Милена Веселић,проф. Задаци на матурском испиту 2014.

1. Поједностави :

2. Подијели полиноме : (

3. Ријеши једначину : ;

4. Ријеши једначину : ;

5. Ријеши једначину : ;

6. Израчунати : ;

7. Израчунати : а ) ; б ) ;

в ) ( ; г ) ;

8. Ријеши једначину у скупу :

9. Ријеши у скупу систем једначина : (

10. Израчунати : ако = 2+ .

11. Наћи реалне бројеве и ако ( .

12. Ако је = одреди .

13. Прикази у Гаусовој равни .

14. Ријеши једначине : а ) 9 − 19 + 2 = 0 ; б ) 5 − 31 +31 − 5 = 0 ;

15. За који параметар једначина ( − ) = 2 ( +1) нема комплексна ријешења .

16. Факторизуј трином : − ( − 6 .

17. Наћи квадратну једначину чије је једнo ријешење .

18. Скрати разломак : =

19. Ријеши једначину у скупу : = .

20. Одреди .

21. Ако је 2 − 3 − 5 = 0 израчунати : а) ; б ) - ;

22. Ријеши једначину : - 3 -4 = 0 .

23. Ријеши једначину : 2 + 5 = 6 · .

24. Ријеши једначину : 0 .

25. За који параметар једначина = 0 , има реална рјешења ?

26. За који параметар функција + 3 + + 2 је негативна за .

27. Ако је , , наћи функцију .

28. Ријеши неједначине : а ) б ) .

29. Ријеши симетричну једначину : 12 + 4 − 41 + 4 + 12 = 0 .

30. Ријеши у скупу систем не једначина : ( 4 - 4 - 9 < 0 ) .

31. Ријеши једначину : ; .

32. Ријеши једначину : 9· + + = .

33. Ријеши једначину : 21· − = 9· .

34. Ријеши једначине : а ) ; б ) ;

в ) ; г ) .

35. Ријеши једначину : 10 = + 3 .

36. Израчунати : .

37. Ријеши неједначинy : <1.

38. Ријеши систем једначина : a ) ( ) ;

б ) ( ) .

39. Израчунај површину и запремину правилне четверостране пирамиде бочне ивице 25 и апотеме 20 .

40. Површина омотача једнакостраног ваљка 169 . Наћи му површину и запремину .

41. Висина праве купе је 12 , а волумен 324 . Колика јој је површина и и угао кружног исјечка у омотачу купе .

42. Правилна усправна шестострана пирамида има бочну ивицу два пута дужу од основне ивице .Наћи нагибни угао бочне стране и основице и површину и запремину.

43. База призме је правоугли троугао чије се катете односе као 3 : 4 и површина му је 96 .Наћи однос запремина описаног и уписаног ваљка призме .

44. Наћи волумен праве зарубљене купе ако јој је површина база једнак 25 и 4 а површина омотача је 35 .45. Троугао странице а = 6 и углова β = 45 = 120 се ротира око странице а .Наћи површину и запремину насталог тијела .46. У куглу волумена 288 уписана је купа са углом од 75 при врху осног пресјека . Наћи запремину купе .

47. Око сфере полупречника описана је зарубљена купа чија једна основа има два пута већу површину од друге основе. Наћи запремину зарубљене купе .

48. За функцију ) наћи нуле и максимуме .

49. Ријеши једначину : ако .

50. Поједностави : .

51. Ако и израчунати = ?

52. Ако и израчунати .

53. Доказати идентитете : а ) + = ; б ) .

54. Наћи тангенту и нормалу из тачке А( <0 ) на параболу = 16 .Одреди површину троугла чија су

тјемена фокус параболе , пресјек директрисе и осе и тачка А .

55. Под којим се углом сијеку криве : ( + +4 = 0 = 8 ) .

56. Наћи тангенту из тачке Т( 4, 2 ) на криву 3 + 4 = 48 .

57. Наћи хиперболу ако јој је фокус F( 15, 0 ) и асимптота +2 = 0 .

58. Наћи једнакострану хиперболу ако конфокална са елипсом 5 + 7 = 35 .

59. Наћи угао између кривих : 9 + 25 = 225 3 − = 12 .

60. Наћи дужину оне тетива параболе = 8 , која пролази тачком А( 2,− 4 )и која је паралелна са

Правом : 2 −2 = 3 .61. Око сфере полупречника описана је зарубљена купа чија једна основа има два пута већу површину

од друге основе. Наћи запремину зарубљене купе .62. Наћи тјеме троугла које се налази на апсцисној оси . Ако му је Р = 4 и два његова тјемена су А( 2, 1) ; В( 3, −2 ).

