PART B

BAGIAN B

Linear Algebra.

Vector Calculus

Aljabar Linear.Kalkulus vektor

CHAPTER 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems

CHAPTER 8 Linear Algebra: Matrix Eigenvalue Problems

CHAPTER 9 Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl

CHAPTER 10 Vector Integral Calculus. Integral Theorems

BAB 7 Aljabar Linear: Matriks, Vektor, Penentu. Sistem linearBAB 8 Aljabar Linear: Matrix eigenvalue MasalahBAB 9 Kalkulus Diferensial vektor. Grad, Div, CurlBAB 10 Kalkulus Integral vektor. Teorema Integral

Linear algebra in Chaps. 7 and 8 consists of the theory and application of vectors and

matrices, mainly related to linear systems of equations, eigenvalue problems, and linear

transformations.

Aljabar linear pada Bab. 7 dan 8 terdiri dari teori dan aplikasi vektor danmatriks, terutama terkait dengan sistem linear persamaan, masalah nilai eigen, dan liniertransformasi.

Linear algebra is of growing importance in engineering research and teaching because it

forms a foundation of numeric methods (see Chaps. 20-22), and its main instruments,

matrices, can hold enormous amounts of data-think of a net of millions of telephone

connections-in a form readily accessible by the computer.

Aljabar linear semakin penting dalam penelitian rekayasa dan pengajaran karenamembentuk dasar dari metode numerik (lihat Chaps. 20-22), dan instrumen utama,matriks, dapat menyimpan sejumlah besar data-memikirkan bersih jutaan teleponkoneksi-dalam bentuk mudah diakses oleh komputer.

Linear analysis in Chaps. 9 and 10. usually called vector calculus, extends differentiation

of functions of one variable to functions of several variables-this includes the vector

differential operations grad, div, and curl. And it generalizes integration to integrals over

curves, surfaces, and solids, with transformations of these integrals into one another, by

the basic theorems of Gauss, Green, and Stokes (Chap. 10).

Linear analisis pada Bab. 9 dan 10. biasanya disebut kalkulus vektor, meluas diferensiasifungsi dari satu variabel untuk fungsi dari beberapa variabel-ini termasuk vektoroperasi diferensial lulusan, div, dan meringkuk. Dan generalizes integrasi untuk integral darikurva, permukaan, dan padat, dengan transformasi tersebut integral ke dalam satu sama lain, dengandasar teorema Gauss, Green, dan Stokes (Bab 10).

Software suitable for linear algebra (Lapack, Maple, Mathematica, Matlab) can be found

in the list at the opening of Part E of the book if needed.

Perangkat lunak yang cocok untuk aljabar linear (Lapack, Maple, Mathematica, Matlab) dapat ditemukandalam daftar pada pembukaan E Bagian dari buku jika diperlukan.

Numeric linear algebra (Chap. 20) can be studied directly after Chap. 7 or 8 because

Chap. 20 is independent of the other chapters in Part E on numerics.

Numeric linear aljabar (Bab 20) dapat dipelajari secara langsung setelah Chap. 7 atau 8 karenaChap. 20 adalah independen dari bab-bab lain dalam Bagian E tentang numeric.

CHAPTER 7

Linear Algebra: Matrices,

Vectors, Determinants.

Linear Systems

BAB 7Aljabar Linear: Matriks,Vektor, Determinan.Sistem linear

This is the first of two chapters on linear algebra, which concerns mainly systems of

linear equations and linear transformations (to be discussed in this chapter) and eigenvalue

problems (to follow in Chap. 8).

Systems of linear equations, briefly called linear systems, arise in electrical networks,

mechanical frameworks. economic models_ optimization problems, numerics for

differential equations, as we shall see in Chaps. 21-23, and so on.

As main tools. linear algebra uses matrices (rectangular arrays of numbers or functions)

and vectors. Calculations with matrices handle matrices as single objects, denote them by

single letters, and calculate with them in a very compact form, almost as with numbers,

so that matrix calculations constitute a powerful "mathematical shorthand".

Calculations with matrices and vectors are defined and explained in Secs. 7.1-7.2.

Sections 7.3-7.8 center around linear systems, with a thorough discussion of Gauss

elimination, the role of rank. the existence and uniqueness problem for solutions (Sec. 7.5),

and matrix inversion. This also includes determinants (Cramer's rule) in Sec. 7.6 (for

quick reference) and Sec. 7.7. Applications are considered throughout this chapter. The

last section (Sec. 7.9) on vector spaces, inner product spaces, and linear transformations

is more abstract. Eigenvalue problems follow in Chap. 8.

Ini adalah yang pertama dari dua bab pada aljabar linear, terutama yang menyangkut sistemlinear persamaan dan transformasi linier (akan dibahas dalam bab ini) dan nilai eigenmasalah (untuk mengikuti dalam Bab 8.).

Sistem persamaan linear, singkat disebut sistem linear, muncul dalam jaringan listrik,kerangka kerja mekanis. ekonomi optimasi masalah models_, numeric untukpersamaan diferensial, seperti akan kita lihat pada Bab. 21-23, dan seterusnya.Sebagai alat utama. aljabar linear matriks menggunakan (array persegi panjang angka atau fungsi)dan vektor. Perhitungan dengan matriks menangani matriks sebagai objek tunggal, menunjukkan mereka denganhuruf tunggal, dan menghitung dengan mereka dalam bentuk yang sangat kompak, hampir sama dengan angka,sehingga perhitungan matriks merupakan "singkatan matematika" kuat.Perhitungan dengan matriks dan vektor didefinisikan dan dijelaskan dalam Sec. 7,1-7,2.Bagian 7,3-7,8 pusat sekitar sistem linier, dengan diskusi mendalam tentang Gausseliminasi, peran peringkat. keberadaan dan keunikan masalah untuk solusi (Bag. 7,5),dan matriks inversi. Hal ini juga mencakup determinan (aturan Cramer) di Sec. 7.6 (untukcepat referensi) dan Sec. 7.7. Aplikasi dianggap sepanjang bab ini. paraBagian terakhir (Bagian 7.9) pada ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linearlebih abstrak. Masalah nilai eigen dalam Bab ikuti. 8.

COMMENT. Numeric linear algebra (Sees. 20.1-20.5) call be studied immediately

after this chapter.

Prerequisite: None.

Sections thatma)" be omitted in a short course: 7.5, 7.9.

References lind Answers to Problems: App. I Part B, and App. 2.

KOMENTAR. Aljabar linear numerik (Sees. 20,1-20,5) panggilan dipelajari segerasetelah bab ini.Prasyarat: Tidak ada.Bagian thatma) "dihilangkan dalam kursus singkat: 7.5, 7.9.Referensi Lind Jawaban Masalah: App. Aku Bagian B, dan App. 2.

7.1 Matrices, Vectors:

272

Addition and Scalar Multiplication

7.1 Matriks, Vektor:272Penjumlahan dan perkalian skalar

In this ~ection and the next one we introduce the basic concepts and rules of matrix and

vector algebra. The main application to linear systems (systems of linear equations) begins

in Sec. 7.3.

Dalam ection ~ dan yang berikutnya kami memperkenalkan konsep dasar dan aturan matriks danvektor aljabar. Aplikasi utama untuk sistem linear (sistem persamaan linear) dimulaidi Sec. 7.3.

SEC. 7.1 Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication

SEC. 7.1 Matriks, Vektor: penjumlahan dan perkalian skalar

A matrix is a rectangular array of numbers (or functions) enclosed in brackets. These

numbers (or fUnctions) are called the entries (or sometimes the elements) of the matrix.

For example,

Matriks A adalah array persegi nomor (atau fungsi) tertutup dalam tanda kurung. ininomor (atau fungsi) disebut entri (atau kadang-kadang elemen) dari matriks.Sebagai contoh,

are matrices. The first matrix has two rows (horizontal lines of entries) and three columns

(vertical lines). The second and third matrices are square matrices, that is, each has as

many rows as columns (3 and 2, respectively). The entries of the second matrix have two

indices giving the location of the entry. The first index is the number of the row and the

second is the number of the column in which the entry stands. Thus, a23 (read a 111'0 three)

is in Row 2 and Column 3, etc. This notation is standard, regardless of whether a matrix

is square or not.

Matrices having just a single row or column are called vectors. Thus the fourth matrix

in (l) has just one row and is called a row vector. The last matrix in (1) has just one

column and is called a column vector.

We shall see that matrices are practical in various applications for storing and processing

data. As a first illustration let us consider two simple but typical examples.

adalah matriks. Matriks pertama memiliki dua baris (baris horisontal entri) dan tiga kolom(garis vertikal). Matriks kedua dan ketiga adalah matriks persegi, yaitu, masing-masing memiliki sebagaibanyak baris sebagai kolom (3 dan 2, masing-masing). Entri-entri dari matriks kedua memiliki duaindeks memberikan lokasi entri. Indeks pertama adalah jumlah baris dankedua adalah jumlah kolom yang entri berdiri. Jadi, a23 (membaca 111'0 tiga)di Row 2 dan Kolom 3, dll notasi ini adalah standar, terlepas dari apakah matrikspersegi atau tidak.Matriks yang baru saja satu baris atau kolom yang disebut vektor. Jadi matriks keempatdalam (l) hanya memiliki satu baris dan disebut vektor baris. Matriks terakhir di (1) hanya memiliki satukolom dan disebut vektor kolom.Kita akan melihat bahwa matriks yang praktis dalam berbagai aplikasi untuk menyimpan dan pengolahandata. Sebagai ilustrasi pertama mari kita pertimbangkan dua contoh sederhana tapi khas.

E X AMP L E 1 Linear Systems, a Major Application of Matrices

In a system of linear equations, briefly called a linear system, such as

CONTOH 1 Linear Systems, Mayor Aplikasi MatriksDalam sistem persamaan linear, singkat disebut sistem linear, seperti

the coefficients of the unknowns Xl, X2, X3 are the entries of the coefficient matrix, call it A,

koefisien yang tidak diketahui Xl, X2, X3 adalah entri dari matriks koefisien, sebut saja A,

is obtained by augmenting A by the right sides of the linear system and is called the augmented matrix of the

system. In A the coefficients of the system are displayed in the pattern of the equations. That is, their position

in A corresponds to that in the system when written as shown. The same is true for A.

We shall see that the augmented matrix A contains all the informatIon about the solutions of a system,

so that we can solve a system just by calculations on its augmented matrix. We shall discuss this in great

detail, beginning in Sec. 7.3. Meanwhile you may verify by substitution that the solution is xl = 3, x2 = !,

X3 = -1.

