mestodos de energia
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7/26/2019 Mestodos de energia
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Libro gua:
Beer F.,etal.,Mecnica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edicin, 2012.Notas de clase realizadas por:
J. Walt OlerTexas Tech University
Mtodos de energa
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Mtodos de energa
11 - 2
- Energa de deformacin.- Densidad de energa de deformacin.
- Energa elstica de deformacin para esfuerzos normales.
- Carga de impacto.
- Diseo para carga de impacto.- Trabajo y energa bajo una carga nica.
- Deflexin bajo una carga nica por el mtodo de trabajo energa.
- Trabajo y energa bajo varias cargas.
- Teorema de Castigliano.- Deflexin por el teorema de Castigliano.
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Ejemplos de aplicacin de mtodos deenerga
11 - 3
Atenuador de impactos para un formula SAE
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Ejemplos de aplicacin de mtodos deenerga
11 - 4
Atenuador de impactos para un formula SAE
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Ejemplos de aplicacin de mtodos deenerga
11 - 5
Impacto frontal de un vehculo contra un poste
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Energa de deformacin
11 - 6
Una barra uniforme es sometida a una carga queincrementa lentamente.
Eltrabajo elementalrealizado por la cargaPmientrasla barra se estira una pequea distancia dx es:
el cual es igual al rea de ancho dxbajo el diagrama
esfuerzo deformacin.
elementaldxPdU trabajo
El trabajo total hecho por una carga para una
deformacinx1,
1
0
x
dxPU
11212
121
0
1
xPkxdxkxU
x
En el caso de una deformacin elstica,
trabajo total = energa de
deformacin
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Densidad de energa de deformacin
11 - 7
Para eliminar los efectos del tamao, evaluar laenerga de deformacin por unidad de volumen,
ndeformacideenergadedensidaddu
L
dx
A
P
V
U
x
x
1
1
0
0
Cuando se deja de aplicar la carga en el material elesfuerzo regresa a cero, pero existe una deformacinpermanente. Slo se recupera la energa dedeformacin representada por el rea triangular.
El resto de la energa se disipa en el material en forma decalor.
La densidad de la energa de deformacin, es igual alrea bajo la curva hasta el punto
1.
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Densidad de energa de deformacin
11 - 8
La energa de deformacin resultado de
seleccionar 1 R es el mdulo detenacidad. La energa por unidad de volumen requerida
para causar la ruptura de un material esrelacionada con su ductilidad y su resistencialtima.
Si el esfuerzo se mantiene dentro del limiteproporcional,
E
EdEu x
22
21
21
0
1
1
La densidad de la energa de deformacinque resulta de hacer
1 Yes el mdulo de
resiliencia.
aresiliencidemodulo
E
u YY
2
2
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Ejercicios
11 - 9
Determine el mdulo de resiliencia para cada uno de lossiguientes metales:
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Energa de deformacin elstica para esfuerzosnormales
11 - 10
En un elemento con una distribucin de esfuerzosno uniforme,
ndeformaciodetotalenergialim0
dVuUdV
dU
V
Uu
V
Para valores de u < uY , i.e., debajo del limiteproporcional,
ndeformacideelsticaenerga2
2
dVEU x
Bajo carga axial, dxAdVAPx
L
dx
AE
PU
0
2
2
AE
LPU
2
2
Para una barra de seccin transversal uniforme,
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Ejercicio
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Ejercicio
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Ejercicio
11 - 13
En la armadura que se muestra en la figura, todos los elementos
son del mismo material y tienen la seccin transversal indicada.Determine la energa de deformacin de la armadura cuando seaplica la carga P.
