metaheuristics for multiobjective combinatorial - hal - inria

43
HAL Id: inria-00094954 https://hal.inria.fr/inria-00094954v2 Submitted on 18 Sep 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Avancées des métaheuristiques pour l’optimisation combinatoire multi-objectif Matthieu Basseur, El-Ghazali Talbi, Antonio Nebro, Enrique Alba To cite this version: Matthieu Basseur, El-Ghazali Talbi, Antonio Nebro, Enrique Alba. Avancées des métaheuristiques pour l’optimisation combinatoire multi-objectif. [Research Report] RR-5978, INRIA. 2006, pp.39. <inria-00094954v2>

Upload: others

Post on 10-Feb-2022

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

HAL Id: inria-00094954https://hal.inria.fr/inria-00094954v2

Submitted on 18 Sep 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Avancées des métaheuristiques pour l’optimisationcombinatoire multi-objectif

Matthieu Basseur, El-Ghazali Talbi, Antonio Nebro, Enrique Alba

To cite this version:Matthieu Basseur, El-Ghazali Talbi, Antonio Nebro, Enrique Alba. Avancées des métaheuristiquespour l’optimisation combinatoire multi-objectif. [Research Report] RR-5978, INRIA. 2006, pp.39.<inria-00094954v2>

Page 2: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

appor t de r ech er ch e

ISS

N02

49-6

399

ISR

NIN

RIA

/RR

--59

78--

FR

+E

NG

Thème NUM

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Metaheuristics for Multiobjective CombinatorialOptimization Problems: Review and recent issues

Matthieu Basseur — El-Ghazali Talbi — Antonio Nebro — Enrique Alba

N° 5978

Septembre 2006

Page 3: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA
Page 4: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

Unité de recherche INRIA FutursParc Club Orsay Université, ZAC des Vignes,

4, rue Jacques Monod, 91893 ORSAY Cedex (France)Téléphone : +33 1 72 92 59 00 — Télécopie : +33 1 60 19 66 08

����������� ���������������������� �������������������� ��"!#�%$&��(' �)�������(���*,+ ���-$"��./��������'102��������3$"��4657�8 ����89 ��':;�<���/��'%�7�(�=�=���

>6?A@B@DC�EGFIHKJL?NM-MBFOH<PIQ�R�SUT�VWCX?ZY[?NS\E/]^?NSG_�E`Q�a bc@Ddeb<E\dgf FI_�PBdhQiR�b<PBE\j=H�Fka SG_X?l8mon(pLq�rts^uwvyx[z|{~}`n(pLq-{��[�opL�-�����I�oq-{

�������~q�}3�t�O���Amo����3���A�Z�O��}3�|q��`q-��moq-�`��mAq��N�X���[����vyx[q-�|}�q-p��o�`q��� O �¡�v£¢O�¤�A��¥Oq-{

¦¨§�©-ª(«�¬o­�ª�® l8mo��{��A���Zq-���o�`q-{�q(�I}�{i��{�zI�I}`moq-{��¯{���°c��{�{��oq-{���q-�¯��}�qB�¤}���pLq�}���moq-�o�`�¯{�}����8}�qB��mo�o���I�oq-{����|±�A���¯q-�}`��}�moq���qB{��O���|}`���O� ��°Xp��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq����Op��o�¯�A��}`���`�¯���e���|}`��pL�¯³-��}`���O�´�o�`���o�¯q(p�{-µ8x[�O��²[�¯�o¥L}�mA�¯{¶ �¯�A���°��o���O�o�¯q(p�{8��pL�o�¯�¯q-{8}`�¤�O�|}`�����´�L{�q�}3��°��X���`q�}���±G�O�|}��¯p����c{����¯�|}��¯���A{8�¯�´{��Z��m�¤·8�Dz�}�mA��}�}�moq�(���`��qB{��N���Z�|���A¥%�X���`q�}`��°¸�`���I}�°¸�o��¹A�¯�¯{�}�moq��`q-�I�o�¯�`q(pLq(�I}`{���°<�(���[²�q-��¥Oq(�A�(qt}`�%}`moq�}`���oq��X����q(}��%°¸���O�O}���A�º�o�o��°¸���`p»�|�¯²�q(��{��¼}~zOµ½x[q-²�q-�`���8{�}��Z�|��qB{���°¾pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{¤°¸����p%�o�¼}`�¼±¿���o�~q-��}`��²Oq �O�|}��¯pL��³B��}`���O��¯�[²��O��²Oq-{�q(²O���¯�|}��¯���A����zÀ����¥O���`�¼}`mop�{(Á|·�mA�¯��m�¯{t�|�oq)}��L}`mA��}^pL���[z¨{~}���}`q�±¿��°Â±G}�moq(±¿����}�}�qB��mo�o���O�Aq-{��Nq�±�¯���A¥�}�mo��{8������{`{���°=���¯¥��O����}�mop�{-µ�ÃÄ�À}�mo��{��A���Nq(�BÁ[·/q^�o���O�Z�I{�q3}���q-�o�`�¯��m�}`moq-{�q^{��o�`²�q-z[{��[z¤�A����²[���|���A¥���Å���A���¯z|{���{¾��°�}�moq��`q-�(q(�I}����A�o��²���}��¯²�qL���A�o���I����moqB{(µLl8m[�A{-Á=��°Â}`q(���Æ¥�q-�oq(�����<�¯�I}��`�[�o�A��}`���O�Å���A���{�mo�O��}t�(�¯�O{�{��¼¹N�(��}`���O�Æ��°Xp��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq����A�o���I����moqB{(Á|·�q�·��¯����p����¯�o��zq�Ç|�o�¯���`q)°¸���A�3}~z[�ZqB{3��°i��qB{���±�¯�|}`���O� {�}�����}�q-¥��¯q-{-Á[·�mo�¯��m���`qt¥O����·��¯�o¥%{��¯�A��q){�q-²�q-�`���Az�qB����{(È�}�mAq)���o�o�¯�¯�-��}`���O�À��°��o���|±¿q(²O���¯�|}��¯���Z���`zpLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({�}`�L}�moq�p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q��(���I}�q(ÇI}BÁom[z[�o����� p��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq�p¤q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�-{(Á|�A���`�����¯q(�p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q/���|}`��pL�¯³-��}��¯����Á����A��p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q/���|}`��pL�¯³-��}`���O���o�Z�|q(���o�A�(q(��}`���¯�I}~z�µ�É�q8���A����z[³-q�o�¼Êeq(�`q(�I}3������{`{�qB{8��°<���¯¥����`��}�mop�{8���A�Æ�|��{`���A{`{8���Nq(�Æ�I�oq-{�}��¯���A{-µË´ÌIÍeÎ`Ï�Ð «�Ñ�©�® p��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oqk���Op��o�¯�A��}����`�����3�O�|}��¯pL��³B��}��¯���=Á�p¤q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�-{(Á�m[z[�o�`�¯�|�¯³-��}��¯����Á�Z�������¯��q-����{�pÆÁ[�o�A�(q(��}`�����I}~z

Page 5: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

� ^��' ��������:����$����������¨�<���c�����L ��� + �� � ����� + ���($"���=��������'����$&�Æ��'�)�������<� $ ������A���������������

�� ©� �� � ®�� q3�|�|���opLq-�O}i�A���B{�q-�O}`q���q(��}`�����Aq-{<²��O��qB{<�o�`��pLq�}�}�q(�Z{�qB{(Á��-pLq(�`¥�q(�I}i����}��oq-���¯q(pLq-�O}��A���A{�¯q �o��p����¯�oq �oq ��� �O�|}��¯pL�¯{`��}`���O�g���Op��o�¯�A��}����¯�`q�p��o��}��¯���|�~qB��}`�¼°~µ ���B{��O�A�|�`q �|q¨}�q(��{%�o���O�o�¯n(pLq-{%��p¤±�A�����I�oqt�o��}`��p¤pLq-�O}8�����`q-��moq-�`��moq^��� �A�¨q(�Z{�q-p��o�¯q^�|q){����¯�|}��¯���A{��|��}�qB{����X���`q�}������|}`��p����¯q-{���µ � qB{/{���±�¯�|}`���O�A{8{��O�O}8�¯q-{�pLq(�¯���¯q(�o��{8���Op¤�A���Op¤��{����B���¯�¯{`���A��q3q-� �¯q-{8�|��Êe�(�`q(�I}`{8�O�|�~q-��}���°U{��%���o}��¯p¤��{�q(�8�Z�O�o�8��q�A���O�o��n-pLq/�(}��A�|�¯��ÁO��q8�o�o}i��}`���I}X�oq3�|�-�(���o²[�`�����o�Lq(�A{�q(p%�o�¯q8�oq��N���A�oq��O�Z���¯�¼}`��q-�¤}�q(�`pLq��|q������[²Oq(��±¥Oq(�A�(q�Á|p�����{8�(¥I���¯q(pLq(�I}�q(�}`q(�`p¤q��|q��o��²Oq(��{���}����|qB{�����pL�o�`��pL��{8�o�`���N�O{��-{-µ<�¾���Z{8��q��|�Op����¯�oq��|q-{pL�(}`��mAq(�o�`�¯{�}����I�oq-{-ÁX�¯�/q(Ç[��{�}�q¨�A���A{��¯q(�o��{��(}`��}L�|q��� ����}L�|�g�|�OpL�����AqÀ}�������}`���I}%�o�`���Z���¯�A���¯q(pLq(�I}L�|q-{����¥O���`�¼}`mopLq-{t�(²��O���o}��¯���o�A�����`q-{-µ)r3���Z{^�A���A{^�o�`���N�O{����A{t�¯�(�<��� q-�o������mo�¯�¾�(q-{¾��}`�A�|qB{^q-�k�`q(�¯q(²����I})�|q-{���o�o�`�|��moq-{<�`�-�(q(�I}�qB{X�O�A�o���I}i°U���¼}i�o�`q(�A²�q3��� ���A�o��²���}��¯���Lp�����{<�(¥I���¯q(pLq(�I}��|q��N���Z{i�`�-{��o�¼}���}�{(µ��3�o�`�-{�A�oqi�¯�O}`���|�|�Z��}��¯���)¥O�(�o�-�`����q<q�}<�D²��O���e�o�`���N�O{��X�o�oq��(�¯�O{�{���¹Z�(��}��¯���)�|q-{=p¤�(}�mo�|�|qB{��A{��oq-���¯q-{-Á-�A���A{c�A���A{�A���O�Z�I{��O�A{/�oq��|�¯{`���o}�q(�3�oq-{8���`�¯q(�I}`��}��¯���A{��`�-��q-�I}�q-{�q(}3�o���OpLq�}�}`q(�A{�q-{8�|q����¤��qB��moq(����moq¾�o���A{��(q��|��±p������oqOµ���q-{8���o�o�`�[��mAq-{/��}��Z�|���-q-{�{����I}/��� ���o�o�¯���(��}`���O� �|qB{8pL��}`��moq(�A����{~}`�oq-{/pL���o��±G�O�|�~q-��}���°=�`�-��q-�I}�q-{�����(���o��q8p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`�¼°~ÁI��qB{XpL��}���moq-�o����{�}����O�Aq-{Xm[z[�o�`�¯�|qB{(Á���qB{XpL��}`��moq(�A����{~}`�¯�I�oqB{Xp��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`�¼°cq�}�¯q¾�A�������¯��n-����{�p¤qOÁ�q(}�q-�|¹A�¨��� ���|}`��pL��{���}��¯���¨p%�o��}���±G�O�|�~q-��}���°�{��O�A{/���A�(q(��}���}��A�oq�µXr3�O�A{8�����Z���¯�oq(�`���A{��A����A�oq��|��{��(�A{�{��¯���¨q(}t�I�oq(���I�oq-{��I�oqB{~}`���O�A{8���o²Oq(��}�qB{(µ�#Ð ªB© Î ­�� � ©® ���|}`��pL��{���}��¯���´���Op��o�¯�A��}`���¯��q)p%�o�¼}`�¼±¿���o�~q-��}`�¼°~ÁAp¤q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�I�oqB{(Áom[z[�o�`�¯�A��}��¯���=Áo�A��±�����¯�¯�(�¯�¯{�pLq�Á[���Z��q(��}���}��Z�|q

Page 6: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� ¢

� � '%�=�<��: ��������'uk���[z�{�q-��}�����{)��°��¯�A�|�A{�}��`z �UpLq-��mA���o�¯�-���GÁ���mAq(pL�¯{�}��`z�Á=}�q-��qB����pLp%�o�o���(��}`���O��Á�q(�[²[���`���opLq-�O}BÁ�}`�`���A{~±�N����}-Á/q�}���µ"!,���`q�(���A�(q(�`�oq-�g·��¼}`m �(��pL�o�¯q�Ç �o�`���A��q-pL{¤��°t¥��`q-��}L�|�¯pLq(�A{��¯��� }`mA��}�p%�A{~}��NqÆ���|}`�¼±pL�¯³(qB�cµtl8moqB{�q��O�|}��¯pL��³B��}`���O�´�o���O�o�¯q(p�{t����q�{�q(���|�Op {����A¥��¯q�±¿���|�~qB��}��¯²�qOÈ��A{��A�����¯z�ÁZ}�moq-��q%���`q�{�q-²�q-�`����(���I}������o�¯��}����`z��(����}�q-�����W�O���O�|�~q-��}��¯²�q-{�}�mZ��}Lp��A{�}¤�NqÆ{���}���{~¹AqB� {���p%�o�¼}����oq-���A{��¯z�µ u´�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�O�|}��¯pL��³B��}`���O�Å��{��´�|��{`���¯�o���¯�oq¨�(q(�I}�q-��qB�Å��� }`moqÀ�`q-{����¯�|}��¯���Å��°�}�mo��{ ¶ �¯�A� ��°8�o�`���o�¯q(p�{-µ¨Ã¿}�mZ��{���}`{�`�[��}�{3�¯�´}�moq$#-��}�mW�(q(�I}��o�`zÆ������·/�O� ¶ �¯�Wq-�(���o�Op�z��°&%��|¥Oq(·�����}�mW���A�´�X���`q�}`�(' �O¡*)¿µ^ÃÄ�o��}������¯�¯z�Áe�¼}·8��{8���o�o�¯��qB�¨}`�Lq-���O�o��pL���){��(��q-�A��qB{����A� p����A��¥�q(pLq-�O}BÁo���A� ¥������o�A���¯��zL}`�Lq(�o¥O���oq-q(�`���A¥L{`���¯q(�Z��q-{-µ

�^{X���L{����o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q����|}`��pL�¯³-��}��¯����Á�}`moq�}�qB��mo�o���O�Aq-{�}���{����¯²�q8�¾p��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq/�O�|}��¯pL��³B��}`���O��A���O�o��q-p+�\u-,^��!��-��� �Zq ������{`{���¹Aq-�Å�¯�I}��´q�Ço�O��}����Z�Å���o�o�`�DÇ|��p���}`q.�U����{���Z��pLq-� {�}��|��mA�O{~}`�¯�L���Z�mAq(�o�`�¯{�}����/!3���¯¥����`��}�mop�{-µ�%iÇ|�O��}tpLq(}�mo�|�o{^{��A��mW�O{10�� 2��3�42����$0�5�67�3�8'9#:#:#�);'9#B���*)<'9#-¢O *)<'9#- [��)GÁZ}�mAq>=$?2A@ BC5��D���FEHGI'9#:#B¡J)<' ���*)¿Á=���A� �AK���2�GL�M�ON�� 5�BA��2�GLG1���HB$'P#B¢�¢J);'P#B��)i���`q�q(ÊNqB��}��¯²�q¤°¸�O�^�o�`���A��q-pL{¾��°/{�p������{��¯³(q-{-µ É moq(�K�o���O�o�¯q(p�{À�Nq-�(��pLq�mZ�����|q(�BÁ��A{��A���¯��z½�Nq-�-���A{�qk��°�}�moq-���´r3�i±¿�|�PQÀ���o��}´����pL�o�¯q�Ç|��}~z�Á���o�o�`�DÇ|��p���}`qi���¯¥��O����}�mop�{�����q�pL���A�o��}����`z�µ=ÃÄ����qB��q-�O}�z�q-���`{=� ¶ ���Z����°o���A�o���DÇ|�¯p���}�qXp%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�O�|}��¯pL��³B��}`���O��Á ¶ �o��·�� ��{ipLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({-ÁImA��{/�ZqB���Op¤q¾���¨�O��}`��²Oq3��qB{�qB������m����`q-�oµ �3��}�mA���o¥Om�}�moq-��q��{<�o��}X���(��pLpL���o�¯z����-��q-�|}�qB�%�|q(¹A�o��}��¯���L��°NpLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{R'P#/S�)¿Á�}�mAq(z��-���L�Zq��(���A{��¯�oq(�`q-�¤��{�mo�¯¥�m|±�¯q(²Oq(�={�}�����}`q(¥O��qB{�}�mA��}t¥��o���|q���{�q�}t��°<{��¯p¤�A��q-�tmoq-�o����{�}����¾}�q-��mA�o�¯�I�oqB{��¯�Æ}�moq�{�q-���`��m��°i�L�O�|}��¯p��opƵ�tpL���o¥)}`moq-{�q8}�qB��mo�o���O�Aq-{-Á�q(²O���¯�|}��¯���Z���`z����¯¥����`��}�mop�{�°¸���/{��O��²[�¯�o¥�u-,^��{i����q8²�q-��z��Z�O�o�o�����BÁ�¥��¯²[���A¥������{�q�}��Æ�À·����|q¤²����`��q(}~z��°/���¯¥��O����}�mApL{-Ác{��Z��mk��{)r^xT ��±¿Ã�ÃU' SO �)GÁ=x[�% �^�-'9#-¢��J)¿Ác���V%/x ' �W#D)¿Á����Z�p����Iz¨��}�mAq(��{�' �O�J)<' ¢�¡A)Gµ

ÃÄ�À¥Oq(�oq-�`���\ÁO���|}`��pL�¯³-��}��¯���À�o�`���A��q-pL{��U{����A¥��¯q3���/p��o��}��¯���|�~qB��}`��²OqJ!X�-���À�Nq^�|�¯²[�¯�oq-���¯�I}���}~·����-��}�±q-¥��O���¯q-{X'P#/S�)GÈÀ}�mo�I{�q·�mo�O{�q {����¯�|}`���O�A{%����q q(�A�(�|�|q-� ·���}�mY� ��2�@[Z]\*2A@^6���À²����`�����o�¯q-{-Ái����{�� ¶ �o��·��g��{��5A��<����5�6H�_5�N��<��GL�P`/2A���M5A�8N3� 5:0�@P��GU��Áo���Z��}�mA�O{�qt·�moq-��q){��O���o}��¯���A{����`q3q(�Z���|�|q-�¨�A{����o¥4���a����� �b�]��²����`�¼±���o�¯q-{-µ �tpL���o¥%}�moq¾����}�}`q(�8���Aq-{�·/q^¹A�A� �%�(�¯�O{�{���°=�o�`���o�¯q(p�{/�A��pLq-�c��5�G80b���32��]5��D�M2A@d5�N3����GL�P`J2��<�M5���A���O�o��q-p�{(µiÉ mAq(�Æ}�mAq-{�q��o���O�o�¯q(p�{3���`q)p��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq�Á|}`moq(zÆ���`q)�A{��A���¯��z�(�����¯q-�Æu´�o��}��F,^�|�~qB��}��¯²�q� �Op��o�¯�A��}����`�����3,^�o}��¯p¤�¯³-��}��¯��� �i���O�o�¯q(p�{��\u � ,^��{�!��U����{��%u´�o��}��F,^�|�~qB��}��¯²�q � ��p%�o�¯�A��}`���`�¯���3,^�|}`�¼±pL�¯³-��}��¯����±Äu-, � ,t±=�o�`���A��q-pL{�' �7#D)F!�µXu´�I{~}���°�pLq�}���moq-�o����{�}����({�°¸���/{����¯²[���A¥�u-,^��{����`qt�|qB{��¯¥��oqB�L}���oq-���=·��¼}`mÆ�(���I}��¯�[�o���Z{8�o���O�o�¯q(p�{�eAmo��·/q-²�q-�-Á[p����[z¨�`q-���c�o�`���o�¯q(p�{����`q�u � ,^�<µAÃÄ�}�mA�¯{��Z���Nq(�BÁo·/q�`q(²[�¯q(·g���A�¤���A����z[³(q����Nq(�¤��{�{��oq-{<�`q(����}`q-��}��)pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{�°¸���i{����¯²I�¯�o¥)u-, � ��{-Á�����}�mA���o¥Om%p����[z��°e}�moqB{�q3��{`{��oqB{�����q3���o�o�¯�¯�-���o�¯q8}���uf,^��{(µhgA���i}`mo��{i�`q-��{����=Á�·/qt·����¯�Z�`q�°¸q-�X}��%u-,^��{i·�mAq(�¨�|qB���¯���A¥·���}�mg¥�q(�Aq(�������I�oqB{~}`���O�A{��¯� }�moq �A���Nq(�BÁ<���A� ·�qÀ·��¯���8���o�A��z�}�moq¨}�q-��p&u � ,^��·�moq-�g�|q-{`���`�¯�o���A¥{��Nq-����¹Z�¾�o�`���Nq(��}��¯q-{8��°�}`mo�¯{ ¶ �¯�A���°<�o�`���o�¯q(p�{-µ

u´�A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq´���|}`��pL�¯³-��}`���O� {�q-q ¶ {¤}�� �O�|}��¯pL��³-qk{�q-²�q-�`���8�(��pL�N���oq-�O}�{���°�� ���I{~}L°¸�o�Z��}��¯���²Oq-��}����Bµ � �O�I}������`z }`�´{��¯�o¥��¯q�±¿���o�~q-��}`��²Oq��O�|}��¯pL��³B��}��¯���=Ác}�moq�{����¯�|}��¯���Å��°8�Æu � ,^�K��{)�o��}��Æ{����A¥��¯q{����¯�|}`���O��Á|�o�|}^�L{�q�}3��°<{����¯�|}��¯���Z{(Á ¶ �o��·��Æ��{8�X����q(}��L���|}`��p����={�q(}-Áo·�mA�¯��mÆ��{��(���¯�¯q-��X���`q�}��L�N�����|q(��O�/�X����q(}��%°¸���O�O}8·�moq-� ��}���{8�o�¯��}�}�q-� �¯�À}�mAq¾�O�|�~q-��}��¯²�q){��Z����qOµ��3�[zÀ{��O���o}��¯���¨��°=}`mo�¯{8{�q�}���{/�O�|}��¯p�����¯� }�moqW{�q(�Z{�q}�mZ��}À�o� �¯pL�o����²Oq(pLq(�I}À�(���º�Nq´p����|q´�O� � �(��pL�N���oq-�O}���°^}`moq´���|�~qB��}`��²Oq²Oq-��}����·���}�mA���|}t�|q-¥������o��}��¯���À��°<��}���qB��{�}����o��}`moq(�8��°���}`{��(��pL�Z�O�oq(�I}�{(µil8moq)p����¯�¥��O���c��� }�mAq���qB{��O���|}`���O���°��%p��o��}���±G�O�|�~q-��}��¯²�q¾�o�`���o�¯q(p,��{/}��L���|}����¯�À}`moq�{�q(}���°�{����¯�|}��¯���A{8�(��pL�o�`�¯{����A¥�}�mAq¾�X����q(}����O�|}��¯p����{�q�}8���A��Á[�(���A{�q-�I�oq-�I}��¯z�Á�}`moq¾�<����q(}���°¸�`���I}Bµ<�^q�}`q(�`pL���A��}��¯���À��°c}�moq^�X���`q�}��%���|}`��p����N{�q�}��¯{/���o�¯z¤}�moq¹Z�`{�}¾�AmA��{�q��¯�W}`moqL�o�`�O��}`�¯�-���<u � ,^� �`q-{����¯�|}��¯���=ÁN·�mA�¯��m���qB�O�A���`q-{-ÁZ�¯� �¨{�q-���O�A�´}`��pLqOÁe}�moq���mo�O�¯�(q��°)� {����¯�|}`���O�½�O�(�(�����|���A¥��¯z }�� }`moqW�o�`q�°¸q-��q-�A��qB{L��°¾}�moqk�oq-����{����O� p�� ¶ q(�Bµ l8mo��{¨��mA������qÆ��qB�I�o���`q-{

idikj�lmDnbo�p

Page 7: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

S � 2����b��67�����2A@P0��

¶ �o��·��¯q-�o¥�q^���Z�O�|}8}�moq)}`��qB��}`q-� �o���O�o�¯q(p����Z�À}`moq¾°U����}`����{���q-�¯��}�q-�¨}��L��}-µil8m[�A{-Áo�%{����¯�|}`���O���mo�I{�q-��[z � �|qB����{��¯���ºpL� ¶ q-�L�(���o��� �NqÆ�o��}À�O�(��q-�|}`���o�¯q¨°¸�O�À���o��}�moq-�L�oq-����{����O�gp�� ¶ q(�Bµgu´���`q(��²Oq(�BÁ<}�moq��mA������q���°��À{��O���o}��¯���W���O�o���W����{��¨�Zq%²D���������A��q��¯�k� �|z[�A��pL����q(�[²[���`���Ap¤q-�I}-µtl8moq-��Áe�¼}¾�¯{^�A{�q�°¸�o��}��mZ�D²�q){�q-²�q(�����c���¼}`q(�`�A��}`��²Oq-{����}`moq���mo������q¾��°X������o}��¯pL�����X���`q�}`�¤{����¯�|}��¯���=µ

l8moqÅ�|�PQ��(�o��}~z �¯�½}�mAq��|qB{��¯¥�� ��°�� u � ,^�,�`q-{����¯�|}��¯���h����¥O���`�¼}`mop»p����¯�o�¯z �oq(�Nq(�A�o{ �¯� }�moq°¸�O���¯��·��¯�o¥�°U�O��}�{(È

� ÃÄ��p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q/���|}`��pL�¯³-��}`���O�)}�moq-��q/�¯{��o��}�q(Ç[��{�}��t{��¯p¤�A��q��|q�¹A�A�¼}`���O������}�moq/���|}`��p����¯��}~z¾��°�¨{����¯�|}��¯���W�O{��¯�k{��¯�o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q����o}��¯p¤�¯³-��}��¯��� eN�¯�A{~}`q-�O�cÁZ�¯�Wp%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q��O�|}��¯pL��³B��}`���O�}�moq��O�`�oq(�8��q-�¯��}��¯����Zq(}~·/q-q(�}�mAq){����¯�|}`���O�A{8��°�}�moq��A���O�o��q-p���{8���o�¯zÀ�A����}`�¯���\µ

� u´�O{�}tu � ,^� �o�`���o�¯q(p�{����`q�r3�X±¿mA���`�cµ� l8moq�{���³-qX��°[}�mAqi�X���`q�}��8�O�|}��¯p�����{�q�}=p��Dz^¥��`��·kq�Ç|�N���oq-�I}������¯��zt�O{e}�mAqi�o�`���o�¯q(p6{��¯³(qX�¯�A���`q-�O{�qB{(Á}�m[�A{�p�� ¶ �¯�o¥��|q(}�q(�`pL���A�¯{�}����^}�q-��mA�o�¯�I�oqB{��o�|°¸qB��{����A��qOµ,^�oqL��°�}�mAqL°¸�o�A�o��p¤q-�I}`���i�I�oqB{~}`���O�A{)�¯� u � ,^��{)��qB{��O���o}��¯���k�`q(����}`q-{^}��}`moqÀ���[���Nq(����}`���O�k�Nq�±

}~·�q(q-�g}`moq´�o�`���o�¯q(p {��O��²Oq(�L���A�º}�mAqƹA�A���3�oq-����{����O�ºp�� ¶ q(�BÁ�·�mo����m½�(���º}`� ¶ qÆ���Aq��°t}`moqÆ}�mo�`q(q°¸�O���¯��·��¯�o¥�°¸�O��p�{-È

� �h�o�`�¯���`�\È�ÃÄ��p����[z��(��{�q-{-Á�}`moq^{��o¥O¥�q-{�}�qB�L{��O���|}`���O�A{X}`�%{����¯²�q3u � ,^�/{/�(���A{��¯{�}���°=����p%�o�¯�o���A¥}�moq��o�¼Êeq(�`q(�I}3���o�~q-��}`��²Oq¾°¸�o�A��}`���O�A{����-���O�`�|�¯�o¥%}��À{���pLqL67����@^���<K���67�����<�M5��AÁA���Æ�����|q-�/}`�L���|}����¯����o�¯z ���oqÀ°¸�o�A��}`���O� }����Zq ���|}`��pL�¯³(qB� �U��¥�¥��`q(¥I��}`���O��pLq�}`mo�|�!�µÅÃÄ� }�mA�¯{L�(�O{�qOÁ=}`moqÆ�|q-�(�¯{����O�p�� ¶ q-�¨��{ {��o�o�N�O{�q-� }`�gq-²D�����Z��}�q 2.N3�D�M5��D��}`moqÅ·/q-��¥OmO} ��°�q-�O��m ���|�~qB��}`��²Oqk���A� }`moq(� }�moq�|}��¯�¯�¼}~z�°¸�A�A��}`���O��µil8moq¾��qB{��o��}8�¯{/}�mAqt}`�`���A{~°¸�O��p���}��¯������°=}�moq�u � ,^�º���I}��L�¤{��¯�o¥��¯q�±¿���o�~q-��}`��²Oq�o�`���o�¯q(pÆÁc·�mo����mÅ�-�����Zq�{����¯²�q-�k�[zÆ}������|��}��¯���A���<���|}`��pL�¯³-��}`���O�kpLq�}`mo�|�o{-µ��3��·�q(²Oq(�BÁe����}�moqp����~���`��}~z¾��°o}�mAq8�-��{�q-{-ÁD}�moq��|}`���¯�¼}~z�°¸�o�A��}`���O�%��{��o��} ¶ �o��·����Nq�°¸�O��q/}�mAq/�O�|}��¯pL��³B��}��¯���%�o�`�[�(q-{`{(Á���A��}`moqL²D�����¯���Z{^�O�|�~q-��}��¯²�qB{����`q%�o��}����Op¤�Z�������o�¯q-µÀu´�O��q-��²�q-�-ÁZ}�moqÀ{�q-���`��mÅ{��Z����q��|q(¹A�oqB��[zÀ}�mAq���¥O¥��`q(¥O��}��¯���¨�-����o��}3�`q-�����¯zÀ�`q(�o�`q-{�q(�I}8}�mAq����A�¼}`�¯�����o�`���o�¯q(pƵiÿ°�}�moq%�|q-�(�¯{����O� p�� ¶ q(��¯{¾�o��})���o�¯q�}���¯�A�|���(��}`q42UN3�D�M5��D��}�moq%}~z[�Zq¤��°/·��¯{�moq-�����Op¤�A���Op¤��{�q��Zq(}~·/q-q(�Å���`�¼}`q(�`�¯�AÁN��})�¯{�o��}��`q(�¯q(²����O})}`�W{�q-q ¶ �O�oq����A�Å���A��z����oqLq�Êeq-��}��¯²�qÀ{����¯�|}��¯��� �(�����`z[���A¥ �O�|}���� ��¥O¥��`q(¥O��}��¯����Zq(}~·/q-q(�}�mAq-{�q)�(����}�q-�����oµ

� ���N�O{�}�q(�`�¯���`�\È�}�mAq��|q-�(�¯{��¯���pL� ¶ q-�3��mo�[�O{�q-{8���Aq){����¯�|}`���O�Æ��pL���o¥¤}�mAq�{�q(}3��°X{��O���o}��¯���A{8�o�`��±²[�¯�|qB���[z�}`moq^{����¯²�q-�-µ<l8mo��{����o�o�`�O����mL��{i�A{`���A��q3·�mAq(��}`moq^�-�����|���Z���¯�¼}~z¤��°e}�mAq^{�q�}/��{i�`q-�o�A��qB�'P#B I�/)¿µ&,^��}�mAq8�(���I}������`z��(�O{�qOÁD}��¾moq(�¯��}`moq��|q-�(�¯{��¯����p�� ¶ q(��}��)p�� ¶ q/�)��mo�O�¯�(q�Á���}<��{<���|²[��{����o�¯q}��Æq(�Z���o�¯q%mAq(���Dmo�¯p�}��q�Ç|�o�¯���`q�}`moqL·�mo���¯q%��°�}`moq�{��O���|}`���O�A{¾���(�(�����|�¯�o¥À}`� ��}`{)�o�`q�°¸q-��q-�A��qB{(Á{��¤}`mA��}3moq��-����Zq(}�}`q(�t���o�o�`q(moq-�A�À}`moq����`�o��}�����}`���O�À}��L�Nq����Nq(����}`q-� �Zq(}~·/q-q(�}�moq��(����}�q-�����oµ

� ÃÄ�I}�q(������}��¯²�qOÈ=�¯�%}`mo��{��(�O{�qOÁ�}`moq(�`q��¯{��)�o���O¥��`q-{`{��¯²�q����[���Nq(����}`���O�%�Nq�}~·�q(q-�L}�moq3�oq-����{����O�¤p�� ¶ q(����A�W}�moqL{����¯²�q(�L�Mg��¯¥Aµ9#/!�µ gA���Op7}`moq ¶ �A��·���qB�|¥�q��O�|}`�����Aq-�k�o�o���¯�o¥¨}�moq¤�o�`���o�¯q(p��`q-{����¯�|}��¯����Á}�moqÀ�oq-����{����O�Åp�� ¶ q(���|q(¹A�oqB{�moq(���DmA�¯{)�o�`q�°¸q-��q-�A��qB{(µ�l8moqB{�q��A��q(°¸q(�`q(�A�(q-{)���`q¤}`� ¶ q(�Å���I}`�W����±���O�o�I}t�[zÀ}�mAq%{����¯²�q(���¯�Æ}�mAq��o�`���o�¯q(p7��qB{��O���|}`���O��µ8l8mo�¯{t�o�`�[�(q-{`{8�¯{t�¼}`q(����}`q-�Æ�|�o�`���A¥¨{�q-²�q-�`���

������������������������� "! ����#$���%� j �� %&'����(*)+��������,�-! ./ �0��!,�1�����,2��#3���%�-��4�)�%�5#�#"��6�! j 6! 7/����� j 98$�5:�#�;=<+���>��4?��(*)�,��@A! .B� j ����?�%�5�� �! ���C#"����D�#$ "�E(��F4?!,(*!,G��$ "0�C)�%��H -� j 6I� j �� "0���J� j �K "�L:M "�N(*! j !,(*!,G5�$ �0�C�5�����,��O�!,�5���P!,(*)+���� 5;

QLR i$Q'S

Page 8: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� �

{~}���¥Oq-{-µ ��} }�moqWq-�A� ��°¾}`moqW¥O�o�¯�oq-�½q�Ç|�o�¯������}`���O�º��°)}�moq��<����q(}�� �O�|}��¯p����^{�q�}BÁ8}�moq��|q-�(�¼±{��¯����p�� ¶ q-�^mZ��{)�À}`mo���`���A¥�m ¶ �o��·��¯q-�|¥Oq�}`��O�|���|}��{��O���|}`���O�k��°i}�moqL�X���`q�}`�¨�O�|}��¯p����X{�q(}-Á��q-�o�`q-{�q(�I}��¯�o¥L���´���-��q(�o}`���A��q)���Op¤�A���Op¤��{�q�µ

Decision maker SolverA priori

knowledgeResults

Knowledge learning

Preferences

g��¯¥��o�`qO#�È�ÃÄ�I}�q(������}��¯²�q3���o�o�`�O����m=Èc�i���O¥��`q-{`{��¯²�q8���[�O�Zq-�`��}��¯���L�Zq(}~·/q-q(�¤}�mAqt{��O��²Oq(�i���A�¤}�moq^�|q-�(�¯{����O�p�� ¶ q(�Bµ

ÃÄ��}�mo��{=�Z���Nq(�BÁ�·/q�����q/���I}`q(�`q-{�}�q-�)�¯��pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({����¯�¯��·����o¥8}`�^���o�o�`�DÇ[�¯p���}`qX}�moq��X���`q�}`�3�Z�O��±�oq(�)��°�p��o��}���±¿�(����}�q-�����¨�(��p%�o���Z��}��O�����������o}��¯p¤�¯³-��}��¯�����o���O�o�¯q(p�{(µ%l8moq���{��ZqB��})��°��oq-����{����O�|±Gp�� ¶ �¯�o¥ZÁ°¸�O�)}�moqÀ��mA������q���°8�¹A�A����{��O���o}��¯��� ��pL���o¥}`moq��X���`q�}��´{����¯�|}��¯���Z{(Á��¯{��A��}����A�|��qB{�{�q-��µ ,^�A��·/�O� ¶¥Oq(�oq-�`�����¯³(qB{X}`moq)·/�O� ¶ ���p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oqtq(²O���¯�|}��¯���Z���`zL����¥O���`�¼}`mop�{(ÁI·�mo����m mZ��{���qB��q-��²Oq-�À�%¥��`q-��}�¯�I}�q-��qB{~}��¯�¨}`moq��¯�O{~}�zOq-����{-ÁO�[z¨���A���¯z[³(�¯�o¥%��}�moq-��pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{8���o�o�`�O�O��moq-{/·�mo����mÆ�o����²[���|q¾���`��¥�±�¯�A��������}�q(�`�A��}��¯²�q3}`�Lq(²��O���o}��¯���A����z����¯¥��O����}�mApL{-µ�É�q)�o�`q-{�q(�I}3��¥Oq(�oq-�`�����¯³(qB�¨{�}`��}�q�±¿��°Â±G}�mAq�±Ä����}/��°�}�moqpLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({����o�o�`�O�O��moq-{����o�o�¯��qB� }���u � ,^��{��`q-{����¯�|}`���O��µ´l8moq¨�o�`�¯�A���¯�A�������|�~qB��}��¯²�q¨��°3{��Z��mpLq(}�mo�|�o{���{i}`�%¥Oq(�oq-�`��}�qt��²D�����¯q�}~zL��°����|}`��p����e�X���`q�}`��{����¯�|}��¯���A{-Á|��{����¯�O{�qt��{/�N�O{`{��¯�o�¯qt}`��}�mAqt}`���oq�X����q(}��%°¸���O�O}3���A�Æ�|��²Oq(��{���¹AqB�À�¯� }`moq�{�q-������m {��A�O��q�µ

x[�¯�A�(q¤p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q%���|}`��pL�¯³-��}��¯���k�`q-{�q-���`��m´¥O����·8}`m´����}�mAq¤�O  � {(Ác{�q(²�q-�`���=�N�[� ¶ {¾·/q-��q%�o�o�|±�¯��{�moqB�¨���Z�O�|}8uf,^��{8��qB{��O���o}��¯����Á[{��Z��m ��{/}`moq)·/q-����± ¶ �o��·��¨���oqB{��[z � �[q(�¯��� � �[q(�¯���¤q�}����Gµ ' �O�/)����Z��^q(�c' ¢�¡*)¿µil8moqB{�q){��A��²Oq(z|{8���`q^p����¯�o�¯z¨�|qB�|�¯�-��}`q-� }��Lq(²O���¯�|}��¯���Z���`zL����¥O���`�¼}`mop�{/°¸���3u-,����|}`��pL�¯³-��±}`���O��µ �t{<pLq(�I}��¯���Aq-�¤�Zq(°¸���`q�Á�}`�)q(�o�`�¯��m%}�mAq-{�q8{��o�`²�q-z[{��¯��}`moq�p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q8pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{<���`q-�oÁ�(q(��}`�������qB��q-�O}3�`q-{�q-���`��m ���`��q-�I}`��}`���O�A{8�¯� }`mo��{�¹Aq-�¯�Æ���`q����|q(�I}���¹AqB� �¯�Æ}�mA�¯{��Z���Nq(�Bµ�x[�Op¤q(}��¯pLq-{-Áo·/q·��¯�¯���`q�°¸q-�¾}��Æu-,^��{¾·�mo����m����`q��A��}�u � ,^��{-µ�ÃÄ�A�|q-q-�cÁc�¯�kp����[zW�-��{�q-{-ÁN�Aq(· pLq�}���moq-�o�`�¯{�}����({t°¸���u � ,^��{/����q^���o�o�¯���(��}`���O�A{i�O�¨���Op��o�¯�A��}����`�����A�A���O�o��q-p�{i��°�pLq(}�mo�|�o{/¹A��{~}8�|q-{��¯¥��oqB�¤}��L{��O��²Oqt{��OpLq·�q(�¯��± ¶ �o��·���p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q¾�����I}`���[�o�O�A{X}`q-{�}/°¸�o�Z��}��¯���Z{(µXl8m[�A{-Á�}`moq^�O���¯¥��¯����°������O�A{�q-�I�oq(�I}��[�op¤±�Nq(�8��°��oq-· p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q¾p¤q(}�mo�|����`q^�(��pL���A¥�°¸�`��p �(���I}��¯�[�o���Z{�p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q¾���|}`��pL�¯³-��}��¯����µ

l8moq%�A���Nq(�^�¯{t���`¥O���o��³-q-�Æ��{3°¸���¯����·3{-µ8ÃÄ��x[qB��}��¯���Å�|ÁZ{���pLq��oq�¹A�o��}��¯���Z{t�oqB��qB{�{`���`z�}��¨}�moq¤���Op%±�A��q-moq(�A{��¯��� ��°8}`moq ����}`�¯�(��q¨����q¨¥��¯²�q(�=µ � ������{`{��¼¹Z�-��}`���O�Å��°���qB{��O���|}`���O� pLq�}�mA�[�A{%����q��¯�I}��`�[�o�A��qB��¯� x|q-��}`���O�º¢Aµ ��q-��°¸�O��p����A��qÀq-²����¯�A��}`���O�g��{�{��oq-{¤���`q �o�¯�(�A{�{�q-�g���½x[q-��}��¯��� SAµ l8moq�oq�Ç[}�{�qB��}`���O���{¾�|q(²O��}�qB�Æ}��¨}�moqL���A�o�����(��}��¯���´��°�pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{�}`� p%�o�¼}`�¼±¿���o�~q-��}`��²Oq����o}��¯p¤�¯³-��}��¯����Áe·�mo����mW�o�`��±�N�O{�q%{���pLqL����}�q-���A��}��¯²�q�}`�¨}`moq¤q(²��O���o}��¯���A����zÆ���o�A���I����moqB{(µ^ÃÄ�Åx[qB��}��¯���Å¡oÁem[z[�o�����WpLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({�oq-�|���(��}�q-�Å}`�k{����¯²�q�u � ,^��{%���`qÀ���A����z[³(qB�cµ �,��q-²[��q-· ��°��A�������¯��q-�XpLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{�°¸�O��u � ,^��{��{��A���O�Z�I{�qB� ���ºx|q-��}`���O� �[µ´ÃÄ� x[q-��}��¯���g�AÁ�pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({�°¸���¤u � ,^��{%·��¼}`m �o�A�(q(��}`���¯�I}��¯q-{%���`q���A���¯z[³(qB�cµ g����A�����¯z�Á=��� x[q-��}��¯���Å�¨·�q%�A��qB{�q-�O}¾}�mAqL�(���A�(���Z{��¯���A{¾���Z��{���pLq¤��qB{�qB������m´�o���I{��Nq-��}`{¾�¯�}`moq)¹Aq-�¯�cµ

idikj�lmDnbo�p

Page 9: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

¡ � 2����b��67�����2A@P0��

� � ���Æ' ��������'���uf,^� �-���Æ�Zq��oq�¹A�oqB�Æ��{/°¸���¯����·3{-È

(MOP ) =

{

min F (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))s.c. x ∈ C

� #J!

