manual-metodos.doc

ACREDITADA POR LA ASSOCIATION OF COLLEGIATE BUSINESS SCHOOLS AND PROGRAMS (ACBSP)

Y EUROPEAN COUNCIL FOR BUSINESS EDUCATION (ECBE)

ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Y FINANZAS

MANUAL:

MÉTODOS CUANTITATIVOS II

GANANCIAS FINANCIERAS VIA METODOS CUANTITATIVOS

CICLO IV

SEMESTRE ACADÉMICO 2010 I – II

Material didáctico para uso exclusivo de clase.

LIMA - PERÚ

1

UNIVERSIDAD DE SAN MARTIN DE PORRES

Rector Ing. Raúl E Bao García

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICASY FINANCIERAS

DecanoDr. Juan Amadeo Alva Gómez

Director de la Escuela Profesional de Contabilidad y FinanzasDr. Sabino Talla Ramos

Director del Departamento Académico de Contabilidad y FinanzasDr. Enrique Loo Ayne

Secretario de FacultadDr. Luis A. Cueva Zambrano

Director de la Sección PostgradoDra. Augusto H. Blanco Falcón

Director del Instituto de InvestigaciónDr. Domingo F. Sáenz Yaya

Director de la Oficina de Grados y TítulosMg. Oswaldo Coz López

Jefa de la Oficina de Registros AcadémicosSra. Belinda Quicaño Macedo

Jefa de la Oficina de Bienestar UniversitarioLic. María Pizarro Dioses

Jefe de la Oficina de AdministraciónDr. Luis Flores Barros

2

DERECHOS RESERVADOS

El texto de este trabajo o parte del mismo, no puede ser reproducido o transmitido por métodos o forma alguna, sean estos electrónicos o mecánicos, incluyendo copias fotostáticas, cintas magnetofónicas, acumulación en un sistema de información con memoria, Internet u otra forma, sin autorización escrita de la Escuela Profesional de Contabilidad y Finanzas. FCCEF. USMP. Si desea un ejemplar, gestiónelo en la Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la Universidad de San Martín de Porres.

.

3

INTRODUCCIÓN

El presente manual contiene el desarrollo teórico-práctico del sílabo de la

asignatura de Métodos Cuantitativos II del IV Ciclo de la Facultad de Ciencias

Contables, Económicas y Financieras, ESCUELA PROFESIONAL DE

CONTABILIDAD Y FINANZAS de la USMP y tiene como fin principal, facilitar a los

estudiantes el manejo de los instrumentos de optimización del funcionamiento de

la empresa, en un entorno competitivo y globalizado, mediante el aprendizaje de

los temas listados en la sumilla de la asignatura en sus formas analítica, práctica y

operacional por computadora, fundamentales en el ejercicio profesional del

Contador Público, así como en la práctica de áreas conexas, como son La

Administración, La Economía y La Ingeniería aplicadas a las ciencias de la

empresa.

Al facilitar a los estudiantes dicho aprendizaje, buscamos el logro de los

objetivos generales y específicos de la asignatura de Métodos Cuantitativos II,

camino hacia la Calidad total y búsqueda de la Excelencia en el Ejercicio

Profesional del Contador Público, tan importantes en la dinamización de la

economía del país en un entorno competitivo y globalizado, así como en la

ampliación del mercado ocupacional del Contador Público hacia la alta dirección

empresarial.

En esta tarea, presentamos el desarrollo teórico-práctico de cuatro

unidades de aprendizaje, así como los programas computacionales

correspondientes a ejecutarse en las computadoras de los estudiantes, en la

modalidad de trabajo de grupo y previa instalación de los software necesarios, o

en forma alternativa en el laboratorio de computación de la Universidad o en las

aulas de la Facultad implementadas con computadoras y multimedia.

4

UTILIZACIÓN DE LA COMPUTADORA EN MÉTODOS CUANTITATIVOS

Con la introducción de las computadoras, el trabajo de cálculos asociado con un gran número de datos, ha sido relegado a las computadoras, concentrándose el estudiante o profesional, en la alimentación de los datos y en el análisis de los resultados proporcionados por la computadora.

Hay muchos programas computacionales en el mercado que permiten a los estudiantes y futuros especialistas realizar los cálculos tediosos sin dificultad. Algunos de los programas son MINITAB, SPSS, SAS, BMDP, SYSTAT y LINDO, todos permiten al usuario comunicarse con el sistema de la computadora mediante comandos sencillos.

Si usamos el MINITAB, una vez cargado en la computadora es muy fácil de usar; la aparición del símbolo MTB> en la pantalla del monitor le informa al usuario que el sistema está listo para aceptar una orden de un dispositivo de entrada, después que los datos se han introducido en el programa, el usuario da la orden con comandos de salida y el sistema proporciona inmediatamente los resultados.

Por ejemplo, la siguiente pantalla muestra las órdenes de MINITAB y las correspondientes respuestas usadas para determinar la media de los números: 34, 68, 39, 21 y 42.

O sea: El símbolo MTB >, nos indica que hemos entrado al Minitab El usuario escribe SET C1 y presiona la tecla de entrada. (Esta acción ordena a MINITAB crear la columna C1, en la memoria que contendrá los datos). El sistema responderá con DATA > El usuario escribe 34 68 39 21 42 y presiona la tecla de entrada. La computadora responde con DATA > El usuario, como no habrá más información, escribe END para entrar en el sistema. El sistema responde con MTB > para informar que espera orden del El usuario escribe la orden MEAN C1 y presiona la tecla de entrada. La computadora responde con MEAN = 40.80, que es la media y otro

5

MTB > SET C1 DATA > 34 68 39 21 42 DATA > END MTB > MEAN C1 MEAN = 40.80 MTB >

símbolo MTB > para continuar con otra orden.

También con el Minitab: Luego de ingresar los datos en la hoja de cálculo, desde el MENU principal se selecciona la secuencia:

como resultado se obtiene los estadígrafos: media, mediana, cuartiles etc.

SPSS Luego de definir las variables e ingreso de datos en la hoja de trabajo, desde el MENU PRINCIPAL seleccionar la secuencia:

como resultado se obtiene los estadígrafos descriptivos.

ÍNDICE DE CONTENIDO

UNIDAD I: ANÁLISIS DE VARIANZA Y REGRESIÓN SIMPLE

TEMA N° 1: ANÁLISIS DE VARIANZA1. Anova de un factor2. Anova de dos factoresACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

TEMA N° 2: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE1. Regresión lineal simple2. Correlación lineal simpleACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

UNIDAD II: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLE Y SERIES DE TIEMPO

TEMA N° 3: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLE1. Regresión lineal múltiple2. Correlación lineal múltipleACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

TEMA N° 4: SERIES DE TIEMPO1. Serie temporal2. Descomposición de una serie temporalACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓN

6

REFERENCIAS DOCUMENTALES

UNIDAD III: NÚMEROS ÍNDICE Y TEORÍA DE DECISIONES

TEMA N° 5: NÚMEROS ÍNDICE1. Índices simples e Índices agregados2. Índices en eslabón, Índices en cadena. Cambio de base.3. Fusión de series de índices. Índice de precios al consumidor ó IPC4. Soles constantes. Poder de compra. DeflaciónACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

TEMA N° 6: TEORÍA DE DECISIONES1. Toma de decisiones solo con probabilidades2. Toma de decisiones solo con consecuencias económicas3. Toma de decisiones por el criterio BayesianoACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

UNIDAD IV: MÉTODO SIMPLEX Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

TEMA N° 7: MÉTODO SIMPLEX1. Problema de programación lineal2. Maximización3. Dualidad4. Minimización ACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

TEMA N° 8: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo2. Cambios en los segundos miembros de las restriccionesACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

FUENTES DE INFORMACIÓN.

7

OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES:

El objetivo principal de la asignatura es optimizar el funcionamiento de la empresa en un entorno competitivo y globalizado.

Facilitar a los estudiantes el manejo de los métodos estadísticos descriptivos e inferenciales y los métodos de optimización en sus formas analíticas y por computadora, necesarios como instrumentos en el logro del objetivo anterior para liderar en la gerencia empresarial

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Los objetivos específicos los planteamos por cada unidad de aprendizaje listados en la sumilla respectivamente. Al finalizar el estudio de la asignatura, los estudiantes serán capaces de:

1. Aplicar el Análisis de Varianza para probar las relaciones entre medias aritméticas de subpoblaciones, con fines de control de calidad en la empresa y toma de decisiones para cambios en la empresa. Y aplicar la regresión lineal simple y correlación en las actividades empresariales a la determinación de modelos matemáticos de dos variables con fines de predicción, producción, comercialización e investigación empresariales.

2. Aplicar la regresión lineal múltiple y correlación en las actividades empresariales a la determinación de modelos matemáticos de n variables independientes y 1 variable dependiente, con fines de predicción, producción, comercialización e investigación empresariales. Y estudiar las series de tiempo presentes en la empresa con fines de pronóstico y de planificación de un funcionamiento óptimo de la empresa.

3. Calcular e interpretar los números índice e índice de precios al consumidor (IPC), el poder de compra y la deflación del dinero, con fines comparativos de situaciones en el tiempo, de actualización de valores, de aplicaciones al peritaje, de planificación e investigación. Y estudiar los métodos técnicos de la teoría de decisiones empresariales, determinantes en el éxito empresarial.

4. Aplicar el Método Simplex en la optimización de la “Función Objetivo” en los procesos productivos y administrativos con fines de optimizar el funcionamiento de la empresa. Y aplicar el análisis de sensibilidad a los cambios en la empresa según los cambios externos y la globalización empresariales.

.

8

PAUTAS PARA EL ESTUDIO Y LOSTRABAJOS DE APLICACIÓN

· Lo más importante para el logro de los objetivos de la asignatura es la asistencia y puntualidad a las clases teóricas, prácticas y de laboratorio. Pero, la asistencia no solamente física, sino, y esto es lo más importante, la asistencia intelectual, es decir la asistencia lúcida y concentrada a lo más valioso de la actividad académica que son las clases, lo que redundará que el estudiante cambie positivamente. Por otro lado, es oportuna la siguiente reflexión: El aprendizaje es un resultado estrictamente personal y algunas veces no seda totalmente en la clase y es necesario que el educando revise la clase recibida sólo después de la clase, mí recomendación es que después de cada clase el estudiante revise la clase recibida como una garantía que así de todas maneras se dará el fenómeno del aprendizaje.

· Este manual será utilizado como apoyo, importante en el desarrollo de la asignatura, recomendándose su lectura previa antes de la clase, lo que redundará en facilitar comprensión de los temas y la apropiación de los conocimientos.

· Después de la lectura concentrada, como acciones pro sediméntales deberán ejecutarse las actividades de aplicación propuestas, así como resolver las guías de prácticas dirigidas y ejecutarse las prácticas de laboratorio con los programas propuestos, solamente así se darán como resultados la parte actitudinal en los futuros profesionales.

9

DIAGRAMA DE CONTENIDOS

MÉTODOS CUANTITATIVOS II

ANÁLISIS DE VARIANZA Y

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

REGRESIÓ LINEAL MÚLTIPLE Y

SERIES DE TIEMPO

NÚMEROS ÍNDICE Y

TEORÍA DE DECISIONES

MÉTODO SIMPLEX Y

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

10

UNIDAD I

ANÁLISIS DE VARIANZA Y REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE

Buscar el funcionamiento óptimo de la empresa en un entorno competitivo y globalizado implica hacer investigación en la actual empresa, para determinar los cambios necesarios. Los temas de esta unidad, precisamente son instrumentos para esta investigación.

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

1. Comprende el conocimiento del Análisis de Varianza, aplicándolo a la investigación del funcionamiento de la Empresa y a la toma de decisiones para optimizar sus resultados.

2. Se reconocen y resuelven ejemplos prácticos del caso 1. Por razonamiento conceptual, por tabla de anova y por PC.

3. Se reconocen y resuelven ejemplos prácticos de los casos 2 y 3. Por tabla de anova y por PC.

4. Comprende el conocimiento de la Regresión Lineal Simple, aplicándola a la investigación de la realidad empresarial y a la proyección o planificación futuras.

5. Se reconoce las variables dependiente e independiente y resuelven ejemplos prácticos de regresión para la investigación y predicción en la empresa, manualmente y por PC.

6. Se prueba la validez del modelo e interpretan los intervalos de confianza y de predicción.

7. Al trabajar con la correlación, se prueba la significancia de la correlación.

CONTENIDOS ACTITUDINALES

Se buscará su logro, de manera transversal, en todas las unidades de aprendizaje.

1. Desarrollar en los estudiantes una actitud cuestionadora de la realidad empresarial y de aplicación de soluciones técnicas determinadas con los instrumentos que son los métodos cuantitativos.

2. Desarrollar en los estudiantes una actitud creadora y favorable a los Cambios

11

Significativos, mediante soluciones técnicas. 3. Desarrollar en los estudiantes una actitud responsable en la asistencia y

puntualidad a clases, así como en la elaboración de tareas.

4. Desarrollar en los estudiantes una conducta ética y de práctica de valores como estudiantes y futuros profesionales.

5. Desarrollar en los estudiantes la vocación por el trabajo en equipo y la coparticipación multiprofesional.

CONTENIDOS CONCEPTUALES

TEMA N° 1: ANÁLISIS DE VARIANZATEMA N° 2: REGRESIÓN SIMPLE

TEMA Nº 01ANÁLISIS DE VARIANZA

1. INTRODUCCION.

El ANOVA se utiliza para probar las diferencias entre medias aritméticas de subpoblaciones, con fines de control de calidad y toma de decisiones en la empresa.

SUPOSICIONES: El ANOVA supone que las diversas medias muestrales se obtienen de subpoblaciones con distribución normal y con la misma varianza

.

2. DISTRIBUCIÓN F: El nombre se debe al estadístico británico Fisher.

MÉTODOS DE CÁLCULO.

A) RAZONAMIENTO CONCEPTUAL: Son tres pasos:

1) Estimación de la Varianza poblacional basándose en la variación entre grupos:

, , …, = , así =

k = número de muestras. Luego se reemplaza en:

= CUADRADO MEDIO ENTRE TRATAMIENTOS = CMET.

= número de datos por muestra

12

2) Estimación de la Varianza poblacional basándose en la variación dentro de los grupos:

Calculamos las varianzas con la fórmula :

= CUADRADO MEDIO DEL ERROR = CME

N = número total de datos del muestreo.

3) Si la hipótesis nula es cierta cada CM es un estimador de la misma varianza poblacional y CMET = CME; en cambio si la hipótesis nula es falsa CMET > CME. Las diferencias entre las medias incrementan el CMET, pero no tienen ningún efecto sobre el CME, que se basa sólo en las diferencias internas grupales.

Luego F calculada es:

Si F calculada se encuentra en la región de rechazo de la , para el nivel de significancia dado, n-1 Grado de libertad del numerador y N-K Grado de libertad del denominador, según la tabla de F ó F crítica; entonces se habilita la hipótesis alternativa: : no todas las medias subpoblacionales son iguales o las medias subpoblacionales son diferentes

B) TABLA DE ANOVA DE UN FACTOR: Basado en fórmulas abreviadas:

FUENTE DE VARIACION

GRADOS DE

LIBERTAD

SUMA DE CUADRADOS

CUADRADO MEDIO

COCIENTE F(Estadístico de prueba)

ENTRE GRUPOS DE

TRATAMIENTO (A)

k - 1

ERROR DE MUESTREO (E) N - K

SCE = SCT - SCA

T O T A L (T) N - 1

13

C) POR COMPUTADORA.Existen programas de computación para todos los casos de ANOVA. Nosotros usaremos el programa MINITAB. Ver el Manual del Minitab adjunto.

3. ANOVA DE DOS FACTORES.

. Analizar el aprovechamiento de un programa de capacitación, donde se consideran el efecto de métodos de instrucción y el efecto de la escolaridad previa.

. El rendimiento de la gasolina de acuerdo con la marca del automóvil y el octanaje de la misma.

En un problema de dos factores, la interacción, significa que los dos factores no son independientes. Para probar la interacción, en cada una de las celdas de una tabla de datos de dos factores, deben incluirse más de una observación por celda, caso contrario, no es posible evaluar la interacción entre los factores.

TABLA DE ANOVA DE DOS FACTORES Y UNA SOLA OBS. POR CELDA O DISEÑO ALEATORIO EN BLOQUE.

FUENTE DE VARIACIÓN

GRADOS DE LIBERTAD (gl)

SUMA DE CUADRADOS (SC)

CUADRADO MEDIO (CM) COCIENTE (F)

ENTRE GRUPOS DE

TRATAMIENTO (A)

K - 1

ENTRE GRUPOS DE

TRAT. O BLOQUES (B)

J - 1

ERROR DE MUESTREO (E) (J - 1) (K - 1)

SCE = SCT - SCA - SCB

T O T A L (T) N - 1

14

TABLA DE ANOVA DE DOS FACTORES Y MÁS DE UNA OBS. POR CELDA. INTERACCIÓN.

FUENTE DE VARIACION

GRADOS DE

LIBERTAD (gl)

SUMA DE CUADRADOS (SC)

CUADRADO MEDIO (CM)

COCIENTEF

ENTRE GRUPOS DE TRATAMIENT

O (A)

K - 1

ENTRE GRUPOS DE

TRAT. O BLOQUES (B)

J - 1

INTERACCIÓN ENTRE

FACTORES A y B (I)

(J - 1) (K - 1)

ERROR DE MUESTREO

(E)

JK (n - 1)SCE = SCT - SCA - SCB - SCI

T O T A L (T) N - 1

TALLER 1

15

ACTIVIDADES APLICATIVASANÁLISIS DE VARIANZA

ObjetivoInvestigar las situaciones de la empresa que tienen que compararse mediante el Anova, para según los resultados plantear o no cambios en la empresa.

OrientacionesEn forma individual o si lo prefiere en trabajo de grupo, resolver los siguientes casos que son problemas de la empresa.

E1. Se asignan, en forma aleatoria, 15 participantes a 3 tipos distintos de métodos de instrucción. En la tabla se presentan las calificaciones obtenidas. Utilice el ANOVA para probar ó , con un nivel de significancia del 5%.

A) Por razonamiento conceptual.B) Por tabla de ANOVA de un factor.C) Por computadora, mediante MINITAB.

METODOS DE INSTRUCCION

CALIFICACIONES TOTALES PROMEDIOS

86 79 81 70 84

90 76 88 82 89

82 68 73 71 81

400

425

375

80

85

75

T = 1200

SOLUCION

A) POR RAZONAMIENTO CONCEPTUAL

1) ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA POBLACIONAL BASÁNDOSE EN LA VARIACIÓN ENTRE GRUPOS.

Recordemos la formula,

, , …, = , así =

88, 85, 75, =

16

2) ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA POBLACIONAL BASÁNDOSE EN LA VARIACIÓN DENTRO DE LOS GRUPOS.

Varianza para cada muestra respecto a su media y combinación ponderada:

3) ; Según la tabla F crítica (2,12, = 0.05) = 3.89

Como 3.35 < 3.89: : Los 3 métodos de instrucción, en promedio, dan resultados iguales.

B) POR TABLA DE ANOVA DE UN FACTOR

Se pueden aplicar las fórmulas fuera de la tabla o dentro de la tabla.

.

Reemplazando en la tabla:

17

FUENTE DE VARIACION

GRADOS DE LIBERTAD (gl)

SUMA DE CUADRADOS

(SC)

CUADRADO MEDIO (CM)

COCIENTEF

ENTRE GRUPOS DE TRATAMIENTO (A)

3 - 1 = 2 250

ERROR DE MUESTREO (E)

15 - 3 = 12 448

Total

15 - 1 = 14

698

C) POR COMPUTADORA, MEDIANTE MINITAB

MTB > READ TEST SCORES BY METHOD INTO C1 - C3

DATA > 86 90 82

DATA > 79 76 68

DATA > 81 88 73

DATA > 70 82 71

DATA > 84 89 81

DATA > END

MTB > NAME C1 = 'A - 1’, C2 = 'A - 2’, C3 = 'A - 3'

MTB > AOVONEWAY FOR DATA IN C1 - C3

E2. La siguiente tabla corresponde a calificaciones de 15 personas en capacitación por tres métodos de instrucción y de acuerdo con su nivel de habilidad previa.

Nivel de habilidad Métodos de instrucción

18

(BLOQUES) Total

86

84

81

79

70

90

89

88

76

82

82

81

73

68

71

258

254

242

223

223

Total 400 425 375 Gran TotalT =1200

Determine los valores de F para los dos factores, e interprete los resultados, con una significancia del 5%.

a) Por tabla de ANOVA. b) Por MINITAB, así:

MTB > READ METHOD IN C1, BLOCK IN C2, SCORE IN C3

DATA > 1 1 86

1 2 84

1 3 81

1 4 79

1 5 70

2 1 90

2 2 89

. . .

. . .

DATA > END

MTB > NAME C1 = 'METHOD', C2 = 'BLOCK', C3 = 'SCORE'

MTB > TWOWAY AOV FOR ‘SCORE’, DIMENSIONS 'METHOD', 'BLOCK'

R: F = 12.4 y F = 9.1 respectivamente. Ambos casos rechazan .

19

E3. Se tienen los siguientes datos de ventas semanales en millones de nuevos soles, en ocho regiones asignadas al azar. Pruebe el efecto de los dos factores y la interacción entre ellos, para los niveles de ventas, con significancia del 1%.

Descuento en el precio

Con publicidad Sin publicidad Total

Con descuento 9.8 10.6

6.05.3

31.7

Sin descuento 6.27.1

4.33.9

21.5

Total 33.7 19.5 Gran TotalT = 53.2

a) Por tabla de ANOVA. b) Por MINITAB, así:

MTB > READ METHOD IN C1, SUBJECT IN C2, SCORE IN C3

DATA > 1 1 9.8

DATA > 1 1 10.6

DATA > 1 2 6.2

DATA > 1 2 7.1

DATA > 2 1 6.0

DATA > 2 1 5.3

DATA > 2 2 4.3

DATA > 2 2 3.9

DATA > END

MTB > NAME C1 = 'METHOD', C2 = 'SUBJECT', C3 = 'SCORE'

MTB > TWOWAY AOV FOR ‘SCORE’, DIMENSIONS ‘METHOD’, 'SUBJECT'

R: F = 95.84, F = 49.45 Y F = 7.60 respectivamente,

comparando con los correspondientes F críticos, existen diferencias significativas

en los dos factores, no así en la interacción.

