matrices - álgebra lineal
TRANSCRIPT
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
MATRICES
Martha C. Moreno
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
MATRICES
Martha C. Moreno
Departamento de Matematicas
Universidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Introduccion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Introduccion
El trabajo con modelos de gran dimension, es decir que manejanconjuntos con amplia iformacion (variables, datos, ecuaciones) sesimplifica cuando se usan matrices, debido a la notacion compactay simplificada.
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Introduccion
El trabajo con modelos de gran dimension, es decir que manejanconjuntos con amplia iformacion (variables, datos, ecuaciones) sesimplifica cuando se usan matrices, debido a la notacion compactay simplificada.
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz es un arreglo rectangular de numeros (reales ocomplejos)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz es un arreglo rectangular de numeros (reales ocomplejos)
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz es un arreglo rectangular de numeros (reales ocomplejos)
Ejemplo
E =
17 124 56 48 3
4×2
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz es un arreglo rectangular de numeros (reales ocomplejos)
Ejemplo
E =
17 124 56 48 3
4×2
A =
3 −215
1
0√2
3×2
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz es un arreglo rectangular de numeros (reales ocomplejos)
Ejemplo
E =
17 124 56 48 3
4×2
A =
3 −215
1
0√2
3×2
B =
(
1 −2 3 45 1 −9 8
)
2×4
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
En General notaremos
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
En General notaremos
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
En General notaremos
A =
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · anm
n×m
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
En General notaremos
A =
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · anm
n×m
A = (aij)n×m
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
En General notaremos
A =
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · anm
n×m
A = (aij)n×m
n −→ Filas
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
En General notaremos
A =
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · anm
n×m
A = (aij)n×m
n −→ Filasm −→Columnas
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j
A =
(
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j
A =
(
0
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j
A =
(
0 2
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j
A =
(
0 2 0
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j
A =
(
0 2 01
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j
A =
(
0 2 01 3
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j
A =
(
0 2 01 3 1
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Dos matrices A y B del mismo tamano son Iguales si lascomponentes correspondientes son iguales, es decir que si:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Dos matrices A y B del mismo tamano son Iguales si lascomponentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij)n×m y B = (bij)n×m
son dos matrices diremos que:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Dos matrices A y B del mismo tamano son Iguales si lascomponentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij)n×m y B = (bij)n×m
son dos matrices diremos que:
A = B
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Dos matrices A y B del mismo tamano son Iguales si lascomponentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij)n×m y B = (bij)n×m
son dos matrices diremos que:
A = B si y solo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Dos matrices A y B del mismo tamano son Iguales si lascomponentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij)n×m y B = (bij)n×m
son dos matrices diremos que:
A = B si y solo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m
Ejercicio
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Dos matrices A y B del mismo tamano son Iguales si lascomponentes correspondientes son iguales, es decir que si:
A = (aij)n×m y B = (bij)n×m
son dos matrices diremos que:
A = B si y solo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m
Ejercicio
A =
(
2 −1 45 4 2
)
y B =
(
2 x + 3 4z y − 5 m
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A =(
a11 a12 · · · a1m)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A =(
a11 a12 · · · a1m)
Matriz Columna
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A =(
a11 a12 · · · a1m)
Matriz Columna Si m = 1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A =(
a11 a12 · · · a1m)
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11a21. . .
an1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A =(
a11 a12 · · · a1m)
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11a21. . .
an1
Matriz Cuadrada
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A =(
a11 a12 · · · a1m)
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11a21. . .
an1
Matriz Cuadrada Si n = m
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A =(
a11 a12 · · · a1m)
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11a21. . .
an1
Matriz Cuadrada Si n = m
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
A = (aij)n×m
Segun el tamano se clasifican en:
Matriz Fila Si n = 1 A =(
a11 a12 · · · a1m)
Matriz Columna Si m = 1 A =
a11a21. . .