·�mAq(�`qn ≥ 2

��{Æ}�moqg�I�Ap��Nq(�W��°¤�O�|�~q-��}��¯²�q-{´°¸�o�A��}`���O�A{-Áx = (x1..., xk)

�¯{Æ}`moq ²Oq-��}`���´�`q(�|±�`q-{�q(�I}`���o¥º}�mAq �|q-�(�¯{����O�K²����������o�¯q-{-Á

C�`q(�o�`q-{�q(�I}`{ }`moq {�q(}´��°�}`moq �`q-���¯�¯³-���A��q {��O���o}��¯���A{Æ��{`{��[�(�¼±

��}�qB� ·��¼}`mºqB�I�A���¯�¼}~z ���A� �¯�oq-�I�A������}~z ���O�A{~}`�`�����I}�{���{%·�q(�¯�8�O{�q(Ç|�o��������}L�Z�O�o�A�o{4�U�oq-����{����O�g{��Z����q*!�µF (x) = (f1(x), f2(x)..., fn(x))

��{�}`moq)²�qB��}��O�/��°=}`moq����`�¼}`q(�`�¯��}��¤�Zq)���o}��¯p¤�¯³(qB�cµ���q(}8�Z{/�A��}�q¾}`mA��}�¯�Å}�moqÀ�-��{�qL��°�u � ,^��{(Á=}�moq�²Oq-��}����

(x1..., xk)mA�D²�q�� ¹A�o��}�q��[�op%�Zq-�`{)��°��N�O{`{��¯�o�¯qL²D�����Aq-{-Á=�Gµ qOµ�Á

qB����m²����`�¯���o��q¾��{��|q�¹A�Aq-����´�L�|��{��(��q(}�q����Z� �N���A�A�|q-��¯�I}�q(�`²����GµÃÄ�Åp��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq%�O�|}��¯pL��³B��}`���O��Áe}�moq��|qB����{��¯���kpL� ¶ q-�^�A{�q-{^}`�·���� ¶ ���k}�q-��p�{¾��°�q(²����¯�A��}`���O�

��°3�W{��O���o}��¯��� ��� qB����m ���`��}�q(�`�¯����Á�·�mo����m �¯{��A��}`�o�`�����¯zÅ�o�¯�O��qB� ��� }`moq¨�O�|�~q-��}��¯²�qÀ{��A���(q�µWl8moq¨{�q�}Y = F (C)

��q-�o��qB{�q-�I}`{�}`moq¤��qB���¯��³B���o�¯q��N���¯�O}�{t�¯�W}`moq¤���|�~qB��}��¯²�q¤{��Z����qOÁc���A�y = (y1..., yn)

ÁN·���}�myi = fi(x)

ÁA��{��¤�Z�O���I}3��°�}�mAq����|�~qB��}��¯²�q){��A���(q�µ�=q�}��A{�{��o�o�N�O{�q¤}�mA��}�}�moq��O�|}��¯p��Ap£°¸����qB����m�°¸�o�A��}��¯��� ���|�~qB��}`��²Oq¤��{ ¶ �o��·���µÀl8moq-��Á=·�q��(���

�oq�¹A�oq)}`moq����O�A��q-�|}���°��M�:��2�@ \*�����;5A��È�Ì����� ª UÐ��� �3E���M�:��2�@H\������]5��

y∗ = (y∗1 , y∗

2 ..., y∗n)�a�&��E��\*�����;5A�� dEH�M��E>5�N3����GL�P`J�D� ��2 ��EL5 0�����������\��

��67�3�b�<�M5��fi ��������

y∗i = min(fi(x)), x ∈ C

st�|°¸����}��o�Z��}�q-��zOÁA}`mo��{t{��¼}`�A��}`���O�´�`����q-��z mA���o�Nq(�Z{3�¯�´}�moq���qB�����o�`���A��q-pL{t·�moq(�`q)}�mAq%���`��}�q(�`�������`q�¯�g�(�����A����}Bµ �t{¤�k���O�A{�q-�I�oq(�Z��q�Á<��}�moq-�¤�(���A�(q(�|}�{�p%�A{~}L�Nq¨q-{�}`���o�¯�¯{�moq-� }�� �|q�¹A�Aq¨·�mA��}¤���º���|±}`��p�����{��O���o}��¯��� ��{(µ.,^�oq���°8}�mAq-{�q¨���O�A��q-�|}`{���{)}`moq-�:5AG1���32��3��� � ��@P2A���M5A� �U���¯{�� ¶ �o��·�� ��{1� 2A� ���;5� 5�GL����2A����� !�È�Ì����� ª UÐ���Y=k�b5A@^67�<�M5��

y = (y1..., yn)� 5�GL����2��]�b� 2.��5�@^67�<�M5��

z = (z1..., zn)� � 2A���-5��@[K.� �

∀I ∈ [1..n] � yi ≤ zi

2A���∃I ∈ [1..n]/yi < zi

ÿ°X�L{��O���|}`���O�A�|�OpL���A��}�qB{��¤{����¯�|}`���O�

B}�moq-�Ʒ/q��(���{`�DzL}�mZ��}

A�¯{t���Nq�}�}�q(�^{��O���|}`���O�¨}`mA���

BÁI���A�L²[�¯�(q3²�q-�`{`�oµ�ÿ°��o���Aq3��°e}�mAqt{��O���o}��¯���A{/�|��pL�¯�A��}`q-{<}`moqt��}�moq-��·�q3{��Dz�}�mA��}�}�mAq^{����¯�|}��¯���A{����`q�35�� Z �:5�GL����2A�;����µ l8moq��A{�qL��°8�X���`q�}��´�|�OpL���A���A��qÀ�����¯��·3{¾�A{)}`�W�|q�¹A�AqÀ�Æ�A����}������X�O�`�|q-���`q(����}`���O���pL���o¥L�%{�q�}���°�{����¯�|}��¯���A{-µhgo�O��q�Ço��pL�o�¯q�Áo{���pLq¾q(²��O���o}��¯���A����z����¯¥��O����}�mApL{/°¸�O�8{����¯²[���A¥¤u-,^�/{8�A{�q�X����q(}�� �|��pL�¯�A���A�(q¨}`� q-{�}`���A����{�m �k����� ¶ �¯�o¥Å��°){��O���|}`���O�A{-Á�{��Z��m �O{¤r¾xWT ��±¿Ã�à ' SI *)t���Z� x[�% �^�'9#-¢O�J)Gµ3l8mAq��o�`�[�(q-�|�A��q���{(ÁZ¥��¯²�q-�Æ�¨{�q(}t��°i{����¯�|}��¯���A{-Á|}`�¨{�q-��qB��}3}`mo�O{�q�}`mA��}^����q��A���|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-� }���O�|}`����� �¹A��{�}��`��� ¶ ���o¥´{�q�}Bµ���°Â}`q(���`q(pL��²[�¯�o¥}�moqB{�qÀ{����¯�|}��¯���Z{)°¸���Op£}`moq����`��¥O���Z���i{�q�}-Á�}�mAq¨{���pLq{�}�q-�A{����`q)��q-�ZqB��}`q-�¨}��L���|}����¯�}�moq�{�q-�(���A�¨�`��� ¶ ���o¥�{�q�}3���Z�{��L����µ,^�A�(q ·�qmA�D²�q¨}�moqÆ�o��}��¯���g��°t�X���`q�}`���|�Op¤�¯�A���A��qOÁi·/qÆ�(���º�|q(¹A�oq }�moq´�(���A�(q(�|}L��°t�O�|}��¯p����

{����¯�|}`���O��Á|·�mo����m ��{ ¶ �o��·��Æ��{ � 2A� �b�]5X5�N��<��G>2A@^���<K�È�Ì����� ª UÐ��� = ��5�@^67�<�M5��

x∗ ∈ C�a���V2�� ���;545�N��<��G>2A@ � �12����45A�@^K � � �FEW��� �1��5�� ���:�a�D�V2X��5�@^67�<�M5��

x ∈ C ��D6��E�2*�

F (x)� 5�GL����2A�;�b�

F (x∗)�

QLR i$Q'S

Page 10: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� �

l8moqÆ�X���`q�}`�k�O�|}��¯p����3{����¯�|}��¯��� �|q�¹A�A�¼}`���O�º�`�¯{�q-{¤�|�¯��qB��}`��z °¸�`��p&}`moq´�|��pL�¯�A���Z��qÆ�����Z��q(�o}-µgÿ}pLqB���A{�}`mA��}i��}i�¯{<�¯pL�Z�I{�{��¯�o��q8}`�¾¹A�A�L�){��O���|}`���O�%·�mA�¯��mL�¯p¤�A����²Oq-{�}�moq8�Nq(��°¸���`p����A�(q-{<���L�)���`�¼}`q(�`���O�·���}�mA���|}%�oq-���`q-�O{��¯�o¥}�mAq¨�I�A���¯�¼}~z���°3��}%��qB��{�}����o��}�moq-�����`�¼}`q(�`���O��µ¨�X����q(}��´���o}��¯pL����{����¯�|}��¯���A{����`q���¯{�� ¶ �A��·�� �o�Z�|q(�8}`moq��A��pLq���°���5A�Z � 5�GL����2��]����Á 2:�����;N3�;2 0b@P�(ÁZ���A�c��� ��������\��(µÃÄ�Æ��q-��}����¯��-��{�q-{-ÁI�¯�A{�}�qB���À��°��A{��¯�o¥¤}�moq)���|q-���N²Oq-��}����BÁI}�moq��|qB����{��¯���p�� ¶ q(�8�|q�¹A�Aq-{��$� ���b�b� �������

\����b�]5���ÁAq�Ç|�o�`q-{����o¥%}�mAq�¥��O���e���I}�q-�A�|qB�¨}`���Zq��`q-�O��moq-�À°¸����qB����m���|�~q(}��¯²�q�È�Ì����� ª UÐ��� = � ���b��� �b�3���.\������]5��

z∗ = (z∗1 , z∗2 ..., z∗n)�a�42f\����b�]5�� dEH�M��E � ������b� �FEW� BC5/2A@ �;5

����2 ��E �b5��1��2 ��E�5:0��������<��\*�fi

ÃÄ�½{��¯�o¥O��q(±G�O�|}��¯pL��³B��}��¯��� }�moqÆ���|q-����°t�O�|}��¯p�����{����¯�|}��¯���º�¯{%°¸�`q-�I�oq(�I}`��z �`q(����}`q-� }`� �D60�5�N3����G82�@��5A@^67���M5A�W��Á����¯{�� ¶ �o��·��g�O{X@P5J��2�@RGL�����G82�µ ÃÄ�g¥Oq(�oq-�`���\Á<pLq�}���moq-�o����{�}����¨���¯¥��O����}�mApL{�}��`zÅ}����D²O�����¥Oq�}�}��¯�o¥À}`�`���o�ZqB�W�¯���¯�|�(�����O�|}��¯p��¨·�moq-��{�q-���`��mo�¯�o¥�°¸�O�¾���k�O�|}��¯p����X{��O���o}��¯����µ)ÃÄ�kp%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�O�|}��¯pL��³B��}`���O��ÁB}�moq������Z��q(�o}���°o�¯�|�(���OpL�¯�o��p��t�¯{���q-�o������qB�)�[zL@95/��2�@�@[K�� 2�� ���]5O5�N��<��G82�@H��5�@^67�<�M5��Zµ�l8mA�¯{�A��}��¯��� �¯{8�`q(����}`q-�À}��¤}�moq��(���A�(q(�|}���°������[BJE0�5�� EW5J5J��ÁA�Z{��A�����¯z¨���o�o�¯��qB�¨�¯� pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({��A�O{�qB�À�O��¯�|�(����{�qB������m�È�Ì����� ª UÐ���Y= �3�b�[B*EW0�5�� E5/5J�

N�a�82 ��67�����<�M5��

N�

C −→ P (C) � dEH�M��E 2����b5J���M2��]�D�*�b5�� ��2:��E

x ∈ C2>�D60b���b�R5��

N(x)5��_�����[B*EW0�5����155�

x�

ÃÄ� g��¯¥Aµ-��·�qX���Z���¯�A�|q����¾q(Ço��pL�o�¯qi�����Z{���{~}`���A¥���°�#B �{��O���o}��¯���A{e�`q(�o�`q-{�q(�I}`q-�^������}~·���±Ä�|�¯p¤q-�A{����O�A����O�|�~q-��}��¯²�q3{��A���(q�µ�l8moqt{�q(¥�pLq-�O}�{i���O�o�oqB��}��¯�o¥)}`moqt{����¯�|}��¯���A{i��q-�o��qB{�q-�I}�}`moqt{�}��`�A��}`�o�`q���°e}�moqt�oq(�¯¥�m|±�N���`mo�[�|�cµ�Ì����� ª UÐ��� = ��5�@^67�<�M5��

x�a�O@P5J��2�@�@^K8� 2�� ���]5 5�N��<��G>2A@ � �U2A���$5��@[K � �

∀W ∈ N(x) � w�:5J�D� �35��

� 5�GL����2A�;�x�

ÃÄ��g��¯¥Aµc�[ÁN}�moq%�X���`q�}����O�|}��¯p����<{��O���o}��¯���A{^���`q���{`{��|������}`q-� }��¨}�moq%�Z�O���I}�{U#OÁZ�¨���A�´�oÁe���Z�Æ}�moq{����¯�|}`���O�A{RS����A�-#- L���`q¾���|�(�����¯zÀ�X���`q�}`�L���|}`��p����GµÃ¿}Æ�¯{ ¶ �o��·�� }`mA��} °¸���p��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oqk�¯���oqB��� �o���O¥�����pL�¯�o¥ �o�`���o�¯q(p�{��\u-,����/{�!À}�moq {�q�} ��°

�A���|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�{��O���o}��¯���A{���{�q(Ç|�O��}`��z�}`moq�{�q�}3��°<{����¯�|}��¯���Z{8}�mA��}t�(����Nq��O�|}`�����oqB��Iz {��O��²[�¯�o¥L}�moq°¸�O���¯��·��¯�o¥%�¯�¯�oq-�����o���O¥�����pLpL���A¥��o�`���o�¯q(p ' ¡O�*)GÈ

(MOLPλ)

{

min F (x) =∑n

i=1 λifi(x){-µ ��µx ∈ C

�\�:!·���}�m

λi ≥ 0°¸�O���1#OÁ�µ¯µ�Á ��Áo���A� ∑n

i=1 λi = 1µ

l8moqB{�q�{����¯�|}`���O�A{����`q ¶ �A��·���O{���6JN NW5A�D�;���){����¯�|}��¯���Z{_' �O�J)Gµ/l8moq�·�mo���¯q���°�}�moqB{�q�{����¯�|}`���O�A{��(����Nq�¥Oq(�oq-�`��}�q-� �[z¨}`moq��`q-{����¯�|}��¯�����°

(MLOPλ)°¸���3²����`�¯���A{�²������oqB{���°<}`moq�·�q(�¯¥�mI}3²�qB��}��O�

�l8moq

�o�¯{`���`q�}`q�{~}`���A��}��o�`q)��°iu � ,^��{3pL� ¶ qB{�}�mo��{3�`q-{��o��}3���[²����¯�¯��Áo�ZqB�(���A{�q�·�q��(���¹A�A�Æ�o�O�|±¿�o��pL���Z��}�qB�{����¯�|}`���O�A{3·�mo����m�����q��o��}¾���|}`��p�����°¸���)���[zÆ·�q(�¯¥�mI}�qB�´{��op ��°X}�moq¤���o�~q-��}`��²Oq-{U' S S�)Gµ)r3q-²�q-��}`moq(�¯q-{`{(Á}`moq(�`q�q(Ç[��{�}`{3�¯�´¥�q-�oq(�����=��}�mAq(�^{����¯�|}`���O�A{�·�mo����m�Áe����}�mo�O�o¥�mÆ�o�O�|±¿�o��pL���Z��}�qB�cÁZ�-���o�A��}t�Nq����o}`���¯�oqB��[zL}`moq)��qB{��O���|}`���O�¨��°��

(MOLPλ)�o���O¥�����pƵ=ÃÄ�Z�|q(qB�cÁ[}�moqB{�q�{����¯�|}��¯���Z{(Á ¶ �o��·�� �O{���5�� Z;�D6JN:N5��D�]���

{����¯�|}`���O�A{(Áe���`q��|�OpL���A��}�qB�´�[zÆ�(q(��}`�����k�(���[²�q(Ç�(��p��A���A��}��¯���A{t��°/{��o�o�N����}�qB�W{����¯�|}��¯���A{/eN�\µ q�µ^}�moq-��q����q¾�N���¯�O}�{���°

Y��� }�mAq������[²Oq�ÇÀq(�[²Oq(�¯���Nq¾��°

Y��g��¯¥AµZ¢:!�µ

idikj�lmDnbo�p

Page 11: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

� � 2����b��67�����2A@P0��

f2

f1

9

5

2

3

7

1

68

4

10

g��¯¥��o�`q��|È����|�-���c�X���`q�}`�L{����¯�|}`���O�A{(µ

QLR i$Q'S

Page 12: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� �

f2

f1

Supported Pareto optimal solution

Non−supported Pareto optimal solution

Reachable solution

g���¥O�o��q�¢AÈ�x[�o�o�N����}�qB� ���A��o���|±Ä{��o�o�N����}�q-� {��O���o}��¯���A{-µ

� ���������:;�/�(���=��� ����)���(��'�7�[�op��Nq(�¤��°3·���� ¶ {�����qÀ�`q(����}`q-� }`��{����¯²[���o¥k�o�¼±Ä���`��}�q(�`���ku-,^�/x �Iz �A{��¯�o¥ ���H2:���OG>����E5/����{��Z��m�O{O0b� 2A����E�2A��� 0�5A67���1'9#:#:#b)<'9#B�O�/)<'9#-¢O *)<'9#- [��)GÁ ��E��=4?�2�@ BC5��D���FEHG 'P# #-¡*);' ���*)¿ÁA���Z�f�AK���2�GL�M�VN�� 5�B:� 2�GLZGL���CB 'P#B¢�¢*);'9#-�*)¿µ�l8moq-{�q�pLq�}`mo�|�o{t����q�q(ÊNqB��}��¯²�q�°¸���3�o�`���A��q-pL{t��°i{�pL������{��¯³(qB{(µ go�O�3�o�`���o�¯q(p�{�·���}�mpL�O��q^}�mA���}~·/�L���`�¼}`q(�`�¯�AÁ[}�moq-��q�����q¾�o�Lp����[zÀq�Êeq-��}��¯²�q)q�Ço�O��}��o�`�[�(q-�|�A��qB{(Áo�|�Aq^}`moq�{���p%�o�¼}����oq-���A{�o�[QÀ���A�¼}`��qB{3��°Xr3�i±¿�|�PQÀ���o��}^�(��pL�o�¯q�Ç|�¼}~z���A� }`moq�p��A�¼}`�¼±Ä���`�¼}`q(�`���O� �Z��}��A��q���°�}`moq��o�`���o�¯q(p�{-µ �3��·8±q-²�q-�-Á|}`moq(�`q�q(Ç[��{�}`{t{���pLq��Aq(·����|²����A��qB{����W}�mo��{t����qB�oÁo·���}�mk{�q(²Oq(���������o�o�`�O����mAq-{8�o�`���N�O{�q-��¯�´}�moq�¯��}�q(����}`�o�`qL' ��¡oÁo�O�J)¿µ

�tq(�o�`�¯{�}����LpLq�}`mo�|�o{����`qL�oq-�(q-{`{�����z}��W{����¯²�q¤�o�¯¥´{��¯³(qL�o�`���o�¯q(p�{����A�>�D�O�^·���}�m p����[zk�(����}�q-�����oµl8mAq(zL�|���o��}�¥��A���`���I}�q(q�}`��¹A�A���¯�À����q(Ço����}/·��Dz�}�moq3�X����q(}������o}��¯pL���Z{�q�}��A�|}����À���o�o�`�DÇ|��p���}��¯�����°�}`mo�¯{�{�q(}-µ¨l8moq�{����¯²[���o¥ÆpLq�}`mo�|�o{��-���Å�ZqÀ�|�¯²[�¯�oq-�Å���I}`�Æ}~·/�´������{`{�q-{-È^�O��}`moq����Aq¤mZ���A�cÁ=}�moq-��q����q^���¯¥����`��}�mop�{/·�mo�¯��m ���`q^{��ZqB����¹Z�3}`�%�%¥��¯²�q-���o���O�o�¯q(p ' ���J)c���A��ÁI�O�À}`moq^��}�moq-�����A�cÁ[·�q^�(���À¹A�Z�¥Oq(�oq-�����)���¯¥��O����}�mop�{-Á[·�mo�¯��m´����q����A�o�����(���o�¯q^}`�À�¤�¯����¥Oq¾²������¯q�}~zÀ��°<u � ,^��{(µ�ÃÄ� }`mo��{�·/�O� ¶ Á[·�q����`q�¯�I}�q-��qB{~}`q-� ���}�mAq�{�qB�����Z� �(�¯�O{�{���°X���¯¥��O����}�mApL{-ÁI}�moq8G8���;2JEW��67�D�a���<�M�b��µ

x[q-²�q-�`���=pLq�}���moq-�o����{�}����({t�O�o���o}`��}`���O�A{�·�q(�`q��o�`���N�O{�q-�Æ�¯�´}�mAq��¯�¼}`q(����}��A��q�°¸�O�3}`moq��`q-{����¯�|}��¯���´��°u � ,^��{/���A��}`moq)�|q�}`q(�`p¤�¯�A��}��¯���À��°��<����q(}��¤{��O���|}`���O�A{-µ<x[�OpLq^q(Ç|��pL�o��qB{�����qU����GL67@P2A�;���82�� ����2�@[���CB'9#B�AS*)GÁ �;2 0b6 ����2A� ��E ' ��¢*)GÁo���A�c�b\�5�@^67�<�M5��32��DKX2A@ B 5A�D����E7GU��{��A��m �O{/¥Oq(�oq(}����)���¯¥����`��}�mop�{�'P# #-¢*);' S[�J)=���Z�q-²��O���|}`���O� {�}�����}`q(¥��¯q-{�' �AS:)Gµ

l8moq���o�A���I����moqB{)�A{�qB�Å°¸���¤u � ,^��{%��qB{��O���|}`���O� �(��� �Nq �(�¯�O{�{���¹Aq-� �¯� }�mo�`q(q p����¯� �(��}`q(¥O���`��qB{�¸¹A¥Aµ S !�È

� x|�(���¯���¨���A�o���I����moqB{(ÈÅl8moq-{�qWpLq�}`mo�|�o{À�¯pL�o�¯zº}`moqW}`�`���A{�°¸���`pL��}��¯��� ��°�}`moq�u � ,^�,�¯�I}��g�{��¯�o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q�o���O�o�¯q(pƵºl8mo��{�������{`{¤��°)���o�o�`�O�O��moq-{%�¯�A���¯�A�|qB{¤}�mo�I{�q´���¯¥��O����}�mApL{¤�A�O{�qB�

idikj�lmDnbo�p

Page 13: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

#B  � 2����b��67�����2A@P0��

��� ��¥O¥��`q(¥I��}��¯���=Ác·�mo�¯��m �(��p%�o���Aq%}`moqÀ²����`�¯���A{��(�O{�}�°¸�o�A��}`���O�A{fi

���I}`�´���o�¯zk�O�oq����|�~qB��}`��²Oq°¸�o�A��}��¯���

Fµ<l8moq-{�q8}�qB��mo�o���I�oq-{���qB�O�A���`q�°¸���i}`moqt�|qB����{��¯���Lp�� ¶ q(�<}`��mA�D²�q��)¥O�I�|� ¶ �o��·��¯q-�|¥Oq

��°<�¼}�{��o�`���o�¯q(pƵ� �X���`q�}�� �t�o�o�`�O�O��moq-{-È=l8moq-z%���`q��A�O{�qB���O�À�|���`q-��}��¯z��A{��¯�o¥)}�moq3�(���A�(q(�|}/��°e�<����q(}��)���o}��¯pL������}~z���g}�moq-���L{�q-������m�µkl8mAq¨�o�`�|��q-{`{���°t{�q-��qB��}`���O� ��°�}�mAq ¥Oq(�oq-�`��}�q-� {����¯�|}`���O�A{���{��Z��{�q-� �O� }�moq���O�A��q-�|}3��°��o���|±Ä�|�Op¤�¯�A���A��qOµ

� r3�O�|±G�X����q(}��t���A�)�o���o±¿{`�(���¯���=���o�A���I����moqB{(Èel8moq-{�q/���o�o�`�O�O��moq-{c�|�t�o��}�}������A{�°¸���`p }`moq/u � ,^����I}`�)�¾{����o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�qi�A���O�o��q-p4e�����}�moq����O�I}������`z�ÁB}�moq-z��A{�q��O�Zq-�`��}��O�`{�}��^}��`q-��}�}�mAq�²������¯���A{���|�~qB��}`��²Oq-{�{�q(�A���`��}�q(�¯z�µ

annealing algorithms

Scatter search

Geneticprogramming

...

non−Pareto approaches

Simulated Genetic Tabu search

and bound

Branch A*

A priori A posterioriInteractive

Preferences

Resolution algorithms

Resolution approaches

Exact algorithms

Multiobjective optimization methods

Specific heuristics Metaheuristics

approaches

Pareto approaches

Aggregation E−constraint

selectionLexicographic

selectionParallel

programmingGoal

Scalar non−scalar

Heuristics

programming

Dynamic

g��¯¥��o�`q_SAÈ � ����{`{���¹Z�-��}��¯��� ��°�p��o��}���±G�O�|�~q-��}��¯²�q����Op��o�¯�A��}����`�����e���|}`��pL�¯³-��}��¯���p¤q(}�mo�|�o{-µ

QLR i$Q'S

Page 14: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� # #

ÃÄ� }�mAqÆ°¸���¯����·��¯�o¥ {�qB��}��¯���Z{(Á�·/qÆ�o�`�¯q �Az �A��qB{�q-�O}L}`moqÆ}�mo�`q(q´�(�¯�O{�{�q-{¤��°)pLq�}`mo�|�o{(Á/°¸���L°¸�A��}`moq(��¯�|°¸�O��p���}`���O����Z�O�|}8}�mo��{3�(�¯�O{�{��¼¹N�(��}`���O��Á[�o�¯q-��{�q)��q(°¸q(�8}`�$' �O�J)=���O' ¢�¡*)¿µ

����� ������� ��� ����������������l8mAq¤�Z��{��¯�¤���|q-��o�A�oq(�`��z[�¯�o¥´{��-�������¾p¤q(}�mo�|�o{��¯{¾}`�`���A{~°¸�O��p���}��¯���k��°��Æu-, � �K}���·8�����o{)�Æ{��¯�o¥��¯q�±�O�|�~q-��}��¯²�q)���Aq�µ��2�[�op��Nq(����°�¥Oq(�oq-�`���NpLq(}�mo�|�o{8°¸�O���¯��· }`mo�¯{t���o�o�`�O�O��m�È

� ¦����A« Ì �N¬|ª \Ð � � Ì ª�� Ð Ñ È�l8mo��{���{����oq���°8}�moqL¹A��{�}�p¤q(}�mo�|�o{��A{�q-��°¸����}`moq�¥�q-�oq(����}`���O����°�X���`q�}�� �O�|}��¯p����3{����¯�|}��¯���A{-µ ÿ}¨���O�A{��¯{�}`{L�¯� }������A{�°¸���`pL���o¥�}�mAq

MCOP�¯�O}`� �

MCOPλ

Á·�mo����m ��pL���o�I}�{����Op��o�¯�o�¯�o¥Æ}�moq¨²D�����¯���Z{����I{~}�°¸�o�Z��}��¯���Z{��¯� ���o�¯zk�O�oq����|�~qB��}`��²OqL°¸�o�A��}`���O��Á¥�q-�oq(�����¯��z^���%�����¯�oqB����·8�DzU' ¡I�/);'9#:#-¢�)Gµ�l8moqi�`q-{��o�¼}�{��O�|}`�����oqB�)����}�moqi�`q-{����¯�|}`���O����°[}�moq/�o�`���o�¯q(pMCOPλ

{�}��`���o¥O��z��|q-�Zq-�A�L���¤}`moq��A������pLq(}�q(��{<��mo�O{�q(�%°¸���i}�moq�·�q(�¯¥�mI}X²�qB��}��O�λµXrtq(²�q-��}`moq�±

��qB{�{-ÁZ�o�oq�}�����}`{^{��¯pL�o�¯�¯�(�¼}~zOÁo}�mA�¯{^���o�o�`�O�O��m¨·8��{������`¥�q-��z¨�A{�qB����Æ}`moq��¯�¼}`q(����}��A��q��¯�W�|��ÊNq-��q-�O}pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{(Áe{��A��mW��{^¥�q-�oq�}`�¯������¥O���`�¼}`mop�{O'9#:#-�oÁc���[Ác��¡|Á #-¢�¡[Áe¡� �)GÁc{���p%�o�¯��}�qB�´���o�oqB���¯���A¥'P# #B�[ÁSO�|Á #D��¡*)¿ÁA���Z�À}����o�´{�q-������m�' ¢�¢�)Gµ

� εÎ ­ Ð� ©(ª-«D¬ �� ª � Ì ª � Ð Ñ/® ÃÄ�¨}`mo��{����o�o�`�O�O��m�ÁO}�moq)p���}�}�q(����{8���o}��¯p¤�¯³(�¯�o¥���°¸�o�A��}`���O�

fk

{��o�|±�~q-��}t}��À�(���A{�}������¯�I}`{��O�}�moq���}�moq-�3���o�~q-��}`��²Oq)°¸�o�A��}��¯���A{-µ�l8mI�Z{(ÁN�À{��¯�o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q)�o�`���o�¯q(p�¸�O�|�~q-��}��¯²�q

fk

!3{��o�o�~q-��}�}`�¨���O�A{�}������¯�O}�{8���}�mAq���}`moq(�3�O�|�~q-��}��¯²�qB{��¯{t{��O��²Oq-�cµ"!i���`���O�A{8²����¯�oq-{��°<�����Z{~}`�`�����I}`{

εi

�(���¨�Nq�¥��¯²�q(�¨}��¤�Zq����o�¯qt}`�¤¥Oq(�oq-�`��}�q¾²����`���O�A{��X����q(}��¤���|}`��p�����{����¯�|}`���O�A{(µx[��pLq�q�Ço��pL�o�¯q-{¨��°�pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{�°¸�O���¯��·����A¥ moq

ε±Ä���O�A{~}`�`�����I}¨���o�o�`�O����m½���`q '9#- I�IÁ�#D���*)

�¸¥Oq(�oq(}��������¯¥����`��}�mop�{�!�Á3' ¡:S�)��¸}`���A�Æ{�q-���`��m�!�Á|���A�f'9#- O J)��¸m[z[�o�`�¯� pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{�!�µ�$# Ð ¬ ��%�« Ð �Z«�¬ � � � � È3ÃÄ��}�mo��{�pLq�}`mo�|�cÁc}`moqÀ�|q-�(�¯{��¯���kp�� ¶ q(�)p%�A{~}��|q(¹A�oqL}`moqL¥��O���¯{-Ác�����q(°¸q(�`q(�A�(q-{-Á(}`�3�`q-����m^°¸���=q-����m��O�|�~q-��}��¯²�qOµ=l8moq-{�qX²����¯�oq-{����`qX���I}`���|�|�A�(q-�¾�¯�O}`��}�mAqX°¸���`p��o����}`���O���°i}`moqL�o�`���o�¯q(pÆÁN}������A{�°¸���`pL���A¥¨��})�¯�I}��{��¯�o¥��¯q�±¿���o�~q-��}`��²Oq�µOgo�O�)q�Ço��pL�o�¯q�ÁN}�mAqL�(�O{�}t°¸�o�Z��}��¯����(���¤�¯�I}�q-¥�����}�q��¾·�q(�¯¥�mI}�qB���o�O��p ·�mo����m%pL�¯�o��pL�¯³(qB{X}�mAq3�|q(²[����}��¯���¤·���}�mL}�mAq�¥��O���¯{-µ��^��ÊNq-��q-�O}·/�O� ¶ {)���A�o��z[�¯�o¥ÆpLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{¾�A{��¯�o¥}�mA�¯{�{`��moq-p¤q�����q$'P#B¢AS|Á&#B �¡J)��U¥�q-�oq�}`�¯�L���¯¥��O����}�mApL{�!�Á'P# #B�J)��U{���p%�o�¯��}�qB� ���o�oq-�����¯�o¥H!�Áo���Z��' ��¢*)��Â}`���o�´{�qB������m !�µ

,t°/�(���o��{�q�}�mA�¯{¾��{t�o��})���kq(Ç[mZ���A{�}��¯²�q¤{��o�`²�q-z ��°i}�mAq¤��¥�¥��`q(¥I��}`���o¥�pLq(}�mo�|�o{-µ)ÃÄ�k¥�q-�oq(�����GÁN}�moq}`�`���A{�°¸���`pL��}��¯���º��°�� p��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�q´�A���O�o��q-p»�¯�I}�� � {����o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�qÆ���Aq´��qB�O�A���`q-{(24N��D�M5��D�¶ �o��·��¯q-�o¥�q����N���o}t}�mAq¤�(���A{��¯�oq(�`q-�Æ�o�`���o�¯q(pƵtl8mA�¯{t}~z[�Zq¤��°����o�o�`�O����mÆmA�D²Oq�mA���k�À�¯��}^��°�{��Z�(��qB{�{�o�oqW}`�º��}`{Æ{���pL�o�¯�¯�(�¼}~z ���A� �¯��·£����pL�o�o}`��}`���O� ���I{~}Bµ,l8moqk�O�|}��¯pL��³B��}��¯��� ��°%�º{��¯�o¥��¯q�±¿���o�~q-��}`��²Oq�A���O�o��q-p �-��� ¥��Z�������I}�q-q¤�X����q(}��´���o}��¯pL������}~zÅ��°8}�moq¨°¸���o�Z� {��O���|}`���O�A{-Á��o�o}%�A��}��o�����¯��zk¹A�A�o{����o�¯z�O�oq�{��O���o}��¯����µhgo�O��{�q-²�q(�����c{��¼}`�A��}`���O�A{-Á|²D�����¯���Z{/�Z������pLq�}`q(��{/����q¾�A{�q-�Æ{��%}�mZ��}�}�mAq)u � ,^�½�-����Zq{����¯²�qB�´{�q-²�q-�`����}��¯pLq-{-Ác���������|q(�t}�� ¹A�A��{�q-²�q(�������X���`q�}��¨���|}`��p����X{����¯�|}��¯���Z{(µ)l8moqL����pL�o�o}`��}`���O�A����(�O{�}3��{`{��|������}`q-� �(��� }��A���}��L�Nq�q�Ç|�Nq(�A{���²Oq�µ