The notation Xl, X2, X3 for the unknowns is practical but not essential; we could choose x, y, Z or some other

letters. •

diperoleh dengan menambah A dengan sisi kanan dari sistem linear dan disebut matriks yang diperbesar darisistem. Dalam Sebuah koefisien dari sistem ditampilkan dalam pola persamaan. Artinya, posisi merekadalam A sesuai dengan yang di sistem ketika ditulis seperti yang ditunjukkan. Hal yang sama berlaku untuk A.Kita akan melihat bahwa matriks yang diperbesar berisi semua informasi tentang solusi dari suatu sistem,sehingga kita dapat memecahkan sistem hanya dengan perhitungan pada matriks yang diperbesar tersebut. Kita akan membahas hal ini secara besardetail, mulai tahun Sec. 7.3. Sementara itu Anda dapat melakukan verifikasi dengan substitusi bahwa solusinya adalah x = 3, x2 =!,X3 = -1.Para Xl notasi, X2, X3 untuk diketahui praktis tetapi tidak penting, kita bisa memilih x, y, Z atau beberapa lainnyahuruf. •

CHAP. 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems

CHAP. 7 Linear Aljabar: Matriks, Vektor, Penentu. Sistem linear

E X AMP L E 2 Sales Figures in Matrix Form

Sales figures for three products I. II. !II in a store on Monday (M). Tuesday (T). ... may for each week be

arranged in a matrix

CONTOH 2 Penjualan Angka dalam Formulir MatrixAngka penjualan selama tiga produk I. II. II di toko pada Senin (M).! Selasa (T). ... mungkin untuk setiap minggu akandiatur dalam matriks

If the company has ten stoTes. we can set up ten such matrices, one for each store. Then by adding corresponding

entries of these mmrices we can get a mmrix ,howing the IOtal sale~ of each product on each day. Can you think

of other data for which matrices are feasible? FOT instance. in transportation or storage problems? Or in recoTding

phone calls. or in li,ting distances in a network of roads? •

Jika perusahaan memiliki sepuluh stoTes. kita dapat mengatur sepuluh matriks seperti, satu untuk setiap toko. Kemudian dengan menambahkan sesuaientri ini mmrices kita bisa mendapatkan sebuah mmrix, howing yang ~ IOtal penjualan produk masing-masing pada setiap hari. Dapatkah Anda memikirkandata lainnya yang matriks yang layak? FOT misalnya. dalam masalah transportasi atau penyimpanan? Atau di recoTdingpanggilan telepon. atau di li, ting jarak dalam jaringan jalan? •

General Concepts and Notations

We shall denote matrices by capital boldface letters A, B, C. ... ,or by writing the general

entry in brackets; thus A = [ajk], and so on. By an m x 11 matrix (read 171 by n matrix)

we mean a matrix with m rows and n columns-rows come always first! m X 11 is called

the size of the matrix. Thus an 17l X 11 matrix is of the form

Umum Konsep dan NotasiKita akan menunjukkan matriks dengan huruf kapital tebal A, B, C. ... , atau dengan menulis umumentri dalam kurung, dengan demikian A = [AJK], dan sebagainya. Oleh m x 11 matriks (dibaca 171 oleh n matriks)kita berarti matriks dengan m baris dan n kolom-baris selalu datang pertama! m X 11 disebutukuran matriks. Jadi X 17l 11 matriks adalah dalam bentuk

The matrices in (I) are of sizes 2 X 3.3 X 3,2 X 2, I X 3. and 2 X l. respectively.

Each entry in (2) has two subscripts. The first is the row number and the second is the

column number. Thus (/21 is the entry in Row 2 and Column I.

If m = n, we call A an n X n square matrix. Then its diagonal containing the emries

a11, a22, ... , ann is called the main diagonal of A. Thus the main diagonals of the two

square matrices in (1) are an, (/22' a33 and e-

x

, 4x, respectively.

Square matrices are particularly important. as we shall see. A matrix that is not square

is called a rectangular matrix.

Matriks dalam (I) ukuran 2X3,3X3,2X2, 3IX. dan 2Xl. masing-masing.Setiap entri dalam (2) memiliki dua subscript. Yang pertama adalah jumlah baris dan yang kedua adalahkolom nomor. Jadi (/ 21 adalah entri di Row 2 dan I. KolomJika m = n, kita sebut Sebuah matriks X n n persegi. Kemudian mengandung diagonal yang emriesA11, a22, ... , Ann disebut diagonal utama dari A. Jadi diagonal utama dari duamatriks persegi (1) adalah, (/ 22 'A33 dan e-x, 4x, masing-masing.Matriks persegi sangat penting. sebagaimana akan kita lihat. Sebuah matriks yang bukan persegidisebut matriks persegi.

Vectors

A vector is a matrix with only one row or column. Its entries are called the components

of the vector. We shall denote veCIOrs by lowercase boldface letters a, b, ... or by its

general component in brackets, a = [OJ], and so on. Our special vectors in (I) suggest

that a (general) row vector is of the form

vektorVektor A adalah matriks dengan hanya satu baris atau kolom. Entrynya disebut komponenvektor. Kita akan menunjukkan veCIOrs dengan huruf tebal huruf kecil a, b, ... atau dengan yangkomponen umum dalam kurung, a = [OJ], dan sebagainya. Vektor khusus kami di (saya) menyarankanbahwa vektor baris (umum) adalah dalam bentuk

SEC. 7.1 Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication

A column vector is of the form

SEC. 7.1 Matriks, Vektor: penjumlahan dan perkalian skalarSebuah vektor kolom adalah dalam bentuk

Matrix Addition and Scalar Multiplication

Matrix Penambahan dan Perkalian Skalar

What makes matrices and vectors really useful and particularly suitable for computers is

the fact that we can calculate with them almost as easily as with numbers. Indeed, we

now introduce rules for addition and for scalar multiplication (multiplication by numbers)

that were suggested by practical applications. (Multiplication of matrices by matrices

follows in the next section.) We first need the concept of equality.

Apa yang membuat matriks dan vektor sangat berguna dan sangat cocok untuk komputer adalahfakta bahwa kita dapat menghitung dengan mereka hampir semudah dengan angka. Memang, kitasekarang memperkenalkan aturan untuk penambahan dan perkalian skalar (perkalian dengan angka)yang disarankan oleh aplikasi praktis. (Perkalian matriks dengan matriksberikut di bagian berikutnya) Pertama kita perlu konsep kesetaraan.

DEFINITION

Equality of Matrices

Two matrices A = [ajk] and B = [bjk] are equal, written A = B, if and only if they

have the same size and the corresponding entries are equal, that is.

a11 = b11, a12 = b12, and so on. Matrices that are not equal are called different.

Thus, matrices of different sizes are always different.

DEFINISI

Kesetaraan MatriksDua matriks A = [AJK] dan B = [bjk] adalah sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika merekamemiliki ukuran yang sama dan entri yang sesuai adalah sama, yaitu.A11 = B11, a12 = b12, dan sebagainya. Matriks yang tidak sama disebut berbeda.Jadi, matriks dengan ukuran yang berbeda selalu berbeda.

Addition of Matrices

The sum of two matrices A = [ajk] and B = [bjkJ of the same size is written

A + B and has the entries ajk + bjk obtained by adding the corresponding entries

of A and B. Matrices of different sizes cannot be added.

Penambahan MatriksJumlah dari dua matriks A = [AJK] dan B = [bjkJ dengan ukuran yang sama ditulisA + B dan memiliki entri AJK + bjk diperoleh dengan menambahkan entri yang sesuaiMatriks A dan B. ukuran yang berbeda tidak dapat ditambahkan.

E X AMP L E 3 Equality of Matrices

CONTOH 3 Kesetaraan Matriks

The following matrices aTe all different. Explain!

Matriks berikut makan semua berbeda. Jelaskan!

DEFINITION

Addition of Matrices

The sum of two matrices A = [ajk] and B = [bjkJ of the same size is written

A + B and has the entries ajk + bjk obtained by adding the corresponding entries

of A and B. Matrices of different sizes cannot be added.

Penambahan MatriksJumlah dari dua matriks A = [AJK] dan B = [bjkJ dengan ukuran yang sama ditulisA + B dan memiliki entri AJK + bjk diperoleh dengan menambahkan entri yang sesuaiMatriks A dan B. ukuran yang berbeda tidak dapat ditambahkan.

As a special case, the sum a + b of two row vectors or two column vectors, which must

have the same number of components, is obtained by adding the corresponding

components.

Sebagai kasus khusus, jumlah a + b dari dua vektor baris atau vektor kolom dua, yang harusmemiliki jumlah yang sama komponen, diperoleh dengan menambahkan yang sesuaikomponen.

CHAP. 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems

CHAP. 7 Linear Aljabar: Matriks, Vektor, Determinan. Sistem linear

E X AMP L E 4 Addition of Matrices and Vectors

CONTOH 4 Penambahan Matriks dan Vektor

A in Example 3 and our present A cannot be added. If a = [5 7 21 and b = [-6 2 OJ. then

a+b=[-I 9 21.

An application of matrix addition was suggested in Example 2. Many others will follow.

A pada Contoh 3 dan kita sekarang tidak dapat ditambahkan. Jika a = [5 7 21 dan b = [-6 2 OJ. kemudiana + b = [-aku 9 21.Sebuah aplikasi penambahan matriks disarankan pada Contoh 2. Banyak orang lain akan mengikuti.

DEFINITION

Scalar Multiplication (Multiplication by a Number)

The product of any /1l X 1l matrix A = [ajk] and any scalar c (number c) is written

cA and is the I1l X 11 matrix cA = [cajk] obtained by mUltiplying each entry of A

by c.

DEFINISI

Perkalian skalar (Perkalian dengan Nomor)Produk dari setiap / 1l 1l X matriks A = [AJK] dan setiap skalar c (nomor c) ditulisCA dan adalah I1l X 11 matriks CA = [cajk] diperoleh dengan mengalikan setiap entri dari Aoleh c.

Here (-I)A is simply written -A and is called the negative of A. Similarly, (-k)A is

written - kA. Also, A + (-B) is written A - B and is called the difference of A and B

(which must have the same size!).

Di sini (-I) adalah hanya ditulis-A dan disebut negatif dari A. Demikian pula, (-k) adalahditulis - kA. Juga, A + (-B) ditulis A - B dan disebut perbedaan A dan B(yang harus memiliki ukuran yang sama!).

E X AMP L E 5 Scalar Multiplication

Perkalian Skalar CONTOH 5

If a matrix B shows the distances between some cities in miles. 1.60,)B gives these distances in kilometers .

Jika matriks B menunjukkan jarak antara beberapa kota di mil. 1,60,) B memberikan jarak dalam kilometer ini.