20

CASOS PROPUESTOS.

1. Manuel, un analista de la cadena de supermercados Wong, quiere saber si las cinco tiendas tienen el mismo promedio en dólares por compra. Se elige una muestra aleatoria de cuatro compras en cada tienda:

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4 Tienda 5 23.94 18.52 6.92 20.15 17.48 14.63 19.57 10.47 17.14 9.02 25 78 21.40 7.63 18.25 25.50 17.52 13.59 11.90 15.20 15.50Determine la respuesta, con 99% de confianza, por razonamiento conceptual y por Minitab.

2. En doce tiendas se colocaron cuatro tipos de publicidad, y se asignaron tres de esas tiendas al azar a cada uno de los distintos tipos de publicidad, con el propósito de estudiar el impacto según el cartel publicitario, obteniéndose las siguientes ventas para el mismo período:

Tipo de cartel Ventas Ventas Ventas Totales Promedio

40 44 43 127 42.3 53 54 59 166 55.3 48 38 46 132 44.0 48 61 47 156 52.0

Resuelva, con una significancia del 5 %:

a) Por tabla de ANOVA de un factor.b) Por computadora, aplicando MINITAB.

R: = 4.07 < = 4.53, lo cual rechaza la .3. En la tabla se reportan las palabras por minuto que se mecanografiaron en

diferentes marcas de máquinas de escribir. Las palabras por minuto corresponden a personas asignadas en forma aleatoria, y sin experiencia previa en estos equipos, después de haberles dado cierta capacitación. Pruebe si existen o no diferencias entre las tres marcas de máquinas, en términos de su velocidad de escritura, por tabla de ANOVA de un factor, con una significancia del 5%.

21

Marca de máquina Número de palabras Total Promedio De escribir por minuto PPM PPM

79 83 62 51 77 352 70.4 74 85 72 - - 231 77.0

81 65 79 55 - 280 70.0

R: = 4.26, o sea no existe diferencias entre las tres marcas4. Tres gerentes de producción evaluaron los diseños elaborados por cuatro

diseñadores de automóviles, según el siguiente reporte.

EVALUADORDISEÑADOR

Total 1 2 3 4

A

B

C

87

83

91

79

73

85

83

85

90

92

89

92

341

330

358

Total 261 237 258 273GRAN TOTAL

T = 1029

Determine los valores de F e interprete los resultados con una significancia del 1%.

a) Con tabla de ANOVAb) Por MINITABR: = 12.29 (columna) = ? (Fila)5. Se obtienen datos para analizar el efecto del género y del estado civil de una

persona sobre la calificación crediticia que merece. Las calificaciones se han obtenido de un servicio de crédito local y se reflejan a continuación. Resuelva con una significancia del 1% y programe la solución por Minitab.

Hombre Mujer

Casado 70 40 55 69 64 54 Soltero 65 45 43 45 34 65

22

AUTOEVALUACIÓN

1. Explique en que situaciones de la empresa se debe investigar con el

Anova, para decidir cambios.

2. Explique el basamento del Anova y cuando es importante su uso como

instrumento de investigación de la empresa.

TEMA Nº 02

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE

REGRESIÓN LINEAL SIMPLEEl objetivo de la regresión lineal simple es estimar el valor de una variable llamada variable dependiente, conociendo el valor de una variable asociada llamada variable independiente.

1. SUPOSICIONES

1) La variable dependiente es una variable aleatoria.2) Las variables dependiente e independiente tienen una relación lineal. 3) Las varianzas de las distribuciones de la variable dependiente, para

diversos valores de la variable independiente, son iguales.4) Si se utiliza la estimación por intervalos en el análisis de regresión, la

distribución de la variable dependiente, para valores diferentes de la variable independiente, se distribuye normalmente.

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN: Es una gráfica en la que se traza cada uno de los puntos que representan un par de valores observados para las variables independiente y dependiente.

2. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA UNA LÍNEA DE REGRESIÓN

El modelo es:

= Valor de la variable dependiente en el i - ésimo ensayo.

23

= Primer parámetro, que indica el valor de Y para X = 0

= Segundo parámetro, que indica la pendiente de la línea recta.

= Valor de la variable independiente en el i - ésimo ensayo

= Error aleatorio de muestreo en el i - ésimo ensayo.

Los parámetros y , del modelo teórico se estiman mediante y

respectivamente, calculados en base a los datos muestrales. Según el método, la línea de regresión que mejor se ajusta es aquella para la cual se minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores estimados y los valores observados de la variable dependiente.

Los valores de y , que satisfacen este criterio son:

;

Y la ecuación de regresión lineal es:

Una vez determinada la ecuación de regresión, puede usarse para estimar el valor de la variable dependiente para un determinado valor de la variable independiente, en el rango de valores del muestreo y no fuera de el.

RESIDUALES

Se denotan y definen por: ; donde Y= valor observado, = valor ajustado.

3. ERROR ESTANDAR DE ESTIMACIÓN

El error estándar de estimación es la desviación estándar de la variable dependiente Y, respecto al valor ajustado de la variable . Para datos muestrales es:

24

O directamente:

Que es un estimador del error estándar poblacional 4. INFERENCIAS SOBRE LA PENDIENTE

Antes de utilizar la ecuación de regresión en predicciones, debe determinarse si efectivamente existe, una relación entre las 2 variables de la población o, si pudiera ser que la relación que se observa en la muestra haya ocurrido por el azar. Si no existe relación, la pendiente de la línea de regresión poblacional sería cero, o sea = 0. Por ello, la hipótesis que se prueba es : = 0.

Se prueba el valor hipotético de una pendiente calculando el estadístico t, utilizando n - 2 grados de libertad. Su fórmula es:

, en donde S =

Como la hipótesis nula dice que la pendiente es cero, se usa:

Y el intervalo de confianza para la pendiente es:

5. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA.

La estimación de la variable dependiente, dado un valor específico de X, es el valor de la línea de regresión. Luego, la media condicional es:

Con base en los datos muestrales, el error de la media varía según X:

=

Y el intervalo de confianza para la media, utilizando n - 2 grados de libertad es:

25

6. INTERVALOS DE PREDICCION PARA VALORES INDIVIDUALES DE LA VARIABLE DEPENDIENTE

El error estándar completo para un intervalo de predicción para valores individuales de la variable dependiente se denomina error estándar del pronóstico, e incluye la incertidumbre por la dispersión vertical respecto a la línea de regresión y la incertidumbre por la posición del valor mismo en la línea de regresión.

La fórmula básica para el error estándar del pronóstico es:

, o también:

Y, el intervalo de predicción para un valor individual de la variable independiente, utilizando n - 2 grados de libertad es:

7. CORRELACION LINEAL SIMPLE.

La correlación mide el grado de relación que hay entre las variables X, Y

EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

Para datos poblacionales, se denota y define por:

Y para datos muestrales:

EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

El coeficiente de correlación poblacional, teniendo el mismo signo de es:

, Y, el coeficiente de correlación muestral es:

El signo del coeficiente de correlación indica la dirección de la relación entre las variables x e y.

O directamente:

26

Un estimador insesgado para el coeficiente de determinación de la población es:

8. MÉTODO DE LA COVARIANZA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.

La Covarianza evalúa la medida en la que dos variables "varían juntas" y se utiliza en análisis financiero para determinar el riesgo total asociado con inversiones interrelacionadas. La fórmula para la Covarianza muestral es:

Y el coeficiente de correlación en función de la Covarianza es:

9. SIGNIFICACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

: = 0, porque si se rechaza esta hipótesis a un nivel de significancia , se concluiría que existe una relación real entre las variables.

El siguiente estadístico muestral se distribuye como la distribución t, con gl = n-2, cuando = 0:

TALLER 2ACTIVIDADES APLICATIVAS

REGRESIÓN y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE

Objetivo

27

Investigar las relaciones de dos variables en la empresa y con los datos determinar diagrama de dispersión, ecuación de regresión y todos los indicadores tratados en el Tema.


1. Suponga que un analista toma una muestra aleatoria de 10 embarques enviados por camión de una compañía y registra la distancia en kilómetros y el tiempo en días, y a partir del momento en que el embarque estuvo listo para su transportación. Construya la gráfica de dispersión para los datos y determine si un análisis de regresión lineal es apropiado.

Embarque muestreado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distancia (X), Kilómetros

825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215

Tiempo de entrega (Y),

días

3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0

R: si es apropiado un análisis de regresión lineal.

2. Determine la ecuación de regresión por mínimos cuadrados para los datos del problema 1, y trace la línea de regresión sobre la gráfica de dispersión para estos datos.

R: = 0.11 + 0.0036X

3. Determine los residuales y construya una gráfica de residuales con respecto a los valores ajustados para los datos de la Tabla anterior, utilizando la ecuación de regresión que se elaboró en el problema 2.

4. Utilizando la ecuación de regresión, estime el tiempo de entrega, desde el momento en que el embarque está disponible para un viaje de 1000 Kilómetros. ¿Podría utilizarse esta ecuación de regresión para estimar el tiempo de entrega para un embarque de 2500 Kilómetros?.

R: 3. 71 días. No es apropiada para 2500 Km.

5. Calcule el error estándar mediante la fórmula básica que utiliza los residuales y que se determinó en el problema 3.

28

R:

6. Calcule el error estándar del estimador para el problema del análisis de tiempo de entrega, y con referencia a los valores que se determinaron en la solución del problema 2.

R:

7. Al utilizar el error estándar del estimador del problema 6, pruebe la hipótesis nula : , para la distancia del viaje y el tiempo de entrega de la Tabla anterior, utilizando un nivel de significancia del 5%.

R: Existe una relación significativa entre las variables.

8. Con referencia al problema 7 anterior, pruebe la hipótesis nula : a un nivel de significancia del 5%.

R: Existe una relación directa entre las variables.

9. Determine el intervalo de confianza del 95% para la hipótesis nula , con los datos de distancia y tiempo de entrega que se analizaron en los problemas anteriores.

R:

10. Al utilizar los valores que se determinaron en los problemas anteriores, construya el intervalo de confianza del 95% para media del tiempo de entrega para una distancia de 1000 kilómetros.

11. Al utilizar los valores que se determinaron en los problemas anteriores, determine el intervalo de predicción del 95% para el tiempo de entrega de los embarques que se envían a una distancia de 1000 Kilómetros. Compare ese intervalo con el que se construyó en el problema 10.

12. Para los datos de distancia y tiempo de entrega, el procedimiento de muestreo que se describe en el problema 1 indica que ambas variables son variables aleatorias. Sí, además, se asume una distribución normal bivariada para la población e iguales varianzas para cada variable, entonces se puede aplicar el análisis de correlación a los datos muestrales. Utilizando los datos que se calcularon en el problema 2, calcule el coeficiente de determinación para los datos muestrales (ignore el sesgo de este coeficiente).

29

13. Para los datos de distancia y de tiempo de entrega (a) calcule el coeficiente de correlación, con respecto al coeficiente de determinación del problema 12, y (b) determine el coeficiente de correlación utilizando la fórmula abreviada alternativa para

R: a) b) = + 0.9489 0.95

14. Para los datos de distancia y de tiempo de entrega, (a) calcule la covarianza muestral, y (b) convierta el valor de la covarianza en el coeficiente de correlación. Compare su respuesta al inciso (b) con las respuestas que se obtuvieron para el coeficiente de correlación en el problema 13.

R: a) cov (x,y) = 517 b)

15. Determine si el valor de la correlación que se calculó en el problema 14 (b) es significativamente distinto de 0, a un nivel de significación del 5%.

R : t = + 8.50 . Se rechaza la hipótesis nula.

16. Se encuentra que el coeficiente de correlación entre los ingresos y los montos de las deudas pendientes a corto plazo es de = + 0.50, para una muestra de n = 10 personas a las que una institución financiera otorgó un préstamo.

a) Pruebe la hipótesis de que no existe correlación entre variables, en toda la población de personas que obtienen préstamos, utilizando el nivel de significancia del 5%.

b) Interprete el significado del coeficiente de correlación que se calculó.

R: a) t = 1.634. b) Como , la varianza de y no está asociada a x.17. Use Minitab para determinar la regresión y correlación del problema.

Compare los resultados con los obtenidos en los cálculos manuales. Así:

AUTOEVALUACIÓN

1. Explique en que situaciones de la empresa se debe investigar con la

regresión simple, para decidir cambios.

2. Explique el basamento de la regresión simple, para decidir cambios.

30

Y cuando es importante su uso como instrumento de investigación de la

empresa.

PROBLEMAS ADICIONALES

PARTE 1

1. Manuel, un analista de la cadena de supermercados Wong, quiere saber si las cinco tiendas tienen el mismo promedio en dólares por compra. Se elige una muestra aleatoria de cuatro compras en cada tienda. El reporte de las compras es:

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4 Tienda 5 23.94 18.52 6.92 20.15 17.48 14.63 19.57 10.47 17.14 9.02 25 78 21.40 7.63 18.25 25.50 17.52 13.59 11.90 15.20 15.50Determine la respuesta, con 99% de confianza, por tabla de ANOVA. Además programe la solución por Minitab.

2. Se obtienen datos para analizar el efecto del sexo y del estado civil de una persona sobre la calificación crediticia que merece. Las calificaciones se han obtenido de un servicio de crédito local y se reflejan a continuación. ¿Cuáles son sus conclusiones?. Resolver por tabla de ANOVA para 0.01 de significancia. Además programar la solución por Minitab. Hombre Mujer

Casado 70 40 55 69 64 54 Soltero 65 45 43 45 34 65

3. La junta de estudiantes de una universidad desea determinar sí el precio de admisión a la sala de juegos del centro estudiantil ejerce algún efecto sobre el número de estudiantes que utilizan las instalaciones. El precio de admisión y el número de estudiantes que entran al recinto durante 8 noches de viernes sucesivos se indican en la tabla. Determinar la ecuación de regresión. Haga 2 predicciones. Además programe la solución por Minitab. Precio $ 1.25 1.50 1.75 2.00 1.50 2.00 2.50 1.50 Número de entradas 95 83 75 72 69 101 98 85

31

4. Se pide a cuatro personas que beben una determinada marca de gaseosas que registren el número de gaseosas que consumen durante la semana. Se hace lo mismo con bebedores de otras tres marcas. Los resultados se muestran a continuación. Por tabla de ANOVA y una significancia del 5%, determine si existe diferencia en el número promedio de gaseosas consumidas, para cada marca. Además programe la solución por Minitab.Marca A Marca B Marca C Marca D 10 5 8 14 8 12 10 6 5 4 5 4 6 6 7 5

5. Antonio, gerente de Coldpoint, distribuidor de electrodomésticos, piensa que el número de unidades vendidas depende tanto de la habilidad del vendedor como de la marca que se trata de vender. Ha registrado el número de unidades vendidas en la tienda del centro, durante los últimos dos meses:

Vendedor

Marca A B C D 1 8 5 3 2 12 10 5 3 2 5 7 9 9 8 9 3 5

Por tabla de ANOVA pruebe todas las hipótesis con una significancia de 10%. Además programe la Solución por Minitab.

6. ¿Merece la pena estudiar? Para contestar a esta pregunta, un estudiante curioso de una clase de estadística preguntó a otros 10 estudiantes cuántas horas dedicaron al estudio para el último examen y la nota que obtuvieron. Los datos son: HORAS : 25 26 12 32 29 10 21 27 15 18 NOTA : 89 92 32 92 90 30 87 88 34 30Determinar la ecuación de regresión y el error estándar. Además programe la solución por Minitab.

7. Damián, gerente de una gran cadena de tiendas debe elegir dónde poner en exhibición una batería conocida. Damián está preocupado tanto por el nivel como por la variabilidad en las ventas. Está considerando colocar los expositores en el departamento de ferretería o junto a las cajas registradoras de salida. Damián los coloca en las cajas de salida en cuatro tiendas y en la sección de ferretería en otras cuatro. Los resultados, en número de baterías vendidas por semana, son:

Cajas registradoras Departamento de ferretería 205 185185 191

32

170 178240 200

¿ Produce una localización mejor promedio de ventas que la otra?. Resuelva por tabla de ANOVA para una significancia de 10%. Además programe la solución por Minitab.

8. La compañía de helados Sweet Treat está planeando probar tres sabores nuevos: brandy, melocotón y albaricoque. Cathy, analista de la compañía, quiere medir también los efectos de tres niveles de precio de venta: $ 1.19, $ 1.29 y $1.39 por pinta. Cathy hizo los arreglos para mandar los nuevos sabores a las tiendas cada semana y para que se tuviera la exhibición y precio correctos en todas las tiendas durante un período de 2 semanas. Al final de cada semana, se registraron las pintas vendidas de cada sabor para cada nivel de precio. Resuelva, por tabla de ANOVA, para una significancia de 2.5 %. Además programe la solución por Minitab

Precio Brandy Melocotón Albaricoque 1.19 16 13 17 12 10 11 1.29 14 10 14 14 9 7 1.39 18 15 13 19 13 15

9. Anna Sheehan (Gerente de la cadena de supermercados Spendwise) desea pronosticar las ventas semanales de los libros de bolsillo, para ello se basa en la cantidad de espacio en las repisas (en pies) que se le proporciona. Anna reúne una muestra de 5 semanas:

Semana Libros vendidos Y Espacio en repisa X 1 275 6.8 2 142 3.3 3 168 4.1 4 197 4.2

5 215 4.8 Determine la ecuación de regresión y los residuales. Además programe la solución por Minitab

10. Charles Tortorelli, gerente de una cadena de montaje en una planta de fabricación de aspiradoras, cree que la tasa de unidades defectuosas producidas en un turno de ocho horas en una de las cintas transportadoras está inflada por el turno que opera la cinta. Decide probar su hipótesis mediante un muestreo de la cinta, cuatro veces en cada turno de ocho horas y contando las unidades defectuosas.

Día Tarde Noche 12 15 27 12 17 17

33

17 18 25 15 25 24

Con significancia de 0.01, por ANOVA ¿producen los tres turnos la misma tasa media? Programe por MTB.

11.Tim, gerente de producción de la corporación Tetronic, piensa que la variación en el número de unidades producidas por hora se puede relacionar tanto con el operador como con la máquina que se usa para producirlas. Se observan tres operadores usando cada una dos máquinas durante dos horas:

Operador Máquina A B C 1 12 15 17 23 10 14 2 9 12 20 25 12 12

Por tabla de ANOVA, pruebe las hipótesis con una significancia del 10%. Además programe por MTB

12.Carlos, gerente de los almacenes Monty Card, se pregunta si sus clientes realizan más compras con sus tarjetas de crédito de Monty Card que con la Master Charge o la VISA. Carlos decide examinar seis tarjetas, elegidas al azar, de las compras realizadas con las tres tarjetas. Los resultados son:

Monty Card Master Charge VISA $ 103 $ 71 $ 98 91 102 111 62 83 72 85 15 24 175 49 39 23 36 64

¿Puede concluir Carlos, que hay diferencia en el promedio de compras realizadas con las tres tarjetas de crédito?. Pruebe con un nivel de significancia de 10%, por tabla de ANOVA. Además programe por Minitab.

13.Debbie directora de Stoneware, está experimentando con tres métodos de formación de personal diferentes para determinar si existe alguna diferencia en su efectividad. Debbie tiene 12 nuevos empleados en períodos de formación y le preocupa que quienes tengan experiencia previa puedan reaccionar en forma distinta a los métodos. Por esta razón divide al grupo en dos: sin experiencia y con experiencia. Después expone a dos miembros de cada grupo cada uno de los tres métodos. Una vez que terminan su formación, cada empleado contesta un test diseñado para medir la efectividad del programa de formación. Las calificaciones que obtuvieron son:

Métodos de formación

34

A B C

Sin experiencia 72 78 75 79 81 74Con experiencia 82 76 73 78 80 72

Por tabla de ANOVA, pruebe las hipótesis para alfa 2.5%. Además programe la solución por Minitab.

14.Tres tipos distintos de motores a gasolina fueron probados para determinar cuánto tiempo son útiles antes de necesitar una reparación; haga una prueba por tabla de ANOVA usando 0.05 de significancia para determinar si difieren las medias de vida útil antes de requerir reparación. En la tabla aparecen los tiempos de vida útil, en decenas de miles de millas, para cada tipo de motor.

A B C 6 8 3 2 7 2 4 7 5 7 6 1 Además programe la solución por Minitab.

15.Bantam Books emplea tres técnicas de impresión diferentes. Un estudio de control de calidad halló errores excesivos de impresión, como manchas, sobreimpresiones, tipos borrosos y algunas páginas en blanco. Para determinar si hay diferencia en el número medio de errores a causa del método de impresión, se imprimió un pasaje determinado por cada método en los cuatro tipos de papel que utiliza Bantam. ¿ Indican los resultados que uno o más de los métodos es mejor?, ¿Influye el tipo de papel?, Resuelva por ANOVA. Fije alfa en 5%. Además programe por Minitab.

Métodos de impresión

Tipo de papel A B C

W 2 1 1 X 3 3 2 Y 5 6 3 Z 4 4 4

16.Una sociedad de contables estadounidense está interesada en comparar los pagos por hora iniciales de los graduados de contabilidad de tres universidades. Para estudiar el caso eligieron muestras aleatorias de seis graduados de contabilidad de cada universidad. La tabla muestra el salario por hora inicial de cada contable:

Universidad

35

A B C 11.25 12.50 11.75 11.25 13.05 12.00

12.35 13.12 10.85 12.25 13.35 11.61 12.00 12.55 12.10 11.85 12.60 12.15

Por tabla de ANOVA, para una significancia de 10%, determine si hay diferencia entre las medias de los salarios iniciales de los contables de las tres universidades. Además programe la solución por Minitab.

