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CLAVES

PARA

LAIN

NOVACI

NEDUCATIVA

29Matemticas re-creativas

EEL

Matemticas re-creativas

EP29 3 REIMP:Popular-29 3 REIMP 13/7/10 13:36 Pgina 1

Matemticas re-creativas

MANOLO ALCAL / JOSEFA M.a ALDANA / CLAUDI ALSINA / ALAN J. BISHOP / LILIANA CARB / TRINI COLOMER /

ANTONIO FERNNDEZ ALISEDA / LUIS FERRERO / ANA GARCA AZCRATE / JOAQUIM GIMNEZ / JUAN ANTONIO HANS /

MARIONA MONTERDE / JOS ANTONIO MORA / JOS MUOZ / MANUEL PAZOS / NRIA RAMOS / ELISA RECARENS / LLUS SEGARRA

29CLAVES PARA LA INNOVACIN EDUCATIVA


Direccin de la coleccin: Francesc Lpez Rodrguez

Seleccin de textos: Susanna Arnega

Manolo Alcal, Josefa M.a Aldana, Claudi Alsina, Alan J. Bishop, Liliana Carb,

Trini Colomer, Antonio Fernndez Aliseda, Luis Ferrero, Ana Garca Azcrate,

Joaquim Gimnez, Juan Antonio Hans, Mariona Monterde, Jos Antonio Mora,

Jos Muoz, Manuel Pazos, Nria Ramos, Elisa Recarens, Llus Segarra

De esta edicin:

Editorial Laboratorio Educativo

Apartado 63050 Caracas 1067-A Venezuela

Tel.: 952 65 30 952 61 50 Fax: 952 65 30

e-mail: [email protected]

Editorial GRAO, de IRIF, S.L.

C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona

e-mail: [email protected]

www.grao.com

1. edicin: septiembre 2004

3. reimpresin: julio 2010

ISBN: 978-84-7827-342-3

Diseo de cubierta: Maria Tortajada Carenys

Impresin: Publidisa

Impreso en Espaa

Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduc-cin o almacenamiento total o parcial de la presente publicacin, incluyendo el diseo de laportada, as como la transmisin de sta por cualquier medio, tanto si es elctrico comoqumico, mecnico, ptico, de grabacin o bien de fotocopia, sin la autorizacin escrita de lostitulares del copyright. Si necesita fotocopiar o escanear fragmentos de esta obra, dirjase aCEDRO (Centro Espaol de Derechos Reprogrficos, www.cedro.org).


D.L.: SE-4692-2010

Introduccin

Francesc Lpez Rodrguez

Las matemticas son de las pocas materias de estudio que en cual-quier poca de la historia, reciente o antigua, nunca han pasado desaperci-bidas en la escuela o en el instituto para el alumnado, que las ha sufrido odisfrutado, pero que en ningn caso han provocado indiferencia. Por qurazn, en amplios sectores del alumnado de nuestros centros, han tenido ysiguen teniendo fama de asignatura hueso, difcil, crptica o aburrida?Algunos de los autores que hemos seleccionado para este libro apuntandiferentes causas, pero en la que coinciden todos es en que, casi siempre,es una signatura cuyos contenidos se presentan y se trabajan de maneramuy apartada de los intereses de los alumnos y alumnas y, lo que es peor,alejada de su realidad, con lo que les es muy difcil atribuir significado aaquello que se pretende ensear y aprender y, por consiguiente, es o puedellegar a ser una materia tremendamente pesada o extraa (para no abusardel adjetivo aburrida).

No obstante, leyendo la seleccin de textos, el lector notar porqueas se trasluce cmo disfrutan los estudiantes con las actividades que seplantean, tanto nios y nias de educacin infantil, como chicos y chicasdel ltimo ciclo de secundaria. De la misma manera que tambin se perci-be la ilusin y el placer de los maestros y profesoras que ensean matem-ticas. A mi entender esa ilusin por ensear es una de las claves del xitode los docentes y, por tanto, de los estudiantes. Y esto es as porque con-curren una serie de aspectos fundamentales. Cuando a un maestro o maes-tra le gusta su rea del conocimiento que sea, indaga en ella, asiste ajornadas, cursos, u otras actividades formativas con la intencin de ampliarsus conocimientos, compartirlos, actualizarlos, conocer las experiencias deotros colegas, etc.

Cuando un maestro o maestra disfruta con su rea, procura hacerextensivo ese inters, busca la manera de hacer la materia comprensiva,fcil y atractiva para sus alumnos, incluso para aquellos a los que les cues-ta ms, encuentra estrategias facilitadoras; en definitiva, ese maestro yesa profesora transmiten lo que sienten. Y eso es lo que aprenden sus alum-nos y alumnas.

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Tambin hay otro aspecto que querra destacar: desde hace algntiempo, y afortunadamente cada vez es una prctica ms extendida, losdocentes expertos en matemticas se despojan de un falso y nocivo halo ocomplejo de espcimen raro por el hecho de tratar con una simbologa y unlenguaje inusual, incomprensible y poco til en la vida cotidiana de lamayora. En este sentido, es una suerte comprobar que cada vez son ms losprofesionales que demuestran a travs de su prctica que se puede ensearmatemticas de manera divertida, atractiva y, a la vez, demostrar su utili-dad, sin perder ni un pice de la rigurosidad epistemolgica y, sobre todo,que se puede ensear y aprender matemticas de una forma ldica.

ste es el propsito de la seleccin de artculos y textos con que hemosconfeccionado este libro. As iniciamos el bloque introductorio con un art-culo de Llus Segarra, donde se parte de la idea de que el alumnado debeser el protagonista de su propio aprendizaje, ha de dominar estrategias quele permitan discernir qu opcin es ms conveniente. Para esto se le ha deensear a pensar, pero tambin se le tiene que ensear a seleccionar lainformacin pertinente para resolver las situaciones que se puede ir encon-trando. Esta alfabetizacin matemtica (en el conocimiento y el uso) puedelograrse a travs del juego como indagacin matemtica. Le sigue un art-culo muy interesante de Alan J. Bishop, que relaciona cultura, matemticasy juegos a lo largo de la historia, adems de desarrollar el concepto de jue-go y aportar diferentes clasificaciones. A continuacin, Manuel Pazos, a tra-vs del anlisis y la reflexin de unas jornadas de matemticas recreativas,va desgranando la necesidad de plantear en las aulas unas matemticasdiferentes, ms cercanas, ms motivadoras, significativas y atractivas parael alumnado. Finalmente, Joaquim Gimnez propone incorporar elementoscotidianos para ejemplificar y trabajar los contenidos de matemticas des-de un punto de vista ms motivador para el alumnado, lo que facilitar elaprendizaje significativo.

Abrimos el bloque de educacin infantil con un artculo de ClaudiAlsina que parte de la premisa de que los alumnos y alumnas tienen quedivertirse y jugar con las matemticas para quererlas y, as, aprender-las. Con el objetivo de ilustrar dicha opinin, hace un repaso de cmo sehan planteado y trabajado las matemticas en diferentes mbitos desde laperspectiva de infantil y primaria. Concluye que lo verdaderamente impor-tante es la estima del docente por lo que ensea, adems de la importanciaque debe darse a la metodologa; dentro de los recursos son especialmente

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relevantes la imaginacin y la creatividad como ingredientes de la recetamgica. A continuacin presentamos una experiencia muy interesante lle-vada a cabo por Liliana Carb, donde plantea cmo se puede trabajar lanumeracin en el educacin infantil, superando la forma tradicional; esdecir, cmo de manera ldica y creativa (a partir de un juego de punteracon bolas de papel), se revela a los nios y nias la necesidad de contar.Adems hay que destacar que con este planteamiento se trabajan otrosaspectos muy importantes: la autonoma, la capacidad de negociacin, o lagestin del conflicto. Finalmente y para cerrar este bloque, presentamos unartculo de varias maestras del Centro Pere Torrent que nos describen dife-rentes materiales y recursos que hacen posible que, en palabras de las pro-pias autoras, el trabajo de las matemticas en el educacin infantil sedesarrolle de una manera ldica y dinmica, donde el nio y la nia, a par-tir de la manipulacin directa de diversos materiales y objetos, van forman-do su pensamiento lgico.

El bloque de educacin primaria se inicia con un artculo de LuisFerrero, en el que destaca la importancia de los juegos y situaciones ldi-cas en matemticas para motivar a los alumnos. Para ello recurre a variosejemplos de juegos numricos pensados para los diferentes ciclos de estaetapa. A continuacin, Mariona Monterde nos explica la experiencia muyinteresante que llev a cabo con alumnos y alumnas de ciclo inicial al tra-bajar, entre otros aspectos, el inicio de la multiplicacin a travs de Eljarrn mgico de Mitsumasa y Masaichiro Anno, lo que, adems, dio pie ainventarse otros cuentos con una estrategia parecida. Para finalizar el apar-tado de primaria, proponemos un artculo de unos maestros y maestras queconforman el grupo Alquerque de Sevilla, aqu se recogen materiales y jue-gos matemticos de diversa ndole.

Iniciamos el bloque de educacin secundaria con un artculo de AnaGarca Azcrate, en el que se desgrana la necesidad de introducir los jue-gos en este caso los de conocimiento en la ESO, tanto para motivar a losalumnos, como para convencer a algunos colegas de que jugando tambinse trabajan los contenidos conceptuales y procedimentales del rea. A con-tinuacin, presentamos una propuesta de Manolo Alcal sobre cmo traba-jar de manera ldica las fracciones. Finalizamos el bloque y el libro con unartculo de Jos Antonio Mora, que explica diversas y entretenidas activi-dades para realizar con el ordenador, as incluye un planteamiento trans-versal entre las matemticas y la tecnologa.

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1El juego matemtico, juego de investigacin

Llus SegarraProfesor de matemticas y miembro de recursos matemticos El Quinzet

Educacin de la matemtica actual

El aprendizaje de la matemtica y su metodologa en la enseanzaobligatoria, tanto en educacin infantil, como en primaria y secundaria, tie-ne una importancia fundamental en nuestros das, ya que esta matemticapara todos es una matemtica bsica y, por tanto, debera englobar todo loque se considera que ha de saber cualquier persona en nuestro pas. Elaprendizaje de la matemtica bsica para todos se denomina alfabetiza-cin matemtica, en el sentido de que a cualquier persona que desconoz-ca lo que se le ensea a lo largo de estas etapas educativas obligatorias sela considera socialmente una analfabeta matemtica.

