Modélisation et simulation de la sédimentation departicules de boue dans un clarificateur

HAMMEN Maxence

Table des matières1 Introduction 2

1.1 Contexte de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Introduction à la problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modélisation et simulation par équations différentielles 32.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Etablissement des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Relation avec la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Résultats attendues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Modélisation et simulation par Navier-Stokes 83.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Discussion sur le code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Conclusion 114.1 Résumé du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Bilan du module IRL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

A Simulation par équations différentielles : Code 13A.1 Main.sce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.2 func.sce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.3 constantes.sce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

B Simulation par Navier-Stokes : Code 15

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1 Introduction

1.1 Contexte de travail

Ce document constitue le rapport du module Introduction à la Recherche en Labora-toire (IRL) en deuxième année du cursus de l’Ensimag.

Le travail a été réalisé au sein du laboratoire LJK au sein de l’équipe EDP avec labienveillance de Georges-Henri Cottet et Emmanuel Maitre.

1.2 Introduction à la problématique

Un clarificateur est un dispositif se présentant comme une cuve, par exemple cylin-drique, prenant en entrée de l’eau chargée de particules de boues et séparant ces deuxconstituants. Il est utilisé pour assainir les eaux usées. Le dispositif global comporte aussiune partie en amont qui transforme ces eaux usées, via un processus biologique, en cettesuspension de boues. Ce pré-traitement n’était pas l’objet de la présente étude. Le but iciétait de modéliser et simuler la sédimentation des particules de boues, qui sont évacuéesen fond de cuve, alors que l’eau saine sort par le haut du dispositif.

Il faut garder en tête dans ce sujet que le fonctionnement réel de tels cuves précédela théorie et que la simulation de tels phénomènes est encore d’actualité car il est encorepossible d’améliorer le modèle. En particulier on peut imaginer le fonctionnement d’unecuve soumises à différentes conditions (lorsqu’il pleut, lorsque la quantité de boue enentrée est variable au cours du temps, etc...), améliorer la performance des simulations,ou encore ajouter des phénomènes supplémentaires (tels que la rotation de la cuve afind’accélérer la sédimentation).

Un certain nombre de modèles peuvent être trouvé dans le document [2]. On neconsidérera ici que deux problèmes différents.

2

2 Modélisation et simulation par équations différen-tielles

2.1 Introduction

La modélisation présentée ci-après est largement issue du document [1].

Nous nous proposerons ici de prendre en compte les phénomènes lorsque la cuve estpleine et lorsque la quantité de boue en entrée est variable.

Le modèle considéré ici suppose que la masse volumique ne dépend que de la profon-deur de la cuve, et donc le modèle est en 1D en espace. Soit à considérer des élémentssphériques de masse volumique u dépendant de la variable x selon un temps t. L’équationqui régit le phénomène est issu de la théorie de Kynch et est de la forme :

∂u

∂t+∂b(u)

∂x= 0

avec b une fonction adaptée au phénomène. En particulier la fonction b est une fonctiondiscontinue par rapport à x par le fait que le milieu considéré résulte au final en un milieuséparé entre un milieu liquide et un milieu solide.

En particulier pour une certaine densité volumique notée uc, qui dépend du solideconsidéré et nommée la concentration critique, le shéma se comporte différemment :

— Pour u ≤ uc le shéma se comporte comme une équation hyperbolique du premierordre.

— Pour u ≥ uc le shéma se comporte comme une équation quasi-linéaire.

Figure 1 – Modélisation des cuves. (a) Etat coventionnel. (b) Etat sous hautescontraintes

On se place dans le cas d’une cuve décomposé en 4 parties comme présenté sur lafigure 1. La figure (a) correspond à la cuve en fonctionnement normal. L’arrivée en bouese fait par le haut de la cuve à une densité uF , à un volume QF . On marque ce pointd’entrée par x = 0. La sortie de la boue se fait à une densité inconnue et qui découle du

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fonctionnement de la cuve. On peut cependant règler le volume en sortie QR. QL corres-pond au volume extrait d’eau pur (c’est-à-dire où u = 0). Les quatre zones importantessont donc :

— Pour 0 < x < xr la zone de sédimatentation.— Pour xL < x < 0 la zone de clarification.— Pour x > xR où l’on récupère la boue.— Pour x < xL où l’on récupère le liquide.

