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EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA
Profa Paula Francis Benevides
Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Universidade Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute
Campus Curitiba
Gerecircncia de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadecircmico de Matemaacutetica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
2
Conteuacutedo
AULA 1 6
AULA 2 8
11 INTRODUCcedilAtildeO 8
12 DEFINICcedilAtildeO 9
13 CLASSIFICACcedilAtildeO 9
131 Tipo 9
132 Ordem 9
133 Grau 9
134 Linearidade 10
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 10
AULA 3 12
2 RESOLUCcedilAtildeO 13
21 CURVAS INTEGRAIS 13
22 SOLUCcedilAtildeO 13
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) 14
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO 15
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS 16
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 18
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS 18
311 Resoluccedilatildeo 18
AULA 4 22
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 22
321 Funccedilatildeo Homogecircnea 22
322 Equaccedilatildeo Homogecircnas 22 3221 Resoluccedilatildeo 23
AULA 5 26
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS 26
331 O determinante 22
11
ba
ba eacute diferente de zero 26
332 O determinante 22
11
ba
ba eacute igual a zero 28
AULA 6 31
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS 31
AULA 7 34
341 Fator Integrante 34
AULA 8 37
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
3
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES 37
351 Fator Integrante 37
352 Substituiccedilatildeo ou de Lagrange 39
AULA 9 42
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A LINEARES 42
361 Equaccedilotildees de Bernoulli 42
AULA 10 45
362 Equaccedilatildeo de Ricatti 45
AULA 11 48
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 48
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES 48
411 Definiccedilotildees 48
412 Equaccedilatildeo da Envoltoacuteria 49
413 Soluccedilotildees Singulares 50
AULA 12 52
414 Equaccedilatildeo de Clairaut 52
AULA 13 54
415 Equaccedilatildeo de Lagrange 54
416 Outros tipos de equaccedilatildeo de 1a Ordem e grau diferente de um 56
AULA 14 58
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS 58
AULA 15 60
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMAacuteTICOS 60
61 MODELO MATEMAacuteTICO 60
62 DINAcircMICA POPULACIONAL 61
63 MEIA VIDA 63
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO 65
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO 65
66 RESFRIAMENTO 66
67 MISTURAS 68
68 DRENANDO UM TANQUE 70
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA 72
610 CORPOS EM QUEDA 74
6101 Corpos em queda e a resistecircncia do ar 76
611 CORRENTE DESLIZANTE 78
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE 80
AULA 16 87
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR 87
AULA 17 89
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES 89
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
4
711 Caso 1 Raiacutezes Reais Distintas 90
712 Caso 2 Raiacutezes Muacuteltiplas 90
713 Caso 3 Raiacutezes complexas distintas 91
AULA 18 94
72 EULER - CAUCHY 94
AULA 19 97
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS 97
731 Soluccedilatildeo por coeficientes a determinar (Descartes) 97
AULA 20 100
732 Soluccedilatildeo por variaccedilatildeo de paracircmetros 100
AULA 21 103
733 Meacutetodo do Operador Derivada 103 7331 Definiccedilatildeo 103 7332 Propriedades 103 7333 Equaccedilotildees Diferenciais 103 7334 Operador Anulador 104 7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores 105 7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares 106
AULA 22 109
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS 109
AULA 23 111
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 111
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 111
911 Sistema Massa-Mola Movimento Livre natildeo amortecido 111 9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido 112 9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento112
912 Sistema Massa-Mola Movimento Livre Amortecido 113 9121 ED do Movimento Livre Amortecido 113
913 Sistema Massa Mola Movimento Forccedilado 116 9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento 116 9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido 117
914 Circuito em Seacuterie Anaacutelogo - Circuitos eleacutetricos RLC em seacuterie 118
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 119
921 Deflexatildeo de uma viga 119 9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno 120 9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina 121 9213 Corda Girando 123
AULA 24 128
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 128
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL 128
AULA 25 131
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA 131
AULA 26 134
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 134
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
5
1031 Vetor soluccedilatildeo 135
1032 O Problema de Valores Iniciais 136 10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo 136
1033 Sistemas homogecircneos 136 10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo 137
1034 Independecircncia Linear 138 10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes 138
1035 Conjunto fundamental de soluccedilatildeo 139 10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos 139
1036 Sistemas natildeo homogecircneos 140 10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos 140
1037 Uma Matriz Fundamental 142 10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular 143 10372 Matriz Especial 143
10373 t eacute uma Matriz Fundamental 145
AULA 27 150
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS 150
1041 Autovalores reais e distintos 150
1042 Autovalores complexos 152
1043 Autovalores de Multiplicidade dois 153
AULA 28 158
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS 158
1051 Coeficientes Indeterminados 158
1052 Variaccedilatildeo de Paracircmetros 161
AULA 29 165
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA 165
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
6
AULA 1
REVISAtildeO DE INTEGRAIS
Resolva as seguintes integrais
1) dxx )13( R Cxx
2
3 2
2) dxx
x
4= R Cxx 48
3
2
3)
dxx
x2
2 )1( R C
xx
1
4)
21 x
dx R Carcsenx
5)
dxx
x21
R Cx 21ln2
1
6) )1( 2xx
dx R C
x
x
1ln
2
12
2
7)
21 x
dx R Cx arctan
8) 42x
dx R C
x
x
2
2ln
4
1
9) x
dx
3 R C
x
3
1ln
10)
dxx
x3
21 R Cx
x ln
2
12
11)
dxx
x3
2 )1( R Cx
x ln
2
12
12) dxx
x
tan
sec2
R Cx tanln
13)
dx
ax
ax22
22
R Cax
axax
ln
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
7
14)
dx
ax
ax22
22
R Ca
xax arctan2
15) dxxe x3 R Cxe x 13
9
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R Cx 231ln 2
20)
dx
x
x
35
13 R Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R Cxx 10ln212
23) dxxe x )2(1
ln
R Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan R Cex x arctan1arctan
25) xdxe x sincosln R C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 32
R Cex x 2
)1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22
R Cxxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
8
AULA 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
11 INTRODUCcedilAtildeO
Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy
de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra
apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua
derivada eacute 23
3
xedx
dy x Se fizermos3xey teremos
23 xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo
representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de
um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo
O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde
dada uma derivada encontrar uma antiderivada
Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm
significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo
a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por
exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades
puramente matemaacuteticas
a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os
pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma
funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza
a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que
envolve uma grandeza
o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura
consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)
se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se
dx
dy
em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a
derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse
quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo
)(xfdx
dy
eacute possiacutevel escrever
dxxfdy )(
que se denomina equaccedilatildeo diferencial
uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo
da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
9
12 Definiccedilatildeo
Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou
diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos)(2 2
5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
13 CLASSIFICACcedilAtildeO
131 TIPO
Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis
dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo
ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter
mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)
Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de
duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo
diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso
132 ORDEM
A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As
equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira
ordem
133 GRAU
O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como
um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos
exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato
quanto a ordem e grau
134 LINEARIDADE
Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees
1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou
seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um
2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel
independente x
Exemplos
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e
terceira ordem
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre
aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um
nuacutemero menos de constantes
Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma
equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes
de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes
f) xx eCeCy 2
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
AULA 2 - EXERCIacuteCIOS
Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros
estejam sobre o eixo y
Respostas
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2 ( ) 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
AULA 3
2 RESOLUCcedilAtildeO
Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a
equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa
identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira
que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem
de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e
consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo
21 CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo
particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da
equaccedilatildeo diferencial
xdx
dy2
Que resulta em Cxy 2
22 SOLUCcedilAtildeO
Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As
soluccedilotildees podem ser
Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de
uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades
de ordem da equaccedilatildeo
Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees
iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante
inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os
valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos
Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave
envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A
soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais
natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante
As soluccedilotildees ainda podem ser
Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute
chamada soluccedilatildeo expliacutecita
Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G
trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Exemplo
Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita
Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluccedilatildeo x
y
Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita
Exemplo
Verifique que 16
xy
4
eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21
xydx
dy no intervalo )(
Resoluccedilatildeo
Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21
xydx
dy eacute
zero paratodo x no intervalo
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na ED temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx
dy sujeita a condiccedilatildeo inicial
00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de
problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo
diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)
determinado a priori
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
15
Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se
especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos
x0 e3ye3cec3
Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos
1xx111 e3yee3yee3cec3
Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx
dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo
ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica
As funccedilotildees y = 0 e 16
xy
4
satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma
deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO
Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o
ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy
df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I
centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)yx(fdx
dy sujeito a 00 y)x(y
Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO
1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo
2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial
Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo
que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas
caracteriacutesticas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de
valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo
Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao
caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o
caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais
possuam soluccedilotildees
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS
As equaccedilotildees diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
satildeo chamadas de autocircnomas
Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a
equaccedilatildeo (2) na forma
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluccedilatildeo eacute
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(
1
yfdy
dx em
A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A o que justifica o procedimento formal
Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema
00)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos
Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute
proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma
kydx
dy (7)
Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees
separadamente nos dois intervalos 0 y e y0
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R
Considere a equaccedilatildeo autocircnoma
akydx
dy
sua soluccedilatildeo geral para k
ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto
k
ayea
kyeaky CxkCxk
1 )()(
Neste caso k
ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1
o grau
)( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(xy) e N = N(xy)
Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS
A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se
M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes
M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel
Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a
equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis
311 RESOLUCcedilAtildeO
Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos
separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma
CdyyQdxxP )()(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec xdytgyydxtgx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a
equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo
)(
Resolver as seguintes equaccedilotildees
diferenciais
2) 01
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 ndash a
2)(y
2 ndash b
2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas
1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo
nuacutemero real
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 ndash x) = C
5) C y2 = 1 + x
2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a a
ex
ln
2
9) tg x tg y = C
10) Cb
yarctgb2y
ax
axlnax
11) y = c(x ndash 1)
12) Cx1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(42 yydx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA
Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a
relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale
a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)
Exemplos
1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y
2 eacute homogecircnea de grau 2
pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222
2) 4y
x)yx(g
2
2
eacute homogecircnea de grau zero pois
)yx(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()tytx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(xy) = 2x3 + 5xy
2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois
)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323
Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever
x
y1fx)yx(f n e
1
y
xfy)yx(f n
satildeo ambas homogecircneas de grau n
Exemplo
Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo
x
y1fx
x
y
x
y31x
x
y
x
y31x)yx(f 2
22
2
22
1
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)yx(f 2
22
2
22
322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS
A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se
M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau
Exemplos
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
y
xy
3)
x
yarctgy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3221 Resoluccedilatildeo
Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0
Tem-se
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx
x
yF
dx
dy (1)
Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as
variaacuteveis
Dessa forma substitui-se x
y por u
xuy (2)
Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) temos
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Em resumo
Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo
de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita
Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo
separaacutevel
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo
02)( 22 xydydxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 ndash EXERCIacuteCIOS
Resolva as seguintes equaccedilotildees
1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0
2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx ndash xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y
8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial
3
1)1(y
Respostas
1) y2 + 2xy ndash x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
221
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES
REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS
Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees
homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis
Satildeo equaccedilotildees da forma
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes
Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das
variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de
eixos
Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar
331 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute DIFERENTE DE ZERO
Resoluccedilatildeo
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy
A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute
dvdyvy
dudxux
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para
o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma
vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero
Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e satildeo as raiacutezes do sistema
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo23
132
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
332 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute IGUAL A ZERO
Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A
equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis
Como 22
11
ba
ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode
escrever
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relaccedilatildeo a x
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equaccedilatildeo transformada
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136
12
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCIacuteCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas
1) 2x2 ndash 6xy + y
2 + 2y = K
2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se
existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e
suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que
x
N
y
M
Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja
diferencial dada por
dyy
udx
x
udu
(2)
Entatildeo comparando (1) e (2) teremos
)( yxMx
u
(3)
e
)( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo
(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos
)()()( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos
)()(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta
)()()(
yxNygy
dxyxM
Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos
1
)()()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
)(
)()()(
Logo a soluccedilatildeo eacute da forma
Cdy
y
PNMdxyxU )(
onde costuma-se denotar MdxP
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y ndash 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh xcosy dx = coshxseny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
341 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x
N
y
M
Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata
Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx
u
e NF
dy
u
Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui eacute loucura
Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando temos
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando CdxxRF )(ln
dxxRexF
)()(
onde
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos
dyyReyF
)()(
onde
x
N
y
M
MxR
1)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo
Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x
N
y
M
mostra-se que haacute
uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata
A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante
F(x) F(y)
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator
integrante
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 ndash y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluccedilatildeo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas
1) x2 cos y + x
4 = C
2) Ctgyex 2
3) Ceseny x
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES
Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute
dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
desse tipo a saber
351 FATOR INTEGRANTE
Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial
exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de
nosso problema
QPydx
dy
Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressatildeo
0 dyedxQPyePdxPdx
Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos
Pdx
Pey
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por fator integrante
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE
Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)
criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O
meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z
a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt
Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber
i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)
ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx
dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de
variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy
dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln
Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC
eeey Fazendo
Cek temos Pdx
key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta
Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a
soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo
possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo
Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx
dt (6) que eacute da
mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx
ket Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
Daiacute Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1 Integrando este uacuteltimo
1
(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e
dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado temos CQdxek
ZPdx
1
(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e
ldquoZrdquo
CQdxek
keyPdxPdx 1
onde resulta finalmente em
CdxQeeyPdxPdx
(8)
que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)
Exempo 2
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycostan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx
dy
Respostas
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A
LINEARES
Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que
mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de
tais equaccedilotildees satildeo
361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
Equaccedilatildeo da forma
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2
Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma
EDO linear
Pois se
n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea
Soluccedilatildeo
Transformaccedilatildeo de variaacutevel
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relaccedilatildeo a x
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1) que eacute
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o
primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 temos
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior
Exemplo
232
xyx
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 02 2 xydx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas
1) 2
1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
)ln(
1
3) 12 2223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI
A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy
(1)
onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e
quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela
soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5
Resoluccedilatildeo
Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a
equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x
Como 0y eacute soluccedilatildeo temos
RQyPydx
dy 0
2
0
0
(3)
Por outro lado derivando (2) tem-se
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes
de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais
4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5
Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes
ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida
Em resumo
Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de
(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)
transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli
Exemplo
Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluccedilatildeo geral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32
2
x
y
x
y
dx
dy Em caso afirmativo
calcular a soluccedilatildeo geral
2) Mostrar que x
y1
eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluccedilatildeo
geral
3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluccedilatildeo geral
4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo
particular
5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo
particular
Respostas
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
411 DEFINICcedilOtildeES
Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo
diferencial
Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo
particular da equaccedilatildeo
Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro
0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famiacutelia de curvas integrais
Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia
como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias
concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA
Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como
envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir
uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver
nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute
definida pelo sistema
0)(
0)(
yxf
yxf
(1)
cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a
equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y
Exemplo
Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0
dx
dyyxF
Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo
geral
particular
singular (eventualmente)
A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas
integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada
A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
original
De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da
envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva
integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular
Exemplo
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2
22
x
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12
2
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)
4
2xy (soluccedilatildeo singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT
A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy
Resoluccedilatildeo
Chamando pdx
dy
a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)(1
0)( pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)
De (2) tem-se
0)( px (3)
xp )(
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo
singular
Exemplos
6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 ndash EXERCIacuteCIOS
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo
singular das seguintes equaccedilotildees de
Clairaut
a dx
dy
dx
dyxy ln
b
2
3
dx
dy
dx
dyxy
c 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d 045
y
dx
dyx
dx
dy
e 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE
A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se
dx
dy
dx
dyF
Resoluccedilatildeo
A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica
Chamando pdx
dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se
)(
)(
)(
)(
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo
geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica
)(
)(
pyy
pxx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo
2
1
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
Resolver as seguintes equaccedilotildees
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCIacuteCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy
18)
0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x
determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0
20) dxexydxxdy x2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln( 3 dyxydxx
y
23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22)1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da
equaccedilatildeo xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluccedilatildeo geral
Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes
equaccedilotildees
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2
Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
Natildeo haacute soluccedilatildeo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMAacuteTICOS
61 MODELO MATEMAacuteTICO
Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da
vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A
descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda
levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees
animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma
substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a
principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa
estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
A seguir
ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema
que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer
leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a
forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute
predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a
resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de
uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais
equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo
diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema
de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-
lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as
prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou
levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de
modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo
matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t
Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da
variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e
futuro
62 DINAcircMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por
traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais
cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em
outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em
termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser
expressa por
kxdt
dx 00
)( xtx ktexx
0
(1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos
envolvendo crescimento ou decaimento
Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de
(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0
O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt
dS a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente
Exemplo
Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias
passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes
determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Resoluccedilatildeo
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ndash ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = cekt
Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma
0x
cex
0
00
Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2
3x0
40550k
k2
3ln
e2
3
exx2
3
k
1k00
voltando novamente a equaccedilatildeo temos
t40550
0
kt0
exx
exx
para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
70922t
0986121t40550
t405503ln
e3
exx3
t40550
t4055000
seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente
63 MEIA VIDA
Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-
vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais
estaacutevel ela eacute
Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos
metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio
mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse
tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206
AKdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA 0
Exemplo
Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que
0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a
taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente
Resoluccedilatildeo
000
0
A999570A000430A15t
A0t
Resolvendo a equaccedilatildeo
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
kte
c
A
A = cekt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
Sabendo que 0A)0(A temos
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo
A(t) = A0ekt
A(15) = A0e15k
A(t) = 2
0A
099957 A0 = A0e15k teAtA
51088672
0 )(
Ln099957 = ln e15t 000028670
0
0 2
eAA
-000043 = 15 k te 000028670
2
1
K = - 2866710- 5
-06931 = - 000002867t
t = 24180
t 24180 anos
Voltando a equaccedilatildeo temos que
t10866720
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer
3717924t
t1086672693150
t108667250ln
e50
eA2
A
5
5
t1086672
t10866720
0
5
5
Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas
combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia
Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente
radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o
fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma
substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de
substacircncias remanescente no instante t
AKdt
dA (2)
Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos
siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)
kgt0 para o decaimento como em (2) klt0
O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a
determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)
aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja
taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo
transformada ou remanescente no instante t
A questatildeo eacute que
Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios
fenocircmenos diferentes
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade
de foacutesseis usando o carbono radioativo
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute
produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio
A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma
constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os
organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera
Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo
cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a
razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil
O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de
5600 anos
O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de
Turim
7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um
quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
Exemplo
Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a
idade do foacutessil
Resoluccedilatildeo
A(t) = A0ekt
5600
0
0 2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 06931
K = - 0000123776
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
A(t) = A0e- 0000123776t
teAA 0001237760
00 100
1
te 0001237760ln
100
1ln
- 0000123776 t = - 69077
t = 55808
A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos
66 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se
Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
Exemplo
Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua
temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF
Resoluccedilatildeo
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T() = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por
70 ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que
T(0) = 3000
300 = Cek0
+ 70
C = 2300
Logo
T = 230ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T com isso
200 = 230e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
1901816190k
5705448580k3
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
70e230)t(T t190180
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus
7023075 190180 te
230
7075190180 te
- 019018t = ln230
5
t = 2013
com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
67 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees
por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo
no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a
taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida
se RR
dt
dA
sal de
saiacuteda de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute
minlb6)galkb2(min)gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde atildeoConcentraccedil
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees
Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de
saiacuteda de sal Rs eacute
min100
300
min)3(
sal de
saida de taxa
saiacuteda de fluxo no
sal de atildeoConcentraccedil
salmoura de
saiacuteda de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo
Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos
colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais
quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
Resoluccedilatildeo
100
100100
100100
600
600
6
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos
550
60050 0
C
eC
Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma
100550600t
eA
A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela
Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que
esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser
(300 gal)(2lbgal) = 600 lb
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro
era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma
taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo
gallb
t
AgalRs
300min)2(
Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 26641
100 39767
150 47727
200 52557
300 57262
400 58993
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute
27 )300)(10954(2600)( tttA
68 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um
corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde
g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja
drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade
Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no
tanque no instante t
Considere o tanque ao lado
Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de
saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda
de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)
Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque
for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA
(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt
dhA
dt
dVw
Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a
altura de aacutegua no instante t
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse
caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo
Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0
comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t
Resoluccedilatildeo
Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema
Logo tem-se que
A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute
(1)
Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos
20c de modo que (1) pode ser escrita como
Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua
pura no tanque
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA
Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)
o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a
qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois
grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo
kxydt
dx (8)
ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se
argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para
eliminar y em (8) obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1
Exemplo
Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma
doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de
variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o
nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para
que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila
Resoluccedilatildeo
Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de
ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria
Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais
proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute
Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos
Substituindo entatildeo temos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
(
)
Integrando
int
(
) int
int
int int
(
)
(
)
Se em t=0 N=5 temos que
Entatildeo
Para que N = 250 no tempo t temos que
Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
610 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila
externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a
forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute
proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme
ilustrado na figura abaixo
Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no
instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para
cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age
sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da
Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg
onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O
sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra
eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva
Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute
v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
0)0( ss 0)0( vs (11)
Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais
determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica
elementar como a foacutermula 00
2
2
1)( stvgtts
Exemplo
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial
zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine
a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t
b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t
c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
Resoluccedilatildeo
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o
sentido para baixo
Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt
dvg
Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0 segue que 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100 temos 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m s2 teremos
st
t
5420
2
10100
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior
do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena
quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve
ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A
forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um
corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra
uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias
tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute
dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva
e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo
oposta ou para cima
Veja a figura abaixo
Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a
atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se
dt
dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma
da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva Em termos des (12) eacute
uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
Exemplo
Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se
o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine
a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo
b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e
c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima
Resoluccedilatildeo
(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt
dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de
movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o
corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv
responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo
negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k
mgcev
tm
k
Em t=0
v=v0 logo k
mgcev m
k
0
0 ou
k
mgvc
0 A velocidade do corpo no instante t eacute
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0
Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
611 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da
corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a
corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo
de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no
pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento
conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
Peso da corrente
W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L
Massa da corrente
m = Wg = L 32
Forccedila resultante
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo
Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um
cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como
6219 LP e
Resoluccedilatildeo
(
) (
)
Sendo frasl
Como
Sendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Como e soacute eacute possiacutevel
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE
Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor
resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga
em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como
indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave
soma das quedas de voltagem na malha
A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem
voltagemdequeda
henrys(h)Lindutacircncia
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
voltagemde queda
)(ohms aresistecircnci
Resistor
q
c
fC
1 voltagemde queda
)( farads iacapacitacircnc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo
Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)
)(tERidt
diL
ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente
i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema
A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a
carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de
Kirchhoff nos daacute
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima
transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo
Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e
a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0
Resoluccedilatildeo
L= indutacircncia = frac12 ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistecircncia = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
Logo
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
AULA 15 - EXERCIacuteCIOS
1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito
onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha
fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute
ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente
2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2
henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t
3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01
henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto
t Use E = 30 V
4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4
farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a
corrente i(t)
5) Uma forccedila eletromotriz de 200 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6
farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04
Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t
6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero
de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela
triplicaraacute
7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual
era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos
8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo
Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em
30 anos
9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente
Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas
observam-se 3000 fileiras Determine
a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no
instante t
b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de
habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute
de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes
11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos
continuamente Determine
a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos
b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha
havido retiradas ou depoacutesitos adicionais
12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um
depoacutesito feito na conta duplique em seis anos
13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente
Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7
anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos
trecircs anos
14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem
inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua
massa original determine
a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t
b) A Massa do material apoacutes quatro horas
c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)
15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade
presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute
presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer
16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a
massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia
presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia
17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas
18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se
desintegrado Qual a idade da madeira
19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora
onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50
ordmF Qual seraacute a
temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar
15ordmF
20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave
diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e
o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60
oC dentro de quanto tempo sua
temperatura desceraacute para 30oC
21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente
para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o
ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma
pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da
secretaacuteria a liberta alegando o que
22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que
governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo
para imigrar a uma taxa constante r
23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de
mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da
populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t
mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t
24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus
universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o
nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for
espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os
estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus
25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual
foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de
3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a
mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no
instante t
26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse
tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na
mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora
27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um
buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua
vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de
aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de
aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para
ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica
Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua
no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao
lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2
28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o
paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o
paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da
velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a
velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a
resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade
instantacircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e
abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do
paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1
Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se
abre o paraquedas
30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente
com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura
aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98
0C
31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma
salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o
nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t
32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por
galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute
bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no
instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min
33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram
dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para
fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos
RESPOSTAS
1) tetI 355)(
2) tei 2510
3) tcei 500
5
3 e 5
3)(lim
ti
t
4) tceq 50
100
1 onde 100
1C e
tei 50
2
1
5) tceq 200
1000
1
tcei 200200
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
500
1C
coulombsq 00030)0050(
ampi 14720)0050(
1000
1q
6) 792 anos
7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604
8) N(30) = 760
9)
10)
11)
12) 1155
13) R$ 927143
14)
15) t = 11 horas
16) t = 13672 horas
17) 885 gramas
18) 15600 anos
19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min
20) t = 60 min
21) justificativa pessoal
22) rkpdt
dP rkp
dt
dP
23) 2
21PkPk
dt
dP
24) )1000( xkxdt
dx
25) 100
A
dt
dA
26) Aproximadamente 181
27) hc
dt
dh
450
28) 2kvmg
dt
dvm
29) 70ms
30) Aproximadamente 821 s
Aproximadamente 1457 s
31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50
32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100
00975 lbgal
33) 6438lb
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
AULA 16
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma
ByAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes
Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo
Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo
yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)
onde
p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema
r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea
r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea
A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)
isto eacute ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base
fundamental)
Exemplo
y + y = 0
Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)
Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica
)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente
Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e
y2(x) satildeo linearmente independentes
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)()()(12
xyxhxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1
AULA 16 - EXERCIacuteCIOS
1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo
a) 0y9xy5yx2 com 3
1 x)x(y
b) 0y3yx4 2 com 21
1 x)x(y
c) 0y4
1xxyyx 22
com xcosx)x(y 2
1
1
Respostas
a xlnx)x(y 32
b 2
x)x(y
23
2 c senxx)x(y 21
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
AULA 17
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Satildeo aquelas da forma 0yAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
onde A0 A1 A2An
satildeo constantes
Resoluccedilatildeo
Para n= 1 rarr 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
eey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC temos key xλ
Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b satildeo constantes
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta
xλey
xλeλy
xλ2eλy
Substituindo na EDO temos
0e)bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de
equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada
Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar
711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a soluccedilatildeo geral fica
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eCeCeCeCy
712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS
Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2
Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as
raiacutezes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante
Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente
Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλehλ2ehy
heλehy
ehy
)x(y)x(h)x(y
Substituindo na equaccedilatildeo dada
0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando
0)()2( 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P
Entatildeo
KCxh
Ch
h
0
Logo
xeKCxy
yhy
)(
2
12
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Soluccedilatildeo geral
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior
xλ1nn
2321 e)xCxCxCC(y
713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo
para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
Das foacutermulas de Euler temos
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 ndash C2) = C2
temos
senbxCbxcosCey 21ax
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Exemplos
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3
3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
AULA 17 - EXERCIacuteCIOS
1) 065 yyy
2) 01243 yyyy
3) 022 yyy com 1)0( y e 02
y
4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y
5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y
6) 09 2 yy
7) 069 yyy com 4)0( y e 3
13)0( y
8) 02 2 ykkyy
9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y
10) 0344 yyy com ey )2( 2
)2(e
y
11) 0127 yyy
12) 054 yyy
13) 075 yyy
14) 02 yyy
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 2
33
22
1
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ3
2xπ3
1 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe50e30y
10) x50ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32
x21
13)
2
3xsenC
2
3xcosCeCy 32
2
x5
1
14)
xexCCy )( 21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
AULA 18
72 EULER - CAUCHY
A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos
teabax
que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis
No caso da equaccedilatildeo ter a forma
02 byaxyyx
Faremos
y = xm
yrsquo = mxm-1
yrdquo = m(m-1)xm-2
Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que
(m2 + (a ndash 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma
equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes
Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Exemplos
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
0222 yxyyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
AULA 18 - EXERCIacuteCIOS
1) 0202 yyx
2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx
3) 04324610 2 yxyyx
4) 02 yxyyx
5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6
6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3
Respostas
1) 5
24
1 xCxC
2) 3
32
21
)x1(
C
)x1(
C
1x
Cy
3) 81
21 x)xlnCC(y
4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21
5) 25
x)xln2(
6) xlnx3 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 19
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS
10
00
)(
)(
)()()(
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea
A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e
x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I
Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos
i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes
ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange
iii Meacutetodo do operador derivada D
731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)
Padratildeo para soluccedilatildeo particular
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
)10n(kxn
011n
1nn
n CxCxCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs
1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2
o
coluna
2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Exemplo
0)0(
1)0(
2 2
y
y
xeyyy x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
99
AULA19 - EXERCIacuteCIOS
1) xsenyy 34
2) 325102 2 xyyy
3) xseneyyy x 53712352 5
4) 1265 2 xyyy
5) xyy 314
6) 1232 2 xxyy
7) xeyyy 3127
8) xeyyy 28107
9) xeyyy 2844
10) xeyy 434
11) xsenyyy 2334
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 2124
14) senxyy 4
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 61251 xxxyyy para
4)0( y e 8)0( y
17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e
0)0( y
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx4
2x3
1 e20
3eCeCy
8) x2x5
2x2
1 xe3
8eCeCy
9) x22x2
2x2
1 ex4xeCeCy
10) x4
21 e20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
AULA 20
732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos
yn + Pn-1(x)y
n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)
A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a
soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO
homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando
paracircmetros variaacuteveis
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)()(11 dx
xW
xrxWu
)(
)()(22 dx
xW
xrxWu n
n)(
)()(
Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)()(
11
2
1
1
2
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente
11
2
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
11
1
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
1
0
0
1
2
1
1
2
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y
n natildeo se
esqueccedila de dividir r(x) por f(x)
Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
Exemplo223 22 xyxyyxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
AULA 20 ndash EXERCIacuteCIOS
1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x
2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x
3cosx
3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x
-4
4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x
2 ndash 15x
3
5) x3yrdquorsquo- 3x
2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x
4lnx
6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x
9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx23
x22
x1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
AULA 21
733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA
7331 Definiccedilatildeo
Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado
as operaccedilotildees que devem ser efetuadas
Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a
dx
dD
2
22
dx
dD
3
33
dx
dD
7332 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x)
P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)
P3Dm
(Dn
u)=Dm+n
u (sendo m e n constantes positivas)
P4 O operador inverso
dxueeu
aD
axax 1
a
P5 O operador direto uaDuu)aD( audx
du a
7333 Equaccedilotildees Diferenciais
Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D
Exemplo
ay + by + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n
1nn
n ArArA
tambeacutem se fatora
Exemplo
0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
7334 Operador Anulador
Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo
suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo
O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees
1n2 xxx1 Entatildeo um
polinocircmio 1n
1n2
210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n
Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Soluccedilatildeo
O operador eacute 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees
xα1nxα2xαxα exexxee
Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Soluccedilatildeo
Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(
Vamos verificar
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees
xβsenexxβsenexxβsenxexβsene
xβcosexxβcosexxβcosxexβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x
Soluccedilatildeo
5D2D)]41(D)1(2D[
1n01n2β1α
212
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
Vamos verificar
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(DD
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen
Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que
0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7
Soluccedilatildeo
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22
Logo
0)x3sen6x7)(9D(D 22
7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA
entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma
βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo
nuacutemeros reais
Resumo do Meacutetodo
i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L
ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g
iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1
0)y(L
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na
soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos
termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L
v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das
funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os
coeficientes indeterminados em py
vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a
equaccedilatildeo diferencial dada
7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares
1) Resolver empregando operadores 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 21 - EXERCIacuteCIOS
Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada
1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8y3y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
AULA 22
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) xsenxedx
dy
dx
yd x 2234 2
3
3
2) xex
dx
dy
dx
yd
dx
yd 2
2
2
3
3
3265
3) 13 2
2
2
xesenxydx
yd
4) 1284 2
2
2
xxydx
yd
5) 222
2
3
3
xdx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 1234 3
2
2
4
4
xxdx
yd
dx
yd
7) xey
dx
dy
dx
yd 3232
2
8) xey
dx
yd 2
2
2
44
9) xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344
10) xey
dx
dy
dx
yd22
2
2
11) senxydx
dy
dx
yd223
2
2
12) xdx
dy
dx
ydcos34
2
2
13) xsenydx
yd2316
4
4
14) xydx
yd2cos54
2
2
15) 52 2
2
2
xedx
dy
dx
yd
16) xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44
17) xeydx
dy
dx
yd x 2cos8822
2
18)
2244 2
2
2 xey
dx
dy
dx
yd x
19)
20)
21)
senxy
dx
yd 12
2
22) xyxyyx 3222
23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2
22
3
33 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx
x
ey
dx
dy
dx
yd x
22
2
xy
dx
yd
cos
12
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
RESPOSTAS
1)
4
x2xsen
8
x
16
e3x2senCx2cosCCy
2x2
321
2)
2
3
18
5
6
223
3
2
21
xxx xe
xx
eCeCCy
3) 132
3 2
21 x
xx esenxeCeCy
4) 44
2 22
2
2
1 xxeCeCy xx
5)
4
5
4
22
321
xxeCeCCy xx
6)
848
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx
7)
2
2
21
xxx e
eCeCy
8) xxx xeeCeCy 22
2
2
1
9) xxx exxeCeCy 222
2
2
12
3
10) )( 2
21 xxCCey x
11) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21
12) )4(cos17
34
21 senxxeCCy x
13)
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx
14)
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx
15)
22
5 22
21
xx xex
eCCy
16) xe
xxCCy 2
3
216
17) )22cos3(5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy exxx
18)
8
1)( 22
21
xexxCCy x
19) xxexeexCCy xxx ln)( 21
20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21
21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21
22) xxxCxCy ln32
21
23)
36
11)1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21
xx
C
x
C
x
Cy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
111
AULA 23
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos
diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma
mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas
interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de
um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa
equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da
ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial
enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos
aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as
diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples
e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO
Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte
riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo
da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola
diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do
alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante
de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo
nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)
implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola
somente 25 peacute
Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma
distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila
restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms
2 ou 980
cms2
equiliacutebrio
Posiccedilatildeo
inicial
g
K(s+x)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
112
Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a
massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da
mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo
que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F
com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da
posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos
9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido
Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk 2
A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo
amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1
representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se
x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade
inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0
x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento
Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2
=0 satildeo
nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como
tsenCtCtx 21 cos)( (3)
O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute
21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute
32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou
equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo
Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos
sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente
agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida
pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo
correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos
referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
113
iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular
resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento
Exemplo
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de
um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3
4 peacutess para cima
Determine a equaccedilatildeo do movimento livre
Soluccedilatildeo
Convertendo as unidades
6 polegadas = frac12 peacute
8 polegadas = 23 peacute
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = Wg = 232 = 116 slug
Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute
Logo (1) resulta em
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal
negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade
inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima
Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a
equaccedilatildeo do movimento seraacute
tsenttx 816
18cos
3
2)(
912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito
pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em
movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma
forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente
9121 ED do Movimento Livre Amortecido
No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo
consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor
durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt
Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton
que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
114
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia
do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento
Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd (5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute
m2 + 2 m + 2 = 0
e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto
22
1 m e22
2 m
Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22
Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica
despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo
CASO I Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio
CASO II Amortecimento Criacutetico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem
evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer
decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
115
CASO III Subamortecido
022
Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de
vibraccedilatildeo 0 quando t
Exemplos
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
Soluccedilatildeo
Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos
daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
X(t)= C1 e ndash 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento criacutetico)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a
equaccedilatildeo do movimento eacute
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o
comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de
um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido
ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade
instantacircnea
Soluccedilatildeo
O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue
da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a
equaccedilatildeo diferencial eacute dada por
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
116
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo
a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentetx t 3
3
23cos2)(
913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO
9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento
Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola
Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do
suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo
diferencial do movimento forccediladoou induzido
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m obtemos
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima
equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de
variaccedilotildees de paracircmetro
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx21
dt
xd
5
1
2
2
com2
1)0(x
e 0)0(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
117
Soluccedilatildeo
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou
quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou
metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado
por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2
) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos
esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em
que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como
o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre
Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a
determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido
Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute
termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica
com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos
severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio
Exemplo
1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt
xd 0
2
2
2
x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma
constante e
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Soluccedilatildeo
A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo
particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222 )(cos)(
Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
Logo
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
118
Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
com ωγ
914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo
auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0
dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute
Superamortecido 042 C
LR
Criticamente amortecido 042 C
LR
Subamortecido 042 C
LR
Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L
e portanto
q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave
medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t
Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo
tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples
Exemplos
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)
R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0
Soluccedilatildeo
Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica
0400040
01000104
1
qqq
qqq
Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
119
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas
forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo
transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma
soluccedilatildeo estacionaacuteria
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA
Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais
defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo
y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal
uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o
proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta
chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de
simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais
seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o
formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a
deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da
elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute
relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo
)(2
2
xwdx
Md (13)
Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica
EIkxM )( (14)
onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I
eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o
eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
120
Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por
23
2)(1
y
yk
Quando a deflexatildeo y(x) for
pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23
2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se
tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute
4
4
2
2
2
2
dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx
2 em (15) vemos que a deflexatildeo
y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades
da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de
outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute
mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como
vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para
uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade
engastada x = 0
y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e
yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a
inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)
Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo
yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e
yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero
A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)
Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno
Engastada 0y0y
Livre 0y0y
Simplesmente apoiada 0y0y
9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno
Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
121
Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y
implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de
contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y
Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos
daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que
0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0
Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -
gt0
Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21
Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2
Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima
condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de
nL ou2
22
L
n n = 1 2 3
Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para
cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em
outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9
4
2
2
2
2
2
2
LLL
a funccedilatildeo correspondente na
sequumlecircncia 3
2
xL
senxL
senxL
sen
eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original
9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina
No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema
de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial
compressiva
Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento
L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for
aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer
ponto ao longo da coluna obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
122
onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em
torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide
Exemplo
Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita
a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades
Soluccedilatildeo
O problema de contorno a ser resolvido eacute
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema
Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo
haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos
matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais
Escrevendo EIP vemos que
0)(
0)0(
0
Ly
y
yy
eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos
que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores
321 222 nLnEIPnn
Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a
forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas
cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22
1 LEIP chamada
de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo
As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura
abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a
menor carga criacutetica seraacute 22
2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a
restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a
carga critica 22
3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
123
9213 Corda Girando
A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem
0 yy (18)
ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e
0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e
um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o
modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como
um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando
A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar
sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo
Suponha que uma corda de comprimento L e
densidade linear constante (massa por unidade de
comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada
em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo
girada em torno do eixo x a uma velocidade angular
constante Considere uma parte da corda sobre o
intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a
magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for
constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada
pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees
diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na
figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute
12 TsenTsenF (19)
Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e
11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os
vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
124
)(2 xxytg e )(1 xytg
Assim sendo (19) vai se tornar
)()( xyxxyTF (20)
Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a
segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo
centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra
Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem
aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y
Igualando-se (21) e (20) temos
2)()()( yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)()(
Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x
xyxxy
)()(em (22) eacute
aproximado pela derivada segunda de d2ydx
2 Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo
y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
125
AULA 23 - EXERCICIOS
Movimento Livre natildeo amortecido
1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do
movimento harmocircnico simples
2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4
polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso
de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um
ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de
peacutes Determine a
equaccedilatildeo do movimento livre
4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6
polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32
9
4
6
8
12
b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do
movimento do peso nesse instante
c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio
Movimento Livre Amortecido
5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute
entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente
igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento
considerando que
a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms
para cima
6) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma
dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a
velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal
forma que o movimento subsequumlente seja
a) superamortecido
b) criticamente amortecido
c) subamortecido
Movimento Forccedilado
8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2
peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que
oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute
a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos
3t
9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32
Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a
f(t)=68e-2t
cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de
amortecimento
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
126
10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute
colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de
1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento
subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N
11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado
em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e
aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do
ar determine o movimento subsequente do peso
12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em
equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema
Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8
vezes a velocidade instantacircnea
Circuito em Seacuterie Anaacutelogo
13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2
C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o
capacitor eacute igual a zero
14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no
capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A
15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C
= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo
periacuteodo
16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e
uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor
mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada
inicialmente determine a carga subsequente no capacitor
17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de
farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a
expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga
iniciadas no capacitor satildeo zero
Respostas
1) 8
π2
2) t64cos4
1)t(x
3)
4) a)4
1
12
πx
2
1
8
πx
4
1
6
πx
2
1
4
πx
4
2
32
π9x
b)4 peacutess para baixo
c)16
π)1n2(t
n= 0 1 2
5) a)t8t2 e
3
1e
3
4)t(x
b)t8t2 e
3
5e
3
2)t(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
127
6)
7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52
8) t3sent3cos3
10t
2
47sen
473
64t
2
47cos
3
4e)t(x 2
t
9) tsenetetsenttx tt 424cos2
14
4
94cos
2
1)( 22
10) )sin13cos99099(500
1 27 tteex xx
11) ttttx 4cos4
14sin
16
14cos50
12) (
)
13) 41078C 00509s
14) q(t)=10+10e-3t
(cos3t+sen3t)
i(t) = 60e-3t
sen3t 10432 C
15) C2
3
2
3)t10sent10(cose
2
1)t(q t10
16)
17) radic radic
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
128
AULA 24
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL
Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as
mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees
Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas
de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico
desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem
O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas
primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem
A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem
p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de
funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral
Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema
normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo
as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por
razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de
segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees
a um sistema normal
Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees
algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em
funccedilatildeo do operador derivado D
Exemplos
1)
senxxzdx
dy
senxxdx
dzy
cos
cos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
129
2)
xzydx
dz
dx
yd
xdx
dz
dx
yd
22
3
2
2
2
2
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
130
AULA 24 - EXERCIacuteCIOS
1)
02
02
zdx
dz
dx
dy
zydx
dz
dx
dy
2)
x
x
ezydx
dz
dx
dy
ezydx
dz
dx
dy
2
5
32
4
3)
2
2
2
2
2
2
2
xzdx
zd
dx
dy
eydx
dz
dx
yd x
4)
03
42
zydx
dy
ezydx
dz
dx
dy x
5)
xzDyD
senxzDyD
cos)1()1(2
2)2(2)3(
Respostas
1)
x
x
eCeCy
eCeCz
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
ou
x
x
eCeCz
eCeCy
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
2)
xxx
xxx
eeeCy
eeeCz
252
5
1
252
5
1
25
2
5
3
3)
xexCsenxCeCeCy
xesenxCxCeCeCz
xxx
xxx
22
3cos2222
2
3
2
1
2
1cos
43
2
2
2
1
2
43
2
2
2
1
4)
x
x
esenxCCxCCz
esenxCxCy
2)3(cos)3(
2cos
2121
21
5)
senxxeCeCz
xsenxeCeCy
x
x
x
x
130
61cos
130
33
3
4
)cos8(65
1
5
23
1
5
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
131
AULA 25
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA
Dado o sistema
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
este pode ser escrito na seguinte forma
n
n
F
dy
F
dy
F
dydx
1 2
2
1
1
Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por
variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema
)(
)(
2
1
zyxFdx
dz
zyxFdx
dy
(1)
que pode ser escrito da seguinte maneira
321 F
dz
F
dydx
ou generalizando
)()()( zyxR
dz
zyxP
dy
zyxM
dx (2)
Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de
dois paracircmetros
Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute
Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-
se
nRmPlM
ndzmdyldx
R
dz
P
dy
M
dx
Escolhe-se l m e n tais que
lM + mP + nR = 0
o que faz com que
ldx + mdy + ndz = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
132
Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees
do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a
soluccedilatildeo do sistema
Exemplos
1)x
dz
x
dy
y
dx
2)zx
dz
yx
dy
zy
dx
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
133
3))()()( 222222 xyz
dz
zxy
dy
yzx
dx
OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio
adotado chega-se aquelas convenientes
AULA 25 - EXERCICIOS
1) cybx
dz
axcz
dy
bzay
dx
2) )()2()2( 444444 yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
3) yx2
dz
x3z
dy
z2y3
dx
4) z
dz
x
dy
y
dx
5) yx
dz
x
dydx
221
Respostas
1) x2 + y
2 + z
2 = C1
cx + by + az = C2
2) x4 + y
4 +z
4 = C1
xyz2 = C2
3) x2 + y
2 + z
2= C1
x + 2y + 3z = C2
4) x2 ndash y
2 = C1
zC2 = y + x
5) y = x2 + C1
z = 3
2x
3 + xy ndash x
3 + C2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
134
AULA 26
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA
ORDEM
Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
nnnm22n11nn
2nm22221212
1nm12121111
que pode ser escrito como
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
x
x
x
dt
d
nm2n1n
m22221
m11211
n
2
1
ou ainda
)t(FX)t(Adt
dX
que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas
homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tλeξX
temos
tλeξλX
substituindo no sistema obteacutem-se
0eξ)λA(
eξAeξλ
tλ
tλtλ
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
135
como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Exemplo 1
Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo
t10y3x4dt
dy
t2ey5x2dt
dx t
pode ser escrito como
t10
t2eX
34
52
dt
dX t
ou
t10
2e
0
1X
34
52X t
onde
y
xX
1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO
Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna
)t(x
)t(x
)t(x
X
n
2
1
cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema
)t(FX)t(Adt
dX
no intervalo
Exemplo 2
Verifique que
t2
t2t2
1e
ee
1
1X e
t6
t6t6
2e5
e3e
5
3X satildeo soluccedilotildees de
X35
31X
no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
136
Temos
t2
t21
e2
e2X
e
1t2
t2
t2t2
t2t2
t2
t2
1 Xe2
e2
e3e5
e3e
e
e
35
31AX
Agora
t5
t612
e30
e18X
e
12t6
t6
t6t6
t6t6
t6
t6
2 Xe30
e18
e15e15
e15e3
e5
e3
35
31AX
Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira
ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n
1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS
Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e
)t(x
)t(x
)t(x
)t(X
0n
02
01
0
e
n
2
1
0
γ
γ
γ
X
onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema
00 X)X(tasujeito
)t(FX)t(Adt
dXResolver
eacute um problema de valor inicial no intervalo
10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo
Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em
um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema
de valor inicialno intervalo
1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS
Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem
mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo
comum I
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
137
10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX
em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear
kk2211 XcXcXcX
onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo
Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer
vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem
eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Exemplo 3
Uma soluccedilatildeo do sistema X
102
011
101
X
eacute
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X1
Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois
tcoscsentc
tcosc2
1sentc
2
1
sentc
dt
dX
11
11
1
e
tcoscsentc
sentc2
1tcosc
2
1
sentc
sentctcosc
sentc2
1tcosc
2
1
tcosc
102
011
101
AX
11
11
1
11
11
1
As matrizes resultantes mostram que XAX
Exemplo 4
Consideremos o sistema X
102
011
101
X
Se
0
e
0
X t2 entatildeo
0
e
0
X t2 e
2tt
2 X
0
e
0
0
e
0
102
011
101
AX
Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da
superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
138
0
e
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcX t212211
eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema
1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no
intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que
0XcXcXc kk2211
para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo
dizemos que eacute linearmente independente
O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo
constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute
linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo
linear dos vetores restantes
10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes
Sejam
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo
necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o
wronskiano
0
xxx
xxx
xxx
)XXX(W
nn2n1n
n22221
n11211
n21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
139
Exemplo 5
No exemplo 2 vimos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees do sistema
X35
31X
Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez
que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos
0e8e5e
e3e)XX(W t4
t6t2
t6t2
21
para todo t real
Exemplo 6
Pelo exemplo 5 sabemos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees
linearmente independentes de X35
31X
em )( Logo X1 e X2constituem um
conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
entatildeo
t6
2t2
12211c e5
3ce
1
1cXcXcX
1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO
Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes
do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto
fundamental de soluccedilotildees no intervalo
10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos
Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como
nn2211 XcXcXcX
onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
140
Exemplo 7
Os vetores
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
Xe
0
1
0
X
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X 3t
21 satildeo
do sistema X
102
011
101
X
no exemplo 3 Agora
0etcossentsenttcos
senttcose
tcossent0senttcos
tcos2
1sent
2
1esent
2
1tcos
2
1sent0tcos
)XXX(W ttt321
para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de
soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
ce
0
1
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcXcX 3t
21332211
1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute
qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o
sistema )t(FX)t(Adt
dX
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo
homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc
10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos
Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX em um
intervalo I e denotemos por
nn2211c XcXcXcX
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
141
a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX correspondente
Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como
pc XXX
A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX eacute chamada funccedilatildeo
complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX
Exemplo 8
Verifique que o vetor
6t5
4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-
homogecircneo
3
11t12X
35
31X no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Temos
5
3X
p e
3
11t12
6t5
4t3
35
31
3
11t12X
35
31p
pX
5
3
3
11t12
2
14t12
3
11t12
)6t5(3)4t3(5
)6t5(3)4t3(
Exemplo 9
Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
3
11t12X
35
31X em )( eacute
6t5
4t3X p
No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a
soluccedilatildeo geral de X35
31X
eacute
t62
t21c e
5
3ce
1
1cX
Logo pela definiccedilatildeo dada
65
43
5
3
1
1 62
21
t
tececXXX tt
pc eacute
soluccedilatildeo geral de
3
11t12X
35
31X em )(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
142
Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo
)t(FX)t(Adt
dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas
c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral
1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL
Seja
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um
intervalo I
A matriz
nn2n1n
n22221
n11211
xxx
xxx
xxx
)t(
eacute chamada de matriz fundamental do
sistema no intervalo
Exemplo 10
Jaacute mostramos que os vetores
t
t
t
e
eeX
2
2
2
11
1 e
t
t
t
e
eeX
6
6
6
25
3
5
3constituem
um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX
35
31 em )(
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)(
eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo
Exemplo 12
A soluccedilatildeo geral tt
c ececXcXcX 62
212211
5
3
1
1
dada no exemplo 6
pode ser escrita como
2
1
t6t2
t6t2
c
c
e5e
e3eX
Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que
C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((
Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possiacutevel de constantes C devemos ter
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
143
)t()t(A)t(
0)t()t(A)t(
10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular
A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que
0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo
Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do
sistema homogecircneo XtAdt
dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de
t no intervalo
Exemplo 13
Para a matriz fundamental dada
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)( no exemplo 10 notamos que
tet 48)(det Decorre entatildeo de
1121
1222
1112
21221
det
1
det
1
aa
aa
aa
aa
AA
T
que
tt
tt
tt
tt
t
ee
ee
ee
ee
et
66
22
22
66
4
1
8
1
8
18
3
8
535
8
1)(
10372 Matriz Especial
Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz
em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees
1
0
0
0
1
0
0
0
1
00201
tVtVtV n
Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do
sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que
t apresenta a propriedade
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
144
1000
0100
0010
0001
00
t
onde eacute a identidade multiplicativa n x n
Exemplo 14
Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX
35
31
Soluccedilatildeo
Por tt ececXcXcX 6
22
122115
3
1
1
sabemos que a soluccedilatildeo geral do
sistema acima eacute dada por tt ececX 6
22
15
3
1
1
Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que
0
1
5
3
1
121 cc ou
05
13
21
21
cc
cc
Obtemos 8
51 c e
81
2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear
tt eeV 621
5
3
8
1
1
1
8
5
Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais
1
0
5
3
1
121 cc ou
15
03
21
21
cc
cc
Neste caso obtemos 8
31 c e
81
2 c Definimos entatildeo
tt eeV 622
5
3
8
1
1
1
8
3
Dai
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
145
tttt
tttt
eeee
eeeet
6262
6262
8
5
8
3
8
5
8
58
3
8
3
8
3
8
5
)(
Observe que
10
01)0(
Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das
soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma
soluccedilatildeo do sistema
10373 t eacute uma Matriz Fundamental
Por
1000
0100
0010
0001
00
t
vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente
Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo
considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da
Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t
Por 0
1 ttt
AULA 26 - Exerciacutecios
Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado
1)
y8x4dt
dy
y5x3dt
dx
2)
z3y4x10dt
dz
yx6dt
dy
z9y4x3dt
dx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
146
3)
2ttzyxdt
dz
t3zyx2dt
dy
1tzyxdt
dx
2
2
Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes
4) te
1
1X
31
24X
5) t
1
1
3
e
2
2
1
z
y
x
652
143
211
z
y
x
dt
d t
Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado
6)
y7x4dt
dy
y4x3dt
dx
t5e
2
1X
7) 2t3
e2
1XX
114
11
X
8)
13
6
1
121
016
121
XXdt
dX
Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX
Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(
9) t6
2t2
1 e1
1Xe
1
1X
10)
4
4
2
t
12
6
3
X
4
2
1
X
2
2
1
t
4
2
1
X 321
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
147
Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema
dado
11)
18423
724
tyxdt
dy
tyxdt
dx
1
5
1
2tX
p
12) tt
p
t teeXeXX
1
1
1
1
7
1
43
12
13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX
011
101
060
` no intervalo )( eacute
t33
t22
t1 e
1
1
2
ce
1
1
3
ce
5
1
6
cX
Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental
de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule
t1
14) t7
2t2
1 e3
1Xe
2
1XX
56
14X
15) tt
2t
1 e1
0te
3
1Xe
3
1XX
29
14X
16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
14
17) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
15
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
148
Respostas
1) 84
53 XX
onde
y
xX
2)
3410
016
943
XX
onde
z
y
x
X
3)
2
0
1
03
0
111
112
111
2
2
t
t
t
tXX onde
z
y
x
X
4)
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
3
24
5)
tezyxdt
dz
tezyxdt
dy
tezyxdt
dx
t
t
t
2652
243
32
6) Eacute soluccedilatildeo
7) Eacute soluccedilatildeo
8) Eacute soluccedilatildeo
9) Sim
10) Natildeo
11) Eacute soluccedilatildeo
12) Eacute soluccedilatildeo
13) Demonstraccedilatildeo pessoal
14)
tt
tt
t
tt
tt
ee
ee
et
ee
eet
22
77
9
1
72
72
2
3
5
1)(
32
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
149
15)
tt
ttt
t
ttt
tt
ee
teete
et
eee
teet
3
31
33
2
1
16)
tttt
tttt
eeee
eeeet
7272
7272
5
3
5
2
5
6
5
65
1
5
1
5
2
5
3
17)
ttt
tt
etete
tetet
39
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
150
AULA 27
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS
Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tekX
temos
tekX
substituindo no sistema obteacutem-se
0)(
t
tt
ekA
ekAek
como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Existem trecircs casos a serem tratados
1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do
sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do
sistema no intervalo )( eacute dada por
t
nn
t
b
t
anekcekcekcX
21
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
151
Exemplo Resolva o Sistema
yxy
yxx
2
32
Soluccedilatildeo
Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes
012
32
0)det(
IA
41
043
0622
0)1)(2(
21
2
2
e
Para 11 temos
0
0
22
33
0
0
)1(12
3)1(2
0)(
b
a
b
a
K
K
K
K
KIA
1
1
1
022
033
1K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Para 42 temos
0
0
2
32
0
0
412
342
b
a
b
a
K
K
K
K
2
3
2
2
3
032
032
2K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t
ii eKx temos
tt eXeX 4
212
3
1
1
Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute
tt
tt
tt
eCeCy
eCeCx
eCeCy
x
XCXCX
4
21
4
21
4
21
2211
2
3
2
3
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
152
1042 AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1
o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo
t
ekX 1
11
e t
ekX 1
12
Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde
tetktkX sinImcosRe111
atetktkX sinRecosIm112
Exemplo
Resolva o sistema
yxdt
dy
yxdt
dx
45
6
Soluccedilatildeo
045
16
0)det(
IA
2
525
2
410
2
11610010
02910
054624
05)4)(6(
2
2
i
i
Para i25 temos
ab
ba
b
a
b
a
KiK
KKi
K
K
i
i
K
K
i
i
KIA
)21(
0)21(
0
0
)21(5
121
0
0
)25(45
1)25(6
0)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
153
iKi
K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a
2
0
1
1
21
1
1
11
tt
tt
tt
tt
t
t
etsentCetsentCy
etsenCetCx
etsent
tsenCe
tsent
tCX
etsentCetsentCX
XCXCX
etsentX
etsentX
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
2221
5
2
5
1
)22cos2()222(cos
)2()2cos(
22cos2
2
222cos
2cos
21
12cos
2
02
2
02cos
1
1
21
12cos
2
0
22
02cos
1
1
1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS
Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se
verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer
deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira
t
ekX 1
11
tt
ektekX 21
212
onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees
para o sistema
t
m
tm
tm
mmeke
m
tke
m
tkX
21
)2()1(
2
2
1
1
onde k2 k3 hellip km devem ser determinados
Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt
PeKteX 11
2
()
Onde
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
154
nk
k
k
K2
1
e
np
p
p
P
2
1
Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se
0)()( 11
11 tt
eKPAPteKAK
Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter
KPIA
KIA
)(
0)(
1
1
Exemplos
1) Resolva o sistema
zyxz
zyxy
zyxx
22
22
22
0
122
212
221
51
Re
0593
0593
012121733
0)1(1216133
0)1(4)1(4)1(488)1(
321
23
23
23
23
3
e
temosRufiniBriottporsolvendo
Para 11 temos
21
0|222
0|222
0|222 1
L
31
21
)2(
2
0|222
0|222
0|111
LL
LL
0|000
0|000
0|111
cba
cba
KKK
KKK
0 fazendo bK = 1 e 0cK temos
0
1
1
1K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
155
Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor
1
1
0
2K
Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees
LI correspondentes ao mesmo autovalor
teX
0
1
1
1 e teX
1
1
0
2
Para 53 temos
31
21
21
)2
1(
0|422
0|242
0|224
LL
LL
32
12
)1(3
2
0|330
0|330
0|224
LL
LL
)1(
)4(
0|000
0|330
0|404
2
1
L
L
0
0
cb
ca
KK
KK
cb
ca
KK
KK
fazendo cK = 1 temos
1
1
1
3K
ttt eCeCeCX 5
321
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2) Resolva o sistema
yxy
yxx
92
183
092
183
3
Re
096
0369327
036)9)(3(
21
2
2
temosequaccedilatildeoasolvendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
156
Para 321 temos
ba
ba
ba
b
aKK
KK
KK
K
K3
062
0186
0
0
62
186
fazendo 1bK temos
1
31K
Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3
1 1
3
2
1
1
3
p
pPK
IPSLL
L
L
p
p
KPIA
KPIA
0002
131
2131
2131
2
6
162
3186
1
3
62
186
3
21
2
1
2
1
1
21
21
32
1
2
13
pp
pp
fazendo
02
10
2
121 Ppp
ttt
tt
eetCeCX
eetX
33
2
3
1
33
2
02
1
1
3
1
3
02
1
1
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
157
AULA 27 ndash Exerciacutecios
1) Resolva
z3ydt
dz
zy5xdt
dy
zyx4dt
dx
2) Resolver X21
82acuteX
3) Resolver X1
2
121
acuteX
4) Resolva o sistema
yxy
yxx
3
4
5)
yxdt
dy
yxdt
dx
34
2
6)
yxdt
dy
yxdt
dx
22
5
24
7)
yxdt
dy
yxdt
dx
25
6
8)
yxdt
dy
yxdt
dx
32
5
9)
yxdt
dy
yxdt
dx
39
3
10)
yxdt
dy
yxdt
dx
53
3
Respostas
1) t53
t42
t31 e
1
8
1
ce
1
1
10
ce
1
0
1
cX
2)
t2sen
t2sen2t2cos2c
t2cos
t2sen2t2cos2cX 21
3) t
2t
1 etcos
sent2ce
sent
tcos2cX
4)
ttt etececX
1
1
1
2
1
221
5) tt ececX
1
1
2
12
5
1
6) tt ececX
5
2
1
22
3
1
7) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin2
sin
sincos2
cos
8) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin
sin
sincos
cos
9)
414
1
3
1
3
121 tccX
10)
ttt etececX 22
2
2
10
31
1
1
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
158
AULA 28
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS
O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um
sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt
dX Da mesma forma resolve-se o sistema
homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo
determinados os coeficientes desconhecidos
Exemplos
1) Resolva o sistema
41034
66
tyxy
tyxx
Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
XAX
34
16
Encontrar os autovalores
034
16
0)det(
IA
72
0149
043618
0)3)(6(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 71 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
44
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
4
1
04
0
0
14
14
fazendo 4bK temos
4
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
tt
tt
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
2
7
1
2211
2211
4
1
1
1
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
159
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
t
ttf
p
p
410
6)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
cdbtca
adbtca
t
t
t
t
dctbat
dctbat
c
a
t
t
dct
bat
b
a
34)34(
6)6(
104
6
410
6
3344
66
410
6
34
16
7
107
242
7
4
62814
234
6318
6434
26
434
06
6
1262
662814
1034
18318
1034
66
d
db
bdb
db
db
db
db
cdb
adb
c
ca
aca
ca
ca
ca
ca
Logo
7
106
7
42
t
tX p
Soluccedilatildeo Geral
7
106
7
42
4
1
2
12
2
7
1
2221
t
teCeCX
XXCXCX
tt
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
160
2) Resolva o sistema
5
3
yxy
yxx
XX
11
11
Encontrar os autovalores
011
11
0)det(
IA
20
0)2(
0121
01)1(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 01 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
t
tt
tt
eCCX
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
21
2
2
0
1
2211
2211
1
1
1
1
1
1
1
1
21
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
tf
p
p
5
3)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
161
5
3
)(
)(
5
3
11
11
dbtca
dbtca
c
a
dct
bat
b
a
ca
ca
0 fazendo 11 ca
4
1
3
db
adb
adb
4
51
5
db
db
cdb
Fazendo 04 db
t
tX p
4
Logo
t
teCCX t 4
1
1
1
1 221
Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica
1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a
funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais
poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que
pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo
A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma
CtX )(
onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes
Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que
)()( tUtX p
seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema
)()( tFXtAdt
dX
entatildeo
)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
162
sabemos que )()( tAt logo
)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt
)()()( tFtUt
)()()()()( 11 tFttUtt
)()()( 1 tFttU
dttFttU )()()( 1
entatildeo
dttFttX p )()()( 1
eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
Exemplo
Resolva o sistema
teyxy
tyxx
42
33
Vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
42
13
Encontrar os autovalores
043
13
0)det(
IA
25
0107
024312
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 51 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
2
1
02
0
0
12
12
fazendo 2bK temos
2
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
22
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
2
1
25
25
2
2
5
1
2211
2211
21
1
2
1
21
C
C
ee
eeeCeCX
eKCeKCX
XCXCX
lfundamentamatriz
tt
tt
tt
tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
163
Precisamos encontrar )(1 t
tt
tt
ee
ee25
25
2
212
10
01 LL
t
tt
e
ee2
25
30
12
312
01
LL
t
t
e
e2
5
30
0
2
2
1
5
2
112
31
31
Le
Le
t
t
10
01
tt
tt
ee
ee
22
55
3
1
3
23
1
3
1
Logo
tt
tt
ee
ee
22
55
1
3
1
3
23
1
3
1
tt
tt
tt
tt
ete
ete
e
t
ee
eetft
2
45
2
55
1
6
3
3
13
23
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
eete
eetedt
ete
etedttft
22
455
2
45
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
6
3
3
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
p
eete
eete
ee
eedttfttX
22
455
25
25
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
2)()()(
t
t
p
t
t
p
tt
tt
p
et
etX
et
etX
eetet
etetX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
2
3
50
63
5
24
3
50
81
5
18
3
1
2
3
2
1
25
6
5
62
33
4
1
25
3
5
3
3
1
Soluccedilatildeo
t
t
tt
et
eteCeCX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
1
1
2
12
2
5
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
164
AULA 28 ndash Exerciacutecios
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros
1)
122
433
yxdt
dy
yxdt
dx
2)
2
2
4
3
53
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes
indeterminados
3)
52
732
yxdt
dy
yxdt
dx
4)
53
23 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
Respostas
1)
10
15
11
11
2
3
1
121 teccX t
2) 2223
22
1
49
215
413
213
3
10
1
2 tttt
eteececX
3)
3
1
1
3
1
121
tt ececX
4)
43
2
414
1
43
41
1
1
1
1 242
21 ttececX tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
165
AULA 29
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA
1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy
xCey 2
2
02
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia
44
0
33
2210 xCxCxCxCCxCy
n
nn
1
1
34
2321
432
n
nnxnCy
xCxCxCCy
Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy
021
1
n
nn
n
nn xnCxnC
Trocando
1
1
01
1
Nn
Nn
n
n
II
NN
NN
I
n
nn xCNxnC
011
)1(
1
1 )1( Temos que verificar se I = II
0
2321)1(
2321
1
1
32)1(
32
N
NN
n
nn
xCxCCxCNII
xCxCCxnCI
Satildeo iguais
Voltando
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
166
0)1(
2
02)1(
02)1(
02)1(
1
1
0
1
01
1
nn
CC
CCn
xCCn
xCxCn
nn
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
Para
234
)2(
234
)2(2
4
23
23
)2(
23
)2(2
3
22
2
)2(
2
)2(2
2
21
21
20
04
03
34
03
02
23
02
012
00
1
CCCCn
CCCCn
CCCCn
CC
Cn
Foacutermula da recorrecircncia
1
)2( 0
nn
CC
n
n
Entatildeo
0
44
33
2210
n
nn xCxCxCxCCxCy C
0
0
1
0
443322
0
30
320
20
0
)2(
)2(1
4
2
3
2
2
2
1
21
3
)2(
2
)2(
1
2
n
nn
n
nn
n
xC
n
xC
xxxxC
xCxCxCC
Como
3
)2(
2
)2(21
321
322
32
xxxe
xxxe
x
x
Logo
xeCy 2
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
167
2) Resolver a equaccedilatildeo 02
2
ydx
yd
i
1
01
2
2
senxCxCy 21 cos
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia
2
2
1
1
0
)1(
n
nn
n
nn
n
nn
xCnny
xnCy
xCy
2
2
2
Nn
Nn
n
24
132
0
)2(
22
)2(
2
2
34232
)1)(2()1)(2()1(
xCxCC
xCNNxCNNxCnnyN
NN
N
NN
n
nn
Que fica igual a
24
132
2
2 34232)1( xCxCCxCnnyn
nn
Logo substituindo
2
2)1(n
nnxCnny na equaccedilatildeo temos
0)1)(2(02
)2(
n
nn
n
nn xCxCnn
0)1)(2(2
)2(
n
n
nn xCCnn
0)1)(2( )2( nn CCnn
0)1)(2(
)2(
n
nn
CC n
n
para 12
0 02
CCn
para 23
1 13
CCn
para 412
)(
34
1
342 002
4
CCCCn
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
168
para 523
)(
45
1
453 113
5
CCCCn
para 6456
1
564 004
6
CCCCn
para 7567
1
675 115
7