Estamos acostumbrados a ver campaas universales contra el analfabe-tismo, pero, si se pretende que las nuevas generaciones no desentonen en elmbito de la tecnologa del mundo moderno y de sus consecuencias sociales,a estas campaas debera unirse la lucha contra el analfabetismo matemtico.

Tradicionalmente, los contenidos de la matemtica en la escuelaconsistan en el conocimiento y el dominio de los cuatro algoritmos ele-

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Artculo publicado en Guix. Elements dAcci Educativa, 244, pp. 5-8, mayo 1998.


mentales con nmeros naturales, adems de algunas definiciones geomtri-cas y las reas y los volmenes de las figuras y de los cuerpos ms simplesy regulares.

La metodologa sola estar en manos del personal docente, pero comola evaluacin se centraba siempre en ejercicios de clculo escritos y en defi-niciones, la enseanza se reduca a la prctica del clculo y del aprendizajememorstico de definiciones. Lo ms importante era saber sumar, restar,multiplicar y dividir. El hecho de conseguir una comprensin ms ampliasobre el significado de estas operaciones pasaba a un segundo plano.

Actualmente, con la ampliacin de los cursos de enseanza obligato-ria, algunos de los objetivos que comentaremos en este artculo se han vueltoimprescindibles.

El juego de bsqueda matemtica

En todos los niveles y aspectos, la matemtica ha de tener un valor for-mativo y otro informativo. Estos dos objetivos han de coordinarse de formaarmnica, ya que cuando se ha experimentado la polarizacin en uno deellos, los resultados no han sido satisfactorios. El hecho de formar la men-te, educando las caractersticas de deduccin lgica y las capacidades desntesis y ordenacin de los conocimientos, pensando que despus el estu-diante aplicar por s mismo la formacin recibida a sus problemas de lavida real, o a problemas tericos de las distintas disciplinas o actividadeslaborales que se le presenten, no da el resultado esperado. El estudiante hade ser instruido tambin en la aplicacin en casos especiales de los cono-cimientos adquiridos, que los ejemplifiquen y que le sirvan, por analoga,en casos similares. Es decir, adems de formar, la matemtica ha de infor-mar. La consigna debera ser formar informando. La enseanza ha dealmacenar conocimientos sin olvidarse de instruir sobre las reglas para lacorrecta ordenacin y uso de stos. Se ha de ensear a pensar, pero tambinse ha de ensear a utilizar el pensamiento adecuado en cada momento. Esnecesario que los alumnos y las alumnas no slo resuelvan operacionesmecnicas, sino que piensen, es decir, que empiecen a razonar y que ela-boren sus propias estrategias. No hay duda de que esto es posible, ya queen la escuela primaria las alumnas y los alumnos aprenden juegos que impli-can el razonamiento: cuando el nio o la nia intentan resolver un laberinto

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y al primer intento no les sale, utilizan la estrategia de inversin (empezarpor detrs) y slo se trata de modelar estos razonamientos dndoles formamatemtica. Leibniz escribi: Las personas son tan ingeniosas como en lainvencin de juegos, el espritu se encuentra aqu como en casa. Despusde todo, los problemas matemticos no son ms que juegos que, convenien-temente escogidos y dosificados, pueden ser muy tiles para el desarrollodel pensamiento matemtico. Estos problemas se presentan actualmentecomo una autntica bsqueda, en el que el alumnado debe adivinar resul-tados partiendo de ciertos datos.

Al plantear a los chicos y chicas un problema o una situacin con-flictiva, nos ofrecen estrategias ms o menos esquemticas de acciones yoperaciones que aplicarn sobre unos datos determinados.

En estas investigaciones, el alumnado deber conocer algunas reglasy la operatoria de estos juegos, pero despus tambin deber escoger, encada caso, las estrategias apropiadas para cada situacin conflictiva.

La enseanza tradicional haca ms nfasis en las propias operacionesque en su planteamiento y en su organizacin previa.

Al plantearles un problema a los alumnos y alumnas, stos no respon-dan, ya que un problema que era significativo para el personal docentesegn su propia estructura cognitiva, resultaba totalmente ajeno a los inte-reses del alumnado.

Hemos de relacionar la enseanza formativa con la enseanza activade la matemtica. Los alumnos y las alumnas han de ser los protagonistas desu propio aprendizaje, han de sentirse motivados por los problemas, esdecir, ser los protagonistas y directores de su proceso cognitivo, han deintentar encontrar soluciones ellos mismos, utilizando todos los recursosque tengan a su alcance y sin plantearse el relacionar qu algoritmo o quregla de las que han aprendido puede servirles para solucionar su proble-ma. Partiendo de sus estrategias, las alumnas y los alumnos debern sercapaces de planificar una actividad en la que sus compaeros y compae-ras lleguen a diferentes conclusiones para solucionar el mismo conflicto ypuedan hacer preguntas sobre temas conocidos. Es necesario escuchar lasopiniones de las chicas y los chicos, y deducir las posibles investigaciones apartir de esta situacin.

Ser necesario presentar estas situaciones conflictivas partiendo de lafilosofa del juego de bsqueda, de manera que todo el mundo pueda ela-borar diversas estrategias de resolucin que permitan aceptar muchas

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veces diversas soluciones correctas y, al mismo tiempo, diferenciadas. Eneste momento, el docente invitar al alumnado a defender sus mtodos ysoluciones. Los distintos juegos de investigacin no han de ser introduci-dos a la fuerza, sino adquiridos mediante la curiosidad del estudiante,quien, afortunadamente, siempre tiene curiosidad por todo aquello que sele presenta adecuadamente. Es obvio que esta enseanza en la que se poneen juego la razn y los sentidos tiene sus dificultades, ya que para el per-sonal docente es mucho ms fcil sealar determinados problemas aritm-ticos complementarios a los algoritmos del libro o explicar un mtodooperatorio nico a todos los alumnos que servir para que stos lo repitano lo realicen mecnicamente, sin poder aclarar la situacin conflictiva delproblema.

Por otra parte, los alumnos y las alumnas tienen menos dificultadespara recordar que para razonar: la memoria es pasiva, el razonamientoes activo, y esto conlleva un mayor esfuerzo. Claro que el hecho de memo-rizar, aunque represente un mnimo esfuerzo, es muy aburrido; en cambio,el intento de encontrar la solucin a un problema a partir de una actividadcreativa hallar nuevos conceptos y relaciones, con los que intentar, par-tiendo del juego de investigacin, elaborar y plantear nuevas relaciones quetendern a solucionar el problema e incorporar, de este modo, el nuevoconocimiento, es decir, buscar los medios para conectar el nuevo conoci-miento dentro de la estructura cognitiva de la que disponen los chicos y laschicas.

Si el objetivo de los docentes es que el alumnado aprenda determina-dos contenidos en un tiempo no muy largo, no hay duda de que el mtodomemorstico es el mejor. Los alumnos y las alumnas aprenden a repetirsituaciones aritmticas, contentan a la familia y a la Administracin, perolo que no queda claro es que aprendan matemticas.

Actualizacin de la matemtica funcional

No se debe pensar de ningn modo que la matemtica actual deja delado al clculo. Al contrario. De lo que se trata, por un lado, es de huir delclculo rutinario sin comprender lo que se hace y, por otro, es necesario tra-tar problemas realmente prcticos y menos idealizados. El progreso enmatemtica no consiste en aumentar el nmero de cifras de las operaciones,

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sino en dominar nuevas estrategias y tener gran rapidez con las cifraspequeas y entender el motivo de su necesidad o utilidad.

En nuestros das, se suele or decir que, por culpa del uso de las cal-culadoras, el estudiante no aprende a calcular ni a resolver operaciones.Quiz esto haya sido cierto en algn momento, por ineficacia del docenteo por una mala interpretacin, pero en ningn caso los matemticos hanpretendido dejar de lado el clculo. Sabemos muy bien que hacer mate-mtica es principalmente razonar, resolver problemas, y que la matemti-ca nunca ser un conjunto de definiciones axiomticas aprendidas deforma descriptiva, como quien aprende los accidentes geogrficos de unacomarca o la anatoma de un insecto. La matemtica no es un conjunto deelementos que tengan que describirse: es el motor de una accin para des-cifrar enigmas que se ha de aprender a utilizar y, si se puede, contribuir asu mejora y perfeccin.

Es ms, la matemtica actual no slo pretende resolver los mismosproblemas que la matemtica de toda la vida, sino que no quiere desenten-derse de ninguno de los que se presenten en la vida cotidiana, aunque nopueda ofrecer soluciones exactas.

Nuevos contenidos matemticos

El problema de decidir respecto a los contenidos de la matemticaen el mbito de la alfabetizacin, entre otros, es determinado, pero tambincomplejo, por su variabilidad en el tiempo. No siempre se tienen las mis-mas necesidades. En el mundo actual, las ciudadanas y los ciudadanosnecesitan ms matemtica, una matemtica diferente de la que necesitabanhace cuarenta o cincuenta aos. Es absurdo pensar que, con los mismoscontenidos, se puede preparar a las personas que han de vivir en distin-tas pocas.

Por otro lado, como la vida cada vez es ms complicada, los temas quese han de aprender son cada da ms complejos, lo cual obliga a introducirnuevos mtodos pedaggicos y nuevas tcnicas educativas para aprovecharal mximo el tiempo del que se dispone en los primeros niveles educativos.Algunos de estos nuevos aspectos que deben introducirse son los clculosde estadstica y probabilidad, la matemtica creativa y de pasatiempo, ylas ancdotas de la historia de la ciencia.

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Si por tradicin la matemtica suele distinguir entre el clculo arit-mtico y la educacin de la geometra, conviene tener en cuenta que cadavez estos dos aspectos estn ms relacionados en el aprendizaje. La geome-tra se ha de utilizar para practicar y motivar la teora de los nmeros, y almismo tiempo hacer una clara interpretacin de los clculos aritmticos conejemplos geomtricos. Si a medida que aumenta el nivel de la enseanza, ladivisin entre la teora de los nmeros y la geometra se vuelve necesariapara dejar claros los contenidos, en la educacin matemtica bsica esnecesario tener en cuenta sus dos aspectos fundamentales: calcular y repre-sentar.

