeline (1)

1. Aus 2D-Bildschirmkoordinaten in den 3D-Objektraum „zurückprojezieren“

2. Anwenden der Projektorfunktion: MappingPlanar, Kugel, Zylinder, Quader (box), bei parametrischen Flächen ggf. nicht nötig

Beim Realtime-Rendering i.d.R. schon beim Modeling ausgeführt und (u,v)-Werte, in den Vertices gespeichert und dann interpoliert. (Aber z.B. OpenGL stellt einige Mappingmethoden zur Verfügung).

Berechne

Objektraum-

koordinaten

Projektor-

funktion

Mapping

Correspon-

der-Funktion

Texturwert-

Transfor-

mation

Modifiziere

Beleuchtungs-

gleichung

(x,y) (u,v)(x,y,z) (s,t) (r,g,b), f‘(s,t)

1. 2. 3. 4. 5.



3. Corresponder- Funktion: Transformation vom Parameterraum zum Texturraum

(-ebene) (Texturkoordinaten):‣ Weitere Matrix-Transformation (OpenGL): translieren, rotieren, skalieren,...‣ Fortsetzungsmodi: wrap (repeat, tile), mirror, clamp, border

4. Abtasten des Texturwertes und Wertanpassung

5. Modifiziere Beleuchtungsrechnung: Replace, Modulate (Multiplikation) den

(r,g.b)-Wert oder irgend einen anderen Parameter der Beleuchtungsgleichung

(siehe unten)

Generalisierte 2D-Textur-Pipeline (2)

Berechne

Objektraum-

koordinaten

Projektor-

funktion

Mapping

Correspon-

der-Funktion

Texturwert-

Transfor-

mation

Modifiziere

Beleuchtungs-

gleichung


1. 2. 3. 4. 5.

9



‣ Oft sind jedem Eckpunkt eines polygonalen Modells Texturkoordinaten (u,v)

beim Modelling zugeordnet worden – also zum Zeitpunkt des Rendering

bekannt‣ Rückprojektion und Mapping werden in der Regel zusammengefasst‣ Gesucht ist eine Operation, die bilinear interpolierte (x,y)-Koordinaten auf (u,v)

abbildet

Inverses Mapping der Bildschirmkoordinaten

Berechne

Objektraum-

koordinaten

Projektor-

funktion

Mapping

Correspon-

der-Funktion

Texturwert-

Transfor-

mation

Modifiziere

Beleuchtungs-

gleichung


1. 2. 3. 4. 5.



Fehler bei einfacher Interpolation‣ Wird die Texturierung in den Prozess der Rasterung integriert, so ist zu

beachten, das die Textur perspektivisch korrekt verzerrt wird. ‣ Einfache Interpolation der Texturwerte aus den Texturwerten an den

Eckpunkten führt zu Artefakten.



Prinzip Inverses Mapping‣ In homogenen Koordinaten kann das Texturmapping ausgedrückt

werden durch:

‣ Wenn die Transformationen eines Eckpunktes, z.B. eines

Dreiecks bekannt sind, kann diese Matrix bestimmt werden

=

==

=

w

y

x

IHG

FED

CBA

q

v

u

Inversedessenbzw

q

v

u

ihg

fed

cba

w

y

x

'

'

'

'

.

)eren!(normalisi )q

v',

q

u'(v)und(u,)

w

y',

w

x'(y)(x,mit'

'

'

'

.

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Inverses Mapping durchbilineare Interpolation

In der Praxis:‣ Texturkoordinaten und z-Wert oder Beleuchtungsparameter im Scanline-Modus interpolieren‣ Aufgrund der perspektivischen Verzerrung kann dieses für (u,v) nicht linear erfolgen, sondern muß für

zq

q

vv

q

uu

qvu

1,

',

'

mit werden,rtinterpolie linear),','(

===



Texturierung komplexer Objektoberflächen ‣ Bisher wurde Textur-Mapping für ein einzelnes Polygon beschrieben. ‣ Besteht ein Objekt aus sehr wenigen Polygonen, dann kann ein Anwender diese Zuordnung der (ui,vi)-Parameter unter Umständen

noch interaktiv am Bildschirm vornehmen. ‣ Bei komplexeren Objekten ist dies jedoch praktisch unmöglich.