17.El propietario de Stop & Shop ha probado ya cuatro políticas de cobro por cheque para disminuir el gran número de cheques incobrables que reciben sus tiendas. Como la zona en que esté situada la tienda puede influir, se anota el número de cheques devueltos por falta de fondos por cada política en las tres tiendas de la ciudad. Fije alfa en el 5%. ¿Es alguna de las políticas mejor que las demás?, ¿ El emplazamiento influye?. Por tabla de ANOVA. Además programe por Minitab.

PolíticaEmplazamiento A B C D______ 1 22 35 47 43 2 27 28 31 47 3 20 17 15 12

18. Hay que estudiar el efecto de las técnicas docentes y del turno de la asignatura sobre las calificaciones finales de los estudiantes. A partir de los datos que se indican, fije alfa en 10% y resuelva por tabla de ANOVA. Además programe por Minitab. Técnica Hora Auto enseñanza Con trabajo a casa Sin trabajo a casa

Día 79 85 82 89 93 92 62 55 42

Noche 70 71 69 73 75 81 52 51 51

19.Una firma química utiliza tres laboratorios para realizar análisis. Con propósitos de control de calidad, se decidió mandar cinco muestras del mismo material a cada laboratorio y comparar su análisis para determinar si da, en promedio, los mismos resultados. Los datos de los análisis son:

36

Laboratorio A: 58.6 60.7 59.4 59.6 60.5Laboratorio B: 61.6 64.8 62.8 59.2 60.4Laboratorio C: 60.7 55.6 57.3 55.2 60 2

Utilice 0.05 de significancia para determinar si los laboratorios producen, en promedio, los mismos resultados, por tabla de ANOVA.

20.Se recogen datos para analizar el efecto del sexo y del estado civil de una persona sobre la calificación crediticia que merece. Las calificaciones se han obtenido de un servicio de crédito local y se reflejan a continuación. ¿Cuáles son sus conclusiones?. Fijar alfa en el 10%.

Hombre Mujer

Casado 70 40 55 69 64 54 Soltero 65 45 43 45 34 65

21.José, gerente de Coldpoint, distribuidor de electrodomésticos, piensa que el número de unidades vendidas depende tanto de la habilidad del vendedor como de la marca que se trata de vender. Ha registrado el número de unidades vendidas en la tienda del centro, durante los últimos tres meses:

Vendedor Marca A B C D 1 8 3 5 3 4 2 12 9 10 5 1 3

2 5 7 7 9 9 9 8 7 9 3 2 5

Por tabla de ANOVA pruebe las hipótesis relevantes con una significancia de 0.05.

UNIDAD II

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLE Y SERIES DE TIEMPO.


1. Comprende el conocimiento de la Regresión Múltiple, aplicándola a la investigación de la realidad empresarial y a la predicción y/o planificación futura en casos de funciones multivariables.

37

2. Comprende el conocimiento de las Series de Tiempo y su aplicación a la investigación en la empresa, con fines de pronóstico y de planificación de un funcionamiento óptimo de la empresa.

3. Se resuelven ejemplos prácticos de investigación, manualmente para casos de 2 variables independientes y por PC para casos de más de dos variables.

4. Se suavizan datos por los métodos de medias móviles y suavización exponencial.

5. Se determina la ecuación de la tendencia y los índices estacionales, cíclicos e irregulares


Se buscará su logro, de manera transversal, en todas las unidades de aprendizaje.

2. Desarrollar en los estudiantes una actitud cuestionadora de la realidad empresarial y de aplicación de soluciones técnicas determinadas con los instrumentos que son los métodos cuantitativos.

2. Desarrollar en los estudiantes una actitud creadora y favorable a los cambios significativos, mediante soluciones técnicas. 6. Desarrollar en los estudiantes una actitud responsable en la asistencia y

puntualidad a clases, así como en la elaboración de tareas.

7. Desarrollar en los estudiantes una conducta ética y de práctica de valores como estudiante y futuro profesional.

8. Desarrollar en los estudiantes la vocación por el trabajo en equipo y la coparticipación multiprofesional.


TEMA N° 3: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLETEMA N° 4: SERIES DE TIEMPO

TEMA N° 3 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLE

1. INTRODUCCIÓN

38

El análisis de regresión lineal múltiple es una técnica en la que se utilizan diversas variables independientes para estimar el valor de una variable dependiente desconocida.

SUPOSICIONES

1) La variable dependiente es una variable aleatoria.

2) La relación entre la variable dependiente y cada variable independiente debe ser lineal.

3) Las varianzas de las distribuciones de la variable dependiente, para diversos valores de las variables independientes, son iguales.

4) Las distribuciones para la variable dependiente son normales.

2. MODELO MATEMÁTICO DE LA REGRESIÓN LÍNEAL MÚLTIPLE CON DOS VARIABLES INDEPENDIENTES.

El diagrama de dispersión se puede trazar en un sistema rectangular tridimensional. El modelo matemático de la regresión lineal múltiple es:

Yi = + 1X1i + 2X2i + i, donde:

= Intersección con el eje Y 1 = Pendiente de Y respecto a X1, cuando X2 es constante.

2 = Pendiente de Y respecto a X2, cuando X1 es constante.

i = Error aleatorio en Y para la observación i

- Una primera meta del análisis es el establecimiento de una ecuación de regresión lineal múltiple estimada, como:

= a + b1X1 + b2X2

Donde la terna a, b1, b2 son estimadores de los parámetros reales , 1, 2.

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.

El plano de regresión está colocado de modo que se reduzca al mínimo la suma del cuadrado de los errores (Y – )², donde Y =

39

valor observado y = valor estimado. Esta condición se cumple cuando se satisfacen las ecuaciones normales siguientes:

Y = na + b1X1 + b2X2X1Y = aX1 + b1X²1 + b2X1X2X2Y = aX2 + b1X1X2 +b2X2²

Sistema, de cuya solución se obtienen los coeficientes estimados de regresión:

b1 =

E1. Se desea estudiar el efecto de la temperatura ambiente promedio diario en °F, X1, y la cantidad de aislamiento en el desván en pulgadas de grosor, X2, sobre el consumo mensual de petróleo para calefacción en galones, Y, en casas. Para el efecto se ha tomado una muestra aleatoria de 15 casas cuyos datos medidos se reportan en las cuatro primeras columnas de la tabla. Determine la ecuación de regresión lineal múltiple estimada.

Obs. Y X1 X2 X1Y X2Y X1X2 X1² X2² Y²

1 275.3 40 3 11012.0 825.9 120 1600 9 75790.09

2 363.8 27 3 9822.6 1091.4 81 729 9 132350.44

3 164.3 40 10 6572.0 1643.0 400 1600 100 26994.49

4 40.8 73 6 2978.4 244.8 438 5329 36 1664.64

5 94.3 64 6 6035.2 565.8 384 4096 36 8892.49

6 230.9 34 6 7850.6 1385.4 204 1156 36 53314.81

40

7 366.7 9 6 3300.3 2200.2 54 81 36 134468.89

8 300.6 8 10 2404.8 3006.0 80 64 100 90360.36

9 237.8 23 10 5469.4 2378.0 230 529 100 36548.84

10 121.4 63 3 7648.2 364.2 189 3969 9 14737.96

11 31.4 65 10 2041.0 314.0 650 4225 100 985.96

12 203.5 41 6 8343.5 1221.0 246 1681 36 41412.25

13 441.1 21 3 9263.1 1323.3 63 441 9 194569.21

14 323.0 38 3 12274.0 969.0 114 1444 9 104329.00

15 52.5 58 10 3045.0 525.0 580 3364 100 2756.25

3247.4 604 95 98060.1 18057 3833 30308 725 939175.68

216.49 40.27 6.33

SOLUCIONLas 3 ecuaciones normales son:

3247.4 = 15 a + 604 b1 + 95 b298060.1 = 604 a + 30308 b1 + 3833 b218057.0 = 95 a + 3833 b1 + 725 b2

Y resolviendo el sistema o empleando las fórmulas: a = 562.15 b1 = -5.44 b2 = -20.01

Y la ecuación de regresión lineal múltiple estimada es:

= 562.15 - 5.44X1 - 20.01 X2

PRUEBA DE LA RELACION POR ANOVA.

41

Las hipótesis nula y alternativa son:H0 : 1 = 2 = 0. (No hay relación)H1: 1 0 2 0. (Hay relación)

H0 se prueba mediante la distribución F dada por:

F(p, n-p-1) = S²reg S²yx

Donde: S²reg = varianza debida a la regresión.

S²yx = cuadrado del error estándar de estimación.

p = número de variables independientes

n = tamaño de la muestra

TABLA DE ANOVA PARA LA PRUEBA. Para el ejemplo:

Fuente DF Suma de los cuadrados (SS) Varianza F

Regresión p = 2

aY + b1 X1Y + b2 X2Y –

=

562.15(3247.4)+(-5.44)(98060.1)

+ (-20.01)(18057) – (3247.4) ²/15

= 227717.94

S²reg = SSreg

p

= 227717.94

2

= 113858.97

F = S²reg

S²yx

=113858.97

701.44

= 162.32

Y² - aY - b1 X1Y - b2 X2Y

939,175.68 – 562.15 (3247.4) –

Syx² = SSerror

42

Error n-p-

1=15-2-1

= 12

(-5.44)(98060.1)–(-20-01)

(18,057)

= 8417.28

n-p-1

= 8417.28

12

= 701.44

Total

n-1 = 15-

1 =14

Y² - ( Y)²

n

=939,175.68 – (3247.4)²

15

= 236,135.23

Si se selecciona un nivel de significación de 0.05, se determina que el valor crítico de F es de 3.89. Como F(2,12) = 162.32 > 3.89, se rechaza Ho y concluye en H1:Que al menos una, entre temperatura, aislamiento o ambas, está relacionada con el consumo de petróleo.

PREDICCIONES

E1. Predecir el consumo mensual de petróleo en calefacción en una casa con 6 pulgadas de aislamiento en el desván, para una temperatura promedio diaria de 30°F.

SOLUCION.

=562.15 – 5.44 X1 – 20.01 X2 = 562.15 – 5.44 (30) – 20.01 (6)

= 278.98 galones.

CORRELACIÓN MÚLTIPLE. MEDICIÓN DEL GRADO DE RELACIÓN.

El coeficiente de determinación múltiple está dado por:

r²y12 = SSreg SSt

= 227717.94 = 0.9644 236135.23

43

Significa que el 96.44% de la variación en el consumo mensual de petróleo se explica por la variación en la temperatura ambiente promedio y por la variación en el grosor del aislamiento en el desván, quedando sólo el 3.56% para ser explicado por el azar.

CONCEPTOS ADICIONALES EN REGRESIÓN MÚLTIPLE.

Como extensión de la regresión simple, se tienen:

- El intervalo de confianza para la media, dado por:

; = error estándar de la media condicional.

- El intervalo de predicción de una observación, dado por:

t.sy (siguiente)

3. MATRIZ DE CORRELACIÓN.

Se trata de calcular un solo valor que describa la intensidad total de la relación entre una variable dependiente y dos o más variables independientes. Este valor es el coeficiente muestral de correlación múltiple, su signo se considera siempre positivo:

Para el ejemplo: ry12 = = 0.9829

A fin de estudiar mejor la relación entre las variables, es útil examinar la correlación entre cada par de variables incluidas en el modelo, mediante la matriz de correlación, donde cada elemento se obtiene por la fórmula de fórmulas:

rxy = _______n XY - X Y ______

n x² - (x)² n y² - (y)²

Para el ejemplo: ryx1 = ry1 = _________15 (98060.1) – 604 (3247.4)_________

15 (30308) – (604)² 15(939175.68)-(3247.76)² = - 0.86974.

44

Y

(petróleo)

X1

(temperatura)

X2

(aislamiento)

Y

(petróleo) ryy = 1.0 ry1 = -.86974 ry2 = -.46508

X1

(temperatura) ry1 = -.86974 r11 = 1.0 r12 = .00892

X2

(aislamiento) ry2 = -.46508 r12 = .00892 R22 = 1.0

Se observa que entre la cantidad de petróleo y la temperatura, la correlación es -.86974, lo que indica una asociación negativa fuerte; que entre variables independientes no hay correlación (0.00892).

4. VARIABLES FICTICIAS.

El tipo de análisis de regresión que hemos efectuado hasta aquí requiere que todas las variables sean cuantitativas, pero muchas veces la variable dependiente está afectada por una variable que es cualitativa, que sólo puede describirse en forma categórica (hombre / mujer, propietario / inquilino, La Molina /San Borja / comas, Contador /Economista/ Administrador/ Ingeniero).

CODIFICACION

Las variables ficticias usan el código binario, es decir que pueden tomar solo dos valores, cero o uno, y se usan para indicar la ausencia o presencia de una característica cualitativa en particular. Si k = número de categoría para la variable cualitativa, entonces k-1 = número de variables ficticias para codificar la variable cualitativa.

E1. Si en un estudio de remuneraciones se desea incluir la variable cualitativa, sexo de los trabajadores: Masculino, Femenino.

K = 2 K-1 = 2-1 = 1, o sea una sola variable ficticia.

CODIFICACION : SEXO: X3 M 1

45

F 0

E2. En un estudio de bienes raíces con 3 ubicaciones: A, B, C:K = 3 K-1 = 3-1 = 2 variables ficticiasCODIFICACION: UBICACIÓN: X3 X4

A 0 0 B 1 0

C 0 1

ANÁLISIS DE REGRESIÓN POR PASOS HACIA ATRÁS.

Se comienza incluyendo en el modelo todas las variables posibles, luego según el análisis, generalmente mediante la prueba t, para determinar si el coeficiente parcial de regresión de cada variable independiente representa una contribución significativa al modelo global, se elimina una variable en cada paso.


REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLEObjetivoInvestigar las situaciones de la empresa que tienen que compararse mediante la regresión múltiple, para según los resultados plantear o no cambios.


E1. La siguiente tabla corresponde a las remuneraciones anuales para una muestra de supervisores:

Persona muestreada

Remuneración anual (Y)

Años de experiencia

(X1)

Años de Educ. pos-

Secund. (X2)

Sexo(X3)

1 $ 34900 5.5 4.0 F

2 40500 9.0 4.0 M

3 38900 4.0 5.0 F

4 39000 8.0 4.0 M

5 37500 9.5 5.0 M

6 35500 3.0 4.0 F

7 36000 7.0 3.0 F

46

8 32700 1.5 4.5 F

9 45000 8.5 5.0 M

10 40000 7.5 6.0 F

11 36000 9.5 2.0 M

12 33600 6.0 2.0 F

13 35000 2.5 4.0 M

14 32500 1.5 4.5 M

Programa MINITAB :

MTB > NAME C1 = ‘Y’, C2 = ‘X1’, C3 = ‘X2’, C4 = ‘X3’

MTB >READ ‘Y’, ‘X1’, ‘X2’, ‘X3’

DATA > 34900 5.5 4.0 0

DATA > 40500 9.0 4.0 1

….... …… …. ….. …….

DATA > 32500 1.5 4.5 1

DATA > END

MTB > REGRESS C1 ON 3 PREDICTORS C2 – C4

MTB > REGRESS C1 ON 2 PREDICTORS C2 – C3, C5 PUT FITS IN C6;

SUBC> RESIDUALS IN C7;

SUBC> PREDICT 8.5 5.5.

MTB > NAME C6 = ‘ESTIMATE', C7 = ‘RESIDUAL’

MTB > PLOT ‘RESIDUAL’ * ‘ESTIMATE’

MTB > PLOT ‘RESIDUAL’ * ‘X1’

MTB > CORRELATION FOR C1 – C4

E2. Con los resultados correspondientes al primer comando pruebe la hipótesis alternativa, de que existe un efecto significativo de regresión, utilizando 5% de significancia.

SOLUCION

Según los resultados F calculada es 6.92.Determinamos F crítica para gl1 = 3, gl2 = 10 y = 0.05: F crítica (3, 10,

0.05) = 3.71. Luego F calculada > F crítica, lo cual rechaza la hipótesis nula de que no existe efecto de regresión. Hemos probado la hipótesis

47

alternativa, que existe efecto de regresión entre la variable dependiente respecto a las 3 variables independientes La función es:

= 25495 + 802 X1 + 1596X2 + 383 X3

E3. En los resultados del primer comando, identifique el coeficiente de regresión parcial que tiene el estadístico t menor y determine si la contribución de esa variable al modelo es significativa, a un nivel del 5%.

SOLUCIÓN

Debe observarse que los grados de libertad para la prueba t son los mismos que para el CME del análisis de varianza que son iguales al tamaño de la muestra menos el número de parámetros estimados en la ecuación de regresión múltiple, es decir gl = 14-4 = 10.La variable de menor estadístico t es el sexo (X3) con t = 0.30. Como t

crítico para gl = 10 y = 0.05 es 2.228, t calculado < t crítico, lo cual no rechaza la hipótesis nula de que 3 = 0.

Hemos probado la hipótesis nula, concluyéndose que el sexo no contribuye en forma significativa al modelo y se le debe eliminar de la ecuación de regresión múltiple (análisis de regresión por pasos hacia atrás).

E4. Observe, los resultados, del segundo comando de regresión, que nos da la ecuación de regresión:

= 25511 + 826 X1 + 1604 X2Pruebe la hipótesis nula o su rechazo, con un nivel de significancia del 5%.

SOLUCIÓN

Según los resultados F calculada es 11.28, determinamos F crítica para gl1 = 2, gl2 = 11 y = 0.05: F crítica = 3.98: F calculada > F crítica

Rechazamos la hipótesis nula y concluimos que existe un efecto significativo de regresión.

E5. Siempre en los resultados del segundo comando, observe cual de los coeficientes parciales de regresión tienen el menor t, determine si la contribución de esa variable al modelo de regresión múltiple es significativa a un nivel del 5%.

SOLUCIÓN

48

La variable de menor t es X2 (educación) con t = 2.99. Como t crítica

(11,0.05) = 2.201, es decir: T calculada > t crítica.Rechazamos la hipótesis nula de que 2 = 0 a un nivel de significancia del

5% y se concluye que la variable X2 si contribuye en forma significativa al

modelo de regresión múltiple. El hecho que no se elimine ninguna variable en esta etapa del procedimiento por pasos hacia atrás significa que ya se han determinado las variables independientes del modelo de regresión múltiple.

E6. Usando la ecuación de regresión múltiple con 2 variables independientes, estime el sueldo anual de una persona que tiene 5.5 años de experiencia y 4.0 años de educación por secundaria.

SOLUCIÓN

Y = a + b1 X1 + b2 X2 = 25511 + 826 X1 + 1604 X2 = 25511 + 826 (5.5) + 1604 (4) = $ 36470.00

E7. Interprete el significado de a, b1 y b2 para la ecuación de regresión del problema anterior.

SOLUCIÓN

a = 25511 es la ordenada en el origen respecto al eje Y, para X1 = 0 y X2 = 0, que sería el salario estimado para una persona que no tiene ni experiencia ni educación pos-secundaria. Sin embargo, no existe este significado práctico, en razón que las variables independientes no incluyen en sus rangos de los valores muestreados.b1 = 826 indica que, en promedio, a un aumento de un año en los años de experiencia le corresponde un aumento de $ 826 de remuneración anual, dado que la variable años de educación la consideramos constante.b2 = 1604 indica que, en promedio, al aumento de un año en los años de educación pos-secundaria le corresponde un aumento de $ 1604 en la remuneración anual, dado que la variable años de experiencia la consideramos constante.

E8. En los resultados del segundo comando identifique:a) El intervalo de confianza de 95% para la remuneración anual promedio

de las personas de la población con 5.5 años de experiencia y 4 años de educación pos-secundaria.

49

b) El intervalo de predicción del 95% para una persona específica que tiene 5.5 años de experiencia y 4 años de educación pos-secundaria.

SOLUCIÓN

a) 95% CI = $ 35180 a $ 37775b) 95% PI = $ 31548 a $ 41386

El intervalo de confianza es un intervalo de probabilidad para una media, en cambio el intervalo de predicción es un intervalo de probabilidad para un valor individual de Y. El intervalo de predicción indica que existe una probabilidad de 0.95 que una persona con 5.5 años de experiencia y 4 años de educación pos-secundaria tenga una remuneración anual entre $ 31548 y $ 41386.

E9. Con referencia a los resultados de los comandos 3), 4) y 5) que son gráficos de residuales respecto a los valores ajustados , a los años de experiencia y a los años de educación pos-secundaria respectivamente, determinar en cada caso si los requerimientos de linealidad y de igualdad de varianzas condicionales se satisfacen.

SOLUCIÓN

a) En la gráfica de residuales versus los valores estimados Y parece satisfacerse la suposición de linealidad; en cambio, con respecto a la igualdad de varianzas condicionales, parece que estas tienen valores un tanto mayores que la remuneración estimada, cuando se rebasa el valor de $ 40,000 de la escala horizontal.

b) Las gráficas de residuales individuales respecto a años de experiencia y años de educación son lineales, pero ambas muestran varianzas condicionales mayores cuando se eleva el número de años, lo cual identifica la fuente de la posible dificultad identificada en a) respecto a la igualdad de varianzas condicionales. Consideración importante al interpretar los intervalos de confianza y de predicción.

E10. Con referencia a los resultados del comando 6) que es una matriz de correlación se pide:

a) Identifique ¿qué variable tiene mayor correlación con la remuneración anual y cual es esa correlación?

b) Identifique que otras dos variables, aparte de la remuneración anual, tiene mayor correlación entre sí, y cual es esa correlación.

50

SOLUCIÓN

La significancia de estos coeficientes simples de correlación se determinan usando la prueba t.a) La mayor correlación se da entre la remuneración anual y los años de

experiencia, y es r = 0.637.b) La mayor correlación , aparte de la remuneración anual, se da entre

experiencia y sexo con r = 0.352.

E11. En los resultados del comando 2) identifique el coeficiente de determinación múltiple y calcule el coeficiente de correlación múltiple. Interprete el coeficiente de determinación y de la forma como podría probarse la significación del coeficiente de correlación.