Las representaciones pueden ser figuras geomtricas, esquemas,tablas de valores, representaciones grficas de funciones, grficos, etctera.El diseo de los grficos estadsticos y su interpretacin ha de ser frecuen-te desde los primeros niveles educativos. El desarrollo histrico no ha de serexhaustivo y se ha de formular a partir de ancdotas extradas de la lecturade libros y artculos sobre la historia de las matemticas.

Los alumnos y las alumnas agradecern que el profesor les haga serconscientes de la historia de la ciencia, ya que la evolucin que ha experi-mentado la matemtica a travs de los siglos ha sido la misma que hanexperimentado ellos, ya que este hecho es paralelo al proceso de cons-truccin de los conocimientos del alumnado.

La historia prepara un terreno donde las matemticas presentan unaactividad cultural, a la vez que nos proporciona una motivacin para elaprendizaje. Adems, permite realizar un compendio de los conceptos y delos problemas que han pretendido resolver, y facilitan su comprensin.

En definitiva, la matemtica bsica actual ha de ser funcional, cual-quier persona ha de tener un rpido dominio de los nmeros y de las for-mas, pero sin olvidar que la matemtica sirve para jugar pensando.

Para finalizar, citaremos un fragmento de una carta enviada por el granprncipe de las matemticas, Gauss (1777-1855), a Germain:

La aficin por las ciencias exactas en general, y en especial por todosaquellos misterios de los nmeros, es excesivamente extrao. Esto notiene por qu sorprendernos: los encantos de esta ciencia sublime slose revelan a aquellos que tienen el valor de introducirse a fondo en suestudio.

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2El papel de los juegos en educacin matemtica

Alan J. BishopFacultad de Educacin, Monash University. Melbourne (Australia)

La primera situacin procede de un libro de Marcia Ascher (1991,p. 88). Hace referencia a un juego que practicaban en Amrica los indiosnativos de la zona en la que ella vive actualmente: los indios cayuga. Seutilizaba un bol de madera y seis discos que en realidad eran seis huesosde melocotn pulidos y alisados que ennegrecan por una cara con fuego.Si al lanzar los huesos de melocotn, stos caan mostrando seis caras delmismo color (seis caras negras o seis blancas), el jugador se apuntaba cin-co puntos. Si los huesos mostraban cinco caras del mismo color (cinconegras y una blanca o cinco blancas y una negra), el jugador se apuntabaun punto. En cada uno de estos casos, el jugador adems dispona de otratirada. Si el resultado era cualquier otro distinto a los mencionados, eljugador no se apuntaba ningn punto y deba pasar el bol a su contrin-cante. El ganador del juego era aqul que llegaba reunir primero un nme-ro preestablecido de puntos que se determinaba entre 40 y 100.

La segunda situacin procede de la tesis en PhD de Agnes Macmillan(1996, p. 396) y se sita en un contexto preescolar:

Ricky estaba con un grupo de nios jugando con un puzle. Otra nia le hace salirde la silla con un empujn para poder hacer el puzle. Cuando sta ya ha acabado,

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Artculo publicado en Uno. Revista de Didctica de las Matemticas, 18, pp. 9-19, octubre-noviembre-diciembre 1998.


Ricky vuelve a su silla. El puzle sigue estando sobre la mesa, y entonces ve que Con-nie y Sophie cuchichean algo. Se miran fijamente un buen rato y despus Ricky em-pieza a coger unas piezas del puzle. Entonces Sophie se apoya en la mesa y dice a Ricky:Si lo vuelves a hacer, se lo diremos a la seorita. Y cuando Ricky le quita la manode encima del puzle para coger una pieza, Connie le coge el brazo e intenta sacrse-la. Cuando Connie lo consigue, le dice a Sophie: Vamos a decir lo que ha hecho.Ricky se las arregla para seguir con el puzle, pero Connie y Sophie han ido donde estla profesora. Ricky coge el puzle y se lo queda cuando ve que las otras dos nias ha-blan con la profesora. sta llama a Ricky: Ricky, tienes que dejar que los demstambin jueguen. Ricky entrega el puzle a las otras dos nias. Mira como lo haceny cuando han terminado Connie dice: Vamos a hacerlo otra vez.

Para ofrecer una visin global y una introduccin a este artculo heescogido estas situaciones porque ilustran el tipo de ideas que necesitamostener en cuenta cuando pensamos en aplicar los juegos y el juego en las cla-ses de matemticas. Ya no pensamos en los juegos slo como un entreteni-miento o una diversin, como algo muy til para motivar pero poca cosams. Actualmente, como resultado de la investigacin en distintos aspectosde la enseanza y el aprendizaje de las matemticas, somos mucho msconscientes del potencial educacional de los juegos.

La primera situacin citada nos ofrece una descripcin de un tpicojuego de azar, ms o menos como lanzar dados o jugar a cara y cruz, pero laverdad es que adems tiene otros aspectos. Es un juego distinto de a los quenormalmente jugamos. Procede de una cultura india norteamericana. Nosmuestra que los juegos que se basan en la suerte no slo se encuentran muydifundidos geogrficamente, sino tambin que no son exclusivos de la his-toria y la cultura occidentales. Los juegos existen en todas partes, comocomentaremos ms adelante, y cuando alguien ensea en una situacinmulticultural necesita conocer juegos que sean universalmente conocidos ypracticados. Incluso hay algunos juegos que se practican exactamente delmismo modo en distintos pases y en todos los continentes. Por eso puedenconstituir un punto de contacto entre nios de grupos culturales y lings-ticos distintos que quizs no tengan otros puntos de contacto.

Desde la perspectiva de las matemticas, a primera vista los juegos deotras culturas quizs parezcan primitivos, pero sus posibilidades pueden sermuy interesantes, como por ejemplo el caso de la puntuacin del juego de

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la primera situacin. El sistema de puntuacin es el que escoge el grupo yse transmite generacin a generacin, y al hacer los clculos se apreciaque este sistema es realmente bueno.

En la segunda situacin vemos la otra cara del juego, que precisamentees muy importante para el profesorado. La situacin del juego es de tipo socialy en ella hay varias reglas tanto explcitas como tcitas que tienen que sernegociadas y cumplidas. Aqu vemos que Ricky est pasando un mal rato porculpa de las otras dos nias, que estn ejercitando sus poderes de interaccinsocial para poner todas las reglas de organizacin a su favor. Incluso llegan ainvolucrar a la profesora en su propio bando, a pesar de que, o precisamentepor eso, la profesora no es plenamente consciente de lo que est pasando.

En todas partes del mundo se juega, pero cuando queremos aprove-char los juegos con objetivos educativos la cosa cambia. Es verdad quesiguen siendo juegos, pero se practican con un objetivo concreto, es decir,para aprender algo. Quizs se trate de aprender un concepto o de adquirirvocabulario nuevo, o de aprender a trabajar en grupo, o de competir. Loseducadores en matemticas han descubierto mediante su experiencia, quehan apoyado con investigaciones tericas, que jugar puede ser una parteintegrante del aprendizaje. Esto ha hecho del acto de jugar y de la idea deljuego una actividad de enseanza y aprendizaje mucho ms extendida de loque haba sido anteriormente.

En este artculo quisiera analizar algunas de las caractersticas deljuego y los juegos, algunas de las cuales tienen verdadera significacin enla cultura y la historia, porque han sido fundamentales en el desarrollo de lasmatemticas y porque actualmente son importantes en la enseanza delas matemticas. En febrero de 1998 tuve la suerte de participar en el TIEM98 en la Universidad Autnoma de Barcelona, donde un grupo de investi-gadores, dirigido por Jordi Deulofeu, se ocupa de la resolucin de proble-mas matemticos. En ese contexto tuvimos ocasin de llevar a cabo unosinteresantes debates sobre la investigacin de los juegos y su utilizacinpara desarrollar habilidades que permitan resolver problemas matemticos.

Los juegos en la historia de la cultura

Los juegos y el juego tienen una larga historia en la civilizacin huma-na y tambin en las matemticas. Huizinga (1949) escribe:

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El espritu de competicin en el juego es, como impulso social, msantiguo que la cultura misma y se extiende por todas las etapas de lavida como un fermento cultural... (Homo Ludens, p. 173)

Se refiere al juego en estos trminos, y de este modo nos proporcionaun contexto emocional y afectivo en el que consideramos los juegos y el jue-go en la educacin matemtica:

. Voluntario, libre.

. No es un deber, ni habitual, ni real.

. Esencialmente distendido en cuanto a los objetivos, aunque suprctica es seria.

. Ajeno a las satisfacciones inmediatas, pero parte integral de la viday una necesidad.

. Repetitivo.

. Estrechamente relacionado con la belleza en muchos aspectos perono idntico.

. Crea orden y es orden; tiene reglas, ritmo y armona.

. A menudo est relacionado con el ingenio y el humor, pero no essinnimo de ellos.

. Tiene elementos de tensin, incertidumbre, riesgo.

. Ajeno a la anttesis entre cordura y locura, verdad o falsedad, bue-no o malo, vicio y virtud, no tiene una funcin moral.

As, segn Huizinga jugar es una forma particular de la actividadsocial en la que se establecen unas reglas y en la que los participantes seconvierten en jugadores. No se abre una brecha que limite lo real y lo noreal, y cada uno de los jugadores est de acuerdo en no comportarse nor-malmente. Si uno de ellos decide jugar sin seguir las normas, entonces eljuego no puede continuar, como mnimo no podr continuar hasta que senegocien las nuevas normas.

Tambin se desprende de la descripcin de Huizinga que los juegosson una especie de subconjunto del juego. Es decir, hay ms formas dejugar que juegos. Los juegos se han analizado de muy distintas maneras,pero la descripcin de Walter Roth (1902) en la que distingue siete cla-ses de juegos que encontr en las sociedades aborgenes que l estudisigue siendo til. Adems, afirm que estas formas existen en todas lasculturas.