an1
Matriz Cuadrada Si n = m
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Diagonal Principal
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonal
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonalEs decir si aij = 0 para i 6= j
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonalEs decir si aij = 0 para i 6= j
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonalEs decir si aij = 0 para i 6= j
Ejemplo
C =
3 0 00 8 00 0 0
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonalEs decir si aij = 0 para i 6= j
Ejemplo
C =
3 0 00 8 00 0 0
D =
(
10 00 8
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonalson iguales, se denomina Matriz Escalar
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonalson iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonalson iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
C =
4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonalson iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
C =
4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4
I =
1 0 00 1 00 0 1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonalson iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
C =
4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4
I =
1 0 00 1 00 0 1
= I3
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonalson iguales, se denomina Matriz Escalar
Ejemplo
C =
4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4
I =
1 0 00 1 00 0 1
= I3 Matriz Identidad o Identica
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular Superior
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular SuperiorEs decir si aij = 0 para i > j
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular SuperiorEs decir si aij = 0 para i > j
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular SuperiorEs decir si aij = 0 para i > j
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular SuperiorEs decir si aij = 0 para i > j
Ejemplo
M =
1 6 −20 4 150 0 6
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular SuperiorEs decir si aij = 0 para i > j
Ejemplo
M =
1 6 −20 4 150 0 6
S =
0 0 4 −90 3 4 6
0 0 13
50 0 0 17
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejercicio
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejercicio
¿Como se define una matriz triangular inferior?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejercicio
¿Como se define una matriz triangular inferior?
¿Una matriz cuadrada puede ser triangular inferior y triangularsuperior simultaneamente?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×m
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×mEntonces:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×mEntonces:
A+ B = C = (cij )n×m = (aij + bij)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×mEntonces:
A+ B = C = (cij )n×m = (aij + bij)
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×mEntonces:
A+ B = C = (cij )n×m = (aij + bij)
Ejemplo(
2 −1 45 4 2
)
+
(
5 2 −3−8 1 4
)
=
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Operaciones
Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×mEntonces:
A+ B = C = (cij )n×m = (aij + bij)
Ejemplo(
2 −1 45 4 2
)
+
(
5 2 −3−8 1 4
)
=
(
7 1 1−3 5 6
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A Modulativa
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A Modulativa
Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A Modulativa
Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A Modulativa
Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0 Inverso Aditivo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la suma
Sean A, B , C matrices n×m
A+ B = B + A Conmutativa
A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa
Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A Modulativa
Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0 Inverso Aditivo
A− B = A+ (−B)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto por Escalar
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto por Escalar
Sea A = (aij)n×m y k ∈ R
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto por Escalar
Sea A = (aij)n×m y k ∈ R
Entonces:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto por Escalar
Sea A = (aij)n×m y k ∈ R
Entonces:
kA = (k aij)n×m
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto por Escalar
Sea A = (aij)n×m y k ∈ R
Entonces:
kA = (k aij)n×m
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto por Escalar
Sea A = (aij)n×m y k ∈ R
Entonces:
kA = (k aij)n×m
Ejemplo
2
(
2 −1 45 4 2
)
=
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto por Escalar
Sea A = (aij)n×m y k ∈ R
Entonces:
kA = (k aij)n×m
Ejemplo
2
(
2 −1 45 4 2
)
=
(
4 −2 810 8 4
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales
α(βA) = (αβ)A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α+ β)A = αA + βA
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α+ β)A = αA + βADistributiva respecto a suma de escalares
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α+ β)A = αA + βADistributiva respecto a suma de escalares
α(A + B) = αA + αB
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α+ β)A = αA + βADistributiva respecto a suma de escalares
α(A + B) = αA + αBDistributiva respecto a suma de matrices
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto por Escalar
Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales
α(βA) = (αβ)A
(α+ β)A = αA + βADistributiva respecto a suma de escalares
α(A + B) = αA + αBDistributiva respecto a suma de matrices
1A = A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Si A y B son diagonales, entonces A+ B es diagonal?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Si A y B son diagonales, entonces A+ B es diagonal?
Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Si A y B son diagonales, entonces A+ B es diagonal?
Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?
Si A y B son triangulares, entonces A+ B es triangular?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Si A y B son diagonales, entonces A+ B es diagonal?
Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?
Si A y B son triangulares, entonces A+ B es triangular?
Si A y B son triangulares superiores, entonces A+ B estriangular superior?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Preguntas
Sean A, B matrices n × n y α ∈ R
Si A y B son diagonales, entonces A+ B es diagonal?
Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?
Si A y B son triangulares, entonces A+ B es triangular?
Si A y B son triangulares superiores, entonces A+ B estriangular superior?
Si A es triangular, entonces αA es triangular?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak
es la matriz:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Sean: I =
(
1 00 1
)
y D =
(
1 00 0
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Sean: I =
(
1 00 1
)
y D =
(
1 00 0
)
Calcular la c.l −2I + 4D
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Sean: I =
(
1 00 1
)
y D =
(
1 00 0
)
Calcular la c.l −2I + 4D(
3 00 2
)
es c.l de I y D?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak
es la matriz:
α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk
con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k
Ejercicio
Sean: I =
(
1 00 1
)
y D =
(
1 00 0
)
Calcular la c.l −2I + 4D(
3 00 2
)
es c.l de I y D?
(
4 10 −3
)
es c.l de I y D?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Transpuesta
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Transpuesta
Sea A = (aij)n×m
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Transpuesta
Sea A = (aij)n×m
Entonces:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Transpuesta
Sea A = (aij)n×m
Entonces:
At = (aji)m×n
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Transpuesta
Sea A = (aij)n×m
Entonces:
At = (aji)m×n
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Transpuesta
Sea A = (aij)n×m
Entonces:
At = (aji)m×n
Ejemplo
(
2 −1 45 4 2
)t
=
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Transpuesta
Sea A = (aij)n×m
Entonces:
At = (aji)m×n
Ejemplo
(
2 −1 45 4 2
)t
=
2 5−1 44 2
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Transpuesta
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Transpuesta
Sean A, B matrices n ×m y α ∈ R
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Transpuesta
Sean A, B matrices n ×m y α ∈ R
(At)t = A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Transpuesta
Sean A, B matrices n ×m y α ∈ R
(At)t = A
(A+ B)t = At + B t
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Transpuesta
Sean A, B matrices n ×m y α ∈ R
(At)t = A
(A+ B)t = At + B t
(αA)t = αAt
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Simetricas y Antisimetricas
Sea A = (aij)n×n
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Simetricas y Antisimetricas
Sea A = (aij)n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Simetricas y Antisimetricas
Sea A = (aij)n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.Si At = −A, entonces la matriz A es Antisimetrica.
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Simetricas y Antisimetricas
Sea A = (aij)n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.Si At = −A, entonces la matriz A es Antisimetrica.
Ejemplo
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Simetricas y Antisimetricas
Sea A = (aij)n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.Si At = −A, entonces la matriz A es Antisimetrica.
Ejemplo
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B? ¿ αA conα ∈ R?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Simetricas y Antisimetricas
Sea A = (aij)n×n
Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.Si At = −A, entonces la matriz A es Antisimetrica.
Ejemplo
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B? ¿ αA conα ∈ R?
Si C es una matriz cuadrada, las matrices C + C t y C − C t
¿son simetricas o antisimetricas?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Multiplicacion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Multiplicacion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Multiplicacion
Producto Punto:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Multiplicacion
Producto Punto:
Sean A =(
a11 a12 · · · a1n)
1×ny B =
b11b21. .
bn1
n×1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Multiplicacion
Producto Punto:
Sean A =(
a11 a12 · · · a1n)
1×ny B =
b11b21. .
bn1
n×1
Entonces:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Multiplicacion
Producto Punto:
Sean A =(
a11 a12 · · · a1n)
1×ny B =
b11b21. .