SOLUCIÓNEl coeficiente de determinación es R² = 0.672, e indica que aproximadamente el 67.2% de la varianza de las remuneraciones queda estadísticamente explicada por los años de experiencia y los años de educación pos-secundaria de los supervisores.El coeficiente de correlación múltiple es R = = 0.82, que se reporta como valor absoluto.

CASOS PROPUESTOS.

1. En la tabla se reportan los precios de instalaciones fabriles, con una muestra aleatoria de 30 instalaciones elegidas al azar, 10 de cada una de 3 subdivisiones. Tal como se observa, además de la subdivisión y del precio, se incluyen los datos de superficie del terreno y la superficie construida. Siendo el precio la variable dependiente, realice un análisis de regresión por pasos hacia atrás utilizando algún programa de computación.

Instalación fabril muestreada

Precio (en miles de millones de

S/.)

Área construida

(m²)

Subdivisión Superficie del terreno (m²)

1 102200 1500 A 12000

2 103950 1200 A 10000

3 87900 1200 A 10000

4 110000 1600 A 15000

5 97000 1400 A 12000

6 95700 1200 A 10000

51

7 113600 1600 A 15000

8 109600 1500 A 12000

9 110800 1500 A 12000

10 90600 1300 A 12000

11 109000 1600 B 13000

12 133000 1900 B 15000

13 134000 1800 B 15000

14 120300 2000 B 17000

15 137000 2000 B 17000

16 122400 1700 B 15000

17 121700 1800 B 15000

18 126000 1900 B 16000

19 128000 2000 B 16000

20 117500 1600 B 13000

21 158700 2400 C 18000

22 186800 2600 C 18000

23 172400 2300 C 16000

24 151200 2200 C 16000

25 179100 2800 C 20000

26 182300 2700 C 20000

27 195850 3000 C 22000

28 168000 2400 C 18000

29 199400 2500 C 20000

30 163000 2400 C 18000

Obtenga la ecuación de regresión múltiple para estimar el precio de una fábrica con base en las tres variables de tamaño del terreno, superficie construida y ubicación. Prueba la significancia del modelo de regresión múltiple a un nivel del 5%.

Resp. Y = 40462 + 36.0 X1 + 0.94 X2 + 4267 X3 + 26648 X4.

2. Observe cuál de las variables tienen el coeficiente de regresión parcial con el menor valor del estadístico t, y determine si la contribución de esa variable es significativa a un nivel del 5% (Nota: para la solución, se adopta la posición de que, dado que las dos variables indicadoras representas una variable cualitativa de ubicación, o se elimina ambas o ninguna. Por ello se

52

considera el mayor de los dos coeficientes t asociados con las variables indicadores).

Resp. El tamaño del lote tiene el menor valor del estadístico de prueba (t=0.44) y se le debe eliminar del modelo.

3. Al continuar con el problema 2, obtenga la ecuación de regresión múltiple para el modelo reducido y pruebe la significancia del modelo a un nivel del 5%.

Resp. Y = 41153 + 43.6X1 + 4025X3 + 24319X4

El modelo de regresión es significativo al nivel del 5%.

4. Al igual que en el problema 2, observe cual de las variables tiene el coeficiente de regresión parcial con el menor valor reportado del estadístico t, y determine si la contribución de esa variable al modelo de regresión múltiple es significativa a un nivel del 5%.

Resp. t = 0.79, el cual se ignora dada la posición que se describió en el problema 2 con respecto a las variables indicadoras. La siguiente estadística de prueba de menor magnitud es la correspondiente a la segunda variable indicadora (t=2.44) y es significativa a un nivel del 5%. Por ello, esta variable no debe eliminarse del modelo.

5. Observe la gráfica de residuales para el modelo de regresión múltiple del problema 3. ¿Se satisfacen las suposiciones de linealidad e igualdad de varianzas condicionales?

Resp. Las suposiciones se satisfacen en forma razonable. Existe una observación “aberrante” en la porción superior derecha de la gráfica, y debe verificarse su precisión en los datos originales para esa instalación fabril (fábrica número 29).

6. Utilice el modelo de regresión del problema 3 y estime el precio de una fábrica con (a) 1200 metros cuadrados, en la subdivisión A; (b) 1800 metros cuadrados, en la subdivisión B; y (c) 2400 metros cuadrados en la subdivisión C.

Resp. (a) $93423, (b) $123583, (c) $170012.

7. Utilice el modelo de regresión del problema 3 para determinar el intervalo de confianza del 95% para el precio promedio condicional de todas las fábricas con

(a) 1299 metros cuadrados, en la subdivisión A; (b) 1800 metros cuadrados en la subdivisión B, y (c) 2400 metros cuadrados en la subdivisión C.

53

Resp. (a) $87118 a $99728, (b) $118229 a $128937, (c) $164250 a 175774.

8. Al continuar con el problema 7, determine el intervalo de predicción del 95% para el precio de una fábrica individual en cada una de las tres categorías que se identificaron en el problema anterior.

Resp. (a) $75428 a $111419, (b) $105898 a $141268, (c) $152199 a $ 187825.

9. Con referencia a la matriz de coeficientes de correlación simple para todas las variables que se incluyeron en el estudio. (a) ¿Qué variable tiene la mayor correlación con el precio? (b) ¿Cuál de las dos variables “candidatas” a ser las variables independientes tienen la mayor correlación entre si?

Rpta. (a) la superficie de construcción con r = 0.962, (b) la superficie de construcción y de lote, con r = 0.961.

10. Determine (a) el coeficiente de determinación múltiple (sin corrección por grados de libertad) (b) el coeficiente de correlación múltiple para el modelo final de regresión múltiple.

R: (a) R² = 0.945, (b) R = = 0.972 11. Los siguientes datos muestrales muestran la escolaridad, experiencia

laboral e ingreso:

PersonaEscolaridad

X1 (años)Experiencia

laboralX2 (años)

Ingreso Y(miles de $

por año)A

B

C

D

E

2

4

8

8

8

9

18

21

12

14

5.0

9.7

28.4

8.8

21.0

F 10 16 26.6

54

G

H

I

J

12

12

12

12

16

9

18

5

25.4

23.1

22.5

19.5

Determine la ecuación de regresión. Programe la solución por MTB.

AUTOEVALUACIÓN


regresión múltiple, para decidir cambios.

2. Explique el basamento de la regresión múltiple y cuando es importante

su uso como instrumento de investigación de la empresa.

TEMA Nº 04

SERIES DE TIEMPO

1. INTRODUCCIÓN

La importancia de predecir el futuro con algún grado de exactitud es inapreciable. Así ocurre en el mundo de la empresa. La capacidad de prever y predecir sucesos y tendencias refuerza la probabilidad de éxito, es la razón por la que las empresas invierten gran cantidad de tiempo, dinero y esfuerzos en conseguir una predicción de la evolución económica futura.

2. SERIE DE TIEMPO Y SUS COMPONENTES

Serie de tiempo es una serie de datos sobre una variable a lo largo de varios períodos de tiempo.

AÑOPBI de un País (en millones $)

199719981999

8029.88480.69325.6

55

20002001

9878.4 10807.4

Los períodos pueden ser años, semestres, trimestres, meses, días u horas; lo necesario para, utilizando series temporales, predecir valores futuros a partir de observaciones pasadas.

Modelo Elemental de Predicción: Utiliza la Observación más reciente para predecir la observación siguiente. O sea:

O también: ; =cantidad aleatoria + o -

COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL.

Las series temporales, como mínimo tienen uno de los 4 componentes: Tendencia, variación estacional, variación cíclica y variación irregular.

TENDENCIA (T): Es el componente permanente a largo plazo de una variable:

VARIACIÓN ESTACIONAL (S): Se refiere a las fluctuaciones estacionales, que son movimientos de la serie temporal que se repiten según las estaciones del año.

Para que se evidencie la variación estacional es necesario tomar los datos trimestrales, mensuales o semanales.

56

RECTA DE TENDENCIA300

25020015010050

1970 1975 1980 1985 1990EMPLEO EN AGRICULTURA

EN USA

1970 1975 1980 1985 1990

DÉPOSITOS

RECTA DE TENDENCIA100

9080706050

Cada año: Mayo tiende a aumentar el desempleo, cuando los estudiantes del bachillerato entran al mercado en verano. Noviembre disminuye el desempleo, cuando las tiendas de venta al por menor contratan ayuda temporal para atender en Navidad.

VARIACIÓN CÍCLICA (C): Se refiere a variables que fluctúan por encima o por debajo de la tendencia, obteniéndose fluctuaciones en forma de onda del nivel general de la actividad económica en un plazo relativamente largo de tiempo.

Un ciclo económico consta de 4 fases:

1) La reactivación: Durante la cual el nivel de la actividad económica de las empresas se acelera, la producción es intensa y el desempleo disminuye.

2) El máximo, pico o auge: En cuyo punto el índice de la actividad económica ha "llegado al techo" en crecimiento y ya no puede seguir creciendo.

3) La desaceleración o contracción: Cuando la actividad económica decrece y el desempleo va en aumento.

4) La recesión: En que la actividad económica está en su punto más bajo, baja la demanda, es decir no hay circulación de dinero y el desempleo aumenta.

57

ENE JUL DIC ENE JUL DIC ENE JUL DIC

FLUCTUACIONES DEL DESEMPLEO EN USA

PO

RC

EN

TAJE

D

ES

EM

PL

EO

VARIACIÓN IRREGULAR O ALEATORIA (I): Son series temporales causadas por la aparición de sucesos que producen movimientos sin ninguna regla y que es improbable que vuelvan a ocurrir de manera similar. Pueden ser causadas por episodios como: guerras, inundaciones, terremotos, fenómenos del niño, elecciones políticas, embargos petroleros, etc.

3. TÉCNICAS DE SUAVIZACIÓN.

Estudiamos 2 técnicas de suavización de datos de series temporales:

A) Medias Móviles.La media móvil (MA) es una serie de medias aritméticas de un número determinado de períodos, que sirve para estimar la media de la variable a largo plazo. Una media móvil tiene el efecto de "aplanar" los datos y producir un movimiento donde no aparezcan picos y valles tan pronunciados.

De las ventas de una tienda. Determinar la MA de 3 meses y la MA de 5 meses.

MESVENTAS

(cientos $)MA 3 meses MA 5 meses

Enero 52 Febrero 81 60.00 Marzo 47 64.33 59.00 Abril 65 54.00 63.20 Mayo 50 62.67 56.00

58

RECTA DE TENDENCIA

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

NÚ

ME

RO

DE

AU

TO

S

VE

ND

IDO

S

Junio 73 56.00 58.60 Julio 45 59.33 55.60 Agosto 60 51.67 61.40 Setiembre 50 63.00 55.80 Octubre 79 58.00 59.20 Noviembre 45 62.00 Diciembre 62

Enero 62.00 59.20

La predicción para Enero del siguiente año es con 62.00 o con 59.20.Si se trabaja con un número par de períodos debe centrarse los resultados.

Ventas de tarjeta de felicitación (MILES DE $)

PERÍODO VENTASMA 4

TRIMESTRESMA 4 TRIM. CENTRADA

95-1 40

95-2 45………………… 45.50

95-3 38 …………………... 44.1345.75

95-4 47 45.0044.25

96-1 53 45.3546.50

96-2 39 44.6342.75

96-3 47 42.5042.75

96-4 32 43.0043.75

59

ValoresSerie

Tiempo

D originales

Media Mov. : 3 períodos

Media Mov. : 5 períodos

97-1 51 42.5041.25

97-2 45 44.0046.75

97-3 37

97-4 54

98-1 44.00La predicción para el 98-1 es con 44.00. Las medias móviles eliminan variaciones estacionales e irregulares. La media móvil promedia las variaciones cíclicas. Si los datos son muy volátiles, debe utilizarse un número pequeño de

períodos en la predicción, para evitar que se aproxime demasiado a la media a largo plazo. Por el contrario, cuando los datos no varían mucho de la media a largo plazo, se debe utilizar un número mayor de períodos.

La media móvil aporta más ventajas cuando los datos no presentan tendencia creciente o decreciente.

B) Suavización exponencial.

También aplana una serie y suministra un medio efectivo de predicción. Cuando los datos no presentan tendencia se utiliza la suavización exponencial de primer orden. Su fórmula es: ;

= predicción del período siguiente y futuro

= valor real del período actual

= predicción hecha anteriormente para el período actual.

Valor : Constante de suavización, se elige entre 0 y 1, es mejor el que hace mínimo al Error Cuadrado Medio dado por:

ECM =

Se tiene ventas de Febrero $110 mil y se desea predecir las ventas de Marzo. Se sabe además que las ventas de Enero fueron $105 mil.

SOLUCIÓN

1) = ventas reales de Febrero = $110 mil.2) = ventas previstas para Febrero = desconocido, en razón que Marzo

es el primer mes que se busca predecir. Se acostumbra reemplazar con el valor real del período anterior o sea de Enero =$105 mil.

60

3) Si =0.3:

0.3 (110) + 0.7 (105) = $106.50 miles

Si las ventas reales de marzo son $107 mil:= (0.3)107+(0.7)106.5=$106.65 mil

Si las ventas reales de Abril son $112 mil:= 0.3 (112)+0.7 (106.65)=$108.26 mil

Sea la tabla de ventas reales de Enero a Julio. Calcule las ventas previstas para =0.3 y para =0.8. Además mediante el error cuadrado medio, determine el mejor.

SOLUCIÓN.

MESV. REALES

( )

V. PREVISTAS

( =0.3) ( )

V. PREVISTAS

( =0.8) ( )( =0.3) ( =0.8)

Enero 105 - - - -Febrero 110 105.00 105.00 25.00 25.00Marzo 107 106.50 109.00 0.25 4.00Abril 112 106.65 107.40 28.62 21.16

Mayo 117 108.26 111.08 76.39 35.08Junio 104 110.88 115.82 47.33 139.71Julio 108 108.82 106.36 0.67 2.69

178.26 227.61Agosto - 108.57 107.67

ECM = = ;

ECM = =

Por lo tanto el mejor es 0.3, que corresponde al menor error cuadrado medio; este produce mejores resultados de predicción, o sea de las dos predicciones para Agosto, la mejor es 108.57.

Predicciones de índices de desempleo.

Los índices mensuales de desempleo de un determinado año aparecen en la tabla siguiente. Se pide:

1) Suavice las fluctuaciones mediante una media móvil con 4 períodos.

2) Utilice un modelo de suavización exponencial con =0.4 para predecir el desempleo de un mes futuro.

61

Ene. 5.4 Jul. 5.4Feb. 5.1 Ago. 5.5Mar. 5.0 Set. 5.2Abr. 5.2 Oct. 5.5May. 5.3 Nov. 5.1Jun. 5.3 Dic 5.4

SOLUCIÓN.MES

INDICE MAMA

CENTRADA

Ene. 5.4Feb. 5.1 5.4

5.175Mar. 5.0 5.16 5.28 =0.4(5.1)+0.6 (5.4)=5.28

5.150Abr. 5.2 5.18 5.17

5.200May

.5.3 5.25 5.18

5.300Jun. 5.3 5.34 5.23

5.375Jul. 5.4 5.36 5.26

5.350Ago. 5.5 5.38 5.31

5.400Set. 5.2 5.36 5.39

5.325Oct. 5.5 5.31 5.31

5.300Nov. 5.1 5.39Dic. 5.4 5.27Ene. 5.31% 5.32, =0.4(5.4)+0.6(5.27)= 5.32 %

INTERPRETACIÓN.El método de la media móvil predice una tasa de 5.31%, la suavización exponencial predice una tasa de 5.32%, ambos para Ene del siguiente año o para cualquier período futuro, puesto que los datos no presentan tendencia, sino que se considera que fluctúan alrededor de la media a largo plazo.

4. DESCOMPOSICIÓN DE UNA SERIE TEMPORAL.

62

a) TENDENCIA.El modelo es:

= valor estimado de la variable dependiente. = ordenada en el origen de la recta de tendencia. = pendiente de la recta de tendencia.

t = variable independiente.

La tabla recoge los datos del número de viviendas en construcción en una ciudad por un período de 16 años. Se desea ajustar las observaciones de la serie temporal, para elaborar un modelo de predicción del número de viviendas en construcción en el futuro.

SOLUCIÓN

AÑO t=XY (viviendas en const.)

xy X

1977 1 7.0 7.0 11978 2 7.1 14.2 41979 3 7.9 23.7 91980 4 7.3 29.2 161981 5 8.2 41.0 251982 6 8.3 49.8 361983 7 8.1 56.7 491984 8 8.6 68.8 641985 9 8.8 79.2 811986 10 8.9 89.0 1001987 11 8.7 95.7 1211988 12 9.1 109.2 1441989 13 9.4 122.2 1691990 14 9.1 127.4 1961991 15 9.5 142.5 2251992 16 9.9 158.4 256

136 135.9 1214.0 1496

=8.50, =8.49

= ,

= 8.49 - 0.174(8.50)= 7.01

La recta de tendencia es: 7.01 + 0.174 t, Como predicciones tenemos.

Para 1993: =7.01 + 0.174 (17) =9.97 viviendas.

63

Para 1995: =7.01 + 0.174 (19) =10.32 viviendas.

b) VARIACIÓN ESTACIONAL (S).La tabla muestra los beneficios de alquiler de un video. Los beneficios

parecen ser más altos en vacaciones escolares y más bajos en otras épocas del año, esto sugiere presencia de factores estacionales. Determine los índices estacionales.

SOLUCIÓN

PERIODOY (Beneficios) cientos

de $MA de 12 meses

(T.C)MA centrada

(T.C)Relación

Y/MA= S.I

1991 Ene. 10Feb. 9Mar. 11Abr. 12May. 18Jun 23

15. 5833Jul. 27 15. 5417 1.7373

15.5000Ago. 26 15. 5833 1.6685

15. 6667Set. 18 15. 6250 1.1520

15. 5833Oct. 13 15. 5833 0.8342

15. 5833Nov. 10 15. 6250 0.6400

15. 6667Dic 10 15. 7500 0.6349

15. 83331992 Ene. 9 15. 8750 0.5669

15. 9067Feb. 11 16. 1250 0.6822

16. 3333Mar. 10 16. 5000 0.6061

16.6667Abr. 12 16. 7500 0.7164

16. 8333May. 19 16. 8750 1.1259

16.9167Jun 25 17. 0000 1.4706

17.0831Jul. 28 17. 1250 1.6350

17. 1667Ago. 31 17. 0417 1.8191

16. 9167Set. 22 16.9167 1.3005

16.9167Oct. 25 16.9167 0. 8867

16.9167Nov. 11 16.9167 0.6502

16.9167Dic 12 16.9167 0.7094

16.9167

64

1993 Ene. 10 16.9583 0.589717.0000

Feb. 8 17.0000 0.470617.0000

Mar. 10 16.9583 0.589716.9167

Abr. 12 16.9583 0.707617.0000

May. 19 17.2916 1.098817.5833

Jun 25 17.8750 1.398618.1667

Jul. 29Ago. 31Set. 21Oct. 16Nov. 18Dic 19

El modelo multiplicativo es , la MA elimina S e I: o sea MA = TxC

RELACIÓN DE LOS DATOS CON LA MEDIA MOVIL:

De la tabla anterior se toman los valores de la relación, de la última columna, con los cuales, por media aritmética, se obtiene la Relación media con la MA.

Esta relación se normaliza multiplicando cada media por una razón de normalización que es el cociente: 12 entre la suma de los medios, obteniéndose los índices estacionales; pues la normalización elimina I, quedando solo S.

RAZÓN DE NORMALIZACIÓN =

MES 1991 1992 1993RELACIÓN MEDIA

CON LA MA.ÍNDICE

ESTACIONALEne. 0.5669 0.5897 0.5783 0.5858Feb. 0.6822 0.4706 0.5764 0.5839Mar. 0.6061 0.5897 0.5979 0.6057Abr. 0.7164 0.7076 0.7120 0.7212May. 1.1259 1.0988 1.1124 1.1269Jun. 1.4706 1.3986 1.4346 1.4532Jul. 1.7373 1.6350 1.6862 1.7081Ago. 1.6685 1.8191 1.7438 1.7665Set. 1.1520 1.3005 1.2262 1.2421Oct. 0.8342 0.8867 0.8604 0.8716

65

Nov. 0.6400 0.6502 0.6451 0.6535Dic. 0.6349 0.7094 0.6722 0.6809

11.8455 11.9994 12

APLICACIONES DEL ÍNDICE ESTACIONAL.

1. El índice estacional de un mes en particular indica el grado en que ese mes contribuye al comportamiento global del año. El índice 0.5858 de Ene indica a la tienda que los beneficios de Ene son solo el 58.58% de la media de todo el año, es decir que los beneficios se quedan en el 41.42% por debajo de la media mensual del año. Es un mes bajo. En cambio el índice 1.7665 de Ago indica que los beneficios de Ago son el 176.65% de la media mensual del año. Es un buen mes para la tienda.

2. Se pueden utilizar para desestacionalizar los datos. El valor desestacionalizado se obtiene dividiendo el valor real del mes entre el índice estacional de dicho mes.

17.07

O sea, si no fuera por la variación estacional, Enero de 1991 daría beneficios por $1707.00

3. También se usan para estacionalizar datos y obtener un cuadro exacto de los beneficios que un período podría generar.

Supongamos que la tienda espera que los beneficios sean 190 al año. Sin estacionalizar esperaríamos.

Mensuales de beneficios

Su estimación de beneficios para ENE, estacionalizados serían 15.830.5858 = 9.27 ó sea $927.00

O si la tienda trabaja con la ecuación de tendencia, que es:

La predicción para ENE 1994 sería:

66

Sin tener en cuenta la bajada estacional que ocurre en ENE Estacional izando: 20.03 0 5858 = 11.73 ó sea $1,173.00

Que serían los beneficios del mes.

Marge es propietaria de un criadero de perros. Desea determinar los índices estacionales de los datos trimestrales sobre ingresos, que se indican en miles de $ en las dos primeras columnas de la tabla siguientes:

SOLUCIÓN.