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Los juegos se clasifican segn sean:. Imaginativos: implican fantasa, humor.. Realistas: se disfruta usando objetos naturales, orgnicos e inorg-

nicos, por ejemplo, jugando con animales domsticos o resbalandosobre el barro.

. Imitativos: de dos tipos, el primero consiste en imitar aspectos dela naturaleza; en el otro tipo, los nios imitan el comportamientode los adultos.

. Discriminativos: el escondite, adivinanzas.

. Competitivos: luchas, combates.

. Propulsivos: con juguetes que incluyen movimiento, peonzas, lan-zamiento de objetos, etc.

. De placer: msica, canciones, danzas, etc.

El juego no slo es una actividad universal sino que podemos encon-trar el mismo juego en distintos pases. Por ejemplo, Jayne (1962) escribey al mismo tiempo ilustra sobre la universalidad de los juegos con cuer-das. Estos juegos se practican en todos los continentes y en todos losambientes, incluso lo hacen los esquimales, que no tienen cuerdas de mate-rias vegetales. Ellos fabrican las cuerdas con partes del cuerpo de los ani-males, pero los juegos son muy parecidos.

Todas las personas de todo el mundo practican algn juego y lo hacenmuy seriamente. El libro de Falkener (1961) o el de Bell y Cornelius (1988)son interesantes para hacerse una idea de la importancia de los juegos enla historia de la cultura. Naturalmente, no todos los juegos ni todo lo que sejuega tiene importancia desde la perspectiva de la educacin en matemti-cas. Entonces, cules son las conexiones entre los juegos, el juego y elmbito de las matemticas?

Las matemticas y la cultura

El punto de partida de mi anlisis es el siguiente. De la misma mane-ra que podemos ver que jugar es una actividad universal, podemos consi-derar que las matemticas son tambin una rea universal de conocimiento.Las etnomatemticas son el estudio de la relacin entre las matemticas yla cultura, y en los ltimos veinte aos se ha demostrado que sin duda algu-

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na las ideas matemticas existen en todas partes, aunque no sean las mis-mas en todas partes.

Gran parte de esta investigacin se ha hecho sobre las formas delconocimiento matemtico encontrado en sociedades tradicionales, enten-diendo por tradicional aquel tipo de sociedad que se ha visto relativa-mente poco o nada afectada por el progreso tecnolgico moderno. ClaudiaZaslavsky (1973) fue la primera que llam la atencin de los educadores enmatemticas sobre esta rea de trabajo. Esta lnea fue despus continuadapor investigadores que trabajaban en la tradicin antropolgica en pasescomo, por ejemplo, Papa Nueva Guinea y Oceana (Lean, 1992), Mozam-bique (Gerdes, 1995), con los maores de Nueva Zelanda (Barton y Fairhall,(1995), con los aborgenes australianos (Cooke, 1990) y con los navajos deAmrica del Norte (Pixten, 1983). La mayor parte de esta investigacin estrecogida en Gerdes (1996) y en Barton (1996), y nos ha ofrecido algunosdatos interesantes. Por ejemplo, sabas que...?

. Hay ms de 2000 sistemas distintos para contar en Papa NuevaGuinea y Oceana, algunos usan un mtodo de ciclo 5 y otros deciclo 2. Hay ms de un sistema para contar con las partes del cuer-po (una ampliacin del sistema de contar con los dedos), en el queel nombre de cada nmero es el nombre de la parte del cuerpoque se seala mientras se cuenta.

. Hay distintas maneras de sumar, restar, multiplicar y dividir (perodan la respuesta correcta!).

. Hay distintas maneras de encontrar el rea de un rectngulo. Loscampesinos del Brasil utilizan un mtodo para encontrar el rea desus campos que consiste en encontrar la longitud media de los la -dos opuestos y multiplicar las medias obtenidas entre s.

. Los carpinteros, los navegantes, los pescadores, los sastres... todosellos tienen diferentes conocimientos y habilidades matemticas.

Tambin hay, naturalmente, muchos juegos diferentes, puzles, depor-tes y danzas con puntos de conexin con las matemticas.

Basndome en los datos que yo mismo he obtenido y en los que ofre-cen los trabajos anteriormente citados, he llegado a la conclusin de que noes demasiado til definir las ideas matemticas como algo universal porqueen realidad no lo son. Ms bien podemos decir que lo universal son las acti-vidades en la que la gente las involucra. Estas actividades s que pueden

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considerarse matemticas porque ellas son las que producen las distintasideas matemticas.

Ya he expuesto en otra ocasin (Bishop, 1991) que hay seis activida-des matemticas importantes y diferentes, que realizan todos los grupos cul-turales cuyas practicas se han estudiado. Las actividades sobre las que seasientan los cimientos del conocimiento matemtico en las distintas cultu-ras son las que se indican a continuacin.

ContarEs la actividad relacionada con la pregunta cuntos? en todas sus

formas y variantes, en consecuencia, hay tambin distintos modos de con-tar y de hacer clculos numricos. Las ideas matemticas derivadas de estaactividad son los nmeros, los mtodos de clculo, los sistemas numricos,la forma grfica de los nmeros, mtodos numricos, estadsticas, etc.

LocalizarEs la actividad que permite encontrar un camino en el mundo espa-

cialmente estructurado de hoy en da; o, navegando, encontrar la situacinpropia y la de otros objetos y describir dnde est cada cosa en relacin conotras. Utilizamos distintas formas de descripcin incluyendo mapas, figuras,planos, diagramas y sistemas de coordenadas. Esta rea de actividades esel aspecto geogrfico de la geometra. Y entre otros, derivan de esta acti-vidad los temas matemticos siguientes: medidas, coordenadas cartesianasy polares, ejes, cuadrculas, lugares geomtricos, etc.

MedirCunto? es una pregunta que se plantea y se contesta en todas las

sociedades y que puede referirse a vestidos, alimentos, terreno, dinero otiempo. Las tcnicas para medir, con todos los tipos de unidades que impli-can, se hacen ms complejas cuanto ms compleja es la sociedad de que setrata. Algunos temas matemticos que derivan de ella: orden, talla, unida-des, sistemas de medicin, conversin de unidades, precisin, cantidadescontinuas, etc.

DibujarLas formas son muy importantes para el estudio de la geometra y apa-

recen de la derivacin de objetos dibujados para distintas finalidades. Lo

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que nos interesa particularmente es saber cuntas formas diferentes semanejan, analizar sus distintas propiedades e investigar cmo se relacionanunas con otras. Los temas matemticos que se derivan: formas, regularidad,congruencia, similitud, construcciones dibujadas, propiedades geomtricas,etc.

JugarAnalizaremos con ms detalle esta actividad ms adelante, pero ya

podemos decir que los juegos y el juego encajan en la descripcin matem-tica general desde el punto de vista cultural del conocimiento.

ExplicarIntentar explicarse a s mismo y a los dems por qu las cosas pasan

del modo que pasan es otra actividad humana universal. En lo que se refie-re a las matemticas nos interesa saber, por ejemplo, por qu funcionan losclculos numricos y en qu situaciones, por qu algunas formas geom-tricas no encajan entre s, por qu un resultado algebraico lleva a otro ycmo estn relacionados entre s los distintos modos de simbolizar estasrelaciones. Los temas matemticos que se derivan son: reglas lgicas, prue-bas, grficos, ecuaciones, etc.

Los juegos y los conceptos matemticos

Marcia Ascher (1991), en su libro Ethnomathematics dice sobre losjuegos lo siguiente:

En general, las actividades que nosotros denominamos juegos sepodran definir con ms precisin como objetivos hacia los que tien-den los jugadores siguiendo unas reglas en las que todos ellos estn deacuerdo. Podemos clasificar los juegos segn impliquen habilidadesfsicas, estrategia, suerte o una combinacin de ellas. Como lo que nosinteresa son las ideas matemticas, excluimos los juegos que sloimplican habilidades fsicas y tambin los que dependen de informa-ciones que no sean exclusivamente las reglas del juego. As pues, losjuegos que consideramos de uno u otro modo matemticos son los quedependen de la suerte o aqullos en los que las estrategias dependen dela lgica. (p. 85)

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Es cierto que no todos los juegos son significativos desde el punto devista matemtico, pero personalmente creo que la definicin de los jue-gos de Marcia Ascher es bastante limitada. Los puzles, las paradojas, elmemory, los juegos de imitacin, los juegos de apuestas, por citar slo unoscuantos, implican actividades que potencialmente son interesantes desde elpunto de vista educativo. Aunque quizs pensemos que a priori slo requie-ren suerte o lgica, pueden implicar otros aspectos de la actividad matem-tica. Adems de las ideas matemticas especficas que pueden derivarse deellos, hay tambin otras ideas matemticas ms generales como las reglas, losprocedimientos, planes, estrategias y modelos.

Ciertamente, los juegos han sido la fuente de las principales ideasmatemticas que actualmente aceptamos como una parte central de las ma -temticas, particularmente en la probabilidad, pero tambin ms general-mente en la teora de los nmeros y, tambin podemos afirmar, en lageometra y en lgebra. Naturalmente, la teora del juego es la ms obvia delas conexiones matemticas, pero tan pronto como consideramos el reageneral del modelo y la simulacin, no tenemos ms remedio que apreciarque hay varias reas de las matemticas con aspectos parecidos o compara-bles a las de los juegos.

Por otra parte, quizs no sea casual que en las categoras establecidaspor Roth la mayor parte de los juegos sean del tipo imitativo. Pensar quela actividad matemtica consiste en el desarrollo de ciertos tipos de mode-los de realidad implica que los juegos imitativos pueden ser una baseimportante para una gran cantidad de nuestra actividad como educadoresen matemticas. La descontextualizacin de una idea o de un procesodesde la realidad hasta la abstraccin de la realidad es una parte impor-tante de la manera en que se han generado las ideas matemticas, y porlo tanto los juegos de experimentacin pueden ser una parte importantede la educacin matemtica de los estudiantes.

Juego, razonamiento matemtico y representacin social

El juego tiene tambin una estrecha relacin con el razonamientomatemtico, y podemos considerar como vlida la afirmacin de que es labase del razonamiento hipottico. Desde la perspectiva de la capacidad

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mental, parece que el juego desarrolla habilidades concretas de pensa-miento estratgico, adivinacin y planificacin (vase, por ejemplo, Brady1978).