CCCCn
765432
17
06
15
04
13
02
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Foacutermula da Recorrecircncia
1)12(
)1(1
)2(
)1( 1)12(
02
k
k
CCk
k
CC
k
k
k
k
Voltando
0n
nnxCy
5
53
314
42
20 xCxCxCxCxCCy
senxCxCy
k
xC
k
xCy
xxxxC
xxxCy
n
kk
n
kk
n
10
0
12
1
0
2
0
753
1
642
0
0
cos
)12(
)1(
)2(
)1(
7536421
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
169
REFEREcircNCIAS
ABUNAHMANSERGIO A Equaccedilotildees Diferenciais LTC 1994
BOYCE WE DIPRIMA RC Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores
de contorno LTC 1989
BRONSON R COSTA G Equaccedilotildees Diferenciais 3a ed Coleccedilatildeo Schaum 2008
KREYSZIG Erwin Advanced Engineering MathematicsLTC 1999
ZILL DG Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em ModelagemThomson Learning 2003
ZILL DG GULLEN MREquaccedilotildees Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
2
Conteuacutedo
AULA 1 6
AULA 2 8
11 INTRODUCcedilAtildeO 8
12 DEFINICcedilAtildeO 9
13 CLASSIFICACcedilAtildeO 9
131 Tipo 9
132 Ordem 9
133 Grau 9
134 Linearidade 10
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 10
AULA 3 12
2 RESOLUCcedilAtildeO 13
21 CURVAS INTEGRAIS 13
22 SOLUCcedilAtildeO 13
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) 14
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO 15
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS 16
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 18
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS 18
311 Resoluccedilatildeo 18
AULA 4 22
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 22
321 Funccedilatildeo Homogecircnea 22
322 Equaccedilatildeo Homogecircnas 22 3221 Resoluccedilatildeo 23
AULA 5 26
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS 26
331 O determinante 22
11
ba
ba eacute diferente de zero 26
332 O determinante 22
11
ba
ba eacute igual a zero 28
AULA 6 31
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS 31
AULA 7 34
341 Fator Integrante 34
AULA 8 37
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
3
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES 37
351 Fator Integrante 37
352 Substituiccedilatildeo ou de Lagrange 39
AULA 9 42
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A LINEARES 42
361 Equaccedilotildees de Bernoulli 42
AULA 10 45
362 Equaccedilatildeo de Ricatti 45
AULA 11 48
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 48
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES 48
411 Definiccedilotildees 48
412 Equaccedilatildeo da Envoltoacuteria 49
413 Soluccedilotildees Singulares 50
AULA 12 52
414 Equaccedilatildeo de Clairaut 52
AULA 13 54
415 Equaccedilatildeo de Lagrange 54
416 Outros tipos de equaccedilatildeo de 1a Ordem e grau diferente de um 56
AULA 14 58
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS 58
AULA 15 60
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMAacuteTICOS 60
61 MODELO MATEMAacuteTICO 60
62 DINAcircMICA POPULACIONAL 61
63 MEIA VIDA 63
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO 65
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO 65
66 RESFRIAMENTO 66
67 MISTURAS 68
68 DRENANDO UM TANQUE 70
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA 72
610 CORPOS EM QUEDA 74
6101 Corpos em queda e a resistecircncia do ar 76
611 CORRENTE DESLIZANTE 78
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE 80
AULA 16 87
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR 87
AULA 17 89
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES 89
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
4
711 Caso 1 Raiacutezes Reais Distintas 90
712 Caso 2 Raiacutezes Muacuteltiplas 90
713 Caso 3 Raiacutezes complexas distintas 91
AULA 18 94
72 EULER - CAUCHY 94
AULA 19 97
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS 97
731 Soluccedilatildeo por coeficientes a determinar (Descartes) 97
AULA 20 100
732 Soluccedilatildeo por variaccedilatildeo de paracircmetros 100
AULA 21 103
733 Meacutetodo do Operador Derivada 103 7331 Definiccedilatildeo 103 7332 Propriedades 103 7333 Equaccedilotildees Diferenciais 103 7334 Operador Anulador 104 7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores 105 7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares 106
AULA 22 109
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS 109
AULA 23 111
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 111
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 111
911 Sistema Massa-Mola Movimento Livre natildeo amortecido 111 9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido 112 9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento112
912 Sistema Massa-Mola Movimento Livre Amortecido 113 9121 ED do Movimento Livre Amortecido 113
913 Sistema Massa Mola Movimento Forccedilado 116 9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento 116 9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido 117
914 Circuito em Seacuterie Anaacutelogo - Circuitos eleacutetricos RLC em seacuterie 118
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 119
921 Deflexatildeo de uma viga 119 9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno 120 9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina 121 9213 Corda Girando 123
AULA 24 128
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 128
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL 128
AULA 25 131
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA 131
AULA 26 134
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 134
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
5
1031 Vetor soluccedilatildeo 135
1032 O Problema de Valores Iniciais 136 10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo 136
1033 Sistemas homogecircneos 136 10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo 137
1034 Independecircncia Linear 138 10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes 138
1035 Conjunto fundamental de soluccedilatildeo 139 10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos 139
1036 Sistemas natildeo homogecircneos 140 10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos 140
1037 Uma Matriz Fundamental 142 10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular 143 10372 Matriz Especial 143
10373 t eacute uma Matriz Fundamental 145
AULA 27 150
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS 150
1041 Autovalores reais e distintos 150
1042 Autovalores complexos 152
1043 Autovalores de Multiplicidade dois 153
AULA 28 158
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS 158
1051 Coeficientes Indeterminados 158
1052 Variaccedilatildeo de Paracircmetros 161
AULA 29 165
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA 165
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
6
AULA 1
REVISAtildeO DE INTEGRAIS
Resolva as seguintes integrais
1) dxx )13( R Cxx
2
3 2
2) dxx
x
4= R Cxx 48
3
2
3)
dxx
x2
2 )1( R C
xx
1
4)
21 x
dx R Carcsenx
5)
dxx
x21
R Cx 21ln2
1
6) )1( 2xx
dx R C
x
x
1ln
2
12
2
7)
21 x
dx R Cx arctan
8) 42x
dx R C
x
x
2
2ln
4
1
9) x
dx
3 R C
x
3
1ln
10)
dxx
x3
21 R Cx
x ln
2
12
11)
dxx
x3
2 )1( R Cx
x ln
2
12
12) dxx
x
tan
sec2
R Cx tanln
13)
dx
ax
ax22
22
R Cax
axax
ln
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
7
14)
dx
ax
ax22
22
R Ca
xax arctan2
15) dxxe x3 R Cxe x 13
9
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R Cx 231ln 2
20)
dx
x
x
35
13 R Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R Cxx 10ln212
23) dxxe x )2(1
ln
R Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan R Cex x arctan1arctan
25) xdxe x sincosln R C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 32
R Cex x 2
)1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22
R Cxxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
8
AULA 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
11 INTRODUCcedilAtildeO
Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy
de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra
apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua
derivada eacute 23
3
xedx
dy x Se fizermos3xey teremos
23 xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo
representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de
um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo
O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde
dada uma derivada encontrar uma antiderivada
Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm
significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo
a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por
exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades
puramente matemaacuteticas
a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os
pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma
funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza
a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que
envolve uma grandeza
o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura
consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)
se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se
dx
dy
em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a
derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse
quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo
)(xfdx
dy
eacute possiacutevel escrever
dxxfdy )(
que se denomina equaccedilatildeo diferencial
uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo
da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
9
12 Definiccedilatildeo
Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou
diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos)(2 2
5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
13 CLASSIFICACcedilAtildeO
131 TIPO
Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis
dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo
ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter
mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)
Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de
duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo
diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso
132 ORDEM
A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As
equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira
ordem
133 GRAU
O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como
um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos
exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato
quanto a ordem e grau
134 LINEARIDADE
Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees
1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou
seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um
2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel
independente x
Exemplos
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e
terceira ordem
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre
aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um
nuacutemero menos de constantes
Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma
equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes
de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes
f) xx eCeCy 2
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
AULA 2 - EXERCIacuteCIOS
Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros
estejam sobre o eixo y
Respostas
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2 ( ) 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
AULA 3
2 RESOLUCcedilAtildeO
Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a
equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa
identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira
que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem
de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e
consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo
21 CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo
particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da
equaccedilatildeo diferencial
xdx
dy2
Que resulta em Cxy 2
22 SOLUCcedilAtildeO
Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As
soluccedilotildees podem ser
Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de
uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades
de ordem da equaccedilatildeo
Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees
iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante
inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os
valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos
Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave
envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A
soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais
natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante
As soluccedilotildees ainda podem ser
Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute
chamada soluccedilatildeo expliacutecita
Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G
trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Exemplo
Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita
Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluccedilatildeo x
y
Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita
Exemplo
Verifique que 16
xy
4
eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21
xydx
dy no intervalo )(
Resoluccedilatildeo
Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21
xydx
dy eacute
zero paratodo x no intervalo
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na ED temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx
dy sujeita a condiccedilatildeo inicial
00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de
problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo
diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)
determinado a priori
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
15
Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se
especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos
x0 e3ye3cec3
Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos
1xx111 e3yee3yee3cec3
Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx
dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo
ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica
As funccedilotildees y = 0 e 16
xy
4
satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma
deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO
Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o
ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy
df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I
centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)yx(fdx
dy sujeito a 00 y)x(y
Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO
1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo
2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial
Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo
que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas
caracteriacutesticas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de
valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo
Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao
caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o
caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais
possuam soluccedilotildees
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS
As equaccedilotildees diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
satildeo chamadas de autocircnomas
Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a
equaccedilatildeo (2) na forma
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluccedilatildeo eacute
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(
1
yfdy
dx em
A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A o que justifica o procedimento formal
Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema
00)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos
Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute
proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma
kydx
dy (7)
Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees
separadamente nos dois intervalos 0 y e y0
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R
Considere a equaccedilatildeo autocircnoma
akydx
dy
sua soluccedilatildeo geral para k
ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto
k
ayea
kyeaky CxkCxk
1 )()(
Neste caso k
ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1
o grau
)( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(xy) e N = N(xy)
Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS
A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se
M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes
M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel
Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a
equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis
311 RESOLUCcedilAtildeO
Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos
separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma
CdyyQdxxP )()(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec xdytgyydxtgx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a
equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo
)(
Resolver as seguintes equaccedilotildees
diferenciais
2) 01
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 ndash a
2)(y
2 ndash b
2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas
1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo
nuacutemero real
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 ndash x) = C
5) C y2 = 1 + x
2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a a
ex
ln
2
9) tg x tg y = C
10) Cb
yarctgb2y
ax
axlnax
11) y = c(x ndash 1)
12) Cx1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(42 yydx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA
Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a
relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale
a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)
Exemplos
1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y
2 eacute homogecircnea de grau 2
pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222
2) 4y
x)yx(g
2
2
eacute homogecircnea de grau zero pois
)yx(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()tytx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(xy) = 2x3 + 5xy
2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois
)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323
Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever
x
y1fx)yx(f n e
1
y
xfy)yx(f n
satildeo ambas homogecircneas de grau n
Exemplo
Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo
x
y1fx
x
y
x
y31x
x
y
x
y31x)yx(f 2
22
2
22
1
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)yx(f 2
22
2
22
322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS
A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se
M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau
Exemplos
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
y
xy
3)
x
yarctgy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3221 Resoluccedilatildeo
Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0
Tem-se
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx
x
yF
dx
dy (1)
Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as
variaacuteveis
Dessa forma substitui-se x
y por u
xuy (2)
Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) temos
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Em resumo
Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo
de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita
Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo
separaacutevel
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo
02)( 22 xydydxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 ndash EXERCIacuteCIOS
Resolva as seguintes equaccedilotildees
1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0
2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx ndash xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y
8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial
3
1)1(y
Respostas
1) y2 + 2xy ndash x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
221
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES
REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS
Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees
homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis
Satildeo equaccedilotildees da forma
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes
Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das
variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de
eixos
Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar
331 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute DIFERENTE DE ZERO
Resoluccedilatildeo
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy
A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute
dvdyvy
dudxux
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para
o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma
vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero
Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e satildeo as raiacutezes do sistema
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo23
132
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
332 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute IGUAL A ZERO
Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A
equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis
Como 22
11
ba
ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode
escrever
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relaccedilatildeo a x
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equaccedilatildeo transformada
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136
12
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCIacuteCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas
1) 2x2 ndash 6xy + y
2 + 2y = K
2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se
existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e
suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que
x
N
y
M
Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja
diferencial dada por
dyy
udx
x
udu
(2)
Entatildeo comparando (1) e (2) teremos
)( yxMx
u
(3)
e
)( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo
(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos
)()()( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos
)()(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta
)()()(
yxNygy
dxyxM
Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos
1
)()()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
)(
)()()(
Logo a soluccedilatildeo eacute da forma
Cdy
y
PNMdxyxU )(
onde costuma-se denotar MdxP
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y ndash 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh xcosy dx = coshxseny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
341 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x
N
y
M
Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata
Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx
u
e NF
dy
u
Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui eacute loucura
Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando temos
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando CdxxRF )(ln
dxxRexF
)()(
onde
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos
dyyReyF
)()(
onde
x
N
y
M
MxR
1)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo
Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x
N
y
M
mostra-se que haacute
uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata
A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante
F(x) F(y)
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator
integrante
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 ndash y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluccedilatildeo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas
1) x2 cos y + x
4 = C
2) Ctgyex 2
3) Ceseny x
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES
Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute
dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
desse tipo a saber
351 FATOR INTEGRANTE
Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial
exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de
nosso problema
QPydx
dy
Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressatildeo
0 dyedxQPyePdxPdx
Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos
Pdx
Pey
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por fator integrante
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE
Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)
criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O
meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z
a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt
Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber
i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)
ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx
dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de
variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy
dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln
Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC
eeey Fazendo
Cek temos Pdx
key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta
Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a
soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo
possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo
Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx
dt (6) que eacute da
mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx
ket Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
Daiacute Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1 Integrando este uacuteltimo
1
(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e
dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado temos CQdxek
ZPdx
1
(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e
ldquoZrdquo
CQdxek
keyPdxPdx 1
onde resulta finalmente em
CdxQeeyPdxPdx
(8)
que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)
Exempo 2
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycostan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx
dy
Respostas
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A
LINEARES
Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que
mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de
tais equaccedilotildees satildeo
361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
Equaccedilatildeo da forma
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2
Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma
EDO linear
Pois se
n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea
Soluccedilatildeo
Transformaccedilatildeo de variaacutevel
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relaccedilatildeo a x
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1) que eacute
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o
primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 temos
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior
Exemplo
232
xyx
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 02 2 xydx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas
1) 2
1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
)ln(
1
3) 12 2223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI
A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy
(1)
onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e
quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela
soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5
Resoluccedilatildeo
Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a
equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x
Como 0y eacute soluccedilatildeo temos
RQyPydx
dy 0
2
0
0
(3)
Por outro lado derivando (2) tem-se
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes
de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais
4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5
Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes
ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida
Em resumo
Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de
(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)
transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli
Exemplo
Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluccedilatildeo geral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32
2
x
y
x
y
dx
dy Em caso afirmativo
calcular a soluccedilatildeo geral
2) Mostrar que x
y1
eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluccedilatildeo
geral
3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluccedilatildeo geral
4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo
particular
5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo
particular
Respostas
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
411 DEFINICcedilOtildeES
Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo
diferencial
Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo
particular da equaccedilatildeo
Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro
0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famiacutelia de curvas integrais
Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia
como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias
concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA
Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como
envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir
uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver
nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute
definida pelo sistema
0)(
0)(
yxf
yxf
(1)
cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a
equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y
Exemplo
Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0
dx
dyyxF
Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo
geral
particular
singular (eventualmente)
A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas
integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada
A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
original
De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da
envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva
integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular
Exemplo
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2
22
x
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12
2
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)
4
2xy (soluccedilatildeo singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT
A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy
Resoluccedilatildeo
Chamando pdx
dy
a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)(1
0)( pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)
De (2) tem-se
0)( px (3)
xp )(
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo
singular
Exemplos
6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 ndash EXERCIacuteCIOS
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo
singular das seguintes equaccedilotildees de
Clairaut
a dx
dy
dx
dyxy ln
b
2
3
dx
dy
dx
dyxy
c 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d 045
y
dx
dyx
dx
dy
e 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE
A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se
dx
dy
dx
dyF
Resoluccedilatildeo
A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica
Chamando pdx
dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se
)(
)(
)(
)(
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo
geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica
)(
)(
pyy
pxx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo
2
1
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
Resolver as seguintes equaccedilotildees
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCIacuteCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy
18)
0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x
determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0
20) dxexydxxdy x2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln( 3 dyxydxx
y
23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22)1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da
equaccedilatildeo xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluccedilatildeo geral
Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes
equaccedilotildees
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2
Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
Natildeo haacute soluccedilatildeo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMAacuteTICOS
61 MODELO MATEMAacuteTICO
Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da
vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A
descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda
levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees
animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma
substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a
principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa
estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
A seguir
ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema
que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer
leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a
forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute
predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a
resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de
uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais
equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo
diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema
de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-
lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as
prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou
levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de
modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo
matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t
Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da
variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e
futuro
62 DINAcircMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por
traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais
cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em
outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em
termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser
expressa por
kxdt
dx 00
)( xtx ktexx
0
(1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos
envolvendo crescimento ou decaimento
Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de
(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0
O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt
dS a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente
Exemplo
Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias
passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes
determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Resoluccedilatildeo
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ndash ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = cekt
Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma
0x
cex
0
00
Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2
3x0
40550k
k2
3ln
e2
3
exx2
3
k
1k00
voltando novamente a equaccedilatildeo temos
t40550
0
kt0
exx
exx
para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
70922t
0986121t40550
t405503ln
e3
exx3
t40550
t4055000
seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente
63 MEIA VIDA
Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-
vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais
estaacutevel ela eacute
Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos
metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio
mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse
tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206
AKdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA 0
Exemplo
Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que
0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a
taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente
Resoluccedilatildeo
000
0
A999570A000430A15t
A0t
Resolvendo a equaccedilatildeo
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
kte
c
A
A = cekt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
Sabendo que 0A)0(A temos
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo
A(t) = A0ekt
A(15) = A0e15k
A(t) = 2
0A
099957 A0 = A0e15k teAtA
51088672
0 )(
Ln099957 = ln e15t 000028670
0
0 2
eAA
-000043 = 15 k te 000028670
2
1
K = - 2866710- 5
-06931 = - 000002867t
t = 24180
t 24180 anos
Voltando a equaccedilatildeo temos que
t10866720
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer
3717924t
t1086672693150
t108667250ln
e50
eA2
A
5
5
t1086672
t10866720
0
5
5
Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas
combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia
Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente
radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o
fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma
substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de
substacircncias remanescente no instante t
AKdt
dA (2)
Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos
siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)
kgt0 para o decaimento como em (2) klt0
O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a
determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)
aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja
taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo
transformada ou remanescente no instante t
A questatildeo eacute que
Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios
fenocircmenos diferentes
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade
de foacutesseis usando o carbono radioativo
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute
produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio
A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma
constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os
organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera
Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo
cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a
razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil
O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de
5600 anos
O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de
Turim
7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um
quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
Exemplo
Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a
idade do foacutessil
Resoluccedilatildeo
A(t) = A0ekt
5600
0
0 2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 06931
K = - 0000123776
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
A(t) = A0e- 0000123776t
teAA 0001237760
00 100
1
te 0001237760ln
100
1ln
- 0000123776 t = - 69077
t = 55808
A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos
66 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se
Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
Exemplo
Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua
temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF
Resoluccedilatildeo
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T() = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por
70 ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que
T(0) = 3000
300 = Cek0
+ 70
C = 2300
Logo
T = 230ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T com isso
200 = 230e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
1901816190k
5705448580k3
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
70e230)t(T t190180
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus
7023075 190180 te
230
7075190180 te
- 019018t = ln230
5
t = 2013
com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
67 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees
por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo
no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a
taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida
se RR
dt
dA
sal de
saiacuteda de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute
minlb6)galkb2(min)gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde atildeoConcentraccedil
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees
Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de
saiacuteda de sal Rs eacute
min100
300
min)3(
sal de
saida de taxa
saiacuteda de fluxo no
sal de atildeoConcentraccedil
salmoura de
saiacuteda de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo
Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos
colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais
quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
Resoluccedilatildeo
100
100100
100100
600
600
6
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos
550
60050 0
C
eC
Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma
100550600t
eA
A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela
Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que
esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser
(300 gal)(2lbgal) = 600 lb
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro
era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma
taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo
gallb
t
AgalRs
300min)2(
Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 26641
100 39767
150 47727
200 52557
300 57262
400 58993
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute
27 )300)(10954(2600)( tttA
68 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um
corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde
g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja
drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade
Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no
tanque no instante t
Considere o tanque ao lado
Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de
saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda
de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)
Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque
for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA
(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt
dhA
dt
dVw
Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a
altura de aacutegua no instante t
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse
caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo
Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0
comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t
Resoluccedilatildeo
Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema
Logo tem-se que
A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute
(1)
Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos
20c de modo que (1) pode ser escrita como
Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua
pura no tanque
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA
Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)
o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a
qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois
grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo
kxydt
dx (8)
ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se
argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para
eliminar y em (8) obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1
Exemplo
Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma
doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de
variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o
nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para
que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila
Resoluccedilatildeo
Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de
ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria
Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais
proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute
Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos
Substituindo entatildeo temos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
(
)
Integrando
int
(
) int
int
int int
(
)
(
)
Se em t=0 N=5 temos que
Entatildeo
Para que N = 250 no tempo t temos que
Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
610 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila
externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a
forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute
proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme
ilustrado na figura abaixo
Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no
instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para
cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age
sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da
Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg
onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O
sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra
eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva
Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute
v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
0)0( ss 0)0( vs (11)
Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais
determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica
elementar como a foacutermula 00
2
2
1)( stvgtts
Exemplo
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial
zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine
a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t
b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t
c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
Resoluccedilatildeo
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o
sentido para baixo
Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt
dvg
Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0 segue que 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100 temos 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m s2 teremos
st
t
5420
2
10100
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior
do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena
quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve
ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A
forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um
corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra
uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias
tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute
dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva
e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo
oposta ou para cima
Veja a figura abaixo
Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a
atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se
dt
dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma
da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva Em termos des (12) eacute
uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
Exemplo
Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se
o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine
a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo
b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e
c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima
Resoluccedilatildeo
(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt
dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de
movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o
corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv
responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo
negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k
mgcev
tm
k
Em t=0
v=v0 logo k
mgcev m
k
0
0 ou
k
mgvc
0 A velocidade do corpo no instante t eacute
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0
Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
611 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da
corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a
corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo
de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no
pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento
conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
Peso da corrente
W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L
Massa da corrente
m = Wg = L 32
Forccedila resultante
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo
Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um
cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como
6219 LP e
Resoluccedilatildeo
(
) (
)
Sendo frasl
Como
Sendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Como e soacute eacute possiacutevel
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE
Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor
resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga
em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como
indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave
soma das quedas de voltagem na malha
A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem
voltagemdequeda
henrys(h)Lindutacircncia
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
voltagemde queda
)(ohms aresistecircnci
Resistor
q
c
fC
1 voltagemde queda
)( farads iacapacitacircnc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo
Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)
)(tERidt
diL
ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente
i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema
A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a
carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de
Kirchhoff nos daacute
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima
transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo
Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e
a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0
Resoluccedilatildeo
L= indutacircncia = frac12 ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistecircncia = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
Logo
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
AULA 15 - EXERCIacuteCIOS
1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito
onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha
fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute
ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente
2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2
henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t
3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01
henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto
t Use E = 30 V
4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4
farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a
corrente i(t)
5) Uma forccedila eletromotriz de 200 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6
farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04
Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t
6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero
de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela
triplicaraacute
7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual
era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos
8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo
Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em
30 anos
9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente
Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas
observam-se 3000 fileiras Determine
a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no
instante t
b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de
habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute
de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes
11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos
continuamente Determine
a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos
b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha
havido retiradas ou depoacutesitos adicionais
12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um
depoacutesito feito na conta duplique em seis anos
13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente
Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7
anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos
trecircs anos
14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem
inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua
massa original determine
a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t
b) A Massa do material apoacutes quatro horas
c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)
15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade
presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute
presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer
16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a
massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia
presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia
17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas
18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se
desintegrado Qual a idade da madeira
19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora
onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50
ordmF Qual seraacute a
temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar
15ordmF
20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave
diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e
o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60
oC dentro de quanto tempo sua
temperatura desceraacute para 30oC
21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente
para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o
ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma
pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da
secretaacuteria a liberta alegando o que
22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que
governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo
para imigrar a uma taxa constante r
23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de
mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da
populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t
mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t
24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus
universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o
nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for
espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os
estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus
25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual
foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de
3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a
mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no
instante t
26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse
tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na
mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora
27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um
buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua
vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de
aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de
aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para
ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica
Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua
no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao
lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2
28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o
paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o
paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da
velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a
velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a
resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade
instantacircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e
abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do
paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1
Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se
abre o paraquedas
30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente
com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura
aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98
0C
31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma
salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o
nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t
32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por
galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute
bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no
instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min
33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram
dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para
fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos
RESPOSTAS
1) tetI 355)(
2) tei 2510
3) tcei 500
5
3 e 5
3)(lim
ti
t
4) tceq 50
100
1 onde 100
1C e
tei 50
2
1
5) tceq 200
1000
1
tcei 200200
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
500
1C
coulombsq 00030)0050(
ampi 14720)0050(
1000
1q
6) 792 anos
7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604
8) N(30) = 760
9)
10)
11)
12) 1155
13) R$ 927143
14)
15) t = 11 horas
16) t = 13672 horas
17) 885 gramas
18) 15600 anos
19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min
20) t = 60 min
21) justificativa pessoal
22) rkpdt
dP rkp
dt
dP
23) 2
21PkPk
dt
dP
24) )1000( xkxdt
dx
25) 100
A
dt
dA
26) Aproximadamente 181
27) hc
dt
dh
450
28) 2kvmg
dt
dvm
29) 70ms
30) Aproximadamente 821 s
Aproximadamente 1457 s
31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50
32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100
00975 lbgal
33) 6438lb
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
AULA 16
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma
ByAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes
Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo
Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo
yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)
onde
p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema
r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea
r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea
A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)
isto eacute ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base
fundamental)
Exemplo
y + y = 0
Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)
Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica
)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente
Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e
y2(x) satildeo linearmente independentes
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)()()(12
xyxhxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1
AULA 16 - EXERCIacuteCIOS
1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo
a) 0y9xy5yx2 com 3
1 x)x(y
b) 0y3yx4 2 com 21
1 x)x(y
c) 0y4
1xxyyx 22
com xcosx)x(y 2
1
1
Respostas
a xlnx)x(y 32
b 2
x)x(y
23
2 c senxx)x(y 21
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
AULA 17
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Satildeo aquelas da forma 0yAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
onde A0 A1 A2An
satildeo constantes
Resoluccedilatildeo
Para n= 1 rarr 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
eey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC temos key xλ
Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b satildeo constantes
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta
xλey
xλeλy
xλ2eλy
Substituindo na EDO temos
0e)bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de
equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada
Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar
711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a soluccedilatildeo geral fica
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eCeCeCeCy
712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS
Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2
Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as
raiacutezes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante
Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente
Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλehλ2ehy
heλehy
ehy
)x(y)x(h)x(y
Substituindo na equaccedilatildeo dada
0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando
0)()2( 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P
Entatildeo
KCxh
Ch
h
0
Logo
xeKCxy
yhy
)(
2
12
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Soluccedilatildeo geral
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior
xλ1nn
2321 e)xCxCxCC(y
713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo
para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
Das foacutermulas de Euler temos
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 ndash C2) = C2
temos
senbxCbxcosCey 21ax
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Exemplos
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3
3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
AULA 17 - EXERCIacuteCIOS
1) 065 yyy
2) 01243 yyyy
3) 022 yyy com 1)0( y e 02
y
4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y
5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y
6) 09 2 yy
7) 069 yyy com 4)0( y e 3
13)0( y
8) 02 2 ykkyy
9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y
10) 0344 yyy com ey )2( 2
)2(e
y
11) 0127 yyy
12) 054 yyy
13) 075 yyy
14) 02 yyy
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 2
33
22
1
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ3
2xπ3
1 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe50e30y
10) x50ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32
x21
13)
2
3xsenC
2
3xcosCeCy 32
2
x5
1
14)
xexCCy )( 21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
AULA 18
72 EULER - CAUCHY
A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos
teabax
que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis
No caso da equaccedilatildeo ter a forma
02 byaxyyx
Faremos
y = xm
yrsquo = mxm-1
yrdquo = m(m-1)xm-2
Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que
(m2 + (a ndash 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma
equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes
Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Exemplos
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
0222 yxyyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
AULA 18 - EXERCIacuteCIOS
1) 0202 yyx
2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx
3) 04324610 2 yxyyx
4) 02 yxyyx
5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6
6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3
Respostas
1) 5
24
1 xCxC
2) 3
32
21
)x1(
C
)x1(
C
1x
Cy
3) 81
21 x)xlnCC(y
4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21
5) 25
x)xln2(
6) xlnx3 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 19
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS
10
00
)(
)(
)()()(
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea
A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e
x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I
Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos
i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes
ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange
iii Meacutetodo do operador derivada D
731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)
Padratildeo para soluccedilatildeo particular
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
)10n(kxn
011n
1nn
n CxCxCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs
1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2
o
coluna
2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Exemplo
0)0(
1)0(
2 2
y
y
xeyyy x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
99
AULA19 - EXERCIacuteCIOS
1) xsenyy 34
2) 325102 2 xyyy
3) xseneyyy x 53712352 5
4) 1265 2 xyyy
5) xyy 314
6) 1232 2 xxyy
7) xeyyy 3127
8) xeyyy 28107
9) xeyyy 2844
10) xeyy 434
11) xsenyyy 2334
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 2124
14) senxyy 4
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 61251 xxxyyy para
4)0( y e 8)0( y
17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e
0)0( y
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx4
2x3
1 e20
3eCeCy
8) x2x5
2x2
1 xe3
8eCeCy
9) x22x2
2x2
1 ex4xeCeCy
10) x4
21 e20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
AULA 20
732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos
yn + Pn-1(x)y
n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)
A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a
soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO
homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando
paracircmetros variaacuteveis
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)()(11 dx
xW
xrxWu
)(
)()(22 dx
xW
xrxWu n
n)(
)()(
Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)()(
11
2
1
1
2
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente
11
2
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
11
1
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
1
0
0
1
2
1
1
2
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y
n natildeo se
esqueccedila de dividir r(x) por f(x)
Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
Exemplo223 22 xyxyyxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
AULA 20 ndash EXERCIacuteCIOS
1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x
2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x
3cosx
3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x
-4
4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x
2 ndash 15x
3
5) x3yrdquorsquo- 3x
2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x
4lnx
6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x
9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx23
x22
x1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
AULA 21
733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA
7331 Definiccedilatildeo
Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado
as operaccedilotildees que devem ser efetuadas
Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a
dx
dD
2
22
dx
dD
3
33
dx
dD
7332 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x)
P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)
P3Dm
(Dn
u)=Dm+n
u (sendo m e n constantes positivas)
P4 O operador inverso
dxueeu
aD
axax 1
a
P5 O operador direto uaDuu)aD( audx
du a
7333 Equaccedilotildees Diferenciais
Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D
Exemplo
ay + by + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n
1nn
n ArArA
tambeacutem se fatora
Exemplo
0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
7334 Operador Anulador
Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo
suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo
O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees
1n2 xxx1 Entatildeo um
polinocircmio 1n
1n2
210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n
Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Soluccedilatildeo
O operador eacute 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees
xα1nxα2xαxα exexxee
Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Soluccedilatildeo
Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(
Vamos verificar
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees
xβsenexxβsenexxβsenxexβsene
xβcosexxβcosexxβcosxexβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x
Soluccedilatildeo
5D2D)]41(D)1(2D[
1n01n2β1α
212
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
Vamos verificar
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(DD
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen
Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que
0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7
Soluccedilatildeo
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22
Logo
0)x3sen6x7)(9D(D 22
7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA
entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma
βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo
nuacutemeros reais
Resumo do Meacutetodo
i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L
ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g
iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1
0)y(L
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na
soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos
termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L
v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das
funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os
coeficientes indeterminados em py
vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a
equaccedilatildeo diferencial dada
7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares
1) Resolver empregando operadores 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 21 - EXERCIacuteCIOS
Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada
1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8y3y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
AULA 22
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) xsenxedx
dy
dx
yd x 2234 2
3
3
2) xex
dx
dy
dx
yd
dx
yd 2
2
2
3
3
3265
3) 13 2
2
2
xesenxydx
yd
4) 1284 2
2
2
xxydx
yd
5) 222
2
3
3
xdx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 1234 3
2
2
4
4
xxdx
yd
dx
yd
7) xey
dx
dy
dx
yd 3232
2
8) xey
dx
yd 2
2
2
44
9) xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344
10) xey
dx
dy
dx
yd22
2
2
11) senxydx
dy
dx
yd223
2
2
12) xdx
dy
dx
ydcos34
2
2
13) xsenydx
yd2316
4
4
14) xydx
yd2cos54
2
2
15) 52 2
2
2
xedx
dy
dx
yd
16) xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44
17) xeydx
dy
dx
yd x 2cos8822
2
18)
2244 2
2
2 xey
dx
dy
dx
yd x
19)
20)
21)
senxy
dx
yd 12
2
22) xyxyyx 3222
23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2
22
3
33 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx
x
ey
dx
dy
dx
yd x
22
2
xy
dx
yd
cos
12
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
RESPOSTAS
1)
4
x2xsen
8
x
16
e3x2senCx2cosCCy
2x2
321
2)
2
3
18
5
6
223
3
2
21
xxx xe
xx
eCeCCy
3) 132
3 2
21 x
xx esenxeCeCy
4) 44
2 22
2
2
1 xxeCeCy xx
5)
4
5
4
22
321
xxeCeCCy xx
6)
848
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx
7)
2
2
21
xxx e
eCeCy
8) xxx xeeCeCy 22
2
2
1
9) xxx exxeCeCy 222
2
2
12
3
10) )( 2
21 xxCCey x
11) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21
12) )4(cos17
34
21 senxxeCCy x
13)
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx
14)
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx
15)
22
5 22
21
xx xex
eCCy
16) xe
xxCCy 2
3
216
17) )22cos3(5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy exxx
18)
8
1)( 22
21
xexxCCy x
19) xxexeexCCy xxx ln)( 21
20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21
21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21
22) xxxCxCy ln32
21
23)
36
11)1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21
xx
C
x
C
x
Cy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
111
AULA 23
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos
diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma
mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas
interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de
um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa
equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da
ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial
enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos
aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as
diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples
e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO
Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte
riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo
da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola
diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do
alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante
de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo
nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)
implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola
somente 25 peacute
Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma
distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila
restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms
2 ou 980
cms2
equiliacutebrio
Posiccedilatildeo
inicial
g
K(s+x)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
112
Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a
massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da
mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo
que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F
com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da
posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos
9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido
Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk 2
A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo
amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1
representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se
x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade
inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0
x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento
Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2
=0 satildeo
nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como
tsenCtCtx 21 cos)( (3)
O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute
21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute
32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou
equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo
Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos
sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente
agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida
pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo
correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos
referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
113
iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular
resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento
Exemplo
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de
um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3
4 peacutess para cima
Determine a equaccedilatildeo do movimento livre
Soluccedilatildeo
Convertendo as unidades
6 polegadas = frac12 peacute
8 polegadas = 23 peacute
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = Wg = 232 = 116 slug
Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute
Logo (1) resulta em
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal
negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade
inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima
Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a
equaccedilatildeo do movimento seraacute
tsenttx 816
18cos
3
2)(
912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito
pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em
movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma
forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente
9121 ED do Movimento Livre Amortecido
No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo
consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor
durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt
Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton
que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
114
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia
do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento
Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd (5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute
m2 + 2 m + 2 = 0
e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto
22
1 m e22
2 m
Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22
Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica
despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo
CASO I Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio
CASO II Amortecimento Criacutetico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem
evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer
decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
115
CASO III Subamortecido
022
Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de
vibraccedilatildeo 0 quando t
Exemplos
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
Soluccedilatildeo
Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos
daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
X(t)= C1 e ndash 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento criacutetico)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a
equaccedilatildeo do movimento eacute
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o
comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de
um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido
ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade
instantacircnea
Soluccedilatildeo
O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue
da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a
equaccedilatildeo diferencial eacute dada por
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
116
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo
a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentetx t 3
3
23cos2)(
913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO
9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento
Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola
Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do
suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo
diferencial do movimento forccediladoou induzido
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m obtemos
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima
equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de
variaccedilotildees de paracircmetro
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx21
dt
xd
5
1
2
2
com2
1)0(x
e 0)0(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
117
Soluccedilatildeo
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou
quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou
metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado
por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2
) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos
esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em
que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como
o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre
Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a
determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido
Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute
termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica
com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos
severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio
Exemplo
1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt
xd 0
2
2
2
x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma
constante e
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Soluccedilatildeo
A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo
particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222 )(cos)(
Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
Logo
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
118
Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
com ωγ
914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo
auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0
dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute
Superamortecido 042 C
LR
Criticamente amortecido 042 C
LR
Subamortecido 042 C
LR
Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L
e portanto
q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave
medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t
Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo
tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples
Exemplos
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)
R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0
Soluccedilatildeo
Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica
0400040
01000104
1
qqq
qqq
Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
119
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas
forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo
transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma
soluccedilatildeo estacionaacuteria
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA
Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais
defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo
y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal
uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o
proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta
chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de
simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais
seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o
formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a
deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da
elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute
relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo
)(2
2
xwdx
Md (13)
Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica
EIkxM )( (14)
onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I
eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o
eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
120
Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por
23
2)(1
y
yk
Quando a deflexatildeo y(x) for
pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23
2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se
tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute
4
4
2
2
2
2
dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx
2 em (15) vemos que a deflexatildeo
y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades
da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de
outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute
mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como
vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para
uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade
engastada x = 0
y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e
yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a
inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)
Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo
yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e
yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero
A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)
Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno
Engastada 0y0y
Livre 0y0y
Simplesmente apoiada 0y0y
9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno
Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
121
Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y
implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de
contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y
Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos
daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que
0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0
Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -
gt0
Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21
Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2
Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima
condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de
nL ou2
22
L
n n = 1 2 3
Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para
cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em
outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9
4
2
2
2
2
2
2
LLL
a funccedilatildeo correspondente na
sequumlecircncia 3
2
xL
senxL
senxL
sen
eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original
9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina
No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema
de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial
compressiva
Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento
L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for
aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer
ponto ao longo da coluna obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
122
onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em
torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide
Exemplo
Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita
a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades
Soluccedilatildeo
O problema de contorno a ser resolvido eacute
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema
Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo
haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos
matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais
Escrevendo EIP vemos que
0)(
0)0(
0
Ly
y
yy
eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos
que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores
321 222 nLnEIPnn
Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a
forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas
cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22
1 LEIP chamada
de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo
As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura
abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a
menor carga criacutetica seraacute 22
2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a
restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a
carga critica 22
3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
123
9213 Corda Girando
A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem
0 yy (18)
ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e
0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e
um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o
modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como
um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando
A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar
sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo
Suponha que uma corda de comprimento L e
densidade linear constante (massa por unidade de
comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada
em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo
girada em torno do eixo x a uma velocidade angular
constante Considere uma parte da corda sobre o
intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a
magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for
constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada
pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees
diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na
figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute
12 TsenTsenF (19)
Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e
11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os
vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
124
)(2 xxytg e )(1 xytg
Assim sendo (19) vai se tornar
)()( xyxxyTF (20)
Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a
segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo
centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra
Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem
aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y
Igualando-se (21) e (20) temos
2)()()( yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)()(
Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x
xyxxy
)()(em (22) eacute
aproximado pela derivada segunda de d2ydx
2 Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo
y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
125
AULA 23 - EXERCICIOS
Movimento Livre natildeo amortecido
1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do
movimento harmocircnico simples
2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4
polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso
de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um
ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de
peacutes Determine a
equaccedilatildeo do movimento livre
4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6
polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32
9
4
6
8
12
b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do
movimento do peso nesse instante
c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio
Movimento Livre Amortecido
5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute
entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente
igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento
considerando que
a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms
para cima
6) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma
dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a
velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal
forma que o movimento subsequumlente seja
a) superamortecido
b) criticamente amortecido
c) subamortecido
Movimento Forccedilado
8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2
peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que
oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute
a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos
3t
9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32
Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a
f(t)=68e-2t
cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de
amortecimento
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
126
10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute
colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de
1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento
subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N
11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado
em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e
aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do
ar determine o movimento subsequente do peso
12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em
equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema
Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8
vezes a velocidade instantacircnea
Circuito em Seacuterie Anaacutelogo
13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2
C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o
capacitor eacute igual a zero
14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no
capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A
15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C
= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo
periacuteodo
16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e
uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor
mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada
inicialmente determine a carga subsequente no capacitor
17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de
farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a
expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga
iniciadas no capacitor satildeo zero
Respostas
1) 8
π2
2) t64cos4
1)t(x
3)
4) a)4
1
12
πx
2
1
8
πx
4
1
6
πx
2
1
4
πx
4
2
32
π9x
b)4 peacutess para baixo
c)16
π)1n2(t
n= 0 1 2
5) a)t8t2 e
3
1e
3
4)t(x
b)t8t2 e
3
5e
3
2)t(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
127
6)
7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52
8) t3sent3cos3
10t
2
47sen
473
64t
2
47cos
3
4e)t(x 2
t
9) tsenetetsenttx tt 424cos2
14
4
94cos
2
1)( 22
10) )sin13cos99099(500
1 27 tteex xx
11) ttttx 4cos4
14sin
16
14cos50
12) (
)
13) 41078C 00509s
14) q(t)=10+10e-3t
(cos3t+sen3t)
i(t) = 60e-3t
sen3t 10432 C
15) C2
3
2
3)t10sent10(cose
2
1)t(q t10
16)
17) radic radic
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
128
AULA 24
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL
Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as
mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees
Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas
de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico
desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem
O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas
primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem
A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem
p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de
funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral
Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema
normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo
as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por
razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de
segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees
a um sistema normal
Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees
algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em
funccedilatildeo do operador derivado D
Exemplos
1)
senxxzdx
dy
senxxdx
dzy
cos
cos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
129
2)
xzydx
dz
dx
yd
xdx
dz
dx
yd
22
3
2
2
2
2
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
130
AULA 24 - EXERCIacuteCIOS
1)
02
02
zdx
dz
dx
dy
zydx
dz
dx
dy
2)
x
x
ezydx
dz
dx
dy
ezydx
dz
dx
dy
2
5
32
4
3)
2
2
2
2
2
2
2
xzdx
zd
dx
dy
eydx
dz
dx
yd x
4)
03
42
zydx
dy
ezydx
dz
dx
dy x
5)
xzDyD
senxzDyD
cos)1()1(2
2)2(2)3(
Respostas
1)
x
x
eCeCy
eCeCz
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
ou
x
x
eCeCz
eCeCy
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
2)
xxx
xxx
eeeCy
eeeCz
252
5
1
252
5
1
25
2
5
3
3)
xexCsenxCeCeCy
xesenxCxCeCeCz
xxx
xxx
22
3cos2222
2
3
2
1
2
1cos
43
2
2
2
1
2
43
2
2
2
1
4)
x
x
esenxCCxCCz
esenxCxCy
2)3(cos)3(
2cos
2121
21
5)
senxxeCeCz
xsenxeCeCy
x
x
x
x
130
61cos
130
33
3
4
)cos8(65
1
5
23
1
5
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
131
AULA 25
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA
Dado o sistema
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
este pode ser escrito na seguinte forma
n
n
F
dy
F
dy
F
dydx
1 2
2
1
1
Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por
variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema
)(
)(
2
1
zyxFdx
dz
zyxFdx
dy
(1)
que pode ser escrito da seguinte maneira
321 F
dz
F
dydx
ou generalizando
)()()( zyxR
dz
zyxP
dy
zyxM
dx (2)
Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de
dois paracircmetros
Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute
Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-
se
nRmPlM
ndzmdyldx
R
dz
P
dy
M
dx
Escolhe-se l m e n tais que
lM + mP + nR = 0
o que faz com que
ldx + mdy + ndz = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
132
Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees
do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a
soluccedilatildeo do sistema
Exemplos
1)x
dz
x
dy
y
dx
2)zx
dz
yx
dy
zy
dx
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
133
3))()()( 222222 xyz
dz
zxy
dy
yzx
dx
OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio
adotado chega-se aquelas convenientes
AULA 25 - EXERCICIOS
1) cybx
dz
axcz
dy
bzay
dx
2) )()2()2( 444444 yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
3) yx2
dz
x3z
dy
z2y3
dx
4) z
dz
x
dy
y
dx
5) yx
dz
x
dydx
221
Respostas
1) x2 + y
2 + z
2 = C1
cx + by + az = C2
2) x4 + y
4 +z
4 = C1
xyz2 = C2
3) x2 + y
2 + z
2= C1
x + 2y + 3z = C2
4) x2 ndash y
2 = C1
zC2 = y + x
5) y = x2 + C1
z = 3
2x
3 + xy ndash x
3 + C2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
134
AULA 26
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA
ORDEM
Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
nnnm22n11nn
2nm22221212
1nm12121111
que pode ser escrito como
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
x
x
x
dt
d
nm2n1n
m22221
m11211
n
2
1
ou ainda
)t(FX)t(Adt
dX
que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas
homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tλeξX
temos
tλeξλX
substituindo no sistema obteacutem-se
0eξ)λA(
eξAeξλ
tλ
tλtλ
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
135
como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Exemplo 1
Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo
t10y3x4dt
dy
t2ey5x2dt
dx t
pode ser escrito como
t10
t2eX
34
52
dt
dX t
ou
t10
2e
0
1X
34
52X t
onde
y
xX
1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO
Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna
)t(x
)t(x
)t(x
X
n
2
1
cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema
)t(FX)t(Adt
dX
no intervalo
Exemplo 2
Verifique que
t2
t2t2
1e
ee
1
1X e
t6
t6t6
2e5
e3e
5
3X satildeo soluccedilotildees de
X35
31X
no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
136
Temos
t2
t21
e2
e2X
e
1t2
t2
t2t2
t2t2
t2
t2
1 Xe2
e2
e3e5
e3e
e
e
35
31AX
Agora
t5
t612
e30
e18X
e
12t6
t6
t6t6
t6t6
t6
t6
2 Xe30
e18
e15e15
e15e3
e5
e3
35
31AX
Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira
ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n
1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS
Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e
)t(x
)t(x
)t(x
)t(X
0n
02
01
0
e
n
2
1
0
γ
γ
γ
X
onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema
00 X)X(tasujeito
)t(FX)t(Adt
dXResolver
eacute um problema de valor inicial no intervalo
10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo
Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em
um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema
de valor inicialno intervalo
1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS
Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem
mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo
comum I
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
137
10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX
em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear
kk2211 XcXcXcX
onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo
Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer
vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem
eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Exemplo 3
Uma soluccedilatildeo do sistema X
102
011
101
X
eacute
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X1
Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois
tcoscsentc
tcosc2
1sentc
2
1
sentc
dt
dX
11
11
1
e
tcoscsentc
sentc2
1tcosc
2
1
sentc
sentctcosc
sentc2
1tcosc
2
1
tcosc
102
011
101
AX
11
11
1
11
11
1
As matrizes resultantes mostram que XAX
Exemplo 4
Consideremos o sistema X
102
011
101
X
Se
0
e
0
X t2 entatildeo
0
e
0
X t2 e
2tt
2 X
0
e
0
0
e
0
102
011
101
AX
Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da
superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
138
0
e
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcX t212211
eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema
1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no
intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que
0XcXcXc kk2211
para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo
dizemos que eacute linearmente independente
O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo
constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute
linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo
linear dos vetores restantes
10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes
Sejam
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo
necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o
wronskiano
0
xxx
xxx
xxx
)XXX(W
nn2n1n
n22221
n11211
n21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
139
Exemplo 5
No exemplo 2 vimos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees do sistema
X35
31X
Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez
que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos
0e8e5e
e3e)XX(W t4
t6t2
t6t2
21
para todo t real
Exemplo 6
Pelo exemplo 5 sabemos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees
linearmente independentes de X35
31X
em )( Logo X1 e X2constituem um
conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
entatildeo
t6
2t2
12211c e5
3ce
1
1cXcXcX
1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO
Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes
do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto
fundamental de soluccedilotildees no intervalo
10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos
Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como
nn2211 XcXcXcX
onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
140
Exemplo 7
Os vetores
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
Xe
0
1
0
X
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X 3t
21 satildeo
do sistema X
102
011
101
X
no exemplo 3 Agora
0etcossentsenttcos
senttcose
tcossent0senttcos
tcos2
1sent
2
1esent
2
1tcos
2
1sent0tcos
)XXX(W ttt321
para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de
soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
ce
0
1
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcXcX 3t
21332211
1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute
qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o
sistema )t(FX)t(Adt
dX
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo
homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc
10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos
Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX em um
intervalo I e denotemos por
nn2211c XcXcXcX
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
141
a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX correspondente
Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como
pc XXX
A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX eacute chamada funccedilatildeo
complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX
Exemplo 8
Verifique que o vetor
6t5
4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-
homogecircneo
3
11t12X
35
31X no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Temos
5
3X
p e
3
11t12
6t5
4t3
35
31
3
11t12X
35
31p
pX
5
3
3
11t12
2
14t12
3
11t12
)6t5(3)4t3(5
)6t5(3)4t3(
Exemplo 9
Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
3
11t12X
35
31X em )( eacute
6t5
4t3X p
No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a
soluccedilatildeo geral de X35
31X
eacute
t62
t21c e
5
3ce
1
1cX
Logo pela definiccedilatildeo dada
65
43
5
3
1
1 62
21
t
tececXXX tt
pc eacute
soluccedilatildeo geral de
3
11t12X
35
31X em )(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
142
Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo
)t(FX)t(Adt
dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas
c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral
1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL
Seja
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um
intervalo I
A matriz
nn2n1n
n22221
n11211
xxx
xxx
xxx
)t(
eacute chamada de matriz fundamental do
sistema no intervalo
Exemplo 10
Jaacute mostramos que os vetores
t
t
t
e
eeX
2
2
2
11
1 e
t
t
t
e
eeX
6
6
6
25
3
5
3constituem
um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX
35
31 em )(
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)(
eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo
Exemplo 12
A soluccedilatildeo geral tt
c ececXcXcX 62
212211
5
3
1
1
dada no exemplo 6
pode ser escrita como
2
1
t6t2
t6t2
c
c
e5e
e3eX
Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que
C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((
Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possiacutevel de constantes C devemos ter
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
143
)t()t(A)t(
0)t()t(A)t(
10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular
A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que
0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo
Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do
sistema homogecircneo XtAdt
dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de
t no intervalo
Exemplo 13
Para a matriz fundamental dada
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)( no exemplo 10 notamos que
tet 48)(det Decorre entatildeo de
1121
1222
1112
21221
det
1
det
1
aa
aa
aa
aa
AA
T
que
tt
tt
tt
tt
t
ee
ee
ee
ee
et
66
22
22
66
4
1
8
1
8
18
3
8
535
8
1)(
10372 Matriz Especial
Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz
em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees
1
0
0
0
1
0
0
0
1
00201
tVtVtV n
Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do
sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que
t apresenta a propriedade
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
144
1000
0100
0010
0001
00
t
onde eacute a identidade multiplicativa n x n
Exemplo 14
Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX
35
31
Soluccedilatildeo
Por tt ececXcXcX 6
22
122115
3
1
1
sabemos que a soluccedilatildeo geral do
sistema acima eacute dada por tt ececX 6
22
15
3
1
1
Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que
0
1
5
3
1
121 cc ou
05
13
21
21
cc
cc
Obtemos 8
51 c e
81
2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear
tt eeV 621
5
3
8
1
1
1
8
5
Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais
1
0
5
3
1
121 cc ou
15
03
21
21
cc
cc
Neste caso obtemos 8
31 c e
81
2 c Definimos entatildeo
tt eeV 622
5
3
8
1
1
1
8
3
Dai
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
145
tttt
tttt
eeee
eeeet
6262
6262
8
5
8
3
8
5
8
58
3
8
3
8
3
8
5
)(
Observe que
10
01)0(
Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das
soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma
soluccedilatildeo do sistema
10373 t eacute uma Matriz Fundamental
Por
1000
0100
0010
0001
00
t
vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente
Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo
considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da
Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t
Por 0
1 ttt
AULA 26 - Exerciacutecios
Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado
1)
y8x4dt
dy
y5x3dt
dx
2)
z3y4x10dt
dz
yx6dt
dy
z9y4x3dt
dx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
146
3)
2ttzyxdt
dz
t3zyx2dt
dy
1tzyxdt
dx
2
2
Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes
4) te
1
1X
31
24X
5) t
1
1
3
e
2
2
1
z
y
x
652
143
211
z
y
x
dt
d t
Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado
6)
y7x4dt
dy
y4x3dt
dx
t5e
2
1X
7) 2t3
e2
1XX
114
11
X
8)
13
6
1
121
016
121
XXdt
dX
Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX
Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(
9) t6
2t2
1 e1
1Xe
1
1X
10)
4
4
2
t
12
6
3
X
4
2
1
X
2
2
1
t
4
2
1
X 321
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
147
Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema
dado
11)
18423
724
tyxdt
dy
tyxdt
dx
1
5
1
2tX
p
12) tt
p
t teeXeXX
1
1
1
1
7
1
43
12
13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX
011
101
060
` no intervalo )( eacute
t33
t22
t1 e
1
1
2
ce
1
1
3
ce
5
1
6
cX
Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental
de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule
t1
14) t7
2t2
1 e3
1Xe
2
1XX
56
14X
15) tt
2t
1 e1
0te
3
1Xe
3
1XX
29
14X
16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
14
17) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
15
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
148
Respostas
1) 84
53 XX
onde
y
xX
2)
3410
016
943
XX
onde
z
y
x
X
3)
2
0
1
03
0
111
112
111
2
2
t
t
t
tXX onde
z
y
x
X
4)
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
3
24
5)
tezyxdt
dz
tezyxdt
dy
tezyxdt
dx
t
t
t
2652
243
32
6) Eacute soluccedilatildeo
7) Eacute soluccedilatildeo
8) Eacute soluccedilatildeo
9) Sim
10) Natildeo
11) Eacute soluccedilatildeo
12) Eacute soluccedilatildeo
13) Demonstraccedilatildeo pessoal
14)
tt
tt
t
tt
tt
ee
ee
et
ee
eet
22
77
9
1
72
72
2
3
5
1)(
32
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
149
15)
tt
ttt
t
ttt
tt
ee
teete
et
eee
teet
3
31
33
2
1
16)
tttt
tttt
eeee
eeeet
7272
7272
5
3
5
2
5
6
5
65
1
5
1
5
2
5
3
17)
ttt
tt
etete
tetet
39
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
150
AULA 27
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS
Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tekX
temos
tekX
substituindo no sistema obteacutem-se
0)(
t
tt
ekA
ekAek
como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Existem trecircs casos a serem tratados
1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do
sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do
sistema no intervalo )( eacute dada por
t
nn
t
b
t
anekcekcekcX
21
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
151
Exemplo Resolva o Sistema
yxy
yxx
2
32
Soluccedilatildeo
Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes
012
32
0)det(
IA
41
043
0622
0)1)(2(
21
2
2
e
Para 11 temos
0
0
22
33
0
0
)1(12
3)1(2
0)(
b
a
b
a
K
K
K
K
KIA
1
1
1
022
033
1K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Para 42 temos
0
0
2
32
0
0
412
342
b
a
b
a
K
K
K
K
2
3
2
2
3
032
032
2K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t
ii eKx temos
tt eXeX 4
212
3
1
1
Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute
tt
tt
tt
eCeCy
eCeCx
eCeCy
x
XCXCX
4
21
4
21
4
21
2211
2
3
2
3
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
152
1042 AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1
o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo
t
ekX 1
11
e t
ekX 1
12
Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde
tetktkX sinImcosRe111
atetktkX sinRecosIm112
Exemplo
Resolva o sistema
yxdt
dy
yxdt
dx
45
6
Soluccedilatildeo
045
16
0)det(
IA
2
525
2
410
2
11610010
02910
054624
05)4)(6(
2
2
i
i
Para i25 temos
ab
ba
b
a
b
a
KiK
KKi
K
K
i
i
K
K
i
i
KIA
)21(
0)21(
0
0
)21(5
121
0
0
)25(45
1)25(6
0)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
153
iKi
K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a
2
0
1
1
21
1
1
11
tt
tt
tt
tt
t
t
etsentCetsentCy
etsenCetCx
etsent
tsenCe
tsent
tCX
etsentCetsentCX
XCXCX
etsentX
etsentX
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
2221
5
2
5
1
)22cos2()222(cos
)2()2cos(
22cos2
2
222cos
2cos
21
12cos
2
02
2
02cos
1
1
21
12cos
2
0
22
02cos
1
1
1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS
Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se
verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer
deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira
t
ekX 1
11
tt
ektekX 21
212
onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees
para o sistema
t
m
tm
tm
mmeke
m
tke
m
tkX
21
)2()1(
2
2
1
1
onde k2 k3 hellip km devem ser determinados
Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt
PeKteX 11
2
()
Onde
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
154
nk
k
k
K2
1
e
np
p
p
P
2
1
Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se
0)()( 11
11 tt
eKPAPteKAK
Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter
KPIA
KIA
)(
0)(
1
1
Exemplos
1) Resolva o sistema
zyxz
zyxy
zyxx
22
22
22
0
122
212
221
51
Re
0593
0593
012121733
0)1(1216133
0)1(4)1(4)1(488)1(
321
23
23
23
23
3
e
temosRufiniBriottporsolvendo
Para 11 temos
21
0|222
0|222
0|222 1
L
31
21
)2(
2
0|222
0|222
0|111
LL
LL
0|000
0|000
0|111
cba
cba
KKK
KKK
0 fazendo bK = 1 e 0cK temos
0
1
1
1K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
155
Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor
1
1
0
2K
Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees
LI correspondentes ao mesmo autovalor
teX
0
1
1
1 e teX
1
1
0
2
Para 53 temos
31
21
21
)2
1(
0|422
0|242
0|224
LL
LL
32
12
)1(3
2
0|330
0|330
0|224
LL
LL
)1(
)4(
0|000
0|330
0|404
2
1
L
L
0
0
cb
ca
KK
KK
cb
ca
KK
KK
fazendo cK = 1 temos
1
1
1
3K
ttt eCeCeCX 5
321
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2) Resolva o sistema
yxy
yxx
92
183
092
183
3
Re
096
0369327
036)9)(3(
21
2
2
temosequaccedilatildeoasolvendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
156
Para 321 temos
ba
ba
ba
b
aKK
KK
KK
K
K3
062
0186
0
0
62
186
fazendo 1bK temos
1
31K
Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3
1 1
3
2
1
1
3
p
pPK
IPSLL
L
L
p
p
KPIA
KPIA
0002
131
2131
2131
2
6
162
3186
1
3
62
186
3
21
2
1
2
1
1
21
21
32
1
2
13
pp
pp
fazendo
02
10
2
121 Ppp
ttt
tt
eetCeCX
eetX
33
2
3
1
33
2
02
1
1
3
1
3
02
1
1
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
157
AULA 27 ndash Exerciacutecios
1) Resolva
z3ydt
dz
zy5xdt
dy
zyx4dt
dx
2) Resolver X21
82acuteX
3) Resolver X1
2
121
acuteX
4) Resolva o sistema
yxy
yxx
3
4
5)
yxdt
dy
yxdt
dx
34
2
6)
yxdt
dy
yxdt
dx
22
5
24
7)
yxdt
dy
yxdt
dx
25
6
8)
yxdt
dy
yxdt
dx
32
5
9)
yxdt
dy
yxdt
dx
39
3
10)
yxdt
dy
yxdt
dx
53
3
Respostas
1) t53
t42
t31 e
1
8
1
ce
1
1
10
ce
1
0
1
cX
2)
t2sen
t2sen2t2cos2c
t2cos
t2sen2t2cos2cX 21
3) t
2t
1 etcos
sent2ce
sent
tcos2cX
4)
ttt etececX
1
1
1
2
1
221
5) tt ececX
1
1
2
12
5
1
6) tt ececX
5
2
1
22
3
1
7) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin2
sin
sincos2
cos
8) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin
sin
sincos
cos
9)
414
1
3
1
3
121 tccX
10)
ttt etececX 22
2
2
10
31
1
1
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
158
AULA 28
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS
O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um
sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt
dX Da mesma forma resolve-se o sistema
homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo
determinados os coeficientes desconhecidos
Exemplos
1) Resolva o sistema
41034
66
tyxy
tyxx
Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
XAX
34
16
Encontrar os autovalores
034
16
0)det(
IA
72
0149
043618
0)3)(6(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 71 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
44
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
4
1
04
0
0
14
14
fazendo 4bK temos
4
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
tt
tt
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
2
7
1
2211
2211
4
1
1
1
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
159
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
t
ttf
p
p
410
6)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
cdbtca
adbtca
t
t
t
t
dctbat
dctbat
c
a
t
t
dct
bat
b
a
34)34(
6)6(
104
6
410
6
3344
66
410
6
34
16
7
107
242
7
4
62814
234
6318
6434
26
434
06
6
1262
662814
1034
18318
1034
66
d
db
bdb
db
db
db
db
cdb
adb
c
ca
aca
ca
ca
ca
ca
Logo
7
106
7
42
t
tX p
Soluccedilatildeo Geral
7
106
7
42
4
1
2
12
2
7
1
2221
t
teCeCX
XXCXCX
tt
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
160
2) Resolva o sistema
5
3
yxy
yxx
XX
11
11
Encontrar os autovalores
011
11
0)det(
IA
20
0)2(
0121
01)1(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 01 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
t
tt
tt
eCCX
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
21
2
2
0
1
2211
2211
1
1
1
1
1
1
1
1
21
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
tf
p
p
5
3)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
161
5
3
)(
)(
5
3
11
11
dbtca
dbtca
c
a
dct
bat
b
a
ca
ca
0 fazendo 11 ca
4
1
3
db
adb
adb
4
51
5
db
db
cdb
Fazendo 04 db
t
tX p
4
Logo
t
teCCX t 4
1
1
1
1 221
Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica
1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a
funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais
poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que
pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo
A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma
CtX )(
onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes
Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que
)()( tUtX p
seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema
)()( tFXtAdt
dX
entatildeo
)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
162
sabemos que )()( tAt logo
)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt
)()()( tFtUt
)()()()()( 11 tFttUtt
)()()( 1 tFttU
dttFttU )()()( 1
entatildeo
dttFttX p )()()( 1
eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
Exemplo
Resolva o sistema
teyxy
tyxx
42
33
Vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
42
13
Encontrar os autovalores
043
13
0)det(
IA
25
0107
024312
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 51 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
2
1
02
0
0
12
12
fazendo 2bK temos
2
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
22
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
2
1
25
25
2
2
5
1
2211
2211
21
1
2
1
21
C
C
ee
eeeCeCX
eKCeKCX
XCXCX
lfundamentamatriz
tt
tt
tt
tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
163
Precisamos encontrar )(1 t
tt
tt
ee
ee25
25
2
212
10
01 LL
t
tt
e
ee2
25
30
12
312
01
LL
t
t
e
e2
5
30
0
2
2
1
5
2
112
31
31
Le
Le
t
t
10
01
tt
tt
ee
ee
22
55
3
1
3
23
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3
1
Logo
tt
tt
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ee
22
55
1
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1
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23
1
3
1
tt
tt
tt
tt
ete
ete
e
t
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2
45
2
55
1
6
3
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13
23
1)()(
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ttt
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tt
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22
455
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6
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3
1)()(
ttt
ttt
tt
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p
eete
eete
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eedttfttX
22
455
25
25
1
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33
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25
3
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3
3
1
2)()()(
t
t
p
t
t
p
tt
tt
p
et
etX
et
etX
eetet
etetX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
2
3
50
63
5
24
3
50
81
5
18
3
1
2
3
2
1
25
6
5
62
33
4
1
25
3
5
3
3
1
Soluccedilatildeo
t
t
tt
et
eteCeCX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
1
1
2
12
2
5
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
164
AULA 28 ndash Exerciacutecios
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros
1)
122
433
yxdt
dy
yxdt
dx
2)
2
2
4
3
53
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes
indeterminados
3)
52
732
yxdt
dy
yxdt
dx
4)
53
23 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
Respostas
1)
10
15
11
11
2
3
1
121 teccX t
2) 2223
22
1
49
215
413
213
3
10
1
2 tttt
eteececX
3)
3
1
1
3
1
121
tt ececX
4)
43
2
414
1
43
41
1
1
1
1 242
21 ttececX tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
165
AULA 29
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA
1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy
xCey 2
2
02
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia
44
0
33
2210 xCxCxCxCCxCy
n
nn
1
1
34
2321
432
n
nnxnCy
xCxCxCCy
Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy
021
1
n
nn
n
nn xnCxnC
Trocando
1
1
01
1
Nn
Nn
n
n
II
NN
NN
I
n
nn xCNxnC
011
)1(
1
1 )1( Temos que verificar se I = II
0
2321)1(
2321
1
1
32)1(
32
N
NN
n
nn
xCxCCxCNII
xCxCCxnCI
Satildeo iguais
Voltando
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
166
0)1(
2
02)1(
02)1(
02)1(
1
1
0
1
01
1
nn
CC
CCn
xCCn
xCxCn
nn
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
Para
234
)2(
234
)2(2
4
23
23
)2(
23
)2(2
3
22
2
)2(
2
)2(2
2
21
21