Rules for Matrix Addition and Scalar Multiplication. From the familiar laws for the

addition of numbers we obtain similar laws for the addition of matrices of the same size

111 X 11, namely,

Aturan untuk Penambahan Matrix dan Perkalian Skalar. Dari hukum akrab untukSelain nomor kita memperoleh hukum yang serupa untuk penambahan matriks dengan ukuran yang sama111 X 11, yaitu,

Here 0 denotes the zero matrix (of size 111 X 11), that is. the III X 11 matrix with all entries

zero. (The last matrix in Example 5 is a zero matrix.)

Hence matrix addition is commutative and associative [by (3a) and (3b)].

Similarly, for scalar multiplication we obtain the rules

Berikut 0 menunjukkan matriks nol (ukuran 111 X 11), yang. III X 11 matriks dengan semua entrinol. (Matriks terakhir dalam Contoh 5 adalah matriks nol.)Oleh karena matriks Selain komutatif dan asosiatif [oleh (3a) dan (3b)].Demikian pula, untuk perkalian skalar kita mendapatkan aturan

7.2 Matrix Multiplication

Matrix mUltiplication means multiplication of matrices by matrices. This is the last

algebraic operation to be defined (except for transposition, which is of lesser importance).

Now matrices are added by adding corresponding entries. In multiplication, do we multiply

corresponding entries? The answer is no. Why not? Such an operation would not be of

much use in applications. The standard definition of multiplication looks artificial, but

will be fully motivated later in this section by the use of matrices in "linear

transformations," by which this multiplication is suggested.

7.2 Perkalian Matriks

Perkalian matriks berarti perkalian matriks dengan matriks. Ini adalah yang terakhiroperasi aljabar untuk didefinisikan (kecuali untuk transposisi, yang kurang penting).Sekarang matriks yang ditambahkan dengan menambahkan entri yang sesuai. Dalam perkalian, kita kalikanentri yang sesuai? Jawabannya adalah tidak. Mengapa tidak? Operasi semacam itu tidak akan adabanyak digunakan dalam aplikasi. Definisi standar dari perkalian terlihat buatan, namunakan sepenuhnya termotivasi kemudian dalam bagian ini dengan menggunakan matriks dalam "liniertransformasi, "dengan mana perkalian ini adalah disarankan.

DEFINITION

Multiplication of a Matrix by a Matrix

The product C = AB (in this order) of an 111 X 11 matrix A = [Gjk] times an r X p

matrix B = [bjk] is defined if and only if r = 11 and is then the 111 X P matrix

C = [Cjk] with entries

DEFINISI

Perkalian Matrix dengan MatriksProduk C = AB (dalam urutan ini) dari 111 X 11 matriks A = [Gjk] kali sebuah r X pmatriks B = [bjk] didefinisikan jika dan hanya jika r = 11 dan kemudian dengan 111 XP matriksC = [CJK] dengan entri

The condition r = n means that the second factor, B, must have as many rows as the first factor has columns, namely n. As a diagram of sizes (denoted as shown):Kondisi r = n berarti bahwa faktor kedua, B, harus memiliki baris sebanyak yang pertamafaktor memiliki kolom, yaitu n. Sebagai diagram ukuran (dilambangkan seperti yang ditunjukkan):

Cjk in (1) is obtained by multiplying each entry in thejth row of A by the corresponding entry in the kth column of B and then adding these 11 products. For instance, C21 = G21bl1 + G22b21 + ... + G2nbnl, and so on. One calls this briefly a "multiplicatioll of rows into columlls." See the illustration in Fig. 155, where 11 = 3.CJK dalam (1) diperoleh dengan mengalikan setiap entri dalam baris thejth dari A dengan yang sesuaientri dalam kolom ke-k dari B dan kemudian menambahkan ini 11 produk. Sebagai contoh,C21 = G21bl1 + G22b21 + ... + G2nbnl, dan sebagainya. Satu panggilan ini secara singkat"multiplicatioll baris ke columlls." Lihat ilustrasi pada Gambar. 155, dimana 11 = 3.

Here ell = 3 . 2 + 5 . 5 + (- I) . 9 = 22, and '0 on. The entry in the box is ("23 = 4' 3 + O· 7 + 2 . 1 = 14. The product BA is not defined.Berikut ell = 3. 2 + 5. 5 + (- I). 9 = 22, dan '0 pada. Entri dalam kotak ("23 = 4 '3 + O • 7 + 2. 1 = 14.BA produk tidak didefinisikan.

E X AMP L E 4 CAUTION! Matrix Multiplication Is Not Commutative, AB ≠ BA in General

CONTOH 4 PERHATIAN! Perkalian matriks Tidak komutatif, AB ≠ BA 'di Umum

This is illustrated by Examples I and 2. where one of the two products is not even defined. and by Example 3.

where the two products have different sizes. But it also holds for square matrices. For instance.

Hal ini diilustrasikan dengan Contoh I dan 2. di mana salah satu dari dua produk bahkan tidak didefinisikan. dan dengan Contoh 3.di mana kedua produk memiliki ukuran yang berbeda. Tapi itu juga berlaku untuk matriks persegi. Sebagai contoh.

It is interesting that this also shows that AB = 0 does 1101 necessarily imply BA = 0 or A = 0 or B = O. We

shall discuss this further in Sec. 7.8. along with reasons when this happens. •

Sangat menarik bahwa ini juga menunjukkan bahwa AB = 0 tidak selalu berarti BA = 0 atau A = 0 atau B = O. Kamiakan membahas ini lebih lanjut dalam Sec. 7.8. bersama dengan alasan saat ini terjadi.

Our examples show that the order offactors in matrix products must always be obse",ed

vel)' carefully. Otherwise matrix multiplication satisfies rules similar to those for numbers,

namely.

Contoh kami menunjukkan bahwa urutan offactors dalam produk matriks harus selalu obse ", edvel) 'hati-hati. Perkalian matriks Jika tidak memenuhi aturan serupa dengan yang untuk nomor,yaitu.

provided A, B, and C are such that the expressions on the left are defined; here, k is any

scalar. (2b) is called the associative law. l2c) and (2d) are called the distributive laws.

Since matrix mUltiplication is a multiplication of rows into columns. we can write the

defining formula (1) more compactly as

menyediakan A, B, dan C adalah sedemikian rupa sehingga ekspresi di sebelah kiri didefinisikan, di sini, k adalah setiapskalar. (2b) disebut hukum asosiatif. l2c) dan (2d) disebut hukum distributif.Karena perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom. kita dapat menulismendefinisikan rumus (1) lebih kompak sebagai

where aJ

is the jth row vector of A and bk is the hh column vector of B, so that in agreement with (1),

Dimana aj adalah vektor baris n dari A dan bkadalah kolom jj vektor dari B, sehingga dalamperjanjian dengan (1),

E X AMP L E 5 Product in Terms of Rowand Column Vectors

CONTOH 5 Produk dalam Ketentuan Row Dan Vektor Kolom

Parallel processing of products on the computer is facilitated by a variant of (3) for

computing C = AB, which is used by standard algorithms (such as in Lapack). In this

method, A is used as given. B is taken in terms of its column vectors, and the product is

compUled columnwise: thus,

Pengolahan paralel produk di komputer ini difasilitasi oleh varian dari (3) untukkomputasi C = AB, yang digunakan oleh algoritma standar (seperti di Lapack). dalam hal inimetode, Sebuah digunakan sebagai diberikan. B diambil dalam hal vektor kolom, dan produkcompUled columnwise: dengan demikian,

Columns of B are then assigned to different processors (individually or several IO each

processor), which simultaneously compute the columns of the product matrix Abl , Ab2, etc.

Kolom B kemudian ditugaskan untuk prosesor yang berbeda (individual atau beberapa IO setiapprosesor), yang sekaligus menghitung kolom dari produk matriks ABL,, AB2 dll

E X AMP L E 6 Computing Products Columnwise by (5)

CONTOH 6 Komputasi Bijaksana Produk Kolom dengan (5)

of AB and theu wnte them as a single matrix, as shown in the first formula ou the right.

dari AB dan kemudian menulis mereka sebagai matriks tunggal, seperti yang ditunjukkan pada rumus pertama ou kanan.

Motivation of Multiplication by Linear Transformations

Motivasi Perkalian oleh Transformasi Linear

LeL us now motivate the "unnatural" matrix multiplication by its use in linear

transformations. For II = 2 variables these transformations are of the form

Mari kita sekarang memotivasi "tidak wajar" perkalian matriks dengan penggunaannya dalam liniertransformasi. Untuk II = 2 variabel ini adalah transformasi dari bentuk

and suffice to explain the idea. (For general n they will be discussed in Sec. 7.9.) For

instance, (6*) may relate an xlx2-coordinate system to a YIY2-coordinate system in the

plane. In vectorial form we can write (6*) as

dan cukup untuk menjelaskan ide. (Untuk umum n mereka akan dibahas dalam Bagian 7.9..) UntukMisalnya, (6 *) mungkin berhubungan sistem xlx2-koordinat ke sistem koordinat YIY2 dalampesawat. Dalam bentuk vectorial kita dapat menulis (6 *) sebagai

Sekarang anggaplah lebih lanjut bahwa xlx2-sistem terkait dengan sistem wlw2-oleh yang lain liniertransformasi, katakanlah,

Then the )'IY2-system is related to the ~1'lw2-system indirectly via the x1x2-system, and we

wish to express this relation directly. Substitution will show that this direct relation is a

linear transformation, too, say,

Kemudian) 'IY2-sistem terkait dengan sistem 1'lw2-~ secara tidak langsung melalui sistem x1x2-, dan kamiingin mengungkapkan hubungan ini secara langsung. Pergantian akan menunjukkan bahwa ini adalah hubungan langsungtransformasi linier, juga, mengatakan,

Indeed, substituting (7) into (6), we obtain

Memang, mengganti (7) ke (6), kita memperoleh

Comparing this with (8), we see that

Bandingkan ini dengan (8), kita melihat bahwa

This proves that C = AB with the product defined as in (I). For larger matrix sizes the

idea and result are exactly the same. Only the number of variables changes. We then have

III variables y and n variables x and p variables w. The matrices A, B, and C = AB then

have sizes III X Il, 11 X p. and m X p. respectively. And the requirement that C be the

product AB leads to formula (1) in its general form. This motivates matrix multiplication

completely.

Ini membuktikan bahwa C = AB dengan produk didefinisikan sebagai dalam (I). Untuk ukuran matriks yang lebih besaride dan hasil yang persis sama. Hanya jumlah perubahan variabel. Kita kemudian memilikiIII variabel y dan n variabel x dan p variabel w. Matriks A, B, dan C = AB kemudianmemiliki ukuran III X Il, 11 X h. dan m X h. masing-masing. Dan persyaratan bahwa C adalahAB produk mengarah ke rumus (1) dalam bentuk umum. Hal ini memotivasi perkalian matrikssepenuhnya.