Zweischrittverfahren(Two-Part Mapping)‣ Bier und Sloan (86´) haben ein Zweischrittverfahren vorgestellt, das

die (u,v)-Berechnung automatisiert. ‣ Grundidee: ein komplexes Objekt, das aus beliebig vielen primitiven

Teilobjekten bestehen darf, wird mit einer einfach parametrisierbaren, virtuellen Fläche umhüllt. ‣ Die 2D-Textur wird dann zunächst einmal auf diese umhüllende Fläche abgebildet, und erst von dort aus auf die Objektoberfläche. Geeignete umhüllende Flächen sind Zylinder-, Kugel- und Quaderoberflächen.

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Zylinder-Mapping

Das Objekt wird von einem endlichen

Zylinder umhüllt. Die Berechnungen sind

besonders einfach, wenn die Zylinder-

hauptachse parallel zur z-Achse des

Objektraumkoordinatensystems verläuft.

Die Endpunkte der Achse sind dann durch

die Koordinaten und

gegeben.

Die Zylinderoberfläche läßt sich leicht durch einen Rotationswinkel φ und die Höhe h

parametrisieren.

Punkte (x,y,z) im Innern des Zylinders werden dann senkrecht von der Zylinderachse

aus auf die Zylinderoberfläche projiziert, und deren (φ ,h)-Parameter werden, nach entsprechender Normierung, als (u,v)-Parameter interpretiert.

( )min,, zylzylzyl zyx( )max,, zylzylzyl zyx

V



φ

Kugel-Mapping

Kugeloberflächen können leicht durch Kugelkoordinaten φ und θ parametrisiert

werden. Hat eine umhüllende Kugel den Mittelpunkt (xs,ys,zs), dann werden

Punkte (x,y,z) im Kugelinnern vom Mittelpunkt aus auf die Kugeloberfläche

projiziert. Dadurch werden ihnen die Parameter u und v zugeordnet:

arctan 2( , )

2s s

y y x xu

π

π

+ − −=

( )2 2arctan 2 ( ) ( ) ,s s sx x y y z zv

π

− + − −=

θ

xy

z

V



Box-Mapping

Beim Box-Mapping beschreibt die umhüllende Fläche einen Quader. In der Regel

wählt man hierfür die achsenparallele Bounding Box des Objekts. Eine mögliche

Parametrisierung von Punkten (x,y,z) im Innern der Bounding Box definiert

einfach die längste Kante der Bounding Box als u-Achse und die zweitlängste

Kante als v-Achse. Gilt also z.B.

dann kann man die Texturparameter einfach durch

berechnen.

,max ,min ,max ,min ,max ,min( ) ( ) ( )box box box box box box

x x y y z z− ≥ − ≥ −

,min

,max ,min

box

box box

x xu

x x

−=

−und

,min

,max ,min

box

box box

y yv

y y

−=

−

x

z

y

uv

V

12



Corresponder Funktion

Transformation vom Parameterraum zum Texturraum (Texturkoordinaten):‣ Weitere Matrix-Transformation (OpenGL): translieren, rotieren,

skalieren,... möglich‣ Nicht immer realisiert‣ Fortsetzungsmodi: wrap (repeat, tile), mirror, clamp, border

Berechne

Objektraum-

koordinaten

Projektor-

funktion

Mapping

Correspon-

der-Funktion

Texturwert-

Transfor-

mation

Modifiziere

Beleuchtungs-

gleichung


1. 2. 3. 4. 5.



Fortsetzungsmodi

wrap mirror clamp border

� Häufige Forderung an die Textur: anreihbar!



Texturwert-Abtastung

‣ Resampling des Texturwertes und ggf. Wertanpassung

Berechne

Objektraum-

koordinaten

Projektor-

funktion

Mapping

Correspon-

der-Funktion

Texturwert-

Transfor-

mation

Modifiziere

Beleuchtungs-

gleichung


1. 2. 3. 4. 5.

13



Filterung diskreter 2D-Texturen

Die Projektion eines z.B. quadratischen Bildschirmpixels (Kantenlänge 1)

auf die Texturebene, wird Footprint genannt (= beliebiges Viereck) und wird näherungsweise als ein Parallelogramm angenommen, das von den Vektoren aufgespannt wird. Bei den Echtzeitverfahren wird dieser

Footprint nun durch einfachere Flächen ersetzt, für die die Summe oder der Mittelwert der dazugehörenden Texturwerte im voraus berechnet werden kann.

1 2( , ) , ( , )t tu v u vr r

x x y y

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂



Mip-Mapping

Das wichtigste und bekannteste

Verfahren für Echtzeitanwen-dungen ist das Mip-Mapping-Verfahren.