20
04
03
34
03
02
23
02
012
00
1
CCCCn
CCCCn
CCCCn
CC
Cn
Foacutermula da recorrecircncia
1
)2( 0
nn
CC
n
n
Entatildeo
0
44
33
2210
n
nn xCxCxCxCCxCy C
0
0
1
0
443322
0
30
320
20
0
)2(
)2(1
4
2
3
2
2
2
1
21
3
)2(
2
)2(
1
2
n
nn
n
nn
n
xC
n
xC
xxxxC
xCxCxCC
Como
3
)2(
2
)2(21
321
322
32
xxxe
xxxe
x
x
Logo
xeCy 2
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
167
2) Resolver a equaccedilatildeo 02
2
ydx
yd
i
1
01
2
2
senxCxCy 21 cos
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia
2
2
1
1
0
)1(
n
nn
n
nn
n
nn
xCnny
xnCy
xCy
2
2
2
Nn
Nn
n
24
132
0
)2(
22
)2(
2
2
34232
)1)(2()1)(2()1(
xCxCC
xCNNxCNNxCnnyN
NN
N
NN
n
nn
Que fica igual a
24
132
2
2 34232)1( xCxCCxCnnyn
nn
Logo substituindo
2
2)1(n
nnxCnny na equaccedilatildeo temos
0)1)(2(02
)2(
n
nn
n
nn xCxCnn
0)1)(2(2
)2(
n
n
nn xCCnn
0)1)(2( )2( nn CCnn
0)1)(2(
)2(
n
nn
CC n
n
para 12
0 02
CCn
para 23
1 13
CCn
para 412
)(
34
1
342 002
4
CCCCn
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
168
para 523
)(
45
1
453 113
5
CCCCn
para 6456
1
564 004
6
CCCCn
para 7567
1
675 115
7
CCCCn
765432
17
06
15
04
13
02
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Foacutermula da Recorrecircncia
1)12(
)1(1
)2(
)1( 1)12(
02
k
k
CCk
k
CC
k
k
k
k
Voltando
0n
nnxCy
5
53
314
42
20 xCxCxCxCxCCy
senxCxCy
k
xC
k
xCy
xxxxC
xxxCy
n
kk
n
kk
n
10
0
12
1
0
2
0
753
1
642
0
0
cos
)12(
)1(
)2(
)1(
7536421
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
169
REFEREcircNCIAS
ABUNAHMANSERGIO A Equaccedilotildees Diferenciais LTC 1994
BOYCE WE DIPRIMA RC Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores
de contorno LTC 1989
BRONSON R COSTA G Equaccedilotildees Diferenciais 3a ed Coleccedilatildeo Schaum 2008
KREYSZIG Erwin Advanced Engineering MathematicsLTC 1999
ZILL DG Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em ModelagemThomson Learning 2003
ZILL DG GULLEN MREquaccedilotildees Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
3
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES 37
351 Fator Integrante 37
352 Substituiccedilatildeo ou de Lagrange 39
AULA 9 42
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A LINEARES 42
361 Equaccedilotildees de Bernoulli 42
AULA 10 45
362 Equaccedilatildeo de Ricatti 45
AULA 11 48
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 48
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES 48
411 Definiccedilotildees 48
412 Equaccedilatildeo da Envoltoacuteria 49
413 Soluccedilotildees Singulares 50
AULA 12 52
414 Equaccedilatildeo de Clairaut 52
AULA 13 54
415 Equaccedilatildeo de Lagrange 54
416 Outros tipos de equaccedilatildeo de 1a Ordem e grau diferente de um 56
AULA 14 58
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS 58
AULA 15 60
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMAacuteTICOS 60
61 MODELO MATEMAacuteTICO 60
62 DINAcircMICA POPULACIONAL 61
63 MEIA VIDA 63
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO 65
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO 65
66 RESFRIAMENTO 66
67 MISTURAS 68
68 DRENANDO UM TANQUE 70
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA 72
610 CORPOS EM QUEDA 74
6101 Corpos em queda e a resistecircncia do ar 76
611 CORRENTE DESLIZANTE 78
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE 80
AULA 16 87
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR 87
AULA 17 89
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES 89
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
4
711 Caso 1 Raiacutezes Reais Distintas 90
712 Caso 2 Raiacutezes Muacuteltiplas 90
713 Caso 3 Raiacutezes complexas distintas 91
AULA 18 94
72 EULER - CAUCHY 94
AULA 19 97
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS 97
731 Soluccedilatildeo por coeficientes a determinar (Descartes) 97
AULA 20 100
732 Soluccedilatildeo por variaccedilatildeo de paracircmetros 100
AULA 21 103
733 Meacutetodo do Operador Derivada 103 7331 Definiccedilatildeo 103 7332 Propriedades 103 7333 Equaccedilotildees Diferenciais 103 7334 Operador Anulador 104 7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores 105 7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares 106
AULA 22 109
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS 109
AULA 23 111
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 111
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 111
911 Sistema Massa-Mola Movimento Livre natildeo amortecido 111 9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido 112 9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento112
912 Sistema Massa-Mola Movimento Livre Amortecido 113 9121 ED do Movimento Livre Amortecido 113
913 Sistema Massa Mola Movimento Forccedilado 116 9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento 116 9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido 117
914 Circuito em Seacuterie Anaacutelogo - Circuitos eleacutetricos RLC em seacuterie 118
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 119
921 Deflexatildeo de uma viga 119 9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno 120 9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina 121 9213 Corda Girando 123
AULA 24 128
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 128
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL 128
AULA 25 131
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA 131
AULA 26 134
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 134
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
5
1031 Vetor soluccedilatildeo 135
1032 O Problema de Valores Iniciais 136 10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo 136
1033 Sistemas homogecircneos 136 10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo 137
1034 Independecircncia Linear 138 10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes 138
1035 Conjunto fundamental de soluccedilatildeo 139 10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos 139
1036 Sistemas natildeo homogecircneos 140 10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos 140
1037 Uma Matriz Fundamental 142 10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular 143 10372 Matriz Especial 143
10373 t eacute uma Matriz Fundamental 145
AULA 27 150
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS 150
1041 Autovalores reais e distintos 150
1042 Autovalores complexos 152
1043 Autovalores de Multiplicidade dois 153
AULA 28 158
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS 158
1051 Coeficientes Indeterminados 158
1052 Variaccedilatildeo de Paracircmetros 161
AULA 29 165
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA 165
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
6
AULA 1
REVISAtildeO DE INTEGRAIS
Resolva as seguintes integrais
1) dxx )13( R Cxx
2
3 2
2) dxx
x
4= R Cxx 48
3
2
3)
dxx
x2
2 )1( R C
xx
1
4)
21 x
dx R Carcsenx
5)
dxx
x21
R Cx 21ln2
1
6) )1( 2xx
dx R C
x
x
1ln
2
12
2
7)
21 x
dx R Cx arctan
8) 42x
dx R C
x
x
2
2ln
4
1
9) x
dx
3 R C
x
3
1ln
10)
dxx
x3
21 R Cx
x ln
2
12
11)
dxx
x3
2 )1( R Cx
x ln
2
12
12) dxx
x
tan
sec2
R Cx tanln
13)
dx
ax
ax22
22
R Cax
axax
ln
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
7
14)
dx
ax
ax22
22
R Ca
xax arctan2
15) dxxe x3 R Cxe x 13
9
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R Cx 231ln 2
20)
dx
x
x
35
13 R Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R Cxx 10ln212
23) dxxe x )2(1
ln
R Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan R Cex x arctan1arctan
25) xdxe x sincosln R C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 32
R Cex x 2
)1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22
R Cxxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
8
AULA 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
11 INTRODUCcedilAtildeO
Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy
de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra
apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua
derivada eacute 23
3
xedx
dy x Se fizermos3xey teremos
23 xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo
representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de
um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo
O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde
dada uma derivada encontrar uma antiderivada
Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm
significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo
a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por
exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades
puramente matemaacuteticas
a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os
pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma
funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza
a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que
envolve uma grandeza
o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura
consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)
se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se
dx
dy
em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a
derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse
quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo
)(xfdx
dy
eacute possiacutevel escrever
dxxfdy )(
que se denomina equaccedilatildeo diferencial
uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo
da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
9
12 Definiccedilatildeo
Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou
diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos)(2 2
5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
13 CLASSIFICACcedilAtildeO
131 TIPO
Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis
dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo
ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter
mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)
Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de
duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo
diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso
132 ORDEM
A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As
equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira
ordem
133 GRAU
O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como
um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos
exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato
quanto a ordem e grau
134 LINEARIDADE
Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees
1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou
seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um
2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel
independente x
Exemplos
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e
terceira ordem
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre
aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um
nuacutemero menos de constantes
Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma
equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes
de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes
f) xx eCeCy 2
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
AULA 2 - EXERCIacuteCIOS
Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros
estejam sobre o eixo y
Respostas
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2 ( ) 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
AULA 3
2 RESOLUCcedilAtildeO
Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a
equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa
identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira
que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem
de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e
consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo
21 CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo
particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da
equaccedilatildeo diferencial
xdx
dy2
Que resulta em Cxy 2
22 SOLUCcedilAtildeO
Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As
soluccedilotildees podem ser
Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de
uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades
de ordem da equaccedilatildeo
Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees
iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante
inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os
valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos
Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave
envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A
soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais
natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante
As soluccedilotildees ainda podem ser
Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute
chamada soluccedilatildeo expliacutecita
Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G
trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Exemplo
Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita
Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluccedilatildeo x
y
Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita
Exemplo
Verifique que 16
xy
4
eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21
xydx
dy no intervalo )(
Resoluccedilatildeo
Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21
xydx
dy eacute
zero paratodo x no intervalo
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na ED temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx
dy sujeita a condiccedilatildeo inicial
00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de
problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo
diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)
determinado a priori
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
15
Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se
especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos
x0 e3ye3cec3
Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos
1xx111 e3yee3yee3cec3
Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx
dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo
ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica
As funccedilotildees y = 0 e 16
xy
4
satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma
deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO
Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o
ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy
df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I
centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)yx(fdx
dy sujeito a 00 y)x(y
Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO
1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo
2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial
Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo
que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas
caracteriacutesticas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de
valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo
Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao
caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o
caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais
possuam soluccedilotildees
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS
As equaccedilotildees diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
satildeo chamadas de autocircnomas
Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a
equaccedilatildeo (2) na forma
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluccedilatildeo eacute
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(
1
yfdy
dx em
A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A o que justifica o procedimento formal
Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema
00)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos
Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute
proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma
kydx
dy (7)
Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees
separadamente nos dois intervalos 0 y e y0
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R
Considere a equaccedilatildeo autocircnoma
akydx
dy
sua soluccedilatildeo geral para k
ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto
k
ayea
kyeaky CxkCxk
1 )()(
Neste caso k
ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1
o grau
)( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(xy) e N = N(xy)
Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS
A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se
M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes
M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel
Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a
equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis
311 RESOLUCcedilAtildeO
Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos
separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma
CdyyQdxxP )()(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec xdytgyydxtgx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a
equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo
)(
Resolver as seguintes equaccedilotildees
diferenciais
2) 01
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 ndash a
2)(y
2 ndash b
2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas
1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo
nuacutemero real
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 ndash x) = C
5) C y2 = 1 + x
2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a a
ex
ln
2
9) tg x tg y = C
10) Cb
yarctgb2y
ax
axlnax
11) y = c(x ndash 1)
12) Cx1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(42 yydx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA
Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a
relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale
a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)
Exemplos
1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y
2 eacute homogecircnea de grau 2
pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222
2) 4y
x)yx(g
2
2
eacute homogecircnea de grau zero pois
)yx(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()tytx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(xy) = 2x3 + 5xy
2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois
)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323
Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever
x
y1fx)yx(f n e
1
y
xfy)yx(f n
satildeo ambas homogecircneas de grau n
Exemplo
Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo
x
y1fx
x
y
x
y31x
x
y
x
y31x)yx(f 2
22
2
22
1
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)yx(f 2
22
2
22
322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS
A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se
M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau
Exemplos
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
y
xy
3)
x
yarctgy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3221 Resoluccedilatildeo
Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0
Tem-se
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx
x
yF
dx
dy (1)
Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as
variaacuteveis
Dessa forma substitui-se x
y por u
xuy (2)
Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) temos
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Em resumo
Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo
de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita
Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo
separaacutevel
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo
02)( 22 xydydxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 ndash EXERCIacuteCIOS
Resolva as seguintes equaccedilotildees
1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0
2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx ndash xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y
8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial
3
1)1(y
Respostas
1) y2 + 2xy ndash x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
221
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES
REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS
Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees
homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis
Satildeo equaccedilotildees da forma
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes
Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das
variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de
eixos
Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar
331 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute DIFERENTE DE ZERO
Resoluccedilatildeo
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy
A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute
dvdyvy
dudxux
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para
o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma
vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero
Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e satildeo as raiacutezes do sistema
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo23
132
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
332 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute IGUAL A ZERO
Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A
equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis
Como 22
11
ba
ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode
escrever
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relaccedilatildeo a x
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equaccedilatildeo transformada
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136
12
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCIacuteCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas
1) 2x2 ndash 6xy + y
2 + 2y = K
2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se
existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e
suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que
x
N
y
M
Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja
diferencial dada por
dyy
udx
x
udu
(2)
Entatildeo comparando (1) e (2) teremos
)( yxMx
u
(3)
e
)( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo
(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos
)()()( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos
)()(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta
)()()(
yxNygy
dxyxM
Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos
1
)()()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
)(
)()()(
Logo a soluccedilatildeo eacute da forma
Cdy
y
PNMdxyxU )(
onde costuma-se denotar MdxP
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y ndash 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh xcosy dx = coshxseny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
341 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x
N
y
M
Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata
Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx
u
e NF
dy
u
Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui eacute loucura
Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando temos
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando CdxxRF )(ln
dxxRexF
)()(
onde
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos
dyyReyF
)()(
onde
x
N
y
M
MxR
1)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo
Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x
N
y
M
mostra-se que haacute
uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata
A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante
F(x) F(y)
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator
integrante
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 ndash y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluccedilatildeo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas
1) x2 cos y + x
4 = C
2) Ctgyex 2
3) Ceseny x
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES
Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute
dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
desse tipo a saber
351 FATOR INTEGRANTE
Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial
exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de
nosso problema
QPydx
dy
Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressatildeo
0 dyedxQPyePdxPdx
Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos
Pdx
Pey
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por fator integrante
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE
Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)
criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O
meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z
a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt
Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber
i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)
ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx
dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de
variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy
dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln
Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC
eeey Fazendo
Cek temos Pdx
key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta
Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a
soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo
possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo
Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx
dt (6) que eacute da
mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx
ket Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
Daiacute Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1 Integrando este uacuteltimo
1
(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e
dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado temos CQdxek
ZPdx
1
(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e
ldquoZrdquo
CQdxek
keyPdxPdx 1
onde resulta finalmente em
CdxQeeyPdxPdx
(8)
que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)
Exempo 2
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycostan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx
dy
Respostas
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A
LINEARES
Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que
mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de
tais equaccedilotildees satildeo
361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
Equaccedilatildeo da forma
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2
Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma
EDO linear
Pois se
n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea
Soluccedilatildeo
Transformaccedilatildeo de variaacutevel
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relaccedilatildeo a x
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1) que eacute
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o
primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 temos
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior
Exemplo
232
xyx
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 02 2 xydx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas
1) 2
1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
)ln(
1
3) 12 2223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI
A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy
(1)
onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e
quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela
soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5
Resoluccedilatildeo
Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a
equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x
Como 0y eacute soluccedilatildeo temos
RQyPydx
dy 0
2
0
0
(3)
Por outro lado derivando (2) tem-se
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes
de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais
4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5
Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes
ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida
Em resumo
Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de
(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)
transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli
Exemplo
Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluccedilatildeo geral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32
2
x
y
x
y
dx
dy Em caso afirmativo
calcular a soluccedilatildeo geral
2) Mostrar que x
y1
eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluccedilatildeo
geral
3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluccedilatildeo geral
4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo
particular
5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo
particular
Respostas
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
411 DEFINICcedilOtildeES
Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo
diferencial
Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo
particular da equaccedilatildeo
Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro
0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famiacutelia de curvas integrais
Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia
como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias
concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA
Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como
envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir
uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver
nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute
definida pelo sistema
0)(
0)(
yxf
yxf
(1)
cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a
equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y
Exemplo
Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0
dx
dyyxF
Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo
geral
particular
singular (eventualmente)
A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas
integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada
A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
original
De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da
envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva
integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular
Exemplo
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2
22
x
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12
2
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)
4
2xy (soluccedilatildeo singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT
A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy
Resoluccedilatildeo
Chamando pdx
dy
a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)(1
0)( pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)
De (2) tem-se
0)( px (3)
xp )(
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo
singular
Exemplos
6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 ndash EXERCIacuteCIOS
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo
singular das seguintes equaccedilotildees de
Clairaut
a dx
dy
dx
dyxy ln
b
2
3
dx
dy
dx
dyxy
c 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d 045
y
dx
dyx
dx
dy
e 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE
A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se
dx
dy
dx
dyF
Resoluccedilatildeo
A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica
Chamando pdx
dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se
)(
)(
)(
)(
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo
geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica
)(
)(
pyy
pxx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo
2
1
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
Resolver as seguintes equaccedilotildees
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCIacuteCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy
18)
0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x
determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0
20) dxexydxxdy x2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln( 3 dyxydxx
y
23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22)1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da
equaccedilatildeo xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluccedilatildeo geral
Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes
equaccedilotildees
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2
Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
Natildeo haacute soluccedilatildeo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMAacuteTICOS
61 MODELO MATEMAacuteTICO
Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da
vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A
descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda
levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees
animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma
substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a
principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa
estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
A seguir
ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema
que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer
leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a
forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute
predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a
resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de
uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais
equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo
diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema
de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-
lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as
prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou
levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de
modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo
matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t
Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da
variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e
futuro
62 DINAcircMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por
traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais
cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em
outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em
termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser
expressa por
kxdt
dx 00
)( xtx ktexx
0
(1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos
envolvendo crescimento ou decaimento
Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de
(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0
O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt
dS a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente
Exemplo
Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias
passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes
determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Resoluccedilatildeo
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ndash ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = cekt
Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma
0x
cex
0
00
Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2
3x0
40550k
k2
3ln
e2
3
exx2
3
k
1k00
voltando novamente a equaccedilatildeo temos
t40550
0
kt0
exx
exx
para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
70922t
0986121t40550
t405503ln
e3
exx3
t40550
t4055000
seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente
63 MEIA VIDA
Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-
vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais
estaacutevel ela eacute
Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos
metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio
mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse
tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206
AKdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA 0
Exemplo
Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que
0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a
taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente
Resoluccedilatildeo
000
0
A999570A000430A15t
A0t
Resolvendo a equaccedilatildeo
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
kte
c
A
A = cekt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
Sabendo que 0A)0(A temos
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo
A(t) = A0ekt
A(15) = A0e15k
A(t) = 2
0A
099957 A0 = A0e15k teAtA
51088672
0 )(
Ln099957 = ln e15t 000028670
0
0 2
eAA
-000043 = 15 k te 000028670
2
1
K = - 2866710- 5
-06931 = - 000002867t
t = 24180
t 24180 anos
Voltando a equaccedilatildeo temos que
t10866720
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer
3717924t
t1086672693150
t108667250ln
e50
eA2
A
5
5
t1086672
t10866720
0
5
5
Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas
combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia
Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente
radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o
fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma
substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de
substacircncias remanescente no instante t
AKdt
dA (2)
Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos
siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)
kgt0 para o decaimento como em (2) klt0
O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a
determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)
aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja
taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo
transformada ou remanescente no instante t
A questatildeo eacute que
Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios
fenocircmenos diferentes
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade
de foacutesseis usando o carbono radioativo
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute
produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio
A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma
constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os
organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera
Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo
cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a
razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil
O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de
5600 anos
O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de
Turim
7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um
quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
Exemplo
Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a
idade do foacutessil
Resoluccedilatildeo
A(t) = A0ekt
5600
0
0 2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 06931
K = - 0000123776
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
A(t) = A0e- 0000123776t
teAA 0001237760
00 100
1
te 0001237760ln
100
1ln
- 0000123776 t = - 69077
t = 55808
A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos
66 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se
Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
Exemplo
Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua
temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF
Resoluccedilatildeo
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T() = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por
70 ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que
T(0) = 3000
300 = Cek0
+ 70
C = 2300
Logo
T = 230ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T com isso
200 = 230e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
1901816190k
5705448580k3
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
70e230)t(T t190180
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus
7023075 190180 te
230
7075190180 te
- 019018t = ln230
5
t = 2013
com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
67 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees
por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo
no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a
taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida
se RR
dt
dA
sal de
saiacuteda de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute
minlb6)galkb2(min)gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde atildeoConcentraccedil
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees
Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de
saiacuteda de sal Rs eacute
min100
300
min)3(
sal de
saida de taxa
saiacuteda de fluxo no
sal de atildeoConcentraccedil
salmoura de
saiacuteda de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo
Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos
colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais
quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
Resoluccedilatildeo
100
100100
100100
600
600
6
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos
550
60050 0
C
eC
Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma
100550600t
eA
A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela
Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que
esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser
(300 gal)(2lbgal) = 600 lb
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro
era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma
taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo
gallb
t
AgalRs
300min)2(
Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 26641
100 39767
150 47727
200 52557
300 57262
400 58993
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute
27 )300)(10954(2600)( tttA
68 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um
corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde
g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja
drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade
Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no
tanque no instante t
Considere o tanque ao lado
Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de
saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda
de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)
Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque
for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA
(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt
dhA
dt
dVw
Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a
altura de aacutegua no instante t
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse
caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo
Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0
comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t
Resoluccedilatildeo
Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema
Logo tem-se que
A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute
(1)
Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos
20c de modo que (1) pode ser escrita como
Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua
pura no tanque
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA
Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)
o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a
qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois
grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo
kxydt
dx (8)
ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se
argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para
eliminar y em (8) obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1
Exemplo
Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma
doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de
variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o
nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para
que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila
Resoluccedilatildeo
Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de
ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria
Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais
proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute
Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos
Substituindo entatildeo temos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
(
)
Integrando
int
(
) int
int
int int
(
)
(
)
Se em t=0 N=5 temos que
Entatildeo
Para que N = 250 no tempo t temos que
Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
610 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila
externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a
forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute
proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme
ilustrado na figura abaixo
Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no
instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para
cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age
sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da
Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg
onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O
sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra
eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva
Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute
v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
0)0( ss 0)0( vs (11)
Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais
determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica
elementar como a foacutermula 00
2
2
1)( stvgtts
Exemplo
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial
zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine
a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t
b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t
c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
Resoluccedilatildeo
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o
sentido para baixo
Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt
dvg
Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0 segue que 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100 temos 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m s2 teremos
st
t
5420
2
10100
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior
do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena
quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve
ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A
forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um
corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra
uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias
tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute
dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva
e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo
oposta ou para cima
Veja a figura abaixo
Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a
atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se
dt
dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma
da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva Em termos des (12) eacute
uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
Exemplo
Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se
o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine
a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo
b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e
c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima
Resoluccedilatildeo
(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt
dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de
movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o
corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv
responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo
negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k
mgcev
tm
k
Em t=0
v=v0 logo k
mgcev m
k
0
0 ou
k
mgvc
0 A velocidade do corpo no instante t eacute
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0
Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
611 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da
corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a
corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo
de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no
pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento
conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
Peso da corrente
W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L
Massa da corrente
m = Wg = L 32
Forccedila resultante
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo
Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um
cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como
6219 LP e
Resoluccedilatildeo
(
) (
)
Sendo frasl
Como
Sendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Como e soacute eacute possiacutevel
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE
Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor
resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga
em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como
indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave
soma das quedas de voltagem na malha
A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem
voltagemdequeda
henrys(h)Lindutacircncia
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
voltagemde queda
)(ohms aresistecircnci
Resistor
q
c
fC
1 voltagemde queda
)( farads iacapacitacircnc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo
Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)
)(tERidt
diL
ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente
i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema
A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a
carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de
Kirchhoff nos daacute
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima
transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo
Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e
a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0
Resoluccedilatildeo
L= indutacircncia = frac12 ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistecircncia = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
Logo
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
AULA 15 - EXERCIacuteCIOS
1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito
onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha
fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute
ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente
2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2
henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t
3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01
henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto
t Use E = 30 V
4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4
farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a
corrente i(t)
5) Uma forccedila eletromotriz de 200 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6
farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04
Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t
6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero
de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela
triplicaraacute
7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual
era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos
8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo
Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em
30 anos
9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente
Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas
observam-se 3000 fileiras Determine
a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no
instante t
b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de
habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute
de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes
11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos
continuamente Determine
a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos
b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha
havido retiradas ou depoacutesitos adicionais
12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um
depoacutesito feito na conta duplique em seis anos
13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente
Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7
anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos
trecircs anos
14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem
inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua
massa original determine
a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t
b) A Massa do material apoacutes quatro horas
c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)
15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade
presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute
presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer
16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a
massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia
presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia
17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas
18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se
desintegrado Qual a idade da madeira
19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora
onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50
ordmF Qual seraacute a
temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar
15ordmF
20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave
diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e
o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60
oC dentro de quanto tempo sua
temperatura desceraacute para 30oC
21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente
para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o
ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma
pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da
secretaacuteria a liberta alegando o que
22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que
governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo
para imigrar a uma taxa constante r
23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de
mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da
populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t
mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t
24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus
universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o
nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for
espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os
estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus
25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual
foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de
3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a
mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no
instante t
26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse
tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na
mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora
27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um
buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua
vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de
aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de
aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para
ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica
Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua
no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao
lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2
28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o
paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o
paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da
velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a
velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a
resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade
instantacircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e
abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do
paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1
Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se
abre o paraquedas
30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente
com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura
aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98
0C
31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma
salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o
nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t
32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por
galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute
bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no
instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min
33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram
dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para
fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos
RESPOSTAS
1) tetI 355)(
2) tei 2510
3) tcei 500
5
3 e 5
3)(lim
ti
t
4) tceq 50
100
1 onde 100
1C e
tei 50
2
1
5) tceq 200
1000
1
tcei 200200
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
500
1C
coulombsq 00030)0050(
ampi 14720)0050(
1000
1q
6) 792 anos
7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604
8) N(30) = 760
9)
10)
11)
12) 1155
13) R$ 927143
14)
15) t = 11 horas
16) t = 13672 horas
17) 885 gramas
18) 15600 anos
19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min
20) t = 60 min
21) justificativa pessoal
22) rkpdt
dP rkp
dt
dP
23) 2
21PkPk
dt
dP
24) )1000( xkxdt
dx
25) 100
A
dt
dA
26) Aproximadamente 181
27) hc
dt
dh
450
28) 2kvmg
dt
dvm
29) 70ms
30) Aproximadamente 821 s
Aproximadamente 1457 s
31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50
32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100
00975 lbgal
33) 6438lb
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
AULA 16
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma
ByAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes
Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo
Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo
yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)
onde
p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema
r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea
r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea
A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)
isto eacute ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base
fundamental)
Exemplo
y + y = 0
Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)
Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica
)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente
Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e
y2(x) satildeo linearmente independentes
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)()()(12
xyxhxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1
AULA 16 - EXERCIacuteCIOS
1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo
a) 0y9xy5yx2 com 3
1 x)x(y
b) 0y3yx4 2 com 21
1 x)x(y
c) 0y4
1xxyyx 22
com xcosx)x(y 2
1
1
Respostas
a xlnx)x(y 32
b 2
x)x(y
23
2 c senxx)x(y 21
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
AULA 17
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Satildeo aquelas da forma 0yAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
onde A0 A1 A2An
satildeo constantes
Resoluccedilatildeo
Para n= 1 rarr 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
eey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC temos key xλ
Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b satildeo constantes
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta
xλey
xλeλy
xλ2eλy
Substituindo na EDO temos
0e)bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de
equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada
Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar
711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a soluccedilatildeo geral fica
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eCeCeCeCy
712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS
Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2
Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as
raiacutezes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante
Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente
Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλehλ2ehy
heλehy
ehy
)x(y)x(h)x(y
Substituindo na equaccedilatildeo dada
0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando
0)()2( 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P
Entatildeo
KCxh
Ch
h
0
Logo
xeKCxy
yhy
)(
2
12
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Soluccedilatildeo geral
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior
xλ1nn
2321 e)xCxCxCC(y
713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo
para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
Das foacutermulas de Euler temos
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 ndash C2) = C2
temos
senbxCbxcosCey 21ax
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Exemplos
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3
3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
AULA 17 - EXERCIacuteCIOS
1) 065 yyy
2) 01243 yyyy
3) 022 yyy com 1)0( y e 02
y
4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y
5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y
6) 09 2 yy
7) 069 yyy com 4)0( y e 3
13)0( y
8) 02 2 ykkyy
9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y
10) 0344 yyy com ey )2( 2
)2(e
y
11) 0127 yyy
12) 054 yyy
13) 075 yyy
14) 02 yyy
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 2
33
22
1
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ3
2xπ3
1 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe50e30y
10) x50ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32
x21
13)
2
3xsenC
2
3xcosCeCy 32
2
x5
1
14)
xexCCy )( 21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
AULA 18
72 EULER - CAUCHY
A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos
teabax
que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis
No caso da equaccedilatildeo ter a forma
02 byaxyyx
Faremos
y = xm
yrsquo = mxm-1
yrdquo = m(m-1)xm-2
Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que
(m2 + (a ndash 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma
equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes
Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Exemplos
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
0222 yxyyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
AULA 18 - EXERCIacuteCIOS
1) 0202 yyx
2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx
3) 04324610 2 yxyyx
4) 02 yxyyx
5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6
6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3
Respostas
1) 5
24
1 xCxC
2) 3
32
21
)x1(
C
)x1(
C
1x
Cy
3) 81
21 x)xlnCC(y
4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21
5) 25
x)xln2(
6) xlnx3 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 19
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS
10
00
)(
)(
)()()(
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea
A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e
x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I
Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos
i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes
ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange
iii Meacutetodo do operador derivada D
731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)
Padratildeo para soluccedilatildeo particular
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
)10n(kxn
011n
1nn
n CxCxCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs
1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2
o
coluna
2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Exemplo
0)0(
1)0(
2 2
y
y
xeyyy x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
99
AULA19 - EXERCIacuteCIOS
1) xsenyy 34
2) 325102 2 xyyy
3) xseneyyy x 53712352 5
4) 1265 2 xyyy
5) xyy 314
6) 1232 2 xxyy
7) xeyyy 3127
8) xeyyy 28107
9) xeyyy 2844
10) xeyy 434
11) xsenyyy 2334
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 2124
14) senxyy 4
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 61251 xxxyyy para
4)0( y e 8)0( y
17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e
0)0( y
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx4
2x3
1 e20
3eCeCy
8) x2x5
2x2
1 xe3
8eCeCy
9) x22x2
2x2
1 ex4xeCeCy
10) x4
21 e20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
AULA 20
732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos
yn + Pn-1(x)y
n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)
A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a
soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO
homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando
paracircmetros variaacuteveis
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)()(11 dx
xW
xrxWu
)(
)()(22 dx
xW
xrxWu n
n)(
)()(
Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)()(
11
2
1
1
2
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente
11
2
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
11
1
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
1
0
0
1
2
1
1
2
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y
n natildeo se
esqueccedila de dividir r(x) por f(x)
Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
Exemplo223 22 xyxyyxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
AULA 20 ndash EXERCIacuteCIOS
1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x
2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x
3cosx
3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x
-4
4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x
2 ndash 15x
3
5) x3yrdquorsquo- 3x
2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x
4lnx
6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x
9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx23
x22
x1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
AULA 21
733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA
7331 Definiccedilatildeo
Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado
as operaccedilotildees que devem ser efetuadas
Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a
dx
dD
2
22
dx
dD
3
33
dx
dD
7332 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x)
P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)
P3Dm
(Dn
u)=Dm+n
u (sendo m e n constantes positivas)
P4 O operador inverso
dxueeu
aD
axax 1
a
P5 O operador direto uaDuu)aD( audx
du a
7333 Equaccedilotildees Diferenciais
Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D
Exemplo
ay + by + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n
1nn
n ArArA
tambeacutem se fatora
Exemplo
0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
7334 Operador Anulador
Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo
suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo
O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees
1n2 xxx1 Entatildeo um
polinocircmio 1n
1n2
210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n
Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Soluccedilatildeo
O operador eacute 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees
xα1nxα2xαxα exexxee
Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Soluccedilatildeo
Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(
Vamos verificar
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees
xβsenexxβsenexxβsenxexβsene
xβcosexxβcosexxβcosxexβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x
Soluccedilatildeo
5D2D)]41(D)1(2D[
1n01n2β1α
212
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
Vamos verificar
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(DD
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen
Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que
0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7
Soluccedilatildeo
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22
Logo
0)x3sen6x7)(9D(D 22
7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA
entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma
βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo
nuacutemeros reais
Resumo do Meacutetodo
i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L
ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g
iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1
0)y(L
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na
soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos
termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L
v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das
funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os
coeficientes indeterminados em py
vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a
equaccedilatildeo diferencial dada
7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares
1) Resolver empregando operadores 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 21 - EXERCIacuteCIOS
Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada
1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8y3y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
AULA 22
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) xsenxedx
dy
dx
yd x 2234 2
3
3
2) xex
dx
dy
dx
yd
dx
yd 2
2
2
3
3
3265
3) 13 2
2
2
xesenxydx
yd
4) 1284 2
2
2
xxydx
yd
5) 222
2
3
3
xdx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 1234 3
2
2
4
4
xxdx
yd
dx
yd
7) xey
dx
dy
dx
yd 3232
2
8) xey
dx
yd 2
2
2
44
9) xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344
10) xey
dx
dy
dx
yd22
2
2
11) senxydx
dy
dx
yd223
2
2
12) xdx
dy
dx
ydcos34
2
2
13) xsenydx
yd2316
4
4
14) xydx
yd2cos54
2
2
15) 52 2
2
2
xedx
dy
dx
yd
16) xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44
17) xeydx
dy
dx
yd x 2cos8822
2
18)
2244 2
2
2 xey
dx
dy
dx
yd x
19)
20)
21)
senxy
dx
yd 12
2
22) xyxyyx 3222
23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2
22
3
33 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx
x
ey
dx
dy
dx
yd x
22
2
xy
dx
yd
cos
12
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
RESPOSTAS
1)
4
x2xsen
8
x
16
e3x2senCx2cosCCy
2x2
321
2)
2
3
18
5
6
223
3
2
21
xxx xe
xx
eCeCCy
3) 132
3 2
21 x
xx esenxeCeCy
4) 44
2 22
2
2
1 xxeCeCy xx
5)
4
5
4
22
321
xxeCeCCy xx
6)
848
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx
7)
2
2
21
xxx e
eCeCy
8) xxx xeeCeCy 22
2
2
1
9) xxx exxeCeCy 222
2
2
12
3
10) )( 2
21 xxCCey x
11) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21
12) )4(cos17
34
21 senxxeCCy x
13)
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx
14)
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx
15)
22
5 22
21
xx xex
eCCy
16) xe
xxCCy 2
3
216
17) )22cos3(5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy exxx
18)
8
1)( 22
21
xexxCCy x
19) xxexeexCCy xxx ln)( 21
20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21
21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21
22) xxxCxCy ln32
21
23)
36
11)1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21
xx
C
x
C
x
Cy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
111
AULA 23
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos
diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma
mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas
interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de
um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa
equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da
ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial
enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos
aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as
diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples
e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO
Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte
riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo
da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola
diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do
alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante
de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo
nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)
implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola
somente 25 peacute
Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma
distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila
restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms
2 ou 980
cms2
equiliacutebrio
Posiccedilatildeo
inicial
g
K(s+x)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
112
Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a
massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da
mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo
que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F
com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da
posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos
9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido
Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk 2
A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo
amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1
representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se
x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade
inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0
x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento
Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2
=0 satildeo
nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como
tsenCtCtx 21 cos)( (3)
O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute
21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute
32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou
equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo
Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos
sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente
agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida
pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo
correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos
referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
113
iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular
resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento
Exemplo
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de
um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3
4 peacutess para cima
Determine a equaccedilatildeo do movimento livre
Soluccedilatildeo
Convertendo as unidades
6 polegadas = frac12 peacute
8 polegadas = 23 peacute
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = Wg = 232 = 116 slug
Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute
Logo (1) resulta em
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal
negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade
inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima
Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a
equaccedilatildeo do movimento seraacute
tsenttx 816
18cos
3
2)(
912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito
pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em
movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma
forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente
9121 ED do Movimento Livre Amortecido
No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo
consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor
durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt
Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton
que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
114
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia
do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento
Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd (5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute
m2 + 2 m + 2 = 0
e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto
22
1 m e22
2 m
Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22
Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica
despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo
CASO I Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio
CASO II Amortecimento Criacutetico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem
evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer
decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
115
CASO III Subamortecido
022
Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de
vibraccedilatildeo 0 quando t
Exemplos
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
Soluccedilatildeo
Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos
daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
X(t)= C1 e ndash 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento criacutetico)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a
equaccedilatildeo do movimento eacute
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o
comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de
um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido
ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade
instantacircnea
Soluccedilatildeo
O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue
da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a
equaccedilatildeo diferencial eacute dada por
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
116
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo
a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentetx t 3
3
23cos2)(
913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO
9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento
Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola
Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do
suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo
diferencial do movimento forccediladoou induzido
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m obtemos
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima
equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de
variaccedilotildees de paracircmetro
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx21
dt
xd
5
1
2
2
com2
1)0(x
e 0)0(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
117
Soluccedilatildeo
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou
quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou
metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado
por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2
) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos
esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em
que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como
o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre
Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a
determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido
Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute
termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica
com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos
severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio
Exemplo
1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt
xd 0
2
2
2
x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma
constante e
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Soluccedilatildeo
A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo
particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222 )(cos)(
Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
Logo
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
118
Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
com ωγ
914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo
auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0
dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute
Superamortecido 042 C
LR
Criticamente amortecido 042 C
LR
Subamortecido 042 C
LR
Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L
e portanto
q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave
medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t
Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo
tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples
Exemplos
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)
R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0
Soluccedilatildeo
Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica
0400040
01000104
1
qqq
qqq
Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
119
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas
forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo
transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma
soluccedilatildeo estacionaacuteria
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA
Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais
defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo
y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal
uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o
proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta
chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de
simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais
seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o
formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a
deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da
elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute
relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo
)(2
2
xwdx
Md (13)
Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica
EIkxM )( (14)
onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I
eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o
eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
120
Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por
23
2)(1
y
yk
Quando a deflexatildeo y(x) for
pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23
2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se
tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute
4
4
2
2
2
2
dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx
2 em (15) vemos que a deflexatildeo
y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades
da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de
outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute
mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como
vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para
uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade
engastada x = 0
y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e
yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a
inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)
Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo
yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e
yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero
A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)
Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno
Engastada 0y0y
Livre 0y0y
Simplesmente apoiada 0y0y
9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno
Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
121
Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y
implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de
contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y
Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos
daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que
0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0
Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -
gt0
Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21
Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2
Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima
condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de
nL ou2
22
L
n n = 1 2 3
Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para
cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em
outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9
4
2
2
2
2
2
2
LLL
a funccedilatildeo correspondente na
sequumlecircncia 3
2
xL
senxL
senxL
sen
eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original
9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina
No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema
de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial
compressiva
Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento
L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for
aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer
ponto ao longo da coluna obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
122
onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em
torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide
Exemplo
Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita
a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades
Soluccedilatildeo
O problema de contorno a ser resolvido eacute
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema
Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo
haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos
matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais
Escrevendo EIP vemos que
0)(
0)0(
0
Ly
y
yy
eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos
que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores
321 222 nLnEIPnn
Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a
forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas
cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22
1 LEIP chamada
de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo
As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura
abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a
menor carga criacutetica seraacute 22
2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a
restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a
carga critica 22
3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
123
9213 Corda Girando
A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem
0 yy (18)
ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e
0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e
um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o
modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como
um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando
A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar
sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo
Suponha que uma corda de comprimento L e
densidade linear constante (massa por unidade de
comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada
em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo
girada em torno do eixo x a uma velocidade angular
constante Considere uma parte da corda sobre o
intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a
magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for
constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada
pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees
diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na
figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute
12 TsenTsenF (19)
Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e
11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os
vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
124
)(2 xxytg e )(1 xytg
Assim sendo (19) vai se tornar
)()( xyxxyTF (20)
Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a
segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo
centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra
Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem
aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y
Igualando-se (21) e (20) temos
2)()()( yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)()(
Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x
xyxxy
)()(em (22) eacute
aproximado pela derivada segunda de d2ydx
2 Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo
y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
125
AULA 23 - EXERCICIOS
Movimento Livre natildeo amortecido
1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do
movimento harmocircnico simples
2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4
polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso
de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um
ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de
peacutes Determine a
equaccedilatildeo do movimento livre
4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6
polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32
9
4
6
8
12
b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do
movimento do peso nesse instante
c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio
Movimento Livre Amortecido
5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute
entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente
igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento
considerando que
a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms
para cima
6) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma
dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a
velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal
forma que o movimento subsequumlente seja
a) superamortecido
b) criticamente amortecido
c) subamortecido
Movimento Forccedilado
8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2
peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que
oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute
a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos
3t
9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32
Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a
f(t)=68e-2t
cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de
amortecimento
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
126
10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute
colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de
1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento
subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N
11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado
em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e
aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do
ar determine o movimento subsequente do peso
12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em
equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema
Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8
vezes a velocidade instantacircnea
Circuito em Seacuterie Anaacutelogo
13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2
C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o
capacitor eacute igual a zero
14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no
capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A
15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C
= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo
periacuteodo
16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e
uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor
mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada
inicialmente determine a carga subsequente no capacitor
17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de
farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a
expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga
iniciadas no capacitor satildeo zero
Respostas
1) 8
π2
2) t64cos4
1)t(x
3)
4) a)4
1
12
πx
2
1
8
πx
4
1
6
πx
2
1
4
πx
4
2
32
π9x
b)4 peacutess para baixo
c)16
π)1n2(t
n= 0 1 2
5) a)t8t2 e
3
1e
3
4)t(x
b)t8t2 e
3
5e
3
2)t(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
127
6)
7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52
8) t3sent3cos3
10t
2
47sen
473
64t
2
47cos
3
4e)t(x 2
t
9) tsenetetsenttx tt 424cos2
14
4
94cos
2
1)( 22
10) )sin13cos99099(500
1 27 tteex xx
11) ttttx 4cos4
14sin
16
14cos50
12) (
)
13) 41078C 00509s
14) q(t)=10+10e-3t
(cos3t+sen3t)
i(t) = 60e-3t
sen3t 10432 C
15) C2
3
2
3)t10sent10(cose
2
1)t(q t10
16)
17) radic radic
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
128
AULA 24
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL
Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as
mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees
Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas
de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico
desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem
O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas
primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem
A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem
p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de
funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral
Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema
normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo
as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por
razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de
segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees
a um sistema normal
Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees
algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em
funccedilatildeo do operador derivado D
Exemplos
1)
senxxzdx
dy
senxxdx
dzy
cos
cos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
129
2)
xzydx
dz
dx
yd
xdx
dz
dx
yd
22
3
2
2
2
2
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
130
AULA 24 - EXERCIacuteCIOS
1)
02
02
zdx
dz
dx
dy
zydx
dz
dx
dy
2)
x
x
ezydx
dz
dx
dy
ezydx
dz
dx
dy
2
5
32
4
3)
2
2
2
2
2
2
2
xzdx
zd
dx
dy
eydx
dz
dx
yd x
4)
03
42
zydx
dy
ezydx
dz
dx
dy x
5)
xzDyD
senxzDyD
cos)1()1(2
2)2(2)3(
Respostas
1)
x
x
eCeCy
eCeCz
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
ou
x
x
eCeCz
eCeCy
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
2)
xxx
xxx
eeeCy
eeeCz
252
5
1
252
5
1
25
2
5
3
3)
xexCsenxCeCeCy
xesenxCxCeCeCz
xxx
xxx
22
3cos2222
2
3
2
1
2
1cos
43
2
2
2
1
2
43
2
2
2
1
4)
x
x
esenxCCxCCz
esenxCxCy
2)3(cos)3(
2cos
2121
21
5)
senxxeCeCz
xsenxeCeCy
x
x
x
x
130
61cos
130
33
3
4
)cos8(65
1
5
23
1
5
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
131
AULA 25
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA
Dado o sistema
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
este pode ser escrito na seguinte forma
n
n
F
dy
F
dy
F
dydx
1 2
2
1
1
Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por
variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema
)(
)(
2
1
zyxFdx
dz
zyxFdx
dy
(1)
que pode ser escrito da seguinte maneira
321 F
dz
F
dydx
ou generalizando
)()()( zyxR
dz
zyxP
dy
zyxM
dx (2)
Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de
dois paracircmetros
Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute
Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-
se
nRmPlM
ndzmdyldx
R
dz
P
dy
M
dx
Escolhe-se l m e n tais que
lM + mP + nR = 0
o que faz com que
ldx + mdy + ndz = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
132
Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees
do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a
soluccedilatildeo do sistema
Exemplos
1)x
dz
x
dy
y
dx
2)zx
dz
yx
dy
zy
dx
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
133
3))()()( 222222 xyz
dz
zxy
dy
yzx
dx
OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio
adotado chega-se aquelas convenientes
AULA 25 - EXERCICIOS
1) cybx
dz
axcz
dy
bzay
dx
2) )()2()2( 444444 yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
3) yx2
dz
x3z
dy
z2y3
dx
4) z
dz
x
dy
y
dx
5) yx
dz
x
dydx
221
Respostas
1) x2 + y
2 + z
2 = C1
cx + by + az = C2
2) x4 + y
4 +z
4 = C1
xyz2 = C2
3) x2 + y
2 + z
2= C1
x + 2y + 3z = C2
4) x2 ndash y
2 = C1
zC2 = y + x
5) y = x2 + C1
z = 3
2x
3 + xy ndash x
3 + C2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
134
AULA 26
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA
ORDEM
Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
nnnm22n11nn
2nm22221212
1nm12121111
que pode ser escrito como
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
x
x
x
dt
d
nm2n1n
m22221
m11211
n
2
1
ou ainda
)t(FX)t(Adt
dX
que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas
homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tλeξX
temos
tλeξλX
substituindo no sistema obteacutem-se
0eξ)λA(
eξAeξλ
tλ
tλtλ
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
135
como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Exemplo 1
Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo
t10y3x4dt
dy
t2ey5x2dt
dx t
pode ser escrito como
t10
t2eX
34
52
dt
dX t
ou
t10
2e
0
1X
34
52X t
onde
y
xX
1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO
Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna
)t(x
)t(x
)t(x
X
n
2
1
cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema
)t(FX)t(Adt
dX
no intervalo
Exemplo 2
Verifique que
t2
t2t2
1e
ee
1
1X e
t6
t6t6
2e5
e3e
5
3X satildeo soluccedilotildees de
X35
31X
no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
136
Temos
t2
t21
e2
e2X
e
1t2
t2
t2t2
t2t2
t2
t2
1 Xe2
e2
e3e5
e3e
e
e
35
31AX
Agora
t5
t612
e30
e18X
e
12t6
t6
t6t6
t6t6
t6
t6
2 Xe30
e18
e15e15
e15e3
e5
e3
35
31AX
Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira
ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n
1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS
Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e
)t(x
)t(x
)t(x
)t(X
0n
02
01
0
e
n
2
1
0
γ
γ
γ
X
onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema
00 X)X(tasujeito
)t(FX)t(Adt
dXResolver
eacute um problema de valor inicial no intervalo
10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo
Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em
um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema
de valor inicialno intervalo
1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS
Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem
mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo
comum I
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
137
10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX
em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear
kk2211 XcXcXcX
onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo
Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer
vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem
eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Exemplo 3
Uma soluccedilatildeo do sistema X
102
011
101
X
eacute
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X1
Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois
tcoscsentc
tcosc2
1sentc
2
1
sentc
dt
dX
11
11
1
e
tcoscsentc
sentc2
1tcosc
2
1
sentc
sentctcosc
sentc2
1tcosc
2
1
tcosc
102
011
101
AX
11
11
1
11
11
1
As matrizes resultantes mostram que XAX
Exemplo 4
Consideremos o sistema X
102
011
101
X
Se
0
e
0
X t2 entatildeo
0
e
0
X t2 e
2tt
2 X
0
e
0
0
e
0
102
011
101
AX
Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da
superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
138
0
e
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcX t212211
eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema
1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no
intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que
0XcXcXc kk2211
para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo
dizemos que eacute linearmente independente
O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo
constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute
linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo
linear dos vetores restantes
10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes
Sejam
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo
necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o
wronskiano
0
xxx
xxx
xxx
)XXX(W
nn2n1n
n22221
n11211
n21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
139
Exemplo 5
No exemplo 2 vimos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees do sistema
X35
31X
Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez
que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos
0e8e5e
e3e)XX(W t4
t6t2
t6t2
21
para todo t real
Exemplo 6
Pelo exemplo 5 sabemos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees
linearmente independentes de X35
31X
em )( Logo X1 e X2constituem um
conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
entatildeo
t6
2t2
12211c e5
3ce
1
1cXcXcX
1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO
Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes
do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto
fundamental de soluccedilotildees no intervalo
10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos
Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como
nn2211 XcXcXcX
onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
140
Exemplo 7
Os vetores
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
Xe
0
1
0
X
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X 3t
21 satildeo
do sistema X
102
011
101
X
no exemplo 3 Agora
0etcossentsenttcos
senttcose
tcossent0senttcos
tcos2
1sent
2
1esent
2
1tcos
2
1sent0tcos
)XXX(W ttt321
para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de
soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
ce
0
1
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcXcX 3t
21332211
1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute
qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o
sistema )t(FX)t(Adt
dX
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo
homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc
10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos
Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX em um
intervalo I e denotemos por
nn2211c XcXcXcX
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
141
a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX correspondente
Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como
pc XXX
A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX eacute chamada funccedilatildeo
complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX
Exemplo 8
Verifique que o vetor
6t5
4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-
homogecircneo
3
11t12X
35
31X no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Temos
5
3X
p e
3
11t12
6t5
4t3
35
31
3
11t12X
35
31p
pX
5
3
3
11t12
2
14t12
3
11t12
)6t5(3)4t3(5
)6t5(3)4t3(
Exemplo 9
Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
3
11t12X
35
31X em )( eacute
6t5
4t3X p
No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a
soluccedilatildeo geral de X35
31X
eacute
t62
t21c e
5
3ce
1
1cX
Logo pela definiccedilatildeo dada
65
43
5
3
1
1 62
21
t
tececXXX tt
pc eacute
soluccedilatildeo geral de
3
11t12X
35
31X em )(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
142
Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo
)t(FX)t(Adt
dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas
c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral
1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL
Seja
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um
intervalo I
A matriz
nn2n1n
n22221
n11211
xxx
xxx
xxx
)t(
eacute chamada de matriz fundamental do
sistema no intervalo
Exemplo 10
Jaacute mostramos que os vetores
t
t
t
e
eeX
2
2
2
11
1 e
t
t
t
e
eeX
6
6
6
25
3
5
3constituem
um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX
35
31 em )(
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)(
eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo
Exemplo 12
A soluccedilatildeo geral tt
c ececXcXcX 62
212211
5
3
1
1
dada no exemplo 6
pode ser escrita como
2
1
t6t2
t6t2
c
c
e5e
e3eX
Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que
C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((
Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possiacutevel de constantes C devemos ter
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
143
)t()t(A)t(
0)t()t(A)t(
10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular
A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que
0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo
Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do
sistema homogecircneo XtAdt
dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de
t no intervalo
Exemplo 13
Para a matriz fundamental dada
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)( no exemplo 10 notamos que
tet 48)(det Decorre entatildeo de
1121
1222
1112
21221
det
1
det
1
aa
aa
aa
aa
AA
T
que
tt
tt
tt
tt
t
ee
ee
ee
ee
et
66
22
22
66
4
1
8
1
8
18
3
8
535
8
1)(
10372 Matriz Especial
Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz
em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees
1
0
0
0
1
0
0
0
1
00201
tVtVtV n
Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do
sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que
t apresenta a propriedade
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
144
1000
0100
0010
0001
00
t
onde eacute a identidade multiplicativa n x n
Exemplo 14
Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX
35
31
Soluccedilatildeo
Por tt ececXcXcX 6
22
122115
3
1
1
sabemos que a soluccedilatildeo geral do
sistema acima eacute dada por tt ececX 6
22
15
3
1
1
Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que
0
1
5
3
1
121 cc ou
05
13
21
21
cc
cc
Obtemos 8
51 c e
81
2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear
tt eeV 621
5
3
8
1
1
1
8
5
Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais
1
0
5
3
1
121 cc ou
15
03
21
21
cc
cc
Neste caso obtemos 8
31 c e
81
2 c Definimos entatildeo
tt eeV 622
5
3
8
1
1
1
8
3
Dai
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
145
tttt
tttt
eeee
eeeet
6262
6262
8
5
8
3
8
5
8
58
3
8
3
8
3
8
5
)(
Observe que
10
01)0(
Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das
soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma
soluccedilatildeo do sistema
10373 t eacute uma Matriz Fundamental
Por
1000
0100
0010
0001
00
t
vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente
Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo
considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da
Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t
Por 0
1 ttt
AULA 26 - Exerciacutecios
Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado
1)
y8x4dt
dy
y5x3dt
dx
2)
z3y4x10dt
dz
yx6dt
dy
z9y4x3dt
dx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
146
3)
2ttzyxdt
dz
t3zyx2dt
dy
1tzyxdt
dx
2
2
Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes
4) te
1
1X
31
24X
5) t
1
1
3
e
2
2
1
z
y
x
652
143
211
z
y
x
dt
d t
Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado
6)
y7x4dt
dy
y4x3dt
dx
t5e
2
1X
7) 2t3
e2
1XX
114
11
X
8)
13
6
1
121
016
121
XXdt
dX
Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX
Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(
9) t6
2t2
1 e1
1Xe
1
1X
10)
4
4
2
t
12
6
3
X
4
2
1
X
2
2
1
t
4
2
1
X 321
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
147
Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema
dado
11)
18423
724
tyxdt
dy
tyxdt
dx
1
5
1
2tX
p
12) tt
p
t teeXeXX
1
1
1
1
7
1
43
12
13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX
011
101
060
` no intervalo )( eacute
t33
t22
t1 e
1
1
2
ce
1
1
3
ce
5
1
6
cX
Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental
de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule
t1
14) t7
2t2
1 e3
1Xe
2
1XX
56
14X
15) tt
2t
1 e1
0te
3
1Xe
3
1XX
29
14X
16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
14
17) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
15
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
148
Respostas
1) 84
53 XX
onde
y
xX
2)
3410
016
943
XX
onde
z
y
x
X
3)
2
0
1
03
0
111
112
111
2
2
t
t
t
tXX onde
z
y
x
X
4)
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
3
24
5)
tezyxdt
dz
tezyxdt
dy
tezyxdt
dx
t
t
t
2652
243
32
6) Eacute soluccedilatildeo
7) Eacute soluccedilatildeo
8) Eacute soluccedilatildeo
9) Sim
10) Natildeo
11) Eacute soluccedilatildeo
12) Eacute soluccedilatildeo
13) Demonstraccedilatildeo pessoal
14)
tt
tt
t
tt
tt
ee
ee
et
ee
eet
22
77
9
1
72
72
2
3
5
1)(
32
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
149
15)
tt
ttt
t
ttt
tt
ee
teete
et
eee
teet
3
31
33
2
1
16)
tttt
tttt
eeee
eeeet
7272
7272
5
3
5
2
5
6
5
65
1
5
1
5
2
5
3
17)
ttt
tt
etete
tetet
39
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
150
AULA 27
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS
Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tekX
temos
tekX
substituindo no sistema obteacutem-se
0)(
t
tt
ekA
ekAek
como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Existem trecircs casos a serem tratados
1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do
sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do
sistema no intervalo )( eacute dada por
t
nn
t
b
t
anekcekcekcX
21
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
151
Exemplo Resolva o Sistema
yxy
yxx
2
32
Soluccedilatildeo
Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes
012
32
0)det(
IA
41
043
0622
0)1)(2(
21
2
2
e
Para 11 temos
0
0
22
33
0
0
)1(12
3)1(2
0)(
b
a
b
a
K
K
K
K
KIA
1
1
1
022
033
1K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Para 42 temos
0
0
2
32
0
0
412
342
b
a
b
a
K
K
K
K
2
3
2
2
3
032
032
2K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t
ii eKx temos
tt eXeX 4
212
3
1
1
Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute
tt
tt
tt
eCeCy
eCeCx
eCeCy
x
XCXCX
4
21
4
21
4
21
2211
2
3
2
3
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
152
1042 AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1
o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo
t
ekX 1
11
e t
ekX 1
12
Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde
tetktkX sinImcosRe111
atetktkX sinRecosIm112
Exemplo
Resolva o sistema
yxdt
dy
yxdt
dx
45
6
Soluccedilatildeo
045
16
0)det(
IA
2
525
2
410
2
11610010
02910
054624
05)4)(6(
2
2
i
i
Para i25 temos
ab
ba
b
a
b
a
KiK
KKi
K
K
i
i
K
K
i
i
KIA
)21(
0)21(
0
0
)21(5
121
0
0
)25(45
1)25(6
0)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
153
iKi
K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a
2
0
1
1
21
1
1
11
tt
tt
tt
tt
t
t
etsentCetsentCy
etsenCetCx
etsent
tsenCe
tsent
tCX
etsentCetsentCX
XCXCX
etsentX
etsentX
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
2221
5
2
5
1
)22cos2()222(cos
)2()2cos(
22cos2
2
222cos
2cos
21
12cos
2
02
2
02cos
1
1
21
12cos
2
0
22
02cos
1
1
1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS
Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se
verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer
deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira
t
ekX 1
11
tt
ektekX 21
212
onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees
para o sistema
t
m
tm
tm
mmeke
m
tke
m
tkX
21
)2()1(
2
2
1
1
onde k2 k3 hellip km devem ser determinados
Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt
PeKteX 11
2
()
Onde
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
154
nk
k
k
K2
1
e
np
p
p
P
2
1
Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se
0)()( 11
11 tt
eKPAPteKAK
Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter
KPIA
KIA
)(
0)(
1
1
Exemplos
1) Resolva o sistema
zyxz
zyxy
zyxx
22
22
22
0
122
212
221
51
Re
0593
0593
012121733
0)1(1216133
0)1(4)1(4)1(488)1(
321
23
23
23
23
3
e
temosRufiniBriottporsolvendo
Para 11 temos
21
0|222
0|222
0|222 1
L
31
21
)2(
2
0|222
0|222
0|111
LL
LL
0|000
0|000
0|111
cba
cba
KKK
KKK
0 fazendo bK = 1 e 0cK temos
0
1
1
1K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
155
Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor
1
1
0
2K
Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees
LI correspondentes ao mesmo autovalor
teX
0
1
1
1 e teX
1
1
0
2
Para 53 temos
31
21
21
)2
1(
0|422
0|242
0|224
LL
LL
32
12
)1(3
2
0|330
0|330
0|224
LL
LL
)1(
)4(
0|000
0|330
0|404
2
1
L
L
0
0
cb
ca
KK
KK
cb
ca
KK
KK
fazendo cK = 1 temos
1
1
1
3K
ttt eCeCeCX 5
321
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2) Resolva o sistema
yxy
yxx
92
183
092
183
3
Re
096
0369327
036)9)(3(
21
2
2
temosequaccedilatildeoasolvendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
156
Para 321 temos
ba
ba
ba
b
aKK
KK
KK
K
K3
062
0186
0
0
62
186
fazendo 1bK temos
1
31K
Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3
1 1
3
2
1
1
3
p
pPK
IPSLL
L
L
p
p
KPIA
KPIA
0002
131
2131
2131
2
6
162
3186
1
3
62
186
3
21
2
1
2
1
1
21
21
32
1
2
13
pp
pp
fazendo
02
10
2
121 Ppp
ttt
tt
eetCeCX
eetX
33
2
3
1
33
2
02
1
1
3
1
3
02
1
1
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
157
AULA 27 ndash Exerciacutecios
1) Resolva
z3ydt
dz
zy5xdt
dy
zyx4dt
dx
2) Resolver X21
82acuteX
3) Resolver X1
2
121
acuteX
4) Resolva o sistema
yxy
yxx
3
4
5)
yxdt
dy
yxdt
dx
34
2
6)
yxdt
dy
yxdt
dx
22
5
24
7)
yxdt
dy
yxdt
dx
25
6
8)
yxdt
dy
yxdt
dx
32
5
9)
yxdt
dy
yxdt
dx
39
3
10)
yxdt
dy
yxdt
dx
53
3
Respostas
1) t53
t42
t31 e
1
8
1
ce
1
1
10
ce
1
0
1
cX
2)
t2sen
t2sen2t2cos2c
t2cos
t2sen2t2cos2cX 21
3) t
2t
1 etcos
sent2ce
sent
tcos2cX
4)
ttt etececX
1
1
1
2
1
221
5) tt ececX
1
1
2
12
5
1
6) tt ececX
5
2
1
22
3
1
7) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin2
sin
sincos2
cos
8) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin
sin
sincos
cos
9)
414
1
3
1
3
121 tccX
10)
ttt etececX 22
2
2
10
31
1
1
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
158
AULA 28
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS
O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um
sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt
dX Da mesma forma resolve-se o sistema
homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo
determinados os coeficientes desconhecidos
Exemplos
1) Resolva o sistema
41034
66
tyxy
tyxx
Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
XAX
34
16
Encontrar os autovalores
034
16
0)det(
IA
72
0149
043618
0)3)(6(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 71 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
44
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
4
1
04
0
0
14
14
fazendo 4bK temos
4
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
tt
tt
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
2
7
1
2211
2211
4
1
1
1
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
159
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
t
ttf
p
p
410
6)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
cdbtca
adbtca
t
t
t
t
dctbat
dctbat
c
a
t
t
dct
bat
b
a
34)34(
6)6(
104
6
410
6
3344
66
410
6
34
16
7
107
242
7
4
62814
234
6318
6434
26
434
06
6
1262
662814
1034
18318
1034
66
d
db
bdb
db
db
db
db
cdb
adb
c
ca
aca
ca
ca
ca
ca
Logo
7
106
7
42
t
tX p
Soluccedilatildeo Geral
7
106
7
42
4
1
2
12
2
7
1
2221
t
teCeCX
XXCXCX
tt
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
160
2) Resolva o sistema
5
3
yxy
yxx
XX
11
11
Encontrar os autovalores
011
11
0)det(
IA
20
0)2(
0121
01)1(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 01 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
t
tt
tt
eCCX
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
21
2
2
0
1
2211
2211
1
1
1
1
1
1
1
1
21
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
tf
p
p
5
3)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
161
5
3
)(
)(
5
3
11
11
dbtca
dbtca
c
a
dct
bat
b
a
ca
ca
0 fazendo 11 ca
4
1
3
db
adb
adb
4
51
5
db
db
cdb
Fazendo 04 db
t
tX p
4
Logo
t
teCCX t 4
1
1
1
1 221
Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica
1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a
funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais
poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que
pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo
A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma
CtX )(
onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes
Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que
)()( tUtX p
seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema
)()( tFXtAdt
dX
entatildeo
)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
162
sabemos que )()( tAt logo
)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt
)()()( tFtUt
)()()()()( 11 tFttUtt
)()()( 1 tFttU
dttFttU )()()( 1
entatildeo
dttFttX p )()()( 1
eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
Exemplo
Resolva o sistema
teyxy
tyxx
42
33
Vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
42
13
Encontrar os autovalores
043
13
0)det(
IA
25
0107
024312
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 51 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
2
1
02
0
0
12
12
fazendo 2bK temos
2
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
22
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
2
1
25
25
2
2
5
1
2211
2211
21
1
2
1
21
C
C
ee
eeeCeCX
eKCeKCX
XCXCX
lfundamentamatriz
tt
tt
tt
tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
163
Precisamos encontrar )(1 t
tt
tt
ee
ee25
25
2
212
10
01 LL
t
tt
e
ee2
25
30
12
312
01
LL
t
t
e
e2
5
30
0
2
2
1
5
2
112
31
31
Le
Le
t
t
10
01
tt
tt
ee
ee
22
55
3
1
3
23
1
3
1
Logo
tt
tt
ee
ee
22
55
1
3
1
3
23
1
3
1
tt
tt
tt
tt
ete
ete
e
t
ee
eetft
2
45
2
55
1
6
3
3
13
23
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
eete
eetedt
ete
etedttft
22
455
2
45
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
6
3
3
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
p
eete
eete
ee
eedttfttX
22
455
25
25
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
2)()()(
t
t
p
t
t
p
tt
tt
p
et
etX
et
etX
eetet
etetX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
2
3
50
63
5
24
3
50
81
5
18
3
1
2
3
2
1
25
6
5
62
33
4
1
25
3
5
3
3
1
Soluccedilatildeo
t
t
tt
et
eteCeCX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
1
1
2
12
2
5
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
164
AULA 28 ndash Exerciacutecios
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros
1)
122
433
yxdt
dy
yxdt
dx
2)
2
2
4
3
53
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes
indeterminados
3)
52
732
yxdt
dy
yxdt
dx
4)
53
23 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
Respostas
1)
10
15
11
11
2
3
1
121 teccX t
2) 2223
22
1
49
215
413
213
3
10
1
2 tttt
eteececX
3)
3
1
1
3
1
121
tt ececX
4)
43
2
414
1
43
41
1
1
1
1 242
21 ttececX tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
165
AULA 29
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA
1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy
xCey 2
2
02
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia
44
0
33
2210 xCxCxCxCCxCy
n
nn
1
1
34
2321
432
n
nnxnCy
xCxCxCCy
Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy
021
1
n
nn
n
nn xnCxnC
Trocando
1
1
01
1
Nn
Nn
n
n
II
NN
NN
I
n
nn xCNxnC
011
)1(
1
1 )1( Temos que verificar se I = II
0
2321)1(
2321
1
1
32)1(
32
N
NN
n
nn
xCxCCxCNII
xCxCCxnCI
Satildeo iguais
Voltando
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
166
0)1(
2
02)1(
02)1(
02)1(
1
1
0
1
01
1
nn
CC
CCn
xCCn
xCxCn
nn
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
Para
234
)2(
234
)2(2
4
23
23
)2(
23
)2(2
3
22
2
)2(
2
)2(2
2
21
21
20
04
03
34
03
02
23
02
012
00
1
CCCCn
CCCCn
CCCCn
CC
Cn
Foacutermula da recorrecircncia
1
)2( 0
nn
CC
n
n
Entatildeo
0
44
33
2210
n
nn xCxCxCxCCxCy C
0
0
1
0
443322
0
30
320
20
0
)2(
)2(1
4
2
3
2
2
2
1
21
3
)2(
2
)2(
1
2
n
nn
n
nn
n
xC
n
xC
xxxxC
xCxCxCC
Como
3
)2(
2
)2(21
321
322
32
xxxe
xxxe
x
x
Logo
xeCy 2
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
167
2) Resolver a equaccedilatildeo 02
2
ydx
yd
i
1
01
2
2
senxCxCy 21 cos
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia
2
2
1
1
0
)1(
n
nn
n
nn
n
nn
xCnny
xnCy
xCy
2
2
2
Nn
Nn
n
24
132
0
)2(
22
)2(
2
2
34232
)1)(2()1)(2()1(
xCxCC
xCNNxCNNxCnnyN
NN
N
NN
n
nn
Que fica igual a
24
132
2
2 34232)1( xCxCCxCnnyn
nn
Logo substituindo