On a aussi QL(t) = QF (t) − QR(t). On notera par la suite qL(t) = QL(t)/S etqR(t) = QR(t)/S Avec S la surface d’entrée et de sortie.

Dans le cas de cette modélisation, on considère également le cas où la cuve est enfonctionnement à hautes contraintes, c’est-à-dire lorsque la zone où u > uc peut monterjusqu’à la zone de clarification (cas qui survient lorsque la quantité de la boue en entréeest importante).

2.2 Etablissement des formules

Le phénomène considéré peut être pris en compte par l’équation :

∂u

∂t+

∂

∂x(q(t)u+ u(umax − u)vr) = 0

Le modèle qui sera pris ici ne sera pas expliqué dans la totalité et une grande partiedes résultats exposés correspondent à une étude approfondie qui fait intervenir les lois dela thermodynamique. La formule qui décrit vr est :

vr =b(u)

u(1− u)

(1− σ′e(u)

∆ρgu

∂u

∂x

)b est une fonction qui découle des observations du phénomène et qui ici est choisie de

la forme :

b(u) =

{v∞u exp(−Cu) si 0 < u < umax

0 sinon

On prend ici umax = 1. C et v∞ correspondent à des constantes qui se retrouvent àpartir de l’observation d’une unique particule qui se déplace dans un liquide pur.

∆ρ > 0 correspond à la différence de densité entre le solide et le fluide, g correpond àla gravitation et σe(u) est le tenseur. En particulier dans notre modélisation :

σ′e(u) =dσe(u)

du

{= 0 si u ≤ uc

> 0 si u > uc

Dans notre modélisation, on prendra :

σe(u) =

{0 si u ≤ uc

σ0((u/uc)k − 1) si u > uc

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Avec σ0 > 0 et k > 1. On a donc σ′e(u) qui est discontinue pour u = uc.

On définit :

a(u) =b(u)σ′e(u)

∆ρgu, A(u) =

∫ u

0

a(s) ds

Soit donc l’équation à résoudre :

∂u

∂t+

∂

∂x(q(t)u+ b(u)) =

∂2A(u)

∂x2

On a donc :

a(u) =

{a0 exp(−Cu)uk−1 si uc < u ≤ umax

0 sinon

oùa0 =

kσ0v∞ukc∆ρg

On obtient donc au final que :

A(u) =

0 si u ≤ uc

A(u)− A(uc) si uc < u < umax

A(umax)− A(uc) si u ≥ umax

où :

A(u) = −a0 exp(−Cu)

(xk−1

C+ (k − 1)!

k−2∑l=0

xl

l!Ck−1

)

2.3 Relation avec la modélisation

Dans notre cas d’étude, nous obtennons :

∂u

∂t+

∂

∂xg(x, u) =

∂

∂x

(γ1(x)

∂A(u)

∂x

)u(x, 0) = u0(x)

Avec :

g(x, u) =

qL(t)(u− uF ) si x < xL

qL(t)(u− uF ) + b(u) si xL < x < 0

qR(t)(u− uF ) + b(u) si 0 < x < xR

qR(t)(u− uF ) si x > xR

γ1(x) =

{1 si x ∈ (xL, xR)

0 si x��∈(xL, xR)

γ2(x) =

{qL si x < 0

qR si x > 0

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Et :f(γ(x), u) = g(x, u) = γ1(x)b(u) + γ2(x)(u− uF )

Il faut prendre ensuite un schéma numérique pour résoudre cette équation. Soit ànoter : xj = j∆x, γj+1/2 = γ(xj+1/2), U0

j = u0(xj). On prend alors :

