matematika - old.eqe.geold.eqe.ge/uploads/grifireba/grifirebulebi_2012/maths/inteleqti/... ·...

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe

ia mebonia, lamara qurCiSvili

gamomcemloba inteleqtiTbilisi 2012

m a T e m a t i k a

IX klasi

maswavleblis wigni

redaqtori Teimuraz vefxvaZe

grifi mieniWa 2012 wels ssip ganaTlebis xarisxis ganviTarebis

erovnuli centris (brZaneba ## 375, 18. 05. 2012) mier

ISBN 978–9941–439–10–0© gamomcemloba inteleqti, 2012.© T. vefxvaZe, g. gogiSvili, i. mebonia, l. qurCiSvili, 2012.

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,

ia mebonia, lamara qurCiSvili

m a T e m a t i k a

IX klasi

maswavleblis wigni

gamomcemloba inteleqti

Tbilisi 2012

Guram Gogishvili, Teimuraz Vepkhvadze,

Ia Mebonia, Lamara Kurchishvili

MaTHS IX

Teacher's book

InTeLeKTI Publishers

Tbilisi 2012

gamomcemloba inteleqtiTbilisi, ilia WavWavaZDis gamz. 5. tel.: 225 05 22

www.intelekti.ge [email protected] [email protected]

intelekti PuBlISherS5 Ilia Chavchavadze Ave., Tbilisi, Georgia. Tel.: (995 32) 225 05 22

sarCevi

Sesavali ................................................................................................................................... 6

wlis bolos misaRwevi Sedgebi ..................................................................................... 10

Sinaarsisa da miznebis ruka ...........................................................................................11

saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis dagegmvis zogadi principebi ............................................................................................................. 21

Sefasebis zogadi principebi ......................................................................................... 26

sanimuSo gakveTilebi ....................................................................................................... 29

I Tavi

$1.1. racionaluri ricxvebi ........................................................................................... 51

$1.2. kvadratuli fesvi. kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebebis gardaqmna. iracionaluri ricxvi ............................................................................. 57

jgufuri muSaoba: piTagoras Teorema .................................................................. 59

$1.3. dasabuTebis xerxebi ................................................................................................ 60

$1.4. namdvili ricxvebi .................................................................................................... 66

$1.5. n-uri xarisxis fesvi. fesvis Tvisebebi ........................................................... 70

sakontrolo wera ........................................................................................................... 72

$1.6. proporcia da ukuproporcia .............................................................................. 74

$1.7. proporciul nawilebad dayofa ........................................................................ 76

$1.8. ricxviTi utoloba. utolobaTa damtkiceba ............................................... 78

$1.9. wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema ....................................................... 83

sakontrolo wera ........................................................................................................... 90

II Tavi

$2.1. monacemTa mopoveba da dajgufeba .................................................................... 90

$2.2. monacemTa warmodgenis saSualebebi ................................................................. 96

$2.3. monacemTa Semajamebeli ricxviTi maxasiaTeblebi. saSualo kvadratuli gadaxra.................................................................................................... 104

amocanebi gameorebisTvis.......................................................................................... 112

sakontrolo wera ..........................................................................................................116

III Tavi

$3.1. funqcia ........................................................................................................................119

$3.2. funqciis mocemis xerxebi. ................................................................................ 122

jgufuri muSaoba .......................................................................................................... 125

$3.3. funqciis Tvisebebi ................................................................................................ 126

$3.4. wrfivi funqcia ....................................................................................................... 129

$3.5. naSTTAa ariTmetika ..................................................................................................131

sakontrolo wera ........................................................................................................137

$3.6. geometriuli gardaqmnebi. RerZuli simetria. centruli simetria .. 138

$3.7. veqtori. veqtorebis Sekreba. veqtoris ricxvze gamravleba ..................... 141

4

$3.8. paraleluri gadatana ........................................................................................... 146

$3.9. geometriuli gardaqmnebis sxvadasxva gamoyeneba ..................................... 149

sakontrolo wera ....................................................................................................... 154

$3.10. viwyebT kvadratuli funqciis Seswavlas ...................................................... 156

$3.11. kvadratuli funqciis Tvisebebi .................................................................... 158

$3.12. kvadratuli funqciis nulebi. vietis Teorema ............................................ 163

§ 3.13. kvadratuli utoloba ......................................................................................... 164

jgufuri muSaoba ........................................................................................................... 170

sakontrolo wera ............................................................................................................173

§ 3.14. funqciaTa kompozicia ........................................................................................ 174

§ 3.15. vagrZelebT funqciebis Tvisebebis Seswavlas ............................................. 176

amocanebi gameorebisTvis .......................................................................................... 179

sakontrolo wera ...........................................................................................................181

IV Tavi

§ 4.1. mTeli da wiladuri gantolebebi ....................................................................... 183

§ 4.2. amocanebis amoxsna .................................................................................................. 185

jgufuri muSaoba ......................................................................................................... 189

sakontrolo wera ........................................................................................................ 190

§ 4.3. geometriul figuraTa warmodgena algebruli damokidebulebebis saSualebiT ............................................................................. 192

§ 4.4. orucnobian gantolebaTa sistema. amocanebis amoxsna orucnobian gantolebaTa sistemis gamoyenebiT ....................................................................... 194

§ 4.5. wrfivi orucnobiani utolobisa da utolobaTa sistemis geometriuli warmodgena .........................................................................................200

sakontrolo wera ......................................................................................................... 203

V Tavi

§ 5.1. mimdevroba. rekurentuli wesiT mocemuli mimdevrobebi ......................... 205

§ 5.2. n-uri wevris formulebi....................................................................................... 210

§ 5.3. ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jamis formula ............................................................................................................. 214

§ 5.4. geometriuli progresiis pirveli n wevris jamis formula .............................................................................................................. 215

sakontrolo wera ......................................................................................................... 217

VI Tavi

$6.1. mravalwaxnagebi ........................................................................................................225

$6.2. koordinatebi ............................................................................................................ 227

$.6.3. msgavsi figurebi. msgavsi samkuTxedebi ........................................................... 229

$.6.4. samkuTxedebis msgavsebis niSnebi ....................................................................... 231

sakontrolo wera ......................................................................................................... 236

$.6.5. samkuTxedebis msgavsebis niSnebi ....................................................................... 238

$.6.6. proporciuli monakveTebi marTkuTxa samkuTxedSi .................................... 241

$.6.7. trigonometriuli funqciebi. trigonometriuli Tanafardobebi marTkuTxa samkuTxedSi ..............................................................244

5

VII Tavi

$7.1. elementaruli xdomiloba. xdomiloba. xdomilobis albaToba .............................................................................................. 249

$7.2. xdomilobaTa jamis albaToba .............................................................................. 253

$7.3. xdomilobaTa namravli. damoukidebel xdomilobaTa namravlis albaToba .................................................................................................... 258


sakontrolo wera ......................................................................................................... 266

VIII Tavi

$8.1. wrewiri. wre. wris nawilebi ................................................................................... 268

$8.2. wrewiris mxebi da mkveTi ........................................................................................ 270

$8.3. rkali. rkalis gradusuli zoma ........................................................................... 273

$8.4. wrewirTan dakavSirebuli kuTxeebisa da monakveTebis Tvisebebi ............ 275

$8.5. Caxazuli da Semoxazuli wrewirebi .................................................................... 280

$8.6. wiris sigrZe. wrewiris sigrZe. wris farTobi ................................................. 283

$8.7. wertilTa geometriuli adgili. amocanebi agebaze...................................... 287


literatura ................................................................................................................... 295

6

Sesavali

moswavlis sarekomendacio wignis daniSnulebaa miawodos maswavleblebs

meTodikuri rekomendaciebi 2011-2012 wlebis erovnuli saswavlo gegmebis mixedviT

Sedgenili IX klasis saxelmZRvanelosTvis (guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,

ia mebonia, lamara qurCiSvili, maTematika IX); daexmaros maT saswavlo procesis

warmarTvis meTodikuri xerxebis SemuSavebaSi; miawodos damatebiTi masala,

sakontrolo weris nimuSebi, rekomendaciebi Sefasebis sistemis damuSavebisaTvis.

mocemuli iqneba Sesabamisi axsna-ganmartebebi masalis wardgenis fazebis Sesaxeb

_ motivacia, sakiTxis dasma, amocanis gansazRvra, problemaTa gadaWris gzebi,

Semowmebis formebi.

maswavleblis sarekomandacio wignSi Tavebisa da paragrafebis numeracia

da dasaxeleba emTxveva moswavlis saxelmZRvaneloSi SemoRebul numeraciasa da

dasaxelebas.

es sarekomendacio wigni imave principebiTaa agebuli, rac wina _ VIII klasis

maswavleblis sarekomendacio wigni _ warmodgenilia saswavlo gegma, Sinarsisa

da miznebis ruka. vcdilobT gaviTvaliswinoT maswavlebelTa didi daintereseba

da meti adgili davuTmoT damxmare masalas _ sakiTxebis mecnierul safuZvlebs,

istoriul aspeqtebs da Sesabamisi literaturis SerCevis saqmeSi rekomendaciebs.

viTvaliswinebT erovnuli saswavlo gegmebisa da Sefasebis centris mier

organizebuli treningis (`saazrovno unarebis ganviTareba~) muSaobaSi miRebul

gamocdilebas _ viZleviT rekomendaciebs saazrovno unarebis ganmaviTarebeli

amocanebis SerCevisa da klasifikaciis saqmeSi.

gaTvaliswinebulia eqspertTa pozicia ama Tu im Temis swavlebis miznebis

Taobaze _ ar SeiZleba, magaliTad, wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis

Seswavlis mizans wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis Seswavla warmoadgendes.

am sakiTxis swavlebis mizani kidev erTi maTematikuri modelis gamoyenebis unaris

ganviTarebasTan aris dakavSirebuli, rac Tan sdevs maTematikis gamoyenebebs

praqtikul saqmianobaSi, sxva mecnierebebSi. am Temis Seswavlisas mniSvnelovania

konteqstis gaTvaliswinebiT amonaxsnTa interpretacia, TvalsaCino warmodgenis

Cvevebis daufleba. maswavleblis wignSi miTiTebuli iqneba yoveli Temis

mecnieruli safuZvlebis mokle mimoxilva, misi swavlebis miznebi, gadacemis

meTodika.

wigni dagexmarebaT saswavlo procesis warmarTvis meTodikuri xerxebis

SemuSavebaSi. kerZod, klasSi moswavleTa mier raime sakiTxis kvleva SeiZleba

individualuri iyos, SeiZleba jgufuri muSaobiT ganxorcieldes. upiratesobas,

cxadia, Temis erTobliv ganxilvas vaniWebT. wina masalis erToblivi gaxsenebisa da

amocanis dasmis Semdeg moswavleebi maswavleblis xelmZRvanelobiT TviTon unda

`aSenebdnen maTematikis Senobas~. maswavlebeli SeiZleba diriJorsac SevadaroT.

7

igi warmarTavs process, amasTanave, saswavlo programiT dasaxuli amocanebis

Sesrulebisas man SeiZleba sxvadasxva mimarTuleba misces kvlevis process, igi

SeiZleba gansxvavebulic iyos im teqstidan, romelic moswavlis saxelmZRvaneloSia

mocemuli. sxvadasxva akademiuri donis klasebSi erTi da imave sakiTxis swavlebisas

pedagogma SeiZleba sruliad gansxvavebuli meTodebic ki gamoiyenos. `swavleba

xelovnebaa... swavleba maswavleblis individualur Tvisebebzea damokidebuli;

swavlebis kargi meTodi, SeiZleba iTqvas, rom imdenia, ramdenic kargi maswavlebeli

arsebobs~ [28].

XXI saukuneSi, rogorc CvenSi, aseve yvela sxva wamyvan saganmanaTleblo-kvleviT

centrSi, maTematikis swavlebis organizaciisadmi SemuSavebul daskvnebSi ZiriTadi

aqcenti saswavlo procesSi moswavlis aqtiuri Cabmis aucileblobaze keTdeba.

xazgasmulia, rom swavleba Ziebisa da dasabuTebis gziT unda mimdinareobdes;

moswavle, ZiriTadad, TviT unda aRmoaCendes WeSmaritebas motivirebuli

situaciebis dagegmvis Semdeg; mTavaria kvlevis procesi; mniSvnelovania, rom

maswavlebelma moisminos moswavleTa pasuxi ara marto kiTxvaze _ `ra~, aramed

kiTxvaze _ `rogor~, an _ `kidev rogor~, `ratom~, `es risTvisaa saWiro~. es

yvelaferi arsebiTia moswavleTa profesiuli saqmianobisTvis, inteleqtualuri

zrdisTvis, demokratiul procesebSi aqtiuri monawileobisTvis. maswavleblis

saxelmZRvanlo dagexmarebaT am principebis ganxorcielebis saqmeSi; dagexmarebaT

SeasruloT erovnuli saswavlo gegmis is miTiTebebi, romlebic kritikuli

azrovnebis ganviTarebas exeba _ swavlebis erT-erT prioritets. maswavlebeli

xSirad unda iyenebdes iseT frazebs, romlebic Seicavs sityvebs: movifiqroT,

amovicnoT, gaviazroT, davaxarisxoT, SevafasoT, SevadaroT, gamovTqvaT hipoTeza,

davasabuToT, vifiqroT prezentaciis formaze, ... azrovnebis ganviTarebas xels

uwyobs da stimuls aZlevs iseTi kiTxvebi, romlebic individualur, an sajaro

gansjas moiTxovs. am kiTxvebis sistemis SemuSavebisaTvis saWiro meTodikur

rekomendaciebs sarekomendacio wignSi SexvdebiT.

moswavlis saxelmZRvanelos gamoyenebis sakiTxSic viziarebT saswavlo

programaSi gamoTqmul Tvalsazriss: `pirovnebaze orientirebuli saganmanaTleblo

procesis centrSi dgas moswavle, misi ganviTarebis procesi da mis mier miRweuli

Sedegi. Sedegze orientireba gulisxmobs moswavlisTvis miwodebuli informaciis

ara mxolod damaxsovrebas, aramed am informaciis myar, dinamiur da funqciur

codnad gardaqmnas~. `saxelmZRvaneloebiT sargeblobisas maswavlebels unda

axsovdes, rom saxelmZRvanelo aris erT-erTi saSualeba da ara erTaderTi,

romelic emsaxureba erovnuli saswavlo gegmis sagnobriv programaSi mocemuli

Sedegebis miRwevas. aseve unda gvaxsovdes, rom saxelmZRvanelo ar aris TavisTavad

programa _ Sesabamisad maswavlebeli ar unda iyos saxelmZRvaneloSi mocemuli

`masalis gavlaze~ orientirebuli, aramed saxelmZRvaneloebSi mocemuli

teqstebis, savarjiSoebis Tu ilustraciebis gamoyenebaze _ sagnobrivi

standartebis Sedegebis misaRwevad. maswavlebeli argebs saxelmZRvanelos

moswavleebis saWiroebebs da ara piriqiT, rodesac maswavlebeli cdilobs

moergos saxelmZRvanelos, maswavlebels SeuZlia ar gamoiyenos romelime teqsti,

an aqtivoba, Secvalos drois xangrZlioba, romelic romelime konkretul Temas

eTmoba, daamatos sakuTari aqtivobebi da sxva~. am striqonebSi maswavleblebi

amoikiTxaven pasuxebs, im kiTxvebze romlebiTac isini mogvmarTavdnen Cveni

8

avtorobiT Sedgenili moswavlis saxelmZRvaneloebis mixedviT swavlebis procesTan

dakavSirebiT. saaTebis ganawileba masalis mixedviT, gakveTilebis warmarTvisaTvis

saWiro rekomendaciebi, sakontrolo weris nimuSebi, damxmare saswavlo masala

_ maswavleblis wignSi mocemuli Sesabamisi miTiTebebi, mxolod rekomendaciis

xasiaTs atarebs. maswavlebels, moswavleTa individualuri Tvisebebis, klasis

akademiuri donis gaTvaliswinebiTa da sakuTari Sexedulebebis mixedviT SeuZlia

cvlilebebi Seitanos SemoTavazebul sistemaSi.

Cven SevecadeT, rom ar Seiqmnas damatebiTi savarjiSoebis sxva krebulebis

gamoyenebis saWiroeba; saxelmZRvaneloSi mocemuli savarjiSoebi moswavleTa

sxvadasxva SesaZleblobebis gaTvaliswinebiTaa warmodgenili; saWiroa SerCeva

da konkretuli situaciis mixedviT maTi swori gamoyeneba. Tumca, aqac

gasaTvaliswinebelia erovnul saswavlo gegmaSi gamoTmquli mosazrebebi:

`dauSvebelia moswavleebis dayofa siZlieris mixedviT~. `Zlierebisa da sustebis

problemis~ daZlevisaTvis SesaZlebelia gakveTilis ise dagegmva, rom Zlierebma

SeZlon sustebis damxareba ise, rom Tavadac amiT sargebeli naxon. garda amisa,

skola maqsimalurad unda daexmaros moswavles, romelsac garkveuli problemebi

aqvs swavlaSi~.

am mimarTulebiT mniSvnelovania jgufuri muSaobis proeqtebi, romelTa

Catarebis meTodika sarekomendacio wignSia gadmocemuli _ davalebebis

Sesruleba jgufebs Soris, Semdgom ki TiToeuli jgufis wevrebs Soris SeiZleba

ise ganawildes, rom yvela iyos CarTuli muSaobaSi. unda gaviTvaliswinoT

moswavleTa asakis Taviseburebebic _ IX klasi sabazo safexuris damamTavrebeli

welia _ am safexurze eyreba safuZveli maTematikis ufro maRali abstraqciebis

Seswavlas, meti yuradReba eTmoba maTematikis yoveldRiur cxovrebaSi gamoyenebis

unar-Cvevebis, analitikuri, logikuri, sistemuri da simboluri azrovnebis

Camoyalibebas.

sarekomandacio wignSi yoveli Tavis da Tematuri blokis mixedviT axsnilia

SemoTavzebuli koncefcia, mocemulia yoveli gakveTilis sarekomendacio sqema,

miTiTebulia gakveTilis tipi da mizani. gakveTilebisa da sakiTxebis mixedviT

garCeulia moswavleTa SesaZlo tipuri Secdomebi da maTi gamomwvevi mizezebi.

vcdilobT davexmaroT maswavlebels amocanebis SerCevaSi _ klasSi da Sin

samuSaod. wigns Tan erTvis popularuli da sacnobaro literaturis sia, romelzec

xSiria miTiTeba. igi daexmareba maswavlebels sainformacio masalis SerCevaSi.

maTematikis IX klasis saxelmZRvanelos Sinarss Semdegi konceptualuri

moTxovnebi gansazRvravs:

a) xeli Seuwyos codnis sxvadasxva sferos Soris urTierTkavSiris gacnobierebas

(paragrafebis umetesi nawili ilustrirebulia faqtebiTa da savarjiSoebiT codnis

sxvadasxva sferodan; aqtualuria da gamiznulia sayofacxovrebo saqmianobaSi

maTematikis rolis ukeT aRsaqmelad).

b) emyarebodes Tanamedrove koncefciebs, romlebic orientirebulia Teoriul-

simravluri enis zomier gamoyenebaze, moswavleTa asakobrivi Taviseburebebis

gaTvaliswinebasa da sagnisadmi interesis aRZvraze. codnis daufleba saazrovno

unarebis ganviTarebiT mimdinareobdes.

g) savarjiSoebi ise iyos dagegmili, rom mimdnareobdes uwyveti gameoreba

mTeli wlis ganmavlobaSi; masala integrirebis maRali xarisxiT gamoirCeodes

9

_ algebruli faqtebis gadmocemisas geometriuli TvalsaCinoebis moSvelieba

(magaliTad, gantolebebis, utolobebis amoxsnebis geometriuli interpretaciebi);

geometriuli faqtebis Seswavlisas koordinatTa meTodis, veqtoruli analizis

sawyisebis gamoyeneba. algebrisa da geometriis sakiTxebTan integrirebuli iyos

monacemTa analizisa da statistikis sakiTxebic.

d) saSualebas aZlevdes moswavleebs gamoimuSavon individualuri da jgufuri

proeqtebis ganxorcielebis Cvevebi.

e) yoveli siaxle emyarebodes ukve arsebul codnas, afarToebdes da

aviTarebdes am codnas.

sarekomandacio wignSi maswavlebeli gaecnoba Cvens Tvalsazriss simbolikisa

da cnebaTa Semotanis Sesaxeb. Semogvaqvs mxolod is simbolika, romelic Semdgom

poulobs gamoyenebas, simboluri ena Cveulebrivi enis gverdiTaa gamoyenebuli.

zogierT cnebas ar vaZlevT formalur gansazRvrebas. cnebaTa aTvisebis procesi

amocanebis amoxsnis saSualebiT mimdinareobs. maT win uZRvis propedevtikuli

muSaoba, romlis mizania konkretuli warmodgenis Seqmna da formalizaciisTvis

Semzadeba. ase mimdinareobs, magaliTad, funqciis cnebis Camoyalibeba. am cnebis

Semotanis procesi (Semzadeba) faqtobrivad V klasidan iwyeba. TviT gansazRvreba

ki sabazo skolis damamTavrebel etapze miewodeba moswavles. cnebaTa aTviseba ar

Tavdeba gansazRvrebis codniT, an aRweriT (magaliTad, funqciis cnebis SemTxvevaSi).

aq mniSvnelovania ara marto kerZodan zogadisken svla, aramed zogadidan kerZoze

dabruneba. masala ise unda iyos gadmocemuli, rom zogadi codnis Semdeg SevZloT

mocemul konkretul SemTxvevaSi misi danaxva. me-9 klasis saxelZRvanelos didi

nawili gantolebebisa da utolobebis cnebebTan aris dakavSirebuli _ im ZiriTad

maTematikur modelebTan, romlebic aRwers bunebasa da sazogadoebaSi mimdinare

mravalferovan movlenebs. maTi Seswvala, rogorc wesi, praqtikuli amocanebis

ganxilviT iwyeba. yoveli aseTi amocana moswavles uqmnis warmodgenas sinamdvilis

Seswavlis ZiriTad maTematikur meTodze _ modelirebaze.

sarekomandacio wigni mogawvdiT rekomandaciebs im masalis gadacemis meTodikis

Sesaxeb, romlebic saswavlo masalis Semzadebis procesis warmarTvas emsaxureba;

zogjer Semzadebis process saxelmZRvaneloSi mTeli paragrafebi aqvs daTmobili;

magaliTad, axali albaTur-statistikuri cnebebis Semotanas win uZRvis Zveli

cnebebis gameoreba, axali magaliTebis damxarebiT wina codnis ganmtkiceba

da axal cnebebze gadasvlisTvis Semzadeba. am process, Cven mier mowodebuli

rekomendaciebis gaTvaliswinebiT, maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges.

10

IX klasi

wlis bolos misaRwevi Sedegebi mimarTulebebis mixedviT:

რიცხვები და მოქმედებები

კანონზომიერებები და ალგებრა

გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

მათ. IX.1. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალური რიცხვების შედარება და მათი კლასიფიკაცია.მათ. IX.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა ხერხით და ამ მოქმედებების შედეგის შეფასება.მათ. IX.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება.მათ. IX.4. მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან და რაოდენობის შეფასებასთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა.

მათ.IX.5. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის ელემენტების გამოყენება პრობლემების გადაჭრისას.მათ. IX.6. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების აღსაწერად და გამოსაკვლევად.მათ. IX.7. მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას.

მათ.IX.8. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების მოძებნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.მათ. IX.9. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნებისა და მათი კომპოზიციების კვლევა და გამოყენება.მათ. IX.10. მოსწავლეს შეუძლია “წერტილთა გეომეტრიული ადგილის” ცნების გამოყენება ობიექტთა გამოსახვისა და მათი თვისებების აღსაწერად.

მათ. IX.11. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოწესრიგება და წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.მათ.IX.12. მოსწავლეს შეუძლია დამოუკიდებელ ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა/შეფასება შემთხვევითი ექსპერიმენტებისათვის დაბრუნებით და დაბრუნების გარეშე.მათ. IX.13. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.

11

wlis bolos misaRwevi Sedegebi da maTi indikatorebi

mimarTuleba: ricxvebi da moqmedebebi

მათ. IX.1. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალური რიცხვების შედარება და მათი კლასიფიკაცია.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ამრგვალებს, ადარებს და ალაგებს სხვადასხვა სახით მოცემულ რაციონალურ რიცხვებს;

• განასხვავებს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს, როგორც პერიოდულ და არაპერიოდულ ათწილადებს და მოყავს ირაციონალური რიცხვის მაგალითები;

• აღნიშნავს ნაშთის პერიოდულობას ერთნიშნა რიცხვზე ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრულად გაყოფისას; განმარტავს შემჩნეულ კანონზომიერებას;

• წერს რაციონალურ რიცხვებს ეკვივალენტური (მათ შორის სტანდარტული) ფორმით; ადარებს და ალაგებს სხვადასხვა სახით მოცემულ რაციონალურ რიცხვებს (ხარისხი, სტანდარტული ფორმა და ა.შ.).

მათ. IX.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა ხერხით და ამ მოქმედებების შედეგის შეფასება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• იყენებს გაყოფადობის ნიშნებს და ნაშთის თვისებებს რიცხვებისა და არითმეტიკული მოქმედებების შედეგის თვისებებზე მსჯელობისას (მაგალითად, “რას მივიღებთ ნაშთში თუ 2345 გავყოფთ 3-ზე?”);

• ირჩევს და იყენებს რაციონალური რიცხვებზე არითმეტიკულ მოქმედებათა, აგრეთვე ხარისხში აყვანისა და ფესვის ამოღების ოპერაციების შესრულების ოპტიმალურ ხერხს. (მაგალითად, მარტივ მამრავლებად შლის რიცხვს და პოულობს ამ რიცხვიდან ფესვის მნიშვნელობას);

• ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით ირჩევს, რა უფრო მიზანშეწონილია - მოქმედებათა შედეგის შეფასება, შედეგის მიახლოებითი თუ ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა. (მაგალითად, “საყოფაცხოვრებო” ამოცანა, რომელიც დაკავშირებულია რამდენიმე საგნის შესაძენად საჭირო თანხის ქონა/არქონასთან);

• იყენებს მოქმედებათა თვისებებს, თანმიმდევრობას და მათ შორის კავშირს რაციონალური რიცხვებზე მოქმედებების (მათ შორის მთელმაჩვენებლიანი ხარისის და არითმეტიკული ფესვის) შემცველი გამოსახულების გასამარტივებლად;

• ამრგვალებს რიცხვით წევრებს (მაგალითად, შეკრების დროს - შესაკრებებს) და პოულობს რაციონალურ რიცხვებზე არითმეტიკულ მოქმედებათა შედეგის მიახლოებით მნიშვნელობას.

12

მათ. IX.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• აყალიბებს და ასაბუთებს მარტივ დებულებას რიცხვებს შორის დამოკიდებულებებზე, მათ თვისებებზე ან მათზე მოქმედებების შედეგის შესახებ; შესაბამის შემთხვევაში ახდენს გამონათქვამის უარყოფას (მაგალითად, მოყავს კონტრმაგალითი); აყალიბებს საწინააღმდეგო დებულებას;

• ამოცანების ამოხსნისას იყენებს რიცხვით სიმრავლეებს შორის დამოკიდებულების გამოსახვის ზოგიერთ ხერხს (მაგალითად, დიაგრამებს ან სხვა გრაფიკულ გამოსახულებებს);

• ახდენს რიცხვების საშუალო არითმეტიკულისა და საშუალო გეომეტრიულის ინტერპრეტაციასა და ერთმანეთთან შედარებას; იყენებს მათ თვისებებს ამოცანების ამოხსნისას;

• ასაბუთებს ნაშთთა არითმეტიკის დებულებებს და იყენებს ნაშთთა არითმეტიკის ელემენტებს ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად, რიცხვების შეკრება/გამოკლება მოდულით 12, 60 ან 360; ისეთი ამოცანების ამოხსნისას, რომლებიც დაკავშირებულია საათთან ან კუთხით მობრუნებასთან).

მათ. IX.4. მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან და რაოდენობის შეფასებასთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა.


• ასრულებს გამოთვლებს და ადარებს ორ მარტივად დარიცხულ საპროცენტო განაკვეთს, სხვადასხვაგვარ ფასდაკლებას, დაბეგვრას; მსჯელობს მათ შორის შორის განსხვავებაზე;

• ამყარებს კავშირს მთლიან შემოსავალსა/მოგებასა და საცალო ფასს შორის, მოთხოვნასა და ცნობილი ხარჯებით მიწოდებას შორის მოცემული წრფივი დამოკიდებულების მიხედვით. (მაგალითად, თუ წიგნის ფასია 20 ლარი, მაშინ გაიყიდება 20000 ცალი. გამოცდილებით ცნობილია, რომ საცალო ფასის ყოველი 3 ლარიანი მატება გაყიდვების რაოდენობის 500 ცალით შემცირებას იწვევს. რა უნდა იყოს მინიმალური საცალო ფასი, რომ შემოსავალი იყოს 576000 ლარი?);

• ასრულებს პირად ხარჯთაღრიცხვასთან, შემოსავლთან დაკავშირებულ გამოთვლებს და შეფასებებს შემდგომი მოქმედების დაგეგმვის მიზნით;

• ხსნის სხვა სასწავლო დისციპლინებიდან მომდინარე გამოთვლებთან დაკავშირებულ ამოცანებს.

მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა

მათ. IX.5. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის ელემენტების გამოყენება პრობლემების გადაჭრისას.


• რეალური პროცესების დისკრეტული მოდელებით აღწერისას იყენებს რეკურენტულ წესს (მაგალითად, მოსახლეობის რაოდენობის ყოველწლიური მუდმივი პროცენტული

13

ზრდა); განავრცობს რეკურენტული წესით მოცემულ მიმდევრობას (n-ური წევრის ფორმულის გარეშე);

• აკავშირებს სიმრავლურ ოპერაციებს (გაერთიანება, თანაკვეთა, დამატება) შესაბამის ლოგიკურ ოპერაციებთან (ან, და, არა).

მათ. IX.6. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების აღსაწერად და გამოსაკვლევად.


• მოცემული ფუნქციისათვის, რომელიც აღწერს რეალურ ვითარებას, პოულობს ფუნქციის მნიშვნელობას, ნულებს, მაქსიმუმს/მინიმუმს, ზრდადობა/კლებადობისა და ნიშანმუდმივობის შუალედებს და ახდენს მათ ინტერპრეტაციას ამ ვითარების კონტექსტში;

• ახდენს ფუნქციის გრაფიკის თვისებების (დახრის კოეფიციენტი და საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთა) ინტერპრეტირებას სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების გასაანალიზებლად;

• ცვლის ფუნქციის პარამეტრებს და აღწერს ამ ცვლილების შედეგის ინტერპრეტირებას იმ პროცესის კონტექსტში, რომელიც ამ ფუნქციით აღიწერება (მაგალითად, გავლილი მანძილის დროზე დამოკიდებულების აღმწერ ფუნქციაში

0Stv)t(S +⋅= რა გავლენას ახდენს სიჩქარის ცვლილება განვლილ მანძილზე?).

მათ. IX.7. მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას.


• ტექსტური ამოცანის ამოსახსნელად ადგენს და ხსნის ორუცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემას; ახდენს სისტემის ამონახსნის ინტერპრეტაციას ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით;

• ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას და/ან რეალური ვითარების მოდელირებისას ადგენს და ხსნის ერთუცნობიან უტოლობათა სისტემას; ახდენს ამონახსნის სიმრავლურ ინტერპრეტაციას;

• ადარებს ორ ფუნქციას, რომლებიც რეალურ პროცესს გამოსახავს (მაგალითად, პოულობს იმ სიმრავლეს, რომელზეც ერთი ფუნქცია მეტია/ნაკლებია მეორე ფუნქციაზე, ტოლია მეორე ფუნქციის) და ახდენს შედარების შედეგის ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში.

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მათ. IX.8. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების მოძებნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.


14

• ახდენს სიბრტყეზე მოცემული წირის მიახლოებას ტეხილის საშუალებით და იყენებს ამ მეთოდს წირის სიგრძის შეფასებისას ან მიახლოებით გამოთვლისას. (მაგალითად, მრუდ წირზე მოძრაობის მარშრუტის სიგრძის მიახლოებითი გამოთვლა; წრეწირის სიგრძის მიახლოებითი გამოთვლა);

• დაადგენს ფიგურის ზომებს შორის დამოკიდებულების ტიპს და იყენებს ამ დამოკიდებულებას ამოცანების ამოსახსნელად (მაგალითად, კვადრატის ფართობის დამოკიდებულება გვერდზე; წრის ფართობის დამოკიდებულება მის რადიუსზე);

• იყენებს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის ტრიგონომეტრიულ თანაფარდობებს რეალურ ვითარებაში ობიექტთა ზომების ან ობიექტებს შორის მანძილების დასადგენად (მაგალითად, იმ საგნის სიმაღლის გაზომვა, რომლის ფუძე მიუდგომელია, მიუდგომელ წერტილამდე მანძილის გამოთვლა).

მათ. IX.9. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნებისა და მათი კომპოზიციების კვლევა და გამოყენება.


• მსჯელობს, თუ რა გეომეტრიული გარდაქმნა შეიძლება იყოს მოცემული ორი გეომეტრიული გარდაქმნის კომპოზიცია; ასაბუთებს თავის მოსაზრებას;

• ფიგურების შესახებ სხვადასხვა მონაცემების საფუძველზე გამოთქვამს ვარაუდს იმის შესახებ შეიძლება, თუ არა მოცემული გარდაქმნის გამოყენებით, მოცემული ფიგურისაგან მეორე მოცემული ფიგურის მიღება;

• იყენებს გეომეტრიული ფიგურის თვისებებს და გეომეტრიულ გარდაქმნებს იმის დასაბუთებისათვის, შესაძლებელია თუ არა სიბრტყის დაფარვა; ახდენს დაფარვის დემონსტრირებას სიბრტყის ნაწილზე.

მათ. IX.10. მოსწავლეს შეუძლია “წერტილთა გეომეტრიული ადგილის” ცნების გამოყენება ობიექტთა გამოსახვისა და მათი თვისებების აღსაწერად.