Transposition

pengangkutan

Transposition provides a transition from row vectors to column vectors and conversely.

More generally, it gives us a choice to work either with a matrix or with its transpose.

whatever will be more practical in a specific situation.

pengangkutan menyediakan transisi dari vektor baris untuk vektor kolom dan sebaliknya.Lebih umum, memberikan kita pilihan untuk bekerja baik dengan matriks atau dengan transposnya.apapun akan lebih praktis dalam situasi tertentu.

DEFINITION

Transposition of Matrices and Vectors

Transposisi Matriks dan Vektor

The transpose of an III X /I matrix A = [ajk] is the 11 X m matrix AT (read A transpose)

that has the rust row of A as its first column, the second row of A as its second

column. and so on. Thus the transpose of A in (2) is AT = [a/<J], written out

Transpose dari sebuah X III / I matriks A = [AJK] adalah matriks m X 11 AT (baca A transpos)yang memiliki karat baris dari A sebagai kolom pertama, baris kedua dari A sebagai keduakolom. dan sebagainya. Jadi transpos A dalam (2) adalah AT = [a / <J], ditulis

Sebagai kasus khusus, transposisi mengkonversi vektor baris ke vektor kolom dansebaliknya.

E X AMP L E 7 Transposition of Matrices and Vectors

CONTOH 7 Transposisi Matriks dan Vektor

A little more compactly, we can write

Sedikit lebih kompak, kita dapat menulis

Note that for a square matrix. the transpose is obtained by interchanging entries that are symmetrically positioned

with respect to the main diagonal, e.g., a12 and a21. and so on.

Perhatikan bahwa untuk matriks kuadrat. transpos diperoleh oleh entri interchanging yang diposisikan simetrissehubungan dengan diagonal utama, misalnya, a12 a21 dan. dan sebagainya.

Rules for transposition are

Aturan untuk transposisi yang

CAUTION! Note that in (lOd) the transposed matrices are ill reversed order. We leave

the proofs to the student. (See Prob. 22.)

PERHATIAN! Perhatikan bahwa dalam (Lod) matriks transpos sakit terbalik urutan. kami meninggalkanbukti kepada siswa. (Lihat Prob 22..)

Special Matrices

khusus Matriks

Certain kinds of matrices will occur quite frequently in our work, and we now list the

most important ones of them.

Beberapa jenis matriks akan terjadi cukup sering dalam pekerjaan kami, dan kami sekarang daftaryang paling penting dari mereka.

Symmetric and Skew-Symmetric Matrices. Transposition gives rise to two useful

classes of matrices, as follows. Symmetric matrices and skew-symmetric matrices are

square matrices whose transpose equals the matrix itself or minus the matrix, respectively:

Matriks simetris dan miring-Symmetric. pengangkutan menimbulkan dua bergunakelas matriks, sebagai berikut. Matriks simetris dan matriks simetris-miring yangmatriks bujursangkar yang sama transpos matriks itu sendiri atau minus matriks, masing-masing:

E X AMP L E 8 Symmetric and Skew-Symmetric Matrices

CONTOH 8 Matriks Symmetric dan Skew-Simetris

For instance, if a company has three building supply centers C1 , C2 , C3, then A could show costs, say, ajj for

handling 1000 bags of cement on ceoter Cj

, and ajl, (j "* k) the cost of shipping 1000 bags from Cj

to Ck .

Clearly. ajk = lI~j because shipping in the opposite direction will usually cost the same.

Sebagai contoh, jika sebuah perusahaan memiliki tiga gedung pusat pasokan C1, C2, C3, maka A dapat menunjukkan biaya, mengatakan, ajj untuk1000 penanganan kantong semen pada ceoter Cj, Dan AJL, (j "* k) biaya pengiriman 1000 tas dari Cjke Ck.Jelas. AJK = LI ~ j karena pengiriman dalam arah yang berlawanan biasanya akan biaya yang sama.

Symmetric matrices have several general pmperties which make them importaot. This will be seen as we

proceed.

Matriks simetrik memiliki sifat umum beberapa yang membuat mereka penting. Ini akan terlihat seperti yang kitamelanjutkan.

Triangular Matrices. Upper triangular matrices are square matrices that can have

nonzero entries only on and above the main diagonal, whereas any entry below the diagonal

must be zero. Similarly, lower triangular matrices can have nonzero entries only on and

below the main diagonaL Any entry on the main diagonal of a triangular matrix may be

zero or not.

Matriks segitiga. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang dapat memilikientri nol hanya pada dan di atas diagonal utama, sedangkan entri di bawah diagonalharus nol. Demikian pula, matriks segitiga bawah dapat memiliki entri tidak nol hanya pada dandi bawah entri diagonal utama Setiap pada diagonal utama matriks segitiga dapatnol atau tidak.

EXAMPLE 9 Upper and Lower Triangular Matrices

CONTOH 9 Matriks Segitiga Atas dan Bawah

CHAP. 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems

CHAP. 7 Linear Aljabar: Matriks, Vektor, Penentu. Sistem linear

Diagonal Matrices. These are square matrices that can have nonzero entries only on

the main diagonal. Any entry above or below the main diagonal must be zero.

Matriks diagonal. Ini adalah matriks persegi yang dapat memiliki entri nol hanya padadiagonal utama. Setiap entri di atas atau di bawah diagonal utama harus nol.

If all the diagonal entries of a diagonal matrix S are equal. say, c, we call S a scalar

matrix because mUltiplication of any square matrix A of the same size by S has the same

effect as the multiplication by a scalar, that is,

Jika semua entri diagonal dari matriks diagonal S adalah sama. mengatakan, c, kita sebut S skalarmatriks karena perkalian dari setiap matriks bujursangkar A dari ukuran yang sama oleh S memiliki yang samaefek sebagai perkalian oleh sebuah skalar, yaitu,

In particular, a scalar matrix whose entries on the main diagonal are all 1 is called a

unit matrix (or identity matrix) and is denoted by In or simply by I. For I, formula (12)

becomes

Secara khusus, matriks skalar yang entri pada diagonal utama adalah semua 1 disebutUnit matriks (atau matriks identitas) dan dilambangkan oleh In atau hanya dengan I. Karena aku, rumus (12)menjadi

E X AMP L E 1 0 Diagonal Matrix D. Scalar Matrix S. Unit Matrix I

CONTOH 1 0 Matriks Diagonal Matriks Skalar D. Matriks Satuan S. Saya

Applications of Matrix Multiplication

Aplikasi Perkalian Matriks

Matrix multiplication will play a crucial role in connection with linear systems of

equations, beginning in the next section. For the time being we mention some other simple

applications that need no lengthy explanations.

Perkalian matriks akan memainkan peran penting dalam kaitannya dengan sistem linearpersamaan, dimulai pada bagian berikutnya. Untuk saat ini kami menyebutkan beberapa sederhana

lainnyaaplikasi yang tidak perlu penjelasan panjang lebar.

E X AMP L E 11 Computer Production. Matrix Times Matrix

CONTOH 11 Komputer Produksi. Matrix Matrix Waktu

Supercomp Ltd produces two computer models PC I 086 and PC 1186. The matrix A shows the cost per computer

(in thollsands of dollars) and B the production figures for the year 2005 (in multiples of 10000 units.) Find a

mutrix C that shows the shareholders the cost per quarter (in millions of dollars) for raw muterial. labor. and

miscellaneous.

Supercomp Ltd memproduksi dua model komputer PC saya 086 dan PC 1186. Matriks A menunjukkan biaya per komputer(dalam thollsands dolar) dan B angka produksi untuk tahun 2005 (dalam kelipatan 10000 unit.) Carimutrix C yang menunjukkan pemegang saham biaya per kuartal (dalam jutaan dolar) untuk muterial mentah. tenaga kerja. danlain-lain.

Solutioll.

Solusi.

Since cost b given io multiples of $1000 aod production in multiples of 10 000 units the eotries of Care

multiples of $10 millioos; thus ell = 13.2 means $132 miUion. etc.

Karena b biaya tertentu kelipatan io sebesar $ 1000 produksi AOD dalam kelipatan 10 000 unit yang eotries Carekelipatan dari millioos $ 10, dengan demikian ell = 13,2 berarti miUion $ 132. dll •

E X AMP L E 12 Weight Watching. Matrix Times Vector

CONTOH 12 Menonton Berat. Matrix Waktu Vecto

Suppose that in a weight-watching program. a person of 1851b burns 350 callhr in walking (3 mph). 500 in

bycycling (13 mph) and 950 in jogging (5.5 mph). Bill. v.eighing 185 lb. plans to exercise according to lhe

matrix shown. Verify the calculmions (W = Walking. B = Bicycling. J = Jogging).

Misalkan bahwa dalam program penurunan berat menonton. orang dari 350 1851b callhr luka bakar dalam berjalan (3 mph). 500 dibycycling (13 mph) dan 950 dalam joging (5,5 mph). Bill. v.eighing rencana £ 185 untuk latihan sesuai dengan LHEmatriks ditampilkan. Verifikasi calculmions (W = Berjalan B = Bersepeda J = Jogging..).

EXAMPLE 13 Markov Process. Powers of a Matrix. Stochastic Matrix

CONTOH 13 Markov Process. Kekuasaan Matriks. Stochastic Matrix

Suppose that the 2004 state of land use in a city of 60 mi2 of built-up area i~

C: Commercially Used 25% I: Industrially Used 20% R: Residentially Used 55%.

C: 25% Digunakan komersial I: Dalam industri Digunakan R 20%: 55% Residentially Digunakan.

Find the stales in 2009, 2014. and 2019, assuming that the transition probabilitie~ for 5-year intervals are given

by the matrix A and remain practically the same over the time considered.

Cari stales pada tahun 2009, 2014. dan 2019, dengan asumsi bahwa transisi probabilitie ~ selama 5-tahun interval diberikanoleh matriks A dan tetap praktis sama atas waktu dianggap.

A is a stochastic matrix, that is, a square matrix with all entries nonnegative and all column sums equal to I.

Our example concerns a Markov process1, that is. a process for which thc probability of entering a certain state depends only 00 the last state occupied (and the matrix A), not on any earlier state.

Solutioll. From the matrix A and the 2004 state we can compute the 2009 state.