Un+1j = Un

j − λ∆−h(γj+1/2, Unj+1, U

nj ) +

λ

∆x∆−h(γ1,j+1/2∆+A(Un

j ))

Avec λ = ∆t/∆x, ∆−Vj = Vj − Vj−1, ∆+Vj = Vj+1 − Vj ; et :

h(γ, v, u) =1

2

[f(γ, u) + f(γ, v)−

∫ v

u

|fu(γ, w)| dw]

2.4 Résultats attendues

Le papier [1] présente ses résultats :

Figure 2 – Résultats d’une simultation avec quantité en entrée constante

La figure 2 correspond à une simulation afin d’obtenir un état stable au bout d’uncertain temps. La figure se lit comme qui suit : on peut réaliser une tranche à t = ctepour obtenir l’état de la cuve à un instant donné. On peut alors lire la densité du liquidepour un x donnée.

Dans la figure 3, la quantité de boue en entrée est variable et on voit ici une oscillationentre deux états stables.

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Figure 3 – Résultats d’une simultation avec quantité en entrée variable

2.5 Résultats obtenus

Au moment d’écrire ces lignes, le modèle n’a pas pu être implémenté jusqu’au bout.L’objectif était de réécrire entièrement le simulateur afin d’avoir une idée de base pourles futures modèles. Le code est cependant joint en annexe et le document est susceptibled’être actualiser afin de fournir un code fonctionnel. Cette partie n’a pas pu être aboutiedû au fait d’un manque de temps, et que l’étude devait se centrer sur un autre modèleplus original qui suit.

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3 Modélisation et simulation par Navier-Stokes

3.1 Introduction

La simulation par équations différentielles menée plus haut décrit de manière moinsprécise un modèle qui fait se base sur une équation de Navier-Stokes. En effet, il a éténécessaire pour établir l’équation précédente de faire des observations sur des paramètres,les formules qui interviennent sont choisis en fonction du phénomène et les formes desfonctions sont également choisies.

Il est donc utile de considérer un modèle de Navier-Stokes qui reprend les principesde la thermodynamique.

A noter que les équations différentielles utilisées plus haut utilisent une discrétisationet une résolution avec des éléments finis, ce qui n’est pas le cas pour Navier-Stokes qui sepasse de tels approximations et qui peut donc décrire le phénomène en un point précis.

La plupart de l’étude a été mené avec l’aide du livre [3] et des discussions aves l’en-cadrant.

3.2 Formules

Soit donc à retrouver l’équation de Navier-Stokes et l’adapter à notre phénomène.Soit ρ la densité à un point donné et u la vitesse en un point. Soit donc à considérerl’équation de bilan de la masse

∂

∂tρ+∇(ρu) = 0

On se sert également de l’équation de bilan de la quantité de mouvement :

∂

∂t(ρu) +∇(ρu⊗ u) = ∇+ +∇(µ∇u)

où ∇+ est correspond à une force de pression et où ∇(µ∇u) correspond à un tenseur descontraintes visceuses. µ est donc un paramètre qui dépend du solide considéré.

On se place ici dans le cas d’un liquide incompressible, c’est-à-dire :

∇u = 0

en particulier cela permet de se placer dans un cas plus simple et de ne pas considérerl’équation de bilan de l’énergie.

Présentons les démarches pour obtenir l’équation de Navier-Stokes voulue. Nous choi-sissons de résoudre dans un premier temps l’équation avec ∇u = 0. On utilise donc unalgorithme de projection qui se fait en deux étapes. Supposons ∇u = 0. Soit donc à

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résoudre : ∂ρ

∂t+∇(ρu) = 0 (1)

∂

∂t(ρu) +∇(ρu⊗ u)−∇(µu) = 0 (2)

Notons cette solution u. Soit donc maintenant à déterminer u tel que u = u+∇p avec∆p = −∇u qui correspond à une équation de Poisson.