• წერტილთა გეომეტრიული ადგილის სიტყვიერი აღწერის მიხედვით ასახელებს ან გამოსახავს იმ გეომეტრიულ ფიგურას ან ფიგურის ელემენტს რომელიც ამ აღწერას შეესაბამება (მაგალითად, “იმ წერტილთა სიმრავლე რომელიც თანაბრადაა დაშორებული მოცემული კუთხის გვერდებიდან არის ამ კუთხის ბისექტრისა”);

• იყენებს “წერტილთა გეომეტრიული ადგილის მეთოდს” აგების ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად, “კუთხის ბისექტრისა არის ამ კუთხის გვერდებიდან თანაბრად დაშორებულ წერტილთა სიმრავლე, ე.ი. იმისათვის, რომ ავაგოთ ბისექტრისა საჭიროა . . . ”);

• წერტილთა გეომეტრიული ადგილების სხვადასხვა აღწერების მიხედვით დაადგენს მიმართებას შესაბამის ფიგურებს შორის (მაგალითად, ერთი-და-იგივეა თუ არა ეს ფიგურები? ერთი ფიგურა მეორე ფიგურის ნაწილია თუ არა?).

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

15

მათ.IX.11. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოწესრიგება და წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.


• აჯგუფებს რაოდენობრივ მონაცემებს ინტერვალთა კლასებში და აგებს შესაბამის ცხრილს/ჰისტოგრამას (მათ შორის, ტექნოლოგიების გამოყენებით);

• არჩევს დაუჯგუფებელ რაოდენობრივ მონაცემთა წარმოდგენის შესაფერის გრაფიკულ ფორმას, ასაბუთებს არჩევანს და ქმნის ცხრილს/დიაგრამას (ტექნოლოგიების გამოყენებით ან მის გარეშე);

• ერთი გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს წარმოადგენს განსხვავებული გრაფიკული ფორმით და წარმოაჩენს თითოეული ფორმის ხელსაყრელ და არახელსაყრელ მხარეებს

მათ.IX.12. მოსწავლეს შეუძლია დამოუკიდებელ ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა/შეფასება შემთხვევითი ექსპერიმენტებისათვის დაბრუნებით და დაბრუნების გარეშე.


• იყენებს ალბათობის თვისებებსა და ფორმულებს (ჯამისა და ნამრავლის) ხდომილობათა ალბათობის გამოსათვლელად;

• გეგმავს შემთხვევით ექსპერიმენტს, შემთხვევითი ექსპერიმენტის ჩასატარებლად ერთ მოწყობილობას ჩაანაცვლებს სხვა მოწყობილობით და ასაბუთებს არჩევანს;

• ასახელებს რთული ხდომილობის ხელშემწყობ ელემენტარულ ხდომილობებს და იყენებს ალბათობის კლასიკურ განსაზღვრას რთული ხდომილობის ალბათობის გამოსათვლელად.

მათ.IX.13. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით ირჩევს შესაფერის შემაჯამებელ რიცხვით მახასიათებლებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს, ითვლის და იყენებს მათ მონაცემთა ერთობლიობების დასახასიათებლად/შესადარებლად;

• იყენებს გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს სტატისტიკური შინაარსის მოსაზრებათა/არგუმენტების ჩამოსაყალიბებლად ან შესაფასებლად;

• გამოთქვამს ვარაუდს ხდომილობის მოსალოდნელობის შესახებ მონაცემთა საფუძველზე (მაგალითად, ფარდობითი სიხშირის მიხედვით) და ასაბუთებს ვარაუდის მართლზომიერებას.

16

პროგრამის შინაარსი1. რაციონალური რიცხვთა სიმრავლე და მისი ქვესიმრავლეები (ნატურალურ და მთელ

რიცხვთა სიმრავლეები).2. ირაციონალური რიცხვები.3. არითმეტიკული მოქმედებები და მათი შედეგის შეფასება.

4. n - ური ხარისხის ფესვი. ფესვის თვისებები.5. ფესვის შემცველი მარტივი რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობის შეფასება.

6. სხვადასხვა სახით მოცემული რიცხვების შედარება.7. პროპორცია და უკუპროპორცია.8. პროპორციის ძირითადი თვისება, პროპორციის უცნობი წევრის მოძებნა.9. რიცხვის დაყოფა რამოდენიმე ნაწილად მოცემული შეფარდებით.10. ნაშთთა არითმეტიკის ელემენტები.11. ზომის ერთეულები, მათ შორის კავშირები და გამოყენება: ფართობისა და მოცულობის

ერთეულებს შორის მიმართებები.12. «სამომხმარებლო არითმეტიკა»: მარტივად და რთულად დარიცხული საპროცენტო

განაკვეთი; ხარჯთაღრიცხვა; სხვადასხვა გადასახადი.

13. ფუნქცია. ფუნქციის განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე.

14. ფუნქციის ზრდადობა, კლებადობა, ლუწობა, კენტობა, პერიოდულობა.

15. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

16. ფუნქციების კომპოზიცია.

17. კვადრატული სამწევრი: დისკრიმინანტი, ფესვები. კვადრატული სამწევრის დაშლა მამრავლებად. ვიეტის თეორემა.

18. წრფივი ფუნქცია, კვადრატული ფუნქცია, მათი განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, გრაფიკები და თვისებები: ზრდადობა/კლებადობა, ნიშანმუდმივობის შუალედები, ნულები, მოცემულ ინტერვალზე მაქსიმუმის/მინიმუმის წერტილები და შესაბამისი მნიშვნელობები.

19. ერთუცნობიან უტოლობათა სისტემები.

20. ორუცნობიან განტოლებათა სისტემები (ერთი განტოლება მაინც წრფივია, ხოლო მეორის ხარისხი არ აღემატება ორს).

21. ორუცნობიანი წრფივი უტოლობისა და უტოლობათა სისტემის ამონახსნის წარმოდგენა საკოორდინატო სიბრტყეზე.

22. რაციონალური გამოსახულება და მოქმედებები რაციონალურ გამოსახულებებზე.

23. არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესია და ზოგიერთი სხვა რეკურენტული წესით მოცემული მიმდევრობა (მაგალითად, ფიბონაჩის მიმდევრობა).

24. არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესიის n -ური წევრისა და პირველი n წევრის ჯამის გამოსათვლელი ფორმულები.

25. მსგავსი მრავალკუთხედები.26. სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები.27. მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრებისა და ფართობების შეფარდება.

17

28. სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის მნიშვნელობები, არგუმენტის შემდეგი

მნიშვნელობებისათვის: .

29. ტრიგონომეტრიული თანაფარდობები მართკუთხა სამკუთხედში.30. გეომეტრიული გარდაქმნები და მათი კომპოზიციები: მსგავსების გარდაქმნა,

მიმართებები გარდაქმნათა კომპოზიციებს შორის.31. წრეწირი და წრე: მათთან დაკავშირებული მონაკვეთები და მათი თვისებები,

ცენტრალური და ჩახაზული კუთხეები.32. წრეწირის სიგრძე და წრის ფართობი (დამტკიცების გარეშე).33. სამკუთხედში ჩახაზული/შემოხაზული წრეწირი და მისი რადიუსი.34. წესიერ მრავალკუთხედში ჩახაზული და შემოხაზული წრეწირები35. გეომეტრიული ადგილის ცნება და მისი გამოყენება აგების ამოცანებში.36. წერტილის კოორდინატები სივრცეში.37. ვექტორები სიბრტყეზე. ვექტორების შეკრება და ვექტორის სკალარზე გამრავლება.38. პრიზმა და მისი ელემენტები: ფუძე, გვერდითი წახნაგი, გვერდითი წიბო, სიმაღლე,

დიაგონალი.39. პრიზმის კერძო სახეები: მართი პრიზმა, წესიერი პრიზმა, მართი პარალელეპიპედი,

მართკუთხა პარალელეპიპედი, კუბი.40. მართი პრიზმის დიაგონალური კვეთა.41. პირამიდა და მისი ელემენტები: წვერო, გვერდითი წიბო, ფუძე, გვერდითი წახნაგი,

სიმაღლე. წესიერი პირამიდა, აპოთემა. 42. მართობი, დახრილი და გეგმილი. მანძილი წერტილიდან წრფემდე.43. მონაცემთა ორგანიზაცია: რაოდენობრივ მონაცემთა დაჯგუფება ინტერვალთა

კლასებად.44. მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი რაოდენობრივი და დაჯგუფებული

მონაცემებისთვის: ფოთლებიანი ღეროების მსგავსი დიაგრამა; სიხშირული პოლიგონი, ჰისტოგრამა.

45. შემაჯამებელი რიცხვითი მახასიათებლები რაოდენობრივი მონაცემებისთვის: ცენტრალური ტენდენციის საზომი – მედიანა; მონაცემთა გაფანტულობის საზომი - საშუალო კვადრატული გადახრა.

46. ალბათობა: ელემენტარული და რთული ხდომილობანი.47. დამოუკიდებელი ხდომილობები და დამოუკიდებელი ხდომილებების ნამრავლის

გამოთვლა.48. ხდომილობათა ჯამის ალბათობა და მისი გამოთვლა.

30, , , , , ,

6 4 3 2 2π π π π ππ

18

Sinaarsisa da miznebis ruka

Temebis CamonaTvali

Temebis kavSiri miznebTan, ra punqtebs faravs Tema

savarau-do saswav-

lo dro

racionaluri ricxvebi. ricxviTi wrfe. kvadratuli fesvi. kvadratuli fesvis Sem-cveli gamosaxulebebis gardaqmna. iracional-uri ricxvebi. namdvil ricxvTa simravle.piTagoras Teorema.

racionaluri ricxvebis Sedareba, dalageba. sxvadasxva saxiT mocemul racionalur da iracionalur ricxvebs Soris gansxvavebis gaazreba, sxvadasxva saxiT mocemuli racio-naluri ricxvebis damrgvalebis, Sedarebis Cvevebis daufleba, iracionaluri ricxvebis magaliTebis dasaxeleba. IX.1. fesvis amoRebis operaciis Sesrulebisas optimaluri xerxebis SerCeva. ariTmetikuli fesvis Semcveli gamosaxulebebis gamartvebis Cvevebis daufleba: operandebis damrgvalebisas Sedegis miaxloebiTi mniSvnelobis povna. IX.2. dasabuTebis sxvadasxva xerxis gamoyeneba ricxvebis Tvisebebis Seswavlisas. IX.3. ricxviT simravleebs Soris damokidebebule-bebis gamosaxva venis diagramebis gamoyenebiT. IX.3.

14 sT

n-uri xarisxis fesvi. fesvis Tvisebebi.proporcia da ukupro-porcia, proporciul nawilebad dayofa.

debulebaTa dasabuTebis xerxebis daufleba, gamonaTqvamis uaryofis Camoyalilebebis unaris ganviTareba, kontrmagaliTis meTo-dis gamoyeneba. IX.3. sidideebis Safardebis gaazreba, sidideebs Soris proporciuli da ukuproporciuli damokidebulebebis aR-moCena, sididis mocemuli ricxvebis propor-ciul nawilebad dayofis gamoyeneba. figuris zomebs Soris damokidebulebebis tipebis gamoyeneba. IX.8, IX.2.

13 sT

ricxviTi utoloba. utolobaTa damtkiceba. wrfivi erTucnobiani utoloba. wrfiv er-Tucnobian utolobaTa sistema.

ricxvebis ariTmetikuli da geometriuli saSualoebis Sedareba, geometriuli inter-pretaciebi, maTi gamoyeneba amocanebis amoxs-nisas. IX.3. teqsturi amocanebis amoxsnisas erTucno-biani utolobis, erTucnobian utolobaTa sistemis Sedgena da amoxsna, amonaxsnTa sim-ravluri interpretacia. IX.7.

9 sT

monacemTa organizeba. monacemTa warmodgenis saSualebebi. monacemTa Semajamebeli ricx-viTi maxasiaTeblebi. saSualo kvadratuli gadaxra.

raodenobriv monacemTa dajgufeba inter-valTa klasebSi da Sesabamisi warmodgenis xe-rxebis agebis Cvevebis daufleba (histograma, cxrili). Sesaferisi diagramebis SerCevis unaris gamomuSaveba, arCevanis dasabuTeba, erTi grafikuli formidan meoreze gadasvla; xelsayreli da araxelsayreli mxareebis gaaz-reba; Sesaferisi Semajamebeli ricxviTi maxa-siaTeblebis SerCeva, arCevanis dasabuTeba, grafikuli formiT warmodgenili monace-mebis statistikuri Sinaarsis gaazreba. IX.11.

7 sT

19

funqcia. funqciis grafiki. funqciis mo-cemis xerxebi. funqciis Tvisebebi. wrfivi funq-cia. naSTi, naSTis Tvise-bebis gamoyeneba.

funqciebis, funqciebis Tvisebebis gamoy-eneba sidideebs Soris damokidebulebebis aRsawerad, funqciis mniSvnelobis, nulebis, maqsimumis, minimumis, zrdadoba-klebadobisa da niSanmudmivobis Sualedebis povna da maTi interpretaciis gaazreba gansaxilveli viTa-rebis konteqstSi. IX.6. funqciis grafikis Tvisebebis gaazreba si-dideebs Soris damokidebulebebis gasaazre-blad. IX.5. funqciis parametrebis cvlilebebis Sede-gebis interpretireba (magaliTad, daxris koeficientis cvlileba). IX.6. naSTis Tvisebebis gamoyenebis gaazreba (mag-aliTad, `saaTis ariTmetika~) IX.3. IX.5.

13 sT

geometriuli gardaq-mnebi; centruli simetria, RerZuli simetria. veqtori. veq-torebis Sekreba, veqto-ris ricxvze gamravleba, paraleluri gadatana. geometriul gardaqmna-Ta gamoyeneba. sibrtyis dafarvis amocanebi.

geometriul gardaqmnaTa Tvisebebis, maTi kompoziciis gaazreba; erTi figuris geome-triuli gardaqmniT meore figuris miRebis SesaZleblobis gaazreba. geometriuli gardaqmnebis gamoyeneba sibrtyis dafarvis SesaZleblobis ganxilvisas. IX.9. IX.8.

12 sT

kvadratuli funqcia. kvadratuli funqciis nulebi. vietis Teorema. kvadratuli utolobis amoxsna.

funqciebis da maTi Tvisebebis gamoyeneba si-dideebs Soris damokidebulebis aRsawerad da gamosakvlevad. mocemuli funqciisTvis am funqciis mniSvnelobis, nulebis, maqsimumis, minimumis, zrdadobis/klebadobis da niSan-mudmivobis Sualedebis povna. IX.6

9 sT

mTeli da wiladuri gan-tolebebi. orucnobiani gantoleba. orucnobian gantolebaTa sistema da maTi gamoyenebiT amocanebis amoxsna. gan-tolebebis grafikuli gamokvleva.

teqsturi amocanebis amosaxsnelad gan-tolebis, utolobis, gantolebaTa sistemis Sedgena, amonaxsnis interpretacia amocanis konteqstis gaTvaliswinebiT. IX.7.

11 sT

procenti. procen-tis daricxvis wesebi. rekurentuli wesiT mo-cemuli mimdevrobebi. ariTmetikuli progre-sia. geometriuli pro-gresia.

amocanebis amoxsnis unaris ganviTareba, rom-lebic dakavSirebulia saprocento ganakve-Tis, daricxvis, dabegvris, fasdaklebis op-eraciebTan. IX.4. realuri procesebis diskretuli procesebis aRwerisas rekursiis gamoyeneba, rekurentu-li mimdevrobebi da maTi ganvrcobis xerxebi. IX.5.

9 sT

20

msgavsebis asaxva. ms-gavsi figurebi. msgavsi mravalkuTxedebi. ms-gavsebis niSnebi. pro-porciuli monakveTebi marTkuTxa samkuTxedSi. maxvili kuTxis sinusi da kosinusi. maxvili kuTxis tangensi. marT-kuTxa samkuTxedis amoxsna.

figurebis an maTi elementebis zomebis pov-nis/Sefasebis sakiTxebis dakavSireba praqti-kuli problemebis gadaWrasTan. marTkuTxa samkuTxedis gverdebsa da kuTxeebs Soris trigonometriuli Tanafardobebis gamoy-eneba realur viTarebaSi obeiqtTa zomebis an obieqtebs Soris manZilebis dasadgenad. IX.8.

17 sT

elementaruli xdomi-loba. xdomiloba. xdomilobis albaToba. moqmedebebi xdomilo-bebze. jamis albaToba. namravlis albaToba.

romelime xerxis (CamonaTvali, xisebri diagrama) SerCeva sxvadasxva simravleebis elementebis kombinaciebis, yvela SesaZlo variantis, simravlis elementTa amorCevis, dalagebisa da gadanacvlebebis raodenobebis mosaZebnad. IX.5. xdomilobis mosalodnelobis Sesaxeb mona-cemTa safuZvelze varaudis gamoTqma da misi marTlzomierebis dasabuTeba. IX.3. albaTobis Tvisebebisa da formulebis gamoyeneba (jamis, namravlis) xdomilobaTa albaTobis gamosaTvlelad. damoukidebel xdomilobaTa albaTobebis gamoTvla SemTx-veviTi eqsperimentisTvis. dabrunebiTa da dabrunebis gareSe SemTxveviTi eqsperimentis dagegmva, mowyobilobaTa SerCeva (Canacv-leba), arCevanis dasabuTeba; rTuli xdomilo-bis xelSemwyob elementarul xdomilobaTa dasaxeleba da albaTobis gamoTvla. IX.12.

9 sT

wertilTa geometriuli adgili. wrewiri. cen-truli kuTxe, Caxazuli kuTxe. agebis amocanebi. wrewiris sigrZe, wris farTobi.

`wertilTa geometriuli adgilis~ cnebis gamoyenebis unaris ganviTareba, am cnebis mixedviT figuris, an misi elementis dasax-eleba da gamosaxva. wertilTa geometriuli adgilis cnebis gamoyeneba agebis amocanebSi, sxvaadsxva Camoyalibebisas figuraTa Soris mimarTebebis gansazRvra. IX.10. sibrtyeze mocemuli wiris miaxloeba texilis saSualebiT da am meTodiT wiris sigrZis Se-faseba an miaxloebiT gamoTvla. IX.8.

13 sT

21

msgavsebis asaxva. ms-gavsi figurebi. msgavsi mravalkuTxedebi. ms-gavsebis niSnebi. pro-porciuli monakveTebi marTkuTxa samkuTxedSi. maxvili kuTxis sinusi da kosinusi. maxvili kuTxis tangensi. marT-kuTxa samkuTxedis amoxsna.

figurebis an maTi elementebis zomebis pov-nis/Sefasebis sakiTxebis dakavSireba praqti-kuli problemebis gadaWrasTan. marTkuTxa samkuTxedis gverdebsa da kuTxeebs Soris trigonometriuli Tanafardobebis gamoy-eneba realur viTarebaSi obeiqtTa zomebis an obieqtebs Soris manZilebis dasadgenad. IX.8.

17 sT

elementaruli xdomi-loba. xdomiloba. xdomilobis albaToba. moqmedebebi xdomilo-bebze. jamis albaToba. namravlis albaToba.

romelime xerxis (CamonaTvali, xisebri diagrama) SerCeva sxvadasxva simravleebis elementebis kombinaciebis, yvela SesaZlo variantis, simravlis elementTa amorCevis, dalagebisa da gadanacvlebebis raodenobebis mosaZebnad. IX.5. xdomilobis mosalodnelobis Sesaxeb mona-cemTa safuZvelze varaudis gamoTqma da misi marTlzomierebis dasabuTeba. IX.3. albaTobis Tvisebebisa da formulebis gamoyeneba (jamis, namravlis) xdomilobaTa albaTobis gamosaTvlelad. damoukidebel xdomilobaTa albaTobebis gamoTvla SemTx-veviTi eqsperimentisTvis. dabrunebiTa da dabrunebis gareSe SemTxveviTi eqsperimentis dagegmva, mowyobilobaTa SerCeva (Canacv-leba), arCevanis dasabuTeba; rTuli xdomilo-bis xelSemwyob elementarul xdomilobaTa dasaxeleba da albaTobis gamoTvla. IX.12.

9 sT

wertilTa geometriuli adgili. wrewiri. cen-truli kuTxe, Caxazuli kuTxe. agebis amocanebi. wrewiris sigrZe, wris farTobi.

`wertilTa geometriuli adgilis~ cnebis gamoyenebis unaris ganviTareba, am cnebis mixedviT figuris, an misi elementis dasax-eleba da gamosaxva. wertilTa geometriuli adgilis cnebis gamoyeneba agebis amocanebSi, sxvaadsxva Camoyalibebisas figuraTa Soris mimarTebebis gansazRvra. IX.10. sibrtyeze mocemuli wiris miaxloeba texilis saSualebiT da am meTodiT wiris sigrZis Se-faseba an miaxloebiT gamoTvla. IX.8.

13 sT

saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis dagegmvis

zogadi principebi

saswavlo procesis organizaciis ZiriTadi forma gakveTilia; saganmanaTleblo,

aRmzrdelobiTi da praqtikuli miznebis ganxorcieleba gakveTilze xdeba. amitom

maTematikis swavlebis ZiriTadi sakiTxi gakveTilis kargi momzadeba da Catarebaa.

meTodikur literaturaSi didaqtikuri cneba _ `gakveTili~ ZiriTadad

ase aRiwereba: gakveTili logikurad dasrulebuli, mTliani saswavlo-

aRmzrdelobiTi procesis garkveuli SemosazRvruli monakveTia. masSi rTul

urTierTdamokidebulebaSia procesis yvela ZiriTadi elementi: Sinaarsi,

mizani, saSualebebi, meTodebi, organizacia; yovel gakveTilze gansazRvruli

saganmanaTleblo da aRmzrdelobiTi amocanebi wydeba; am amocanebis gadawyveta

konkretuli saswavlo masalis ganxilvis procesSi mimdinareobs.

maTematikis gakveTilisadmi wayenebuli mTavari moTxovnaa ZiriTadi didaqtikuri

amocanis arseboba _ im Temis Seswavlis miznis arseboba, romlis gadawyvetis

procesi mocemul gakveTilze mimdinareobs. yoveli gakveTilis win kargad unda

gaiazroT misi Sinaarsi da mizani, amaSi Cven mier mowodebuli ruka dagexmarebaT.

miznis Sesabamisi unda iyos kargad gaazrebuli da dagegmili saswavlo masalis

wardgenis fazebi:

motivacia. ar aris sakmarisi, rom maswavlebels gaazrebuli hqondes mizani;

saWiroa, rom igi moswavleebisTvisac gaxdes ZiriTadi mizani. moswavleebTan

saubari unda daviwyoT ara imiT, Tu ras vaswavliT, aramed mniSvnelovania

Tavidanve interesis aRZvra da iseTi situaciisTvis xelSewyoba, roca moswavle

motivirebulia da poulobs pasuxebs kiTxvaze _ `risTvisaa saWiro~. motivacia

SesaZlebelia praqtikuli amocanis dayenebiTa da misi amoxsnis xerxebis ZiebiT

daviwyoT, an maTematikis Siga kanonzomierebis gaazrebiT, problemuri situaciis

Seqmnis xelSewyobiT; mxolod amis Semdeg xdeba Sesabamisi amocanis dasma da misi

amoxsnis Zieba.

amocanis gansazRvris Semdeg mimdinareobs misi amoxsnis gzis Ziebis procesi.

amoxsnis Ziebis procesis warmarTvis sxvadasxva meTodikuri saSualeba arsebobs.

yovel amocanas, rogorc wesi, amoxsnis Ziebis garkveuli forma miesadageba. es

formebia _ muSaoba jgufebad (SesaZlebelia or-oradac), mTeli klasis erToblivi

monawileobiT, individualuri muSaoba da a. S. im SemTxvevaSic ki, roca amocanis

amoxsnis ZiebaSi mTeli klasi erTdrouladaa Cabmuli, maswavlebelma swavleba ise

unda warmarTos (moxerxebuli kiTxvebis dasmis saSualebiT), rom Temis Seswavlis

procesis ZiriTadi Semoqmedebi Tavad moswavleebi aRmoCndnen; maswavlebeli am

SemTxvevaSi warmmarTvelis, `diriJoris~ funqcias unda asrulebdes.

moswavlis saxelmZRvanelos teqsti mogcemT aseTi gakveTilebis Catarebis

saSualebas. igi ZiriTadi saswavlo saSualebaa da amitom gakveTilisTvis mzadebis

22

procesSi teqstebis, ilustraciebis, savarjiSoebis gacnobas, daxarisxebas didi

dro unda dauTmoT. Tumca, maswavleblis wignic dagexmarebiT TiToeul etapze

(sawyisi, damagvirgvinebeli) Sesasrulebeli savarjiSoebis SerCevis sakiTxSi.

Sinarsisa da miznebis rukaSi ver mivuTiTeT Temis Seswavlis yvela mizani,

romelic saganmanaTleblo da aRmzrdeblobiTi amocanebis gadawyvetis

komponentebisgan Sedgeba. ar unda gavaigiveoT mizani SinaarsTan, magaliTad,

samkuTxedis kuTxeebis jamis formulis gamoyvana saxelmZRvaneloSi isea

warmodgenili, rom igi am Temis Sinaarsis miznad gardaqmnis process kargad

warmogvidgens; dasmuli amocanis amoxsna kritikuli azrovnebis, msjelobisa da

dasabuTebis unaris gamomuSaveba, geometriul figuraTa gamosaxvis da am figuraTa

Tvisebebis SeswavlaSi eqsperimentis gamoyenebis unaris gamomuSavebaa. am miznebis

gansaxorcieleblad qaRaldisgan gamoWril samkuTxedze (modelze) Catarebuli

eqsperimentis (gamoiyeneba ramdenime RerZuli simetria), an dasabuTebis xerxia

mowodebuli. meore maTgani dasmul kiTxvebze pasuxis SerCevis, msjelobisa da

dasabuTebebis fonze mimdinareobs. aq maswavlebelma SeiZleba sxva eqsperimentic

daamatos (transportiris gamoyenebiT). ufro dawvrilebiT am gakveTilis Sesaxeb

qvemoT mogaxsenebT.

am konkretuli magaliTidan Cans, rom aqtivobis mizani saganmanaTleblo da

aRmzrdelobiTi miznebis erTobliobaa.

gakveTilze Seswavlili faqtebi TavisTavad aris mniSvnelovani; Tumca, kidev

ufro mniSvnelovania is, rom maTi Seswavlis dros ganxorcielebuli procesi Tavis

kvals tovebs _ kritikuli azrovnebis ganviTareba, msjeloba da dasabuTebis

unaris gamomuSaveba. amasTanave, moswavleTa gonebaSi gaiazreba mniSvnelovani

sakiTxebi: adamianis mier faqtebis aRmoCena, aRmocenebuli amocanebis amoxsna da

Sedegebis dafiqsireba azrovnebaSi. konkretuli deduqciuri msjeloba, dasabuTeba

im SemTxvevaSi atarebs aRmzrdelobiT funqcias, roca moswavles gavagebinebT misi

Catarebis mniSvnelobas.

axla davasaxelebT ramodenime sasargeblo zogad rekomendacias, romelic

meTodikis sakiTxebs ganekuTvneba:

• maswavlebeli cdilobs, rom yoveli axali SemecnebiTi amocana TviT moswavlem

Camoayalibos;

• maswavleblis xelmZRvanelobiT da moswavleTa ZalisxmeviT _ dakvirvebis,

cdis, konkretuli SemTxvevebis analizis Sedegad iqmneba warmodgena, hipoTeza

arsebul kanonzomierebaze.

• maswavleblis xelmZRvanelobiT mimdinareobs dasabuTebis gzis Zieba, amocanis

amoxsnis gegmis Sedgena, rasac xSirad mosdevs TviT moswavleebis mier am gegmis

realizacia.

axla SevexoT saswavlo procesisTvis mzadebis zogad sqemas:

• maswavleblis muSaoba saswavlo wlis win.

• gakveTilTa sistemis gaazreba saswavlo wlis win;

• konkretuli gakveTilisTvis momzadeba.

momzadebisas maswavlebelma unda gamoiyenos moswavlis wigni, maswavlebelis

sarekomendacio wigni da, saWiroebis SemTxvevaSi, iq miTiTebuli literatura.

sarekomendacio wignis mixedviT sasurvelia maswavlebeli Tavdapirvelad saswavlo

gegmas, Se fasebis sistemas da gakveTilebis SemoTavazebul nimuSebs ga ecnos.

23

sarekomendacio wignis Sesavali mas gaacnobs avtorTa mier saxelmZRvanelos agebis

ZiriTad principebs.

maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges Cvens rekomendaciebs; igi safuZvlad

iRebs Cven mier SemoTavazebul gegmas da azustebs mas sakuTari gamocdilebiTa

da klasis Taviseburebebis gaTvaliswinebiT. es dazustebebi gansakuTrebiT

mniSvnelovania sawyis etapze Sesasrulebeli savarjiSoebis da damamTavrebel

etapze Sesasrulebeli savarjiSoebisa da sakontrolo weris variantebis SerCevisas.

gakveTilis dagegmva iTvaliswinebs Casatarebeli procesis tips:

• axali masalis gacnoba

• masalis ganmtkiceba

• codnis Semowmeba

• sxva tipis gakveTilebi (gakveTili bunebaSi, gakveTili-proeqti, ...)

Tumca, zogierTi tipis procesi (axali masalis gacnoba, ganmtkiceba, Semowmeba),

rogorc wesi, yovel gakveTilze mimdinareobs, SesaZlebelia _ sxvadasxva

moculobiT.

moswavleTa codnis Semowmeba, moswavleTa muSaobaze dakvirveba yovel

gakveTilze mimdinareobs. gakveTilze mTavaria vaswavloT da aRvzardoT. swavleba

ar niSnavs mxolod codnis gadacemas _ swavleba codnis SemoqmedebiTad dauflebas

unda niSnavdes, misi gamoyenebis unaris ganviTarebaze unda iyos morgebuli.

moswavleTa Sefaseba swavlis procesze maswavleblis dakvirvebebiT, moswavleTa

mier sakontrolo da damoukidebeli samuSaobis Sesrulebis xarisxiT ganisazRvreba.

yoveli gakveTilis Semdeg sakuTar wignakSi CainiSneT moswavleebze dakvirvebis

Sedegebi, gaiTvaliswineT moswavleTa SemoqmedebiTi aqtiuroba (masalis aTvisebis

done kargad Cans savarjiSoebis amoxsnis drosac _ ganmtkicebis procesSi).

saswavlo masalis dasabuTebuli SerCeva iTvaliswinebs Semdeg moTxovnebs:

• saswavlo masalis Sesabamisoba Temis mizanTan

• gakveTilze Sesasrulebeli samuSaos moculobis swori gansazRvra

• optimaluri Tanafardoba konkretulsa da zogads Soris

• Teoriasa da praqtikas Soris aucilebeli urTierTkavSiris ganxorcieleba

maswavlebelma, rogorc wesi, Tavidan bolomde detalurad unda gaiazros

gakveTili, winaswar, drois mixedviT unda iyos ganawilebuli mTeli samuSao.

magaliTad, Tu gakveTilze axal Temaze gadasvlac aris gaTvaliswinebuli,

maSin SeiZleba im sakiTxebis Sesaxeb msjeloba, romelTa bunebriv da kanonzomier

gagrZelebas axali sakiTxebi Seicavs, SeiZleba gakveTili pirdapir im praqtikuli

amocanis ganxilviT daviwyoT, romlis maTematikuri modelis Seswavla axali

maTematikuri faqtebis aRmoCenas, hipoTezis Camoyalibebasa da dasabuTebebs

moiTxovs. am procesis bunebrivi gagrZeleba Sesabamisi savarjiSoTa sistemis

ganxilvaa.

kiTxvebze pasuxebis gacemis sistema ar unda iyos erTferovani _ mxolod

warmatebul moswavleebTan mimarTebiT ar unda SemoifargloT; moswavlis raime

mosazrebas myisve nu upasuxebT. swor pasuxsac ki maSinve nu daeTanxmebiT xolme

_ gaakeTeT pauza, iqneb garkveuli eWvic ki gamoTqvaT misi mosazrebis sisworis

mimarT. amiT miaRwevT imas, rom bavSvebi daubrundebian dasmuli kiTxvis analizs da

male WeSmariti daskvna _ swori pasuxi klasis dominantur mosazrebad gadaiqceva.

klasi, erToblivi ZalisxmeviT, `gaiZulebT~ daeTanxmoT mis pozicias. es axarebs,

24

amxnevebs da aerTianebs axalgazrdebs. es maTi erToblivi azris gamarjvebaa.