A adalah matriks stokastik, yaitu matriks persegi dengan semua entri taknegatif dan kolom semua jumlah sama dengan I.Contoh kami menyangkut proses Markov1, Yaitu. proses yang THC kemungkinan memasuki negara tertentutergantung hanya 00 negara terakhir ditempati (dan A matriks), tidak pada setiap keadaan sebelumnya.Solutioll. Dari matriks A dan negara 2004 kita dapat menghitung negara 2009.

To explain: The 2009 figure for C equals 25o/c times the probability 0.7 that C goes into C, plus 20'7< time~ the probability 0.1 that I goes into C, plus 55% times the probability U that R goes into C. Together,Untuk menjelaskan: Angka 2009 untuk C sama dengan 25o / c 0,7 kali kemungkinan bahwa C masuk ke dalam C, ditambah 20'7 <~ waktu itu0,1 probabilitas bahwa saya masuk ke dalam C, ditambah kali 55% probabilitas bahwa U R masuk ke dalam C Bersama,

Similarly. the new R is 46.5%. We see that the 200!) state vector is the column vectorDemikian. R baru 46,5%. Kita melihat bahwa negara vektor 200!) Adalah vektor kolom

where the column ~ector X = [25 20 55] T is the given 2004 state vector. Note that the ~um of the entries of y is 100 ['7<]. Similarly. you may verify that for 2014 and 20[9 we get the state vectorsmana kolom ~ Ector X = [25 20 55] T adalah vektor 2004 negara diberikan. Perhatikan bahwa ~ um entri-entri dariy 100 ['7 <]. Demikian. Anda dapat melakukan verifikasi bahwa untuk tahun 2014 dan 20 [9 kita mendapatkan vektor negara

CHAP. 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear SystemsCHAP. 7 Linear Aljabar: Matriks, Vektor, Determinan. Sistem linearAnswer. In 2009 the commercial area will be 19.5% (11.7 mi ). the industrial 34% (20.4 mi ) and the residential 46.5% (27.9 mi2). For 2014 the conesponding figures are 17.05%.43.80%. 39.15o/r. For 2019 they are 16.315%. 50.660%. 33.0:!5o/c. (In Sec. 8.2 we shall see what happens in the limit. assuming that those probabilities remain the same. In the meantime. can you experiment or guess?) Jawaban. Pada tahun 2009 daerah komersial akan 19,5% (11,7 mil). yang 34% industri (20,4 mil) danperumahan 46,5% (27.9 mil2). Untuk 2014 angka 17,05% conesponding yang .43.80%. 39.15o / r. Untuk 2019 merekaadalah 16,315%. 50,660%. 33,0: 5o / c. (Dalam Sec 8.2 kita akan melihat apa yang terjadi pada limit.. Dengan asumsi bahwa merekaprobabilitas tetap sama. Sementara itu. Anda bisa bereksperimen atau menebak?) •

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination7.3 Sistem Persamaan Linear.Gauss EliminasiThe most important use of matrices occurs in the solution of systems of linear equations, briefly called linear systems. Such systems model various problems, for instance, in frameworks, electrical networks, traffic flow, economics, statistics, and many others. In this section we show an important solution method, the Gauss elimination. General properties of solutions will be discllssed in the next sections.Penggunaan paling penting dari matriks terjadi dalam solusi sistem persamaan linear,singkat disebut sistem linear. Model seperti masalah berbagai sistem, misalnya, dalamkerangka, jaringan listrik, arus lalu lintas, ekonomi, statistik, dan banyak lainnya. dalambagian ini kita menunjukkan metode solusi yang penting, penghapusan Gauss. umumsifat solusi akan discllssed pada bagian selanjutnya.Linear System, Coefficient Matrix, Augmented Matrix A linear system of m equations in 11 unknowns"\ b ... 'Xn is a set of equations of the formSistem Linear, Koefisien Matrix, Augmented MatrixSuatu sistem linear dari m persamaan 11 tidak diketahui "\ b ... 'Xnadalah satu set persamaan dalam bentuk

The system is called linear because each variable Xj appears in the first power only, just as in the equation of a straight line. alb"', amn are given numbers, called the coefficients of the system. bI, ... , bm on the right are also given numbers. [f all the bj are zero, then (1) is called a homogeneous system. If at least one bj is not zero, then (1) is called a nonhomogeneous system.Sistem ini disebut linear karena masing-masing variabel Xj muncul dalam kekuasaan pertama saja, hanyaseperti dalam persamaan garis lurus. alba "', AMNdiberi nomor, disebutkoefisien dari sistem. BI, ... , bmdi sebelah kanan juga diberi nomor. [f semua bj iniadalah nol, maka (1) disebut sistem homogen. Jika setidaknya satu bjtidak nol, maka (1)disebut sistem nonhomogen.A solution of (1) is a set of numbers Xl' •.•• Xn that satisfies all the m equations. A solution vector of (1) is a vector x whose components form a solution of (1). If the system (1) is homogeneous. it has at least the trivial solution Xl = 0, .... Xn = O. Suatu Suatu larutan (1) adalah satu set nomor Xl '• • • Xn yang memenuhi semua persamaan m..Sebuah vektor solusi dari (1) adalah komponen vektor x yang membentuk larutan (1). Jikasistem (1) adalah homogen. memiliki setidaknya memiliki solusi trivial XL = 0, .... Xn = O.Matrix Form of the Linear System (1). From the definition of matrix multiplication we see that the m equations of (1) may be written as a single vector equationBentuk matriks Sistem Linear (1). Dari definisi perkalian matrikskita melihat bahwa persamaan m (1) dapat ditulis sebagai persamaan vektor tunggal

where the coefficient matrix A = [ajk] is the In x n matrixdi mana matriks koefisien A = [AJK] adalah matriks Dalam xn

are column vectors. We assume that the coefficients (/jk are not all zero, so that A is not a zero matrix. Note that x has 11 components, whereas b has III components. The matrixadalah vektor kolom. Kami berasumsi bahwa koefisien (/ jk tidak semuanya nol, sehingga A tidakmatriks nol. Perhatikan bahwa x memiliki 11 komponen, sedangkan b memiliki komponen III. Matriks

is called the augmented matrix of the system (1). The dashed vertical line could be omitted (as we shall do later); it is merely a reminder that the last column of A does not belong to A.disebut matriks yang diperbesar dari sistem (1). Garis vertikal putus-putus dapatdihilangkan (seperti yang akan kita lakukan nanti), itu hanyalah pengingat bahwa kolom terakhir dari A tidakmilik A.The uugmellted mutrix A determines the system (1) completely becam,e it contains all the given numbers appearing in (1).Matriks meleleh A menentukan sistem (1) sepenuhnya menjadi, e mengandung semuayang diberikan nomor yang muncul dalam (1).

E X AMP L E 1 Geometric Interpretation. Existence and Uniqueness of SolutionsCONTOH 1 Interpretasi geometrik. Keunikan keberadaan dan SolusiIf m = n = 2. we have two equations in two unknowns Xl, X2Jika m = n = 2. kita memiliki dua persamaan dalam dua variabel Xl, X2

If we interpret Xl, X2 as coordinates in the xlx2-plane. then each of the two equations represems a slraight line. and (Xl. -'"2) is a solution if and only if the point P with coordinates Xl' X2 lies on both lines. Hence there are three possible cases:

Jika kita menginterpretasikan Xl, X2 sebagai koordinat pada bidang xlx2-. maka setiap dari dua persamaan garis slraight represems.dan (Xl. - '"2) adalah solusi jika dan hanya jika titik P dengan koordinat Xl' X2 terletak pada kedua saluran Oleh karena itu ada.tiga kemungkinan kasus:(aJ Precisely one solution if the lines intersect. (b) Infinitely many solutions if the lines coincide. (c) No solution if the lines are parallel(a) Tepatnya satu solusi jika garis berpotongan.(b) solusi Jauh banyak jika garis bertepatan.(c) Tidak ada solusi jika garis sejajarFor instance,Sebagai contoh,

If the system is homogenous, Case (c) cannot happen. because then those two straight lines pass through the origin. whose coordinates O. 0 constitute the trivial solution. If you wish, consider three equations in three unknowns as representations of three planes in space and discuss the various possible cases in a similar fashion. See Fig. 156. •Jika sistem homogen, Kasus (c) tidak dapat terjadi. karena kemudian dua garis lurus melewatiasal. yang koordinat O. 0 merupakan solusi trivial. Jika Anda ingin, mempertimbangkan tiga persamaan dalam tigadiketahui sebagai representasi dari tiga pesawat dalam ruang dan mendiskusikan berbagai kemungkinan kasus dengan cara yang sama.Lihat Gambar. 156. •Our simple example illustrates that a system (I) may perhaps have no solution. This poses the following problem. Does a given system (1) have a solution? Under what conditions does it have precisely one solution? If it has more than one solution, how can we characterize the set of all solutions? How can we actually obtain the solutions? Perhaps the last question is the most immediate one from a practical viewpoint. We shall answer it first and discuss the other questions in Sec. 7.5.Contoh sederhana kami menunjukkan bahwa sistem (saya) mungkin mungkin memiliki solusi. Hal ini menimbulkan

masalah berikut. Apakah sistem yang diberikan (1) yang punya solusi? Dalam kondisi apaapakah itu memiliki tepat satu solusi? Jika memiliki lebih dari satu solusi, bagaimana kita bisamencirikan himpunan semua solusi? Bagaimana kita bisa benar-benar mendapatkan solusi? mungkinpertanyaan terakhir adalah yang paling langsung dari sudut pandang praktis. Kami akan menjawabpertama dan membahas pertanyaan-pertanyaan lain di Sec. 7.5.Gauss Elimination and Back SubstitutionGauss Eliminasi dan Substitusi KembaliThis is a standard elimination method for solving linear systems that proceeds systematically irrespective of particular features of the coefficients. It is a method of great practical importance and is reasonable with respect to computing time and storage demand (two aspects we shall consider in Sec. 20.1 in the chapter on numeric linear algebra). We begin by motivating the method. If a system is in "triangular form," say,Ini adalah metode eliminasi standar untuk menyelesaikan sistem linear bahwa hasilsistematis terlepas dari fitur tertentu dari koefisien. Ini adalah metode yang baguskepentingan praktis dan wajar terhadap waktu komputasi dan permintaan penyimpanan(dua aspek akan kita pertimbangkan dalam Sec 20.1 dalam bab tentang aljabar linear numerik.). kamimulai dengan metode memotivasi. Jika sistem berada dalam "bentuk segitiga," katakan,

we can solve it by "back substitution," that is, solve the last equation for the variable. X2 = -26113 = -2, and then work backward, substituting X2 = -2 into the fIrst equationkita dapat memecahkannya dengan "substitusi balik," yaitu, memecahkan persamaan terakhir untuk variabel.X2 = -26113 = -2, dan kemudian bekerja mundur, menggantikan X2 = -2 ke dalam persamaan pertamaand solve it for Xl' obtaining Xl = ~(2 - 5x2 ) = ~(2 - 5· (-2» = 6. This gives us the idea of fIrst reducing a general system to triangular form. For instance, let the given system bedan memecahkan untuk mendapatkan XL '= Xl ~ (2 - 5x2) - ide 5 · (-2 »= 6 ini memberikan kita = ~ (2.Pertama mengurangi sistem umum untuk bentuk segitiga. Sebagai contoh, biarkan sistem yang diberikan akan