Con datos trimestrales, una media móvil de 4 períodos eliminará las variaciones estacionales. En la siguiente tabla, determinamos MA centrada y la Relación Y/ MA centrada:

AÑO-TRIMESTRE INGRESOS MA MA CENTRADARELACIÓN CON MA CENTRADA

1991-I 24

II 3129.50

III 21 29. 8750 0.702930.25

IV 42 30. 3750 1.382730.50

1992-I 27 31. 0000 0.871031.50

II 32 31. 3750 1.019931.25

III 25 30. 3750 0.823029.50

IV 41 28. 8750 1.420028.25

1993-I 20 27. 3750 0.730626.50

II 27 26. 2500 1.028626.00

III 18

IV 39

De donde se toman los valores de la relación con MA, para calcular la relación media con la MA y finalmente normalizar para obtener el índice estacional.

67

La razón de normalización es:

TRIM 1991 1992 1993RELACIÓN MEDIA CON LA

MEDIA MÓVILINDICE

ESTACIONALI 0.8710 0.7306 0.8008 0.8029II 1.0199 1.0286 1.0242 1.0269III 0.7029 0.8230 0.7630 0.7650IV 1.3827 1.4200 1.4014 1.4050

3.9894 3.9998 4

Las ventas del IV trimestre por ejemplo son 40.50% mayores que la media trimestral. El valor desestacionalizado del IV trimestre de 1991 es:

c) VARIACIÓN CÍCLICA (C) Para identificar el componente cíclico se puede empezar por obtener la tendencia. Para el ejemplo anterior, la recta de tendencia es: 28.58 + 0.0524 t

En la siguiente tabla se muestran: los datos de la serie temporal (2), los valores previstos a partir del modelo de tendencia (3) y los índices estacionales calculados (4).Luego se calcula la norma estadística (5): la proyección de la tendencia (3) por el índice estacional (4). Después se obtienen los componentes cíclico e irregular (6) mediante:

Que se expresa en porcentaje

Esta columna contiene componentes cíclicos e irregulares, este último se elimina tomando una media móvil de 4 períodos, quedando solo el factor cíclico (8), que representan los niveles reales de ingresos de la Sra. Marge en los distintos períodos en porcentaje de la tendencia.

d) VARIACIÓN IRREGULAR (I).

Si dividimos (6) entre (8) y multiplicamos por 100, se obtienen los índices irregulares (9).

(1)PERÍODO

(2)INGRESOS

Y

(3)PROYECCIÓN

DE TENDENCIA T

(4)INDICE ESTAC

S

(5)NORMA

ESTADIS(3) (4):T S

(6)COMPON CICLIC E

IRREG

(7)MA 4

PERÍODOS

(8)COMPON

CICLIC MA CENTRADA

(9)COMPON

IRREG

68

1991-I 24 28.63 0. 8029 22.99 104.39 II 31 28.68 1.0269 29.45 105.26

102.24 III 21 28.74 0.7650 21.99 95.50 103.76 92.04

105.29 IV 42 28.79 1.4050 40.45 103.83 105.62 98.30

105.941992-I 27 28.84 0.8029 23.16 116.58 108.11 107.83

110.28 II 32 28.89 1.0269 29.67 107.85 109.88 98.15

109.48 III 25 28.95 0.7650 22.15 112.87 105.63 106.85

101.78 IV 41 29.00 1.4050 40.74 100.64 99.60 101.04

97.411993-I 20 29.05 0.8029 23.32 85.76 93.38 91.84

89.36 II 27 29.10 1.0269 29.88 90.36 88.66 101.92

87.96 III 18 29.16 0.7650 22.31 80.68 IV 39 29.21 1.4050 41.04 95.03

RESULTADOS POR COMPUTADORA

Por Minitab, determinamos la ecuación de la tendencia del ejemplo último.SOLUCIÓN

MTB > NAME C1='t', C2='Y'MTB > READ 't', 'Y'DATA> 1 24DATA> 2 31DATA> 3 21DATA> 4 42DATA> 5 27DATA> 6 32DATA> 7 25DATA> 8 41DATA> 9 20DATA> 10 27DATA> 11 18DATA> 12 39DATA> END 12 rows read.MTB > REGRESS 'Y' USING 1 PREDICTOR 't', C3, PUT FITS IN C4;SUBC> PREDICT 13;

69

SUBC> PREDICT 14.

The regression equation isY = 28.6 + 0.052 t

Predictor Coef StDev T PConstant 28.576 5.296 5.40 0.000t 0.0524 0.7196 0.07 0.943

S = 8.605 R-Sq = 0.1% R-Sq(adj) = 0.0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 1 0.39 0.39 0.01 0.943Error 10 740.52 74.05Total 11 740.92

Fit StDev Fit 95.0% CI 95.0% PI 29.26 5.30 ( 17.45, 41.06) ( 6.74, 51.78) Fit StDev Fit 95.0% CI 95.0% PI 29.31 5.94 ( 16.07, 42.55) ( 6.00, 52.62)

Por Minitab, determine los índices estacionales del ejemplo último.

SOLUCIÓN

MTB > SET C1DATA> 24 31 21 42 27 32 25 41 20 27 18 39DATA> ENDMTB > LET C2=C1MTB > LET C3=C1MTB > LET C4=C1MTB > DELETE 1 C2MTB > DELETE 1:2 C3MTB > DELETE 1:3 C4MTB > LET C5=C1+C2+C3+C4MTB > PRINT C1-C5

Data Display

Row C1 C2 C3 C4 C5

1 24 31 21 42 118 2 31 21 42 27 121

70

3 21 42 27 32 122 4 42 27 32 25 126 5 27 32 25 41 125 6 32 25 41 20 118 7 25 41 20 27 113 8 41 20 27 18 106 9 20 27 18 39 104 10 27 18 39 11 18 39 12 39

MTB > LET C6=C5MTB > DELETE 1 C6MTB > LET C7=C5+C6MTB > PRINT C1-C7

Data Display

Row C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

1 24 31 21 42 118 121 239 2 31 21 42 27 121 122 243 3 21 42 27 32 122 126 248 4 42 27 32 25 126 125 251 5 27 32 25 41 125 118 243 6 32 25 41 20 118 113 231 7 25 41 20 27 113 106 219 8 41 20 27 18 106 104 210 9 20 27 18 39 104 10 27 18 39 11 18 39 12 39 MTB > LET C8=C7/8MTB > LET C9=(C3/C8)*100MTB > PRINT C9

Data DisplayC9 70.293 138.272 87.097 101.992 82.305 141.991 73.059 102.857

MTB > SET C10DATA> 3 4 1 2 3 4 1 2 DATA> ENDMTB > DESCRIBE C9;SUBC> BY C10.

Variable C10 N Mean Median Tr Mean StDev SE Mean

71

C9 1 2 80.08 80.08 80.08 9.93 7.02 2 2 102.42 102.42 102.42 0.61 0.43 3 2 76.30 76.30 76.30 8.49 6.01 4 2 140.13 140.13 140.13 2.63 1.86

Los índices se leen en Median, faltando solo la normalización, es decir ajustarlos para que sumen 400.


SERIES DE TIEMPO

ObjetivoInvestigar las situaciones de la empresa que tienen que compararse mediante las series de tiempo, para según los resultados plantear o no cambios.


1. El rendimiento por acción, para la Compañía Metalúrgica, durante un periodo de 10 años es el siguiente:

.64 .73 .94 1.14 1.33 1.53 1.67 1.68 2.10 2.50

a. Emplee una proyección de tendencia lineal para pronosticar esta serie de tiempo en el próximo año.

b. ¿Qué nos dice este análisis de tendencia temporal acerca de la Compañía Metalúrgica? De acuerdo con los datos históricos, ¿es recomendable invertir en esta empresa?

2. Al final de la década de los noventa, muchas empresas trataron de reducir su tamaño para disminuir sus costos. Uno de los resultados de esas medidas de recorte de costos fue una disminución en el porcentaje de empleos gerenciales en la industria privada. Los siguientes datos corresponden al porcentaje de mujeres gerentes, de 1990 a 1995 (The Wall Street Journal Almanac, 1998).

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Porcentaje 7.45 7.53 7.52 7.65 7.62 7.73

a. Deduzca un ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo.b. Use la ecuación de la tendencia para estimar el porcentaje de mujeres

gerentes para 1996 y 1997.

72

3. Los datos de ingresos brutos (en millones de dólares) en Delta Airlines, para un período de 10 años, son los siguientes:

Año Ingreso Año Ingreso12345

24282951353336183616

678910

42644738446053186915

a. Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo. Comente acerca de lo que representa la ecuación sobre los ingresos brutos de Delta Airlines para el periodo de 10 años.

b. Determine los pronósticos de ingresos netos durante los años 11 y 12.

4. La empresa RALPH RHODES desea utilizar las técnicas de suavización para promediar y predecir los niveles de las inversiones de capital, basándose en su estadística de inversiones de los últimos 12 años siguiente:

AÑOINVERSIÓN (Y)

MILES DE $198919901991199219931994199519961997199819992000

73.268.172.875.971.869.368.067.569.973.275.372.9

a) Calcule medias móviles de 3 y 4 años. Interprete en cuanto a la predicción para el 2001.

b) Predecir mediante la suavización exponencial para =0.2 y =0.7 ¿Cuál predicción para el 2001 es más exacta?

c) Determine la recta de tendencia y predicciones para los años 2001, 2003, 2005.

73

5. Durante los últimos años las condiciones económicas de RAINBOW WNTERPRISES han sido negras. El director ejecutivo ha recogido totales trimestrales del número de empleados que han sido despedidos en los últimos 4 años, en la siguiente tabla:

PERIODO DESPEDIDOS (4) PERIODO DESPEDIDOS (4) 1997-I 25 1999-I 35

II 27 II 37 III 32 III 37 IV 29 IV 39

1998-I 28 2000-I 38 II 32 II 42 III 34 III 44 IV 38 IV 45

a) El Director ejecutivo predice el número de despidos para los períodos 2001-I, 2001-II, 2001-III Y 2001-IV, con ayuda del análisis de tendencia lineal.

b) El Director ejecutivo, calcula los índices estacionales del número de despidos.

c) El Director ejecutivo determina los despidos si se eliminaran factores estacionales.

d) Los ejecutivos de RAINBOW piensan que los movimientos generales del ciclo económico influyen en la necesidad de despedir empleados y deciden colindar los componentes cíclicos de cada período.

e) Si los despidos en 2001-I son 46 ¿Qué despidos totales podría explicar RAINBOW para 2001.

f) En un esfuerzo final por encontrar el número de despidos necesarios, RAINBOW desea obtener cifras desestacionalizadas para cada período.

6. Las ventas que ha registrado CARS-R-US en los últimos años en miles de dólares son:

Mes 1998 1999 2000Ene 17.2 18.1 16.3Feb. 18.7 19.2 17.3Mar. 19.7 20.3 18.5Abr. 20.2 21.5 20.3May. 21.7 22.0 21.0Jun. 23.1 24.7 25.0Jul. 24.2 23.9 22.7Ago. 25.7 26.2 25.0Set. 21.2 22.0 21.9

74

Oct. 19.3 18.0 17.3Nov 22.7 19.7 21.2Dic. 19.3 17.3 16.2

a) ¿Parece haber alguna tendencia en los datos? ¿Alguna variación estacional? ¿Alguna variación cíclica?

b) Calcule la media móvil de 12 meses. Interprete.c) Calcule los índices estacionales de cada mes.d) ¿Cuáles son las cifras de ventas ajustadas estacionalmente de los 6

últimos meses del 2000? Interprete.e) ¿Cuáles son los valores desestacionalizados de los 6 últimos meses del

2000? Interprete.

7. Según BUINES WEEK, la participación de TAIWAN en el mercado mundial de microchip por trimestres ha sido la que se indica, en porcentajes:

1998 1999 2000I 1.1 1.4 2.5II 1.3 1.8 2.8III 1.6 2.1 3.1IV 1.5 2.6 3.1

a) Utilice la media móvil de 4 períodos para eliminar las variaciones estacionales, calcular los índices estacionales.

b) Calcule las participaciones en el mercado desestacionalizados.c) Determine la recta de tendencia.

8. MOPEDS, INC. , está preocupada por el hundimiento de las ventas. Si las ventas mensuales caen por debajo de $ 9,000, se cerrará la oficina regional del Nordeste. Según las cifras que se indican a continuación, ¿Es probable que ocurra esto en cinco meses próximos? Las cifras están en miles:

1999E F M A M J J A S O N D18 17.3 16.9 18.1 16.8 16.3 15.1 14.5 14 14.5 14 13.1

200013.9 13.1 12.8 12.4 11.8 11.9 11.7 11.5 11.1 11.2 11.2 11.1

75

a) Determine la recta de tendencia. Calcule los índices estaciónales.b) ¿Cuál es la fuerza de la relación entre las ventas y el tiempo?

AUTOEVALUACIÓN


regresión múltiple, para decidir cambios.

2. Explique el basamento de la regresión múltiple y cuando es

importante su uso como instrumento de investigación de la empresa.

PROBLEMAS ADICIONALESPARTE 2

1. Un representante de marketing establece una ecuación de regresión de las unidades vendidas a partir de la población residente en la zona de ventas y de si en ésta hay oficina local de la cual dependa el personal de ventas. El modelo es:Y = 78.12 +2.01X1 - 7.2X2donde Y representa las unidades vendidas, X1 los habitantes en miles , X2 es 0 si la zona tiene oficina y 1 si no la tiene.Si la población es de20, 000 habitantes en una zona que tiene una oficina y también 20,000 en una zona sin oficina, ¿Cuál sería el número de unidades vendidas en cada una de ellas?

2. La empresa RALPH RHODES desea utilizar las técnicas de suavización para promediar y predecir los niveles de las inversiones de capital, basándose en su estadística de inversiones de los últimos 12 años siguientes:

AÑOINVERSIÓN (Y)

MILES DE $198919901991199219931994199519961997199819992000

73.268.172.875.971.869.368.067.569.973.275.372.9

d) Calcule medias móviles de 6 años y haga la predicción para el 2001.

76

e) Determine la recta de tendencia y con esta las predicciones para los años 2001, 2005 y 2007.

3. El director de una empresa local de contabilidad creó un modelo de regresión para conocer el tiempo que lleva realizar una auditoría. El modelo es:

Y = 27 - 1.41X1 +2.73X2 Donde Y es el tiempo en horas, X1 los años de experiencia del auditor y X2 si el

auditor es un CPC: 0 si lo es; 1 si no lo es.

a) Si el auditor tiene diez años de experiencia y es un CPC, ¿cuánto tiempo le llevaría realizar la auditoria?

b) Si otro auditor tiene diez años de experiencia pero no es un CPC, ¿cuánto tiempo le llevaría realizar la auditoria?

4. Durante los últimos años las condiciones económicas de RAINBOW WNTERPRISES han sido negras. El director ejecutivo ha recogido totales trimestrales del número de empleados que han sido despedidos en los últimos 4 años, en la siguiente tabla:

PERIODO DESPEDIDOS (4) PERIODO DESPEDIDOS (4) 1997-I 25 1999-I 35

II 27 II 37 III 32 III 37 IV 29 IV 39

1998-I 28 2000-I 38 II 32 II 42 III 34 III 44 IV 38 IV 45

a) El Director ejecutivo predice el número de despidos para los períodos 2001-I, 2001-III, 2002-II Y 2002-IV, con ayuda del análisis de tendencia lineal.b)El Director ejecutivo, calcula los índices estacionales del número de despidos.

5. Mario Padilla ( un contable de la corporación Palmer) quiere determinar si los gastos generales se pueden estimar con arreglo al número de mesas y sillas producidas. Mario recoge los siguientes datos sobre los gastos generales para producir sillas y mesas en siete plantas diferentes:

Planta Gastos generales Y Número de sillas X1 Número de mesas X2 1 $ 576 112 95 2 497 122 84 3 789 147 102 4 862 173 108 5 361 94 75 6 688 151 99 7 532 109 91a. Determine la ecuación muestral de regresión múltiple.

77

b. Cuando se produce una silla extra, ¡Cuál es el aumento en el gasto general ?

6. Las ventas que ha registrado CARS-R-US en los últimos años en miles de dólares son:

Mes 1998 1999 2000Ene 17.2 18.1 16.3Feb. 18.7 19.2 17.3Mar. 19.7 20.3 18.5Abr. 20.2 21.5 20.3May. 21.7 22.0 21.0Jun. 23.1 24.7 25.0Jul. 24.2 23.9 22.7Ago. 25.7 26.2 25.0Set. 21.2 22.0 21.9Oct. 19.3 18.0 17.3Nov 22.7 19.7 21.2Dic. 19.3 17.3 16.2

Calcule los índices estacionales de cada mes. Interprete. Qué opina sobre los índices cíclicos e irregulares.

7. El gerente de supermercados Wong, quiere saber si existe una relación entre el tiempo que tarda un cliente en pasar por caja y dos variables de predicción: El monto de la compra y el número de artículos comprados, con el siguiente reporte:

Cliente Tiempo en caja Y (min) Monto de compra X1 ($) Número artículos X2 1 3.1 35 8 2 1.1 14 6 3 0.4 4 2 4 6.4 78 13 5 5.8 81 12 6 8.4 106 18 7 4.9 61 11 8 7.9 66 12 9 2.1 22 610 5.9 54 12

78

a. Determine la ecuación de regresión múltiple para la muestra. Cuando se compra un artículo adicional, ¿Cuál es el promedio de aumento en el tiempo de pasar por caja?

b. Estime el tiempo que tarda un cliente en pasar por caja, si compra 15 artículos por un monto de $75.

8. Según BUINES, la participación de TAIWAN en el mercado mundial de microchips por trimestres ha sido la que se indica, en porcentajes:

1998 1999 2000I 1.1 1.4 2.5II 1.3 1.8 2.8III 1.6 2.1 3.1IV 1.5 2.6 3.1

d) Determine la recta de tendencia.e) Calcule las participaciones en el mercado desestacionalizado.

9. John Wolf piensa que la suavización exponencial con un valor de alfa 0.8 es lo que mejor puede predecir las existencias de septiembre de su empresa de suministros médicos. Su socio piensa que se debe utilizar un alfa de 0.4. ¿Cuál es la predicción en cada caso y quién tiene razón?, si:

MES : E F M A M J J A EXISTENCIAS (MILES) : 41 48 37 32 45 43 49 38

10.MOPEDS, INC. , está preocupada por el hundimiento de las ventas. Si las ventas mensuales caen por debajo de $ 7,000, se cerrará la oficina regional del Noreste. Según las cifras que se indican a continuación. ¿Es probable que ocurra esto en los diez meses próximos?. b) ¿ Son estacionales las ventas?.

1999E F M A M J J A S O N D18 17.3 16.9 18.1 16.8 16.3 15.1 14.5 14 14.5 14 13.1

200013.9 13.1 12.8 12.4 11.8 11.9 11.7 11.5 11.1 11.2 11.2 11.1

UNIDAD III

NÚMEROS ÍNDICE Y TEORÍA DE DECISIONES

79

En el estudio de la empresa se destacan los cambios de precios de las cosas y/o artículos a través del tiempo, el valor de la moneda en el tiempo o deflación, así como prever el futuro para acertar en las decisiones empresariales, estos temas se estudian, mediante los instrumentos denominados números índice y teoría de decisiones.

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 1. Comprende el conocimiento de los números índice y la teoría de decisiones, aplicándolas a la valoración del dinero en el tiempo y a la toma de las mejores decisiones en la empresa respectivamente.

2. Se resuelven ejemplos prácticos de la empresa simplificando los cálculos con la calculadora.

3. Se interpreta la tabla de pagos como una matriz de doble entrada y las decisiones las trabajamos por casos.


1. Se aplica a la valoración del dinero en el tiempo y sobre todo al peritaje contable.

2. Se aplica con fluidez para optimizar el funcionamiento de la empresa.


TEMA Nº 05: NÚMEROS ÍNDICE5. Índices simples y agregados6. Fusión de series de índices. IPC7. Poder de compra y deflaciónACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

TEMA Nº 06: TEORÍA DE DECISIONES4. Toma de decisiones con probabilidades5. Toma de decisiones con consecuencias económicas6. Toma de decisiones por el criterio BayesianoACTIVIDADES APLICATIVAS AUTOEVALUACIÓNREFERENCIAS DOCUMENTALES

TEMA Nº 05

80

NÚMEROS ÍNDICE

1. ÍNDICES SIMPLES e ÍNDICES AGREGADOS.

Un número índice es un relativo porcentual expresado por una medición en un período determinado sobre la medición en un período base, razón que se multiplica por 100. Las mediciones pueden ser precios, cantidades ó valores.

ÍNDICES SIMPLES.- Se refieren a un solo artículo. Entre ellos:

ÍNDICE DE PRECIOS SIMPLE: Denotado por y definido por:

; Precio del artículo en el período del índice.

Precio del artículo en el período base.

ÍNDICE DE CANTIDAD SIMPLE: Denotado por y definido por:

; Cantidad del producto en el período del índice.

Cantidad del producto en el período base.

ÍNDICE DE VALOR SIMPLE: Determinado por y definido por:

; los anteriores.

ÍNDICES AGREGADOS.- Se refieren a varios artículos para el período del índice y para el período base, ponderando según las cantidades q de los artículos en los períodos. El más importante es el índice agregado de precios. Entre ellos tenemos:

ÍNDICE DE LASPEYRES: Los precios se ponderan con las

cantidades del año base:

ÍNDICE DE PAASCHE: Los precios se ponderan con las

cantidades del año del índice: , resultando más

moderno que el anteriorÍNDICE PROMEDIO PONDERADO: El índice simple de precios se pondera para cada artículo mediante un valor pq, puedan ser del año base ó del año del índice :

81

, es el más usado.

La siguiente tabla reporta los precios y consumos de 3 artículos en un área metropolitana, 1995 y 2006.

ARTICULO UNIDADES PRECIO PROMEDIO COSUMO MENSUAL PERC1995 ( ) 2006 ( ) 1995 ( ) 2006( )

CarneLeche

Huevos

KgLitroKg

S/.4.50 1.20 0.80

S/.18.00 6.00 4.00

58

1.2

67.51.8

Determinar a) Los índices de precios simple el 2006, base 1995a) Los índices de cantidad simple el 2006, base 1995b) Los índices de valor simple el 2006, base 1995.