���'& ()�+*�,�-.� ���0/1�324*��+*3,5�6�����4�7� ����������8�����ÃÄ� }`moq-{�q ���o�o�`�O�O��moq-{-Á=pL�O{�}��¯zÅ�A��{�q-� �O� �Z�O�o�o����}��¯���Z{���°3{����¯�|}��¯���Z{(Á���qB{�qB������m �¯{%�(���`�`��qB���O�|}��[z}`��qB��}`���o¥3}�moq�²����`���O�A{��o�O�|±Ä����pLpLq(�Z{��o�����A��qX�O�|�~q-��}��¯²�q-{�{�q(�A���`��}�q(�¯z�µ�l8moq(�`qiq�Ç|��{~}<���A��z)��°¸q-·g{~}`�A�|�¯q-{���Z�O�|}8}�moqB{�q�pLq(}�mo�|�o{-È

idikj�lmDnbo�p

Page 15: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

#D� � 2����b��67�����2A@P0��

��� ¬|«�¬ � � Ì ��© Ì � Ì ­�ª \Ð �/ÈÆl8moqƹA��{~}�·���� ¶ �����Z{���{~}`���A¥��¯�½�A{��¯�o¥ ¥�q-�oq�}`�¯�Æ����¥O���`�¼}`mop�{�}`� {��O��²Oqu � ,^��{���{)°¸�`��p&x|��mA��Êeq(�X'P#B ��J)¿µ l8moqÀ�|q-²�q-���O�ZqB�Å����¥O���`�¼}`mopÆÁ ! %�T � � !XqB��}`��� %i²������A��}�qB�T¾q(�oq(}���� �3�¯¥����`��}�mop !�Á¾{�q-��qB��}�{¨}`moqÅ���A�o��²[���|�A����{ °¸���Op }�moq ���A���`q(�I} �N���A�o�¯��}��¯���6���(�(�����|�¯�o¥}��WqB����m ���o�~q-��}`��²Oq�Á����Z�|q(�Nq(�A�oq(�I}��¯zk}`�´}�mAqÀ��}`moq(��{����Aq��¸�A���`�����¯q(�/{�q-��qB��}��¯����!�µÆ�t�o�`�¯�o¥Wq-�O��m¥�q-�oq(����}`���O��Á|}�mAq��Z�O�o�o����}`���O���{3�|�¯²[�¯�oq-�Æ�¯�O}`�¨�L�[�op��Nq(�t��°i{��A�o�Z�O�o�o����}`���O�A{�·�mo����mÆ�¯{�qB�I�A���}���}�moq�[�op��Nq(�¤��°3�O�|�~q-��}��¯²�qB{���°¾���O{�}�°¸�A�A��}`���O�A{%}��k�O�|}��¯pL��³-q�µf%�����m {��A�o�Z�O�o�o����}`���O�

i�¯{

{�q-��qB��}`q-� ���-���O�`�|�¯�o¥ }`� }�moq����|�~qB��}`��²Oqfi

µ l8mAq ! %�T � ���¯¥��O����}�mop"���OpL�Z�I{�qB{L}�moqkq(�I}��¯��q�Z�O�o�o����}`���O��ÁA���Z� ���o�o�¯��qB{8}�moq�¥Oq(�oq(}����¾���Nq(����}��O�`{_�\��mA���o¥Oq�Áo�(���I{�{���²�q-��!�µ�l8mo��{����o�A���I����m¨·8��{�A{�q-��[zÀ��}`moq(�3���|}�mo�O�`{_'9#:#B�[ÁN���*)Gµ

��� Ì�� ­ Ð �Z«�¬1% � ­ © Ì � Ì ­�ª UÐ��È�ÃÄ� }�mo��{L���o�o�`�O�O��m�Á�}�moqÆ{�q(�¯q-��}`���O� ��{¤�-���`���¯q-� �O�|}����(�(�����|�¯�o¥}��Å��� �O�`�|q-���`q(����}`���O��ÁX�|q�¹A�Aq-� �[zÅ}�moqÆ�|qB����{��¯��� p�� ¶ q(� ' SI�|Á��:SoÁi��S�)¿µ�l8mA�¯{%�����|q(�¤�|q�¹Z�oq-{}�moqÆ{���¥O�o�¼¹N�(���Z��q¨�¯q(²Oq(����°�}`moq �O�|�~q-��}��¯²�qB{(µÅl8mo�¯{L���o�o�`�O����m ��{L{~}`���¯�/�Z{�qB� �¯�g{�q-²�q-�`���/�(�O{�qB{(Áq-{��ZqB�������¯��z¨·�moq(�´�L���¯q-����mo��q-�`���`��m[zLq�Ç|��{~}�{8�Zq(}~·/q-q(�}�mAq��|�¼Êeq(�`q(�I}����o�~q-��}`��²Oq¾°¸�o�A��}`���O�A{-µ

���'� -.� ���0/1� � �����8����8��� ��X����q(}��Æ�A��{�q-�ÅpLq�}`mo�|�o{��Z{�qL}`moq¨���O�A��q-�|}���°8�|�OpL���A���A��q��¯� }�mAq¨{�q-��qB��}`���O�Å�A���|��qB{�{-Á��(���I}������`zÆ}��}`moqt��}�moq-��}`q-��mo�A�¯�I�oqB{�·�mo����mÀ�A{�q^���À�|}`���¯�¼}~zL°¸�A�A��}`���O�¨����}��`q-��}�}�mAqt²����`���O�A{i�O�|�~q-��}��¯²�qB{�{�q(�A���`��}�q(�¯z�µl8mA�¯{����|qB�L·��O{8���I}��`�|�|�A�(q-�Æ�¯�o�¼}`�¯�����¯z¨�¯�I}���¥Oq(�oq(}��������¯¥����`��}�mop�{8�[z$T¾�O�¯�|�Nq(�`¥.' ��¡*)¿µ/l8moq-z¨mA�D²Oq)}�moq�O�|²����I}`��¥�q^��°��Nq(�¯�o¥L���o�¯q¾}��¤¥�q-�oq(����}`q^�X���`q�}`�%�O�|}��¯p����c{����¯�|}��¯���A{��¯�¨}`moq����O�A�(�D²Oqt�N����}��¯���A{���°�}�moq�X����q(}��¤�Z�O�`�|q-�-µ%i²O���¯�|}��¯���Z���`z����¯¥��O����}�mApL{�����qL�����`¥�q-��z��A{�qB��°¸����u � ,^�/{��`q-{����¯�|}��¯����Á�{��¯�A�(q�}�moq-z�·���� ¶ �O� �

�N���A�o�¯��}��¯���Æ��°X{����¯�|}��¯���A{-µ � ��pL�A����qB�À}`�L}�moq��(�¯�O{�{����(���cq-²��O���|}`���O�A���`zÀ���¯¥��O����}�mApL{-Áo{�q(²�q-�`���c{��Nq-�(�¼¹Z�{�}�q-�A{����`q)�A{��A���¯��z �|q�¹A�Aq-�cÈ

� ¬ ��� �� � ÈguW���[z½�o�`���N�O{`����{¨�O{�{���¥O� � ����� ¶ }`�g�¯�A�|�¯²[�¯�|�Z����{ �`q-{��Nq-��}`���A¥ }��º}�mAq(�¯��|�OpL�¼±�A���Z��qt�`q(����}`���O�A{i·���}�mÀ}�moq¾q(�I}��¯�`q3�Z�O�o�o����}`���O��µ��)�o��·���q�Ço��pL�o�¯q-{/���`qt�|�Op¤�¯�A���A��q^�`��� ¶ ' S[�J)GÁ�|��pL�¯�A���Z��qÆ�|q(�|}`m ' ¢[�/)GÁ����A�º�|��pL�¯�A���Z��qÆ���(�(���o�I}4'P#/S#�)U�\{�q-q4g��¯¥Aµº� !�µºÃÄ� '9#-¢O�J)GÁN�¼}`³(�¯q(����A��� �o�o³-���¾�o�`q-{�q(�I}�g�oq(· ���|q-� °¸����X���`q�}��ºq(²O���¯�A��}`���O�A���`zº����¥O���`�¼}`mop�{(Á��A��pLq-� Ã���% ��¸ÃÄ�A�o�¯�-��}��O��±��8��{�q-�L%i²O���¯�|}��¯���A����z �3�¯¥��O����}�mop !�µ�l8moq^p����¯�L°¸q-��}`�o�`q3�¯{�}��%�|q�¹A�Aq3}�mAqt{�q-��qB��}`���O�pLq-��mA���o�¯{�p �O�(�(�����|���A¥W}�� �Å�o�¯�A����z �Nq(��°¸���`p����A�(qÆp¤qB��{��o�`q

I(x, y)Á8·�mo����mºq-²����¯�A��}`qÆ}�moq

�I�A���¯�¼}~z��°X�À{����¯�|}��¯���x���(�(�����|�¯�o¥¤}��¨��{����¯�|}��¯���

yµ�l8mo�¯{t���Z�|�¯�-��}`���t�(���o���Æ�Zq%�|q�¹A�Aq-�cÁA°¸���

q�Ço��pL�o�¯q�Á|�O�}�moq��A�O{���{8��°�}�moq��oq-����{����O�|±Gp�� ¶ q(���o�`q�°¸q-��q-�A��qB{(µ��� � ª © � Èx[q-²�q-�`���8{�}��Z�|��qB{À{�mo��·/qB� }`moq´���I}`q(�`q-{�}L��°¾q-����}���{�p °¸���À�Å�Nq�}�}�q(� ���o�o�`�DÇ|��p���}��¯�����°^}�moq�Z�O�`�oq(�L�X���`q�}�� 'P#/SO *);' �O�J);' �#D)¿µgl8moqq(�¯�¼}`�¯{�p»���O�A{��¯{�}`{¤�¯�gp����¯�I}`���¯�o�¯�o¥ ��{�q-�(���A�o����z�Z�O�o�o����}`���O��Á/���A����}�°¸�`��p&}`moq�(�o�`��q-�O}L�N���o�o����}`���O��Ái·�mo����mº�����¯��·3{�}�� {��D²Oq¨���¯��}�moqÆ�X���`q�}`����|}`��p����={��O���o}��¯���A{/°¸���A�A�Æ�|�o�`���o¥L�`q-{�q-���`��m�µ

� � ��ZÌ «�© ª Í � ¬ �� ªB¬ ����� � È/l8moq�¹A}��oqB{�{¾��{`{��¯¥��Ap¤q-�I}3p¤q(}�mo�|�o{^�o�`q-{�q(�I}�qB��o��q-²[���O�A{��¯zÀ}`q(�A�}��¤°U�D²��O��}`moq����O�I²Oq(�`¥�q-�A��q�}`��·����`�A{i}`moq)�<����q(}��¤���|}`��p����e°¸���O�O}8�[zL°U�D²��O���¯�o¥�}`moq)���Z�|��²[���|�A���¯{·�mo����mW���¾���`q��o��})�|��pL�¯�A��}`q-�cµM�t��·/q-²�q-�-Á|}`moq-{�q�pLq�}`mo�|�o{¾���`q��o��}¾���o�¯q�}`�À¥��A���`���I}�q(q)}`mA��}}�moq¤���o�A���DÇ|�¯pL��}��¯������|}����¯�oq-�Æ·��¯�¯���Nq���°<¥O�[�[�Æ�I�A������}~z �¯�´}`q(�`p7��°X�o��²Oq(��{���}~z�ÁZq(��}�moq-�t�¯�´}�moq

QLR i$Q'S

Page 16: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� #B¢

�|q-�(�¯{��¯��� �������|�~qB��}��¯²�qÀ{��A�O��q�µ´�^�¼Êeq(�`q(�I}L������{`{�qB{)��°t�|�¯²�q-�`{��¼}~zkpL�����I}����¯�o���A¥WpLq�}�mA�[�A{�mA�D²Oq�Zq-q(��o�`���N�O{�q-�cÁ|{��A��m �O{ � ¶ q-���Aq(� ��Á �~�Aq-���`q-{�}8�oq(�¯¥�m[�N��� �t�����~mo��{�}���¥O�`��p �3}�q-��mA�o�¯�I�oqB{_�U{�q(q^¹A¥Aµ¡ !�µ

' } )

g���¥O�o��q��oÈ g���}��oqB{�{t��{`{��¯¥��opLq-�O}BÈ��X����q(}����|��pL�¯�A���Z��q����o�A���I����m�µ

' } )

g��¯¥��o�`q�¡oÈX�t�¯²�q-�`{���}~zÀp����¯�O}����¯�o�¯�o¥¤}�q-��mA�o�¯�I�oqB{(µ

� 0h�8�<�����<$"��' ���&�8 ^�����)���(��'É ��}�m }`moq´�`���o��� �¯�A���`q-�O{�q��°¾}�moqÆ�[�op%�Zq-����°��D²D���������A��q }�qB��mo�o���O�Aq-{-Ái}�mAq´�¯{`{��Aq��°^�Nq(��°¸���`p����A�(q�O{�{�q-{`{�p¤q-�I}=mA��{=�ZqB���Op¤q/pL���`q/���Z��pL���`qi��pL�N����}`���O}<���A���¼}<mA��{=�ZqB���Op¤q������¯�A�|q-�Zq-�A�|q-�O}<�`q-{�q-������m}`���o����µ �^{�·��¼}`m {��¯�o¥��¯qL���|�~qB��}`��²Oq¤�O�|}��¯pL��³B��}`���O��Ác}�mAq��o��}`���O����°��Nq(��°¸���`p����A�(q%�¯�[²����¯²�qB{¾�Z��}�mÅ}�moq�I�A������}~z¨��°�}`moq)°¸���A�A�´{��O���o}��¯���A{3���A� }�moq)}`��pLq�}`��¥�q-�oq(����}`q){��A��m´��{����¯�|}��¯���´{�q�}-µ/ÃÄ�Æ}�mo��{3{�q-��}��¯����Á·�q�·��¯���A°¸�[�(�A{X¹Z�`{�}�����mA��·g}`��q(²����¯�A��}�q8}�mAq^�I�A���¯��}~z���°c�X���`q�}`��{�q(}`{/e�}`moq(�=ÁO·�q�·����¯�Z�o�¯{`���A{`{�{�mo�O��}`��z�O�{�}`��}���{~}`�¯�-���e}`q-{�}��¯�o¥Aµ

idikj�lmDnbo�p

Page 17: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

#/S � 2����b��67�����2A@P0��

����� ����� �� /���� *������4/1���8�l8mAq¤p����~�����|�PQ��(�o��}~zk��°�p��o��}��¯���o�~q-��}`��²OqL���|}`��pL�¯³-��}`���O� ��{`{�qB{�{�pLq(�I}¾��{¾}�mZ��}�}�mAq¤�O�|}`�(��pLqL��°�}�moq�O�|}��¯pL��³B��}`���O� �o�`�|��qB{�{���{��A{��A���¯��z¨�o��}3��{����o¥O��q�{����¯�|}��¯����o�|}t�L{�q�}3��°=}������oq�±¿��Êc{(µ

ÃÄ�´����{�}3z�qB����{(Á|p����[zÀ�`q-{�q-���`��mAq(��{/mZ�D²�q)�o�`���N�O{�q-� �Zq-��°¸�O��p����Z��q)pLq�}��`���({��¯�´�����|q(�8}`�À�I�A���I}���°¸z}`moq��I�A���¯�¼}~z���°Z�X����q(}��^°¸���O�O}�{��o���|�|�Z��q-�%�[z����¤���o}��¯p¤�¯³-��}��¯���L���¯¥��O����}�mopÆÁ�{��A��m%�O{<q(�`���O������}`���L'9#B����)GÁ¥Oq(�oq-�`��}��¯���A���|�|�¯{�}`���A��qO'9#B���J)GÁO}�mAq

CpLq(}��`�¯�_'9#-¢[��)GÁ[���O�O}`���¯�o�|}`���O� ' �W#b)GÁ�}�moqt� #�ÁO�^�^���A�L�3¢)pLq�}`�����({

' ¡O�*)GÁA{��A�O���¯�o¥4'P# #- *)¿Áop���Ç|�¯p��op {��o�`q-�O��'9#-¢[��)GÁZq(�I}��`���[z.' �J)¿Áom[z[�Zq-��²O���¯�opLq¾pLq(}��`�¯�>'9#-¢[�/)GÁAq�Ç[}�q-�O}3��°}`moq����A�o���DÇ|�¯p���}��¯��� {�q(} ' ¢O¡*)GÁAq�}`��µ%i²Oq(�`z��O�Z���¯�¼}~zL�¯�A�|���(��}`���/mA��{����|²����O}���¥Oq-{����A�À�|���D·��A�O� ¶ {-µ=ÃÄ��' �I�J)GÁ �)�o��·��¯q-{/���A� � ���`�oq3�o�`��±

�N�O{�q^�¤���OpL�A������}`��²Oqt{~}`�A�|z���°�}�moqB{�q¾�¯�A�|���(��}`����{(Á[�A{��¯�o¥%�|��Êeq(�`q(�I}8�(����}�q-������{��A��m��{���z|���¯q^�¯�A�|�Z���¯�o¥AÁ�oq(�Nq(�A�|q-�A��qÀ}��W�Æ�`q�°¸q(�`q(�Z��qÀ{�q�}-Á<{`�(���¯�¯�o¥´�|q(�Nq(�A�oq(�A�(q�Á<�(�����|�¯�A����p¤qB��{��o�`q�Á����A� ���Op¤�A��q(Ç[��}~z�µ �t{� ���O�A���¯�A{����O��ÁA}`moq(zW{��o¥O¥�q-{�}3}`moq%�Z{�q%��°X}�mAq%m[z[�Zq-��²O���¯�opLq�pLq�}`�����X'9#-¢[��)GÁc�O�3}`moq¤� #�Ác�t�À���A�W�3¢pLq(}��`�¯�-{_' ¡I�J)Gµ

u´�O��q¨��qB��q(�I}`��zOÁi�´}��o}����`�������O� }�mAq¨p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q¨�Nq(��°¸���`p����A�(q¨��{`{�q-{`{�pLq(�I}�mZ��{��Nq(q-�g�o�`q�±{�q(�I}`q-�c' ��¢*)¿µ�ÃÄ�Æ}�moq�}��|}`���`�¯���\ÁA}�moq���q-�¯��}��¯���

A / B°¸����}~·��¨���A�o���DÇ|�¯p���}��¯���Æ{�q�}`{

A���A�

BÁZ·�mA�¯��m

�(���`��qB{��N���Z�o{i}`� �9= 0��b�<�]�b�_�FEW2�� ���~ÁA��{��|q�¹Z�oq-�Æ��{-È�Ì����� ª UÐ���

A / B� �U2��3�X5�� @^K8� �U��\*���DK

x ∈ B�a�U�:5AG1���32��]���$0�KX2���@P��2*�D�R5A���

y ∈ A�

l8moq-��ÁO}�moq3q-²����¯�A��}`���O����°c�O�Z���¯�¼}~z¤���Z�|�¯�-��}`����{i���`q��(���`�`��qB�%�O�|}/�O�(���O�`�o���o¥¾}`��}�moq-��� 67�� ��@^�M2:0���@^���<K�È�Ì����� ª UÐ��� =�� K(�����A�M��2��]5��4��E2��U��2�� K��M��@P��2XN����%�b��� �������I�b5��.2�� 2�N N�� 5 � ��G>2A���M5A� ���b�

A5�\����

2A��5A��E�b�U2�N:N���5 � ��G>2A���M5A�f�b���B �

dEW���B / A �

�a� 67� � ��@^�M2:0�@P���l8moq�}��|}`���`�¯�������O�A���¯�A�|qB{c}`mA��}=p����Iz¾�¯�A�|���(��}`����{c��°[}`moq��¯�¼}`q(����}`�o��qi����q��o�|°¸����}��A�A��}`q(�¯z^�o�A��q-�������o�¯q�Á

{��A��mÆ��{8¥Oq(�oq-�`��}��¯���A���N�|��{�}`���Z��q�ÁZ{��A�O���¯�o¥AÁ[p���Ç|�¯p��op7�X���`q�}��%°¸�`���I}�q(�`���O�-Á|���Z�¨q(ÇI}`q(�I}3�¯�A�|���(��}`����{(µ

���'& � /1� /�� � /�� ��� /1��� /�� *��ÃÄ�f' ��¢*)¿Á �)�o��·��¯q-{�q�}3���Gµ<}��`�¯q-{/}���{��opLpL�����¯³(q^}�mAq�{~}���}�q(±G��°Â±\}`moq�±Ä����}/�¯��Zq-��°¸�O��p����Z��q)��{`{�qB{�{�pLq(�I}���°{�}��|��mA�O{~}`�¯�^p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q)���|}`��pL�¯³(q-�`{-Áo���A� }`moq(zÀ¥O��²Oq�{��Op¤q)¥O�o�¯�oq(�¯���oqB{�°¸���3{�}`��}���{~}`�¯�-���e}�qB{~}`���A¥¤��°{�}��|��mA�O{~}`�¯�i���o�Z{�¸mA��· }��t�`q(�A��qB{�q-�O}=}�moq/��qB{��o��}`{���°op%�o��}��¯�o��q/���A�A{=�¯��}`q(�`pL{���°A�3�o���O�A���A���¯�¼}~z)�|q-�A{���}~z°¸�A�A��}`���O� !�µWl8moq-zk�o�`���N�O{�qL}�mAq¨�A{�q���°3{�}`��}`�¯{�}����(�����¯�A�|���(��}�����{����o�o�¯��qB���O� �I�A���¯�¼}~zÅpLq�}`�����L²����¯�oq-{�O�|}`�����Aq-� ���Æ�|�¼Êeq(�`q(�I}t{`��pL�o�¯q)��°<���o�Z{(µXl8moq-z¨���O�A{����|q-�8}�mo�`q(q¾}~z[�ZqB{����Æ{�}`��}`�¯{�}����(�������Op¤�Z���`�¯{�����È

� uW��}���moq-�|±¿{`��pL�o�¯q-{-Èc}�mAq3{~}���}���{�}����(���o}�q-{�}imA�D²Oq�}`���Zq3���o�o�¯��qB�%�O�%p���}`��moqB�¤{`��pL�o�¯q-{<·�mAq(�¤}�moq��� �A�oq(�Z��q¤��°i�����A�|�Op�²D���������A��qB{3��{t�A����}`�¯�����¯z��q-p¤��²Oq-�°¸�`��p ���O�A{��¯�|q-�`��}��¯��� eN�Gµ qOµt}`moq%�¯�o��}�������Z�O�o�o����}`���O�À�A{�q-�L�[z�}`moq^����¥O���`�¼}`mop�{Xp��Dz%�Nqtp���}`��moqB�L���¨�(���`��qB{��N���Z�|���A¥¾�`�o�A{-Á[{���}`mA��}/}�moq���A�A{(ÁZ���A� moq(�Z��q¾}�moq-���^�O�Z���¯�¼}~zÀ�¯�A�|���(��}��O�`{�²����¯�oq-{-ÁA{�mo���A�¯� �Zq)}�� ¶ q(�Æ��{8�A������{(µ

� u´�o��}��¯�o�¯q�}�qB{~}`���o¥ZÈX���}`mo�¯{��-��{�q�Á|qB����m���o���°<q-�O��m �O�|}��¯pL��³-q(����{3�L���Op¤�A��q(}�q(�¯zÀ�¯�A�|q-�Zq-�A�|q(�I}�`���A�|�Op {`��pL�o�¯q:eO}�mA��}/��{(ÁO}�mAqt�¯�o�¼}`�¯���Z�N���A�o�¯��}��¯����ÁO}�mAqt�����A�|�Op {�q(qB�cÁI���A�À�����Z��}�mAq(�������Z�|��p²����`�¯���o��qB{¨����qÅ�|�`�D·�� �¯�A�|q-�Zq-�A�|q-�O}`��zh���A�h��} �����A�|�Op �O�hq-�O��mh�`�o��µ ÃÄ� }�mo��{Æ�(�O{�qOÁ�}�moq{~}���}`�¯{�}����(���/}`q-{�}¤mZ�D²�qÀ}`�k}�� ¶ q �¯�I}�� ���(�(���o�I}¤q-����mg�Z�I{�{����A��q�A���¯�¤��°t�`�o�A{%}��Åq(²������A��}�q }�moq�I�A���¯�¼}~z¨��°�}�moq��|��Êeq(�`q(�I}3���o�o�`�DÇ|��p���}��¯��� ����¥O���`�¼}`mop�{(µ

QLR i$Q'S

Page 18: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� #D�

� �t{`{�qB{�{��¯�o¥ÆÉ��O�`{�}�±Ä�(�O{�q%��� ��q-{�}�±Ä�(�O{�q¤�<q(��°¸���`pL���A��qOÈ^�¯� ��q-��}����¯�����¯�����op�{�}`���Z��q-{-Á���}�p��DzW�Zq��pL�N����}`���O}/}��¤����pL�A����q3}�moq¾·/�O�`{�}�±Ä�(�O{�q8�O�/�Nq-{�}�±Ä�(�O{�q3�Nq(��°¸���`p����A�(q3��°={�q(²Oq(�����o�O�|}��¯pL��³B��}`���O����¯¥��O����}�mop�{-µhÃÄ� }�mo��{¨�-��{�q��U���Z�g°¸�O��}�mAq´}~·/� ��}�moq-�¨�(�O{�qB{¤}��[�C!�Á/}`moqk{�}`��}���{~}`�¯�-���8}�qB{~}���`q�|q(�Nq(�Z�|q(�I}¤}��W}`moq�I�Ap��Nq(�¤��°t�`�o�A{���qB���¯��³-q-�cÁX·�mo����mg�(���`��qB{��N���A�A{)}�� �W���O�|¹Z�|q-�A��q ��q-²�q-�\Á·�mo����m¥O����· ·��¼}`m }`moq��[�op��Nq(����°��`�o�A{-µ

� � + + �������)������' ����$"������� �� �<���c���(�/� ��� $ �������������������� �� � + ����$"��.��)������'

� �¯����¥OqÀ�[�op��Nq(�¤��°^p¤q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�-{��|qB{��¯¥��oqB� }��Å{��O��²Oq u � ,^�/{%����qÀq-²��O���|}`���O�A���`z�����¥O���`�¼}`mop�{(µ�t��·/q-²�q-�-Á=}�moq-z ����q¨�o��}%}�moq ���o�¯zÅ{�q-���`��mÅ}`q-��mo�o���I�oq-{�}�mA��}%mA�D²OqÀ�Nq(q(�g�A{�qB� }�����}�}���� ¶ }�moq ��qB{~±�O���o}��¯��� ��°8}`moq-{�qÀ�o�`���o�¯q(p�{-µÆÃÄ�A�|q(qB�cÁ<pL���`qÀ���A� pL���`q��`q-{�q-������moq-�`{¾�o�`���N�O{�qL}��k�O�o���o}%�|��ÊNq-��q-�O}pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({^}`�Æ{����¯²�q¤u � ,^��{¾°¸�O�)�o�¼Êeq(�`q(�I}���qB��{����A{-µ�ÃÄ��°U����}-Á�pLq�}���moq-�o�`�¯{�}����({){��A��mÅ�O{^}`���A�{�q-���`��m �O�%{`�(��}�}�q-�%{�q-������m�Á<mA�D²OqÀ�o�`��²�q-��}`moq(�¯�¤���o�¯����}~zk}`�W¹A�Z� ¥��[�|� {����¯�|}��¯���A{����gpL���[z �(��p%�o�¼±�Z��}��O�������8�O�|}��¯pL��³B��}��¯��� �o�`���o�¯q(p�{-Á�{�� p����[z ·���� ¶ {%}`��z }`� q�Ç[}�q-�A�g}�moqB{�q´pL�|�|q(��{L}`� �oq-����·���}�mp%�o��}��¯�o��qÆ�O�|�~q-��}��¯²�q-{-Á�mA���o�¯�o¥�}�mA��}�}�moq-�����Nq(��°¸���`p����A�(q ·��¯�����NqW����{���q(ÇI}`q(�A�oq-�g}��Å}�moqÆp%�o�¼}`���A��q�O�|�~q-��}��¯²�qÀ�-��{�q�µ uW���`q(��²�q-�-Á��O{�{�mo��·�� ���gx[qB��}`���O� ¡|Á�{���pLq���°�}`moq-{�qÀpLq�}���moq-�o�`�¯{�}����({�q(Ç[}�q(�Z{��¯���A{����q¾�|q-{��¯¥��oqB����� �����|q(�/}��L�|qB{��¯¥��Àm[z[�o�`�¯�¨pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{(Á ¶ �o��·���}`�%�Nq)qbQÀ���¯q(�I}�°¸���8�������`¥�q^�(�¯�O{�{��°��O�|}��¯pL��³B��}��¯����o�`���o�¯q(p�{-µ

����� -.� ���0/1� ����/���� ���0�4/����+* �* ������ �6� � �8�8��=�|�(���<{�q-������mk���A�W}����o�Å{�qB������mk���¯¥��O����}�mApL{¾���`qL�¨²Oq(�`z�¯�I}�q-��qB{~}`���o¥Æ����}�q-���Z��}��¯²�q�}��q(²O���¯�|}��¯���A����z����¥O���`�¼}`mop�{�}`�Å{����¯²�qu � ,^��{-µ ÃÄ�A�|q-q-�cÁi�¯�½{��¯�o¥��¯q¨�O�|�~q-��}��¯²�q���|}`��pL�¯³-��}��¯��� }`moq(zg����q ¶ �o��·�� }��mZ�D²�qÀ}`moqÆ�o�`���Nq(��}~z ��°t�o�`��pL��}��¯�o¥Å{�q-���`��mg���I}�q-�A{��¼¹Z�-��}`���O��Á�²Oq(��{��A{¤{�q-������mg{��A���(q q(Ç|�o���O�`��}��¯��� ��°% �t{-µ%u´�O��q-��²�q(�BÁo}`moq(z����`q%���A��q%}����Êeq(���¨°U��{�})�(���[²�q-��¥Oq(�A�(q��`��}�q%°¸���¾�o�`���o�¯q(p�{¾��°�p����IzÆ}~z[�Nq-{���A�{��¯³(qB{(µ

��}À�o�`q-{�q(�I}BÁipL�O{�}L��°t}`moqÆ�o���O�Z�I{�qB� }`q-��mo�o���I�oq-{¤�A{�q´���½{��-�������L���o�A���I����mg�|�A���¯�o¥�}�moq´�¯�|�(���{�q-���`��m=µ ÃÄ�Y#B���[�[Á/u µi�<µ �t���A{�q(�½�o�`���N�O{�q-� � p��o��}��¯���|�~qB��}`��²OqÆ}`���A�½{�q-���`��m �o�`�|��q-�o�o��qOÁ/�-���¯��qB�uf,¾l3xc�Uu´�o��}��F,^�|�~qB��}��¯²�q¤l����o�kx[qB������m !_' ¡W#D)¿ÁZ·�mA�¯��mW��{3�Z{�qB�Æ}��À¥Oq(�oq-�`��}�q��o�O�|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�´����}�q-��±�Z��}��¯²�qB{e}��3u � ,^��{(µ�u-,¾l3x^·/�O� ¶ {e·���}�m���{�q�}���°|���o�`��q-�I}={��O���|}`���O�A{c·�mo����m�Á-}�mo�`���A¥�m)p����o�¯�o�o����}`���O���°i·/q-��¥OmI}`{-ÁN����q%���|}`��pL�¯³(q-�´}���·8�����o{�}`moq��o�O�|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�Æ°¸�`���I}��¯q(�^·�mo�¯��qL��}^}�moqL{���pLq�}��¯pLq�}`���¯q-{}`���|�¯{��Nq(��{�q¾}�mAq(p ��²Oq(��}�mAq��<����q(}��¤°¸�`���I}��¯q(�Bµ

�#}`���o�k{�q-������mW���¯¥��O����}�mAp7�A{��¯�o¥ �L}`�`�O�|q�±¿��Ê �Nq�}~·�q(q(�k�<����q(}��¨�o��pL���Z���A�(q��A�O{�qB�´���A�W��¥�¥O��q(±¥I��}`���O�{�q-���`��m�¯{^�|q-{`���`�¯�ZqB�-' ���J)GÁN���A���}t�¯{^�(�����¯q�l�����¥Oq�} �3�¯pL���A¥À���3�`q�}��¨x|q-������m��Ul��3�X�Ox!�µZl8mA�¯{����¥O���`�¼}`mop ���O�A{��¯�|q-�`{�}`mA��}��){�q�}i��°Z�o�O�|±¿�o��pL���Z��}�qB�%{����¯�|}`���O�A{<�¯{����¯��qB���|z)°¸�O�o�A�¤�[z%�¾q(²O���¯�|}��¯���A����z����¥O���`�¼}`mopÆÁA·���}�mk�À¥��[�|�W�I�A���¯�¼}~zÆ���Z�´�|��²Oq(��{���}~z�µ3l8mAq(��Ác�À{�q-���`��m

li�¯{^���o�o�¯�¯q-�´�O�Wq-�O��mW{��O���|}`���O�

si

��°����W���A�¼}`�¯�����X���`q�}`� {�q�}Bµ � {��Nq-�(�¼¹Z�%{��¯�o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q�°¸�o�Z��}��¯���θi

��{^�oq�¹A�oqB�Æ°¸���¾q-�O��mk{�q-������mliµXl8moq^�|q(¹A�oqB�L°¸�o�A��}��¯����}�� ¶ qB{i�¯�I}����O�(���O�o�I}i}�mZ��}�}~·���{�q-���`��moqB{<��qB���¯��³-q-��{���p%�o��}`���Aq(���Z{��¯z¤�o���o��}mZ�D²�qL}��kq�Ç|�o�¯���`qL}�moq¨{`��pLq¨����qB���°8}�moq ���|�~qB��}`��²OqÀ{��A�O��qOµÆl8mAqÀ¥��I���i��{�}`�W���I}`q(�A{��¼°¸z�}�mAq {�q-������m�����O�o�A�¤}`moq¾{����¯�|}`���O�A{X°¸�O�o�A���[z¤}�moq¾q(²O���¯�|}��¯���Z���`z%���¯¥��O����}�mApÁI·���}�mo�O�|}/mA�D²[�¯�o¥������I{�{/���À}�q(�`p�{���°�o��²Oq(��{���}~z�µ<l8moq�¥��I���c�|q(¹A�o��}��¯���Æ�¯{t{���moq-p���}��¯³(qB�¨�¯�4g��¯¥Aµe�Iµ

idikj�lmDnbo�p

Page 19: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

#B¡ � 2����b��67�����2A@P0��

�������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������

��������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������

������������

A

AS AND

P

Local search

AD

s

gi

i

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������

g��¯¥��o�`q¤�|È3l �t�<�IxeÈN}�moq¤¥��I���gi

��°��À{��O���o}��¯���si

�¯{¾�|q�¹Z�oq-�k���k°¸�o�A��}`���O�k��°si

�oq-��¥OmI�N����{U�U���k}�moq�O�|�~q-��}��¯²�q�{��A���(qJ!�µ

x[q-²�q-�`���X��}�mAq(�)}`���o� {�qB������m�pLq(}�mo�|�o{�����qL�o�`���N�O{�q-���¯��}`moq��¯�¼}`q(����}��A��qOÁ�{��A��m ��{ �3q-��}`³�q�}����\µ' ¡�¢�)N���Z� ��qB���A{����¯q(�¯� 'P# #D)¿µ ��qB���A{����¯q(�¯� � {<�o�`���N�O{`���|�A{�q-{���·/q-��¥OmI}�q-�%���o�~q-��}`��²Oq8}`���o�À{�qB������m�}`���o�o�¯�¯�� ���o��}������¾�N���o�o����}`���O��Át���A� �3q-��}`³��|q(¹A�oqB{À}`mo��q-qk�|��ÊNq-��q-�I} �o�O�|±G�X����q(}��g���o�o�`�O����mAq-{.�¸·�q(�¯¥�mI}`q-�cÁ�¯q�Ç|�����O¥������omo�������A�

ε±¿�(���A{�}������¯�I}�!�µ^ÃÄ�Å�¨¥Oq(�oq-�`���=·8�Dz�ÁepL�O{�}^��°�}�moq¤�o�`���N�O{�q-�Æ}`q-��mo�o���I�oq-{¾�|��o��}

�O�|���o}���� q-�I}��¯��q)�X���`q�}`�L�o��pL���Z���A�(q)���o�o�`�O�O��m�µÃÄ�������|q(�^}��Æ���o���|}t}`moq¤�A��{��¯�%�¯�[�-���<{�qB������mW���¯¥��O����}�mop }`�À}�mAq¤p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q¤�(�O{�qOÁN�[zÆ}�� ¶ q-�

�¯�I}��W�O�(���O�o�I}�}�moq¨�<����q(}��W�|�OpL���A���A��q��`q(����}`���O�A{-Á��´�X���`q�}`� ���|�(���/x[q-���`��m �U� ��xW!����¯¥��O����}�mop mA��{�Nq(q-�Å�oq-{���¥O�oq-����� ' �*)¿µLl8mA�¯{�����¥O���`�¼}`mop ·/�O� ¶ {¾·���}�m � �N���A�o�¯��}��¯���Å��°��o���|±Ä�|�Op¤�¯�A��}�q-�Å{����¯�|}��¯���A{PO

µ&gA����q-�O��m¨�¯�|�(����{�q-���`��m{~}`q(��Á[}`moq��oq-��¥OmI�N���`mo�[�|�PN

��°�q-����mÆ{����¯�|}��¯�����°PO

��{8¥�q-�oq(����}`q-�cÁ���A�

PO}`� ¶ q-{�}�moq%�o���|±Ä�|�Op¤�¯�A��}�q-�´{����¯�|}`���O�A{���°

PO ∪ PN�O{3�oq-·6²������oqOµ�ÃÄ�Wp����[zÆ�(��{�q-{-Áo}`moq

{�q�}%��°��o���o±¿�|�OpL���A��}�qB�Å{����¯�|}`���O� }��W�Nq¨{�}����`q-� �-��� �NqÀ}��[�W�����`¥�qOÁ�{��´}�mAqÀ�A{�q(��mZ�D²�qL}������o�o�¯z���(���Z{~}`q(�`���o¥�{�}�q-��|�A���¯�o¥L� ��xcµ

���'& � �� /��������6����/��! +������*��0/���� ����� �+��� � � � *���3�[�o���¯¥��oq-³�± !i��{`�I�oq(³Lq�}L���GµÆ�o���O�Z�I{�qB� ��� #B���[���� q�Ç[}`q(�A�|qB� p��o��}��¯���o�~q-��}`��²OqÀ¥�q-�oq�}`�¯�¨���¯¥����`��}�mop}`�Æ�Zq��A{�q-�Å�¯� ¥�q(�Aq�}����¤�o�`��¥�����pLpL�¯�o¥AÁc�¯�I}��`�[�o�A���¯�o¥}�moqÀ{��´�(�����¯q-�Åu-,_T¾� �Uu´�A�¼}`���o�¯q$,^�|�~qB��}`��²OqT¾q-�oq�}`�¯���i�`��¥�����pLpL�¯�o¥C!�µ�T¾q(�oq(}������A���O¥�����pLpL���o¥��`q(�A�¯�O��q-{�}�moq%}������|��}��¯���Z���=�¯�¯�oq-���¾��mo�`��pL�I{��OpL����`q(�A��qB{�q-�O}���}`���O���Iz��tmo�¯q(��������mo�¯�-����}��`q(q���q-�o��qB{�q-�I}`��}`���O�)}�mA��}���{�pL���`q��N��·/q-��°¸�o�I�¯�%��q-��}����¯�%�|�Op����¯�A{(µ

ÃÄ�$'P#B¢*)¿Á ����q-�oq(�<q�}i���\µ����[²Oq-{�}��¯¥O��}`q-{=}�moq8�A{�q���°Zp%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q/}�qB��mo�o���I�oq-{��¯�%¥Oq(�oq(}������o�`��¥O�`��p¤±pL�¯�o¥��¯�¤�O�`�oq(�<}���q-²��O��²Oq��(��pL�A����}i�o�`��¥�����p�{<���Z��}`����qB�|�A�(q/}`moq3q(ÊNqB��}`{��(���Z{�qB�%�[z��A���I��}��¯�o¥Zµ�l8moq

QLR i$Q'S

Page 20: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� #��

�A���O�Z�I{�qB�����o�o�`�O����mÅ���O�A{����|q-�`{¾}`moqÀ�o�`��¥O�`��p£{��¯³(qÀ�O{��´{�qB���O�A�cÁ=�¯�A�|q-�Zq-�A�|q-�O}%���|�~qB��}��¯²�q��Nq-{����|q-{}`moq��o�`��¥O�`��pK°¸�A�A��}`���O�A���¯�¼}~zOµ�ÃÄ���(��p��A���A��}��¯���%·��¼}`m�x|�&% �^�oÁ�}`mo�¯{ip¤q(}�mo�|�¤���o}��Nq(��°¸���`pL{�°¸�O�o�X��}`moq(�{�}�����}`q(¥O��qB{8}����qB�|�A�(q��o�¯�O��}¾·��¼}`mk�`q(¥I�����¨}`�¨�N��}`m����O�[²�q(�`¥�q-�A��q�{��Zq-q-�����A�W{��¯³(q���°X}�moq%�o�`�[�o�A��qB��A���O¥�����p�{3�O��� q(²�q-�|±¿�A���`�¼}~zÆ�o�`���A��q-pµ%ÃÄ�W}`mo�¯{�{�}��Z�|z�Ác}`moq�{��¯�o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q��O�|}��¯pL��³B��}`���O�k�o�`���|±�¯q(pw�¯{�{����¯²�qB�W�[zW¥�q-�oq�}`�¯�¤�o�`��¥O�`��pLp¤�¯�o¥ZÁN·�mA���¯qÀ�Æ{�qB�����Z�k���`��}�q(�`���oÁe}�mAqÀ{��¯³(qL��°/}�moq��A���O¥�����pÆÁe�¯{�O�|}��¯pL��³-q-��[z¨�L������{`{����(���ep��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq¾q-²��O���|}`���O�A���`zÀ���¯¥��O����}�mApµ