Eine Mip-Map Cmip [i,j] speichert eine quadratische Textur C[i,j]

der Größe n×n, wobei n = 2keine Zweierpotenz sein muß, in fortlaufend halbierten Auflösungsstufen.



Mip-Mapping

Auf der Stufe d=0 werden die Texturwerte direkt übernommen.

0 k[ , ] [ , ], 0 i,j<2 .mipC i j C i j= ≤

( )1 1 1 1

-

1[ , ] [2 , 2 ] [2 1, 2 ] [2 , 2 1] [2 1,2 1]

4

1 -1 und 0 , 2 .

d d d d d

mip mip mip mip mip

k d

C i j C i j C i j C i j C i j

d k i j

− − − −= + + + + + + +

≤ < ≤ <

Die übrigen Stufen d entstehen durch

Filterung der jeweils vorhergehenden Stufe.

Auf der Stufe d der Texturhierarchie werden

also 22d Texel der Originaltextur als ein

einziges Texel dargestellt.

14



u

x

∂

∂

u

y

∂

∂

Mip-Mapping

Nach dieser nur ein einziges Mal zu berechnenden Vorfilterung können beliebige

Flächenelemente folgendermaßen texturiert werden:

die Texturkoordinaten (u,v) des Pixelmittelpunkts und die Ableitungen

nach den Bildschirmkoordinaten

seien gegeben. Dann hat die

Projektion des quadratischen Pixels

auf die Texturebene, also der Footprint,

die Kantenlängen

, , ,u v u v

x x y y

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

22u u

ax y

∂ ∂ = +

∂ ∂

22

.v v

bx y

∂ ∂ = +

∂ ∂



Mip-Mapping

Als Seitenlänge des quadratischen Footprints wählt man oft l=max(a,b). Das Maximum und nicht etwa der Mittelwert wird deshalb gewählt, weil die entstehende zusätzliche Verschmierung des Ergebnisbildes durch zu große Footprints eher in Kauf genommen werden kann als Aliasing durch zu kleine Footprints. Unter diesen Voraussetzungen kann der Gesamttexturwert auf der Stufe d= log2(l) gemäß

berechnet werden. Dies geht natürlich nur, wenn d ein ganzzahliger Wert ist. Ist dies nicht der Fall, dann muß d entweder zum nächstgelegenen ganzzahligen Wert gerundet werden, oder aber man führt eine lineare Interpolation zwischen den beiden benachbarten Stufen d und d+1 durch. Als Ergebnis der sog. trilinearen Interpolation erhalten wir dann:

( , , ) ( , , )d

tex mipC u v d BiLinInt C u v=

1( , , ) ( )* ( , , ) ( 1 )* ( , , ).d d

tex mip mipC u v d d d BiLinInt C u v d d BiLinInt C u v+ = − + + −



Summed Area Tables (SAT)

Die Richtungsabhängigkeit der Projektion (Anisotropie) des Footprints kann durch

das Mip-Mapping gar nicht berücksichtigt werden. SAT erlauben anstatt der

Approximation durch Quadrate (u,v)-achsenparallele Rechtecke zu verwenden

und somit diesem Defizit etwas Rechnung zu tragen.

u

x

∂

∂

u

y

∂

∂Quadratische Approximation des

Footprints beim MipMap-Verfahren

15




Der Berechnungsaufwand der einfachsten Methode, das arithmetische Mittel über alle Texturwerte eines (u,v)-achsenparallele Rechtecks ((i0,j0),(i1,j1)) zu berechnen, ist proportional zur Größe des Rechtecks:

1 1

0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

[ , ]( , , , )

( 1)( 1)

i j

i i j j

avg

C i jC i j i j

i i j j

= ==

− + − +

∑ ∑

Berechnet man dagegen in einem Vorverarbeitungsschritt eine sogenannte Summed-Area-Tabelle

0 0

( , ) [ , ]s si j

sat s s i i j jC i j C i j

= ==∑ ∑

und setzt

[ , 1] [ 1, ] 0,sat satC i C j− = − =

V




Dann kann Cavg alternativ mit konstantem Berechnungsaufwand, unabhängig von der Rechteckgröße berechnet werden:

1 1

0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

[ , ]( , , , )

( 1)( 1)

i j

i i j j

avg

C i jC i j i j

i i j j

= ==

− + − +

∑ ∑

1 1 0 1 1 0 0 00 0 1 1

1 0 1 0

[ , ] [ 1, ] [ , 1] [ 1, 1]( , , , ) .