2
2)1(n
nnxCnny na equaccedilatildeo temos
0)1)(2(02
)2(
n
nn
n
nn xCxCnn
0)1)(2(2
)2(
n
n
nn xCCnn
0)1)(2( )2( nn CCnn
0)1)(2(
)2(
n
nn
CC n
n
para 12
0 02
CCn
para 23
1 13
CCn
para 412
)(
34
1
342 002
4
CCCCn
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
168
para 523
)(
45
1
453 113
5
CCCCn
para 6456
1
564 004
6
CCCCn
para 7567
1
675 115
7
CCCCn
765432
17
06
15
04
13
02
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Foacutermula da Recorrecircncia
1)12(
)1(1
)2(
)1( 1)12(
02
k
k
CCk
k
CC
k
k
k
k
Voltando
0n
nnxCy
5
53
314
42
20 xCxCxCxCxCCy
senxCxCy
k
xC
k
xCy
xxxxC
xxxCy
n
kk
n
kk
n
10
0
12
1
0
2
0
753
1
642
0
0
cos
)12(
)1(
)2(
)1(
7536421
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
169
REFEREcircNCIAS
ABUNAHMANSERGIO A Equaccedilotildees Diferenciais LTC 1994
BOYCE WE DIPRIMA RC Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores
de contorno LTC 1989
BRONSON R COSTA G Equaccedilotildees Diferenciais 3a ed Coleccedilatildeo Schaum 2008
KREYSZIG Erwin Advanced Engineering MathematicsLTC 1999
ZILL DG Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em ModelagemThomson Learning 2003
ZILL DG GULLEN MREquaccedilotildees Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
4
711 Caso 1 Raiacutezes Reais Distintas 90
712 Caso 2 Raiacutezes Muacuteltiplas 90
713 Caso 3 Raiacutezes complexas distintas 91
AULA 18 94
72 EULER - CAUCHY 94
AULA 19 97
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS 97
731 Soluccedilatildeo por coeficientes a determinar (Descartes) 97
AULA 20 100
732 Soluccedilatildeo por variaccedilatildeo de paracircmetros 100
AULA 21 103
733 Meacutetodo do Operador Derivada 103 7331 Definiccedilatildeo 103 7332 Propriedades 103 7333 Equaccedilotildees Diferenciais 103 7334 Operador Anulador 104 7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores 105 7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares 106
AULA 22 109
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS 109
AULA 23 111
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 111
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 111
911 Sistema Massa-Mola Movimento Livre natildeo amortecido 111 9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido 112 9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento112
912 Sistema Massa-Mola Movimento Livre Amortecido 113 9121 ED do Movimento Livre Amortecido 113
913 Sistema Massa Mola Movimento Forccedilado 116 9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento 116 9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido 117
914 Circuito em Seacuterie Anaacutelogo - Circuitos eleacutetricos RLC em seacuterie 118
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 119
921 Deflexatildeo de uma viga 119 9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno 120 9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina 121 9213 Corda Girando 123
AULA 24 128
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 128
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL 128
AULA 25 131
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA 131
AULA 26 134
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 134
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
5
1031 Vetor soluccedilatildeo 135
1032 O Problema de Valores Iniciais 136 10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo 136
1033 Sistemas homogecircneos 136 10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo 137
1034 Independecircncia Linear 138 10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes 138
1035 Conjunto fundamental de soluccedilatildeo 139 10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos 139
1036 Sistemas natildeo homogecircneos 140 10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos 140
1037 Uma Matriz Fundamental 142 10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular 143 10372 Matriz Especial 143
10373 t eacute uma Matriz Fundamental 145
AULA 27 150
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS 150
1041 Autovalores reais e distintos 150
1042 Autovalores complexos 152
1043 Autovalores de Multiplicidade dois 153
AULA 28 158
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS 158
1051 Coeficientes Indeterminados 158
1052 Variaccedilatildeo de Paracircmetros 161
AULA 29 165
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA 165
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
6
AULA 1
REVISAtildeO DE INTEGRAIS
Resolva as seguintes integrais
1) dxx )13( R Cxx
2
3 2
2) dxx
x
4= R Cxx 48
3
2
3)
dxx
x2
2 )1( R C
xx
1
4)
21 x
dx R Carcsenx
5)
dxx
x21
R Cx 21ln2
1
6) )1( 2xx
dx R C
x
x
1ln
2
12
2
7)
21 x
dx R Cx arctan
8) 42x
dx R C
x
x
2
2ln
4
1
9) x
dx
3 R C
x
3
1ln
10)
dxx
x3
21 R Cx
x ln
2
12
11)
dxx
x3
2 )1( R Cx
x ln
2
12
12) dxx
x
tan
sec2
R Cx tanln
13)
dx
ax
ax22
22
R Cax
axax
ln
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
7
14)
dx
ax
ax22
22
R Ca
xax arctan2
15) dxxe x3 R Cxe x 13
9
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R Cx 231ln 2
20)
dx
x
x
35
13 R Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R Cxx 10ln212
23) dxxe x )2(1
ln
R Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan R Cex x arctan1arctan
25) xdxe x sincosln R C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 32
R Cex x 2
)1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22
R Cxxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
8
AULA 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
11 INTRODUCcedilAtildeO
Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy
de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra
apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua
derivada eacute 23
3
xedx
dy x Se fizermos3xey teremos
23 xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo
representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de
um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo
O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde
dada uma derivada encontrar uma antiderivada
Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm
significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo
a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por
exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades
puramente matemaacuteticas
a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os
pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma
funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza
a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que
envolve uma grandeza
o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura
consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)
se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se
dx
dy
em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a
derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse
quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo
)(xfdx
dy
eacute possiacutevel escrever
dxxfdy )(
que se denomina equaccedilatildeo diferencial
uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo
da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
9
12 Definiccedilatildeo
Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou
diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos)(2 2
5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
13 CLASSIFICACcedilAtildeO
131 TIPO
Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis
dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo
ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter
mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)
Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de
duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo
diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso
132 ORDEM
A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As
equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira
ordem
133 GRAU
O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como
um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos
exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato
quanto a ordem e grau
134 LINEARIDADE
Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees
1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou
seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um
2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel
independente x
Exemplos
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e
terceira ordem
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre
aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um
nuacutemero menos de constantes
Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma
equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes
de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes
f) xx eCeCy 2
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
AULA 2 - EXERCIacuteCIOS
Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros
estejam sobre o eixo y
Respostas
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2 ( ) 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
AULA 3
2 RESOLUCcedilAtildeO
Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a
equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa
identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira
que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem
de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e
consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo
21 CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo
particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da
equaccedilatildeo diferencial
xdx
dy2
Que resulta em Cxy 2
22 SOLUCcedilAtildeO
Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As
soluccedilotildees podem ser
Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de
uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades
de ordem da equaccedilatildeo
Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees
iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante
inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os
valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos
Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave
envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A
soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais
natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante
As soluccedilotildees ainda podem ser
Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute
chamada soluccedilatildeo expliacutecita
Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G
trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Exemplo
Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita
Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluccedilatildeo x
y
Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita
Exemplo
Verifique que 16
xy
4
eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21
xydx
dy no intervalo )(
Resoluccedilatildeo
Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21
xydx
dy eacute
zero paratodo x no intervalo
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na ED temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx
dy sujeita a condiccedilatildeo inicial
00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de
problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo
diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)
determinado a priori
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
15
Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se
especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos
x0 e3ye3cec3
Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos
1xx111 e3yee3yee3cec3
Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx
dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo
ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica
As funccedilotildees y = 0 e 16
xy
4
satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma
deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO
Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o
ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy
df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I
centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)yx(fdx
dy sujeito a 00 y)x(y
Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO
1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo
2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial
Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo
que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas
caracteriacutesticas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de
valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo
Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao
caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o
caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais
possuam soluccedilotildees
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS
As equaccedilotildees diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
satildeo chamadas de autocircnomas
Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a
equaccedilatildeo (2) na forma
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluccedilatildeo eacute
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(
1
yfdy
dx em
A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A o que justifica o procedimento formal
Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema
00)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos
Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute
proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma
kydx
dy (7)
Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees
separadamente nos dois intervalos 0 y e y0
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R
Considere a equaccedilatildeo autocircnoma
akydx
dy
sua soluccedilatildeo geral para k
ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto
k
ayea
kyeaky CxkCxk
1 )()(
Neste caso k
ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1
o grau
)( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(xy) e N = N(xy)
Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS
A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se
M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes
M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel
Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a
equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis
311 RESOLUCcedilAtildeO
Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos
separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma
CdyyQdxxP )()(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec xdytgyydxtgx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a
equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo
)(
Resolver as seguintes equaccedilotildees
diferenciais
2) 01
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 ndash a
2)(y
2 ndash b
2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas
1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo
nuacutemero real
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 ndash x) = C
5) C y2 = 1 + x
2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a a
ex
ln
2
9) tg x tg y = C
10) Cb
yarctgb2y
ax
axlnax
11) y = c(x ndash 1)
12) Cx1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(42 yydx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA
Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a
relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale
a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)
Exemplos
1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y
2 eacute homogecircnea de grau 2
pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222
2) 4y
x)yx(g
2
2
eacute homogecircnea de grau zero pois
)yx(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()tytx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(xy) = 2x3 + 5xy
2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois
)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323
Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever
x
y1fx)yx(f n e
1
y
xfy)yx(f n
satildeo ambas homogecircneas de grau n
Exemplo
Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo
x
y1fx
x
y
x
y31x
x
y
x
y31x)yx(f 2
22
2
22
1
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)yx(f 2
22
2
22
322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS
A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se
M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau
Exemplos
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
y
xy
3)
x
yarctgy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3221 Resoluccedilatildeo
Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0
Tem-se
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx
x
yF
dx
dy (1)
Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as
variaacuteveis
Dessa forma substitui-se x
y por u
xuy (2)
Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) temos
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Em resumo
Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo
de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita
Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo
separaacutevel
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo
02)( 22 xydydxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 ndash EXERCIacuteCIOS
Resolva as seguintes equaccedilotildees
1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0
2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx ndash xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y
8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial
3
1)1(y
Respostas
1) y2 + 2xy ndash x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
221
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES
REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS
Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees
homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis
Satildeo equaccedilotildees da forma
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes
Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das
variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de
eixos
Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar
331 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute DIFERENTE DE ZERO
Resoluccedilatildeo
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy
A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute
dvdyvy
dudxux
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para
o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma
vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero
Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e satildeo as raiacutezes do sistema
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo23
132
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
332 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute IGUAL A ZERO
Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A
equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis
Como 22
11
ba
ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode
escrever
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relaccedilatildeo a x
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equaccedilatildeo transformada
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136
12
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCIacuteCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas
1) 2x2 ndash 6xy + y
2 + 2y = K
2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se
existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e
suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que
x
N
y
M
Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja
diferencial dada por
dyy
udx
x
udu
(2)
Entatildeo comparando (1) e (2) teremos
)( yxMx
u
(3)
e
)( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo
(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos
)()()( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos
)()(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta
)()()(
yxNygy
dxyxM
Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos
1
)()()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
)(
)()()(
Logo a soluccedilatildeo eacute da forma
Cdy
y
PNMdxyxU )(
onde costuma-se denotar MdxP
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y ndash 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh xcosy dx = coshxseny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
341 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x
N
y
M
Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata
Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx
u
e NF
dy
u
Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui eacute loucura
Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando temos
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando CdxxRF )(ln
dxxRexF
)()(
onde
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos
dyyReyF
)()(
onde
x
N
y
M
MxR
1)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo
Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x
N
y
M
mostra-se que haacute
uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata
A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante
F(x) F(y)
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator
integrante
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 ndash y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluccedilatildeo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas
1) x2 cos y + x
4 = C
2) Ctgyex 2
3) Ceseny x
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES
Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute
dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
desse tipo a saber
351 FATOR INTEGRANTE
Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial
exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de
nosso problema
QPydx
dy
Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressatildeo
0 dyedxQPyePdxPdx
Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos
Pdx
Pey
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por fator integrante
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE
Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)
criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O
meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z
a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt
Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber
i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)
ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx
dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de
variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy
dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln
Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC
eeey Fazendo
Cek temos Pdx
key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta
Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a
soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo
possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo
Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx
dt (6) que eacute da
mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx
ket Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
Daiacute Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1 Integrando este uacuteltimo
1
(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e
dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado temos CQdxek
ZPdx
1
(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e
ldquoZrdquo
CQdxek
keyPdxPdx 1
onde resulta finalmente em
CdxQeeyPdxPdx
(8)
que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)
Exempo 2
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycostan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx
dy
Respostas
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A
LINEARES
Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que
mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de
tais equaccedilotildees satildeo
361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
Equaccedilatildeo da forma
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2
Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma
EDO linear
Pois se
n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea
Soluccedilatildeo
Transformaccedilatildeo de variaacutevel
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relaccedilatildeo a x
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1) que eacute
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o
primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 temos
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior
Exemplo
232
xyx
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 02 2 xydx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas
1) 2
1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
)ln(
1
3) 12 2223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI
A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy
(1)
onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e
quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela
soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5
Resoluccedilatildeo
Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a
equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x
Como 0y eacute soluccedilatildeo temos
RQyPydx
dy 0
2
0
0
(3)
Por outro lado derivando (2) tem-se
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes
de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais
4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5
Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes
ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida
Em resumo
Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de
(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)
transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli
Exemplo
Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluccedilatildeo geral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32
2
x
y
x
y
dx
dy Em caso afirmativo
calcular a soluccedilatildeo geral
2) Mostrar que x
y1
eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluccedilatildeo
geral
3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluccedilatildeo geral
4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo
particular
5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo
particular
Respostas
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
411 DEFINICcedilOtildeES
Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo
diferencial
Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo
particular da equaccedilatildeo
Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro
0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famiacutelia de curvas integrais
Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia
como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias
concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA
Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como
envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir
uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver
nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute
definida pelo sistema
0)(
0)(
yxf
yxf
(1)
cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a
equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y
Exemplo
Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0
dx
dyyxF
Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo
geral
particular
singular (eventualmente)
A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas
integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada
A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
original
De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da
envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva
integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular
Exemplo
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2
22
x
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12
2
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)
4
2xy (soluccedilatildeo singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT
A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy
Resoluccedilatildeo
Chamando pdx
dy
a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)(1
0)( pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)
De (2) tem-se
0)( px (3)
xp )(
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo
singular
Exemplos
6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 ndash EXERCIacuteCIOS
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo
singular das seguintes equaccedilotildees de
Clairaut
a dx
dy
dx
dyxy ln
b
2
3
dx
dy
dx
dyxy
c 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d 045
y
dx
dyx
dx
dy
e 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE
A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se
dx
dy
dx
dyF
Resoluccedilatildeo
A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica
Chamando pdx
dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se
)(
)(
)(
)(
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo
geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica
)(
)(
pyy
pxx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo
2
1
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
Resolver as seguintes equaccedilotildees
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCIacuteCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy
18)
0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x
determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0
20) dxexydxxdy x2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln( 3 dyxydxx
y
23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22)1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da
equaccedilatildeo xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluccedilatildeo geral
Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes
equaccedilotildees
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2
Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
Natildeo haacute soluccedilatildeo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMAacuteTICOS
61 MODELO MATEMAacuteTICO
Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da
vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A
descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda
levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees
animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma
substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a
principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa
estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
A seguir
ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema
que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer
leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a
forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute
predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a
resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de
uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais
equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo
diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema
de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-
lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as
prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou
levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de
modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo
matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t
Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da
variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e
futuro
62 DINAcircMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por
traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais
cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em
outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em
termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser
expressa por
kxdt
dx 00
)( xtx ktexx
0
(1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos
envolvendo crescimento ou decaimento
Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de
(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0
O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt
dS a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente
Exemplo
Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias
passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes
determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Resoluccedilatildeo
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ndash ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = cekt
Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma
0x
cex
0
00
Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2
3x0
40550k
k2
3ln
e2
3
exx2
3
k
1k00
voltando novamente a equaccedilatildeo temos
t40550
0
kt0
exx
exx
para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
70922t
0986121t40550
t405503ln
e3
exx3
t40550
t4055000
seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente
63 MEIA VIDA
Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-
vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais
estaacutevel ela eacute
Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos
metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio
mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse
tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206
AKdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA 0
Exemplo
Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que
0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a
taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente
Resoluccedilatildeo
000
0
A999570A000430A15t
A0t
Resolvendo a equaccedilatildeo
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
kte
c
A
A = cekt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
Sabendo que 0A)0(A temos
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo
A(t) = A0ekt
A(15) = A0e15k
A(t) = 2
0A
099957 A0 = A0e15k teAtA
51088672
0 )(
Ln099957 = ln e15t 000028670
0
0 2
eAA
-000043 = 15 k te 000028670
2
1
K = - 2866710- 5
-06931 = - 000002867t
t = 24180
t 24180 anos
Voltando a equaccedilatildeo temos que
t10866720
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer
3717924t
t1086672693150
t108667250ln
e50
eA2
A
5
5
t1086672
t10866720
0
5
5
Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas
combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia
Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente
radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o
fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma
substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de
substacircncias remanescente no instante t
AKdt
dA (2)
Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos
siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)
kgt0 para o decaimento como em (2) klt0
O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a
determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)
aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja
taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo
transformada ou remanescente no instante t
A questatildeo eacute que
Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios
fenocircmenos diferentes
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade
de foacutesseis usando o carbono radioativo
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute
produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio
A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma
constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os
organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera
Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo
cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a
razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil
O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de
5600 anos
O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de
Turim
7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um
quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
Exemplo
Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a
idade do foacutessil
Resoluccedilatildeo
A(t) = A0ekt
5600
0
0 2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 06931
K = - 0000123776
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
A(t) = A0e- 0000123776t
teAA 0001237760
00 100
1
te 0001237760ln
100
1ln
- 0000123776 t = - 69077
t = 55808
A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos
66 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se
Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
Exemplo
Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua
temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF
Resoluccedilatildeo
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T() = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por
70 ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que
T(0) = 3000
300 = Cek0
+ 70
C = 2300
Logo
T = 230ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T com isso
200 = 230e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
1901816190k
5705448580k3
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
70e230)t(T t190180
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus
7023075 190180 te
230
7075190180 te
- 019018t = ln230
5
t = 2013
com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
67 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees
por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo
no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a
taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida
se RR
dt
dA
sal de
saiacuteda de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute
minlb6)galkb2(min)gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde atildeoConcentraccedil
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees
Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de
saiacuteda de sal Rs eacute
min100
300
min)3(
sal de
saida de taxa
saiacuteda de fluxo no
sal de atildeoConcentraccedil
salmoura de
saiacuteda de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo
Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos
colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais
quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
Resoluccedilatildeo
100
100100
100100
600
600
6
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos
550
60050 0
C
eC
Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma
100550600t
eA
A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela
Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que
esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser
(300 gal)(2lbgal) = 600 lb
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro
era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma
taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo
gallb
t
AgalRs
300min)2(
Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 26641
100 39767
150 47727
200 52557
300 57262
400 58993
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute
27 )300)(10954(2600)( tttA
68 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um
corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde
g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja
drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade
Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no
tanque no instante t
Considere o tanque ao lado
Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de
saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda
de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)
Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque
for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA
(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt
dhA
dt
dVw
Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a
altura de aacutegua no instante t
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse
caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo
Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0
comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t
Resoluccedilatildeo
Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema
Logo tem-se que
A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute
(1)
Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos
20c de modo que (1) pode ser escrita como
Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua
pura no tanque
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA
Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)
o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a
qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois
grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo
kxydt
dx (8)
ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se
argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para
eliminar y em (8) obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1
Exemplo
Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma
doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de
variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o
nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para
que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila
Resoluccedilatildeo
Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de
ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria
Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais
proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute
Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos
Substituindo entatildeo temos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
(
)
Integrando
int
(
) int
int
int int
(
)
(
)
Se em t=0 N=5 temos que
Entatildeo
Para que N = 250 no tempo t temos que
Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
610 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila
externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a
forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute
proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme
ilustrado na figura abaixo
Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no
instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para
cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age
sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da
Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg
onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O
sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra
eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva
Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute
v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
0)0( ss 0)0( vs (11)
Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais
determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica
elementar como a foacutermula 00
2
2
1)( stvgtts
Exemplo
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial
zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine
a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t
b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t
c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
Resoluccedilatildeo
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o
sentido para baixo
Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt
dvg
Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0 segue que 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100 temos 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m s2 teremos
st
t
5420
2
10100
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior
do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena
quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve
ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A
forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um
corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra
uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias
tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute
dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva
e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo
oposta ou para cima
Veja a figura abaixo
Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a
atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se
dt
dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma
da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva Em termos des (12) eacute
uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
Exemplo
Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se
o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine
a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo
b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e
c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima
Resoluccedilatildeo
(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt
dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de
movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o
corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv
responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo
negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k
mgcev
tm
k
Em t=0
v=v0 logo k
mgcev m
k
0
0 ou
k
mgvc
0 A velocidade do corpo no instante t eacute
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0
Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
611 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da
corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a
corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo
de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no
pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento
conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
Peso da corrente
W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L
Massa da corrente
m = Wg = L 32
Forccedila resultante
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo
Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um
cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como
6219 LP e
Resoluccedilatildeo
(
) (
)
Sendo frasl
Como
Sendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Como e soacute eacute possiacutevel
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE
Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor
resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga
em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como
indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave
soma das quedas de voltagem na malha
A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem
voltagemdequeda
henrys(h)Lindutacircncia
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
voltagemde queda
)(ohms aresistecircnci
Resistor
q
c
fC
1 voltagemde queda
)( farads iacapacitacircnc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo
Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)
)(tERidt
diL
ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente
i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema
A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a
carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de
Kirchhoff nos daacute
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima
transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo
Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e
a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0
Resoluccedilatildeo
L= indutacircncia = frac12 ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistecircncia = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
Logo
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
AULA 15 - EXERCIacuteCIOS
1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito
onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha
fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute
ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente
2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2
henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t
3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01
henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto
t Use E = 30 V
4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4
farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a
corrente i(t)
5) Uma forccedila eletromotriz de 200 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6
farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04
Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t
6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero
de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela
triplicaraacute
7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual
era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos
8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo
Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em
30 anos
9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente
Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas
observam-se 3000 fileiras Determine
a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no
instante t
b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de
habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute
de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes
11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos
continuamente Determine
a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos
b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha
havido retiradas ou depoacutesitos adicionais
12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um
depoacutesito feito na conta duplique em seis anos
13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente
Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7
anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos
trecircs anos
14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem
inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua
massa original determine
a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t
b) A Massa do material apoacutes quatro horas
c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)
15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade
presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute
presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer
16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a
massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia
presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia
17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas
18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se
desintegrado Qual a idade da madeira
19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora
onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50
ordmF Qual seraacute a
temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar
15ordmF
20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave
diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e
o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60
oC dentro de quanto tempo sua
temperatura desceraacute para 30oC
21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente
para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o
ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma
pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da
secretaacuteria a liberta alegando o que
22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que
governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo
para imigrar a uma taxa constante r
23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de
mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da
populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t
mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t
24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus
universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o
nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for
espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os
estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus
25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual
foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de
3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a
mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no
instante t
26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse
tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na
mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora
27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um
buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua
vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de
aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de
aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para
ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica
Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua
no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao
lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2
28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o
paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o
paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da
velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a
velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a
resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade
instantacircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e
abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do
paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1
Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se
abre o paraquedas
30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente
com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura
aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98
0C
31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma
salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o
nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t
32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por
galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute
bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no
instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min
33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram
dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para
fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos
RESPOSTAS
1) tetI 355)(
2) tei 2510
3) tcei 500
5
3 e 5
3)(lim
ti
t
4) tceq 50
100
1 onde 100
1C e
tei 50
2
1
5) tceq 200
1000
1
tcei 200200
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
500
1C
coulombsq 00030)0050(
ampi 14720)0050(
1000
1q
6) 792 anos
7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604
8) N(30) = 760
9)
10)
11)
12) 1155
13) R$ 927143
14)
15) t = 11 horas
16) t = 13672 horas
17) 885 gramas
18) 15600 anos
19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min
20) t = 60 min
21) justificativa pessoal
22) rkpdt
dP rkp
dt
dP
23) 2
21PkPk
dt
dP
24) )1000( xkxdt
dx
25) 100
A
dt
dA
26) Aproximadamente 181
27) hc
dt
dh
450
28) 2kvmg
dt
dvm
29) 70ms
30) Aproximadamente 821 s
Aproximadamente 1457 s
31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50
32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100
00975 lbgal
33) 6438lb
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
AULA 16
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma
ByAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes
Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo
Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo
yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)
onde
p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema
r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea
r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea
A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)
isto eacute ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base
fundamental)
Exemplo
y + y = 0
Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)
Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica
)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente
Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e
y2(x) satildeo linearmente independentes
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)()()(12
xyxhxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1
AULA 16 - EXERCIacuteCIOS
1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo
a) 0y9xy5yx2 com 3
1 x)x(y
b) 0y3yx4 2 com 21
1 x)x(y
c) 0y4
1xxyyx 22
com xcosx)x(y 2
1
1
Respostas
a xlnx)x(y 32
b 2
x)x(y
23
2 c senxx)x(y 21
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
AULA 17
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Satildeo aquelas da forma 0yAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
onde A0 A1 A2An
satildeo constantes
Resoluccedilatildeo
Para n= 1 rarr 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
eey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC temos key xλ
Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b satildeo constantes
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta
xλey
xλeλy
xλ2eλy
Substituindo na EDO temos
0e)bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de
equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada
Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar
711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a soluccedilatildeo geral fica
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eCeCeCeCy
712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS
Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2
Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as
raiacutezes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante
Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente
Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλehλ2ehy
heλehy
ehy
)x(y)x(h)x(y
Substituindo na equaccedilatildeo dada
0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando
0)()2( 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P
Entatildeo
KCxh
Ch
h
0
Logo
xeKCxy
yhy
)(
2
12
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Soluccedilatildeo geral
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior
xλ1nn
2321 e)xCxCxCC(y
713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo
para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
Das foacutermulas de Euler temos
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 ndash C2) = C2
temos
senbxCbxcosCey 21ax
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Exemplos
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3
3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
AULA 17 - EXERCIacuteCIOS
1) 065 yyy
2) 01243 yyyy
3) 022 yyy com 1)0( y e 02
y
4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y
5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y
6) 09 2 yy
7) 069 yyy com 4)0( y e 3
13)0( y
8) 02 2 ykkyy
9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y
10) 0344 yyy com ey )2( 2
)2(e
y
11) 0127 yyy
12) 054 yyy
13) 075 yyy
14) 02 yyy
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 2
33
22
1
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ3
2xπ3
1 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe50e30y
10) x50ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32
x21
13)
2
3xsenC
2
3xcosCeCy 32
2
x5
1
14)
xexCCy )( 21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
AULA 18
72 EULER - CAUCHY
A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos
teabax
que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis
No caso da equaccedilatildeo ter a forma
02 byaxyyx
Faremos
y = xm
yrsquo = mxm-1
yrdquo = m(m-1)xm-2
Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que
(m2 + (a ndash 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma
equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes
Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Exemplos
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
0222 yxyyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
AULA 18 - EXERCIacuteCIOS
1) 0202 yyx
2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx
3) 04324610 2 yxyyx
4) 02 yxyyx
5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6
6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3
Respostas
1) 5
24
1 xCxC
2) 3
32
21
)x1(
C
)x1(
C
1x
Cy
3) 81
21 x)xlnCC(y
4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21
5) 25
x)xln2(
6) xlnx3 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 19
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS
10
00
)(
)(
)()()(
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea
A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e
x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I
Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos
i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes
ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange
iii Meacutetodo do operador derivada D
731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)
Padratildeo para soluccedilatildeo particular
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
)10n(kxn
011n
1nn
n CxCxCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs
1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2
o
coluna
2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Exemplo
0)0(
1)0(
2 2
y
y
xeyyy x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
99
AULA19 - EXERCIacuteCIOS
1) xsenyy 34
2) 325102 2 xyyy
3) xseneyyy x 53712352 5
4) 1265 2 xyyy
5) xyy 314
6) 1232 2 xxyy
7) xeyyy 3127
8) xeyyy 28107
9) xeyyy 2844
10) xeyy 434
11) xsenyyy 2334
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 2124
14) senxyy 4
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 61251 xxxyyy para
4)0( y e 8)0( y
17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e
0)0( y
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx4
2x3
1 e20
3eCeCy
8) x2x5
2x2
1 xe3
8eCeCy
9) x22x2
2x2
1 ex4xeCeCy
10) x4
21 e20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
AULA 20
732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos
yn + Pn-1(x)y
n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)
A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a
soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO
homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando
paracircmetros variaacuteveis
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)()(11 dx
xW
xrxWu
)(
)()(22 dx
xW
xrxWu n
n)(
)()(
Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)()(
11
2
1
1
2
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente
11
2
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
11
1
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
1
0
0
1
2
1
1
2
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y
n natildeo se
esqueccedila de dividir r(x) por f(x)
Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
Exemplo223 22 xyxyyxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
AULA 20 ndash EXERCIacuteCIOS
1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x
2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x
3cosx
3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x
-4
4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x
2 ndash 15x
3
5) x3yrdquorsquo- 3x
2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x
4lnx
6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x
9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx23
x22
x1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
AULA 21
733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA
7331 Definiccedilatildeo
Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado
as operaccedilotildees que devem ser efetuadas
Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a
dx
dD
2
22
dx
dD
3
33
dx
dD
7332 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x)
P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)
P3Dm
(Dn
u)=Dm+n
u (sendo m e n constantes positivas)
P4 O operador inverso
dxueeu
aD
axax 1
a
P5 O operador direto uaDuu)aD( audx
du a
7333 Equaccedilotildees Diferenciais
Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D
Exemplo
ay + by + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n
1nn
n ArArA
tambeacutem se fatora
Exemplo
0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
7334 Operador Anulador
Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo
suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo
O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees
1n2 xxx1 Entatildeo um
polinocircmio 1n
1n2
210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n
Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Soluccedilatildeo
O operador eacute 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees
xα1nxα2xαxα exexxee
Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Soluccedilatildeo
Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(
Vamos verificar
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees
xβsenexxβsenexxβsenxexβsene
xβcosexxβcosexxβcosxexβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x
Soluccedilatildeo
5D2D)]41(D)1(2D[
1n01n2β1α
212
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
Vamos verificar
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(DD
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen
Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que
0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7
Soluccedilatildeo
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22
Logo
0)x3sen6x7)(9D(D 22
7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA
entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma
βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo
nuacutemeros reais
Resumo do Meacutetodo
i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L
ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g
iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1
0)y(L
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na
soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos
termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L
v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das
funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os
coeficientes indeterminados em py
vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a
equaccedilatildeo diferencial dada
7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares
1) Resolver empregando operadores 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 21 - EXERCIacuteCIOS
Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada
1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8y3y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
AULA 22
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) xsenxedx
dy
dx
yd x 2234 2
3
3
2) xex
dx
dy
dx
yd
dx
yd 2
2
2
3
3
3265
3) 13 2
2
2
xesenxydx
yd
4) 1284 2
2
2
xxydx
yd
5) 222
2
3
3
xdx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 1234 3
2
2
4
4
xxdx
yd
dx
yd
7) xey
dx
dy
dx
yd 3232
2
8) xey
dx
yd 2
2
2
44
9) xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344
10) xey
dx
dy
dx
yd22
2
2
11) senxydx
dy
dx
yd223
2
2
12) xdx
dy
dx
ydcos34
2
2
13) xsenydx
yd2316
4
4
14) xydx
yd2cos54
2
2
15) 52 2
2
2
xedx
dy
dx
yd
16) xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44
17) xeydx
dy
dx
yd x 2cos8822
2
18)
2244 2
2
2 xey
dx
dy
dx
yd x
19)
20)
21)
senxy
dx
yd 12
2
22) xyxyyx 3222
23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2
22
3
33 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx
x
ey
dx
dy
dx
yd x
22
2
xy
dx
yd
cos
12
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
RESPOSTAS
1)
4
x2xsen
8
x
16
e3x2senCx2cosCCy
2x2
321
2)
2
3
18
5
6
223
3
2
21
xxx xe
xx
eCeCCy
3) 132
3 2
21 x
xx esenxeCeCy
4) 44
2 22
2
2
1 xxeCeCy xx
5)
4
5
4
22
321
xxeCeCCy xx
6)
848
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx
7)
2
2
21
xxx e
eCeCy
8) xxx xeeCeCy 22
2
2
1
9) xxx exxeCeCy 222
2
2
12
3
10) )( 2
21 xxCCey x
11) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21
12) )4(cos17
34
21 senxxeCCy x
13)
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx
14)
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx
15)
22
5 22
21
xx xex
eCCy
16) xe
xxCCy 2
3
216
17) )22cos3(5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy exxx
18)
8
1)( 22
21
xexxCCy x
19) xxexeexCCy xxx ln)( 21
20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21
21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21
22) xxxCxCy ln32
21
23)
36
11)1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21
xx
C
x
C
x
Cy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
111
AULA 23
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos
diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma
mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas
interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de
um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa
equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da
ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial
enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos
aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as
diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples
e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO
Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte
riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo
da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola
diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do
alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante
de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo
nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)
implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola
somente 25 peacute
Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma
distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila
restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms
2 ou 980
cms2
equiliacutebrio
Posiccedilatildeo
inicial
g
K(s+x)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
112
Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a
massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da
mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo
que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F
com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da
posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos
9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido
Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk 2
A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo
amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1
representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se
x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade
inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0
x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento
Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2
=0 satildeo
nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como
tsenCtCtx 21 cos)( (3)
O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute
21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute
32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou
equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo
Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos
sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente
agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida
pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo
correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos
referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
113
iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular
resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento
Exemplo
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de
um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3
4 peacutess para cima
Determine a equaccedilatildeo do movimento livre
Soluccedilatildeo
Convertendo as unidades
6 polegadas = frac12 peacute
8 polegadas = 23 peacute
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = Wg = 232 = 116 slug
Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute
Logo (1) resulta em
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal
negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade
inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima
Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a
equaccedilatildeo do movimento seraacute
tsenttx 816
18cos
3
2)(
912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito
pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em
movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma
forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente
9121 ED do Movimento Livre Amortecido
No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo
consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor
durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt
Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton
que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
114
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia
do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento
Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd (5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute
m2 + 2 m + 2 = 0
e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto
22
1 m e22
2 m
Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22
Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica
despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo
CASO I Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio
CASO II Amortecimento Criacutetico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem
evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer
decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
115
CASO III Subamortecido
022
Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de
vibraccedilatildeo 0 quando t
Exemplos
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
Soluccedilatildeo
Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos
daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
X(t)= C1 e ndash 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento criacutetico)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a
equaccedilatildeo do movimento eacute
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o
comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de
um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido
ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade
instantacircnea
Soluccedilatildeo
O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue
da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a
equaccedilatildeo diferencial eacute dada por
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
116
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo
a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentetx t 3
3
23cos2)(
913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO
9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento
Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola
Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do
suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo
diferencial do movimento forccediladoou induzido
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m obtemos
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima
equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de
variaccedilotildees de paracircmetro
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx21
dt
xd
5
1
2
2
com2
1)0(x
e 0)0(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
117
Soluccedilatildeo
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou
quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou
metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado
por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2
) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos
esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em
que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como
o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre
Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a
determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido
Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute
termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica
com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos
severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio
Exemplo
1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt
xd 0
2
2
2
x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma
constante e
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Soluccedilatildeo
A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo
particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222 )(cos)(
Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
Logo
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
118
Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
com ωγ
914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo
auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0
dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute
Superamortecido 042 C
LR
Criticamente amortecido 042 C
LR
Subamortecido 042 C
LR
Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L
e portanto
q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave
medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t
Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo
tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples
Exemplos
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)
R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0
Soluccedilatildeo
Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica
0400040
01000104
1
qqq
qqq
Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
119
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas
forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo
transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma
soluccedilatildeo estacionaacuteria
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA
Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais
defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo
y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal
uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o
proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta
chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de
simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais
seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o
formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a
deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da
elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute
relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo
)(2
2
xwdx
Md (13)
Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica
EIkxM )( (14)
onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I
eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o
eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
120
Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por
23
2)(1
y
yk
Quando a deflexatildeo y(x) for
pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23
2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se
tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute
4
4
2
2
2
2
dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx
2 em (15) vemos que a deflexatildeo
y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades
da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de
outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute
mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como
vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para
uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade
engastada x = 0
y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e
yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a
inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)
Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo
yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e
yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero
A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)
Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno
Engastada 0y0y
Livre 0y0y
Simplesmente apoiada 0y0y
9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno
Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
121
Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y
implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de
contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y
Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos
daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que
0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0
Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -
gt0
Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21
Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2
Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima
condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de
nL ou2
22
L
n n = 1 2 3
Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para
cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em
outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9
4
2
2
2
2
2
2
LLL
a funccedilatildeo correspondente na
sequumlecircncia 3
2
xL
senxL
senxL
sen
eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original
9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina
No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema
de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial
compressiva
Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento
L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for
aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer
ponto ao longo da coluna obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
122
onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em
torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide
Exemplo
Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita
a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades
Soluccedilatildeo
O problema de contorno a ser resolvido eacute
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema
Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo
haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos
matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais
Escrevendo EIP vemos que
0)(
0)0(
0
Ly
y
yy
eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos
que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores
321 222 nLnEIPnn
Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a
forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas
cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22
1 LEIP chamada
de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo
As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura
abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a
menor carga criacutetica seraacute 22
2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a
restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a
carga critica 22
3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
123
9213 Corda Girando
A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem
0 yy (18)
ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e
0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e
um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o
modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como
um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando
A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar
sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo
Suponha que uma corda de comprimento L e
densidade linear constante (massa por unidade de
comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada
em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo
girada em torno do eixo x a uma velocidade angular
constante Considere uma parte da corda sobre o
intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a
magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for
constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada
pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees
diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na
figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute
12 TsenTsenF (19)
Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e
11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os
vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
124
)(2 xxytg e )(1 xytg
Assim sendo (19) vai se tornar
)()( xyxxyTF (20)
Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a
segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo
centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra
Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem
aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y
Igualando-se (21) e (20) temos
2)()()( yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)()(
Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x
xyxxy
)()(em (22) eacute
aproximado pela derivada segunda de d2ydx
2 Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo
y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
125
AULA 23 - EXERCICIOS
Movimento Livre natildeo amortecido
1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do
movimento harmocircnico simples
2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4
polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso
de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um
ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de
peacutes Determine a
equaccedilatildeo do movimento livre
4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6
polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32
9
4
6
8
12
b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do
movimento do peso nesse instante
c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio
Movimento Livre Amortecido
5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute
entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente
igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento
considerando que
a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms
para cima
6) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma
dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a
velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal
forma que o movimento subsequumlente seja
a) superamortecido
b) criticamente amortecido
c) subamortecido
Movimento Forccedilado
8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2
peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que
oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute
a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos
3t
9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32
Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a
f(t)=68e-2t
cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de
amortecimento
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
126
10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute
colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de
1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento
subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N
11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado
em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e
aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do
ar determine o movimento subsequente do peso
12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em
equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema
Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8
vezes a velocidade instantacircnea
Circuito em Seacuterie Anaacutelogo
13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2
C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o
capacitor eacute igual a zero
14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no
capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A
15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C
= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo
periacuteodo
16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e
uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor
mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada
inicialmente determine a carga subsequente no capacitor
17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de
farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a
expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga
iniciadas no capacitor satildeo zero
Respostas
1) 8
π2
2) t64cos4
1)t(x
3)
4) a)4
1
12
πx
2
1
8
πx
4
1
6
πx
2
1
4
πx
4
2
32
π9x
b)4 peacutess para baixo
c)16
π)1n2(t
n= 0 1 2
5) a)t8t2 e
3
1e
3
4)t(x
b)t8t2 e
3
5e
3
2)t(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
127
6)
7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52
8) t3sent3cos3
10t
2
47sen
473
64t
2
47cos
3
4e)t(x 2
t
9) tsenetetsenttx tt 424cos2
14
4
94cos
2
1)( 22
10) )sin13cos99099(500
1 27 tteex xx
11) ttttx 4cos4
14sin
16
14cos50
12) (
)
13) 41078C 00509s
14) q(t)=10+10e-3t
(cos3t+sen3t)
i(t) = 60e-3t
sen3t 10432 C
15) C2
3
2
3)t10sent10(cose
2
1)t(q t10
16)
17) radic radic
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
128
AULA 24
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL
Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as
mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees
Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas
de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico
desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem
O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas
primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem
A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem
p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de
funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral
Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema
normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo
as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por
razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de
segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees
a um sistema normal
Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees
algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em
funccedilatildeo do operador derivado D
Exemplos
1)
senxxzdx
dy
senxxdx
dzy
cos
cos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
129
2)
xzydx
dz
dx
yd
xdx
dz
dx
yd
22
3
2
2
2
2
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
130
AULA 24 - EXERCIacuteCIOS
1)
02
02
zdx
dz
dx
dy
zydx
dz
dx
dy
2)
x
x
ezydx
dz
dx
dy
ezydx
dz
dx
dy
2
5
32
4
3)
2
2
2
2
2
2
2
xzdx
zd
dx
dy
eydx
dz
dx
yd x
4)
03
42
zydx
dy
ezydx
dz
dx
dy x
5)
xzDyD
senxzDyD
cos)1()1(2
2)2(2)3(
Respostas
1)
x
x
eCeCy
eCeCz
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
ou
x
x
eCeCz
eCeCy
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
2)
xxx
xxx
eeeCy
eeeCz
252
5
1
252
5
1
25
2
5
3
3)
xexCsenxCeCeCy
xesenxCxCeCeCz
xxx
xxx
22
3cos2222
2
3
2
1
2
1cos
43
2
2
2
1
2
43
2
2
2
1
4)
x
x
esenxCCxCCz
esenxCxCy
2)3(cos)3(
2cos
2121
21
5)
senxxeCeCz
xsenxeCeCy
x
x
x
x
130
61cos
130
33
3
4
)cos8(65
1
5
23
1
5
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
131
AULA 25
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA
Dado o sistema
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
este pode ser escrito na seguinte forma
n
n
F
dy
F
dy
F
dydx
1 2
2
1
1
Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por
variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema
)(
)(
2
1
zyxFdx
dz
zyxFdx
dy
(1)
que pode ser escrito da seguinte maneira
321 F
dz
F
dydx
ou generalizando
)()()( zyxR
dz
zyxP
dy
zyxM
dx (2)
Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de
dois paracircmetros
Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute
Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-
se
nRmPlM
ndzmdyldx
R
dz
P
dy
M
dx
Escolhe-se l m e n tais que
lM + mP + nR = 0
o que faz com que
ldx + mdy + ndz = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
132
Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees
do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a
soluccedilatildeo do sistema
Exemplos
1)x
dz
x
dy
y
dx
2)zx
dz
yx
dy
zy
dx
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
133
3))()()( 222222 xyz
dz
zxy
dy
yzx
dx
OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio
adotado chega-se aquelas convenientes
AULA 25 - EXERCICIOS
1) cybx
dz
axcz
dy
bzay
dx
2) )()2()2( 444444 yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
3) yx2
dz
x3z
dy
z2y3
dx
4) z
dz
x
dy
y
dx
5) yx
dz
x
dydx
221
Respostas
1) x2 + y
2 + z
2 = C1
cx + by + az = C2
2) x4 + y
4 +z
4 = C1
xyz2 = C2
3) x2 + y
2 + z
2= C1
x + 2y + 3z = C2
4) x2 ndash y
2 = C1
zC2 = y + x
5) y = x2 + C1
z = 3
2x
3 + xy ndash x
3 + C2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
134
AULA 26
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA
ORDEM
Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
nnnm22n11nn
2nm22221212
1nm12121111
que pode ser escrito como
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
x
x
x
dt
d
nm2n1n
m22221
m11211
n
2
1
ou ainda
)t(FX)t(Adt
dX
que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas
homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tλeξX
temos
tλeξλX
substituindo no sistema obteacutem-se
0eξ)λA(
eξAeξλ
tλ
tλtλ
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
135
como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Exemplo 1
Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo
t10y3x4dt
dy
t2ey5x2dt
dx t
pode ser escrito como
t10
t2eX
34
52
dt
dX t
ou
t10
2e
0
1X
34
52X t
onde
y
xX
1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO
Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna
)t(x
)t(x
)t(x
X
n
2
1
cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema
)t(FX)t(Adt
dX
no intervalo
Exemplo 2
Verifique que
t2
t2t2
1e
ee
1
1X e
t6
t6t6
2e5
e3e
5
3X satildeo soluccedilotildees de
X35
31X
no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
136
Temos
t2
t21
e2
e2X
e
1t2
t2
t2t2
t2t2
t2
t2
1 Xe2
e2
e3e5
e3e
e
e
35
31AX
Agora
t5
t612
e30
e18X
e
12t6
t6
t6t6
t6t6
t6
t6
2 Xe30
e18
e15e15
e15e3
e5
e3
35
31AX
Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira
ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n
1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS
Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e
)t(x
)t(x
)t(x
)t(X
0n
02
01
0
e
n
2
1
0
γ
γ
γ
X
onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema
00 X)X(tasujeito
)t(FX)t(Adt
dXResolver
eacute um problema de valor inicial no intervalo
10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo
Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em
um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema
de valor inicialno intervalo
1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS
Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem
mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo
comum I
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
137
10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX
em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear
kk2211 XcXcXcX
onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo
Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer
vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem
eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Exemplo 3
Uma soluccedilatildeo do sistema X
102
011
101
X
eacute
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X1
Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois
tcoscsentc
tcosc2
1sentc
2
1
sentc
dt
dX
11
11
1
e
tcoscsentc
sentc2
1tcosc
2
1
sentc
sentctcosc
sentc2
1tcosc
2
1
tcosc
102
011
101
AX
11
11
1
11
11
1
As matrizes resultantes mostram que XAX
Exemplo 4
Consideremos o sistema X
102
011
101
X
Se
0
e
0
X t2 entatildeo
0
e
0
X t2 e
2tt
2 X
0
e
0
0
e
0
102
011
101
AX
Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da
superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
138
0
e
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcX t212211
eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema
1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no
intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que
0XcXcXc kk2211
para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo
dizemos que eacute linearmente independente
O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo
constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute
linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo
linear dos vetores restantes
10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes
Sejam
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo
necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o
wronskiano
0
xxx
xxx
xxx
)XXX(W
nn2n1n
n22221
n11211
n21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
139
Exemplo 5
No exemplo 2 vimos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees do sistema
X35
31X
Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez
que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos
0e8e5e
e3e)XX(W t4
t6t2
t6t2
21
para todo t real
Exemplo 6
Pelo exemplo 5 sabemos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees
linearmente independentes de X35
31X
em )( Logo X1 e X2constituem um
conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
entatildeo
t6
2t2
12211c e5
3ce
1
1cXcXcX
1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO
Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes
do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto
fundamental de soluccedilotildees no intervalo
10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos
Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como
nn2211 XcXcXcX
onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
140
Exemplo 7
Os vetores
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
Xe
0
1
0
X
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X 3t
21 satildeo
do sistema X
102
011
101
X
no exemplo 3 Agora
0etcossentsenttcos
senttcose
tcossent0senttcos
tcos2
1sent
2
1esent
2
1tcos
2
1sent0tcos
)XXX(W ttt321
para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de
soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
ce
0
1
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcXcX 3t
21332211
1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute
qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o
sistema )t(FX)t(Adt
dX
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo
homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc
10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos
Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX em um
intervalo I e denotemos por
nn2211c XcXcXcX
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
141
a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX correspondente
Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como
pc XXX
A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX eacute chamada funccedilatildeo
complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX
Exemplo 8
Verifique que o vetor
6t5
4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-
homogecircneo
3
11t12X
35
31X no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Temos
5
3X
p e
3
11t12
6t5
4t3
35
31
3
11t12X
35
31p
pX
5
3
3
11t12
2
14t12
3
11t12
)6t5(3)4t3(5
)6t5(3)4t3(
Exemplo 9
Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
3
11t12X
35
31X em )( eacute
6t5
4t3X p
No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a
soluccedilatildeo geral de X35
31X
eacute
t62
t21c e
5
3ce
1
1cX
Logo pela definiccedilatildeo dada
65
43
5
3
1
1 62
21
t
tececXXX tt
pc eacute
soluccedilatildeo geral de
3
11t12X
35
31X em )(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
142
Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo
)t(FX)t(Adt
dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas
c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral
1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL
Seja
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um
intervalo I
A matriz
nn2n1n
n22221
n11211
xxx
xxx
xxx
)t(
eacute chamada de matriz fundamental do
sistema no intervalo
Exemplo 10
Jaacute mostramos que os vetores
t
t
t
e
eeX
2
2
2
11
1 e
t
t
t
e
eeX
6
6
6
25
3
5
3constituem
um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX
35
31 em )(
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)(
eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo
Exemplo 12
A soluccedilatildeo geral tt
c ececXcXcX 62
212211
5
3
1
1
dada no exemplo 6
pode ser escrita como
2
1
t6t2
t6t2
c
c
e5e
e3eX
Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que
C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((
Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possiacutevel de constantes C devemos ter
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
143
)t()t(A)t(
0)t()t(A)t(
10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular
A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que
0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo
Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do
sistema homogecircneo XtAdt
dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de
t no intervalo
Exemplo 13
Para a matriz fundamental dada
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)( no exemplo 10 notamos que
tet 48)(det Decorre entatildeo de
1121
1222
1112
21221
det
1
det
1
aa
aa
aa
aa
AA
T
que
tt
tt
tt
tt
t
ee
ee
ee
ee
et
66
22
22
66
4
1
8
1
8
18
3
8
535
8
1)(
10372 Matriz Especial
Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz
em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees
1
0
0
0
1
0
0
0
1
00201
tVtVtV n
Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do
sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que
t apresenta a propriedade
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
144
1000
0100
0010
0001
00
t
onde eacute a identidade multiplicativa n x n
Exemplo 14
Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX
35
31
Soluccedilatildeo
Por tt ececXcXcX 6
22
122115
3
1
1
sabemos que a soluccedilatildeo geral do
sistema acima eacute dada por tt ececX 6
22
15
3
1
1
Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que
0
1
5
3
1
121 cc ou
05
13
21
21
cc
cc
Obtemos 8
51 c e
81
2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear
tt eeV 621
5
3
8
1
1
1
8
5
Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais
1
0
5
3
1
121 cc ou
15
03
21
21
cc
cc
Neste caso obtemos 8
31 c e
81
2 c Definimos entatildeo
tt eeV 622
5
3
8
1
1
1
8
3
Dai
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
145
tttt
tttt
eeee
eeeet
6262
6262
8
5
8
3
8
5
8
58
3
8
3
8
3
8
5
)(
Observe que
10
01)0(
Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das
soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma
soluccedilatildeo do sistema
10373 t eacute uma Matriz Fundamental
Por
1000
0100
0010
0001
00
t
vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente
Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo
considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da
Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t
Por 0
1 ttt
AULA 26 - Exerciacutecios
Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado
1)
y8x4dt
dy
y5x3dt
dx
2)
z3y4x10dt
dz
yx6dt
dy
z9y4x3dt
dx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
146
3)
2ttzyxdt
dz
t3zyx2dt
dy
1tzyxdt
dx
2
2
Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes
4) te
1
1X
31
24X
5) t
1
1
3
e
2
2
1
z
y
x
652
143
211
z
y
x
dt
d t
Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado
6)
y7x4dt
dy
y4x3dt
dx
t5e
2
1X
7) 2t3
e2
1XX
114
11
X
8)
13
6
1
121
016
121
XXdt
dX
Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX
Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(
9) t6
2t2
1 e1
1Xe
1
1X
10)
4
4
2
t
12
6
3
X
4
2
1
X
2
2
1
t
4
2
1
X 321
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
147
Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema
dado
11)
18423
724
tyxdt
dy
tyxdt
dx
1
5
1
2tX
p
12) tt
p
t teeXeXX
1
1
1
1
7
1
43
12
13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX
011
101
060
` no intervalo )( eacute
t33
t22
t1 e
1
1
2
ce
1
1
3
ce
5
1
6
cX
Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental
de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule
t1
14) t7
2t2
1 e3
1Xe
2
1XX
56
14X
15) tt
2t
1 e1
0te
3
1Xe
3
1XX
29
14X
16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
14
17) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
15
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
148
Respostas
1) 84
53 XX
onde
y
xX
2)
3410
016
943
XX
onde
z
y
x
X
3)
2
0
1
03
0
111
112
111
2
2
t
t
t
tXX onde
z
y
x
X
4)
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
3
24
5)
tezyxdt
dz
tezyxdt
dy
tezyxdt
dx
t
t
t
2652
243
32
6) Eacute soluccedilatildeo
7) Eacute soluccedilatildeo
8) Eacute soluccedilatildeo
9) Sim
10) Natildeo
11) Eacute soluccedilatildeo
12) Eacute soluccedilatildeo
13) Demonstraccedilatildeo pessoal
14)
tt
tt
t
tt
tt
ee
ee
et
ee
eet
22
77
9
1
72
72
2
3
5
1)(
32
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
149
15)
tt
ttt
t
ttt
tt
ee
teete
et
eee
teet
3
31
33
2
1
16)
tttt
tttt
eeee
eeeet
7272
7272
5
3
5
2
5
6
5
65
1
5
1
5
2
5
3
17)
ttt
tt
etete
tetet
39
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
150
AULA 27
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS
Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tekX
temos
tekX
substituindo no sistema obteacutem-se
0)(
t
tt
ekA
ekAek
como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Existem trecircs casos a serem tratados
1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do
sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do
sistema no intervalo )( eacute dada por
t
nn
t
b
t
anekcekcekcX
21
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
151
Exemplo Resolva o Sistema
yxy
yxx
2
32
Soluccedilatildeo
Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes
012
32
0)det(
IA
41
043
0622
0)1)(2(
21
2
2
e
Para 11 temos
0
0
22
33
0
0
)1(12
3)1(2
0)(
b
a
b
a
K
K
K
K
KIA
1
1
1
022
033
1K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Para 42 temos
0
0
2
32
0
0
412
342
b
a
b
a
K
K
K
K
2
3
2
2
3
032
032
2K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t
ii eKx temos
tt eXeX 4
212
3
1
1
Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute
tt
tt
tt
eCeCy
eCeCx
eCeCy
x
XCXCX
4
21
4
21
4
21
2211
2
3
2
3
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
152
1042 AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1
o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo
t
ekX 1
11
e t
ekX 1
12
Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde
tetktkX sinImcosRe111
atetktkX sinRecosIm112
Exemplo
Resolva o sistema
yxdt
dy
yxdt
dx
45
6
Soluccedilatildeo
045
16
0)det(
IA
2
525
2
410
2
11610010
02910
054624
05)4)(6(
2
2
i
i
Para i25 temos
ab
ba
b
a
b
a
KiK
KKi
K
K
i
i
K
K
i
i
KIA
)21(
0)21(
0
0
)21(5
121
0
0
)25(45
1)25(6
0)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
153
iKi
K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a
2
0
1
1
21
1
1
11
tt
tt
tt
tt
t
t
etsentCetsentCy
etsenCetCx
etsent
tsenCe
tsent
tCX
etsentCetsentCX
XCXCX
etsentX
etsentX
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
2221
5
2
5
1
)22cos2()222(cos
)2()2cos(
22cos2
2
222cos
2cos
21
12cos
2
02
2
02cos
1
1
21
12cos
2
0
22
02cos
1
1
1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS
Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se
verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer
deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira
t
ekX 1
11
tt
ektekX 21
212
onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees
para o sistema
t
m
tm
tm
mmeke
m
tke
m
tkX
21
)2()1(
2
2
1
1
onde k2 k3 hellip km devem ser determinados
Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt
PeKteX 11
2
()
Onde
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
154
nk
k
k
K2
1
e
np
p
p
P
2
1
Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se
0)()( 11
11 tt
eKPAPteKAK
Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter
KPIA
KIA
)(
0)(
1
1
Exemplos
1) Resolva o sistema
zyxz
zyxy
zyxx
22
22
22
0
122
212
221
51
Re
0593
0593
012121733
0)1(1216133
0)1(4)1(4)1(488)1(
321
23
23
23
23
3
e
temosRufiniBriottporsolvendo
Para 11 temos
21
0|222
0|222
0|222 1
L
31
21
)2(
2
0|222
0|222
0|111
LL
LL
0|000
0|000
0|111
cba
cba
KKK
KKK
0 fazendo bK = 1 e 0cK temos
0
1
1
1K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
155
Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor
1
1
0
2K
Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees
LI correspondentes ao mesmo autovalor
teX
0
1
1
1 e teX
1
1
0
2
Para 53 temos
31
21
21
)2
1(
0|422
0|242
0|224
LL
LL
32
12
)1(3
2
0|330
0|330
0|224
LL
LL
)1(
)4(
0|000
0|330
0|404
2
1
L
L
0
0
cb
ca
KK
KK
cb
ca
KK
KK
fazendo cK = 1 temos
1
1
1
3K
ttt eCeCeCX 5
321
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2) Resolva o sistema
yxy
yxx
92
183
092
183
3
Re
096
0369327
036)9)(3(
21
2
2
temosequaccedilatildeoasolvendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
156
Para 321 temos
ba
ba
ba
b
aKK
KK
KK
K
K3
062
0186
0
0
62
186
fazendo 1bK temos
1
31K
Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3
1 1
3
2
1
1
3
p
pPK
IPSLL
L
L
p
p
KPIA
KPIA
0002
131
2131
2131
2
6
162
3186
1
3
62
186
3
21
2
1
2
1
1
21
21
32
1
2
13
pp
pp
fazendo
02
10
2
121 Ppp
ttt
tt
eetCeCX
eetX
33
2
3
1
33
2
02
1
1
3
1
3
02
1
1
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
157
AULA 27 ndash Exerciacutecios
1) Resolva
z3ydt
dz
zy5xdt
dy
zyx4dt
dx
2) Resolver X21
82acuteX
3) Resolver X1
2
121
acuteX
4) Resolva o sistema
yxy
yxx
3
4
5)
yxdt
dy
yxdt
dx
34
2
6)
yxdt
dy
yxdt
dx
22
5
24
7)
yxdt
dy
yxdt
dx
25
6
8)
yxdt
dy
yxdt
dx
32
5
9)
yxdt
dy
yxdt
dx
39
3
10)
yxdt
dy
yxdt
dx
53
3
Respostas
1) t53
t42
t31 e
1
8
1
ce
1
1
10
ce
1
0
1
cX
2)
t2sen
t2sen2t2cos2c
t2cos
t2sen2t2cos2cX 21
3) t
2t
1 etcos
sent2ce
sent
tcos2cX
4)
ttt etececX
1
1
1
2
1
221
5) tt ececX
1
1
2
12
5
1
6) tt ececX
5
2
1
22
3
1
7) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin2
sin
sincos2
cos
8) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin
sin
sincos
cos
9)
414
1
3
1
3
121 tccX
10)
ttt etececX 22
2
2
10
31
1
1
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
158
AULA 28
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS
O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um
sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt
dX Da mesma forma resolve-se o sistema
homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo
determinados os coeficientes desconhecidos
Exemplos
1) Resolva o sistema
41034
66
tyxy
tyxx
Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
XAX
34
16
Encontrar os autovalores
034
16
0)det(
IA
72
0149
043618
0)3)(6(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 71 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
44
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
4
1
04
0
0
14
14
fazendo 4bK temos
4
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
tt
tt
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
2
7
1
2211
2211
4
1
1
1
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
159
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
t
ttf
p
p
410
6)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
cdbtca
adbtca
t
t
t
t
dctbat
dctbat
c
a
t
t
dct
bat
b
a
34)34(
6)6(
104
6
410
6
3344
66
410
6
34
16
7
107
242
7
4
62814
234
6318
6434
26
434
06
6
1262
662814
1034
18318
1034
66
d
db
bdb
db
db
db
db
cdb
adb
c
ca
aca
ca
ca
ca
ca
Logo
7
106
7
42
t
tX p
Soluccedilatildeo Geral
7
106
7
42
4
1
2
12
2
7
1
2221
t
teCeCX
XXCXCX
tt
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
160
2) Resolva o sistema
5
3
yxy
yxx
XX
11
11
Encontrar os autovalores
011
11
0)det(
IA
20
0)2(
0121
01)1(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 01 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
t
tt
tt
eCCX
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
21
2
2
0
1
2211
2211
1
1
1
1
1
1
1
1
21
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
tf
p
p
5
3)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
161
5
3
)(
)(
5
3
11
11
dbtca
dbtca
c
a
dct
bat
b
a
ca
ca
0 fazendo 11 ca
4
1
3
db
adb
adb
4
51
5
db
db
cdb
Fazendo 04 db
t
tX p
4
Logo
t
teCCX t 4
1
1
1
1 221
Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica
1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a
funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais
poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que
pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo
A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma
CtX )(
onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes
Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que
)()( tUtX p
seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema
)()( tFXtAdt
dX
entatildeo
)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
162
sabemos que )()( tAt logo
)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt
)()()( tFtUt
)()()()()( 11 tFttUtt
)()()( 1 tFttU
dttFttU )()()( 1
entatildeo
dttFttX p )()()( 1
eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
Exemplo
Resolva o sistema
teyxy
tyxx
42
33
Vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
42
13
Encontrar os autovalores
043
13
0)det(
IA
25
0107
024312
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 51 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
2
1
02
0
0
12
12
fazendo 2bK temos
2
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
22
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
2
1
25
25
2
2
5
1
2211
2211
21
1
2
1
21
C
C
ee
eeeCeCX
eKCeKCX
XCXCX
lfundamentamatriz
tt
tt
tt
tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
163
Precisamos encontrar )(1 t
tt
tt
ee
ee25
25
2
212
10
01 LL
t
tt
e
ee2
25
30
12
312
01
LL
t
t
e
e2
5
30
0
2
2
1
5
2
112
31
31
Le
Le
t
t
10
01
tt
tt
ee
ee
22
55
3
1
3
23
1
3
1
Logo
tt
tt
ee
ee
22
55
1
3
1
3
23
1
3
1
tt
tt
tt
tt
ete
ete
e
t
ee
eetft
2
45
2
55
1
6
3
3
13
23
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
eete
eetedt
ete
etedttft
22
455
2
45
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
6
3
3
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
p
eete
eete
ee
eedttfttX
22
455
25
25
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
2)()()(
t
t
p
t
t
p
tt
tt
p
et
etX
et
etX
eetet
etetX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
2
3
50
63
5
24
3
50
81
5
18
3
1
2
3
2
1
25
6
5
62
33
4
1
25
3
5
3
3
1
Soluccedilatildeo
t
t
tt
et
eteCeCX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
1
1
2
12
2
5
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
164
AULA 28 ndash Exerciacutecios
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros
1)
122
433
yxdt
dy
yxdt
dx
2)
2
2
4
3
53
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes
indeterminados
3)
52
732
yxdt
dy
yxdt
dx
4)
53
23 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
Respostas
1)
10
15
11
11
2
3
1
121 teccX t
2) 2223
22
1
49
215
413
213
3
10
1
2 tttt
eteececX
3)
3
1
1
3
1
121
tt ececX
4)
43
2
414
1
43
41
1
1
1
1 242
21 ttececX tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
165
AULA 29
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA
1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy
xCey 2
2
02
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia
44
0
33
2210 xCxCxCxCCxCy
n
nn
1
1
34
2321
432
n
nnxnCy
xCxCxCCy
Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy
021
1
n
nn
n
nn xnCxnC
Trocando
1
1
01
1
Nn
Nn
n
n
II
NN
NN
I
n
nn xCNxnC
011
)1(
1
1 )1( Temos que verificar se I = II
0
2321)1(
2321
1
1
32)1(
32
N
NN
n
nn
xCxCCxCNII
xCxCCxnCI
Satildeo iguais
Voltando
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
166
0)1(
2
02)1(
02)1(
02)1(
1
1
0
1
01
1
nn
CC
CCn
xCCn
xCxCn
nn
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
Para
234
)2(
234
)2(2
4
23
23
)2(
23
)2(2
3
22
2
)2(
2
)2(2
2
21
21
20
04
03
34
03
02
23
02
012
00
1
CCCCn
CCCCn
CCCCn
CC
Cn
Foacutermula da recorrecircncia
1
)2( 0
nn
CC
n
n
Entatildeo
0
44
33
2210
n
nn xCxCxCxCCxCy C
0
0
1
0
443322
0
30
320
20
0
)2(
)2(1
4
2
3
2
2
2
1
21
3
)2(
2
)2(
1
2
n
nn
n
nn
n
xC
n
xC
xxxxC
xCxCxCC
Como
3
)2(
2
)2(21
321
322
32
xxxe
xxxe
x
x
Logo
xeCy 2
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
167
2) Resolver a equaccedilatildeo 02
2
ydx
yd
i
1
01
2
2
senxCxCy 21 cos
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia
2
2
1
1
0
)1(
n
nn
n
nn
n
nn
xCnny
xnCy
xCy
2
2
2
Nn
Nn
n
24
132
0
)2(
22
)2(
2
2
34232
)1)(2()1)(2()1(
xCxCC
xCNNxCNNxCnnyN
NN
N
NN
n
nn
Que fica igual a
24
132
2
2 34232)1( xCxCCxCnnyn
nn
Logo substituindo
2
2)1(n
nnxCnny na equaccedilatildeo temos
0)1)(2(02
)2(
n
nn
n
nn xCxCnn
0)1)(2(2
)2(
n
n
nn xCCnn
0)1)(2( )2( nn CCnn
0)1)(2(
)2(
n
nn
CC n
n
para 12
0 02
CCn
para 23
1 13
CCn
para 412
)(
34
1
342 002
4
CCCCn
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
168
para 523
)(
45
1
453 113
5
CCCCn
para 6456
1
564 004
6
CCCCn
para 7567
1
675 115
7
CCCCn
765432
17
06
15
04
13
02
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Foacutermula da Recorrecircncia
1)12(
)1(1
)2(
)1( 1)12(
02
k
k
CCk
k
CC
k
k
k
k
Voltando
0n
nnxCy
5
53
314
42
20 xCxCxCxCxCCy
senxCxCy
k
xC
k
xCy
xxxxC
xxxCy
n
kk
n
kk
n
10
0
12
1
0
2
0
753
1
642
0
0
cos
)12(
)1(
)2(
)1(
7536421
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
169
REFEREcircNCIAS
ABUNAHMANSERGIO A Equaccedilotildees Diferenciais LTC 1994
BOYCE WE DIPRIMA RC Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores
de contorno LTC 1989
BRONSON R COSTA G Equaccedilotildees Diferenciais 3a ed Coleccedilatildeo Schaum 2008
KREYSZIG Erwin Advanced Engineering MathematicsLTC 1999
ZILL DG Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em ModelagemThomson Learning 2003
ZILL DG GULLEN MREquaccedilotildees Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
5
1031 Vetor soluccedilatildeo 135
1032 O Problema de Valores Iniciais 136 10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo 136
1033 Sistemas homogecircneos 136 10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo 137
1034 Independecircncia Linear 138 10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes 138
1035 Conjunto fundamental de soluccedilatildeo 139 10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos 139
1036 Sistemas natildeo homogecircneos 140 10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos 140
1037 Uma Matriz Fundamental 142 10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular 143 10372 Matriz Especial 143
10373 t eacute uma Matriz Fundamental 145
AULA 27 150
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS 150
1041 Autovalores reais e distintos 150
1042 Autovalores complexos 152
1043 Autovalores de Multiplicidade dois 153
AULA 28 158
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS 158
1051 Coeficientes Indeterminados 158