We leave the fust equation as it is. We eliminate Xl from the second equation. to get a triangular system. For this we add twice the fIrst equation to the second, and we do the same operation on the rows of the augmented matrix. This gives -4Xl + 4Xl + 3X2 + 10x2 = -30 + 2· 2, that is,Kami meninggalkan persamaan fust seperti itu. Kami menghilangkan Xl dari persamaan kedua. untuk mendapatkan segitigasistem. Untuk ini kita menambahkan dua kali persamaan pertama untuk yang kedua, dan kami melakukan operasi yang samapada baris dari matriks yang diperbesar. Hal ini memberikan-4XL + 4XL + 3x2 + 10x2 = -30 + 2 · 2,yaitu,

where Row :2 + :2 Row I means "Add twice Row 1 to Row T in the original matrix. This is the Gauss elimination (for 2 equations in 2 unknowns) giving the triangular form, from which back substitution now yields X2 = - 2 and Xl = 6, as before.mana Row: 2 +: 2 Row I berarti "Tambah dua kali Row 1 Row T dalam matriks asli.Ini adalah eliminasi Gauss (untuk 2 persamaan dalam 2 diketahui) memberikan bentuk segitiga,dari mana substitusi kembali sekarang menghasilkan X2 = - 2 dan XL = 6, seperti sebelumnya.Since a linear system is completely determined by its augmented matrix, Gauss elimination call be dOlle by merely considering the matrices, as we have just indicated. We do this again in the next example. emphasizing the matrices by writing them first and the equations behind them. just as a help in order not to lose track.Karena sistem linear sepenuhnya ditentukan oleh matriks yang diperbesar, Gausspanggilan eliminasi akan Dolle hanya dengan mempertimbangkan matriks, seperti yang kita baru saja ditunjukkan.Kami melakukan ini lagi di contoh berikut. menekankan matriks dengan menulis mereka terlebih dahulu danpersamaan di belakang mereka. hanya sebagai bantuan agar tidak kehilangan jejak.

Solution by Gauss Elimination. This system could be solved rather quickly by noticing its particular form. But this is not the point. The point is that the Gauss elimination is systematic and will work in general, also for large systems. We apply it to our system and then do back substitution. As indicated let us write the augmented matrix of the system first and then the system itself:Eliminasi Gauss solusi dengan. Sistem ini dapat diselesaikan lebih cepat dengan memperhatikan tertentu yangbentuk. Tapi ini bukan titik. Intinya adalah bahwa penghapusan Gauss yang sistematis dan akan bekerja pada umumnya,juga untuk sistem yang besar. Kita menerapkannya pada sistem kami dan kemudian melakukan substitusi balik. Seperti yang ditunjukkan mari kita menulismatriks dari sistem pertama dan kemudian sistem itu sendiri:

Step 1. Elimination of Xl Call the first row of A the pivot row and the first equation the pivot equation. Call the coefficient I of its

xrterm the pivot in this step. Use this equation to eliminate Xl (get rid ot xl) in the other equations. For this, do:Langkah 1. Penghapusan XlPanggil baris pertama dari A baris poros dan persamaan pertama persamaan pivot. Panggil koefisien I dari nyaxrterm poros dalam langkah ini. Gunakan persamaan ini untuk menghilangkan Xl (menyingkirkan ot xl) dalam persamaan yang lain. Untuk ini, lakukan:Add I times the pivot equation to the second equation. Add -20 times the pivot equation to the fourth equation.Tambahkan Aku kali persamaan pivot untuk persamaan kedua.Tambahkan -20 kali persamaan pivot untuk persamaan keempat.This corresponds to row operations on the augmented matrix as indicated in BLUI behind the new matrix in (3). So the operations are performed on the preceding matrix. The result isHal ini sesuai dengan baris operasi pada matriks yang diperbesar seperti yang ditunjukkan dalam BLUI belakang matriks baru di(3). Jadi operasi yang dilakukan pada matriks sebelumnya. Hasilnya adalah

Step 2. Elimination of X2 The first equation remains as it is. We want the new second equation to serve as the next pivot equation. But since it has no x2-term (in fact, it is 0 = 0), we mllst first change the order of the equations and the corresponding rows of the new mauix. We put 0 = 0 at the end and move the third equation and rhe fourth equation one place up. This is called partial pivoting (as opposed to the rarely used total pivoting, in which also the order of the unknowns is changed). It givesLangkah 2. Penghapusan X2Persamaan pertama tetap seperti itu. Kami ingin persamaan kedua baru untuk melayani sebagai persamaan poros berikutnya. tapikarena tidak memiliki jangka x2 (pada kenyataannya, itu adalah 0 = 0), kita mllst pertama mengubah urutan persamaan dan sesuaibaris dari mauix baru. Kami menempatkan 0 = 0 di akhir dan memindahkan persamaan ketiga dan keempat persamaan RHE satu tempatup. Ini disebut parsial berputar (sebagai lawan total jarang digunakan berputar, di mana juga urutantidak diketahui berubah). Ini memberi

To eliminate X2' do: Add -3 times the pivot equation to the third equation. The result isUntuk menghilangkan 'X2 lakukan:Tambahkan -3 kali persamaan poros ke persamaan ketiga.Hasilnya adalah

Back Substitution. Determination ofx3' x2' Xl (in this order) Working backward from the last to the first equation of this "triangular" system (4), we can now readily find x3, then .\'2, and then xl:Kembali Pergantian. Penentuan ofx3 'x2' XL (dalam urutan ini)Bekerja mundur dari terakhir ke persamaan pertama dari sistem "segitiga" (4), kita sekarang dapat dengan mudah menemukan. x3, maka \ '2, dan kemudian xl:

where A stands for "amperes." This is the answer to our problem. The solution is unique.dimana A singkatan dari "ampere." Ini adalah jawaban untuk masalah kita. Solusinya adalah unik.Elementary Row Operations. Row-Equivalent Systems Example 2 illustrates the operations of the Gauss elimination. These are the first two of three operations. which are calledDasar Row Operasi. Baris-Setara SistemContoh 2 mengilustrasikan operasi eliminasi Gauss. Ini adalah dua pertamatiga operasi. yang disebutElementary Row Operations for Matrices: Interchange (~f two rows Addition of a constant multiple of one row to another row Multiplication of a row by a nonzero constant c.Dasar Row Operasi untuk Matriks:Interchange (~ f dua barisPenambahan kelipatan konstan dari satu baris ke baris lainPerkalian suatu baris dengan sebuah konstanta c. taknolCAUTION! These operations are for rows, not for columns! They correspond to the

FollowingPERHATIAN! Operasi ini untuk baris, tidak untuk kolom! Mereka sesuai denganberikutElementary Operations for Equations: Interchange of two equations Addition of a constant multiple of one equation to another equation Multiplication of an equation by a nonzero constant c.Dasar Operasi untuk Persamaan:Pertukaran dari dua persamaanPenambahan kelipatan konstan satu persamaan dengan persamaan lainPerkalian dari persamaan dengan sebuah konstanta c. TaknolClearly, the interchange of two equations does not alter the solution set. Neither does that addition because we can undo it by a corresponding subtraction. Similarly for that multiplication, which we can undo by multiplying the new equation by lIc (since c =1= 0), producing the original equation.Jelas, pertukaran dua persamaan tidak mengubah himpunan solusi. Baik apakah ituSelain itu karena kita dapat membatalkannya dengan pengurangan yang sesuai. Demikian pula untuk ituperkalian, yang kita dapat membatalkan dengan mengalikan persamaan baru dengan lic (karena c = 1 = 0),menghasilkan persamaan asli.We now call a linear system SI row-equivalent to a linear system S2 if SI can be obtained from S2 by (finitely many!) row operations. Thus we have proved the following result, which also justifies the Gauss elimination.Sekarang kita sebut sistem SI linier baris-setara dengan sistem linear S2 jika SI dapatdiperoleh dari dengan S2 (finitely banyak!) operasi baris. Jadi kita telah membuktikan berikutHasilnya, yang juga membenarkan penghapusan Gauss.THEOREM 1 Row-Equivalent Systems Row-equivalent linear systems have the same set of solutions.TEOREMA 1 Row-Setara SistemRow-setara sistem linear memiliki solusi set yang sama.Because of this theorem, systems having the same solution sets are often called equivalent systems. But note well that we are dealing with row operations. No column operations on the augmented matrix are pennitted in this context because they would generally alter the solution set.Karena teorema ini, sistem yang memiliki set solusi yang sama sering disebutsistem setara. Tetapi perhatikan dengan baik bahwa kita berhadapan dengan operasi baris. kolom tidakoperasi pada matriks yang diperbesar yang pennitted dalam konteks ini karena mereka akanumumnya mengubah himpunan solusi.A linear system (1) is called overdetermined if it has more equations than unknowns. as in Example 2. determined if m = n. as in Example I. and underdetermined if it has fewer equations than unknowns.Suatu sistem linear (1) disebut overdetermined jika memiliki persamaan lebih dari diketahui.seperti pada Contoh 2. ditentukan jika m = n. seperti di I. Contoh dan underdetermined jika memilikisedikit persamaan daripada tidak diketahui.Furthermore, a system (1) is called consistent if it has at least one solution (thUS, one solution or infinitely many solutions), but inconsistent if it has no solutions at all, as Xl + X2 = I, Xl + X2 = 0 in Example l.