( 1)( 1)sat sat sat sat

avg

C i j C i j C i j C i jC i j i j

i i j j

− − − − + − −=

− + − +

V



Footprint-Assembly (FPA)

Die wesentliche Idee des FPA-Verfahrens besteht darin, die leicht und schnell zu erzeugenden Mip-Maps so einzusetzen, daß der näherungsweise als Parallelogramm angenommene Footprint möglichst genau abgedeckt wird. Auf diese Weise wird ein hoher Rechenaufwand vermieden und trotzdem eine anisotrope Texturfilterung erreicht. Das Problem besteht nun darin, den Footprint durch N quadratische Texturfelder (Mip-Map-Zugriffe) möglichst genau und mit geringem Rechenaufwand zu approximieren.

1 1 0 1 1 0 0 00 0 1 1

1 0 1 0

[ , ] [ 1, ] [ , 1] [ 1, 1]( , , , ) .

( 1)( 1)sat sat sat sat

avg

C i j C i j C i j C i jC i j i j

i i j j

− − − − + − −=

− + − +

V

16




.Aus praktischen Gründen wird dabei N = 2m gewählt, da auf diese Weise die endgültige Texturfarbe durch Aufsummieren und einfache Division durch eine Zweierpotenz (Shift) ermittelt werden kann. Für N kann eine Obergrenze angegeben werden, um die Rechenzeit ohne merkliche Qualitätseinbußen wesentlich zu verkürzen.

V




Für die Berechnung der Mip-Map-Stufe werden die Vektoren

1 2( , ) , ( , )t tu v u vr r

x x y y

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

verwendet, die auch beim normalen Mip-Mapping zur Bestimmung der Stufe herangezogen werden. Dabei sind u,v die Texturkoordinaten und x,y die Bildschirmkoordinaten des Pixels. Ausgehend vom in die Texturebene projizierten Pixelmittelpunkt (u,v) erfolgen die Mip-Map-Zugriffe in Schritten entlang einer Geraden. Dabei wird der betragsmäßig größere der beiden Vektoren r1 bzw. r2 als Schrittrichtung r=(ru,rv)

t verwendet. Die Mip-Map-Stufe d ist dann durch die Kantenlänge 1 2min( , )l r r=

als 2log ( )d l=

gerundet auf die nächstliegende Zweierpotenz, gegeben.

und die Anzahl der Mip-Map-Zugriffe durch

1 2max( , ),

r rN

l=

V



Footprint-Assembly (FPA) Mit Hilfe des Schrittvektors ∆r=(∆u, ∆v) der sich aus der Schrittrichtung durch

und u vr ru v

N N∆ = ∆ =

berechnet, können nun die Koordinaten (un,vn) für die einzelnen Zugriffe bestimmt werden:

( , ) ( , ) ( , ), wobei 1, 3, 5,..., ( 1).2

n n

nu v u v u v n N= + ∆ ∆ = ± ± ± −

Die Farbe des Pixels ergibt sich dann als arithmetischer Mittelwert aller Zugriffe.

V

17



5. Modifiziere Beleuchtungsrechnung

Potentiell ist jeder Parameter der Beleuchtungsrechnung beeinflussbar

Berechne

Objektraum-

koordinaten

Projektor-

funktion

Mapping

Correspon-

der-Funktion

Texturwert-

Transfor-

mation

Modifiziere

Beleuchtungs-

gleichung


1. 2. 3. 4. 5.



Beeinflussung der Beleuchtungsrechnung

Basis für die folgenden Betrachtungen:

Erweitertes Blinn-Phong-Modell, also:

( )

( ) specspec

m

spec

diffdiffdiff

ambambamb

k

k

spec

k

diff

kk

amb

k

spotemiambglobtot

shi

dc

smnhi

smlni

smi

iiimmai

⊗⋅⋅=

⊗⋅=

⊗=

++++⊗= ∑

)0,max(

)0,max(

)((

ln h

v

l, n, h, v normiert



Beeinflussung der Beleuchtungsrechnung (1)‣ 1. Ersetzen der Objektfarbe durch Textur (replace) Bei dieser einfachsten Art der Texturierung wird die Objektfarbe durch die Farbe der Textur ersetzt. Jegliche Beleuchtungeffekte des Objekts werden unwirksam, außer die Textur selbst enthält Beleuchtungseffekte.‣ A posteriori Skalierung des Farbwertes (modulate)Eine der am häufigsten angewandten Techniken führt die Beleuchtungsrechnung und das Shading mit konstanten Beleuchtungsparametern durch und skaliert den Beleuchtungswert itot erst im nachhinein komponentenweise mit dem Texturwert ctex