Situndonos en lo que Huizinga llama el crculo mgico del juego,el pensamiento hipottico, la adivinacin, el clculo aproximado, la demos-tracin, la verificacin, seran todas ellas actividades que entraran en loque se llama jugar.

En otro nivel de anlisis, el proceso de autocomprobacin de la gene-racin de hiptesis a travs del examen de las anomalas se relacionaclaramente con el desarrollo del proceso metacognitivo. En relacin contodo ello, Macmillan (1997) apunta que la teora de representacin socialrefleja la visin de que las relaciones semiticas son inherentes a la repre-sentacin social a travs de procesos de significacin, o marcas sociales(Moscovici, 1981).

A este respecto, quizs no sea casual que la palabra inglesa recreation(entretenimento, recreo) signifique a la vez una forma de juego y literal-mente una re-creacin. Tambin nos vemos forzados a preguntarnos siestos procesos son todava ms predominantes y significativos en el mundoactual de tecnologa de la informacin inspirado en actividades de realidadvirtual.

Juegos y juego en la educacin matemtica

As pues, hay buenas razones culturales, matemticas, educacionalesy sociopsicolgicas para incluir los juegos y el juego en la educacin mate-mtica de los nios de hoy en da. En este artculo he hecho varias referen-cias a la investigacin.

Quedan todava muchos puntos de la investigacin por explorar, ytodava tambin mucho por desarrollar antes de que los juegos sean plena-mente aceptados y aprovechados en las aulas de matemticas en general.

Permitidme que para terminar esta breve introduccin y estado de lacuestin haga una lista de los apartados de un captulo de Dunford (1982)titulado Juegos y entretenimientos en la clase de matemticas. Es unacontribucin tpica de un profesor de matemticas que ve claramente cmousar algunos aspectos de los juegos y del juego en la enseanza actual delas matemticas:

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. Cmo usar los juegos y entretenimientos?

. Los juegos en las matemticas.

. Juegos para aprender las tablas.

. Inventar juegos.

. Juegos vectoriales.

. Juegos para aprender las coordenadas.

. Juegos de cartas.

. Juegos para ngulos y posiciones.

. Juegos de funciones.

. Juegos y generalizaciones.

. Otros juegos de estrategia.

. Adivinanzas matemticas.

. Otras actividades: la seccin urea.

. Doblar papeles, origami, tangrams.

. Puntear y dibujar curvas.

. Construccin de cuerpos.

. Juegos comerciales.

. El club de las matemticas.

Referencias bibliogrficas

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BARTON, W. (1996): Anthropological perspectives on mathematics andmathematics education, en BISHOP, A.J. y otros (eds.): Internationalhandbook on mathematics education. Dordrecht (Holanda). Kluwer,pp. 1035-1053.

BARTON, B; FAIRHALL, U. (eds.) (1995): Mathematics in Maori educa-tion. Nueva Zelanda. University of Auckland.

BELL, R.; CORNELIUS, M. (1988): Board games round the world: a resour-ce book for mathematical investigations. Cambridge. Cambridge Uni-versity Press.

BISHOP, A.J. (1991): Mathematical enculturation: a cultural perspective onmathematics education. Dordrecht (Holanda). Kluwer.

BRADY, J.M. (1978): An experiment in teaching strategic thinking. Cre-ative computing, 4 (6), pp. 106-109.

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COOKE, M. (1990): Seeing Yolngu, seeing mathematics. Northern Territory(Australia). Batchelor College.

DUNFORD, J. (1982): Games and recreations in the mathematics class -room, en CORNELIUS, M. (ed.): Teaching mathematics. Londres.Crrom Helm, pp. 154-185.

FALKENER, E. (1961): Games ancient and oriental and how to play them.Nueva York. Dover (reimpresin).

GERDES, P. (1995): Ethnomathematics and education in Africa. Estocolmo.Instituto de Educacin Internacional; Univesidad de Estocolmo.

(1996): Ethnomathematics an mathematics education, en BISHOP,A.J. y otros (eds.): International handbook on mathematics education.Dordrecht (Holanda). Kluwer, pp. 909-943.

HUIZINGA, J. (1949): Homo Ludens. Londres. Routledge and Kegan Paul.JAYNE, C.F. (1962): String figures and how to make them. Nueva York.

Dover.LENA, G.A. (1992): Counting systems of Papua New Guinea and Oceania.

Tesis de PhD no publicada. Lae PNG. Papua New Guinea Universityof Technology.

MACMILLAN, A.J. (1997): An investigation into the initiation process ofpre-school children into the culture of a formal mathematics educationprogram in the first year at school. Tesis en PhD no publicada. New-castle (Australia). University of Newcastle.

MOSCOVICI, S. (1981): On social representations, en CODOL, J.P.;LEYENS, J.P. (eds.): Cognitive analysis of social behaviour. La Haya.Martinus Nijhoff.

PINXTEN, R.; VAN DOOREN, I.; HARVEY, F. (1983): The anthropologyof space. Philadelphia. University of Pennsylvania Press.

ROTH, W.E. (1902): Games, sports and amusements. North Queenslandethnographic bulletin, 4, pp. 7-24.

ZASLAVSKY, C. (1973): Africa counts. Nueva York. Prindle, LawrenceHill Books.

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3Xornadas de matemticarecreativa...? S..., por favor...

Manuel Pazos Asesor de matemticas en el CEFOCOP de La Corua

En las reuniones que el profesorado mantiene tanto en sus centroscomo en los distintos foros a los que acude, suelen orse lamentos en abun-dancia y termina por caerse en el tpico de que el alumnado cada vez estu-dia menos, que no atiende en clase, que la gestin del aula es cada vezms difcil y que no se sabe muy bien adnde vamos a parar. Es una histo-ria bastante descorazonadora que, con una buena dosis de certeza, encierraun pesimismo peligrosamente contagioso del que muchos compaeros ycompaeras quedan cautivos.

De alguna manera, es preciso rebelarse y adoptar medidas tendentes amejorar la motivacin de todos, de profesores y alumnos, de modo que losprocesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas, ya de por s com-plicados y nada fciles, tengan lugar con una actitud positiva capaz decontagiar al alumnado.

Seguramente no siempre nuestra reflexin sobre el quehacer diario enel aula nos lleva a un replanteamiento de las estrategias que utilizamos nia una inversin, aunque sea fugaz, de los papeles alumno-profesor que nos

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Artculo publicado en Aula de Innovacin Educativa, 78, pp. 36-39, enero 1999.


facilitara el anlisis de por qu el alumno cada vez estudia menos y seaburre ms.

Cuando se instala una situacin de crisis en un colectivo, sea cual seasu tamao, es preciso romperla y para ello hay que contar con la colabora-cin de todas aquellas personas que se mueven en situaciones didcticasms innovadoras y favorecer una actitud positiva en el grupo, sobre todo enlos que estn en el umbral en disposicin de que su actitud y su prcticaevolucionen en el sentido deseado.

Parece evidente que el mejor modelo es a travs de una formacin cen-trada en los lugares de trabajo, porque se conoce el medio, el centro y suentorno, los recursos humanos y materiales, el contexto socioeconmico, lascostumbres, las necesidades, etc. Todo ello hace que la intervencin seams ajustada y que los logros respondan ms y mejor a las necesidades mani-festadas. De este modo, se pueden dar pasos para que:

. Las matemticas en el aula sean atractivas para alumnos y profesores.

. Las matemticas ayuden a comprender, plantear, resolver e inter-pretar situaciones prximas, del da a da.

. El profesorado utilice, adems de su ingenio y su arte, todos aque-llos recursos (materiales, lingsticos, tecnolgicos) y mtodos quehagan que la enseanza y el aprendizaje de las matemticas seanagradables.

. Cada vez sean ms los nios y nias a los que les gusten las mate-mticas.

Pero, siendo bsico el trabajo individual y grupal, es preciso que elprofesorado tenga referencias ms amplias sobre la actividad de otras per-sonas y grupos ms o menos prximos, lo que piensan y hacen profesiona-les de relieve, los mtodos y materiales que utilizan, las actividades que serealizan, etc. Es preciso, ms que nunca, intercambiar ideas y opinionesentre el profesorado.

Matemtica recreativa..., qu es eso?

Algunas caractersticasNo se trata de dar una definicin de matemtica recreativa, porque la

definicin, adems de resultar difcil, seguramente no nos ayudara a clari-

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ficar el tema. Pero considero conveniente hacer un esfuerzo reflexivo paraestablecer unos parmetros y fijar unas referencias que, si es posible, ayu-den a delimitar su contenido.

Acudiendo a la cada vez ms abundante literatura sobre matemticarecreativa, observamos que no abundan las definiciones por comprensin,sino por extensin, y van apareciendo caractersticas, contenidos, metodo-logas, recursos, modos de presentacin de actividades matemticas, etc.,que unos y otros autores, articulistas y dems consideran como tal.

De este modo, parece que no slo debemos entender por el calificati-vo recreativo los juegos matemticos en sentido estricto, sino que tambinhabra que hablar de todas aquellas situaciones didcticas activas en lasque utilizamos la palabra (cuento matemtico, adivinanza, jeroglfico, can-cin, narracin, etc.), la representacin, la construccin geomtrica, elmaterial didctico ms o menos estructurado (policubos, tangram, baco,espejos, regletas, BAM), los objetos cotidianos (botones, palillos, dados), elmaterial tecnolgico (calculadoras, ordenador), los juegos de diversa ndo-le, las actividades de exposicin en tablones de pasillo o clase (biografas,noticias de prensa, curiosidades), los problemas relevantes, etc.

Bajo el nombre de matemtica recreativa suelen presentarse, pues, unavariada serie de contenidos, recursos y estrategias que cualquier profesor,conociendo las necesidades e intereses de sus alumnos, debe utilizar paraque el proceso de aprendizaje resulte grato y motivador, y sea motor de futu-ros aprendizajes. Por tanto, parece que todas las actividades que se realicendeben estar relacionadas con las matemticas y tener un carcter ldico.