Tqvens mizansac xom es warmoadgens _ moswavle CamoayaliboT Semoqmed, codniT

aRWurvil, iniciativian, xalisian axalgazrdad. maTematika mZlavri emociuri muxtis

matarebelia da misi amoqmedeba Tqveni ZalisxmeviT miiRweva.

yuradRebiT unda movisminoT yvela pasuxi, uxeSi Secdomis SemTxvevaSic ki

dauSvebelia mkacri uaryofiTi Sefasebebis gamoTqma.

yuradReba miaqcieT, rom terminebi, cnebebi da movlenebi sworad iyos

gansazRruli.

gakveTilebis dagegmvasa da warmarTvaSi xels SegiwyobT sanimuSo gakveTilebis

scenarebi.

axali masalis ganmtkicebis procesi SeiZleba e. w. `testuri~ amocanebis

`amoxsniT~ daviwyoT, maTi Sesruleba swori pasuxis SerCeviT unda Semoifarglos

_ zogjer SeiZleba komentarebis gakeTebac gaxdes saWiro. yovel paragrafSi

mocemuli masala, rogorc wesi, 2 gakveTilzea gaTvaliswinebuli; meore gakveTilze

codnis ganmtkicebaze zrunviT SemovifarglebiT.

swavlebis erT-erTi saintereso da mniSvnelovani forma jgufuri muSaobaa.

es muSaoba SeiZleba gakveTilis procesis erT-erTi Semadgeneli nawili iyos _

daukavSirdes axali masalis gaazrebas, praqtikuli saqmianobis (eqsperimentis)

an Semajamebeli daskvnebis gamotanas, an, SesaZlebelia, mas mTeli gakveTilic

davuTmoT. mis warmarTvaSi moswavlis saxelmZRvaneloSi warmodgenili amocanebis

sistema dagexmarebaT (magaliTad, amocanebi jgufuri muSaobisTvis). am SemTxvevaSi

jgufur muSaobas SeiZleba Sejibris saxec ki mivceT.

organizaciulad jgufuri muSaobis es varianti _ paeqroba _ SeiZleba ase

movawyoT:

winaswar vacxadebT Catarebis dRes; moswavleebs vavalebT samuSao rveulis

ormagi furceli iqonion. paeqroba moswavleTagan kapitnebisa da maTi TanaSemweebis

dasaxelebiT iwyeba. optimaluria 4-5 moswavlisagan Semdgari jgufebi _ gundebi.

gundebis dakompleqteba SeiZleba kapitnebsac miandoT. mTavaria, `arCevnebma~ didi

dro ar wagarTvaT.

mas Semdeg, rac gundebi dakompleqtdeba, winaswar gamravlebuli amocanebi

daurigeT gundebs (an dafaze amowereT pirobebi). am SemTxvevaSi yvela gunds

erTnairi davaleba miecema.

gakveTilis dasrulebamde 10-12 wuTiT adre kapitnebs evalebaT warmoadginon

maTi gundebis Sedegebi _ maTi amocanebis amoxsnebi. CaibareT es amoxsnebi winaswari

komentarebis gareSe da saukeTeso amoxsnebis avtorebi rigrigobiT miipatiJeT

dafasTan naSromTa mokle prezentaciisTvis. cxadia, kritika da polemika, Tu amis

safuZveli arsebobs, unda iyos uSeRavaTo, magram _ koreqtuli. am bWobaSi Tqvenc

mogiwevT xandaxan Cabma; zogjer mediatoris rolis Sesrulebac. es procedura

aRniSnul droze mets ar moiTxovs, radgan amocanebi yvelas kargad aqvs gaazrebuli

da mxolod sakvanZo punqtebia xazgasasmeli.

am gansjis dasrulebisTanave unda aRdges merxebis Tavdapirveli ganlageba,

Semdeg acxadebT gundebis mier mopovebul qulebs (TiToeuli amocana SeiZleba

2-quliani skaliT Sefasdes) da dakavebul adgilebs am paeqrobaSi. SeiZleba daawesoT

damatebiTi qulebi prezentaciis Sesafaseblad.

jgufuri muSaobisTvis amocanebi SeiZleba SeirCes saxelmZRvaneloSi Sesabamisi

25

niSnakiT gamoyofili adgilidan. Tumca, winaswar yvela amocana rom ar iyos

`gaSifruli~, iqneb maTi pirobebi odnav SecvaloT, an zogierTi amocana paragrafis

damatebiTi savarjiSoebis krebulidan airCioT.

moswavlis saxelmZRvaneloSi SemoTavazebuli jgufuri muSaobis zogierTi

proeqti raime erTi axali Temis Sesabamisi struqturirebuli kiTxvebisgan

Sedgenili amocanaa _ yoveli kiTxva winas ukavSirdeba _ kiTxvebze pasuxebis

sistema raime erTi axali Temis Sesabamisi problemis dasmas da amoxsnas gulisxmobs.

am SemTxvevaSi pasuxebis sistema, romelic moswavleTa jgufis erToblivi

Zalisxmevis Sedegia, maTi koleqtiuri SemoqmedebiTi naSromia da misi Sefaseba

prezentaciisas ganxorcieldeba.

zogjer jgufebs sxvadasxva saxis davalebebi SeiZleba mivceT _ gansxvavebuli

eqsperimentebis Catareba davavaloT (magaliTad, geometriuli obieqtis Tvisebebis

daadgena, geometriuli faqtis ganxilva-dasabuTeba, Sedegis warmodgena). am

SemTxvevaSi moswavleebi msjeloben warmodgenili varaudebis koreqtulobaze da

adareben maT. aseTi tipis jgufuri muSaobebi, rogorc zemoT aRvniSneT, gakveTilis

fragmenti SeiZleba iyos da xSirad unda gamoviyenoT.

Teoriuli masalis gadmocemis Cveneuli meTodika saSualebas gaZlevT airCioT,

yvelaze ufro mosaxerxebeli forma Sinaarsisa da miznebis rukaSi miTiTebuli

moTxovnebis Sesasruleblad.

saskolo Sefasebis axali sistema, romelic erovnuli saswavlo gegmiT

aris gansazRvruli, iTvaliswinebs Semdeg aucilebel midgomebs: akademiuri

moswrebis Sefaseba unda iyos xSiri da mravalmxrivi. unda Sefasdes ara marto

informaciis floba, aramed SeZenili unar-Cvevebi. ar aris sakmarisi moswavle

mxolod sakontrolo werebis safuZvelze Sefasdes. maswavlebeli unda afasebdes

prezentaciebis, moswav lisave TviTSefasebis, jgufuri muSaobis, Tu sxva

tipis aqtivobebis mixedviT. maswavlebelma Sefasebisas unda gaiTvaliswinos

saganmanaTleblo procesSi moswavlis CarTulobis xarisxi (saxlSi micemuli

davalebebis Sesrulebis xarisxi, gakveTilze aqtiuroba, SemoqmedebiToba da sxva),

amasTanave, mizanSewonilia moswavlesac winaswar gavacnoT Sefasebis kriteriumebi.

am kriteriumebis SedgenaSi SeiZleba moswavleTa CarTvac.

sakontrolo werebis Sefasebis sqemebs am wignSi gaecnobiT. dauSvebelia

moswavleTa qcevis gaTvaliswineba akademiuri moswrebis Sefasebisas _ gakveTilze

arasaTanadod moqceva, rogorc wesi, aisaxeba akademiur moswrebaze.

moswavlis niSani unda gamomdinareobdes mis mier sagnis Seswavlis sxvadasxva

komponentisgan _ sakontrolo weris Sesruleba, gakveTilze msjeloba,

SemoqmedebiTi aqtivoba, jgufuri muSaoba, prezentacia da sxva.

26

შეფასება მათემატიკაში

შეფასების კომპონენტები მათემატიკაში1) საშინაო და საკლასო დავალებათა კომპონენტები

შეიძლება შეფასდეს შემდეგი ცოდნა და უნარ-ჩვევები1. მათემატიკური ცნებებისა და დებულებების გამოყენება;2. კავშირებისა და მიმართებების დადგენა;3. მათემატიკური ობიექტების წარმოდგენა და მათემატიკური ენის ფლობა;4. მსჯელობა - დასაბუთება;5. ამოცანის ჩამოყალიბება;6. მოდელირება;7. ამოცანის ამოხსნის გზა და მისი რეალიზება;8. გამოთვლები;9. დამხმარე ტექნიკური საშუალებებისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების

გამოყენება.

სასიცოცხლო უნარ-ჩვევები

1. შემოქმედებითობა;2. თანამშრომლობა (მეწყვილესთან, ჯგუფის წევრებთან);3. სტრატეგიების გააზრებულად გამოყენება სასწავლო საქმიანობის ხელშეწყობის

მიზნით;4. სასწავლო აქტივობებში მონაწილეობის ხარისხი.

უნარ-ჩვევები ფასდება შემდეგი კრიტერიუმებით:

1. მოსწავლე აღიქვამს ამოცანის შინაარსს, გაიაზრებს და გამიჯნავს ამოცანის მონაცემებსა და საძიებელ სიდიდეებს. ახდენს მონაცემების (მათ შორის პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო მონაცემების) ორგანიზებას და მათ წარმოდგენას;

2. გადმოცემისას სწორად და ეფექტიანად იყენებს მათემატიკურ ტერმინებსა და აღნიშვნებს. ადეკვატურად ირჩევს სიმკაცრის დონეს და როდესაც საჭიროა, დასაბუთებისას იყენებს მკაცრ მათემატიკურ მსჯელობას (მათ შორის ინდუქციურ და დედუქციურ მსჯელობას);

3. პოულობს, არჩევს და იყენებს გზებსა და მეთოდებს (მათ შორის ტექნოლოგიებს) ფიგურების და ობიექტების ზომების, აგრეთვე მათ შორის მანძილების, მასის, ტემპერატურის და დროის გასაზომად. არჩევს და მოიპოვებს პროცესის ან რეალური ვითარების მოდელირებისათვის საჭირო მონაცემებს;

4. ახდენს მოცემული მოდელის ელემენტების ინტერპრეტირებას იმ რეალობის კონტექსტში, რომელსაც მოდელი აღწერს და პირიქით – რეალური ვითარების დაკვირვების შედეგად მიღებული მონაცემების ინტერპრეტირებას შესაბამისი მოდელის ენაზე. განსაზღვრავს მოდელის ვარგისიანობას და აფასებს მისი გამოყენების საზღვრებს;

5. კომპლექსურ (რთულ) პრობლემას ყოფს საფეხურებად, მარტივ ამოცანებად და ჭრის ეტაპობრივად (ამოხსნა),

6. 7. მათ შორის სტანდარტული მიდგომებისა და პროცედურების გამოყენებით;8. ამოცანების ამოხსნისას, იყენებს მათემატიკურ ობიექტებს, პროცესებს და მათ

თვისებებს;9. ირჩევს ეფექტიან სტრატეგიას და მოკლედ აღწერს პრობლემის გადაჭრის საფეხურებს.

მიჰყვება არჩეულ სტრატეგიას. აანალიზებს არჩეულ სტრატეგიას და ასაბუთებს არჩეული სტრატეგიის ეფექტიანობას, მიმოიხილავს შესაძლო ალტერნატიულ სტრატეგიებს და მსჯელობს მათ უპირატესობებსა და ნაკლზე;

27

10. ირჩევს გამოთვლების ადეკვატურ / ოპტიმალურ ხერხს და ახდენს მის რეალიზებას;11. ამყარებს კავშირებს (მაგალითად, სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან

ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;

12. ახდენს მიღებული შედეგების განზოგადებას, ამყარებს კავშირებს (მაგალითად სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;

13. ირჩევს დასაბუთების ხერხს (მაგალითად: საწინააღმდეგოს დაშვების გამოყენება დამტკიცებისას, ევრისტული მეთოდის გამოყენება დასაბუთებისას);

14. ინფორმაციის გადაცემისას წარმოაჩენს საკითხის არსს (მაგალითად, მათემატიკური ობიექტის არსებით თვისებებს);

15. კორექტულია მასწავლებელთან და მეგობრებთან მიმართებაში. იგებს და აანალიზებს სხვის ნააზრევს;

16. თანამშრომლობს თანაკლასელებთან ჯგუფური სამუშაოების შესრულებისას;17. აუდიტორიისა და საპრეზენტაციო მასალის მიხედვით ირჩევს პრეზენტაციის

ფორმას და დამხმარე საშუალებებს (მათ შორის საინფორმაციო ტექნოლოგიებს). ეფექტიანად იყენებს პრეზენტაციისათვის განკუთვნილ დროს;

18. ახდენს პრობლემის ფორმულირებას აუდიტორიისათვის გასაგები ფორმით. ასაბუთებს პრობლემის აქტუალურობას და მნიშვნელობას (იგულისხმება პრობლემის პრაქტიკული ან/და წმინდა მეცნიერული აქტუალურობა);

19. სადემონსტრაციოდ იყენებს მაგალითებს, როგორც რეალური ვითარებიდან ასევე მათემატიკიდან;

20. კეთილსინდისიერად ასრულებს დავალებებს (ვადებისა და რაოდენობის თვალსაზრისით).

2) შემაჯამებელი დავალებების კომპონენტი

შემაჯამებელი დავალების კომპონენტი უკავშირდება სწავლა-სწავლების შედეგს. ამ კომპონენტში უნდა შეფასდეს ერთი სასწავლო მონაკვეთის (თემა, თავი, პარაგრაფი, საკითხი) შესწავლა-დამუშავების შედეგად მიღწეული შედეგები. კონკრეტული სასწავლო ერთეულის დასრულებისას მოსწავლემ უნდა შეძლოს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრული ცოდნისა და უნარების წარმოჩენა. შესაბამისად, შემაჯამებელი დავალებები უნდა აფასებდეს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრულ შედეგებს.შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები:

სტანდარტის მოთხოვნათა დასაფარად, რეკომენდებულია შემაჯამებელ დავალებათა მრავალფეროვანი ფორმების გამოყენება. მათემატიკის შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები შეიძლება იყოს:1. ტექსტურ ამოცანასთან დაკავშირებული ღია ან დახურული (რამდენიმე შესაძლო

პასუხს შორის სწორი პასუხის შერჩევა, შესაბამისობის დამყარება, სწორი თანმიმდევრობით დალაგება) ტიპის დავალება;

2. ტექსტის წაკითხვა და მონაცემთა ანალიზით (გამოთვლების ან ლოგიკური მსჯელობის საფუძველზე) მიღებული დასკვნის გადმოცემა და დასაბუთება (მათ შორის ისეთი ტექსტის, რომელიც შეიცავს დიაგრამებს და ცხრილებს);

3. განტოლების ამოხსნა, ასოითი გამოსახულების გამარტივება, რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობის გამოთვლა;

4. გეომეტრიული ამოცანა, რომელშიც მოსწავლეს მოეთხოვება ფიგურის თვისებების დადგენა, ზომების განსაზღვრა, ფიგურის აგება;

5. ამოცანა, რომელშიც წინასწარ განსაზღვრული მონაცემების საფუძველზე მოსწავლეს მოეთხოვება მოცემული ფაქტის დასაბუთება ან უარყოფა (მაგალითად, თეორემის

28

დამტკიცება).

მოთხოვნები, რომლებსაც უნდა აკმაყოფილებდეს შემაჯამებელი დავალებები:

• დავალების თითოეულ ტიპს უნდა ახლდეს თავისი შეფასების ზოგადი რუბრიკა;• ზოგადი რუბრიკა უნდა დაზუსტდეს კონკრეტული დავალების პირობისა და

განვლილი მასალის გათვალისწინებით;• 10 ქულა უნდა გადანაწილდეს რუბრიკაში შემავალ კრიტერიუმებზე;• მითითებული უნდა იყოს სტანდარტის ის შედეგები, რომელთა შეფასებასაც

ემსახურება შემაჯამებელი დავალება.

ზოგადი რუბრიკის ნიმუში:

შეფასების ზოგადი რუბრიკა ტექსტური ამოცანისათვის (წერითი დავალება)• ამოცანის მონაცემების ორგანიზება;• ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანა;• ამოხსნის გზის მოძებნა;• ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღება.

კონკრეტული რუბრიკის ნიმუში

ტექსტური ამოცანა, რომლის ამოხსნა მოითხოვს განტოლების შედგენას და ამოხსნას

საფეხურები ქულაამოცანის მონაცემების ორგანიზებაამოხსნისათვის საჭირო მონაცემების ამოკრეფა ამოცანის ტექსტიდან 0 - 1მონაცემების ორგანიზება და ისეთი ხერხით ჩაწერა, რომელიც აადვილებს ამოხსნის გზის მოძებნას

0 - 1

ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანასაძიებელი სიდიდეების გამოყოფა 0 - 1საძიებელი სიდიდეებისათვის ასოითი აღნიშვნების შემოღება 0 - 1მათემატიკური ობიექტებისა და პროცედურებისათვის სწორი აღნიშვნების გამოყენება (მაგალითად: ფუნქციის, ალგებრული მოქმედების)

0 - 1

ამოხსნის გზის მოძებნაგანტოლების შედგენის წინმსწრები მსჯელობა 0 - 1განტოლების შედგენა 0 – 1ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღებაგანტოლების ამოხსნის ხერხის მოძებნა 0 - 1განტოლების ამოხსნა და პასუხის მიღება 0 – 1 - 2

29

sanimuSo gakveTilebi

gakveTili 1

aqtivoba. racionaluri ricxvebis Caweris formebi _ wiladi, aTwiladi,

procenti.

reziume. moswavleebi iyeneben erTi da imave racionaluri ricxvisTvis

sxvadasxva saxis Canawerebs, msjeloben garkveul situaciaSi Caweris calkeuli

saxis upiratesobaze. operireben sxvadasxva formiT Caweril ricxvebze, adareben

maT.

aqtivobis mizani. gairRmavos codna racionaluri ricxvebis Sesaxeb, maTi

warmodgenis alternatiuli formebis Sesaxeb; dasmuli amocanis mixedviT Caweris

xelsayreli formis SerCevis alRosa da unaris ganviTareba; racionalunri

ricxvebiT operirebis unaris ganviTareba, rac uaRresad mniSvnelovania amocanaTa

amoxsnisas.

aucilebeli wina codna. naturalur, mTel da racionalur ricxvTa

simravleebi, mimarTebebi maT Soris; ricxvebis gamosaxva sakoordinato wrfeze;

moqmedebebi aTwiladebze, kerZod, aTwiladis mTel ricxvze gamravleba.

saWiro masala. saxelmZRvanelo, kalkulatori.

aqtivobis aRwera. romelime moswavles vTxovT dafaze Camoweros ricxvebi.

magaliTad, -3; 5; 7,2; 35 ; 5

3 ; 0; 2; 62 ; 12

100; 710.

mivmarTavT klass:

• daasaxeleT am ricxvebidan romelia naturaluri, mTeli, racionaluri;

• romeli racionaluri ricxvi ar aris mTeli?

• daasaxeleT mTeli ricxvebi, romlebic ar aris naturaluri?

• romelia mTeli ricxvebi, romelic ar aris racionaluri?

yoveli pasuxi unda dadasturdes klasSi

sajaro ganxilviT.

moswavleebs vTxovT gaixsenon mimarTebebi

n, Z da Q simravleebs Soris, gamosaxon es

mimarTebebi venis diagramebiT; daasaxelon raime

ricxvebi diagramis yoveli aridan, SeiZleba

Caweron dasaxelebuli ricxvebi diagramaSive.

magaliTad,

53 ; 7

12; 7,2;

-3; 0; -1

2; 7; 1Zn

Q

30

davubrundeT dafaze Camoweril ricxvebs da maTgan gamovyoT racionaluri

ricxvebi, romlebic ar aris mTeli.

7,2; 35 ; 5

3 ; 12100; 7

10.

• ra formiTaa Cawerili I ricxvi? (aTwiladi)

• ra formiTaa Cawerili II da III ricxvebi? (wiladi)

• II da III ricxvebs Soris aris Tu ara wesieri wiladi, arawesieri wiladi?

• rogor CavwerT wiladiT 1%-s?

• CawereT 12100 da 7

10 procentis saxiT. (12%; 70%)

• rogor CavwerT 35 -s aTwiladis saxiT? (3:5=0,6)

• rogor CavwerT 53 -s aTwiladis saxiT? (5:3=1,666...)

• rogori aTwiladebia 0,6 da 1,66...? (sasruli; usasrulo perioduli)

• rogor CavwerT usasrulo periodul aTwilads 1,66...? (1,(6))

kalkulatoris gamoyenebiT, an mis gareSe CavweroT wiladebi aTwiladis

saxiT: 14 , 2

5, 3

8, 7

50. yoveli maTgani Caiwera sasruli aTwiladis saxiT. iqve maTi

mniSvnelebi davSaloT martiv mamravlebad.

CavweroT aTwiladis saxiT: 13

, 2399

, 27

, 56

, 49

, 730

, 935

. yoveli maTgani Caiwereba

usasrulo perioduli aTwiladis saxiT. maTi mniSvnelebic davSaloT martiv

mamravlebad.

martiv mamravlebad daSlil mniSvnelebze dakvirvebis Sedegad mosalodnelia,

rom moswavleebma ivaraudon: sasruli aTwiladis saxiT Caiwereba mxolod is

wiladebi, romelTa mniSvnelis martiv mamravlebad daSlaSi mxolod 2-ebi da 5-ebi

monawileobs. Tu SeTavazebuli wiladebis aTwiladebis saxiT Cawera ar aRmoCnda

sakmarisi varaudis gamosaTqmelad, SevTavazoT Tavad daasaxelon wiladebi 2-is da

5-is xarisxebis namravliT miRebuli mniSvnelebiT da Caweron isini aTwiladebis

saxiT. klasSi SeiZleba vimsjeloT aseTi mniSvnelis mqone wiladis sasruli

aTwiladis saxiT Caweris ganxorcielebis gzaze. Semdeg daasaxelon wiladebi,

romelTa mniSvnelebi 2-is da 5-isgan gansxvavebul martiv mamravls Seicavs da

Caweron isini aTwiladis saxiT.

SevTavazoT Caweron aTwiladis saxiT, magaliTad, 1524 . miuxedavad imisa, rom

mniSvnelis erT-erTi martivi mamravli 3-ia, es wiladi mainc sasruli aTwiladis

saxiT Caiwera. ratom? is ar aris ukveci wiladi, Sekvecis Semdeg misi mniSvnelia

8=23.

e. i. moswavleTa `varaudi~ ukveci wiladebisTvisaa samarTliani.

savarjiSod SeiZleba SevTavazoT ricxvebis Sedareba mas Semdeg, rac yovel

maTgans CavwerT aTwiladis saxiT: 34 da 0,7; 3

4 da 0,(7); 1

2 da 0,5(5); 0,7(17) da 0,(71);

0,(71) da 0,71.

31

mas Semdeg, rac moswavleebi kargad daeuflebian wiladebis Caweras aTwiladis

saxiT, saxelmZRvaneloSi SemoTavazebuli nimuSebis mixedviT daveuflebiT

perioduli aTwiladis wiladis saxiT Caweris proceduras (dasawyisisTvis,

magaliTad, 39

, 69

, 2599

, 3199

, 799

wiladebis aTwiladis saxiT CanawerebSi cifrebi,

romlebic periodulad meordeba, Seadaron wiladis mricxvels, maTi odenoba

Seadaron mniSvnelSi 9-ianebis odenobas).

aqtivobis gafarToeba. rogor moviqceT, Tu periodi ar iwyeba uSualod mZimis

Semdeg? magaliTad, erT-erTma moswavlem aseTi gamosavali naxa:

1,2(3)=12,(3)

10=

12 39

99= 111

90 =12190 .

davaleba SeiZleba SevarCioT 11 - 24 savarjiSoebidan.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. moswavleebi daeuflebian racionaluri

ricxvebis Caweris formebs: wiladurs da aTwiladurs; erTi formiT Cawerili

ricxvis sxva formiT Caweras; Tavad gaarkveven, wiladis saxiT Cawerili ricxvi

sasruli Tu usasrulo perioduli aTwiladis saxiT Caiwereba; ganxiluli

magaliTebiT ilustrirebuli iqneba perioduli aTwiladis wiladis saxiT

warmodgenis procesi, moswavleebi kidev ufro ukeT gaecnobian procents _

racionaluri ricxvis Caweris erT-erT formas.

kidev ufro amaRldeba maTi mzaobis done praqtikuli amocanebis amoxsnisas.

es Tema gagrZeldeba Semdeg gakveTilebze.

am aqtivobis gaanalizebisas aucilebelia pedagogma aRniSnos miRweuli

Sedegebi, Seafasos SeniSnuli xarvezebi, dasaxos maTi gamosworebis gzebi

da vadebi. mas mouwevs muSaobis gaZliereba im moswavleebTan, romlebic ver

axerxebdnen aqtiur Cabmas muSaobaSi. sasurvelia aqtivobis SefasebaSi moswavleTa

mosazrebebis gaTvaliswinebac.

gakveTili 2

aqtivoba. iracionaluri ricxvi. kvadratuli fesvi.

reziume. moswale gaiRrmavebs da goaifarToebs warmodgenas ricxvTa Sesaxeb.

gaecnoba iracionalur ricxvebs. SeZlebas maT miaxloebiT gamosaxvas sakoordinato

wrfeze; farglisa da saxazavis saSualebiT aagebs iseT monakveTs, romlis sigrZe

iracionaluri ricxviT gamoisaxeba. gaecnoba uTanazomo monakveTebis SemTxvevebs.

aqtivobis mizani. moswavlem gaifarTovos codna ricxvebis Sesaxeb, gaecnos

iracionalur ricxvebs, gaiwafos iracionaluri ricxvebis miaxloebiT _

aTwiladebiT warmodgenaSi, ricxvebis SedarebaSi, ricxviT RerZze maT gamosaxvaSi;

SeZlos iracionaluri ricxvebis geometriuli gamosaxva/intrepretacia _ im

monakveTis ageba, romlis sigrZe mocemuli iracionaluri ricxvTi gamosaxeba

(magaliTad, √2 sm sigrZis). miRebuli codniT mniSvnelovani safuZveli Seuqmnas

Teoriuli da praqtikuli saxis amocanebis kvlevas.

32

aucilebeli wina codna. ricxvTa simravleebi da mimarTebebi maT Soris.

piTagoras Teorema; rcixvebis ganlageba sakoordinato wrfeze. fargliTa da

saxazaviT mocemulis toli monakveTis ageba; mocemuli wrfis mocemul wertilSi

marTobis gavleba.

saWiro masala. saxelmZRvnelo, kalkulatori, saxazavi, fargali.

aqtivobis aRwera. maswavleblis mimarTvis pasuxad moswavleebi asaxeleben

racionalur ricxvebs, erT-erTi maTgani gamosaxavs maT ricxviT wrfeze.

mivmarTavT klass:

• arsebobs Tu ara racionaluri ricxvi, romelic ricxvTi wrfeze ar

gamoisaxeba? cxadia, pasuxi uaryofiTia.

kiTxvaze _ arsebobs Tu ara RerZze wertili, romelic ar gamosaxavs raime

racionalur ricxvs _ pasuxi dadebiTia. Tumca, nebismieri pasuxis SemTxvevaSi,

moswavleebTan erTad vasrulebT Semdeg samuSaos: farglis da saxazavis

saSualdebiT ricxviTi wrfis 1-is Sesabamis U wertilze avagebT wrfis marTobs,

Semdeg isev farglis saSualebiT marTobze U-dan gadavdebT 1-is tol UA

monakveTs. piTagoras TeoremiT gamoTvalon OA monakveTis sigrZis kvadrati: OA2=2.

moswavleebs gavaxsenebT, rom ar arsebobs racionaluri ricxvi, romlis kvadrati

2-is tolia. dadebiTi ricxvi, romlis kvadrati 2-is tolia, iracionaluri ricxvia

_ √2 . e. i. Tu OA radiusiT O wertilidan wrewirs wemovxazavT, RerZTan misi

gadakveTis erT-erTi wertili √2 -is toli manZiliT iqneba daSorebuli saTavidan.

is iracionaluri ricxvis, √2 -is gamosaxulebaa.

moswavleebs vTxovT daasaxelon √2 -is mopirdapire ricxvi da gamosaxon is

ricxviT RerZze.

moswavleebi naxazidan xedaven, rom √2 aris 1-is da 2-is Sesabamis wertilebs

Soris.

klasSi sajaro ganxilvis mizniT davsvamT kiTxvebs:

• ras udris 1,52?

• √2 metia Tu naklebi 1,5-ze?

• ras udris 1,42? ...

am kiTxvebze pasuxis gacemis Semdeg moswavleebi daadgenen, rom √2 aris 1,4-sa

da 1,5-s Soris: 1,4<√2 <1,5.

• daasaxeleT ramdenime racionaluri ricxvi 1,4 da 1,5 ricxvebs Soris

(magaliTad, 1,45)

• ras udris 1,452?

• √2 metia Tu naklebi 1,45-ze?

• rogor davazustoT √2 -is mdebareoba RerZze?....

moswavleebi daadgenen, rom 1,41<√2 <1,42.

SeiZleba kidev erTi safexuri CavataroT: movZebnoT racionaluri ricxvebiT

√2 -is ukeTesi miaxloebebi: 1,414<√2 <1,415.

es moqmedebebi SeiZleba kalkulatoris daxmarebiT Sesruldes.

moswavleebi ixseneben, rom nebismieri sasruli an usaksrulo perioduli

33

aTwiladi SeiZleba Caiweros wiladis saxiT, anu isini racionaluri ricxvebia.

√2 kai Caiwereba usasrulo araperioduoi aTwiladis saxiT. rogorc Cans √2 -is

aTwiladad gamosaxvis procesi usasrulod grZeldeba.

savarjiSoebi:

• CamoTvlilTagan romelia iracionaluri: √4 , 0,(12), √5 , √10 , √100?

• ipoveT kvadratis diagonali, romalic gverdis 2 sm-ia;

• ipoveT marTkuTxa samkuTxedis perimetri, romlis kaTetebia 2 sm da 3 sm;

• ipoveT kvadratis gverdi, romlis farTobia 10 sm2;

• romel or uaxloes mTel ricxvs Sorisaa: √7 , -√3 , –√10 , √20 ? ...

aqtivobis gafarToeba. moswavleebs mivmarTavT, kalkulatoris gamoyenebiT

gamosaxon: √9 , √10 , -√5 , √0,04 , √0,4 ricxvebi sasruli aTwiladebiT, an ipovon

maTi miaxloebiTi mniSvnelobebi (magaliTad, meaTedamde sizustiT).

√– 4 ar arsebobs _ ar arsebobs racionalurni an iracionaluri (anu namdvili)

ricxvi, romlis kvadrati –4-ia. am savarjiSos Sesrulebis Semdeg moswavleebs

gauadvildebaT CamoTvlil gamosaxulebebSi A parametris dasaSveb mniSvnelobaTa

dadgena:

√a ; √– a ; √ab2; √–ab2 , –√ab2, √|a| , √|a|+1, √a–1 , 1√a2

, 1√a–1

.

davaleba SeiZleba SeirCevs Sesabamisi paragrafis # 1 - 25 savarjiSoebidan.

maTgan zogierTi SeiZleba klasSi amoixsnas.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba: moswavleebi gaecnobian iracionaluri ricxvis

cnebas, daeuflebian mis gamosaxvas miaxloebiT sasruli aTwiladiT; namdvili

ricxvebis Sedarebas, maT ganlagebas ricxvTi RerZze. daeuflebian fargliTa

da saxazaviT wogierTi iseTi monakveTis agebas, romlis sigrZe iracionaluri

ricxviT gamoisaxeba. gaifarToeben da gaiRrmaveben warmodgenas ricxvis cnebis

Sesaxeb. miRebuli codniT mniSvnelovan nabijs dgamen namdvil ricxvTa uwyvetobis

gaazrebisken. aqtivobis dasasruls pedagogma unda daafiqsiros miRweuli Sedegebi,

aRniSnos SeniSnuli xarvezebi, maTi gamosworebis gzebi da vadebi. SesaZlebelia

zogierT moswavleebTan mouwios damatebiTi muSaobis Catarebac.

gakveTili 3

aqtivoba . piTagoras Teoremis dasabuTebis xerxebi

(jgufuri muSaoba)

reziume. moswavleebi amtkiceben piTagoras Teoremas sxvadasxva xerxiT. xvewen

figuraTa dayofisa da konstruirebis Cvevebs.

aqtivobis mizani. erTi da imave debulebis sxvadasxva xerxiT dasabuTeba _

sakiTxis gadawyvetis sxvadasxva gzis Zieba da maTi analizi; dasabuTebis algebruli

da geometriuli xerxebis integracia. figuraTa alternatiuli gzebiT dayofisa

34

da konstruirebis gziT mniSvnelovani Teoriuli Sedegebis miReba. jgufuri

muSaobiT, TanamSromlobiT kvlevis warmoeba.

aucilebeli wina codna. piTagoras Teorema; kvadratis da samkuT xedis

farTobis gamoTvla, Semoklebuli gamravlebis foemulebi.

saWiro masala. saxelmZRvanelo; saxazavi, fanqari, makrateli; samuSao naxazebi,

saTadarigo furclebi.

aqtivobis aRwera. klasi davyoT jgufebad _ klasSi moswavleTa odenobis

gaTvaliswinebiT.

• dafaze vxazavT marTxkuTxa samkuTxeds, moswavleebs vTxovT Camoayalibon

piTagoras Teorema.

• mocemuli Teoremis Tanaxmad, ra damokidebulebaa kaTetebze agebuli

kvadratebis farTobebis jamebsa da hipotenuzaze agebuli kvadratis farTobs

Soris?

• mas Semdeg, rac movismenT pasuxs dasmul kiTxvaze, moswavleebs vTxovT

aagon aq dasaxelebuli kvadratebi.

jgufebs urigdebaT furclebi, Sesabamisad,

a); a) da b); g); d) da e) suraTebiT

(saxelmZRvanelo, gv. 32).

jgufebs vacnobT samuSaos Sinaarss: daasabuTon piTagoras Teorema maT xelT

arsebuli suraTis mixedviT.

SeuZliaT daWran (an warmoidginon rom daWres) figuraTa gamosaxulebebi.

miRebuli figurebis SeTavsebiT, an sxvadasxvagvari konstruirebiT (zogjer

suraTze gamosaxuli miniSnebebiT) unda SeZlon piTagoras Teoremis dasabuTeba.

magaliTad, jgufi, romelic muSaobs a) suraTis

mixedviT, Tu CamoaWris Tavis suraTs gamuqebul

samkuTxedebs, miiRebs rom darCenili kvadratis

farTobi c2-ia; Tavdapirvelad mocemulis _ (a+b)2,

CamoWrili samkuTxedebis farTobebis jamia 4. 12

ab,

anu 2ab.

miviReT, c2=(a+b)2–2ab, c2=a2+b2.

amave jgufma SeiZleba, moWrili samkuTxedebi

daawyos darCenil kvadratze ise, rom hipotenuzebi

kvadratis gverdebs SeuTavsdes ise, rogorc es

suraTzea gamosaxuli:

Tu moswavleebi gamosaxaven darCenili kvadratis

farTobs dafarebuli samkuTxedebisa da patara

kvadratis farTobebis jamiT, miiReben:

c2=4. ab2 +(a–b)2,

c2=a2+b2.

meore davaleba SeiZleba ase Sesruldes:

35

b) suraTidan Tu CamoWrian 4 cal marTkuTxa samkuTxeds, darCeba ori kvadrati,

romelTa gverdebia a da b, Sesabamisad, farTobebis jamia a2+b2.

xolo a) suraTze gamosaxul kvadrats Tu CamoaWrian aseTive 4 cal samkuTxeds,

miiReba kvadrati, romlis gverdia c, farTobia c2. radgan sawisi kvadratebi tolia,

amitom c2=a2+b2.

moswavleebi amis msgavsi araerTi kombinaciis mofiqrebas SeZleben.

aqtivobis gafarToeba. jgufebi axdenen TavianTi namuSevrebis prezentacias,

afaseben erTmaneTis namuSevrebs da SeniSnul nakls sajarod aRniSnaven, Semdeg ki

mTeli klasi muSaobs amocanis amoxsnaze.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. moswavleebi axdenen debulebis dasabuTebis

algebruli xerxebis geometriul interpretacias; uviTardebaT erTi da imave

debulebis sxvadasxva xerxiT dasabuTebis, sakiTxis gadaWris sxvadasxva variantidan

ukeTesis SerCevis unari; uviTardebaT geometriuli xedva, konstruirebis unari.

am aqtivobas azrovnebis ganmaviTarebeli funqciac aqvs. aqtivobis Sefasebis

mniSvnelovan komponentebze zogierTi mosazreba pirveli sanimuSo gakveTilis

bolosaa gadmocemuli.

gakveTili 4

aqtivoba. debulebis dasabuTebis sawinaaRmdegos daSvebis xerxi.

reziume. moswavle gaixsenebs gamonaTqvamisa da sawinaaRmdego gamonaTqvamis

cnebebis Sinaarss; daeufleba winadadebis Camoyalilebas pirobiTi winadadebis

saxiT; gaecnoba debulebis WeSmaritobis dasabuTebis sawinaaRmdegos daSvebis

xerxs. gamoiyenebs am meTods zogierTi debulebis WeSmaritobis dasabuTebisas.

miiRebs gamocdilebas da ganiviTarebs unars misTvis sruliad ucnobi debulebebis

kvlevisas gamoiyenon damtkicebis es mZlavri meTodi.

aqtivobis mizani. gaecnos debulebis WeSmaritobis dasabuTebis arapirdapir

xerxs _ sawinaaRmdegos daSvebis xerxs da gamoiyenos is Sesabamis situaciaSi.

mniSvnelovnad Seuwyos xeli saazrovno unarebis mravalmxriv ganviTarebas.

aucilebeli wina codna. gamonaTqvamis cnebis Sinaarsi; gamonaTqvamis saxeebli

(WeSmariti da mcdari); gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvamis ageba.

saWiro masala. saxelmZRvanelo.

aqtivobis aRwera. moswavleebTan erTad vixsenebT gamonaTqvamis sawinaaRmdego

gamonaTqvamis agebis sqemas. Semdeg ki Cven mier SeTavazebuli konkretuli

gamonaTqvamebisTvis moswavleebi ageben sawinaaRmdegos. SeiZleba gamoviyenoT 1.3

paragrafis me-7 savarjiSo, an teqstis I punqtSi moyvanili gamonaTqvamebi.

gavamaxviloT yuradReba: WeSmariti gamonaTqvamis sawinaaRmdego mcdari da

36

piriqiT. aqac, cxadia, sailustracio savarjiSoebi unda gamoviyenoT. magaliTad,

WeSmariti gamonaTqvamis, `√2 iracionaluri ricxvia~, sawinaaRmdego gamonaTqvami

_ `√2 ar aris iracionaluri ricxvi~ _ mcdaria. es gamonaTqvami nimuSia

debulebisa, romelic ar aris Camoyalilebebuli pirobiTi winadadebis saxiT.

