Matrices, Vectores & Álgebra de Matrices

Una Introducción para en Análisis Económico

J.C.Segura-Ortiz

Universidad de Santo Tomás de Aquino

Maestría en Ciencias Económicas, 2017

Plan

1. Discusión Inicial: Motivación

� Análisis Económico y Modelamiento

� Economists do it with Models (¡!)

� Modelos Analíticos y Modelos Matemáticos

2. Matrices y Modelos de Economía

� Sistemas de Ecuaciones

� Matrices, Vectores, Espacios Vectoriales

� Operaciones Básicas entre Matrices

� Determinante de una Matriz Cuadradas

� La matriz Inversa de una Matriz

3. Algunas Aplicaciones

� Soluciones Minimocuadráticas a sistemas impropios

� Input-Output analysis

1. Discusión Inicial: Motivación

� Análisis Económico y Modelamiento

� Economists do it with Models (¡!)

� Modelos, Modelos Analíticos y Modelos Matemáticos

“Economists do it with models” (an old joke)

� El mundo real es complejo y su estudio, requiere la

abstracción de las características relevantes para el

investigador. Un modelo es una abstracción del objeto que es

sujeto de estudio.

� Un modelo económico es un marco teórico, y no tiene que ser

matemático (Chiang, 2009: 5) .

� No obstante si se decide construir un modelo matemático de

economía, este constará de un conjunto de ecuaciones que

describen la estructura del modelo. (Chiang, id).

� Las ecuaciones, en general, relacionan variables en forma

lineal o no lineal. Describen condiciones de equilibrio,

comportamientos, etc.

Variables, Constantes, Parámetros (Chiang 2009:05 & ss)

� Variable: Objeto analítico cuyo valor es susceptible de

cambiar. Se representan mediante símbolos, ―en oposición a

representaciones numéricas. (ejemplos de variables en

economía?

� Variables Endógenas: Aquellas para las cuales el modelo

produce una solución. Ejemplos?

� Variables Exógenas: Variables que vienen determinadas desde

fuera del modelo. Ejemplos?

� Parámetros, Coeficientes, Constantes ~ Semejan a las

Variables Exógenas en cuanto presunciones del modelo.

Ecuaciones e Identidades (Chiang 2009:05 & ss)

� El modelo combina variables exógenas y endógenas mediante

combinaciones algebráicas entre ellas dando lugar a

ecuaciones y/o identidades.

� Chiang propone tres tipos de expresiones:

o Identidades (eqn definicional): Define o establece

identidad entre dos expresiones alternativas con el mismo

significado: � ≡ �′� − �′�

o Ecuaciones de Comportamiento: Define el comportamiento

de una variable como resultado de cambios en otra(s)

variable(s): ��p� = ��∙p′� ∙ ����

o Ecuaciones Condicionales: Expresa condiciones a satisfacer.

Ejemplo: Condiciones de Equilibrio: Cantidad Demandada =

Cantidad Ofrecida, CMg = IMg, etc.

Considere un modelo elemental de mercado

Demanda: �� = � − �� [1]

Oferta: �� = −� � �� [2]

Condición de Equilibrio: �� = �� [3]

Imagen tomada de Chiang, 2009, Op. Cit.

¿Cuáles son sus soluciones? � − �� = −� � ��

P∗ = a � cd � b

�∗ = a − b $a � cd � b% = ��� � �� − ��� � ��� � � = �� − ��� � �

Ejercicio: Suponga la siguiente parametrización del modelo [1]~[3] � = 21, � = 3, � = 4, � = 8. Cuál es ��∗, �∗� . Trace en el plano.

Considere ahora un modelo de dos (2) mercados que se

caracteriza por el siguiente sistema de ecuaciones:

[4]

,-.-/��� − ��� = 0��� = �1 � ���� � �2�2��� = �1 � ���� � �2�2��2 − ��2 = 0��2 = �1 � ���� � �2�2��2 = 31 � 3��� � 32�2

Mediante sustitución de variables

[5] 4��1 − �1� � ��� − ����� � ��2 − �2��2 = 0��1 − 31� � ��� − 3���� � ��2 − 32��2 = 0

Sean 4� ≡ �� − ��∀7 = 0,1,28 ≡ �� − 3�∀7 = 0,1,2

De este modo [5] puede escribirse

[5’] 4���� � �2�2 = −�18��� � 82�2 = −81

Cuyas soluciones son (verifique que es así):

��∗ = �281 − �182��82 − �28�

�2∗ = �18� − ��81��82 − �28�

¿Estas soluciones siempre tienen sentido?

En general, un modelo de m ecuaciones en n variables puede

escribirse:

9 ���� � ��22 �⋯� ��;; = ���2�� � �222 �⋯� �2;; = �2⋯�<��� � �<22 �⋯� �<;; = �<

Los índices importan: �<2 es el coeficiente de la variable 2 en la

m-ésimo ecuación. �2; es el coeficiente de la n-ésimo variable en

la ecuación 2.