SOLUCIÓN.

a) ÍNDICE DE PRECIOS SIMPLE:

Para la carne:

Para la leche:

Para los huevos:

b) ÍNDICE DE CANTIDAD SIMPLE:

Para la carne:

Para la leche:

Para los huevos:

c) ÍNDICE DE VALOR SIMPLE:

Para la carne:

Para la leche:

Para los huevos:

82

Para los datos del ejemplo anterior calcule.

a) El índice agregado de precios de LASPEYRES 2006, base 1995b) El índice agregado de precios de PAASCHE 2006, base 1995c) El índice agregado de precios PROMEDIO PONDERADO 2006, base

1995.

SOLUCIÓN.a)

ARTÍCULOCarne S/. 90.00 S/. 22.50Leche 48.00 9.60

Huevos 4.80 0.96142.80 33.06

b)ARTÍCULO

Carne S/. 108.00 S/. 27.00Leche 45.00 9.00

Huevos 7.20 1.44160.20 37.44

c)

ARTÍCULOPonderación de

valorRelativo de

preciosRelativo

Ponderado

Carne S/. 22.50 S/.400 9,000Leche 9.60 500 4,800

Huevos 0.96 500 480 33.06 14,280

2. ÍNDICES EN ESLABÓN, EN CADENA. CAMBIO DE BASE.

83

– El índice en eslabón de un período dado es la comparación por división, expresada en porcentaje, del precio en el período dado con el precio en el período anterior. Se usa para mostrar los cambios de precios respecto al período anterior.

– El índice en cadena de un período dado es la comparación por división, expresada en porcentaje, del precio en el período dado con el precio en el período base. Se usa para mostrar los cambios de precios respecto al período base.

– Cambio de base.- Se cambia el período base dividiendo el índice original entre el índice del nuevo período base y multiplicando por 100. Es decir:

I nuevo = (I antiguo original 100) /( I antiguo de la nueva base)

Sean las ventas de una tienda, las dos primeras filas de la siguiente tabla. Se ha determinado en la misma tabla:a) Los índices en eslabónb) Los índices en cadenac) Los índices en cadena con una nueva base, por cambio de base.

AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005VENTA EN

MILLONES $8931 40163 86053 150810 368294 737897

a) ÍNDICE EN ESLABÓN

100% 449.70% 214.26% 175.25% 244.21% 200.36 %

b) ÍNDICE EN CADENA B=2000

100% 449.70% 963.53% 1688.61% 4123.77% 8262.20%

c) ÍNDICE EN CADENA B=2005

1.21% 5.44% 11. 66% 20.44% 49.91% 100%

3.FUSIÓN DE DOS SERIES DE NÚMEROS ÍNDICECon frecuencia, los números índices sufren cambios por la adición de ciertos productos o por la exclusión de otros, así como por cambios en el año base; y para mantener la continuidad histórica, es deseable tener series unificadas de números índice. Los que se cambian son los índices de la serie antigua, se logra multiplicando cada índice de la serie antigua anterior al traslape por el cociente del índice menor para el año del traslape (100, si esta es la nueva base) entre el índice antiguo para ese año.

84

Fusione las 2 series de números índice:

AÑOINDICES DE

PRECIOSINDICES DE

PRECIOS INDICES UNIFICADO B: 1991

198619871988198919901991199219931994199519961997

100.0%103.0106.9110.0114.1119.2 100.0%

105.2111.3117.5124.8129.9137.7

83.9%86.589.792.395.7

100.0105.2111.3117.5124.8129.9137.7

Al año 1991 se le denomina año del traslape.4. INDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR (IPC). PODER DE COMPRA.

DEFLACIÓN.

El IPC es el más conocido debido a que se utiliza como indicador del costo de vida, es un índice de precios agregado para una "canasta básica" de artículos y servicios, con respecto a un período base, que puede ser mes o año.El recíproco del IPC multiplicado por 100 da el poder de compra de la unidad monetaria respecto al año base. Es decir:

VALOR DEL S/. = (1/ IPC) 100, Consecuentemente,

CANTIDAD DEFLACIONADA = (Cantidad Reportada / IPC) 100

En la siguiente tabla se reportan los valores del IPC de 1990 a 1997. Determine el poder de compra del nuevo sol para cada uno de los años, en términos del valor del sol en el año base de 1990.

SOLUCIÓN.Las 2 primeras columnas de la tabla son datos y en la tercera se reporta el valor del nuevo sol para cada año en términos del valor del nuevo sol en 1990.

AÑO IPC SEGÚN EL INEI VALOR DEL S/.199019911992

100.000 000509. 527 953884.176085

1. 0000000.1962600. 113100

85

19931994199519961997

1313.708 2711625. 510 7151806.438 2452015. 064 7312187.286 162

0.0761200.0615190. 0553580. 0496260.045719

Por ejemplo para 1991 se determinó el valor del S/. así:

Valor Nuevo Sol

Se tienen las siguientes remuneraciones anuales en S/. desde 1990 a 1997 respectivamente: S/.8,000; S/.25,000; S/.42,000; S/.67,000; S/.110,000; S/.167,000; S/. 267.000; S/.360,000, se pide: a) Deflacionar las remuneraciones, según el IPC del problema anterior a S/. Constantes de 1990. b) Replantear las remuneraciones a S/.Constantes de 1994.

SOLUCIÓN.

a) Se aplica la fórmula para cada año:

AÑO IPCREMUNERACIÓ

N ANUAL

REMUNERACIÓN ANUAL DE FLACIONADA A S/.de

199019901991199219931994199519961997

100.000 000509.527 953884.176 850

1313.708 2711625 510 7151806.438 2452015.064 7312187.286 162

S/. 8,00025,00042,00067,000

110,000167,000267,000360,000

S/. 8,000.00 4,906 50 4,750.18 5,100.07 6,767 10 9,244 71 13,250 19 16,458.75

b) Los índices para la base 1994 se obtienen por cambio de base:

AÑO IPCREMUNERACI

ÓN ANUAL

REMUNERACIÓN ANUAL DE

FLACIONADA A S/.de 1994

19901991199219931994199519961997

6.15191331.34571554.39378880.818186

100.000000111.130504123.965023134.559935

S/. 8,00025,00042,00067,000

110,000167,000267,000360,000

130,040.8579,755 7277,214.7082,902 13110,000.00150,273 77215,383.33267,538.77

86

TALLER 05

ACTIVIDAD APLICATIVA NÚMEROS ÍNDICE

ObjetivoIdentificar el valor cambiante de los precios de las cosas en el tiempo y el valor de la moneda en el tiempo y entrenarse para realizar cálculos con fluidez.Orientaciones Tomar contacto con el INEI que es el organismo que administra los índices y practicar operaciones de peritaje contable. Luego, practicar y resolver los ejercicios de la empresa.1. Determine

a) Los índices de precios simples y los índices de cantidad simple.b) Los índices de valor simple.c) El índice agregado de precios de LASPEYRES.d) El índice agregado de precios de PAASCHE.e) El índice agregado de precios PROMEDIO PONDERADO.

Todos para el año 2005, respecto al año base 1995.

ARTÍCULO UNIDADPRECIO PROMEDIO

CONSUMO MENSUAL PER CAPITA

1995 ( ) 2005( ) 1995 ( ) 2005( )ARROZ 5 KG. S/. 11.00 S/. 15.00 0.7 1.0

AZÚCAR 2 KG. 4.00 5.20 1.5 2.0CARNE 1 KG. 12.00 16.00 3.0 1.5FIDEOS 1/2 KG. 1.20 1.60 2.0 3.0

2. Determine. Para las siguientes ventas:a) Los índices en eslabón.b) Los índices en cadena: base 2000.c) Los índices en cadena con nueva base 2003.

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005Venta en

millones S/.45320 56780 90595 100500 105600 120400

3. Fusione las 2 series de números índice siguientes con 3 bases diferentes:

87

Año Índice de PreciosÍndice de Precios

19901991199219931994199519961997199819992000

100.0185.0225.5256.8270.0285.0 100.0

120.0135.0146.0154.0160.0

4. Determine el valor del nuevo sol, respecto al año base, si el IPC dado por el INEI es como sigue en las 2 primeras columnas.

Año Indice de PreciosRemuneraciones

anuales en S/.199419951996199719981999

2000

100.000000111.130504123.965023134.559935144.322204149.329205154.941806

8,450.0010,325.5013,428.2016,545.0020,310.8022,400.0024,000.00

5) Determine las remuneraciones deflacionadas de las remuneraciones de la columna 3 del problema anterior:a) En S/.constantes de1994.b) En S/.constantes de1999.

6) Las remuneraciones anuales de un trabajador fueron: 1990: S/. 25,200.00, 1991: S/. 36,000.00, de 1992 a 1995: S/. 42,000.00 anuales, de 1996 al 2000: S/. 44,600.00 anuales; si se tienen las dos series de números índices: AÑO IPC AÑO IPC1990: 100.000000 1995: 100.0000001991: 509.527953 1996: 111.1305041992: 884.176850 1997: 123.9650231993:1313.908270 1998: 134.5599351994:1625.510715 1999: 144.3222041995:1632.452816 2000: 149.329205a) Determine las remuneraciones en S/. del 2000.

88

b) Deflacionar las remuneraciones a S/. de 1996.

AUTOEVALUACIÓN

Explique la técnica para el cálculo del IPC.Explique los préstamos internacionales, en dólares constantesResuelva la parte operativa de casos de peritaje contable.

TEMA 06 TEORÍA DE DECISIONES

El futuro de la empresa, depende de las decisiones gerenciales, y consecuentemente, este tema es fundamental para la alta dirección empresarial

1. ESTRUCTURA DE UNA TABLA DE PAGOS.

EVENTOS ALEATORIOS

PROBABILIDAD DEL EVENTO

ACCIONES DE DECISIÓN

….….….….

…. …. …. …. …. …. ….…

Un contratista debe comprometerse en la adquisición de unidades de aire acondicionado, las cuales va a revender durante la próxima temporada, sobre la base de la demanda de la temporada anterior, las condiciones económicas actuales y los factores del mercado se estiman las probabilidades de 0.10, 0.30, 0.40 y 0.20 de vender 5, 10, 15 y 20 unidades respectivamente. Los aparatos pueden ordenarse en conjuntos de 5 a un precio unitario de $2000 y revender a $2600. Las unidades no vendidas al final de la temporada se devuelven al fabricante, otorgando un crédito de $1600 por unidad devuelta. Construya una tabla de ganancias.

SOLUCIÓN. Ganancia por unidad vendida $600 Pérdida por unidad devuelta $400

Demanda del mercado

Probabilidad a prioriCantidad del Pedido

:5 :10 :15 :20

: 5 0.10 $ 3000 $ 1000 -$ 1000 -$3000

89

: 10 0.30 3000 6000 4000 2000

: 15 0.40 3000 6000 9000 7000

: 20 0.20 3000 6000 9000 12000

2, TOMA DE DECISIONES EN BASE SOLO A PROBABILIDADES

Consiste en identificar el evento que tiene mayor probabilidad y elegir la decisión que corresponde a ese evento.

Para el problema anterior el número de unidades decididas serían 15, que corresponde al evento con probabilidad mayor (0.40).

También se puede trabajar con la demanda esperada D(E) siguiente:

DEMANDA DEL MERCADO (D)

PROBABILIDAD DE LA DEMANDA P(D)

DP(D)

: 5 0.10 0.50: 10 0.30 3.00: 15 0.40 6.00: 20 0.20 4.00

1.00 D(E)=13.50

Como las unidades se ordenan en conjuntos de 5 se tienen 2 alternativas: ordenar 10, con la esperanza de no tener disponibles 3.5 unidades en promedio u ordenar 15 con la esperanza de tener un exceso de 1.5 unidades en promedio.

Ambas formas adolecen de no considerar en la decisión ninguna referencia a las consecuencias económicas.

3. TOMA DE DECISIONES EN BASE SOLO A CONSECUENCIAS ECONÓMICAS.

No se tiene en cuenta la columna de probabilidades, y se consideran 3 criterios:

El criterio MAXIMIN: Se determina el valor mínimo de cada columna, (Lo peor que puede pasar), luego se elige la acción de mayor valor ( :5)

El criterio MAXIMAX: Se determina el valor mayor de cada columna, (Lo mejor que puede pasar), luego se elige la acción de mayor valor ( :20)

90

El criterio del ARREPENTIMIENTO MINIMAX:

1) Se determinan los arrepentimientos o pérdidas de oportunidad (PO): Diferencia ente la mejor acción para un evento dado y cada acción de dicho evento.

2) Del mayor arrepentimiento por acción, se elige la acción de menor arrepentimiento.

Para el problema anterior:

Demanda del mercado

Cantidad del Pedido:5

Arrepent.:10

Arrepent.:15

Arrepent.:20

Arrepent.: 5

Arrepentimiento

$ 30000

$ 10002000

-$ 10004000

-$30006000

: 10 Arrepentimiento

30003000

60000

40002000

20004000

: 15 Arrepentimiento

30006000

60003000

90000

70002000

: 20Arrepentimiento

30009000

60006000

90003000

120000

MAX. ARREPENT.

9000 6000 4000 6000

4. TOMA DE DECISIONES BASÁNDOSE EN PROBABILIDADES Y CONSECUENCIAS ECONÓMICAS O CRITERIO DEL PAGO ESPERADO O CRITERIO BAYESIANO.

El pago esperado para cada acción se obtiene sumando los productos de cada pago por su correspondiente probabilidad. Y se elige la acción de mayor pago esperado ( :15).

Demanda del mercado

Probabilidad

Cantidad del Pedido

:5 :10 :15 :20

: 5 0.10 $ 300 $ 100 -$ 100 -$300: 10 0.30 900 1800 1200 600: 15 0.40 1200 2400 3600 2800: 20 0.20 600 1200 1800 2400O PAGO ESPERADO (PE) 3000 5500 6500 5500

91

TALLER 06

ACTIVIDAD APLICATIVA TEORÍA DE DECISIONES

ObjetivoSe trata de la formación para la toma de decisiones con profesionalismo, o sea con técnica con ciencia.OrientacionesTrataremos casos de la realidad empresarial a efecto de apropiarnos de las técnicas más actualizadas en toma de decisiones. Resolver:

1. Con base a una nueva tecnología, un fabricante ha desarrollado un aparato de TV a color con una pantalla de 45''. El propietario de una tienda pequeña estima que al precio de venta de $2,800, las probabilidades de venta de 2, 3, 4 ó 5 aparatos durante los meses de interés son 0.30, 0.40, 0.20 y 0.10 respectivamente. Con base sólo en estos valores de probabilidad, ¿qué número de aparatos debe ordenar el encargado de la tienda, suponiendo que no es posible reordenar pedidos durante el período? (DOS PROCEDIMIENTOS).

2. Para la decisión de inventarios del problema anterior, el margen de utilidad por cada aparato que se vende es $200, si no venden aparatos durante los tres meses, la pérdida para la tienda es de $300 por aparato. Con base sólo en estas consecuencias económicas, e ignorando las probabilidades, determine las mejores decisiones según los criterios MAXIMIN Y MAXIMAX.

3. Para la tienda del problema anterior, determine la mejor decisión por el criterio del arrepentimiento MINIMAX.

4. Con referencia a los datos anteriores, determine la mejor decisión por el criterio Bayesiano y del pago esperado.

5. Un fabricante ha producido una máquina. El propietario de una tienda estima que al precio de venta de $5,600.00, las probabilidades de venta de 2, 3, 4 ó 5 máquinas durante el período de interés son de 0.3, 0.4, 0.2 y 0.1 respectivamente; el margen de utilidad por cada máquina que se vende es $400.00, si no se venden, la pérdida es de $600.00 por máquina. a) Determine el mejor pedido por el criterio del arrepentimiento mínimas.

b) Determine el mejor pedido por el criterio Bayesiano.

92

6. En la tabla siguiente se representan los pagos (rendimientos) asociados con cinco tipos alternativos de decisiones de inversión para un período de 1 año.

Estado de la economía

Decisión de inversión

Cuenta de ahorros

Bonos corporativos

Acciones de alta calidad

Acciones especulativas

Opciones sobre acciones

: Recesión

: Estable

: Expansión

$600

600

600

$500

900

900

-$2500

8000

4000

-$5000

400

10000

-$10000

-5000

20000

Suponga que las probabilidades asociadas con la recesión, la estabilidad económica y la expansión son 0.30, 0.50 y 0.20, respectivamente. Determine la mejor acción desde el punto de vista del criterio bayesiano de optimización del pago esperado.

AUTOEVALUACIÓN

1. Explique la técnica para la toma de decisiones con solo probabilidades.

2. Explique los préstamos internacionales, en dólares constantes 3. Resuelva la parte operativa de casos de peritaje contable.

PROBLEMAS ADICIONALESPARTE 3

1. Tome contacto con el INEI, organismo que administra los índices, e investigue:

a. Los IPC anuales de los últimos 15 años.b. Los IPC mensuales del año 2007.c. Los IPC mensuales de los meses transcurridos del año 2008.

2. Determinef) Los índices de precios simples.g) Los índices de cantidad simple.h) Los índices de valor simple.i) El índice agregado de precios de LASPEYRES.j) El índice agregado de precios de PAASCHE.k) El índice agregado de precios PROMEDIO PONDERADO.

Todos para el año 2007, respecto al año base 2002.

93

ARTÍCULO UNIDADPRECIO PROMEDIO

CONSUMO MENSUAL PER CAPITA

2002( ) 2007( ) 2002 ( ) 2007( )ARROZ 5 KG. S/. 13.00 S/. 17.50 1.2 1.0

AZÚCAR 2 KG. 4.50 5.60 1.8 2.2CARNE 1 KG. 13.00 18.00 2.0 1.5FIDEOS 1/2 KG. 1.50 1.80 3.0 3.0

3. Para las siguientes ventas, Determine.:b) Los índices en eslabón.d) Los índices en cadena: base 2002.e) Los índices en cadena con nueva base 2006.

Año 2002 2003 2004 2005 2006 2007Venta en

millones S/.95420 156780 190595 200500 305600 320400

4. Fusione las 2 series de números índice siguiente con 3 bases diferentes:

Año Índice de PreciosÍndice de Precios

19951996199719981999

2000 2001 2002 2003 2004

2005

100.00 115.50

125.50 156.80170.09

185.90 100.00110.00115.00124.00130.00136.00

5. Determine el valor del nuevo sol del 2000 en los años 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, según los índices anuales dados por el INEI.

6. Las remuneraciones anuales de un trabajador fueron: 2000: S/. 5,200.00, 2001: S/. 6,000.00, de 2002 a 2005: S/.7,200.00 anuales, de 2006 al 2007: S/. 8,600.00 anuales. Con los índices del INEI

a) Determine las remuneraciones en S/. del 2000.

94

b) Deflacionar las remuneraciones a S/. del 2006.

7. Con base a una nueva tecnología, un fabricante ha desarrollado un aparato LCD de 45''. El propietario de una tienda estima que al precio de venta de $2,800, las probabilidades de venta de 2, 3, 4,5 y 6 aparatos durante los meses de interés son 0.20, 0.30, 0.40, 0.05 y 0.05 respectivamente. Con base sólo en estos valores de probabilidad, ¿qué número de aparatos debe ordenar el encargado de la tienda, suponiendo que no es posible reordenar pedidos durante el período de interés? (DOS PROCEDIMIENTOS).

8. Para la decisión de inventarios del problema anterior, el margen de utilidad por cada aparato que se vende es $300, si no venden aparatos durante los tres meses, la pérdida para la tienda es de $350 por aparato. Con base sólo en estas consecuencias económicas, e ignorando las probabilidades, determine las mejores decisiones según los criterios MAXIMIN Y MAXIMAX.

9. Para la tienda del problema anterior, determine la mejor decisión por el criterio del arrepentimiento MINIMAX.

10. Con referencia a los datos anteriores, determine la mejor decisión por el criterio Bayesiano y de la ganancia esperada.

11. Un fabricante ha producido una máquina. El propietario de una tienda estima que al precio de venta de $6,600.00, las probabilidades de venta de 2, 3, 4 , 5 o 6 máquinas durante el período de interés son de 0.30, 0.40, 0.20 , 0.05 y 0.05 respectivamente; el margen de utilidad por cada máquina que se vende es $300.00, si no se venden, la pérdida es de $400.00 por máquina.

a) Determine el mejor pedido por el criterio del arrepentimiento mínimax. b) Determine el mejor pedido por el criterio Bayesiano.

12. En la tabla siguiente se representan los pagos (rendimientos) asociados con cinco tipos alternativos de decisiones de inversión para un período de 1 año.

Estado de la economía

Decisión de inversión

Cuenta de ahorros

Bonos corporativos

Acciones de alta calidad

Acciones especulativas

Opciones sobre acciones

: Recesión

: Estable

: Expansión

$700

700

700

$600

800

900

-$1500

6000

8000

-$5000

4000

10000

-$11000

-5000

20000

95

Suponga que las probabilidades asociadas con la recesión, la estabilidad económica y la expansión son 0.25, 0.60 y 0.15, respectivamente. Determine la mejor acción desde el punto de vista del criterio bayesiano de optimización del pago esperado

UNIDAD IV

MÉTODO SIMPLEX Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

La gerencia de la empresa en un entorno competitivo y globalizado exige una administración moderna, es decir con métodos cuantitativos que optimice el funcionamiento de la empresa, en esta realidad es que tratamos esta unidad.


1. Comprende el conocimiento del Método Simplex y el Análisis de Sensibilidad, aplicándolos a la optimización del funcionamiento de la empresa en un entorno competitivo y globalizado.

2. Se determinan modelos matemáticos representativos de diversas realidades empresariales, los que se resuelven primero por el método gráfico, como una introducción al método simplex.

3. Luego, los mismos modelos se resuelven por el método simplex las maximizaciones y las minimizaciones mediante el dual, interpretando los resultados primales y los resultados duales.