SevTaTazoT moswavleebs Camoayalibon ramdenime msgavsi debuleba da

warmoadginon isini pirobiTi winadadebis (Tu p, maSin q) saxiT. SeiZleba gamoviyenoT

me-10 nomris ramdenime savarjiSo. magaliTad, I _ yvela kompozitori momReralia

(Tu adamiani kompozitoria, maSin is momReralia)?

II _ paralelogramis diagonalebi erTmaneTiT Suaze iyofa (Tu oTxkuTxedi

paralelogramia, maSin misi diagonalebi erTmaneTiT Suaze iyofa).

Semdeg SeiZleba sxva tipis winadadebebis agebac: `Tu p, maSin q ~; `Tu p , maSin

q~ an `Tu p , maSin q ~. am savarjiSoebiT moswavleebi ukeT Cawvdebian mocemuli

aqtivobis sawyisi etapis arss.

venis diagramebis gamoyenebac vcadoT: I winadadebaSi kompozitorebis simravle

aRvniSnoT K asoTi, momRerlebis _

M asoTi. Tu vigulisxmebT, rom I

winadadeba WeSmaritia, maSin K-s yoveli

elementi M-is elementicaa, anu KÌM.

amrigad, K da M simravleebs diagramebiT

ase gamovsaxavT:

amiT xazgasmulia, rom K SeiZleba iyos M-is sakuTrivi qvesimravle, an K da M

iyos toli simravleebi.

mosalodnelia, rom gakveTilze mogviwevs yuradRebis gamaxvileba meore

diagramaze _ mocemuli winadadeba ar gamoricxavs, rom yvela momRerali

kompozitoria (miuxedavad imisa, rom realurad es ase ar aris _ Cvens winaswar

codnas am simravleebis Sesaxeb araviTari mniSvneloba ara aqvs).

diagramebiT gamosaxva Semdeg gakveTilebzec, magaliTad, kontrmagaliTiT

debulebis mcdarobis dasabuTebaSi dagvexmareba.

aseTi winaswari `moTelvis~ Semdeg moswavleebi mzad iqnebian axal Temaze

gadasasvlelad: debulebis dasabuTeba sawinaaRmdegos daSvebis xerxiT.

teqstSi SemoTavazebuli sqema SeiZleba magaliTze ganvixiloT. vTqvaT,

SevarCieT savarjiSo 12-is a) debuleba: Tu naturaluri ricxvis kvadrati iyofa

2-xe, maSin es ricxvi iyofa 2-ze.

• moswavleebs mivmarTavT, rom maT daasaxelon piroba da daskvna. pirobas

SeiZleba davarqvaT p, daskvnas q.

naturaluri ricxvi, aRvniSnoT n-iT da mivmarToT klass mis mimarT

Camoayalibos debuleba: Tu n2 iyofa 2-ze. maSin n iyofa 2-ze.

mTeli klasi unda Caebas daskvnis sawinaaRmdego gamonaTqvamis _ q -s agebaSi

da sawyisi debulebis sawinaaRmdego debulebis agebaSi: `Tu p, maSin q ~;

davuSvaT, rom es ukanaskneli debuleba WeSmaritia, anu `Tu n2 iyofa 2-ze,

maSin n ar iyofa 2-ze~.

kiTxvebi mTel klass, romelsac mTeli klasis analizi da dasturi unda

mohyves:

K M

K, M

37

• rogor SeiZleba CavweroT formulis saxiT, rom n ar iyofa 2-ze?

(n=2k–1, kÎn).

• ra saxisaa maSin n2? (n2=4k2–4k+1=4(k2–1)+1).

• iyofa Tu ara 2-ze n2?

• Tu q WeSmaritia, ra SeiZleba vTqvaT p-s WeSmaritobaze _ anu, ra daskvnamde

migviyvana Cvenma daSvebam?

amrigad, q ewinaaRmdegeba p-s, anu daSvebam migviyvana absurdamde, daSveba

mcdaria, e. i. `Tu p, maSin q~ debuleba WeSmaritia.

amis Semdeg moswavleebi damoukidebladac, an gverdiT mjdom TanaklaselTan

erTad, gaarTmeven Tavs 12 g) savarjiSos. SeiZleba klasSi amoixsnas 13 - 17

savarjiSoebidan ori, magaliTad 14 da 16 .

saSinao davaleba SeirCeva 8 - 18 savarjiSoebidan.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. moswavle gaiwafeba mocemuli gamonaTqvamis

sawinaaRmdego gamonaTqvamis agebaSi, winadadebis pirobiTi saxiT CamoyalilebebaSi;

Seiswavlis debulebis sawinaaRmdegos daSvebis xerxiT dasabuTebis sqemas da

damoukideblad gamoiyenebs kidec ramdenime debulebis dasabuTebisas.

mocemuli aqtivoba saswavlo programiT gansazRvrul mimarTulebaTa

integraciasac emsaxureba da, sazogadod, misi gamoyenebis sfero scildeba

maTematikis sazRvrebs. warmodgenili aqtivoba sayuradReboa imiTac, rom is aris

azrovnebis mniSvnelovnad ganmaviTarebeli aqtivoba.

aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSlo gakveTilis bolos

warmodgenili rekomendaciebi.

gakveTili 5

aqtivoba: monacemTa mopoveba da TvalsaCinod warmodgena maTi Semdgomi

damuSavebisa da gamartivebis mizniT.

reziume: moswavleebi arCeven situaciaSi monacemebis mopovebis xerxebs,

zogierT SemTxvevaSi moipoveben monacemebs, an ukve mopovebuls warmoadgenen

cxrilebis da diagramebis (kerZod, histogramebis) saxiT.

aqtivobis mizani: ganuviTardes monacemTa mopovebis xerxis SerCevis,

mopovebuli monacemebis cxrilebis, diagramebis saSualebiT warmoadgenis unari.

alternatiuli meTodebidan, amocanis tipis mixedviT, xelsayreli meTodebis

SerCevis gamocdilebis miReba. gaiazros monacemTa TvalsaCinod warmodgenis

mniSvneloba, SeZlos ukve arsebuli aratrivialuri diagramebis analizi.

aucilebeli wina codna: diagramis ageba da wakiTxva.

saWiro masala: saxelmZRvanelo; monacemTa cxrilebi.

aqtivobis aRwera. moswavleebs vTavazobT, magaliTad, xuT cnobil sportsmens,

momRerals an msaxiobs Soris yvelaze popularulis gamovlenas. es SeTavazeba

SesaZloa klasSi erTgvar gamococxlebas da `xmovani fonis~ zrdas gamoiwvevs.

38

rogor mivaRwioT Sedegs? mivmarToT moswavleebs, rom Tavad SemogvTavazon

gamokiTxvis meTodi. erTi maTgani Camowers dasaxelebuli pirovnebebis saxelebs

da Seadgens sixSireTa cxrils. magaliTad, cxrilma SeiZleba miiRos aseTi saxe:

dasaxelebuli

adamianis saxelebi

sixSire sixSire

A ||| 3

B |||| 5

C |||| 4

D |||| |||| | 11

E ||| 3

D adamianma 11 xma miiRo da is yvelaze popularuli aRmoCnda.kiTxva: Tu gamokiTxulTa odenoba aris 100, eyofa Tu ara D-s 11 xma

liderobisTvis? moswavleebi gaaanalizeben, rom mniSvnelovania ramdeni miiRo D-m _ 11 xma, magram arsebiTia, ramdeni xmidan aris es Sedegi _ 11 xma mTeli xmebis ra nawilia. isini gaiazreben fardobiTi sixSiris mniSvnelobas. ukve Sedgenil sixSireTa cxrils davumatoT kidev erTi sveti _ fardobiT sixSireTa sveti da SevavsebinoT is moswavleebs.

Semdeg safexurze vTavazobT moswavleebs saxelmZRvanelos teqstis pirvel magaliTSi moyvanil monacemebs _ saqarTvelos trasebze moZravi msubuqi avtomobilebis mier 100 km-is gavlisas sawvavis xarjis Sesaxeb. es monacemebi dakvirvebis Sedegia. umjobesia es cxrilebi moswavleebs daurigdeT. cxrilebidan TvalnaTliv Cans, rom 60 avtomobilis monacemze dakvirveba Znelia. SevTavazoT, an, iqneb variantebidan klasma SearCios romelime da Seadginos sixSireTa cxrilebi. am cxrilebis TvalsaCinro warmodgena histogramiT mTel klass (pedagogis SesaZlo koreqtivebiT) ar gauWirdeba.

cxadia, cxrilebis Sedgena da histogramebis ageba, aratrivialur SemTxvevaSi umjobesia kompiuteris gamoyenebiT. am sakiTxebs wlis ganmavlobaSi araerTxel davubrundebiT da moswavleebi darwmundebian kompiuteris gamoyenebis upiratesobaSi.

klasSi sasurvelia saxelmZRvanelos saTanado teqstis II magaliTis ganxilvac,

SeiZleba Sesruldes $ 2.1-is 1 - 6 , 10 - 13 savarjiSoebidan romelime.

aqtivobis gafarToebis mizniT SevTavazoT diagramis mixedviT siSxireTa

cxrilebis Sedgena, magaliTad savarjiSo 7 an 8 .

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. moswavles gamoumuSavdeba monacemTa mopovebis xerxis SerCevis, mopovebuli monacemebis cxrilebiT da wdiagramebiT warmodgenis, maT Soris ufro xelsayrelis SerCevis, diagramis wakiTxvis unari. Sromatevadi cxrilebis Sedgenisas moswavleebs eqmnebaT ganwyoba _ kompiuteris gamoyeneba xelsayrelia; isini iZenen saTanado gamocdilebas.

am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis bolos


39

gakveTili 6

aqtivoba. maTematikis erT-erTi fundamenturi cnebis _ funqciis cnebis

Sinaarsis gacnoba.

• pirveli magaliTebi cnebis gamoyenebiTi aspeqtebis moZiebis mimarTulebiT.

reziume: klasi maswavleblis mier warmodgenili SesabamisobaTa magaliTebSi

eZiebs specialuri saxis Sesabamisobebs, romelTac mivyavarT funqciis cnebamde.

vazustebT, funqciis gansazRvris arisa da funqciis mniSvnelobebis simravlis

cnebebs.

moswavleebi asruleben savarjiSoebs funqciis mniSvnelobebis gamoTvlaze,

gansazRvris aris dadgenaze da pirvel sayuradRebo nabijebs dgamen funqciaTa

gamoyenebis mimarTulebiT.

aqtivobis mizani.

• moswavleebma kargad gaiazron da aiTvison funqciis cnebis Sinaarsi _

SeZlon ganasxvavon funqcia sxva tipis Sesabamisobebisgan.

• aiTvison funqciis gansazRvris aris cneba, saWiroebis SemTxvevaSi zogierTi

funqciis gansazRvris aris dadgena.

• daukavSiron funqcia praqtikul samuSaos _ SeZlon zogierTi procesis

funqciis saSualebiT aRwera.

aucilebeli wina codna:

• teqstis mixedviT asoiTi gamosaxulebis Sedgena.

• asoiTi gamosaxulebis mniSvnelobis gamoTvla masSi Semavali asoebis

mocemuli mniSvnelobebisTvis.

• ricxviTi simravleebi (N, Z, Q, R).• simravleebs Soris Sesabamisobis damyareba.

aqtivobis aRwera.

funqciis cnebis aRweramde moswavleebs mivmarTavT warmoadginon or simravles

Soris Sesabamisobis ramdenime nimuSi. magaliTad:

• yovel dasaxelebul ricxvs SevusabamoT Tavisi kvadrati: x → x2. es

Sesabamisoba SeiZleba asec CavweroT: y=x2.

• yovel dasaxelebul ricxvs SevusabamoT Tavisi kubi: x→x3, anu y=x3.

• kvadratis x gverds SevusabamoT amave kvadratis S farTobi.

• yovel adamians SevusabamoT Tavisi sisxlis jgufi.

es funqciis magaliTebia.

SesaZlebelia aseTi Sesabamisobac dasaxeldes: yovel dadebiT x ricxvs

SevusabamoT is ricxvi, romlis kvadrati x-is tolia. am Sesabamisobas funqciad

ar miviCnevT _ yovel x-s erTaderTi y ar Seesabameba.

vagrZelebT funqciis magaliTebis moyvanas:

y=2x+1, y=|x|.moswavleebi asaxeleben x-is mniSvnelobebs, erTi maTgani iTvlis y-is Sesabamis

mniSvnelobebs.

amis Semdeg moswavleebs vaZlevT dakvirvebis, daskvnebis gamotanis saSualebas,

vajamebT ganxilvis Sedegebs da warvudgenT moswavleebs funqciis cnebas.

moswavleTa inter p retaciebi SeiZleba aseTi iyos:

40

funqcia aris Sesabamisoba or simravles Soris, sadac I simravlis yoveli

elementi mxolod erTxel monawileobs;

an, y=f(x) aris funqcia, Tu x-is yovel mniSvnelobas Seesabameba y-is erTaderTi

mniSvneloba.

maTi pasuxebi sxvadasxvanairad JRers, magram erT azrs gamoxatavs. isini am

pasuxebisTvis Seqebas imsaxureben.

yuradRebas vamaxvilebT im SemTxvevaze, roca gansazRvris are dasaxelebuli

ar aris da Tavad vadgenT mas.

magaliTad, funqciis mniSvnelobebi SeiZleba gamoviTvaloT argume-

tis (x-is) nebisnieri mniSvnelobisTvis, garda x=5-isa, Sesabamisad, funqciis

gansazRvris area (-∞;5) (5;+∞) _ es argumentis dasaSveb mniSvnelobaTa simravlea.

aRwerili procesi saSualebas iZleva moswavleebma gaiazron sityva `dasaSvebis~

mniSvneloba funqciis cnebis aRwerisas.

masalis aTvisebis donis dadgenis mizniT moswavleebs SevTavazebT Tavad

moiyvanon funqciis magaliTebi, dagexmarebaT saxelmZRvaneloSi arsebuli

saTanado paragrafis savarjiSo 23 ($3.1), mniSvnelobaTa simravlis dadgenaSi

gasavarjiSeblad _ # 25 savarjiSo, teqstis magaliTebi 2, 3, 4, 6.

klasSi paragrafis amocanebis garda SeiZleba amoixsnas zogierTi 1 - 15 ,

18 amocanebidan.

aqtivobis gafarToeba.

moswavleebs SevTavazoT raime procesi, damokidebuleba aRweron funqciiT.

magaliTad, teqstis pirvel magaliTSi funqciiT aRwerilia saqonlis SeZenisas

gadaxdili Tanxis saqonlis odenobaze damokidebuleba, msgavsi amocanebia # 5 , #

8 , # 9 , # 14 , # 20 .

• Tvalsawieris gafarToebis mizniT SeiZleba moswavleebs SevTavazoT funqcia

mocemuli formulis saxiT da davavaloT moifiqron procesi, romelic am

funqciiT aRiwereba.

moifiqron mocemuli gansazRvris aris mqone funqciebis magaliTebi.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. magaliTebis, praqtikuli amocanebis saSualebiT

funqciis cnebis aRweris procesSi moswavleebi aqtiur rols TamaSoben, Tavad

azusteben cnebis aRweris zogierT mniSvnelovan aspeqts. Tavad warmoadgenen

funqciis magaliTebs, im procesebs, romlebsac mocemuli funqcia aRwers.

savarjiSoebis saSualebiT moswavle unda gaiwafos funqciiT procesis

aRweraSi, funqciis gansazRvris aris, mniSvnelobaTa simravlis dadgenaSi.

am aqtivobiT moswavleebi safuZvels uyrian mravali saxis kvlevis maTematikuri

aparatis Seqmnas. am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis

bolos warmodgenili rekomendaciebi.

41

gakveTili 7

aqtivoba. kvadratuli funqcia, misi zogierTi Tviseba. samotivacio amocanebis

gacnobis kvalobaze pirveli cdebi funqciis kvlevisa da misi gamoyenebis sferoebis

moZiebis mimarTulebiT.

reziume. moswavleebi ecnobian kvadratul funqcias, misi saSualebiT aRweren

damokidebulebas cvladebs Soris. kerZo SemTxvevaSi ikvleven mis Tvisebebs. am

funqciis magaliTze iZenen mniSvnelovan gamocdilebas sazogadod funqciis

kvlevisa da misi gamoyenebis mimarTulebiT, eqstremumTan dakavSirebul amocanebSi.

aqtivobis mizani. gaecnos kidev erTi saxis funqcias _ kvadratul funqcias.

Aam etapze, kerZo SemTxvevaSi gamoikvlios misi Tvisebebi, SeZlos misi gamoyeneba

saTanado tipis amocanebis, procesebis maTematikuri modelirebisas.

aucilebeli wina codna. Ffunqciis cneba (gansazRvris are, mniSvnelobaTa

simravle); funqciis mniSvnelobis povna argumentis mocemuli mniSvnelobisTvis.

wrfis gantoleba, sakoordinato RerZebis paraleluri wrfeebis gantolebebi da

grafikebi.

saWiro masala. saxelmZRvanelo, kalkulatori, fanqari, saxazavi, ujriani

furclebi.

aqtivobis aRwera. Mmoswavleebs vTavazobT praqtikul amocanas. misi ganxilvis

Sedegad davadgenT, rom cvladebs Soris damokidebuleba aRiwereba kvadratuli

funqciiT. magaliTad, teqstSi ($3.10) moyvanil pirvel magaliTs. ra Seicvleboda

miRebul damokidebulebaSi, Tu SecvlidiT nakveTis zomebs? _ moswavleebs

vTavazobT Caweron am tipis zogadi saxis damokidebuleba. isini erToblivi

mcdelobiT mivlen aRniSnul saxemde. maT vTavazobT sxvadasxva funqciebisgan

SearCion kvadratuli funqciebi, daasaxelon koeficientebi, formalurad ar

aRiqvamdnen maT. magaliTad, y=cx2+ax+b saxis SemTxvevaSi C warmoadgens x2-is

koeficients. SeiZleba Tu ara am saxis kvadratuli funqciis warmodgenaSi gvqondes

C=0? SeiZleba Tu ara y=ax2+bx+c saxis kvadratuli funqciis C koeficienti iyos

nulis toli, an erTdroulad B da C koeficientebi iyos nulis toli.

moswavleebma Tavad gaixsenon msgavsi damokidebulebebi sidideebs Soris.

saxelmZRvaneloSi SemoTavazebulia magaliTi fizikidan. M

moswavleebs vTxovT daasaxelon kvadratuli funqciebi, roca b da c koeficientebi 0-is tolia, a koeficienti dadebiTia. SearCion maTgan ramdenime,

damoukideblad Seadginon argumentis da funqciis Sesabamisi mniSvnelobebis

cxrili da miRebuli wertilebi moniSnon sakoordinato sibrtyeze. sakuTari

da Tanaklaselebis namuSevrebis safuZvelze moswavleebi ivaraudeben grafikis

formas, varaudis Semowmebis mizniT, aviRebT x-is sxva mniSvnelobasac da vipoviT

y-is saTanado mniSvnelobas. maswavlebeli daudasturebs varauds _ es wiri

parabolaa. Kklasi erToblivad ikvlevs parabolas. MmagaliTad, gadis Tu ara

grafiki saTaveze? x-is ra mniSvnelobebisTvis aris funqcia zrdadi, klebadi? ra

cvlilebebs iwvevs parabolis Stoebis ganlagebaSi a koeficientis zrda/kleba?

ra mniSvnelobebis miReba SeuZlia x-s (kvadratuli funqciis gansazRvris are), y-s

(funqciis mniSvnelobaTa simravle)?

42

Semdeg Catardeba igive kvleva a<0 SemTxvevaSi. klasSi samuSao SeiZleba

SearCioT # 1 -# 4 , # 9 , # 13 -# 18 savarjiSoebidan, aqedanve SeirCeva saSinao

davalebac.

aqtivobis gafarToeba. Ddaxazuli parabolebidan SearCion ori _ a-s dadebiTi

da uaryofiTi mniSvnelobebiT, gaavlon y=3, y=2, y=0, y=–1, y=–3 wrfeebi da gamoitanon

daskvna a (a≠0) da n-is sxvadasxva mniSvnelobebisTvis parabolis da y=n wrfis

urTierTmdebareobis Sesaxeb. SeiZleba gaCndes kiTxva: n-is ra mniSvnelobebisTvis

kveTs x=n wrfe parabolas? Aam kiTxvaze dafiqrebisas moswavleebi kidev erTxel

gaiazreben kvadratuli funqciis Tvisebebs. am sakiTxebs SeiZleba daukavSiroT

savarjiSoebi # 5 -# 7 , # 10 -# 12 .

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. Mmoswavleebma sidideebs Soris zogierTi damoki-

debulebis aRsawerad amjerad gamoiyenes kvadratuli funqcia, SeZles misi zogadi

saxiT Cawera. kvadratuli funqciis Tvisebebis dadgenisas maT unviTardebaT

kvlevis unari. kvadratuli funqciis da misi Tvisebebis gacnobiT moswavleebs

gauZlierdaT praqtikuli amocanebis maTematikuri modelirebis aparati. am

funqciis magaliTze iZenen mniSvnelovan gamocdilebas sazogadod funqciis

kvlevisa da misi gamoyenebis mimarTulebiT, kerZod, eqstremumTan dakavSirebul

amocanebSi.



gakveTili 8

aqtivoba: mTeli da wiladuri gantolebebis ganxilva _ kvlevis aparatis

gafarToeba da amiT amocanaTa im wris gafarToeba, romelTa Seswavla maTematikur

modelirebas eqvemdebareba. am tipis amocanebis rolis naTlad warmoCena da amiT

mZlavri motivaciis Seqmna sakiTxis Sesaswavlad (§ 4.1).

reziume: moswavleebi ixseneben mTel gantolebebs; ecnobian wiladur

gantolebebs; euflebian wiladuri gantolebebis mTel gantolebaze miyvanis xerxebs;

axdenen amocanis modelirebas wiladuri gantolebiT, xsnian maT da aanalizeben

miRebul Sedegs; iZenen gamocdilebas da analogiur, an sruliad axali tipis

amocanebSic Seecdebian gamoiyenon saTanado codna da unarebi.

aqtivobis mizani: moswavlem miiRos mniSvnelovani gamocdileba wiladuri

gantolebis SeswavlaSi, SeZlos saTanado amocanaTa gaanalizeba da mis amosaxsnelad

gantolebis Sedgena, amocanis pirobis mixedviT _ amoxsnili gantolebis fesvebidan

pasuxis SerCeva.

aucilebeli wina codna: gantolebisa da gantolebis fesvis cnebaTa arsis

codna; gantolebis amoxsna mamravlebad daSlis xerxiT; kvadratuli gantolebis,

bikvadratuli gantolebis amoxsna.

43

aqtivobis mimdinareoba: moswavleebs vTavazobT gantolebebs, romelTagan unda

amoicnon mTeli gantolebebi. gantolebebs, romlebic x–is Semcvel gamosaxulebas

mniSvnelSi Seicaven, wiladuri gantolebebi ewodeba.

vTavazobT or amocanas: I _ marTkuTxedis sigrZe siganeze 4,5 sm-iT metia,

farTobi _ 13 sm2-ia. ipoveT marTkuTxedis gverdebi da II _ amocana teqstis

pirveli punqtidan.

gaaanalizon es amocanebi da erToblivi gansjis gziT daiwyon svla misi amoxsnis

mimarTulebiT. algebruli meTodis mZlavri SesaZleblobebis imediT, mosalodnelia,

rom orive amocanaSi SemoiReben aRniSvnas (albaT I amocanaSi mouwevT marTkuTxedis

gverdis aRniSvna x-iT, II amocanaSi _ TanamSromlebis odenobis wlis dasawyisSi,

an wlis bolos) da Seadgenen gantolebebs.

romelia maTgan wiladuri? .

ra gamosaxulebaze gavamravloT am gantolebis orive mxare, rom mTel

gantolebaze miviyvanoT? x(x–6)-ze.

miiyvanen gantolebas mTel saxemde, gaamartiveben, amoxsnian miRebul kvadratul

gantolebas da miRebuli fesvebidan (x1=–18, x2=24) SearCeven amocanis pirobis

mixedviT pasuxs.

ras viTvaliswinebT pasuxis SerCevisas?

ra ricxvi SeiZleba iyos, magaliTad, moswavleTa odenoba? gadasaxdeli Tanxa?

amis Semdeg SeiZleba SevarCioT romelime savarjiSo ### 16 , ## 20 , ## 21 -dan.

Semdeg etapze SevTavazoT amosaxsnelad magaliTad, wiladuri gantoleba

. (teqstis me-2 punqti).

ra gamosaxulebaze gavamravloT gantolebis orive mxare, rom igi mTel

gantolebaze miviyvanoT? x(x–5)-ze.

gamravlebis da gamartivebis Semdeg xsnian miRebul x2–3x–10=0 kvadratul

gantolebas da miiReben fesvebs: x=5, x=–2. moswavleebi amowmeben amoxsnil

gantolebas da aRmoCndeba, rom x=5 gantolebas ar akmayofilebs _ gareSe fesvia.

erToblivi msjelobis sagani unda gaxdes gareSe fesvis gaCenis mizezi da misi

aRmoCenis saSualebebi. ucnobis ra mniSvnelobebs Soris veZioT gareSe fesvi? iqneb

jobs yvela miRebuli fesvi SevamowmoT xolme?

SeiZleba SevarCioT romelime savarjiSo # # 17 , # 18 , # 31 -dan. wiladuri

gantolebebis amoxsnaSi gawafvis mizniT SeiZleba SevarCioT savarjiSoebi ## 31 -#

38 -dan. maTganve SeirCeva saSinao davalebac.

aqtivobis gafarToeba:

vTavazobT amoxsnan x+ gantoleba: misi fesvebia 2 da 0,5. Semdeg amocana ##

42 , romlis maTematikur modelis Seqmnas maTve davavalebT _ x+ . aRmoCndeba,

rom gantolebas ara aqvs amonaxsni, anu ## 42 amocanaSi dasmuli kiTxvaze pasuxi

uaryofiTia.

rogori ricxvebia x da ? (Sebrunebuli).

44

mivaqcevinoT yuradReba: I SemTxvevaSi 2 da 12

Sebrunebuli ricxvebis jami 52

aRmoCnda, II SemTxvevaSi ar arsebobs iseTi Sebrunebuli ricxvebi, romelTa jami 32

-ia. davsvaT amocana: ra umcires mniSvnelobas SeiZleba Rebulobdes dadebiTi

ricxvis da misi Sebrunebulis jami?

moswavleebma unda gamoikvlion x+ 1x =A wiladuri gantoleba. misi mTel saxeze

miyvanis Semdeg x2–Ax+1=0, D=A2–4.

gantolebas aqvs amonaxsni, roca A2–4≥0, anu roca A≥2 an A≤–2. radgan x>0,

mocemul gantolebas aqvs fesvi, roca A≥2.

x+ 1x

-is umciresi mniSvnelobaa 2. x-is ra mniSvnelobisTvis miiRweva igi?

moswavleebs am samuSaos Sesrulebisas unda mivceT saSualeba imsjelon,

erTmaneTs mousminon, ifiqron damtkicebis gzebze. erToblivi msjelobis sagani

SeiZleba gaxdes aseTi amocana: vTqvaT, mocemuli ricxvisa da misi Sebrunebulis

jami aris 103

. ipoveT es ricxvi.

aq SeiZleba Cven Tavadac davasaxeloT ricxvi 3. SevamowmoT kidec, rom is

aris am amocanis amonaxsni da davsvaT kiTxva: aqvs Tu ara azri amocanis Semdgom

kvlevas, saTanado gantolebis Sedgenas? mosalodnelia, rom bevri dakmayofildeba

miRweuliT da Sewyvets sakiTxis Semdgom gamokvlevas. es amocana gvaZlevs karg

nimuSs muTematikuri modelirebis upiratesobis xazgasasmelad. SevadgenT saTanado

gatolebas x+ 1x

= 103

da mivakvlevT kidev erT fesvs 13 -s. is gantolebam _ wiladurma gantolebam

mogvaZebnina. ufro metic gviCndeba safuZvliani rwmena, rom amocanas sxva amonaxsni

ara aqvs.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. mocemuli aqtivobis ganxorcielebis Semdeg

moswavle gadadgams mniSvnelovan nabijs _ miiRebs gamocdilebas wiladur

gantolebaTa amoxsnis dauflebaSi, misi saSualebiT amocanis modelirebaSi,

momavalSi mas elis axali sakiTxebi am mimarTulebiT, axali unarebis ganviTareba,

raTa mas SeeZlos dasaxelebuli tipis gantolebebis kvleva, gareSe fesvis aRmoCena,

gareSe fesvis gaCenis mizezis gaanalizeba. bolo etapze Sesrulebuli samuSao

emsaxureba analizis, kvlevis unaris ganviTarebas. garda wiladuri gantolebis

amoxsnisa da gamokvlevisa, moswavle am dros eufleba optimizaciis amocanis

gadawyvetis erT-erT meTods, rac metad aqtualuria.



45

gakveTili 9

aqtivoba. meore xarisxis orucnobiani gantolebis da saTanado geometriuli

warmodgenebis ganxilva; gamosaxva sakoordinato sibrtyeze, safuZvliani

gamocdilebis miReba am sakiTxebTan dakavSirebuli mravalricxovani amocanebis

Seswavlis win. (§4.3)

reziume. moswavlem SeZlos meore xarisxis orucnobiani gantolebis amocnoba,

misi amonaxsnebis (maTi arsebobis SemTxvevaSi) gamosaxva sakoordinato sibrtyeze.

mocemuli Tvisebis mqone wertilTa geometriuli adgilis mixedviT saTanado

gantolebaTa nimuSebis ganxilva da axali gantolebebis miReba, maTi gamokvleva,

grafikis ageba.

aqtivobis mizani. moswavlem SeZlos meore xarisxis orucnobiani gantolebis

grafikis winaswari, savaraudo eskizis daxazva da Semdgomi dazusteba fesvebis da

zogierTi mniSvnelovani wertilis mdebareobis gaTvaliswinebiT.

garkveuli Tvisebis mqone wertilTa geometriuli adgilis Sesabamisi gantolebis

dadgeniT daeuflos sazogadod wiris gantolebis daweris princips, gaiRrmavos

geometriuli warmodgenis unari; ukeT gaiazrosG amocanis modelirebis kidev erTi

meTodi da geometriuli warmodgenebis CarTvis mniSvnelovani roli.

aucilebeli wina codna. wrfivi orucnobiani gantoleba, misi amonaxsni; ricxvTa

wyvilebis geometriuli interpretacia; manZili or wertils Soris sibrtyeze.

aqtivobis mimdinareoba. CamoTvlili gantolebebidan moswavleebma amoicnon

orucnobiani gantolebebi.

romelia maT Soris wrfivi, anu romeli Seicavs cvladebs mxolod I xarisxSi?

ra aris im wertilTa geometriuli adgili, romelTa koordinatebic aseT

gantolebas akmayofilebs? (wrfe)

rogori saxe aqvs sazogadod wrfiv orucnobian gantolebas? (ax+by=c).

CamoTvlili gantolebebidan ivaraudon romeli SeiZleba iyos II xarisxis

orucnobiani gantoleba? davuzustebT ra saxisaa II xarisxis orucnobiani gantoleba.

ra aris orucnobiani gantolebis amonaxsni?

daasaxelon, magaliTad, y=x2 gantolebis ramdenime amonaxsni, erTad imsjelon

misi amonaxsnebis simravlis Sesaxeb, ganalagon Sesabamisi wertilebi sakoordinato

sibrtyeze. ra wiri miiReba? (parabola)

is faqti, rom miRebul gantolebas aqvs amonaxsnTa usasrulo odenoba, niSnavs

Tu ara, rom gantolebis amonaxsnia ricxvTa nebismieri wyvili? Tu xy=6 _ II

xarisxis orucnobiani gantolebis ramdenime amonaxsns ganvalagebT sakoordinato

sibrtyeze, ra wirze ganlagdeba isini? (hiperbolaze).

es ganxilva mimdinareobs erToblivad, mTeli klasis ZalisxmeviT da erTad

avagebT wirs. avagebT agreTve xy=–2 hiperbolasac.

ganxilul SemTxvevebSi amonaxsnebis sapovnelad x-is mniSvnelobebis mixedviT

moswavleebi pouloben y-is Sesabamis mniSvnelobebs da gamosaxaven sakoordinato

sibrtyeze saTanado wertilebs. sasurvelia dadebiT x-ebTan erTad ganvixiloT maTi

mopirdapire mniSvnelobebic. mivaqcioT yuradReba: I SemTxvevaSi ( y=x2 SemTxvevaSi)

(0; 0) gantolebis amonaxsnia, II SemTxvevaSi _ ara. axsnan am faqtis geometriuli

Sinaarsi.