1052 Variaccedilatildeo de Paracircmetros 161
AULA 29 165
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA 165
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
6
AULA 1
REVISAtildeO DE INTEGRAIS
Resolva as seguintes integrais
1) dxx )13( R Cxx
2
3 2
2) dxx
x
4= R Cxx 48
3
2
3)
dxx
x2
2 )1( R C
xx
1
4)
21 x
dx R Carcsenx
5)
dxx
x21
R Cx 21ln2
1
6) )1( 2xx
dx R C
x
x
1ln
2
12
2
7)
21 x
dx R Cx arctan
8) 42x
dx R C
x
x
2
2ln
4
1
9) x
dx
3 R C
x
3
1ln
10)
dxx
x3
21 R Cx
x ln
2
12
11)
dxx
x3
2 )1( R Cx
x ln
2
12
12) dxx
x
tan
sec2
R Cx tanln
13)
dx
ax
ax22
22
R Cax
axax
ln
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
7
14)
dx
ax
ax22
22
R Ca
xax arctan2
15) dxxe x3 R Cxe x 13
9
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R Cx 231ln 2
20)
dx
x
x
35
13 R Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R Cxx 10ln212
23) dxxe x )2(1
ln
R Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan R Cex x arctan1arctan
25) xdxe x sincosln R C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 32
R Cex x 2
)1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22
R Cxxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
8
AULA 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
11 INTRODUCcedilAtildeO
Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy
de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra
apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua
derivada eacute 23
3
xedx
dy x Se fizermos3xey teremos
23 xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo
representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de
um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo
O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde
dada uma derivada encontrar uma antiderivada
Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm
significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo
a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por
exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades
puramente matemaacuteticas
a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os
pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma
funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza
a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que
envolve uma grandeza
o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura
consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)
se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se
dx
dy
em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a
derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse
quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo
)(xfdx
dy
eacute possiacutevel escrever
dxxfdy )(
que se denomina equaccedilatildeo diferencial
uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo
da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
9
12 Definiccedilatildeo
Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou
diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos)(2 2
5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
13 CLASSIFICACcedilAtildeO
131 TIPO
Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis
dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo
ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter
mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)
Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de
duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo
diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso
132 ORDEM
A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As
equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira
ordem
133 GRAU
O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como
um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos
exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato
quanto a ordem e grau
134 LINEARIDADE
Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees
1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou
seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um
2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel
independente x
Exemplos
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e
terceira ordem
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre
aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um
nuacutemero menos de constantes
Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma
equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes
de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes
f) xx eCeCy 2
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
AULA 2 - EXERCIacuteCIOS
Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros
estejam sobre o eixo y
Respostas
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2 ( ) 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
AULA 3
2 RESOLUCcedilAtildeO
Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a
equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa
identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira
que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem
de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e
consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo
21 CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo
particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da
equaccedilatildeo diferencial
xdx
dy2
Que resulta em Cxy 2
22 SOLUCcedilAtildeO
Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As
soluccedilotildees podem ser
Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de
uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades
de ordem da equaccedilatildeo
Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees
iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante
inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os
valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos
Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave
envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A
soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais
natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante
As soluccedilotildees ainda podem ser
Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute
chamada soluccedilatildeo expliacutecita
Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G
trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Exemplo
Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita
Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluccedilatildeo x
y
Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita
Exemplo
Verifique que 16
xy
4
eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21
xydx
dy no intervalo )(
Resoluccedilatildeo
Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21
xydx
dy eacute
zero paratodo x no intervalo
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na ED temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx
dy sujeita a condiccedilatildeo inicial
00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de
problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo
diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)
determinado a priori
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
15
Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se
especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos
x0 e3ye3cec3
Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos
1xx111 e3yee3yee3cec3
Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx
dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo
ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica
As funccedilotildees y = 0 e 16
xy
4
satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma
deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO
Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o
ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy
df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I
centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)yx(fdx
dy sujeito a 00 y)x(y
Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO
1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo
2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial
Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo
que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas
caracteriacutesticas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de
valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo
Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao
caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o
caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais
possuam soluccedilotildees
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS
As equaccedilotildees diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
satildeo chamadas de autocircnomas
Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a
equaccedilatildeo (2) na forma
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluccedilatildeo eacute
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(
1
yfdy
dx em
A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A o que justifica o procedimento formal
Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema
00)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos
Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute
proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma
kydx
dy (7)
Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees
separadamente nos dois intervalos 0 y e y0
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R
Considere a equaccedilatildeo autocircnoma
akydx
dy
sua soluccedilatildeo geral para k
ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto
k
ayea
kyeaky CxkCxk
1 )()(
Neste caso k
ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1
o grau
)( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(xy) e N = N(xy)
Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS
A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se
M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes
M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel
Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a
equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis
311 RESOLUCcedilAtildeO
Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos
separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma
CdyyQdxxP )()(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec xdytgyydxtgx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a
equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo
)(
Resolver as seguintes equaccedilotildees
diferenciais
2) 01
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 ndash a
2)(y
2 ndash b
2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas
1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo
nuacutemero real
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 ndash x) = C
5) C y2 = 1 + x
2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a a
ex
ln
2
9) tg x tg y = C
10) Cb
yarctgb2y
ax
axlnax
11) y = c(x ndash 1)
12) Cx1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(42 yydx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA
Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a
relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale
a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)
Exemplos
1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y
2 eacute homogecircnea de grau 2
pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222
2) 4y
x)yx(g
2
2
eacute homogecircnea de grau zero pois
)yx(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()tytx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(xy) = 2x3 + 5xy
2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois
)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323
Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever
x
y1fx)yx(f n e
1
y
xfy)yx(f n
satildeo ambas homogecircneas de grau n
Exemplo
Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo
x
y1fx
x
y
x
y31x
x
y
x
y31x)yx(f 2
22
2
22
1
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)yx(f 2
22
2
22
322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS
A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se
M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau
Exemplos
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
y
xy
3)
x
yarctgy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3221 Resoluccedilatildeo
Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0
Tem-se
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx
x
yF
dx
dy (1)
Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as
variaacuteveis
Dessa forma substitui-se x
y por u
xuy (2)
Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) temos
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Em resumo
Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo
de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita
Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo
separaacutevel
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo
02)( 22 xydydxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 ndash EXERCIacuteCIOS
Resolva as seguintes equaccedilotildees
1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0
2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx ndash xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y
8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial
3
1)1(y
Respostas
1) y2 + 2xy ndash x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
221
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES
REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS
Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees
homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis
Satildeo equaccedilotildees da forma
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes
Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das
variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de
eixos
Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar
331 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute DIFERENTE DE ZERO
Resoluccedilatildeo
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy
A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute
dvdyvy
dudxux
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para
o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma
vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero
Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e satildeo as raiacutezes do sistema
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo23
132
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
332 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute IGUAL A ZERO
Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A
equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis
Como 22
11
ba
ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode
escrever
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relaccedilatildeo a x
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equaccedilatildeo transformada
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136
12
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCIacuteCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas
1) 2x2 ndash 6xy + y
2 + 2y = K
2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se
existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e
suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que
x
N
y
M
Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja
diferencial dada por
dyy
udx
x
udu
(2)
Entatildeo comparando (1) e (2) teremos
)( yxMx
u
(3)
e
)( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo
(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos
)()()( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos
)()(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta
)()()(
yxNygy
dxyxM
Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos
1
)()()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
)(
)()()(
Logo a soluccedilatildeo eacute da forma
Cdy
y
PNMdxyxU )(
onde costuma-se denotar MdxP
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y ndash 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh xcosy dx = coshxseny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
341 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x
N
y
M
Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata
Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx
u
e NF
dy
u
Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui eacute loucura
Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando temos
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando CdxxRF )(ln
dxxRexF
)()(
onde
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos
dyyReyF
)()(
onde
x
N
y
M
MxR
1)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo
Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x
N
y
M
mostra-se que haacute
uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata
A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante
F(x) F(y)
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator
integrante
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 ndash y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluccedilatildeo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas
1) x2 cos y + x
4 = C
2) Ctgyex 2
3) Ceseny x
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES
Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute
dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
desse tipo a saber
351 FATOR INTEGRANTE
Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial
exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de
nosso problema
QPydx
dy
Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressatildeo
0 dyedxQPyePdxPdx
Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos
Pdx
Pey
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por fator integrante
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE
Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)
criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O
meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z
a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt
Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber
i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)
ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx
dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de
variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy
dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln
Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC
eeey Fazendo
Cek temos Pdx
key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta
Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a
soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo
possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo
Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx
dt (6) que eacute da
mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx
ket Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
Daiacute Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1 Integrando este uacuteltimo
1
(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e
dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado temos CQdxek
ZPdx
1
(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e
ldquoZrdquo
CQdxek
keyPdxPdx 1
onde resulta finalmente em
CdxQeeyPdxPdx
(8)
que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)
Exempo 2
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycostan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx
dy
Respostas
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A
LINEARES
Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que
mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de
tais equaccedilotildees satildeo
361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
Equaccedilatildeo da forma
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2
Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma
EDO linear
Pois se
n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea
Soluccedilatildeo
Transformaccedilatildeo de variaacutevel
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relaccedilatildeo a x
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1) que eacute
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o
primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 temos
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior
Exemplo
232
xyx
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 02 2 xydx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas
1) 2
1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
)ln(
1
3) 12 2223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI
A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy
(1)
onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e
quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela
soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5
Resoluccedilatildeo
Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a
equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x
Como 0y eacute soluccedilatildeo temos
RQyPydx
dy 0
2
0
0
(3)
Por outro lado derivando (2) tem-se
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes
de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais
4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5
Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes
ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida
Em resumo
Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de
(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)
transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli
Exemplo
Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluccedilatildeo geral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32
2
x
y
x
y
dx
dy Em caso afirmativo
calcular a soluccedilatildeo geral
2) Mostrar que x
y1
eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluccedilatildeo
geral
3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluccedilatildeo geral
4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo
particular
5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo
particular
Respostas
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
411 DEFINICcedilOtildeES
Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo
diferencial
Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo
particular da equaccedilatildeo
Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro
0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famiacutelia de curvas integrais
Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia
como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias
concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA
Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como
envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir
uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver
nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute
definida pelo sistema
0)(
0)(
yxf
yxf
(1)
cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a
equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y
Exemplo
Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0
dx
dyyxF
Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo
geral
particular
singular (eventualmente)
A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas
integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada
A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
original
De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da
envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva
integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular
Exemplo
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2
22
x
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12
2
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)
4
2xy (soluccedilatildeo singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT
A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy
Resoluccedilatildeo
Chamando pdx
dy
a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)(1
0)( pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)
De (2) tem-se
0)( px (3)
xp )(
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo
singular
Exemplos
6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 ndash EXERCIacuteCIOS
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo
singular das seguintes equaccedilotildees de
Clairaut
a dx
dy
dx
dyxy ln
b
2
3
dx
dy
dx
dyxy
c 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d 045
y
dx
dyx
dx
dy
e 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE
A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se
dx
dy
dx
dyF
Resoluccedilatildeo
A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica
Chamando pdx
dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se
)(
)(
)(
)(
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo
geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica
)(
)(
pyy
pxx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo
2
1
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
Resolver as seguintes equaccedilotildees
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCIacuteCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy
18)
0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x
determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0
20) dxexydxxdy x2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln( 3 dyxydxx
y
23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22)1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da
equaccedilatildeo xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluccedilatildeo geral
Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes
equaccedilotildees
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2
Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
Natildeo haacute soluccedilatildeo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMAacuteTICOS
61 MODELO MATEMAacuteTICO
Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da
vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A
descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda
levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees
animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma
substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a
principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa
estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
A seguir
ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema
que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer
leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a
forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute
predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a
resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de
uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais
equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo
diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema
de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-
lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as
prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou
levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de
modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo
matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t
Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da
variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e
futuro
62 DINAcircMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por
traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais
cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em
outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em
termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser
expressa por
kxdt
dx 00
)( xtx ktexx
0
(1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos
envolvendo crescimento ou decaimento
Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de
(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0
O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt
dS a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente
Exemplo
Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias
passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes
determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Resoluccedilatildeo
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ndash ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = cekt
Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma
0x
cex
0
00
Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2
3x0
40550k
k2
3ln
e2
3
exx2
3
k
1k00
voltando novamente a equaccedilatildeo temos
t40550
0
kt0
exx
exx
para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
70922t
0986121t40550
t405503ln
e3
exx3
t40550
t4055000
seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente
63 MEIA VIDA
Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-
vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais
estaacutevel ela eacute
Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos
metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio
mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse
tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206
AKdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA 0
Exemplo
Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que
0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a
taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente
Resoluccedilatildeo
000
0
A999570A000430A15t
A0t
Resolvendo a equaccedilatildeo
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
kte
c
A
A = cekt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
Sabendo que 0A)0(A temos
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo
A(t) = A0ekt
A(15) = A0e15k
A(t) = 2
0A
099957 A0 = A0e15k teAtA
51088672
0 )(
Ln099957 = ln e15t 000028670
0
0 2
eAA
-000043 = 15 k te 000028670
2
1
K = - 2866710- 5
-06931 = - 000002867t
t = 24180
t 24180 anos
Voltando a equaccedilatildeo temos que
t10866720
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer
3717924t
t1086672693150
t108667250ln
e50
eA2
A
5
5
t1086672
t10866720
0
5
5
Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas
combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia
Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente
radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o
fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma
substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de
substacircncias remanescente no instante t
AKdt
dA (2)
Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos
siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)
kgt0 para o decaimento como em (2) klt0
O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a
determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)
aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja
taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo
transformada ou remanescente no instante t
A questatildeo eacute que
Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios
fenocircmenos diferentes
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade
de foacutesseis usando o carbono radioativo
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute
produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio
A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma
constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os
organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera
Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo
cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a
razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil
O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de
5600 anos
O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de
Turim
7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um
quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
Exemplo
Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a
idade do foacutessil
Resoluccedilatildeo
A(t) = A0ekt
5600
0
0 2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 06931
K = - 0000123776
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
A(t) = A0e- 0000123776t
teAA 0001237760
00 100
1
te 0001237760ln
100
1ln
- 0000123776 t = - 69077
t = 55808
A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos
66 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se
Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
Exemplo
Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua
temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF
Resoluccedilatildeo
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T() = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por
70 ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que
T(0) = 3000
300 = Cek0
+ 70
C = 2300
Logo
T = 230ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T com isso
200 = 230e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
1901816190k
5705448580k3
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
70e230)t(T t190180
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus
7023075 190180 te
230
7075190180 te
- 019018t = ln230
5
t = 2013
com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
67 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees
por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo
no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a
taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida
se RR
dt
dA
sal de
saiacuteda de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute
minlb6)galkb2(min)gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde atildeoConcentraccedil
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees
Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de
saiacuteda de sal Rs eacute
min100
300
min)3(
sal de
saida de taxa
saiacuteda de fluxo no
sal de atildeoConcentraccedil
salmoura de
saiacuteda de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo
Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos
colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais
quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
Resoluccedilatildeo
100
100100
100100
600
600
6
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos
550
60050 0
C
eC
Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma
100550600t
eA
A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela
Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que
esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser
(300 gal)(2lbgal) = 600 lb
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro
era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma
taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo
gallb
t
AgalRs
300min)2(
Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 26641
100 39767
150 47727
200 52557
300 57262
400 58993
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute
27 )300)(10954(2600)( tttA
68 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um
corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde
g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja
drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade
Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no
tanque no instante t
Considere o tanque ao lado
Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de
saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda
de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)
Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque
for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA
(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt
dhA
dt
dVw
Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a
altura de aacutegua no instante t
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse
caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo
Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0
comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t
Resoluccedilatildeo
Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema
Logo tem-se que
A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute
(1)
Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos
20c de modo que (1) pode ser escrita como
Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua
pura no tanque
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA
Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)
o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a
qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois
grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo
kxydt
dx (8)
ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se
argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para
eliminar y em (8) obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1
Exemplo
Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma
doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de
variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o
nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para
que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila
Resoluccedilatildeo
Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de
ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria
Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais
proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute
Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos
Substituindo entatildeo temos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
(
)
Integrando
int
(
) int
int
int int
(
)
(
)
Se em t=0 N=5 temos que
Entatildeo
Para que N = 250 no tempo t temos que
Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
610 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila
externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a
forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute
proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme
ilustrado na figura abaixo
Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no
instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para
cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age
sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da
Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg
onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O
sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra
eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva
Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute
v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
0)0( ss 0)0( vs (11)
Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais
determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica
elementar como a foacutermula 00
2
2
1)( stvgtts
Exemplo
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial
zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine
a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t
b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t
c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
Resoluccedilatildeo
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o
sentido para baixo
Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt
dvg
Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0 segue que 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100 temos 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m s2 teremos
st
t
5420
2
10100
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior
do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena
quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve
ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A
forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um
corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra
uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias
tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute
dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva
e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo
oposta ou para cima
Veja a figura abaixo
Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a
atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se
dt
dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma
da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva Em termos des (12) eacute
uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
Exemplo
Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se
o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine
a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo
b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e
c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima
Resoluccedilatildeo
(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt
dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de
movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o
corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv
responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo
negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k
mgcev
tm
k
Em t=0
v=v0 logo k
mgcev m
k
0
0 ou
k
mgvc
0 A velocidade do corpo no instante t eacute
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0
Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
611 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da
corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a
corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo
de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no
pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento
conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
Peso da corrente
W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L
Massa da corrente
m = Wg = L 32
Forccedila resultante
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo
Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um
cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como
6219 LP e
Resoluccedilatildeo
(
) (
)
Sendo frasl
Como
Sendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Como e soacute eacute possiacutevel
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE
Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor
resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga
em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como
indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave
soma das quedas de voltagem na malha
A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem
voltagemdequeda
henrys(h)Lindutacircncia
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
voltagemde queda
)(ohms aresistecircnci
Resistor
q
c
fC
1 voltagemde queda
)( farads iacapacitacircnc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo
Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)
)(tERidt
diL
ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente
i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema
A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a
carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de
Kirchhoff nos daacute
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima
transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo
Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e
a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0
Resoluccedilatildeo
L= indutacircncia = frac12 ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistecircncia = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
Logo
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
AULA 15 - EXERCIacuteCIOS
1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito
onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha
fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute
ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente
2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2
henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t
3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01
henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto
t Use E = 30 V
4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4
farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a
corrente i(t)
5) Uma forccedila eletromotriz de 200 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6
farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04
Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t
6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero
de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela
triplicaraacute
7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual
era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos
8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo
Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em
30 anos
9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente
Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas
observam-se 3000 fileiras Determine
a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no
instante t
b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de
habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute
de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes
11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos
continuamente Determine
a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos
b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha
havido retiradas ou depoacutesitos adicionais
12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um
depoacutesito feito na conta duplique em seis anos
13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente
Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7
anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos
trecircs anos
14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem
inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua
massa original determine
a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t
b) A Massa do material apoacutes quatro horas
c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)
15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade
presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute
presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer
16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a
massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia
presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia
17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas
18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se
desintegrado Qual a idade da madeira
19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora
onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50
ordmF Qual seraacute a
temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar
15ordmF
20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave
diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e
o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60
oC dentro de quanto tempo sua
temperatura desceraacute para 30oC
21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente
para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o
ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma
pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da
secretaacuteria a liberta alegando o que
22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que
governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo
para imigrar a uma taxa constante r
23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de
mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da
populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t
mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t
24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus
universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o
nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for
espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os
estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus
25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual
foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de
3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a
mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no
instante t
26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse
tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na
mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora
27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um
buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua
vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de
aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de
aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para
ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica
Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua
no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao
lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2
28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o
paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o
paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da
velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a
velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a
resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade
instantacircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e
abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do
paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1
Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se
abre o paraquedas
30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente
com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura
aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98
0C
31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma
salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o
nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t
32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por
galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute
bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no
instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min
33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram
dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para
fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos
RESPOSTAS
1) tetI 355)(
2) tei 2510
3) tcei 500
5
3 e 5
3)(lim
ti
t
4) tceq 50
100
1 onde 100
1C e
tei 50
2
1
5) tceq 200
1000
1
tcei 200200
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
500
1C
coulombsq 00030)0050(
ampi 14720)0050(
1000
1q
6) 792 anos
7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604
8) N(30) = 760
9)
10)
11)
12) 1155
13) R$ 927143
14)
15) t = 11 horas
16) t = 13672 horas
17) 885 gramas
18) 15600 anos
19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min
20) t = 60 min
21) justificativa pessoal
22) rkpdt
dP rkp
dt
dP
23) 2
21PkPk
dt
dP
24) )1000( xkxdt
dx
25) 100
A
dt
dA
26) Aproximadamente 181
27) hc
dt
dh
450
28) 2kvmg
dt
dvm
29) 70ms
30) Aproximadamente 821 s
Aproximadamente 1457 s
31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50
32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100
00975 lbgal
33) 6438lb
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
AULA 16
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma
ByAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes
Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo
Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo
yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)
onde
p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema
r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea
r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea
A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)
isto eacute ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base
fundamental)
Exemplo
y + y = 0
Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)
Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica
)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente
Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e
y2(x) satildeo linearmente independentes
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)()()(12
xyxhxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1
AULA 16 - EXERCIacuteCIOS
1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo
a) 0y9xy5yx2 com 3
1 x)x(y
b) 0y3yx4 2 com 21
1 x)x(y
c) 0y4
1xxyyx 22
com xcosx)x(y 2
1
1
Respostas
a xlnx)x(y 32
b 2
x)x(y
23
2 c senxx)x(y 21
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
AULA 17
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Satildeo aquelas da forma 0yAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
onde A0 A1 A2An
satildeo constantes
Resoluccedilatildeo
Para n= 1 rarr 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
eey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC temos key xλ
Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b satildeo constantes
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta
xλey
xλeλy
xλ2eλy
Substituindo na EDO temos
0e)bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de
equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada
Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar
711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a soluccedilatildeo geral fica
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eCeCeCeCy
712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS
Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2
Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as
raiacutezes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante
Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente
Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλehλ2ehy
heλehy
ehy
)x(y)x(h)x(y
Substituindo na equaccedilatildeo dada
0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando
0)()2( 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P
Entatildeo
KCxh
Ch
h
0
Logo
xeKCxy
yhy
)(
2
12
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Soluccedilatildeo geral
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior
xλ1nn
2321 e)xCxCxCC(y
713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo
para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
Das foacutermulas de Euler temos
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 ndash C2) = C2
temos
senbxCbxcosCey 21ax
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Exemplos
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3
3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
AULA 17 - EXERCIacuteCIOS
1) 065 yyy
2) 01243 yyyy
3) 022 yyy com 1)0( y e 02
y
4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y
5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y
6) 09 2 yy
7) 069 yyy com 4)0( y e 3
13)0( y
8) 02 2 ykkyy
9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y
10) 0344 yyy com ey )2( 2
)2(e
y
11) 0127 yyy
12) 054 yyy
13) 075 yyy
14) 02 yyy
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 2
33
22
1
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ3
2xπ3
1 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe50e30y
10) x50ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32
x21
13)
2
3xsenC
2
3xcosCeCy 32
2
x5
1
14)
xexCCy )( 21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
AULA 18
72 EULER - CAUCHY
A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos
teabax
que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis
No caso da equaccedilatildeo ter a forma
02 byaxyyx
Faremos
y = xm
yrsquo = mxm-1
yrdquo = m(m-1)xm-2
Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que
(m2 + (a ndash 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma
equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes
Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Exemplos
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
0222 yxyyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
AULA 18 - EXERCIacuteCIOS
1) 0202 yyx
2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx
3) 04324610 2 yxyyx
4) 02 yxyyx
5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6
6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3
Respostas
1) 5
24
1 xCxC
2) 3
32
21
)x1(
C
)x1(
C
1x
Cy
3) 81
21 x)xlnCC(y
4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21
5) 25
x)xln2(
6) xlnx3 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 19
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS
10
00
)(
)(
)()()(
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea
A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e
x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I
Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos
i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes
ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange
iii Meacutetodo do operador derivada D
731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)
Padratildeo para soluccedilatildeo particular
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
)10n(kxn
011n
1nn
n CxCxCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs
1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2
o
coluna
2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Exemplo
0)0(
1)0(
2 2
y
y
xeyyy x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
99
AULA19 - EXERCIacuteCIOS
1) xsenyy 34
2) 325102 2 xyyy
3) xseneyyy x 53712352 5
4) 1265 2 xyyy
5) xyy 314
6) 1232 2 xxyy
7) xeyyy 3127
8) xeyyy 28107
9) xeyyy 2844
10) xeyy 434
11) xsenyyy 2334
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 2124
14) senxyy 4
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 61251 xxxyyy para
4)0( y e 8)0( y
17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e
0)0( y
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx4
2x3
1 e20
3eCeCy
8) x2x5
2x2
1 xe3
8eCeCy
9) x22x2
2x2
1 ex4xeCeCy
10) x4
21 e20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
AULA 20
732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos
yn + Pn-1(x)y
n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)
A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a
soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO
homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando
paracircmetros variaacuteveis
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)()(11 dx
xW
xrxWu
)(
)()(22 dx
xW
xrxWu n
n)(
)()(
Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)()(
11
2
1
1
2
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente
11
2
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
11
1
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
1
0
0
1
2
1
1
2
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y
n natildeo se
esqueccedila de dividir r(x) por f(x)
Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
Exemplo223 22 xyxyyxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
AULA 20 ndash EXERCIacuteCIOS
1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x
2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x
3cosx
3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x
-4
4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x
2 ndash 15x
3
5) x3yrdquorsquo- 3x
2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x
4lnx
6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x
9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx23
x22
x1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
AULA 21
733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA
7331 Definiccedilatildeo
Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado
as operaccedilotildees que devem ser efetuadas
Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a
dx
dD
2
22
dx
dD
3
33
dx
dD
7332 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x)
P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)
P3Dm
(Dn
u)=Dm+n
u (sendo m e n constantes positivas)
P4 O operador inverso
dxueeu
aD
axax 1
a
P5 O operador direto uaDuu)aD( audx
du a
7333 Equaccedilotildees Diferenciais
Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D
Exemplo
ay + by + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n
1nn
n ArArA
tambeacutem se fatora
Exemplo
0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
7334 Operador Anulador
Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo
suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo
O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees
1n2 xxx1 Entatildeo um
polinocircmio 1n
1n2
210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n
Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Soluccedilatildeo
O operador eacute 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees
xα1nxα2xαxα exexxee
Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Soluccedilatildeo
Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(
Vamos verificar
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees
xβsenexxβsenexxβsenxexβsene
xβcosexxβcosexxβcosxexβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x
Soluccedilatildeo
5D2D)]41(D)1(2D[
1n01n2β1α
212
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
Vamos verificar
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(DD
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen
Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que
0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7
Soluccedilatildeo
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22
Logo
0)x3sen6x7)(9D(D 22
7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA
entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma
βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo
nuacutemeros reais
Resumo do Meacutetodo
i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L
ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g
iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1
0)y(L
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na
soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos
termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L
v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das
funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os
coeficientes indeterminados em py
vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a
equaccedilatildeo diferencial dada
7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares
1) Resolver empregando operadores 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 21 - EXERCIacuteCIOS
Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada
1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8y3y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
AULA 22
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) xsenxedx
dy
dx
yd x 2234 2
3
3
2) xex
dx
dy
dx
yd
dx
yd 2
2
2
3
3
3265
3) 13 2
2
2
xesenxydx
yd
4) 1284 2
2
2
xxydx
yd
5) 222
2
3
3
xdx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 1234 3
2
2
4
4
xxdx
yd
dx
yd
7) xey
dx
dy
dx
yd 3232
2
8) xey
dx
yd 2
2
2
44
9) xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344
10) xey
dx
dy
dx
yd22
2
2
11) senxydx
dy
dx
yd223
2
2
12) xdx
dy
dx
ydcos34
2
2
13) xsenydx
yd2316
4
4
14) xydx
yd2cos54
2
2
15) 52 2
2
2
xedx
dy
dx
yd
16) xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44
17) xeydx
dy
dx
yd x 2cos8822
2
18)
2244 2
2
2 xey
dx
dy
dx
yd x
19)
20)
21)
senxy
dx
yd 12
2
22) xyxyyx 3222
23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2
22
3
33 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx
x
ey
dx
dy
dx
yd x
22
2
xy
dx
yd
cos
12
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
RESPOSTAS
1)
4
x2xsen
8
x
16
e3x2senCx2cosCCy
2x2
321
2)
2
3
18
5
6
223
3
2
21
xxx xe
xx
eCeCCy
3) 132
3 2
21 x
xx esenxeCeCy
4) 44
2 22
2
2
1 xxeCeCy xx
5)
4
5
4
22
321
xxeCeCCy xx
6)
848
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx
7)
2
2
21
xxx e
eCeCy
8) xxx xeeCeCy 22
2
2
1
9) xxx exxeCeCy 222
2
2
12
3
10) )( 2
21 xxCCey x
11) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21
12) )4(cos17
34
21 senxxeCCy x
13)
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx
14)
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx
15)
22
5 22
21
xx xex
eCCy
16) xe
xxCCy 2
3
216
17) )22cos3(5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy exxx
18)
8
1)( 22
21
xexxCCy x
19) xxexeexCCy xxx ln)( 21
20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21
21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21
22) xxxCxCy ln32
21
23)
36
11)1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21
xx
C
x
C
x
Cy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
111
AULA 23
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos
diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma
mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas
interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de
um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa
equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da
ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial
enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos
aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as
diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples
e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO
Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte
riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo
da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola
diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do
alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante
de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo
nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)
implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola
somente 25 peacute
Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma
distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila
restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms
2 ou 980
cms2
equiliacutebrio
Posiccedilatildeo
inicial
g
K(s+x)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
112
Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a
massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da
mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo
que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F
com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da
posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos
9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido
Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk 2
A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo
amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1
representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se
x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade
inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0
x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento
Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2
=0 satildeo
nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como
tsenCtCtx 21 cos)( (3)
O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute
21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute
32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou
equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo
Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos
sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente
agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida
pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo
correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos
referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
113
iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular
resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento
Exemplo
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de
um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3
4 peacutess para cima
Determine a equaccedilatildeo do movimento livre
Soluccedilatildeo
Convertendo as unidades
6 polegadas = frac12 peacute
8 polegadas = 23 peacute
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = Wg = 232 = 116 slug
Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute
Logo (1) resulta em
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal
negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade
inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima
Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a
equaccedilatildeo do movimento seraacute
tsenttx 816
18cos
3
2)(
912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito
pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em
movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma
forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente
9121 ED do Movimento Livre Amortecido
No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo
consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor
durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt
Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton
que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
114
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia
do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento
Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd (5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute
m2 + 2 m + 2 = 0
e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto
22
1 m e22
2 m
Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22
Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica
despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo
CASO I Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio
CASO II Amortecimento Criacutetico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem
evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer
decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
115
CASO III Subamortecido
022
Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de
vibraccedilatildeo 0 quando t
Exemplos
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
Soluccedilatildeo
Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos
daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
X(t)= C1 e ndash 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento criacutetico)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a
equaccedilatildeo do movimento eacute
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o
comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de
um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido
ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade
instantacircnea
Soluccedilatildeo
O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue
da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a
equaccedilatildeo diferencial eacute dada por
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
116
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo
a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentetx t 3
3
23cos2)(
913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO
9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento
Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola
Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do
suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo
diferencial do movimento forccediladoou induzido
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m obtemos
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima
equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de
variaccedilotildees de paracircmetro
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx21
dt
xd
5
1
2
2
com2
1)0(x
e 0)0(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
117
Soluccedilatildeo
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou
quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou
metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado
por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2
) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos
esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em
que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como
o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre
Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a
determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido
Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute
termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica
com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos
severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio
Exemplo
1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt
xd 0
2
2
2
x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma
constante e
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Soluccedilatildeo
A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo
particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222 )(cos)(
Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
Logo
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
118
Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
com ωγ
914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo
auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0
dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute
Superamortecido 042 C
LR
Criticamente amortecido 042 C
LR
Subamortecido 042 C
LR
Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L
e portanto
q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave
medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t
Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo
tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples
Exemplos
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)
R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0
Soluccedilatildeo
Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica
0400040
01000104
1
qqq
qqq
Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
119
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas
forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo
transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma
soluccedilatildeo estacionaacuteria
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA
Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais
defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo
y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal
uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o
proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta
chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de
simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais
seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o
formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a
deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da
elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute
relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo
)(2
2
xwdx
Md (13)
Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica
EIkxM )( (14)
onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I
eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o
eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
120
Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por
23
2)(1
y
yk
Quando a deflexatildeo y(x) for
pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23
2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se
tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute
4
4
2
2
2
2
dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx
2 em (15) vemos que a deflexatildeo
y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades
da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de
outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute
mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como
vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para
uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade
engastada x = 0
y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e
yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a
inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)
Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo
yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e
yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero
A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)
Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno
Engastada 0y0y
Livre 0y0y
Simplesmente apoiada 0y0y
9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno
Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
121
Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y
implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de
contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y
Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos
daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que
0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0
Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -
gt0
Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21
Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2
Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima
condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de
nL ou2
22
L
n n = 1 2 3
Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para
cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em
outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9
4
2
2
2
2
2
2
LLL
a funccedilatildeo correspondente na
sequumlecircncia 3
2
xL
senxL
senxL
sen
eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original
9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina
No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema
de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial
compressiva
Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento
L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for
aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer
ponto ao longo da coluna obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
122
onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em
torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide
Exemplo
Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita
a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades
Soluccedilatildeo
O problema de contorno a ser resolvido eacute
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema
Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo
haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos
matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais
Escrevendo EIP vemos que
0)(
0)0(
0
Ly
y
yy
eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos
que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores
321 222 nLnEIPnn
Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a
forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas
cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22
1 LEIP chamada
de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo
As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura
abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a
menor carga criacutetica seraacute 22
2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a
restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a
carga critica 22
3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
123
9213 Corda Girando
A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem
0 yy (18)
ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e
0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e
um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o
modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como
um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando
A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar
sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo
Suponha que uma corda de comprimento L e
densidade linear constante (massa por unidade de
comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada
em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo
girada em torno do eixo x a uma velocidade angular
constante Considere uma parte da corda sobre o
intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a
magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for
constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada
pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees
diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na
figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute
12 TsenTsenF (19)
Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e
11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os
vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
124
)(2 xxytg e )(1 xytg
Assim sendo (19) vai se tornar
)()( xyxxyTF (20)
Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a
segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo
centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra
Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem
aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y
Igualando-se (21) e (20) temos
2)()()( yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)()(
Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x
xyxxy
)()(em (22) eacute
aproximado pela derivada segunda de d2ydx
2 Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo
y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
125
AULA 23 - EXERCICIOS
Movimento Livre natildeo amortecido
1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do
movimento harmocircnico simples
2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4
polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso
de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um
ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de
peacutes Determine a
equaccedilatildeo do movimento livre
4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6
polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32
9
4
6
8
12
b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do
movimento do peso nesse instante
c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio
Movimento Livre Amortecido
5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute
entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente
igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento
considerando que
a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms
para cima
6) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma
dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a
velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal
forma que o movimento subsequumlente seja
a) superamortecido
b) criticamente amortecido
c) subamortecido
Movimento Forccedilado
8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2
peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que
oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute
a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos
3t
9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32
Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a
f(t)=68e-2t
cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de
amortecimento
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
126
10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute
colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de
1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento
subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N
11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado
em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e
aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do
ar determine o movimento subsequente do peso
12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em
equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema
Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8
vezes a velocidade instantacircnea
Circuito em Seacuterie Anaacutelogo
13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2
C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o
capacitor eacute igual a zero
14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no
capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A
15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C
= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo
periacuteodo
16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e
uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor
mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada
inicialmente determine a carga subsequente no capacitor
17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de
farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a
expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga
iniciadas no capacitor satildeo zero
Respostas
1) 8
π2
2) t64cos4
1)t(x
3)
4) a)4
1
12
πx
2
1
8
πx
4
1
6
πx
2
1
4
πx
4
2
32
π9x
b)4 peacutess para baixo
c)16
π)1n2(t
n= 0 1 2
5) a)t8t2 e
3
1e
3
4)t(x
b)t8t2 e
3
5e
3
2)t(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
127
6)
7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52
8) t3sent3cos3
10t
2
47sen
473
64t
2
47cos
3
4e)t(x 2
t
9) tsenetetsenttx tt 424cos2
14
4
94cos
2
1)( 22
10) )sin13cos99099(500
1 27 tteex xx
11) ttttx 4cos4
14sin
16
14cos50
12) (
)
13) 41078C 00509s
14) q(t)=10+10e-3t
(cos3t+sen3t)
i(t) = 60e-3t
sen3t 10432 C
15) C2
3
2
3)t10sent10(cose
2
1)t(q t10
16)
17) radic radic
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
128
AULA 24
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL
Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as
mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees
Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas
de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico
desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem
O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas
primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem
A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem
p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de
funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral
Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema
normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo
as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por
razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de
segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees
a um sistema normal
Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees
algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em
funccedilatildeo do operador derivado D
Exemplos
1)
senxxzdx
dy
senxxdx
dzy
cos
cos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
129
2)
xzydx
dz
dx
yd
xdx
dz
dx
yd
22
3
2
2
2
2
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
130
AULA 24 - EXERCIacuteCIOS
1)
02
02
zdx
dz
dx
dy
zydx
dz
dx
dy
2)
x
x
ezydx
dz
dx
dy
ezydx
dz
dx
dy
2
5
32
4
3)
2
2
2
2
2
2
2
xzdx
zd
dx
dy
eydx
dz
dx
yd x
4)
03
42
zydx
dy
ezydx
dz
dx
dy x
5)
xzDyD
senxzDyD
cos)1()1(2
2)2(2)3(
Respostas
1)
x
x
eCeCy
eCeCz
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
ou
x
x
eCeCz
eCeCy
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
2)
xxx
xxx
eeeCy
eeeCz
252
5
1
252
5
1
25
2
5
3
3)
xexCsenxCeCeCy
xesenxCxCeCeCz
xxx
xxx
22
3cos2222
2
3
2
1
2
1cos
43
2
2
2
1
2
43
2
2
2
1
4)
x
x
esenxCCxCCz
esenxCxCy
2)3(cos)3(
2cos
2121
21
5)
senxxeCeCz
xsenxeCeCy
x
x
x
x
130
61cos
130
33
3
4
)cos8(65
1
5
23
1
5
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
131
AULA 25
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA
Dado o sistema
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
este pode ser escrito na seguinte forma
n
n
F
dy
F
dy
F
dydx
1 2
2
1
1
Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por
variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema
)(
)(
2
1
zyxFdx
dz
zyxFdx
dy
(1)
que pode ser escrito da seguinte maneira
321 F
dz
F
dydx
ou generalizando
)()()( zyxR
dz
zyxP
dy
zyxM
dx (2)
Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de
dois paracircmetros
Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute
Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-
se
nRmPlM
ndzmdyldx
R
dz
P
dy
M
dx
Escolhe-se l m e n tais que
lM + mP + nR = 0
o que faz com que
ldx + mdy + ndz = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
132
Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees
do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a
soluccedilatildeo do sistema
Exemplos
1)x
dz
x
dy
y
dx
2)zx
dz
yx
dy
zy
dx
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
133
3))()()( 222222 xyz
dz
zxy
dy
yzx
dx
OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio
adotado chega-se aquelas convenientes
AULA 25 - EXERCICIOS
1) cybx
dz
axcz
dy
bzay
dx
2) )()2()2( 444444 yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
3) yx2
dz
x3z
dy
z2y3
dx
4) z
dz
x
dy
y
dx
5) yx
dz
x
dydx
221
Respostas
1) x2 + y
2 + z
2 = C1
cx + by + az = C2
2) x4 + y
4 +z
4 = C1
xyz2 = C2
3) x2 + y
2 + z
2= C1
x + 2y + 3z = C2
4) x2 ndash y
2 = C1
zC2 = y + x
5) y = x2 + C1
z = 3
2x
3 + xy ndash x
3 + C2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
134
AULA 26
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA
ORDEM
Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
nnnm22n11nn
2nm22221212
1nm12121111
que pode ser escrito como
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
x
x
x
dt
d
nm2n1n
m22221
m11211
n
2
1
ou ainda
)t(FX)t(Adt
dX
que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas
homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tλeξX
temos
tλeξλX
substituindo no sistema obteacutem-se
0eξ)λA(
eξAeξλ
tλ
tλtλ
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
135
como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Exemplo 1
Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo
t10y3x4dt
dy
t2ey5x2dt
dx t
pode ser escrito como
t10
t2eX
34
52
dt
dX t
ou
t10
2e
0
1X
34
52X t
onde
y
xX
1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO
Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna
)t(x
)t(x
)t(x
X
n
2
1
cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema
)t(FX)t(Adt
dX
no intervalo
Exemplo 2
Verifique que
t2
t2t2
1e
ee
1
1X e
t6
t6t6
2e5
e3e
5
3X satildeo soluccedilotildees de
X35
31X
no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
136
Temos
t2
t21
e2
e2X
e
1t2
t2
t2t2
t2t2
t2
t2
1 Xe2
e2
e3e5
e3e
e
e
35
31AX
Agora
t5
t612
e30
e18X
e
12t6
t6
t6t6
t6t6
t6
t6
2 Xe30
e18
e15e15
e15e3
e5
e3
35
31AX
Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira
ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n
1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS
Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e
)t(x
)t(x
)t(x
)t(X
0n
02
01
0
e
n
2
1
0
γ
γ
γ
X
onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema
00 X)X(tasujeito
)t(FX)t(Adt
dXResolver
eacute um problema de valor inicial no intervalo
10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo
Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em
um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema
de valor inicialno intervalo
1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS
Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem
mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo
comum I
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
137
10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX
em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear
kk2211 XcXcXcX
onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo
Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer
vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem
eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Exemplo 3
Uma soluccedilatildeo do sistema X
102
011
101
X
eacute
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X1
Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois
tcoscsentc
tcosc2
1sentc
2
1
sentc
dt
dX
11
11
1
e
tcoscsentc
sentc2
1tcosc
2
1
sentc
sentctcosc
sentc2
1tcosc
2
1
tcosc
102
011
101
AX
11
11
1
11
11
1
As matrizes resultantes mostram que XAX
Exemplo 4
Consideremos o sistema X
102
011
101
X
Se
0
e
0
X t2 entatildeo
0
e
0
X t2 e
2tt
2 X
0
e
0
0
e
0
102
011
101
AX
Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da
superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
138
0
e
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcX t212211
eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema
1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no
intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que
0XcXcXc kk2211
para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo
dizemos que eacute linearmente independente
O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo
constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute
linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo
linear dos vetores restantes
10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes
Sejam
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo
necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o
wronskiano
0
xxx
xxx
xxx
)XXX(W
nn2n1n
n22221
n11211
n21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
139
Exemplo 5
No exemplo 2 vimos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees do sistema
X35
31X
Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez
que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos
0e8e5e
e3e)XX(W t4
t6t2
t6t2
21
para todo t real
Exemplo 6
Pelo exemplo 5 sabemos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees
linearmente independentes de X35
31X
em )( Logo X1 e X2constituem um
conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
entatildeo
t6
2t2
12211c e5
3ce
1
1cXcXcX
1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO
Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes
do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto
fundamental de soluccedilotildees no intervalo
10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos
Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como
nn2211 XcXcXcX
onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
140
Exemplo 7
Os vetores
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
Xe
0
1
0
X
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X 3t
21 satildeo
do sistema X
102
011
101
X
no exemplo 3 Agora
0etcossentsenttcos
senttcose
tcossent0senttcos
tcos2
1sent
2
1esent
2
1tcos
2
1sent0tcos
)XXX(W ttt321
para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de
soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
ce
0
1
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcXcX 3t
21332211
1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute
qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o
sistema )t(FX)t(Adt
dX
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo
homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc
10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos
Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX em um
intervalo I e denotemos por
nn2211c XcXcXcX
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
141
a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX correspondente
Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como
pc XXX
A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX eacute chamada funccedilatildeo
complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX
Exemplo 8
Verifique que o vetor
6t5
4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-
homogecircneo
3
11t12X
35
31X no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Temos
5
3X
p e
3
11t12
6t5
4t3
35
31
3
11t12X
35
31p
pX
5
3
3
11t12
2
14t12
3
11t12
)6t5(3)4t3(5
)6t5(3)4t3(
Exemplo 9
Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
3
11t12X
35
31X em )( eacute
6t5
4t3X p
No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a
soluccedilatildeo geral de X35
31X
eacute
t62
t21c e
5
3ce
1
1cX
Logo pela definiccedilatildeo dada
65
43
5
3
1
1 62
21
t
tececXXX tt
pc eacute
soluccedilatildeo geral de
3
11t12X
35
31X em )(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
142
Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo
)t(FX)t(Adt
dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas
c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral
1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL
Seja
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um
intervalo I
A matriz
nn2n1n
n22221
n11211
xxx
xxx
xxx
)t(
eacute chamada de matriz fundamental do
sistema no intervalo
Exemplo 10
Jaacute mostramos que os vetores
t
t
t
e
eeX
2
2
2
11
1 e
t
t
t
e
eeX
6
6
6
25
3
5
3constituem
um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX
35
31 em )(
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)(
eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo
Exemplo 12
A soluccedilatildeo geral tt
c ececXcXcX 62
212211
5
3
1
1
dada no exemplo 6
pode ser escrita como
2
1
t6t2
t6t2
c
c
e5e
e3eX
Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que
C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((
Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possiacutevel de constantes C devemos ter
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
143
)t()t(A)t(
0)t()t(A)t(
10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular
A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que
0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo
Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do
sistema homogecircneo XtAdt
dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de
t no intervalo
Exemplo 13
Para a matriz fundamental dada
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)( no exemplo 10 notamos que
tet 48)(det Decorre entatildeo de
1121
1222
1112
21221
det
1
det
1
aa
aa
aa
aa
AA
T
que
tt
tt
tt
tt
t
ee
ee
ee
ee
et
66
22
22
66
4
1
8
1
8
18
3
8
535
8
1)(
10372 Matriz Especial
Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz
em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees
1
0
0
0
1
0
0
0
1
00201
tVtVtV n
Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do
sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que
t apresenta a propriedade
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
144
1000
0100
0010
0001
00
t
onde eacute a identidade multiplicativa n x n
Exemplo 14
Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX
35
31
Soluccedilatildeo
Por tt ececXcXcX 6
22
122115
3
1
1
sabemos que a soluccedilatildeo geral do
sistema acima eacute dada por tt ececX 6
22
15
3
1
1
Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que
0
1
5
3
1
121 cc ou
05
13
21
21
cc
cc
Obtemos 8
51 c e
81
2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear
tt eeV 621
5
3
8
1
1
1
8
5
Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais
1
0
5
3
1
121 cc ou
15
03
21
21
cc
cc
Neste caso obtemos 8
31 c e
81
2 c Definimos entatildeo
tt eeV 622
5
3
8
1
1
1
8
3
Dai
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
145
tttt
tttt
eeee
eeeet
6262
6262
8
5
8
3
8
5
8
58
3
8
3
8
3
8
5
)(
Observe que
10
01)0(
Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das
soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma
soluccedilatildeo do sistema
10373 t eacute uma Matriz Fundamental
Por
1000
0100
0010
0001
00
t
vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente
Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo
considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da
Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t
Por 0
1 ttt
AULA 26 - Exerciacutecios
Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado
1)
y8x4dt
dy
y5x3dt
dx
2)
z3y4x10dt
dz
yx6dt
dy
z9y4x3dt
dx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
146
3)
2ttzyxdt
dz
t3zyx2dt
dy
1tzyxdt
dx
2
2
Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes
4) te
1
1X
31
24X
5) t
1
1
3
e
2
2
1
z
y
x
652
143
211
z
y
x
dt
d t
Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado
6)
y7x4dt
dy
y4x3dt
dx
t5e
2
1X
7) 2t3
e2
1XX
114
11
X
8)
13
6
1
121
016
121
XXdt
dX
Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX
Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(
9) t6
2t2
1 e1
1Xe
1
1X
10)
4
4
2
t
12
6
3
X
4
2
1
X
2
2
1
t
4
2
1
X 321
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
147
Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema
dado
11)
18423
724
tyxdt
dy
tyxdt
dx
1
5
1
2tX
p
12) tt
p
t teeXeXX
1
1
1
1
7
1
43
12
13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX
011
101
060
` no intervalo )( eacute
t33
t22
t1 e
1
1
2
ce
1
1
3
ce
5
1
6
cX
Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental
de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule
t1
14) t7
2t2
1 e3
1Xe
2
1XX
56
14X
15) tt
2t
1 e1
0te
3
1Xe
3
1XX
29
14X
16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
14
17) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
15
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
148
Respostas
1) 84
53 XX
onde
y
xX
2)
3410
016
943
XX
onde
z
y
x
X
3)
2
0
1
03
0
111
112
111
2
2
t
t
t
tXX onde
z
y
x
X
4)
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
3
24
5)
tezyxdt
dz
tezyxdt
dy
tezyxdt
dx
t
t
t
2652
243
32
6) Eacute soluccedilatildeo
7) Eacute soluccedilatildeo
8) Eacute soluccedilatildeo
9) Sim
10) Natildeo
11) Eacute soluccedilatildeo
12) Eacute soluccedilatildeo
13) Demonstraccedilatildeo pessoal
14)
tt
tt
t
tt
tt
ee
ee
et
ee
eet
22
77
9
1
72
72
2
3
5
1)(
32
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
149
15)
tt
ttt
t
ttt
tt
ee
teete
et
eee
teet
3
31
33
2
1
16)
tttt
tttt
eeee
eeeet
7272
7272
5
3
5
2
5
6
5
65
1
5
1
5
2
5
3
17)
ttt
tt
etete
tetet
39
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
150
AULA 27
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS
Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tekX
temos
tekX
substituindo no sistema obteacutem-se
0)(
t
tt
ekA
ekAek
como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Existem trecircs casos a serem tratados
1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do
sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do
sistema no intervalo )( eacute dada por
t
nn
t
b
t
anekcekcekcX
21
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
151
Exemplo Resolva o Sistema
yxy
yxx
2
32
Soluccedilatildeo
Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes
012
32
0)det(
IA
41
043
0622
0)1)(2(
21
2
2
e
Para 11 temos
0
0
22
33
0
0
)1(12
3)1(2
0)(
b
a
b
a
K
K
K
K
KIA
1
1
1
022
033
1K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Para 42 temos
0
0
2
32
0
0
412
342
b
a
b
a
K
K
K
K
2
3
2
2
3
032
032
2K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t
ii eKx temos
tt eXeX 4
212
3
1
1
Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute
tt
tt
tt
eCeCy
eCeCx
eCeCy
x
XCXCX
4
21
4
21
4
21
2211
2
3
2
3
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
152
1042 AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1
o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo
t
ekX 1
11
e t
ekX 1
12
Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde
tetktkX sinImcosRe111
atetktkX sinRecosIm112
Exemplo
Resolva o sistema
yxdt
dy
yxdt
dx
45
6
Soluccedilatildeo
045
16
0)det(
IA
2
525
2
410
2
11610010
02910
054624
05)4)(6(
2
2
i
i
Para i25 temos
ab
ba
b
a
b
a
KiK
KKi
K
K
i
i
K
K
i
i
KIA
)21(
0)21(
0
0
)21(5
121
0
0
)25(45
1)25(6
0)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
153
iKi
K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a
2
0
1
1
21
1
1
11
tt
tt
tt
tt
t
t
etsentCetsentCy
etsenCetCx
etsent
tsenCe
tsent
tCX
etsentCetsentCX
XCXCX
etsentX
etsentX
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
2221
5
2
5
1
)22cos2()222(cos
)2()2cos(
22cos2
2
222cos
2cos
21
12cos
2
02
2
02cos
1
1
21
12cos
2
0
22
02cos
1
1
1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS
Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se
verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer
deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira
t
ekX 1
11
tt
ektekX 21
212
onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees
para o sistema
t
m
tm
tm
mmeke
m
tke
m
tkX
21
)2()1(
2
2
1
1
onde k2 k3 hellip km devem ser determinados
Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt
PeKteX 11
2
()
Onde
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
154
nk
k
k
K2
1
e
np
p
p
P
2
1
Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se
0)()( 11
11 tt
eKPAPteKAK
Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter
KPIA
KIA
)(
0)(
1
1
Exemplos
1) Resolva o sistema
zyxz
zyxy
zyxx
22
22
22
0
122
212
221
51
Re
0593
0593
012121733
0)1(1216133
0)1(4)1(4)1(488)1(
321
23
23
23
23
3
e
temosRufiniBriottporsolvendo
Para 11 temos
21
0|222
0|222
0|222 1
L
31
21
)2(
2
0|222
0|222
0|111
LL
LL
0|000
0|000
0|111
cba
cba
KKK
KKK
0 fazendo bK = 1 e 0cK temos
0
1
1
1K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
155
Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor
1
1
0
2K
Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees
LI correspondentes ao mesmo autovalor
teX
0
1
1
1 e teX
1
1
0
2
Para 53 temos
31
21
21
)2
1(
0|422
0|242
0|224
LL
LL
32
12
)1(3
2
0|330
0|330
0|224
LL
LL
)1(
)4(
0|000
0|330
0|404
2
1
L
L
0
0
cb
ca
KK
KK
cb
ca
KK
KK
fazendo cK = 1 temos
1
1
1
3K
ttt eCeCeCX 5
321
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2) Resolva o sistema
yxy
yxx
92
183
092
183
3
Re
096
0369327
036)9)(3(
21
2
2
temosequaccedilatildeoasolvendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
156
Para 321 temos
ba
ba
ba
b
aKK
KK
KK
K
K3
062
0186
0
0
62
186
fazendo 1bK temos
1
31K
Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3
1 1
3
2
1
1
3
p
pPK
IPSLL
L
L
p
p
KPIA
KPIA
0002
131
2131
2131
2
6
162
3186
1
3
62
186
3
21
2
1
2
1
1
21
21
32
1
2
13
pp
pp
fazendo
02
10
2
121 Ppp
ttt
tt
eetCeCX
eetX
33
2
3
1
33
2
02
1
1
3
1
3
02
1
1
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
157
AULA 27 ndash Exerciacutecios
1) Resolva
z3ydt
dz
zy5xdt
dy
zyx4dt
dx
2) Resolver X21
82acuteX
3) Resolver X1
2
121
acuteX
4) Resolva o sistema
yxy
yxx
3
4
5)
yxdt
dy
yxdt
dx
34
2
6)
yxdt
dy
yxdt
dx
22
5
24
7)
yxdt
dy
yxdt
dx
25
6
8)
yxdt
dy
yxdt
dx
32
5
9)
yxdt
dy
yxdt
dx
39
3
10)
yxdt
dy
yxdt
dx
53
3
Respostas
1) t53
t42
t31 e
1
8
1
ce
1
1
10
ce
1
0
1
cX
2)
t2sen
t2sen2t2cos2c
t2cos
t2sen2t2cos2cX 21
3) t
2t
1 etcos
sent2ce
sent
tcos2cX
4)
ttt etececX
1
1
1
2
1
221
5) tt ececX
1
1
2
12
5
1
6) tt ececX
5
2
1
22
3
1
7) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin2
sin
sincos2
cos
8) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin
sin
sincos
cos
9)
414
1
3
1
3
121 tccX
10)
ttt etececX 22
2
2
10
31
1
1
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
158
AULA 28
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS
O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um
sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt
dX Da mesma forma resolve-se o sistema
homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo
determinados os coeficientes desconhecidos
Exemplos
1) Resolva o sistema
41034
66
tyxy
tyxx
Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
XAX
34
16
Encontrar os autovalores
034
16
0)det(
IA
72
0149
043618
0)3)(6(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 71 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
44
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
4
1
04
0
0
14
14
fazendo 4bK temos
4
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
tt
tt
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
2
7
1
2211
2211
4
1
1
1
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
159
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
t
ttf
p
p
410
6)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
cdbtca
adbtca
t
t
t
t
dctbat
dctbat
c
a
t
t
dct
bat
b
a
34)34(
6)6(
104
6
410
6
3344
66
410
6
34
16
7
107
242
7
4
62814
234
6318
6434
26
434
06
6
1262
662814
1034
18318
1034
66
d
db
bdb
db
db
db
db
cdb
adb
c
ca
aca
ca
ca
ca
ca
Logo
7
106
7
42
t
tX p
Soluccedilatildeo Geral
7
106
7
42
4
1
2
12
2
7
1
2221
t
teCeCX
XXCXCX
tt
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
160
2) Resolva o sistema
5
3
yxy
yxx
XX
11
11
Encontrar os autovalores
011
11
0)det(
IA
20
0)2(
0121
01)1(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 01 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
t
tt
tt
eCCX
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
21
2
2
0
1
2211
2211
1
1
1
1
1
1
1
1
21
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
tf
p
p
5
3)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
161
5
3
)(
)(
5
3
11
11
dbtca
dbtca
c
a
dct
bat
b
a
ca
ca
0 fazendo 11 ca
4
1
3
db
adb
adb
4
51
5
db
db
cdb
Fazendo 04 db
t
tX p
4
Logo
t
teCCX t 4
1
1
1
1 221
Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica
1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a
funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais
poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que
pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo
A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma
CtX )(
onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes
Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que
)()( tUtX p
seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema
)()( tFXtAdt
dX
entatildeo
)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
162
sabemos que )()( tAt logo
)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt
)()()( tFtUt
)()()()()( 11 tFttUtt
)()()( 1 tFttU
dttFttU )()()( 1
entatildeo
dttFttX p )()()( 1
eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
Exemplo
Resolva o sistema
teyxy
tyxx
42
33
Vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
42
13
Encontrar os autovalores
043
13
0)det(
IA
25
0107
024312
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 51 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
2
1
02
0
0
12
12
fazendo 2bK temos
2
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
22
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
2
1
25
25
2
2
5
1
2211
2211
21
1
2
1
21
C
C
ee
eeeCeCX
eKCeKCX
XCXCX
lfundamentamatriz
tt
tt
tt
tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
163
Precisamos encontrar )(1 t
tt
tt
ee
ee25
25
2
212
10
01 LL
t
tt
e
ee2
25
30
12
312
01
LL
t
t
e
e2
5
30
0
2
2
1
5
2
112
31
31
Le
Le
t
t
10
01
tt
tt
ee
ee
22
55
3
1
3
23
1
3
1
Logo
tt
tt
ee
ee
22
55
1
3
1
3
23
1
3
1
tt
tt
tt
tt
ete
ete
e
t
ee
eetft
2
45
2
55
1
6
3
3
13
23
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
eete
eetedt
ete
etedttft
22
455
2
45
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
6
3
3
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
p
eete
eete
ee
eedttfttX
22
455
25
25
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
2)()()(
t
t
p
t
t
p
tt
tt
p
et
etX
et
etX
eetet
etetX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
2
3
50
63
5
24
3
50
81
5
18
3
1
2
3
2
1
25
6
5
62
33
4
1
25
3
5
3
3
1
Soluccedilatildeo
t
t
tt
et
eteCeCX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
1
1
2
12
2
5
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
164
AULA 28 ndash Exerciacutecios
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros
1)
122
433
yxdt
dy
yxdt
dx
2)
2
2
4
3
53
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes
indeterminados
3)
52
732
yxdt
dy
yxdt
dx
4)
53
23 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
Respostas
1)
10
15
11
11
2
3
1
121 teccX t
2) 2223
22
1
49
215
413
213
3
10
1
2 tttt
eteececX
3)
3
1
1
3
1
121
tt ececX
4)
43
2
414
1
43
41
1
1
1
1 242
21 ttececX tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
165
AULA 29
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA
1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy
xCey 2
2
02
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia
44
0
33
2210 xCxCxCxCCxCy
n
nn
1
1
34
2321
432
n
nnxnCy
xCxCxCCy
Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy
021
1
n
nn
n
nn xnCxnC
Trocando
1
1
01
1
Nn
Nn
n
n
II
NN
NN
I
n
nn xCNxnC
011
)1(
1
1 )1( Temos que verificar se I = II
0
2321)1(
2321
1
1
32)1(
32
N
NN
n
nn
xCxCCxCNII
xCxCCxnCI
Satildeo iguais
Voltando
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
166
0)1(
2
02)1(
02)1(
02)1(
1
1
0
1
01
1
nn
CC
CCn
xCCn
xCxCn
nn
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
Para
234
)2(
234
)2(2
4
23
23
)2(
23
)2(2
3
22
2
)2(
2
)2(2
2
21
21
20
04
03
34
03
02
23
02
012
00
1
CCCCn
CCCCn
CCCCn
CC
Cn
Foacutermula da recorrecircncia
1
)2( 0
nn
CC
n
n
Entatildeo
0
44
33
2210
n
nn xCxCxCxCCxCy C
0
0
1
0
443322
0
30
320
20
0
)2(
)2(1
4
2
3
2
2
2
1
21
3
)2(
2
)2(
1
2
n
nn
n
nn
n
xC
n
xC
xxxxC
xCxCxCC
Como
3
)2(
2
)2(21
321
322
32
xxxe
xxxe
x
x
Logo
xeCy 2
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
167
2) Resolver a equaccedilatildeo 02
2
ydx
yd
i
1
01
2
2
senxCxCy 21 cos
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia
2
2
1
1
0
)1(
n
nn
n
nn
n
nn
xCnny
xnCy
xCy
2
2
2
Nn
Nn
n
24
132
0
)2(
22
)2(
2
2
34232
)1)(2()1)(2()1(
xCxCC
xCNNxCNNxCnnyN
NN
N
NN
n
nn
Que fica igual a
24
132
2
2 34232)1( xCxCCxCnnyn
nn
Logo substituindo
2
2)1(n
nnxCnny na equaccedilatildeo temos
0)1)(2(02
)2(
n
nn
n
nn xCxCnn
0)1)(2(2
)2(
n
n
nn xCCnn
0)1)(2( )2( nn CCnn
0)1)(2(
)2(
n
nn
CC n
n
para 12
0 02
CCn
para 23
1 13
CCn
para 412
)(
34
1
342 002
4
CCCCn
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
168
para 523
)(
45
1
453 113
5
CCCCn
para 6456
1
564 004
6
CCCCn
para 7567
1
675 115
7
CCCCn
765432
17
06
15
04
13
02
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Foacutermula da Recorrecircncia
1)12(
)1(1
)2(
)1( 1)12(
02
k
k
CCk
k
CC
k
k
k
k
Voltando
0n
nnxCy
5
53
314
42
20 xCxCxCxCxCCy
senxCxCy
k
xC
k
xCy
xxxxC
xxxCy
n
kk
n
kk
n
10
0
12
1
0
2
0
753
1
642
0
0
cos
)12(
)1(
)2(
)1(
7536421
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
169
REFEREcircNCIAS
ABUNAHMANSERGIO A Equaccedilotildees Diferenciais LTC 1994
BOYCE WE DIPRIMA RC Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores
de contorno LTC 1989
BRONSON R COSTA G Equaccedilotildees Diferenciais 3a ed Coleccedilatildeo Schaum 2008
KREYSZIG Erwin Advanced Engineering MathematicsLTC 1999
ZILL DG Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em ModelagemThomson Learning 2003
ZILL DG GULLEN MREquaccedilotildees Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
6
AULA 1
REVISAtildeO DE INTEGRAIS
Resolva as seguintes integrais
1) dxx )13( R Cxx
2
3 2
2) dxx
x
4= R Cxx 48
3
2
3)
dxx
x2
2 )1( R C
xx
1
4)
21 x
dx R Carcsenx
5)
dxx
x21
R Cx 21ln2
1
6) )1( 2xx
dx R C
x
x
1ln
2
12
2
7)
21 x
dx R Cx arctan
8) 42x
dx R C
x
x
2
2ln
4
1
9) x
dx
3 R C
x
3
1ln
10)
dxx
x3
21 R Cx
x ln
2
12
11)
dxx
x3
2 )1( R Cx
x ln
2
12
12) dxx
x
tan
sec2
R Cx tanln
13)
dx
ax
ax22
22
R Cax
axax
ln
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
7
14)
dx
ax
ax22
22
R Ca
xax arctan2
15) dxxe x3 R Cxe x 13
9
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R Cx 231ln 2
20)
dx
x
x
35
13 R Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R Cxx 10ln212
23) dxxe x )2(1
ln
R Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan R Cex x arctan1arctan
25) xdxe x sincosln R C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 32
R Cex x 2
)1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22
R Cxxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
8
AULA 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
11 INTRODUCcedilAtildeO
Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy
de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra
apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua
derivada eacute 23
3
xedx
dy x Se fizermos3xey teremos
23 xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo
representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de
um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo
O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde
dada uma derivada encontrar uma antiderivada
Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm
significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo
a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por
exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades
puramente matemaacuteticas
a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os
pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma
funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza
a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que
envolve uma grandeza
o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura
consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)
se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se
dx
dy
em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a
derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse
quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo
)(xfdx
dy
eacute possiacutevel escrever
dxxfdy )(
que se denomina equaccedilatildeo diferencial
uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo
da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
9
12 Definiccedilatildeo
Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou
diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos)(2 2
5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
13 CLASSIFICACcedilAtildeO
131 TIPO
Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis
dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo
ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter
mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)
Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de
duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo
diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso
132 ORDEM
A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As
equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira
ordem
133 GRAU
O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como
um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos
exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato
quanto a ordem e grau
134 LINEARIDADE
Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees
1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou
seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um
2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel
independente x
Exemplos
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e
terceira ordem
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre
aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um
nuacutemero menos de constantes
Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma
equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes
de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes
f) xx eCeCy 2
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
AULA 2 - EXERCIacuteCIOS
Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros
estejam sobre o eixo y
Respostas
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2 ( ) 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
AULA 3
2 RESOLUCcedilAtildeO
Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a
equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa
identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira
que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem
de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e
consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo
21 CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo
particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da
equaccedilatildeo diferencial
xdx
dy2
Que resulta em Cxy 2
22 SOLUCcedilAtildeO
Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As
soluccedilotildees podem ser
Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de
uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades
de ordem da equaccedilatildeo
Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees
iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante
inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os
valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos
Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave
envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A
soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais
natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante
As soluccedilotildees ainda podem ser
Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute
chamada soluccedilatildeo expliacutecita
Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G
trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Exemplo
Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita
Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluccedilatildeo x
y
Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita
Exemplo
Verifique que 16
xy
4
eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21
xydx
dy no intervalo )(
Resoluccedilatildeo
Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21
xydx
dy eacute
zero paratodo x no intervalo
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na ED temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx
dy sujeita a condiccedilatildeo inicial
00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de
problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo
diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)
determinado a priori
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
15
Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se
especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos
x0 e3ye3cec3
Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos
1xx111 e3yee3yee3cec3
Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx
dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo
ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica
As funccedilotildees y = 0 e 16
xy
4
satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma
deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO
Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o
ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy
df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I
centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)yx(fdx
dy sujeito a 00 y)x(y
Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO
1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo
2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial
Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo
que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas
caracteriacutesticas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de
valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo
Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao
caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o
caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais
possuam soluccedilotildees
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS
As equaccedilotildees diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
satildeo chamadas de autocircnomas
Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a
equaccedilatildeo (2) na forma
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluccedilatildeo eacute
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(
1
yfdy
dx em
A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A o que justifica o procedimento formal
Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema
00)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos
Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute
proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma
kydx
dy (7)
Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees
separadamente nos dois intervalos 0 y e y0
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R
Considere a equaccedilatildeo autocircnoma
akydx
dy
sua soluccedilatildeo geral para k
ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto
k
ayea
kyeaky CxkCxk
1 )()(
Neste caso k
ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1
o grau
)( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(xy) e N = N(xy)
Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS
A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se
M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes
M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel
Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a
equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis
311 RESOLUCcedilAtildeO
Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos
separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma
CdyyQdxxP )()(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec xdytgyydxtgx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a
equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo
)(
Resolver as seguintes equaccedilotildees
diferenciais
2) 01
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 ndash a
2)(y
2 ndash b
2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas
1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo
nuacutemero real
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 ndash x) = C
5) C y2 = 1 + x
2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a a
ex
ln
2
9) tg x tg y = C
10) Cb
yarctgb2y
ax
axlnax
11) y = c(x ndash 1)
12) Cx1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(42 yydx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA
Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a
relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale
a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)
Exemplos
1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y
2 eacute homogecircnea de grau 2
pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222
2) 4y
x)yx(g
2
2
eacute homogecircnea de grau zero pois
)yx(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()tytx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(xy) = 2x3 + 5xy
2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois
)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323
Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever
x
y1fx)yx(f n e
1
y
xfy)yx(f n
satildeo ambas homogecircneas de grau n
Exemplo
Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo
x
y1fx
x
y
x
y31x
x
y
x
y31x)yx(f 2
22
2
22
1
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)yx(f 2
22
2
22
322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS
A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se
M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau
Exemplos
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
y
xy
3)
x
yarctgy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3221 Resoluccedilatildeo
Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0
Tem-se
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx
x
yF
dx
dy (1)
Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as
variaacuteveis
Dessa forma substitui-se x
y por u
xuy (2)
Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) temos
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Em resumo
Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo
de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita
Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo
separaacutevel
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo
02)( 22 xydydxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 ndash EXERCIacuteCIOS
Resolva as seguintes equaccedilotildees
1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0
2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx ndash xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y
8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial
3
1)1(y
Respostas
1) y2 + 2xy ndash x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
221
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES
REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS
Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees
homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis
Satildeo equaccedilotildees da forma
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes
Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das
variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de
eixos
Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar
331 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute DIFERENTE DE ZERO
Resoluccedilatildeo
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy
A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute
dvdyvy
dudxux
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para
o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma
vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero
Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e satildeo as raiacutezes do sistema
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo23
132
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
332 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute IGUAL A ZERO
Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A
equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis
Como 22
11
ba
ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode
escrever
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relaccedilatildeo a x
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equaccedilatildeo transformada
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136
12
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCIacuteCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas
1) 2x2 ndash 6xy + y
2 + 2y = K
2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se
existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e
suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que
x
N
y
M
Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja
diferencial dada por
dyy
udx
x
udu
(2)
Entatildeo comparando (1) e (2) teremos
)( yxMx
u
(3)
e
)( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo
(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos
)()()( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos
)()(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta
)()()(
yxNygy
dxyxM
Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos
1
)()()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
)(
)()()(
Logo a soluccedilatildeo eacute da forma
Cdy
y
PNMdxyxU )(
onde costuma-se denotar MdxP
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y ndash 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh xcosy dx = coshxseny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
341 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x
N
y
M
Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata
Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx
u
e NF
dy
u
Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui eacute loucura
Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando temos
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando CdxxRF )(ln
dxxRexF
)()(
onde
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos
dyyReyF
)()(
onde
x
N
y
M
MxR
1)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo
Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x
N
y
M
mostra-se que haacute
uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata
A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante
F(x) F(y)
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator
integrante
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 ndash y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluccedilatildeo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas
1) x2 cos y + x
4 = C
2) Ctgyex 2
3) Ceseny x
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES
Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute
dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
desse tipo a saber
351 FATOR INTEGRANTE
Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial
exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de
nosso problema
QPydx
dy
Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressatildeo
0 dyedxQPyePdxPdx
Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos
Pdx
Pey
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por fator integrante
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE
Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)
criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O
meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z
a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt
Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber
i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)
ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx
dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de
variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy
dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln
Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC
eeey Fazendo
Cek temos Pdx
key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta
Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a
soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo
possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo
Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx
dt (6) que eacute da
mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx
ket Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
Daiacute Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1 Integrando este uacuteltimo
1
(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e
dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado temos CQdxek
ZPdx
1
(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e
ldquoZrdquo
CQdxek
keyPdxPdx 1
onde resulta finalmente em
CdxQeeyPdxPdx
(8)
que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)
Exempo 2
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycostan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx
dy
Respostas
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A
LINEARES
Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que
mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de
tais equaccedilotildees satildeo
361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
Equaccedilatildeo da forma
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2
Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma
EDO linear
Pois se
n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea
Soluccedilatildeo
Transformaccedilatildeo de variaacutevel
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relaccedilatildeo a x
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1) que eacute
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o
primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 temos
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior
Exemplo
232
xyx
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 02 2 xydx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas
1) 2
1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
)ln(
1
3) 12 2223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI
A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy
(1)
onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e
quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela
soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5
Resoluccedilatildeo
Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a
equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x
Como 0y eacute soluccedilatildeo temos
RQyPydx
dy 0
2
0
0
(3)
Por outro lado derivando (2) tem-se
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes
de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais
4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5
Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes
ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida
Em resumo
Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de
(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)
transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli
Exemplo
Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluccedilatildeo geral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32
2
x
y
x
y
dx
dy Em caso afirmativo
calcular a soluccedilatildeo geral
2) Mostrar que x
y1
eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluccedilatildeo
geral
3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluccedilatildeo geral
4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo
particular
5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo
particular
Respostas
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
411 DEFINICcedilOtildeES
Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo
diferencial
Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo
particular da equaccedilatildeo
Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro
0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famiacutelia de curvas integrais
Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia
como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias
concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA
Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como
envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir
uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver
nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute
definida pelo sistema
0)(
0)(
yxf
yxf
(1)
cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a
equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y
Exemplo
Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0
dx
dyyxF
Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo
geral
particular
singular (eventualmente)
A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas
integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada
A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
original
De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da
envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva
integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular
Exemplo
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2
22
x
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12
2
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)
4
2xy (soluccedilatildeo singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT
A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy
Resoluccedilatildeo
Chamando pdx
dy
a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)(1
0)( pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)
De (2) tem-se
0)( px (3)
xp )(
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo
singular
Exemplos
6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 ndash EXERCIacuteCIOS
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo
singular das seguintes equaccedilotildees de
Clairaut
a dx
dy
dx
dyxy ln
b
2
3
dx
dy
dx
dyxy
c 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d 045
y
dx
dyx
dx
dy
e 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE
A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se
dx
dy
dx
dyF
Resoluccedilatildeo
A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica
Chamando pdx
dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se
)(
)(
)(
)(
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo
geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica
)(
)(
pyy
pxx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo
2
1
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
Resolver as seguintes equaccedilotildees
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCIacuteCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy
18)
0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x
determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0
20) dxexydxxdy x2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln( 3 dyxydxx
y
23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22)1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da
equaccedilatildeo xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluccedilatildeo geral
Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes
equaccedilotildees
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2
Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
Natildeo haacute soluccedilatildeo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMAacuteTICOS
61 MODELO MATEMAacuteTICO
Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da
vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A
descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda
levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees
animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma
substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a
principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa
estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
A seguir
ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema
que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer
leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a
forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute
predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a
resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de
uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais
equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo
diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema
de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-
lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as
prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou
levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de
modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo
matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t
Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da
variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e
futuro
62 DINAcircMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por
traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais
cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em
outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em
termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser
expressa por
kxdt
dx 00
)( xtx ktexx
0
(1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos
envolvendo crescimento ou decaimento
Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de
(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0
O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt
dS a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente
Exemplo
Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias
passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes
determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Resoluccedilatildeo
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ndash ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = cekt
Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma
0x
cex
0
00
Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2
3x0
40550k
k2
3ln
e2
3
exx2
3
k
1k00
voltando novamente a equaccedilatildeo temos
t40550
0
kt0
exx
exx
para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
70922t
0986121t40550
t405503ln
e3
exx3
t40550
t4055000
seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente
63 MEIA VIDA
Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-
vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais
estaacutevel ela eacute
Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos
metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio
mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse
tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206
AKdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA 0
Exemplo
Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que
0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a
taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente
Resoluccedilatildeo
000
0
A999570A000430A15t
A0t
Resolvendo a equaccedilatildeo
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
kte
c
A
A = cekt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
Sabendo que 0A)0(A temos
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo
A(t) = A0ekt
A(15) = A0e15k
A(t) = 2
0A
099957 A0 = A0e15k teAtA
51088672
0 )(
Ln099957 = ln e15t 000028670
0
0 2
eAA
-000043 = 15 k te 000028670
2
1
K = - 2866710- 5
-06931 = - 000002867t
t = 24180
t 24180 anos
Voltando a equaccedilatildeo temos que
t10866720
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer
3717924t
t1086672693150
t108667250ln
e50
eA2
A
5
5
t1086672
t10866720
0
5
5
Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas
combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia
Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente
radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o
fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma
substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de
substacircncias remanescente no instante t
AKdt
dA (2)
Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos
siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)
kgt0 para o decaimento como em (2) klt0
O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a
determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)
aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja
taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo
transformada ou remanescente no instante t
A questatildeo eacute que
Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios
fenocircmenos diferentes
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade
de foacutesseis usando o carbono radioativo
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute
produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio
A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma
constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os
organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera
Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo
cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a
razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil
O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de
5600 anos
O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de
Turim
7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um
quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
Exemplo
Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a
idade do foacutessil
Resoluccedilatildeo
A(t) = A0ekt
5600
0
0 2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 06931
K = - 0000123776
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
A(t) = A0e- 0000123776t
teAA 0001237760
00 100
1
te 0001237760ln
100
1ln
- 0000123776 t = - 69077
t = 55808
A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos
66 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se
Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
Exemplo
Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua
temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF
Resoluccedilatildeo
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T() = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por
70 ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que
T(0) = 3000
300 = Cek0
+ 70
C = 2300
Logo
T = 230ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T com isso
200 = 230e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
1901816190k
5705448580k3
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
70e230)t(T t190180
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus
7023075 190180 te
230
7075190180 te
- 019018t = ln230
5
t = 2013
com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
67 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees
por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo
no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a
taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida
se RR
dt
dA
sal de
saiacuteda de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute
minlb6)galkb2(min)gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde atildeoConcentraccedil
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees
Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de
saiacuteda de sal Rs eacute
min100
300
min)3(
sal de
saida de taxa
saiacuteda de fluxo no
sal de atildeoConcentraccedil
salmoura de
saiacuteda de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo
Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos
colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais
quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
Resoluccedilatildeo
100
100100
100100
600
600
6
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos
550
60050 0
C
eC
Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma
100550600t
eA
A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela
Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que
esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser
(300 gal)(2lbgal) = 600 lb
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro
era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma
taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo
gallb
t
AgalRs
300min)2(
Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 26641
100 39767
150 47727
200 52557
300 57262
400 58993
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute
27 )300)(10954(2600)( tttA
68 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um
corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde
g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja
drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade
Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no
tanque no instante t
Considere o tanque ao lado
Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de
saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda
de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)
Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque
for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA
(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt
dhA
dt
dVw
Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a
altura de aacutegua no instante t
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse
caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo
Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0
comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t
Resoluccedilatildeo
Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema
Logo tem-se que
A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute
(1)
Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos
20c de modo que (1) pode ser escrita como
Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua
pura no tanque
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA
Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)
o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a
qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois
grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo
kxydt
dx (8)
ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se
argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para
eliminar y em (8) obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1
Exemplo
Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma
doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de
variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o
nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para
que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila
Resoluccedilatildeo
Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de
ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria
Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais
proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute
Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos
Substituindo entatildeo temos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
(
)
Integrando
int
(
) int
int
int int
(
)
(
)
Se em t=0 N=5 temos que
Entatildeo
Para que N = 250 no tempo t temos que
Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
610 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila
externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a
forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute
proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme
ilustrado na figura abaixo
Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no
instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para
cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age
sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da
Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg
onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O
sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra
eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva
Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute
v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
0)0( ss 0)0( vs (11)
Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais
determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica
elementar como a foacutermula 00
2
2
1)( stvgtts
Exemplo
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial
zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine
a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t
b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t
c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
Resoluccedilatildeo
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o
sentido para baixo
Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt
dvg
Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0 segue que 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100 temos 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m s2 teremos
st
t
5420
2
10100
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior
do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena
quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve
ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A
forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um
corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra
uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias
tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute
dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva
e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo
oposta ou para cima
Veja a figura abaixo
Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a
atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se
dt
dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma
da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva Em termos des (12) eacute
uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
Exemplo
Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se
o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine
a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo
b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e
c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima
Resoluccedilatildeo
(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt
dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de
movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o
corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv
responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo
negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k
mgcev
tm
k
Em t=0
v=v0 logo k
mgcev m
k
0
0 ou
k
mgvc
0 A velocidade do corpo no instante t eacute
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0
Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
611 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da
corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a
corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo
de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no
pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento
conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
Peso da corrente
W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L
Massa da corrente
m = Wg = L 32
Forccedila resultante
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo
Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um
cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como
6219 LP e
Resoluccedilatildeo
(
) (
)
Sendo frasl
Como
Sendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Como e soacute eacute possiacutevel
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE
Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor
resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga
em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como
indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave
soma das quedas de voltagem na malha
A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem
voltagemdequeda
henrys(h)Lindutacircncia
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
voltagemde queda
)(ohms aresistecircnci
Resistor
q
c
fC
1 voltagemde queda
)( farads iacapacitacircnc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo
Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)
)(tERidt
diL
ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente
i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema
A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a
carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de
Kirchhoff nos daacute
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima
transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo
Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e
a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0
Resoluccedilatildeo
L= indutacircncia = frac12 ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistecircncia = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
Logo
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
AULA 15 - EXERCIacuteCIOS
1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito
onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha
fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute
ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente
2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2
henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t
3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01
henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto
t Use E = 30 V
4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4
farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a
corrente i(t)
5) Uma forccedila eletromotriz de 200 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6
farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04
Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t
6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero
de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela
triplicaraacute
7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual
era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos
8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo
Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em
30 anos
9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente
Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas
observam-se 3000 fileiras Determine
a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no
instante t
b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de
habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute
de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes
11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos
continuamente Determine
a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos
b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha
havido retiradas ou depoacutesitos adicionais
12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um
depoacutesito feito na conta duplique em seis anos
13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente
Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7
anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos
trecircs anos
14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem
inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua
massa original determine
a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t
b) A Massa do material apoacutes quatro horas
c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)
15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade
presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute
presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer
16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a
massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia
presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia
17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas
18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se
desintegrado Qual a idade da madeira
19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora
onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50
ordmF Qual seraacute a
temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar
15ordmF
20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave
diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e
o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60
oC dentro de quanto tempo sua
temperatura desceraacute para 30oC
21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente
para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o
ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma
pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da
secretaacuteria a liberta alegando o que
22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que
governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo
para imigrar a uma taxa constante r
23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de
mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da
populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t
mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t
24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus
universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o
nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for
espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os
estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus
25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual
foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de
3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a
mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no
instante t
26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse
tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na
mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora
27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um
buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua
vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de
aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de
aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para
ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica
Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua
no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao
lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2
28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o
paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o
paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da
velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a
velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a
resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade
instantacircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e
abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do
paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1
Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se
abre o paraquedas
30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente
com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura
aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98
0C
31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma
salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o
nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t
32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por
galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute
bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no
instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min
33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram
dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para
fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos
RESPOSTAS
1) tetI 355)(
2) tei 2510
3) tcei 500
5
3 e 5
3)(lim
ti
t
4) tceq 50
100
1 onde 100
1C e
tei 50
2
1
5) tceq 200
1000
1
tcei 200200
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
500
1C
coulombsq 00030)0050(
ampi 14720)0050(
1000
1q
6) 792 anos
7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604
8) N(30) = 760
9)
10)
11)
12) 1155
13) R$ 927143
14)
15) t = 11 horas
16) t = 13672 horas
17) 885 gramas
18) 15600 anos
19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min
20) t = 60 min
21) justificativa pessoal
22) rkpdt
dP rkp
dt
dP
23) 2
21PkPk
dt
dP
24) )1000( xkxdt
dx
25) 100
A
dt
dA
26) Aproximadamente 181
27) hc
dt
dh
450
28) 2kvmg
dt
dvm
29) 70ms
30) Aproximadamente 821 s
Aproximadamente 1457 s
31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50
32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100
00975 lbgal
33) 6438lb
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
AULA 16
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma
ByAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes
Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo
Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo
yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)
onde
p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema
r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea
r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea
A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)
isto eacute ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base
fundamental)
Exemplo
y + y = 0
Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)
Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica
)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente
Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e
y2(x) satildeo linearmente independentes
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)()()(12
xyxhxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1
AULA 16 - EXERCIacuteCIOS
1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo
a) 0y9xy5yx2 com 3
1 x)x(y
b) 0y3yx4 2 com 21
1 x)x(y
c) 0y4
1xxyyx 22
com xcosx)x(y 2
1
1
Respostas
a xlnx)x(y 32
b 2
x)x(y
23
2 c senxx)x(y 21
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
AULA 17
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Satildeo aquelas da forma 0yAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
onde A0 A1 A2An
satildeo constantes
Resoluccedilatildeo
Para n= 1 rarr 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
eey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC temos key xλ
Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b satildeo constantes
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta
xλey
xλeλy
xλ2eλy
Substituindo na EDO temos
0e)bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de
equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada
Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar
711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a soluccedilatildeo geral fica
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eCeCeCeCy
712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS
Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2
Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as
raiacutezes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante
Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente
Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλehλ2ehy
heλehy
ehy
)x(y)x(h)x(y
Substituindo na equaccedilatildeo dada
0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando
0)()2( 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P
Entatildeo
KCxh
Ch
h
0
Logo
xeKCxy
yhy
)(
2
12
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Soluccedilatildeo geral
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior
xλ1nn
2321 e)xCxCxCC(y
713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo
para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
Das foacutermulas de Euler temos
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 ndash C2) = C2
temos
senbxCbxcosCey 21ax
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Exemplos
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3
3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
AULA 17 - EXERCIacuteCIOS
1) 065 yyy
2) 01243 yyyy
3) 022 yyy com 1)0( y e 02
y
4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y
5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y
6) 09 2 yy
7) 069 yyy com 4)0( y e 3
13)0( y
8) 02 2 ykkyy
9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y
10) 0344 yyy com ey )2( 2
)2(e
y
11) 0127 yyy
12) 054 yyy
13) 075 yyy
14) 02 yyy
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 2
33
22
1
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ3
2xπ3
1 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe50e30y
10) x50ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32
x21
13)
2
3xsenC
2
3xcosCeCy 32
2
x5
1
14)
xexCCy )( 21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
AULA 18
72 EULER - CAUCHY
A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos
teabax
que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis
No caso da equaccedilatildeo ter a forma
02 byaxyyx
Faremos
y = xm
yrsquo = mxm-1
yrdquo = m(m-1)xm-2
Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que
(m2 + (a ndash 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma
equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes
Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Exemplos
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
0222 yxyyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
AULA 18 - EXERCIacuteCIOS
1) 0202 yyx
2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx
3) 04324610 2 yxyyx
4) 02 yxyyx
5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6
6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3
Respostas
1) 5
24
1 xCxC
2) 3
32
21
)x1(
C
)x1(
C
1x
Cy
3) 81
21 x)xlnCC(y
4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21
5) 25
x)xln2(
6) xlnx3 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 19
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS
10
00
)(
)(
)()()(
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea
A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e
x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I
Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos
i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes
ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange
iii Meacutetodo do operador derivada D
731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)
Padratildeo para soluccedilatildeo particular
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
)10n(kxn
011n
1nn
n CxCxCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs
1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2
o
coluna
2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Exemplo
0)0(
1)0(
2 2
y
y
xeyyy x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
99
AULA19 - EXERCIacuteCIOS
1) xsenyy 34
2) 325102 2 xyyy
3) xseneyyy x 53712352 5
4) 1265 2 xyyy
5) xyy 314
6) 1232 2 xxyy
7) xeyyy 3127
8) xeyyy 28107
9) xeyyy 2844
10) xeyy 434
11) xsenyyy 2334
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 2124
14) senxyy 4
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 61251 xxxyyy para
4)0( y e 8)0( y
17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e
0)0( y
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx4
2x3
1 e20
3eCeCy
8) x2x5
2x2
1 xe3
8eCeCy
9) x22x2
2x2
1 ex4xeCeCy
10) x4
21 e20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
AULA 20
732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos
yn + Pn-1(x)y
n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)
A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a
soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO
homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando
paracircmetros variaacuteveis
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)()(11 dx
xW
xrxWu
)(
)()(22 dx
xW
xrxWu n
n)(
)()(
Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)()(
11
2
1
1
2
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente
11
2
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
11
1
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
1
0
0
1
2
1
1
2
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y
n natildeo se
esqueccedila de dividir r(x) por f(x)
Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
Exemplo223 22 xyxyyxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
AULA 20 ndash EXERCIacuteCIOS
1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x
2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x
3cosx
3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x
-4
4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x
2 ndash 15x
3
5) x3yrdquorsquo- 3x
2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x
4lnx
6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x
9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx23
x22
x1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
AULA 21
733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA
7331 Definiccedilatildeo
Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado
as operaccedilotildees que devem ser efetuadas
Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a
dx
dD
2
22
dx
dD
3
33
dx
dD
7332 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x)
P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)
P3Dm
(Dn
u)=Dm+n
u (sendo m e n constantes positivas)
P4 O operador inverso
dxueeu
aD
axax 1
a
P5 O operador direto uaDuu)aD( audx
du a
7333 Equaccedilotildees Diferenciais
Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D
Exemplo
ay + by + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n
1nn
n ArArA
tambeacutem se fatora
Exemplo
0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
7334 Operador Anulador
Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo
suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo
O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees
1n2 xxx1 Entatildeo um
polinocircmio 1n
1n2
210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n
Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Soluccedilatildeo
O operador eacute 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees
xα1nxα2xαxα exexxee
Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Soluccedilatildeo
Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(
Vamos verificar
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees
xβsenexxβsenexxβsenxexβsene
xβcosexxβcosexxβcosxexβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x
Soluccedilatildeo
5D2D)]41(D)1(2D[
1n01n2β1α
212
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
Vamos verificar
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(DD
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen
Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que
0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7
Soluccedilatildeo
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22
Logo
0)x3sen6x7)(9D(D 22
7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA
entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma
βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo
nuacutemeros reais
Resumo do Meacutetodo
i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L
ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g
iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1
0)y(L
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na
soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos
termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L
v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das
funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os
coeficientes indeterminados em py
vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a
equaccedilatildeo diferencial dada
7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares
1) Resolver empregando operadores 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 21 - EXERCIacuteCIOS
Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada
1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8y3y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
AULA 22
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) xsenxedx
dy
dx
yd x 2234 2
3
3
2) xex
dx
dy
dx
yd
dx
yd 2
2
2
3
3
3265
3) 13 2
2
2
xesenxydx
yd
4) 1284 2
2
2
xxydx
yd
5) 222
2
3
3
xdx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 1234 3
2
2
4
4
xxdx
yd
dx
yd
7) xey
dx
dy
dx
yd 3232
2
8) xey
dx
yd 2
2
2
44
9) xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344
10) xey
dx
dy
dx
yd22
2
2
11) senxydx
dy
dx
yd223
2
2
12) xdx
dy
dx
ydcos34
2
2
13) xsenydx
yd2316
4
4
14) xydx
yd2cos54
2
2
15) 52 2
2
2
xedx
dy
dx
yd
16) xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44
17) xeydx
dy
dx
yd x 2cos8822
2
18)
2244 2
2
2 xey
dx
dy
dx
yd x
19)
20)
21)
senxy
dx
yd 12
2
22) xyxyyx 3222
23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2
22
3
33 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx
x
ey
dx
dy
dx
yd x
22
2
xy
dx
yd
cos
12
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
RESPOSTAS
1)
4
x2xsen
8
x
16
e3x2senCx2cosCCy
2x2
321
2)
2
3
18
5
6
223
3
2
21
xxx xe
xx
eCeCCy
3) 132
3 2
21 x
xx esenxeCeCy
4) 44
2 22
2
2
1 xxeCeCy xx
5)
4
5
4
22
321
xxeCeCCy xx
6)
848
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx
7)
2
2
21
xxx e
eCeCy
8) xxx xeeCeCy 22
2
2
1
9) xxx exxeCeCy 222
2
2
12
3
10) )( 2
21 xxCCey x
11) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21
12) )4(cos17
34
21 senxxeCCy x
13)
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx
14)
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx
15)
22
5 22
21
xx xex
eCCy
16) xe
xxCCy 2
3
216
17) )22cos3(5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy exxx
18)
8
1)( 22
21
xexxCCy x
19) xxexeexCCy xxx ln)( 21
20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21
21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21
22) xxxCxCy ln32
21
23)
36
11)1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21
xx
C
x
C
x
Cy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
111
AULA 23
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos
diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma
mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas
interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de
um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa
equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da
ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial
enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos
aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as
diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples
e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO
Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte
riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo
da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola
diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do
alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante
de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo
nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)
implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola
somente 25 peacute
Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma
distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila
restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms
2 ou 980
cms2
equiliacutebrio
Posiccedilatildeo
inicial
g
K(s+x)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
112
Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a
massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da
mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo
que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F
com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da
posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos
9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido
Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk 2
A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo
amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1
representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se
x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade
inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0
x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento
Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2
=0 satildeo
nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como
tsenCtCtx 21 cos)( (3)
O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute
21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute
32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou
equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo
Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos
sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente
agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida
pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo
correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos
referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
113
iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular
resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento
Exemplo
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de
um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3
4 peacutess para cima
Determine a equaccedilatildeo do movimento livre
Soluccedilatildeo
Convertendo as unidades
6 polegadas = frac12 peacute
8 polegadas = 23 peacute
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = Wg = 232 = 116 slug
Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute
Logo (1) resulta em
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal
negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade
inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima
Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a
equaccedilatildeo do movimento seraacute
tsenttx 816
18cos
3
2)(
912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito
pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em
movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma
forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente
9121 ED do Movimento Livre Amortecido
No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo
consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor
durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt
Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton
que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
114
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia
do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento
Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd (5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute
m2 + 2 m + 2 = 0
e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto
22
1 m e22
2 m
Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22
Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica
despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo
CASO I Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio
CASO II Amortecimento Criacutetico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem
evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer
decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
115
CASO III Subamortecido
022
Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de
vibraccedilatildeo 0 quando t
Exemplos
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
Soluccedilatildeo
Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos
daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
X(t)= C1 e ndash 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento criacutetico)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a
equaccedilatildeo do movimento eacute
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o
comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de
um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido
ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade
instantacircnea
Soluccedilatildeo
O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue
da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a
equaccedilatildeo diferencial eacute dada por
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
116
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo
a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentetx t 3
3
23cos2)(
913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO
9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento
Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola
Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do
suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo
diferencial do movimento forccediladoou induzido
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m obtemos
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima
equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de
variaccedilotildees de paracircmetro
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx21
dt
xd
5
1
2
2
com2
1)0(x
e 0)0(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
117
Soluccedilatildeo
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou
quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou
metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado
por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2
) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos
esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em
que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como
o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre
Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a
determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido
Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute
termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica
com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos
severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio
Exemplo
1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt
xd 0
2
2
2
x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma
constante e
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Soluccedilatildeo
A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo
particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222 )(cos)(
Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
Logo
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
118
Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
com ωγ
914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo
auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0
dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute
Superamortecido 042 C
LR
Criticamente amortecido 042 C
LR
Subamortecido 042 C
LR
Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L
e portanto
q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave
medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t
Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo
tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples
Exemplos
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)
R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0
Soluccedilatildeo
Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica
0400040
01000104
1
qqq
qqq
Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
119
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas
forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo
transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma
soluccedilatildeo estacionaacuteria
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA
Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais
defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo
y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal
uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o
proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta
chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de
simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais
seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o
formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a
deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da
elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute
relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo
)(2
2
xwdx
Md (13)
Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica
EIkxM )( (14)
onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I
eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o
eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
120
Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por
23
2)(1
y
yk
Quando a deflexatildeo y(x) for
pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23
2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se
tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute
4
4
2
2
2
2
dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx
2 em (15) vemos que a deflexatildeo
y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades
da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de
outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute
mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como
vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para
uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade
engastada x = 0
y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e
yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a
inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)
Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo
yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e
yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero
A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)
Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno
Engastada 0y0y
Livre 0y0y
Simplesmente apoiada 0y0y
9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno
Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
121
Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y
implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de
contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y
Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos
daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que
0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0
Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -
gt0
Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21
Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2
Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima
condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de
nL ou2
22
L
n n = 1 2 3
Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para
cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em
outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9
4
2
2
2
2
2
2
LLL
a funccedilatildeo correspondente na
sequumlecircncia 3
2
xL
senxL
senxL
sen
eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original
9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina
No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema
de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial
compressiva
Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento
L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for
aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer
ponto ao longo da coluna obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
122
onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em
torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide
Exemplo
Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita
a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades
Soluccedilatildeo
O problema de contorno a ser resolvido eacute
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema
Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo
haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos
matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais
Escrevendo EIP vemos que
0)(
0)0(
0
Ly
y
yy
eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos
que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores
321 222 nLnEIPnn
Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a
forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas
cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22
1 LEIP chamada
de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo
As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura
abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a
menor carga criacutetica seraacute 22
2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a
restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a
carga critica 22
3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
123
9213 Corda Girando
A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem
0 yy (18)
ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e
0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e
um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o
modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como
um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando
A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar
sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo
Suponha que uma corda de comprimento L e
densidade linear constante (massa por unidade de
comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada
em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo
girada em torno do eixo x a uma velocidade angular
constante Considere uma parte da corda sobre o
intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a
magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for
constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada
pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees
diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na
figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute
12 TsenTsenF (19)
Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e
11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os
vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
124
)(2 xxytg e )(1 xytg
Assim sendo (19) vai se tornar
)()( xyxxyTF (20)
Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a
segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo
centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra
Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem
aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y
Igualando-se (21) e (20) temos
2)()()( yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)()(
Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x
xyxxy
)()(em (22) eacute
aproximado pela derivada segunda de d2ydx
2 Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo
y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
125
AULA 23 - EXERCICIOS
Movimento Livre natildeo amortecido
1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do
movimento harmocircnico simples
2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4
polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso
de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um
ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de
peacutes Determine a
equaccedilatildeo do movimento livre
4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6
polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32
9
4
6
8
12
b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do
movimento do peso nesse instante
c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio
Movimento Livre Amortecido
5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute
entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente
igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento
considerando que
a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms
para cima
6) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma
dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a
velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal
forma que o movimento subsequumlente seja
a) superamortecido
b) criticamente amortecido
c) subamortecido
Movimento Forccedilado
8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2
peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que
oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute
a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos
3t
9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32
Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a
f(t)=68e-2t
cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de
amortecimento
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
126
10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute
colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de
1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento
subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N
11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado
em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e
aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do
ar determine o movimento subsequente do peso
12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em
equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema
Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8
vezes a velocidade instantacircnea
Circuito em Seacuterie Anaacutelogo
13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2
C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o
capacitor eacute igual a zero
14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no
capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A
15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C
= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo
periacuteodo
16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e
uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor
mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada
inicialmente determine a carga subsequente no capacitor
17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de
farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a
expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga
iniciadas no capacitor satildeo zero
Respostas
1) 8
π2
2) t64cos4
1)t(x
3)
4) a)4
1
12
πx
2
1
8
πx
4
1
6
πx
2
1
4
πx
4
2
32
π9x
b)4 peacutess para baixo
c)16
π)1n2(t
n= 0 1 2
5) a)t8t2 e
3
1e
3
4)t(x
b)t8t2 e
3
5e
3
2)t(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
127
6)
7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52
8) t3sent3cos3
10t
2
47sen
473
64t
2
47cos
3
4e)t(x 2
t
9) tsenetetsenttx tt 424cos2
14
4
94cos
2
1)( 22
10) )sin13cos99099(500
1 27 tteex xx
11) ttttx 4cos4
14sin
16
14cos50
12) (
)
13) 41078C 00509s
14) q(t)=10+10e-3t
(cos3t+sen3t)
i(t) = 60e-3t
sen3t 10432 C
15) C2
3
2
3)t10sent10(cose
2
1)t(q t10
16)
17) radic radic
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
128
AULA 24
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL
Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as
mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees
Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas
de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico
desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem
O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas
primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem
A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem
p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de
funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral
Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema
normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo
as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por
razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de
segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees
a um sistema normal
Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees
algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em
funccedilatildeo do operador derivado D
Exemplos
1)
senxxzdx
dy
senxxdx
dzy
cos
cos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
129
2)
xzydx
dz
dx
yd
xdx
dz
dx
yd
22
3
2
2
2
2
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
130
AULA 24 - EXERCIacuteCIOS
1)
02
02
zdx
dz
dx
dy
zydx
dz
dx
dy
2)
x
x
ezydx
dz
dx
dy
ezydx
dz
dx
dy
2
5
32
4
3)
2
2
2
2
2
2
2
xzdx
zd
dx
dy
eydx
dz
dx
yd x
4)
03
42
zydx
dy
ezydx
dz
dx
dy x
5)
xzDyD
senxzDyD
cos)1()1(2
2)2(2)3(
Respostas
1)
x
x
eCeCy
eCeCz
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
ou
x
x
eCeCz
eCeCy
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
2)
xxx
xxx
eeeCy
eeeCz
252
5
1
252
5
1
25
2
5
3
3)
xexCsenxCeCeCy
xesenxCxCeCeCz
xxx
xxx
22
3cos2222
2
3
2
1
2
1cos
43
2
2
2
1
2
43
2
2
2
1
4)
x
x
esenxCCxCCz
esenxCxCy
2)3(cos)3(
2cos
2121
21
5)
senxxeCeCz
xsenxeCeCy
x
x
x
x
130
61cos
130
33
3
4
)cos8(65
1
5
23
1
5
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
131
AULA 25
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA
Dado o sistema
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
este pode ser escrito na seguinte forma
n
n
F
dy
F
dy
F
dydx
1 2
2
1
1
Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por
variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema
)(
)(
2
1
zyxFdx
dz
zyxFdx
dy
(1)
que pode ser escrito da seguinte maneira
321 F
dz
F
dydx
ou generalizando
)()()( zyxR
dz
zyxP
dy
zyxM
dx (2)
Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de
dois paracircmetros
Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute
Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-
se
nRmPlM
ndzmdyldx
R
dz
P
dy
M
dx
Escolhe-se l m e n tais que
lM + mP + nR = 0
o que faz com que
ldx + mdy + ndz = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
132
Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees
do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a
soluccedilatildeo do sistema
Exemplos
1)x
dz
x
dy
y
dx
2)zx
dz
yx
dy
zy
dx
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
133
3))()()( 222222 xyz
dz
zxy
dy
yzx
dx
OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio
adotado chega-se aquelas convenientes
AULA 25 - EXERCICIOS
1) cybx
dz
axcz
dy
bzay
dx
2) )()2()2( 444444 yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
3) yx2
dz
x3z
dy
z2y3
dx
4) z
dz
x
dy
y
dx
5) yx
dz
x
dydx
221
Respostas
1) x2 + y
2 + z
2 = C1
cx + by + az = C2
2) x4 + y
4 +z
4 = C1
xyz2 = C2
3) x2 + y
2 + z
2= C1
x + 2y + 3z = C2
4) x2 ndash y
2 = C1
zC2 = y + x
5) y = x2 + C1
z = 3
2x
3 + xy ndash x
3 + C2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
134
AULA 26
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA
ORDEM
Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
nnnm22n11nn
2nm22221212
1nm12121111
que pode ser escrito como
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
x
x
x
dt
d
nm2n1n
m22221
m11211
n
2
1
ou ainda
)t(FX)t(Adt
dX
que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas
homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tλeξX
temos
tλeξλX
substituindo no sistema obteacutem-se
0eξ)λA(
eξAeξλ
tλ
tλtλ
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
135
como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Exemplo 1
Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo
t10y3x4dt
dy
t2ey5x2dt
dx t
pode ser escrito como
t10
t2eX
34
52
dt
dX t
ou
t10
2e
0
1X
34
52X t
onde
y
xX
1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO
Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna
)t(x
)t(x
)t(x
X
n
2
1
cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema
)t(FX)t(Adt
dX
no intervalo
Exemplo 2
Verifique que
t2
t2t2
1e
ee
1
1X e
t6
t6t6
2e5
e3e
5
3X satildeo soluccedilotildees de
X35
31X
no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
136
Temos
t2
t21
e2
e2X
e
1t2
t2
t2t2
t2t2
t2
t2
1 Xe2
e2
e3e5
e3e
e
e
35
31AX
Agora
t5
t612
e30
e18X
e
12t6
t6
t6t6
t6t6
t6
t6
2 Xe30
e18
e15e15
e15e3
e5
e3
35
31AX
Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira
ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n
1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS
Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e
)t(x
)t(x
)t(x
)t(X
0n
02
01
0
e
n
2
1
0
γ
γ
γ
X
onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema
00 X)X(tasujeito
)t(FX)t(Adt
dXResolver
eacute um problema de valor inicial no intervalo
10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo
Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em
um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema
de valor inicialno intervalo
1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS
Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem
mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo
comum I
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
137
10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX
em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear
kk2211 XcXcXcX
onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo
Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer
vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem
eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Exemplo 3
Uma soluccedilatildeo do sistema X
102
011
101
X
eacute
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X1
Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois
tcoscsentc
tcosc2
1sentc
2
1
sentc
dt
dX
11
11
1
e
tcoscsentc
sentc2
1tcosc
2
1
sentc
sentctcosc
sentc2
1tcosc
2
1
tcosc
102
011
101
AX
11
11
1
11
11
1
As matrizes resultantes mostram que XAX
Exemplo 4
Consideremos o sistema X
102
011
101
X
Se
0
e
0
X t2 entatildeo
0
e
0
X t2 e
2tt
2 X
0
e
0
0
e
0
102
011
101
AX
Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da
superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
138
0
e
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcX t212211
eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema
1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no
intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que
0XcXcXc kk2211
para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo
dizemos que eacute linearmente independente
O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo
constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute
linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo
linear dos vetores restantes
10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes
Sejam
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo
necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o
wronskiano
0
xxx
xxx
xxx
)XXX(W
nn2n1n
n22221
n11211
n21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
139
Exemplo 5
No exemplo 2 vimos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees do sistema
X35
31X
Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez
que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos
0e8e5e
e3e)XX(W t4
t6t2
t6t2
21
para todo t real
Exemplo 6
Pelo exemplo 5 sabemos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees
linearmente independentes de X35
31X
em )( Logo X1 e X2constituem um
conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
entatildeo
t6
2t2
12211c e5
3ce
1
1cXcXcX
1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO
Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes
do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto
fundamental de soluccedilotildees no intervalo
10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos
Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como
nn2211 XcXcXcX
onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
140
Exemplo 7
Os vetores
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
Xe
0
1
0
X
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X 3t
21 satildeo
do sistema X
102
011
101
X
no exemplo 3 Agora
0etcossentsenttcos
senttcose
tcossent0senttcos
tcos2
1sent
2
1esent
2
1tcos
2
1sent0tcos
)XXX(W ttt321
para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de
soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
ce
0
1
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcXcX 3t
21332211
1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute
qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o
sistema )t(FX)t(Adt
dX
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo
homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc
10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos
Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX em um
intervalo I e denotemos por
nn2211c XcXcXcX
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
141
a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX correspondente
Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como
pc XXX
A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX eacute chamada funccedilatildeo
complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX
Exemplo 8
Verifique que o vetor
6t5
4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-
homogecircneo
3
11t12X
35
31X no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Temos
5
3X
p e
3
11t12
6t5
4t3
35
31
3
11t12X
35
31p
pX
5
3
3
11t12
2
14t12
3
11t12
)6t5(3)4t3(5
)6t5(3)4t3(
Exemplo 9
Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
3
11t12X
35
31X em )( eacute
6t5
4t3X p
No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a
soluccedilatildeo geral de X35
31X
eacute
t62
t21c e
5
3ce
1
1cX
Logo pela definiccedilatildeo dada
65
43
5
3
1
1 62
21
t
tececXXX tt
pc eacute
soluccedilatildeo geral de
3
11t12X
35
31X em )(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
142
Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo
)t(FX)t(Adt
dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas
c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral
1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL
Seja
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um
intervalo I
A matriz
nn2n1n
n22221
n11211
xxx
xxx
xxx
)t(
eacute chamada de matriz fundamental do
sistema no intervalo
Exemplo 10
Jaacute mostramos que os vetores
t
t
t
e
eeX
2
2
2
11
1 e
t
t
t
e
eeX
6
6
6
25
3
5
3constituem
um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX
35
31 em )(
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)(
eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo
Exemplo 12
A soluccedilatildeo geral tt
c ececXcXcX 62
212211
5
3
1
1
dada no exemplo 6
pode ser escrita como
2
1
t6t2
t6t2
c
c
e5e
e3eX
Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que
C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((
Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possiacutevel de constantes C devemos ter
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
143
)t()t(A)t(
0)t()t(A)t(
10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular
A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que
0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo
Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do
sistema homogecircneo XtAdt
dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de
t no intervalo
Exemplo 13
Para a matriz fundamental dada
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)( no exemplo 10 notamos que
tet 48)(det Decorre entatildeo de
1121
1222
1112
21221
det
1
det
1
aa
aa
aa
aa
AA
T
que
tt
tt
tt
tt
t
ee
ee
ee
ee
et
66
22
22
66
4
1
8
1
8
18
3
8
535
8
1)(
10372 Matriz Especial
Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz
em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees
1
0
0
0
1
0
0
0
1
00201
tVtVtV n
Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do
sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que
t apresenta a propriedade
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
144
1000
0100
0010
0001
00
t
onde eacute a identidade multiplicativa n x n
Exemplo 14
Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX
35
31
Soluccedilatildeo
Por tt ececXcXcX 6
22
122115
3
1
1
sabemos que a soluccedilatildeo geral do
sistema acima eacute dada por tt ececX 6
22
15
3
1
1
Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que
0
1
5
3
1
121 cc ou
05
13
21
21
cc
cc
Obtemos 8
51 c e
81
2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear
tt eeV 621
5
3
8
1
1
1
8
5
Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais
1
0
5
3
1
121 cc ou
15
03
21
21
cc
cc
Neste caso obtemos 8
31 c e
81
2 c Definimos entatildeo
tt eeV 622
5
3
8
1
1
1
8
3
Dai
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
145
tttt
tttt
eeee
eeeet
6262
6262
8
5
8
3
8
5
8
58
3
8
3
8
3
8
5
)(
Observe que
10
01)0(
Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das
soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma
soluccedilatildeo do sistema
10373 t eacute uma Matriz Fundamental
Por
1000
0100
0010
0001
00
t
vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente
Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo
considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da
Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t
Por 0
1 ttt
AULA 26 - Exerciacutecios
Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado
1)
y8x4dt
dy
y5x3dt
dx
2)
z3y4x10dt
dz
yx6dt
dy
z9y4x3dt
dx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
146
3)
2ttzyxdt
dz
t3zyx2dt
dy
1tzyxdt
dx
2
2
Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes
4) te
1
1X
31
24X
5) t
1
1
3
e
2
2
1
z
y
x
652
143
211
z
y
x
dt
d t
Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado
6)
y7x4dt
dy
y4x3dt
dx
t5e
2
1X
7) 2t3
e2
1XX
114
11
X
8)
13
6
1
121
016
121
XXdt
dX
Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX
Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(
9) t6
2t2
1 e1
1Xe
1
1X
10)
4
4
2
t
12
6
3
X
4
2
1
X
2
2
1
t
4
2
1
X 321
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
147
Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema
dado
11)
18423
724
tyxdt
dy
tyxdt
dx
1
5
1
2tX
p
12) tt
p
t teeXeXX
1
1
1
1
7
1
43
12
13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX
011
101
060
` no intervalo )( eacute
t33
t22
t1 e
1
1
2
ce
1
1
3
ce
5
1
6
cX
Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental
de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule
t1
14) t7
2t2
1 e3
1Xe
2
1XX
56
14X
15) tt
2t
1 e1
0te
3
1Xe
3
1XX
29
14X
16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
14
17) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
15
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
148
Respostas
1) 84
53 XX
onde
y
xX
2)
3410
016
943
XX
onde
z
y
x
X
3)
2
0
1
03
0
111
112
111
2
2
t
t
t
tXX onde
z
y
x
X
4)
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
3
24
5)
tezyxdt
dz
tezyxdt
dy
tezyxdt
dx
t
t
t
2652
243
32
6) Eacute soluccedilatildeo
7) Eacute soluccedilatildeo
8) Eacute soluccedilatildeo
9) Sim
10) Natildeo
11) Eacute soluccedilatildeo
12) Eacute soluccedilatildeo
13) Demonstraccedilatildeo pessoal
14)
tt
tt
t
tt
tt
ee
ee
et
ee
eet
22
77
9
1
72
72
2
3
5
1)(
32
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
149
15)
tt
ttt
t
ttt
tt
ee
teete
et
eee
teet
3
31
33
2
1
16)
tttt
tttt
eeee
eeeet
7272
7272
5
3
5
2
5
6
5
65
1
5
1
5
2
5
3
17)
ttt
tt
etete
tetet
39
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
150
AULA 27
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS
Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tekX
temos
tekX
substituindo no sistema obteacutem-se
0)(
t
tt
ekA
ekAek
como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Existem trecircs casos a serem tratados
1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do
sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do
sistema no intervalo )( eacute dada por
t
nn
t
b
t
anekcekcekcX
21
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
151
Exemplo Resolva o Sistema
yxy
yxx
2
32
Soluccedilatildeo
Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes
012
32
0)det(
IA
41
043
0622
0)1)(2(
21
2
2
e
Para 11 temos
0
0
22
33
0
0
)1(12
3)1(2
0)(
b
a
b
a
K
K
K
K
KIA
1
1
1
022
033
1K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Para 42 temos
0
0
2
32
0
0
412
342
b
a
b
a
K
K
K
K
2
3
2
2
3
032
032
2K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t
ii eKx temos
tt eXeX 4
212
3
1
1
Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute
tt
tt
tt
eCeCy
eCeCx
eCeCy
x
XCXCX
4
21
4
21
4
21
2211
2
3
2
3
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
152
1042 AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1
o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo
t
ekX 1
11
e t
ekX 1
12
Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde
tetktkX sinImcosRe111
atetktkX sinRecosIm112
Exemplo
Resolva o sistema
yxdt
dy
yxdt
dx
45
6
Soluccedilatildeo
045
16
0)det(
IA
2
525
2
410
2
11610010
02910
054624
05)4)(6(
2
2
i
i
Para i25 temos
ab
ba
b
a
b
a
KiK
KKi
K
K
i
i
K
K
i
i
KIA
)21(
0)21(
0
0
)21(5
121
0
0
)25(45
1)25(6
0)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
153
iKi
K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a
2
0
1
1
21
1
1
11
tt
tt
tt
tt
t
t
etsentCetsentCy
etsenCetCx
etsent
tsenCe
tsent
tCX
etsentCetsentCX
XCXCX
etsentX
etsentX
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
2221
5
2
5
1
)22cos2()222(cos
)2()2cos(
22cos2
2
222cos
2cos
21
12cos
2
02
2
02cos
1
1
21
12cos
2
0
22
02cos
1
1
1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS
Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se
verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer
deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira
t
ekX 1
11
tt
ektekX 21
212
onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees
para o sistema
t
m
tm
tm
mmeke
m
tke
m
tkX
21
)2()1(
2
2
1
1
onde k2 k3 hellip km devem ser determinados
Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt
PeKteX 11
2
()
Onde
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
154
nk
k
k
K2
1
e
np
p
p
P
2
1
Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se
0)()( 11
11 tt
eKPAPteKAK
Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter
KPIA
KIA
)(
0)(
1
1
Exemplos
1) Resolva o sistema
zyxz
zyxy
zyxx
22
22
22
0
122
212
221
51
Re
0593
0593
012121733
0)1(1216133
0)1(4)1(4)1(488)1(
321
23
23
23
23
3
e
temosRufiniBriottporsolvendo
Para 11 temos
21
0|222
0|222
0|222 1
L
31
21
)2(
2
0|222
0|222
0|111
LL
LL
0|000
0|000
0|111
cba
cba
KKK
KKK
0 fazendo bK = 1 e 0cK temos
0
1
1
1K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
155
Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor
1
1
0
2K
Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees
LI correspondentes ao mesmo autovalor
teX
0
1
1
1 e teX
1
1
0
2
Para 53 temos
31
21
21
)2
1(
0|422
0|242
0|224
LL
LL
32
12
)1(3
2
0|330
0|330
0|224
LL
LL
)1(
)4(
0|000
0|330
0|404
2
1
L
L
0
0
cb
ca
KK
KK
cb
ca
KK
KK
fazendo cK = 1 temos
1
1
1
3K
ttt eCeCeCX 5
321
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2) Resolva o sistema
yxy
yxx
92
183
092
183
3
Re
096
0369327
036)9)(3(
21
2
2
temosequaccedilatildeoasolvendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
156
Para 321 temos
ba
ba
ba
b
aKK
KK
KK
K
K3
062
0186
0
0
62
186
fazendo 1bK temos
1
31K
Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3
1 1
3
2
1
1
3
p
pPK
IPSLL
L
L
p
p
KPIA
KPIA
0002
131
2131
2131
2
6
162
3186
1
3
62
186
3
21
2
1
2
1
1
21
21
32
1
2
13
pp
pp
fazendo
02
10
2
121 Ppp
ttt
tt
eetCeCX
eetX
33
2
3
1
33
2
02
1
1
3
1
3
02
1
1
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
157
AULA 27 ndash Exerciacutecios
1) Resolva
z3ydt
dz
zy5xdt
dy
zyx4dt
dx
2) Resolver X21
82acuteX
3) Resolver X1
2
121
acuteX
4) Resolva o sistema
yxy
yxx
3
4
5)
yxdt
dy
yxdt
dx
34
2
6)
yxdt
dy
yxdt
dx
22
5
24
7)
yxdt
dy
yxdt
dx
25
6
8)
yxdt
dy
yxdt
dx
32
5
9)
yxdt
dy
yxdt
dx
39
3
10)
yxdt
dy
yxdt
dx
53
3
Respostas
1) t53
t42
t31 e
1
8
1
ce
1
1
10
ce
1
0
1
cX
2)
t2sen
t2sen2t2cos2c
t2cos
t2sen2t2cos2cX 21
3) t
2t
1 etcos
sent2ce
sent
tcos2cX
4)
ttt etececX
1
1
1
2
1
221
5) tt ececX
1
1
2
12
5
1
6) tt ececX
5
2
1
22
3
1
7) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin2
sin
sincos2
cos
8) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin
sin
sincos
cos
9)
414
1
3
1
3
121 tccX
10)
ttt etececX 22
2
2
10
31
1
1
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
158
AULA 28
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS
O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um
sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt
dX Da mesma forma resolve-se o sistema
homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo
determinados os coeficientes desconhecidos
Exemplos
1) Resolva o sistema
41034
66
tyxy
tyxx
Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
XAX
34
16
Encontrar os autovalores
034
16
0)det(
IA
72
0149
043618
0)3)(6(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 71 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
44
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
4
1
04
0
0
14
14
fazendo 4bK temos
4
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
tt
tt
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
2
7
1
2211
2211
4
1
1
1
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
159
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
t
ttf
p
p
410
6)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
cdbtca
adbtca
t
t
t
t
dctbat
dctbat
c
a
t
t
dct
bat
b
a
34)34(
6)6(
104
6
410
6
3344
66
410
6
34
16
7
107
242
7
4
62814
234
6318
6434
26
434
06
6
1262
662814
1034
18318
1034
66
d
db
bdb
db
db
db
db
cdb
adb
c
ca
aca
ca
ca
ca
ca
Logo
7
106
7
42
t
tX p
Soluccedilatildeo Geral
7
106
7
42
4
1
2
12
2
7
1
2221
t
teCeCX
XXCXCX
tt
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
160
2) Resolva o sistema
5
3
yxy
yxx
XX
11
11
Encontrar os autovalores
011
11
0)det(
IA
20
0)2(
0121
01)1(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 01 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
t
tt
tt
eCCX
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
21
2
2
0
1
2211
2211
1
1
1
1
1
1
1
1
21
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
tf
p
p
5
3)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
161
5
3
)(
)(
5
3
11
11
dbtca
dbtca
c
a
dct
bat
b
a
ca
ca
0 fazendo 11 ca
4
1
3
db
adb
adb
4
51
5
db
db
cdb
Fazendo 04 db
t
tX p
4
Logo
t
teCCX t 4
1
1
1
1 221
Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica
1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a
funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais
poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que
pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo
A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma
CtX )(
onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes
Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que
)()( tUtX p
seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema
)()( tFXtAdt
dX
entatildeo
)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
162
sabemos que )()( tAt logo
)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt
)()()( tFtUt
)()()()()( 11 tFttUtt
)()()( 1 tFttU
dttFttU )()()( 1
entatildeo
dttFttX p )()()( 1
eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
Exemplo
Resolva o sistema
teyxy
tyxx
42
33
Vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
42
13
Encontrar os autovalores
043
13
0)det(
IA
25
0107
024312
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 51 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
2
1
02
0
0
12
12
fazendo 2bK temos
2
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
22
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
2
1
25
25
2
2
5
1
2211
2211
21
1
2
1
21
C
C
ee
eeeCeCX
eKCeKCX
XCXCX
lfundamentamatriz
tt
tt
tt
tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
163
Precisamos encontrar )(1 t
tt
tt
ee
ee25
25
2
212
10
01 LL
t
tt
e
ee2
25
30
12
312
01
LL
t
t
e
e2
5
30
0
2
2
1
5
2
112
31
31
Le
Le
t
t
10
01
tt
tt
ee
ee
22
55
3
1
3
23
1
3
1
Logo
tt
tt
ee
ee
22
55
1
3
1
3
23
1
3
1
tt
tt
tt
tt
ete
ete
e
t
ee
eetft
2
45
2
55
1
6
3
3
13
23
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
eete
eetedt
ete
etedttft
22
455
2
45
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
6
3
3
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
p
eete
eete
ee
eedttfttX
22
455
25
25
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
2)()()(
t
t
p
t
t
p
tt
tt
p
et
etX
et
etX
eetet
etetX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
2
3
50
63
5
24
3
50
81
5
18
3
1
2
3
2
1
25
6
5
62
33
4
1
25
3
5
3
3
1
Soluccedilatildeo
t
t
tt
et
eteCeCX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
1
1
2
12
2
5
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
164
AULA 28 ndash Exerciacutecios
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros
1)
122
433
yxdt
dy
yxdt
dx
2)
2
2
4
3
53
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes
indeterminados
3)
52
732
yxdt
dy
yxdt
dx
4)
53
23 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
Respostas
1)
10
15
11
11
2
3
1
121 teccX t
2) 2223
22
1
49
215
413
213
3
10
1
2 tttt
eteececX
3)
3
1
1
3
1
121
tt ececX
4)
43
2
414
1
43
41
1
1
1
1 242
21 ttececX tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
165
AULA 29
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA
1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy
xCey 2
2
02
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia
44
0
33
2210 xCxCxCxCCxCy
n
nn
1
1
34
2321
432
n
nnxnCy
xCxCxCCy
Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy
021
1
n
nn
n
nn xnCxnC
Trocando
1
1
01
1
Nn
Nn
n
n
II
NN
NN
I
n
nn xCNxnC
011
)1(
1
1 )1( Temos que verificar se I = II
0
2321)1(
2321
1
1
32)1(
32
N
NN
n
nn
xCxCCxCNII
xCxCCxnCI
Satildeo iguais
Voltando
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
166
0)1(
2
02)1(
02)1(
02)1(
1
1
0
1
01
1
nn
CC
CCn
xCCn
xCxCn
nn
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
Para
234
)2(
234
)2(2
4
23
23
)2(
23
)2(2
3
22
2
)2(
2
)2(2
2
21
21
20
04
03
34
03
02
23
02
012
00
1
CCCCn
CCCCn
CCCCn
CC
Cn
Foacutermula da recorrecircncia
1
)2( 0
nn
CC
n
n
Entatildeo
0
44
33
2210
n
nn xCxCxCxCCxCy C
0
0
1
0
443322
0
30
320
20
0
)2(
)2(1
4
2
3
2
2
2
1
21
3
)2(
2
)2(
1
2
n
nn
n
nn
n
xC
n
xC
xxxxC
xCxCxCC
Como
3
)2(
2
)2(21
321
322
32
xxxe
xxxe
x
x
Logo
xeCy 2
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
167
2) Resolver a equaccedilatildeo 02
2
ydx
yd
i
1
01
2
2
senxCxCy 21 cos
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia
2
2
1
1
0
)1(
n
nn
n
nn
n
nn
xCnny
xnCy
xCy
2
2
2
Nn
Nn
n
24
132
0
)2(
22
)2(
2
2
34232
)1)(2()1)(2()1(
xCxCC
xCNNxCNNxCnnyN
NN
N
NN
n
nn
Que fica igual a
24
132
2
2 34232)1( xCxCCxCnnyn
nn
Logo substituindo
2
2)1(n
nnxCnny na equaccedilatildeo temos
0)1)(2(02
)2(
n
nn
n
nn xCxCnn
0)1)(2(2
)2(
n
n
nn xCCnn
0)1)(2( )2( nn CCnn
0)1)(2(
)2(
n
nn
CC n
n
para 12
0 02
CCn
para 23
1 13
CCn
para 412
)(
34
1
342 002
4
CCCCn
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
168
para 523
)(
45
1
453 113
5
CCCCn
para 6456
1
564 004
6
CCCCn
para 7567
1
675 115
7
CCCCn
765432
17
06
15
04
13
02
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Foacutermula da Recorrecircncia
1)12(
)1(1
)2(
)1( 1)12(
02
k
k
CCk
k
CC
k
k
k
k
Voltando
0n
nnxCy
5
53
314
42
20 xCxCxCxCxCCy
senxCxCy
k
xC
k
xCy
xxxxC
xxxCy
n
kk
n
kk
n
10
0
12
1
0
2
0
753
1
642
0
0
cos
)12(
)1(
)2(
)1(
7536421
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
169
REFEREcircNCIAS
ABUNAHMANSERGIO A Equaccedilotildees Diferenciais LTC 1994
BOYCE WE DIPRIMA RC Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores
de contorno LTC 1989
BRONSON R COSTA G Equaccedilotildees Diferenciais 3a ed Coleccedilatildeo Schaum 2008
KREYSZIG Erwin Advanced Engineering MathematicsLTC 1999
ZILL DG Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em ModelagemThomson Learning 2003
ZILL DG GULLEN MREquaccedilotildees Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
7
14)
dx
ax
ax22
22
R Ca
xax arctan2
15) dxxe x3 R Cxe x 13
9
1 3
16)
dx
xx
x
12
12
R Cxx 12ln2
1 2
17)
dx
xx
xx32
2
31
2 R Cxx 13ln
3
1 23
18)
dx
x
x21
1 R Cxx arctan1ln
2
1 2
19)
22 31231
3
xx
xdx R Cx 231ln 2
20)
dx
x
x
35
13 R Cxx 35ln
25
4
5
3
21)
dx
xx
x
145
152
R Cxxx )25arctan(145ln2
1 2
22)
dx
x
x
10
12 R Cxx 10ln212
23) dxxe x )2(1
ln
R Cxx 2ln
24)
dxx
xe x
2
arctan
1
arctan R Cex x arctan1arctan
25) xdxe x sincosln R C
x
2
sin 2
26) dxxe x )2( 32
R Cex x 2
)1( 2
27)
dxxxe x
64
)123(4 22
R Cxxe x
4
3
22
3
16
22
28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
8
AULA 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
11 INTRODUCcedilAtildeO
Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy
de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra
apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua
derivada eacute 23
3
xedx
dy x Se fizermos3xey teremos
23 xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo
representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de
um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo
O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde
dada uma derivada encontrar uma antiderivada
Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm
significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo
a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por
exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades
puramente matemaacuteticas
a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os
pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma
funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza
a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que
envolve uma grandeza
o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura
consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)
se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se
dx
dy
em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a
derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse
quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo
)(xfdx
dy
eacute possiacutevel escrever
dxxfdy )(
que se denomina equaccedilatildeo diferencial
uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo
da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
9
12 Definiccedilatildeo
Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou
diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos)(2 2
5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
13 CLASSIFICACcedilAtildeO
131 TIPO
Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis
dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo
ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter
mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)
Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de
duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo
diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso
132 ORDEM
A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As
equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira
ordem
133 GRAU
O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como
um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos
exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato
quanto a ordem e grau
134 LINEARIDADE
Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees
1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou
seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um
2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel
independente x
Exemplos
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e
terceira ordem
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre
aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um
nuacutemero menos de constantes
Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma
equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes
de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes
f) xx eCeCy 2
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
AULA 2 - EXERCIacuteCIOS
Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros
estejam sobre o eixo y
Respostas
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2 ( ) 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
AULA 3
2 RESOLUCcedilAtildeO
Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a
equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa
identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira
que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem
de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e
consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo
21 CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo
particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da
equaccedilatildeo diferencial
xdx
dy2
Que resulta em Cxy 2
22 SOLUCcedilAtildeO
Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As
soluccedilotildees podem ser
Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de
uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades
de ordem da equaccedilatildeo
Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees
iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante
inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os
valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos
Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave
envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A
soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais
natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante
As soluccedilotildees ainda podem ser
Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute
chamada soluccedilatildeo expliacutecita
Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G
trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Exemplo
Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita
Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluccedilatildeo x
y
Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita
Exemplo
Verifique que 16
xy
4
eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21
xydx
dy no intervalo )(
Resoluccedilatildeo
Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21
xydx
dy eacute
zero paratodo x no intervalo
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na ED temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx
dy sujeita a condiccedilatildeo inicial
00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de
problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo
diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)
determinado a priori
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
15
Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se
especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos
x0 e3ye3cec3
Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos
1xx111 e3yee3yee3cec3
Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx
dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo
ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica
As funccedilotildees y = 0 e 16
xy
4
satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma
deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO
Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o
ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy
df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I
centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)yx(fdx
dy sujeito a 00 y)x(y
Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO
1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo
2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial
Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo
que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas
caracteriacutesticas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de
valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo
Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao
caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o
caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais
possuam soluccedilotildees
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS
As equaccedilotildees diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
satildeo chamadas de autocircnomas
Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a
equaccedilatildeo (2) na forma
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluccedilatildeo eacute
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(
1
yfdy
dx em
A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A o que justifica o procedimento formal
Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema
00)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos
Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute
proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma
kydx
dy (7)
Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees
separadamente nos dois intervalos 0 y e y0
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R
Considere a equaccedilatildeo autocircnoma
akydx
dy
sua soluccedilatildeo geral para k
ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto
k
ayea
kyeaky CxkCxk
1 )()(
Neste caso k
ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1
o grau
)( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(xy) e N = N(xy)
Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS
A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se
M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes
M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel
Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a
equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis
311 RESOLUCcedilAtildeO
Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos
separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma
CdyyQdxxP )()(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec xdytgyydxtgx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a
equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo
)(
Resolver as seguintes equaccedilotildees
diferenciais
2) 01
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 ndash a
2)(y
2 ndash b
2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas
1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo
nuacutemero real
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 ndash x) = C
5) C y2 = 1 + x
2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a a
ex
ln
2
9) tg x tg y = C
10) Cb
yarctgb2y
ax
axlnax
11) y = c(x ndash 1)
12) Cx1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(42 yydx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA
Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a
relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale
a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)
Exemplos
1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y
2 eacute homogecircnea de grau 2
pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222
2) 4y
x)yx(g
2
2
eacute homogecircnea de grau zero pois
)yx(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()tytx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(xy) = 2x3 + 5xy
2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois
)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323
Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever
x
y1fx)yx(f n e
1
y
xfy)yx(f n
satildeo ambas homogecircneas de grau n
Exemplo
Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo
x
y1fx
x
y
x
y31x
x
y
x
y31x)yx(f 2
22
2
22
1
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)yx(f 2
22
2
22
322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS
A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se
M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau
Exemplos
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
y
xy
3)
x
yarctgy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3221 Resoluccedilatildeo
Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0
Tem-se
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx
x
yF
dx
dy (1)
Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as
variaacuteveis
Dessa forma substitui-se x
y por u
xuy (2)
Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) temos
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Em resumo
Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo
de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita
Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo
separaacutevel
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo
02)( 22 xydydxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 ndash EXERCIacuteCIOS
Resolva as seguintes equaccedilotildees
1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0
2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx ndash xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y
8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial
3
1)1(y
Respostas
1) y2 + 2xy ndash x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
221
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES
REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS
Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees
homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis
Satildeo equaccedilotildees da forma
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes
Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das
variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de
eixos
Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar
331 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute DIFERENTE DE ZERO
Resoluccedilatildeo
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy
A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute
dvdyvy
dudxux
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para
o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma
vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero
Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e satildeo as raiacutezes do sistema
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo23
132
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
332 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute IGUAL A ZERO
Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A
equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis
Como 22
11
ba
ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode
escrever
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relaccedilatildeo a x
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equaccedilatildeo transformada
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136
12
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCIacuteCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas
1) 2x2 ndash 6xy + y
2 + 2y = K
2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se
existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e
suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que
x
N
y
M
Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja
diferencial dada por
dyy
udx
x
udu
(2)
Entatildeo comparando (1) e (2) teremos
)( yxMx
u
(3)
e
)( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo
(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos
)()()( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos
)()(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta
)()()(
yxNygy
dxyxM
Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos
1
)()()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
)(
)()()(
Logo a soluccedilatildeo eacute da forma
Cdy
y
PNMdxyxU )(
onde costuma-se denotar MdxP
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y ndash 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh xcosy dx = coshxseny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
341 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x
N
y
M
Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata
Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx
u
e NF
dy
u
Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui eacute loucura
Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando temos
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando CdxxRF )(ln
dxxRexF
)()(
onde
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos
dyyReyF
)()(
onde
x
N
y
M
MxR
1)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo
Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x
N
y
M
mostra-se que haacute
uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata
A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante
F(x) F(y)
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator
integrante
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 ndash y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluccedilatildeo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas
1) x2 cos y + x
4 = C
2) Ctgyex 2
3) Ceseny x
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES
Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute
dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
desse tipo a saber
351 FATOR INTEGRANTE
Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial
exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de
nosso problema
QPydx
dy
Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressatildeo
0 dyedxQPyePdxPdx
Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos
Pdx
Pey
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por fator integrante
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE
Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)
criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O
meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z
a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt
Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber
i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)
ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx
dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de
variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy
dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln
Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC
eeey Fazendo
Cek temos Pdx
key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta
Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a
soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo
possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo
Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx
dt (6) que eacute da
mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx
ket Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
Daiacute Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1 Integrando este uacuteltimo
1
(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e
dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado temos CQdxek
ZPdx
1
(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e
ldquoZrdquo
CQdxek
keyPdxPdx 1
onde resulta finalmente em
CdxQeeyPdxPdx
(8)
que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)
Exempo 2
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycostan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx
dy
Respostas
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A
LINEARES
Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que
mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de
tais equaccedilotildees satildeo
361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
Equaccedilatildeo da forma
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2
Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma
EDO linear
Pois se
n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea
Soluccedilatildeo
Transformaccedilatildeo de variaacutevel
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relaccedilatildeo a x
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1) que eacute
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o
primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 temos
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior
Exemplo
232
xyx
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 02 2 xydx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas
1) 2
1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
)ln(
1
3) 12 2223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI
A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy
(1)
onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e
quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela
soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5
Resoluccedilatildeo
Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a
equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x
Como 0y eacute soluccedilatildeo temos
RQyPydx
dy 0
2
0
0
(3)
Por outro lado derivando (2) tem-se
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes
de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais
4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5
Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes
ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida
Em resumo
Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de
(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)
transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli
Exemplo
Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluccedilatildeo geral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32
2
x
y
x
y
dx
dy Em caso afirmativo
calcular a soluccedilatildeo geral
2) Mostrar que x
y1
eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluccedilatildeo
geral
3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluccedilatildeo geral
4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo
particular
5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo
particular
Respostas
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
411 DEFINICcedilOtildeES
Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo
diferencial
Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo
particular da equaccedilatildeo
Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro
0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famiacutelia de curvas integrais
Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia
como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias
concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA
Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como
envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir
uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver
nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute
definida pelo sistema
0)(
0)(
yxf
yxf
(1)
cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a
equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y
Exemplo
Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0
dx
dyyxF
Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo
geral
particular
singular (eventualmente)
A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas
integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada
A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
original
De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da
envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva
integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular
Exemplo
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2
22
x
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12
2
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)
4
2xy (soluccedilatildeo singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT
A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy
Resoluccedilatildeo
Chamando pdx
dy
a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)(1
0)( pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)
De (2) tem-se
0)( px (3)
xp )(
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo
singular
Exemplos
6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 ndash EXERCIacuteCIOS
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo
singular das seguintes equaccedilotildees de
Clairaut
a dx
dy
dx
dyxy ln
b
2
3
dx
dy
dx
dyxy
c 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d 045
y
dx
dyx
dx
dy
e 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE
A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se
dx
dy
dx
dyF
Resoluccedilatildeo
A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica
Chamando pdx
dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se
)(
)(
)(
)(
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo
geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica
)(
)(
pyy
pxx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo
2
1
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
Resolver as seguintes equaccedilotildees
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCIacuteCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy
18)
0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x
determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0
20) dxexydxxdy x2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln( 3 dyxydxx
y
23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22)1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da
equaccedilatildeo xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluccedilatildeo geral
Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes
equaccedilotildees
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2
Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
Natildeo haacute soluccedilatildeo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMAacuteTICOS
61 MODELO MATEMAacuteTICO
Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da
vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A
descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda
levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees
animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma
substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a
principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa
estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
A seguir
ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema
que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer
leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a
forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute
predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a
resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de
uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais
equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo
diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema
de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-
lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as
prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou
levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de
modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo
matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t
Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da
variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e
futuro
62 DINAcircMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por
traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais
cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em
outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em
termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser
expressa por
kxdt
dx 00
)( xtx ktexx
0
(1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos
envolvendo crescimento ou decaimento
Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de
(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0
O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt
dS a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente
Exemplo
Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias
passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes
determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Resoluccedilatildeo
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ndash ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = cekt
Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma
0x
cex
0
00
Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2
3x0
40550k
k2
3ln
e2
3
exx2
3
k
1k00
voltando novamente a equaccedilatildeo temos
t40550
0
kt0
exx
exx
para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
70922t
0986121t40550
t405503ln
e3
exx3
t40550
t4055000
seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente
63 MEIA VIDA
Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-
vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais
estaacutevel ela eacute
Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos
metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio
mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse
tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206
AKdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA 0
Exemplo
Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que
0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a
taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente
Resoluccedilatildeo
000
0
A999570A000430A15t
A0t
Resolvendo a equaccedilatildeo
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
kte
c
A
A = cekt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
Sabendo que 0A)0(A temos
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo
A(t) = A0ekt
A(15) = A0e15k
A(t) = 2
0A
099957 A0 = A0e15k teAtA
51088672
0 )(
Ln099957 = ln e15t 000028670
0
0 2
eAA
-000043 = 15 k te 000028670
2
1
K = - 2866710- 5
-06931 = - 000002867t
t = 24180
t 24180 anos
Voltando a equaccedilatildeo temos que
t10866720
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer
3717924t
t1086672693150
t108667250ln
e50
eA2
A
5
5
t1086672
t10866720
0
5
5
Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas
combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia
Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente
radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o
fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma
substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de
substacircncias remanescente no instante t
AKdt
dA (2)
Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos
siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)
kgt0 para o decaimento como em (2) klt0
O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a
determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)
aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja
taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo
transformada ou remanescente no instante t
A questatildeo eacute que
Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios
fenocircmenos diferentes
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade
de foacutesseis usando o carbono radioativo
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute
produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio
A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma
constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os
organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera
Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo
cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a
razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil
O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de
5600 anos
O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de
Turim
7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um
quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
Exemplo
Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a
idade do foacutessil
Resoluccedilatildeo
A(t) = A0ekt
5600
0
0 2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 06931
K = - 0000123776
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
A(t) = A0e- 0000123776t
teAA 0001237760
00 100
1
te 0001237760ln
100
1ln
- 0000123776 t = - 69077
t = 55808
A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos
66 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se
Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
Exemplo
Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua
temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF
Resoluccedilatildeo
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T() = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por
70 ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que
T(0) = 3000
300 = Cek0
+ 70
C = 2300
Logo
T = 230ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T com isso
200 = 230e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
1901816190k
5705448580k3
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
70e230)t(T t190180
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus
7023075 190180 te
230
7075190180 te
- 019018t = ln230
5
t = 2013
com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
67 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees
por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo
no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a
taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida
se RR
dt
dA
sal de
saiacuteda de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute
minlb6)galkb2(min)gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde atildeoConcentraccedil
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees
Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de
saiacuteda de sal Rs eacute
min100
300
min)3(
sal de
saida de taxa
saiacuteda de fluxo no
sal de atildeoConcentraccedil
salmoura de
saiacuteda de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo
Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos
colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais
quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
Resoluccedilatildeo
100
100100
100100
600
600
6
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos
550
60050 0
C
eC
Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma
100550600t
eA
A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela
Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que
esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser
(300 gal)(2lbgal) = 600 lb
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro
era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma
taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo
gallb
t
AgalRs
300min)2(
Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 26641
100 39767
150 47727
200 52557
300 57262
400 58993
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute
27 )300)(10954(2600)( tttA
68 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um
corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde
g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja
drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade
Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no
tanque no instante t
Considere o tanque ao lado
Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de
saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda
de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)
Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque
for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA
(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt
dhA
dt
dVw
Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a
altura de aacutegua no instante t
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse
caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo
Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0
comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t
Resoluccedilatildeo
Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema
Logo tem-se que
A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute
(1)
Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos
20c de modo que (1) pode ser escrita como
Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua
pura no tanque
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA
Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)
o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a
qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois
grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo
kxydt
dx (8)
ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se
argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para
eliminar y em (8) obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1
Exemplo
Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma
doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de
variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o
nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para
que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila
Resoluccedilatildeo
Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de
ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria
Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais
proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute
Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos
Substituindo entatildeo temos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
(
)
Integrando
int
(
) int
int
int int
(
)
(
)
Se em t=0 N=5 temos que
Entatildeo
Para que N = 250 no tempo t temos que
Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
610 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila
externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a
forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute
proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme
ilustrado na figura abaixo
Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no
instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para
cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age
sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da
Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg
onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O
sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra
eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva
Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute
v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
0)0( ss 0)0( vs (11)
Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais
determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica
elementar como a foacutermula 00
2
2
1)( stvgtts
Exemplo
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial
zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine
a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t
b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t
c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
Resoluccedilatildeo
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o
sentido para baixo
Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt
dvg
Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0 segue que 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100 temos 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m s2 teremos
st
t
5420
2
10100
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior
do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena
quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve
ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A
forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um
corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra
uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias
tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute
dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva
e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo
oposta ou para cima
Veja a figura abaixo
Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a
atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se
dt
dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma
da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva Em termos des (12) eacute
uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
Exemplo
Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se
o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine
a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo
b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e
c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima
Resoluccedilatildeo
(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt
dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de
movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o
corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv
responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo
negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k
mgcev
tm
k
Em t=0
v=v0 logo k
mgcev m
k
0
0 ou
k
mgvc
0 A velocidade do corpo no instante t eacute
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0
Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
611 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da
corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a
corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo
de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no
pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento
conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
Peso da corrente
W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L
Massa da corrente
m = Wg = L 32
Forccedila resultante
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo
Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um
cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como
6219 LP e
Resoluccedilatildeo
(
) (
)
Sendo frasl
Como
Sendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Como e soacute eacute possiacutevel
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE
Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor
resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga
em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como
indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave
soma das quedas de voltagem na malha
A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem
voltagemdequeda
henrys(h)Lindutacircncia
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
voltagemde queda
)(ohms aresistecircnci
Resistor
q
c
fC
1 voltagemde queda
)( farads iacapacitacircnc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo
Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)
)(tERidt
diL
ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente
i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema
A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a
carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de
Kirchhoff nos daacute
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima
transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo
Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e
a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0
Resoluccedilatildeo
L= indutacircncia = frac12 ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistecircncia = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
Logo
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
AULA 15 - EXERCIacuteCIOS
1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito
onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha
fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute
ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente
2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2
henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t
3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01
henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto
t Use E = 30 V
4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4
farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a
corrente i(t)
5) Uma forccedila eletromotriz de 200 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6
farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04
Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t
6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero
de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela
triplicaraacute
7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual
era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos
8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo
Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em
30 anos
9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente
Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas
observam-se 3000 fileiras Determine
a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no
instante t
b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de
habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute
de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes
11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos
continuamente Determine
a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos
b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha
havido retiradas ou depoacutesitos adicionais
12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um
depoacutesito feito na conta duplique em seis anos
13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente
Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7
anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos
trecircs anos
14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem
inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua
massa original determine
a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t
b) A Massa do material apoacutes quatro horas
c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)
15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade
presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute
presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer
16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a
massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia
presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia
17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas
18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se
desintegrado Qual a idade da madeira
19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora
onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50
ordmF Qual seraacute a
temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar
15ordmF
20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave
diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e
o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60
oC dentro de quanto tempo sua
temperatura desceraacute para 30oC
21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente
para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o
ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma
pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da
secretaacuteria a liberta alegando o que
22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que
governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo
para imigrar a uma taxa constante r
23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de
mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da
populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t
mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t
24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus
universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o
nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for
espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os
estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus
25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual
foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de
3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a
mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no
instante t
26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse
tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na
mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora
27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um
buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua
vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de
aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de
aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para
ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica
Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua
no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao
lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2
28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o
paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o
paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da
velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a
velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a
resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade
instantacircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e
abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do
paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1
Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se
abre o paraquedas
30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente
com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura
aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98
0C
31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma
salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o
nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t
32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por
galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute
bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no
instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min
33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram
dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para
fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos
RESPOSTAS
1) tetI 355)(
2) tei 2510
3) tcei 500
5
3 e 5
3)(lim
ti
t
4) tceq 50
100
1 onde 100
1C e
tei 50
2
1
5) tceq 200
1000
1
tcei 200200
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
500
1C
coulombsq 00030)0050(
ampi 14720)0050(
1000
1q
6) 792 anos
7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604
8) N(30) = 760
9)
10)
11)
12) 1155
13) R$ 927143
14)
15) t = 11 horas
16) t = 13672 horas
17) 885 gramas
18) 15600 anos
19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min
20) t = 60 min
21) justificativa pessoal
22) rkpdt
dP rkp
dt
dP
23) 2
21PkPk
dt
dP
24) )1000( xkxdt
dx
25) 100
A
dt
dA
26) Aproximadamente 181
27) hc
dt
dh
450
28) 2kvmg
dt
dvm
29) 70ms
30) Aproximadamente 821 s
Aproximadamente 1457 s
31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50
32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100
00975 lbgal
33) 6438lb
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
AULA 16
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma
ByAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes
Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo
Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo
yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)
onde
p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema
r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea
r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea
A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)
isto eacute ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base
fundamental)
Exemplo
y + y = 0
Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)
Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica
)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente
Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e
y2(x) satildeo linearmente independentes
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)()()(12
xyxhxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1
AULA 16 - EXERCIacuteCIOS
1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo
a) 0y9xy5yx2 com 3
1 x)x(y
b) 0y3yx4 2 com 21
1 x)x(y
c) 0y4
1xxyyx 22
com xcosx)x(y 2
1
1
Respostas
a xlnx)x(y 32
b 2
x)x(y
23
2 c senxx)x(y 21
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
AULA 17
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Satildeo aquelas da forma 0yAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
onde A0 A1 A2An
satildeo constantes
Resoluccedilatildeo
Para n= 1 rarr 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
eey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC temos key xλ
Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b satildeo constantes
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta
xλey
xλeλy
xλ2eλy
Substituindo na EDO temos
0e)bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de
equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada
Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar
711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a soluccedilatildeo geral fica
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eCeCeCeCy
712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS
Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2
Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as
raiacutezes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante
Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente
Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλehλ2ehy
heλehy
ehy
)x(y)x(h)x(y
Substituindo na equaccedilatildeo dada
0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando
0)()2( 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P
Entatildeo
KCxh
Ch
h
0
Logo
xeKCxy
yhy
)(
2
12
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Soluccedilatildeo geral
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior
xλ1nn
2321 e)xCxCxCC(y
713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo
para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
Das foacutermulas de Euler temos
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 ndash C2) = C2
temos
senbxCbxcosCey 21ax
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Exemplos
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3
3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
AULA 17 - EXERCIacuteCIOS
1) 065 yyy
2) 01243 yyyy
3) 022 yyy com 1)0( y e 02
y
4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y
5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y
6) 09 2 yy
7) 069 yyy com 4)0( y e 3
13)0( y
8) 02 2 ykkyy
9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y
10) 0344 yyy com ey )2( 2
)2(e
y
11) 0127 yyy
12) 054 yyy
13) 075 yyy
14) 02 yyy
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 2
33
22
1
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ3
2xπ3
1 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe50e30y
10) x50ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32
x21
13)
2
3xsenC
2
3xcosCeCy 32
2
x5
1
14)
xexCCy )( 21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
AULA 18
72 EULER - CAUCHY
A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos
teabax
que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis
No caso da equaccedilatildeo ter a forma
02 byaxyyx
Faremos
y = xm
yrsquo = mxm-1
yrdquo = m(m-1)xm-2
Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que
(m2 + (a ndash 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma
equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes
Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Exemplos
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
0222 yxyyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
AULA 18 - EXERCIacuteCIOS
1) 0202 yyx
2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx
3) 04324610 2 yxyyx
4) 02 yxyyx
5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6
6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3
Respostas
1) 5
24
1 xCxC
2) 3
32
21
)x1(
C
)x1(
C
1x
Cy
3) 81
21 x)xlnCC(y
4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21
5) 25
x)xln2(
6) xlnx3 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 19
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS
10
00
)(
)(
)()()(
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea
A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e
x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I
Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos
i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes
ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange
iii Meacutetodo do operador derivada D
731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)
Padratildeo para soluccedilatildeo particular
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
)10n(kxn
011n
1nn
n CxCxCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs
1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2
o
coluna
2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Exemplo
0)0(
1)0(
2 2
y
y
xeyyy x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
99
AULA19 - EXERCIacuteCIOS
1) xsenyy 34
2) 325102 2 xyyy
3) xseneyyy x 53712352 5
4) 1265 2 xyyy
5) xyy 314
6) 1232 2 xxyy
7) xeyyy 3127
8) xeyyy 28107
9) xeyyy 2844
10) xeyy 434
11) xsenyyy 2334
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 2124
14) senxyy 4
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 61251 xxxyyy para
4)0( y e 8)0( y
17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e
0)0( y
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx4
2x3
1 e20
3eCeCy
8) x2x5
2x2
1 xe3
8eCeCy
9) x22x2
2x2
1 ex4xeCeCy
10) x4
21 e20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
AULA 20
732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos
yn + Pn-1(x)y
n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)
A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a
soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO
homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando
paracircmetros variaacuteveis
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)()(11 dx
xW
xrxWu
)(
)()(22 dx
xW
xrxWu n
n)(
)()(
Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)()(
11
2
1
1
2
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente
11
2
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
11
1
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
1
0
0
1
2
1
1
2
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y
n natildeo se
esqueccedila de dividir r(x) por f(x)
Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
Exemplo223 22 xyxyyxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
AULA 20 ndash EXERCIacuteCIOS
1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x
2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x
3cosx
3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x
-4
4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x
2 ndash 15x
3
5) x3yrdquorsquo- 3x
2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x
4lnx
6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x
9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx23
x22
x1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
AULA 21
733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA
7331 Definiccedilatildeo
Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado
as operaccedilotildees que devem ser efetuadas
Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a
dx
dD
2
22
dx
dD
3
33
dx
dD
7332 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x)
P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)
P3Dm
(Dn
u)=Dm+n
u (sendo m e n constantes positivas)
P4 O operador inverso
dxueeu
aD
axax 1
a
P5 O operador direto uaDuu)aD( audx
du a
7333 Equaccedilotildees Diferenciais
Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D
Exemplo
ay + by + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n
1nn
n ArArA
tambeacutem se fatora
Exemplo
0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
7334 Operador Anulador
Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo
suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo
O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees
1n2 xxx1 Entatildeo um
polinocircmio 1n
1n2
210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n
Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Soluccedilatildeo
O operador eacute 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees
xα1nxα2xαxα exexxee
Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Soluccedilatildeo
Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(
Vamos verificar
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees
xβsenexxβsenexxβsenxexβsene
xβcosexxβcosexxβcosxexβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x
Soluccedilatildeo
5D2D)]41(D)1(2D[
1n01n2β1α
212
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
Vamos verificar
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(DD
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen
Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que
0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7
Soluccedilatildeo
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22
Logo
0)x3sen6x7)(9D(D 22
7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA
entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma
βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo
nuacutemeros reais
Resumo do Meacutetodo
i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L
ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g
iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1
0)y(L
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na
soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos
termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L
v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das
funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os
coeficientes indeterminados em py
vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a
equaccedilatildeo diferencial dada
7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares
1) Resolver empregando operadores 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 21 - EXERCIacuteCIOS
Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada
1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8y3y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
AULA 22
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) xsenxedx
dy
dx
yd x 2234 2
3
3
2) xex
dx
dy
dx
yd
dx
yd 2
2
2
3
3
3265
3) 13 2
2
2
xesenxydx
yd
4) 1284 2
2
2
xxydx
yd
5) 222
2
3
3
xdx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 1234 3
2
2
4
4
xxdx
yd
dx
yd
7) xey
dx
dy
dx
yd 3232
2
8) xey
dx
yd 2
2
2
44
9) xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344
10) xey
dx
dy
dx
yd22
2
2
11) senxydx
dy
dx
yd223
2
2
12) xdx
dy
dx
ydcos34
2
2
13) xsenydx
yd2316
4
4
14) xydx
yd2cos54
2
2
15) 52 2
2
2
xedx
dy
dx
yd
16) xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44
17) xeydx
dy
dx
yd x 2cos8822
2
18)
2244 2
2
2 xey
dx
dy
dx
yd x
19)
20)
21)
senxy
dx
yd 12
2
22) xyxyyx 3222
23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2
22
3
33 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx
x
ey
dx
dy
dx
yd x
22
2
xy
dx
yd
cos
12
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
RESPOSTAS
1)
4
x2xsen
8
x
16
e3x2senCx2cosCCy
2x2
321
2)
2
3
18
5
6
223
3
2
21
xxx xe
xx
eCeCCy
3) 132
3 2
21 x
xx esenxeCeCy
4) 44
2 22
2
2
1 xxeCeCy xx
5)
4
5
4
22
321
xxeCeCCy xx
6)
848
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx
7)
2
2
21
xxx e
eCeCy
8) xxx xeeCeCy 22
2
2
1
9) xxx exxeCeCy 222
2
2
12
3
10) )( 2
21 xxCCey x
11) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21
12) )4(cos17
34
21 senxxeCCy x
13)
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx
14)
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx
15)
22
5 22
21
xx xex
eCCy
16) xe
xxCCy 2
3
216
17) )22cos3(5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy exxx
18)
8
1)( 22
21
xexxCCy x
19) xxexeexCCy xxx ln)( 21
20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21
21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21
22) xxxCxCy ln32
21
23)
36
11)1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21
xx
C
x
C
x
Cy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
111
AULA 23
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos
diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma
mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas
interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de
um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa
equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da
ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial
enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos
aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as
diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples
e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO
Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte
riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo
da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola
diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do
alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante
de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo
nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)
implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola
somente 25 peacute
Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma
distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila
restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms
2 ou 980
cms2
equiliacutebrio
Posiccedilatildeo
inicial
g
K(s+x)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
112
Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a
massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da
mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo
que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F
com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da
posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos
9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido
Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk 2
A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo
amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1
representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se
x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade
inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0
x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento
Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2
=0 satildeo
nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como
tsenCtCtx 21 cos)( (3)
O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute
21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute
32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou
equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo
Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos
sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente
agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida
pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo
correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos
referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
113
iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular
resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento
Exemplo
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de
um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3
4 peacutess para cima
Determine a equaccedilatildeo do movimento livre
Soluccedilatildeo
Convertendo as unidades
6 polegadas = frac12 peacute
8 polegadas = 23 peacute
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = Wg = 232 = 116 slug
Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute
Logo (1) resulta em
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal
negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade
inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima
Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a
equaccedilatildeo do movimento seraacute
tsenttx 816
18cos
3
2)(
912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito
pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em
movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma
forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente
9121 ED do Movimento Livre Amortecido
No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo
consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor
durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt
Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton
que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
114
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia
do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento
Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd (5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute
m2 + 2 m + 2 = 0
e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto
22
1 m e22
2 m
Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22
Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica
despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo
CASO I Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio
CASO II Amortecimento Criacutetico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem
evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer
decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
115
CASO III Subamortecido
022
Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de
vibraccedilatildeo 0 quando t
Exemplos
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
Soluccedilatildeo
Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos
daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
X(t)= C1 e ndash 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento criacutetico)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a
equaccedilatildeo do movimento eacute
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o
comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de
um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido
ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade
instantacircnea
Soluccedilatildeo
O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue
da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a
equaccedilatildeo diferencial eacute dada por
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
116
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo
a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentetx t 3
3
23cos2)(
913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO
9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento
Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola
Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do
suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo
diferencial do movimento forccediladoou induzido
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m obtemos
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima
equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de
variaccedilotildees de paracircmetro
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx21
dt
xd
5
1
2
2
com2
1)0(x
e 0)0(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
117
Soluccedilatildeo
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou
quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou
metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado
por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2
) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos
esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em
que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como
o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre
Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a
determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido
Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute
termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica
com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos
severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio
Exemplo
1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt
xd 0
2
2
2
x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma
constante e
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Soluccedilatildeo
A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo
particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222 )(cos)(
Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
Logo
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
118
Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
com ωγ
914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo
auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0
dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute
Superamortecido 042 C
LR
Criticamente amortecido 042 C
LR
Subamortecido 042 C
LR
Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L
e portanto
q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave
medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t
Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo
tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples
Exemplos
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)
R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0
Soluccedilatildeo
Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica
0400040
01000104
1
qqq
qqq
Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
119
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas
forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo
transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma
soluccedilatildeo estacionaacuteria
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA
Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais
defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo
y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal
uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o
proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta
chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de
simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais
seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o
formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a
deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da
elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute
relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo
)(2
2
xwdx
Md (13)
Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica
EIkxM )( (14)
onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I
eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o
eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
120
Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por
23
2)(1
y
yk
Quando a deflexatildeo y(x) for
pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23
2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se
tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute
4
4
2
2
2
2
dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx
2 em (15) vemos que a deflexatildeo
y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades
da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de
outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute
mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como
vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para
uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade
engastada x = 0
y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e
yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a
inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)
Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo
yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e
yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero
A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)
Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno
Engastada 0y0y
Livre 0y0y
Simplesmente apoiada 0y0y
9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno
Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
121
Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y
implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de
contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y
Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos
daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que
0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0
Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -
gt0
Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21
Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2
Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima
condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de
nL ou2
22
L
n n = 1 2 3
Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para
cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em
outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9
4
2
2
2
2
2
2
LLL
a funccedilatildeo correspondente na
sequumlecircncia 3
2
xL
senxL
senxL
sen
eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original
9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina
No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema
de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial
compressiva
Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento
L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for
aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer
ponto ao longo da coluna obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
122
onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em
torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide
Exemplo
Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita
a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades
Soluccedilatildeo
O problema de contorno a ser resolvido eacute
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema
Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo
haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos
matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais
Escrevendo EIP vemos que
0)(
0)0(
0
Ly
y
yy
eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos
que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores
321 222 nLnEIPnn
Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a
forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas
cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22
1 LEIP chamada
de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo
As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura
abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a
menor carga criacutetica seraacute 22
2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a
restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a
carga critica 22
3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
123
9213 Corda Girando
A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem
0 yy (18)
ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e
0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e
um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o
modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como
um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando
A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar
sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo
Suponha que uma corda de comprimento L e
densidade linear constante (massa por unidade de
comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada
em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo
girada em torno do eixo x a uma velocidade angular
constante Considere uma parte da corda sobre o
intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a
magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for
constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada
pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees
diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na
figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute
12 TsenTsenF (19)
Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e
11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os
vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
124
)(2 xxytg e )(1 xytg
Assim sendo (19) vai se tornar
)()( xyxxyTF (20)
Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a
segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo
centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra
Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem
aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y
Igualando-se (21) e (20) temos
2)()()( yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)()(
Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x
xyxxy
)()(em (22) eacute
aproximado pela derivada segunda de d2ydx
2 Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo
y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
125
AULA 23 - EXERCICIOS
Movimento Livre natildeo amortecido
1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do
movimento harmocircnico simples
2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4
polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso
de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um
ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de
peacutes Determine a
equaccedilatildeo do movimento livre
4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6
polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32
9
4
6
8
12
b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do
movimento do peso nesse instante
c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio
Movimento Livre Amortecido
5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute
entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente
igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento
considerando que
a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms
para cima
6) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma
dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a
velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal
forma que o movimento subsequumlente seja
a) superamortecido
b) criticamente amortecido
c) subamortecido
Movimento Forccedilado
8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2
peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que
oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute
a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos
3t
9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32
Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a
f(t)=68e-2t
cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de
amortecimento
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
126
10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute
colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de
1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento
subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N
11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado
em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e
aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do
ar determine o movimento subsequente do peso
12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em
equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema
Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8
vezes a velocidade instantacircnea
Circuito em Seacuterie Anaacutelogo
13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2
C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o
capacitor eacute igual a zero
14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no
capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A
15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C
= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo
periacuteodo
16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e
uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor
mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada
inicialmente determine a carga subsequente no capacitor
17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de
farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a
expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga
iniciadas no capacitor satildeo zero
Respostas
1) 8
π2
2) t64cos4
1)t(x
3)
4) a)4
1
12
πx
2
1
8
πx
4
1
6
πx
2
1
4
πx
4
2
32
π9x
b)4 peacutess para baixo
c)16
π)1n2(t
n= 0 1 2
5) a)t8t2 e
3
1e
3
4)t(x
b)t8t2 e
3
5e
3
2)t(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
127
6)
7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52
8) t3sent3cos3
10t
2
47sen
473
64t
2
47cos
3
4e)t(x 2
t
9) tsenetetsenttx tt 424cos2
14
4
94cos
2
1)( 22
10) )sin13cos99099(500
1 27 tteex xx
11) ttttx 4cos4
14sin
16
14cos50
12) (
)
13) 41078C 00509s
14) q(t)=10+10e-3t
(cos3t+sen3t)
i(t) = 60e-3t
sen3t 10432 C
15) C2
3
2
3)t10sent10(cose
2
1)t(q t10
16)
17) radic radic
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
128
AULA 24
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL
Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as
mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees
Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas
de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico
desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem
O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas
primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem
A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem
p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de
funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral
Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema
normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo
as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por
razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de
segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees
a um sistema normal
Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees
algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em
funccedilatildeo do operador derivado D
Exemplos
1)
senxxzdx
dy
senxxdx
dzy
cos
cos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
129
2)
xzydx
dz
dx
yd
xdx
dz
dx
yd
22
3
2
2
2
2
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
130
AULA 24 - EXERCIacuteCIOS
1)
02
02
zdx
dz
dx
dy
zydx
dz
dx
dy
2)
x
x
ezydx
dz
dx
dy
ezydx
dz
dx
dy
2
5
32
4
3)
2
2
2
2
2
2
2
xzdx
zd
dx
dy
eydx
dz
dx
yd x
4)
03
42
zydx
dy
ezydx
dz
dx
dy x
5)
xzDyD
senxzDyD
cos)1()1(2
2)2(2)3(
Respostas
1)
x
x
eCeCy
eCeCz
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
ou
x
x
eCeCz
eCeCy
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
2)
xxx
xxx
eeeCy
eeeCz
252
5
1
252
5
1
25
2
5
3
3)
xexCsenxCeCeCy
xesenxCxCeCeCz
xxx
xxx
22
3cos2222
2
3
2
1
2
1cos
43
2
2
2
1
2
43
2
2
2
1
4)
x
x
esenxCCxCCz
esenxCxCy
2)3(cos)3(
2cos
2121
21
5)
senxxeCeCz
xsenxeCeCy
x
x
x
x
130
61cos
130
33
3
4
)cos8(65
1
5
23
1
5
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
131
AULA 25
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA
Dado o sistema
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
este pode ser escrito na seguinte forma
n
n
F
dy
F
dy
F
dydx
1 2
2
1
1
Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por
variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema
)(
)(
2
1
zyxFdx
dz
zyxFdx
dy
(1)
que pode ser escrito da seguinte maneira
321 F
dz
F
dydx
ou generalizando
)()()( zyxR
dz
zyxP
dy
zyxM
dx (2)
Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de
dois paracircmetros
Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute
Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-
se
nRmPlM
ndzmdyldx
R
dz
P
dy
M
dx
Escolhe-se l m e n tais que
lM + mP + nR = 0
o que faz com que
ldx + mdy + ndz = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
132
Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees
do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a
soluccedilatildeo do sistema
Exemplos
1)x
dz
x
dy
y
dx
2)zx
dz
yx
dy
zy
dx
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
133
3))()()( 222222 xyz
dz
zxy
dy
yzx
dx
OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio
adotado chega-se aquelas convenientes
AULA 25 - EXERCICIOS
1) cybx
dz
axcz
dy
bzay
dx
2) )()2()2( 444444 yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
3) yx2
dz
x3z
dy
z2y3
dx
4) z
dz
x
dy
y
dx
5) yx
dz
x
dydx
221
Respostas
1) x2 + y
2 + z
2 = C1
cx + by + az = C2
2) x4 + y
4 +z
4 = C1
xyz2 = C2
3) x2 + y
2 + z
2= C1
x + 2y + 3z = C2
4) x2 ndash y
2 = C1
zC2 = y + x
5) y = x2 + C1
z = 3
2x
3 + xy ndash x
3 + C2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
134
AULA 26
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA
ORDEM
Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
nnnm22n11nn
2nm22221212
1nm12121111
que pode ser escrito como
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
x
x
x
dt
d
nm2n1n
m22221
m11211
n
2
1
ou ainda
)t(FX)t(Adt
dX
que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas
homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tλeξX
temos
tλeξλX
substituindo no sistema obteacutem-se
0eξ)λA(
eξAeξλ
tλ
tλtλ
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
135
como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Exemplo 1
Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo
t10y3x4dt
dy
t2ey5x2dt
dx t
pode ser escrito como
t10
t2eX
34
52
dt
dX t
ou
t10
2e
0
1X
34
52X t
onde
y
xX
1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO
Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna
)t(x
)t(x
)t(x
X
n
2
1
cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema
)t(FX)t(Adt
dX
no intervalo
Exemplo 2
Verifique que
t2
t2t2
1e
ee
1
1X e
t6
t6t6
2e5
e3e
5
3X satildeo soluccedilotildees de
X35
31X
no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
136
Temos
t2
t21
e2
e2X
e
1t2
t2
t2t2
t2t2
t2
t2
1 Xe2
e2
e3e5
e3e
e
e
35
31AX
Agora
t5
t612
e30
e18X
e
12t6
t6
t6t6
t6t6
t6
t6
2 Xe30
e18
e15e15
e15e3
e5
e3
35
31AX
Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira
ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n
1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS
Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e
)t(x
)t(x
)t(x
)t(X
0n
02
01
0
e
n
2
1
0
γ
γ
γ
X
onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema
00 X)X(tasujeito
)t(FX)t(Adt
dXResolver
eacute um problema de valor inicial no intervalo
10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo
Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em
um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema
de valor inicialno intervalo
1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS
Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem
mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo
comum I
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
137
10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX
em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear
kk2211 XcXcXcX
onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo
Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer
vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem
eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Exemplo 3
Uma soluccedilatildeo do sistema X
102
011
101
X
eacute
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X1
Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois
tcoscsentc
tcosc2
1sentc
2
1
sentc
dt
dX
11
11
1
e
tcoscsentc
sentc2
1tcosc
2
1
sentc
sentctcosc
sentc2
1tcosc
2
1
tcosc
102
011
101
AX
11
11
1
11
11
1
As matrizes resultantes mostram que XAX
Exemplo 4
Consideremos o sistema X
102
011
101
X
Se
0
e
0
X t2 entatildeo
0
e
0
X t2 e
2tt
2 X
0
e
0
0
e
0
102
011
101
AX
Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da
superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
138
0
e
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcX t212211
eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema
1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no
intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que
0XcXcXc kk2211
para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo
dizemos que eacute linearmente independente
O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo
constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute
linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo
linear dos vetores restantes
10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes
Sejam
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo
necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o
wronskiano
0
xxx
xxx
xxx
)XXX(W
nn2n1n
n22221
n11211
n21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
139
Exemplo 5
No exemplo 2 vimos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees do sistema
X35
31X
Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez
que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos
0e8e5e
e3e)XX(W t4
t6t2
t6t2
21
para todo t real
Exemplo 6
Pelo exemplo 5 sabemos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees
linearmente independentes de X35
31X
em )( Logo X1 e X2constituem um
conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
entatildeo
t6
2t2
12211c e5
3ce
1
1cXcXcX
1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO
Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes
do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto
fundamental de soluccedilotildees no intervalo
10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos
Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como
nn2211 XcXcXcX
onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
140
Exemplo 7
Os vetores
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
Xe
0
1
0
X
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X 3t
21 satildeo
do sistema X
102
011
101
X
no exemplo 3 Agora
0etcossentsenttcos
senttcose
tcossent0senttcos
tcos2
1sent
2
1esent
2
1tcos
2
1sent0tcos
)XXX(W ttt321
para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de
soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
ce
0
1
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcXcX 3t
21332211
1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute
qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o
sistema )t(FX)t(Adt
dX
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo
homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc
10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos
Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX em um
intervalo I e denotemos por
nn2211c XcXcXcX
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
141
a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX correspondente
Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como
pc XXX
A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX eacute chamada funccedilatildeo
complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX
Exemplo 8
Verifique que o vetor
6t5
4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-
homogecircneo
3
11t12X
35
31X no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Temos
5
3X
p e
3
11t12
6t5
4t3
35
31
3
11t12X
35
31p
pX
5
3
3
11t12
2
14t12
3
11t12
)6t5(3)4t3(5
)6t5(3)4t3(
Exemplo 9
Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
3
11t12X
35
31X em )( eacute
6t5
4t3X p
No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a
soluccedilatildeo geral de X35
31X
eacute
t62
t21c e
5
3ce
1
1cX
Logo pela definiccedilatildeo dada
65
43
5
3
1
1 62
21
t
tececXXX tt
pc eacute
soluccedilatildeo geral de
3
11t12X
35
31X em )(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
142
Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo
)t(FX)t(Adt
dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas
c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral
1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL
Seja
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um
intervalo I
A matriz
nn2n1n
n22221
n11211
xxx
xxx
xxx
)t(
eacute chamada de matriz fundamental do
sistema no intervalo
Exemplo 10
Jaacute mostramos que os vetores
t
t
t
e
eeX
2
2
2
11
1 e
t
t
t
e
eeX
6
6
6
25
3
5
3constituem
um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX
35
31 em )(
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)(
eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo
Exemplo 12
A soluccedilatildeo geral tt
c ececXcXcX 62
212211
5
3
1
1
dada no exemplo 6
pode ser escrita como
2
1
t6t2
t6t2
c
c
e5e
e3eX
Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que
C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((
Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possiacutevel de constantes C devemos ter
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
143
)t()t(A)t(
0)t()t(A)t(
10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular
A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que
0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo
Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do
sistema homogecircneo XtAdt
dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de
t no intervalo
Exemplo 13
Para a matriz fundamental dada
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)( no exemplo 10 notamos que
tet 48)(det Decorre entatildeo de
1121
1222
1112
21221
det
1
det
1
aa
aa
aa
aa
AA
T
que
tt
tt
tt
tt
t
ee
ee
ee
ee
et
66
22
22
66
4
1
8
1
8
18
3
8
535
8
1)(
10372 Matriz Especial
Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz
em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees
1
0
0
0
1
0
0
0
1
00201
tVtVtV n
Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do
sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que
t apresenta a propriedade
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
144
1000
0100
0010
0001
00
t
onde eacute a identidade multiplicativa n x n
Exemplo 14
Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX
35
31
Soluccedilatildeo
Por tt ececXcXcX 6
22
122115
3
1
1
sabemos que a soluccedilatildeo geral do
sistema acima eacute dada por tt ececX 6
22
15
3
1
1
Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que
0
1
5
3
1
121 cc ou
05
13
21
21
cc
cc
Obtemos 8
51 c e
81
2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear
tt eeV 621
5
3
8
1
1
1
8
5
Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais
1
0
5
3
1
121 cc ou
15
03
21
21
cc
cc
Neste caso obtemos 8
31 c e
81
2 c Definimos entatildeo
tt eeV 622
5
3
8
1
1
1
8
3
Dai
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
145
tttt
tttt
eeee
eeeet
6262
6262
8
5
8
3
8
5
8
58
3
8
3
8
3
8
5
)(
Observe que
10
01)0(
Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das
soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma
soluccedilatildeo do sistema
10373 t eacute uma Matriz Fundamental
Por
1000
0100
0010
0001
00
t
vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente
Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo
considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da
Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t
Por 0
1 ttt
AULA 26 - Exerciacutecios
Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado
1)
y8x4dt
dy
y5x3dt
dx
2)
z3y4x10dt
dz
yx6dt
dy
z9y4x3dt
dx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
146
3)
2ttzyxdt
dz
t3zyx2dt
dy
1tzyxdt
dx
2
2
Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes
4) te
1
1X
31
24X
5) t
1
1
3
e
2
2
1
z
y
x
652
143
211
z
y
x
dt
d t
Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado
6)
y7x4dt
dy
y4x3dt
dx
t5e
2
1X
7) 2t3
e2
1XX
114
11
X
8)
13
6
1
121
016
121
XXdt
dX
Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX
Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(
9) t6
2t2
1 e1
1Xe
1
1X
10)
4
4
2
t
12
6
3
X
4
2
1
X
2
2
1
t
4
2
1
X 321
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
147
Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema
dado
11)
18423
724
tyxdt
dy
tyxdt
dx
1
5
1
2tX
p
12) tt
p
t teeXeXX
1
1
1
1
7
1
43
12
13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX
011
101
060
` no intervalo )( eacute
t33
t22
t1 e
1
1
2
ce
1
1
3
ce
5
1
6
cX
Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental
de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule
t1
14) t7
2t2
1 e3
1Xe
2
1XX
56
14X
15) tt
2t
1 e1
0te
3
1Xe
3
1XX
29
14X
16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
14
17) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
15
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
148
Respostas
1) 84
53 XX
onde
y
xX
2)
3410
016
943
XX
onde
z
y
x
X
3)
2
0
1
03
0
111
112
111
2
2
t
t
t
tXX onde
z
y
x
X
4)
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
3
24
5)
tezyxdt
dz
tezyxdt
dy
tezyxdt
dx
t
t
t
2652
243
32
6) Eacute soluccedilatildeo
7) Eacute soluccedilatildeo
8) Eacute soluccedilatildeo
9) Sim
10) Natildeo
11) Eacute soluccedilatildeo
12) Eacute soluccedilatildeo
13) Demonstraccedilatildeo pessoal
14)
tt
tt
t
tt
tt
ee
ee
et
ee
eet
22
77
9
1
72
72
2
3
5
1)(
32
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
149
15)
tt
ttt
t
ttt
tt
ee
teete
et
eee
teet
3
31
33
2
1
16)
tttt
tttt
eeee
eeeet
7272
7272
5
3
5
2
5
6
5
65
1
5
1
5
2
5
3
17)
ttt
tt
etete
tetet
39
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
150
AULA 27
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS
Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tekX
temos
tekX
substituindo no sistema obteacutem-se
0)(
t
tt
ekA
ekAek
como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Existem trecircs casos a serem tratados
1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do
sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do
sistema no intervalo )( eacute dada por
t
nn
t
b
t
anekcekcekcX
21
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
151
Exemplo Resolva o Sistema
yxy
yxx
2
32
Soluccedilatildeo
Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes
012
32
0)det(
IA
41
043
0622
0)1)(2(
21
2
2
e
Para 11 temos
0
0
22
33
0
0
)1(12
3)1(2
0)(
b
a
b
a
K
K
K
K
KIA
1
1
1
022
033
1K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Para 42 temos
0
0
2
32
0
0
412
342
b
a
b
a
K
K
K
K
2
3
2
2
3
032
032
2K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t
ii eKx temos
tt eXeX 4
212
3
1
1
Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute
tt
tt
tt
eCeCy
eCeCx
eCeCy
x
XCXCX
4
21
4
21
4
21
2211
2
3
2
3
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
152
1042 AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1
o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo
t
ekX 1
11
e t
ekX 1
12
Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde
tetktkX sinImcosRe111
atetktkX sinRecosIm112
Exemplo
Resolva o sistema
yxdt
dy
yxdt
dx
45
6
Soluccedilatildeo
045
16
0)det(
IA
2
525
2
410
2
11610010
02910
054624
05)4)(6(
2
2
i
i
Para i25 temos
ab
ba
b
a
b
a
KiK
KKi
K
K
i
i
K
K
i
i
KIA
)21(
0)21(
0
0
)21(5
121
0
0
)25(45
1)25(6
0)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
153
iKi
K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a
2
0
1
1
21
1
1
11
tt
tt
tt
tt
t
t
etsentCetsentCy
etsenCetCx
etsent
tsenCe
tsent
tCX
etsentCetsentCX
XCXCX
etsentX
etsentX
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
2221
5
2
5
1
)22cos2()222(cos
)2()2cos(
22cos2
2
222cos
2cos
21
12cos
2
02
2
02cos
1
1
21
12cos
2
0
22
02cos
1
1
1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS
Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se
verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer
deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira
t
ekX 1
11
tt
ektekX 21
212
onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees
para o sistema
t
m
tm
tm
mmeke
m
tke
m
tkX
21
)2()1(
2
2
1
1
onde k2 k3 hellip km devem ser determinados
Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt
PeKteX 11
2
()
Onde
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
154
nk
k
k
K2
1
e
np
p
p
P
2
1
Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se
0)()( 11
11 tt
eKPAPteKAK
Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter
KPIA
KIA
)(
0)(
1
1
Exemplos
1) Resolva o sistema
zyxz
zyxy
zyxx
22
22
22
0
122
212
221
51
Re
0593
0593
012121733
0)1(1216133
0)1(4)1(4)1(488)1(
321
23
23
23
23
3
e
temosRufiniBriottporsolvendo
Para 11 temos
21
0|222
0|222
0|222 1
L
31
21
)2(
2
0|222
0|222
0|111
LL
LL
0|000
0|000
0|111
cba
cba
KKK
KKK
0 fazendo bK = 1 e 0cK temos
0
1
1
1K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
155
Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor
1
1
0
2K
Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees
LI correspondentes ao mesmo autovalor
teX
0
1
1
1 e teX
1
1
0
2
Para 53 temos
31
21
21
)2
1(
0|422
0|242
0|224
LL
LL
32
12
)1(3
2
0|330
0|330
0|224
LL
LL
)1(
)4(
0|000
0|330
0|404
2
1
L
L
0
0
cb
ca
KK
KK
cb
ca
KK
KK
fazendo cK = 1 temos
1
1
1
3K
ttt eCeCeCX 5
321
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2) Resolva o sistema
yxy
yxx
92
183
092
183
3
Re
096
0369327
036)9)(3(
21
2
2
temosequaccedilatildeoasolvendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
156
Para 321 temos
ba
ba
ba
b
aKK
KK
KK
K
K3
062
0186
0
0
62
186
fazendo 1bK temos
1
31K
Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3
1 1
3
2
1
1
3
p
pPK
IPSLL
L
L
p
p
KPIA
KPIA
0002
131
2131
2131
2
6
162
3186
1
3
62
186
3
21
2
1
2
1
1
21
21
32
1
2
13
pp
pp
fazendo
02
10
2
121 Ppp
ttt
tt
eetCeCX
eetX
33
2
3
1
33
2
02
1
1
3
1
3
02
1
1
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
157
AULA 27 ndash Exerciacutecios
1) Resolva
z3ydt
dz
zy5xdt
dy
zyx4dt
dx
2) Resolver X21
82acuteX
3) Resolver X1
2
121
acuteX
4) Resolva o sistema
yxy
yxx
3
4
5)
yxdt
dy
yxdt
dx
34
2
6)
yxdt
dy
yxdt
dx
22
5
24
7)
yxdt
dy
yxdt
dx
25
6
8)
yxdt
dy
yxdt
dx
32
5
9)
yxdt
dy
yxdt
dx
39
3
10)
yxdt
dy
yxdt
dx
53
3
Respostas
1) t53
t42
t31 e
1
8
1
ce
1
1
10
ce
1
0
1
cX
2)
t2sen
t2sen2t2cos2c
t2cos
t2sen2t2cos2cX 21
3) t
2t
1 etcos
sent2ce
sent
tcos2cX
4)
ttt etececX
1
1
1
2
1
221
5) tt ececX
1
1
2
12
5
1
6) tt ececX
5
2
1
22
3
1
7) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin2
sin
sincos2
cos
8) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin
sin
sincos
cos
9)
414
1
3
1
3
121 tccX
10)
ttt etececX 22
2
2
10
31
1
1
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
158
AULA 28
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS
O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um
sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt
dX Da mesma forma resolve-se o sistema
homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo
determinados os coeficientes desconhecidos
Exemplos
1) Resolva o sistema
41034
66
tyxy
tyxx
Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
XAX
34
16
Encontrar os autovalores
034
16
0)det(
IA
72
0149
043618
0)3)(6(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 71 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
44
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
4
1
04
0
0
14
14
fazendo 4bK temos
4
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
tt
tt
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
2
7
1
2211
2211
4
1
1
1
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
159
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
t
ttf
p
p
410
6)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
cdbtca
adbtca
t
t
t
t
dctbat
dctbat
c
a
t
t
dct
bat
b
a
34)34(
6)6(
104
6
410
6
3344
66
410
6
34
16
7
107
242
7
4
62814
234
6318
6434
26
434
06
6
1262
662814
1034
18318
1034
66
d
db
bdb
db
db
db
db
cdb
adb
c
ca
aca
ca
ca
ca
ca
Logo
7
106
7
42
t
tX p
Soluccedilatildeo Geral
7
106
7
42
4
1
2
12
2
7
1
2221
t
teCeCX
XXCXCX
tt
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
160
2) Resolva o sistema
5
3
yxy
yxx
XX
11
11
Encontrar os autovalores
011
11
0)det(
IA
20
0)2(
0121
01)1(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 01 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
t
tt
tt
eCCX
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
21
2
2
0
1
2211
2211
1
1
1
1
1
1
1
1
21
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
tf
p
p
5
3)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
161
5
3
)(
)(
5
3
11
11
dbtca
dbtca
c
a
dct
bat
b
a
ca
ca
0 fazendo 11 ca
4
1
3
db
adb
adb
4
51
5
db
db
cdb
Fazendo 04 db
t
tX p
4
Logo
t
teCCX t 4
1
1
1
1 221
Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica
1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a
funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais
poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que
pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo
A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma
CtX )(
onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes
Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que
)()( tUtX p
seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema
)()( tFXtAdt
dX
entatildeo
)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
162
sabemos que )()( tAt logo
)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt
)()()( tFtUt
)()()()()( 11 tFttUtt
)()()( 1 tFttU
dttFttU )()()( 1
entatildeo
dttFttX p )()()( 1
eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
Exemplo
Resolva o sistema
teyxy
tyxx
42
33
Vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
42
13
Encontrar os autovalores
043
13
0)det(
IA
25
0107
024312
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 51 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
2
1
02
0
0
12
12
fazendo 2bK temos
2
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
22
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
2
1
25
25
2
2
5
1
2211
2211
21
1
2
1
21
C
C
ee
eeeCeCX
eKCeKCX
XCXCX
lfundamentamatriz
tt
tt
tt
tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
163
Precisamos encontrar )(1 t
tt
tt
ee
ee25
25
2
212
10
01 LL
t
tt
e
ee2
25
30
12
312
01
LL
t
t
e
e2
5
30
0
2
2
1
5
2
112
31
31
Le
Le
t
t
10
01
tt
tt
ee
ee
22
55
3
1
3
23
1
3
1
Logo
tt
tt
ee
ee
22
55
1
3
1
3
23
1
3
1
tt
tt
tt
tt
ete
ete
e
t
ee
eetft
2
45
2
55
1
6
3
3
13
23
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
eete
eetedt
ete
etedttft
22
455
2
45
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
6
3
3
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
p
eete
eete
ee
eedttfttX
22
455
25
25
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
2)()()(
t
t
p
t
t
p
tt
tt
p
et
etX
et
etX
eetet
etetX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
2
3
50
63
5
24
3
50
81
5
18
3
1
2
3
2
1
25
6
5
62
33
4
1
25
3
5
3
3
1
Soluccedilatildeo
t
t
tt
et
eteCeCX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
1
1
2
12
2
5
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
164
AULA 28 ndash Exerciacutecios
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros
1)
122
433
yxdt
dy
yxdt
dx
2)
2
2
4
3
53
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes
indeterminados
3)
52
732
yxdt
dy
yxdt
dx
4)
53
23 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
Respostas
1)
10
15
11
11
2
3
1
121 teccX t
2) 2223
22
1
49
215
413
213
3
10
1
2 tttt
eteececX
3)
3
1
1
3
1
121
tt ececX
4)
43
2
414
1
43
41
1
1
1
1 242
21 ttececX tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
165
AULA 29
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA
1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy
xCey 2
2
02
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia
44
0
33
2210 xCxCxCxCCxCy
n
nn
1
1
34
2321
432
n
nnxnCy
xCxCxCCy
Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy
021
1
n
nn
n
nn xnCxnC
Trocando
1
1
01
1
Nn
Nn
n
n
II
NN
NN
I
n
nn xCNxnC
011
)1(
1
1 )1( Temos que verificar se I = II
0
2321)1(
2321
1
1
32)1(
32
N
NN
n
nn
xCxCCxCNII
xCxCCxnCI
Satildeo iguais
Voltando
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
166
0)1(
2
02)1(
02)1(
02)1(
1
1
0
1
01
1
nn
CC
CCn
xCCn
xCxCn
nn
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
Para
234
)2(
234
)2(2
4
23
23
)2(
23
)2(2
3
22
2
)2(
2
)2(2
2
21
21
20
04
03
34
03
02
23
02
012
00
1
CCCCn
CCCCn
CCCCn
CC
Cn
Foacutermula da recorrecircncia
1
)2( 0
nn
CC
n
n
Entatildeo
0
44
33
2210
n
nn xCxCxCxCCxCy C
0
0
1
0
443322
0
30
320
20
0
)2(
)2(1
4
2
3
2
2
2
1
21
3
)2(
2
)2(
1
2
n
nn
n
nn
n
xC
n
xC
xxxxC
xCxCxCC
Como
3
)2(
2
)2(21
321
322
32
xxxe
xxxe
x
x
Logo
xeCy 2
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
167
2) Resolver a equaccedilatildeo 02
2
ydx
yd
i
1
01
2
2
senxCxCy 21 cos
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia
2
2
1
1
0
)1(
n
nn
n
nn
n
nn
xCnny
xnCy
xCy
2
2
2
Nn
Nn
n
24
132
0
)2(
22
)2(
2
2
34232
)1)(2()1)(2()1(
xCxCC
xCNNxCNNxCnnyN
NN
N
NN
n
nn
Que fica igual a
24
132
2
2 34232)1( xCxCCxCnnyn
nn
Logo substituindo
2
2)1(n
nnxCnny na equaccedilatildeo temos
0)1)(2(02
)2(
n
nn
n
nn xCxCnn
0)1)(2(2
)2(
n
n
nn xCCnn
0)1)(2( )2( nn CCnn
0)1)(2(
)2(
n
nn
CC n
n
para 12
0 02
CCn
para 23
1 13
CCn
para 412
)(
34
1
342 002
4
CCCCn
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
168
para 523
)(
45
1
453 113
5
CCCCn
para 6456
1
564 004
6
CCCCn
para 7567
1
675 115
7
CCCCn
765432
17
06
15
04
13
02
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Foacutermula da Recorrecircncia
1)12(
)1(1
)2(
)1( 1)12(
02
k
k
CCk
k
CC
k
k
k
k
Voltando
0n
nnxCy
5
53
314
42
20 xCxCxCxCxCCy
senxCxCy
k
xC
k
xCy
xxxxC
xxxCy
n
kk
n
kk
n
10
0
12
1
0
2
0
753
1
642
0
0
cos
)12(
)1(
)2(
)1(
7536421
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
169
REFEREcircNCIAS
ABUNAHMANSERGIO A Equaccedilotildees Diferenciais LTC 1994
BOYCE WE DIPRIMA RC Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores
de contorno LTC 1989
BRONSON R COSTA G Equaccedilotildees Diferenciais 3a ed Coleccedilatildeo Schaum 2008
KREYSZIG Erwin Advanced Engineering MathematicsLTC 1999
ZILL DG Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em ModelagemThomson Learning 2003
ZILL DG GULLEN MREquaccedilotildees Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
8
AULA 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
11 INTRODUCcedilAtildeO
Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy
de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra
apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua
derivada eacute 23
3
xedx
dy x Se fizermos3xey teremos
23 xydx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo
representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de
um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo
O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde
dada uma derivada encontrar uma antiderivada
Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm
significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo
a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por
exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades
puramente matemaacuteticas
a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os
pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma
funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza
a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que
envolve uma grandeza
o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura
consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)
se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se
dx
dy
em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a
derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse
quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo
)(xfdx
dy
eacute possiacutevel escrever
dxxfdy )(
que se denomina equaccedilatildeo diferencial
uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo
da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
9
12 Definiccedilatildeo
Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou
diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial
1) 13 xdx
dy
2) 0 ydxxdy
3) 0232
2
ydx
dy
dx
yd
4) xyyy cos)(2 2
5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x
6) yxdt
dy
dt
dx35
7) yxy
z
x
z
2
2
2
2
2
8) y
zxz
x
z
13 CLASSIFICACcedilAtildeO
131 TIPO
Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis
dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo
ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter
mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)
Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de
duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo
diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso
132 ORDEM
A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As
equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira
ordem
133 GRAU
O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como
um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos
exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
10
1
3
33
3
dx
yd
y
dx
ydx
3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx
3
a ordem e 2
o grau
yxdx
dy 2lnln y
x
dx
dy
2
ln yedx
dy
x
12
yexdx
dy 2 1a ordem e 1
o grau
Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato
quanto a ordem e grau
134 LINEARIDADE
Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees
1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou
seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um
2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel
independente x
Exemplos
a) 08)( xdydxxy
b) 072
2
ydx
dy
dx
yd
c) xydx
dyx
dx
yd245
3
3
Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e
terceira ordem
14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como
Cxxy 4 ou BxAxy 2
eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre
aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um
nuacutemero menos de constantes
Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma
equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se
as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes
de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
11
Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo
a) Cxx
y 2
3 2
b) xCsenxCy cos21
c) 2Cxy
d) 22
1 CxCy
e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes
f) xx eCeCy 2
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
12
AULA 2 - EXERCIacuteCIOS
Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva
1) 222 Cyx
2) xCey
3) )( 223 yxCx
4) xCxCy 2sin2cos 21
5) 321 )( CexCCy x
6) xx eCeCy 2
21
7) ayy
x1ln
8) Cyxyx 5332
9) CBxAxy 2
10) CBeAey xx 2
11) xxx eCeCeCy 3
22
31
12) BAxy 2ln
13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros
estejam sobre o eixo y
Respostas
1) 0 ydyxdx
2) 0 ydx
dy
3) dx
dyxyxy 23 22
4) 042
2
ydx
yd
5) 022
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 022
2
ydx
dy
dx
yd
7) 0ln ydx
dy
y
xx
8) 05332 2
dx
dyxyxy
dx
dyxy
9) 03
3
dx
yd
10) 0232
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
11) 061162
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd
12) 2 ( ) 0xyy yy x y
13) 2
22
100 x
x
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
13
AULA 3
2 RESOLUCcedilAtildeO
Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a
equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa
identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira
que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem
de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e
consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo
21 CURVAS INTEGRAIS
Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo
particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da
equaccedilatildeo diferencial
xdx
dy2
Que resulta em Cxy 2
22 SOLUCcedilAtildeO
Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As
soluccedilotildees podem ser
Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de
uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades
de ordem da equaccedilatildeo
Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees
iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante
inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os
valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos
Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave
envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A
soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais
natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante
As soluccedilotildees ainda podem ser
Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute
chamada soluccedilatildeo expliacutecita
Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G
trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
14
Exemplo
Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx
dy1
cxxy
dxxdy
23
3
2
1
A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita
Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como soluccedilatildeo x
y
Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita
Exemplo
Verifique que 16
xy
4
eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21
xydx
dy no intervalo )(
Resoluccedilatildeo
Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo
diferencial como 0xydx
dy 21
e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21
xydx
dy eacute
zero paratodo x no intervalo
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na ED temos
044
044
0164
332321
43
xxxx
xxx
x
Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx
23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx
dy sujeita a condiccedilatildeo inicial
00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de
problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo
diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)
determinado a priori
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
15
Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se
especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos
x0 e3ye3cec3
Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos
1xx111 e3yee3yee3cec3
Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx
dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo
ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica
As funccedilotildees y = 0 e 16
xy
4
satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial
0)0(y
xydx
dy 21
Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma
deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema
24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO
Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o
ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy
df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I
centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)yx(fdx
dy sujeito a 00 y)x(y
Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO
1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo
2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial
Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo
que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas
caracteriacutesticas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
16
Teorema Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxpdx
dy
Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de
valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo
Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao
caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o
caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais
possuam soluccedilotildees
25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS
As equaccedilotildees diferenciais da forma
yfdx
dy (2)
satildeo chamadas de autocircnomas
Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a
equaccedilatildeo (2) na forma
)(
1
yfdx
dy (3)
Cuja resoluccedilatildeo eacute
y
y
dyyf
yxyx0
)(
1)()(
0 (4)
Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(
1
yf seja bem definida no intervalo de
interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(
1
yfdy
dx em
A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute
)(xFy tal que )(yfdx
dF em A o que justifica o procedimento formal
Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial
00)(
)(
yxy
yfdx
dy
(5)
eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema
00)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
17
As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos
Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute
proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma
kydx
dy (7)
Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees
separadamente nos dois intervalos 0 y e y0
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(00
yxy
kydx
dy
(8)
E seu problema inverso
00)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por
y
yxyxy
y
kxyy
kxdy
kyxCdy
kyyx
0000
0000
)(
ln1
lnln111
)(
ou seja
)(
00
0
0)(lnxxk
eyyxxky
y para x R
Considere a equaccedilatildeo autocircnoma
akydx
dy
sua soluccedilatildeo geral para k
ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
18
Cakyk
x
dxdyaky
dxdyaky
ln1
1
1
Portanto
k
ayea
kyeaky CxkCxk
1 )()(
Neste caso k
ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio
3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1
o grau
)( yxFdx
dy ou 0 NdyMdx
em que M = M(xy) e N = N(xy)
Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)
31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS
A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se
M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes
M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel
Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a
equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis
311 RESOLUCcedilAtildeO
Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos
separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma
CdyyQdxxP )()(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
19
1) 13 xdx
dy
2) 0 xdyydx
3) 04
dyy
xxdx
4) 0secsec xdytgyydxtgx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
20
5) 01)1( 222 dyxdxyx
6) xyx
y
dx
dy
)1(
12
2
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
21
8) Resolva o problema de valor inicial
AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a
equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo
)(
Resolver as seguintes equaccedilotildees
diferenciais
2) 01
dx
dytgy
x
3) 0)1(4 22 dyxdxxy
4) 0)3()2( dyxdxy
5) 0)1( 2 dyxxydx
6) 42
2
x
e
dx
dy y
7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx
8) dx
dyxyy
dx
dyxa
2
9) 0tansectansec 22 xdyyydxx
10) (x2 + a
2)(y
2 + b
2)dx + (x
2 ndash a
2)(y
2 ndash b
2)dy = 0
11) 0)1( ydxdyx
12) 0)1( 2 xydxdyx
13) 0cos xydx
dy
14) xydx
dycos3
15) 0)2(324
dyeydxxyx
Respostas
1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo
nuacutemero real
2) x cos y = C
3) Cy
1)1xln(2 2
4) (2 + y)(3 ndash x) = C
5) C y2 = 1 + x
2
6) C2
xarctge y2
7) Cy
1
x
1
2
1
y
xln
22
8) y
y
k
a a
ex
ln
2
9) tg x tg y = C
10) Cb
yarctgb2y
ax
axlnax
11) y = c(x ndash 1)
12) Cx1y 2
13) senxe
Ky
14) senxCey 3
15) Cy
6
y
9)1x3(e
3
x3
1)0(42 yydx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
22
AULA 4
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA
Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a
relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale
a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)
Exemplos
1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y
2 eacute homogecircnea de grau 2
pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222
2) 4y
x)yx(g
2
2
eacute homogecircnea de grau zero pois
)yx(ft4y
xt4
y
x4
yt
xt4
)ty(
)tx()tytx(g 0
2
20
2
2
22
22
2
2
3) f(xy) = 2x3 + 5xy
2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois
)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323
Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever
x
y1fx)yx(f n e
1
y
xfy)yx(f n
satildeo ambas homogecircneas de grau n
Exemplo
Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo
x
y1fx
x
y
x
y31x
x
y
x
y31x)yx(f 2
22
2
22
1
y
xfy1
y
x3
y
xy1
x
y3
y
xy)yx(f 2
22
2
22
322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS
A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se
M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau
Exemplos
1) xy
yx
dx
dy 22
2) 2
2
y
xy
3)
x
yarctgy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
23
3221 Resoluccedilatildeo
Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0
Tem-se
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia
igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx
x
yF
dx
dy (1)
Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as
variaacuteveis
Dessa forma substitui-se x
y por u
xuy (2)
Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se
dx
duxu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) temos
x
dx
uuF
du
uuFdx
dux
uFdx
duxu
)(
)(
)(
Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Em resumo
Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo
de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita
Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo
separaacutevel
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
24
Exemplo
02)( 22 xydydxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
25
AULA 04 ndash EXERCIacuteCIOS
Resolva as seguintes equaccedilotildees
1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0
2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y
2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0
5) (x2 + y
2) dx ndash xy dy = 0
6) 044
2
2
2
2
dx
dyyxy
dx
dyy
7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y
2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y
8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial
3
1)1(y
Respostas
1) y2 + 2xy ndash x
2 = K
2) Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy
2 + x
3 = k
4)
Cx
yarctgyx
ou
x
yarctgyxC
22
221
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7) xxy8
31
8) 1xy9x2 23
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
26
AULA 5
33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES
REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS
Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees
homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis
Satildeo equaccedilotildees da forma
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes
Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das
variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto
deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de
eixos
Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar
331 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute DIFERENTE DE ZERO
Resoluccedilatildeo
Seja o sistema (1)
0
0
222
111
cybxa
cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy
