módulo - amazon s3 · equaÇÕes diferenciais matemÁtica aplicada – turma lt22d prof. josé...

Prof. José Amaral MAT M7 - 1 05-11-2007

Exercícios.

EDO’s do tipo y(n)=f(x)

1. Determine a solução geral da EDO

=−′′′

2cos

xxy

• Trata-se de uma EDO da forma )()(xfy

n

=

32

2

1

4

321

3

21

3

21

2

1

2

1

22sen8

24

2cos4

6

2cos4

6

2sen2

2

2sen2

2

2cos

2cos

2cos

CxCx

Cxx

CdxCxdxCdxx

dxx

y

CxCxx

CdxCdxx

dxx

y

Cxx

Cdxx

dxxy

xxy

xxy

+++

−=

+++

−=

++

−=

++

+=′

+

+=

+

+=′′

+=′′′

=−′′′

∫∫∫ ∫

∫∫ ∫

∫∫

T Ó P I C O S

Exercícios sobre EDO’s de ordem n.

�

Módulo 7• Note bem, a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira • Chama-se à atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta prévia das soluções propostas, análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição junto do docente de todas as dúvidas associadas.

E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S M A T E M Á T I C A A P L I C A D A – T U R M A L T 2 2 D


EDO’s redutíveis à 1ª ordem.


0))ln()(ln( =−′′−′′ xyyyx

• Trata-se de uma EDO da forma ),( )1()( −

=nn

yxfy

x

xyyy

))ln()(ln( −′′=′′

Assim, procedendo à mudança de variável )()1(xpy

n

=− ;

dx

dpy

n

=)( :

py

py

′=′′

=′

, temos

=

−=′

x

p

x

p

dx

dp

x

xppp

ln

))ln()(ln(

Trata-se de uma EDO homogénea, pelo que, procedendo à mudança de variável

xup = , e, portanto, udxxdudp += , temos

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

2

2

2

1

1

2

2

2

1ln

1ln

ln1ln

ln

ln1lnln

1

)1(ln

1

1

)1(ln

1

ln

ln

ln

ln

))ln()(ln(

+

+

+

=′

=

=

+=

=−

=−

=−−

+=−

=−

−=

=+

=

+

=

−=′

∫∫

xC

xC

xC

xey

ex

p

eu

xCu

Cx

u

Cx

u

Cxu

Cdxx

duu

u

dxx

duuu

uuudx

dux

uuudx

dux

x

xu

x

xu

dx

udxxdu

x

p

x

p

dx

dp

x

xppp



3

1

2

2

2

1

2

2

1Ce

C

xC

dxxey

xC

xC

+−

=

=

+

+

∫


yyyy ′−′=′′ 2)(2 2

• Trata-se de uma EDO da forma ),( yyfy ′=′′

y

yyy

′−′=′′

2)(2 2

Assim, procedendo à mudança de variável )(ypy =′ ; dy

dppy =′′ :

ppy

py

′=′′

=′

, temos

( )

( )121

1

322

2

32

2

32

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

1

1

2

2

tan1

tan1

)arctan(1

1

1

1

1

1

1

1

)ln(1

ln

ln21ln

2

1

1

2

1

1

2)1(

22

22

xCCCC

CCCxC

y

CxCyC

CdxdyyC

dxdyyC

yCdx

dy

yCy

yCp

Cy

p

Cyp

Cdyy

dpp

dyy

dpp

yp

dy

dp

y

pp

dy

dpp

y

pppp

+=

+=

+=

+=

+

=

+

+=

+=′

=−

=−

+=−

+=−

=−

−=

−=

−=′

∫∫

∫∫



EDO’s lineares homogéneas de 2ª ordem com coeficientes constantes.