bn1
n×1
Entonces:A • B = a11b11 + a12b21 + ..... + a1nbn1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Multiplicacion
Producto Punto:
Sean A =(
a11 a12 · · · a1n)
1×ny B =
b11b21. .
bn1
n×1
Entonces:A • B = a11b11 + a12b21 + ..... + a1nbn1A • B ∈ R
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de B
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:
AB =
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Si C = (cij ) = AB , entonces:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Si C = (cij ) = AB , entonces:
cij = Ai • B j
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Si C = (cij ) = AB , entonces:
cij = Ai • B j = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Producto entre Matrices
Sean An×m y Bm×p
Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:
AB =
A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp
A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An • B1 An • B2 · · · An • Bp
Si C = (cij ) = AB , entonces:
cij = Ai • B j = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj =∑m
k=1 aikbkj
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
El producto AB esta definido si el numero de columnas de Acoincide con el numero de filas de B
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
El producto AB esta definido si el numero de columnas de Acoincide con el numero de filas de B
An×mBm×p = Cn×p
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
El producto AB esta definido si el numero de columnas de Acoincide con el numero de filas de B
An×mBm×p = Cn×p
¿El producto de dos matrices del mismo tamano esta definido?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
El producto AB esta definido si el numero de columnas de Acoincide con el numero de filas de B
An×mBm×p = Cn×p
¿El producto de dos matrices del mismo tamano esta definido?
Si A es una matriz 3× 5 y AB es una matriz 3× 7. ¿Cual esel tamano de B?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
El producto AB esta definido si el numero de columnas de Acoincide con el numero de filas de B
An×mBm×p = Cn×p
¿El producto de dos matrices del mismo tamano esta definido?
Si A es una matriz 3× 5 y AB es una matriz 3× 7. ¿Cual esel tamano de B?
¿Cuantas filas tiene la matriz B si BA es de tamano 2× 6?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t ,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE, DE t ,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Consideremos las matrices:
A =
(
2 13 4
)
, B =
(
1 26 5
)
, C =
(
1 −13 2
)
,
D =
1 12 −1−3 2
, E =
1 00 −21 −1
¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE, DE t , E tD.
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P =
(
5 7 12)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P =
(
5 7 12)
Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P =
(
5 7 12)
Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,enla matriz M se dan el numero de unidades de cada materia primaque se utilizara en cada tipo de casa:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Ejemplo
Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P =
(
5 7 12)
Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,enla matriz M se dan el numero de unidades de cada materia primaque se utilizara en cada tipo de casa:
M =
Acero Madera Vidrio Pintura Manodeobrarustico 5 20 16 7 17moderno 7 18 12 9 21colonial 6 25 8 5 13
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
M =
5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
M =
5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria parasatisfacer los pedidos:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
M =
5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria parasatisfacer los pedidos:
PM =(
5 7 12)
5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
=
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
M =
5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria parasatisfacer los pedidos:
PM =(
5 7 12)
5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
=
(
146 526 260 158 388)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendra que pagar por estas materiasprimas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, lapintura y la mano de obra son respectivamente:2500, 1200, 800, 150y1500
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendra que pagar por estas materiasprimas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, lapintura y la mano de obra son respectivamente:2500, 1200, 800, 150y1500
C =
250012008001501500
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendra que pagar por estas materiasprimas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, lapintura y la mano de obra son respectivamente:2500, 1200, 800, 150y1500
C =
250012008001501500
MC =
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendra que pagar por estas materiasprimas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, lapintura y la mano de obra son respectivamente:2500, 1200, 800, 150y1500
C =
250012008001501500
MC =
5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
250012008001501500
=
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Determinar el valor que se tendra que pagar por estas materiasprimas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, lapintura y la mano de obra son respectivamente:2500, 1200, 800, 150y1500
C =