ÃÄ�f' ¢:S�)¿Áo{��Op¤q¾��}`moq(�8p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q)pLq-��mA���o��{�p�{����`q^�¯�I}��`�[�o�A��qB��}��L�`q-�|�Z��q¾�o���I��}8���¥�q-�oq�}`�¯��A���O¥�����pLpL���o¥W{�q-���`��m=µ-,t}�moq-�%�A���Zq-�`{%���`qÀ�o�o�A����{�mAq-� �¯� }`mo�¯{¤���`q-�AÁX{��A��m �O{X' �J)¿ÁX·�mo����mg���o�A���¯q-{¥Oq(�oq(}����À�o�`��¥O�`��pLp¤�¯�o¥´°¸�O�¤��p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q ���|}��O�o��pL�O�A{%�(���I}��`���¯�¯q(��°¸�O�¤��q(�`�¯���/²Oq(mo�����¯q-{%�o�`���|±�¯q(pÆÁe���L'9#- ��J)¿Ác·�moq-��q%¥��o���|q(�¯�¯�oq-{¾���`q��o�`���N�O{�q-�}`��(��qB��}�q�p��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq�¥�q-�oq�}`�¯���o�`��¥�����pLpL�¯�o¥pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({-µ

���'� � �� /��������6����/��! +� ���4/��3, �������*�� � *��ÃÄ� 'P# #D)¿Á��À¹A��{�}¾�¯�[²�q-{�}��¯¥O��}��¯���´·8��{^�o�`���N�O{�q-�Æ}`� �¯�A���¯�A�|q¤�A��}�m|±¿��q-���¯� ¶ �¯�o¥ ����¥O���`�¼}`mop�{t�¯�I}��Æ�Àp��A�¼±}`���O�|�~q-��}��¯²�qÆ{��-��}�}�q(��{�q-���`��mg����¥O���`�¼}`mopƵ l=·��Å�oq(�¯¥�m[�N���`mo�[�[� ���Nq(����}��O�`{%·�q(�`q¨�A{�q-�g}��Å¥�q-�oq(����}`q}`moq��A��}�mA{-Á����A��}�moqÀ�|��{�}`���Z��q��A{�q-�Å·8��{¾�o��}��(���`��q-�¯��}�qB�k·���}�mÅ}�mAq-{�q�p¤qB��{��o�`q-{-µ �3°Â}�q-��}�mAq��A��}`m�`q(�¯�¯� ¶ ���o¥��A���|��qB{�{-Á[}�mAq��o���o±¿�|�OpL���A��}�qB�{����¯�|}`���O�A{3���`q�{�q-��qB��}`q-� }��À�A�o�`{��oq)}`moq�{`�(��}�}�q-�t{�qB������m���¼±¥O���`�¼}`mopƵXl8moq����¯¥��O����}�mop,�A���O�Z�I{�qB� �|�L�o��}3��Êeq(��¥O�o�¯�oq(�¯���oqB{�}������A���|}3�A��}�m|±¿�`q(�¯��� ¶ �¯�o¥L���¯¥����`��}�mop}`���%p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q��(���I}�q(Ç[}-µ

ÃÄ� ' �A)GÁ���A��}�m|±¿�`q(�¯��� ¶ �¯�o¥ ����¥O���`�¼}`mop��¯{)�A���O�Z�I{�qB�´�A{����o¥Æ{`��pLq%�¯�A�|�¯²[�¯�o�A���X�`q(�o�`q-{�q(�I}���}��¯���=Áe���¼±}`mo���A¥�m�¼}3��{����o�A���¯q-�¨}��À�L�|��ÊNq-��q-�I}8�A���O�o��q-pƵXÃÄ�¨}`mo�¯{t{~}`�A�|z�ÁA���o�¯z�}�mAq¾pL�I{~}3�N��·/q-��°¸�A�N�Aq(�¯¥�m[�Z�O��±mA�I�|�Æ�O�Zq-�`��}�������{3�Z{�qB�cÁZ���A�}�moq%�o�`���N�O{�q-�Æ�|��{~}����A�(q�p¤qB��{��o�`q��¯{^�����`�`q(����}�qB�¨·���}�mW}�moq��Aq(�¯¥�m[�Z�O��±mA�I�|�¤���Nq(����}`���Bµ=l8mo��{i���¯�¯��· }���¥Oq(�oq-�`��}�q8���A��z�}`moqt{�mo����}�qB{~}X�A��}�mA{-Á�·���}�mA���|}i¥Oq(�oq-�`��}��¯�o¥¾���[z���}`moq(�{����¯�|}`���O��µkl8moq-��Ái�ku´�A�¼}`��,^�|�~qB��}`��²OqÀ�X��}�mo±¿��q-���¯� ¶ �¯�o¥ �\u-,^��� !����¯¥����`��}�mop �¯{%�o�`q-{�q(�I}�qB�cÁ<·�mo����m��{L�A{�q-�º��� �Å���[���Nq(����}`��²Oq ·8�Dz ·���}�m½¥�q-�oq�}`�¯�Æ���Z�g�¯�|�(����{�q-���`��m ���¯¥����`��}�mop�{-µ½x[q-²�q-�`�����I�oqB{~}`���O�����qÀ°¸���`p��o����}`q-� �¯� }�mA�¯{¤�A���Zq-�-Ái�(���A�(q(�`�o���A¥Wmo��· }��Å���o���|}%�Z��}�mo±G�`q(�¯��� ¶ �¯�o¥WpLqB��mA���o��{�pL{�}���}�moqp%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q��-��{�q�µ

ÃÄ�´}`moq��A���O�Z�I{�qB�����¥O���`�¼}`mopÆÁo}~·��À{��O���o}��¯���A{x���Z�

y����q������A�o��pL��z{�q-��qB��}`q-�Æ°¸�`��p����´�¯�o��}������

{�q�}���°^�o�O�|±¿�o��pL���Z��}�qB�º{����¯�|}`���O�A{(µ½l8moq-��Á��Å�A��}�m �¯{À¥�q(�Aq(����}�qB� }`�Å�¯�¯� ¶ }�mAq´���o��}������^{��O���|}`���O�x}`�´}�mAqÀ¥��o���|�¯�o¥k{����¯�|}��¯���

yµ´l8mo��{���{��(�����`�¯q-�����|}��[z ���Op¤�A�|}��¯�o¥´}`moq¨�|��{~}����A�(q

d�U���g�oq-����{����O�A���

{��A�O��qJ!��Nq�}~·�q(q-�x���A�

ye�}`moq3�oq-��¥OmI�N���`mo�[�|�

N��°

x��{X¥�q-�oq(����}`q-�%·��¼}`mL}�moq8°¸�O���¯��·����A¥)�(���A{�}������¯�I}-È

∀z ∈ N, d(z, x) < d(y, x)µ$go�`��p }`mo�¯{��oq(�¯¥�m[�N���`mo�[�[��Á����o�¯zW}`moq��o�O�|±¿�o��pL���Z��}�qB��{����¯�|}`���O�A{����`q

{�q(�¯q-��}�qB�Æ}�� �Zq¤�À�N��}�q-�I}�������{����¯�|}`���O�W��°X}`moq�°¸�|}`�o�`q%�A��}�m �\{�q-q1g��¯¥Aµ^� !�µ)l8mo�¯{^�o�`�|��q-{`{���{t��}�q-�`��}�qB��A�O}`�����Å���Op¤�A��q(}�q�A��}`m °¸�`��p

x}��

y��{¤¥�q-�oq(����}�qB�cµ ÃÄ� ' ��)¿ÁX}`moqÆ�o���|±Ä�|�Op¤�¯�A��}�q-�g{��O���|}`���O�A{¤���`q

{�q(�¯q-��}�qB�À}`���A����}������¯�A��}`qt}`�À�¤�<����q(}��L�¯�[�-����{�q-���`��m���¯¥����`��}�mopƵ

��� � � �� /��������6����/��! +� � ���4/6/1� �7�6� � �8�8��3q-��q-�I}��¯z�ÁZ}�moqL���o�A�����(��}��¯���´��°�{`�(��}�}`q(�^{�q-���`��m}`�¨p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q��O�|}��¯pL��³B��}`���O�´�o���O�o�¯q(p�{3mA�O{t�`q�±�(q(�¯²�qB��{��OpLq/��}�}�q-�O}`���O���[z�{��Op¤q/��qB{�qB������moq(��{ '9#:#�Á�����)Gµ�ÃÄ� '9#B�J)¿Á�}�mAq/u-,)xox����¯¥��O����}�mop6��{��A��qB{�q-�O}`q-�cÁ·�mA�¯��m´�o�`���N�O{�q-{t�L}`���o�1��{`�(��}�}`q(�^{�q-���`��mÆm[z[�o�`�¯�´���o�o�`�O����m °¸���¾{��O��²[�¯�o¥À�o�O�o�¯���oqB���3p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�O�|}��¯pL��³B��}`���O�´�o���O�o�¯q(p�{(µ)xox[��uf,%ÁN�|qB{��(���¯�Nq-�´�¯� ' �O�*)¿ÁN�o���O�Z�I{�q%�¨{���pL�¯�¯���tm[z[�o�����W���o�o�`�O����m=Áo�o�|}

idikj�lmDnbo�p

Page 21: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

#B� � 2����b��67�����2A@P0��

f1

f2

solution A

Neighborhood

solution A

Eligible solutions

Aggregation plane

Objective spaceDecision space

Feasible solutions

Neighborhood

solutionSelected

g���¥O�o�`q)�AÈ<�<��}�m´��q-���¯� ¶ ���A¥L����¥O���`�¼}`mopÆÈ<�oq(�¯¥�m[�N���`mo�[�[�¨q�Ç|�o�¯������}`���O��µ

QLR i$Q'S

Page 22: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� #B�

·���}�m ���|��ÊNq-��q-�O}�l����o�À{�qB������m�µdg��¯�A���¯�¯z�Á�' �:SA)Z�¯�I}��`�|�|�A��qB{���{`�(��}�}`q(��{�q-���`��m���mA���`�O��}�q-���¯³(qB���[z¤�A{����o¥}`moqÀ�¯�o��}������8{�q(}%��{%��� q�Ç[}`q(�`�A���i�N���A�o�¯��}��¯��� }`�k{�}����`qL}�mAq¨�o�O�|±¿�o��pL���Z��}�qB� {��O���|}`���O�A{�°¸�O�o�A� �|�A��±�¯�o¥L}`moq�{�q-������m�µ/xo�(��}�}�q-�^{�q-������mmA��{��Nq(q-�W����{������o�o�¯��qB�Æ���´�L�o��±¿�(����}�q-�����L oÁ9#�± ¶ �Z���A{`��� ¶ �o�`���A��q-pL{' ���oÁZ���*)=���A����Æ���O�A{~}`�`�����Aq-���U�o�|}t�A��}����o�¯zW!8������{`{����(���c�����I}`���[�o�O�A{/}�q-{�}�°¸�o�A��}��¯���A{ ' �:S�)Gµ

��� � � �� /��������6����/��! +� �*"/$���+��+* � � ��� /1� �

ÃÄ� ' �� �)GÁ&T)��p%�A�����|q-�����q�}%���\µ�o�`���N�O{�qL}��k{����¯²�q��´�o�¯���o�~q-��}`��²Oq����O�|}��¯�o¥´�o�`���A��q-pw�[zÅ���I}������¯���[z{�z|{~}`q(p�{-µ l8mAq(z �o�`���N�O{�q u � � xI± !^�3��l8É �\u´�o��}��¯�o��q �3�I} � ���¯���[z x[z|{~}`q(p&°¸�O� !Xq-mo�¯�(��qÆ���O�|}�±�¯�o¥W�����O�o��q-p�{�·��¼}`mgl8�¯p¤q É ���Z�|��·3{�!�Á���� ���I}%�(���¯���[zk�O�|}��¯pL��³B��}��¯��� �Z��{�q-� ���o�A���I����m�µÆu � � xI±!¾����l8É���{À�O��¥I���o�¯³(qB�g·���}�m � mA��q-�`���`��m[z ��°�����}`�¼¹N�������t���O}�����¯���A��qB{À�|q-{��¯¥��oqB� }��g{��A�(�(q-{`{��¯²�q-��z�O�|}��¯pL��³-q¨�´p%�o�¼}`���A��q ���|�~qB��}��¯²�qÀ°¸�o�A��}`���O��Ȥ}�moq¨¹A��{~}%�(���¯���[zkpL�¯�o�¯p¤�¯³(qB{�}`moq¨�[�op%�Zq-����°3²Oq(mo�����¯q-{·�mA���¯q�}�mAq%{�q-���O�A�´���O���O�[z¨pL���A��pL�¯³(q-{t}�mAq�}����D²�q-��qB�Æ�|�¯{�}`���A��qB{(µ � �[�O�Zq-�`��}��¯���Æ�Zq(}~·/q-q(�k�(���¯���o�¯q-{3�¯{�Nq(��°¸���`pLq-���[zWq�Ço��mA���o¥��¯�o¥���|°¸�O��p���}��¯����}�mo�`���o¥Om��Amoq(�`��pL���Aq%�o�e�o��}��¯�o¥AµÀu � � x[± !¾����l8É ��p¤±�A����²Oq-{X{���pLq���°e}�mAq3�ZqB{~}8{��O���o}��¯���A{ ¶ �o��·��¤°¸�O�����[�op��Nq(�/��°e�o�`���o�¯q(p ���Z{~}����A�(q-{X�¯�L}�moq^����}�q-�`��}��o�`q�µ

uW���������A�¨���A�ku´�������¯q-{t�o���O�Z�I{�qB� �tr^l�±��%ÁN·�mo����mW·8��{¾����{��¨�oq-{���¥O�oq-�Æ}`� �|qB����·��¼}`mkp%�o�¼}`���A��q�O�|�~q-��}��¯²�qB{' �� *)¿µ�ÃÄ��}`mo�¯{X{�}��Z�|z�Á�}`moq8�o�`���N�O{�q-������¥O���`�¼}`mop����O�o�¯�%�Nq8�(��pL�A����qB�)}��)�A���`�����¯q(�[{�q-��qB��}`���O�'9#- O�J)GÁ[�Gµ qOÁ[���oqt���I}����O���O�[z���{/�O{�{��|������}�qB�¤·��¼}`m¨���Aq3���|�~qB��}`��²Oq�°¸�o�A��}��¯����µXÃÄ�(' ¡���)GÁ[ÃÄ�`q-�|�Zq�}����\µX�|q(}`������¨{��¯pL�������t{`��moq-p¤qOÁZ�A�|}^qB����mÆ�Z�O�o�o����}`���O�W�¯{^��{`{��|�(�¯��}�q-� }`�¨���´�O�|�~q-��}��¯²�q�°¸�o�Z��}��¯���������`�`q-{��Z�O�A�|�¯�o¥}`���%·�q(�¯¥�mI}`q-�{��op7��°�}�moq��|��Êeq(�`q(�I}t���`�¼}`q(�`�¯��}����O�|}��¯pL��³-q�µ

����� � �� /��������6����/��! +� � ��� ����4/1� � *�*�� ����*��x|��p%�o�¯��}�qB�%���o�oq-�����¯�o¥)���¯¥��O����}�mop�{�·/q-��q8��q-��}����¯�o�¯z)}�moq�¹A��{~}i�(�¯�O{�{���°NpLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{(Á���°Â}�q-�X¥�q(�Aq�}����({����¥O���`�¼}`mop�{(Á�}�� �NqW���o�A���¯q-�º}�� p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q´�O�|}��¯pL��³B��}`���O�Y'9#:#D�/)GµK�i�`q-{�q(�I}��¯z�Á8� ����}À��°¾}�moqB{�q{�}��Z�|��qB{����`q��o�`���N�O{�q-�k����}�mAq¤�¯��}�q(����}`�o�`q ' �� |Á=��¢|Á�¢W#�Á�¢O�[Á��O¢|Á��I�IÁh# #D�OÁh#D�O�OÁ=���*)Gµ ��q(})�Z{^�`q(p���� ¶}`mA��}�p¤�I{~}���°[}�moqB{�qi����¥O���`�¼}`mop�{��|���o��}=mA�D²�qX�8�N���o�A�¯��}��¯�����o�|}�{~}`���`q<}�moqi�A���|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�){����¯�|}��¯���A{�o�¯{`����²Oq(�`q-�)�|�o�`���A¥t�3�¯�|�(���I{�qB������m��o�`�[�(q-{`{(µ��3��}`moq(�=}�mA�����A{����o¥^�X���`q�}��t�`��� ¶ ���o¥ZÁ-·�q(�¯¥�mI}`q-�)pLq�}`�����({����q��A{�q-��}�����¥O¥��`q(¥I��}�q�}�moq8�O�|�~q-��}��¯²�q-{<�¯�I}����¾{��¯�o¥��¯q�{��(���`q�}`�)�Zq��A{�q-�%�¯��}`moq3���-��q(�o}`���Z��q/°¸�o�A��}`���O��µ

� ��� ����(:1$ �����(���������i���� �� $"������� �� ���(�c�������uWq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{(Á%{��A��m��O{k{���p%�o�¯��}�qB�����o�oqB���¯���A¥AÁ�q-²����¯�|}`���O�A���`z ���¯¥��O����}�mApL{-Á)}`���o� {�q-������m�Á����O}�(���¯���[z ���|}`��pL�¯³-��}��¯����Á�{��-��}�}`q(��{�q-������m�Á����A� ��}�q-�`��}�qB�g�¯�|�(����{�q-���`��m�ÁXmZ�D²�q��qB��q(�¯²�qB� ���O�A{��¯�|q-�`���o�¯q�¯�I}�q-��qB{~}��¯� }`moqÀ¹Zq(���o{���°^���Op��o�¯�A��}����`�����i�O�|}��¯pL��³B��}��¯���=µ�s3�I}`����}�mAq ��  � {-Á�}�moqp����¯� °¸�|���A{%��°3�`q�±{�q-���`��mº·��O{¤��� }�moqW���o�o�¯�¯�-��}`���O�º��°¾{����o¥O��qÆpLq�}���moq-�o�`�¯{�}����({¤}`� �����Z���`q�}�q�o�`���o�¯q(p�{-µ r3��·8���o�Dz|{-Á��}%mZ��{��Nq-�(��pLq¨q-²I���|q-�O}�}�mA��}�}�mAq¨���O�A��q-�O}`�`��}��¯��� ��� �k{��O��qÀpLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}�������{��o��}%{��7QÀ���¯q(�I}-µ �{ ¶ ���¯�¯q-�¨�(��p%�o���Z��}��¯���¨��°��(���A�(q(�|}�{���°��|��Êeq(�`q(�I}�pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({-Á|�(�����¯q-�¨mIz[�o�`���ÀpLq�}���moq-�o����{�}�����Á|�(����A����²[���|q���pL���`q�qbQÀ���¯q(�I}¾�Zq-mA�D²[���O�3���A�W�Àmo��¥Omoq(� �Aq�Ç|�¯�o���¯��}~z ·�moq-�k�|qB���¯���o¥¨·��¼}`m´��qB����±G·����`�¯����Z������`¥�q(±¿{`�(����q^�o�`���o�¯q(p�{-µ

l8moq�|q-{��¯¥��g���A� ��pL�o�¯q(pLq-�O}���}`���O� ��°3m[z[�o�`�¯� pLq�}���moq-�o�`�¯{�}����({%����{�q-{��A���O�o��q-p�{�¥��O���A¥´�Zq-z����Z��I�oqB{~}`���O�A{X���N���o}i}�moq3�oq-{���¥O�¤��°���{��¯�o¥��¯q8pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯��µ�l8mAqt��mo������q����A�¤}��o�A���o¥���°c�A������pLq�}`q(��{��¯{

idikj�lmDnbo�p

Page 23: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

��  � 2����b��67�����2A@P0��

°¸�O�8q�Ço��pL�o�¯q)q(�o�����`¥�qB�À�[z�}�mAq��o���O�o�¯q(p,��°�mo��·h}`������mo�¯q(²Oq¾�¤�o�`���Nq(�8�¯�O}`q(������}��¯���¨��°=}`moq��|��ÊNq-��q-�O}����¥O���`�¼}`mop����Op¤�N���Aq(�I}`{-µ=ÃÄ�I}�q-�`�O��}`���O���(����}`� ¶ q��o������q���}X�¯��·8±G�¯q(²Oq(�GÁB�Z{��¯�o¥3°¸�A�A��}`���O�A{�°¸���Op �|��ÊNq-��q-�O}pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({-Á��A�|}����¯{�����}�mA��¥Om|±G�¯q(²Oq(�GÁ�q�µ ¥Aµ¯ÁI�A{��¯�o¥����N����}�°¸�O���¯����°epLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({X°¸���/���|}��Op���}�qB�m[z[�o�`�¯�o��³B��}��¯���-'P#D�� *)¿µ

ÃÄ�À��¥Oq(�oq-�`���|·��DzOÁ�·���}�m�²Oq(�`z������`¥�q8�o�`���o�¯q(p�{i���A�>�D�O�Xp��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�q��A���O�o��q-p�{(ÁOqbQÀ���¯q(�A�(z%��°{��¯�o¥��¯q�pLq�}���moq-�o�`�¯{�}����({�p��Dz¾�Nq8����pL�o�`��pL��{�qB�cµJ�tq(�A�(q�Á��¯��}`mo�¯{<�(���I}�q(ÇI}<��}���{��oq-�(q-{`{�����zt}��¾���I}�q-¥�����}`qpLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({<�¯�LpL���`q�¥Oq(�oq-�`���o{���mAq(pLq-{<�¯�L�����|q(�<}`�)�oq(²�q-���O�Lq(²�q-�%pL�O��q8qbQÀ�(��q-�O}ipLq(}�mo�|�o{-µhgo����¯�A{�}`���A��qOÁ��´·�q(�¯� ¶ �o��·�� �(�I�O�Zq-�`��}��¯��� {`��moq(pLq¨�(���A{��¯{�}��¯� �A{����o¥´q(Ç|�o���O�`��}��¯��� pLq�}`mo�|�o{(ÁX{��A��m ��{q-²��O���|}`���O�A���`zk����¥O���`�¼}`mop�{(Á�·���}�mg���I}�q-�A{��¼¹Z�-��}`���O�ÅpLq(}�mo�|�o{-ÁX{��A��m �O{����|�-���/{�q-���`��mAq-{-µÀÃÄ� �´p��A�¼}`�¼±�O�|�~q-��}��¯²�qL���O�O}`q�Ç[}-Á=�oq(· ���o�o�¯���(��}`���O�k��°/pLq�}���moq-�o����{�}����({¾mA��{¾�Nq(q-� �oq-{���¥O�oq-�k���Å�����|q(�¾}`�q(Ç[}�q(�Z�}`moq(p °¸�`��p �´{��¯�o¥��¯q����|�~qB��}`��²Oq%}`�k�Æp��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�qÀ���O�I}�q�Ç[}Bµ � ���A{�q-�I�oq-�I}��¯z�Á�p¤�I{~}���°/}`moqÀ�oq-·p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q/pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{��\{�q-q8x|q-��}`���O�¤� !�Á�mA�O{��Nq(q-�%�|qB{��¯¥��Aq-�)}`�^�o�`���N�O{�q/�(�[���Nq(����}��¯����·���}�mq-²��O���|}`���O�A���`z����¯¥��O����}�mop�{-µ

uW���[z´��°X}�mAq¤p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q%m[zI�A�����k���o�o�`�O����mAq-{��o�`���N�O{�q-�W���k}�moq¤����}�q-�`��}��o�`qL�|q-����·���}�mÅm[zO±�A�����|�¯³-��}`���O�g�Nq�}~·�q(q-�g¥�q-�oq�}`�¯�Æ����¥O���`�¼}`mop�{%���A�g�¯�|�(���8{�q-���`��m=µ ÃÄ�A�|q-q-�cÁ�}�moqÆ·�q(�¯�¼± ¶ �o��·�� ¥�q-�oq�}`�¯��¯�|�(���Z{�q-������m4�U�(�����¯q-�¨����{��8G8�bG8�����M��!i����¥O���`�¼}`mop�{i���`q��Z�O�o�o�����/����}`moq3p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q3�O�|}��¯pL��³B��}`���O��(��pLp��A�o�¼}~zOµ<x|��pLqtq(Ç|��pL�o��qB{�����q ' ��¢�)N�O� ' �� *)¿µXl8moqt�A�O{������o�`�¯�A���¯�o�¯q^���O�A{��¯{�}���°��¯�A�(���`�Z�O�`��}��¯�o¥)}�moq�¯�|�(����{�qB������m��A���|��qB�|�o�`qÀ�|�o�`���A¥W�Æ¥�q(�Aq�}����À����¥O���`�¼}`mopw{�q-������m�µl8moqÀ�¯�[�-����{�q-���`��mÅ�A����}��(���o��� �Zq�¯�A�(���A�oq-���[zL��q-�o�������¯�o¥ZÁ�°¸���/q�Ço��pL�o�¯q�ÁO}�mAq^p%�|}`��}��¯���À�O�Zq-�`��}����BÁ��o�o}8�-���À����{����Zq¾���o�oq-�À��°Â}�q(��q-�O��m�(��pL�o�¯q�}`q¨¥�q-�oq(����}`���O� ��°�}�mAq¨¥�q-�oq�}`�¯� ���¯¥��O����}�mopƵWl8moq������{`{����(���/{�}��`�A��}`�o�`qÀ��°t�´p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q¥Oq(�oq(}����¾���|�(����{�qB������m-�\u-,_T ��xW!8����¥O���`�¼}`mop,��{3{�mA��·�� �¯�$g��¯¥Aµi�Aµ

Local Search Part

Initial population

Newpopulation

Improvedpopulation

EMO Part

Initialization

g���¥O�o�`q)�AÈT¾q(�oq-�����^°¸���`p,°¸���3uf,_T ��x���¯¥��O����}�mop�{-µ

l8moq-��q¤���`q���}`moq(�¾·���� ¶ {3��q-�¯��}�q-�´}��¨pLq-p¤q(}���������¥O���`�¼}`mop�{�ec��{^���Wq(Ço��pL�o�¯q�ÁN��� ' �7#D)GÁeÃ~{�mo�¯�o�A��mo�q(}/���Gµ��o���O�Z�I{�q3�)pLq-p¤q(}����t����¥O���`�¼}`mop#�|qB�|�¯�-��}`q-�¤}��%{��O��²Oq8���o�¼±¿���o�~q-��}`��²Oq��A��·8±Ä{�mo�O�%�A���O�o��q-pÆÁO���Z�{���pLq)��}`moq(�3����¥O���`�¼}`mop�{8���`q^�o�`���N�O{�q-� �¯�f'9#-¢I�IÁ #B�W#�)Gµ

QLR i$Q'S

Page 24: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� �W#

ÃÄ�%}�moq�°¸�O���¯��·����A¥AÁ�·�q����A���¯z[³(q/�^�[�op��Nq(�X��°A·���� ¶ {�q(p��(��pL�A��{`{����o¥^m[zI�A����������¥O���`�¼}`mop�{=�Nq�}~·�q(q-�¥Oq(�oq(}����3���¯¥��O����}�mApL{/���A�À���|�(���Z{�q-���`��m�µ�ÃÄ�(' ��S�)¿ÁI}�moq ��u´�A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q �tz[�o�����XT¾q-�oq�}`�¯� �3�¯¥����`��}�mop ���{t�oq-{`���`���Nq-�cµ¾l8moq��A���Zq-�t°¸�|�(�A{3�O�Wmo��·6}�moq%�Zq-��°¸�O��p����A��q���°Xp��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq�¥�q-�oq�}`�¯�����¯¥����`��}�mop�-�����Nqt�¯pL�o����²Oq-�¤�[zLmIz[�o�`���|��³B��}`���O�¤·���}�mÀ°¸�o³(³-z¤�¯��¥O�¯�t�����I}`���O�A���A�L�¯�|�(���Z{�q-������m�µ�ÃÄ�(' �A)GÁ[�������o���|±}`��²Oq�T¾q(�oq(}����?��u´q(pLq�}`�¯� �3�¯¥����`��}�mopÆÁ��(�����¯q-� �VT)u ��Á���{¨�|qB{��(���¯�ZqB�cµ6ÃÄ�½}�mo��{¨{�}��A�oz�Á�� pLq(pLq�}`�¯�����¥O���`�¼}`mop#��{im[z[�o�`�¯�o��³-q-�¤·��¼}`m¨�)¥�q-�oq�}`�¯�t���¯¥����`��}�mopÆÁ����A�¤}�moqt}������A{���}��¯���A{X�Nq�}~·�q(q-�L}�moq3}~·/��pLq�}���±mAq(�o�`�¯{�}����({����`qX��qB���¯��³-q-���O�(���O�`�o���o¥8}`�t�t�(���[²�q-��¥Oq(�A�(qX{��Nq(qB�����`�¼}`q(�`�¯�Aµ�ÃÄ� ' ¢��*)¿ÁD}�moq/�o�`���N�O{`�����(���A{��¯{�}`{��°i�¨{�q-�I�oq(�I}`�¯�������A�o���I����m�ÁA·�moq(�`q���¥Oq(�oq(}��������¯¥��O����}�mAp ��{tq(Ç[qB���|}`q-�cÁe���Z�}�moq-�����¯�|�(����{�qB������mÆ�¯{���o�o�¯��qB��}`���o�o¥O�`�O�|q3}`moq){��O���|}`���O� �I�A������}~z����A�¨��qB�|�A���¯�o¥�}�moq¾�[�op��Nq(����°��(��pL�o�`��pL��{�q¾{��O���|}`���O�¨��}}`moq^{`��pLq�}`��pLqOµ<l8mA�¯{����¯¥��O����}�mop ��{����A�o���¯q-�À���Àq-�o¥��¯�oq(q-���¯�o¥�{�mA���Nq^�oq-{���¥O���o���O�o�¯q(p�{(µ�ÃÄ�(' ���*)¿ÁI}�moqm[z[�o�`�¯� ���o�o�`�O�O��mÅ�A���O�Z�I{�qB� ���[²��O��²Oq-{�¥Oq(�oq(}����À���¯¥��O����}�mAp ���A� �Æ}����o�g{�q-���`��m �A{��¯�o¥W}`moq l����`¥�q(}�t��pL�¯�o¥Æ�X���`q�}��´x[qB������mk�o�`���Z���¯�o��q.�\l �t�<�IxW!�Á=·�moq(�`q¤{�q-���`��m�¥��I����{^����qL�|q�¹Z�oq-�Å���-�������|�¯�o¥ }��}�moq{�mA���Zq)��°�}�mAq����o�`��q-�I}��o�O�|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�{�q(}3��°�{����¯�|}`���O�A{(µ

x[�OpLq¤�Z���Nq(��{^�¯�I}��`�|�|�A��q¤m[z[�o�����´}`q-��mo�A�¯�I�oqB{^�¯�[²��O��²[�¯�o¥ �O���¯¥��¯�A����p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q¤pLq�}`��moq(�A����{~±}`�¯�-{(µ<ÃÄ�-'P#B�*)GÁo���Àm[z[�o�����¨���o�o�`�O�O��m��Zq(}~·/q-q(�À�oq-�o�����e�oq�}~·���� ¶ {����A��¥�q-�oq�}`�¯�¾���¯¥��O����}�mApL{i°¸���8p��A�¼}`�¼±�O�|�~q-��}��¯²�q�}��¯pLq�±¿���|}`��p����Z���O�I}��`���|���o}��¯p¤�¯³-��}��¯���L��{X���I}`���|�|�A�(q-�cµ�ÃÄ�.'9#D�/)¿ÁO{���pLq�q(²O���¯�|}��¯���Z���`z��o���¯�A�(�¼±�A��qB{i���`q����I}`���|�|�A�(q-�¤�¯�À�)p��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oqt{��¯p��A�¯��}�q-�L���o�oq-�����¯�o¥����¯¥��O����}�mAp }���{����¯²�q3�)�A�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq{��A�O��q%�����¯�|�(��}��¯���W�o�`���A��q-pµ�ÃÄ� ' ��)GÁ=���Wm[z[�o�����k���o�o�`�O�O��m�ÁN�(��p%�o���A���o¥ pLq(pLq�}`�¯�L���¯¥��O����}�mApÁe�¯�|�(���{�q-���`��m=Á[���A� �A��}`m|±G�`q(�¯�¯� ¶ ���o¥ZÁ|�¯{����o�o�¯��qB� }���{��O��²Oq¾�L�A�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq �A��·8±Ä{�mo���{���moqB�|�o�¯���A¥¤�A���O�o��q-pƵ

�t�o��}`moq(���`q-�(q(�I}¾�N���A�o�¯���)�¯{`{��Aq¤��{¾}�mAqL�(�[���Nq(����}��¯���k�Zq(}~·/q-q(�Åp��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq¤pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({���A��q�Ço����}¾pLq�}`mo�|�o{-µLl8mAq(�`q¤q(Ç|�¯{�}�� ¥O����·��¯�o¥ �I�Ap��Nq(����°8{~}`�A�|�¯q-{)�¯�[²����¯²[���A¥¨}`mo�¯{¾}~z[�Nq���°8���[���|±q-�`��}��¯���º��� � {��¯�o¥O��qÆ���o�~q-��}`��²Oq´�����I}`q�Ç[}-µ l�·/� {��o��²Oq(z|{¤mA�D²�qÆ�Nq(q-� �A�o�o�¯�¯{�moq-� �`q-�(q(�I}��¯z ��� }�mA�¯{}`���o���1' SI¢|Áo���*)¿µil8moqB{�q¾�A���Nq(��{/}��`zL}��Lq�Ç[}`�`�O��}��(�¯�O{�{����(���c�(�I�O�Zq-�`��}��¯���¨{`��moq-p¤qB{��Zq(}~·/q-q(�¨q(Ço����}����Z�pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({¤���A�o���I����moqB{(µfgo�O�%q(Ç|��pL�o��qOÁ�{���pLq¨m[z[�o�`�¯�o{¤{`��moq(pLq-{%p����¯�o�¯z ���¯p ��}%�A����²[���|���A¥�O�|}��¯p����<{��O���o}��¯���A{^���Å{�mA����}�q(�t}��¯pLq�Ác·�mo�¯��q¤��}`moq(��{^�o���¯p����`���¯z °¸�[�(�A{¾���W¥Oq�}�}��¯�o¥ �Nq�}�}�q-�){����¯�|}`���O�A{(µÃÄ�½��p��o��}��¯���|�~qB��}`��²OqÆ�(���I}�q(Ç[}-Ái�O�o��z °¸q(·7{�}��Z�|��qB{¤}`�O� ¶ �¯q }�mo��{¤}~z[�ZqÆ��°)���o�A���I����moqB{(µ ÃÄ�Y'P#D��¢*)¿Á/��A�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq���±Gp��O��mo���Aq-{��A��·8±Ä{�mA���¤�o���O�o�¯q(p#��{i{����¯²�qB�cµh,^�Aq����|�~qB��}��¯²�q8��{i�o��}�r3�X±¿mA���`�L���Z��}`moq(�{����¯²�qB�Lq�Ço����}��¯z�ÁI·�mo�¯��qt}�moq){�qB���O�A�L���oq^�¯{�{����¯²�q-�L�Z{��¯�o¥%���À���I}��(���¯���[zL���¯¥����`��}�mopƵ<l8moqt�O�|�~q-��}��¯²�q-{����q)����{��%}`��qB��}`q-� ���´�¤��q(Ç|�¯�(��¥������Amo�¯�t·��DzOµÃÄ� ' ¡*)¿Á �8��{`{�q-�o�3q�}����Gµt�¯�[²�qB{~}`��¥I��}�q�{�q(²Oq(���������[���Nq(����}`��²Oq����o�o�`�O�O��moq-{�°¸���^�¨�o��±G�O�|�~q-��}��¯²�q �A��·8±

