Comparacao Entre o Filtro da Media e o da Mediana.

Michel A. dos Santos ∗

Setembro de 2010

∗Bacharelando em Ciencia da Computacao, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL), Bolsista doLaboratorio de Modelagem Geometrica e Visao Computacional do Centro de Pesquisa em Matematica Computacio-nal(CPMAT), Brasil - Maceio/AL, Tel: 8805-0582 E-mail: michel.mas@gmail.com, michelalvessantos@hotmail.com

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Sumario

Lista de Figuras 2

1 Introducao 2

2 Os Filtros Passa-Baixas 3

3 Filtragem Digital 4

4 Filtragem Linear no Domınio do Espaco 4

5 O Processo de Filtragem Espacial 4

6 Filtragem Nao-Linear no Domınio Espacial 4

7 Ruıdo ‘Sal e Pimenta’ 5

8 Resultados 5

Referencias Bibliograficas 6

Lista de Figuras

1 Linha Selecionada de uma Imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Grafico dos Nıveis de Cinza de uma Linha da Figura 1. . . . . . . . . . . . . . . . 33 Imagem Original e Imagem Ruidosa com Salt-and-Pepper a 10%. . . . . . . . . . . 54 Imagem Original Usada nos Testes de Filtragem - Filtro da Media e da Mediana. . 65 Imagem Filtrada com Mascara 3x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Imagem Filtrada com Mascara 5x5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Imagem Filtrada com Mascara 7x7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Imagem Filtrada com Mascara 11x11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Introducao

As tecnicas de filtragem sao transformacoes da imagem ‘pixel’ a ‘pixel’, que dependem do nıvelde cinza de um determinado ‘pixel’ e do valor dos nıveis de cinza dos ‘pixels’ vizinhos, na imagemoriginal, ou seja, o pixel ‘filtrado’ tem um valor dependente do contexto em que ele se encontrana imagem original. A operacao de filtragem necessita da definicao de frequencia espacial. Assim,seja g uma imagem, os nıveis de cinza NC de g variam com a distancia, observando-se uma unicalinha ou coluna de pixels da imagem.

Considerando a linha selecionada terıamos a seguinte distribuicao dos nıveis de cinza em relacaoao primeiro pixel na linha (lado esquerdo da linha, veja a seta na Figura 1). Observa-se (atravesdo grafico sugerido na Figura 2) que a linha da imagem apresenta uma grande variacao nos nıveisde cinza a medida que nos afastamos do primeiro pixel. Estas descontinuidades tem as seguintescaracterısticas:

• representam bordas (feicoes de alta frequencia sensıveis a visao)

• quando muito proximas caracterizam feicoes de alta frequencia

• quando em numero baixo caracterizam feicoes de baixa frequencia (superfıcies suaves naimagem)

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Figura 1: Linha Selecionada de uma Imagem.

Figura 2: Grafico dos Nıveis de Cinza de uma Linha da Figura 1.

O conceito de frequencia espacial alta ou baixa na imagem depende da escala em que a imagemse encontra. Entao, uma mesma area da imagem pode ser de alta frequencia ou de baixa frequenciadependendo do fator de escala da imagem. Nas imagens podemos encontrar frequencias: Alta,Media e Baixa. Assim, e possıvel reduzir os efeitos de determinadas frequencias na imagem,buscando obter um efeito visual de melhor qualidade na imagem. As frequencias que devem sertratadas, dependem do objetivo a ser atingido com o tratamento. A reducao de componentes defrequencia e conseguida atraves de tecnicas de filtragem, usando realce seletivo e eliminando amistura de frequencias.