250012008001501500
MC =
5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13
250012008001501500
=
758508155071650
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa sera:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa sera:
PMC = P(MC ) =
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa sera:
PMC = P(MC ) =(
5 7 12)
758508155071650
=
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa sera:
PMC = P(MC ) =(
5 7 12)
758508155071650
= 1,8099 × 106
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa sera:
PMC = P(MC ) =(
5 7 12)
758508155071650
= 1,8099 × 106
Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo detransportar la materia prima al lugar de la construccion, ası comoel costo de compra y los datos estan en la matriz:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa sera:
PMC = P(MC ) =(
5 7 12)
758508155071650
= 1,8099 × 106
Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo detransportar la materia prima al lugar de la construccion, ası comoel costo de compra y los datos estan en la matriz:
C ′ =
Compra TransporteAcero 2500 45Madera 1200 20Vidrio 800 30Pintura 150 5
Manodeobra 1500 0
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa sera:
PMC = P(MC ) =(
5 7 12)
758508155071650
= 1,8099 × 106
Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo detransportar la materia prima al lugar de la construccion, ası comoel costo de compra y los datos estan en la matriz:
C ′ =
Compra TransporteAcero 2500 45Madera 1200 20Vidrio 800 30Pintura 150 5
Manodeobra 1500 0
MC ′
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
El costo total de cada tipo de casa sera:
PMC = P(MC ) =(
5 7 12)
758508155071650
= 1,8099 × 106
Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo detransportar la materia prima al lugar de la construccion, ası comoel costo de compra y los datos estan en la matriz:
C ′ =
Compra TransporteAcero 2500 45Madera 1200 20Vidrio 800 30Pintura 150 5
Manodeobra 1500 0
MC ′ Que representa PMC ′?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)Asociativa con el producto por escalar
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)Asociativa con el producto por escalar
Am×nIn = A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)Asociativa con el producto por escalar
Am×nIn = A Modulo a derecha
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)Asociativa con el producto por escalar
Am×nIn = A Modulo a derecha
ImAm×n = A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades del Producto de Matrices
Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R
El producto de matrices en general NO es conmutaivo.
Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa
Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda
(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha
α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)Asociativa con el producto por escalar
Am×nIn = A Modulo a derecha
ImAm×n = A Modulo a izquierda
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
An×nIn = InAn×n = A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
An×nIn = InAn×n = A Modulativa
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
An×nIn = InAn×n = A Modulativa
(An×mBm×p)t = B tAt
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Si A =
(
−2 32 −3
)
B =
(
−1 32 0
)
y C =
(
−4 −30 −4
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Si A =
(
−2 32 −3
)
B =
(
−1 32 0
)
y C =
(
−4 −30 −4
)
Calcule AB y AC
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Si A =
(
−2 32 −3
)
B =
(
−1 32 0
)
y C =
(
−4 −30 −4
)
Calcule AB y AC
Si A =
(
1 20 1
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Si A =
(
−2 32 −3
)
B =
(
−1 32 0
)
y C =
(
−4 −30 −4
)
Calcule AB y AC
Si A =
(
1 20 1
)
Encontrar B2×2 que conmute con A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Si A =
(
−2 32 −3
)
B =
(
−1 32 0
)
y C =
(
−4 −30 −4
)
Calcule AB y AC
Si A =
(
1 20 1
)
Encontrar B2×2 que conmute con A
Si A =
(
−2 32 −3
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Si A =
(
−2 32 −3
)
B =
(
−1 32 0
)
y C =
(
−4 −30 −4
)
Calcule AB y AC
Si A =
(
1 20 1
)
Encontrar B2×2 que conmute con A
Si A =
(
−2 32 −3
)
Calcular: A2 + 2A− 3I
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Si A =
(
−2 32 −3
)
B =
(
−1 32 0
)
y C =
(
−4 −30 −4
)
Calcule AB y AC
Si A =
(
1 20 1
)
Encontrar B2×2 que conmute con A
Si A =
(
−2 32 −3
)
Calcular: A2 + 2A− 3I
Si A y B son matrices cuadradas de tamano n× n
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Nota
Sean A =
(
−2 32 −3
)
y B =
(
3 62 4
)
Calcule AB
Si A =
(
−2 32 −3
)
B =
(
−1 32 0
)
y C =
(
−4 −30 −4
)
Calcule AB y AC
Si A =
(
1 20 1
)
Encontrar B2×2 que conmute con A
Si A =
(
−2 32 −3
)
Calcular: A2 + 2A− 3I
Si A y B son matrices cuadradas de tamano n× nAB + 3A =
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Ortogonales
Sea A = (aij)n×n
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Ortogonales
Sea A = (aij)n×n
Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Ortogonales
Sea A = (aij)n×n
Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Ortogonales
Sea A = (aij)n×n
Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal
Ejemplo
I es ortogonal?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Ortogonales
Sea A = (aij)n×n
Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal
Ejemplo
I es ortogonal?