023 =+′+′′ yyy

• A EDO tem como soluções da equação característica,

2

13

2

893

2

4

023

2

2

11

2

±−=

−±−=

−±−=

=++

aaa

s

ss

, duas raízes reais distintas 21

−=s e 12

−=s , pelo que a solução geral da ED é

xx

xsxs

eCeC

eCeCy

−−

+=

+=

2

2

1

2121


044 =+′−′′ yyy


2

2

16164

2

4

044

2

2

11

2

=

−±=

−±−=

=+−

aaa

s

ss

, uma raiz real dupla 221== ss , pelo que a solução geral da ED é

xx

xsxs

exCeC

exCeCy

2

2

2

1

2121

+=

+=


032 =+′+′′ yyy


21

2

1242

2

4

032

2

2

11

2

j

aaas

ss

±−=

−±−=

−±−

=

=++

, duas raízes complexas conjugadas com 1−=α e 2=β , pelo que a solução geral

da ED é

x

x

h

exCxC

exCxCy

−

α

+=

β+β=

))2sen()2cos((

))sen()cos((

21

21



EDO’s lineares homogéneas de ordem n com coeficientes constantes.


04)5(

=′′′− yy


200)4(

04

23

35

±=∨=⇒=−

=−

ssss

ss

uma raiz real tripla, 3=k , 03,2,1 =s a que correspondem as soluções particulares

10

1 ==x

ey ; xexyx

==0

2 ; 2023 xexy

x

==

, e duas raízes reais simples, 24=s e 2

5−=s , a que correspondem as soluções

particulares:

x

ey2

4 = ; x

ey2

5−

=

Assim sendo, a solução geral da EDO linear homogénea de 5a

ordem com coeficientes

constantes é

xx

h eCeCxCxCCy2

5

2

4

2

321

−

++++=


02)4(

=+′′+ yyy


jss

ss

±=⇒=+

=++

0)1(

012

22

24

um par de raízes complexas conjugadas duplas, 2=k , jssss ±=4321

,,, , a que

correspondem as 42 =k soluções particulares. Com 0=α e 1=β temos

)cos()1cos( 0

1 xexyx

== ; )cos()1cos( 0

2 xxexxyx

==

)sen()1sen( 0

9 xexyx

== ; )sen()1sen( 0

10 xxexxyx

==

Assim sendo, a solução geral da EDO linear homogénea de 4a

ordem com coeficientes

constantes é

)sen()sen()cos()cos(4321

xxCxCxxCxCyh +++=



EDO’s lineares completas com coeficientes constantes.


x

exyy2

=′+′′

• A EDO linear completa de 2a

ordem e coeficientes constantes tem como equação

homogénea

0=′+′′ yy

cujas soluções da equação característica,

100)1(

02

−=∨=⇒=+

=+

ssss

ss

, são duas raízes reais distintas 01=s e 1

2−=s , pelo que a solução geral da equação

homogénea é

x

xsxs

h

eCC

eCeC

yCyCy

−

+=

+=

+=

21

21

2211

21

Dado que

x

exxf−

=2)(

é da forma

)sen()()cos()()( xexQxexPxfxx β+β= αα

, com 2)( xxP = , 1=α , e 0=β , podemos recorrer ao método dos coeficientes

indeterminados para determinar uma solução particular da equação completa.