63. Наћи једначину кружнице која додирује - осу и има радијус 5 .64. Одредити бројеве a, b, c, d од којих прва три броја чине аритметички, а последња три геометријски низ. Збир крајњих бројева је 20, а збир средњих бројева је 15.

65. Три броја чине геометријски низ. Ако средњи члан увећамо за , добија се аритметички низ. Ако се након тога

први члан тог аритметичког низа увећа за , добија се геометријски низ. Наћи та три броја.

66. У геометријском низу су први, трећи и пети члан једнаки првом, четвртом и шеснаестом члану аритметичког низа, редом. Ако је први члан тог аритметичког низа 5, нађи његов четврти члан.

67. Одреди збир рјешења једначине : .

68. Ријеши тригонометријску једначину : 4 + + = 2 .

69. Ријеши тригонометријску неједначину : 2 − 3 < 0 .

70. Израчунати , ако је .

71. Дата је дуж АВ( А( 2, 4) ; В( 8, 2 )).Наћи праву и угао под којим сијече дату дуж ако она полови дуж АВ и пролази кроз координатни почетак .

72. Наћи заједничке тангенте кривих : ( + = 8 +3 = 12 ) .

73. Ријеши неједначину : .

74. Израчунати , ако је < < 2 .

75. Основице трапеза су = 6 = 2 а површина Р = 8 .Наћи унутрашње углове трапеза и обим .

76. Наћи површину правилне зарубљене четверостране пирамиде ако јој је H = 3 V = 38 . Ако се површине база односе као 9 : 4 наћи површину омотача .

77. Наћи λ ако је дужина вектора = ( 1−λ ) + (λ −2 ) једнала 1 .

78. Задане су тачке А( 1, 3) ; В( 2, 4 ); ( 5, 2 ). Ако = = наћи │ + │и површину .

79. Нека су вектори тако да је = 3 = 2 ( , ) = 120 . Одредити :

а ) · б )

80. За који параметар λ су праве p : λ + 2 + 7 = 0 q : + 2 λ + 5 = 0 а ) паралелне ; б ) нормалне .81. Наћи једначину елипсе којој је линеарни ексцентрицитет 3 , нумерички ексцентрицитет ½ . Фокуси елипсе су на - оси .

82. Наћи хиперболу ако пролази тачком Т( 1, 3 ) и права = − 6 је њена асимптота .

83. Наћи тангенту и нормалу из тачке А( 10, > 0 ) на хиперболу − 4 = 64 .

84. За који параметар је права : −3 + +7 = 0 тангента параболе = 8 .

85. Ријеши тригонометријску једначине :

а ) 4 − 2( + )+1 = 0 ; б ) 3 − 4 +5 = 2 ;

в ) 3 + = 1 ; г ) .

86. Наћи тангенту на кружницу ( −1) +( −2 ) = 4 у тачкама пресјека са правом :4 −3 +5 = 0 .

87. Одреди члан биномног развоја , који на садржи .

88. Ријеши једначину = 0 .

89. Ријеши једначину = 42 ; .

90. Наћи домену за .

91. Израчунати : а ) = ? б ) = ?

92. Наћи изводе : a) y = 2x б ) y = ln

в ) y = arcsin .

93. Ријеши неједначину > )(xg ако − .

94. Одреди инверзну функцију и ако је .

95. Под којим углом права = сијече криву x +y = k .

96. Наћи једначину нормалу криве = која је паралелна са правом :2 −2 +3 = 0 .

97. Одреди 13 ( T ) члан биномног развоја ,ако је биномни коефицијент трећег члана 105 .

98. Наћи домену за : а ) б ) +

в ) .

99. Одредити област дефинисаности,нуле и знак функције

100. Наћи збир : + =? .

101. Ријеши хомогени систем једначина : ( +1) + + = 0 +( +1) + = 0 + + ( +1) = 0 .

102. Израчунати : ?

103. Шест продаваца се договори да преуреде продавницу за недељу дана радећи 12h дневно. После 2 дана придруже им се још тројица па се договоре да раде 2h краће дневно.. За колико дана ће преуредити радњу ? 104. У посуди је било 420g 20% раствора соли у води. Услед испаравања тежина се смањила на 300g. Колики је сада проценат соли у води? 105. Промет једне продавнице повећао се у октобру за 20% у односу на септембар, а у новембру је за 30% већи неgо у октобру. Ако је у децембру приход износио 10 680 KM и био за седмину мањи него у новембру ,

колики је приход био у септембру? 106. Колико литара ракије по цени од 13 KM и 11 KM по литру треба помешати да би се добило 525

литара ракије по цени од 12 KM по литру?107. Морска вода садржи 5% соли. Колико литара чисте воде треба помешати са 40 литара морске воде да би се добио раствор са 1% соли?

108. Одреди асимптоте функције :

109. Одреди : .