En las I Xornadas de Matemtica Recreativa (La Corua, 1994), LuisBalbuena, en la conferencia inaugural (La matemtica recreativa ocmo re-crear la matemtica) haca hincapi en la necesidad de que losnios recreasen las matemticas, que volviesen a crearlas, en la medida delo posible. Asimismo, se refera a una definicin de matemtica recreativacomo el estudio y solucin por puro pasatiempo de problemas y acertijosrelacionados con las matemticas. Pero habra que plantearse si es slopasatiempo, porque, como sabemos, pueden llegar a presentarse serios pro-blemas matemticos a partir de simples pasatiempos.

Por qu debemos utilizarla?Entre alumnos, ex alumnos y una parte del profesorado, suele decirse

de las matemticas que son aburridas, con excesiva carga operacional,

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carentes de practicidad y no contextualizadas, excesivamente abstractas einadecuadas para la edad, difciles de entender por su riguroso lenguaje, loque implica mecanizacin, etc. Consecuentemente, parece obvio que espreciso mejorar los resultados, el grado de satisfaccin del alumnado1.

La matemtica recreativa resulta interesante y til dentro de la edu-cacin matemtica porque es atractiva para los alumnos, y adems:

. Sirve para conectar las distintas partes de las matemticas entre sy con otras reas, evitando compartimentos estancos, siempre per-judiciales para el proceso de enseanza-aprendizaje.

. Permite la puesta en prctica de recursos intelectuales y estrate-gias diversas al intentar resolver los problemas que se plantean encualquier situacin, juego, etctera.

. Ayuda a perseverar en la bsqueda de soluciones o de estrate-gias ganadoras al constituir para determinados alumnos un desa-fo e iniciarse o profundizar en la induccin, la generalizacin,etctera.

. Facilita al profesorado una evaluacin reguladora que permitesuministrar a cada alumno, en cada caso, la ayuda pertinente paraseguir avanzando en la construccin de su conocimiento matemti-co mantenindo una estimulacin adecuada.

. Favorece la integracin e incorporacin a la actividad matemticade aquellos alumnos que tienen bajo rendimiento escolar por diver-sos motivos, pero que reaccionan positivamente en situacionesabiertas de aprendizaje fuera del marco clsico, por el que nodemuestran ningn inters.

. Contribuye a crear un clima distendido en clase que favorece losaprendizajes cooperativos y la regulacin de comportamientos socia-les en situaciones muchas veces espontneas.

Cmo empiezo...?Suele decirse que la mayora de los conocimientos, sobre todo desde

Gtenberg, estn en los libros. Y hoy la produccin bibliogrfica sobre eltema es considerable en cualquier etapa educativa, no habiendo dificultadalguna en cuanto a informacin. Existen, adems, revistas en las que apa-recen actividades y propuestas aprovechables para matemtica recreativa2.Lo mismo ocurre en cuanto a materiales y recursos para utilizar en clase,segn el aspecto matemtico que nos interese.

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Pero, siendo importantes, la bibliografa y el material no bastan. Exis-te algo mucho ms bsico: la actitud del profesor, el querer hacerlo, el estarconvencido de su importancia, creer en lo que se hace. Hasta tal punto esas que considero que una clase calificada como normal puede ser ver-daderamente recreativa, mientras que otra planteada como recreativa puedeser una clase sin vida y sumamente aburrida. Es el papel del profesor y lagestin que del aula haga lo que marca la diferencia.

Algunos pasosCasi siempre introducimos modificaciones en nuestra manera de hacer

las cosas porque, adems de reflexionar sobre ellas, creemos que son sus-ceptibles de mejora. Ello hace que seamos receptivos a cualquier novedadmaterial o de procedimiento. Es as que la lectura de un libro, la asistenciaa un curso, a una conferencia, a una exposicin, la conversacin con el com-paero recin llegado al centro, pueden provocar en un profesor la curiosi-dad y hacer que pruebe algn tipo de actividad que, a ser posible, ha de ser:

. Sencilla y breve.

. Cuyo resultado vaya a ser satisfactorio para nosotros y para losalumnos: que deje buen sabor.

. Adecuada a lo que se est trabajando en clase.

. Motivadora, facilitadora, aclaratoria, impactante.

. Que exija la participacin del alumnado, no slo la actuacin delprofesor.

Poco a poco, y de una manera gradual, se van incorporando activida-des nuevas y los alumnos y el profesor se van encontrando ms a gusto enclase recorriendo un camino que cada da est ms transitado y con un pun-to de salida en el que podra rezar:

Smese al grupo de los que sostienen el deseo de que no exista lugar enlas aulas para las matemticas feas. (Prez Gmez, 1988)3

Xornadas de matemtica recreativa... y su historia

La idea no fue producto de un momento feliz, sino inducida por unaserie de circunstancias y personas. Se fue construyendo poco a poco. Por

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ejemplo, en aquellos largos paseos por Barcelona con M.G. Dniz, en losque la educacin matemtica era un tema de conversacin recurrente;muchas de las ideas esbozadas entonces fueron llevadas a la prctica en varioscentros a travs de talleres de visualizacin y geometra, aulas de matem-tica recreativa, proyectos y seminarios nucleados en los recursos materia-les. Pero la idea clave para la decisin final habra que buscarla en un cursode matemticas para educacin primaria en el que particip El Quinzet(Barba y Segarra), cuyas sesiones constituyeron un claro ejemplo prcticode ensear y aprender disfrutando.

En la primavera de 1993, comenz en el centro de Formacin Continua-da del Profesorado (CEFOCOP) de La Corua la planificacin de las I Xorna-das de Matemtica Recreativa. A lo largo del curso escolar se convocaron entreel profesorado actividades tendentes a fomentar su participacin como un ban-co de intercambio de juegos (Me cambias un juego?, Me ensaas unjuego, Te enseo un juego, etc.) o el envo a todo el profesorado, tanto deprimaria como de secundaria, de un vaciado de ms de mil actividades recre-ativas clasificadas segn distintos criterios y que se extrajeron de diferenteslibros. En junio de 1994 asistieron a sus talleres, conferencias, comunica-ciones, mesas redondas y exposiciones algo ms de cuatrocientas personas.Un nmero similar de docentes acudi a la edicin de 1995.

En las III Xornadas4 celebradas en junio de 1998, los setecientos asis-tentes tuvieron ocasin de recrearse en la oferta de sesenta talleres distintos,cuatro conferencias plenarias, veinte comunicaciones, diez exposiciones, etc.La participacin del profesorado de Galicia creci considerablemente, yaque fueron algo ms de cien profesoras y profesores los que aportaron susactividades, mientras que unas cuarenta personas de otras Comunidades(Madrid, Catalua, Navarra, Canarias, Valencia, Andaluca, Castilla-Len,Castilla-La Mancha, Aragn...) nos comunicaron su experiencia en el mbi-to de la matemtica recreativa.

De este modo, conjuntamente, vamos creciendo poquito a poco tanto enGalicia como fuera de ella, y cada vez ms gente se siente atrada por estaactividad que hoy se ha convertido ya en un punto de encuentro en todo elterritorio estatal, pues se ofrece un marco idneo para una visin genricade la recreacin en matemticas y para su anlisis e investigacin.

Estamos convencidos de que la enseanza de las matemticas debeevolucionar, adaptndonos tanto a las necesidades sociales de hoy como alas capacidades del alumnado y tambin a su mundo afectivo. Pensamos,

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asimismo, que es preciso avanzar, no slo en el desarrollo de programas ymtodos, sino tambin en la manera de ensear y aprender.

Es necesario impulsar, a travs del juego y del uso de recursos mate-riales y tecnolgicos, la actividad matemtica recreando situaciones moti-vadoras entrelazadas que faciliten el descubrimiento de los distintosaspectos matemticos objeto de estudio. Pero para eso no basta que sepa-mos lo que el alumno debe o puede aprender: es preciso que consigamosque quiera aprenderlo. ste es el problema bsico con que nos encontra-mos en las aulas. Y no podemos vivir de espaldas a l; es preciso ponerlo ala proa e intentar encontrar una solucin a toda costa.

Podemos buscar apoyo en la recreacin matemtica? Pensamos ques, pero actuando de una manera sistemtica, con intencionalidad en elhecho de educar y que no quede slo en una tarea de relleno o para lanzarluminarias en clase. Estimamos que se necesita un mejor aprovechamientode todo tipo de recursos, de las situaciones ldicas, de la contextualiza-cin de las matemticas en la vida diaria y en las dems reas de conoci-miento, de los modos de ensear y de evaluar del profesorado, porquecreemos que un nio o una nia no puede odiar las matemticas en razndirecta a sus aos de estancia en la escuela. Cuando eso es as, y en algu-nos casos lo es, algo falla y alguna reflexin estamos obligados a realizar.En fin, sera deseable que esta actividad, y otras que puedan promoverse enla misma lnea, contribuyese de alguna manera a una tarea de mejora.

Es de resaltar el esfuerzo de las muchas compaeras y compaeros,tanto de Galicia como de otros lugares, que hicieron y hacen viable estaactividad, lo mismo con su presencia como asistentes que presentando acti-vidades y comunicando sus vivencias del da a da en el aula, lo que, comobien sabemos, exige un esfuerzo de reflexin y de sntesis que, indudable-mente, cada uno incorpora a su acervo de perfeccionamiento profesional. Atodos, el equipo del CEFOCOP de La Corua, nuestro agradecimiento.

Xornadas de matemtica recreativa

stos son los objetivos. Facilitar la relacin entre las personas que desempean su trabajo

en el campo de la educacin matemtica, favoreciendo su reflexin enel proceso de enseanza-aprendizaje.

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. Proporcionar elementos de referencia entre lo que se est realizan-do en educacin matemtica en Galicia y en las dems Comunida-des Autnomas.

. Ofrecer una visin genrica de las tendencias e investigaciones enrelacin con la recreacin en matemticas a travs de una metodo-loga de resolucin de problemas.

. Aplicar materiales y recursos tecnolgicos en el proceso de enseary aprender matemticas.

. Comunicar experiencias hechas en las aulas que fomenten la acti-vidad matemtica con una metodologa dinmica y un tratamientointerdisciplinar adecuados.