2 Os Filtros Passa-Baixas

Os filtros Passa-Baixas eliminam altas frequencias, sendo usado para eliminar ruıdos em imagens.O ruıdo e uma fonte de alta frequencia. O efeito produzido e uma desfocalizacao caracterizadapor uma imagem borrada. Esta desfocalizacao depende das dimensoes do filtro, quanto maior adimensao do filtro, maior sera a desfocalizacao. Exemplos de filtros passa-baixas sao: o filtro damedia(Pixel central e a media aritmetica dos pixels dentro da area da janela - E um Filtro Linearque opera no Domınio Espacial), o filtro da media ponderada(Peso depende de sua distancia aopeso central - Neste caso a suavizacao e menos intensa pois ha mais influencia do pixel central -Outro exemplo de Filtro Linear que opera no Domınio Espacial), o filtro da moda(O nıvel de cinzado pixel central e o nıvel de cinza mais populoso dentro da janela de dimensao do filtro - Estefiltro e usado para homogeneizar imagens tematicas, ou para reduzir ruıdos mantendo o maximode informacao na imagem) e o filtro da mediana(O nıvel de cinza do pixel central e o nıvel decinza intermediario do conjunto ordenado de nıveis de cinza dentro da janela da mascara - Este eum filtro complexo por envolver ordenacao. Mas sua aplicacao suaviza a imagem preservando a

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informacao de bordas na mesma).

3 Filtragem Digital

Consiste na aplicacao de tecnicas de transformacao (operadores - mascaras) com o objetivo decorrigir, suavizar ou realcar determinadas caracterısticas de uma imagem dentro de uma aplicacaoespecıfica, entendendo como correcao a remocao de caracterısticas indesejaveis, e como realce e aacentuacao de caracterısticas. A filtragem e realizada pixel a pixel, onde o novo nıvel de cinza deum ponto P qualquer depende do seu nıvel de cinza original e do de outros pontos consideradoscomo vizinhanca de P. Em geral, os pontos mais proximos de P contribuem mais para o novovalor do nıvel de cinza do que os pontos mais afastados. Dentro do domınio da filtragem podemoscitar: o Domınio Espacial(Procedimentos que operam diretamente sobre os pixels da imagem nasua forma original) e o Domınio da Frequencia(Procedimentos que operam sobre a Transformadade Fourier da imagem original). Ja os filtros podem ser classificados como: Lineares(Suavizam,realcam detalhes da imagem e minimizam efeitos de ruıdo, sem alterar o nıvel medio de cinza daimagem) e Nao-Lineares(Aplicam transformacoes sem o compromisso de manterem o nıvel mediode cinza da imagem original).

4 Filtragem Linear no Domınio do Espaco

Os metodos de filtragem espacial operam diretamente sobre a matriz de pixels (imagem digita-lizada). Normalmente utilizam operacoes de convolucao entre a imagem original e uma mascaraespecialmente construıda(As mascaras sao chamadas de filtros espaciais).

5 O Processo de Filtragem Espacial

Consiste na aplicacao sucessiva de mascara que desliza sobre toda a imagem original. Ao seraplicada com centro numa posicao (i,j), sendo i o numero de uma dada linha e j o numero de umadada coluna da imagem, consiste na substituicao do valor do pixel na posicao (i,j) por um novo

valor o qual depende dos valores dos pixels vizinhos e dos pesos da mascara. A cada posicao damascara esta associado um valor numerico, chamado de peso ou coeficiente. Em cada posicao (i,j),os pesos do filtro sao multiplicados pelos NCs dos pixels correspondentes e somados, resultando emum novo valor de NC, que substitui o antigo NC do pixel central. Na operacao de filtragem deve-secalcular os pontos pertencentes a borda da imagem de modo diferente dos demais, ja que estesnao dispoem de todos os vizinhos. Por questoes de simetria usam-se, na definicao das mascarasdos filtros, janelas N x N, onde N e um numero ımpar. Por questoes de eficiencia computacional,sao preferıveis valores pequenos para N (no maximo 7).