Wenn hier als Objektfarbe „weiß“ gewählt wird, enthält diese die Schattierungsinformation und die Textur die Farbinformation des Objektes.

texout cc =

textotout cic ⊗=

18



Beeinflussung der Beleuchtungsrechnung (2)

3. Modulation der Flächenfarbe

Die Flächenfarbe wird im wesentlichen durch den Materialparameter mdiff, im

geringeren Maße aber auch durch den Parameter mamb bestimmt. Also

zu setzen.

Der wesentliche Unterschied zu 2. besteht darin, dass die spekularen

Reflektionen und Emissionen von der Textur unbeeinflusst bleiben.

texambamb

texdiffdiff

cmm

cmm

⊗=

⊗=

'

'




4. Modulation der spekularen Reflektion

Die Highlights können dadurch unregelmäßig gestaltet werden. Interessant ist

diese Methode vor allem im Zusammenhang mit dem Reflection-Mapping und

Environment-Mapping (später)

texspecspec cmm ⊗=




5. Modulation der TransparenzDurch die Modulation des Transparenzparameters

können sehr realistisch aussehende Effekte erzielt werden:‣ α=1 � Objekte hinter diesem Flächenpixel sind vollständig sichtbar‣ α=0 � so wird kein Licht durchgelassenansonsten wird mit dem Wert von α gefiltert. ‣ Bei Beschränkung auf die Werte 0 und 1 kann durch die Textur zwischen Sichtbarkeit und Unsichtbarkeit des Objekts ''umgeschaltet'' werden. Dadurch können auch kompliziert geformte Flächen aus einfachen Flächen ''ausgeschnitten'' werden. ‣ Mit stochastischen Werten für α können z.B. verschmutzte und milchige Glasscheiben modelliert werden.

*obj texα α α=

19




6. Perturbation des NormalenvektorsBeim Bump Mapping wird mit Hilfe einer skalarwertigen Textur eine

Offsetfläche P'(s,t) definiert. Die Normalenvektoren der Offsetfläche werden dann als Variationen der Normalenvektoren der Basisfläche interpretiert (Details

kommen später)

7. Modulation von LichtquellenparameternEine weitere Möglichkeit besteht darin, Lichtquellenparameter durch Texturen

zu beeinflussen. Besonders anschaulich ist dies bei Projektorlichtquellen. Dabei

wird eine zweidimensionale Textur in den Raum projiziert, d.h. die Lichtemission

wird in Abhängigkeit von der Lichtrichtung moduliert:

~ ( ( )).i tex invmap iL C F Lr




8. Höhenfelder und OffsetflächenHierbei wird mit Hilfe von Texturen die tatsächliche Geometrie von Oberflächen

verändert. Darauf beruht das sogenannte Displacement-Mapping.

9. und viele andere Möglichkeiten



Texturierung und Gouraud-Interpolation ‣ Bei Gouraud-interpolierten Dreiecken kann nur die Beleuchtungsrechnung

2. A posteriori Skalierung des Farbwertes (modulate)

angewendet werden.‣ Die Möglichkeit der alternativen oder auch kombinierten Anwendung der

Texturierungen 3. bis 8. besteht nur bei Visualisierungsverfahren, die entweder eine

explizite Beleuchtungsrechnung in jedem Pixel durchführen oder die verschiedenen

Anteile der Phong-Beleuchtungsgleichung getrennt durch Gouraud-Interpolation

berechnen.

20



Übersicht (Fortsetzung)

7. Beeinflussung der Beleuchtungsrechnung

8. Spezielle Texturen: 8.1 Environment-Mapping

8.2 Bump Mapping

9. Zusammenfassung

10. Ausblick – Nächste Schritte



Environment Mapping(Reflection Mapping) ‣ eine einfache Möglichkeit, Reflektionen (zumindest approximativ) mit Hilfe von

Textur-Hardware zu berechnen. ‣ Grundidee: Ist ein Objekt verglichen mit dem Abstand zu umgebenden

Objekten klein, so hängt die einfallende Beleuchtsstärke nur von der Richtung,

nicht von der Position eines Punktes auf dem Objekt ab. Daher kann die

einfallende Beleuchtung für ein Objekt vorberechnet und in einer 2D-Textur, der

Environment Map gespeichert werden.