Notons au passage une autre formulation. Soit à supposer que ρ = cte, alors, celarevient à résoudre :

∂

∂tu+∇(u⊗ u) = ∇+ + ν∇u

Posons ω = ∇u. On appelle ω le rotationnel de u :

∇(u⊗ u) = (u∇)u =1

2∇|u|2 − ω × u

En passant au rotationnel, on a :

∇ · ∇(u2) = 0−∇(ωu) = (u∇)ω − (ω∇)u

Et donc au final :∂ω

∂t+ (u∇)ω − (ω∇)u = ν∆ω

Cette dernière formule a l’avantage de ne pas faire intervenir les forces de pressions.

3.3 Discussion sur le code

Un solveur de Navier-Stokes a été fourni par l’encadrant et qui prend en compte lephénomène d’une membrane élastique. En particulier il est possible d’adapter ce codepour retirer la force élastique et ajouté les forces telles que la gravité.

On peut fournir comme état initial un liquide diphasé avec une densité ρ1 et ρ2. Ici ondéfinit φ qui décrit l’intérieur et l’extérieur d’un volume. Pour φ ≥ 0, on peut décrire unedensité ρ1 et pour φ < 0 une densité ρ2. Soit donc à considérer une fonction de HeavisideH :

ρ = ρ1 +H(φ/ε)(ρ2 − ρ1)Soit donc l’équation possible à résoudre :

∂u

∂t+ (u∇)u− ν∆u = ∇p+ F (φ) (3)

∂φ

∂t+ (u∇)φ = 0 (4)

qui est constitué de l’équation de Navier-Stokes et d’une équation de transport. Pournotre modèle :

F (φ) = (ρ1 +H(φ)(ρ2 − ρ1))gIl reste maintenant à fixer les conditions aux limites pour indiquer que de la boue

arrive en entrée et qu’une quantité en sort. Il faut également indiqué qu’il n’y a pas detransfert sur les parois de la cuve.

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3.4 Résultats obtenus

Malheuresement, le travail n’a pas abouti. Le code fonctionne pour le cas élastiquemais l’initialisation pose problème à cause du changement de la condition initiale. Lecode qui résout le problème pour les forces élastiques se trouvent en annexe.

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4 Conclusion

4.1 Résumé du travail

Quand bien même le travail d’étude de documents a bien été mené, cela ne s’est pasavéré facile de réimplémenter les modèles. Cela demande du temps, et plus que ce quel’on peut imaginer. Ce travail se conclut donc un goût amer de ne pas être parvenu à desrésultats concrets.

4.2 Bilan du module IRL

Ce module d’introduction à la recherche en laboratoire était a priori un moyen dedécouvrir le monde de la recherche. J’ai fortement apprécié le fait de pouvoir travailleren laboratoire pour différentes raisons :

— La possibilité de travailler sur des sujets complexes et qui restent encore à com-prendre/résoudre ;

— L’accès aux documents de recherche afin de les étuder, les comparer et pouvoirmettre en pratique ce qui était présenté ;

— L’évolution dans un cadre réel au milieu de chercheurs.Cependant, je regrette fortement de ne pas avoir réussi à aller plus loin dans le sujet.

Cela est à mon avis dû au fait que la durée de ce module n’est pas toujours adapté ausujet pris en compte. La première phase qui consiste à la compréhension du sujet peutêtre longe à cause du manque de connaissance initiale de l’étudiant sur le sujet.

Je retire de cette expérience la pensée que le domaine de la recherche est un milieupassionnant par le fait de pouvoir découvrir des choses nouvelles mais que cela peutrebuter un étudiant de travailler sur un sujet qu’il ne peut pas mener à terme.

4.3 Remerciements

Mes remerciements s’adressent à Georges-Henri Cottet qui a pris le temps de meprésenter à la fois des modèles mathématiques généraux et les modèles mathématiquesspécifiques au sujet, son aide pour trouver les documents clés à cette recherche et lesdiscussions que nous avons pu avoir afin de faire avancer le sujet.

Nous n’oublierons pas la contribution d’Emmanuel Maitre qui a travaillé dans l’ombreafin de fournir les ressources nécessaires au sujet de recherche.