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Energa de deformacin elstica para esfuerzos
normales
11 - 14
I
yMx
Para una viga sometida a una carga de
flexin, dVEI
yMdV
EU x
2
222
22
HaciendodV = dAdx,
dxEI
M
dxdAyEI
MdxdA
EI
yMU
L
L
A
L
A
0
2
0
2
2
2
02
22
2
22
Para una viga en voladizo con una carga
en el extremo,
EI
LPdx
EI
xPU
PxM
L
62
32
0
22
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Problema de muestra 11.2
11 - 15
a) Tomando en cuenta nicamenteesfuerzos normales debidos a flexin,determine la energa de deformacin dela viga para la carga mostrada.
b) Evalu la energa de deformacinconociendo que la viga es de un perfilW10x45,P= 40 kips,L= 12 ft,a= 3ft,b= 9 ft, yE= 29x106psi.
SOLUCIN:
Determine las reacciones en A y Bdel diagrama de cuerpo libre de laviga completa.
Integrar sobre el volumen de laviga para encontrar la energa dedeformacin.
Aplicar las condiciones particulares
para evaluar la energa dedeformacin.
Desarrolle un diagrama de la
distribucin momento flector.
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Problema de muestra 11.2
11 - 16
SOLUCIN:
Determine las reacciones en A y Bdel diagrama de cuerpo libre de laviga completa.
L
PaR
L
PbR BA
Desarrollar un diagrama dedistribucin del momentoflexionante.
v
L
PaMx
L
PbM 21
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Problema de muestra 11.2
11 - 17
vL
Pa
M
xL
PbM
2
1
BD,Tramo
AD,Tramo
43in248ksi1029
in.108in.36a
in.144kips45
IE
b
LP
Integrar sobre el volumen de la viga paraencontrar la energa de deformacin.
baEIL
baPbaab
L
P
EI
dxxL
Pa
EIdxx
L
Pb
EI
dvEI
Mdx
EI
MU
ba
ba
2
2223232
2
2
0
2
0
2
0
22
0
21
6332
1
2
1
2
1
22
EIL
baPU
6
222
in144in248ksi10296
in108in36kips40
43
222
U
kipsin89.3 U
-
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Carga de impacto
11 - 18
Considerar una barra que esgolpeada en su extremo con un
cuerpo de masa m que se muevecon una velocidadv0. La barra se deforma por la carga de
impacto. Los esfuerzos llegan a unvalor mximo m y luegodesaparecen.
Para determinar el esfuerzo mximo
m- Asumir que la energa cintica se
transfiere completamente a laestructura, 2
021mvUm
- Asumir que el diagrama esfuerzodeformacin obtenido de unensayo quasi - esttico tambin esvlido para una carga de impacto.
dVEU m
m2
2
El valor mximo de la energa de
deformacin,
Para el caso de una barra uniforme,
V
Emv
V
EUmm
202
-
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Ejemplo 11 06
11 - 19
Un cuerpo de masa m y velocidad v0golpea el extremo de la barra nouniforme BCD. Sabiendo que el
dimetro de la porcinBCes dos vecesel dimetro de la porcin CD,Determine el valor mximo delesfuerzo normal en la barra.
SOLUCIN:
Debido al cambio en dimetro, ladistribucin de esfuerzos normales no esuniforme.
Encontrar la carga esttica Pm queproduce la misma energa de
deformacin que el impacto. Evaluar el mximo esfuerzo
resultante de la carga estticaPm.
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Ejemplo 11 06
11 - 20
SOLUCIN:
Debido al cambio de dimetro, ladistribucin de esfuerzosnormales no es uniforme.
E
VdV
E
mvU
mm
m
22
22
2
021
Encontrar la carga esttica Pm queproduce la misma energa dedeformacin que el impacto.
L
AEUP
AE
LP
AE
LP
AE
LPU
mm
mmmm
5
16
16
5
8
2
2
2222
Evaluar el esfuerzo mximo resultantede la carga estticaPm
AL
Emv
AL
EU
A
P
m
mm
20
5
8
516
-
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Ejemplo 11 07
11 - 21
Un bloque de peso W se deja caer deuna altura h en el extremo libre de unaviga en voladizo. Determinar el valor
mximo del esfuerzo en la viga.
SOLUCIN:
El esfuerzo normal vara linealmente alo largo de la viga, tambin varalinealmente a lo largo de la seccintransversal.
Encontrar la carga esttica Pm que
produce la misma energa dedeformacin que el impacto.