110. Израчунај .

* * * *

.

1. Конструисати троугао ако су дати следећи елементи: и .2. Решити једначину: .

3. Решити систем једначина: и у случају када има јединствено

решење одредити тако да буде .4. Раставити на чиниоце следеће полиноме: и .

5. а) Упростити израз: ;

б) Доказати идентитет: .

6. Упростити израз: .

7. Доказати идентитет: .

8. Одредити модул комплексног броја: .

9. Решити једначину: .

10. За које је вредности реалног параметра једно решење једначине три пута веће од другог?11. Решити једначину: .12. Дате су функције и . Одредити реалан параметар тако да функције имају једнаке минимуме.13. Скицирати график функције: .

14. Решити неједначину: .

15. У једначини одредити реалан параметар тако да оба решења једначине буду негативна.

16. За које вредности реалног параметра једначина има решења различитог знака?17. У једначини одредити вредност реалног параметра тако да једначина

има реална решења и и да за њих важи релација .

18. Решити једначину: .

19. Решити једначину: .

20. Решити неједначину: .

21. Израчунати: а) ако је и ; б) .

22. Решити једначину: .

23. Решити једначину: .

24. Решити систем једначина: .

25. Решити неједначину: .

26. Решити неједначину: .

27. Упростити израз: .

28. Израчунати ако је и .

29. Доказати идентитет: .

30. Доказати: а) ; б) .

31. а) Упростити: ; б) Доказати: .

32. Испитати ток и нацртати график функције: .

33. Решити једначину: .

34. Решити једначину: .

35. Решити једначину: .

36. Решити једначину: .37. Решити неједначину: .38. Ако је у троуглу и површина , израчунати ужине страница троугла. 39. Дијагонале једнакокраког трапеза су узајамно нормалне. Наћи површину трапеза ако је крак

једнак и ако се дужине основица односе као 3:1.40. У круг полупречника смештена су три подударна круга који се међусобно додирују и који

додирују дати круг. Израчунати површину фигуре ограничене са та три круга. 41. Дата је правилна четворострана пирамида основне ивице и бочне ивице .

Израчунати ивицу коцке која је уписана у ту пирамиду тако да се њена четири горња темена налазе на ивицама пирамиде.

42. Основа косог паралелепипеда је ромб са оштрим углом од , а једна бочна ивица гради са суседним ивицама основе углове од . Израчунати запремину паралелепипеда ако су дужине свих његових ивица једнаке а.

43. Израчунати површину и запремину правилне шестостране призме, основне ивице , ако је површина њеног највећег дијагоналног пресека .

44. Центар горње основе коцке и средишта ивица њене доње основе су темена ирамиде. Колика је површина омотача пирамиде ако је ивица коцке а ?

45. У правилну тространу пирамиду уписана је правилна тространа призма чија је горња основа паралелан пресек пирамиде, а њена доња основа припада равни основе пирамиде. Основна ивица пирамиде је и висина . Површина омотача призме је . Одредити однос запремина призме и пирамиде.

46. Наћи запремину правилне тростране пирамиде висине ако су сви бочни углови при врху прави.

47. Одредити запремину правилне четворостране зарубљене пирамиде ако је већа основна ивица а, мања основна ивица , нагибни угао бочне стране једнак .

48. У тространу призму чије су основне ивице , и уписан је и око ње описан ваљак. Наћи однос запремина та два ваљка.

49. Одредити запремину праве купе ако њен омотач развијен у равни чини кружни исечак са централним углом од и полупречником .

50. Трапез основица и и висине обрће се око странице . Наћи запремину обртног тела.51. Полупречници основа зарубљене купе су и . Изводница је нагнута према равни основе под

углом . Израчунати површину омотача и запремину купе.52. У круг је уписан квадрат и једнакостранични троугао тако да је једна страница троугла

паралелна страници квадрата. Обртањем ове слике око њене осе симетрије настају лопта, ваљак и купа. Наћи однос површина и однос запремина ових тела.

53. У лопту полупречника уписана је правилна тространа пирамида са углом између бочних ивица. Наћи висину пирамиде.

54. Решити систем једначина за разне вредности параметра: 55. Тачке и су темена пирамиде. а) Израчунати запремину те

пирамиде; б) Израчунати висину која одговара темену .56. Дата је права и тачка . Одредити тачку симетричну тачки у

односу на праву .57. Одредити међусобно растојање паралелних правих: и . 58. У троуглу висина припада правој , а тежишна дуж правој . Ако је

, наћи дужину странице и угао између те странице и тежишне дужи .59. На кругу наћи тачку најближу правој и израчунати

одстојање тачке од те праве. 60. Одредити једначину тангенти елипсе која са правом гради угао од

.

