4.1 Energa de deformacin en elementos simples sujetos en carga axial, transversal, flexin y torsin

4.1 Energa de deformacin en elementos simples sujetos en carga axial, transversal, flexin y torsin Luis Carlos Rentera Asnsolo 11061226Martn Gerardo Rodrguez Ruiz 12060431Aarn Alejandro Rodrguez Bonilla 11060106Deformacin elstica de un elemento cargado axialmente

Utilizando la ley y sabiendo las definiciones de esfuerzo y deformacin, podremos ahora desarrollar una ecuacin para determinar la deformacin elstica de un elemento que es sometido a cargas axiales. Para lograr el desarrollo consideraremos la fig. 4-2 que es una barra con una seccin transversal que vara gradualmente a lo largo de su longitud (L). Es sometida a cargas concentradas en sus extremos y a una carga externa variable distribuida a lo largo de su longitud Esta carga distribuida podra, por ejemplo, representar el peso de una carga vertical o fuerzas de friccin actuando sobre la superficie de la barra. Aqu queremos determinar el desplazamiento relativo (delta) de un extremo de la barra respecto al otro causado por esta carga.En el siguiente anlisis despreciaremos las deformaciones localizadas que ocurren en puntos de carga concentrada y donde la seccin transversal cambia repentinamente. Estos efectos ocurren dentro de pequeas regiones de la longitud de la barra y tendrn por tanto solo una pequea influencia en el resultado final. En su mayor parte, la barra se deformara uniformemente, por lo que el esfuerzo normal estar distribuido de manera uniforme sobre la seccin transversal.

Utilizando el mtodo de la secciones, un elemento diferencial de longitud dx y rea A (x) es aislado de la barra en la posicin arbitraria x. El diagrama de cuerpo libre de este cuerpo se muestra en la fig. 4-2 b. La fuerza axial interna resultante se representa por P(x), puesto que la carga externa har que vari a lo largo de la longitud de la barra. Esta carga deformara el elemento en la forma indicada por el perfil punteado y el desplazamiento de un extremo del elemento respecto al otro ser de. El esfuerzo y la deformacin unitaria en el elemento son:

Si estas cantidades no exceden el lmite de proporcionalidad, podemos relacionarlo por medio de la ley de Hooke:

Para la longitud entera de la barra debemos integrar esta expresin para encontrar el desplazamiento buscado en el extremo:

Dnde:= Desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto.L= Distancia entre los puntos.P(x)= Fuerza axial interna en la seccin, localizada a una distancia x de un extremo.A(x)= rea de la seccin transversal de la barra, expresada como funcin de x.E= Modulo de elasticidad del material.

Carga y rea transversal constantes.

En muchos casos la barra tendr un rea transversal A constante y el material ser homogneo, por lo que E ser constante. Adems, si una fuerza externa constante se aplica a cada extremo, fig. 4.3, entonces la fuerza interna P a lo largo de la barra ser tambin constante. En consecuencia, al integrar la ecuacin 4.1 se obtiene:

Si la barra est sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la seccin transversal o el mdulo de elasticidad cambian abruptamente de una regin de la barra a la siguiente, la ecuacin anterior puede aplicarse a cada segmento de la barra donde estas cantidades sean todas constantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro se encuentra entonces por medio de la adicin vectorial de los desplazamientos de los extremos de cada segmento.

Convencin de signos.

Para aplicar la ecuacin 4.3, debemos desarrollar una convencin de signos para la fuerza axial interna y el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto al otro extremo. Para hacerlo, consideraremos que la fuerza y el desplazamiento son positivos si causan tensin y alargamiento, respectivamente, fig. 4-4, mientras que una fuerza y un desplazamiento negativo causaran compresin y contraccin, respectivamente.

Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la fig. 4-5a. Las fuerzas axiales internas P, calculadas por el mtodo de las secciones en cada segmento, son Pab= 5KN, Pbc= -3KN y Pcd= -7KN, fig4-5b. Esta variacin se muestra en el diagrama de fuerza axial para la barra fig. 4-5c. Aplicando la ec. 4.3 para obtener el desplazamiento del extremo A respecto al extremo D:

Si se sustituyen los datos, se obtiene una respuesta positiva, ello significara que el extremo A se alejara del extremo D, mientras que un resultado negativo indicara que el extremo A se acerca hacia D.

Gracias por su atencin