{�mo�O� �o�`���A��q-pµ/l8moq-{�q�{���moq-pLq-{3����q��|qB{��¯¥��oqB� �����O�o�A� �VT)u � �¸�A��qB{�q-�O}`q-��Nq�°¸���`qJ!8���A� }�moq)}~·���±�AmA��{�q�pLq�}`mo�|��'P#B¢W#�)¿Ác��p��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq�q�Ço�O��}tpLq�}`mo�|�´�A�O{�qB�Æ���k���A�`���A��m�� �Z�O�o�A�W���o�o�`�O����m=µl8mAq%¹Z�`{�})�(�[���Nq(����}��¯���Å�|q-{`���`�¯�ZqB�W�A{�q-{¾���o}��¯p��opw{����¯�|}`���O�A{¾���|}����¯�oq-���[zÆ}�moq�pLq�}���moq-�o�`�¯{�}����({)��{�¯�o��}������Z�Z�O�o�A�o{�°¸���X}`moqtq(Ço����}����o�o�`�O�O��m�µ�l8mAq(��ÁO}�moq¾{�qB������m¤{��A�O��q3q(Ç[�A���O��qB�%�[z%}�moq^q�Ço����}ipLq�}�mA�[���{/��qB�|�A��qB���¯�¨�`q-{��ZqB��}�}���}`moq-{�q¾�Z�O�o�A�o{-µXl8mo�¯{���{/��p��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq^���o�o�¯�¯�-��}��¯���¨��°��(�¯�O{�{��¯�-���N���[���|±q-�`��}��¯���L°¸�O�o�A�À�¯�À}`moq�{��¯�o¥O��q^���|�~qB��}��¯²�q¾���O�O}`q�Ç[}-µ<l8moq-z��o���O�Z�I{�q¾����{���}~·/�%moq(�o�`��{~}`�¯�¾���[���Nq(����}`���O�A{-Á·�mAq(�`q�}`moq%p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q¤q�Ço�O��})�A����}¾��{¾���A�o�o�¯�o¥¨}`� �¯�I}�q-�A{���°¸z´}`moq¤{�q-���`��m����`���o�A�´}�moqL�Nq-{�}�{���±�¯�|}`���O�A{3�O�|}`�����oqB�Æ�[z¨}`moq�pLq�}���moq-�o�`�¯{�}�����µ�l8mo��{^{�q-���`��m��{t�`q-�����¯³(qB� �Z{��¯�o¥�}~·��À�|��ÊNq-��q-�O}¾pLq�}�mA�[�A{(È�Z{��¯�o¥´�����`¥�q��oq-��¥OmI�N���`mo�[�|�W}`q-��mo�A�¯�I�oqB{����Z� �Iz��A����}���}��¯���A���o¥´pLq(}�mo�|�o{-µ´ÃÄ� ' �O�/)¿Á��´�A�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq�`���o}��¯�o¥W�o�`���o�¯q(p ��{%{����¯²�qB� �A{��¯�o¥k�����[���Nq(����}`���O� �Zq(}~·/q-q(�g�´¥Oq(�oq(}����¨����¥O���`�¼}`mop ���A� �W�A�`���A��m� ���|}����¯¥��O����}�mApµ�ÃÄ��}�mA�¯{){�}��A�|zOÁc}�mAq¤¥Oq(�oq(}����%����¥O���`�¼}`mop��A{�q-{¾}�mAq%�o�����Z��m����(�|}����¯¥����`��}�mop }��q(Ço����}`��z {��O��²Oq^�O�oq)��°�}�moq)}~·��¤�(���A{����|q(�`q-����`�¼}`q(�`�¯�Aµ

idikj�lmDnbo�p

Page 25: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

�O� � 2����b��67�����2A@P0��

� 0h���<���������º$ �������������������� �� � + ���($"��.��)������'��¥O����·��¯�o¥Å���I}`q(�`q-{�}L��{À�|qB�|���(��}`q-�º}�� �¯pL�o�¯q(pLq(�I}À�A���`�����¯q(�3����¥O���`�¼}`mop�{�}`� {��O��²Oq p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�A���O�o��q-p�{(µ �t��ÊNq-��q-�I}�{`��moq-p¤qB{��(���g�NqÆ°¸���o�A��Á/{��A��m �O{¤�A�������¯��q-�8q(²����¯�A��}`���O��Á��Z�������¯��q-���O�Zq-�`��}��O��(��pL�o�|}���}`���O��Á|���3�|��{�}��`���o�o}�q-��X���`q�}`��°¸�`���I}�{(µ,^�o�¯zh�g{�p����¯�^�Z����}��°��A�������¯��q-�^pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({�|qB{��¯¥��oqB�½}�� p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�qk�O�|}��¯pL��³B��}`���O�

q(Ç|�o��������}��¯zg�(���A{��¯�oq(��{%�X����q(}��Å���|}`��p����¯��}~zg�|�¯��qB��}��¯z �¯� }�moqW����¥O���`�¼}`mop �|q-{��¯¥���Á/q-{��ZqB�������¯��z °¸�O�L}�moq¹Z�`{�})���o�o�`�O�O��moq-{t�o���O�Z�I{�qB�W�¯�k}`moqL����}�q-�`��}��o�`q�µ%uW���[zW{�}��A�|�¯q-{)���o�o�¯zk�|��ÊNq-��q-�O}�{�}�����}�q-¥��¯q-{¾��{-Áe°¸���q(Ço��pL�o�¯q�Á ' �[�[Á #- �¢�)R�U�¯{��¯���A�´pL�|�|q(�<·���}�m����oq%���|�~qB��}��¯²�q�}��`q-��}`q-�´�Nq(�)��{������Z�!�Á ' ���*) �¸��{������Z�WpL�|�|q(��¯�¨·�mA�¯��m q-����m¨�¯{��¯���A�ÀmZ��{8���|��Êeq(�`q(�I}3��¥�¥O��q-¥O��}��¯²�q8·/q-��¥OmI}`{�!�Á|���A��'P# #�S�)&�\�����Z{~}`�`�����I}`{��|qB{��¯¥��À·���}�m�Nq(�Z����}��¯q-{�°¸�o�A��}��¯���A{-Á|°¸�O��¥�q(�Aq�}��������¯¥��O����}�mApL{��`�o�o�o�¯�o¥L����¯�O}`q(�`�oq�}D!�µ

x[q-²�q-�`���8}`��Ç|�O�o��pL�¯q-{LmA�D²Oq´�Zq-q(�½�o�`���N�O{�q-�º}�� �(�¯�O{�{��¼°¸zº�A�������¯�¯q(���¯p¤�A��q-p¤q-�I}`��}`���O�A{���°¾pLq�}���±mAq(�o�`�¯{�}����({�' ���|Á8¢� *)¿µ %XÇ|��{~}`���A¥g·���� ¶ {À��q-²I�¯q(· ���A�h�|��{��(�A{`{�}�mAqk¥�q-�oq(�����¾�|q-{��¯¥��h���Z�½}�moq�p����¯�{�}�����}`q(¥O��qB{<�A{�qB�L���L}`moq(�¯���Z�������¯��q-���¯³-��}��¯����µ�� ·��¯�oq(�¯z¤�O�(��q-�|}�qB��������{`{���¹Z�-��}��¯���Lp����¯�o�¯z%�|��{�}��¯�o¥��o��{�moq-{�Nq�}~·�q(q-� {�}�����}`q(¥��¯q-{�·�mo�O{�qt¥O�O���A��{/�Z��{��¯�-���¯��z¤}��L{��Zq-q-�À�A�À}�mAq¾{�q-�I�oq-�O}`�¯���N����¥O���`�¼}`mop �������CB:@P�bZ 2A@ �N2���2�@�@P��@^�P`J2��<�M5�� ' ¢O *)F!�Á8���A� }�mo�I{�qÆ·�mo����mºpL�|�|��°¸z }�mAq�Nq(mZ�D²I�¯���L��°t}�mAqÆ{�q-�I�oq-�I}������8��pL�o�¯q(pLq-�O}���±}`���O� �o��}��O�o��zk}��W{�q-���`��mk°¸����mo�¯¥�mAq(��{��Zq-q-�Å�o� �o�|}�}��´mo�O�Zq(°¸�o���¯zÅ��pL�o�`��²�q%}�moq {��O���|}`���O� �O�Z���¯�¼}~z� �.67@^��� N3@P��Z 2�@ �ON2�� 2A@�@P�b@[�P`/2A���M5A� ' ¢O *)�!�µl8moqB{�qt}`��Ç[�O�o��pL�¯q-{XmA�����L°¸����p��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�qt���|}`��pL�¯³-��}`���O�À���¯¥��O����}�mop�{-Á��o�o}/}`moq(zL�oq-q-�À�)°¸�A��±

}`moq(�/{��Nq-�(�¼¹Z�-��}`���O�%°¸�O�X}~·��¾�`q-�O{��O�A{-µdg�����{�}-Á��`q-���¼±¿·����`�¯�%u � ,^��{XmA�D²Oq�}����|qB���o·���}�mL}`moq3�|}`���¯��³B��}`���O���°����Op¤�A��q(Ç´{����¯²�q-�`{^���A��{��¯p��A�¯��}�����{-µtÉÅq�}`moq(�`q�°¸�O��q¤�|�¼Êeq(�`q(�I}`�¯��}�q�}`mo�O{�q%{�}�����}`q(¥O��qB{t���¯pLq-��{��O��q-��z��}^{��Zq-q-�|�¯�o¥À�o�W}�moq¤����pL�o�o}`��}`���O�A{�°¸�`��p7}�mA�O{�q�}�mA��}^�A���`�����¯q(�¯�¯³(q)}�mAq�°¸�o�A��}��¯���Wq-²D�����Z��}��¯���´��°X}�moq�A���O�o��q-p£}`�´���|}`��pL�¯³(q�Á<���Z�Å°¸���Op£}�mA�O{�qL}�mA��}��A�������¯�¯q(�¯��³-q¤�O�oq�����p¤�O��q��O�Zq-�`��}��O�`{¾��°8}`moq¨{�q-������m}`q-��mo�A�¯�I�oqOµ�x[q-�(���A��Á�}`moq��qB{��o��}`{���°3�Wp%�o��}���±G�O�|�~q-��}��¯²�qÀ�O�|}��¯pL��³B��}��¯��� �A���|��qB�|�o�`q¨�|�W�A�k�`q-{�}��`�¯��}}`�¨¹Z�A�|�¯�o¥�{����o¥O��q¤{��O���o}��¯����Ác�o�o}^}`moq�{�q(}¾��°��o���o±¿�|�OpL���A��}�qB�W{��O���o}��¯���A{-µ�l8mo��{¾{�mo�O�o�¯�k�Zq¤}�� ¶ q-��¯�I}��Æ���-�����A�O})�¯�k}`moqL�A�������¯��q-���¯³-��}��¯���k{�}�����}`q(¥Oz´�ZqB�(���Z{�qL{�q-²�q-�`���=}`mo��qB���o{-Á���})}`moq�{���p¤q¤}`��pLq�Á����`qq(Ç|�o���O���¯�o¥)�oq-· �N��}`q(�I}������Z{��O���|}`���O�A{X·�mo�I{�q��X����q(}��)���|}`��p�������}~z%p%�A{�}i�Zqt��mAq-� ¶ qB�cµ�É�q3mAq(�`q3�|�¯{�}��¯�|±¥O�o��{�mW�Nq�}~·�q(q-�´}~·�� {�}�����}�q-¥��¯q-{-È�}�moq¤�X���`q�}��À°¸���O�O}¾�¯{)�|��{�}��`���o�o}�q-�k���A�k���|�(�����¯zpL���A��¥Oq-�´�[zÆq-�O��m{�q-���`��m¤}`mo��qB���À�o�o���¯�o¥�}�moq)���Op¤�A�|}`��}��¯���(�¸�¯�|�(���Z�o�O�|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�À{����¯�|}��¯���Z{�!�ÁO�O����}���{/�%��q-�O}`�`�����¯³(qB�q-��q-pLq(�I}^��°i}�moqL���¯¥��O����}�mAp �U¥��¯���A�����o�O�|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�´{����¯�|}��¯���A{�!�µ �3�����|}`���¯�oq¤��°X}`mo�¯{¾mo�¯q(��������mo���(����(�¯�O{�{���¹Z�(��}��¯���¨��{��|���D·�� �¯�.g���¥Zµ #- |µC�tq(�A�(q�Áo·�q��|q�¹A�Aq)}�moq)°¸�O���¯��·����A¥¤�-��}�q-¥��O���¯q-{-È#�µ3x[�¯�o¥��¯q�±¿·���� ¶ �Z�������¯��q-���¯³-��}��¯���l8mo��{ ¶ ���Z� ��°��A���`�����¯q(�¯�¯{�p ��{¨����pLq-� ��} {��Zq-q-�|�¯�o¥ �o�½}`moq��(��pL�o�|}���}`���O�A{(Á����A� }�moq��A��{�����Zq-mA�D²[���O�^��°i}�mAq%�o�Z�|q(�`��z[�¯�o¥Æ���¯¥����`��}�mop�{3��{¾�o��}���mA���o¥�qB�cµ)ÿ}¾��{^}�moqLq-�O{��¯q-{�}¾���A�´}`moq¤p¤�I{~}·��¯�oq(�¯z��A{�q-�%�A�������¯��q-���¯³-��}��¯�����¯�¤p��o��}���±G�O�|�~q-��}��¯²�q����|}`��pL�¯³-��}��¯���¤�ZqB�(���Z{�q���°Z}�moq�u � ,^��{�}`mA��}���`q^�Z{��A�����¯z¨{����¯²�qB�����}`mo�¯{�¹Zq(��� ����q¾��qB����±G·����`���L�o���O�o�¯q(p�{����[²��O��²[�¯�o¥¤mo��¥Om¨}`��pLq(±¿�(���A{��opL���A¥}`�O{ ¶ {-µ��X���`�����¯q(�¯�¯{�p���{����o�A���¯q-��¯� }~·��¤·��Dz|{-È�U�C!4�V2�� 2A@�@P�b@�� 67�3�b�<�M5�����\�2�@[62��<�M5�� �U�g %�!�È=l8mAq¤q-²����¯�A��}`���O�A{t��°i}�mAq¤�O�|�~q-��}��¯²�q%°¸�o�A��}��¯���A{

��°<u � ,^��{����`q)�Zq-��°¸�O��pLq-� �¯� �A���`�����¯q(�h' ���oÁZ�O�IÁ #B W#D)¿µ�¸��!4�V2�� 2A@�@P�b@��dNW��� 2A�;5A�X�¸��,_!�ÈZl8moq�{�q-���`��m ���Nq(����}��O�`{8����q¾���A��¯�Æ�A�������¯�¯q(� 'P#B ASoÁ #B¢O�J)¿µ

QLR i$Q'S

Page 26: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� ��¢

�|µ�u´�o��}��¯�o�¯q�±¿·���� ¶ �Z�������¯��q-���¯³-��}��¯�����q-{��¯�|qB{3}`moq%{�q-���`��m°¸�O�¾{��Zq-q-�´�A��Áe��pL�o�`��²�q-p¤q-�I}`{��¯�W}`moq%{����¯�|}��¯�����O�Z���¯�¼}~zÆ{�mA���o���´�Nq%����{��{��O�o¥�mI}X�¯���A�������¯��q-�[��pL�o�¯q(pLq(�I}���}��¯���Z{(µ �3��}�mo�O�o¥�m¤}`moq3����}�}`q(�X��{X�¯� ¶ q(�¯z�}����Nq8}�moqtp¤�I{~}i�¯pL�Z�O��±}`���O}��(���I}��`�¯�o�|}��¯���%��°N�A�������¯��q-����{�p2}���pLq�}���moq-�o����{�}����({�' ¢O *)¿Á�°¸q(·º��°e{��A��m¤�A���`�����¯q(�|{�q-������m�pL�|�[±q(��{¾mA�D²�q%�Zq-q(�Åq-{��ZqB�������¯��z´�|qB{��¯¥��oqB�´°¸�O�¾p%�o��}���±G�O�|�~q-��}��¯²�q��O�|}��¯pL��³B��}`���O�k�o�I}��¯�<��qB��q-�O}`��z�' ��¡�)Gµ�#p������W��{`{��oq%���k}�moq¤�|q(²Oq(�¯���opLq-�O}¾��°X}`moq-{�q ¶ �¯�A�W��°����¯¥����`��}�mop�{3��{^mo��·2}�moq%�X���`q�}��À°¸���O�O}�¯{3�o�o�¯�¼}t�|�A���¯�o¥¤}�moq��O�|}��¯pL��³B��}`���O� �o�`�|��qB{�{-µXl=·����|�¼Êeq(�`q(�I}3���A�o���I����moqB{8�(����Nq������Z{����|q(�`q-��È�U�C! �&����<� 2�@[�P`/���>� 2����b�]5 � � 5�� ��� � �gh!�ÈNl8moq)°¸���O�I}3�¯{����(q(�I}������¯��³-q-� �o��}���{~}`���A��}��o�`q)��°�}�moq

����¥O���`�¼}`mop }`mA��}���}���{��o�o�¯�¼}%�Izk}�moqÀ{�q-���`��m�}�mA��qB���o{��|�A���¯�o¥Æ}�mAqÀ·�mo���¯q����Op¤�A�|}`��}��¯����µl8mA�¯{t·��DzOÁ|}�moq��oq(·2�o�O�|±¿�o��pL���Z��}�qB�Æ{��O���|}`���O�A{��¯�Æ}�moq��<����q(}����O�|}��¯p����={�q�}^����q�¥O���O�A����X����q(}��L���|}`��p��$' �|ÁA¢O�|ÁZ���J)¿µ

�¸��!��U�a�D���D�M0�67�]���V�V2�� ���;5 � � 5A��&�U�^�gh!�È�l8mAq/�X���`q�}`��°¸�`���I}=��{��|��{�}��`���o�o}�q-�%��pL���A¥�}�moq8{�q-������m}`mo�`q-���A{�{���}�mZ��}�}�moq8���¯¥��O����}�mop6·���� ¶ {�·��¼}`m��¯�[�-���I�o���o±¿�|�OpL���A��}�qB��{��O���o}��¯���A{�}�mA��}�p%�A{~}�Nq�{���pLq(mo��·K����p%�o�¯�oq-���}�}`moq�q(�A���°=}�mAq(�¯�3·/�O� ¶ '9#- :S|ÁWSI�|ÁA���*)¿µ

Parallel Multi-ObjectiveOptimization Algorithms

Single-walkparalelization

Multiple-walkparallelization

Parallel FunctionEvaluation (PFE)

ParallelOperators (PO)

DistributedPareto Front (DPF)

CentralizedPareto Front (CPF)

g���¥O�o�`qL#B oÈ � ����{`{���¹Z�(��}��¯��� ��°��Z�������¯��q-�cp¤q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�-{�°¸����p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq^�O�|}��¯pL��³B��}��¯���=µ

�tp¤�O�o¥%}�moq)�`q(²[�¯{�q-�¨{~}`�|Êk���A����z[³-q-��°¸�O��}�mo��{��A���Nq(�BÁ[�o�%�A�o��q � �g �¯pL�o�¯q(pLq(�I}`��}��¯���mA��{��Nq(q-�°¸�O�o�A���(��qB���`��z¾pL��}`��²���}`q-���Iz)q�Q��(��q-�A��z)��{�{��oqB{(µ��3�¯�O}`moqi°¸�O�o�A� � �gÆ�A�������¯�¯q(�¯��³B��}��¯���Z{����`q����Op��o�¯�oqB�·���}�mh�^�g �omA�O{�qB{L·�moq(�`q´�¯�[�-���3�A���|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�½{����¯�|}��¯���A{¨���`qÆ�(���A{����|q(�`q-�cµ ��°Â}`q(�¨qB����m �^�g�AmA��{�q�ÁA�¨{��¯�o¥��¯q����o}��¯pL�����X���`q�}`�L°¸���O�O}3��{3�A�o����}^�[z �A{��¯�o¥L}`moq-{�q��¯�[�-�����X����q(}������o}��¯pL�Aµ�l8mAq(��ÁZ}�moq�Aq(· �X����q(}��¤°¸���O�I}8��{3��¥O���¯� �o�¯{�}��`���A�|}�qB�¨°¸�O�����|�-�������OpL�o�|}`��}��¯����Áo���A�{��L���=µ

�t�¼}`mo���o¥Om´pL�O{�}3��°<·/�O� ¶ {����Æ�A���`�����¯q(�cp%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q�pLq�}���moq-�o�`�¯{�}����({�����q��`q(����}`q-�¨}���¥�q-�oq�}`�¯�����¥O���`�¼}`mop�{(ÁB}`moq(�`q�����q�����{��¾�o�`���N�O{`����{��`q(����}`q-��}`�¾���¼}`q(�`�A��}`��²Oq�pLq�}`mo�|�o{-Á�{��Z��m��A{�' �*) �Â}����o�L{�qB������m !�Á'9#�Á3�� �)>�U�/x �&���¯¥��O����}�mop�{�!�Á ' S#b)>�\���I}�(���¯���[z {�z|{�}�q(p�{�!�Át���A� ' ��)8�¸pLq(pLq(}���������¥O���`�¼}`mop�{�!�µ �3��¯�I}�q-��qB{~}`���o¥��Zq-�`{��Nq-��}`��²Oq¨·����o��� �Nq }��Åq�Ç|�o�¯���`q�}�mo��{L�`q-{�q-������m ���`q-�AÁX���º�����|q(��}�� �|q�¹A�Aq �A���`�����¯q(�pL�|�|q-�¯{�°¸�O�3�|�¼Êeq(�`q(�I}�}~z[�Nq-{8��°<p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q)pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{����A�����{��¤m[z[�o�`�¯� pLq�}���moq-�o����{�}����({-µ

idikj�lmDnbo�p

Page 27: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

�AS � 2����b��67�����2A@P0��

� 0h���<����� � + ���($"��.��)���(��' ': �8� '�/�8�������('�� ��3q-����±¿·/�O�����k�O�|}��¯pL��³B��}`���O� �o���O�o�¯q(p�{����`q���°Â}`q(� {��o�|�~qB��}�}`�W�o�A�(q(��}`���¯�I}��¯q-{��-���A{�q-� �[zOÁ=°¸�O��q�Ço��p%±�A��qOÁXp¤��{`{��¯�o¥W�¯�|°¸���`p���}`���O� ���g}�moq �o���O�o�¯q(p&�|��p����¯� �O�%{�}��|��mA��{�}�����pL�|�|q(��{-µkÃÄ� }`mo�¯{¤{�q-��}`���O� ·/q����qL�o��}�°¸�|���A{�q-�Å����gA�o³(³-zk�o�`���o�¯q(p�{-µ¨l8moq-��qÀ����q����A���`q(�I}��¯zWp����[zWpLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}��������A�o�����(��}��¯���A{°¸�O��}`mo��{�}~z[�Nq ��°^u � ,^��{ '9#- O�*)Gµ �3q-��qOÁi·�q �|���o��}����O�A{����|q-�%�o�`���A��q-pL{%·���}�mg²����������o�¯q-{�mA�D²[���A¥{�q(²Oq(�����A°¸�o³(³-zÀ²����¯�oq-{-Á[�o�|}3²����`�¯���o�¯q-{/·�mo�¯��m mA�D²�q¾�%�(q(��}`������|�¯{�}��`�¯�o�|}��¯�����°��Z�I{�{����A��q¾²����¯�oq-{��¯�����¯�I}�q-��²���� �U�Z�O�o�A�|qB�cÁ �O���o��}D!�µÀl8moqB{�qL�o�Z��q(��}`�����I}`��qB{¾�-����}`� ¶ q��|��ÊNq-��q-�O})°¸�O��p�{)�¯�k}`q(�`pL{)��°��|��{�}��`�¼±�A�|}��¯����Ác�N���A�A�o{-Á=���A����q-�O}`�`���=}`q(�A�oq(�A�(z�µ�ÃÄ� �¨¥Oq(�oq-�`����·8�Dz�Ác�|��Êeq(�`q(�I}^}~z[�Nq-{¾��°��o�A�(q(��}`���¯�I}~z´���`q�o�¯{�}��¯�o¥��A�¯{�moq-�-' �*S�)¿µÉ mo�¯�¯q��A�A��q-��}����¯�O}~z¾�¯��}�mAq��O�|�~q-��}��¯²�q�°¸�o�A��}`���O�A{�¥O�����oqB��{���pLq/��}�}�q-�I}��¯�����¯��}`moq8{��¯�o¥��¯q�±¿���o�~q-��}`��²Oq

�(���I}�q(Ç[}�' ¢|ÁZ�*SA)GÁ|�O�o��zL°¸q-· {�}��A�|�¯q-{��O�o�|�`q-{`{i}`mo��{/�A���O�o��q-p,·��¼}`mo�¯��%p��o��}��¯�o�¯q����`�¼}`q(�`�¯�%{�q(}�}��¯�o¥Zµ ��q�}�Z{i�o��}�q3}`mA��}�}�moq^�o���O�o�¯q(p �����Z{����|q(�`q-�¤moq-��qt�¯{��|��ÊNq-��q-�O}�°¸���Op#}`moqt��{�{��oq3��°����O�o�A{�}��oqB{�{-Á�·�mAq(�`q�}�moq¥O�O�����¯{t}��¨¹A�A�W{����¯�|}`���O�A{3}`mA��})���`q��`���o�A{�}t�`q(¥I�����|���A¥��A������pLq�}`q(�3�Nq(��}��A���A��}��¯���A{-µtl8moq%·/�O� ¶ ' ¡O�J)·8��{���pL���o¥)}`moq3¹Z�`{�}i���oqB{X}`���|��{��(�A{�{��o�A�(q(��}`���¯�I}~z��¯�L}�moq^���¯¥�mI}���°c¥�q(�Aq(����}��¯�o¥�pLq�}`mo�|�o{-ÁI���¼}`mo���o¥Om}`moq(z�|���¨�o��}3�o�`���N�O{�q¾�L�A����}`�¯�(�o�����8p��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq)���|}`��pL�¯³(q(�8°¸�O�8}�mo��{��o�A���N�O{�q�µ

x[q-²�q-�`���IzOq-���`{�����}�q-�-Á7' ¡�¡�)Z���A� '9#B���/)Z���A�oq(�Nq(�A�|q-�I}��¯z��o�`���N�O{�q-�%{~}`�[��mZ��{�}�����q(ÇI}`q(�A{��¯���A{<��°Z�X���`q�}`��o��pL���Z���A�(q¨���A� {��o¥O¥�q-{�}�qB� {��¯pL�������%·��Dz|{)}`�W���I}`q(¥�����}`q��o�`���A���o���¯��{~}`�¯�À�o��pL���Z���A�(qÀ��� }`moqÀ¹A}��oqB{�{�O{�{��¯¥��opLq(�I}X�o�`�|��q-�o�o��q e��N��}`mL{�}��Z�|��qB{i���O�A{��¯�|q-�i{��Nq-�(�¯���|}~z[�ZqB{X��°c�o�`���Z���o�¯����}~z��|��{�}��`���o�o}��¯���A{-µ�uW���`q�A��qB����{�q-��zOÁ�l�q(����mA{��A���O�Z�I{�qÀ��� ���o�o�`�O�O��m p¤�|�|��°¸z[���A¥´}�moqÆx[�&% � ���¯¥��O����}�mApÁ<��{`{��opL���o¥Æ}`mA��}%}�moq�A���O�A���o�¯�¯�¼}~zÀ�|q-�A{��¼}~z¨°¸�o�A��}`���O�Æ�¯{��(���A{�}`���O}���²Oq(��}�moq��A���O�Zq-��}~z��¯�I}�q(�`²����c��°�qB����m¨�����Z�|��p�²����������o�¯q�µg��¯�`{�}-Á�}�moq-zº�|q(¹A�oq´�Å�o�`���A���o���¯��}~z �|��pL�¯�A���A�(qÆ�o��}`���O�º�¯� }�moq´{����o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�qÆ�(�O{�qÆ��{¤°¸�O���¯��·3{(È¥O��²Oq(�¤}~·����Z�O���I}�{

a���A�

b·���}�mÀ�O�|�~q-��}��¯²�q

a ∈ [as, . . . , au]���A�

b ∈ [bs, . . . , bu]ÁO�`q-{��Nq-��}`��²Oq(�¯z�ÁO}�moq

�A���O�A���o�¯�¯�¼}~z ��°a}`�À�|��pL�¯�A��}`q

bÁA·��`��}�}�q-�

P [a � b]°¸���t�A�o�¼°¸�O��p��|��{~}`���¯�o�|}`���O�Æ°¸�o�A��}��¯���A{t�¯{t¥��¯²�q(�

�O{(È

P [a � b] =

0�¼°

bu < as

1�¼°

au < bs

1au−as (

∫ bs

y=as dy +∫ min(au,bu)

y=max(as,bs)1 −

y−bs

bu−bs dy)�¼°

else

�8��{�q-�L�O�L}�moq¾{��¯�o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q��(�O{�qOÁ�}�mAq(zL�o�`���N�O{�q3����q�Ç[}`q(�A{����O�L}���}`moqtp%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q^�(��{�q�µgA�������[z3}~·��3�|±Ä�|�¯p¤q-�A{����O�A�����oq-����{����O��²�q-��}��O�`{

a���A�

bÁD���A�

m{~}���}���{�}����(���¯�¯z^�¯�A�|q-�Zq-�A�|q(�I}����|�~qB��}��¯²�q

°¸�A�A��}`���O�A{f1, f2, . . . , fm

Á

P [a � b] =m∏

i=1

P [fi(a) ≤ fi(b)]

l8moq-��Áo}`moq(zÆ���A���|}�}`moq%x[�&% � ����� ¶ �¯�o¥�����pL�o�o}`��}`���O�´���(�(�����|�¯�o¥¤}��L}�mAq-{�q��o�`���A���o���¯��}~zÀ²����¯�oq-{�NÈX�N���o�o����}`���O�{��¯³(q�Á

Mt

ÈX�<�O�o�o����}��¯���Æ��}�}`��pLqt!�È

R(i) =1

N − 1

j∈Mt :j 6=i

P [m(j) � m(i)]

QLR i$Q'S

Page 28: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� �O�

l8moq-zÆ�oq(qB�´����{���}`�À�`q-�|q(¹A�oq�}`moq%�-�������o����}`���O�Æ��°��|��{~}����A�(q��Nq�}~·�q(q(�W}~·/�¨{����¯�|}`���O�A{(µ3l8mAq(z�A{�q}`moq�q�Ç|�Nq-��}�q-��O�|�~q-��}��¯²�q¾²D�����Aq-{8��°�}�mAq�{��O���|}`���O�A{�}��Lq-²D�����Z��}�q¾}`moq��|��{~}����A�(q�µ

�t�o¥�moqB{<�o�`���N�O{�q�}`moq3{���pLq�}~z[�Nq���°e���o�o�`�O�O��m�ÁD·��¼}`m%}`moq8�o�`���A���o���¯��{~}`�¯���|��pL�¯�A���Z��q8�o��}`���O� ' ¡�¡�)Gµ�tq�����pL�A����qB{3}`moq��A{�q%��°/�o�`���Z���o�¯����{�}���������� ¶ �¯�o¥Æ��¥O�����Z{~})������{`{����(��������� ¶ �¯�o¥���¯¥����`��}�mop�{-Á�{��A��m ��{r¾xWT �����Z�uf,_T ��µol8moq��o�`���Z���o�¯����{�}����^����� ¶ �¯�o¥¤�o�`���N�O{�q-�À��{8}`moq)°¸���¯����·��¯�o¥ZÈ

Ri =

N∑

j=1

P [a � b] +1

2.

N∑

j=1

P [a ≡ b] − 0.5

l�q(����m¨���Z� �3�o¥Omoq-{��O{�}��Z�|��qB{�·�q(�`qt��p¤�O�o¥�}`moq3¹A��{�}����oqB{i}`���o�`���N�O{�qt���A�o���I����moqB{X�|q-�o�¯�-��}�qB�L}��qB{~}����o�¯��{�mW�Aq(·#�(���A�(q(�|}�{3°¸�O�^p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q¤���|}`��pL�¯³-��}��¯���W�o�Z�|q(�¾�o�A�(q(��}`���¯�I}~z�µ ���|}-Ác·���}�mk}�moqB{�q{�}��Z�|��qB{(Á=}�moq-��q�����q�{�}��¯����{�q(²Oq(�����<���Nq(� �o�`���A��q-pL{-Ⱦ}�moq��A�A��q-��}����¯�O}`��qB{����O�A{����|q-��qB������qL���Op¤�A��q(}�q(�¯z�oq�¹A�oqB�(�¸�A�o�¼°¸�O��p ���o���`p����A�|��{�}��`���o�o}��¯����ÁI�Z�O�o�A�|qB�cÁ[��q(�I}`�`���o}�q-�A�|q-�A��z¤q-�I�A���¯{i}��� C!�ÁO}�moq^�o���O�Z�I{�qB����o�o�`�O�O��moq-{�����q �o��}À�|�¯�`q-��}`��z ���o�o�¯�¯�-���o�¯q¨}`���A� ¶ �o��·�� �o�A�(q(��}`�����I}��¯q-{-Ái���Z� }�mAq�A���O�Z�I{�qB� ���¯¥���±�`��}�mop�{8�oq-q-� }������OpL�o�|}�q��o�¯{�}`���A��q)�Nq�}~·�q(q(�´{����¯�|}��¯���Z{(Á|·�mo����m�¯{3�oq(�Nq(�A�|q-�I}3����o�A��q-��}����¯�I}��¯q-{-µ

���o��q(}����\µg�A{�q}`mo�¯{L{`��pLq�o���¯�A�(���o�¯q�Á/�o�|}L}�mAq(z �¯�I}��`�[�o�A��q ¹o}��Aq-{`{L���omAq(�`�¼}����A�(q �¯� }`moq(T ��Á·�mA�¯��m��q-�o������q¾}`moq�p��o��}��¯�o�¯q�q(²����¯�A��}��¯������Æ�`q-{��ZqB��}8}����L���`�¼}`q(�`�¯�¤��°����O�|¹Z�|q-�A��q>'9#-¡A)Gµ

ÃÄ��'9#B�J)¿Á � �A��mAq�q�}^���\µ8���`q����`��}����(�������N���|}�}`moq��`q-�|q(¹A�o��}��¯���´��°<�X���`q�}`�À�|��pL�¯�A���A�(q����o�A���I����moqB{�¯�W}`moq��(�O{�q%��°��o�O�|±¿�Z�O�o�A�|qB�W�o�O�¯{�q�Ác�Gµ�q�µ��N��}`q(�I}������X���Zq-�������I}¾{����¯�|}`���O�A{(Áe·�mo����mÅ��pL�N�O{�q¤�¨�¯����¥Oq�oq(²[�¯��}��¯��� }`� }`moqÅ����¥O���`�¼}`mop"���A�o�o�¯�o¥Aµ l8moq(z �A���O�Z�I{�q´}`mo�`q(qkpL�|�|��¹Z�(��}��¯���A{¨°¸���Æ���Kq�Ç[}�q-�A�|qB�p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�����¥O���`�¼}`mop }�����²Oq(������pLqt}�moq��o�`���A��q-p���°��o����{�qOÈ

� �t�OpL���A��}��¯���6�|q(�Nq(�A�oq(�I}´����°¸q�}`��pLq�ȺÃÄ�6�(���I}�����{�}À}`�ºq-����}���{�pÆÁ¾·�mo����m p��Dz½�o��qB{�q-��²Oqkq-����}���{~}�¸�o�O�|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�!8{����¯�|}��¯���Z{�°¸���3���Æ�¯�|¹A�o��}�q)}`��pLqOÁZ�¤p���Ç|��p����c����°¸q�}`��pLq���{3��{`{���¥O�oq-�À}���q-�O��m���Z�|��²[���|�A���\µ l8moq-z �o�`���N�O{�qÀ}�� ���A���|}%}�moqÆ�¯�¼°¸q(}��¯p¤qÆ��°3q-����mº���Z�|��²[���|�A���8�O�(�(�����|���A¥´}���}�moq�|��pL�¯�A���Z��q��`q(����}`���O��µ�l8moq��¯�¼°¸q(}��¯p¤q%�¯{^{�mA����}�q(�Aq-�Æ��°X}�moq�{����¯�|}`���O�W�|��pL�¯�A��}`q-{t�Lp����~���3�A����}��°�}�moq��A��qB{�q-�O}��o�O�A�|�Op¤�¯�A��}�q-�{����¯�|}��¯���A{-µXl8mo��{8���¯pL�¼}�{8}�moq��¯pL�A����}3��°X�L{��O���|}`���O��µ

� ��q�±¿q(²������A��}��¯�����°X{��O���o}��¯���A{-ÈX���¯�c�o���A�o��pL���Z��}�qB� {����¯�|}`���O�A{8·�mo�O{�q)����°¸q�}`��pLq�mZ��{8q�Ç|�o�¯�`q-����`q��q(±Gq-²����¯�A��}`q-����A�´�O�o�|q-� }`�L}�moq��N���A�o�¯��}��¯����µ�l8mo��{�q(�A���o�¯q-{�¥O�I�|�Æ{����¯�|}��¯���A{�}`�À{~}��Dz¨�¯�Æ}�moqq(²O���¯�|}��¯���A����zÅ�o�`�|��q-{`{-Á��A�|}L}�moq-���¤���|�~qB��}`��²Oq¨²����¯�oq-{%·��¯������mA���o¥�q¨�o�oq¨}`�k}`moq�o����{�q ���g}�moq��q(±Gq-²����¯�A��}`���O��µ

� %XÇ[}�q-�A�|q-�W�o�N�A��}�q���°<}�moq%{�qB�����Z�o���`z��Z�O�o�o����}`���O��Èi}`moq�q(�¯��}�q���{3�o�e�o��}�q-�Æ�O�o�¯z ���-���O�`�|�¯�o¥¤}��}�moq��A���|±¿q�Ç|�o�¯��qB�¨�¯��°¸q)}��¯p¤q�{����¯�|}`���O�A{(µÃÄ� ' S�)¿Á3���o��}�moq-���`��� ¶ ���o¥ pLq�}`mo�|�½�¯{¨�o�`���N�O{�q-�º·�mo�¯��m½��{��A�O{�qB�º�O� }�moqk�D²Oq(����¥Oq ²����¯�oq´�Nq(�

�O�|�~q-��}��¯²�q¾���A�L}`moq¾²D���������Z��q3��°�}�moq){�q�}8��°�q(²������A��}��¯���A{-µix[�¯p¤�¯�����`��zOÁ ' ¢��*)�{��o¥�¥Oq-{�}�qB�¤}��L�����Z{����|q(��°¸���qB����m �|�¯pLq(�A{����O�Å}�moqÀpLqB��� ��²�q-���Æ¥��¯²�q(� {`��pL�o�¯q���°8���|�~qB��}`��²Oq�²�q-��}��O�`{����A��}��k���o�o�¯z�{�}`���Z�o�����p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q)�O�|}��¯pL��³-q(��{�°¸���3�|q(}�q(�`pL���A�¯{�}����)���|�~qB��}`��²Oqt°¸�o�Z��}��¯���Z{(µ

u´�I{~}%��°8}�moq¨q�Ç|�¯{�}��¯�o¥W{�}��A�o��qB{���{`{��opLqÀ��q(��}`����� ��mZ��������}`q(�`�¯{�}����({>�\{�z[pLpLq�}��`z�ÁX{�mA���Nq�Á�q�}���µ"!h��°}`moq��o�`���A���o�¯����}~zk�|��{~}`���¯�o�|}`���O�Å}�mA��}��|q�}`q(�`p¤�¯�oqB{)}��´·�mo����m ���|�~qB��}`��²Oq¤²Oq-��}�����{)�´{��O���o}��¯���ÅpL�Dz��Zqp����o�ZqB�%}��Aµ�ÃÄ�L��}`moq(�X·������o{-ÁD}�moq3�(���`��qB{��N���A�o���o¥^pLq�}�mA�[�A{X��q-��z%���A�¤q�Ç|�o�¯����}X�o�`���o�¯q(p ¶ �o��·��¯q-�o¥�q�Á·�mA�¯��mÀp��Dz¤�o��}��Zq¾�D²����¯�¯���o��qOÁ��A����}`�¯�(�o�����`��z¤·��¼}`mÀ�`q-����±¿·/�O�����L���o�o�¯���(��}`���O�A{-µ�'9#- *)c�|q-�o�¯��}`{���{����¯¥�mI}`��z

idikj�lmDnbo�p

Page 29: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

��¡ � 2����b��67�����2A@P0��

�o�¼Êeq(�`q(�I}�{��(q(�A�����¯�AÁc·�mAq(�`q�}`moq����|}`��pL�¯³-��}��¯���k¥O�O������{�{��ZqB����¹Aq-�����Å}`q(�`pL{)��°���I�A���¯�¼}~zk���A�o�¯�-��}��O�-Á�O{i�¯��'9#-¢O�*)Gµ��K¥�q-�oq(�����Z���A�o�¯�-��}��O��±¿pL�|�|q(�A}�mA��}��(���ÀmA���A�|�¯q¾���Iz%}~z[�Zq¾��°=�o�¯{�}��`���A�|}��¯��� ��q-�o��qB{�q-�I}��¯�o¥}`moq¨�A�A��q-��}����¯�O}~z ���¯�¯��·3{��|��ÊNq-��q-�I}¤�|��{~}`���¯�o�|}`���O�A{�°¸���%�o�¼Êeq(�`q(�I}¤{����¯�|}`���O�A{(ÁX���A� �|�[q-{%�o��}¤��{`{��opLq� � }��`�oq������|�~qB��}��¯²�q²�qB��}`�����Nq(�À{����¯�|}��¯����Á��o�|}À�¯�½¥�q-�oq(�����8�`q(¥O���`�A{¤� {����¯�|}��¯���º}�� �Nq´���Amoq(�`q(�I}��¯z�O{�{��|������}`q-�Æ·���}�mk���W�o� ¶ �o��·��W�A���O�A���o�¯�¯�¼}~zÆ�|��{~}`���¯�o�|}`���O�W���k}�moq¤���o�~q-��}`��²Oq�{��A���(q�µ^l8mAq(zÆ�o�`���N�O{�q���¯{������¨���¯¥��O����}�mop }`�%���OpL�o�|}�q)���¨q(pL�o�¯�����(���N��}�}`�����Ap¤q-�I}�°¸�o�A��}��¯����Á|·�mA�¯��mÀq-²����¯�A��}`q-{�}�moq)���`q-����°}`moq����o�~q-��}`��²Oq¾{��A�O��q)·�mo����m��{��|�Op¤�¯�A��}�q-��[z�}`moq����|}`�o�|}3·���}�m´�|��ÊNq-��q-�I}t�����o¹Z�|q(�Z��q)��q-²�q-�¯{-µ

l���{��Ap¤p������¯³(qOÁ��){�p����¯�GÁ��o�|}��¯�A�(��qB��{����o¥¾�[�op��Nq(�X��°e{�}��Z�|��qB{i���`q��|q-�o�¯�-��}�qB��}`��{��O��²Oq/�A�A��q-��}����¯�uf,^��{(Á��A�|} }`mo��{ �O{��Nq-��}¨��°�p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�qW�O�|}��¯pL��³B��}`���O� �oq(qB�½}�� �Nqkq(Ç|�o���O��qB� °¸�o��}�moq-��pL���`q�µ�X����}`�¯�(�o�¯�����¯z�ÁI{��OpLq��Zq-��°¸�O��p����Z��qt�O{�{�q-{`{�pLq-�O}�����q��Aq(q-�oq-�cÁ[�¯�������|q(�X}`��q-²D�����Z��}�q3}�moq^q�Êeq-��}`��²Oq(�oqB{�{��°A�|��ÊNq-��q-�O}����¯¥����`��}�mop�{-ÁB���A�)}��^q(²����¯�A��}�qX}`moq��¯�I}�q(�`q-{�}=��°|}�moq/p¤qB��mA���A�¯{�p2·�mo�¯��m)}�� ¶ qi���I}`�^���-���O�o�I}}`moq��o�A�(q(��}`�����I}~zÀ�|�o�`�¯�o¥¤}�moq��O�|}��¯pL��³B��}��¯���Æ�o�`�|��qB{�{-µ