( , )u v

V

Prinzip des Environment Mapping

Anschaulich wird das reflektierende Objekt von einer virtuellen Kugel (oder auch virtuellen Würfel) umgeben, auf deren Innenseite die Szenenumgebung als zweidimensionale Textur, die Environment Map) aufgetragen ist.

Einem Punkt P auf der Objektoberfläche werden dann Texturkoordinaten (u,v) zugeordnet. Die Richtung R und damit die Texturkoordinaten (u,v) können einfach aus der Richtung V zur Kamera und der Normale N in Punkt P berechnet werden:

),(),(

2

vu⇒⇒

−=

φθ

(VN)NVR RN

P

21



Diskussion: Environment Mapping (1)

Für die Beleuchtungsrechnung wird ein nochmals erweitertes Blinn-Phong-

Beleuchtungsmodell, das auch Reflektionen berücksichtigt angewendet:

Vorteile des Environment Mapping

+ schnell und einfach zu berechnen

+ liefert gute Visualisierungsergebnisse, wenn die Textur z.B. den Himmel oder

einen weit entfernten Horizont repräsentiert.

+ kann verwendet werden, um große ausgedehnte Lichtquellen als Textur darzustellen.

)()(( φθreflmap

k

k

spec

k

diff

kk

amb

k

spotemiambglobtot kdc iiiimmai +++++⊗= ∑



Environment Mapping

Nachteile:

- Die Reflektionsberechnung ist nur dann korrekt, wenn der Objektpunkt P sich im

Weltmittelpunkt W befindet. Mit zunehmendem Abstand zwischen P und W

treten verstärkt Verzerrungen auf.



Environment Mapping

- Ist die Environment Map schlecht parametrisiert, können erhebliche Aliasing-

Probleme auftreten.

- Es wird keine Verdeckungsrechnung durchgeführt. Das Problem, dass der

reflektierte Strahl R auf ein blockierendes Szenenobjekt treffen kann, wird

ignoriert.

- Szenenobjekte können sich nicht gegenseitig widerspiegeln. Bei der

Reflektionsberechnung wird nur die a priori berechnete Environment Map

berücksichtigt.

22



Parametrisierung von Environment Maps

Ist der Reflektierte Strahl R=(Rx,Ry,Rz) gegeben, so berechnen sich (φ,θ) analog wie beim Kugel-Mapping gemäß

Blinn, Newell 1976 verwendeten Kugelkoordinaten zur Parametrisierung der Environment Map. Diese werden dann als Texturkoordinaten auf dem Objekt verwendet.

arccos( )

arccos( / sin ), falls 0

2 arccos( / sin ), sonst

z

x y

x

R

R R

R

θ

θφ

π θ

=

≥=

−φ

θ

xy

z

V



Parametrisierung von Blinn und Newell

+ Einfach verständlich, älteste Parametrisierung.Die Erzeugung der Environment Map ist kompliziert. In der Praxis wird meist eine Environment Map, die auf den Innenseiten eines Würfels aufgebracht ist, entsprechend umgerechnet.- Die Parametrisierung mittels Kugelkoordinaten ist schlecht. Um die Pole liegen wesentlich mehr Texel/Fläche als am Äquator. Das führt zu einer schlechten Abtastung.- Wird gegenwärtig nicht von Hardware unterstützt.- Ein Dreieck, das den Pol enthält, enthält den Pol nicht mehr, wenn linear in Polar-koordinaten interpoliert wird.- Schneidet ein Dreieck die Linie mit φ=0, so schneidet ein linear interpoliertes Dreieck diese nicht mehr.

V



Parametrisierung von Greene

Greene 1986 verwendet anstatt der Projektion der Umgebung auf eine Kugel eine Projektion auf einen Würfel. Die Environment Map besteht aus 6 ebenen Texturen entsprechend den 6 Würfelseiten. Zur Erzeugung wird eine Kamera in der Mitte des Würfels platziert und 6 Aufnahmen in jede Richtung gemacht. In der Praxis wird die Szene ausgehend vom Mittelpunkt des Objekts 6 mal mit unterschiedlichen Blickrichtungen gerendert. Je nach Richtung des reflektierten Strahls wird eine der 6 Texturen ausgewählt.