4. Se monitorea lo que sucede fuera de la empresa, mediante el análisis de sensibilidad.


1. Se optimiza el funcionamiento de diversos tipos de empresas como modelos de realidades futuras.

2. Se mecanizan la solución de los modelos anteriores, mediante la PC, usando el software LINDO.


TEMA Nº 07: MÉTODO SIMPLEX.TEMA Nº 08: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

TEMA 07

EL MÉTODO SIMPLEX1. INTRODUCCIÓN.

96

El MÉTODO SIMPLEX es un procedimiento iterativo (que se repite) que dá una solución óptima a un problema de programación lineal (PL).

El problema de PL que resuelve el MS, consiste en optimizar el valor de un MODELO MATEMATICO representativo de una realidad, llamado "FUNCION OBJETIVO", sujeto a “RESTRICCIONES”.

El ALGORITMO del MS, consiste en identificar la solución factible inicial, a continuación busca una mejor solución, que se mide según que mejore o no el valor de la "Función objetivo", si se encuentra una mejor solución, sigue la búsqueda, hasta que la "Función objetivo" ya no mejore.

. DE PROBLEMA DE PL.

Un gerente de producción necesita determinar la producción de fertilizantes para el siguiente mes. Su empresa es una compañía de productos químicos, que fabrica, entre otros artículos, 2 tipos de fertilizantes, combinando ingredientes que se compran de proveedores externos. Los 2 fertilizantes que la compañía fabrica son las mezclas denominadas 5-5-10 y 5-10-5. En cada caso, el primer término se refiere al % que el producto final tiene de NITRATO, el segundo de FOSFATO y el tercero de POTASIO. El fertilizante se estabiliza con un material de relleno como tierra. Un mayorista compra cualquier cantidad de ambos fertilizantes que la compañía pueda fabricar, está dispuesto a pagar $71.50 por Tn del 5-5-10 y $69 por Tn del 5-10-5. Este mes la disponibilidad y costos de materias primas son: 1100 Tn de nitrato a $200 por Tn, 1800 Tn de fosfato a $80 por Tn y 2000 Tn de potasio a $160 por Tn. El relleno está disponible en cantidades ilimitadas a $10 por Tn. No hay restricciones de mano de obra ni de maquinaria durante el mes, pero se tiene un costo de $15 por Tn por concepto de mezclado. La pregunta que el gerente debe resolver es: ¿Cómo utilizar los recursos escasos (nitrano, fosfato y potasio) de manera que se obtengan las mayores utilidades para la compañía?

SOLUCIÓN.

DETERMINACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO.Utilidad por Tn producida del fertilizante 5-5-10:COSTO: NITRANO: 0.05 x $200 = $10.00

FOSFATO: 0.05 x $80 = 4.00 POTASIO:0.10 x $160 = 16.00 RELLENO: 0.80 x $10 = 8.00 MEZCLADO = 15.00

Costo total: $. 53.00 Utilidad: $71.50-$53.00=$18.50/Tn.

Utilidad por Tn producida del fertilizante 5-10-5:COSTO: NITRANO: 0.05 x $200 = $10.00

FOSFATO: 0.10 x $80 = 8.00 POTASIO: 0.05 x $160 = 8.00 RELLENO: 0.80 x $10 = 8.00

MEZCLADO = 15.00 Costo total: $49.00

Utilidad: $69.00 - $49.00 = $20/Tn.

97

Con las dos utilidades construimos la "Función objetivo" para Tn del 5-5-10 y Tn del 5-10-5 producidas:

Max. Z= 18.5 + 20 , " Función Objetivo" que debe maximizarse.

RESTRICCIONES DE LOS RECURSOS:NITRATO: 0.05 + 0.05 FOSFATO: 0.05 + 0.10 POTACIO: 0.10 + 0.05

DE NO NEGATIVIDAD DE LA PRODUC. ;

SOLUCIÓN DEL MODELO:

MÉTODO GRÁFICO: No usable con más de 3 variables. Se grafican las restricciones como igualdades:

1)= 0: =22000: (0,22)=0: =22,000: (22,0)

2) 0.05 + 0.10 =1800= 0: =18000: (0,18)

= 0: =36000: (36,0)

3) 0.10 + 0.05 = 2000= 0: = 40,000: (0,40)= 0: = 20,000: (20,0)

1) 2) =

1) 3) = Se grafican las rectas, a partir de estas se interpretan las restricciones, obteniéndose el POLÍGONO DE SOLUCIONES FACTIBLES.SE GRAFICA Z = 18.5 + 20 como familia de rectas con Z de parámetro:

Z = 0: 18.5 + 20 = 0= 0 = 0: (0,0); =10 = -9.25: (10, -9.25)

Uniendo los dos puntos como recta se obtiene un elemento de la familia, los demás elementos se obtienen trazando paralelas a dicha recta. La recta L es aquella paralela que más de aleja del origen de coordenadas sin salirse del polígono de soluciones factibles. L POLÍGONO = Z = 18.5 (8,000) + 20 (14,000) = $428,000.00.

98

LA PRODUCCIÓN QUE OPTIMIZA Z ES: 8,000 Tn del 5-5-10 y 14,000 Tn del 5-10-5, alcanzando la utilidad máxima de $428, 000.00.

OBSERVACIONES:

1. La siguiente tabla muestra los vértices factibles con sus correspondientes valores de la "FUNCIÓN OBJETIVO":

VERTICE PROD. PROD. UTILIDAD Z

A

B

C

D

E

0

0

8,000

18,000

20,000

0

18,000

14,000

4,000

0

$ 0

360,000

428,000

413,000

370,000

2. Cuando se busca una solución óptima, solo debe considerarse los vértices del polígono; que se obtienen por solución simultánea de las ecuaciones lineales que los determinan.

3. Lo anterior sugiere un procedimiento de solución basado en la solución simultánea de ecuaciones y pasando de un vértice a otro, hasta llegar a la solución óptima. Esta es la forma como funciona el ALGORITMO denominado MS, cuya ventaja es manejar más de 2 variables.

MÉTODO SIMPLEX

La primera etapa del MS consiste en convertir las restricciones en ecuaciones lineales, agregando a los primeros miembros VARIABLES DE HOLGURA y a las restricciones en ecuaciones lineales, restando a los primeros miembros VARIABLES DE EXCESO, ambas variables son mayores o iguales que cero; y obtener un modelo modificado.Para el ejm. el modelo modificado es:

Z - 18.50 - 20 + + + = 0

0.05 + 0.05 + + + = 1100

0.05 + 0.10 + + + = 1800

0.10 + 0.05 + + + = 2000

Normalmente un sistema de ecuaciones puede resolverse cuando el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. Sin embargo, m ecuaciones con n incógnitas con n m se resuelve aplicando el TEOREMA BÁSICO DEL ALGEBRA, que sostiene, que si existe solución, puede determinarse igualando a cero n - m variables y resolviendo el conjunto de m ecuaciones con m incógnitas

99

resultante. Las variables que se igualan a cero se denominan NO BASICAS y las que se usan para resolver el sistema BÁSICAS.

Con m ecuaciones y n incógnitas para n m, existen soluciones básicas;

para el ejemplo hay 10 soluciones básicas, de las cuáles 5 corresponden a los vértices del polígono y las otras 5 resultan no factibles porque las variables no cumplen la NO NEGATIVIDAD. Observemos el siguiente cuadro:

SOLUCION Z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

0

0

36,000

20,000

22,000

8,000

18,000

14,666.6

0

22000

18000

40000

0

0

0

14000

4000

10,666.6

1100

0

200

-900

-700

100

0

0

0

-166.6

1800

-400

0

-2200

0

800

900

0

500

0

2000

900

1,100

0

-1,600

0

-200

500

0

0

$ 0

NO FACT.

360,000

NO FACT.

NO FACT.

370,000

NO FACT.

428, 000

413, 000

NO FACT.Es necesario ver que solo las soluciones 1,3, 6, 8 y 9 son factibles, mientras que 2,4,5,7 y 10 son no factibles, del modelo modificado se pasa al modelo matricial inicial, con el que se trabaja hasta obtener la solución óptima.

. Resolver por el MS: MAX Z= 2 + 12 + 8S. a. 2 + 2 +

- 2 + 5 10 + 5 + 4

, , 0

SOLUCIÓN. Modelo modificado:

Z - 2 - 12 - 8 + 0 + 0 + 0 = 0

2 + 2 + + + 0 + 0 =100

- 2 + 5 + 0 + + 0 = 80

10 + 5 + 4 + 0 + 0 + =300

Los cálculos están en la siguiente TABLA

100

I. (INICIAL)

BASE Z Bi R FORMULA bi /

I. Z 1 -2 -12 -8 0 0 0 0 (0) Ro

0

0

0

2

1

10

2

-2

5

1

5

4

1

0

0

0

1

0

0

0

1

100

80

300

(1)

(2)

(3)

R1

R2

R3

100/2=50 FC1

300/5 = 60

II. Z 1 10 0 -2 6 0 0 600 (0)'

0

0

0

1

3

5

1

0

0

1/2

6

3/2

1/2

1

-5/2

0

1

0

0

0

1

50

180

50

(1)'

(2)'

(3)'

= 100

=30 FC2

=33.3

III. Z 1 11 0 0 19/3 1/3 0 660 (0)''

0

0

0

3/4

1/2

17/4

1

0

0

0

1

0

5/12

1/6

-11/4

-1/12

1/6

-1/4

0

0

1

35

30

5

(1)''

(2)''

(3)''

TODOS LOS ELEMENTOS DE LA FILA son LA SOLUCIÓN ES OPTIMA, Y:

=0 =0 Z= 2(0) + 12(35) + 8(30) = 660

=35 =0

=30 =5

. Resolver por el método Simplex el problema de los fertilizantes.

.La Uncle Brown de Elks, Nevada, fabrica tres variedades de whiskey. Los principales elementos relacionados con la producción y venta del whiskey se dan en la tabla. Plantee el problema de PL.

101

Marca

Idaho Montana Old Cantidad Recurso Moon Madness Stumpwater disponible

Maíz (bushels/galón) 5 3 1 1000 bushelsAzúcar (libras/galón) 4 2 2 1000 librasTiempo de entrega (horas/galón) 1 2 2 400 horasUtilidad ($/galón) $20 $15.5 $10

. En la figura se muestran las tablas inicial y óptima obtenidas con el software SIMPLEX para el problema anterior. Interprete los valores iniciales y resultados finales:

TABLEAU 1C (J) 20.00 15.50 10.00 0.00 0.00 0.00 C (J) BASIS B X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) 0.00 X (4) 1000.00 5.00 3.00 1.00 1.00 0.00 0.000.00 X (5) 1000.00 4.00 2.00 2.00 0.00 1.00 0.000.00 X (6) 400.00 1.00 2.00 2.00 0.00 0.00 1.00C (J) - Z (J) 0.00 20.00 15.50 10.00 0.00 0.00 0.00

TABLEAU 3' (OPTIMAL SOL) IN VECTOR IS X (3) OUT VECTOR IS X (6) C (J) 20.00 15.50 10.00 0.00 0.00 0.00 C (J) BASIS B X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) 20.00 X (1) 177.73 1.00 .44 0.00 .22 0.00 -.11 0.00 X (5) 66.67 0.00 -1.33 0.00 -.67 1.00 -.6710.00 X (3) 111.11 0.00 .78 1.00 -.11 0.00 .56C (J) - Z (J) 4666.67 0.00 - 1.17 0.00 -3.33 0.00 -3.33

THE VALUE OF THE OBJECTIVE FUNCTION IS 4666.67

MINIMIZACIÓN.La optimización no solamente trata de maximizar utilidades u otros objetos empresariales, sino también de la minimización de costos por ejemplo o también de otros objetos empresariales en relación a la minimización.

Igual que la maximización, se trata de determinar el MODELO MATEMÁTICO que se debe minimizar, consistente en una "FUNCIÓN OBJETIVO" sujeta a

102

RESTRICCIONES, generalmente de la forma , y de resolver el modelo, gráficamente para el caso de 2 variables y por el MS cuando las variables son más de 2. En este caso para convertir las desigualdades en ecuaciones lineales, para el METODO SIMPLEX, se restan a los primeros miembros de las restricciones de la forma mayor o igual ( ), las variables de exceso y se suman VARIABLES ARTIFICIALES.

. MINIMIZAR: Z = 5 + 6S.a. + 10

2 + 4 2 para , 0SOLUCIÓN.

METODO GRÁFICO:1) + = 10 =0 : =10:(0,10) =0 : =10:(10,0) 2) 2 + 4 = 24 =0 : = 6:(0,6)

=0 : =12:(12,01) 2) : 2 + 2 = 20

2 + 4 = 24

2 = 4 =2: =8: A(8,2)

"F. OBJETIVO" Z=0:5 + 6 = 0 =0: =0:(0,0)

=6: =-5:(6,-5)Z= 5 + 6 = 5 (8) + 6 (2) = 52 MIN

El mínimo es 52 y se produce para =8, =2.

MÉTODO SIMPLEX.

Se trabaja con las variables de exceso (E) y las variables artificiales (A), restando las primeras y sumando las segundas, además con la constante M. El modelo modificado o pre matricial es:

Z - 5 - 6 + 0 + 0 - M - M = 0 + - + 0 + + 0 = 10 2 + 4 + 0 - + 0 + = 24

Y la solución matricial como sigue:

103

cc2 cc1(a >0) Se llevan aceros

BASE Z bi FORMULA bi/

I. Z 1 -5 -6 0 0 -M -M 0

0

0

1

2

1

4

-1

0

0

-1

1

0

0

1

10

24

II. Z 1 -5+3M -6+5M -M -M 0 0 34M

0

0

1

2

1

4

-1

0

0

-1

1

0

0

1

10

24

10/2=10 24/4=6 1

III. Z 1 -2+1/2M 0 -M -3/2+1/4M 0 3/2- 5/4M 36+4M

0

0

1/2

1/2

0

1

-1

0

1/4

-1/4

1

0

-1/4

1/4

4

6 4/1/2=8 2 6/1/2=12

IV. Z 1 0 0 -4 -1/2 4-M 1/2-M 52

0

0

1

0

0

1

-2

1

1/2

-1/2

2

-1

-1/2

1/2

8

2

Los coeficientes del renglón para las variables básicas y no básicas son 0, por consiguiente se trata de una matriz terminal u óptima.Luego, analizando los resultados, se tiene que =8 i =2 minimizan la función objetivo, siendo Z=52.

. Resolver por el método gráfico y por el MS:

MINIMIZAR: Z= 120 + 260

S.a. : 3 + 4 5

2 + 6 6 , 0

TALLER 07ACTIVIDAD APLICATIVAEL MÉTODO SIMPLEX

ObjetivoSe trata de optimizar el funcionamiento de la empresa, determinando un modelo matemático representativo de una realidad empresarial óptima y con los resultados hacer funcionar la empresa.

104

OrientacionesEntrenarse en la obtención del modelo matemático, tanto recurriendo a la bibliografía, como recurriendo a la realidad problemática para optimizarla. Resolver los casos planteados.

1. Resuelva el siguiente problema de programación lineal utilizando el método simplex.

MAXIMIMAR Z= 10 + 14

SUJETO A 4 + 6 24

2 + 6 20

, 0

¿Cuáles son los valores de las variables básicas en cada iteración?

2. Resuelva el siguiente problema utilizando el método simplex.

MAXIMIMAR Z= 2 + + 3

SUJETO A + + 2 400

2 + + 500

, , 0

3. La Watts Manufacturing Company fabrica y vende radios de AM y de AM/FM. la producción de un radio de AM requiere 4 horas, en tanto que la fabricación de un radio AM/FM requiere 6 horas. En la planta existe un total disponible de 96 horas-hombre semanales para la producción. Los administradores de la empresa han determinado que lo máximo que se puede vender a la semana son 30 radios AM y 20 AM/FM. La contribución a las utilidades por cada radio AM que se vende es $6, y cada radio AM/FM contribuye con $12 a las utilidades. ¿Qué cantidad de cada tipo de radio debe fabricar la compañía cada semana para maximizar sus utilidades? ¿podría la compañía incrementar sus utilidades aumentando su capacidad de producción?

4. Dado el siguiente problema de programación lineal:

MAXIMIZAR Z= 8 + 12 + 10

SUJETO A 2 + 4 + 2 60

9 + 4 + 16 242

5 +4 + 6 125

, , 0a. Resuelva el problema utilizando el método simplex.

105

b. ¿Tiene el problema un óptimo alternativo? Si es así, calcule esa solución alternativa.

c. Desarrolle una ecuación lineal que describa la familia de soluciones óptimas que cae entre las soluciones óptimas que se encontraron en las partes (a) y (b).

6. Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta. La compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga: carga frágil y carga normal. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo, para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada, mientras que la carga normal puede llevarse en una cabina principal no presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar más de 10 toneladas de carga. El avión tiene una restricción de peso que le impide llevar más de 28 toneladas de carga. Para mantener el equilibrio de peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual dos tercios del peso de la cabina principal, más una tonelada. La compañía recibe $1000 por tonelada de cualquiera de los dos tipos de carga que transporta. En seguida se presenta un planteamiento de programación lineal para el problema:

Sean: = toneladas de carga normal que se transportan = toneladas de carga frágil que se transportan.

MAXIMIZAR: Z= 1000 + 1000

SUJETO A: 5

20

10 + 28 -2/3 + 1

, 0

a. Resuelva el problema utilizando el método simplex.b. Interprete las variables de holgura para el problema.c. ¿Tiene el problema un óptimo alternativo? Explique su respuesta.

TEMA 08ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

1. DUALIDAD.

La dualidad se caracteriza con la siguiente afirmación: Para todo problema de maximización existe un problema equivalente de minimización; y a la inversa, para todo problema de minimización existe un problema de maximización.

106

La dualidad es importante por las siguientes razones:

1) El planteamiento dual de un problema de PL puede dar como resultado una reducción considerable en los cálculos para resolver el problema.

2) La relación dual tiene un nexo importante en el análisis de sensibilidad.3) Es posible obtener importante información económica acerca del valor de los

recursos escasos que se utilizan examinando el problema dual.

PROBLEMA PRIMAL Y PROBLEMA DUAL.El planteamiento original del problema se denomina problema primal y el planteamiento alternativo problema dual. Para un problema primal de maximización como:

MAXIMIZAR Z = + + SUJETO A + + + +

+ + , , 0 el problema dual correspondiente de minimización es:

MINIMIZAR Z = + + SUJETO A + + + +

+ + , , 0Donde , , representan las variables duales.

Una relación importante entre el primal y el dual es que:

Si el problema primal tiene una solución óptima, entonces el problema dual correspondiente también tiene una solución óptima y el valor óptimo de la función objetivo del primal es igual al valor óptimo de la función objetivo del dual.

Examinamos el problema original de los dos fertilizantes, a fin de explicar la relación entre el primal y el dual.

PRIMAL: DUAL:

107

MAX. Z= 18.5 + 20

S.a. 0.05 + 0.05 1100 0.05 + 0.10 1800

0.10 + 0.05 2000 , 0

MIN. Z= + +

S. a. + +

+ +

, , 0

Donde: y son las toneladas de 5-5-10 y 5-10-5 que deben fabricarse, y 1100, 1800 y 2000 son las toneladas disponibles de nitrato, fosfato y potasio respectivamente.

, , Son los dólares por tonelada de nitrato, fosfato y potasio respectivamente, y 18.5 y 20.0 son las contribuciones a las utilidades por tonelada de los fertilizantes 5-5-10 y 5-10-5 respectivamente.

Obsérvese que:0.05 es el valor en dólares con que el nitrato contribuye a la producción de una tonelada del fertilizante 1 0.05 , es el valor de la contribución en dólares del fosfato, y 0.10 es el valor en dólares de la contribución del potasio.

Y la suma 0.05 +0.05 +0.10 es el valor total de los recursos que se consumen en la fabricación de una tonelada del fertilizante 1 que debe ser a la contribución a las utilidades de una tonelada del fertilizante 1, que es 18.5. Si el valor que tiene para la empresa utilizar los recursos para fabricar el fertilizante 5-5-10 es exactamente igual a la contribución a las utilidades, la desigualdad se satisfacerá en forma estricta.

Si el valor de los recursos que se requieren para fabricar una tonelada del 5-5-10 excede la contribución a las utilidades, entonces la empresa podría usar en forma más rentable los recursos para fabricar los otros fertilizantes.

RESTRICCIONES "MAYOR O IGUAL" Y DE "IGUALDAD"

Supongamos el siguiente problema primal:

MAXIMIZAR Z = + + SUJETO A + + + +

+ + , , 0

Antes de ir al dual, las dos últimas restricciones deben convertirse en restricciones menor o igual, resultando:MAXIMIZAR: Z = + +

SUJETO A: + +

- - - - + +

- - - -

, , 0

Y el dual es: MINIMIZAR: Z= - + -

108

SUJETO A: - + -

- + -

- + -

, , , 0

MAXIMIZAR: Z= 10 + 20

SUJETO A: + 3 60

-2 + 40

4 + 2 30

, 0

El problema es: MAXIMIZAR: Z= 10 + 20

SUJETO A: + 3 60

2 - -40

4 + 2 30 -4 - 2 -30

, 0

Y su dual es: MINIMIZAR: Z = - + -

SUJETO A: + + - 10

- + - 20

, , , 0

RELACION ENTRE SOLUCIÒN ÓPTIMA PRIMAL Y SOLUCIÒN ÓPTIMA DUAL.

Las soluciones del primal y del dual para el caso de los fertilizantes se tienen en las siguientes tablas:

PRIMAL. Z - 18.5 - 20 + + + = 0

0.05 + 0.05 + + + = 1100

0.05 + 0.10 + + + = 1800

0.10 + 0.05 + + + = 2000

109

cc2 cc1BASE Z bi FORMULA bi/aik

I. Z 1 -18.5 -20 0 0 0 0

0

0

0

0.05

0.05

0.10

0.05

0.10

0.05

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1100

1800

2000

22000

18000 FC1

40000

II. Z 1 -8.5 0 0 200 0 360000

0

0

0

0.025

0.5

0.075

0

1

0

1

0

0

-0.5

10

-0.5

0

0

1

200

18000

1100

8000 FC2

36000

14667

III. Z 1 0 0 340 30 0 428000

0

0

0

1

0

0

0

1

0

40

-20

-3

-20

20

1

0

0

1

8000

14000

500

Los coeficientes de para las variables básicas y no básicas son 0, luego se trata de una matriz terminal óptima.