61. Елипса и круг имају три заједничке тачке и .

а) Одредити координате тачака и ; б) Наћи једначине тангената у тачкама и ; ц) Израчунати површину троугла који образују те тангенте.

62. Наћи једначину хиперболе , ако су њене асимптоте и ако је једна њена

тангента .

63. У тачки конструисана је тангента елипсе . Ова права одређије

тетиву хиперболе . Колика је дужина те тетиве.

64. Наћи једначине заједничких тангенти елипсе и параболе .

65. Доказати да за све природне бројеве важи:

а) ; б) .

66. Збир првих чланова аритметичког низа је . Наћи разлику тог низа.

67. Одредити геометријски низ ако је збир другог и трећег члана 6, а четврти члан је за 24 већи од другог члана.

68. Три броја образују геометријски низ. Ако се други члан повећа за 8, низ постаје аритметички; ако се затим последњи члан овог аритметичког низа повећа за 64, добија се опет један геометријски низ. Одредити три поменута броја.

69. Одредити: а) ; б) .

70. Применом Моаврове формуле израчунати: .

71. а) Одредити област дефинисаности функције: ;

б) Испитати знак и одредити нуле функције: .

72. Нека је , , , . Доказати да је

и .

73. Одредити: а) ; б) .

74. 74. Одредити: а) ; б) .

75. Одредити асимптоте функције: .

76. Одредити изводе функција: а) ; б) .

77. Наћи други извод ф-ја: а) ; б) .

78. Доказати да се следеће криве секу под правим углом: и , .

79. Одредити тачке максимума и минимума и интервале монотоности функције: .80. Од свих ваљака уписаних у сферу полупречника највећу површину омотача има онај чија је

висина . Доказати.

81. Испитати конвексност и конкавност и одредити превојне тачке графика функције: а) ; б) .

82. Испитати ток и скицирати график функције: .

83. Испитати ток и скицирати график функције: .

84. Одредити: а) б) .

85. Одредити: а) б) .

86. Одредити: а) б) .

87. Одредити: а) б) .

88. Одредити: а) б) .

89. Израчунати површину фигуре ограничене кривим: и .

90. Израчунати површину фигуре ограничене линијама: и .

91. У тачки параболе конструисана је тангента. Израчунати запремину тела које настаје ротацијом око осе фигуре ограничене овом тангентом, параболом и осом.

92. Израчунати запремину тела добијеног ротацијом око осе фигуре граничене линијама:

и .

93. Колико има различитих четвороцифрених бројева дељивих са 5 записаних помоћу цифара 0, 1, 2, 3, 4, 5 ако:

а) ниједан број не садржи једнаке цифре; б) цифре се могу понављати.94. а) Да би добио позитивну оцену на писменом задатку ученик треба да уради два задатка од 6.

На колико начина он може изабрати та два питања? б) У скупу од 100 тачака има тачно 7 четворки колинеарних тачака. Колико је највише различитих правих одређено овим скупом тачака?

95. а) Решити једначину: ;

б) Решити неједначину: .

96. Трећи члан у развоју , не садржи . Одредити све

вредности за тако да тај члан буде једнак другом члану у развоју .97. Одредити

а) тако да четврти члан у развоју бинома , буде једнак 200.

б) ако је познато да је трећи члан у развоју бинома једнак 1000.

в) ако је шести члан у развоју бинома једнак 84.

98. а) Студент зна 85 од 100 питања. На испиту се извлачи цедуља са 3 питања. Ако су питања независна, наћи вероватноћу догађаја да студент извуче цедуљу на којој зна бар два питања;

б) У једној кутији су 8 белих и 2 црне куглице, а у другој 4 беле и 5 црних куглица. Из прве кутије се случајно и истовремено бирају три куглице и пребацују у другу кутију. Затим се из друге кутије извлачи једна куглица. Која је вероватноћа да је та куглица бела?

99. На усменом испиту студент извлачи једну од цедуља, од којих свака садржи два питања. Студент не зна одговоре на свих питања, већ само на .

Наћи вероватноћу догађаја да ће студент положити испит, ако је за то довољно да одговори на оба питања са своје цедуље или на једно питање са своје цедуље и на једно питање (по избору професора) са допунске цедуље.100. а) На столу се налазе три једнаке кутије. У првој кутији се налази белих и црних

куглица, у другој белих и црних куглица, а у трећој су само беле куглице. Из једне од кутија се вади једна куглица. Наћи вероватноћу да она буде бела.

б) У Ивановом одељењу има 32 ученика. На сваком часу професор математике на случајан начин бира и испитује три ученика (на једном часу један ученик највише једном одговара). Одредити вероватноћу да ће Иван за 6 часова одговарати бар једном.

Funkcije :

1.

2.

3.

4.