6 Filtragem Nao-Linear no Domınio Espacial

Um exemplo tıpico de filtro passa-baixas nao-linear e o filtro da mediana, que suaviza a imagemsem contudo diminuir sua resolucao. No filtro da mediana, os pontos da vizinhanca de (x,y), dentrode uma janela na imagem, sao ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano

desta ordenacao. E possıvel, tambem, em vez de tomar a mediana da vizinhanca, escolher ovalor maximo ou o valor de ordem qualquer. Esta categoria de filtros e conhecida por filtrosde ordem. Uma alternativa que produz resultados interessantes e tomar o valor mais frequentede uma vizinhanca - a ‘moda’, que elimina ruıdos pontuais sem alterar muito as informacoes daimagem. Abaixo sao especificados os filtros da mediana, ordem e moda.

Filtro da Mediana Os pontos da vizinhanca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, saoordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta ordenacao.

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Filtro de Ordem Os pontos da vizinhanca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, sao or-denados e tomado como novo valor para (x,y) o valor maximo ou o valor de uma ordemqualquer desta ordenacao.

Filtro da Moda Os pontos da vizinhanca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, sao orde-nados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mais frequente da vizinhanca

7 Ruıdo ‘Sal e Pimenta’

Esse ruıdo e causado por erros na transmissao de dados. Os pixels corrompidos ou sao alteradospara o valor maximo, ou tem alguns bits alterados, causando uma diferenca brusca de tons entreeste pixel e seus vizinhos. Quando os pixels sao alternadamente modificados para 0 ou o maximo,este ruıdo e chamado de Salt and Pepper, devido a sua aparencia. Para este tipo de ruıdo, as me-lhores tecnicas sao de filtragem em passa-baixa. Filtros de suavizacao como o de media e guassianosao relativamente mal sucedidos porque o pixel que foi alterado pode variar significativamente dovalor original, e assim a media pode dar um valor diferente do valor original. Um filtro maiseficiente nesse caso seria o filtro de mediana, que remove este tipo de ruıdo mais eficientemente epreserva o contorno e pequenos detalhes da imagem.

Figura 3: Imagem Original e Imagem Ruidosa com Salt-and-Pepper a 10%.

8 Resultados

A seguir serao apresentados alguns resultados adquiridos atraves da plataforma R.

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Figura 4: Imagem Original Usada nos Testes de Filtragem - Filtro da Media e da Mediana.

Referencias

Camara G., Souza R., F. U. G. J. (1996), ‘Spring: Integrating remote sensing and gis by object-oriented data modelling’, Computers & Graphics 20(3), 395–403.

Gonzalez, R. & Woods, R. (1992), Digital Image Processing, Addison-Wesley Publishing Company.

Jain, A. (1986), Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice-Hall.

Marion, A. (1991), An Introduction to Image Processing, Chapman and Hall.

Oge Marques Filho, H. V. N. (1999), Processamento Digital de Imagens, number 85-7452-009-8,Brasport.

R Development Core Team (2009), R: A Language and Environment for Statistical Computing,R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL http://www.R-project.org,ISBN 3-900051-07-0.

SILVA, A. M. e. (2001), Curso Processamento digital de imagens de satelite, Centro de Eventos daPUCRS - de 07 a 12 de outubro de 2001, Porto Alegre - RS. URL www.cartografia.org.br.

Woods, R. C. G. . R. E. (1992), Digital Image Processing, number 0-201-50803-6, Addison Wesley.

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Imagem Original Imagem Ruidosa

Filtro da Mediana − mask 3 x 3 Filtro da Média − mask 3 x 3

Figura 5: Imagem Filtrada com Mascara 3x3.

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Imagem Original Imagem Ruidosa

Filtro da Mediana − mask 5 x 5 Filtro da Média − mask 5 x 5

Figura 6: Imagem Filtrada com Mascara 5x5.

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Imagem Original Imagem Ruidosa

Filtro da Mediana − mask 7 x 7 Filtro da Média − mask 7 x 7

Figura 7: Imagem Filtrada com Mascara 7x7.

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Imagem Original Imagem Ruidosa

Filtro da Mediana − mask 11 x 11 Filtro da Média − mask 11 x 11

Figura 8: Imagem Filtrada com Mascara 11x11.

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