46

axla ki SevecadoT wiris wertilTa Tvisebis mixedviT davweroT wiris gantoleba. magaliTad, ra gantolebiT aRiwereba:

a) x da y RerZebidan tolad daSorebuli wertilTa geometriuli adgili? (y=x, an y=–x wrfe);

b) im wertilTa geometriuli adgili, romelTa koordinatebis kvadratebi tolia? y2=x2. es gantoleba aRwers y=x da y=–x wrfeebis erTobliobas;

g) im wertilTa geometriuli adgili, romlebic y RerZidan orjer meti manZiliTaa daSorebuli, vidre x RerZidan?

Tu saZiebel wertilebs M(x; y)-iT aRniSnaven, maSin pirobiT |x|=2|y|, anu y=0,5x an y=–0,5x.

aseTi Tvisebis mqone wertilebis geometriuli adgili saTaveze gamavali ori wrfis erToblioba yofila.

saWiroebis SemTxvevaSi moswavleebs daexmarebiT kiTxvebiT: ra manZilia M(x; y) wertilidan x RerZamde? (|y|), y RerZamde? (|x|).

d) im wertilTa geometriuli adgili, romlebic 3 erTeuliTaa daSorebuli koordinatTa saTavidan? (√x2+y2 =3, anu x2+y2=9). saTavidan tolad daSorebuli wertilebi wrewirze Zevs _ wrewirs qmnis. es wrewiris gantolebaa centriT saTaveSi, radiusiT 3.

e) wertilTa geometriuli adgili, romlebic 2 erTeuliTaa daSorebuli (3; 4) wertilidan?

moswavleebs ukve gamoumuSavdebaT kvlevis Catarebis garkveuli gamocdileba da klasi erToblivi ZalisxmeviT daZlevs am amocanas.

saZiebeli wertilebi M(x; y)-iT aRvniSnoT.miviRebT, √(x–3)2+(x–4)2=2 , anu (x–3)2+(y–4)2=4.ra wiris gantoleba miviReT? wrewiri centriT (3; 4), radiusiT 2.v) mivmarTavT moswavleebs daweron im wrewiris gantoleba, romlis centria

(a; b) da radiusi r.

klasSi samuSaod da saSinao davalebad SeiZleba SeirCes savarjiSoebi ## 1 -# 20 -dan.

aqtivobis gafarToeba. aqtivobis gaRrmavebis mizniT SeiZleba amovxsnaT

# 7 , # 8 da Semdeg # 21 savarjiSo. am savarjiSoze muSaobisas moswavleebi iyeneben koordinatTa meTods, algebrul meTodebs, aanalizeben wrewiris SesaZlo mdebareobis parametris mniSvnelobaze damokidebulebas.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. mocemuli aqtivobisas moswavle ifarTovebs amocanis modelis Seqmnis SesaZleblobas. kerZod, eufleba mocemuli Tvisebis mqone wertilTa geometriuli adgilis, sazogadod garkveuli wiris gantolebis daweris meTods da am gantolebis mixedviT sakoordinato sibrtyeze wiris grafikulad gamosaxvas, iZens gamocdilebas, saTanado unarebs. am samuSaos Sesrulebisas iyenebs algebrul da geometriul meTodebs integrirebulad. uviTardeba geometriuli warmodgenebi da kvlevis, analizis unari, umtkicdeba rwmena, rom kvlevis maTematikuri aparatis gamoyenebiT mravali sayuradRebo, sakmaod rTuli amocana xdeba daZlevadi. kvlevis mravali meTodis codna ki aiolebs amocanis amoxsnas (amaSi erTxel kidev darwmundebian moswavleebi, roca geometriuli adgilis ZiebaSi CarTaven sxvadasxva meTods).



47

gakveTili 10

aqtivoba. xdomilobaTa namravli. damoukidebel xdomilobaTa namravlis albaToba (§6.3).

reziume. magaliTebis ganxilviT moswavleebi ecnobian xdomilobaTa gam rav-lebis operacias _ ukavSireben mas simravleTa TanakveTis operacias, da moukidebel xdomilobaTa namravlis albaTobis gamosaTvlel formulas; ganixilaven da xsnian saTanado mravalferovan praqtikul amocanebs _ iwafebian namravlis albaTobis gamoTvlaSi, xdomilobebis damoukideblobis dadgenaSi;

aqtivobis mizani. Mmoswavleebi gaecnon xdomilobaTa gamravlebis operacias;gaecnon damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis gamosaTvlel

formulas;gaiwafon damoukidebel xdomilobaTa namravlis gamosaTvleli formulis

gamoyenebaSi; SeZlon damoukidebeli da damokidebuli xdomilobebis garCeva. amocanebSi

SeZlon jamisa da namravlis, sawinaaRmdego xdomilobebis albaTobebis gamosaTv-leli formulebis kombinirebulad gamoyeneba, problemis gadaWris alternatiuli gzebis moZieba, miRebuli Sedegebis Semowmeba da Sejameba.

aucilebeli wina codna. Mmoswavles unda SeeZlos simravleebis sxvadasxva saxiT warmodgena (maT Soris venis diagramebiT); moqmedebebi simravleebze (gaerTianeba, TanakveTa, damateba); kombinatoruli gamoTvlebis Catareba; xisebri diagramis gamoyeneba; SeeZlos martivi eqsperimentis Sesabamisi elementarul xdomilobaTa sivrcis dadgena da masSi mocemuli xdomilobis xelSemwyobi elementaruli xdomilobebis SerCeva, xdomilobis albaTobis dadgena; araTavsebadi xdomilobebis jamis albaTobis gamoTvla.

aqtivobis aRwera. gakveTils viwyebT aucilebeli wina codnis SemowmebiT: moswavleebs mivmarTavT moiyvanon SemTxveviTi xdomilobebis magaliTebi. SeiZleba Tavad Cven davusaxeloT raime eqsperimenti da maT davavaloT Seadginon elementarul xdomilobaTa sivrce. am sivrcis Sedgenisas, cxadia, mocemuli amocanis mixedviT SesaZlebelia, aracalsaxa Sedegebis miRebac. esec saukeTeso saSualebas miscems mTel klass, daubrundnen am umniSvnelovanes cnebas da daazuston misi detalebi. mas Semdeg rac konkretuli amocanis konkretuli sivrce SeirCeva, gadavalT Semdgom ganxilvaze. magaliTad, ori kamaTlis gagorebisas mosuli ricxvebis wyvilebis, an mosuli ricxvebis jamis Seswavlisas tolSesaZlebelia Tu ara elementaruli xdomilobebi I SemTxvevaSi, II SemTxvevaSi?

ganvixiloT raime xdomiloba am eqsperimentisas. magaliTad, A – wyvilebis mosvla, B _ mosuli ricxvebis jami 7-ia, C _ mosuli ricxvebidan TiToeuli luwia da sxva (moswavleebi maT Tavadac daasaxeleben). moswavleebi erToblivi ZalisxmeviT daasaxeleben cdis Sesabamis elementarul xdomilobaTa sivrces da SerCeuli xdomilobis Sesabamis qvesimravles, TiToeul SemTxvevaSi gamoTvlian albaTobas.

moswavleebTan erTad davafiqsiroT _ albaTobis gamoTvlisas yovelTvis Tu aris saWiro, elementarul xdomilobaTa sivrcis elementebis CamoTvla? iqneb mxolod maTi odenobis dadgenaa sakmarisi? magaliTad, `orniSna (samniSna, xuTniSna) ricxvebidan SemTxveviT SerCeuli ricxvis CanawerSi mxolod kenti cifrebia~ xdomilobis albaTobis gamoTvlisas rogor daviTvaloT xelSemwyob SemTxvevaTa

48

odenoba? am kiTxvaze pasuxis misaRebad movuwodoT klass racionaluri gziT moiZios saZebni ricxvi.

orniSna ricxvebidan alalbedze ricxvis SerCevis eqsperimentisas ganvixiloT xdomilobebi:

A _ ricxvi 3-is jeradia, B – ricxvi 5-is jeradia.moswavleebs mivmarTavT daasaxelon A+B xdomiloba, gamosaxon A da B

simravleebi venis diagramebiT. ra simravleESeesabameba A+B xdomilobas, ra aris A∩B simravle? _ am magaliTiT SeiZleba aRvweroT xdomilobebis gamravlebis (A⋅B) operacia, Semdeg ki ramdenime magaliTiT ganvamtkicoT SeZenili codna _ savarjoSo 5.

paragrafSi ganxiluli birTvebisa da kenWebis Sesaxeb eqsperimentis magaliTze Semogvaqvs damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis gamosaTvleli

formula. am formulis gamoyenebaSi moswavleebi kidev ufro daxelovndebian -

gaiwafebian savarjiSoebiT: ## 4 ,# 7 ,# 10 ,# 14 .

`s~ ganyofilebaSi aRwerili magaliTiT kidev erTxel xazs gavusvamT

xdomilobebis damoukideblobasa da araTavsebadobas Soris gansxvavebas _

AmivmarTavT moswavleebs araTavsebadi xdomilobebi venis diagramebiT gamosaxon.

iqve SeiZleba ganvixiloT amocanebi: # 1 , # 2 , # 3 , # 6 .

# 23 , # 24 , # 27 savarjoSoebic karg samsaxurs gauwevs moswavleebs araTavsebadi

xdomilobebis jamis, damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis ukeT

gaazrebasa da maT gamoTvlaSi, damoukidebeli xdomilobebis amocnobaSi. saSinao

davaleba SeirCeva ## 1 -# 33 -dan darCenili savarjiSoebidan _ klasis maTematikuri

momzadebis donis mixedviT.

aqtivobis gafarToeba. Aaqtivobis gafarTovebis mizniT SeiZleba SeirCes

eleqt ronul sqemaSi denis gavlasTan dakavSirebuli savarjiSo (## 34 ). Aaq, sxva

formulebTan erTad, moswavleebs mouwevT sawinaaRmdego xdomilobis albaTobis

formulis gamoyeneba, damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis

formulis gamoyeneba 2-ze meti xdomilobis SemTxvevaSi. ## 35 savarjiSo

SeiZleba saSinao davalebad mivceT. am amocaniT gveZleva kargi SesaZlebloba

sabunebismetyvelo saxis amocanebis maTematikuri kvlevis, amoxsnis da miRebuli Sedegis gaanalizebis.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba. Aam aqtivobis Sedegad moswavle SeZlebs xdomilobebze Sekrebis, gamravlebis operaciebis ganxorcielebas, mocemulis sawinaaRmdego xdomilobis dasaxelebas _ Sesabamis elementarul xdomilobaTa simravleebis venis diagramebiT gamosaxvas. Ggaiwafeba araTavsebadi xdomilobebis jamis, damoukidebeli xdomilobebis namravlis albaTobis gamoTvlaSi, damoukidebeli xdomilobebis amocnobaSi. daukavSirebs miRebul codnas sxvadasxva saxis amocanebs, maT Soris _ fizikur amocanas. DdaZlevs proeqtze (saCogburTo matCis msvlelobisas sportsmenebis mogebis albaTobebis SefasebasTan dakavSirebuli) muSaobisas warmoqmnil problemebs, am aqtivobis Sedegad moswavleTa albaTuri azrovnebis ganviTarebas kidev erTi mZlavri impulsi miecema.

am aqtivobis SefasebaSi dagexmarebaT pirveli sanimuSo gakveTilis bolos warmodgenili rekomendaciebi.

49

Tavi I

erovnul saswavlo gegmaSi I-VI klasebSi ricxvis cnebis swavleba Semdegi

sqemiTaa mocemuli: mTeli arauaryofiTi ricxvebi da maTi Canawerebi (cifrebis

saSualebiT), dadebiTi racionaluri ricxvebi da maTi Canawerebi (wiladebi,

aTwiladebi). procentic miCneulia racionaluri ricxvis Caweris erT-erT formad.

vicavdiT ra aRniSnuli gegmebis moTxovnebs, uaryofiTi ricxvebis sistematuri

gadmocema VII klasis saxelmZRvaneloSi daviwyeT.

ricxvebis Seswavla moswavleTa maTematikuri momzadebis safuZvelia; isini

swavlebis procesSi ecnobian naturalur ricxvebs, mTel da racionalur ricxvebs,

eqmnebaT warmodgena iracionalur ricxvebze. ricxvTa Seswavlisas moswavleebs

uyalibdebaT da umuSavdebaT gamoTvlis Cvevebi. ricxvis cnebis swavlebisas

Cven mudmivad vukavSirebT TvalsaCino geometriul warmodgenebs, grafikul

ilustaciebs, sxvadasxva yofiT sakiTxebs.

am TavSi xdeba ricxvebis Caweris ukve Seswavlili formebis gameoreba, ricxvis

cnebis Semdgomi gafarToeba _ iracionaluri ricxvis gacnoba.

Cven am etapze SeuZleblad migvaCnia namdvil ricxvTa mkacri Teoriis

gadmocema _ namdvil ricxvTa struqturis, dalagebis, moqmedebaTa gansazRvrisa

da am moqmedebebis Tvisebebis mkacri maTematikuri damtkiceba xSirad umaRlesi

skolis maTematikis programaSic ar aris gaTvaliswinebuli. Tumca aRvniSnavT,

rom iracionaluri ricxvebisTvis ariTmetikuli operaciebs aqvs igive Tvisebebi,

rac racionaluri ricxvebisTvis.

Cven arc racionalur ricxvTa simravlis agebis maTematikuri Teoria gvaqvs

mocemuli. imedi gvaqvs maswavleblebi kargad icnoben ricxviTi sistemis agebis

sxvadasxva gzas. es daexmareba maT swavlebis procesSi Tavidan aicilon Secdomebi,

romlebic racionaluri da iracionaluri ricxvebis maT CanawerebTan gaigivebam

SeiZleba gamoiwvios. erT-erTi xerxi, romelic gamoiyeneba maTematikaSi, aris

ganzogadebis procesi, romelic ekvivalentobis mimarTebis gansazRvrisa da

ekvivalentobis klasis saSualebiT axali obieqtis SemoRebas ukavSirdeba.

magaliTad, racionaluri ricxvis (wiladebSi ekvivalentobis mimarTebis

SemoRebis Semdeg) ekvivalentobis klasad warmodgena, iracionaluri ricxvis _

fundamenturi mimdevrobis klasad (an gankveTis erT-erT klasad) da a.S.

es sakiTxebi gadmocemulia im saxelmZRvaneloebSi, romlebic umaRlesi

pedagogiuri saswavleblebisTvisaa gankuTvnili. magaliTad, [20].

axla SegaxsenebT racionalur ricxvTa mxolod im ZiriTad Tvisebebs,

romlebiTac srulad aRiwereba am ricxvTa simravle _ Q. Qes dagvexmareba namdvil

ricxvTa R simravlisa da kompleqsur ricxvTa C simravlis ukeT gaazrebaSic

(pedagogebis gadamzadebis programa kompleqsur ricxvebsac moicavs).

50

qvemoT, yvelgan a, b da c asoebiT racionaluri ricxvebia warmodgenili, `racionalur ricxvebs~ Semoklebis mizniT `ricxvebiT~ movixseniebT.

1. nebismieri a da b-sTvis arsebobs ricxvi, romelsac a da b-s jami ewodeba; misi aRniSvnaa: a+b.

2. nebismieri a da b-sTvis a+b=b+a (Sekrebis komutaciurobis _ gadanacvle-badobis Tviseba).

3. nebismieri a, b da c-sTvis (a+b)+c=a+(b+c). (Sekrebis asociaciurobis _ jufTebadobis Tviseba).

4. arsebobs ricxvi, romelic neitraluria Sekrebis mimarT, mas nuli ewodeba, misi aRniSvnaa 0. am ricxvs aqvs Tviseba: nebismieri a-sTvis, a+0=a.

5. nebismieri a-sTvis arsebobs erTaderTi ricxvi, romelsac a-s mopirdapire ricxvi ewodeba; igi aRiniSneba -a-Ti da iseTia, rom a+(–a)=0.

6. nebismieri a da b-sTvis arsebobs ricxvi, romelsac a da b-s namravli ewodeba; misi aRniSvnaa a.b an ab.

7. nebismieri a da b-sTvis ab=ba (gamravlebis komutaciurobis Tviseba).8. nebismieri a, b da c-sTvis (ab)c=a(bc) (gamravlebis asociaciurobis Tviseba).9. nebismieri a, b da c-sTvis a(b+c)=ab+ac (gamravlebis distribuciulobis

(ganrigebadobis) Tviseba Sekrebis mimarT; mokled _ ganrigebadobis Tviseba.10. arsebobs ricxvi, romelic neitraluria gamravlebis mimarT. mas erTeuli

ewodeba, aRiniSneba 1-iT. am ricxvs aqvs Tviseba: nebismier a-sTvis, 1⋅a=a.11. 1≠0.12. 0-sgan gansxvavebuli nebismieri a-sTvis arsebobs erTaderTi ricxvi,

romelsac a-s Sebrunebuli ewodeba, aRiniSneba a–1–iT da romlisTvisac a.a–1=1.dasaxelebul 12 Tvisebas velis aqsiomebsac uwodeben. radgan racionalur

ricxvebs es Tvisebebi aqvs, amitom, amboben _ racionaluri ricxvebi qmnis vels _ QQ velia.

Semdegi oTxi TvisebiT xazgasmulia, rom Q simravle dalagebuli velia.13. nebismieri a da b-sTvis Semdegi sami mimarTebidan: a=b, a<b da b<a mxolod

erTi mimarTebaa WeSmariti, DdanarCeni ori mcdaria.14. Tu raime a, b da c ricxvebisTvis a<b da b<c, maSin a<c.15. Tu raime a, b da c ricxvebisTvis a<b,B maSin a+c<b+c.16. Tu raime a, b da c ricxvebisTvis a<b da c>0, maSin ac<bc.

Semdeg _ me-17 Tvisebas arqimedes aqsiomasac uwodeben.

17. yoveli a ricxvisTvis arsebobs iseTi k mTeli ricxvi, rom a<k.

bolo _ me-18 ZiriTadi Tviseba migviTiTebs, rom nebismieri racionaluri ricxvi ori mTeli ricxvis fardobas warmoadgens. TviT saxelwodebac `racionaluri~ modis `ratio~-dan _ fardobidan.

18. nebismieri racionaluri a ricxvisTvis arsebobs iseTi mTeli n ricxvi, n≠0, rom na mTeli ricxvia.

dasasrul SevniSnavT, rom 1-12 Tvisebebi axasiaTebs namdvil da kompelqsur ricxvebsac, 13-17 Tvisebebi aqvs namdvil ricxvebsac, kompleqsurs _ ara. me-18 TvisebiT ki ar xasiaTdeba arc R da arc C simravle.

1-18 Tvisebebze dayrdnobiT SeiZleba davasabuToTO racionaluri ricxvTa sxva

mravali _ TqvenTvis kargad nacnobi Tviseba.

51

1.1. racionaluri ricxvebi

mizani: gaixsenon naturalur, mTel, racionalur ricxvTa simravleebi. SeZlon

maT Soris mimarTebebis warmodgena venis diagramebiT; racionaluri ricxvebis

Cawera sxvadasxva formiT; Seafason mocemul situaciaSi romeli formaa ufro

xelsayreli, SeZlon sxvadasxva saxiT Cawerili ricxvebis Sedareba, gamoiyenon

SeZenili codna yofiTi, sabunebismetyvelo da sxva saxis amocanebis amoxsnisas;

gamoTqvan varaudebi da Seamowmon isini sxvadasxva konkretul SemTxvevaSi.

paragrafi ricxvTa sistemebis gafarToebis mokle mimoxilvaa. es Zveli

masalis gameoreba da sistematizaciacaa. misi samive punqtis ganxorcieleba

SeiZleba sam gakveTilze moxerxdes. ufro dawvrilebiT am sakiTxebs SeiZleba

gaecnoT me-3 punqtSi mocemul proeqtSi dasaxelebul wyaroebSi.

1 - 10 testebidan ramdenime (magaliTad, 3 , 6 , 9 ) klasSi amoixsneba,

danarCeni saSinao davalebad SeiZleba gamoiyenoT.

3 testze muSaobisas SeiZleba maRali Sefaseba mivceT moswavles, romelic

SeZlebs n, Z da Q simravleebs Soris damokidebulebis venis diagramiT gamosaxvas,

gaakeTebs saTanado komentarebs.

amave gakveTilze movaswrebT me-2 punqtze muSaobasac: moswavleebi

ixseneben wiladis aTwiladis saxiT Caweras mricxvelis mniSvnelze gayofiT.

saxelmZRvaneloSi sxva xerxicaa warmodgenili.

moswavleebi dafaze wiladebs gadaweren aTwiladebis saxiT, Semdeg axdenen

maT klasifikacias (me-2 punqtSi warmodgenili cxrilis msgavsad) wiladebad,

romlebic Caiwereba sasruli aTwiladis saxiT da wiladebad, romlebic Caiwereba

usasrulo perioduli aTwiladis saxiT. mniSvnelebis martiv mamravlebad daSlaze

dakvirvebiT mosalodnelia, moswavleebma gamoTqvan varaudi, romeli wiladi

Caiwereba sasruli aTwiladis saxiT, romeli _ usasrulo perioduli aTwiladis

saxiT. varaudis gamoTqma waxalisdeba maRali quliT.

dafaze davtovoT wiladis aTwiladad gadasawerad Sesrulebuli erT-erTi

gayofa, magaliTad,

masze dakvirvebiT SevecadoT gamoTqmuli varaudis dasabuTeba. damxmare

kiTxvebia, magaliTad,

_ ramdeni gansxvavebuli naSTi SeiZleba miviRoT 7-ze gayofisas?

_ gayofis procesSi sul didi ramdeni safexuris Semdeg daiwyeba naSTebis

gameoreba?

52

moswavleebma SeiZleba dasabuTeba ganazogadon nebismieri SemTxvevisTvis, es

procesi am asakobrivi safexurisTvis azrovnebis maRali donis Sesabamisia da,

bunebrivia, masSi monawile moswavleebidan aqtiurebi da warmatebulebi Sefasdebian

maRali qulebiT.

saSinao davalebad SeiZleba davumatoT 15 - 22 savarjiSoebi.

momdevno gakveTili wina gakveTilze ganxorcielebuli aqtivobis gafarToebaa:

• vixsenebT racionaluri ricxvis Caweris kidev erT formas _ procents.

moswavles ukve SeuZlia erTi da igive ricxvi Caweros sami saxiT _ wiladiT,

aTwiladiT, procentiT, savarjiSoebi _ 12 , 25 .

• me-2 punqtSi ganxiluli 1 , 2 , 3 magaliTebiT (an maTi msgavsi

magaliTebiT) moswavle eufleba aTwiladis wiladis saxiT Caweras (savarjiSo 23). • iwafeba racionaluri ricxvebis ricxviTi wrfis wertilebiT gamosaxvaSi

(savarjiSoebi 43 - 46 , 31 , 32 ).

• 41 , 42 savarjiSoebiT moswavle midis mniSvnelovan daskvnamde, rom

nebismier or racionalur ricxvs Soris aris racionaluri ricxvebis usasrulo

odenoba.

33 - 40 savarjiSoebiT xdeba SeZenili codnis gamoyeneba sxvadasxva situaciaSi.

am savarjiSoebis nawili SeiZleba klasSi amoixsnas, nawili _ saSinao davalebd

mieces.

maswavlebels SeuZlia savarjiSoebis mimdevroba mosazrebiT, klasis SesaZ leb-lobebis gaTvaliswinebiT Secvalos.

paragrafis me-2 punqtSi saubaria racionaluri ricxvebis Caweris saxeebze.aTwiladis saxiT wiladis Cawerisas warmodgenili magaliTebis analiziT da

wina wels miRebuli gamocdilebiT moswavleebi gamoTqvamen varauds: Tu ukveci wiladis mniSvnels 2-isa da 5-isgan gansxvavebuli sxva raime martivi gamyofi ara aqvs, maSin wiladi Caiwereba sasruli aTwiladis saxiT. winaaRmdeg SemTxvevaSi _ usasrulo perioduli aTwiladis saxiT.

axla vimsjeloT im varaudis Sesaxeb, romelic miRebuli wiladis usasrulo periodul aTwiladad warmodgenisas periodSi cifrebis odenobas exeba.

vTqvaT, ukveci wiladis mniSvneli aris n. mricxvelis n-ze gayofisas, Tu ganayofis aTwiladi nawilis raime TanrigSi 0-ia, anu gayofisas saTanado naSTi 0-ia, wiladi sasruli aTwiladis saxiT Caiwereba. 0-sgan gansxvavebuli naSTebis odenoba aris n–1. amitom n-ze gayofisas n–1 odenobis gansxvavebul naSTze mets ver miviRebT. amrigad, romelime naSTi (vTqvaT, l) gameordeba da amitom misi Semdgomi naSTebic imave TanamimdevrobiT gameordeba, rac iyo l-mde. es aTwiladis periodulobaze miuTiTebs. Sesabamisad, perioduli aTwiladis periodSi Semavali cifrebis odenobac (n–1)-ze meti ver iqneba (dirixles principi).

saxelmZRvaneloSi moyvanilia perioduli aTwiladis wiladis saxiT Caweris magaliTebi. ganvixiloT kidev erTi _ specialuri saxis perioduli aTwiladi: 0,(9), CavweroT is wiladis saxiT. SemoviRoT aRniSvna _ 0,(9)=n, maSin 10n=9,(9), 10n=9+0,(9), 10n=9+n, saidanac n=1, 0,(9)=1.

analogiurad miviRebT, rom nebismieri peroduli aTwiladi, romlis periodia 9, Caiwereba sasruli aTwiladis saxiTac. magaliTad, 6,91(9)=6,92; 7,(9)=8. aseTi Tvisebisaa mxolod 0 da 9 periodis aTwiladebi. maT Semdgom mxolod sagangebod ganvixilavT xolme.

53

moyvanilia ricxvebis Caweris sxva formebic: standartuli, procenti.

21 mocemul formulaSi unda Casvan R-is mniSvneloba. umjobesia gamoiyenon

misi Caweris standartuli forma: R=6,37⋅105.

pasuxi: S≈4⋅3,14⋅(6,37⋅105)2≈5,1⋅1012(km2).amocanis amoxsnis procesSi moswavles uviTardeba formulis gamoyenebisa da

konkretul monacemTan muSaobis unari. saboloo Sedegis saxis mixedviT is kidev

erTxel daafiqsirebs ricxvis standartuli formiT Caweris upiratesobas.

23 g) SemoviRoT aRniSvna: 1,(9)=n, maSin 19,(9)=10n, 18+1,(9)=10n, 18+n=10n, saidanac

n=2, 1,(9)= 21 .

z) SemoviRoT aRniSvna: 1,3(4)=n, maSin 13,(4)=10n, 134,(4)=100n, 121+13,(4)=100n,

121+10n=100n, saidanac n= 12190

.

T) 1,2(1)=n, 12,(1)=10n, 121,(1)=100n, 109+12,(1)=100n, 109+10n=100n. saidanac n= 10990

.

i) 5,3(73)=n, 53,(73)=10n, 5373,(73)=1000n, 5320+53,(73)=1000n, 5320+10n=1000n, saidanac

n= 5320990 =5 37

99 .

miaqcieT yuradReba! 5 3799 =5,(37). miviReT, 5,3(73)=5,(37). es faqti amoxsnis

dasawyisSive SeiZleboda SegvemCnia.

bolo sami magaliTis amoxsnis da ganxilvis Semdeg moswavleebma SeiZleba

aRmoaCinon perioduli aTwiladis wiladad warmodgenis wesi im SemTxvevaSi, roca

periodi uSualod mZimis Semdeg ar iwyeba.

24 25 =0,4, 4

9 =0,(4), 0,50=0,5, 020 =0,

93 =3. gansxvavebulia Svidi ricxvi:

25 ;

49 ; 0,5;

0; 3; 13

; 0,33 - yvela racionaluria, mTelia ori - 0 da 3; udidesia 3, umciresi - 0.

25 aqciis fasi gaxda Zveli fasis 100,5%, anu 1,005 nawili:

a) 1000⋅1,005=1005 (lari), b) 5000⋅1,005=5025 (lari). g) 700⋅1,005=703,5 (lari).

27 pirobiT, 1kg kaklis darCeviT 40%, anu 0,4 kg nigozi miiReba, rac myidvels

8 lari ujdeba, 1 kg nigozis misaRebad man 2,5 kg kakali unda iyidos 20 larad,

orive SemTxvevaSi myidveli 20 lars ixdis, magram SeiZleba moswavleTa nawilma

naWuWiani kaklis darCevasTan dakavSirebuli Sromis Tavidan asacileblad nigozis

yidva amjobinos.

28 150 lari kabis Tavdapirveli fasis 75%-ia. kabis Tavdapirveli fasia

150⋅10075

=200 (lari).

29 a) P=170-100=70 (kg), b) 170(sm)= 1702,54

(duimi),

P=12 ⋅

1702,54

-220≈148,11 funti ≈67 kg.

54

30 2010, 2015 da 2020 wlebisTvis msoflio mosaxleobis odenobis sapovnelad

mocemul formulaSi unda CavsvaT, Sesabamisad, x=10, x=15 da x=20. miviRebT,

2010 wels P=6,2⋅109⋅1,01710 ≈7,34⋅109. es ricxvi 7 miliardze metia.

2015 wels P=6,2⋅109⋅1,01715≈7,98⋅109; 2020 wels P=6,2⋅109⋅1,01720≈8,69⋅109.

1980 da 1990 wlisTvis mcxovrebTa odenobis sapovnelad mocemul formulaSi

x=-20 da x=-10 mniSvnelobebis CasmiT miviRebT.

1980 wels P=6,2⋅109⋅1,017-20≈4,43⋅109, 1990 wels P=6,2⋅109⋅1,017-10≈5,24⋅109.

41 T) -6,8796=-6,87960, -6,8795=-6,87950. maT Sorisaa, magaliTad, racionaluri

ricxvebi: -6,87951, -6,87952.

42 a) 211=

20110;

311=

30110 maT Sorisaa, magaliTad, racionaluri ricxvebi

21110 da

22110.

v) 110=

10100 ;

1100-sa da

110-s Sorisaa, magaliTad, racionaluri ricxvebi: 2

100

da 3100

.

T) 110= 9

90 = 90900 ,

19 =

1090 =100

900 maT Sorisaa, magaliTad, racionaluri ricxvebi:

91900 da 92

900 .

43 mocemuli ricxvebia:

0,35=0,350; 0,(3)=0,333..., 0,3=0,300, 14

=0,250, 0,4=0,400, 0,33=0,330.

zrdis mixedviT: 14 <0,3<0,33<0,(3)<0,35<0,4.

45

BC=5,8-2,5=3,3; 2,5-3,3=-0,8. B-sgan 3,3-iT daSorebuli A wertili gamosaxavs (-0,8)-s.

pasuxi: A(-0,8).sazogadod, Tu ricxviTi wrfis A da B wertilebis koordinatebia a da b

ricxvebi, maSin AB monakveTis P Sua wertilis koordinatia a+b2 .

marTlac, AB=b–a, AP= b–a2 , P-s koordinatia: a+ b–a

2 =a+b2 .

Cvens SemTxvevaSi, Tu saZiebel ricxvs x-iT aRvniSnavT, miviRebT, x+5,82 =2,5,

saidanac x=-0,8.

46 P wertilis koordinatia –6–12 =-3,5;

Q wertilis koordinatia –1+52 =2;

0,33 0,35

55

PQ monakveTis sigrZea 2–(–3,5)=5,5;

PK monakveTis sigrZea 5–(–3,5)=8,5.

savarjiSoebi: 31 – 40 , 47 – 48 aris Semzadeba 49 - 51 savarjiSoebis

Sesasruleblad.

x1 da x2 ricxvebis Sesabamis A da B wertilebs Soris manZili AB=|x2–x1|.

|x2–x1|<r niSnavs, rom A da B wertilebs Soris manZili r–ze naklebia, anu B

daSorebulia A–sgan (A daSorebulia B–sgan) r–ze naklebi manZiliT.

50 b) veZebT x ricxvs, romlisganac 3–mde da –3–mde manZilebis jami 5,2–ia:

|x–2|+|x–(–3)|=5,2.

Tu –3≤x≤3, maSin x–dan –3–mde da 3–mde manZilebis jami metia 5,2–ze (6–is tolia).Tu x<–3 an x>3, maSin aRniSnuli jami 6–ze metia.

pasuxi: aseTi x ricxvi ar arsebobs, gantolebas amonaxsni ara aqvs.

g) mocemul gantolebas akmayofilebs yoveli x ricxvi, romelic akmayofilebs

pirobas: –3≤x≤3.

d) pirobiT, x–dan 0–mde da 6–mde manZilebis jami 7,5–ia. Tu 0≤x≤6, maSin

dasaxelebuli manZilebis jami 6–ia (da ara 7,5). Tu x<0, maSin |x|+|x–6|=–x+6–x=6–2x; 6–2x=7,5; 2x=–1,5; x=–0,75 .Tu x >6, maSin |x|+|x–6|=x+x–6=2x–6; 2x–6=7,5; x=6,75.e) Tu 0≤x≤7, maSin x–dan 0–mde da 7–mde manZilebis jami 7–ia. amrigad, mocemuli

gantolebis amonaxsnia nebismieri x ricxvi, romelic 0≤x≤7 pirobas akmayofilebs.

sxva fesvebi gantolebas ara aqvs.

SeniSvna: Tu A da B wertilebs Soris manZili k–s tolia da d mocemuli ricxvia,

maSin

1) ar arsebobs wertili, romlidanac A da B wertilebamde manZilebis d jami

k–ze naklebia (d<k).2) AB monakveTis nebismieri wertilidan A da B wertilebamde manZilebis d jami

k–s tolia (d=k).3) arsebobs ori wertili, romelTagan TiToeulidan A da B wertilebamde

manZilebis d jami k–ze metia (d>k).