El sistema de ecuaciones contiene tres (3) tipos de entidades:

� Coeficientes: Los elementos �=

� Variables: Los elementos =

� Constantes: Los Elementos �

Coeficientes, Variables y Constantes se pueden disponer en

arreglos, i.e.,

> = ?��� ��2 ⋯ ��;�2� �22 ⋯ ��;⋮ ⋮ ⋱ ⋮�<� �<2 ⋯ �<;B = ?�2⋮;B � = ?���2⋮�;

B

Note que el modelo [5’] admite una representación alternativa:

C�� �28� 82D $���2% = C−�1−81D

Rango de una Matriz

Sea una matriz (�=) de tamaño E× G y considere por separado cada una de

sus filas >�⋯><. La i-ésima fila está conformada por los elementos: > = H��, �2, ⋯ , �= , ⋯ �;I∀7 = 1,… ,E

Si K = {>�⋯><} es no vacía, entonces la ecuación N�>� � N2>2 �⋯� N=>= �⋯N;>; = 0

con N�, … , N; escalares tiene, al menos una solución, i.e., N� = N2 = ⋯ = N= = ⋯ = N; = 0

Caso en el cual se dice que los vectores en K son linealmente

independientes.

Si por el contrario existen otras soluciones, entonces los vectores

en K son linealmente dependientes.

Geométricamente, dos vectores v�, v2 son linealmente independientes ssi los vectores no están en la misma línea, con sus puntos iniciales en el origen.

En PQ se dice que un par de vectores es linealmente independiente, si al ponerlos con sus puntos iniciales en el origen, NO caen en el mismo plano

� Teorema: un conjunto S con al menos dos vectores:

o Presenta Dependencia lineal ssi al menos uno de los

vectores puede expresarse como una combinación lineal

de los otros vectores.

o Es linealmente independiente si ningún vector en S puede

expresarse como combinación lineal de los otros.

� Dada una matriz > el número máximo de vectores fila

linealmente independientes se llama Rango de R.

� Si > tiene E filas y G columnas, y G > E entonces el máximo

rango posible de > es E.

� El número de vectores columna linealmente independientes

de > es igual al número de vectores fila linealmente

independientes (demostrarlo). Por lo tanto, el rango de una

matriz es el número máximo de vectores (fila o columna)

linealmente independientes de la matriz.

Ejemplo:

Los vectores >� = �1,0,0�, >2 = �0,1,0�, y >Q� = �0,0,1� son

linealmente independientes:

N�>� � N2>2 � NQ>Q = �N�, N2, N�� = 0 ↔ N� = N2 = N� = 0

Como consecuencia, el rango de la matriz

U = V1 0 00 1 00 0 1W

Es 3

Ejemplo:

Los vectores >� = �1,1,0�, >2 = �1,0,1�, y >Q. = �1,−1,2� son

linealmente dependientes: en efecto, >Q = 2>2 − >�, i.e.,

>� − 2>2 � >Q = 0

Cualquiera de estos vectores puede escribirse como combinación

lineal de los otros dos (pero no de menos de dos), por lo tanto, la

matriz

U = V1 1 01 0 11 −1 2W

Tiene rango 2.

Ejemplo.― Considere la matriz:

ℍ = V1 2 3 41 0 1 12 2 4 5W

Filas 1 y 2 son linealmente independientes al igual que las filas 1 y

3. No obstante Fila 1 + Fila 2 – Fila 3 = [\\] luego los tres vectores son

linealmente dependientes por lo tanto Rango�ℍ� = 2. Ahora

considere la matriz ℍ̂ que resulta de eliminar la fila 3 de ℍ, o sea

ℍ̂ = C1 2 3 41 0 1 1D

Todos los pares de columnas de ℍ̂ son linealmente

independientes por lo que RangoHℍ̂I es por lo menos 2.

Un conjunto de E vectores linealmente independientes >�, ⋯ , ><

conforman una base del espacio euclidiano en m. Cualquier vector � en

dicho espacio puede ser escrito como una combinación lineal de >�, ⋯ , ><, esto es:

� = _ N><`�

Donde los N son escalares. Considere ahora un sistema de n ecuaciones

en n incógnitas:

V��� ⋯ ��;⋮ ⋱ ⋮�<� ⋯ �<;WV�⋮;W = V��⋮�;W

En notación matricial, > = �. Si resulta que el Rango�>� < G es porque

alguna de las filas de > es combinación de las otras y al menos una

ecuación es derivable de las otras: hay menos que G ecuaciones

independientes en G incógnitas: en este caso, no hay solución única.

Teorema:

Si > es matriz cuadrada de orden G, entonces Rango�>� = G si y solo si |>| ≠ 0.

Definición:

Una es matriz > cuadrada de orden G tal que Rango�>� = G se dice que

es no singular. Si Rango�>� < G, se dice que > es matriz singular.