. Mostrar al profesorado materiales, juegos y procedimientos de usoque ayuden a despertar y a avivar en el alumnado el gusto por lasmatemticas.

. Analizar la metodologa empleada y posibilitar una respuesta posi-tiva, desde las matemticas, a la diversidad de nios y nias quepasan sentados en nuestras aulas una buena parte de su vida infantily juvenil.

stas son las conclusiones. El profesorado es consciente de la necesidad de un cambio de acti-

tud hacia la enseanza de las matemticas, pues un cambio actitu-dinal del alumnado pasa siempre por un cambio actitudinal delprofesorado. Como deca Claudi Alsina en la magistral conferencia declausura de las III Xornadas de Matemtica Recreativa (Clasesde matemticas con msica), los que tenemos que poner msica anuestras clases somos nosotros: los profesores y profesoras.

. Es preciso prestar una ajustada atencin a cada una de las etapaseducativas, desde la educacin infantil hasta la educacin secun-daria, teniendo en cuenta que el enfoque ldico que se les aseguraa los nios y nias de educacin infantil no debe quedar reducido aesta etapa. El placer de jugar debe procurarse, al menos, desde ceroa cien aos, y debemos tomar conciencia de que los nios y adoles-centes, cuando juegan, es cuando realmente despliegan sus mejoresrecursos para percibir, conceptualizar y resolver problemas.

. Los profesionales debemos tomar conciencia del carcter globali-zador e interdisciplinar que debe tener cualquier intervencin

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educativa si queremos asegurar a los alumnos y alumnas un apren-dizaje significativo y funcional; teniendo en cuenta tambin que elaprendizaje de las matemticas le va a ofrecer al alumnado no sloxito acadmico en esta disciplina, sino aprendizajes transferiblesa otras reas, y sobre todo, le va a capacitar para intervenir en sumbito social con mayor competencia y seguridad.

. El nuevo enfoque en la enseanza de las matemticas a los alum-nos con necesidades educativas especiales abre un horizonte pro-metedor al incorporar tcnicas y recursos materiales que abarcanlas modernas tecnologas y favorecen la enseanza de las matem-ticas a ciegos y sordos, asegurndoles, adems, una va de mejorintegracin escolar y social.

. Debemos tener en cuenta que estamos inmersos en un momento degrandes cambios sociales y mediticos en el que las nuevas tecno-logas imponen cambios sustanciales en los procesos de enseanzay aprendizaje de las matemticas.

Notas

1. PAZOS, M. (1993): Materiais de clase compartidos. Revista Galega deEducacin, 18.

2. PAZOS, M. (1998): Bibliografa de matemtica recreativa. Uno. Revis-ta de Didctica de las Matemticas, 18, pp. 73-92.

3. PREZ GMEZ, R. (1984): Prlogo, en HERNN, F.; CARRILLO, E.:Recursos en el aula de matemticas. Madrid. Sntesis.

4. PAZOS, M. (coord.) (1999): Actas das III Xornadas de Matemtica Recre-ativa. Santiago de Compostela. Xunta de Galicia.

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4Matemticas para todos, todos para las matemticas

Joaquim GimnezUniversidad Rovira i Virgili. Tarragona

Los principios que justifican unas matemticas para todos y unasmatemticas que partan de la calle y de lo cotidiano se van haciendo cadavez ms evidentes.

As, no debemos buscarlos en exigencias de las nuevas programa-ciones de leyes cercanas (como la LOGSE), o en informes extranjeros(lase el britnico Cockroft o los Estndares americanos). Hay un con-junto de motivos confluyentes que coinciden con una nueva valoracinde la propia matemtica.

Se pueden citar ante todo varios motivos importantes de tipo social,entre los que destacamos:

. El redescubrimiento del valor de las matemticas, que permitenmodelizar el mundo real, acentuado por la especializacin.

. La educacin de valores propios de la democracia y de la ciencia alos que las matemticas pueden contribuir como la crtica, el jui-cio, la deduccin, etc.

. La creencia actual de que el razonamiento es aquella cualidadhumana que nos puede permitir dominar la tecnologa y situarnospor encima de la robtica.

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Artculo publicado en Aula de Innovacin Educativa, 58, pp. 6-11, enero 1997.


. La conciencia de que preparar el futuro implica una preparacinpara los cambios constantes (y por ello no podemos perder el con-tacto con la realidad que cambia).

. La consideracin de que el grupo y el trabajo cooperativo deben yareflejarse en la escuela (puesto que cada investigador se especiali-za y necesita de los dems).

Con ello se quiere eliminar el bostezo preocupante o la actitudnegativa de los alumnos que se produce en muchas ocasiones ante las cla-ses de matemticas que preguntan constantemente: Y esto... para qu meva a servir?.

Asimismo, hay elementos pedaggicos que han contribuido a populari-zar y relacionar las matemticas con la vida cotidiana:

. El reconocimiento del alumno como protagonista del aprendizaje(lo que implica considerarle un participante activo, un investiga-dor, etc.) o sea, un pequeo gran matemtico.

. Las consecuencias de la decisin de considerar al alumno comoconstructor de contenido (como no tiene un gran bagaje tcnico,eso lleva a que le planteemos tareas concretas y no slo le mostre-mos resultados).

. Matemticas para todos es tambin una exigencia para conseguiraudiencia.

Hacer que las matemticas surjan de la calle es un gran objetivo quemuchos profesores no hemos asumido. Y popularizarlas es adems un bueneslogan para conseguir este objetivo. Podramos remontarnos a pocas anti-guas para palpar la relacin de las matemticas con el mundo real, perodicho contacto no est ni mucho menos al alcance de cualquiera que semueva en el mundo real, sino slo para unos iniciados. En efecto, populari-zar la ciencia es algo mucho ms reciente. Igual que las cadenas de TV, losprofesores de matemticas deseamos aumentar nuestro share de audienciay por ello, entre otras cosas, pensamos que las matemticas deben surgir dela calle para ir a la clase.

Para conseguirlo, proponemos tres estrategias publicitarias para laenseanza obligatoria:

1. Lucha contra la ridiculizacin y superacin del menosprecio exis-tente sobre el razonamiento matemtico, mediante nuevas marcas

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como el nfasis en la observacin y nuevos productos naturales,ofreciendo tecnologa moderna y avanzada.

2. Integracin de todos los medios publicitarios a nuestro alcance. 3. Aumento progresivo del control de calidad sobre el producto.

Popularizar sin menospreciar

En la tarea de ensear matemticas, parece que un programa de popu-larizacin y de contacto con la tan apasionante realidad debe superar algunastrabas y poder responder a viejas preguntas como las siguientes: Observarno es algo demasiado elemental para los 12 aos? Cmo construir mate-mticas si no se tienen herramientas? Qu podemos hacer en la educacinprimaria para entrar en la modelizacin? Si no se sabe calcular, o no sesaben resolver ecuaciones, cmo se van a resolver problemas? Hasta dn-de es posible investigar en matemticas con 14 o 15 aos?

Ejemplo 1: la geometra real y la lectura de la imagenCon este ejemplo se pretende cuidar no slo la visin simplista

hablando de la ciudad como motivacin populista, sino fomentar argumen-taciones verbales lo ms serias posibles de los estudiantes. As, cuando sepeda a estudiantes que no eran de Madrid que observaran cuatro edificiosde la ciudad de Madrid de alturas diferentes (A=Torre Espaa, B=iglesia delPalacio Real, C=Templete del Teatro Real, D=monumento del centro de laplaza de Espaa), se les exiga despus que justificaran si las afirmacionessiguientes se deducan de la imagen o no (fotografa area de Madrid).

Observando una ciudad

Toma cuatro edificios significativos de la foto que tengan alturas diferentes. Razo-na cules son sus alturas. De las frases siguientes, cules son ciertas y pueden afir-marse a partir de la informacin visual del dibujo y cules no?

He aqu las respuestas de Slvia (11 aos):. A tiene 120 metros. A tiene unos 32 pisos, y si cada piso tiene unos tres metros,

que sera mucho, no creo que llegara nunca a 120 metros. Si me hubieras pregun-tado por la iglesia, no sabra qu decir, porque no tengo pisos para contar.

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. A es ms alto que B. Es ms estrecho y alto. Si lo mido en la foto parece que no,pero la iglesia est ms cerca y parece ms alta. Las iglesias no tienen tantos pisos,y si miro el edificio rojo de abajo veo que slo tiene 2 pisos.

. La torre D es mucho menos alta que C. A ojo parece que s. La columna, porqueparece una columna en el jardn se ve mucho ms alta de lo que aparenta, pero esms alta que la casita del teatro porque est ms lejos. Ahora si contamos todo yno slo la casita, sera ms bajo. Las cosas de lejos parecen pequeas y tododepende de cmo te lo mires. La parte de delante de la iglesia B tiene ms de 4 pisos de altura. Parece quetiene la misma altura que atrs, que lo vemos. Pero, no estoy segura. Deberamirarlo de verdad para estar segura.

El quehacer matemtico, ya desde el primer ciclo de primaria encuanto a la introduccin de la geometra de la calle o ciudadana no puedereducirse a simples actividades de contacto con lo real, para pasar a hablarinmediatamente de polgonos y observar planos y vistas frontales de losobjetos (vase cuadro 1).

Debe ejercitarse un trabajo productivo, con acciones graduadas comolas siguientes a todos los niveles:

. Dilogo sobre realidades cercanas (hablando, situando objetos,dibujando lo que se ve, etc.).

. Observacin y contraste de vistas desde distintos lugares (imge-nes de habitaciones, cocinas, etc.).

. Dibujo-recuerdo de algo que no se tiene enfrente pero se hatenido experiencia por va verbal (la casa de mi abuela), o varecuerdo temporal prximo (la fachada de la escuela, un detalle delpatio, un itinerario).

. Razonamiento sobre vistas diferentes de un lugar desconocido(distinguir la altura desde la que se hicieron diversas fotos).

. Justificacin reflexiva (como la de la foto de Madrid anterior-mente comentada).