51 radgan –1,2 da 7-is ariTmetikuli

saSualoa 2,9, amitom mosaZebnia AB monakveTis

K Sua wertili: A(–1,2), B(7), K(2,9). K wertilis

mosaZebnad A da B wertilebidan SemovxazoT

tolradiusiani wrewirebi 4,1–ze meti raime

radiusiT (7–2,9=2,9–(–1,2)=4,1). maTi gadakveTis

wertilebze gamavali wrfe mocemul ricxviT wrfes K wertilSi gadakveTs.

marTlac, ∆ACD=∆BCD (sami gverdiT). amitom ∠ACD=∠BCD da CK aris ACB

tolferda samkuTxedis biseqtrisa. is medianac iqneba _ AK=KB. K wertilis

koordinatia 7+(–1,2)2 =2,9.

56

52 etapebis mixedviT, TanamimdevrobiT, vpoulobT damatebuli wertilebis

odenobas:

1; 2; 4; 8; 16.

• TiToeuli etapis Semdeg moniSnuli wertilebis odenobebia:

3; 5; 9; 17; 33.

• miRebuli Sedegebis mixedviT SeiZleba daiweros n-ur etapze, 1≤n≤5, moniSnuli

wertilebis savaraudo odenoba _ 2n–1, n=1, 2, 3, 4, 5. (1)xolo n-uri etapis Semdgom wertilebis saerTo odenobaa

2n+1, n=1, 2, 3, 4, 5. (2)• bunebrivia, rom bolo ori formula: (1) da (2) nebismieri n naturalur

ricxvisTvisac miviCnioT WeSmaritad. roca n=6, maSin uSualo gamoTvlebiT

vpoulobT dasaxelebul or ricxvs: 32-s da 65-s. igive ricxvi miiReba (1) da (2) formulebidanac, roca n=6. es faqti kidev ufro sarwmunos xdis Cveni varaudis

WeSmaritobas. am formulaTa damtkiceba maTematikuri induqciis meTodis

gamoyenebiT martivadaa SesaZlebeli. am meTods IX klasSi ar gavecnobiT.

• etapebis mixedviT, TanamimdevrobiT, vpoulobT mezobel wertilebs Soris

manZilebs: 102 ; 10

4 ; 108 ; 10

16; 1032.

• savaraudoa, rom n–uri etapis Semdeg yovel or mezobel wertils Soris

manZili iqneba 102n . roca n=6, maSin am gamosaxulebiTa da uSualo gamoTvlebiT

miRebuli mniSvnelobebi tolia. es mniSvnelobaa 1064.

es aqtivoba gvaZlevs SesaZleblobas codnis dabali donidan ufro maRalze

asvliT da ukan dabrunebiT ganvaviTaroT moswavleTa saazrovno unarebi.

me-3 punqtSi SemoTavazebulia or nebismier racionalur ricxvs Soris arsebuli

racionaluri ricxvebis povnis ori xerxi:

I xerxi aTwiladebiT gamosaxuli ricxvebis aTwilad nawilebSi nulebiT

warmodgenili damatebiTi Tanrigebis Semotanas gulisxmobs;

II xerxi nebismieri formiT Cawerili a da b racionaluri ricxvebis

ariTmetikuli saSualos miTiTebas gulisxmobs.

vTqvaT, a<b, maSin a+a<b+a, a< a+b2

; analogiurad, Tu a<b, maSin a+b<b+b,

a+b2

<b, anu a< a+b2

<b.

am gziT moswavleebi SeZleben nebismier or racionalur ricxvs Soris uamravi

racionaluri ricxvis dasaxelebas. geometriulad es niSnavs, rom ricxviT wrfeze

nebismier or racionalur wertils Soris uamravi racionaluri wertilia.

moswavleebi yovel racionaluri ricxvs ricxviT wrfeze erTaderT wertils

Seusabameben, magram momavalSi isini Seityoben, rom ricxviT wrfeze arsebobs

wertilebi, romlebic ar aris racionaluri ricxvis Sesabamisi, anu racionalur

ricxvTa simravlesa da ricxviTi wrfis wertilTa simravles Soris ar aris

urTierTcalsaxa Sesabamisoba.

57

1.2. kvadratuli fesvi. kvadratuli fesvis Semcveli

gamosaxulebebis gardaqmna. iracionaluri ricxvi

mizani: ricxvis cnebis gafarToeba _ iracionaluri ricxvis cnebis gacnoba,

rac kidev erTi nabijia maTematikuri, sabunebismetyvelo, yofiTi da sxva saxis

amocanebis kvlevis maTematikuri aparatis gaZlierebis mimarTulebiT. kerZod,

fesvis Tvisebebis gamoyenebiT moswavlem SeZlos sayuradRebo amocanebis amoxsna.

ganvixilavT marTkuTxa samkuTxeds, romlis kaTetebis sigrZeebi sigrZis erTi

erTeulia. aseTi samkuTxedis hipotenuzis sigrZis kvadrati 2-is tolia. yuradReba

miaqcieT im faqts, rom arsebobs ori iracionaluri ricxvi: √2 da –√2 , romelTa

kvadrati 2-is tolia. √2 -iT aRniSnulia dadebiTi iracionaluri ricxvi, –√2 -iT

_ uaryofiTi iracionaluri ricxvi. √2 ariTmetikuli kvadratuli fesvia 2-dan.

yoveli racionaluri ricxvi SeiZleba CavweroT sasruli an usasrulio

perioduli aTwiladis saxiT. iracionaluri ricxvi ki Caiwereba usasrulo

araperioduli aTwiladis saxiT.

paragrafSi warmodgenili aqtivobis warmatebiT ganxorcielebisTvis moswavle

gawafuli unda iyos piTagoras Teoremis gamoyenebiT marTkuTxa samkuTxedis

gverdebis povnaSi. paragrafs SeiZleba ori gakveTili davuTmoT. pirvel gakveTils

piTagoras TeoremiT da misi Sebrunebuli Teoremis gaxsenebiT viwyebT.

wina paragrafis 41 -e da 42 -e savarjiSoebis Sesrulebisas moswavleebi

darwmundnen, rom nebismier or racionalur ricxvs Soris racionaluri ricxvebis

usasruli odenobaa da amitom SeiZleba zogierTs Seeqmna STabeWdileba, rom

ricxviTi RerZi racionaluri ricxvebiT mTlianad `Seivso~. am paragrafis

pirvelive punqtSi aRwerilia ricxviT RerZze iseTi wertilis agebis procesi,

romelic ar Seesabameba racionalur ricxvs. am procesis ganxilva moswavleTa

monawileobiT unda mimdinareobdes.

iracionaluri ricxvebis miaxloebiTi mniSvnelobebis dadgenisTvis moswavleebs

kalkulatorebic dasWirdebaT. amaze maswavlebelma winaswar unda izrunos.

iracionaluri da racionluri ricxvebis amocnobaSi moswavleebi 1 - 8

testebiT, 10 , 11 savarjiSoebiT gaiwafebian; iracionaluri ricxvis miaxloebiTi

mniSivnelobis dadgenaSi _ 12 , 13 , 15 savarjiSoebiT; ricxviT wrfeze

iracionaluri ricxvebis ganlagebaSi _ 15 - 18 savarjiSoebiT; iracionaluri

ricxvebis damrgvalebaSi _ 19 , 20 savarjiSoebiT.

22 - 25 amocanebi piTagoras Teoremis gamoyenebiT ixsneba. sasurvelia

erT_erTi maTgani (magaliTad, 22 ) klasSi amoixsnas, danarCeni mieces saSinao

davalebad. momdevno gakveTili maTematikuri procedurebis SesrulebaSi varjiSs

eTmoba. moswavleebi ixseneben, ariTmetikuli fesvis Tvisebebs da iyeneben maT

fesvis Semcveli gamosaxulebebis gamartivebisas. paragrafis me-2 punqtSi aseTi

gamartivebis magaliTebia ganxiluli. isini daexmareba moswavleebs saSinao

davalebis SesrulebaSi, romelic 22 - 46 savarjiSoebidan SeirCeva klasis

momzadebis donis gaTvaliswinebiT.

58

12 a) √4 <√7 <√9 , anu 2<√7 <3;

b) √9 <√15<√16 , anu 3<√15<4;

v) √484<√490<√529 , anu 22<√490<23.

13 √608≈24,66; 24,662=608,1156.

√608 iracionaluri ricxvis miaxloebiTi mniSvnelobis kvadrati ar aris 608.

16 savarjiSoSi gasaTvaliswinebelia _

1,(56)=1,56565..., 1,56=1,5600...,

π≈3,14159, √2 ≈1,4142135, 23 =0,(6), 1

3 =0,(3).

17 gaviTvaliswinoT, rom 3 13 =3,(3)>3,(31), 4 2

3 =4,(6)>4,62.

18 gaviTvaliswinoT, rom 2,0(45)=2,045454...>2,045;

1,3(7)=1,377...>1,(37)=1,3737...; – 79 =–0,(7)<–0,077.

23 amovxazoT suraTis erTi fragmenti. Tu ABC samkuTxedis farTobi 1 kv.

erTeulia, maSin mis kaTetebze agebuli kvadratebidan TiToeulis farTobi 2kv.

erTeulia, xolo hipotenuzaze agebuli kvadratis _ 4kv. erTeuli. amrigad,

kaTetebze agebuli kvadratebis farTobebis jami hipotenuzaze agebuli kvadratis

farTobis tolia.

24 d) 482+552=732, sadac 73 didi kvadratis gverdia. piTagoras Teoremis

Sebrunebuli TeoremiT davaskvniT, rom Z samkuTxedi aris marTkuTxa.

25 a) ABE samkuTxedis kaTetebia BE=b da AE=a, SABe=ab2 ;

b) GH=GF=b–a, EFGH kvadratia da SeFGh=(b–a)2;

g) daStrixuli nawilis farTobia SABCD=4. ab2 +(b–a)2; amasTanave, SABCD=c2.

miviReT, rom c2=a2+b2. es piTagoras Teoremis ilustraciaa.

30 - 34 savarjiSoebi aris Semzadeba 43 -e savarjiSosTvis, xolo 38 - 41

savarjiSoebi _ 42 -e savarjiSosTvis.

43 e) x2–4x+3=x2–4x+4–1=(x–2)2–1.

mocemuli gantoleba gadavweroT ase: (x–2)2=1,

x–2=1 an x–2=–1, saidanac x=3; x=1.

v) (x–3)2=1, x–3=1 an x–3=–1, saidanac x=4; x=2.

44 a) I xerxi. √ 6+4√2 =√ 4+√2 2+2⋅2√2 =√ (2+√2 )2=2+√2 .

II xerxi. 2+√2>0 da (2+√2 )2=4+4√2+2=6+4√2 _ mocemuli toloba sworia.

b) √ 8√3+19 =√2⋅4√3+16+√32=√(4+√3 )2 =4+√3 .

59

45 1

√3 –√2 –1= √3 +√2 +1

(√3 –(√2 +1))(√3 +(√2 +1)) =(√3 +√2 +1)3–(3+2√2 )

=(√3 +√2 +1)√2

–2√2 ⋅√2 =–√2 (√3 +√2 +1)

4;

1

√5 –√2 +2= √5 +√2 –2

(√5 –(√2 –2))(√5 +(√2 –2)) =(√5 +√2 –2)

4√2 –1=

(√5 +√2 –2)(4√2 +1)(4√2 –1)(4√2 +1)

=(√5 +√2 –2)(4√2 +1)

31.

48 mocemuli sigrZis monakveTis agebis sqema a) da b) SemTxvevebisTvis suraTzea

warmodgenili:

a) b)

√5 √10

N

M

g) SemTxvevaSi, jer avagebT erTeulovan

monakveTs _ MN kaTets. Semdeg _ monakveTs,

romlis sigrZe 2 erTeulia da am monakveTiT

avagebT hipotenuzas. meore kaTetis sigrZea √3 .

d) jer avagoT monakveTi, romlis sigrZea .

Semdeg ki avagoT marTkuTxa samkuTxedi, romlis kaTetebia da 2.

jgufuri muSaoba

Tema: piTagoras Teorema.

jgufebisTvis samuSaos ganawileba saxelZRvaneloSia mocemuli, iqvea

miTiTebuli eleqtronuli fostis misamarTi, sadac SesaZlebelia aRniSnul

Temaze informaciis moZieba. SesaZloa es muSaoba kompiuterul klasSi Catardes

da moswavleebma muSaobis procesSi moiZion sasurveli informacia. SesaZloa,

jgufuri muSaobis dasrulebis Semdeg zogierT maTgans gauCndes survili, gaecnos

piTagoras Teoremis sxva damtkicebebsac.

1 didi kvadratis farTobs ((a+b)2-s) Tu gamovaklebT oTxi toli marTkuTxa

samkuTxedis farTobs, miviRebT mcire kvadratis farTobs _

c2=(a+b)2–4⋅ ab2

, saidanac gamartivebis Sedegad miviRebT: c2=a2+b2.

1 1

1

11

1

1

1

1 1 1 1

60

2 a) suraTis mixedviT ukve miviReT , rom `didi~ kvadratidan `mcire~

kvadratis farTobi (c2) miiReba oTxi toli samkuTxedis `CamoWriT~. b) suraTis

mixedviT `didi~ kvadratidan amave samkuTxedebis `CamoWriT~ miiReba ori kvadrati,

romelTa saerTo farTobia a2+b2. amrigad, c2=a2+b2.

3 mocemuli figuris farTobia c2+2⋅ 12

ab.

Tu am figuras CamovaWriT or tol (daStrixul)

marTkuTxa samkuTxeds, miviRebT ori-kvadratiT Sedgenil

figuras, romlis farTobia a2+b2.

amrigad, c2+ab–ab=a2+b2, c2=a2+b2.

4 mocemuli figuris farTobia a2+b2. am figurisgan

ori samkuTxedis CamoWriT da gadaadgilebiT c gverdis mqone kvadrati miiReba

(ixileT me-3 amocana). amrigad, c2=a2+b2.

5 e) suraTze gamosaxuli trapeciis farTobi erTi mxriv aris a+b2

⋅(a+b), meore

mxriv, ab2+ab

2+ c2

2. am gamosaxulebebis gatolebiT miviRebT: c2=a2+b2.

1.3. dasabuTebis xerxebi

mizani: ganasxvaos WeSmariti da mcdari winadadebebi; SeZlos gamonaTqvamebidan

axlis Sedgenisas damakavSirebeli sityvebis gamoyeneba; gansakuTrebiT

gamaxvilebulia yuradReba pirobiTi winadadebis Sedgenaze, pirobisa da daskvnis

garCevaze, mocemuli wanamZRvrebis mixedviT raime daskvnis gamomdinareobaze da

amaSi saTanado simravleTaTvis venis diagramebis gamoyenebaze. sawinaaRmdegos

daSvebiT debulebis dasabuTebis xerxis gacnoba; mocemul situaciaSi Sesabamisi

xerxis SerCeva da gamoyeneba; mocemulis sawinaaRmdego debulebis Camoyalibeba

da saTanado unarebis gaRrmaveba mniSvnelovani SenaZeni gaxdeba moswavleTaTvis.

paragrafSi ganxilulia Teoriuli masalis Sesabamisi magaliTebi, rac saSualebas

aZlevs moswavles damoukidebladac gaarTvas Tavi masalis aTvisebas.

maswavleblebs SevaxsenebT, rom VIII klasis saxelmZRvaneloSi gvqonda

debulebis sawinaaRmdego debulebis agebis da kontrmagaliTis gamoyenebiT

debulebis dasabuTebis magaliTebi. Tumca, SesaZlebelia zogierTma moswavlem

sxva saxelmZRvanelos gamoyenebiT gaiara VIII klasi. amitom sasurvelia pirveli

nawilis gavlisas moviSvelioT is wesebi, romlebic adre iyo ganxiluli.

moswavleTa umetesoba, imedia, amas damoukideblad gaakeTebs. mniSvnelovania

zogad-mtkicebiTi da kerZo-mtkicebiTi winadadebebis uaryofis agebis wesebic

gaixsenon moswavleebma (VIII klasis Cveni saxelmZRvanelodan). codnis ganmtkicebas

61

xels uwyobs saxelmZRvaneloSi mocemul kiTxvebze da testebze swori pasuxebis

SerCevis procesi.

pirvel nawils SeiZleba erTi gakveTili davuTmoT, meore gakveTils rTuli

gamonaTqvamis erT-erTi saxis agebis warmodgeniT viwyebT.

maswavleblebs SevaxsenebT, rom yovel pirobiT winadadebasTan erTad SeiZleba

ganvixiloT Sebrunebuli winadadeba, mopirdapire (ar avurioT sawinaaRmdego

winadadebasTan _ uaryofasTan) da mopirdapires Sebrunebuli winadadeba. isini

SeiZleba ase CavweroT: p⇒q, q⇒p, p⇒q , q⇒p . amasTanave, pirveli da meoTxe

ekvivalenturi winadadebebia, meore da mesamec ekvivalenturi winadadebebia.

sawinaaRmdegos daSvebis xerxiT debulebis dasabuTeba, faqtobrivad, pirveli

winadadebis nacvlad meoTxis dasabuTebaa _ Tu es ukanaskneli WeSmaritia, maSin

pirdapiri winadadebac WeSmaritia.

debulebis sawinaaRmdego debulebis agebaSi gawafvisTvis moswavleebi

paragrafis am punqtSi mocemuli debulebebis sawinaaRmdego debulebebs ageben.

TiToeuli maTganis WeSmaritobis dadgenisas isini ixseneben ricxvTa sistemebs,

damokidebulebebs maT Soris, eZlevaT sportSi TavianTi codnis gamovlenis

saSualeba, davalebad SeiZleba mieceT 1 - 7 savarjiSoebi.

debulebis pirobiTi winadadebis saxiT CaweraSi gawafvis mizniT visargeblebT

8 - 10 savarjiSoebiT.

momdevno gakveTilze moswavleebs vacnobT debulebis dasabuTebis

sawinaaRmdegos daSvebis xerxs. es gacnoba magaliTebis saSualebiT unda moxdes.

isini mocemulia paragrafis meore punqtSi.

paragrafis me-2 punqtSi mocemuli me-3 magaliTis ganxilva sawinaaRmdegos

daSvebis xerxis gamoyenebas moiTxovs _ Tu erTi da imave xarisxis fqvilis

tomrebis odenoba 10-ze naklebia, maSin sul tomrebis odenoba iqneba 28-ze

naklebi (maqsimum _ 27), rac ewinaaRmdegeba pirobas.

Zalian mniSvnelovania kontrmagaliTis gamoyenebiT debulebis dasabuTebis

xerxi. mis gacnobas da ganmtkicebas me-3 punqtSi ganxiluli ori magaliTi

emsaxureba. saSinao davalebad mivcemT 19 - 22 savarjiSoebs.

me-4 punqti emsaxureba moswavleSi wanamZRvrebidan logikuri daskvnebis

gamotanis unaris ganviTarebas. mniSvnelovania, rom moswavlem SeZlos daskvnis

gamotana wanamZRvarSi mocemuli debulebebis mimarT sakuTari mimarTebis

gaTvaliswinebis gareSe, anu daskvnis gamotanisas ar isargeblos wanamZRvrebSi

mocemuli debulebebis garda sxva faqtebiT. magaliTad, Secdomaa, Tu moswavle

daskvnebis gamotanis nacvlad Seecdeba punqtSi ganxiluli magaliTis b da e

wanamZRvrebis mcdarobis dasabuTebas kontr ma galiTiT.

7 a) √2 ar aris iracionaluri ricxvi;

b) 35

ar aris iracionaluri ricxvi;

g) π ar aris racionaluri ricxvi;

d) arsebobs martivi ricxvi, romelic ar aris kenti;

e) ar arsebobs kenti martivi ricxvi;

v) ar arsebobs luwi martivi ricxvi;

62

z) arsebobs martivi ricxvi, romelic ar aris luwi;

T) arsebobs avadmyofi, romelsac ara aqvs maRali temperatura (an _ zogierT

avadmyofs ara aqvs maRali temperatura);i) zogierTma abiturientma ver daZlia warmatebiT misaRebi gamocdebi;

k) gamocdaze arc erTi abiturienti ar CaiWra;

l) zafxulSi arc erTi dRe ar aris wvimiani;

m) arc erTi samkuTxedi ar aris marTkuTxa;

n) zogierTi samkuTxedi araa maxvilkuTxa (an _ arsebobs erTi mainc samkuTxedi,

romelic araa maxvilkuTxa);o) zogierTi fexburTeli ar aris maRalSemosavliani.

8 piroba: `TbilisSi cxovrobT~;

daskvna: `saqarTveloSi cxovrobT~.

9 a) piroba: `kuTxeebi vertikaluria~;

daskvna: `kuTxeebi tolia~.

b) piroba: `kuTxeebi tolia~;

daskvna: `kuTxeebi vertikaluria~.

es winadadebebi sxvadasxva faqts aRniSnavs, b) winadadeba a) winadadebis

Sebrunebulia. a) WeSmaritia, b) mcdaria.

10 a) Tu adamiani arqiteqtoria, maSin is iyenebs geometrias;

b) Tu raime ver gavige, maSin iZulebuli var davsva kiTxvebi;

g) Tu raime ricxvi mTelia, maSin is racionaluria;

d) Tu raime mobiluri telefoni CarTulia `jeoselSi~, maSin misi nomeri ar

iwyeba cifrebiT 599;

e) Tu vkiTxulobT ucxour wigns, maSin viyenebT xolme leqsikons;

v) Tu samkuTxedi tolferdaa, maSin fuZesTan mdebare kuTxeebi tolia.

11 es diagrama gamosaxavs a) da d) winadadebebs, anu, Tu mocemuli wina dadeba

WeSmaritia, WeSmaritia a) da d) winadadebebic.

12 a: x naturaluri ricxvis kvadrati iyofa 2-ze,

b: x ricxvi iyofa 2-ze.

dasamtkicebelia: `Tu a, maSin b~.

davuSvaT sawinaaRmdego: Tu naturaluri ricxvis kvadrati iyofa 2-ze, maSin es

ricxvi ar iyofa 2-ze. anu, davuSvaT, rom x kentia: x=2k–1, k∈N. maSin misi kvadrati,

x2=4k2–4k+1=4(k2–k)+1 ar iyofa 2-ze. miviReT winaaRmdegoba. amrigad, a) WeSmaritia.

b) davuSvaT sawinaaRmdego: √2 aris racionaluri ricxvi. maSin √2 SeiZleba ase

warmovadginoT: √2 =mn

, mn

aris ukveci wiladi, m∈Z, n∈N. miviRebT m2

n2 =2, m2=2n2, m2

luwia, amitom m luwia (ixileT am savarjiSos a) amocana), e.i. m=2k, k∈Z da 4k2=2n2, n2=2k2, saidanac vRebulobT: n luwia ( a) amocana). m da n-is luwoba ewinaaRmdegeba

daSvebas, rom mn

ukveci wiladia. e. i. daSveba mcdaria.

63

g) davuSvaT sawinaaRmdego: x2 iyoda 5-ze da x ar iyofa 5-ze. Tu x ar aris 5-is

jeradi, maSin x=5k+1, x=5k+2, x=5k+3 an x=5k+4. k mTelia, k≥0. am oTxive SemTxvevaSi x2

ar aris 5-is jeradi (x2=25k2+10k+1, x2=25k2+20k+4, x2=25k2+30k+5+4 an x2=25k2+40k+15+1).miviReT winaaRmdegoba, e. i. daSveba mcdaria da g) winadadeba WeSmaritia.

d) davuSvaT sawinaaRmdego: racionaluri (α) da iracionaluri (β) ricxvis

jami (γ) racionaluria. α+β=γ, β=γ−α. miviRebT, rom iracionaluri ricxvi ori

racionaluri ricxvis, anu ori ukveci wiladis sxvaobis saxiT warmoidgineba. ori

wiladis sxvaoba kvlav wiladia. amrigad, iracionaluri ricxvi wiladiT gamoisaxa

_ miviReT winaaRmdegoba.

e) davuSvaT sawinaaRmdego: iracionaluri (α) ricxvis nulisgan gansxvavebul

racionalur (β) ricxvze namravli racionaluri (γ) ricxvia. γ=α⋅β, α= γβ.

miviRebT winaaRmdegobas: iracionaluri ricxvi aris ori racionaluri ricxvis,

anu ori wiladis ganayofi _ iracionaluri ricxvi wiladiT gamoisaxeba.

v) davuSvaT sawinaaRmdego: naturaluri (x) ricxvis kvadrati (x2) iyofa 6-ze da

TviT (x) ricxvi ar iyofa 6-ze. maSin x SeiZleba warmovadginoT 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4

an 6k+5 saxiT, k∈Z, k≥0. TiToeul SemTxvevaSi x2 ar iyofa 6-ze (36k2+12k+1, 36k2+24k+4, 36k2+36k+6+3, 36k2+48k+12+4, an 36k2+60k+24+1). miviReT winaaRmdegoba.

z) davuSvaT √6 racionaluria, anu √6 =mn

, mn

ukveci wiladia, m∈Z, n∈N. maSin

m2=6n2, saidanac m iyofa 6-ze ( 3) amocana), m=6k. k∈Z, maSin 36k2=6n2, n2=6k2, saidanac

vRebulobT: n iyofa 6-ze. miviReT winaaRmdegoba, mn

wiladi ikveceba 6-ze.

T) pirobiT, n2=kp, n∈N, p martivia. Tu davuSvebT, rom n ar iyofa p–ze, n=ap+r, r≠0, 0<r<p, a∈N, r∈N, miviRebT winaaRmdegobas. marTlac, n2=a2p2+2apr+r2=p(a2p+2ar)+r2. radgan r da p Tanamartivia, amitom r2-ic Tanamartivia p-sTan _ n2 ar iyofa p-ze.

i) davuSvaT sawinaaRmdego: vTqvaT, √p racionaluri ricxvia. warmovadginoT is

ukveci wiladis saxiT: √p =mn

, m∈N, n∈N, mn

ukvecia, maSin p=mn2

, m2=n2p. miviRebT: m2

iyofa p-ze. maSin T) debulebis Tanaxmad m iyofa p-ze, m=pk, k∈N. amrigad, p2k2=n2p, pk2=n2. axla n2 iyofa p-ze, maSin TviT n-ic iyofa martiv p ricxvze. miviReT wi-

naaRmdegoba _ mn

wiladi ar aris ukveci, anu m da n Tanamartivi ricxvebi iyofa

martiv p ricxvze.

l) davuSvaT, rom √3 +√5 racionaluria, √3 +√5 =mn

, sadac mn

ukveci wiladia.

miviRebT, m2=n2(8+2√15 ), saidanac √15 = m2–8n2

2n2, anu √15 iracionaluri ricxvi

Caiwera ori naturaluri ricxvis Sefardebis saxiT. miviRebT winaaRmdegoba _

k) amocanis ZaliT √15 aris iracionaluri ricxvi.

13 davuSvaT sawinaaRmdego: ori ricxvidan TiToeuli metia 27-ze, maSin maTi

jami metia 54-ze. miviReT winaaRmdegoba.

14 davuSvaT: am aTi Sesakrebidan TiToeuli ar aRemeteba 6-s, maSin maTi jami

ar aRemateba 60-s. miviReT winaaRmdegoba.

64

15 davuSvaT: 7 sajinibodan TiToeulSi cxenebis odenoba 7-s ar aRemateba,

maSin Svidive sajiniboSi cxenebis saerTo odenoba 49-s ar aRemateba. miviReT

winaaRmdegoba.

16 davuSavT: 15 sajinibodan TiToeulSi luwi odenobis cxenia, luwi ricx-

vebis jami luwia, e. i. TxuTmetive sajiniboSi cxenebis saerTo odenoba luwia,

miviReT winaaRmdegoba (99 kentia).

17 davuSvaT, sami Tanamamravlidan TiToeuli 4-ze naklebi ar aris (≥4). maSin

maTi namravli 64-ze naklebi ar aris (≥64). miviReT winaaRmdegoba.

18 a) Tu davuSvebT, rom arsebobs samkuTxedi 400, 600 da 700 kuTxeebiT, mivi-

RebT winaaRmdegobas _ am samkuTxedis kuTxeebis jami ar udris 1800-s.

b) davuSvaT, arsebobs samkuTxedi gverdebiT: 7 sm, 10 sm da 18 sm. miviRebT wi-

naaRmdegobas _ am sakuTxedis ori mcire gverdis jami ar aRemateba mesame gverds:

7+10<18. es ewinaaRmdegeba samkuTxedis utolobas.

g) davuSvaT, rom x naturaluri ricxvi 21-ze gayofisas naSTSi iZleva 1-s, 14-ze

gayofisas _ 3-s. maSin x=21k+1=14n+3, k∈Z, n∈Z, saidanac 21k–14n=2. miviReT winaaR-

mdegoba, radgan tolobis marcxena mxare iyofa 7-ze, marjvena _ ara.

19 a) 2 martivi ricxvia da luwia; b) 02+02=0 _ ar aris dadebiTi;

g) |0|=0 _ ar aris dadebiTi;

d) ar aris rombi;

e) AC=BD, ∠BAD=900, ABCD ar aris marTkuTxedi.

20 ganvixiloT rombi, romlis gverdi 10 sm-ia, maxvili kuTxe _ 300. am rombis

simaRle 5 sm-ia, farTobi _ 10⋅5=50 sm2. brahma-

gufTas formuliT, S=√(20–10)4 =100 sm2.

es rombi mocemuli formulis mcdarobis

damadasturebeli kontrmagaliTia.

21 mcdarobas vasabuTebT kontrmagaliTiT:

veZebT n-is im mniSvnelobas, roca n(n+1)+17 ar aris martivi ricxvi. aviRoT n=17, 172+17+17=17⋅19 ar aris martivi, igi iyofa 17-ze da 19-ze.

22 a) magaliTad, qarTveli kalaTburTeli zaza faCulia.

b) magaliTad, n=3-Tvis. g) magaliTad, 0..x=0 gantolebas uamravi amonaxsni

aqvs.

A

B

C

D

510

300

65

d) magaliTad, 0..x=1 gantolebas ara aqvs amonaxsni.

e) magaliTad,

25 vTqvaT, baTumelebis simravlea B. maTi simravle, vinc icis curva _ C.

wanamZRvrebis Tanaxmad B⊂C.a) gamomdinareobs _ im moswavleebma, romlebic baTumelebi arian, ician curva.

b) ar gamomdinareobs _ wanamZRvrebis mixedviT ar aris

gamoricxuli aseTi SemTxveva. aq D yvela moswavlis simravlea.

g) ar gamomdinareobs _ ar aris gamoricxuli, rom zogi-

erTi vinc icis curva, ar aris baTumeli.

d) gamomdinareobs _ radgan B⊂C, amitom yoveli elementi, romelic ar

ekuTvnis C-s, ar ekuTvnis B-sac.

26 a) ar gamomdinareobs _ wanamZRvrebis mixedviT ar aris gamoricxuli, rom

yvela gzatkecili parizze gadiodes.

b) gamomdinareobs _ yvela gzatkecili, maT Soris parizze gamavali gzatke-

cilebi, romSi midis.

g) ar gamomdinareobs _ parizze gamavali yvela gzatkecili romSi midis, ma-

gram SesaZlebelia, rom romidan milanSi mimavali gzatkecilebi ar arsebobdes

(wanamZRvrebis gaTvaliswinebiT).

27 gareuli cxovelebis simravle iyos A, im

cxovelebis simravle, romlebic mxolod xorciT

ikvebebian _ B, Sinauri cxovelebis simravle _ C.

a) ar gamomdinareobs _ wanamZRvrebis mixedviT

SeiZleba arsebobdnen Sinauri cxovelebi, romlebic

mxolod xorciT ar ikvebebian.

b) ar gamomdinareobs _ wanamZRvrebis Tanaxmad SeiZleba arsebobdes cxoveli,

romelic xorcTan erTad mcenareul sakvebsac Rebulobs.

g) gamomdinareobs _ ixileT A da B simravleTa TanakveTa.

d) gamomdinareobs _ ixileT A simravlis is nawili, romelic B-Si ar Sedis.

28 Tu a>√3 da b>a, maSin b>√3 da ab>3, anu S>3.

amrigad, WeSmaritia winadadeba: Tu a) , maSin d).

Tu b<√2 da a<b, maSin a<√2 da miviRebT: ab<2.

Tu b=√2 da a<b, maSin a<√2 da kvlav miviRebT: ab<2.

pasuxi: Tu a), maSin d) .

29 b) dauSvaT sawinaaRmdego: ar aris ukveci wiladi, anu n(n+1) da

2n+1-s aqvs martivi saerTo gamyofi p (cxadia, p-ze iyofa n an n+1). (n(n+1)+2n+1)–ic

unda gaiyos p–ze.

Tu p-ze iyofa n, maSin n2+n+2n+1=n(n+3)+1 ar iyofa p-ze, naSTi 1-ia.

CD

B

A CB

66

Tu p-ze iyofa n+1, maSin n(n+1)+2n+1=n(n+1)+2(n+1)–1=(n+1)(n+2)–p+(p–1) ar iyofa

p-ze, naSTi (p–1)-ia. miviReT winaaRmdegoba, e. i. daSveba mcdaria. ukveci

wiladia.

30 davuSavT sawinaaRmdego: vTqvaT, ujrian furcelze davxazeT a-gverdiani

tolgverda samkuTxedi ise, rom misi wveroebi ujrebis wveroebs daemTxva.

ujris gverdis sigrZe erTeulad miviCnioT.

radgan samkuTxedis wveroebi ujrebis wverobs emTxveva, marTkuTxedis im

nawilis farTobi (S1), romelic samkuTxedis `gareTaa~ racionaluri ricxviT gamois-

axeba, TviTon marTkuTxedis S farTobic _ racionaluri ricxviT gamoisaxeba.

miviReT, rom tolgverda samkuTxedis farTobi _ =S–S1. (1)

radgan samkuTxedis wveroebi ujrebis wveroebSia,

amitom samkuTxedis gverdis kvadrati: a2=m2+n2, m,n∈N, a2

racionaluria, xolo _ iracionaluri. amrigad,

(1) tolobis marcxena mxare iracionaluria, marjvena _

racionaluri ricxvebis sxvaoba _ racionaluri ricxvi,

es ki SeuZlebelia.