Assim, sabemos que a solução é do tipo

x

xx

p

exR

xexSxexRy

)(

)sen()()cos()(

=

β+β= αα

em que )(xR é um polinómio de coeficientes indeterminados de grau igual a )(xP ,

ou seja

x

peCBxAxy )( 2

++=

Podemos agora determinar os coeficientes A , B e C a partir da substituição de p

y

na equação diferencial. Sendo

x

xx

p

x

xx

p

eCBAxBAAx

eCBxBAAxeABAxy

eCBxBAAx

eCBxAxeBAxy

))22()4((

))()2(()22(

))()2((

)()2(

2

2

2

2

+++++=

+++++++=′′

++++=

++++=′

temos

22

2

)232()26(2 xCBAxBAAx

exyy x

=+++++

=′+′′



pelo que

=++

=+

=

0232

026

12

CBA

BA

A

=

−=

=

⇒

47

23

21

C

B

A

, assim a solução particular procurada é

x

x

p

exx

eCBxAxy

+−=

++=

4

7

2

3

2

1

)(

2

2

, e a solução geral da equação completa é

xx

ph

exxeCC

yyy

+−++=

+=

−

4

7

2

3

2

1 2

21

Se optássemos pelo método das constantes arbitrária teríamos

x

xx

exxf

eyey

yy

−

−−

=

−=′⇒=

=′⇒=

2

22

11

)(

01

=′′+′′

=′+′

)()()(

0)()(

2211

2211

xfyxCyxC

yxCyxC

=−′+

=′+′⇔

−−

−

xx

x

exeC

eCC

2

2

21

)(0

0

=′−

′−=′⇔

−−

−

xx

x

exeC

eCC

2

2

21

−=′

=′⇔

−

x

xx

exC

eexC

22

2

22

1

−=′

=′⇔

x

x

exC

exC

22

2

2

1

pelo que

+−−=−=

+−==

∫∫

xx

xx

exxdxexC

exxdxexC

2222

2

22

1

)122(4

1

)22(

Fica assim determinada uma solução particular da equação completa

x

xxx

p

exx

eexxexx

yxCyxCy

+−=

+−−+−=

+=

−

4

7

2

3

2

1

)122(4

1)22(

)()(

2

222

2211

e a solução geral da equação completa é

xx

ph

exxeCC

yyy

+−++=

+=

−

4

7

2

3

2

1 2

21



igual à encontrada anteriormente.

Note-se que a equação x

exyy2

=′+′′ é da forma ),( )1()( −

=nn

yxfy

yexyx

′−=′′2

pelo que, para determinar a solução geral bastava fazer a mudança de variável

pyyn

=′=− )1( ; pyy

n′=′′=

)(

de onde resulta

x

expp2

=+′

Que é uma equação linear em p , com

1)( =xP

x

exxQ2)( =

Logo, fazendo uvp = , com

x

dx

dxxP

e

e

ev

−

−

−

=

∫=

∫=)(

e

1

2222

22

2

4

1

2

1

2

1

)(

Cexeex

Cdxex

Cdxe

ex

Cdxv

xQu

xxx

x

x

x

++−=

+=

+=

+=

∫

∫

∫

−

, de onde

xxxx

eCexeexuvp−

++−==1

2

4

1

2

1

2

1

, e, sendo, py =′ , ainda

xx

xxxx

xxxx

xxxx

exxeCC

CeCexeex

dxeCexeexy

eCexeexy

+−++=

+−+−=

++−=

++−=′

−

−

−

−

∫

4

7

2

3

2

1

4

7

2

3

2

1

4

1

2

1

2

1

4

1

2

1

2

1

2

21

21

2

1

2

1

2

igual à encontrada anteriormente.



EDO’s lineares completas com coeficientes variáveis.

10. Dada a EDO

2

)ln(1

x

xy

xy =′+′′

Mostre que a equação homogénea associada admite soluções da forma n

xy ))(ln(= , e determine a

solução geral da equação completa.

• A EDO linear completa de 2a ordem e coeficientes variáveis tem como equação

homogénea

01

=′+′′ yx

y

Admitindo n

xy ))(ln(= , temos

2

12

1

1))(ln(

1)))(ln(1(

1))(ln(

x

xnx

xnny

xxny

nn

n

−−

−

−−=′′

=′

, pelo que teríamos

01

)))(ln(1(

01

))(ln(11

))(ln(1

)))(ln(1(

01

2

1

2

12

=−

=

+−−

=′+′′

−

−−−

xxnn

xxn

xx

xnx

xnn

yx

y

n

nnn

Para que se verifique uma identidade Rx∈∀ deverá ser

100)1( =∨=⇒=− nnnn

Concluímos então que

1))(ln( 0

1 == xy

e

)ln())(ln( 1

2 xxy ==

São duas soluções particulares da equação homogénea. Para determinar a solução

geral é necessário verificar que se trata de soluções linearmente independentes. Temos

xx

x

yy

yyw

11

0

)ln(1

21

21==

′′=

Dado que Rxx

xf ∈∀≠= 01

)( , as soluções são linearmente independentes, pelo que

)ln(21

2211

xCC

yCyCyh

+=

+=

é a solução geral da equação homogénea.