+ Die Parametrisierung ist regelmäßiger als eine Kugelparametrisierung.+ Die Environment Map kann einfach mit Hilfe von Hardware erzeugt werden.

V

23




Die Projektion auf einen Würfel hat auch Nachteile:

-Liegen die Texturkoordinaten von Eckpunkten von Dreiecken des Objekts in unterschiedlichen Würfelseiten, so ist es schwierig dazwischen zu interpolieren. Eine Methode ist, diese Dreiecke entsprechen zu unterteilen.- Filterung und bilineare Interpolation entlang Würfelkanten ist schwierig

V




Die Environment Map ist abhängig vom Objektmittelpunkt!

V



Sphere Mapping

OpenGL unterstützt Environment Mapping mit der sogenannten Sphere Map. Dabei wird die gesamte umhüllende Kugel des Objekts, auf deren Innenseite wie beim Standard Environment Mapping die Textur der Umgebung aufgebracht ist, auf einen Kreis abgebildet:

R

NV

V

R

Bild,Textur

V

24



Sphere Mapping

RückseiteVorderseite

Linke SeiteRechte Seite

ObenUnten

Abbildung von 6 Würfelseiten auf eine Sphere Map

V



Berechnung einer Sphere Map

V



Sphere Mapping

Berechnung von Texturkoordinaten in einem Punkt P des Objekts:Sei R = (Rx,Ry,Rz)

t die Richtung des reflektierten Strahls (sie ist abhängig von der aktuellen Beobachtungsrichtung!). Dann berechnen sich die Texturkoordinaten (u,v)t wie folgt.

2( )R V N N V= −�Für den reflektierten Strahl gilt:

mit N=(Nx,Ny,Nz)t=(u,v,Nz)

t

und V=(0,0,1). Daraus folgtR

NV

v

u

( , )u v2

0 0 2

2 0 0 2

1 1 2 1

x z

y z

z z z z

R u u N u

R v v N v

R N N N

= ⋅ − = −

Auflösen nach u und v liefert

, 2( 1) 2( 1)

yx

z z

RRu v

R R= =

+ +

P

V

25



Vor/Nachteile

-Interpolation der Texturkoordinaten führt zu Artefakten.- Unregelmäßige Abtastung: Maximale Abtastraten in Richtungen entgegen der Beobachtungsrichtung, Abtastrate in Richtung der Beobachtungsrichtung geht gegen 0. In Beobachtungsrichtung hat die Parametrisierung eine Singulartität.- Aliasing Probleme vor allem am Rand.

Relativ gute Abtastung. Beabsichtigte Interpolation Tatsächliche Interpolation mit Hardware, Wrapping Effekt

V



Dual-Parabolisches Mapping

Heidrich und Seidel (1999) verwenden als reflektierendes Objekt anstatt einerKugel zwei Paraboloide.

Im Gegensatz zum Sphere-Mapping, wo die gesamte Umgebung in einer Textur abgelegt wird, werden zwei Texturen verwendet. Eine für die Halbkugel entgegen der Blickrichtung (hinten) und eine in Blickrichtung (vorne). Für die Normale im Punkt (x,y) ergibt sich:

2 2 2 21 1( , ) ( ), 1

2 2f x y x y x y= − + + ≤

2 2

1

1 1

x

N yx y

= + +

N

V



Dual-Parabolisches Mapping

Berechnung von Texturkoordinaten in einem Punkt P des Objekts:Sei R = (Rx,Ry,Rz)

t die Richtung des reflektierten Strahls (sie ist abhängig von der aktuellen Beobachtungsrichtung!). Dann berechnen sich die Texturkoordinaten (u,v)t wie folgt.

2( )R V N N V= −�Für den reflektierten Strahl gilt:

mit N=(Nx,Ny,Nz)t=

und V=(0,0,-1). Daraus folgt

2 2

2 2 2 2

2 2

2

10 01 2

2 0 01 1

1 1 1 12

11

x

y

z

uu vR u u

R v v vu v u v

R

u v

+ +

= ⋅ − = + + + + − − − − − +

+ +

Auflösen nach u und v liefert , 1 1

yx

z z

RRu v

R R= =

− −

2 2

1( , ,1)

1

tu vu v+ +

R

NV

v

u

( , )u vP

Frontside

V

26



Vor-und Nachteile

+ Dual-parabolic Maps lassen sich mit einfachen Matrizenoperationen für unterschiedliche Blickrichtungen umrechnen. D.h. sie sind blickpunktsabhängig. + Wesentliche gleichmäßigere Abtastung als beim Sphere-Mapping.+ Weniger Aliasing Probleme.- Interpolation der Texturkoordinaten führt zu Artefakten.- Noch nicht in Hardware verfügbar.