� !#��'�/���=�(��' �7��': + �8�<� + ���i���� ����uW�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q8���Op��o�¯�A��}`���`�¯���O�O�|}��¯pL��³B��}`���O�%��{<��q(��}`�����A��z��¾���`�A�(�¯���I�`q-{�q-���`��m%���`q-��°¸�O�<q(�o¥O���oq-q(�`���A¥���A�%��qB{�qB������m%{`���¯q(�A�(q�µ�ÃÄ�A�|q(qB�cÁ�p����[z%��qB����±G·����`�¯���o���O�o�¯q(p�{X���`q�°¸�`��p p��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq8�A��}`�o��qOÁ����Z�p����Iz¨���Nq(�Æ�O�Aq-{�}��¯���A{�����q�{�}��¯�����O�Zq-� �¯�}�mo��{8¹Aq-�¯��µ

l8mo��{<�A���Zq-���o�`q-{�q(�I}�{��^�`q(²[��q-· ���A�%�^�(�¯�O{�{���¹Z�(��}��¯������°ApLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{�°¸���Xu � ,^��{��`q-{����¯�|}��¯����µÃÄ��}�mAq¤�Z��{�}-Á�pL�O{�})��°/�Z���Nq(��{^·�mA�¯��mÅp����|q�{�zI�I}`moq-{��¯{¾��°/p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q¤���|}`��pL�¯³-��}`���O��pLq(}�mo�|�o{·�q(�`q�°¸�`��p p���}`moq(p���}����(�����o�`��¥O�`��p¤pL�¯�o¥À���OpLp��o�o��}~zc'P# #B�[Á��W#D)Gµ���qB��q-�O}`��zOÁc{��Op¤q%�A���Nq(��{��D�N�I� ¶ {�A���O�Z�I{�q�{�z[�O}`moq-{���{3��°ip%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q%{�qB������m�Áo�o�|})���A��z °¸���^���oq�}~z[�Nq���°<�O�|}��¯pL��³B��}`���O�WpLq�}�mA�[�A{(Á{��A��m ��{�}�mo�I{�q¨��qB���¯��³-q-��°¸����q-²��O���|}`���O�A���`zk����¥O���`�¼}`mop�{8' �ASoÁ SI¡|Á�¢O¡*)¿µ´ÃÄ� �ƹA��{~}�}`��pLqOÁ<����pL�I{~}������p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�p¤q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�-{3°¸�O�^u � ,^��{^�`q-{����¯�|}��¯���´·�q(�`q�q(²O���¯�|}��¯���Z���`z ���¯¥��O����}�mApL{-Áe���A�´qB{~±�Nq-�(�¯�����¯z¨¥Oq(�oq(}��������¯¥��O����}�mop�{-µ �t{^{�mA��·���¯�}�mo��{3�Z���Nq(�BÁo���Æ}`moq��`q-�(q(�I}3z�qB����{(Áo�L¥O����·��¯�o¥¤���I}�q-��qB{~}��{8¥��¯²�q-�¨}`�L��}�mAq(��{8�¯{`{��Aq-{-Áo{��opLp����`�¯³(q-� �¯� }`moq)°¸���¯�¯��·����o¥ZÈ

� �3��}�q-���A��}��¯²�q����¯¥����`��}�mop�{-Ècp��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq����o}��¯p¤�¯³(q-�`{=mA�D²�q/�3¥��`q-��}=�¯�O}`q(�`q-{�}��¯��}�� ¶ ���A¥t�`q-��q-�I}pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{�°¸�`��p }�moq¤{��¯�o¥��¯q�±¿���o�~q-��}`��²Oq�����pLp%�o�o��}~z���A�·/�O� ¶ ���Æ}�mAq(�¯�^���A�o�����(��}��¯���}��}�moq^p��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�q3����qB�oµ�É�qt{�mo��·�ÁO���L}`mo�¯{/�A���Zq-�-Á�}�moq3q(ÊNqB��}`��²Oq(�oqB{�{���°N}�moqB{�qt����¥O���`�¼}`mop�{(Á{��Z��mÆ�O{/}`���A�Æ{�q-���`��m=ÁI�Z��}�mo±G�`q(�¯��� ¶ �¯�o¥ZÁ|����{��-��}�}�q(�3{�q-���`��m=ÁO}`�À{��O��²Oq¾u � ,^��{(µ

� �3z[�o�`�¯����¯¥��O����}�mApL{-È �K¥O����·��¯�o¥%���I}�q-��qB{~}8��{��|q-�|���(��}�qB�À}`�¤m[z[�o�`�¯� ���¯¥��O����}�mop�{-Á[�ZqB�(���Z{�q^}�m[z�o�`��²I���|q���½p����[z �-��{�q-{¤�Zq(}�}`q(�À�`q-{��o��}`{¤}�mZ���º}�moq´�`q-{��ZqB��}`��²Oq �o�O�|±¿mIz[�o�`��� ²�q-�`{��¯���A{-µºl8moqp����¯�À¥��I���o��°c}�mo��{i}~z[�Nqt��°=���o�o�`�O�O��moq-{<��{�}����(��p��A���oq^pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{i·�mo����m�mA�D²Oqt�|��ÊNq-��q-�O}��mA��������}�q-����{~}`�¯�-{(µ/l=�¨�O��mo�¯q(²�q¾}`mo�¯{-Áe���[���Nq(����}`���O� �Nq�}~·�q(q-�´p¤q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�-{3���A�q(Ç|�O��}tpLq(}�m|±�|�o{�{�q(q-pL{�}��W�Nq¨�Æ�¯�O}`q(�`q-{�}��¯�o¥W���Z� �Z�[���`�¯zkq�Ç|�o�¯���`q-�Å�`q-{�q-���`��mÅ���`q-�oµu´���`q(��²Oq(�BÁ�¥�q-�oq(�`���pLq-��mA���o�¯{�p#mZ�D²�q�}����Nqt�|qB{��¯¥��Aq-�cÁI{��A��m��O{�}�moqt�(��pLp��A�o�¯�-��}`���O�¤pL�|�|q-�\ÁO·�mo�¯��m�mZ�D²�q�}����|qB���·��¼}`m�%{�q(}���°=���o}��¯pL���c{��O���|}`���O�A{-µ�����{�}��¯z�Á[�¼}�·��¯���e�Nq^�¯�I}�q-��qB{~}`���o¥�}��L�|q�¹Z�oq^�¯�I}�q-���¯��¥Oq(�I}����[���|±q(����}`���O��pLq-��mA���o��{�p�{<·�mo����m¤�����¯��·3{�}���{�q(�¯q-��}<}`moq8p¤q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�-{X���(�(�����|�¯�o¥3}`�)�(���[²�q-��¥Oq(�A�(q������}�moq-�3���`�¼}`q(�`���O�¨�¯��`q(����}`���O�A{�}��¤}`moq��X���`q�}��L�|�Op¤�¯�A���A��q��o��}��¯����µ

QLR i$Q'S

Page 30: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� �I�

� �X�������¯��q-�|p��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq�pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({-È�}`moq(�`q8�¯{X�)¥O����·��¯�o¥^���I}�q-��qB{~}i�|qB�|���(��}`q-�%}��)�A���`�����¯q(�p��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq^pLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({-Á|��{�{�mA��·��¨�¯�À}�mA�¯{8�A���Zq-�-µK�3��·�q(²Oq(�BÁ�}`moq¾�A{�q¾��°=}�moq)�X���`q�}`�°¸���O�I}<�|�A���¯�o¥^}�moq��A�������¯�¯q(�Iq�Ç|q-�(�|}��¯���%��°o}`moq����¯¥����`��}�mop6mA��{�}`�^�Nq��(���`q�°¸�A���¯z)pL���A��¥Oq-�cµ�uW���[zpL�[�oq(��{3���O�o�¯� �Nq��|q-{���¥O�oq-� �¯� }`mo��{3���`q-�Aµ

� ,^�|}��¯pL��³B��}`���O�´�o�A�|q-�^�o�Z��q(��}`�����I}`��qB{(È8����}�mo�O�o¥�mÆ�o�Z��q(��}`�����´�O�|}��¯pL��³B��}`���O�´�¯{^�¯����¥Oq(�¯z {�}��A�o��qB�°¸����{����o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q%���|}`��pL�¯³-��}`���O���A���O�o��q-p�{(Áe}`mo�¯{�����qB�À��{¾�Z�[���`�¯z´q�Ç|�o�¯���`q-�W�¯��}�moqLp��A�¼}`�¼±���|�~qB��}`��²Oq^�(�O{�qOµ<x|q(²�q-�`���A���A�o���I����moqB{i���`qt�����`q-�O�|z��o�`���N�O{�q-��ÁO�o�o}�p����[z¤���Nq(�¨�I�oqB{~}`���O�¨{�}��¯���q�Ç|��{~}�{^�¯�´}`mo�¯{)�|�Op����¯��µOg��¯��{~}BÁN�Nq(��°¸���`p����A�(q%�O{�{�q-{`{�pLq-�O}^���A�o�¯�-��}��O�`{t�oq(qB�´}`�¨�Nq¤�|qB{��¯¥��Aq-�cµl8mo��{^��{`{��oq%�¯{¾���¯�`q-���oz�¨²�q(�`zÆ�|�[QÀ�(�o�¼}��I�oqB{~}`���O�W����������{`{����(���=p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q��O�|}��¯pL��³B��}`���O��|��p�������Áe���Z�Æ���k�À�o�A��q-��}����¯�W�(�O{�q)}`moq(�`q����`q��o�¨�o���O�o�¯�o¥�q�Ç|��{~}`���o¥¨�o���O�Z�I{���}��¯���=µ�x|q-���O�A�|�¯z�Áp����[z¨���A�o���I����moqB{��A���O�Z�I{�qB�À�¯� }`moq�{����o¥O��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q¾�o�A�(q(��}`���¯�Æ�(��{�q)�����A�¯� �Zq��O�o���o}�q-�¨}��}�moq�p%�o��}��¯�o��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q��(�O{�qOµ

ÉÅq�mA�D²Oq�°¸�|���A{�q-�Æ�O�´}�mAq-{�q��o��}3°¸�o�¯��zÆq�Ç|�o�¯���`q-�Æ�`q-{�q-���`��m ¹Aq-�¯�o{^·�mo����m�ÁN���W�O�o�t�O�o�¯�o���O��ÁN�oq(qB�}`�L�Zq��¯�[²�q-{�}��¯¥O��}�qB��°¸�o��}�moq-��pL�O��qOµ

5 �����8�<��' �����'9#b)���µ �Lµ��t¥�����¹A��}���{(µ u´�o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq �O�|}��¯pL��³B��}`���O�g��°¾����p%�o�¯�A��}`���`�¯�����¯���o�����`�¯q-{-µ l=qB��mo�o���(���

��q-�Z�O��}BÁ|Ã��8u��ZµA��qB{(µo���A� �^q(²eµ¯ÁZ�� O W#Oµ' �*) ��µ �3��±�����p����o�GÁ¾xcµtx|����}-Á¾���A� ��µ��i���A{`{�q�°~µ �X�������¯��q-���¯³(�¯�o¥ }����o�6{�qB������m ���6�g���¯�A{�}�q-���°

moq�}`q(�`��¥Oq(�oq-���A{/·/�O� ¶ {�}`��}��¯���A{-µ��75A67�D��2�@ 5�� EW��67�D�a�D���M�b��ÁZ� �U¢ !�È �I�����[¢� :SAÁO�� � I�|µ' ¢�)���µ8!�µ �t���o�O�¯��µ � ���Op¤�Z���`�¯{���� ��°�q-²��O���|}`���O�{�}�����}`q(¥O��qB{/·���}�m´��}�moq-�3�|�¯��qB��}t{�q-������m¨pLq(}�mo�|�o{

����}�mAq¤�A��qB{�q-�A��q¤��°��o����{�qOµ��&5�G N�67�]2��<�M5��32�@�� N3����GL�P`J2��<�M5�� 2A���X=�N:N3@^�M��2��<�M5��W��ÁX��SZÈP#B¢O���3#B���oÁ�� O �¢oµ

' SA)�u µ �8���o�A���BÁ���µ���� ¶ {�mAp¤� ¶ ���I}�mZ�oÁ-���A���%µ�%3µ�T¾�����|�Nq(�`¥Aµ � pL�|�|�¼¹Zq-��r^xT ��±¿Ã�Ãe}��3{����¯²�qX�A����{�zp��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq �A���O�o��q-p�{(µ ÃÄ� %3µ � ���I} �|±G�X��³ q(}����\µ¯ÁiqB�|�¼}`���BÁ�V���������M�(2A��� ��\�5�@[67���M5A��2��DK�&5�G N�67�]2��<�M5����&5A���b��� �b�3������ ���R�R�� ���������

�@P2��]� 0�� ��2 �A���CBVN2�N�b����Á�²O���¯�opLq8�I����¢t��°�� ������67� �

�U5A�;�b����� �&5AGVN367�;��� �3���M�b�3���(Á[�A��¥Oq-{8�7#��|�O�|Á � mA�¯�-��¥��ZÁOÃÄ�¯�¯���o�O�¯{-Á|s^x ��Á����A��z¨�� � �¢AµIx[�A���¯�o¥�q-�-µ' �*)UT¤µ��Zµ �8�����¯��·�Á � µ �Lµ�,^m=ÁD���A�_%3µAT¾�����I}-µ�ÃÄ�Z���`q(pLq(�I}`����q-²����¯�|}`���O�¾��°A���|}`���o�OpL���A{��(���I}��`���¯�¯q(��{°¸�����o�op����o�Aq-����q-��������²�q(mA�¯�(��qB{c�A{����o¥tp��o��}���±G�O�|�~q-��}��¯²�qi¥Oq(�oq(}����X�o�`��¥O�`��p¤pL�¯�o¥AµDÃÄ����������� � � ��&5����b��� �������85�� � K:0��b�D�3�b�<�M�b�>2��3���D��]��@�@^�[B ���� ��K*�D�;��GU������ � ��ÁZ�A��¥�qB{3¡��O�!�[¡O��¢AÁAx[���A¥O���N���`q�Á�� O ASAµ

' ¡�)�u µ ���O{�{�q(�A�-Á"�Aµ ��q-p¤qB{��`q�Áe���Z�.%3µ ±]T¤µel������A� � µe�tmZ��q(�Aq(�A{-µ � �[���Nq(����}`���O�´�Zq(}~·/q-q(�W�A�`���A��m���A�Æ�N���A�A�´���A�q-²����¯�|}`���O�A���`z¨���A�o���I����moqB{�}��À{����¯²�q��L�o�¯���o�~q-��}`��²Oq �A��·�{�mA���Æ�o�`���o�¯q(pƵ�ÃÄ�#L5A��� E5�N 5�� ��\�5�@^67�<�M5��32��DKc=�@ B 5A�D����E7GU�$!# �&=% �&�'��Á3²��O���Ap¤q�¢� O���oÁ��A��¥Oq-{ �����|��¡oÁ��� O ASZµÃ�x �8r�ÈA¢�±Ä�ASO �±Ä�O�� �¡[�B±;SAµ

idikj�lmDnbo�p

Page 31: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

��� � 2����b��67�����2A@P0��

' �J)�u µ��8�O{�{�q(�o�BÁdg�µXx[q(z[�omZ��q(²Oq�Á����A�c%X± T¤µ�l����¯�o�Gµ´�tqB{��¯¥�� ��°�uW�o�¼}`�¼±¿���o�~q-��}`��²Oq8%i²��O���o}��¯���A����z�3�¯¥��O����}�mop�{-È �3�A�o�����(��}��¯���Æ}`�L}�moqUg��¯��·8±¿{�mo�O�Æx|��mAq-�|�o�¯�¯�o¥À�i�`���o�¯q(pƵ�ÃÄ� �h5A�CB:� �b���>5�� �R\*5AZ@^67�<�M5���2A�DK �&5AGVN367�;2A���M5A��� �_� � ��Áo�Z��¥�qB{V# #B�7#���# #B��¡AÁ+�3���A���¯�o���=ÁB�^�D·������GÁIs¾x ��Á|uW�Dz��� O O�oµ

' ��)�u µ �8�O{�{�q(�o�BÁWg�µZx[q-zI�AmA��q-²�q�ÁZ���A�$%X± T¤µZl����¯�o�Gµ ���o���|}��¯²�q�pLq-��mZ���o��{�p�{8°¸�O�3p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oqq(²O���¯�|}��¯���A����z�����¥O���`�¼}`mop�{(µ|ÃÄ�c�&5��HBA� �b��� 5�� �R�CB:�������b�D���HB1��� � K*�D�]�bG =�N N�@^�M��2A���M5A�-� � �W=% � ��Á�[�op��Nq(�tx|¢�±¿��±¿ O �±~�����oÁ��A��¥�qB{t�����|��¡AÁ �=���¯��qOÁWgo�����A�(q�ÁA�� � �¢Aµ

' ��)�u µ �8��{`{�q-�o�BÁ�g�µ=x[q-zI�AmA��q-²�q�Ác���A��%i±]T¤µ�l����¯�o�Gµ��X��}�m���q-���¯� ¶ �¯�o¥ �¯�k�Z���`q�}��p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq¥�q-�oq�}`�¯����¯¥��O����}�mop�{-µ�ÃÄ� � µ���µ � �[q(�¯��� � �[q(�¯���ZÁ ��µC��µ �t¥��o�¯�`��qOÁi���A� %3µ N��}�³(�¯q(�BÁiqB�|�¼}`����{(Á��\�5�@^67�<�M5��32��DKL�.67@^����ZD� �D���]�b�D�M5A���dN��<��G1�P`J2��<�M5��

������� ����� � Áo²O���¯�opLqt¢AS #- )��° �d���b�<67� � �U5A�;�b�

��� �&5AGVN367�;��� � �b�M�������(Á3�A��¥Oq-{�#B�� '��#B¢ASAÁRT¾�A���Z���~�A��}��AÁ3uWq�Ç|�¯�(�AÁtuk������m �� � I�|µ/x[�A���¯�o¥�q-��±!Xq(�`�¯��¥Aµ<Ã�x �8r�Èo¢�±Ä�ASO �±Ä�ASO���O¢�±;SAµ

'P#B �)�u µ �8��{`{�q-�o�L���A� %3µ N��}�³-��q-�-µ �t���A�|�¯���o¥Å�o�A�(q(��}`�����I}~z �¯�º�¯�A�|���(��}�����±¿�A��{�q-� p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q���|}`��pL�¯³-��}��¯����µ �b��]�b�D�32��<�M5��32�@ �75�67�D�32�@d55�8�&5�G N�67�]2��<�M5��32�@"�b��]�b@�@[�[B �������_� �b����2A� ��E ������� ����Á�W�\¢ !�È ���O���o�O���oÁI�� � �¡Aµ�Ã�xAx|r�ÈA O�I��¢�±�#-�I��¢oµ

'P# #b)���µN��µ ��q-���A{��O��q-���Gµ�u´�|}`���o�¯qL���`�¼}`q(�`�¯��{`�(��}�}�q-�^{�q-���`��m�µ8ÃÄ� ���E(�����;2JEW��67�D�a���<�M�b� �D� �;���D��2A���M5A��2A@�&5����b��� ������� �� �A� ��������ÁZ�Z��¥�qB{���¢��'�|�AS:SAÁI�<����}��ZÁI�<�O��}`�o¥O���\ÁA�� � W#Oµ

'P#D�*)���µ=�<µ ��q-���Z{��O��q-���Gµ���p¤�I{�{���Á�p��o��}��¯���o�~q-��}`��²OqÀ{��-��}�}�q(�%{�qB������m ���o�o�¯��qB�Å}��´�o�O�|±¿���¯�oq-����p��A�¼}`�¼±�o�¯q����`�¼}`q(�`�¯�L�O�|}��¯pL��³B��}��¯���=µ ��67� 5�NW��2�� �75�67�D�32�@d55�8�dNW��� 2��<�M5��32�@ � �b����2A� ��E[Á #B¡�� �\�:!�È S[��¡'�CS:SI�oÁuW������m�� � O¡oµ

'P#B¢�)�xeµ ���¯q(�o�¯q(�BÁAu µ ���`�O� ¶ Á �iµAl8mo�¯q(�¯q�Áe���Z� %tµ N��}�³-��q-�-µ�u´�o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq�¥�q-�oq�}`�¯�)�o�`��¥O�`��pLp¤�¯�o¥ZÈ��q-�o�A���¯�o¥Æ�o�¯�O��}��[zW�A{��¯�o¥kx[�&% �¾�|µ�ÃÄ�Y�&5��CB:� �b��� 5A� ��\�5�@^67�<�M5��32��DK �&5AGVN367�;2A���M5A� �� ��� Z� � ������ÁZ�A��¥Oq-{3��¢O¡!�o��SO¢AÁ��i��{`�(��}��D·��DzOÁIr �AÁN�� � #�µ[Ã]%&%&%tµ

'P#/SA) � µ����¯�op ���A� ��µ������¯�GµÆuWq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{��¯� ����p%�o�¯�A��}`���`�¯���X���|}`��pL�¯³-��}`���O��È>,^²Oq(�`²[��q-· ���Z����O�A��q-�|}��A�������Op¤�Z���`�¯{�����µ&=1� � �h5AGVN367�����HB ��67�D\*��K*��ÁA¢O��U¢C!�È ��¡��'�[¢O ��oÁIx[q(�|}`q(p%�Zq-�^�� O �¢oµ

'P#D�*)���µ � �Z��moq�Á)�<µ^xI}`���¯�\Á����A� �<µ �^���Ap¤�O�|}`{`� ¶ �O{-µ �t�6q-²��O���|}`���O�A���`z ���¯¥��O����}�mop °¸���´p��A�¼}`�¼±���|�~qB��}`��²Oq¤�O�|}��¯pL��³B��}`���O�Å��°��(��p��A�A{~}`���O� �o���|�(q-{`{�qB{(µ�l�q-��mo�o���(���X��q-�Z�O��}BÁ � q(�I}`q(��°¸�O�)}��o�`�o�|±��q-�A��q)�`q-{�q-���`��m�Á �t�o�[�A���c�`q-{�q-���`��m �o���¯q�°U{-ÁA�� O W#Oµ

'P#B¡�) �iµXl)µ �/�A�\Á ��µ ��µ �3�o�Z��{`{(Ái���A�g�%µ %�{�{`��pƵ�g��¼}`�oq-{`{¤���Amoq(�`�¼}����A�(qÀ°¸�O�%�o�O�¯{�z q(²O���¯�|}��¯���A����zp��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�q^���|}`��pL�¯³-��}��¯����µ�ÃÄ� ��µ ± T¤µ �/q-z�q-�����A�¨s�µ ±Äu µ, � �3q(�¯���¯z�Á[q-�o�¼}`����{(Á��� 5J�������A���CBA�5��>�FEW� �V�b�3�b�<�M� 2A��� ��\*5A@^67�<�M5���2A�DK �&5�G N�67�]2��<�M5�� �h5A���b��� ������� �� ���R�R� � � Á��A��¥�qB{������'����I�|Á[ÉÅ�O{�mA���o¥�}��O�� � ÁAs^x ��Á �O�o�oq��� � O�oµ � � u µ

'P#��J)O%3µ ���o� ¶ q�ÁI�<µ � ��·����¯�o¥AÁ��Zµ �����A�A�%x[�¯��²��AÁ[���A� xcµI�<q(}��`��²I����µ � �Op��o�¯�o�¯�o¥¤mIz[�o�`����pLq�}`��moq(�A����{~±}����({8���Z�¨�N���o�A�¯��}��¯���A{/°¸����}`moq^p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q¾���o}��¯p¤��{`��}��¯��� ��°<{��A�O��q¾���¯���|�(��}��¯��� �o���O�o�¯q(p�{(µÃÄ� �R� 5/�����������HB��.5�� � ���R��� � � ����Á/�A��¥�qB{X#D�����!��#D�����AÁ<xo��� gA�`���A����{`���AÁis¾x ��Á ���o�¯zg�� O W#Oµu´���`¥O��� �����|°¸p����o��µ

QLR i$Q'S

Page 32: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� ���

'P#B��)���µ ��µ � �������D·��DzOÁ|l)µ �iµNu´���`�¯��ÁA���Z� ��µZuW�O{ ¶ ��·���}�³�µ T¾q(�Aq(�����¯��³-q-�Æ�|z[�A��pL���)�o�`��¥�����pLpL�¯�o¥°¸���3p%�o��}������`�¼}`q(�`�¯�L�O�|}��¯pL��³B��}��¯���=µ ��67��5�N��2A� �75A67�D��2�@ 5��X� N��� 2��<�M5��32�@����D����2�����E|Á S SAÈ �O���3#- :SAÁ#-�O�� oµ

'P#B��)�r�µ � mA����zI������}`���A�L���A� ��µ e���¯³-���¯�AµM�3z[�o�`���|�¯{`��}`���O�W��°i�Aq(�o�������oq�}~·���� ¶ {3���Z�W¥�q-�oq�}`�¯�%���¯¥���±����}�mApL{X°¸���<}��¯pLq�±¿���|}`��p����A���O�O}`���O�\µAÃÄ�f�&5A�CB:� �D����5A� ��\�5�@^67�<�M5��32��DK �h5AGVN367�;2A���M5A� �� ��� ������Á²��O���opLq>#�Á|�Z��¥�qB{8¢����'�[¢O��¡oµIÃ]%&%&% x|q(�`²I����q � q-�O}`q(�BÁ����A��z(#B���O�oµ

' �� �) � µ�xeµ � mZ���o¥´���Z� �Zµ�xeµ �t�A���A¥AµX,^�|}��¯p����ip%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�{�²O�¤�o�����o�A���o¥°¸�O��²��O�¼}���¥�qL{�}`��±�o�¯����}~zÆq(�omA���A��q-pLq(�I}-µ � � � ��� 5J�����������HB��>5�� �V�b�3�b� 2A���M5A�

��7��2��W�DGL�a�����M5A� 2���� �U�a�D���D�M0�67���M5A�AÁ

#�S[�W�\� !�È �� O¢!�|�� ��AÁW#-�O���oµ' �W#b) !�µ � mA��� ¶ �O�o¥)���A��%µ'�¤µ �t����pLq-{-µ �.67@^�<�M5:0������b�<��\*� �L���b�a�D�M5A� ��2 �A���CB����3EW��5A�DKL2��3�_������E5/�AZ

5�@P5�B:K�µ�r3�O��}`m|± �t���¯�¯���A�cÁortq(· �i�O� ¶ Á #B����¢Aµ' �O�*) ��µ � mA��}�}��O�A���|m[zI�Dzt���A� � µ %3µ�x[q(q-��q-z�µ �g{���p%�o�¯��}�qB�����o�oqB���¯���A¥8}�q-��mA�o�¯�I�oqi°¸���=p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q

���|}`��pL�¯³-��}��¯��� ��°��¯�I}�q(�¯�¯��¥Oq(�I}%{�}��`�A��}`�o��qB{(µ ��G>2A�D� ��2��]���D�M2�@"�.2���� � �<�D6����67� �b��Á�¢ �\�:!�È �O�!�3#- �¡AÁ#-�O�ASAµ

' ��¢�) ��µ �Zµ � mA���o�Nq(��¹Aq-�¯�cÁ��Zµ7g�µIÉ mA�¯�|�N���`�oqOÁo���A�¨��µ �Zµ7g��¯q(pL�¯�o¥Aµ ��\�5�@^67�<�M5��32��DKU=�@ BC5��D���FEHG1�O2A���� ��GL67@P2��]���X=���3��2�@^���HB �b5��>��� � �ÆÁ���mA���|}`q(�8#B¡oµ �)���[·�q(� ���(�O�|q(pL���%���o�o�¯�¯{�mo�¯�o¥AÁ �/�I{~}`����ÁuW��{`{`����m[�A{�q�}�}�{(Á3#B�����Aµ

' �ASA) � µ���µ � µ � �Iq-���¯�Aµ �t�º�o�e�o��}�q-�º{��A��²Oq(zÅ��°t¥I��±¿�A��{�q-� p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q���|}`��pL�¯³-��}��¯��� }`q-��m|±�o���O�Aq-{-µ�l�q-��mo�A�¯�-�����3q(�N����}t�3�3±Ä����±¿ O�oÁ �����N������}��O���¯��rt�O���¯���A�����|q�ÃÄ�|°¸�O��p���� }����(� �=²����A³-���A�� � �tr3Ã���!�Á��^�������Z�oÁ !Xq(�����(���o³OÁou���Ç|�¯�(�AÁ|�^q-�>#-�O���Aµ

' �O�*) � µ ��µ � �[q(�¯���L���Z� u µZ��q(zOq-{-µ�� xI}`�A�|zÀ��°�}`moq)�X�������¯��q-���¯³-��}��¯���¨��°�� � �[q(²O���¯�|}��¯���A����z�u´�A�¼}`�¼±,^�|�~q-��}��¯²�qV%�²����¯�|}`���O�A���`z �t��¥O���`�¼}`mopƵNÃÄ�(���A� = � � � ���oÁ ��r �tÃ����I���|ÁO�A��¥Oq-{i¡O���!�|¡��[�[Á��� O ASZµ

' ��¡�) � µ ��µ � �[q-���¯�AÁX�%µ ��µ !i��� !Xq(���|m[�o�¯³(q(�=Ái���A� T¤µ �¾µ�����pL���I}-µ��R\*5A@^67���M5A��2A�DK.=�@ BC5��D���FEHG1� �b5A��35A@^\/���HB8�.67@^�<��ZD�V0�����������\��O��� 5 0b@P��G1��µ �)�¯�[·/q-� ���(�O�|q(pL���^���o�o�¯�¯{�moq(��{-ÁA�� � I�|µ

' �I�J) � µ ��µ � �[q-���¯� � �[q(�¯���ZÁ���µ ��µ !i��� !Xq(���|m[�o��³-q(��Á����A�UT¤µ �^µ �=��pL���I}-µ �R\*5A@^67���M5A��2A�DKO2A@ BC5��D���FEHG1��b5��_��5�@[\/���HB �.67@^�<��ZD�V0�����������\��O��� 5 0b@P��G1��µ �)�¯�[·/q-�-Áortq(· �i��� ¶ ÁA�� � I�|µ

' ����) ��µ � ���`�Zq-������Á�%tµ�goq-�������A�|q-³�Á�u µ��=��¥O�o�A�AÁ����A�½��µ/uW����}� \µ �3q-�o����{�}����´{��O���|}`���O�A{L}`� }�moq�o�`���o�¯q(p ��°X�`���|}`���o¥ {���mo�[�O���o�A{�q-{t·��¼}`mWp��o��}��¯�o�¯q��O�|�~q-��}��¯²�q-{-µ �75�67�D��2A@ 55� �FEW�$�dNW��� 2A���M5A��2�@� �b����2A� ��E �35J���M�b�<K�ÁZ��¢ �FSH!�È SI�O���CSI¢O�|ÁI�� � I�|µ

' ����)�l)µ T¤µ � �����¯�o���t���Z�¨u µ|l����o�¯���A{�q�µc�X���`�����¯q(�cxI}�����}`q(¥O��qB{i°¸�O��u´q(}`��moq(�o�`��{~}`�¯�-{(µ�ÃÄ�$g�µ É�µT¾�¯��²�q-����A�4T¤µ ��µ �^�|��moq(�[�Nq(�`¥�q(�BÁIq-�|��}��O�`{-Á��U2A���:0�5J5 �$5��������;2JEW��67�D�a�D���M�b��ÁN�� O �¢Aµ

' ¢O �) !�µ ±¿�%µ � �o�A¥AÁAxeµ �iµAuk����}��¯�A{(Á � µ � µA���¯�Zq-���`�AÁo���A� � µA�����Z�(���¯�`���Gµ�xI}`�`��}�q(¥O��qB{�°¸����}�mAq��<���`�����¯q(�ÃÄpL�o��q-pLq(�I}`��}��¯���¤��°cu´q�}���moq-�o����{�}����({-µoÃÄ� � µ � µ����¯�Nq(�¯�������Z�%�<µ/�^���A{�q(�=Á�q-�o�¼}`����{(Á ������2�K*��2A���� 67�D\��bK*�_���(�����;2JEW��67�D�a�D���M�b��ÁA�A��¥�q-{3��¡�¢'�[¢� O�oµ��)���[·�q(�BÁ|�� � O¢oµ

idikj�lmDnbo�p

Page 33: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

¢O  � 2����b��67�����2A@P0��

' ¢#b)��<µ � ³(z[³-� ¶ ���A� ��µ��I��{�³ ¶ �¯q(·�����³Oµ��X���`q�}`�¤{��¯p��o����}`q-����o�oqB���¯���A¥Aµ�ÃÄ�4T¤µgZ���A�oq(�����Z� l)µT)���\Áq-�|��}��O�`{-Á �.67@^�<� N�@9� � �D���;���D�M2 �L�����a�D�M5�� ��2 �A���CB�� ��� 5J�������A���CBA�c55���FEW��� � �b��E �D� �;���D��2A���M5A��2A@�&5����b��� �������(Áo�A��¥Oq-{3���I� �|¢� [�[µIx|�o���¯�o¥Oq(��± !Xq-������¥ZÁ #B���I�|µ

' ¢I�*)��<µ � ³(z[³-� ¶ ���A� ��µ �O�O{�³ ¶ �¯q(·�����³Oµ[�<����q(}��){��¯p��A�¯��}�q-�¤���A�oq-�����¯�o¥ ���¾pLq�}���moq-�o�`�¯{�}����/}�q-��mA�o�¯�I�oq°¸����p%�o�¼}`���A��q(±G�O�|�~q-��}��¯²�q)����p%�o�¯�A��}`���`�¯���Z�O�|}��¯pL��³B��}��¯���=µ �75A67�D��2�@ 55���.67@^����ZD� �D���]�b�D�M2 �L�����a�D�M5��=���2A@^K*�D�a��Áe�[È ¢AS'�HS[�|Á #B�����Aµ

' ¢O¢�)UT¤µ��^��mo�GÁ��Lµ��O���`�A{~}`q(��Á����A� ��µ �=� ¶[¶ q(}`���A¥�q(�=µ � }`���o�Å{�q-���`��mÅ���o�A���I����m´}`� }`moq���mA���A�oq(�pL���o�¯pL��³B��}`���O�¤�A���O�o��q-pƵAÃÄ� T¤µ �=����Á��¾± ��µ��im[�A�oÁ��Zµ�uW�oÁ �Aµ �^��ÁHg/µCT¾��ÁO���A� � µ/�3qOÁOqB�|�¼}`����{(Á�dN��<��G1�P`J2��<�M5�� Z �����EH� ���b6�b��2����f=�N N�@^�M��2��<�M5���

��A�R� �C=% � � Á�²O���¯�opLq�#�Á��A��¥Oq-{�¢�¡O�!�|¢I���|Á

� moq(�A¥O�|��Á � mA���A�AÁ #-�O�O�oµIÉÅ���`���x|�(��q-�I}���¹Z��µ' ¢:SA)O%3µ8��µ8�|q �O���o¥ZÁ���µ���µ/É ��}�{��O��Á3���Z� �Aµ �^µ/�<���¯�¯�O� ¶ µ���qB�|�A�(���o¥g�o���I��} ���A�½�o�`��pL��}`���A¥

�|�¯²�q(��{��¼}~z��A{��¯�o¥�p��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�q8pLq�}`mo�|�o{-µoÃÄ� �iµOx[�Nq-��}��O�-ÁA%tµO�%µ T¾�[�[�opL����Á���µ�ÉÅ��Á�É�µ �¾µ�=���o¥O�|�O��ÁJ��µ ±Äu µ !X���¯¥�}-ÁXu µ T¾q(��ÁXxeµ<x[q(��ÁXu µ��t�O���¯¥��ZÁ�xeµ��<q(³(qB{�m ¶ ÁXu µ-��µ T)���`³(���=Á����Z�%3µ �/�A� ¶ q�ÁBq-�|��}��O�`{-Á � �������<�M�V2��3� �R\*5A@^67���M5A��2A�DKL�&5AGVN367�;2A���M5A�.�h5A���b��� ������� �� ���R�R��Z ����������Á�A��¥Oq-{�#:#���#B�oÁox|���4go�����Z����{��(�AÁ � ���¯�¼°¸�O���A�¯�AÁ[s¾x ��Áe�� O W#�µ|u´�O��¥I��� �����|°¸p����o�=µ

' ¢I�*) g�µ/�|qkl����`�AÁ �Zµ�,^��}`q(¥I�oÁ�%3µ��3�O{-Á8xeµ�u´��}��oÁ�¾µ��X��qB��mI}�q(�BÁ8���A� �Zµ u µ�uW����} ¯��µ6�/x7g T ��È�X�������¯��q-�X�i���|�(q-{`{��¯�o¥Æ���A�f%i²O���¯�|}��¯���A����z � �OpL�o�|}`��}��¯���Å°¸����uW�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�qX,^�|}`��pL��{���}��¯����µ� 2���2�@�@P��@��&5AGVN367�����HB�ÁA¢O �G�D±Ä¡ !�È ���W#��A��¢��AÁ��� O ASAµ

' ¢O¡�) �Lµ��tq-��µ3�.67@^����Z 5 0�����������\���5�N��<��GL�P`/2A���M5A� 6H�D���HB �b\�5�@[67���M5A��2��DKL2�@ BC5��D���FEHG1��µoÉ ���¯q(zOÁ � mo����moq-{�}�q-�-Ás �LÁA�� � W#Oµ

' ¢[�J) �Lµ(�^q(��Á�xeµ �3¥����D·8���GÁ ��µ-�i�`��}`����ÁB���A�)l)µ(u´q-zO���`�¯²D����µ � °U��{�}�q(�¯��}���{~}�rt���|±Ä�|�Op¤�¯�A��}�q-��x[�O��}`���A¥T¾q(�oq(}���� �3�¯¥��O����}�mop °¸���3u´�A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq1,^�|}��¯pL��³B��}��¯���=Èir^xWT �3±GÃ�Ã�µ�ÃÄ����� 5J�������A���CBA�15��O�FEW�� 2���2�@�@P��@ �R� 5:0�@P��G � 5�@^\J���CB ��� 5AG �12��<67� ��� �>�&5����b��� �������(ÁA�A��¥�q-{8�:SO�!�|�O���oÁI�� � O oµ

' ¢O��) �LµN�^q(�����A�Wl)µ T¾�[q(�Gµ��#m[zI�A�����´p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq�q(²O���¯�|}��¯���A����z���o�A���I����m}�� q(�o¥O���oq-q(�`���A¥{�mZ���NqÀ�|q-{���¥O��µÀÃÄ��%3µ N�¼}`³(�¯q(�BÁ �Lµ��tq-��Á���µ=l8mo�¯q(�¯q�Á � µ � �[q(�¯��� � �[q-���¯�AÁ����A� �¾�D²I��� � ���`�oq�Áq-�|��}��O�`{-Á ������D� �b��]�b�D�32��<�M5��32�@ �&5��?�b�b���b�3���_5A� ��\�5�@^67�<�M5��32��DKO�.67@^�<��ZD� �D���;���D�M5��f�dN��<��G1�P`J2A���M5A�AÁ²��O���opLq$#-�O��¢���° � ������67��� �U5��]�b�1��� �&5�G N�67�]��� � �b�M�������(Á��A��¥Oq-{¾¢��I���[¢O���AÁ N�o�`����m�Á=x[·���}�³(q-��±�¯���A�cÁA�� � W#Oµ