Selain itu, sistem (1) disebut konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi (dengan demikian, satusolusi atau tak terhingga banyaknya solusi), tetapi tidak konsisten jika tidak memiliki solusi sama sekali, karenaXl + X2 = Saya, Xl + X2 = 0 pada Contoh l.Gauss Elimination: The Three Possible Cases of SystemsEliminasi Gauss: Para Kasus Tiga Kemungkinan SistemThe Gauss elimination can take care of linear systems with a unique solution (see Example 2), with infinitely many solutions (Example 3, below), and without solutions (inconsistent systems; see Example 4).Penghapusan Gauss bisa mengurus sistem linear dengan solusi yang unik (lihat Contoh2), dengan takterhingga banyaknya solusi (Contoh 3, bawah), dan tanpa solusi (konsistensistem; lihat Contoh 4).E X AMP L E 3 Gauss Elimination if Infinitely Many Solutions ExistSolve the following linear systems of three equatIons in four unknowns whose augmented matrix isCONTOH 3 Gauss Eliminasi jika Banyak Solusi Jauh ExistSelesaikan sistem linear berikut dari tiga persamaan dalam empat tidak diketahui yang merupakan matriks yang diperbesar

Solutioll. As in the previous example. we circle pivots and box terms of equations and corresponding entries to be eliminated. We indicate the operations in terms of equations and operate on both equations and matrices. Step 1. Elimillation O/Xl from the second and third equations by addingSolusi. Seperti dalam contoh sebelumnya. kami lingkaran kotak pivot dan istilah persamaan dan masukan yang sesuaiuntuk dihilangkan. Kami menunjukkan operasi dalam hal persamaan dan beroperasi pada kedua persamaan dan matriks.Langkah 1. Elimillation O / Xl dari persamaan kedua dan ketiga dengan menambahkan- 0.6/3.0 = -0.2 times the first equation to the second equation, - 1.2/3.0 = -0.4 times the first equation to the third equation.- 0.6/3.0 = -0,2 kali persamaan pertama untuk persamaan kedua,- 1.2/3.0 = -0,4 kali persamaan pertama dengan persamaan ketiga.This gives the following, in which the pivot of the next step is circled.Hal ini memberikan berikut, di mana poros langkah berikutnya adalah dilingkari.

Step 2. Elimillatioll 0/ x2 from the third equation of (6) by adding 1.1/1.1 I times the second equation the third equation.Langkah 2. Penghapusan 0x2 dari persamaan ketiga (6) dengan menambahkan1.1/1.1 Saya kali persamaan kedua persamaan ketiga.

This givesHal ini memberikan

Back Substitution. From the second equation. X2 = 1 - X3 + 4x4' From this and the fIrst equation. Xl = 2 - X4' Since x3 and x4 remain arbitrary. we have infinitely many solutions. If we choose a value of x3 and a value of X4. then the corresponding values of Xl and x2 are uniquely determined.Kembali Pergantian. Dari persamaan kedua. X2 = 1 - X3 + '4x4 Dari ini dan persamaan pertama.Xl = 2 - 'X4 Sejak x3 dan x4 tetap sewenang-wenang. kami memiliki takhingga banyaknya. Jika kita memilih nilaix3 dan nilai X4. maka nilai yang sesuai XL dan x2 adalah unik ditentukan.Oil Notation. If unknowns remain arbitrary. it is al~o customary to denote them by other letters 11, 12 •.... In this example we may thus write Xl = 2 - X4 = 2 - 12. x2 = I - x3 + 4X4 = I - '1 + 412. x3 = 11 (flrst arbitrary unknown), X4 = 12 (second arbitrary unknown).Minyak Notasi. Jika diketahui tetap sewenang-wenang. itu adalah Al ~ o adat untuk menunjukkan mereka dengan surat-surat, lain 11 12 • ....Dalam contoh ini kita dengan demikian dapat menulis XL = 2 - X4 = 2 - 12. x2 = I - x3 + 4X4 = I - '1 + 412. x3 = 11 (PERTAMAsewenang-wenang tidak diketahui), X4 = 12 (tidak diketahui sewenang-wenang kedua). E X AMP L E 4 Gauss Elimination if no Solution ExistsCONTOH 4 Gauss Eliminasi jika ada Solusi ExistsWhat will happen if we apply the Gauss elimination to a linear system that has no solution? The answer is that in this case the method will show this fact by producing a contradiction. For instance. ConsiderApa yang akan terjadi jika kita menerapkan eliminasi Gauss ke sistem linier yang memiliki solusi? Jawabannya adalah bahwadalam hal ini metode yang akan menampilkan fakta ini dengan memproduksi sebuah kontradiksi. Sebagai contoh. Pertimbangkan

Step 1. Eliminatioll o/x] from the second and third equations by adding -1/2 time, the fIrst equation to the second equation. -6/3= -2 times the first equation to the third equation.-1 / 2 waktu, persamaan pertama dengan persamaan kedua.-6 / 3 = -2 kali persamaan pertama dengan persamaan ketigaThis give,Ini memberi,

Step 2. Elimillatioll of X2 from the third equation givesLangkah 2. Penghapusan X 2 dari persamaan ketiga memberikan

The false statement 0 = 12 shows that the system has no solution.Pernyataan palsu 0 ~ 12 menunjukkan bahwa sistem tersebut tidak memiliki solusRow Echelon Form and Information From It Row Eselon Formulir dan Informasi Dari IniAt the end of the Gauss elimination the form of the coefficient matrix, the augmented matrix, and the system itself are called the row echelon form. In it. rows of zeros. if present. are the la"t rows. and in each nonzero row the leftmost nonzero entry is farther to the right than in the previous row. For instance. in Example 4 the coefficient matrix and its augmented in row echelon fonn arePada akhir eliminasi Gauss bentuk matriks koefisien, yang diperbesarmatriks, dan sistem itu sendiri disebut bentuk eselon baris. Di dalamnya. baris nol. jikahadir. adalah la "t baris. dan dalam setiap baris nol entri taknol paling kiri adalah jauhke kanan daripada di baris sebelumnya. Sebagai contoh. dalam Contoh 4 matriks koefisiendan yang ditambah di eselon baris fonn yang

Note that we do not require that the leftmost nonzero entries be I since this would have no theoretic or numeric advantage. (The so-called reduced echelon form, in which those entries are I, will be discussed in Sec. 7.8.)Perhatikan bahwa kita tidak memerlukan bahwa entri nol paling kiri menjadi saya karena ini akanada keuntungan teori atau numerik. (Bentuk eselon disebut berkurang, di mana merekaentri saya, akan dibahas dalam Sec. 7.8.)At the end of the Gauss elimination (before the back substitution) the row echelon form of the augmented matrix will bePada akhir eliminasi Gauss (sebelum substitusi balik) bentuk eselon barisdari matriks yang diperbesar akan

Here, r ≤ m and a11 ≠0, C22 ≠0, ... , krr ≠ 0, and all the entries in the blue triangle as well as in the blue rectangle are zero. From this we see that with respect to solutions of the system with augmented matrix (8) (and thus with respect to the originally given system) there are three possible cases:Di sini, r ≤ m dan a11 ≠ 0, C22 ≠ 0, ... , KRR ≠ 0, dan semua entri dalam segitiga biruserta dalam persegi panjang biru adalah nol. Dari ini kita melihat bahwa sehubungan dengan solusidari sistem dengan matriks yang diperbesar (8) (dan dengan demikian sehubungan dengan awalnya diberikansistem) ada tiga kasus yang mungkin:(a) Exactly one solution if r = n and br+1 .. .... bm' if present. are zero. To get the solution. solve the nth equation corresponding to (8) (which is knnxn = bn) for Xn' then the (n - l)st equation for Xn-l, and so on up the line. See Example 2, where r = n = :3 and I7l = 4.(a) Tepat satu solusi jika r = n dan br 1 .. .... bm "jika ada. adalah nol. Untuk mendapatkansolusi. memecahkan persamaan n sesuai dengan (8) (yang knnxn = milyar) untuk 'Xn kemudian(n - l) st persamaan untuk Xn-l, dan seterusnya sampai baris. Lihat Contoh 2, di mana r = n =: 3dan I7l = 4.(b) Infinitely many solutions if r < 11 and b,.+!, .... bm' if present, are zero. To obtain y of these solutions, choose values of Xr + l, ••• 'Xl1 arbitrarily. Then solve the 7th equation r x,., then the (1' - l)st equation for X,._!, and so on up the line. See Example 3.(b) solusi Jauh banyak jika r <11 dan,.+!, b .... 'bm jika ada, adalah nol. untuk mendapatkany dari solusi, memilih nilai dari Xr + l, • • • 'Xl1sewenang-wenang. Kemudian memecahkan persamaan 7rx,, maka (1 '- l) st persamaan untuk,._!, X dan seterusnya sampai baris.. Lihat Contoh 3.(c) No solution if r < 111 and one of the entries b r + I' •.. , bm is not zero. See Example 4, where r = 2 < m = 3 and br + 1 = b3 = 12(c) Tidak ada solusi jika r <111 dan salah satu entri br + I '• .. , bmtidak nol. lihat Contoh4, di mana r = 2 <m = 3 dan br + 1

= b3= 12

7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space7.4 Linear Kemerdekaan. Matriks peringkat.Ruang vektorIn the last section we explained the Gauss elimination with back substitution, the most important numeric solution method for linear systems of equations. It appeared that such a system may have a unique solution or infinitely many solutions. or it may be inconsistent, that is, have no solution at alL Hence we are confronted with the questions of existence and uniqueness of solutions. We shall answer these questions in the next section. As thekey concept for this (and other questions) we introduce the rallk of a matrix. To define rank, we first need the following concepts, which are of general importance.Pada bagian terakhir kita menjelaskan eliminasi Gauss dengan substitusi balik, yang palingmetode solusi numerik yang penting untuk sistem linear persamaan. Ternyata sepertisistem mungkin memiliki solusi unik atau tak terhingga banyaknya solusi. atau mungkin tidak konsisten,yaitu, memiliki solusi sama sekali Oleh karena itu kita dihadapkan dengan pertanyaan-pertanyaan tentang keberadaandan keunikan dari solusi. Kita akan menjawab pertanyaan-pertanyaan pada bagian berikutnya. sebagaikonsep kunci untuk ini (dan pertanyaan lainnya) kami memperkenalkan rallk dari sebuah matriks. untuk menentukanperingkat, pertama kita perlu konsep-konsep berikut, yang penting umum.Linear Independence and Dependence of VectorsKemerdekaan dan Ketergantungan linear VektorGiven any set of m vectors a(1) .•• , a(m) (with the same number of components), a linear combination of these vectors is an expression of the formMengingat setiap himpunan vektor m a (1) • •., (M) (dengan jumlah yang sama komponen), linearkombinasi dari vektor-vektor ini adalah sebuah ekspresi dalam bentuk

where Cl' C2, ••• , em are any scalars. Now consider the equationmana 'Cl C2, • • •, mereka adalah setiap skalar. Sekarang perhatikan persamaan