Würfel auf Dual-Parabolische Maps abgebildet.

V



Bump Mapping

Mit den bisher beschriebenen Texturierungstechniken können nur

Materialparameter variiert und Beleuchtungsergebnisse skaliert werden. Beleuchtete Flächen sehen dadurch bereits sehr viel variantenreicher und damit auch realistischer aus, trotzdem wirken sie

häufig immer noch zu glatt. Ziel:



Bump Mapping

Gesucht ist daher eine einfache Technik, mit deren Hilfe Flächen rauh, runzlig,

geknittert oder gekräuselt erscheinen.

Wollte man diese kleinen Unebenheiten

geometrisch exakt modellieren,

so könnte man z.B. zu einer gegebenen

parametrischen Grundfläche P(u,v)

ein zweidimensionales Höhenfeld h(u,v)

addieren und würde so die Offsetfläche

erhalten.

( , )( , ) ( , ) ( , )

( , )

N u vP u v P u v h u v

N u v′ = +

27



Bump Mapping ‣ Für kleine Höhenwerte ist dieser Ansatz jedoch zu rechenaufwendig. ‣ Außerdem zeigt das Phong-Beleuchtungsmodell, dass die exakten

geometrischen Positionen der Flächenpunkte P(u,v) bzw. P'(u,v) gar nicht direkt

in die Beleuchtungsrechnung eingehen. Viel wichtiger sind die

Normalenvektoren N(u,v). Die wesentliche Idee der Bump-Mapping-Technik

besteht konsequenterweise darin, dass es für kleine Unebenheiten h(u,v)

ausreicht, die Visualisierung mit der Originalgeometrie P(u,v) durchzuführen, bei

der Beleuchtungsrechnung aber die Normalen N'(u,v) der Offsetfläche zu

verwenden. ‣ Diese Normalenvektoren können durch

berechnet werden.

( , ) ( , ) ( , )u v

N u v P u v P u v′ = ×



Bump Mapping

Die Richtungsableitungen erhält man mit den bekannten Summen- und

Kettenregeln:

Für kleine Werte h(u,v) können die hinteren Teilterme ignoriert werden:

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

u u u

u

v v v

v

N u v N u vP u v P u v h u v h u v

N u v N u v

N u v N u vP u v P u v h u v h u v

N u v N u v

′ = + +

′ = + +

( , )( , ) ( , ) ( , )

( , )

( , )( , ) ( , ) ( , )

( , )

u u u

v v v


N u v


N u v

′ ≈ +

′ ≈ +



Bump Mapping

Für N´(u,v) folgt damit:

Die zweidimensionale Bump Map h(u,v) ist dabei in der Regel als diskretes

Zahlenfeld bzw. als Grauwertbild gegeben. In diesem Fall werden die

Richtungsableitungen hu und hv durch

berechnet.

, mit

( ) ( )

u v u v v u u v

u v v uu v v u

N N N NN P P h P h P h h

N N N N

N D

h N P h P NN ND h P h P

N N N

′ = × + × + × + ×

= +

× − ×= × + × =

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )( , )

u

v

h u u v h u vh u v

u

h u v v h u vh u v

v

+ ∆ −=

∆

+ ∆ −=

∆

28



Bump Mapping

Das Bump Mapping kann nur mit denjenigen Beleuchtungsverfahren kombiniert

werden, die eine explizite Beleuchtungsrechnung in jedem Pixel durchführen.

Beispiele hierfür sind das Phong-Shading- und das Raytracing-Verfahren, nicht

aber das Gouraud-Shading-Verfahren. 1997 wurde ein Bump-Mapping-

Verfahren für Hardware vorgestellt.



Zusammenfassung

Texturierung ist ein sehr mächtiges „Werkzeug“ um die realitätsnahe Darstellung zu ermöglichen.

Die moderne Graphik-Hardware unterstützt dies!

� Shader Programmierung



Ausblick – Nächste Schritte‣ Graphik-Hardware‣ Shader-Programmierung‣ Farbe‣ Ray Tracing und Radiosity + Ausblick‣ aber nur noch drei Termine ;-(

modul: b-cg grundlagen der computergraphik im ... · modul: b-cg grundlagen der computergraphik im...

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