Para determinar a solução geral da equação completa vamos recorrer ao método das

constantes arbitrária. Temos



2

22

11

)ln()(

1)ln(

01

x

xxf

xyxy

yy

=

=′⇒=

=′⇒=

=′′+′′

=′+′

)()()(

0)()(

2211

2211

xfyxCyxC

yxCyxC

=′+

=′+′⇔

22

21

)ln(10

0)ln(

x

x

xC

xCC

=′

′−=′⇔

x

xC

xCC

)ln()ln(

2

21

=′

−=′⇔

x

xC

x

xC

)ln(

))(ln(

2

2

1

pelo que

==

−=−=

∫

∫

2

))(ln()ln(

13

))(ln())(ln(

1

2

2

32

1

xdxx

xC

xdxx

xC

Fica assim determinada uma solução particular da equação completa

3

23

2211

))(ln(6

1

)ln(2

))(ln(

3

))(ln(

)()(

x

xxx

yxCyxCyp

=

+−=

+=

Logo, a solução geral da equação completa é

)(ln6

1)ln( 3

21xxCC

yyy ph

++=

+=



Auto-Avaliação.

),( )1()( −

=nn

yxfy ),( yyfy ′=′′

Substituição: pyn

=− )1( ; py

n′=

)( Substituição: py =′ ; ppy ′=′′

Wronskiano 04 2

2

1 >− aa

xsxs

h eCeCy 21

21+=

042

2

1=− aa

xsxs

h exCeCy 21

21+=

042

2

1<− aa )1(

2)1(

2)1(

1

221

21

21

−−−

′′′′′′

′′′

=

nnn

n

n

yyy

yyy

yyy

yyy

w

L

MOMM

L

L

L

x

h exCxCyαβ+β= ))sen()cos((

21

Constantes arbitrárias Coeficientes indeterminados

Se β+α j não é raiz da equação característica

)sen()()cos()( xexSxexRyxx

pβ+β=

αα

Se β+α j é raiz da equação característica

=′++′+′

=′++′+′

=′′′++′′′+′′′

=′′++′′+′′

=′++′+′

−−−

−−−

)(

0

0

0

0

)1()1(22

)1(11

)2()2(22

)2(11

2211

2211

2211

xfyCyCyC

yCyCyC

yCyCyC

yCyCyC

yCyCyC

n

nn

nn

n

nn

nn

nn

nn

nn

L

L

MM

L

L

L

( ))sen()()cos()( xexSxexRxyxxk

p β+β=αα

1.

Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.

1. x

exyyy =+′−′′5)2( 2.

x

exyyy +=+′+′′ )3sen(102

3.

3

2

2

=

dx

dy

dx

yd 4. xyy =′′′−

)5(

5. xx

exeyy +=′+′′′−

6. )tan(22 xeyyyx−

=+′+′′

2.

1. Determine a solução geral da equação 32 )2()2( xyxyxxyx =++′+−′′ , atendendo a que xy = e

x

xey = são soluções particulares da equação homogénea correspondente.

2. Determine a solução geral da equação xyyxyx =+′−′′2 , atendendo a que a equação homogénea

correspondente admite soluções da forma )(ln xxyn

= .

�



Soluções

1.1 x

ex

xCC )12

1(

321++ ; 1.2 )3cos(

37

6)3sen(

37

1

13

1)3sen()3cos( 21

xxexeCxeCxxx

−+++−−

;

1.3 21

22 CCx +−−± ; 1.44

543

2

2124

1xeCeCCxxCC

xx

−++++−

;

1.5 xxx

eexexCxCC2

1

2

1)sen()cos( 321

+−−++−−

;

1.6

+−+ −−−

)cos(

)sen(1ln)cos()sen()cos(

21x

xxexeCxeC

xxx

;

2.1 2

21 xxeCxCx

−+ ; 2.2 )(ln2

1)ln( 2

21xxxxCxC ++

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