' ¢O��) �Lµ��tq-�¤���A� ��µ:T¾�o�|}`�AµAx[q-���`��mA���o¥3°¸���<���O�o�A{�}��Z���`q�}���±G�O�|}��¯p����[{��O���o}��¯���A{����¤p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq���|}`��pL�¯³-��}��¯����µ3ÃÄ� � µ ��µ � �[q-���¯� � �[q(�¯���ZÁ ��µ1��µ �t¥��o�¯�`��qOÁN���A�.%3µ N��}�³(�¯q(�BÁNq-�|��}��O�`{-Á��&5A���b���DZ�b�3��� 5�� ��\�5�@^67�<�M5��32��DK_�.67@^�<��ZD� �D���]���D�M5��f� N3����GL�P`J2��<�M5�� ���c�� � � ��Á�²O���¯�opLq�¢:S#- t��°�� ������67� ��U5A�;�b����.�&5�G N�67�]�b� �3���M������� ��� � � ��Á-�A��¥�qB{&#B�� !�3#-¡ASZÁ/T¾�A���A���~�A��}��ZÁBu´q(Ç|�¯�(�AÁ�uW������m��� O O�oµx[�o�`���A¥�q(��± !Xq(�`�¯��¥Aµ

' SI �) �Lµi�tq-��Á ��µi���`��}`���=Á8xeµ �3¥O����·8���GÁ����A�ºl)µ/u´q(zI���`��²����=µ � °U�O{~}¨���A�gq-����}���{�}Àp��o��}��¯���|�~qB��±}��¯²�q%¥�q(�Aq�}���������¥O���`�¼}`mopÆÈ�r^xWT �3±GÃ�Ã�µ � � � ���W� 2���b2 �b�<�M5���>5A� �R\*5A@^67���M5A��2A�DKf�&5AGVN367�;2A���M5A�AÁ¡�G�:!�È9#-�I���3#-�I�|ÁI�� � O�oµ

QLR i$Q'S

Page 34: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� ¢#

' S #b)��<µ3�tq-����{��¯q�Á)u µ�)�����~q-� ¶ �GÁtu µVT¾���D²�q(�GÁt���A� � µVT)��¥O��µ,�X�������¯��q-�^�¯pL�o�¯q(pLq(�I}`��}��¯���K��°%������I}¤�(���¯���[zk�O�|}��¯pL��³B��}`���O� pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�¨·��¼}`m ���Nq(�Ap¤�=µ�ÃÄ� �:� � ��67� 5�NW��2�� 5A� �*� EW5�N 5���dNW���W� � � #(��� �� ������ÁA�A��¥�qB{��!��#D�|Á|�� O W#�µ

' S[�*)�xeµ��^�A����}�q����Z� �¾µ �8��� ����µ%u´�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q�rtq�}~·���� ¶ �^q-{��¯¥�� ,^�|}��¯pL�¯{`��}`���O�Ås^{��¯�o¥�<���`���¼±��q-� %i²O���¯�|}��¯���Z���`z �3�¯¥��O����}�mop�{-µ8ÃÄ� � ��� � � �h5A���b��� �������M2�� 2A�����35/2AG>���D�M��2���24� � �D���b5A�DG � ���M��2� � � � � ������Á��� O W#Oµ

' SI¢�)�Ã�µi�t�Ap¤��}��`q-{`��� ���A�gl)µ/x[} �|}`³(�¯q�µ � ��p%�o���Z��}��¯���Z{%��°^�¯�|�(����{�q-���`��m ���A�ºq�Ço����}L����¥O���`�¼}`mop�{(µÃÄ� T¤µ/�3���¯�o�tq�}���Gµ�Á�qB�|�¼}`���BÁ =�N:N3@^�M��2��<�M5���f5�� �R\*5A@^67���M5A��2A�DK �&5�G N�67�<���CB

��R� 5/�����������HB��-55�

��\�5 #L5A� �*� E5�N ��� ������ÁZ�I�Ap��Nq(�t��¡#:#¾��� ��qB��}`�o��q�rt��}�qB{8��� � �Op¤�A�|}�q-�tx|���¯q(�A�(q�Áo�Z��¥�qB{��7#:#�����ASAµox[�o�`���A¥�q(��!Xq-������¥ZÁ �/q-���¯�¯��ÁT¾q(�`p����[z�ÁA�� � �¢Aµ

' S SA)�u µ7%imo�`¥���}�}����A� ��µT)���A�|�¯�o�¯q(�|Çcµ �3� �3�o�o��}`��}�q-� �����A���¯��¥O�`���om[z¤��°�u´�o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�q � �Op%±�o�¯�A��}`���`�¯��� ,^�o}��¯p¤�¯³-��}��¯����µil�q-��mA�o�¯�-������q-�Z�O��}3¡I������ � O oÁ �����¯{�q(��{��¯���|}�q-����Á7T¾q(�`p����[z�ÁA�� � O oµ

' S[�*) � µ�u µ:gA���A{�q-�-�oµ �.67@^�<�M5:0������b�<��\�� B ���������M�_2A@ B 5A�D����E7GU� h����E 2�N N�@^�M��2��<�M5�����]5U��5�� ����5�@����CB:���������DZ���CBON�� 5 0b@9�bG1��µi�imA�2}`moq-{���{(ÁAst�o�¯²�q(��{��¼}~zÀ��°<x[mAqbQ�q(���cÁ #B���O�oµ

' SI¡�) � µ|u µ7go���Z{�qB�(�����A�À�<µ �Aµ7g��¯q(pL���A¥Aµ �t�¨��²�q-��²[�¯q(·½��°�q(²��O���o}��¯���A����z¤���¯¥����`��}�mop�{i�¯�¨p%�o��}��¯���|±�~q-��}��¯²�q)���|}`��pL�¯³-��}��¯����µ ��\�5�@[67���M5A��2��DK��h5AGVN367�;2A���M5A�AÁA¢ � #*!�È9#���#B¡oÁ3#-�O�O�oµ

' S|�J) � µcu µ go���Z{�qB�(�À���A�W�<µ �Aµ g��¯q(pLpL���o¥Zµ T¾q(�oq(}����%����¥O���`�¼}`mop�{�°¸���¾p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q¤���|}`��pL�¯³-��±}��¯����È>go�O��p%�o����}��¯���=Á��|��{`���A{`{��¯��� ���A� ¥�q-�oq(�����¯�¯³-��}`���O��µ¨ÃÄ� �&� ���FE �D� �;���D��2A���M5A��2�@��&5����b��� �������5�� � �������<�M��=�@ BC5��D���FEHG1�� ��� �=% ������ÁA�A��¥�q-{RS #-¡'�CSI��¢oÁ[x|���ÆuW��}`q(�ZÁos^x ��Á #-�O��¢Aµ

' SI��)�u µ���µ&gA���o�`p�����µ � ��pL�A�O��}��¯��� ��°t{�z[p%�Z�O�����À���Dz��O�|}��A{����A¥k¥�q-�oq�}`�¯� ���¯¥��O����}�mop�{-µkÃÄ� �Zµ �AµT¾��q(°¸q(�A{�}�q(}�}`q�Á�qB�|�¼}`���BÁ �D� � � �&5���� �R5A� �V�b�3�b�<�M�U=�@ BC5��D���FEHG1�82A���4�FEW�����U=�N N�@^�M��2��<�M5����Á=�A��¥�q-{#�S #���#D��¢AÁ��i��}�}�{��o�A��¥Om�Á #-�O�O�oµ

' SI��)�l)µ �iµ�go�`��qB{�³OÁ:T¤µ �3�A���A�o���¯�¯�o¥O��pÁ�r�µ'�Aµ�u´q-mO}��oÁ �Lµ�rt��pÆÁ�xeµ �Aµ�x[mA��m�Á����A����µ ��µDl����A����µ|l8moqp��o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq%qB�I�o���¯�¯�o���¯�op£�Aq�}~·���� ¶ �oq-{���¥O���o�`���A��q-p ��q-²I��{��¼}`q-�cÈ��,{��¯p��o����}`q-�����o�oqB���¯���A¥���o�A���I����m�µ ��67� 5�NW��2�� �75�67�D��2A@ 5��8�dN�b��2��<�M5���2A@ � �b����2�� ��E[ÁA¡I�|È S:S �|�O�|Á #B���O¢oµ

' �� �) �iµ�u µ T)��p��Z�����|q(�¯�¯�AÁ3%3µ=l����¯���������cÁ=���A�fT¤µ��t¥O��³(³(�GµLuW���-{~±¿²[���|}~·�È)�p��o��}��¯�o�¯q����I}������¯���[z{�z|{�}�q-p,°¸����²Oq(mo�����¯q)���O�|}��¯�o¥L�o�`���o�¯q(p�{8·���}�m}��¯pLq�·����A�o��·3{(µ<�A��¥�q-{8¡O¢!�o��¡oÁ�#-�O���oµ

' �W#b) ��µhT)���A�o���o�¯q(�oÇ ���A� u µ %imo�`¥���}�}Bµ #-�O�AS�±Ä�� � ASZÈ�z�qB����{���°3p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�q pLq�}`��moq(�A����{~}`�¯�-{(µ�o�|}¾·�mA��})���N���|}^}�moq¤{��O���|}`���O�´��°��(��p��A���A��}��O���������A���O�o��q-p�{3·���}�mWp%�o�¼}`���A��q¤���|�~qB��}`��²Oq-{�� ÃÄ���µK�3q-�������A�|q-³ �3¥O�o���`�`q � µ � �[q(�¯��� � �Iq-���¯�k���A�c%3µ N�¼}`³(�¯q(�BÁ<q-�|��}��O�`{-Á �R\*5A@^67���M5A��2A�DK��.67@^�<��Z� �D���;���D�M5�� �dN��<��G1�P`J2A���M5A�� �3EH����� �b��]�b�D�32��<�M5��32�@U�&5A���b��� �b�3���

������ � � � � Át�A��¥�q-{¨¢�¢!�HSO¡AÁ

T¾�A���Z���~�A��}��AÁ|u´q(Ç|�¯�(�AÁA�� O O�oµ|x|�o���¯�o¥Oq(��± !Xq-������¥Zµ' �O�*) ��µ*T)���A�|�¯�o�¯q(�|ÇcÁAT¤µ��=���Nq(��}-Á*%3µ � ����}��¯¥��A��qB{(ÁB���A�)�<µDu´���¯�¯��}-µIx|u �t�<l ÈJ%X}��A�oq/�|qi����°U����{`���o�¯����}��

��� �o�{����¯²�q-�o�8�|q^�A���O�o��n-pLq-{8�|q¾p¤�O�o�¯����{���}��¯����|q)���B{�q-��²Oq�}�q-��}`�¯�����`q�µ � ��\/6� � �D�_�DK*�D����G8�D�O�:��������a�D�M5��AÁZ¢� #*!�È SI�!�[¡I�|Á #B���:SAµ

idikj�lmDnbo�p

Page 35: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

¢I� � 2����b��67�����2A@P0��

' ��¢�) ��µ T)���A�|�¯�o��q-�|ÇcÁ¾r�µ3u´q(³B�o���O�o�GÁ^���Z� ��µVgo�`q(²[���¯�¯q�µ � }`���o�K{�q-���`��m �o���|�(q-�|�o�`q�}��½{��O��²Oqp��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�q��(��p��A���A��}��O�����������|}`��pL�¯³-��}��¯��� �o�`���o�¯q(p�{-µ¤ÃÄ� ��µ � ���A�����¯q(�`�AÁ g�µ=���A��³OÁ����Z���µNx[}�q(�Aq(�BÁAq-�o�¼}`����{(Á � ����5A�����D�� �R�&5��?� �5A�(�.67@^�<��ZD� 0������b�<��\�� ��� 5�BA� 2AG1GL���CB42A��� � 5J2�@ ��� 5AZBA��2�GLG1���HB ���� ��� ���DÁL�A��¥Oq-{k���W#��[¢� O oÁ)l=�O���`q(pL�O���¯�o�O{-Á�x[�A������Á¤uW�Dz #-���O¡oµtx[�A���¯�o¥�q-��±!Xq(�`�¯��¥Aµ

' �ASA)�u µhT¾q(�º���A� ��µ��=����µ u´�o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq¨m[z[�o�`�¯� ¥Oq(�oq(}����¨����¥O���`�¼}`mopw°¸�O�%�A�¯�(����}�q-�����´�oq(}~·/�O� ¶�|q-{��¯¥��´�o�`���o�¯q(pƵ�ÃÄ� �3E���A�FE$=_�D�M2>�V2:��� ��� � K�G N5*�D��67G 5�� �D� �;��@�@^�[BC�b� �V2���� ��\�5�@[67���M5A��2��DK� K*�D�]�bG1��Á|�A��¥Oq-{t��¢'�[�I�|Á � ���¯���A{-Á �3�A{�}������¯���oÁo�^q-��q-p��Nq(�t�� � ASZµ

' �O�*) ��µ3T¾q(��Êe�`���O��µ��i�`���Nq(�^qbQÀ���¯q(�Z��z ���A�}�mAq(���`z¨��°�²Oq-��}����tpL��Ç|��pL�¯³-��}`���O��µ �75A67�D��2�@ 5��_��2A��E7Z�bG82��<�M��2�@ =���2�@[K*���a�U2A���1=�N:N3@^�M��2��<�M5��W��Áe���|È ¡W#B�!�|¡�¢� AÁ#B��¡��Aµ

' ��¡�)���µd%3µhT¾�����|�Zq-��¥Zµ �V���������M�42A@ B 5A�D����E7GU� ��� ����2�� ��E�5�N3����GL�P`J2��<�M5��

�2A����G>2 ��E7�����$@P��2A�D����CB�µ

���o�|��{��O�|±¿É�qB{��¯q(zOÁ #-���O�oµ' �I�J)�Ã�µ %tµ:T¾���¯��² ¶ �¯��Á�xeµ �Aµ ���O�o��{(Á����A����µ � µ�uW���Z���¯�o�\µ|�X���`�����¯q(�IÃÄpL�o��q-pLq(�I}`��}��¯������°Zr3����moqB���X���`q�}`�

T¾q(�oq(}���� �3�¯¥��O����}�mAp � �|�|q<°¸��� �3±Ä�3�Dzt�i����{�p��3x[�Nq-��}`���I{��(���[z�µDÃÄ�U��� 5J���5����FEW� � � �'�8�&5��HBA� �b���5�� ��\*5A@^67�<�M5���2A�DK(�&5�G N�67�]2��<�M5��ZÁo�A��¥Oq-{_#B�O�� '��#B�O��SZÁO�� O O�oµ

' ����) � µRT¾�OpLq-{¨�A�ºx[�¯��²��AÁ �AµRg���¥O�oq(�¯���oÁ3���Z� �Aµ � � ¯p����(�Aµ ÃÄ�I}�q-¥�����}`���o¥ �Z����}������t�O�|}��¯pL��³B��}`���O�·��¼}`m {��-��}�}�q(�%{�qB������m�°¸�O��{����¯²I�¯�o¥´�o��±Ä���`�¼}`q(�`�¯���B AÁP#��(± ¶ �A���A{`��� ¶ �o�`���A��q-pL{-µ ��67� 5�N��2�� �75�67�DZ��2A@�5��(� N��� 2��<�M5��32�@h� �b�b��2A� ��E

��:NW�����M2�@ �����D6� 5A� �.67@^�<�M5:0������b�<��\*� �R� 5 B:� 2AG1GL���CB�2A��� � 5J2�@

��� 5�BA��2�GLG1���HB � �U� �W� �b�3�*�U2��3�1=�N:N�@[�M��2A���M5A�W��ÁN�� � :SAµ' ����) � µCT¾�Op¤qB{��A�)x|���¯²��oÁ��Aµ � �¯�¯pL�O���ZÁO���Z���Aµ:g��¯¥��oq-�����oµ �h{`�(��}�}�q-��{�qB������m%pLq(}�mo�|�¤°¸�����o�¼±Ä���`��}�q(�`���

 oÁ9#�± ¶ �A���A{`��� ¶ �o�`���o�¯q(p�{-µR#-¡�� �\� !�È ¢I��¢'�[¢O�W#�ÁOuW������mÆ�� � O¡oµ' ¡O �)��<µ �t���~q(��� ���A� � µ��%µ����¯��µ T¾q(�Aq�}����L{�qB������m�{�}�����}`q(¥��¯q-{¾�¯��p%�o��}������`�¼}`q(�`���O�k���o}��¯pL���i�|q-{��¯¥���µ

� �<�D6�b�<67� 2A@ �dN3����GL�P`J2��<�M5��AÁ SAÈ ���'��#- [�[Á #-���I�|µ' ¡#b)�u µ��<µ/�t���A{�q(��µol����o��x[qB������m����Lu´�o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq ,^�|}��¯pL�¯{`��}`���O�¨È�uf,¾l3xeµoÃÄ� ��� 5J�����������HB�� 55�

��E� � �:��E �D� �;���D��2A���M5A��2A@d�&5��?�b�b���b�3���O5A�$�467@[��� N3@P�>� �D���;���D�M2 �L�����a�D�M5��$��2 �A���CB <��� �O� �� ��Á� ���Nq�l=��·���ÁAx|���|}`m �3°¸�����(�AÁ #-�O�I�[µ

' ¡I�*)�u µB��µ+�^���A{�q(�����A� ��µ!�I��{�³ ¶ �¯q(·�����³OµA%i²����¯�A��}`���A¥3}�mAq/�I�A���¯��}~z¾��°A���o�A���DÇ|�¯pL��}��¯���A{c}��3}`moq��A���|±�|��pL�¯�A��}`q-��{�q�}Bµ�l=qB��mo�o���(���Z��q(�N����}�Ã~uWuƱÄ� %i�i±�#B������±~�|Á�l�q-��mo�o���(���A�o�A��²Oq(��{���}~z���°c�^q(�ApL��� ¶ ÁuW������m�#B���O�oµ

' ¡O¢�) ��µ �tq(��}�³OÁ �¾µ �I���op����`�cÁ �¾µ����¯�Zq-���`�AÁ8���A�ºÉ�µ�g�µg��¯��mA�Aµ ��p��A�¼}`�¼±Ä���`�¼}`q(�`�¯��}����o� {�q-������m���o�A���I����m }`�g��q-���3°¸���`pL��}��¯���½�o�`���o�¯q(p�{��¯� ¥��`���A�g}`q-��mo�o�O���O¥�z ·���}�m p%�o��}��¯�o��qk���|�~qB��}��¯²�qB{(µ� = � �1�� �dNW��� 2��<�M5�������D����2�� ��E[ÁN����\¢ !�È ¢O �¢!�|¢O���oÁW#B���ASZµ

' ¡:SA) ��µ3�3q-��}`³�Á �¾µ �O���op������cÁ � µ � µc���¯�Zq-���`�AÁc���A�WÉ�µe�<µ go�O��pL�O{��¯�omo�Xg��¯��mo�Zµ �#p%�o�¼}`�¼±Ä���`��}�q(�`���}`���o� {�qB������m ���o�o�`�O�O��mk}`�k��q-����°¸���`p���}��¯��� �o�`���A��q-pL{���� ¥O���O�o�Å}�qB��mo�o���¯��¥Ozk·���}�m p%�o�¼}`���A��q���|�~qB��}`��²Oq-{-µ8��= � �1� ������E�b� ��EW���dN ��� 2A���M5A�����@�@P�� �dN�b� 2A���M5A�W�U� �b����2�� ��E[Á<����\¢ !�È ¢O �¢!�|¢O���oÁ#-�O�ASAµ

QLR i$Q'S

Page 36: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� ¢O¢

' ¡I�*)��Aµ �t���`�%���A�%r�µ�rt��°¸�o�¯����}���{(µAuW�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q����|}`��pL�¯³-��}��¯���¤�A{��¯�o¥¾}�mAq��A�¯��moqB���Z���`q�}��¾¥�q-�oq�}`�¯����¯¥��O����}�mopƵ<ÃÄ�¯����T � � �3q(�N����}��O¢� O O�|Á[ÃÄ�¯���¯�o�O�¯{ T¾q-�oq�}`�¯� �t��¥O���`�¼}`mop �����N������}��O��zOÁ|s3�o�¯²�q-��}~zÀ��°ÃÄ���¯�¯�o����{���}tst���A���A��± � mA��p¤�Z���¯¥���ÁIÃÄ���¯�¯�o����{(Áos¾x ��Ád#-�O��¢oµ

' ¡O¡�)O%3µ��3�A¥�moqB{(µ %i²��O���|}`���O�A���`z½p��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�qÅ����� ¶ �¯�o¥º·���}�m6�o�A�(q(��}`�����I}~zh���Z�h�o�O�¯{�q�µ7ÃÄ������� ��� �(�R� 5/�����������HB��.5�� ��E� �&�����D� �b��]�b�D�32��<�M5��32�@��h5A���b��� �������(5�� ��\�5�@[67���M5A��2��DKf�.67@^�<��Z� �D���;���D�M5�� �dN��<��G1�P`J2��<�M5��ZÁo�A��¥�q-{�¢I���'�[¢ASI¢oÁ �����Z�|����Áos �LÁA�� O W#�µox[�A���¯�o¥�q-��± !Xq(�`����¥Aµ

' ¡[�J) � µ �iµ �3·8���A¥¤���A����µAxeµou µouW�O{��Z�cµ�uW�o�¼}`���A��q)���o�~q-��}`��²Oq¾�oq-����{����O�¨p�� ¶ �¯�o¥�±XpLq�}`mo�|�o{����Z����o�A�����(��}��¯���A{-µeÃÄ� � ������67���D� �15��]�D� ��� � ��5A��5�GL�M�b�_2��3�U�(2A��E�bG82��<�M��2�@ ��K*���]��GU��ÁI²����¯�opLq #B¡ASAµx[�o�`���A¥�q(��± !Xq(�`�¯��¥AÁ �/q-���¯�¯��Á #-�[���oµ

' ¡O��)�xeµLÃÄ��qB�|�GÁÆ�%µÀu´q-� ¶ �¯q�Á´���A� u µ�u´�¯�A�|q(�A�o����°~µ ����±¿�(����}�q-���¯��� ���|}`��pL�¯³-��}`���O��·���}�m p%�o��}�����O���O�IzW���I}�����¥O���`�¼}`mop�{(µ%ÃÄ� �&5A���b��� �b�3��� 5A� ��\�5�@^67�<�M5��32��DK.�.67@^�<��ZD� �D���;���D�M5�� � N3����GL�P`J2��<�M5�� ������ ������Á<²��O���opLq4#-�O��¢ ��° � ������67� ���U5A�;�b�L��� �&5�G N�67�]�b� � �b�M������� � �8� ����Ác�A��¥�qB{�¢O���'�¢I���|Á|uW������m´�� � #�µ

' ¡O��) ��µeÃ~{�q(�`pL���o��µ3�����O�Zq-�^q�Q��(��q-�A��z´���A�Æ}�mAq%�¯���Aq-���^²�qB��}��O�tp���Ç|�¯p��op��o�`���A��q-pµ$�dNW��� 2A���M5A�W�� �b����2A� ��E[Áo�A��¥�qB{�#B���'��#-�#�Á #-�I��SAµ

' �� �) ��µ�Ã~{�mA���o�Z��mo�/���A� l)µ�u´�A�`��}`�oµ´u´�A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq�¥�q(�Aq�}������¯�|�(����{�qB������m ���¯¥����`��}�mop ���A� ��}`{���o�A�����(��}��¯����}`� �A��·3{�mo�O� {`��moq-�|�A���¯�o¥Aµ � � � � �7� 2A�W��2:���<�M5��W� 5�� ��K*�D�;��GU�

���2�� � 2A���4� K:0����DZ

�������M�b�OZ� 2��D����� =�N N�@^�M��2��<�M5���12��3�U� ��\J�M� ��ÁZ����U¢C!�È ¢��I���CSI �¢AÁ#-�O���Aµ' �7#b) ��µcÃ~{�mo�¯�o�A��mo�GÁ�l)µ �i�O{�mo���o�oÁ����A��l)µcu´�A�`��}`�oµ �����¯���A��q%�Zq(}~·/q-q(�Å¥�q-�oq�}`�¯�¤{�qB������mk���Z�k�¯�|�(���

{�qB������m��¯� m[zI�A�����Åq(²��O���o}��¯���A����zWp%�o��}���±¿�(����}�q-���¯���Å���|}`��pL�¯³-��}��¯��� ���¯¥��O����}�mop�{-µÀÃÄ�c%3µ � ���I}��|±�X��³�Á �Lµ�uk��}�mA�¯�O{(Á���µ�����zOÁ���µO�^�D²[��{(Á���µD�<���¯�GÁ �Lµ �����¯� ¶ ����{�mA�A����Á !%µ �3���Z�D²D���-ÁAT¤µ����Z�|���¯�om�Á�Aµ%É�q-¥�q-�oq(�BÁ���µ ���o�¯�\ÁÆu µ ��µ��<��}�}�q-�-Á ��µ � µ�x|��m[�o�¼}`³�Á �AµLg/µLu´�¯���¯q(�BÁ$%3µ ���o� ¶ qOÁ ���Z�r�µ ���O�o�O{ ¶ �oÁ�q-�|��}��O�`{-Á&��� 5J�����������HB��45��8�FEW� �V���������M�42��3� �R\*5A@^67���M5A��2A�DK �&5�G N�67�]2��<�M5�� �&5�� Z�b�b���b�3��� �� ���R���� �����'�&��ÁN�Z��¥�qB{�#-¢� #��3#-¢� O�oÁOxo���.go�����A�(�¯{`���ZÁ � ���¯�¼°¸�O���o���oÁ �O�o�¯z �� O O�|µ

' ���*)�É�µ"�I� ¶ ����ÁNu µ T¾���`¥�q-{�±~x|��mo�¯q(�|}`q(�BÁA���A� � µ �����Ap¤qOµ �3�A�o�����(��}��¯���W��°X¥�q(�Aq�}���������¥O���`�¼}`mop�{8}��}`�O{ ¶ �o�����o�A���o¥ ���A�´�¯q-�����A���o¥ZµtÃÄ�k��µeuk���o�oq-�^���A� �¾µcuW���A�oq(�`�¯� ¶ ÁAqB�|��}�����{-Á � 2A� 2�@�@9�b@d����5:0�Z@P��G � 5�@^\J���CB ��� 5AG �U2A��67� �L�&� � � ��Á ��r � xeÁ��A��¥�q-{����W#��[¢� O oÁ �tp�{~}`q(���o��pÆÁ�#-���I�|µ=rt����}�m|±�3�O�������A��µ

' ��¢�) ��µ �I��{�³ ¶ �¯q(·�����³�µT¾q-�oq�}`�¯���¯�|�(���|{�q-���`��m�°¸���<p��o��}��¯�o�¯q����|�~qB��}`��²Oq��(��p��A���A��}��O�������I���|}`��pL�¯³-��}��¯����µl=qB��mo�o���(���i��q(�N����}�� ��±Ä W#/SP�����oÁcÃÄ�Z{~}`�¼}`�|}�qÀ��° � �OpL�o�|}��¯�o¥�xo���¯q(�A�(q�Á=�<�O³(�A��� st�o�¯²�q(��{��¼}~zW��°l=qB��mo�o�O���O¥�z�Á3#B�����Aµ

' ��SA) �%µ��O�¯�L���A� �Aµ ������� ¶ q�µ7%i²O���¯�|}��¯���Z���`z����|}`��pL�¯³-��}`���O�L���L�o�A�(q(��}`�����¤q(�[²[���`���Ap¤q-�I}`{�±��){��A��²Oq(z�µ� � � � �W� 2���b2 �b�<�M5���U5��-��\*5A@^67�<�M5���2A�DK$��5�G N�67�]2��<�M5��ZÁA��\¢ !�È ¢O �¢!�|¢W#��[Á��O�o�oq��� � O�oµ

' ���*) �¾µt��µ �O���Aq-{-Á¾É�µ���µ � ���I{�{���q-z�Á)���A� ��µ¾xeµ���z[���¯�I}�³-�¯{-µ �8q(�`�|�|z[�A��pL��� ���A�2��q-���I���(���A{�±}����g�O�|}��¯pL��³B��}`���O� ��°¨������°¸���¯�¯{k²[�¯�K�h�A���`�����¯q(�¤¥�q-�oq�}`�¯�º���¯¥����`��}�mopƵ ÃÄ� ��� 5J� � 5�� �FEW� �/��E= ��= = �� �W= � ���= �7= �� � ������ K�G NW5��D��67G 5��L�.67@^���M�A�a���b� N3@^����2A�DKV=��32�@^K*�D�a��2A���1�dN��<��G1�P`J2AZ���M5A�AÁo�[�op%�Zq-� �3Ã��tÿ±¿�O��±;SO�W# #�ÁI�A��¥Oq-{�#��3#:#OÁ�#B���O�oµ

idikj�lmDnbo�p

Page 37: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

¢:S � 2����b��67�����2A@P0��

' ��¡�)UT¤µ'���O�oq-{-Á���µ���µ ���`��·���Á���µ�%tµ � �¯��� ¶ ÁD�<µ�É ���¯��q(}�}BÁ����A�%��µ � µAT¾��q-��µAx[qB������mo���A¥t�o��}����A�O{�qB{=��°}~·/��±¿�o��pLq(�Z{��¯���A���=���Z�Æ}�mo�`q(q(±¿�o��pLq(�Z{��¯���A������moq-pL�¯�-���<{~}`���A��}��o�`q-{t�A{����o¥ ¥�q-�oq�}`�¯������¥O���`�¼}`mop�{(µÃÄ�KxeµRgo�O���`q-{�}-Á�qB�|�¼}`���BÁ �� ����E �b�� �>�&5���� �L5�� �V�b�3�b�<�M�(=�@ BC5��D���FEHG1��Á3�A��¥Oq-{���I���[¡O O�|Á�x|���uW��}`q(�ZÁ � ���¯�¼°¸�O���o���oÁ3#B����¢Aµ|u´���`¥O��� �����o°¸pL���o��i�o��µ

' �O�J)�r�µ��O��³-q�°¸��·��¯q(³�µ>��5J� ��@^�a��2��<�M5�� �b� � �D��5A@^67���M5A� 2�N N�� 5J��E ��� � ��N3� 5:0�@���G>�b�X�:�8�]5�67�D� ���D�LG167@^�<��Z5:0������b�<� ��µi�imA� }�moqB{���{-ÁAs3�o�¯²�q-�`{���}~z���°����¯���¯q�Á �=���¯��qOÁgo�����Z��q�Áo�^q-�(q(p%�Zq-�t�� � :SAµ

' ����)�r�µ����O³(q�°¸��·��¯q(³OÁ�g�µBx[q-pLq�}-Á����A��%X±]T¤µBl������A�\µ��X�������¯�¯q(�����Z�)mIz[�o�`���tpL�|�|q(��{c°¸�O��p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq���|}`��pL�¯³-��}��¯����È��3�o�o�¯���(��}`���O�L}���}`moq3²Oq(mo�����¯q����O�|}��¯�o¥��o�`���A��q-pµZÃÄ���AµHT¾�oq(�`²��I{(Á���µ ���o��pL���|��{(Á��± T¤µ �/q-z�q-�-Á ��± ��µ�gAq(�`�����A�oq(³�± !t�¯�¯�¯�O�(���Z��{-ÁZ���Z� ��±¿�<µ=x|��m[·/q(°¸q(�GÁeq-�|��}��O�`{-Á � 2�� 2A@�@P��@ ��� 5 0b@P��G�35A@^\/���HBE��� 5�G �U2A��67� ��M�&� ��� �"� � ��Á��[�op��Nq(���ASO¢��t��� �=q-��}`�o�`q�rt��}�qB{X�¯� � �Op¤�A�|}�q-��x|���¯q(�A�(q�Á�A��¥Oq-{��O�7#��o���� AÁHT¾�����Z���o�AÁ|x|�A���¯��ÁAx[q-�|}�q-p��Nq(�^�� � O�oµox[�o�`���o¥Oq(��± !Xq-������¥Zµ

' ����)��Aµ ����pL���o���oÁ�l)µ$�3�¯����zI��{���Á�u µ=u´� ¶ �\Á����A� xeµ�É ��}����A���ZqOµ�u-,_T �t��%/xeÈ=uW�o�¼}`�¼± ,^�|�~qB��}��¯²�qT¾q(�oq(}���� �3�¯¥��O����}�mAp ·���}�m �^�¯{�}��`�¯�o�|}�qB��%i�[²[���`���Ap¤q-�I}¤x|��moq-p¤qOµÆÃÄ� ��� 5J� ��5��8�FEW� �:�3� �b�� �#L5A� �*� EW5�N 5A� �D� �;��@�@^�[BC�b� � ��K*�D�;��GU� �1�b�D�[BA�c2��3�1=�N N�@^�M��2A���M5A�W�� � � � =% � ����Á|�A��¥Oq-{�#�SI¢!�3#�SO�AÁ�� O O�|µ

' �O �)O%3µ �Lµ��������{`� ¶ ���^���A�Ku µ ��� ¶ {`��������µ �&{��¯p��o����}`q-�h���o�oqB���¯���o¥½���A�o���I����m½}`�º�o�����`��}�q(�`���{���mAq-�|�o�¯�¯�o¥L�o���O�o�¯q(p�{8���Æ�L{��¯�o¥��¯q)p�����mo�¯�oq�µ �75�67�D�32�@d55� �U��67�D�a�D���M�b��ÁA¡�\¢ !�È ¢W# #��|¢O�O�|ÁI�� � � Aµ

' �#b)��Aµ �)�o��·��¯q-{����A� ��µ � ���`�oqOµl8moq �A���`q�}`�W������mo�¯²�q-��q(²O���¯�|}��¯��� {�}�����}`q(¥OzNÈ �,�oq-·,�A��{�q(�¯���Aq���¯¥��O����}�mop °¸�O�¤p%�o��}��¯���|�~qB��}��¯²�qÆ�O�|}��¯pL��³B��}��¯���=µ ÃÄ� �R� 5/�����������HB��.5��$��E� � � � � �h5A�CB:� �b���(5����\�5�@^67�<�M5��32��DK(�&5�G N�67�]2��<�M5��ZÁA�A��¥�qB{��'��#B O�|ÁI�i��{��-��}��D·��DzOÁ[r �AÁ #B���O�oµ[Ã]%&%&% �i�`q-{`{-µ

' �I�*)��Aµ8�%µ �)�A��·���qB{¨���Z�h��µ�É�µ � ���`�oq�µ ,^�hpLq�}`�����({À°¸���Æ����pL�A�����¯�o¥ �A���|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-� {�q�}�{(µÃÄ�ÆÃ]%&%&% x[q-��²[����q � q(�I}�q-�-Á|qB�|��}����BÁh�&5��HBA� �b���U5�� �R\*5A@^67���M5A��2A�DK(�&5�G N�67�]2��<�M5�� �� ��� �����'�&��Á²��O���opLq>#�Á|�Z��¥�qB{3�H#:#��o�7#-¡oÁI�i��{��-��}��D·��DzOÁIrtq(· ��q-�`{�q(zOÁ[uk�Dz �� O O�|µ

' �O¢�)��Aµ|�%µ �)�o��·��¯q-{-Á ��µ[l8mA��q-��qOÁo���A�X%3µ N��}�³(�¯q(�Bµ �K}`�|}��O�������N���¨}�moq)�Nq(��°¸���`pL���A��q¾��{`{�qB{�{�pLq(�I}/��°{~}`�|��mA��{�}��¯²�q¤p��o��}��¯���o�~q-��}`��²OqL���|}`��pL�¯³(q(��{-µLl�q-��mA�o�¯�-���i��q-�Z�O��}�l8Ã��¾±Ä��q-�Z�O��}�r3�Zµ��7#/SAÁ � �Op%±�o�|}`q(� %i�o¥O���Aq(q(�`�¯�o¥����A�Ær3q(}~·/�O� ¶ { �=���Z�O�`��}��O��zOÁ %�l*� e�o������m�Á��O�o�¯z �� O O�|µ

' �:SA) g�µ �)�o�`{`�D·�q�µ � ²����`�����I}���°Aq(²O���¯�|}��¯����{�}�����}`q(¥O��qB{�°¸�O��²Oq-��}��������o}��¯p¤�¯³-��}��¯����µ[ÃÄ� ��µD�<µOx|��m[·�q�°¸q(����A� ��µouW���o�oq(�BÁ[q-�|��}��O�`{-Á� 2���2�@�@P��@3����5:0�@P�bG �35A@^\J���CB ��� 5�G �U2��<67� �(Á[²����¯�opLq�SO��¡���° � ������67� ��U5A�;�b����� �&5�G N�67�]�b� � �b�M�������(Áo�A��¥Oq-{_#B��¢!�3#-�[�[Á ��q-���¯���=Á #-���#�µox[�o�`�¯�o¥�q-��± !Xq(�`�¯��¥Aµ

' �I�*)�u µ �=���ApL���o�A{-Á ��µNl8mA��q-��qOÁN���A�.%3µ N��}�³(�¯q(�Bµ �t�k���o���|}��¯²�q%{���moq-pLq�}��¨¥�q(�Aq(����}�q�}�moq%�A���`q�}`�°¸���O�I}<�Z��{�q-���O��}`moq�q(�Z{��¯���O�|±Ä�����Z{~}`�`�����I}�pLq(}�mo�|�cµNl=qB��mo�o���(���|��q-�Z�O��}il8Ã��¾±¿��q-�Z�O��}R#-�O�oÁ � �Op%±�o�|}`q(�_%i�o¥O���oq-q(�`���A¥���A�krtq�}~·���� ¶ {��=���Z�O�`��}��O��zc�Ul8Ã�� !�Ácx|·��¯{`{_goq-�oq(�����<ÃÄ�A{�}���}��|}`q¤��°�l�q-��m|±�o���¯��¥Oz(�F%�l*��! N�o�`����m�ÁA�� O ASAµ

' �O¡�)��Aµ �=q(pLq-{��`q�Á � µo�tmZ��q(�Aq(�A{-Áo���A� %3µ ±]T¤µol����¯�o�GµXu´��}`mo�|�|q)�A�������¯��n-��q¾�A�����Z����}���}��¯���A{-È<�<�O{�{`��¥Oq��� �o�oq8pL��}�mA�[�oq�q(Ço����}`q/�A�¼±¿���|�~qB��}`�¼° �t�o�Aq�pL�(}�mo�|�|q8q�Ço�O��}�q�p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`�¼°~µ|ÃÄ�8�1� = � � �� � �N�� 5J�������A���CBA��ÁZ�� O �¡oµR�Â}`�À���o�Nq-����!�µ

QLR i$Q'S

Page 38: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� ¢I�

' �[�J)���µ ��µ ���¯� ¶ q-�A{X���Z����µC, ¶ �O�¯�¾r3zO���o¥Oq-{`�oµ � �^�¯{�}��`���A�|}�qB� T¾q(�oq(}���� �3�¯¥����`��}�mop�°¸�O�iu´�o��}��¯²����`�¼±���o�¯q8go�o³-³(z � �O�I}��`���Gµ%ÃÄ�$� � �k�&5�@�@P5 �b67��67G 5�� � �������<�M�L=�@ BC5��D���FEHG1���b5��.�&5�� ����5�@�� K*�D�]�bG1����CB:���������D���CB�Áo�A��¥�q-{��P�H#��[�B��¢oÁ #-���O¢oµ

' �O��)���µ ��µ %3µNu�� ¶ ���Aq(��ÁZ��µNr3q-�¼}�}`�����op�� ¶ �GÁ �ZµA�<q(�`�¯���|ÇcÁAu µex[q�°¸�`���O�o�GÁZ���Z� �ZµZl����¯²����oq-��µ��<���`�����¯q(�T¾q(�oq(}����^x[�O���o}��¯����°¸�O�/u´�o��}��O�|�~q-��}��¯²�qtuk�_,%µcÃÄ�$�V2�� 2A@�@P�b@h� � � � �$�&5��?�b�b���b�3���(Á[�A��¥Oq-{/¢O���!�¢O���oÁ3#-�O��¡oµ