Evaluar el esfuerzo mximoresultante de la carga estticaPm
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Ejemplo 11 07
11 - 22
SOLUCIN:
Los esfuerzos normales varanlinealmente a lo largo de la viga,
tambin varan a lo largo de laseccin transversal.
E
VdV
E
WhU
mm
m
22
22
Encontrar la carga esttica Pm queproduce la misma enega dedeformacin que la carga de impacto.Para una viga en voladizo,
3
32
6
6
LEIUP
EI
LPU
mm
mm
Evaluar el esfuerzo mximoresultante de la carga estticaPm
2266
cIL
WhE
cIL
EU
I
LcP
I
cM
m
mmm
-
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Ejercicio
11 - 23
-
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Diseo para cargas de impacto
11 - 24
Para el caso de una barra uniforme,
V
EUmm
2
V
EU
VLcccLcIL
cILEU
mm
mm
24
//
6
412
4124
412
2
Para el caso de una viga en voladizo,
El esfuerzo mximo sereduce por:
uniformidad de esfuerzos bajo mdulo de elasticidad con
alta resistencia a la cedencia.
gran volumen
Para el caso de una barra no uniforme,
V
EU
ALLALAV
AL
EU
mm
mm
8
2/52/2/4
5
16
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Trabajo y energa para una carga nica
11 - 25
Previamente se encontr laenerga de deformacin alintegrar la densidad de energasobre el volumen.Para una barra uniforme,
AE
LPdxA
E
AP
dVE
dVuU
L
22
2
21
0
21
2
La energa de deformacin puede serdeterminada por el trabajo de una carga
P1,
1
0
x
dxPU
Para una deformacin elstica,
11212
121
00
11
xPxkdxkxdxPUxx
Conociendo la relacin entre fuerza y
desplazamiento,
AE
LP
AE
LPPU
AE
LPx
2
211
121
11
-
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Trabajo y energa para una carga nica
11 - 26
La energa de deformacin puede ser encontrada del trabajo de otro tipo de
cargas individuales,
EI
LP
EI
LPP
yPdyPU
y
63
321
31
12
1
112
1
0
1
Carga transversal en unaviga
EI
LM
EI
LMM
MdMU
2
211
12
1
112
1
0
1
Momento flexionante
-
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Ejercicio
11 - 27
El collar D es liberado de la posicin de reposo con la ubicacin mostradaen la figura y es detenido por una pequea placa colocada en la barraABC en el extremo C. Determine la masa del collar para el cual losesfuerzos mximos en la porcin BC son de 125MPa.
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Trabajo y energa bajo varias cargas
11 - 28
La deflexin de una viga elstica sometida ados cargas concentradas,
22212122212
21211112111
PPxxx
PPxxx
Aplicando las cargas en diferente orden se
tiene 21111221222221 2 PPPPU
Las expresiones de la energa de deformacindeben ser equivalentes. Se tiene que
12
21
(Teorema reciproco de Maxwell).
22222112
21112
1 2 PPPPU
Calcular la energa de deformacin en la vigaal evaluar el trabajo realizado al aplicarlentamente la carga P1 y a continuacin lacargaP2,
-
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Teorema de Castigliano
11 - 29
22222112
21112
1 2 PPPPU
La energa de deformacin para unaestructura elstica sometida a dos cargasconcentradas,
Derivando con respecto a las cargas,
22221122
12121111
xPPP
U
xPPP
U
Teorema de Castigliano: Para una estructuraelstica sometida ancargas, la deflexinxjdel
punto de aplicacin dePjpuede ser expresadocomo
andj
j
j
jM
U
P
Ux
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Deflexin por el teorema de Castigliano
11 - 30
La aplicacin del teorema de Castigliano sesimplifica si la diferenciacin con respecto a la
cargaPjse realiza antes de la integracin paraobtener la energa de deformacinU.
En el caso de una viga,
L
jjj
L
dxP
M
EI
M
P
Uxdx
EI
MU
00
2
2
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Ejercicio
11 - 31