Clearly, this vector equation (I) holds if we choose all c/s zero, because then it becomes o = O. [f this is the only m-tuple of scalars for which (1) holds, then our vectors a(1), ... , a('m) are said to fOlm a linearly independent set or, more briefly, we call them linearly independent. Otherwise, if (1) also holds with scalars not all zero, we call these vectors linearly dependent, because then we can express (at least) one of them as a linear combination of the others. For instance, if (l) holds with, say, Cl =1= 0, we can solve (I) for a(1):Jelas, ini persamaan vektor (I) berlaku jika kita memilih semua c / s nol, karena kemudian menjadio = O. [f ini adalah tupel-m hanya skalar yang (1) benar, maka kami vektora (1), ... , Seorang ('m) dikatakan fOlm suatu himpunan bebas linear atau, lebih singkat, kami menyebutnyalinear independen. Jika tidak, jika (1) juga memegang dengan skalar tidak semua nol, kita sebut inivektor bebas linear, karena dengan begitu kita dapat mengekspresikan (setidaknya) salah satu dari

mereka sebagaikombinasi linear dari yang lain. Misalnya, jika (l) berlaku dengan, katakanlah, Cl = 1 = 0, kita dapatmemecahkan (saya) untuk (1):

(Some k/s may be zero. Or even all of them, namely, if a(1) = 0.)(Beberapa k / s mungkin nol Atau bahkan semua mereka., Yaitu, jika (1) = 0.)Why is this important? Well, in the case of linear dependence we can get rid of some of the vectors until we anive at a linearly independent set that is optimal to work with because it is smallest possible in the sense that it consists only of the "really essential" vectors, which can no longer be expressed linearly in terms of each other. This motivates the idea of a "basis" used in various contexts, notably later in our present section.Mengapa ini penting? Nah, dalam kasus linear kita dapat menyingkirkan beberapadari vektor sampai kita anive di sebuah himpunan bebas linear yang optimal untuk bekerja dengankarena terkecil mungkin dalam arti bahwa hal itu hanya terdiri dari "benar-benar penting"vektor, yang tidak lagi dapat dinyatakan dalam bentuk linear satu sama lain. Hal ini memotivasigagasan "dasar" yang digunakan dalam berbagai konteks, terutama kemudian dalam bagian kita sekarang.E X AMP L E 1 Linear Independence and Dependence The three vectorsCONTOH 1 Linear Kemerdekaan dan KetergantunganTiga vektor

are linearly dependent becausebergantung linear karena

Although this is easily checked (do it!), it is not so ea~y to discover. However. a systematic method for finding out about linear independence and dependence follows below. The first two of the three vectors are linearly independent because c13m + c23c2) = 0 implies c2 = 0 (from the second components) and then C1 = 0 (from any other component ot 3(U)' Meskipun hal ini mudah diperiksa (melakukannya!), Itu tidak begitu ea ~ y untuk menemukan. Namun. metode sistematis untuk menemukantahu tentang kemandirian dan ketergantungan linier berikut di bawah ini.Dua yang pertama dari tiga vektor adalah bebas linear karena c13m + c23c2) = 0 berarti c2 = 0 (darikomponen kedua) dan kemudian C1 = 0 (dari komponen lain ot 3 (U)

Rank of a MatrixMatriks peringkatDEFINITION The rank of a matrix A is the maximum number of linearly independent row vectors

of A. It is denoted by rank A.DEFINISI Rank dari matriks A adalah jumlah maksimum vektor baris linearA. Hal ini dilambangkan dengan peringkat A.Our further discussion will show that the rank of a matrix is an important key concept for understanding general properties of matrices and linear systems of equations.Diskusi lebih lanjut kami akan menunjukkan bahwa rank dari matriks merupakan konsep kunci penting untukmemahami sifat umum dari matriks dan sistem persamaan linear.EXAMPLE 2 Rank The matnxCONTOH 2 Peringkatmatriks

has rank 2. because Example 1 shows that the first two TO'" vectors are linearly independent. whereas all three row vectors are linearly dependent. Note further that rank A = 0 if and only if A - O. This follows directly from the definition. memiliki peringkat 2. Contoh 1 menunjukkan karena bahwa dua pertama TO '"vektor adalah bebas linear. sedangkan semua tigavektor baris yang bebas linear.Perhatikan lebih lanjut bahwa rank A = 0 jika dan hanya jika A - O. berikut ini langsung dari definisi.We call a matrix Al row-equivalent to a matrix A2 if Al can be obtained from A2 by (finitely many!) elementary row operations. Now the maximum number of linearly independent row vectors of a matrix does not change if we change the order of rows or multiply a row by an nonzero c or take a linear combination by adding a multiple of a row to another row. This proves that rank is invariant under elementary row operations:Kita sebut matriks baris Al-setara dengan matriks A2 jika Al dapat diperoleh dari A2 dengan(finitely banyak!) operasi baris elementer.Sekarang jumlah maksimum linear vektor-vektor baris matriks independen tidakberubah jika kita mengubah urutan baris atau kalikan baris oleh seorang c nol atau mengambil linearkombinasi dengan menambahkan beberapa baris ke baris lain. Ini membuktikan peringkat yanginvarian dalam operasi baris elementer:THEOREM 1 Row-Equivalent Matrices Row-equivalent matrices hal'e the slime rank.TEOREMA 1 Row-Setara MatriksMatriks setara baris memiliki pangkat lendir.Hence we can determine the rank of a matrix by reduction to row-echelon form (Sec. 7.3) and then see the rank directly.Oleh karena itu kita dapat menentukan rank matriks dengan pengurangan bentuk eselon baris(Bag. 7.3) dan kemudian melihat peringkat langsung.E X AMP L E 3 Determination of Rank For the matrix in Example 2 we obtain successively

CONTOH 3 Penentuan PeringkatUntuk matriks pada Contoh 2 kita memperoleh berturut-turut

Since rank is defined in terms of two vectors, we immediately have the usefulKarena pangkat didefinisikan dalam istilah dari dua vektor, kita segera memiliki bergunaTHEOREM 2 Linear Independence and Dependence of Vectors p vectors with 11 components each are linearly i1ldependent if the matrix with these vectors as row vectors has rank p, but they are linearly dependent if that rank is less than p.TEOREMA Kemerdekaan 2 Linear dan Ketergantungan Vektorvektor p dengan 11 komponen masing-masing i1ldependent linear jika matriks denganvektor sebagai vektor baris memiliki p pangkat, tetapi mereka bebas linear jika peringkat yangkurang dari p.Further impOltant properties will result from the basicTHEOREM 3 Rank in Terms of Column Vectors The rank r of a matrix A equals the maximum number of linearly independent column vectors of A. Hence A alld its transpose AT have the same rallk.TEOREMA 3 Peringkat dalam Ketentuan Vektor KolomR rank dari matriks A sama dengan jumlah maksimum linearvektor kolom dari A.Oleh karena itu Sebuah transpos alld nya AT memiliki rallk yang sama.PROOFBUKTIIn this proof we write simply "rows" and "columns" for row and column vectors. LetA be an 171 X n malIu of rank A = r. Then by definition of rank, A has r Linearlyindependent rows which we denote by v(1), ... , V(T) (regardless of their position in A),and all the rows a(l), •.• , a(m) of A are linear combinations of those, say,Dalam bukti ini kita tulis hanya "baris" dan "kolom" untuk baris dan vektor-vektor kolom. MariA adalah 171 X n malIu peringkat A = r. Maka menurut definisi pangkat, A memiliki r linearindependen baris yang dinotasikan oleh v (1), ... , V (T) (terlepas dari posisi mereka di A),

dan semua baris yang (l), • •,. (m) dari A adalah kombinasi linear dari, katakanlah,

These are vector equations for rows. To switch to columns, we write (3) in terms of components as n such systems, with k = ], ... , n,Ini adalah persamaan untuk vektor baris. Untuk beralih ke kolom, kita menulis (3) dalam haln komponen sebagai sistem seperti ini, dengan k =], ... , N,

and collect components in columns. Indeed. we can write (4) asdan mengumpulkan komponen dalam kolom. Memang. kita dapat menulis (4) sebagai

where k = I,· .. , n. Now the vector on the left is the hh column vector of A. We see that each of these n columns is a linear combination of the same r columns on the right. Hence A cannot have more Linearly independent columns than rows, whose number is rank A = r. Now rows of A are columns of the transpose AT. For AT our conclusion is that AT cannot have more linearly independent columns than rows, so that A cannot have more linearly independent rows than columns. Together, the number of Linearly independent columns of A must be r, the rank of A. This completes the proof. dimana k = I, · .. , N. Sekarang vektor di sebelah kiri adalah kolom jj vektor dari A. Kita melihatbahwa masing-masing kolom n adalah kombinasi linear dari kolom r yang sama di sebelah kanan.Oleh karena itu tidak dapat memiliki kolom lebih linear independen dari baris, yang jumlahnyapangkat A = r. Sekarang baris dari A adalah kolom dari transpos AT. Untuk AT kesimpulan kami adalahbahwa AT kolom tidak dapat memiliki lebih dari baris yang bebas linear, sehingga A tidak dapat memilikilebih linear baris dari kolom. Bersama-sama, jumlah linearkolom independen dari A harus r, pangkat A. Ini melengkapi bukti

E X AMP L E 4 Illustration of Theorem 3CONTOH 4 Ilustrasi Teorema 3

The matrix in (2) has rank 2. From Example 3 we see that the first two row vectors are linearly independent and by "working backward" we can verify that Row 3 = 6 Row I -i Row 2. Similarly, the first two columns are linearly independem. and by reducing the last matnx in Example 3 by columns we find thatMatriks dalam (2) memiliki peringkat 2. Dari Contoh 3 kita melihat bahwa dua yang pertama vektor baris bebas lineardan dengan "bekerja mundur" kita bisa memverifikasi bahwa Row 3 = 6 Row Row i I-2. Demikian pula, yang pertama dua kolomyang linear independem. dan dengan mengurangi matnx terakhir dalam Contoh 3 dengan kolom kita menemukan bahwaColumn 3 = ~ Column I + ~ Column 2 and Column 4 = ~ Column I + ~ Column 2.Kolom 3 = ~ Kolom I + ~ Kolom 2 dan Kolom 4 = ~ Kolom I + ~ Kolom 2.Combining Theorems 2 and 3 we obtainMenggabungkan Teorema 2 dan 3 kita mendapatkanTHEOREM 4 Linear Dependence of Vectors p vectors witll n < p components are always linearly dependent.TEOREMA 4 Ketergantungan Linear Vektorvektor p dengan n komponen p <selalu linear.PROOF The matrix A with those p vectors as row vectors has p rows and 11 < P columns; hence byTheorem 3 it has rank A ~ II < p, which implies linear dependence by Theorem 2. •PROOF The matrix A with those p vectors as row vectors has p rows and 11 < P columns; hence byTheorem 3 it has rank A ~ II < p, which implies linear dependence by Theorem 2. •