1.4. namdvili ricxvebi

mizani: SeZlos ricxviTi simravleebis CamoTvla, aRwera, maT Soris mimarTebis

gamosaxva diagramebiT; namdvil ricxvebsa da sakoordinato wrfis wertilebs Soris

urTierTcalsaxa damokidebulebis damyareba. gaiwafos iracionalur ricxvebze

moqmedebebSi. Seadaros namdvili ricxvebi, saWiroebis SemTxvevaSi ipovos maTi

miaxloebiTi mniSvnelobebi saTanado sizustiT (kalkulatoriT an mis gareSe). SeZlos SeZenili codnis gamoyeneba praqtikuli amocanebis gadaWrisas.

am da momdevno paragrafSi xdeba ricxvis cnebis gafarToebasTan dakavSi-

re buli sakiTxebis gacnoba-gaRrmaveba. moswavleebi ukve gawafulni arian ra-

cio naluri ricxvebis ricxviTi wrfis wertilebiT gamosaxvaSi, magram SeiZleba

yuradReba ar gaumaxvilebiaT im faqtze, rom ricxviTi wrfis yovel wertils

ar Seesabameba racionaluri ricxvi (anu Q-s da ricxviTi RerZis wertilTa

simravles Soris ar myardeba urTierTcalsaxa Tanadoba). paragrafi swored erTi

aseTi wertilis agebiT iwyeba. SesaZloa moswavleebma SeZlon sxva iracionaluri

ricxvebis dasaxeleba da ricxvTa RerZze maTi Sesabamisi wertilebis moaxloebiT

moniSvna. am samuSaosTvis saWiroa kalkulatoris gamoyeneba. gawafvis mizniT.

amovxsnaT savarjiSoebi 9 , 19 , 25 - 30 . maTgan zogierTi saSinao davalebad

SeirCeva.

67

me-9 klasSi SeuZleblad migvaCnia namdvil ricxvTa mkacri maTematikuri

Teoriis gadmocema _ namdvil ricxvTa struqturis dalagebis, moqmedebaTa

gansazRvrisa da am moqmedebebis Tvisebebis mkacri maTematikuri damtkiceba

xSirad umaRlesi skolis maTematikis programebSic ar aris gaTvaliswinebuli.

imedi gvaqvs maswavleblebi kargad icnoben ricxvTa simravlis agebis

maTematikur Teorias. es daexmareba maT swavlebis procesSi Tavidan aicilon

Secdomebi, romlebic racionaluri da iracionaluri ricxvebis maT CanawerebTan

gaigivebam SeiZleba gamoiwvios. maTematikaSi aq grZeldeba ganzogadebis procesi,

romelic ekvivalentobis mimarTebis gansazRvrasa da ekvivalentobis klasis

saSualebiT axali obieqtebis SemoRebas ukavSirdeba. magaliTad, racionaluri

ricxvis (wiladebSi ekvivalentobis mimarTebis SemoRebis Semdeg) ekvivalentobis

klasad warmodgena, iracionaluri ricxvis _ fundamenturi mimdevrobis klasad

(an gankveTis erT-erT klasad) da a. S.

maswavleblebs SevaxsnebT, rom winadadeba: racionaluri ricxvi aris

ricxvi, romelic SeiZleba Caiweros mn

saxiT, sadac m mTeli ricxvia, n _

naturaluri, ar SeiZleba CaiTvalos racionaluri ricxvis gansazRrebad.

aseve ar aris iracionaluri ricxvis gansazRvreba winadadeba: iracionaluri

ricxvi aris n ricxvi, romelic moicema usasrulo araperioduli aTwiladis

saxiT. orive SemTxvevaSi mocemulia ricxvebis Tviseba, maTi e. w. arapirdapiri

gansazRvrebisTvisac araa sakmarisi es winadadebebi, radgan aseTi gansazRvrebis

dros sxva Tvisebebis CamonaTvalicaa saWiro (moqmedebebi da maTi Tvisebebi,

dalagebuloba da a. S.).es sakiTxebi SeiZleba wavikiTxoT saxelmZRvaneloebSi, magaliTad, i. qarcivaZe.

maTematikuri analizi, t.1. Tbilisi 1981; v. WeliZe, e. wiTlanaZe. maTematikuri

analizi, t. 1. Tbilisi; Рудин. Основы математического анализа, Москва 1966; Колмогоров.

Математика – наука и профессия, Москва, 1987; Нeчаев. Числовые системы, Москва, 1975.

10 es debulebebi wina paragrafis savarjiSoebis amoxsnisas gamoviyeneT. axla

cota dawvrilebiT SevexebiT maT.

a) mocemuli ori racionaluri ricxvi gamovsaxoT mn

da ke

wiladebis saxiT,

sadac m, k∈Z, n, e∈N. maTi jami, mn

+ ke

= me+nkne

wiladiT gamoisaxeba, sadac me+nk∈Z,

ne∈N, e. i. is racionaluri ricxvia.

analogiurad, b) da g) SemTxvevebSi, ori, mn

da ke

racionaluri ricxvis

namravli mkne

da ganayofi menk

racionaluri ricxvebia.

d) davuSvaT sawinaaRmdego: racionaluri ricxvis da iracionaluri ricxvis

jami (namravli, ganayofi) racionaluri ricxvia. miviRebT winaaRmdegobas _

iracionaluri ricxvi ori racionaluri ricxvis sxvaobiT (ganayofiT), anu kvlav

racionaluri ricxviT _ wiladiT gamoisaxeba.

68

11 debulebis mcdarobas kontmagaliTiT davasabuTebT, 2+√3 da 2–√3

iracionaluri ricxvebis jami da namravli, Sesabamisad, 4-isa da 1-is tolia;

2+√3 da √3 –2 iracionaluri ricxvebis sxvaoba 4-ia, √27 da √3 iracionaluri

ricxvebis ganayofia 3. yovel magaliTSi moqmedebis Sedegi ar aris iracionaluri

ricxvi.

12 cxrilis Sevsebis procesSi SeiZleba moviyvanoT saTanado magaliTebi.

N simravle Caketilia Sekrebis da gamravlebis operaciebis mimarT, gamoklebisa

da gayofis mimarT ar aris Caketili. magaliTad, ori naturaluri ricxvis, 6-is da

9-is sxvaoba da ganayofi ar aris naturaluri: 6–9= –3∉N, 6:9= 23∉N.

Z simravle Caketilia Sekrebis, gamoklebis da gamravlebis mimarT. ar aris

Caketili gayofis mimarT _ sakmarisia aseTi magaliTis warmodgenac: 8:12= 23∉Z.

racionalur ricxvTa simravle Caketilia Sekrebis, gamoklebis, gamravlebisa

da gayofis operaciebis mimarT, es dasabuTebulia me-10 savarjiSos a) b) da g) punqtebSi.

moswavleebs SeiZleba SevTavazoT iracionalur ricxvTa simravlis ganxilvac.

es simravle ar aris Caketili arc erTi am moqmedebis mimarT.

saTanado magaliTebi moyvanilia me-11 savarjiSos amoxsnisas.

13 A simravle Caketilia gamravlebis operaciis mimarT. Sekrebis, gamoklebis

da gayofis operaciebis mimarT (Tu 0-ze gayofas ar gamovricxavT) ar aris

Caketili. magaliTad, -1+(-1)=-2∉A, 1-(-1)=2∉A, 10∉A.

14 a) kenti mTeli ricxvebis simravle gamravlebis mimarT aris Caketili,

danarCeni sami operaciis mimarT _ ara. magaliTad, 3+5=8, 3:5=0,6, 13-9=4.

b) luwi mTeli ricxvebis simravle Sekrebis, gamoklebis da gamravlebis

operaciebis mimarT Caketilia, gayofis mimarT _ ara. magaliTad, 128

=1,5.

g) Caketilia gamravlebis mimarT. danarCeni operaciebis mimarT _ ara.

magaliTad, 23+22=11, 23

25=2–2, (ar aris 2-is naturaluri xarisxi), 24-22=12.

16 d) √ (1–2√5 )2 –2√5=|1–2√5|–2√5=2√5–1–2√5=–1.

19 gaviTvaliswinoT, rom √2 ≈1,414 da 1,4<√2 <1,5, √3 ≈1,732 da 1,5<√3 <2.

20 3 erTeulis tol radiusiani wrewiris sigrZe 6π erTeulia, marcxniv erTi

brunis Sesrulebisas A wertili 6π erTeulis sigrZis manZils gaivlis da misi

koordinati iqneba –6π≈–18,84; –19<–6π<–18.

69

21 AC=5 sm. Tu A wertilis koordinatia 0,

maSin C wertilis koordinatia 5, O wertilis _

2,5.

Tu saTaves O wertilSi gadavitanT, maSin A da

C wertilebis koordinatebi iqneba, Sesabamisad,

–2,5 da 2,5,

23

suraTis mixedviT, P wertilis koordinatia .

am formuliT da kalkulatoris an kompiuteris gamoyenebiT moswavleebi

swrafad SeZleben C1, C2, C3 d C4 wertilebis koordinatebis povnas da saWiroebis

SemTxvevaSi procesis gagrZelebasac.

24 vTqvaT, A1(4,211) da A2(4,219), B1(4,212) da B2(4,218). radgan 4,1222=17,740944,

4,2182=17,791524. amitom advilad davasaxelebT B1 da B2-s Soris iracionalur

ricxvebs, magaliTad, √17,75 da √17,79.

26 a) 1,32=1,69, 1,52=2,25. 1,3 da 1,5-s Soris iracionaluri ricxvebia, magaliTad,

√2 , √1,7 .

b) 3,22=10,24, 3,42=11,56. 3,2 da 3,4 –s Soris iracionaluri ricxvebia, magaliTad,

√11 , √10,5 .

g) 42=16, 4,22=17,64. 4 da 4,2-s Soris iracionaluri ricxvebia, magaliTad,

√17 , √17,2 .

28 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; √3 ; 1,73206; 1,7321; 1,733; 1,74; 1,8. B∩C=√3 .

29 a) ≈2⋅1,41+1,67≈4,49; b) ≈2,24–1,17≈1,07;

g) ≈9,38–2⋅1,73≈5,92; d) ≈2⋅2,24+3⋅1,41≈8,71.

37 Cven adre ukve visaubreT 9 periodis mqone usasrulo aTwiladebis Sesaxeb

isini sasruli aTwiladis saxiTac SeiZleba Caiweros. kerZod, 7,(9)=8; 6,26(9)=6,27.

38 b) √ 7–4√3 =√ 22+√3 2–2·2√3 =|√3–2|=2–√3 .

A C

D

B

O

P B(b)A(a)

70

39 a) 3+2√2=√2 2+12+2√2=(√2+1)2;

b) 9+4√5=√5 2+22+2·2√5=(√5+2)2;

g) 14–6√5=32+√5 2–2·3√5=(3–√5 )2;

d) 17–12√2=32+(2√2 )2–2·3·2√2=(3–2√2 )2.

40 √(√a+b)2+(√c )2+2√c(a+b) +√(√a+b)2+(√c )2–2√c(a+b) =

=|√a+b+√c |+|√a+b–√c |= 2√a+b, Tu a+b≥c

2√c , Tu a+b<c

41 √x+2√x–1) +√x–2√x–1) =√x–1+1+2√x–1+√x–1+1–2√x–1 =|√x–1+1|+|√x–1–1|.

radgan 1≤x≤2, amitom x–1≤1, √x–1≤1, √x–1–1≤0. amrigad, vRebulobT, √x–1+1+1–√x–1=2.

42 a) (√ a+√a2–b2 +√ a–√a2–b

2 )2

= a+√a2–b

2 + a–√a2–b

2 +2√ a–√a2–b2 ·√ a+√a2–b

2 =a+√b =√(a+√b)2 .

1.5. n-uri xarisxis fesvi. fesvis Tvisebebi

mizani: ricxvis Caweris erT-erTi formis (fesvis) da am formiT Caweril

namdvil ricxvTa Tvisebebis gamoyenebis unaris gamomuSaveba, fesvis Semcveli

gamosaxulebebis gardaqmnebis CatarebaSi gawafva, miaxloebiTi gamoTvlebis Catare-

bis unaris ganviTareba.

paragrafSi warmodgenil masalas SeiZleba 2 gakveTili davuTmoT. gakveTils

viwyebT kvadratuli da kuburi fesvebis cnebebis gaxsenebiT. es Temebi moswavleebma

me-8 klasSi gaiares.

_ risi tolia kvadratuli fesvi 9-dan?

_ kvadratuli fesvi 9-dan aris 3 da –3.

_ ra saxiT Caiwereba maT Soris dadebiTi ricxvi, ra ewodeba mas?

_ ariTmetikuli kvadratuli fesvi 9-dan (√9 ) aris 3.

_ ris tolia √16 , √25 , √36 .

_ ramdeni ricxvi arsebobs, romelTa kvadrati aris 2? ra saxiT Caiwereba isini?

_ √2 da –√2 .

_ daasaxeleT ori momdevno naturaluri ricxvi, romelTa Sorisaa √2 .

Semdeg vixsenebT erT-erT mniSvnelovan tolobas: √a2 =|a| da viyenebT mas

sxvadasxva magaliTis amoxsnisas. magaliTad, SeiZleba SevTavazoT moswavleebs

ipovon:

√(a–b)2 , roca a<b; √(1–√3 )2 da a. S.

amis Semdeg SeiZleba gadavideT n-uri xarisxis fesvis ganxilvaze. calcalke

vixilavT SemTxvevebs: n _ luwia, n _ kentia.

pirvel SemTxvevaSi moswavleebi TviTon midian im daskvnamde, rom xn=a gantolebas,

roca a<0, ara aqvs amonaxsni _ ar arsebobs n-uri xarisxis fesvi a ricxvidan, roca a

71

uaryofiTia; √0n

=0, xolo roca a>0, gvaqvs ori namdvili ricxvi _ ariTmetikuli fesvi

(dadebiTi fesvi dadebiTi ricxvidan) √an da uaryofiTi ricxvi – √an

, orive aris n-uri

xarisxis fesvi a-dan.

TuU n kentia, maSin nebismieri a ricxvisTvis arsebobs erTi namdvili ricxvi _

n-uri xarisxis fesvi a-dan, romelic ase Caiwereba _ √an, magaliTad, √–83

= –2, √–325=–2,

√273=3 da a.S.

savarjiSoebi sawyisi etapisTvis: 1 - 21 , 24 .

savarjiSoebi damagvirgvinebeli etapisTvis: 32 _ 35 , 29 .

savarjiSoebi damoukidebeli muSaobisTvis: 31 , 26 , 27 , 22 , 23 .

miTiTebebi:

6 √a66=|a|=a, anu a³0.

7 √a33=a=–a, saidanac 2a=0, a=0.

8 Tu a<0, √a24=√|a|=√–a .

14 pirobiT, x aris √x -is kvadrati da √x N∈n. e. i. x-Tan uaxloesia √x N+1-is kvadrati:

x+2√x N+1.

21 xSirad, fesvis mniSvnelobis gamosaTvlelad ricxvis martiv mamravle bad

daSlas viyenebT. magaliTad,

√ 2 46625 =√ 1296

625 ; 625=54, 1296=24⋅34=64; amitom √ 2 46625 = 6

5 .

25 davuSvaT, dasaxelebuli mocemulobisas sruldeba √an≥√bn

, maSin miviRebT

(√an)

n≥(√bn

)n, anu a³b. es ki ewinaaRmdegeba amocanis pirobas (0£a<b). amrigad, √an

<√bn.

26 a) √23

= √3215

, √35

= √2715

; saidan davaskvnaT, rom √23

>√35

;

b) √73

=√496

>√406

, g) √5=√6258

>√5008

;

d) √43

=√166

, √3=√276

, saidanac √43

<√3 , e) √0,3=√0,0276

>√0,00096

.

27 b) 1,443<3; 1,453>3, amitom √33»1,44 naklebobiT, 0,01 sizustiT.

28 2<√153

<3;

radgan 2,43<15<2,53, amitom 2,4< √153

<2,5.

analogiurad miviRebT, 2,46<√153

<2,47; 2,466<√153

<2,467, saidanac √153»2,47 (0,01

sizustiT).

analogiurad,

1,4<√33 <1,5; 1,44<√33 <1,45; 1,442<√33 <1,443, anu √33 »1,44;

72

1,7<√53 <1,8; 1,70<√53 <1,71; 1,709<√53 <1,710. saidanac √53 »1,71.

√33 ·√53 »2,4624, rac naklebia √153

-is miaxloebiT mniSvnelobaze.

gaviTavaliswinoT, rom √153

davamrgvaleT metobiT, √33 _ naklebobiT, √53 _

metobiT.

am amocanis amoxsnisas kalkulatoris daxmarebiT SeimsubuqebT gamoTvlebs.

29 moswavleebs SeiZleba warudginoT pasuxebSi miTiTebulebisgan gansxvavebuli

aTwiladebic. magaliTad, vTqvaT, micemulia ori aTwiladi: 0,164 da 0,734. maTi

measedebamde damrgvalebiT miiReba: 0,16 da 0,73. maTi jamia 0,89. sawyisi wiladebis

jamia 0,898. misi measedebamde damrgvalebiT miiReba 0,90. Sedegebi gansxvavebulia,

radgan pirvel SemTxvevaSi orjer Catarebuli damrgvalebis cdomilebebi Seikriba,

meore SemTxvevaSi ki zusti Sedegis damrgvaleba erTxel Catarda.

am ganxilvis Semdeg mimarTeT moswavleebs warmoadginon raime iseTi ori

aTwiladi, romlebisTvisac orive gziT miiReba erTi da igive Sedegi.

32 cxadia, –√5<√–35 , √2<√333 , √2<π.

SeadareT √333 da π; (√333 )3=33, π3»31.

pasuxi: –√5 ; √–35 ; √2 ; π; √333 .

sakontrolo wera

SearCieT swori pasuxi:

1. 2,9⋅10-3, 0,31⋅10-2, 23,1⋅10-4 da 0,01 ricxvebidan umciresia

1) 2,9⋅10–3 2) 0,31⋅10–2 3) 23,1⋅10–4 4) 0,01.

2. Tu √a2(–b) =30 da a=–2√3 , maSin b=

1) 75 2) –75 3) 5√3 4) –2,5.

3. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebze agebuli kvadratebis farTobebia 49 sm2 da

25 sm2. ipoveT samkuTxedis hipotenuza.

1) 74 sm 2) 12 sm 3) √74 sm 4) 24 sm.

4. vTqvaT, a³0. maSin √a4 aris

1) √a -s kvadrati 2) a-s kvadrati

3) √a8 -s kvadrati 4) √a16

-s kvadrati.

5. √x ·√x3 =

1) √x5 2) √x23 3) √x56 4) √x26 .

73

6. √(π2–10)2 =

1) π2–10 2) 10–π2 3) π–10 4) 10–π.

amoxseniT amocanebi

7. marTkuTxedis sigrZe siganeze 2,4-jer metia. am marTkuTxedis perimetri 6,8√10

sm-ia. ipoveT misi farTobi.

8. ricxviT wrfeze mocemulia wertilebi: P(3,2) da Q(3,3). daasaxeleT raime

wertili racionaluri koordinatiT da raime wertili iracionaluri koordinatiT,

romlebic P da Q wertilebs Soris Zevs.

pasuxebi da miTiTebebi:

1 2 3 4 5 6

3 2 3 3 3 2

1. es ricxvebia 0,0029; 0,0031; 0,00231 da 0,01. maTgan umciresia 0,00231.

2. pirobiT, √12·(–b) =30, saidanac –b= 90012

, b=–75.

4. √a4 = √a28 .

6. π<√10, |π2–10|=10–π2.

7. marTkuTxedis sigane aRvniSnoT x-iT, sigrZe _ 2,4x-iT, pirobiT, 6,8x=6,8√10 sm,

saidanac x=√10 sm. marTkuTxedis farTobia 2,4x2=24 (sm2).

pasuxi: 24 sm2.

8. wertili, romlis koordinati racionaluria da Zevs PP-sa da Q-s Soris, aris,

magaliTad, A(3,21).

gaiTvaliswineT, rom 3,22=10,24; 3,32=10,89. magaliTad, √10,3 iracionaluria da ZevsP

P da Q wertilebs Soris.

SeiZleba moswavles gaaxsendes, rom iracionaluri ricxvi Caiwereba usasrulo

araperioduli aTwiladis saxiT da moiyvanos aseTi magaliTi:

3,2020020002000020...

yoveli 2-ianis Semdeg 1-iT meti nulia, vidre mis win.

Sefasebis sqema1-6 amocanebidan TiToeuli SeiZleba Sefasdes 1 quliT. me-7 da me-8 amocanebis

uxarvezo amoxsna _ or-ori quliT.Tu me-7 amocanaSi moswavlem marTkuTxedis siganisa da sigrZisTvis SemoiRo

aRniSvnebi x da 2,4x da mocemuli perimetris gamoyenebiT SecdomiT gamoTvala x, SeiZleba naSromi SeafasoT 1 quliT.

me-8 amocanaSic SeiZleba gamoviyenoT 1 qula, Tu moswavlem Seasrula ori moTxovnidan 1 mainc uxarvezod.

74

1.6. proporcia da ukuproporcia

mizani:

proporciis gamoyenebis axali magaliTebis ganxilva, proporciuli da

ukuproporciuli sidideebis garCevis unaris ganviTareba, proporciulobisa da

ukuproporciulobis aRmoCena.

proporciulobis da ukuproporciulobis Tvisebebs mravali gamoyeneba aqvs TviT

maTematikaSi. magaliTad, geometriuli figurebis msgavsebis, trigonometriuli

funqciebis Tvisebebis ganxilvisas; isini gamoiyeneba fizikis, qimiis, biologiis,

geografiis kursebSic. maswavlebelma SeiZleba es Tvisebebi procentebze amocanebis

amoxsnis drosac gamoiyenos.

sakiTxis Seswavlas praqtikuli amocanis (problemis) dasmiT viwyebT. sidideebs

OSoris proporciul damokidebulebas da Sefardebebis tolobas amocanis Sinaarsis

mixedviT vRebulobT (1 kvadratuli metris SesaRebad saWiro saRebavis odenobis

sapovnelad or Sefardebas vRebulobT. maTi gatolebiT proporcias vwerT).

maswavlebelma SeiZleba isaubros sidideebis Sefardebaze. es sakiTxi maT wina

klasSic ganixiles (sivrculi figurebis Sedarebisas _ moculobis ganxilvis dros);

sigrZis Sefardeba sigrZesTan, farTobis farTobTan, moculobis moculobasTan

_ es sidideebi erTi da imave erTeulebSi unda iyos gamosaxuli da maSin isini

ricxvebis SefardebiT gamoisaxeba. faqtobrivad mimdinareobs propodevtikuri

muSaoba SemdgomSi msgavsebisa da sxva sakiTxebis ganxilvis dros proporciebisa

da proporciuli sidideebis sworad gaazrebisa da CawerisTvis. es Tema momavalSi

xSirad gamoiyeneba (magaliTad, proporciuli koordinatebi, wrfivi gantolebebis

proporciuli koeficientebi, proporciuli monakveTebi samkuTxedebSi, wreSi da

sxva).

erT-erTi mniSvnelovani Tema, romelic SemdgomSi ganixileba, kuTxis gadamkveTi

wrfeebiT proporciuli monakveTebis miRebis sakiTxia. am Temas Cven nawilobrov am

paragrafebSic vexebiT, Tumca, mxolod im SemTxvevaSi, roca monakveTebis Sefardebebi

mTeli ricxvebia da advilia Talesis Teoremis gamoyenebiT am Teoremis ganzogadeba.

ufro rTuli SemTxvevebis ganxilva ise, rogorc es kiselevisa da pogorolovis mier

iyo moyvanili, mravali eqspertis azriT, saskolo maTematikaSi ar aris mizanSewonili.

Cven am SemTxvevebs momavalSi farTobebs vukavSirebT (asea bevr ucxour gamocemaSi,

ase iyo evklidesTanac).

paragrafSi warmodgenili amocanebi am mimarTulebiT masalis gavlis Semamza-

debeli samuSaoebia.


10 ukuproporciuli sidideebis namravli mudmivia. samkuTxedis nebismieri

gverdis sigrZis am gverdisadmi gavlebul simaRleze namravlis naxevari samkuTxedis

farTobia _ mudmivia, e. i. samkuTxedis gverdebi maTdami gavlebuli simaRleebis

ukuproporciulia.

75

20 2 tumbo tumbavs 15 saaTSi;

1 tumbo _ 30 saaTSi;

5 tumbo _ 6 saaTSi.

SeiZleba gamoviyenoT ukuproporciuli sidideebis Tviseba _ maTi namravli

mudmivia, miviRebT: 2⋅15=5x, saidanac x=6 (sT).

23 b) Vkup

=a3, a _ wiboa, wibos orjer gazrdiT moculoba 8-jer izrdeba.

d) wakiTxuli gverdebis ricxvis gaormagebas, sazogadod, ar mosdevs arc

wasakiTxi gverdebis gaormageba, arc orjer Semcireba, amrigad, b) da d) SemTxvevaSi

dasaxelebuli sidideebi arc proporciulia, arc _ ukuproporciulia.

29 vatos mier SeTavazebuli amocanis amoxsna SeiZleba ase warmovadginoT:

3 qaTami _ 3 dR _ 3 kvercxs

12 qaTami _ 3 dR _ 12 kvercxs

12 qaTami _ 12 dR _ 48 kvercxs.

gaizarda 4-jer qaTmebis odenoba, kvercxebis odenobac gaizarda 4-jer; dReebis

odenobis 4-jer gazrdamac gamoiwvia kvercxebis odenobis 4-jer gazrda.

30 3 xelosani 5 dReSi _ 60 fanjara

3 xelosani 1 dReSi _ 12 fanjara




radgan xelosnebis odenoba da maT mier SeRebili fanjrebis odenoba proporciuli

sididebia, amitom moswavleebma III etapis Semdeg SeiZleba daiweron proporcia.

243

= 64x

, saidanac x=8.

pasuxi: 8 xelosani.

31 Tveebisa da jariskacebis odenobebi ukuproporciuli sidideebia. amitom

7⋅560=10x, saidanac x=392. 10 Tvis manZilze sakvebi 392 jarikacs eyofa, amitom

560–392=168 jariskaci unda gadavides sxva nawilSi.

32 SAMK= 23

SAMC= 23

· 14

SABC= 16

·36=6 (sm2).

33 . miiReba 100⋅100⋅100=1000000 kubi. maTgan Seqmnili mwkrivis sigrZea 1000000

sm=10 km.

36 wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemas aqvs saxe:

a1x+b1y=c1

a2x+b2y=c2

pirobiT, a1a2

=b1b2

;

76

Tu a1a2

= b1b2

≠c1c2

, sistemas ara aqvs amonaxsni;

Tu a1a2

= b1b2

=c1c2

, sistemas aqvs uamravi amonaxsni;

am sistemas ar SeiZleba hqondes erTaderTiU amonaxsni.

37 a) vTqvaT, samkuTxedis gverdebia m, n da p, mocemuli marTkuTxa samkuTxedisa

ki _ a, b da c, c2=a2+b2.pirobis Tanaxmad, m=ak, n=bk da p=ck, k proporciulobis koeficientia. maSin

m2+n2=a2k2+b2k2=(a2+b2)k2=c2k2=p2.piTagoras Teoremis Sebrunebuli Teoremis Tanaxmad m, n da p gverdebiani

samkuTxedi marTkuTxaa.

b) Sebrunebul Teoremaa: Tu samkuTxedi marTkuTxaa, maSin misi gverdebi mocemuli

marTkuTxa samkuTxedis gverdebis proporciulia.

es Teorema mcdaria.

38 vTqvaT, mocemulia marTkuTxa samkuTxedebi, romelTa gverdebia 3 sm, 4 sm, 5

sm da 5 sm, 12 sm da 13 sm. cxadia, es gverdebi araa proporciuli.

1.7. proporciul nawilebad dayofa

mizani: mocemuli ricxvebis nawilebad dayofis cnebis gaazreba da gamoyeneba

amocanebis amosaxsnelad.

gakveTils viwyebT statistikur monacemTa erT-erTi TvalsaCino xerxis _ wriuli

diagramis Sedgenis amocanis ganxilviT. am amocanis ganxilvas mivyavarT sididis (am

SemTxvevaSi sruli kuTxis) mocemuli ricxvebis proporciul nawilebad dayofis

amocanamde. aseTi warmodgena kargad gamosaxavs monacemTa Soris Tanafardobebs.

proporciuli dayofa konkretuli magaliTis warmodgeniT aRiwereba.

klasSi yuradReba unda gavamaxviloT im SemTxvevis ganxilvazec, roca gviwevs

mocemuli ricxvebis Sebrunebuli ricxvebis proporciul nawilebad dayofa. am

SemTxvevas zogjer gamosaxaven, rogorc mTelis mocemuli ricxvebis ukuproporciul

nawilebad dayofas. magaliTad, roca sami muSidan erTi da imave samuSaos Sesruleba

pirvels 6 saaTSi SeuZlia, meores _ 8 saaTSi, mesames _ 9 saaTSi, maSin erTsa da

imave droSi maT mier Sesrulebuli samuSaos moculobebi (odenobebi) am ricxvebis

Sebrunebuli ricxvebis ( 16

-is, 18

-is, 19

-is) proporciulia. am SemTxvevaSi amis axsna ar

aris Zneli _ 16

aris pirveli muSis mier 1 saaTSi Sesrulebuli samuSaos nawili, 18

_

meoris, 19

_ mesamis).

davalebebi mravalferovania (magaliTad, aris amocanebi geometriuli figurebis

Tvisebebis Sesaxeb, Senadnobebze, farTobebze). amasTanave, umjobesia erTi tipis

amocanebidan nawili klasSi amovxsnaT, danarCeni saxlSi. magaliTad, klasSi

sasurvelia amoixsnas 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 12 , 15 , 17 , 19 , 20 -is g) da d)

amocanebi.

77


9 miTiTebis gaTvaliswinebiT,

18

x+ 16

x+ 15

x=118, saidanac x=240.

I-s daumzadebia 18⋅240=30 detali, II-s _ 1

6⋅240=40 detali, III-s 1

5⋅240=48 detali.

11 Tu kubebis wiboebs aRvniSnavT 3x da 4x-iT, maSin, pirobis Tanaxmad,

(3x)3+(4x)3=156, saidanac x3=127

. I kubis moculobaa 27x3= 3247

sm3, II kubis _ 64x3= 7687

sm3.

12 pirveli ricxvi ise Seefardeba meores, rogorc 2:3=8:12; meore ise Seefardeba

mesames, rogorc 4:5=12:15; es ricxvebi aRvniSnoT 8x, 12x da 15x-iT. pirobiT,

8x+12x+15x=140, saidanac x=4. es ricxvebia 8⋅4, 12⋅4 da 15⋅4.

13 samkuTxedis pirveli da meore gverdebi ise Seefardeba, rogorc 2:3=8:12,

meore da mesame gverdebi, rogorc 4:5=12:15. e. i. samkuTxedis gverdebi proporciulia

ricxvebis 8, 12 da 15. es SesaZlebelia _ aseTi samkuTxedi arsebobs.

14 muSebis mier Sesrulebuli samuSao _ damzadebuli detalebis odenobebi 14

,

16

da 14,5 ricxvebis proporciulia. e. i.

14

x+ 16

x+ 14,5


pirvelma daamzada 14⋅720=180 detali, meorem _ 1

6 ⋅720=120 detali, mesamem _

14,5

⋅720=160 detali.

16 avtomanqanisa da motociklis siCqareebi, Sesabamisad, 5-isa da 2-is

proporciulia. amave ricxvebis proporciuli iqneba maT mier gavlili manZilebic. e.

i. avtomanqanas gavlili eqneba 280⋅57

=200 km.

17 SemoviRoT aRniSvnebi: iyides x wigni da 40–x rveuli; es odenobebi Sesabamisi

fasebis ukuproporciulia, x40–x

=1312

, x40–x

= 23

saidanac 3x=80–2x, x=16. iyides 16 wigni.

saxelmZRvaneloSi miTiTebuli gziT:

nayidi wignebisa da rveulebis raodenoba maTi jamis ukuproporciulia, e. i.

wignebis da rveulebis raodenoba aris 13

da 12

proporciuli:

13

x+ 12


wignebis raodenobaa 13⋅48=16.

78

18 wertilis mier yoveli gverdis gavlaze daxarjuli dro am gverdze moZraobis

siCqaris ukuproporciulia, e. i. AB, BC da CA monakveTebis gavlisas daxarjuli

droebi SeiZleba aRvniSnoT 14

x, 13

x da 16

x-iT. pirobiT, 14

x+ 13

x+ 16


AB-s gavlaze daxarjuli droa 14⋅48=12 wm, AB-s sigrZea 12⋅4=48 m. BC da CA-s gavleze

daxarjuli droebia, Sesabamisad, 13⋅48=16 wm da 1

6 ⋅48=8 wm.

19 erTi da imave Tanxis wignebis odenobebi wignis fasis ukuproporciulia. am

amocanaSi 4, 5 da 10-lariani wignebis odenobebi proporciulia ricxvebis: 14

, 15

da 110

.

14

x + 15

x + 110

x =880, saidanac x=1600.

4-lariani wignebis odenobaa 14⋅1600=400, 5-larianis _ 1

5⋅1600=320, 10-larianis _

110⋅1600=160.

20 radgan B-dan gavlebuli wrfiT Seqmnili ori samkuTxedis simaRleebi saerToa,

maTi farTobebi proporciulia wrfis mier AC gverdze Seqmnili monakveTebis

sigrZeebis.

amocanis amosaxsnelad gavavloT BD wrfe ise, rom, DÎAC da a) AD=DC, b) AD:DC=1:2,

g) AD:DC=2:3. d) gavavloT BD da BE wrfeebi ise, rom DÎAC, EÎAC da AD:DE:EC=1:2:3.

aseTi dayofa moswavleebs araerTxel CautarebiaT.

1.8. ricxviTi utoloba. utolobaTa damtkiceba

mizani: moswavlem gaixsenos ricxviTi utolobebis Tvisebebi, SeZlos yoveli

Tvisebis sailustracio magaliTebis moyvana; daakavSiros ricxviTi utolobebi

sakoordinato wrfesTan; SeZlos Tundac zogierTi Tvisebis dasabuTeba

algebruli da geometriuli xerxebiT. gaixsenos ori ricxvis ariTmetikuli

da geometriuli saSualoebi, kavSiri maT Soris, am kavSiris damtkiceba.

moaxdinos ariTmetikul da geometriul saSualoebs Soris kavSiris geometriuli

interpretacia; SeZlos utolobaTa gamoyeneba amocanebis amoxsnisas.

utolobebis Tvisebebis gaxsenebisas moswavleTaTvis ar aris savaldebulo

yoveli maTganis dasabuTeba, es dasabuTebebi qvemoTaa warmodgenili:

1. (tranzituloba). Tu a>b da b>c, maSin a–b>0 da b–c>0, saidanac (a–b)+(b–c)>0, a–b+b–c>0, a–c>0 da a>c.

amave Sedegs miviRebT, Tu mocemul utolobebs davukavSirebT geometriul

warmodgenebs:

a>b da b>c utolobebis Tanaxmad ricxviT wrfeze a aris b-s marjvniv, b aris

c-s marjvniv, anu a aris c-s marjvniv, rac niSnavs, rom a>c.