A =
(√32
−12
12
√32
)
es ortogonal?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij)n×n
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij)n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij)n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente,
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij)n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente, el menor k que satisface la condicion se denominaIndice de nilpotencia
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij)n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente, el menor k que satisface la condicion se denominaIndice de nilpotencia
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij)n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente, el menor k que satisface la condicion se denominaIndice de nilpotencia
Ejemplo
A =
(
−1 1−2 2
)
es idempotente?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matrices Idempotentes, Nulipotentes
Sea A = (aij)n×n
Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente
Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente, el menor k que satisface la condicion se denominaIndice de nilpotencia
Ejemplo
A =
(
−1 1−2 2
)
es idempotente?
A =
(
0 00 1
)
es idempotente o nilpotente?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular oinvertible, si existe Bn×n talque:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular oinvertible, si existe Bn×n talque:
AB = BA = In
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular oinvertible, si existe Bn×n talque:
AB = BA = In
Ejercicio
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular oinvertible, si existe Bn×n talque:
AB = BA = In
Ejercicio
Es B la inversa de A ?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular oinvertible, si existe Bn×n talque:
AB = BA = In
Ejercicio
Es B la inversa de A ?
A =
(
4 23 1
)
B =
(
1 −23 4
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Definicion
Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular oinvertible, si existe Bn×n talque:
AB = BA = In
Ejercicio
Es B la inversa de A ?
A =
(
4 23 1
)
B =
(
1 −23 4
)
A =
(
3 51 2
)
B =
(
2 −5−1 3
)
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}
La inversa es unica
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}
La inversa es unica(A−1)−1 = A
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}
La inversa es unica(A−1)−1 = A(At)−1 = (A−1)t
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}
La inversa es unica(A−1)−1 = A(At)−1 = (A−1)t
(AB)−1 = B−1A−1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}
La inversa es unica(A−1)−1 = A(At)−1 = (A−1)t
(AB)−1 = B−1A−1
(αA)−1 = 1αA−1
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}
La inversa es unica(A−1)−1 = A(At)−1 = (A−1)t
(AB)−1 = B−1A−1
(αA)−1 = 1αA−1
(An)−1 = (A−1)n = A−n
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matriz Involutiva
Sea A = (aij)n×n no singular
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matriz Involutiva
Sea A = (aij)n×n no singular
Si A−1 = A, entonces A es Involutiva
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matriz Involutiva
Sea A = (aij)n×n no singular
Si A−1 = A, entonces A es Involutiva
Ejemplo
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matriz Involutiva
Sea A = (aij)n×n no singular
Si A−1 = A, entonces A es Involutiva
Ejemplo
I es involutiva?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matriz Involutiva
Sea A = (aij)n×n no singular
Si A−1 = A, entonces A es Involutiva
Ejemplo
I es involutiva?
A =
(
3 −42 −3
)
es involutiva?
Martha C. Moreno MATRICES
IntroduccionMatrices
Clases de MatricesOperaciones
Matriz Inversa
Matriz Involutiva
Sea A = (aij)n×n no singular
Si A−1 = A, entonces A es Involutiva
Ejemplo
I es involutiva?
A =
(
3 −42 −3
)
es involutiva?
Nota
¿Una matriz ortogonal An×n es no singular?
Martha C. Moreno MATRICES