' �O��) �iµAuk���A�|��·2���Z� %tµNu´�¯�¯�¯����µ�T¾�I�����o�`��¥O�`��pLp¤�¯�o¥L���A�ÆmAq(�o�`�¯{�}�����{�q-������m�µiÃÄ�W��µ � ���Z���¯��q-���ZÁg�µ����o�¯³�ÁX���A� ��µ�x[}�q(�Aq(�BÁ�qB�|��}�����{-Á �3����5��3� �b�� ���&5���� ��5�� �.67@^����ZD�V0������b�<��\*�8����5 B:� 2�GLGL���CB2��3� �V5J2�@R�R� 5 B:� 2AG1GL���CB ���� ��� � ��Át�A��¥�q-{ SO�!�o��¡AÁ/l����`��q-p¤�O���¯�o�I{(Á�x[�A������Á3uk�Dz #-�O��¡Aµx[�o�`���A¥�q(��± !Xq(�`�¯��¥Aµ

' �O �) � µ%3µeuW���������o�À���A�4%3µNu´�������¯q-{-µ�uf, � �#���A� �^rtl�± � ���¯¥����`��}�mop °¸���tp%�o��}��¯�o��q%���|�~qB��}`��²Oq���|}`��pL�¯³-��}��¯���Æ�o�`���o�¯q(p�{-µ�ÃÄ����� 5J�������A���CBA�L5��O�FEW� �V���������M�>2��3� �R\*5A@^67���M5A��2A�DK��&5�G N�67�]2��<�M5���&5����b��� �������(Áo�A��¥Oq-{��O�AS'�|�� #�ÁH,^�`�����A�|�ZÁ7g��¯���`���o�oÁos¾x ��Á �O�o�¯z(#-�O���Aµ

' �#b) ��µXu´q-�o�o�¯q(�BÁ&%3µ ±]T¤µXl����¯�o�\Á/���A�g��µX��q-���A���o¥Oq(�Bµ � p%�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q ¥�q(�Aq�}�������¯¥����`��}�mop °¸����`�O�|�¯�Å�Aq�}~·���� ¶ ���o}��¯p¤�¯³-��}��¯����µKÃÄ� �&5��CB:� �b���(5A� ��\�5�@[67���M5A��2��DK �&5�G N�67�]2��<�M5�� �� ��� � ����Á�A��¥Oq-{8¢W#�� �|¢O��SZÁ[�� � O oµ

' �I�*)��Aµ�uW���¯���A�AÁ�u µ�����¥O�o�A�oÁO��µ�uW����}� \Á����A�¤��µ � ���Z���¯��q-���ZµAx|{��Ap¤�ZÈ � {`�(��}�}�q-�i{�qB������m��o�`�|��qB�|�o�`q°¸�����o�O�|±¿���¯�oq-���8p��o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq¾�O�|}��¯pL��³B��}`���O��µ � � �R�&��� � �75�67�D��2A@d5�� �&5�G N�67�<���CB�ÁZ�� O O�|µ

' �O¢�)���µ[rt��p,���A� � µP��µI�X��� ¶ µcu´�A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q^{��¯p��o����}`q-�����A�oq-�����¯�o¥AÈ � �(��pL�A���`��}��¯²�q�{~}`�A�|z¤}��q(²O���¯�|}��¯���A����z�����¥O���`�¼}`mop�{(µ �D� �;���D��2A���M5A��2A@ �75�67�D��2A@ 5�� � 6 `�`�K ��K*�D�;��GU��ÁA��\�:!�È �[� �|�I�[Á|�� O � Aµ

' �:SA) ��µ"�AµArtq(�o�`�AÁ g/µ ���o�A�AÁA���Z�4%3µ �t���A�Aµ�r3q-·2�¯�|qB��{��¯�´���o�A��z[�¯�o¥À{��-��}�}�q(�3{�q-���`��m }���p%�o��}��¯���|±�~q-��}��¯²�q����o}��¯p¤�¯³-��}��¯����µLÃÄ� � µ ��µ � �[q(�¯��� � �[q(�¯���ZÁ ��µ ��µ �t¥��o�¯�`��qOÁ=���A�f%3µ N�¼}`³(�¯q(�BÁ=qB�|�¼}`����{(Á��\�5�@^67�<�M5��32��DK$�.67@^����ZD� �D���]�b�D�M5A� �dN��<��G1�P`J2��<�M5�� ������ � � ��Á�²��O���opLq¤¢AS#B L��° �d���b�<67� � �U5A�;�b���� �&5�G N�67�]��� �3���M�b�3���(Áo�A��¥�qB{�S SO¢'�CSI���oÁHT¾�A���A���`��}��ZÁ[uWq�Ç|�¯�(�AÁA�� � O�oµ

' �I�*)�xeµ ,^�A�DzI��{�mo�GÁ�xeµ=l�� ¶ ��mZ��{�mo�\Á����A� �%µ�l�� ¶ q-¥��A��mo�Gµ�r3����mo�¯�o¥W���A�Åq-����}���{~}�pL�|�|q-�¯{)°¸�O��p��A�¼}`�¼±���|�~qB��}`��²Oqt¥�q-�oq�}`�¯�¾���¯¥��O����}�mApL{-µcÃÄ�4�V2�� 2A@�@P�b@ ��� 5 0b@P��G � 5�@^\J���CBM��� 5�G �U2��<67� � �� ��� � Á|�A��¥�q-{��¡O !�|��¡��AÁ �3p�{�}�q-�`�o��pÆÁAx[q(�|}1#-���O�oµ|x[�o�`���A¥�q(��± !Xq(� ¶ ��¥Aµ

' �O¡�) !�µo�X����q(}��Aµ_�&5�67���U� � ��5���5AG1�M�O� 5A@^���<���b6�(µ/���O�o¥�qOÁ �=���Z{����o�oq�ÁAx|·��¼}`³(q(�`�����A�cÁ #B���O¡oµ' �[�J)UT¤µ l)µc�X��� ¶ {¾���A� ��µ=x[�o�A�A���o��}��Z���Bµ�u´�o��}��¯���|�~qB��}`��²Oq%�O�|}��¯pL��³B��}��¯������°��I·��)�`q(�¯�O�O�W���O��q¤�|q�±

{��¯¥��Z{^�Z{��¯�o¥´{��¯p��A�¯��}�q-�����o�Aq-���¯�¯�o¥AµX�(2A��E�bG82��<�M�b� �I�&5�G N�67�]2��<�M5���� ��2:���]5�� �&EHK*�D�M�b� 2A���

���\J��� 5A�G8�b� �;2A@�=���2A@^K*�D�a�_��� �O6��@P��2���=�N:N�@[�M��2A���M5A�W��ÁN�oÈP#/SO¢I����#/S:S SAÁW#B�����Aµ' �O��) �Lµ %tµ��X����{��O�Z�O�o�¯�O{-Á���µ �Lµ�l���{����o�¯�¯{-ÁOr�µ T¤µO�X�D²I�¯���|�¯{-Á !%µ �<µI�i�¯��¥������A� ¶ �I{(Á����A�Lu µ r�µ !X����mA��}���{(µ

!Xq-��}�����%i²����¯�A��}`q-�´�^�¼Êeq(�`q(�I}`�¯���d%i²O���¯�|}��¯���Æ°¸�O�tu´�o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq>,^�|}`��pL�¯³-��}��¯����µ8ÃÄ�f����5/���55���E� � � � � �����&� �&5A�CB:� �D���U5�� ��\�5�@^67�<�M5��32��DK(�&5�G N�67�]2��<�M5�� �� �_� � ���&�'��ÁN�� � :SAµ

idikj�lmDnbo�p

Page 39: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

¢O¡ � 2����b��67�����2A@P0��

' �O��)��Aµ��i�A��mo�¯�o¥�q-�À���A� T¤µ���µ��3�����|�Gµ � ��p%�o�¯�o���A¥ÅpLq(}`��mAq(�o�`�¯{�}����({����A� q�Ço����}À���¯¥����`��}�mop�{L�¯����Op��o�¯�A��}`���`�¯���<���|}`��pL�¯³-��}`���O��È �,{��o��²Oq(zW���A� ������{`{���¹Z�(��}��¯����µLÃÄ� ��� 5J�������A���CBA� 5��>�FEW� �&�����D��D� �;���D��2A���M5A��2�@ #>5�� �AZD�h5A���b��� �������U5A�(��E� �D� �;���<N�@92�K � ��� ����� �12��<67� 2�@ 2��3�U=��D�<� �����M2�@ �&5�GLZN�67�]2��<�M5��ZÁo²��O���opLq�¢O��¡O����° ���8� �NÁ|�A��¥Oq-{RS#��|��¢oµ|x[�o�`���o¥Oq(�BÁA�� O O�|µ

'9#- O �)���µ �^�A��¥��¯�¯����q-�����´���A� ��µ4!t�����¯�o�\µ �V�b�3�b�<�M�.2�@ BC5��D���FEHG1�42A���c��\*5A@^67���M5A� �D��� 2A�;�;B:�M�D� ��� ���CB:��Z�������D���CB$�:�b���[B:�AÁe��mA���|}�q-� � ���o�o�¯�¯�o¥�¥�q-�oq�}`�¯������¥O���`�¼}`mop�{����A�¥������o��q-�O}��A�O{�qB�¨�O�|}��¯pL��³B��}`���O�}�qB��mo�o���O�Aq-{-Á|�A��¥Oq-{3���O�!�|¢� ��Aµ �O��mo�É ���¯q(z���A�Æx[�O�A{(ÁAx|�A{�{�q�ÇcÁW%��o¥������A��Á #-���[�[µ

'9#- #b))�<µ É�µ É�µo�3���|} ¶ qOÁ ��µ xcµW,^�¯�¯²�q(�¯���oÁO��µ[x|���Z�O�o�`���o¥ZÁI���A�Àl)µ[ÉÅ���o¥Zµ�ÃÄ�I}�q(�¯�¯��¥Oq(�I}N�O�o�¯�o¥��^q-{���¥O�st{����A¥Wu´�o��}���± ,^�|�~qB��}`��²Oq8%i²��O���|}`���O�A���`z �t��¥O���`�¼}`mop�{(µ ÃÄ� ��� 5J� � 5��8�FEW� �3��\*����FE �b�� ���&5���� �5�� �15J�b67G8���� =��32�@^K*�D�a�U2��3�1������5�BA� �����M5A�$ ��� � = � � ��������ÁA�Z��¥�qB{��O�AS'�[�I���AÁI�� O �¢Aµ

'9#- I�*) �¾µ!�Zµ�����}�³(q-�\Á �AµDÉ�µ*%imoqB����}-Á����A�%xeµ��3�����~��}�mA����µost{����A¥^¥Oq(�oq(}��������¯¥��O����}�mApL{=}��){����¯²�q/�^p��A�¼}`�¼±�o�¯q����|�~qB��}��¯²�q¾¥��`���A�A�|·8��}�q-�8�Z�O���¯�|}��¯���Æ�o�`���A��q-pµ�#>2��]�b�V� �b��5�67� ���b� ���D����2�����E|ÁA¢�  �\�:!�ÈP#D���O�!�#-¡O �¢oÁ|uW�Dz.#B���:SAµ

'9#- O¢�) �Aµ �iµ/����¥Oq(��{(µ ���X�������¯��q-� �3�o�A���I����mº}�� ,^�|}��¯p��Ap ����}��A��}����¨x|q(�¯q-��}`���O�½·��¼}`m½� T¾q-�oq�}`�¯��3�¯¥��O����}�mopƵ<ÃÄ��= ��= = �R67�M�:2A�����

��U2A\/�[BC2��<�M5��

�2��3�(�&5�� ����5�@&�&5��?� �¯ÁN�� � � Aµ

'9#- :SA) �Aµ��3��·/qOÁ��Lµ0!t�¯�A{�q(��Á����A� r�µ=uW���`²[���=µ��<���`�����¯q(�&T �^{)°¸����uW�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q8go�A�A��}`���O�A{(µ¨ÃÄ���� 5J� �L5��-�FEW� � ��� �U5A� ���M� #L5�� ��� EW5�N 5�� �V�b�3�b�<�M��=�@ BC5��D���FEHG1�c2A��� �3EW������=�N:N3@^�M��2��<�M5��� ���%# �&= ��Á|�A��¥Oq-{�¡W#��o�� oÁ�#-���O¡oµ

'9#- I�*)�u µ�xo� ¶ �D·��Aµ �V���������M�4=�@ BC5��D���FEHG1�-2���� � 6 `�`�Kc�.67@^�<�M5:0������b�<��\*� �dN��<��GL�P`/2A���M5A�Aµ#x[�A���¯�o¥�q-�-Á�� O W#�µ�Ã�x �8r�ÈZ ��I��¢�±�#-�[��¢oµ

'9#- O¡�)_%3µAx|���A�|¥��`q(�=µ =���\�2������b�����f�:�b���[B:�f5�N��<��G1�P`J2A���M5A�AÁZ��mZ���|}`q(�8u´�o��}������`�¼}`q(�`�¯�¤�|q-{��¯¥�����|}`��pL�¯³-��±}��¯���Æ�[zÀ¥��I���e�o�`��¥O�`��p¤pL�¯�o¥AÁI�A��¥�q-{3�O���!�|��¡I�|µ � mZ���op����Æ���Z� �^���¯�\Á �=���A�o����Á #B���ASZµ

'9#- [�J)�xeµOx|�Dz[�¯�����A��xeµ����������A��}��Gµ �½�o�����`�¼}`q(�`�¯�)���A�o���I����m%}��)}`moq�}~·���±¿pL�O��mo�¯�oq �Z��· {�mo����{`��moq-�o�o�¼±���A¥¤�A���O�o��q-pƵ �R67� 5�N��2�� �75A67�D��2�@ 5��>�dNW��� 2A���M5A��2�@3� �b����2A� ��E[Á # #-¢oÈ SO¢I���HS:SO�AÁW#-�O���Aµ

'9#- O��) �AµX�%µ�x|��mA��ÊNq-�-µ u´�A�¼}`���o�¯qÆ���|�~qB��}`��²Oq¨���o}��¯p¤�¯³-��}��¯���º·��¼}`mº²Oq-��}`���¤q(²����¯�A��}�q-�g¥�q-�oq�}`�¯����¯¥���±����}�mApL{-µ¾ÃÄ� �Zµ"�Zµ3T¾�`q�°¸q-�A{�}�q�}�}�qOÁcq-�|��}��O�-Á���� �= �D� � �V�h5A��� �R5�� �V���������M�U=�@ B 5A�D����E7GU��Ác�A��¥�q-{��¢'��#- O oµ �=�D·��`q(�A�(q�%����¯�A���ApÁ #B���I�|µ

'9#- O��)Og�µAx|��mopL��qB�|�¯q�ÁAr�µo�t�`q-��mA{��¯q(�BÁ[�%µ T¾�`�O{`{�qOÁI���A���µA�^��qB��mA{��¯q(�Bµ=�����¯���`�¼}`��qB{����Æp��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq���|}`��pL�¯³-��}��¯��� °¸���8¥�q-�oq�}`�¯�¾�o�`��¥O�`��p¤pL�¯�o¥Aµ=ÃÄ� ��µAx[�ZqB��}`���BÁ7%3µA�%µT¾�I�|�|p�����Á ��µoÉÅ��ÁoÉ�µ �¾µ�=���o¥O�|�O��ÁJ��µ ±Äu µ !X���¯¥�}-ÁXu µ T¾q(��ÁXxeµ<x[q(��ÁXu µ��t�O���¯¥��ZÁ�xeµ��<q(³(qB{�m ¶ ÁXu µ-��µ T)���`³(���=Á����Z�%3µ �/�A� ¶ q�ÁBq-�|��}��O�`{-Á � �������<�M�V2��3� �R\*5A@^67���M5A��2A�DKL�&5AGVN367�;2A���M5A�.�h5A���b��� ������� �� ���R�R��Z ����������Á�A��¥Oq-{�#B���!�3#-¢�¡AÁ[xo���4go�����A�(�¯{`���ZÁ � ������°¸���`�o���oÁ|s^x ��ÁN�� � #�µ|u´���`¥O��� �����o°¸pL���o��µ

'9#:#B �) �Aµ<��µ�x|��mA��}�}Bµ � 2A67@^�O�;5A@P��� 2�� �U�:�b���[B:� 6H�D���CB-�D���CB:@P�(2A���-GL67@^���M���D���]�b�D�M2(BC���������M�.2A@ B 5A�D����E7G5�N3����GL�P`J2��<�M5��Aµ[�imZ� }`moq-{��¯{-Á��^q(�A����}`p¤q-�I}=��° �8q-���O�A���|}`�¯�-{����Z� �t{�}��`���A���|}����({-ÁDuW��{`{��O��m[�A{�q(}�}�{ÃÄ�A{�}���}��|}`q���°Xl=qB��mo�o���¯��¥O��qOÁ � ��p��A�����|¥�qOÁ|uW��{`{��O��m[�A{�q(}�}�{(Á|s^x ��Á #B���O�oµ

QLR i$Q'S

Page 40: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� ¢[�

'9#:# #b)�l)µIx[q-��Á[u µ:%3µI�3����{�³-���oq(m�ÁI���A�¤�<µI�^�¯��q-q(�A����µ �h�o�`���A��m����A�L�N���A�A�����o�A���I����m%}��)}�mAqt�o�����`�¼±}�q-���¯����{`��moq-�|�A���¯�o¥)�o�`���o�¯q(p ���[²��O��²[�¯�o¥^}���}������Z��·8}��¯p¤q3���A�¤�`���o¥�q8��°N����}`q(�oqB{�{-µ ��2��32�BC�bG8�����3���M�b�3����ÁA¢:S �G�:!�È ���AS'�o��¡� AÁW#-�O���Aµ

'9#:#D�*))�<µDx[q-�`��¹A�o�GµOx[�¯p��o����}`q-�����o�oqB���¯���o¥3°¸���=p%�o��}��¯�o��q/���|�~qB��}`��²Oqi���|}`��pL�¯³-��}��¯�����o�`���o�¯q(p�{-µ�ÃÄ� � �b� ��E�D� � ���&5��?� �&5����467@[��� N3@P� � �D���]���D�M2 �L���b�a�D�M5�����2 �A���CB�ÁZ�A��¥�qB{��[� �|��¡oÁ[l����¯�Zq-�\Á �O�o�¯z(#-�O�O�oµ

'9#:#B¢�)�r�µex[���¯�o�¯²���{t���A� �LµZ�^q(�=µ8uW�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q��O�|}��¯pL�¯{`��}`���O�´�A{����o¥��A���|±Ä�|��pL�¯�A��}`q-�´{�����}��¯�o¥��¯�¥�q-�oq�}`�¯�)���¯¥��O����}�mApL{-µ ��\*5A@^67�<�M5���2A�DK��&5�G N�67�]2��<�M5��ZÁZ�W�\� !�È �O�7#��o��SI�oÁ#B���I�|µ

'9#:#/SA)�l)µ �Zµ�xI}����o�¯q(z¤���A�Ll)µ�u´�A�o¥�q�µ �½�X�������¯��q-�T¾q(�oq(}���� �3�¯¥����`��}�mop�°¸�O�iu´�o��}��¯���|�~q(}��¯²�q3u´�����`���A����±��qB{�{������tqB{��¯¥���µ�ÃÄ�.�R� 5/��� 5����FEW� ��� �:�FE��D� � ��&5��?� �h5�� �V�b�3�b�<�M��=�@ B 5A�D����E7GU��Á|�A��¥�q-{8���[� �|¡� ASZÁ#-�O�O�|µ

'9#:#D�*)���µ�xI}�q-�oq(�BµW�.67@^�<� N�@9� ���D���;���D�M2U5�N��<��G1�P`J2��<�M5�� ���3EW��5A�DK���5�G N�67�]2��<�M5�� 2A���O2�N N�@^�M��2A���M5A�AµoÉ �¯��q-z�Á

r3q-· �i�O� ¶ Á #-�O��¡Aµ'9#:#B¡�) �¾µBxeµ�xI}�q-·�����}����A� � µ � µ-É mA�¼}`q�µOuW�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q����[µ �H5A67�D��2A@H55���FEW�&=1� �´ÁD¢���MSC!�È �O�����|�W#/SAÁ

#-�O�W#�µ'9#:#��J) ��µ�x[�o�o�Z���o��}��A����pÆÁ �Lµ ��µ�x[q�Êeq(��Á:T¤µDl)µB�<��� ¶ {-ÁB���A���<µ!�Aµ � �¯��� ¶ {�����µ � {���p%�o�¯��}�qB�����o�oqB���¯���A¥

���¯¥��O����}�mop °¸���p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�qk�O�|}��¯pL��³B��}`���O��µ ���HBA���3���b�D���HB �dN��<��G1�P`J2��<�M5��ZÁ^¢O¢� #*!�È ���'�[�O�oÁ�� O � oµ

'9#:#B��))�<µ[�%µAx[�o�`�`z�Á[r�µ �Aµ|�3�O�o���¯��ÊNqOÁ[���A�ÀÃ�µ|�%µ �/��z|�cµ � p%�o�¼}`�¼±¿���o�~q-��}`��²Oq^���o�o�`�O����mL}`�%�(���A{�}������¯�I}���|}`��pL��{���}��¯���h��°�¥O�O{ {��o�o�A��z �oq(}~·/�O� ¶ {-È l8moq � ,¾uf,_T �wpLq�}`mo�|�cµ,ÃÄ�Kl)µ � µ go�O¥O����}~zOÁq-�|��}��O�-Á ��\�5�@^67�<�M5��32��DK �&5AGVN367�����HB

�= � � � #>5�� ��� EW5�NeÁ �=r � xeÁi�A��¥�q-{4#B¡�¡'��#-�O oÁ�x[mAqbQ�q(���cÁ

s�µ �Lµ�Á #-���I�|µ|x[�o�`���A¥�q(��± !Xq(�`�¯��¥Aµ'9#:#B��) T¤µtx[z|{�·�q(���o� ���A� �Aµ��X����p%�A�(�(�\µ�l8moq ���o�A�����(��}��¯��� ��°%¥Oq(�oq(}���������¥O���`�¼}`mop�{¨}`�½��qB{��O�o�`�(q

{���mAq-�|�o�¯�¯�o¥Aµ)ÃÄ����µ �Lµ ��q(�¯q(·#���A� ��µ �¾µ ���[� ¶ q-�-ÁNq-�o�¼}`����{(Á �d5�67�D�FE �b�� �V�&5A��� �R5�� �V�b�3�b�<�M�=�@ BC5��D���FEHG1� ��� �=% �AÁN�Z��¥�qB{3�� I���|�� ��AÁAx|���WuW��}�q-�AÁ � ������°¸���`�o���oÁ #B���#�µou´�O��¥I��� �����|°¸p����A��i�o��µ

'9#B�� �)_%X± T¤µel����¯�o�Gµ �#}`��Ç[�O�o��p%z ��°im[zI�A�����´pLq�}���moq-�o����{�}����({-µ��75�67�D�32�@h5�� �U��67�D�a���<�M�b��Ác�AÈ �AS#��o��¡:SAÁ�� O O�|µ

'9#B�W#b) �Lµ � µol����=Áol)µ ��µ ��q-q�Á �¤µ ��µ � moq(·�Áo���A� �iµ ��µ �=q(qOµ �2m[z[�o�`�¯� p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q)q(²O���¯�|}��¯���A����z���¯¥��O����}�mop °¸�O�3{��O��²[�¯�o¥�}`���A� ¶ ���A�¨}������¯��q-�/²Oq(mo�����¯q)���O�|}��¯�o¥��A���O�o��q-p�{(µ�ÃÄ� �&5A�CB:� �D��� 5�� �R\*5AZ@^67�<�M5���2A�DKX�&5�G N�67�]2��<�M5�� �� ��� � � � ���DÁA²����¯�opLqt¢AÁO�A��¥�qB{��7#B¢AS'�o�7#/S#�Á � ���I�Nq(�`���oÁ��t�A{~}`�`�������oÁ�tqB��q-p��Nq(�t�� O �¢AµIÃ]%%&% �i�`q-{`{(µ

'9#B�O�*) �Aµcl�q(����m�µ��X���`q�}`��±G°¸���O�O}^q�Ç|�o�¯������}��¯���´·���}�mÅ�o�A�(q(��}`�����W�O�|�~q-��}��¯²�qB{(µ)ÃÄ�Y�h5A���b��� ������� 5����R\*5AZ@^67�<�M5���2A�DK.�.67@^�<��ZD� �D���]���D�M5�� �dN��<��G1�P`J2��<�M5�� ������ �����DÁX²O���¯�opLq.#-�O��¢Æ��° �d���b�<67� ��15��]�D� ����&5�G N�67�]�b� � �b�M������� � �8� ����Á|�A��¥�qB{�¢W#�S �[¢I���oÁIuW������m�� � #�µ

idikj�lmDnbo�p

Page 41: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

¢O� � 2����b��67�����2A@P0��

'9#B��¢�) !�µIl � ¶ �¯�A�[}-Á[r�µIu´���ApL���`��mA��Á g�µIl=q-�`�(���oq(}-ÁI���A���%µ �����o¥�}-µ �3�À���I}/�(���¯���[z��O�|}��¯pL��³B��}��¯���À���¼±¥��O����}�mopK}��¾{��O��²Oqi�^��±Gp�����mA���oqX�A�¯�(����}�q-�������A��·3{�mo����{`��moq-�o�o���¯�o¥^�o���O�o�¯q(pƵ ��67� 5�NW��2A���H5A67�D��2A@5��>�dN�b� 2A���M5A��2A@�� �b����2�� ��E[Á #/SI��\�:!�È �O�� '�|���I�[ÁO�� � I�|µ

'9#B�ASA)_%3µ �iµZst���A�o¥���µ8�dN3����GL�a��2��<�M5�� ��5�G80b���32��]5���� �LGL67@^�<�M�b�D��� ��� � � � �b�]�b�DGL����2A���M5A� �:�L@ ���W����G>0�@P��:�b�-��5A@^67���M5A�W����� ��2:���D� ��� G ���FEW5J�:�b�c��� �;��� 2 �b�<��\*�b��µ��imA�&}`moq-{��¯{-Á�s3�A��²Oq(��{���}�� �|q u´�O�A{~±�t�����A���|}-Á #B���O¢oµ

'9#B�O�*)_%3µ ��µos3�¯�o�o¥��´���A� �Zµol�q(¥�mAq(pƵXl8moq¾}~·/�L�omA�O{�q¾pLq�}`mo�|�cÈ �3�qbQÀ�(��q-�O}3�A���|��qB�|�o�`qt}`��{��O��²Oq�o��±G�O�|�~q-��}��¯²�q��(��p��A���A��}��O�������c�O�|}��¯pL��³B��}��¯���k�o���O�o�¯q(p�{(µ�ÃÄ� � 5A67���:2A���M5A�W�L55� �&5�G N�67�<���CB.2A����1�����a�D�M5�� � �b�M�������b��Áo²��O���opLq��� AÁ|�A��¥Oq-{�#�SI�!�3#-¡O�oµ #B���I�|µ

'9#B��¡�)_%3µ �iµist���A�o¥���Á��Aµil�q(¥Omoq(pÆÁi�<µgA����}�q-p¤�Z{(Á����A� ��µil��ozI}�}`q(�A{-µºu-,)x �7pLq(}�mo�|�cÈ �7}��[���°¸���{��O��²[�¯�o¥ p��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�qW�(��p%�o���Z��}��O�������t���|}`��pL�¯³-��}`���O�½�o���O�o�¯q(p�{(µ�l�q-��mo�A�¯�-���t�`q(�N����}-Á�=���Z�O�`��}����`z¾��°Nuk��}�mAq(p���}`�¯�8���Z�>,^�Nq(����}`���O�A���[��q-{�q-���`��m=ÁAgA���(�o��}��8�<���¯zO}`q-��mo�A�¯�I�oq8�|q�u´���Z{(Á#-�O���oµ

'9#B�I�J)_%3µ ��µZst���o�A¥���Á"�AµAl�q(¥Omoq(pÆÁN���A��im�µ3go�O��}`q(pL�A{-µ �tq(�o�`�¯{�}����({�°¸���3p%�o�¼}`�¼±¿���o�~q-��}`��²Oq����Op��o�¯�A��±}��O�������N���|}`��pL�¯³-��}��¯���¨�[z¨{��¯p��o����}`q-�¨���o�oqB���¯���o¥Zµ=ÃÄ� �AµWT¾��ÁT¤µ � moq-��Á �%µ[É�q-�\Áo���A�Æxeµ[ÉÅ���o¥AÁq-�|��}��O�`{-Á �.67@^�<� N�@P�(� �D���]���D�M2 �L�����a�D�M5�����2 �����HB � ��E��5��DK�2��3�X=�N N�@^�M��2A���M5A�W��Á=É �¯�A�o{����BÁ�s �LÁ#-�O�O�|µox|�(�¼±Äl�q-��m�µ

'9#B����)���µ ��µ6!i��� !Xq(���|m[�o�¯³(q-� ���Z�XT¤µ �^µ �=��pL���I}-µ=uW�o�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q^���|}`��pL�¯³-��}`���O�À·���}�m¨pLqB{�{�zL¥�q�±�oq�}`�¯�^���¯¥��O����}�mop�{-µeÃÄ�$��� 5J�������A���CBA�_5����FEW� �������1=1�d� � K�G NW5��D��67G 5��X=�N N�@^�M���4�&5�G N�67�<���CB�Á�A��¥Oq-{�S[�� !�HS[��¡Aµ � � u ÁA�� � O oµ

'9#B����)���µ ��µ !i��� !Xq-�¯�omI�A��³-q(��Á��¾µ�xeµXx|���A�|�¯����ÁX��µd%3µ<uW���`pLq(��{~}`q(�¯��Á&T¤µ��¾µ ����pL���I}-Á<���Z� ��µ �Aµl=q-��³-�o���¯�Gµ�g��¯�A�|�¯�o¥��¯p¤�A����²Oq-�¤·����`q�±Ä���I}`q(�o�A�¾¥Oq(��pLq(}��`��qB{X·��¼}`m�¥�q-�oq�}`�¯�3����¥O���`�¼}`mop�{(µZÃÄ�À�<µ �Lµ� mA�D·3�|mo�`z�Á���µ��3��z�Á<���A� �<µ��Lµ��X���I}-Á�q-�|��}��O�`{-Á �35����L�&5�G N�67�<���CB-��� ���CB:���������D���CB �1�b�D�[BA�2��3�>��2�� 6��b2:����67�D���HB�Áo�Z��¥�qB{3��¢#��|�ASO AÁ ���O�A�|�O��Á����A�oq>#-���[�[µox[�o�`�¯�o¥�q-��!Xq(�`�¯��¥Aµ

'9#-¢O �)�u µ0!t��{��(q�Á��Zµcl=q-¥�moq-pÆÁ�u µc�i�¯���¯��}BÁ=���A��%3µ��iµ�st���A�o¥���µ%l=·���±¿�omA�O{�qB{tpLq�}`mo�|�����A�W�A�`���A��m���A� �Z�O�o�A� �o�`�|��qB�|�o�`q-{�}`��{����¯²�q ¶ �A���A{`��� ¶ �o���O�o�¯q(pƵ �75�67�D�32�@R5�� ��@95:0�2�@_�dN��<��G1�P`J2A���M5A�AÁ#B�oÈP#B¢��!�3#B�O�|ÁW#B�����Aµ

'9#-¢#b)�u µ !^�¯{��(qOÁ �Zµ�l�q(¥�mAq(pÆÁOu µO�i�¯���¯��}BÁO���Z�1%tµ ��µOs3�¯�o�o¥O��µel8moq�}~·��¾�AmA��{�q-{XpLq(}�mo�|�����Z�%�A�`���A��m���A�Æ�N���A�A�Æ�o�`�[�(q-�|�A��qB{8}��¨{����¯²�q)}`moq��A�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq ¶ �Z���A{`��� ¶ �A���O�o��q-pƵ �75A67�D��2�@ 5�� ��@95:0�2�@�dN��<��G1�P`J2��<�M5��ZÁ8!X�O�\µ #D�|È ��µ #-¢O�!��#D���oÁ#-�O���Aµ

'9#-¢I�*)�xeµ�É ��}����A���ZqOÁ�l)µ$�3�¯�`��zO��{���Á����A� u µ=u´� ¶ �\µ��X�������¯�¯q(� %i²��O���o}��¯���A����zkuW�o�¼}`�¼± � �`�¼}`q(�`���O��,^�|±}��¯pL��³B��}��¯���h°¸���Æu´���o�¯�¯q�l�q(�¯q-���OpLp��o�o���(��}��¯���hrtq�}~·���� ¶ {$,^�|}��¯pL��³B��}��¯���=µ#ÃÄ�Y����5/���155�(�FEW�� �3�1� � � � ��������ÁA�Z��¥�qB{�#-¡I����#����|Á|�� O W#Oµ

'9#-¢O¢�)���µ"�AµZÉ mo��}�q�µ�l8moq�{�q�}^��°XqbQÀ���¯q(�I}t{����¯�|}��¯���Z{8°¸���^p��o��}��¯�o�¯q�±¿���|�~qB��}��¯²�qB{�{�mA����}�q-{�}3�A��}�m´�o�`���|±��q-p�{(µO�&5�G N�67�]����� 2A���(� N��� 2��<�M5���V���D����2�����E|ÁA�oÈ9#- #���#B I�|ÁW#-�O�O�|µ

QLR i$Q'S

Page 42: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

������������� �������������������� ¢O�

'9#-¢:SA))�<µ �¾µiÉ �¯q(� ¶ q�Á � µ ���A�-��{����Z{(Á8���A� T¤µ ����}�q-pL����µhu´�o��}������`��}�q(�`���k}����`¥�q(}L�O�|}��¯pL��³B��}`���O� ��°���A����zI}`�¯�-���o�o�`�|��qB�|�o�`q-{<�A{����A¥���¥�q-�oq�}`�¯������¥O���`�¼}`mopƵ =��32�@^K��<�M��2�@ � E7��G1�M��2 =��b�]2�Á[��¡I�W�\� !�È �7# #�����O�|Á3#-�O�O�|µ

'9#-¢I�*) �µ��t�A���A¥���µP�3�¨���A� �µOÉÅ���o¥Aµ3�tzI�A�����|�¯³-��}`���O����°c}`moq3p��A�¼}`�¼±¿���|�~qB��}`��²Oq3q(²O���¯�|}��¯���A����z¤���¯¥���±����}�mApL{8���A�À}`moq)¥������|�¯q(�I}�±G�A�O{�qB�����¯¥��O����}�mop�{-µ=ÃÄ� �&5��CB:� �b���O5A� ��\�5�@^67�<�M5��32��DK.�&5�G N�67�]2��<�M5���� �_� ������Á�²O���¯�opLq��oÁ��A��¥Oq-{=�[�� '�[�I�O�[Á � ���[�Zq-�����oÁ �3�Z{~}`�`�������oÁ��^q-��q-p��Nq(�i�� O �¢Aµ(Ã]%&%&%Å�o�`q-{`{(µ

'9#-¢O¡�) ��µ �����o¥k���A� u µ T¾q(��µ4%i²O���¯�|}��¯��� �o�`��¥O�`��p °¸�����o�¯�(����}�q-�����}������Z{��N����}`��}��¯���Å�o���O�o�¯q(pƵÆÃÄ�u µ T¾q-�W���A�Æl)µ �^���Z�DzO��{�mo�GÁOqB�|��}�����{-Á � ����E �D� � �R�&5A��� �&5A� �&5�G N�67�]�����12���� �D�3��6H�D�<�D�M2�@ ��� ZBA���3���b�D���HB�Áo�Z��¥�qB{RSI�W#��CS[��SZÁ �t{�mo� ¶ ��¥O�AÁ��O���A���=Á�#B���:SAµ

'9#-¢[�J)_%3µ N�¼}`³(�¯q(�Bµ ��\�5�@^67�<�M5��32��DK82�@ BC5��D���FEHG1�K�b5A�V�.67@^�<�M5:0������b�<��\*� �dN��<��G1�P`J2��<�M5�� � ������E5/���O2A���O=�N3ZN�@^�M��2A���M5A�W��µ)�imA� }�moqB{���{-Áex[·���{`{3°¸qB�|q(������ÃÄ�A{�}���}��|}`q%��°X}�q-��mA�o���¯��¥Oz-�F%/l*��!�Á�e�o������m�Ácx[·���}�³(q-��±�¯���A�cÁort��²�q(p%�Zq-�O#-�O���oµ

'9#-¢O��)_%3µ N�¼}`³(�¯q(�t���A�Wxeµ � �o�o³-���Gµ8ÃÄ�A�|���(��}`����±G�Z��{�q-�{�q-��qB��}��¯���´�¯�´p��A�¼}`���O�|�~q-��}��¯²�q�{�q-���`��m�µ�ÃÄ�-��� 5J����A�FE �b��]�b�D�32��<�M5��32�@�&5A���b��� �b�3���L5A�.�V2�� 2A@�@P�b@ ����5:0�@P�bG � 5�@^\J���CBI��� 5AG �U2��<67� � M�&� ��� �"� � � ��Á�A��¥Oq-{8��¢I���|�ASI�oÁ����¯��pL�¯�o¥�mZ��pÆÁ|s �LÁZx[q-�|}�q-p��Nq(�t�� � ASZµ

'9#-¢O��)_%3µ N�¼}`³(�¯q(�BÁtu µ��=���ApL���o�A{-Á3���A� �iµ8l8mo��q-��qOµ x[�&% �^�|È ÃÄpL�o�`��²[���A¥ }�moqÅ{~}`��q-�o¥�}`m �A���`q�}`�q(²O���¯�|}��¯���A����zÆ���¯¥��O����}�mApµ)l�q-��mo�o���(�����3q(�N����}L#B �¢oÁ � ��pL�o�o}�q(�_%i�A¥��¯�oq(q-���¯�o¥ ���A�krtq�}~·���� ¶ {�=���Z�O�`��}����`z �\l8Ã�� !�Á|x[·���{�{RgoqB�|q(�����ZÃÄ�A{�}���}��|}`q^��°�l=qB��mo�o�O���O¥�z �M%�l*��!�Á N�o�`�¯��m=Á[x[·���}�³-q(�`�¯���A�cÁ�� O W#�µ

'9#�SI �)_%3µ N�¼}`³(�¯q(����A� ��µ�l8mo�¯q(�¯q�µ �t�hq(²O���¯�|}��¯���Z���`zº���¯¥��O����}�mAp °¸��� p��o��}���±¿���|�~qB��}��¯²�qk���|}`��pL�¯³-��±}��¯����ÈXl8moq¾{~}`��q-�o¥�mI}��A���`q�}`�%���A�o���I����m�µcl�q-��mo�A�¯�-���e��q(�N����}�SI¢oÁ � ��pL�o�|}`q(��%i�o¥O���oq-q(�`���A¥%���Z�� ��pLp��A�o�¯�-��}`���O�kr3q(}~·/�O� ¶ {��=��� �Ul8Ã�� !�Á=x[·��¯{`{_goqB�|q(�����<ÃÄ�A{�}���}��|}`qL��°/l�q-��mo�A���¯��¥�zOÁ N�o�`�¯��m�Áx[·���}�³(q-�������Z�cÁouW�Dz(#B�����Aµ

'9#�S #b)_%3µ N��}�³-��q-�3���A���iµol8mo�¯q(�¯q�µXu´�o��}��¯���o�~q-��}`��²Oq^q-²��O���|}`���O�A���`z����¯¥��O����}�mop�{-È��2�(��pL�A������}`��²Oq^�-��{�q{~}`�A�|zk���A�k}�moq�{�}��`q(�o¥�}�mÅ�A���`q�}`����o�o�`�O����m=µ� � � � �7� 2A�W��2:���<�M5��W� 5�� ��\*5A@^67�<�M5���2A�DK��&5�GLZN�67�]2��<�M5��ZÁA¢�MSC!�È ���I� �o�O�H#OÁOrt��²�q(p%�Zq-�_#-���O�oµ

idikj�lmDnbo�p

Page 43: Metaheuristics for Multiobjective Combinatorial - HAL - INRIA

Unité de recherche INRIA FutursParc Club Orsay Université - ZAC des Vignes

4, rue Jacques Monod - 91893 ORSAY Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier (France)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399