A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute
dvdyvy
dudxux
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
27
Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para
o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma
vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero
Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
Como e satildeo as raiacutezes do sistema
vbua
vbuaF
du
dv
22
11
que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo23
132
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
28
332 O DETERMINANTE 22
11
ba
ba Eacute IGUAL A ZERO
Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas
no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A
equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis
Como 22
11
ba
ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode
escrever
2221 baba 1
2
1
2
b
b
a
a
(1)
Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a
12
12
mbb
maa
Assim
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se
)(1
1
1
xatb
y
Derivando em relaccedilatildeo a x
1
1
1a
dx
dt
bdx
dy
Equaccedilatildeo transformada
2
11
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
)(11 tGbadx
dt
que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
29
Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136
12
yx
yx
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
30
AULA 5 - EXERCIacuteCIOS
1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(
2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(
3) 0dy)8y5x(dx)xy3(
4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(
5) yx1
y3x31
dx
dy
6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(
7) 2y4x3
1y3x
dx
dy
Respostas
1) 2x2 ndash 6xy + y
2 + 2y = K
2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)
3) k212x
)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C
5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K
6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C
7) x2 - 4y
2 - 6xy - 2x + 4y = K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
31
AULA 6
34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se
existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e
suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que
x
N
y
M
Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja
diferencial dada por
dyy
udx
x
udu
(2)
Entatildeo comparando (1) e (2) teremos
)( yxMx
u
(3)
e
)( yxNy
u
(4)
Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo
(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos
)()()( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos
)()(
ygy
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta
)()()(
yxNygy
dxyxM
Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos
1
)()()( Cdy
y
dxyxMyxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute
Cdyy
dxyxMyxNdxyxMyxf
)(
)()()(
Logo a soluccedilatildeo eacute da forma
Cdy
y
PNMdxyxU )(
onde costuma-se denotar MdxP
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
32
Exemplos
1) 02)( 22 xydydxyx
2) 0)23()12( dyyxdxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
33
AULA 06 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (x3 + y
2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xe
y ndash 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh xcosy dx = coshxseny dy
5) 0)( 22 drrdre
Respostas
1) Ksenyxyx
24
4
2) Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5) Kre 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
34
AULA 7
341 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x
N
y
M
Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda
a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata
Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx
u
e NF
dy
u
Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx
FMy
Fx
NN
x
FF
y
MM
y
F
e achar F por aqui eacute loucura
Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)
x
NFN
x
F
y
MF
dividindo tudo por FN 0 e organizando temos
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo dxx
N
y
M
NdF
F
11
integrando CdxxRF )(ln
dxxRexF
)()(
onde
x
N
y
M
NxR
1)(
analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos
dyyReyF
)()(
onde
x
N
y
M
MxR
1)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
35
Em resumo
Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x
N
y
M
mostra-se que haacute
uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata
A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante
F(x) F(y)
x
N
y
M
NxR
1)(
x
N
y
M
MyR
1)(
dxxR
exF)(
)(
dyyR
eyF)(
)(
Exemplos
Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator
integrante
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
36
2) (x2 ndash y
2) dx + 2xy dy = 0
AULA 07 ndash EXERCIacuteCIOS
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
3) seny dx + cos y dy = 0
4) Encontre a soluccedilatildeo particular
de dx)yx(xydy2 22 para
2)1(y
5) 0xdy2dx)xy( 2
6) 0xdylnxdx)yx(
7) 2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
Respostas
1) x2 cos y + x
4 = C
2) Ctgyex 2
3) Ceseny x
4) xxy 32
5) k5
x2xy2
25
6) kxlnyx
7) Kyxx 22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
37
AULA 8
35 EQUACcedilOtildeES LINEARES
Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1
o grau tem a forma
)()( xQyxPdx
dy
(1)
Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute
dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
desse tipo a saber
351 FATOR INTEGRANTE
Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial
exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de
nosso problema
QPydx
dy
Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdx
e (fator integrante) obtemos a expressatildeo
0 dyedxQPyePdxPdx
Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo
QPyeMPdx
e
Pdx
eN
Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos
Pdx
Pey
Me
Pdx
Pex
N
confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
38
Exemplo1
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por fator integrante
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
39
352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE
Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)
criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O
meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z
a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt
Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se
dx
dZt
dx
dtZ
dx
dy (2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter
QPZtdx
dZt
dx
dtZ
Qdx
dZtPt
dx
dtZ
(3)
Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber
i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)
ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx
dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de
variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy
dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln
Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC
eeey Fazendo
Cek temos Pdx
key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta
Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a
soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo
possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo
Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx
dt (6) que eacute da
mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx
ket Substituindo este resultado em Qdx
dZt
obtemos Qdx
dZke
Pdx
Daiacute Qekdx
dZ Pdx1
e Qdxek
dZPdx
1 Integrando este uacuteltimo
1
(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e
dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
40
resultado temos CQdxek
ZPdx
1
(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e
ldquoZrdquo
CQdxek
keyPdxPdx 1
onde resulta finalmente em
CdxQeeyPdxPdx
(8)
que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)
Exempo 2
Resolver a equaccedilatildeo 2 xx
y
dx
dy por Lagrange
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
41
AULA 8 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 0cot
x
x
x
y
dx
dy
2) xydx
dyx arctan)1( 2
3) xyxdx
dycostan
4) xx
y
dx
dy
5) 32
xx
y
dx
dy
6) xxydx
dysintan
7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x
xydx
dy
cos
1tan
8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx
dy
Respostas
1) Cxx
y )ln(sin1
2) xeCxy arctan1arctan
3) xCxxy sec2sin4
1
2
11
4) 2xCxy
5) 2
4
6
1
x
Cxy
6)
C
xxy
2
sinsec
2
7) x
xy
cos
8) 2xe
2
7
2
1y
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
42
AULA 9
36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A
LINEARES
Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que
mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de
tais equaccedilotildees satildeo
361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
Equaccedilatildeo da forma
nyxQyxP
dx
dy)()(
(1)
para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2
Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma
EDO linear
Pois se
n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea
Soluccedilatildeo
Transformaccedilatildeo de variaacutevel
Substitui por ty n 1
Deriva-se em relaccedilatildeo a x
dx
dt
dx
dyyn n )1(
(2)
Substituindo (1) que eacute
nQyPy
dx
dy PyQy
dx
dy n
em (2) temos
dx
dtPyQyyn nn )1(
dx
dtPyQn n 11
2
Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o
primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
43
Como ty n 1 temos
dx
dtPtQn ))(1(
QntPndx
dt)1(])1[(
Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior
Exemplo
232
xyx
y
dx
dy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
44
AULA 09 ndash EXERCIacuteCIOS
1) 33 yxxy
dx
dy
2) xyydx
dyx ln2
3) 33 yxy
dx
dyx
4) yxyxdx
dy
4
5) 02 2 xydx
dyxy
6) 3xyxy2
dx
dy
7) 2xyy
x
1
dx
dy
Respostas
1) 2
1
1
2 xeCxy
2) Cxex
y
)ln(
1
3) 12 2223 yxCyx
4)
2
4 ln2
1
Cxxy
5) x
Cxy ln2
6) Ke
ey
x
x
2
2
2
22 2
7) Cxx
1y
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
45
AULA 10
362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI
A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma
)()()( 2 xRyxQyxPdx
dy
(1)
onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e
quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela
soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5
Resoluccedilatildeo
Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a
equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel
zyy 0 (2)
onde 0y e z dependem de x
Como 0y eacute soluccedilatildeo temos
RQyPydx
dy 0
2
0
0
(3)
Por outro lado derivando (2) tem-se
dx
dz
dx
dy
dx
dy 0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)
RzyQzyPdx
dz
dx
dy )()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos
RQyPyzQPyPzdx
dz
dx
dy 0
2
00
20 )2( (5)
3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes
de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais
4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5
Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes
ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
46
Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em
2
0)2( PzzQPy
dx
dz (6)
que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida
Em resumo
Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de
(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)
transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli
Exemplo
Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx
dyx
e
procurar a soluccedilatildeo geral
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
47
AULA 10 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32
2
x
y
x
y
dx
dy Em caso afirmativo
calcular a soluccedilatildeo geral
2) Mostrar que x
y1
eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2
2 2
xy
dx
dy e calcular a sua soluccedilatildeo
geral
3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx
dy calcular a
sua soluccedilatildeo geral
4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11
121 2
xy
xy
xdx
dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo
particular
5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx
dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo
particular
Respostas
1) 1
34
5
Kx
xKxy
2) kx
x
xy
3
231
3) Cxe
Cxey
x
x
)1(
)2(
4) 2
322
xk
xxkxy
5) 1
2
x
x
Ce
Cey
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
48
AULA 11
4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
411 DEFINICcedilOtildeES
Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo
diferencial
Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo
particular da equaccedilatildeo
Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro
0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a
famiacutelia de curvas integrais
Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia
como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias
concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
49
412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA
Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como
envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir
uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver
nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute
definida pelo sistema
0)(
0)(
yxf
yxf
(1)
cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a
equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y
Exemplo
Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual
a 5
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
50
413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES
Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa
0
dx
dyyxF
Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo
geral
particular
singular (eventualmente)
A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas
integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada
A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
original
De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da
envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0
0
dx
dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e
0
0
dx
dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva
integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular
Exemplo
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2
22
x
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
51
AULA 11 ndash EXERCIacuteCIOS
1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas
a)
1
4 2 xy
b) 0)2(2 222 yyx
2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12
2
2
y
dx
dyy
3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo
2
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
1) a ) xy 273
b) 042 yx
2) 1y
3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)
4
2xy (soluccedilatildeo singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
52
AULA 12
414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT
A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma
dx
dy
dx
dyxy
Resoluccedilatildeo
Chamando pdx
dy
a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dppp
dx
dpx
dx
dy)(1
0)( pxdx
dp (2)
0dx
dp Cp
A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C
Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)
De (2) tem-se
0)( px (3)
xp )(
Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo
singular
Exemplos
6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
53
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut
0
2
y
dx
dyx
dx
dy
AULA 12 ndash EXERCIacuteCIOS
Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo
singular das seguintes equaccedilotildees de
Clairaut
a dx
dy
dx
dyxy ln
b
2
3
dx
dy
dx
dyxy
c 01
23
dx
dyy
dx
dyx
d 045
y
dx
dyx
dx
dy
e 2
4
dx
dy
dx
dyxy
Respostas
a ClnCxy (geral)
xln1y (singular)
b 2C3Cxy (geral)
y12x2 (singular)
c 2C
1Cx (geral)
23 x27y4 (singular)
d 04)xCy5(C (geral)
x16)5y( 2 (singular)
e 2C4Cxy (geral)
2
222
x1
)x1(4y
(singular)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
54
AULA 13
415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE
A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma
dx
dy
dx
dyFxy
(1)
Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se
dx
dy
dx
dyF
Resoluccedilatildeo
A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica
Chamando pdx
dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(
Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
dx
dpp
dx
dppxFpFp )()()(
Multiplicando por dp
dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se
)(
)(
)(
)(
pFp
px
pFp
pF
dp
dx
De onde se pode escrever
QPxdp
dx
Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo
geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica
)(
)(
pyy
pxx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
55
Exemplo
Resolver a equaccedilatildeo
2
1
dx
dyx
dx
dyy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
56
416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM
Resolver as seguintes equaccedilotildees
a)
2
24
dx
dyxy
b)dx
dy
dx
dyx lnsin
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
57
AULA 13 - EXERCIacuteCIOS
1) dx
dy
dy
dxxy
2)
dx
dydx
dyxy
12
3)
2
dx
dyx
dx
dyx2y
4)
2
dx
dy1
dx
dyy
5) dxdy
edx
dyy
2
6) dx
dy
dx
dyy ln2
2
7)
dx
dy2
dx
dyy
e
22
x
Respostas
1)
pCppp
y
Cppp
px
1ln1
1
)1ln(1
2
2
2
2
2)
2
ln
ln2
p
Cpx
p
Kpy
3)
Cp
Cy
p
Cx
2
2
4)
cppx
ppy
arcsinln
1 2
5)
p2
pp
epy
cpeex
6)
cp
2p2x
pln2py 2
7)
cy
pyp
p
pyx
arctanln
2ln
22
22
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
58
AULA 14
5 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) 0)2(3 dyyxydx
2) 02
dyyexdx x
3) 0)1( 2 dxydyx
4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy
5) )yxcos(dx
dy
6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx
7) dxyxydxxdy 22
8) 0)( 22 xydydxyxyx
9) 0)2( dyxxyydx
10) 0)52()42( dxyxdyyx
11)342
12
yx
yx
dx
dy
12) 0)139()23( dyyxdxyx
13)
01
2)cos()cos(
dy
yxxyxdx
x
yxyy
14) 0324
22
3
dy
y
xydx
y
x
15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx
16)yxy
xyx
dx
dy2
2
17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy
18)
0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx
19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x
determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0
20) dxexydxxdy x2
21) 02 xdyydxdyy
22) 0)ln( 3 dyxydxx
y
23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em
0 xeydx
dyx
24) 0)32(2 dyxydxy
25)22
2y
x
y
dx
dy
26) dxyyxdy )1( 2
27)22)1( xyxy
dx
dyx
28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da
equaccedilatildeo xx eyye
dx
dy 22)21( calcular sua
soluccedilatildeo geral
Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes
equaccedilotildees
29)
2
dy
dx
dx
dyxy
30)
2
1
dx
dy
dx
dyxy
31)dx
dy
dx
dyxy
32)dx
dy
dx
dyxy sin
Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange
33)
dx
dyx
dx
dyy 2
2
1
34)
2
2
dx
dy
dx
dyxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
59
Respostas
1) )ln(126 2 Cyxy
2) 22 2
Cey x
3) 1)1(ln xCy
4) Cyx secsecln
5) Cxyxyx )cot()sec(cos
6) Cyyxx 323 32
7) 222 yxCxy
8) CX
yxy )ln(
9) Cyy
x ln
10) )3()1( 3 yxCyx
11) Cxyyx 48)584ln(
12) )126ln(62 yxCyx
13) Cyxyxy ln2)sin(
14) Cyy
x
13
2
15) Cyyxx 4223 3
16) Cyyx 222 )1(
17) Cxyyx cos
18) Cx)-y(2secysecx
19) 1cos2 xeyx
20)xxeCxy
21) Cyxy 2
22) Cyyx 3ln2
23)x
eabey
ax
24)y
Cyx12
25) 0122 xyyCx
26)2
22
xC
xy
27)
11
12
xC
y
28)1
2
x
xxx
Ce
eCeCey
29)
23
2
4
27
1
xy
CCxy
30)
2
2
2
1
)1(
1
x
xy
CCxy
31) CCxy
Natildeo haacute soluccedilatildeo singular
32)21arccos
sin
xxxy
CCxy
33)
221
21
2(6
1
)(3
1
pCpy
pCpx
34)
p
pCy
pp
Cx
3
2
3
2
3
3
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
60
AULA 15
6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS
MATEMAacuteTICOS
61 MODELO MATEMAacuteTICO
Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da
vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A
descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda
levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os
mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees
animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma
substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a
principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa
estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
A seguir
ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema
que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer
leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo
de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a
forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo
em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute
predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a
resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de
uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais
equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo
diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema
de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-
lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com
dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as
prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou
levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de
modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
61
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo
matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t
Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da
variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e
futuro
62 DINAcircMICA POPULACIONAL
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio
de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por
traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais
cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em
outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em
termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser
expressa por
kxdt
dx 00
)( xtx ktexx
0
(1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos
envolvendo crescimento ou decaimento
Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de
(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0
O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt
dS a qual
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente
Exemplo
Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias
passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes
determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
62
Resoluccedilatildeo
x(to) = x0
x(t1) = 2
3xo
kdtx
dx
kxdt
dx
Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos
kdtx
dx
lnx = kt + c
lnx ndash ln c = kt
lnc
x= kt
ekt =
c
x
x = cekt
Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma
0x
cex
0
00
Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c
kt0exx
Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2
3x0
40550k
k2
3ln
e2
3
exx2
3
k
1k00
voltando novamente a equaccedilatildeo temos
t40550
0
kt0
exx
exx
para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
63
70922t
0986121t40550
t405503ln
e3
exx3
t40550
t4055000
seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente
63 MEIA VIDA
Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-
vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou
se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais
estaacutevel ela eacute
Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos
metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio
mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse
tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206
AKdt
dA (2)
A(0) = A0 2
)( 0AtA kteAA 0
Exemplo
Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que
0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a
taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente
Resoluccedilatildeo
000
0
A999570A000430A15t
A0t
Resolvendo a equaccedilatildeo
kAdt
dA
kdtA
dA
ln A = kt + c
ktc
Aln
kte
c
A
A = cekt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
64
Sabendo que 0A)0(A temos
0
00
k00
Ac
ceA
ceA
0t
Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo
A(t) = A0ekt
A(15) = A0e15k
A(t) = 2
0A
099957 A0 = A0e15k teAtA
51088672
0 )(
Ln099957 = ln e15t 000028670
0
0 2
eAA
-000043 = 15 k te 000028670
2
1
K = - 2866710- 5
-06931 = - 000002867t
t = 24180
t 24180 anos
Voltando a equaccedilatildeo temos que
t10866720
0
5eA)t(A
2
A)t(A
Para descobrir a meia vida basta fazer
3717924t
t1086672693150
t108667250ln
e50
eA2
A
5
5
t1086672
t10866720
0
5
5
Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
65
64 DECAIMENTO RADIOTAIVO
O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas
combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia
Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente
radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o
fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma
substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de
substacircncias remanescente no instante t
AKdt
dA (2)
Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos
siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)
kgt0 para o decaimento como em (2) klt0
O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a
determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja
eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)
aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja
taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo
transformada ou remanescente no instante t
A questatildeo eacute que
Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios
fenocircmenos diferentes
65 CRONOLOGIRA DO CARBONO
Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade
de foacutesseis usando o carbono radioativo
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute
produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio
A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma
constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os
organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera
Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo
cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a
razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil
O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de
5600 anos
O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de
Turim
7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um
quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
66
Exemplo
Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a
idade do foacutessil
Resoluccedilatildeo
A(t) = A0ekt
5600
0
0 2
keAA
ke5600ln2
1ln
5600k = - 06931
K = - 0000123776
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
A(t) = A0e- 0000123776t
teAA 0001237760
00 100
1
te 0001237760ln
100
1ln
- 0000123776 t = - 69077
t = 55808
A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos
66 RESFRIAMENTO
De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a
qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo
varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o
rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no
instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do
corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica
)TT(Kdt
dTm (3)
mkt TceT
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se
Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
67
Exemplo
Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua
temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a
temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF
Resoluccedilatildeo
T(0) = 3000F )( mTTk
dt
dT
T(3) = 2000F )70( Tk
dt
dT
T() = 750
kdt
T
dT
)70(
Tm = 700 cktT )70ln(
ktc
T
70(ln
c
Tekt 70
A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por
70 ktecT
Sabendo que 300)0(T temos que
T(0) = 3000
300 = Cek0
+ 70
C = 2300
Logo
T = 230ekt + 70
Temos ainda que 200)3(T com isso
200 = 230e3k
+ 70
230 e3k
= 130
230
1303 ke
230
130lnln 3 ke
1901816190k
5705448580k3
A equaccedilatildeo fica da seguinte forma
70e230)t(T t190180
]
Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus
7023075 190180 te
230
7075190180 te
- 019018t = ln230
5
t = 2013
com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
68
67 MISTURAS
A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura
contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade
de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees
por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo
no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a
taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida
se RR
dt
dA
sal de
saiacuteda de Taxa
sal de
entrada de Taxa (4)
A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute
minlb6)galkb2(min)gal3(R
salde
entrada de taxa
entrada de fluxo no
salde atildeoConcentraccedil
salmourade
entrada de Taxa
e
Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma
taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees
Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de
saiacuteda de sal Rs eacute
min100
300
min)3(
sal de
saida de taxa
saiacuteda de fluxo no
sal de atildeoConcentraccedil
salmoura de
saiacuteda de Taxa
lbA
gallbA
galRs
A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo
100
6A
dt
dA (5)
Exemplo
Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos
colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais
quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
69
Resoluccedilatildeo
100
100100
100100
600
600
6
6100
1
1006
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
Adt
dA
A
dt
dA
Para 50)0(A temos
550
60050 0
C
eC
Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma
100550600t
eA
A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela
Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que
esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser
(300 gal)(2lbgal) = 600 lb
Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro
era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a
qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for
bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma
taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A
taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo
gallb
t
AgalRs
300min)2(
Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se
t300
A26
dt
dA
ou 6A
t300
2
dt
dA
t(min) A(lb)
50 26641
100 39767
150 47727
200 52557
300 57262
400 58993
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
70
Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute
27 )300)(10954(2600)( tttA
68 DRENANDO UM TANQUE
Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um
buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um
corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde
g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica
2
2
1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja
drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade
Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no
tanque no instante t
Considere o tanque ao lado
Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de
saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda
de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)
Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t
ghAdt
dVh 2 (6)
onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque
for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA
(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt
dhA
dt
dVw
Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a
altura de aacutegua no instante t
ghA
A
dt
dh
w
h 2 (7)
Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse
caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
71
Exemplo
Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0
comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa
do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t
Resoluccedilatildeo
Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema
Logo tem-se que
A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute
(1)
Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos
20c de modo que (1) pode ser escrita como
Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua
pura no tanque
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
72
69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA
Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade
por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)
o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a
qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois
grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e
a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo
kxydt
dx (8)
ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma
populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se
argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para
eliminar y em (8) obtemos o modelo
)1( xnkxdt
dx (9)
Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1
Exemplo
Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma
doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de
variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o
nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para
que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila
Resoluccedilatildeo
Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de
ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria
Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais
proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute
Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos
Substituindo entatildeo temos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
73
(
)
Integrando
int
(
) int
int
int int
(
)
(
)
Se em t=0 N=5 temos que
Entatildeo
Para que N = 250 no tempo t temos que
Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
74
610 CORPOS EM QUEDA
Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que
a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou
continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila
externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a
forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute
proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo
Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme
ilustrado na figura abaixo
Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no
instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para
cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age
sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton
mgdt
sdm
2
2
ou gdt
sd
2
2
(10)
Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente
o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da
Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg
onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O
sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra
eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva
Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute
v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor
inicial de segunda ordem
gdt
sd
2
2
0)0( ss 0)0( vs (11)
Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode
ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais
determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica
elementar como a foacutermula 00
2
2
1)( stvgtts
Exemplo
Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial
zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine
a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t
b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t
c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
75
Resoluccedilatildeo
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o
sentido para baixo
Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt
dvg
Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim
cgtv
gdtdv
gdtdv
a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos
cgt
tx
tdtgdx
gtdtdx
gtdt
dx
2)(
2
Sendo x(0) = 0 segue que 2
)(2gt
tx
c) Para x(t) = 100 temos 2
1002gt
Se adotarmos g = 10m s2 teremos
st
t
5420
2
10100
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
76
6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os
objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior
do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena
quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve
ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A
forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um
corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra
uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias
tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute
dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva
e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo
oposta ou para cima
Veja a figura abaixo
Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a
atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se
dt
dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma
da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no
instante t
kvmgdt
dvm (12)
Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em
queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt
dsv e
2
2
dt
sd
dt
dva Em termos des (12) eacute
uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
dt
dskmg
dt
sdm
2
2
ou mgdt
dsk
dt
sdm
2
2
(13)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
77
Exemplo
Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se
o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine
a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo
b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e
c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima
Resoluccedilatildeo
(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt
dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de
movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o
corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv
responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo
negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando
dt
dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento
gvm
k
dt
dv (1)
(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k
mgcev
tm
k
Em t=0
v=v0 logo k
mgcev m
k
0
0 ou
k
mgvc
0 A velocidade do corpo no instante t eacute
k
mgce
k
mgvv
tm
k
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
78
(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0
Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
611 CORRENTE DESLIZANTE
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino
de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o
pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da
corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a
corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e
que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo
de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no
pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento
conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
79
Peso da corrente
W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L
Massa da corrente
m = Wg = L 32
Forccedila resultante
xpxL
xL
F 222
Uma vez que Famdt
xda
2
2
torna-se
x
dt
xdL
2
32 2
2
ou (14)
064
2
2
xLdt
xd
Exemplo
Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um
cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros
abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber
em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como
6219 LP e
Resoluccedilatildeo
(
) (
)
Sendo frasl
Como
Sendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
80
Como e soacute eacute possiacutevel
612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE
Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor
resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga
em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como
indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo
com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave
soma das quedas de voltagem na malha
A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em
um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga
q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem
voltagemdequeda
henrys(h)Lindutacircncia
Indutor
2
2
dt
qdL
dt
diL
dt
diL
dt
dqRiR
iR
R
voltagemde queda
)(ohms aresistecircnci
Resistor
q
c
fC
1 voltagemde queda
)( farads iacapacitacircnc
Capacitor
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda
ordem
)(1
2
2
tEqcdt
dqR
dt
qdL
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
81
Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo
Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)
)(tERidt
diL
ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente
i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema
A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a
carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de
Kirchhoff nos daacute
)(1
tEqC
Ri
mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima
transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear
)(1
tEqCdt
dqR
Exemplo
Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e
a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0
Resoluccedilatildeo
L= indutacircncia = frac12 ERidt
diL Para i(0) = 0
R = resistecircncia = 10 12102
1 i
dt
di ce0
5
60
i = corrente 2420 idt
di
5
6c
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
82
Logo
tdtPdt 2020 tei 20
5
6
5
6
cdxeei tt 242020
ceei tt 2020
20
24
cei t 20
5
6
AULA 15 - EXERCIacuteCIOS
1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito
onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha
fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute
ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente
2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2
henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t
3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01
henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto
t Use E = 30 V
4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4
farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a
corrente i(t)
5) Uma forccedila eletromotriz de 200 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute
de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6
farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04
Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t
6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero
de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela
triplicaraacute
7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual
era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos
8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo
Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em
30 anos
9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente
Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas
observam-se 3000 fileiras Determine
a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no
instante t
b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
83
10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de
habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute
de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes
11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos
continuamente Determine
a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos
b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha
havido retiradas ou depoacutesitos adicionais
12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um
depoacutesito feito na conta duplique em seis anos
13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente
Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7
anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos
trecircs anos
14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem
inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua
massa original determine
a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t
b) A Massa do material apoacutes quatro horas
c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)
15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade
presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute
presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer
16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a
massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia
presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia
17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas
18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se
desintegrado Qual a idade da madeira
19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora
onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50
ordmF Qual seraacute a
temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar
15ordmF
20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave
diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e
o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60
oC dentro de quanto tempo sua
temperatura desceraacute para 30oC
21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente
para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o
ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
84
temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma
pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da
secretaacuteria a liberta alegando o que
22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que
governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo
para imigrar a uma taxa constante r
23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de
mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da
populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t
mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t
24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus
universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o
nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for
espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os
estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus
25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual
foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de
3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a
mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no
instante t
26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse
tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na
mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora
27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um
buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua
vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de
aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de
aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para
ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica
Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua
no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao
lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2
28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o
paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o
paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da
velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a
velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a
resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade
instantacircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
85
29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e
abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do
paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1
Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se
abre o paraquedas
30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente
com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura
aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98
0C
31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma
salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o
nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t
32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por
galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute
bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no
instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min
33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram
dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para
fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos
RESPOSTAS
1) tetI 355)(
2) tei 2510
3) tcei 500
5
3 e 5
3)(lim
ti
t
4) tceq 50
100
1 onde 100
1C e
tei 50
2
1
5) tceq 200
1000
1
tcei 200200
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
86
500
1C
coulombsq 00030)0050(
ampi 14720)0050(
1000
1q
6) 792 anos
7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604
8) N(30) = 760
9)
10)
11)
12) 1155
13) R$ 927143
14)
15) t = 11 horas
16) t = 13672 horas
17) 885 gramas
18) 15600 anos
19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min
20) t = 60 min
21) justificativa pessoal
22) rkpdt
dP rkp
dt
dP
23) 2
21PkPk
dt
dP
24) )1000( xkxdt
dx
25) 100
A
dt
dA
26) Aproximadamente 181
27) hc
dt
dh
450
28) 2kvmg
dt
dvm
29) 70ms
30) Aproximadamente 821 s
Aproximadamente 1457 s
31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50
32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100
00975 lbgal
33) 6438lb
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
87
AULA 16
7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E
ORDEM SUPERIOR
As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma
ByAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes
Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo
Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo
yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)
onde
p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema
r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)
y(x) resposta do sistema
Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea
r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea
A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)
isto eacute ctexhxy
xy )(
)(
)(
1
2
Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base
fundamental)
Exemplo
y + y = 0
Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)
y2(x) = cos(x)
ctexx
x
xy
xy )tan(
)cos(
)sin(
)(
)(
1
2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da
EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)
Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica
)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn
Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente
Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e
y2(x) satildeo linearmente independentes
cte)x(h)x(y
)x(y
1
2
)()()(12
xyxhxy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
88
Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1
AULA 16 - EXERCIacuteCIOS
1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo
a) 0y9xy5yx2 com 3
1 x)x(y
b) 0y3yx4 2 com 21
1 x)x(y
c) 0y4
1xxyyx 22
com xcosx)x(y 2
1
1
Respostas
a xlnx)x(y 32
b 2
x)x(y
23
2 c senxx)x(y 21
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
89
AULA 17
71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Satildeo aquelas da forma 0yAdx
ydA
dx
ydA
dx
ydA n2n
2n
21n
1n
1n
n
0
onde A0 A1 A2An
satildeo constantes
Resoluccedilatildeo
Para n= 1 rarr 0yAdx
dyA 10
yAdx
dyA 10
dxA
A
y
dy
0
1
CxA
Ayln
0
1
CxA
A
0
1
ey
C
xA
A
eey 0
1
Chamando 0
1
A
A = λ e KeC temos key xλ
Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo
0bydx
dya
dx
yd
2
2
Onde a e b satildeo constantes
Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta
xλey
xλeλy
xλ2eλy
Substituindo na EDO temos
0e)bλaλ(
0beeλaeλ
xλ2
xλxλxλ2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
90
Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de
equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada
Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar
711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS
xλ
11ey
xλ
22ey
Assim a soluccedilatildeo geral fica
xλ2
xλ1
2211
21 eCeCy
yCyCy
E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica
xλ
nxλ
3xλ
2xλ
1n321 eCeCeCeCy
712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS
Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e
xey 2
Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as
raiacutezes sendo iguais temos 11
2
x
x
e
e
y
y
constante
Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente
Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que
)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos
xλ2xλxλ2
xλxλ2
xλ2
12
heλehλ2ehy
heλehy
ehy
)x(y)x(h)x(y
Substituindo na equaccedilatildeo dada
0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ
Reordenando
0)()2( 2 hbahahe x
Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P
Entatildeo
KCxh
Ch
h
0
Logo
xeKCxy
yhy
)(
2
12
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
91
Soluccedilatildeo geral
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
221
21
2211
)(
)(
fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2
temos
x
xx
exCCy
xeCeCy
)( 21
21
A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior
xλ1nn
2321 e)xCxCxCC(y
713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS
Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo
para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo
bix2
bix1
ax
bixax2
bixax1
x)bia(2
x)bia(1
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
Das foacutermulas de Euler temos
θisenθcose
θisenθcose
θi
θi
Com isso
senbxCCibxcosCCey
isenbxbxcosCisenbxbxcosCey
2121ax
21ax
Fazendo
C1 + C2 = C1
i(C1 ndash C2) = C2
temos
senbxCbxcosCey 21ax
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
92
Exemplos
1) 036132
2
4
4
ydx
yd
dx
yd
2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3
3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
93
AULA 17 - EXERCIacuteCIOS
1) 065 yyy
2) 01243 yyyy
3) 022 yyy com 1)0( y e 02
y
4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y
5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y
6) 09 2 yy
7) 069 yyy com 4)0( y e 3
13)0( y
8) 02 2 ykkyy
9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y
10) 0344 yyy com ey )2( 2
)2(e
y
11) 0127 yyy
12) 054 yyy
13) 075 yyy
14) 02 yyy
Respostas
1) xx eCeCy 3
22
1
2) xxx eCeCeCy 2
33
22
1
3) xey x cos
4) xx eey 55 22
5) xx eey 273
6) xπ3
2xπ3
1 eCeCy
7) 3
xe)x34(y
8) kx
21 e)xCC(y
9) 2
x4
xe50e30y
10) x50ey
11) x4
2x3
1 eCeCy
12) senxCxcosCeCy 32
x21
13)
2
3xsenC
2
3xcosCeCy 32
2
x5
1
14)
xexCCy )( 21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
94
AULA 18
72 EULER - CAUCHY
A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma
ByAdx
dybaxA
dx
ydbaxA
dx
ydbaxA
n
n
n
n
012
2
2
2)()()(
onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos
teabax
que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis
No caso da equaccedilatildeo ter a forma
02 byaxyyx
Faremos
y = xm
yrsquo = mxm-1
yrdquo = m(m-1)xm-2
Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que
(m2 + (a ndash 1) m + b)x
m = 0
como y(x) = xm
tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma
equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes
Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes
21
21)(mm
xCxCxy
Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais
)xln(xCxC)x(y m2
m1
mxxCCxy ))ln(()(
21
Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia
)]lnsin()lncos([)(21
xbCxbCxxy a
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
95
Exemplos
012)12(2)12(2
2
2 ydx
dyx
dx
ydx
0222 yxyyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
96
AULA 18 - EXERCIacuteCIOS
1) 0202 yyx
2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx
3) 04324610 2 yxyyx
4) 02 yxyyx
5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6
6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3
Respostas
1) 5
24
1 xCxC
2) 3
32
21
)x1(
C
)x1(
C
1x
Cy
3) 81
21 x)xlnCC(y
4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21
5) 25
x)xln2(
6) xlnx3 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
97
AULA 19
73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS
10
00
)(
)(
)()()(
Kxy
Kxy
xryxqyxpy
IVP
y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea
yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)
yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea
A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma
)()()( xyxyxy ph
Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e
x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I
Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos
i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes
ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange
iii Meacutetodo do operador derivada D
731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)
Padratildeo para soluccedilatildeo particular
Termo em r(x) Proposta para yp(x)
xαke xCe
)10n(kxn
011n
1nn
n CxCxCxC
xαKsen
xαcosK xαsenCxαcosC 21
xβsenke
xβcoske
xα
xα
)xβsenCxβcosC(e 21xα
obs
1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2
o
coluna
2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para
considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
98
Exemplo
0)0(
1)0(
2 2
y
y
xeyyy x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
99
AULA19 - EXERCIacuteCIOS
1) xsenyy 34
2) 325102 2 xyyy
3) xseneyyy x 53712352 5
4) 1265 2 xyyy
5) xyy 314
6) 1232 2 xxyy
7) xeyyy 3127
8) xeyyy 28107
9) xeyyy 2844
10) xeyy 434
11) xsenyyy 2334
12) x4sen8dx
yd4
dx
yd
2
2
4
4
13) xsenyy 2124
14) senxyy 4
15) senxydx
yd
dx
yd42
2
2
4
4
16) 432 61251 xxxyyy para
4)0( y e 8)0( y
17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e
0)0( y
Respostas
1) x3sen5
1x2Bsenx2cosA
2) xx2
5)x3senCx3cosC(e 2
21x
3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52
x71
4) 27
5
9
x5
3
xeCeCy
2x3
2x2
1
5) 4
xx
8
3eCeCCy 2x2
3x2
21
6) 8
x3
12
x
8
xeCxCCy
234x2
321
7) xx4
2x3
1 e20
3eCeCy
8) x2x5
2x2
1 xe3
8eCeCy
9) x22x2
2x2
1 ex4xeCeCy
10) x4
21 e20
3x2senCx2cosCy
11) )x2cos8x2sen(65
3eCeCy x3
2x
1
12) 40
x4seneCeCxCC x2
4x2
321
13) x2cos4
3eCeCCy x2
3x2
21
14) xcosx2senxCxcosCy 21
15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2
xy 4321
2
16) 424 xey x
17) xxx xexeey 222
4
1
2
1
16
1
16
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
100
AULA 20
732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)
Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos
yn + Pn-1(x)y
n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)
A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a
soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO
homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando
paracircmetros variaacuteveis
Onde
dxxW
xrxWu
)(
)()(11 dx
xW
xrxWu
)(
)()(22 dx
xW
xrxWu n
n)(
)()(
Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)
)()(
11
2
1
1
2
1
21
21 xW
yyy
yyy
yyy
yyyW
n
n
nn
n
n
n
Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para
calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente
11
2
2
2
1
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
11
1
1
1
2
1
0
0
n
n
n
n
n
yy
yy
yy
W
1
0
0
1
2
1
1
2
1
21
nn
n
yy
yy
yy
W
Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y
n natildeo se
esqueccedila de dividir r(x) por f(x)
Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =
u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
onde
dx)x(w
)x(r)x(y)x(u 2 e dx
)x(w
)x(r)x(y)x(v 1
e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
101
Exemplo223 22 xyxyyxyx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
102
AULA 20 ndash EXERCIacuteCIOS
1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x
2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x
3cosx
3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x
-4
4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x
2 ndash 15x
3
5) x3yrdquorsquo- 3x
2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x
4lnx
6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex
7) 1x2x3dx
yd4
dx
yd 2
2
2
4
4
8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x
9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2
Respostas
1) 9
260x
3
65eCeCy x
2x3
1
2) xcosxxCxCy 221
3) 432
21 x
2
1xcxcy
4) 3
)xx(xCxCy
322
3
22
1
1
5)
6
11xln
6
xxCxCxCy
43
32
21
6) x13
121 exxCxCCy
7) 8
x
8
x
12
x
16
xeCeCxCCy
234x2
4x2
321
8) xx23
x22
x1 e2eCeCeCy
9) 4
x5
4
xeCeCCy
2x2
3x
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
103
AULA 21
733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA
7331 Definiccedilatildeo
Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado
as operaccedilotildees que devem ser efetuadas
Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a
dx
dD
2
22
dx
dD
3
33
dx
dD
7332 Propriedades
Sejam u=u(x) e v =v(x)
P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)
P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)
P3Dm
(Dn
u)=Dm+n
u (sendo m e n constantes positivas)
P4 O operador inverso
dxueeu
aD
axax 1
a
P5 O operador direto uaDuu)aD( audx
du a
7333 Equaccedilotildees Diferenciais
Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D
Exemplo
ay + by + cy = g(x)
aD2y + bDy + cy = g(x)
(aD2 + bD + c)y = g(x)
Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n
1nn
n ADADADAL com
coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n
1nn
n ArArA
tambeacutem se fatora
Exemplo
0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou
0y)2D( 2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
104
7334 Operador Anulador
Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo
suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo
O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees
1n2 xxx1 Entatildeo um
polinocircmio 1n
1n2
210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior
potencia de )D(x n
Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51
Soluccedilatildeo
O operador eacute 4D pois 4n31n
0)x8x51(D 324
O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees
xα1nxα2xαxα exexxee
Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4
Soluccedilatildeo
Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n
Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n
Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(
Vamos verificar
0e12e12e12De6)e6)(2D(
]xe12xe12e6e8e8)[2D(
]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(
)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x2x2x2
x2x2x2x22
O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees
xβsenexxβsenexxβsenxexβsene
xβcosexxβcosexxβcosxexβcose
xα1nxα2xαxα
xα1nax2xαxα
Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x
Soluccedilatildeo
5D2D)]41(D)1(2D[
1n01n2β1α
212
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
105
Vamos verificar
0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene
x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e
x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D
x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D
x2sene5x2senDe2)x2sene(DD
x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxx2x2
Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen
Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que
0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL
anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois
zero
221
zero
1122121
2211212121
)y(LL)y(LL)yy(LL
)y(LL)y(LL)yy(LL
Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7
Soluccedilatildeo
Para o termo x7 temos o operador 2D
Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22
Logo
0)x3sen6x7)(9D(D 22
7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores
Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n
1nn
n ADADADA
entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L
Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma
βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm
onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo
nuacutemeros reais
Resumo do Meacutetodo
i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L
ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador
diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g
iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1
0)y(L
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
106
iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na
soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos
termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L
v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das
funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os
coeficientes indeterminados em py
vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a
equaccedilatildeo diferencial dada
7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares
1) Resolver empregando operadores 01272
2
ydx
dy
dx
yd
2) 0442
2
ydx
dy
dx
yd
3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2
2
2
x4y2dx
dy3
dx
yd
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
107
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
108
AULA 21 - EXERCIacuteCIOS
Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada
1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0
2) senxydx
dy
dx
yd 65
2
2
3) senxeydx
dy
dx
yd x 232
2
4) (D3-16D)y=e
4x + 1
5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e
3x
6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe
-2x
7) xx eeyDD 23212
8) 142 xyD
9) x32 ey6D5D
10) senx4e8y3y x3
11) xey
dx
yd 2
2
Respotas
1) y = C1e4x
+ C2e-3x
2) xcos10
1senx
10
1eCeCy x3
2x2
1
3) senxxcos2
eeCeCy
xx2
2x
1
4) 16
xe
32
xeCeCCy x4x4
3x4
21
5) x3x4
2x3
1 xe5eCeCy
6) x2
2x2x2
3x
2x
1 e18
xe
27
x2eCxeCeCy
7) xx2x2xx e
6
1ex
2
3CeBxeAey
8) 4
1
4
xBeAey x2x2
9) x3
2x2
1x3 eCeCxey
10) senx5
2xcos
5
6xe
3
8eCCy x3x3
21
11) 2
xeeCeCy
xx
2x
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
109
AULA 22
8 EXERCIacuteCIOS GERAIS
Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo
1) xsenxedx
dy
dx
yd x 2234 2
3
3
2) xex
dx
dy
dx
yd
dx
yd 2
2
2
3
3
3265
3) 13 2
2
2
xesenxydx
yd
4) 1284 2
2
2
xxydx
yd
5) 222
2
3
3
xdx
dy
dx
yd
dx
yd
6) 1234 3
2
2
4
4
xxdx
yd
dx
yd
7) xey
dx
dy
dx
yd 3232
2
8) xey
dx
yd 2
2
2
44
9) xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
344
10) xey
dx
dy
dx
yd22
2
2
11) senxydx
dy
dx
yd223
2
2
12) xdx
dy
dx
ydcos34
2
2
13) xsenydx
yd2316
4
4
14) xydx
yd2cos54
2
2
15) 52 2
2
2
xedx
dy
dx
yd
16) xxey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
44
17) xeydx
dy
dx
yd x 2cos8822
2
18)
2244 2
2
2 xey
dx
dy
dx
yd x
19)
20)
21)
senxy
dx
yd 12
2
22) xyxyyx 3222
23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2
22
3
33 xy
dx
dyx
dx
ydx
dx
ydx
x
ey
dx
dy
dx
yd x
22
2
xy
dx
yd
cos
12
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
110
RESPOSTAS
1)
4
x2xsen
8
x
16
e3x2senCx2cosCCy
2x2
321
2)
2
3
18
5
6
223
3
2
21
xxx xe
xx
eCeCCy
3) 132
3 2
21 x
xx esenxeCeCy
4) 44
2 22
2
2
1 xxeCeCy xx
5)
4
5
4
22
321
xxeCeCCy xx
6)
848
5
80
3 2352
4
2
321
xxxeCeCxCCy xx
7)
2
2
21
xxx e
eCeCy
8) xxx xeeCeCy 22
2
2
1
9) xxx exxeCeCy 222
2
2
12
3
10) )( 2
21 xxCCey x
11) senxxeCeCy xx
5
1cos
5
32
21
12) )4(cos17
34
21 senxxeCCy x
13)
32
2cos322cos 43
2
2
2
1
xxxsenCxCeCeCy xx
14)
8
2cos52
2
2
1
xeCeCy xx
15)
22
5 22
21
xx xex
eCCy
16) xe
xxCCy 2
3
216
17) )22cos3(5
1
9
14
2
2
1 xsenxeeCeCy exxx
18)
8
1)( 22
21
xexxCCy x
19) xxexeexCCy xxx ln)( 21
20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21
21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21
22) xxxCxCy ln32
21
23)
36
11)1ln(
6
1
)1()1(1 3
3
2
21
xx
C
x
C
x
Cy
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
111
AULA 23
9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos
diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma
mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas
interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de
um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa
equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da
ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial
enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos
aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as
diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples
e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares
91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO
Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte
riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo
da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola
diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do
alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante
de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo
nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)
implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola
somente 25 peacute
Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma
distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila
restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms
2 ou 980
cms2
equiliacutebrio
Posiccedilatildeo
inicial
g
K(s+x)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
112
Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a
massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da
mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo
que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F
com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora
kxksmgkxmgxskdt
xdm
zero
)(2
2
(1)
O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do
movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da
posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos
9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido
Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem
02
2
2
xdt
xd (2)
onde mk 2
A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo
amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1
representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se
x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade
inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0
x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento
Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2
=0 satildeo
nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como
tsenCtCtx 21 cos)( (3)
O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute
21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute
32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou
equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo
Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos
sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente
agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida
pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo
correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos
referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
113
iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular
resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento
Exemplo
Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de
um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3
4 peacutess para cima
Determine a equaccedilatildeo do movimento livre
Soluccedilatildeo
Convertendo as unidades
6 polegadas = frac12 peacute
8 polegadas = 23 peacute
Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa
M = Wg = 232 = 116 slug
Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute
Logo (1) resulta em
xdt
xd4
16
12
2
0642
2
xdt
xd
2 = - 64
= 8i
x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t
O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal
negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade
inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima
Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a
equaccedilatildeo do movimento seraacute
tsenttx 816
18cos
3
2)(
912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito
pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em
movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma
forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente
9121 ED do Movimento Livre Amortecido
No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo
consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor
durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt
Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton
que
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
114
dt
dxkx
dt
xdm
2
2
(4)
onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia
do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento
Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre
amortecido
02
2
x
m
k
dt
dx
mdt
xd (5)
ou
02 2
2
2
xdt
dx
dt
xd (6)
onde
m
2 e
m
k2
O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute
m2 + 2 m + 2 = 0
e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto
22
1 m e22
2 m
Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22
Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica
despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo
CASO I Superamortecido
022
tmtm
eCeCtx 21
21)( (7)
Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio
CASO II Amortecimento Criacutetico
022
tCCetx t
21)( (8)
Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem
evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer
decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
115
CASO III Subamortecido
022
Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute
tsenCtCetx t 22
2
22
1cos)(
(9)
O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de
vibraccedilatildeo 0 quando t
Exemplos
1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
Soluccedilatildeo
Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos
daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo
dt
dx2x4
dt
xd
4
1
2
2
01682
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
X(t)= C1 e ndash 4t
+ C2te - 4t
(amortecimento criacutetico)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a
equaccedilatildeo do movimento eacute
X(t) = - 3te -4t
2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o
comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de
um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido
ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade
instantacircnea
Soluccedilatildeo
O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue
da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a
equaccedilatildeo diferencial eacute dada por
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
116
dt
dxx
dt
xd 5
2
12
2
01022
2
xdt
dx
dt
xd
Resolvendo a equaccedilatildeo temos
tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)
Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo
a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentetx t 3
3
23cos2)(
913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO
9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento
Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola
Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do
suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo
diferencial do movimento forccediladoou induzido
)(2
2
tfdt
dxkx
dt
xdm (10)
Dividindo (10) por m obtemos
)(2 2
2
2
tFxdt
dx
dt
xd (11)
Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima
equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de
variaccedilotildees de paracircmetro
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt
dx21
dt
xd
5
1
2
2
com2
1)0(x
e 0)0(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
117
Soluccedilatildeo
O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou
quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou
metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado
por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2
) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos
esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em
que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como
o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre
Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo
01062
2
xdt
dx
dt
xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a
determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo
tsentsentCtCetx t 451
504cos
102
25)cos()( 21
3
Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute
tsentsenttetx t 451
504cos
102
25)
51
86cos
51
38()( 3
9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido
Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute
termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica
com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos
severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio
Exemplo
1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt
xd 0
2
2
2
x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma
constante e
)(
2
2
tfkxdt
xdm
Soluccedilatildeo
A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo
particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que
tsenFtsenBtAxx pp 0
22222 )(cos)(
Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(
FB
220
Logo
tγsen)γω(
F)t(x
220
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
118
Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute
)tγsenωtωsenγ()γω(
F)t(x
220
com ωγ
914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE
Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a
)(2
2
tEC
q
dt
dqR
dt
qdL (12)
Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo
auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0
dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute
Superamortecido 042 C
LR
Criticamente amortecido 042 C
LR
Subamortecido 042 C
LR
Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L
e portanto
q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave
medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t
Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo
tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples
Exemplos
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)
R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0
Soluccedilatildeo
Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica
0400040
01000104
1
qqq
qqq
Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute
subamortecido e q(t) = e-20t
(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
119
)603
160(cos)( 20
0tsenteqtq t
Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas
forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo
transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma
soluccedilatildeo estacionaacuteria
92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO
921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA
Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais
defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo
y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples
Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal
uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o
proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta
chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de
simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais
seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o
formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a
deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da
elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute
relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo
)(2
2
xwdx
Md (13)
Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica
EIkxM )( (14)
onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I
eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o
eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
120
Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por
23
2)(1
y
yk
Quando a deflexatildeo y(x) for
pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23
2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se
tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute
4
4
2
2
2
2
dx
ydELy
dx
dEL
dx
Md (15)
Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx
2 em (15) vemos que a deflexatildeo
y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem
)(4
4
xwdx
ydEL (16)
As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades
da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de
outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute
mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como
vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para
uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade
engastada x = 0
y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e
yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a
inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)
Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo
yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e
yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero
A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)
Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno
Engastada 0y0y
Livre 0y0y
Simplesmente apoiada 0y0y
9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno
Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0
Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
121
Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y
implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de
contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y
Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos
daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que
0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0
Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -
gt0
Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21
Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2
Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima
condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de
nL ou2
22
L
n n = 1 2 3
Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para
cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em
outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9
4
2
2
2
2
2
2
LLL
a funccedilatildeo correspondente na
sequumlecircncia 3
2
xL
senxL
senxL
sen
eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original
9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina
No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema
de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial
compressiva
Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento
L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for
aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer
ponto ao longo da coluna obtemos
Py
dx
ydEL
2
ou 02
2
Pydx
ydEL (17)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
122
onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em
torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide
Exemplo
Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita
a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades
Soluccedilatildeo
O problema de contorno a ser resolvido eacute
0)(
0)0(
02
2
Ly
y
Pydx
ydEI
Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema
Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo
haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos
matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais
Escrevendo EIP vemos que
0)(
0)0(
0
Ly
y
yy
eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos
que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores
321 222 nLnEIPnn
Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a
forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas
cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22
1 LEIP chamada
de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo
As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura
abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a
menor carga criacutetica seraacute 22
2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a
restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a
carga critica 22
3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
123
9213 Corda Girando
A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem
0 yy (18)
ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e
0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e
um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o
modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como
0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como
um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando
A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar
sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo
Suponha que uma corda de comprimento L e
densidade linear constante (massa por unidade de
comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada
em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo
girada em torno do eixo x a uma velocidade angular
constante Considere uma parte da corda sobre o
intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a
magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for
constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada
pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees
diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no
intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na
figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute
12 TsenTsenF (19)
Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e
11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os
vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
124
)(2 xxytg e )(1 xytg
Assim sendo (19) vai se tornar
)()( xyxxyTF (20)
Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a
segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo
centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra
Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem
aproximada por
2 yxF (21)
onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y
Igualando-se (21) e (20) temos
2)()()( yxxyxxyT
ou (22)
yx
xyxxyT 2)()(
Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x
xyxxy
)()(em (22) eacute
aproximado pela derivada segunda de d2ydx
2 Finalmente chegamos ao modelo
ydx
ydT 2
2
2
ou (23)
02
2
2
ydx
ydT
Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo
y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
125
AULA 23 - EXERCICIOS
Movimento Livre natildeo amortecido
1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do
movimento harmocircnico simples
2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4
polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso
de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um
ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de
peacutes Determine a
equaccedilatildeo do movimento livre
4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6
polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32
9
4
6
8
12
b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do
movimento do peso nesse instante
c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio
Movimento Livre Amortecido
5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute
entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente
igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento
considerando que
a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms
para cima
6) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual
a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de
movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess
para cima
7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma
dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a
velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal
forma que o movimento subsequumlente seja
a) superamortecido
b) criticamente amortecido
c) subamortecido
Movimento Forccedilado
8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2
peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que
oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute
a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos
3t
9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32
Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a
f(t)=68e-2t
cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de
amortecimento
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
126
10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute
colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de
1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento
subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N
11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado
em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e
aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do
ar determine o movimento subsequente do peso
12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em
equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema
Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8
vezes a velocidade instantacircnea
Circuito em Seacuterie Anaacutelogo
13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2
C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o
capacitor eacute igual a zero
14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no
capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A
15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C
= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo
periacuteodo
16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e
uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor
mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada
inicialmente determine a carga subsequente no capacitor
17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de
farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a
expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga
iniciadas no capacitor satildeo zero
Respostas
1) 8
π2
2) t64cos4
1)t(x
3)
4) a)4
1
12
πx
2
1
8
πx
4
1
6
πx
2
1
4
πx
4
2
32
π9x
b)4 peacutess para baixo
c)16
π)1n2(t
n= 0 1 2
5) a)t8t2 e
3
1e
3
4)t(x
b)t8t2 e
3
5e
3
2)t(x
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
127
6)
7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52
8) t3sent3cos3
10t
2
47sen
473
64t
2
47cos
3
4e)t(x 2
t
9) tsenetetsenttx tt 424cos2
14
4
94cos
2
1)( 22
10) )sin13cos99099(500
1 27 tteex xx
11) ttttx 4cos4
14sin
16
14cos50
12) (
)
13) 41078C 00509s
14) q(t)=10+10e-3t
(cos3t+sen3t)
i(t) = 60e-3t
sen3t 10432 C
15) C2
3
2
3)t10sent10(cose
2
1)t(q t10
16)
17) radic radic
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
128
AULA 24
10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL
Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as
mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees
Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas
de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico
desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem
O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas
primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem
A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem
p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de
funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral
Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema
normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo
as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por
razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de
segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees
a um sistema normal
Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees
algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em
funccedilatildeo do operador derivado D
Exemplos
1)
senxxzdx
dy
senxxdx
dzy
cos
cos
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
129
2)
xzydx
dz
dx
yd
xdx
dz
dx
yd
22
3
2
2
2
2
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
130
AULA 24 - EXERCIacuteCIOS
1)
02
02
zdx
dz
dx
dy
zydx
dz
dx
dy
2)
x
x
ezydx
dz
dx
dy
ezydx
dz
dx
dy
2
5
32
4
3)
2
2
2
2
2
2
2
xzdx
zd
dx
dy
eydx
dz
dx
yd x
4)
03
42
zydx
dy
ezydx
dz
dx
dy x
5)
xzDyD
senxzDyD
cos)1()1(2
2)2(2)3(
Respostas
1)
x
x
eCeCy
eCeCz
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
ou
x
x
eCeCz
eCeCy
3
33
23
33
1
3
33
23
33
1
)32()32(
2)
xxx
xxx
eeeCy
eeeCz
252
5
1
252
5
1
25
2
5
3
3)
xexCsenxCeCeCy
xesenxCxCeCeCz
xxx
xxx
22
3cos2222
2
3
2
1
2
1cos
43
2
2
2
1
2
43
2
2
2
1
4)
x
x
esenxCCxCCz
esenxCxCy
2)3(cos)3(
2cos
2121
21
5)
senxxeCeCz
xsenxeCeCy
x
x
x
x
130
61cos
130
33
3
4
)cos8(65
1
5
23
1
5
23
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
131
AULA 25
102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA
Dado o sistema
)(
)(
)(
21
2122
2111
nn
n
n
n
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
yyyxFdx
dy
este pode ser escrito na seguinte forma
n
n
F
dy
F
dy
F
dydx
1 2
2
1
1
Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por
variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema
)(
)(
2
1
zyxFdx
dz
zyxFdx
dy
(1)
que pode ser escrito da seguinte maneira
321 F
dz
F
dydx
ou generalizando
)()()( zyxR
dz
zyxP
dy
zyxM
dx (2)
Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de
dois paracircmetros
Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute
Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-
se
nRmPlM
ndzmdyldx
R
dz
P
dy
M
dx
Escolhe-se l m e n tais que
lM + mP + nR = 0
o que faz com que
ldx + mdy + ndz = 0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
132
Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees
do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a
soluccedilatildeo do sistema
Exemplos
1)x
dz
x
dy
y
dx
2)zx
dz
yx
dy
zy
dx
2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
133
3))()()( 222222 xyz
dz
zxy
dy
yzx
dx
OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio
adotado chega-se aquelas convenientes
AULA 25 - EXERCICIOS
1) cybx
dz
axcz
dy
bzay
dx
2) )()2()2( 444444 yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
3) yx2
dz
x3z
dy
z2y3
dx
4) z
dz
x
dy
y
dx
5) yx
dz
x
dydx
221
Respostas
1) x2 + y
2 + z
2 = C1
cx + by + az = C2
2) x4 + y
4 +z
4 = C1
xyz2 = C2
3) x2 + y
2 + z
2= C1
x + 2y + 3z = C2
4) x2 ndash y
2 = C1
zC2 = y + x
5) y = x2 + C1
z = 3
2x
3 + xy ndash x
3 + C2
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
134
AULA 26
103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA
ORDEM
Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt
dx
nnnm22n11nn
2nm22221212
1nm12121111
que pode ser escrito como
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
)t(a)t(a)t(a
x
x
x
dt
d
nm2n1n
m22221
m11211
n
2
1
ou ainda
)t(FX)t(Adt
dX
que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas
homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tλeξX
temos
tλeξλX
substituindo no sistema obteacutem-se
0eξ)λA(
eξAeξλ
tλ
tλtλ
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
135
como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Exemplo 1
Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo
t10y3x4dt
dy
t2ey5x2dt
dx t
pode ser escrito como
t10
t2eX
34
52
dt
dX t
ou
t10
2e
0
1X
34
52X t
onde
y
xX
1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO
Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna
)t(x
)t(x
)t(x
X
n
2
1
cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema
)t(FX)t(Adt
dX
no intervalo
Exemplo 2
Verifique que
t2
t2t2
1e
ee
1
1X e
t6
t6t6
2e5
e3e
5
3X satildeo soluccedilotildees de
X35
31X
no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
136
Temos
t2
t21
e2
e2X
e
1t2
t2
t2t2
t2t2
t2
t2
1 Xe2
e2
e3e5
e3e
e
e
35
31AX
Agora
t5
t612
e30
e18X
e
12t6
t6
t6t6
t6t6
t6
t6
2 Xe30
e18
e15e15
e15e3
e5
e3
35
31AX
Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira
ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n
1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS
Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e
)t(x
)t(x
)t(x
)t(X
0n
02
01
0
e
n
2
1
0
γ
γ
γ
X
onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema
00 X)X(tasujeito
)t(FX)t(Adt
dXResolver
eacute um problema de valor inicial no intervalo
10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo
Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em
um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema
de valor inicialno intervalo
1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS
Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem
mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo
comum I
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
137
10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX
em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear
kk2211 XcXcXcX
onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo
Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer
vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem
eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Exemplo 3
Uma soluccedilatildeo do sistema X
102
011
101
X
eacute
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X1
Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois
tcoscsentc
tcosc2
1sentc
2
1
sentc
dt
dX
11
11
1
e
tcoscsentc
sentc2
1tcosc
2
1
sentc
sentctcosc
sentc2
1tcosc
2
1
tcosc
102
011
101
AX
11
11
1
11
11
1
As matrizes resultantes mostram que XAX
Exemplo 4
Consideremos o sistema X
102
011
101
X
Se
0
e
0
X t2 entatildeo
0
e
0
X t2 e
2tt
2 X
0
e
0
0
e
0
102
011
101
AX
Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da
superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
138
0
e
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcX t212211
eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema
1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no
intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que
0XcXcXc kk2211
para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo
dizemos que eacute linearmente independente
O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo
constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute
linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo
linear dos vetores restantes
10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes
Sejam
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo
necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o
wronskiano
0
xxx
xxx
xxx
)XXX(W
nn2n1n
n22221
n11211
n21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
139
Exemplo 5
No exemplo 2 vimos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees do sistema
X35
31X
Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez
que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos
0e8e5e
e3e)XX(W t4
t6t2
t6t2
21
para todo t real
Exemplo 6
Pelo exemplo 5 sabemos que t2
1 e1
1X
e
t62 e
5
3X
satildeo soluccedilotildees
linearmente independentes de X35
31X
em )( Logo X1 e X2constituem um
conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
entatildeo
t6
2t2
12211c e5
3ce
1
1cXcXcX
1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO
Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes
do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto
fundamental de soluccedilotildees no intervalo
10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos
Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como
nn2211 XcXcXcX
onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
140
Exemplo 7
Os vetores
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
Xe
0
1
0
X
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
X 3t
21 satildeo
do sistema X
102
011
101
X
no exemplo 3 Agora
0etcossentsenttcos
senttcose
tcossent0senttcos
tcos2
1sent
2
1esent
2
1tcos
2
1sent0tcos
)XXX(W ttt321
para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de
soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute
tcossent
tcos2
1sent
2
1sent
ce
0
1
0
c
senttcos
sent2
1tcos
2
1tcos
cXcXcXcX 3t
21332211
1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute
qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o
sistema )t(FX)t(Adt
dX
Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo
X)t(Adt
dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo
homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc
10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos
Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX em um
intervalo I e denotemos por
nn2211c XcXcXcX
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
141
a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX correspondente
Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como
pc XXX
A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX eacute chamada funccedilatildeo
complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt
dX
Exemplo 8
Verifique que o vetor
6t5
4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-
homogecircneo
3
11t12X
35
31X no intervalo )(
Soluccedilatildeo
Temos
5
3X
p e
3
11t12
6t5
4t3
35
31
3
11t12X
35
31p
pX
5
3
3
11t12
2
14t12
3
11t12
)6t5(3)4t3(5
)6t5(3)4t3(
Exemplo 9
Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
3
11t12X
35
31X em )( eacute
6t5
4t3X p
No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a
soluccedilatildeo geral de X35
31X
eacute
t62
t21c e
5
3ce
1
1cX
Logo pela definiccedilatildeo dada
65
43
5
3
1
1 62
21
t
tececXXX tt
pc eacute
soluccedilatildeo geral de
3
11t12X
35
31X em )(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
142
Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo
)t(FX)t(Adt
dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas
c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral
1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL
Seja
nn
n2
n1
n
2n
22
12
2
1n
21
11
1
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
X
um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt
dX em um
intervalo I
A matriz
nn2n1n
n22221
n11211
xxx
xxx
xxx
)t(
eacute chamada de matriz fundamental do
sistema no intervalo
Exemplo 10
Jaacute mostramos que os vetores
t
t
t
e
eeX
2
2
2
11
1 e
t
t
t
e
eeX
6
6
6
25
3
5
3constituem
um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX
35
31 em )(
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)(
eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo
Exemplo 12
A soluccedilatildeo geral tt
c ececXcXcX 62
212211
5
3
1
1
dada no exemplo 6
pode ser escrita como
2
1
t6t2
t6t2
c
c
e5e
e3eX
Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que
C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((
Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz
coluna possiacutevel de constantes C devemos ter
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
143
)t()t(A)t(
0)t()t(A)t(
10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular
A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que
0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo
Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do
sistema homogecircneo XtAdt
dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de
t no intervalo
Exemplo 13
Para a matriz fundamental dada
tt
tt
ee
eet
62
62
5
3)( no exemplo 10 notamos que
tet 48)(det Decorre entatildeo de
1121
1222
1112
21221
det
1
det
1
aa
aa
aa
aa
AA
T
que
tt
tt
tt
tt
t
ee
ee
ee
ee
et
66
22
22
66
4
1
8
1
8
18
3
8
535
8
1)(
10372 Matriz Especial
Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz
em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees
1
0
0
0
1
0
0
0
1
00201
tVtVtV n
Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do
sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que
t apresenta a propriedade
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
144
1000
0100
0010
0001
00
t
onde eacute a identidade multiplicativa n x n
Exemplo 14
Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX
35
31
Soluccedilatildeo
Por tt ececXcXcX 6
22
122115
3
1
1
sabemos que a soluccedilatildeo geral do
sistema acima eacute dada por tt ececX 6
22
15
3
1
1
Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que
0
1
5
3
1
121 cc ou
05
13
21
21
cc
cc
Obtemos 8
51 c e
81
2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear
tt eeV 621
5
3
8
1
1
1
8
5
Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais
1
0
5
3
1
121 cc ou
15
03
21
21
cc
cc
Neste caso obtemos 8
31 c e
81
2 c Definimos entatildeo
tt eeV 622
5
3
8
1
1
1
8
3
Dai
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
145
tttt
tttt
eeee
eeeet
6262
6262
8
5
8
3
8
5
8
58
3
8
3
8
3
8
5
)(
Observe que
10
01)0(
Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das
soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma
soluccedilatildeo do sistema
10373 t eacute uma Matriz Fundamental
Por
1000
0100
0010
0001
00
t
vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente
Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo
considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da
Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t
Por 0
1 ttt
AULA 26 - Exerciacutecios
Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado
1)
y8x4dt
dy
y5x3dt
dx
2)
z3y4x10dt
dz
yx6dt
dy
z9y4x3dt
dx
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
146
3)
2ttzyxdt
dz
t3zyx2dt
dy
1tzyxdt
dx
2
2
Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes
4) te
1
1X
31
24X
5) t
1
1
3
e
2
2
1
z
y
x
652
143
211
z
y
x
dt
d t
Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado
6)
y7x4dt
dy
y4x3dt
dx
t5e
2
1X
7) 2t3
e2
1XX
114
11
X
8)
13
6
1
121
016
121
XXdt
dX
Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX
Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(
9) t6
2t2
1 e1
1Xe
1
1X
10)
4
4
2
t
12
6
3
X
4
2
1
X
2
2
1
t
4
2
1
X 321
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
147
Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema
dado
11)
18423
724
tyxdt
dy
tyxdt
dx
1
5
1
2tX
p
12) tt
p
t teeXeXX
1
1
1
1
7
1
43
12
13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX
011
101
060
` no intervalo )( eacute
t33
t22
t1 e
1
1
2
ce
1
1
3
ce
5
1
6
cX
Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental
de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule
t1
14) t7
2t2
1 e3
1Xe
2
1XX
56
14X
15) tt
2t
1 e1
0te
3
1Xe
3
1XX
29
14X
16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
14
17) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema
15
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
148
Respostas
1) 84
53 XX
onde
y
xX
2)
3410
016
943
XX
onde
z
y
x
X
3)
2
0
1
03
0
111
112
111
2
2
t
t
t
tXX onde
z
y
x
X
4)
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
3
24
5)
tezyxdt
dz
tezyxdt
dy
tezyxdt
dx
t
t
t
2652
243
32
6) Eacute soluccedilatildeo
7) Eacute soluccedilatildeo
8) Eacute soluccedilatildeo
9) Sim
10) Natildeo
11) Eacute soluccedilatildeo
12) Eacute soluccedilatildeo
13) Demonstraccedilatildeo pessoal
14)
tt
tt
t
tt
tt
ee
ee
et
ee
eet
22
77
9
1
72
72
2
3
5
1)(
32
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
149
15)
tt
ttt
t
ttt
tt
ee
teete
et
eee
teet
3
31
33
2
1
16)
tttt
tttt
eeee
eeeet
7272
7272
5
3
5
2
5
6
5
65
1
5
1
5
2
5
3
17)
ttt
tt
etete
tetet
39
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
150
AULA 27
104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS
Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos
X)t(Adt
dX
que pode ser escrito como
XAX
Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo
tekX
temos
tekX
substituindo no sistema obteacutem-se
0)(
t
tt
ekA
ekAek
como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores
e autovetores
Existem trecircs casos a serem tratados
1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS
Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do
sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do
sistema no intervalo )( eacute dada por
t
nn
t
b
t
anekcekcekcX
21
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
151
Exemplo Resolva o Sistema
yxy
yxx
2
32
Soluccedilatildeo
Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes
012
32
0)det(
IA
41
043
0622
0)1)(2(
21
2
2
e
Para 11 temos
0
0
22
33
0
0
)1(12
3)1(2
0)(
b
a
b
a
K
K
K
K
KIA
1
1
1
022
033
1K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Para 42 temos
0
0
2
32
0
0
412
342
b
a
b
a
K
K
K
K
2
3
2
2
3
032
032
2K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo
KKKK
KK
b
ba
ba
ba
Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t
ii eKx temos
tt eXeX 4
212
3
1
1
Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute
tt
tt
tt
eCeCy
eCeCx
eCeCy
x
XCXCX
4
21
4
21
4
21
2211
2
3
2
3
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
152
1042 AUTOVALORES COMPLEXOS
Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1
o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo
t
ekX 1
11
e t
ekX 1
12
Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde
tetktkX sinImcosRe111
atetktkX sinRecosIm112
Exemplo
Resolva o sistema
yxdt
dy
yxdt
dx
45
6
Soluccedilatildeo
045
16
0)det(
IA
2
525
2
410
2
11610010
02910
054624
05)4)(6(
2
2
i
i
Para i25 temos
ab
ba
b
a
b
a
KiK
KKi
K
K
i
i
K
K
i
i
KIA
)21(
0)21(
0
0
)21(5
121
0
0
)25(45
1)25(6
0)(
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
153
iKi
K
eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a
2
0
1
1
21
1
1
11
tt
tt
tt
tt
t
t
etsentCetsentCy
etsenCetCx
etsent
tsenCe
tsent
tCX
etsentCetsentCX
XCXCX
etsentX
etsentX
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
2221
5
2
5
1
)22cos2()222(cos
)2()2cos(
22cos2
2
222cos
2cos
21
12cos
2
02
2
02cos
1
1
21
12cos
2
0
22
02cos
1
1
1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS
Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se
verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer
deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira
t
ekX 1
11
tt
ektekX 21
212
onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees
para o sistema
t
m
tm
tm
mmeke
m
tke
m
tkX
21
)2()1(
2
2
1
1
onde k2 k3 hellip km devem ser determinados
Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um
autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt
PeKteX 11
2
()
Onde
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
154
nk
k
k
K2
1
e
np
p
p
P
2
1
Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se
0)()( 11
11 tt
eKPAPteKAK
Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter
KPIA
KIA
)(
0)(
1
1
Exemplos
1) Resolva o sistema
zyxz
zyxy
zyxx
22
22
22
0
122
212
221
51
Re
0593
0593
012121733
0)1(1216133
0)1(4)1(4)1(488)1(
321
23
23
23
23
3
e
temosRufiniBriottporsolvendo
Para 11 temos
21
0|222
0|222
0|222 1
L
31
21
)2(
2
0|222
0|222
0|111
LL
LL
0|000
0|000
0|111
cba
cba
KKK
KKK
0 fazendo bK = 1 e 0cK temos
0
1
1
1K
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
155
Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor
1
1
0
2K
Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees
LI correspondentes ao mesmo autovalor
teX
0
1
1
1 e teX
1
1
0
2
Para 53 temos
31
21
21
)2
1(
0|422
0|242
0|224
LL
LL
32
12
)1(3
2
0|330
0|330
0|224
LL
LL
)1(
)4(
0|000
0|330
0|404
2
1
L
L
0
0
cb
ca
KK
KK
cb
ca
KK
KK
fazendo cK = 1 temos
1
1
1
3K
ttt eCeCeCX 5
321
1
1
1
1
1
0
0
1
1
2) Resolva o sistema
yxy
yxx
92
183
092
183
3
Re
096
0369327
036)9)(3(
21
2
2
temosequaccedilatildeoasolvendo
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
156
Para 321 temos
ba
ba
ba
b
aKK
KK
KK
K
K3
062
0186
0
0
62
186
fazendo 1bK temos
1
31K
Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3
1 1
3
2
1
1
3
p
pPK
IPSLL
L
L
p
p
KPIA
KPIA
0002
131
2131
2131
2
6
162
3186
1
3
62
186
3
21
2
1
2
1
1
21
21
32
1
2
13
pp
pp
fazendo
02
10
2
121 Ppp
ttt
tt
eetCeCX
eetX
33
2
3
1
33
2
02
1
1
3
1
3
02
1
1
3
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
157
AULA 27 ndash Exerciacutecios
1) Resolva
z3ydt
dz
zy5xdt
dy
zyx4dt
dx
2) Resolver X21
82acuteX
3) Resolver X1
2
121
acuteX
4) Resolva o sistema
yxy
yxx
3
4
5)
yxdt
dy
yxdt
dx
34
2
6)
yxdt
dy
yxdt
dx
22
5
24
7)
yxdt
dy
yxdt
dx
25
6
8)
yxdt
dy
yxdt
dx
32
5
9)
yxdt
dy
yxdt
dx
39
3
10)
yxdt
dy
yxdt
dx
53
3
Respostas
1) t53
t42
t31 e
1
8
1
ce
1
1
10
ce
1
0
1
cX
2)
t2sen
t2sen2t2cos2c
t2cos
t2sen2t2cos2cX 21
3) t
2t
1 etcos
sent2ce
sent
tcos2cX
4)
ttt etececX
1
1
1
2
1
221
5) tt ececX
1
1
2
12
5
1
6) tt ececX
5
2
1
22
3
1
7) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin2
sin
sincos2
cos
8) tt e
tt
tce
tt
tcX 4
2
4
1cossin
sin
sincos
cos
9)
414
1
3
1
3
121 tccX
10)
ttt etececX 22
2
2
10
31
1
1
1
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
158
AULA 28
105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS
1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS
O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um
sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt
dX Da mesma forma resolve-se o sistema
homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo
determinados os coeficientes desconhecidos
Exemplos
1) Resolva o sistema
41034
66
tyxy
tyxx
Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
XAX
34
16
Encontrar os autovalores
034
16
0)det(
IA
72
0149
043618
0)3)(6(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 71 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
44
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
4
1
04
0
0
14
14
fazendo 4bK temos
4
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
tt
tt
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
2
7
1
2211
2211
4
1
1
1
21
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
159
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
t
ttf
p
p
410
6)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
cdbtca
adbtca
t
t
t
t
dctbat
dctbat
c
a
t
t
dct
bat
b
a
34)34(
6)6(
104
6
410
6
3344
66
410
6
34
16
7
107
242
7
4
62814
234
6318
6434
26
434
06
6
1262
662814
1034
18318
1034
66
d
db
bdb
db
db
db
db
cdb
adb
c
ca
aca
ca
ca
ca
ca
Logo
7
106
7
42
t
tX p
Soluccedilatildeo Geral
7
106
7
42
4
1
2
12
2
7
1
2221
t
teCeCX
XXCXCX
tt
p
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
160
2) Resolva o sistema
5
3
yxy
yxx
XX
11
11
Encontrar os autovalores
011
11
0)det(
IA
20
0)2(
0121
01)1(
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 01 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
11
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
t
tt
tt
eCCX
eCeCX
eKCeKCX
XCXCX
2
21
2
2
0
1
2211
2211
1
1
1
1
1
1
1
1
21
Soluccedilatildeo Particular pX
c
aX
dct
batX
tf
p
p
5
3)(
Substituindo no sistema )( tfAXX pp
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
161
5
3
)(
)(
5
3
11
11
dbtca
dbtca
c
a
dct
bat
b
a
ca
ca
0 fazendo 11 ca
4
1
3
db
adb
adb
4
51
5
db
db
cdb
Fazendo 04 db
t
tX p
4
Logo
t
teCCX t 4
1
1
1
1 221
Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica
1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS
A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a
funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais
poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que
pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo
A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma
CtX )(
onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes
Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que
)()( tUtX p
seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema
)()( tFXtAdt
dX
entatildeo
)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
162
sabemos que )()( tAt logo
)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt
)()()( tFtUt
)()()()()( 11 tFttUtt
)()()( 1 tFttU
dttFttU )()()( 1
entatildeo
dttFttX p )()()( 1
eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo
Exemplo
Resolva o sistema
teyxy
tyxx
42
33
Vamos resolver o sistema homogecircneo associado
XX
42
13
Encontrar os autovalores
043
13
0)det(
IA
25
0107
024312
21
2
2
e
Encontrar os autovetores associados
Para 51 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
2
1
02
0
0
12
12
fazendo 2bK temos
2
11K
Para 22 temos
ba
ba
b
a
KK
KK
K
K
0
0
0
22
11 fazendo 1bK temos
1
12K
Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado
2
1
25
25
2
2
5
1
2211
2211
21
1
2
1
21
C
C
ee
eeeCeCX
eKCeKCX
XCXCX
lfundamentamatriz
tt
tt
tt
tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
163
Precisamos encontrar )(1 t
tt
tt
ee
ee25
25
2
212
10
01 LL
t
tt
e
ee2
25
30
12
312
01
LL
t
t
e
e2
5
30
0
2
2
1
5
2
112
31
31
Le
Le
t
t
10
01
tt
tt
ee
ee
22
55
3
1
3
23
1
3
1
Logo
tt
tt
ee
ee
22
55
1
3
1
3
23
1
3
1
tt
tt
tt
tt
ete
ete
e
t
ee
eetft
2
45
2
55
1
6
3
3
13
23
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
eete
eetedt
ete
etedttft
22
455
2
45
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
6
3
3
1)()(
ttt
ttt
tt
tt
p
eete
eete
ee
eedttfttX
22
455
25
25
1
2
33
4
1
25
3
5
3
3
1
2)()()(
t
t
p
t
t
p
tt
tt
p
et
etX
et
etX
eetet
etetX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
2
3
50
63
5
24
3
50
81
5
18
3
1
2
3
2
1
25
6
5
62
33
4
1
25
3
5
3
3
1
Soluccedilatildeo
t
t
tt
et
eteCeCX
2
1
50
21
5
34
1
50
27
5
9
1
1
2
12
2
5
1
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
164
AULA 28 ndash Exerciacutecios
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros
1)
122
433
yxdt
dy
yxdt
dx
2)
2
2
4
3
53
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes
indeterminados
3)
52
732
yxdt
dy
yxdt
dx
4)
53
23 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
Respostas
1)
10
15
11
11
2
3
1
121 teccX t
2) 2223
22
1
49
215
413
213
3
10
1
2 tttt
eteececX
3)
3
1
1
3
1
121
tt ececX
4)
43
2
414
1
43
41
1
1
1
1 242
21 ttececX tt
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
165
AULA 29
11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA
1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy
xCey 2
2
02
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia
44
0
33
2210 xCxCxCxCCxCy
n
nn
1
1
34
2321
432
n
nnxnCy
xCxCxCCy
Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy
021
1
n
nn
n
nn xnCxnC
Trocando
1
1
01
1
Nn
Nn
n
n
II
NN
NN
I
n
nn xCNxnC
011
)1(
1
1 )1( Temos que verificar se I = II
0
2321)1(
2321
1
1
32)1(
32
N
NN
n
nn
xCxCCxCNII
xCxCCxnCI
Satildeo iguais
Voltando
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
166
0)1(
2
02)1(
02)1(
02)1(
1
1
0
1
01
1
nn
CC
CCn
xCCn
xCxCn
nn
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
Para
234
)2(
234
)2(2
4
23
23
)2(
23
)2(2
3
22
2
)2(
2
)2(2
2
21
21
20
04
03
34
03
02
23
02
012
00
1
CCCCn
CCCCn
CCCCn
CC
Cn
Foacutermula da recorrecircncia
1
)2( 0
nn
CC
n
n
Entatildeo
0
44
33
2210
n
nn xCxCxCxCCxCy C
0
0
1
0
443322
0
30
320
20
0
)2(
)2(1
4
2
3
2
2
2
1
21
3
)2(
2
)2(
1
2
n
nn
n
nn
n
xC
n
xC
xxxxC
xCxCxCC
Como
3
)2(
2
)2(21
321
322
32
xxxe
xxxe
x
x
Logo
xeCy 2
0
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
167
2) Resolver a equaccedilatildeo 02
2
ydx
yd
i
1
01
2
2
senxCxCy 21 cos
Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia
2
2
1
1
0
)1(
n
nn
n
nn
n
nn
xCnny
xnCy
xCy
2
2
2
Nn
Nn
n
24
132
0
)2(
22
)2(
2
2
34232
)1)(2()1)(2()1(
xCxCC
xCNNxCNNxCnnyN
NN
N
NN
n
nn
Que fica igual a
24
132
2
2 34232)1( xCxCCxCnnyn
nn
Logo substituindo
2
2)1(n
nnxCnny na equaccedilatildeo temos
0)1)(2(02
)2(
n
nn
n
nn xCxCnn
0)1)(2(2
)2(
n
n
nn xCCnn
0)1)(2( )2( nn CCnn
0)1)(2(
)2(
n
nn
CC n
n
para 12
0 02
CCn
para 23
1 13
CCn
para 412
)(
34
1
342 002
4
CCCCn
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
168
para 523
)(
45
1
453 113
5
CCCCn
para 6456
1
564 004
6
CCCCn
para 7567
1
675 115
7
CCCCn
765432
17
06
15
04
13
02
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Foacutermula da Recorrecircncia
1)12(
)1(1
)2(
)1( 1)12(
02
k
k
CCk
k
CC
k
k
k
k
Voltando
0n
nnxCy
5
53
314
42
20 xCxCxCxCxCCy
senxCxCy
k
xC
k
xCy
xxxxC
xxxCy
n
kk
n
kk
n
10
0
12
1
0
2
0
753
1
642
0
0
cos
)12(
)1(
)2(
)1(
7536421
Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides
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