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Références[1] Raimund Bürger, Kenneth H Karlsen et John D Towers. “Mathematical model

and numerical simulation of the dynamics of flocculated suspensions in clarifier–thickeners”. In : Chemical Engineering Journal 111.2 (2005), p. 119–134.

[2] Catherine Cadet, Valérie Dos Santos Martins et Denis Dochain. “Dynamicmodeling of clarifier - thickeners for the control of wastewater treatment plants :a critical analysis”. In : 19th International Conference on System Theory, Controland Computing (ICSTCC), Cheile Gradistei, Romania, oct. 2015. url : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01242093.

[3] P.L. Lions. Mathematical Topics in Fluid Mechanics : Volume 1 : IncompressibleModels. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Clarendon Press, 1996. isbn :9780198514879. url : https://books.google.fr/books?id=2FHJoQEACAAJ.

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A Simulation par équations différentielles : CodeAfin de conserver un code bien organisé, 3 fichiers ont été créé :— main.sce qui contient le déroulement principal.— func.sec qui contient les sous-fonctions pour faire les appels durant l’itération.— constantes.sce qui contient les constances utilisées.

A.1 Main.sce

// Add constantes to the environmentexec("./constantes.sce")

// discrétisation spacialedisX = linspace(xL,xR,nx);// discrétisation tempsdisTemps = 0:dt:Tmax;

// Add function to the environmentexec("./func.sce")

// BEGIN MAIN// Initializationgamma1 = constructGamma1(disX);gamma2 = constructGamma2(disX, 1/nx);

A.2 func.sce

// Construct gamma 1function [g] = constructGamma1(X)

g = 0;N = length(X);g(1) = 0;g(2:N) = 1;g(N+1) = 0;// Transpose to endg = g';

endfunction

// Construct gamma 2function [g] = constructGamma2(X, dx)

g = 0;N = length(X);for i = 1:N

if (X(i) - dx < 0) then

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g(i) = qL;else

g(i) = qR;end

endif X(i) + dx < 0 then

g(N+1) = qL;else

g(N+1) = qR;end// Transpose to endg = g'

endfunction

function [res] = sumA(x)res = 0;for l=0:(k-2)

res = res + x^l/(factorial(l)*C^(k-1))end

endfunction

function [res] = Atmp(u, x)a0 = k * sigma0 * vinf/(uc^k * Drho * g);res = -a0 * exp(-C*u)*(x^(k-1)/C + factorial(k - 1)*sumA(x));

endfunction

function [res] = A(u, x)if (u <= uc) then

res = 0;elseif ((uc < u) & (u < umax)) then

res = (Atmp(u, x) - Atmp(uc, x));else

res = (Atmp(umax, x) - Atmp(uc, x));end

endfunction

function [res] = b(u)res = vinf*u.*exp(-C*u);

endfunction

function [res] = f(ui)res = gamma1.*b(ui) + gamma2.*(ui - uF);

endfunction

function [res] = h(v, u)disp(gamma1);

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res = 0.5*(f(u) + f(v) - 0.1);endfunction

A.3 constantes.sce

// Constantes for b(u)vinf = 0.0001; // 10^-4 m.s^(-1)C = 6;

// Constantes for Input flux and Output fluxqL = -0.00005; // -5*10^(-5) m.s^(-1)qR = 0.00004; // 4*10^(-5) m.s^(-1)

// Input density of liquiduF = 0.21;

// Critical density (accumulate if above this value)uc = 0.2;umax = 0.5; // TODO : be careful with this value

// Constantes for a(u) - define the role of the presurek = 6;sigma0 = 50; // Pa

// Gravitational constantg = 9.81; // m^3 * kg^(-1) * s^(-2)

// Dimension of the cuvexL = -1;xR = 1;nx = 20; // number of pointslambda = 20000; // s.m^(-1)dt = lambda/nx;Tmax = 1000000;

// Global constantesDrho = 1;

B Simulation par Navier-Stokes : CodeAfin de ne pas surcharger le document, le code est disponible au lien suivant : ici

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