Una geometra ciudadana para todos debe plantear autnticos problemasy no slo acciones dirigidas. Experiencias como las que hemos contado hantenido xito. Los temas de consumo y medio ambiente son especialmentericos en posibilidades para hacer reflexiones similares. Hacer experiencias

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Cuadro 1. Geometra de la calle dbil y en profundidad. Comparacin de acti-vidades y procesos

GEOMETRA DE LA CALLE DBIL

Proceso Acciones ProcesoAcciones

GEOMETRA DE LA CALLE EN PROFUNDIDAD

. Simple observacin

. Slo contex-tualizacin

. Descripcin

. Construccindirigida

. Presentar dibujosbonitos con maque-tas para ilustrar quelas vistas son impor-tantes y pasar inme-diatamente a trabajarcon dibujos.

. Hablar de la ciudado hacer una salida,slo para ver cosas,hacer algunos dibu-jitos y explicar loque se ha hecho conun resumen.

. Hacer un plano dela clase, del pue-blo...

. Pedir: lee este texto,identifica lugares co -rres pondientes enma que ta. Justifcalo.Des de dnde se hizola foto? Cmo fue posi-ble la imagen?... Expli-ca lo que no se ve...

. Explica cmo imagi-nas... Por qu en lacalle... hay tantos acci-dentes? Monta unaimagen del recorridohecho, dsela a uncompaero. Est cla-ro? Faltan cosas?

. Cuntale a alguien...Haz un dibujo corres-pondiente a un texto.Preguntar: Para qusirve la escala? Quventajas tiene un planoa escala respecto de unoque no lo es?

. Elaborar un esquemapor pasos sobre lo quese debe hacer parahacer un plano

. Visualizacin

. Integracin

. Justificacin

. Diseo

. Verbaliza-cin

. Contraste

. Prediccin

. Descripcin

. Control

. Cambios derepresenta-cin

. Construccinconceptuali-zada

. Interrogacin

. Esquemati-zacin


dbiles como las que se muestran en el cuadro 1 son un menosprecio parala actividad geomtrica y para los propios estudiantes.

Usando productos naturales. Ejemplo 2: estudio de sombrasPoca gente compra ya logaritmos o divisiones de siete dgitos entre

tres dgitos, o propiedades asociativas en los nuevos programas. Con todo,renovarse, implica reconocer que el pblico sigue comprando viejos pro-ductos de uso comn como saber las tablas, reconocer caractersticas delcrculo, resolver ecuaciones de segundo grado, calcular reas de figurasplanas, saber las funciones trigonomtricas, usar las derivadas, etc.

Ahora es el momento! Olvide las viejas explicaciones! Cmbiese ainvestigacin! Un nuevo producto que provoca que sus alumnos proponganproblemas y no slo los resuelvan! Mire cmo muchas manchas del fracasomatemtico desaparecen, y una nueva alegra surgir en la clase. Vea elejemplo ecolgico: investigando con sombras. Fjese en Juanito, alumnode 8 aos, usando este producto mediante un ejemplo especial creado porPaolo Boero (vase cuadro 2).

Otros dicen cosas distintas. Algunos cortan la sombra... Nadie deja lahoja en blanco. Todos marcan la lnea gruesa que indica la sombra, peroslo Juanito y Lourdes sealan un espacio de sombra como se ve en el dibu-jo. Todos han probado nuestro nuevo producto y se han convertido enpequeos matemticos Por eso se han equivocado algunos, otros se hanexplicado con mayor correccin... Lo importante es que con este nuevo pro-ducto se introduce al alumno en la modelizacin cientfica lo cual provocaun conflicto a otros clientes (los profesores). En efecto, qu hago ahora?Evidentemente discutir y reflexionar sobre la situacin. Proponer formas derazonamiento para refutar la conjetura, aprobarla, etc. Siempre que poda-mos, no deberamos acudir a lo tangible de un modelo impuesto desde fue-ra del alumno. Es decir, pensar con la cabeza.

Pero, como pasa con la lavadora nueva, que hace ms cosas, a vecesnos gusta ms el viejo producto conocido que no planteaba estos nuevosproblemas... De hecho, hay quien sigue vendiendo teoremas de Tales ongulos slo en la pizarra. Porque sabe qu hacer cuando se estropea ylo tiene dominado. El nuevo producto Investigando con sombras trata deatacar viejos problemas pero no siempre gusta a todos. Por eso siemprese formula la famosa pregunta del detergente: Est dispuesto a cambiar-

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me su viejo limpiador por el nuevo?. Si la respuesta es no, no hace faltaque siga leyendo. Ahora bien, es posible que dentro de unos aos, ya nohaya piezas de recambio para su vieja lavadora, que los mltiples bostezosen clase, se tornen inteligentes silencios de alumnos pasotas que demues-tren con su desprecio la misma insatisfaccin que ahora. Y que muchas vecesescribamos no progresa adecuadamente. O bien que alguna OCU venga adecirnos sus viejos contenidos no sirven, y est vendiendo un aparatoen mal estado que no desarrolla estudiantes reflexivos, crticos, con men-talidad abierta para el siglo XXI (vase cuadro 3 en la p. 48).

Calidad y tecnologa avanzada. Ejemplo 3: la hoja de clculoPero es bueno introducir eslganes publicitarios de los que debemos

estar convencidos: Use hojas de clculo con ordenador..., sus hijos se lo

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Cuadro 2. Una actividad con sombras en el ciclo medio de primaria

El dibujo representa una situacin de la sombra del sol; una persona se acerca almuro y se ve su sombra. Como ves, al lado del muro hay un hueco en el terreno. Debesdibujar a la persona y el lugar dnde estar su sombra cuando avance unos tres pasoshacia el muro. A mano derecha, se ve la solucin dibujada por Juanito. Su respuestase da a continuacin:

La sombra de la nia, cuando ha avanzado tres pasos es lo que voy a explicar. Hemarcado la lnea que pasa por la cabeza y llega hasta la sombra. Despus hay otras lneasque corresponden a la nia ms adelante. Miro donde llega la nueva lnea que le pasa porencima y as tengo el espacio que hay desde los pies hasta donde termina la sombra.

lleno desombra


agradecern! No pierda el tiempo con la calculadora. 89 x 91... puedehacerlo mentalmente! Mire, observe, construya... la mejor forma de ver lospoliedros! Y, por la noche... para mayores de 18 aos, poner anuncios parael profesor o profesora. No deje la pizarra, pero deje que el vdeo entre ensu clase! O bien, para aprender ms, llame al 07-551-342342... Unos bue-

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Cuadro 3. Algunos productos del plan renove didctico con lo viejocorrespondiente

PRODUCTOS VIEJOS APROVECHABLES?

PRODUCTOS NUEVOS O NUEVAS MARCAS DE CALIDAD

. Precios y objetos reales.

. Clculo del inters bancario.

. Operaciones en la pizarra.

. Geometra con objetos demadera.

. Mostrar el reloj de sol.

. Mostrar dibujos en perspectiva.

. Frmulas de reas.

. Dibujar con regla y comps ypintar funciones.

. Trabajar con materiales.

. Clculo mental rpido connmeros.

. Precios europeos: qu costar en...?

. El mercado y el consumo.

. Cdigos de barras.

. Cdigos de seguridad. Prstamos e inversiones.

. Reconocer mtodos de clculo en la historia.

. Usar la calculadora... para lo que lo merece.

. Observar las posiciones de las sombras de un palo.

. Razonar sobre sombras a lo largo del tiempo.

. Variacin de los ngulos de las sombras.

. Ver grficas de sombras del sol durante el ao.

. Experiencias de Leonardo da Vinci pintandosobre un plstico o cristal cuadriculado.

. Clculos de espacios urbanos o campestres.

. Introduccin del coeficiente de edificabilidad.

. Usar Draw, Cabri , hoja de clculo, calculadorasgrficas y otros programas de ordenador.

. Analizar un fragmento de vdeo.

. Clculo mental til y rpido con enunciados ver-bales de problemas prximos a lo cotidiano.


nos cursillos le ensearn cmo mejorar la intimidad de la clase !La tarifaes de llamada internacional!

Las ventajas de un plan renove modelizacin hoja de clculo sonmuy claras: ilusin, desarrollo y mejora en el aprendizaje matemtico. Pero,como en los anuncios, nada est exento de dificultades. El elevalunas com-puterizado (la hoja de clculo) un buen da no funciona (los chicos no sacanla ecuacin que yo esperaba). Quizs porque no sabemos cmo usarlo bien.Lo forzamos, como hacamos antes con la manivela... Hay que saber propo-ner situaciones interesantes y, eso s, como siempre, tratar de que funcionebien. No podemos proponer el primer da un trabajo de iteracin. Hay queempezar por ver cmo funcionan las casillas. Usar las frmulas de lasreas de las figuras puede ser bueno, puesto que se ver que necesitamosdos casillas para el rea del tringulo (base en A2, altura en A3), cuyoresultado aparece en una tercera casilla (rea en A4)... Y usar el modo gr-fico para representar funciones-ecuacin concretas (A4=3xA3) cuando labase es fija (A2=6). Para posteriormente analizar propiedades y, al cabo dealgunas clases, reconocer iteraciones (AN=AN-1+2) que me permitan resol-ver problemas como aproximarse a una raz cuadrada, mediante acotacionessucesivas. Es importante actuar convencidos de que no es una moda. El tra-bajo de investigacin a veces tarda en dar el efecto esperado. No todo elmundo que ha comprado una misma paella consigue guisos iguales. Y qui-zs el plato que se ha preparado no guste a todos.

Integracin publicitaria. Los intereses del cliente?

No todos los clientes son iguales. Hay que encontrar provocacionesapropiadas a distintos niveles y usar tcnicas de buen vendedor del pro-ducto... sin engaar a nadie!

Entre la realidad que mueve a un nio de 6 a 8 aos, se encuentra lafantasa. A los nios les gustan los cuentos. Muchos cuentos se sirven de losnmeros, las series, las formas, etc. Pero no los usemos slo para hacerbonito, sino para provocar desafos. El cuento El amor de las 3 naranjas oCaperucita o Las botas de siete leguas deben aprovecharse para plantearproblemas como el contar de tres en tres, distancias entre Caperucita, ellobo y la abuelita, y las series de siete en siete. Ahora bien, la nia de 7

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EP29 3 REIMP:Popular-29 3 REIMP 13/7/10 13:36 Pg

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