79

2. (ricxvis mimateba)Tu a>b, maSin a–b>0 da nebismieri c-sTvis a+c–c–b>0, (a+c)–(b+c)>0, a+c>b+c.

mocemuli utolobebi davukavSiroT ricxviT wrfes.

Tu ricxviT wrfeze a aris b-s marjvniv da orives gadavwevT erTi da imave

mimarTulebiT c erTeuliT, maTi urTierTganlageba ar Seicvleba, anu a+c>b+c.

3. (ricxvze gamravleba)Tu a>b, c>0, maSin a–b>0, (a–b)c>0, saidanac ac–bc>0 da ac>bc.Tu a>b da c<0, maSin a–b>0, (a–b)c<0, saidanac ac–bc<0 da ac<bc.

4. (utolobaTa Sekreba).Tu a>b, c>d, maSin a–b>0, c–d>0, saidanac (a–b)+(c–d)>0, (a+c)–(b+d)>0, a+c>b+d.

5. (utolobaTa gamravleba).Tu a, b, c, d dadebiTi ricxvebia da a>b, c>d, maSin a–b>0, c–d>0, saidanac

(a–b)c>0, (c–d).b>0. am utolobaTa SekrebiT miviRebT: ac–bc+bc–bd>0, ac–bd>0, ac>bd.savarjiSoebi 1 - 15 savaldebuloa yvela moswavlisTvis. maTgan zogi

saSinao davalebad SeirCeva. 16-36 savarjiSoebidan SeirCes da klasSi Sesruldes

maswavleblis SexedulebiT, klasis donis gaTvaliswinebiT. aqtivobis gafarToeba

SeiZleba ganxorcieldes ariTmetikul da geometriul saSualoebs Soris

Tanafardobis gaxsenebiT, dasabuTebiT da savarjiSoebiT: 37 - 43 .

vTqvaT, a≥0, b≥0. am ricxvebis geometriuli saSualo ar aRemateba ariT-

metikul saSualos: a+b2

≥√ab (1). marTlac, utoloba ase gadavweroT: a+b2

–√ab≥0,

saidanac miviRebT nebismieri arauaryofiTi a da b-sTvis WeSmarit utolobas:

(√a –√b )2

2≥0, rasac mivyavarT (1) utolobis damtkicebasTan.

sasurvelia klasSi amoixnas 37 -e amocana, romelic am utolobis dasabuTebis

kidev erT xerxs warmoadgens. sxvadasxva xerxis gamoyeneba xels uwyobs kritikuli

azrov nebis ganviTarebas, maTematikis sxvadasxva nawilis erTianobis gaazrebas.

1 Tu a–b<0, maSin a<b da amitom a≤b.

2 Tu a–b=0, maSin a=b, amitom a≤b.

3 –7,5a>–6,5a utoloba ase gadavweroT: (–a)⋅7,5>(–a)⋅6,5, am utolobasTan

erTad gaviTvaliswinoT, rom 7,5>6,5. maSin miviRebT: –a>0, a<0.zogierTebi aseT gzas amjobineben: mocemuli utolobisTvis 7,5a ricxvis

damatebiT miviRebT: 0>1,5a. aqedan, a<0.

14 pirobiT, 3<b<5, –7<–a<–4. am ori utolobis SekrebiT miviRebT: –4<b–a<1.

15 - 18 amocanebSi gaviTvaliswinoT, rom Tu a>b>0, maSin 1a <

1b :

16 piroba ase gadavweroT: 1≤a≤3, 14 ≤

1b ≤

12 da miRebuli utolobebi gadavam-

ravloT: 14 ≤

ab ≤

32 .

80

17 piroba ase gadavweroT: 2≤a≤3,5; 14 ≤

1b ≤

25 da miRebuli utolobebi

gavamravloT: 12 ≤

ab ≤

75 .

ab -s umciresi mniSvnelobaa

12 .

18 2≤a≤3 da 16 ≤

1b ≤

25 utolobebis gadamravlebiT miviRebT:

13 ≤

ab ≤1,2.

21 gamoviyenoT utolobebis ricxvze gamravlebisa da Sekrebis Tvisebebi:

3x>16,8, 4y>6, 3x+4y>22,8. 3x+4y-is umciresi mTeli mniSvnelobaa 23.

22 a≤7,2 da –b<12,8 utolobebis SekrebiT miviRebT: a–b<20. a–b gamosaxulebis

mniSvneloba 20 ver gaxdeba.

23 x>–15 da –2y≥5 utolobebis SekrebiT miviRebT: x–2y>–10.

24 pirobiT, a>0, b>0 da b>a, anu b–a>0. maSin 1a –

1b =

b–aab >0, saidanac

1a >

1b . miviReT, Tu 0<a<b, maSin

1a >

1b . utolobaTa am Tvisebas xSirad

gamoviyenebT.

25 a>0. ganvixiloT sxvaoba: a+ 1a –2=a

2+1–2aa =(a–1)2

a ≥0. miviReT a+ 1a –2≥0 a–s

nebismieri dadebiTi mniSvnelobisTvis, saidanac a+ 1a ≥2.

axla dasabuTebis sxva xerxi gamoviyenoT:

a da 1a dadebiTi ricxvebisTvis davweroT kavSiri ariTmetikul da geometriul

saSualoebs Soris:

a+ 1a

2 ≥√ a·1a , saidanac a+ 1

a ≥2. a+ 1a =2 tolobas adgili aqvs, roca a=1.

26 ganvixiloT a+ 1a +2 gamosaxuleba da gaviTvaliswinoT, rom a<0. maSin

a+ 1a +2=a

2+1+2aa =(a+1)2

a ≤0. amrigad, a+ 1a +2≤0 nebismieri uaryofiTi a-sTvis, saidanac

a+ 1a ≤–2. SeiZleba dasabuTebis aseTi gza avirCioT: davweroT kavSiri ariTmetikul

da geometriul saSualoebs Soris –a da – 1a dadebiTi ricxvebisTvis:

–a+(– 1a )2 ≥√ –a·(– 1

a ) , saidanac miviRebT: –a– 1a ≥2, a+ 1a ≤–2.

amave formulas iolad miviRebT dadebiTi ricxvebisTvis damtkicebuli

formulidanac. marTlac, Tu b>0, maSin b+ 1b ≥2. Tu am utolobas gavamravlebT

(-1)-ze da (–b)-s aRvniSnavT a-Ti, miviRebT a+ 1a ≤−2, Tu a<0.

28 mivaqcioT yuradReba, rom pirobiT, a SeiZleba gautoldes 3,4-s, b ver

gautoldeba 4,6-s. e. i. a+b<3,4+4,6, a+b<8. udidesi mniSvneloba 7.

81

29 piroba ase gadavweroT: x≥4,8, –y≥2,6. am utolobebis SekrebiT miviRebT:

x–y≥7,4.

30 piroba ase gadavweroT: x<12,4, –y≤3,6. am utoloebebis SekrebiT miviRebT:

x–y<16. udidesi mTeli mniSvnelobaa 15.

31 x≥7,2 utolobidan –3x≤–21,6. miRebuli da y≤100 utolobebis SekrebiT

miviRebT: y–3x≤78,4. udidesi mniSvnelobaa 78,4.

35 a) 4x2+4x+1+8=(2a+1)2+8, umciresia 8;

b) a2+4a+4–3=(a+2)2–3, umciresia -3;

g) 25x2–20x+4+8=(5x–2)2+8; umciresia 8;

d) 16a2–40a+25+25=(4a–5)2+25. umciresia 25;

36 giorgis mier gavlili manZilia S1=3V2+5V1, laSas mier gavlili manZili

_ S2=4V2+4V1, S2–S1=V2–V1>0, radgan V2>V1. amrigad, S2>S1 _ laSas mier gavlili

manZili metia.

37 ADC da CDB samkuTxedebidan h2=b2–d2 da h2=a2–e2. am tolobebis SekrebiT

miviRebT:

2h2=a2+b2–d2–e2. h2= c2–d 2–e2

2

radgan c=d+e, miviRebT h2=de,h=√de – marTkuTxa samkuTxedSi marTi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle

kaTetebis gegmilebis geometriuli saSualoa. igulisxmeba kaTetebis gegmilebi

hipo te nuzaze.

amasTanave viciT, rom marTi kuTxis wverodan gavlebuli mediana hipotenuzis

(anu d+e-s) naxevaria: CO= d+e2 . marTi kuTxis wverodan gavlebuli mediana

hipotenuzaze kaTetebis gegmilebis ariTmetikuli saSualoa.

CO da CD (Tu D wertili ar emTxveva O wertils) aris, Sesabamisad C

wertilidan AB wrfisadmi gavlebuli daxrili da marTobi. CO da CD daemTxveva

erTmaneTs, Tu ∆ABC tolferdaa (maSin d=e), sxva SemTxveavSi CO>CD _ daxrilis

sigrZe marTobis sigrZeze metia. _ COD samkuTxedSi CO hipotenuzaa, CD kaTetia

da CO>CD.

miviReT, CO≥CD, anu d+e

2 ≥√de _ ariTmetikul da geometriul saSualoebs

Soris kavSiris dasabuTebis erT-erTi geometriuli xerxi.

38 viyenebT ariTmetikul da geometriul saSualoebs Soris kavSirs.

a+b

2 ≥√ab , b+c

2 ≥√bc , a+c

2 ≥√ac ,

utolobebis SekrebiT miviRebT:

a+b+b+c+a+c

2 ≥√ab +√bc +√ac ,

a+b+c≥√ab +√bc +√ac .

82

39 a) pirobiT, a>0, b>0, a>b, saidanac a+b>0, a–b>0. maSin

a2–b2=(a–b)(a+b)>0.miviReT, a2–b2>0, a2>b2.meore xerxi. a>b da a>b utolobaTa gamravlebiT miviRebT a2>b2.

mesame xerxi. vTqvaT a>0, b>0, a>b da a2<b2. am SemTxvevaSi 1a <

1b da am utolobis

a2<b2-ze gamravlebiT miviRebT a<b, rac ewinaaRmdegeba amocanis mocemulobas.

meoTxe xerxi: erTmaneTs SeadareT a gverdiani da b gverdiani kvadratebis

farTobebi.

b) davamtkicoT, rom Tu a>b, maSin a3>b3.pirveli xerxi. gavamravloT a>b, a>b da a>b utolobebi. miviRebT a3>b3.

meore xerxi. Tu a>b, maSin a–b>0. ganvixiloT sxvaoba:

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)=(a–b)(a2+2a b2 +

b2

4 +3b2

4 )=(a–b)((a+ b2 )2+

3b2

4 )>0.

miviReT, rom a3–b3>0, a3>b3.davamtkicoT Sebrunebuli debuleba.

Tu a3>b3, maSin a3–b3>0, (a–b)(a2+ab+b2) >0.meore Tanamamravli dadebiTia nebismieri a da b-sTvis. e. i. a–b>0, a>b.SeiZleba sawinaaRmdegos daSvebis xerxis gamoyenebac (ixileT a) amocana).

g) davamtkicoT, rom, Tu ad–bc<0, maSin ab M<

cd , sadac a, b, c da d dadebiTi

ricxvebia.

Tu ad–bc<0, maSin ad<bc. am utolobis 1

bd dadebiT ricxvze gamravlebiT

miviRebT,

ad· 1bd <bc· 1

bd , saidanac ab M<

cd .

davamtkicoT Sebrunebuli Teorema:

vTqvaT, ab M<

cd . utolobis orive mxare gavamravloT bd dadebiT ricxvze,

miviRebT

ab ·bd< c

d ·bd, saidanac ad<bc, ad–bc<0.

40 a) dadebiTi a da b ricxvebisTvis WeSmaritia, rom 1

a+b<1a ,

1a+b<

1b .

utolobebis SekrebiT miviRebT: 2

a+b<1a +

1b .

b) dadebiTi a, b da c ricxvebisTvis WeSmaritia:

1

a+b+c<1

a+b , 1

a+b+c<1

b+c , 1

a+b+c<1

a+c .

utolobebis SekrebiT miviRebT dasamtkicebel utolobas.

41 cnobilia kavSiri saSualoebs Soris: a+b

2 ≥√ab ; b+c

2 ≥√bc ; a+c

2 ≥√ac ;

saidanac, a+b≥2√ab , b+c≥2√bc , a+c≥2√ac .

utolobebis gamravlebiT miviRebT:

(a+b)⋅(b+c)⋅(a+c)≥8√a2b2c2 , (a+b)⋅(b+c)⋅(a+c)≥8abc.

83

42 a) x2+2√x2+1

=x2+1+1√x2+1

=x2+1√x2+1

+1

√x2+1=√x2+1+

1√x2+1

axla gamoviyenoT a+1a ≥2 utoloba, roca a=√x2+1, miviRebT: √x2+1+

1√x2+1

≥2.

amrigad, x2+2√x2+1

≥2.

b) viyenebT a+1a ≥2 utolobas, roca a=x2, x≠0. miviRebT, x2+

1x2 ≥2,

x4+1x2 ≥2, saidanac

x2

x4+1≤12 .

(me-15 amocanaSi davasabuTeT: Tu a>0, b>0 da a>b, maSin 1a <

1b ).

roca x=0, maSin x2

1+x4 =0 da, cxadia, x2

1+x4≤2. amrigad, nebismieri x-sTvis davasa-

buTeT b) utoloba.

43 vTqvaT, manZilia S da pirvel SemTxvevaSi siCqarea vkm/sT. meore

SemTxvevaSi turistis mier daxarjuli dro ase gamoisaxeba:

S

2(v+1) +S

2(v–1) =Sv

v2–1 , v>1; pirvel SemTxvevaSi _ Sv .

Sesadarebelia v

v2–1 da 1v sidideebi. ganvixiloT sxvaoba:

v

v2–1 –1v =

v2–v2+1(v2–1)v =

1(v2–1)v >0.

amrigad, v

v2–1 >1v . meore SemTxvevaSi daxarjuli dro metia.

1.9. wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema

mizani: moswavle daeuflos wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis amoxsnis

xerxebs, amoxsnis Caweras ricxviTi SualedebiT, SeZlos praqtikuli amocanis

modelirebisas (saTanado SemTxvevebSi) wrfiv erTucnobian utolobaTa sistemis

Sedgena, amoxsna da amonaxsnis interpretacia.

paragrafSi warmodgenili masalis ganxilvas SeiZleba sami gakveTili

davuTmoT: I gakveTili _ pirveli nawili, II gakveTili _ meore nawili, III

gakveTili _ Sejameba, codnis ganmtkiceba. I gakveTils viwyebT praqtikuli

amocanis ganxilviT; misi maTematikuri modeli wrfiv orucnobian utolobaTa

sistemaa. gakveTili problemis gadaWraze orientirebuli mecadineobis formiT

tardeba.

maswavlebelma SeiZleba gakveTilis dagegmvis sxva gza airCios, magaliTad,

problema me- 16 _ me- 19 amocanebidan SearCios. SeiZleba romelime ori

amocanis erTdrouli warmodgenac. magaliTad, Teoriul nawilSi warmodgenil

amocanasTan erTad SeiZleba me- 17 amocanis ganxilvac.

84

orive SemTxvevaSi maTematikuri modeli wrfiv orucnobian utolobaTa

sistemaa.

meore gakveTilic praqtikuli amocnis ganxilviT daviwyoT. igi miiyvaneba

3x+4y=50 gantolebis arauaryofiT mTel ricxvebSi amonaxsnebis povnaze. sinjvis

meTodis gamoyenebis gasaadvileblad sasurvelia misi ase gadawera: y= 50–3x4 . cxadia,

x luwia, da x<17; sinjvis meTodi gvaZlevs: x=2, y=11; x=6, y=8; x=10, y=5; x=14, y=2.

amis Semdeg SeiZleba diofanturi gantolebis mTel ricxvebSi nebismieri mTeli

amonaxsnis warmodgena da maTgan arauaryofiTis Ziebis procesSi utolobaTa

sistemis gamoyeneba.

paragrafis meore punqtSi ganxilulia utolobebis gamoyenebis magaliTebi

wrfivi orucnobiani gantolebis amonaxsnebidan, amocanis pirobebis mixedviT

sasurvelis SerCevisas. am SerCevas utolobaTa sistemis amoxsnamde mivyavarT.

gavixsenoT, rom diofantes gantolebaa ax+by=c, sadac a, b da c mTeli

ricxvebia da veZebT gantolebis mTel amonaxsnebs.

Tu (x0;y0) aris diofantes gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsni da, Tu a da

b Tanamartivi ricxvebia, maSin am gantolebis yoveli amonaxsni SeiZleba vipovoT

formulebiT: x=x0+bt, y=y0–at, t∈Z.damtkiceba. SevamowmoT, rom, Tu (x0; y0) aris ax+by=c gantolebis erT-erTi

amonaxsni (anu, ax0+by0=c), maSin x=x0+bt da y=y0–at formulebiT mocemuli x da y

ricxvebis wyvilic aris amave gantolebis amonaxsni.

marTlac, a(x0+bt)+b(y0–at)=ax0+by0=c.axla vaCvenoT, rom mocemuli gantolebis nebismier mTel amonaxsns aqvs saxe:

x1=x0+bt, y1=y0–at, t ∈Z.

marTlac, davuSvaT, rom (x1; y1) aris mocemuli gantolebis raime mTeli

amonaxsni, maSin ax1+by1=c.mocemulobis Tanamad, ax0+by0=c.

miviReT, rom ax1+by1=ax0+by0, saidanac x1–x0=ba (y0–y1).

radgan a da b Tanamartivi ricxvebia, amitom ba ukveci wiladia, x1, x0, y1 da y0

mTeli ricxvebia. amitom y0–y1

a aris mTeli da y0–y1

a =t aRniSvnis SemoRebiT miviRebT:

y1=y0–at, x1=x0+bt, t∈Z.paragrafSi ganxilulia praqtikuli amocana, romlis amoxsnas diofantes

gantolebis amoxsnaze daviyvanT.

16 vTqvaT, A iaxtaze x mgzavria, maSin B-ze aris 49–x mgzavri. mocemulobis

Tanaxmad,

x>49–x x>24,5 4(49–x)>x+66, saidanac x<26.radgan x mgzavrTa odenobaa, amitom x=25.

pasuxi: 25 da 24.

85

17 vTqvaT, B-dan gamosuli avtomobilis siCqarea x km/sT, A-dan gamosulis

siCqare iqneba (x+25)km/sT. Sexvedras maT 2 sT-ze naklebi dro moandomes, e. i. 2

sT-Si maT mier gavlili manZilebis jami 300-ze meti iqneboda:

2x+2(x+25)>300.

amasTanave, siCqaris SezRudvis gaTvaliswinebiT, miviRebT sistemas:

2x+2(x+25)>300 x+25<90, saidanac x∈(62,5; 65).B-dan gamosuli avtomobilis mier 4 sT-Si gavlili manZili naklebia 65⋅4=260

km-ze, amitom igi am droSi A-Si Casvlas ver moaswrebs.

18 vTqvaT, baraTebiT isargebla x pensionerma, x<300. baraTebis odenobaa

x+120. pirobiT, 2(x+120)>800 da x+120 aris 10-is jeradi. miviReT sistema:

x<300 2(x+120)>800,

saidanac x∈(280; 300). x aris 10-is jeradi. e. i. x=290.

pasuxi: 290.

19 vTqvaT, B milidan wuTSi gaedineba x litri wyali. carieli avzis orive

milis erTdroulad gaxsnis SemTxvevaSi 10 wuTSi avzSi iqneba 120–10x litri

wyali. pirobiT,

120–10x<60 120–10x>30, saidanac x∈(6;9).pasuxi: B milidan wuTSi gaedineba 6-dan 9 litramde wyali.

20 mocemulis tolfasi sistemaa

x≥2

x≤a–143 .

mas erTaderTi amonaxsni aqvs, Tu a–14

3 =2, saidanac a=20.

21 a) pirobiT, 5+4+x≤15. samkuTxedis utolobebiT:

5+4>x, 4+x>5.

miviReT sistema:

x≤6 x<9 x>1, saidanac x∈(1; 6].

pasuxi: 2 sm; 3 sm; 4 sm; 5 sm; 6 sm.

b) amocanis pirobis da samkuTxedis utolobebis gaTvaliswinebiT vwerT:

8+5+x≤20 8+5>x 5+x>8, saidanac x∈ (3;7],

pasuxi: 4sm, 5sm, 6sm, 7sm.

4 5

x

86

30 a) 3x+5y=60 gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsnia (0;12), nebismieri

mTeli amonaxsnia x=0+5t, y=12–3t, t∈Z.es amonaxsnebi naturaluri iqneba, roca

5t>0 12–3t>0, saidanac t=1, 2 an 3.

pasuxi: (5; 9), (10; 6), (15;3).

sinjvis xerxiT amoxsnisas gamovsaxavT erT-erT ucnobs meoriT. magaliTad,

x=20– 5y3

. aq x>0, y>0, y iyofa 3-ze. y-is SesaZlo mniSvnelobebia: 3; 6; 9. x-is

saTanado mniSvnelobebi: 15; 10; 5. Semdeg amovwerT saTanado wyvilebs (x; y).

b) 5x+7y=140 gantolebidan x=28– 75

y. naturaluri amonaxsnebisTvis 28– 75

y>0,

y>0 da y iyofa 5–ze. saidanac y=5, 10 da 15.

pasuxi: (21;5), (14;10), (7;15).

g) 7x+9y=252 gantolebidan x=36– 97

y. x∈N, amitom 36– 95

y>0, y∈N, y iyofa 7–ze,

saidanac y=7, 14 an 21.

pasuxi: (27;7), (18;14), (9;21).d) 5x+9y=180 gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsnia (0;20), nebismieri mTeli

amonaxsni moicema formulebiT x=0+9t, y=20–5t, t∈Z. naturaluri amonaxsnebisTvis

9t>0 20–5t>0, saidanac t=1, 2 an 3pasuxi: (9; 15), (18;10), (27;5).

31 vTqvaT gamoviyeneT x cali 0,7 litriani qila da y cali _ 0,9 litriani.

maSin, pirobiT, 0,7x+0,9y=20,5, 7x+9y=205.

am gantolebis erT–erTi mTeli amonaxsnia (1;22), nebismieri mTeli amonaxsni

moicema formulebiT: x=1+9t, y=22–7t, t∈Z.

1+9t≥0 22–7t≥0, saidanac t=0, 1, 2 an 3.

qilebis saerTo odenobaa x+y=2t+23. is umciresia, roca t=0.

pasuxi: 23 qila.

32 x=2700+19t, y=–2400–17t. naturaluri amonaxsnebis SesarCevad amovxsnaT sistema:

2700+19t>0 t>–142 219

–2400–17t>0, saidanac t<–141 317

t–s erTaderTi mTeli mniSvnelobaa t=–142.

pasuxi: x=2, y=14.

87

33 SemoviRoT aRniSvnebi: 170 litriani gamoyenebuli kasrebis odenoba iyos

x, 190 litrianis _ y. pirobiT,

170x+190y=3000, 17x+19y=300.wina amocanis pirobidan cnobilia, rom am gantolebis erT-erTi mTeli

amonaxsnia (2700;-2400), nebismieri mTeli amonaxsni moicema formulebiT:

x=2700+19t, y=–2400–17t.erTaderTi mTeli amonaxsni, romelic amocanis pirobas akmayofilebs miiReba,

roca t=-142. maSin x=2, y=14.

pasuxi: SeiZleba. 170-litriani _ 2 kasri. 190 litriani _ 14 kasri.

34 pirobiT, 4n+5m=26. (4;2) am gantolebis erT-erTi mTeli amonaxsnia. yvela

mTeli amonaxsni moicema formulebiT:

n=4+5t, m=2–4t. t≥−45 4+5t≥0

2–4t≥0, saidanac t≤ 12

da t=0

Sesabamisad, n=4, m=2 da sxva mTeli amonaxsni am gantolebas ara aqvs.

amave Sedegs ufro swrafad miviRebdiT sinjvis xerxis gamoyenebiT.

35 a) 2x+1≥–1 2x+1<10, x∈[–1;4,5).

36 a) –5≤2+3x≤0, –7≤3x≤–2, – 73≤x≤− 2

3. pasuxi: [– 7

3;− 2

3 ]

b) mocemulis tolfasi ormagi utolobaa:

–10<2x–12,3≤–1,2, 2,3≤2x≤11,1, 1,15≤x≤5,55.

37 3x–2a=5 gantolebidan x= 2a+53

. pirobiT, 0≤ 2a+53

<10. saidanac, –2,5≤a<12,5.

38 pirobiT, –1≤y≤8, anu –1≤3x+4≤8. saidanac, – 53≤x≤ 4

3.

39 mocemuli sistema tolfasia sistemis:

25,5x≤102 x≤4 4x≥7–a, x≥ 7–a

4.

am sistemas ara aqvs amonaxsni, Tu 7–a4

>4, saidanac a<-9. pasuxi: (-∞;-9).

40 a) –1<x–1<1, 0<x<2, x∈(0;2); b) –2<x+2<2, –4<x<0; g) –3<2x–1<3, –1<x<2; d) –5<3x–1<5, – 4

3<x<2;

e) x–2>2, an x–2<–2, saidanac, x>4 an x<0; v) x+3>5, an x+3<–5, saidanac, x>2 an x<–8;

z) 2x–4>4, an 2x–4<–4, saidanac, x>4 an x<0.

88

gamocanebi gameorebisTvis

3 - 5 savarjiSoebi sasurvelia mimdevrobiT Sesruldes, isini

azrov nebis donis TandaTanobiT amaRlebas emsaxureba da saTanado unarebis

ganviTarebas uwyobs xels.

15 sazogadod _ ara. magaliTad, √3 da –√3 iracionaluri ricxvebis

ariTmetikuli saSualo (ricxvi 0) ar aris iracionaluri.

16 samkuTxedis a da b kaTetebze agebuli naxevarwreebis farTobebis jamia: πa2

8 +πb2

8 =π⋅a2+b2

8 =πc2

8 _ hipotenuzaze agebuli naxevarwris farTobis tolia.

17 9,3⋅10–6

3⋅10–3=3,1⋅10-6-(-3)=3,1⋅10-3,

20 pirobiT, kompiuteri yovel wm-Si 4⋅106 operacias asrulebs. 1013

operaciis Sesrulebas sWirdeba 10⋅1012

4⋅106=2,5⋅106 wm. es miaxloebiT 29 dRe-Ramea.

21 8⋅1012 operaciis Sesrulebas dasWirdeba 8⋅1012⋅4⋅10-6=3,2⋅107 wm. es

miaxloebiT 370 dRe-Ramea _ weliwadze meti.

22 piroba gadavweroT ase: 1 kuburi milimetri sisxli 5,8⋅106 nawilaks

Seicavs, 50 kuburi milimetri _ 50⋅5,8⋅106=2,9⋅108 nawilaks.

24 g) a2+1 dadebiTia a–s nebismieri mniSvnelobisTvis, amitom utolobis

(a2+1)–ze gayofisas utolobis niSani ar icvleba, miviRebT: x≥ aa2+1

.

d) a-s nebismieri mniSvnelobisTvis –a2–1<0. Sesabamisad, utolobis (–a2–1)-ze

gayofiT utolobis niSani icvleba, miviRebT: x>– a+1a2+1

.

v) a-s nebismieri mniSvnelobisTvis a2+2a+5=(a+1)2+4>0. pasuxi: x>– aa2+2a+5

.

25 SemoviRoT aRniSvna: I yuTSi x birTvia, meoreSi _ (15–x) birTvi. pirobiT,

5x<15–x, saidanac, x<2,5.

pasuxi: I yuTSi SeiZleba iyos 1 an 2 birTvi.

26 a) –4<2x<14, –2<x<7. g) –11<–z≤–1, saidanac, 11>z≥1, anu z∈[1;11). e) –15≤–3y≤–12. saidanac, 5≥y≥4, anu y∈ [4;5].

27 a) utoloba CavweroT ormagi utolobis saxiT:

–1,2<4x–8<1,2, saidanac 1,7<x<2,3. b) 5x–15>0,5 an 5x–15<–0,5. saidanac x>3,1 an x<2,9.pasuxi: x∈(–∞; 2,9)∪(3,1;+∞).

89

g) 2x+10>3 an 2x+10<-3, saidanac x>-3,5 an x<-6,5.

pasuxi: x.d) -3<2x-10<3, 7<2x<13, x∈(3,5;6,5).

28 4a+9b2

≥6√ab, 4a+9b–12√ab2

≥0, (2√a +3√b )2

2≥0 es ki WeSmariti utolobaa,

masTan erTad mocemuli utolobac WeSma ritia.

mocemuli utolobis WeSmaritobas davadgenT, Tu gamoviyenebT damokide-

bulebas ori ricxvis ariTmetikul da geometriul saSualoebs Soris: x+y

2 ≥√xy , x=4a, y=9b.

29 viyenebT utolobebis gamravlebis Tvisebas da viTvaliswinebT, rom a , b, c da d dadebiTi ricxvebia:

a) viyenebT WeSmarit utolobas c2+d 22

≥cd. saidanac, c2+d2≥2cd.

a>b da c2+d2>2cd utolobebis gadamravlebiT miviRebT:

b) c2+d2≥2cd-dan 1c2+d 2

≤ 12cd

(c da d dadebiTebia).

am da b<a utolobebis gadamravlebiT miviRebT, bc2+d 2

< a2cd

.

g) c2-isa da 1-is ariTmetikuli da geometriuli saSualoebis Sedareba gvaZlevs

c2+1≥2c. am da a>b utolobebis gamravlebiT miviRebT: a(c2+1)>2bc.

d) a>b-dan 1a <

1b . am da 2c≤c2+1 utolobebis gamravlebiT miviRebT: 2c

a≤ c2+1

b .

30 SemoviRoT aRniSvnebi:

I bankSi _ x lari, II bankSi _ (8000-x) lari.

pirobiT, x⋅ 4100 +(8000-x)⋅ 3

100 =250. saidanac x=1000.

I bankSi Seutania 1000 lari.

31 SevadginoT sistema:

3m⋅ p100 +7m⋅ q

100 =0,87(3m+7m)

7n⋅ p100 +3n⋅ q

100 =0,83(3n+7n),

gamartivebiT miviRebT:

3p+7q=870 7p+3q=830, p=80, pasuxi: 80%.

32 SemoviRoT aRniSvna: sawyisi xsnaris odenoba _ x kg, marilis

procentuli Semcveloba _ p%. am xsnarSi xp100 kg marilia, romlis odenoba

aorTqlebisas da gamoxdili wylis damatebisas ar icvleba.

90

2 litri (2 kg) wylis aorTqlebis Semdeg darCa (x–2) kg xsnari 20% marilis

SemcvelobiT: (x–2)⋅0,20= xp100 . (1)

(x–2) kg xsnarSi 10 litri (10kg) gamoxdili wylis damatebis Semdeg miiRes (x+8) kg xsnari 10% marilis SemcvelobiT:

(x+8) 0,10= xp100 (2)

(1) da (2) tolobebidan:

2(x–2)=x+8.

saidanac x=12 kg da p=1006 %=16 2

3 %.

sayuradRebo saganmanaTleblo funqcia aqvs `vip~ rubrikiT warmodgenil

amocanebs _ aseTi davalebebi xels uwyobs moswavleebSi yuradRebis koncentrirebis,

eqstremalur pirobebSi mobilizebis unarebis ganviTarebas; qmnis motivacias, rom

sakiTxis damuSavebisas rac SeiZleba naklebi problemebi Seqmnas `teqnologiurma

komponentma~ da mTeli Zalisxmeva gadavides `saazrovno komponentebze~.

sakontrolo wera

I varianti

SearCieT swori pasuxi

1. givim da merabma erTad SeiZines sawarmo. maT mier Cadebuli Tanxebi ise

Seefardeba erTmaneTs, rogorc 3:5. isini sawarmos muSaobiT miRebul mogebas amave

wesiT inawileben. ra Tanxa Sexvdeba givis 21000 lari mogebidan?

1) 2625 lari 2) 13125 lari 3) 7875 lari 4) 7000 lari.

2. mocemuli wyvilebidan ise SearCieT a-sa da b-s mniSvnelobebi, rom a+b–ab iyos

racionaluri ricxvi.

1) a=√3+1, b= –√3 2) a=√3–2, b=√3+23) a=2–√3 , b=2+√3 4) a=√3–2, b=–√3 .

3. Tu –8£a–b£3, maSin |a–b|-s udidesi mniSvnelobaa

1) 11 2) 8 3) 5 4) 3.

4. Tu ax>10 utolobis amonaxsnTa simravlea (–∞; 10a ), maSin

1) a>0 2) a<0 3) a=0 4) a nebismieria.

5. AB da BC monakveTebis Sesaxeb cnobilia, rom AB£5,2 sm, BC<8,8 sm. ra udidesi

mTeli ricxviT SeiZleba gamoisaxos AC monakveTis sigrZe?

1) 14 sm 2) 13 sm 3) 4 sm 4) 3 sm.

6. Tu x ekuTvnis erTdroulad [–3; 5) da [0; 10) Sualedebs, maSin

1) xÎ(– ∞; 1) 2) xÎ[–3; 0] 3) xÎ(5; 10) 4) xÎ[0; 5).

91

amoxseniT amocanebi

7. CawereT a2–5ab, gamosaxulebis mniSvneloba m+n√3 saxiT, mÎZ, nÎZ, roca a=√3+2,

b=√3–2.

8. maRaziam pirvel dRes gayida Saqris maragis 25%, meore dRes _ darCenilis 40^%.

amis Semdeg maRaziaSi sawyisi maragis ramdeni procenti darCa?

pasuxebi:

1 2 3 4 5 6

3 3 2 2 2 4

7. (√3+2)2–5(√3+2)(√3 –2)=7+4√3+5=12+4√3 .

8. 45%

Sefasebis sqema:

1-6 amocanebidan TiToeulis swori pasuxi SeiZleba Sefasdes 1 quliT.

me-7 da me-8 amocanebis srulyofili amoxsnidan TiToeuli Sefasdes 1 quliT.

me-7 amocanis amoxsna umniSvnelo xarvezebiT _ 1 quliT.

me-8 amocanis amoxsna Sefasdes 0 quliT Tu warmodgenili pasuxi: 100–(25+40)=35%.

meore dRes darCenili 75%-idan darCenili Saqris raodenobis SecdomiT gamoTvla

Sefasdes 1 quliT.

matematika - old.eqe.geold.eqe.ge/uploads/grifireba/grifirebulebi_2012/maths/inteleqti/... ·...

Documents