DUALPara resolver el dual del primal para el caso de los dos fertilizantes, se requieren dos variables de exceso y dos variables artificiales, además en vez de M hemos tomado el mayor coeficiente de la función objetivo multiplicado por 1000, resultando el modelo modificado y la solución simplex Z - 1100 - 1800 - 2000 + 0 + 0 - 20000 - 20000 = 0

0.05 + 0.05 + 0.10 - + 0 + + 0 =18.5

0.05 + 0.10 + 0.05 + 0 - + 0 + =20

110

cc3 cc2 cc1BASE Z bi bi/aik

I. Z 1 -1100 -1800 -2000 0 0 -20000 -20000 0

0

0

0.05

0.05

0.05

0.10

0.10

0.05

-1

0

0

-1

1

0

0

1

18.5

20

II. Z 1 900 1200 1000 -20000 -20000 0 0 770000

0

0

0.05

0.05

0.05

0.10

0.10

0.05

-1

0

0

-1

1

0

0

1

18.5

20 400

III. Z 1 400 700 0 -10000 -20000 -10000 0 585000

0

0

0.5

0.025

0.5

0.075

1

0

-10

0.5

0

-1

10

-0.5

0

1

185

10.75

1/0.10 370

IV. 1 0 0

0

0

1/3

1/3

0

1

1

0

-40/3

20/3

20/3

-40/3

40/3

-20/3

-20/3

40/3

340/3

430/3 430

V. 1 0 0 -500 -8000 -14000 -12000 -6000 428000

0

0

1

0

0

1

3

-1

-40

20

20

-20

40

-20

-20

20

340

30

Los coeficientes del renglón Z para las variables básicas y no básicas son , luego se trata de una matriz terminal u óptima.

La solución del problema dual da como resultado que es igual al valor óptimo de la función objetivo del problema primal Obsérvese que la disponibilidad de nitrato es 1100 y la contribución al valor de la función objetivo en el dual es 1100 ; si se aumentara la disponibilidad de nitrato en una unidad, la contribución al valor de la función objetivo sería (1100+1) o 1100 + , es decir aumentará en el valor de la variable dual correspondiente y dado que es igual a en el nivel óptimo, un aumento de una unidad de nitrato dará como resultado un aumento en el valor de la función objetivo del primario en una cantidad equivalente a ; consecuentemente, una disminución unitaria en el nivel de un recurso dará como resultado una disminución en el valor de la función objetivo en la solución óptima del problema primario en una cantidad equivalente al valor de la variable dual correspondiente.

Para el ejemplo esto significa, que un aumento de la tonelada en la disponibilidad de nitrato da como resultado $340 de aumento en las utilidades; un aumento en una tonelada en el uso de fosfato da como resultado un aumento de $30 en las

111

utilidades y un aumento en la disponibilidad de potasio no tendría impacto en las utilidades, pues en las solución primal existen 500 toneladas de potasio sin utilizar.

Para resolver el dual, además de resolver el primal, se requiere un esfuerzo doble, por fortuna, los valores de las variables duales se encuentran en la tabla óptima del primal, debido a la existencia de una correspondencia uno a uno entre las variables duales y las variables de holgura; así mismo la solución del problema primal aparece en la tabla óptima del dual, ya que la correspondencia uno a uno se da entre las variables primales y las variables de exceso.

Los valores de las variables artificiales en el dual no tienen ningún significado en el problema primal; estas se utilizan solo para tener una solución factible básica inicial y en la solución factible óptima valen cero.

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL DUAL.

=340 1Tn adicional de nitrato produce $340 adicionales de utilidad.= 30 1Tn adicional de fosfato produce $30 adicionales de utilidad.= 0 No se obtienen utilidades adicionales al añadir toneladas extras de

potasio.

Es decir, desde el punto de vista de la toma de decisiones en la administración, las variables duales indican la cantidad extra que se estaría en disposición de pagar por una unidad adicional de un recurso específico. Para el ejemplo, significa que por los recursos escasos se podría pagar hasta:

NITRATO: $200 + $340 = $540FOSFATO: HASTA $80 + $30 = $110

En este caso, el aumento neto en la utilidad por tonelada adicional de recurso será la diferencia entre el valor de la variable dual correspondiente y el adicional al precio que se pague. Así, si el proveedor cobrara $10 adicionales por tonelada de fosfato que exceda de 1800 toneladas, todavía se obtendrían $20 adicionales de utilidad por tonelada de fosfato; si el aumento extra fuera de $31, no estaríamos dispuestos a comprar fosfato adicional.

2. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

El análisis de sensibilidad es un método que investiga el efecto que tienen los cambios en los parámetros de un problema de PL en la solución óptima.

Pueden cambiar: Los coeficientes de la función objetivo. Los valores del segundo miembro de las restricciones. Los valores de los coeficientes de las restricciones.

112

Es frecuente que los coeficientes de la función objetivo o los valores del segundo miembros de las restricciones sean estimaciones, de ahí la importancia de analizar la sensibilidad de la solución óptima a cambios de estos parámetros; en cambio, el impacto de los cambios en los coeficientes de las restricciones es de menor importancia, porque estos se obtienen de la tecnología del problema generalmente son valores reales y no estimaciones. Por estas razones, se consideran solo los cambios en los coeficientes de la función objetivo y en los valores del segundo miembro de las restricciones.

Para explicar el análisis de sensibilidad utilizamos el ejemplo inicial visto en Método Simplex de los fertilizantes; recordemos que la solución óptima era fabricar 8000 Tn del 5-5-10 y 14000 Tn del 5-10-5, maximizando las utilidades a $ 428, 000.00.

Ahora, aunque las disponibilidades y costos de las materias primas no han cambiado, la compañía desea considerar la fabricación de un tercer producto, un fertilizante 5-5-5, que puede venderse a $60 la Tn; igual, debe fabricarse la combinación de fertilizantes que maximice las utilidades.

Para plantear el problema, sea las Tn del 5-5-5 que deben fabricarse, la contribución a las utilidades resulta de $14.50 por Tn y el modelo es:

Maximizar : Z= 18.5 + 20 + 14.5 S. a. : 0.05 + 0.05 + 0.05 1100

0.05 + 0.10 + 0.05 1800 0.10 + 0.05 + 0.05 2000

, , 0

Utilizando el MS para resolver el problema se tiene:

Z - 18.5 - 20 - 14.50 + + + = 0 0.05 + 0.05 + 0.05 + + + = 1100 0.05 + 0.10 + 0.05 + + + = 1800 0.10 + 0.05 + 0.05 + + + = 2000

cc2 cc1

113

BASE Z bi FORMULA bi/aij

I. Z 1 -18.5 -20 -14.5 0 0 0 0

0

0

0

0.05

0.05

0.10

0.05

0.10

0.05

0.05

0.05

0.05

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1100

1800

2000

22000

18000 FC1

40000

II. Z 1 -8.5 0 -4.5 0 200 0 360000

0

0

0

0.025

0.5

0.075

0

1

0

0.025

0.5

0.025

1

0

0

-0.5

10

-0.5

0

0

1

200

18000

1100

8000 FC2

36000

14667

III. Z 1 0 0 4 340 30 0 428000

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

-0.05

40

-20

-3

-20

20

1

0

0

1

8000

14000

500

Los coeficientes del renglón para las variables básicas y no básicas todos son 0, por consiguiente se trata de una matriz óptima.

La solución es =8000, = 14000, =0, =0, =0 i =500 y Z máxima $428000.00

Es decir una solución igual a la del problema original de los productos; o sea debe fabricarse 8000 Tn del 5-5-10 y 14000 Tn del 5-10-5, obteniéndose las mismas utilidades de $428000.00; solución que significa que el programa de producción puede seguir sin modificarse.

Pero, se sabe que fabricar el 5-5-5 es de importancia para la empresa, por razones de mercadotecnia, aunque no se pueden sacrificar utilidades para fabricar alguna cantidad del 5-5-5, sin embargo se tiene la posibilidad de aumentar el precio de este producto a fin de que resulte rentable. También se avizora una posible reducción del precio del 5-5-10 debido a que la competencia ha reducido su precio del fertilizante. Se informa también para el mes siguiente una reducción de la disponibilidad de nitrato.

Por todas estas razones, la compañía debe revisar la decisión de continuar fabricando solo dos fertilizantes, para incluir en el análisis los problemas planteados. Para comprenderlos, es necesario analizarlos por separado; por ejemplo, para analizar el aumento del precio del 5-5-5, supondremos que la

114

disponibilidad de nitrato permanecerá constante; para analizar la disponibilidad de nitrato, supondremos que la contribución del 5-5-5 a las utilidades es el valor actual de $14.50.

CAMBIO EN EL COEFICIENTE DE UNA VARIABLE NO BÁSICA DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.

La sensibilidad de la solución óptima a cambios de los coeficientes de la función objetivo puede determinarse añadiendo al coeficiente , obteniéndose como nuevo coeficiente:

Es posible determinar que tan grande debe ser a partir del requerimiento de optimidad en la tabla óptima. La sensibilidad se mide por , si consideramos el intervalo de costos sobre los cuales la solución óptima existente sigue siendo óptima. Si consideramos el fertilizante 5-5-5 ó al nuevo precio de $ 60 + , la contribución a las utilidades será $14.5 + y la nueva tabla la siguiente:

cc2 cc1

BASE Z bi FORMULA bi/aij

I. Z 1 -18.5 -20 -14.5- 0 0 0 0

0

0

0

0.05

0.05

0.10

0.05

0.10

0.05

0.05

0.05

0.05

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1100

1800

2000

22000

18000 FC1

40000

II. Z 1 -8.5 0 -4.5- 0 200 0 360000

0

0

0

0.025

0.5

0.075

0

1

0

0.025

0.5

0.025

1

0

0

-0.5

10

-0.5

0

0

1

200

18000

11000

8000 FC2

36000

14667

III. Z 1 0 0 4 - 340 30 0 428000

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

-0.05

40

-20

-3

-20

20

1

0

0

1

8000

14000

500

Considerando la optimidad de antes de que se vuelva básica:

4 - 0 (1)Luego : 4O también:

115

Esto indica que si el precio de se incrementa hasta $4, su contribución a las utilidades sería hasta $18.50 y entonces la producción de no sería rentable. Si el precio aumentara exactamente $4, se llegaría a un punto de decisión en el que podría fabricarse , sin obtener utilidades adicionales, es decir la utilidad seguiría siendo $428, 000.00; sería una solución alternativa con la misma utilidad. En cambio, si >4, la contribución a las utilidades de sería mayor que 18.5, entonces la producción de sería rentable y entraría a la base, cambiando la solución óptima anterior.

CAMBIO EN EL COEFICIENTE DE UNA VARIABLE BÁSICA DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.

Para el análisis utilizaremos el fertilizante 5-5-10. Estaremos interesados en saber cual es el valor máximo en el que puede cambiar este coeficiente básico de utilidades antes de cambiar las variables básicas restantes en la solución óptima. En el caso de variables que si son básicas deben considerarse tanto aumentos como disminuciones en los coeficientes de contribución, Sea la nueva contribución: , que afectaría a más de una columna de la tabla simplex. Para el ejemplo veamos para :

cc2 cc1BASE Z bi R FÒRMULA bi/aij

I. Z 1 -18.5- -20 -14.5 0 0 0 0

0

0

0

0.05

0.05

0.10

0.05

0.10

0.05

0.05

0.05

0.05

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1100

1800

2000

22000

18000 1

40000

II. Z 1 -8.5- 0 -4.5 0 200 0

0

0

0

0.025

0.5

0.075

0

1

0

0.025

0.5

0.025

1

0

0

-0.5

10

-0.5

0

0

1

200

18000

1100

8000 2

36000

14667

III. Z 1 0 0 4+ 340+

40

30-20 0 428000+

8000

0

0

1

0

0

1

1

0

40

-20

-20

20

0

0

8000

14000

116

0 0 0 -0.05 -3 1 1 500

Considerando las condiciones de optimidad se tiene:

Para : 4 + 0

Para : 340 + 40 0

Para : 30 - 20 0

O sea los cambios de son

o las utilidades de quedan entre y

o lo que es lo mismo

ó 18.5 - 4

Para determinar el intervalo apropiado de utilidades se pueden generalizar los resultados con dos reglas:

1. Si existen varias condiciones de la forma se elige la que tenga el más cercano a cero.

2. Si existen varias condiciones de la forma se elige la que tenga el más cercano a cero.

Si el cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable no básica ó básica no está en lo permisible para mantener la optimidad, entonces debe volverse a calcular la tabla; esto es posible usando la tabla anterior. Supongamos que las condiciones del mercado permiten incrementar las utilidades del producto hasta $25, es decir fuera de los límites antes descritos, con lo cual la solución anterior no sería la óptima; en la última Tabla óptima se puede reemplazar , obteniéndose nueva Tabla:

BASE Z bi R

III. Z 1 0 0 10.5 600 -100 0 480000

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

-0.05

40

-20

-3

-20

20

1

0

0

1

8000

14000

500

700

500

El valor total de la función objetivo ha aumentado a $480000.00, sin embargo en la fila hay un valor negativo de -100 para , esto implica que la solución no es

óptima y que debe entrar en la base para volver a la optimidad. A partir de la Tabla anterior, la nueva Tabla sería:

117

BASE Z bi R

IV. Z 1 0 0 5.5 300 0 100 530000

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

-0.05

-20

40

-3

0

0

1

20

-20

1

18000

4000

500

Como en todos son 0, la solución es óptima, y =18,000, =4000 i = $530,000.00

CAMBIOS EN LOS SEGUNDOS MIEMBROS DE LAS RESTRICCIONES.

Al igual que en caso de cambios en los coeficientes de la función objetivo, la sensibilidad de la solución óptima a cambios en los recursos se mide a través de una cota superior y una cota inferior para el nivel del recurso que se modifica. Para el ejemplo, sea el nuevo nivel de nitrato 1100 + en donde es positivo o negativo para reflejar aumentos o disminuciones en la disponibilidad del nitrato. La solución es:

cc2 cc1BASE Z bi R bi/aij

I. Z 1 -18.5 -20 -14.5 0 0 0 0

0

0

0

0.05

0.05

0.10

0.05

0.10

0.05

0.05

0.05

0.05

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1100+

1800

2000

22000+20

18000 1

40000

II. Z 1 -8.5 0 -4.5 0 200 0 360000

0

0

0

0.025

0.5

0.075

0

1

0

0.025

0.5

0.025

1

0

0

-0.5

10

-0.5

0

0

1

200+

18000

1100

8000+ /0.025 2

36000

14667

III. Z 1 0 0 4 340 30 0 428000+340

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

-0.05

40

-20

-3

-20

20

1

0

0

1

8000+40

14000-20

500-3

Por la no negatividad de la solución, se tiene:

118

:

:

:

De donde:

Lo que significa que la disponibilidad de nitrato puede aumentar hasta en 166.67 Tn o disminuir hasta en 200 Tn sin ocasionar que las variables de la solución óptima cambien. Los valores de la función objetivo y el valor del segundo miembro cambiarán, pero la mezcla actual de variables seguirá siendo óptima o expresado en términos de disponibilidad de nitrato:

ó

Si el cambio actual , se encuentra en los límites que se han dado, puede seguirse utilizando el mismo método para calcular los nuevos valores de la solución y de la función objetivo. Por ejemplo, si la disponibilidad de nitrato se reduce en 100 Tn, entonces = -100 y la nueva solución sería:

BASE Z bi

III. Z 1 0 0 4 340 30 0 394000

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

-0.05

40

-20

-3

-20

20

1

0

0

1

4000

16000

800

Es decir fabricar 4000 Tn del fertilizante 1 y 16000 Tn del fertilizante 2, no se utilizarían 800 Tn de potasio y la utilidad se reduciría a $394000. Observe que los coeficientes de en la Tabla óptima son los mismos que los coeficientes de la columna , se debe a que es la variable de holgura asociada con el nitrato. Otro resultado importante en la Tabla óptima, es el valor de para de 340, que indica que una unidad adicional de nitrato aumenta las utilidades en $340, luego, la empresa estaría dispuesta a pagar hasta $340 más de lo que paga actualmente por el nitrato; por ejemplo si hay nitrato adicional a $400 por Tn o sea $200 más de lo que costaba antes la Tn, la compañía podría comprar nitrato adicional, ya que aun tendría $340-$200=$140 de utilidad adicional por Tn de nitrato adicional.

Como los valores de de cada holgura indican el valor adicional de una unidad adicional del recurso correspondiente, a estos valores se les denominan precios sombra. La relación entre los precios sombra como recurso y la función objetivo puede expresarse así: El precio sombra para un recurso determinado refleja el impacto que tiene sobre la función objetivo un cambio unitario en el

119

recurso, este impacto en el precio se mantiene mientras el cambio en el recurso se encuentra dentro de los límites determinados por el análisis de sensibilidad. En cambio, si =200, el nuevo valor de sería 500-3(200) = - 100 < 0, en este caso, sería necesario volver a resolver el problema en forma completa, porque la mezcla óptima de productos cambiaría; bajo la nueva solución, se obtendría un conjunto diferente de precios sombra.

Obsérvese que precios sombra es lo mismo que variables duales.

Como ejemplo adicional, determinemos los límites de cambio para el fosfato , según la Tabla óptima para la variable de holgura , por la no negatividad de

las variables se tendrán:

:

:

:

Es decir que, los límites finales son:

que nos indica que la disponibilidad de fosfato podría reducirse hasta 500 Tn o aumentarse hasta 400 Tn sin obligar a que las variables óptimas actuales conduzcan a una solución no factible. Dentro de estos limites de cambio podrían calcularse los nuevos valores óptimos de , y sin tener que volver a resolver el problema completo.

Para los problemas con solo restricciones , la sensibilidad de la solución óptima a cambios en los niveles de recursos puede generalizarse de la siguiente forma:

1. Si se tiene una solución óptima, el aumento o disminución en utilidades debido al aumento o disminución de una unidad del K-ésimo recurso puede obtenerse tomando el valor del renglón de la k-ésima variable de holgura. Estos valores se denominan precios sombra.

2. Para resumir el cálculo de los límites superior e inferior de la disponibilidad de algún recurso escaso, sean y la disponibilidad original y el cambio del K-ésimo recurso respectivamente y i , el valor óptimo del segundo término y el coeficiente de la variable respectivamente en el i-ésimo renglón, entonces para cada una de las m variables básicas se tiene

Las desigualdades se resuelven para determinar l y u, límites inferior y superior de , entonces:

120

son los límites del cambio en la disponibilidad del k-ésimo recurso, con el objeto de mantener la solución óptima.

CAMBIOS OBLIGADOS EN LA PRODUCCIÒN.

¿Qué haríamos si deseáramos fabricar cantidades diferentes a las que aparecen en la tabla óptima?

TASAS FÌSICAS DE SUSTITUCIÒN.- Son los números que aparecen en el cuerpo de cualquier Tabla de PL; en la tabla inicial los coeficientes indican la tasa o ritmo al cual las materias primas se convierten en los productos finales; si se tienen solo restricciones las variables básicas son las variables de holgura e equivalen a la cantidad de recursos disponibles, es decir = recurso k señala la cantidad de recurso k que no se utiliza.

En este caso las tasas físicas de sustitución convierten variables básicas (las de holgura) en variables no básicas (productos finales); esta relación es cierta durante todas las tablas subsecuentes, afirmándose lo siguiente: LOS COEFICIENTES DE UNA TABLA DE PL SON TASAS FISICAS DE SUSTITUCION PARA TRANSFORMAR ASIGNACIONES ACTUALES DE RECURSOS (VARIABLES BASICAS) EN ASIGNACIONES NUEVAS DE PRODUCTOS (VARIABLES NO BASICAS).Si es el coeficiente del i-ésimo renglón y la j-ésima columna, entonces es la tasa a la que la i-ésima variable básica se convierte en la j-ésima variable no básica. Un coeficiente positivo significa que el valor de la variable básica se reducirá al aumentar el valor de la variable no básica y un coeficiente negativo significa que el valor de la variable básica aumentará al aumentar el valor de la variable no básica.

Para comprender mejor, consideremos en la tabla óptima la columna de la variable no básica y la columna BASE:

La variable básica se convierte en la variable no básica con la tasa 1, es decir una unidad de en una unidad de . La variable básica no se convierte en ninguna . La producción de una unidad de disminuye 0.05 Tn de . Si la empresa se viera obligada a fabricar el fertilizante 3 sin tener aumento en las utilidades, por cada Tn que se fabricara, habrá una reducción de $4 en la utilidad total.

Si los administradores decidieran la fabricación de 1000 Tn del fertilizante 3 para un cliente importante, el plan modificado de producción sería:

Fertilizante o materia prima Nivel de producción original o materia prima no usada

Nivel de producción nuevo o materia prima no usada

121

8000

14000

0

500

7000

14000

1000

550

La utilidad para este plan de producción se reducirá en 4 =$4000, es decir será $424,000.00

TALLER 08ACTIVIDAD APLICATIVA

ANÁLISIS DE SENSIBILIDADObjetivoSe trata de optimizar el funcionamiento de la empresa, monitoreando lo que ocurre fuera de la empresa, para determinar el momento preciso en que esta debe cambiar el modelo matemático, es decir cuan sensible es la empresa hacia los cambios externos.

OrientacionesEntrenarse en el monitoreo empresarial y sobre todo en la operatividad del centro de cómputo para hacer análisis de sensibilidad. En esta tarea resolver los siguientes ejercicios

Para el siguiente problema de PL:

MAXIMIMAR Z= 2 + 2SUJETO A 2 + 4 8

3 + 4 12 , 0

a) Resolver por el método gráfico.b) Si la utilidad en cambiará de 2 a 10. ¿Cuál sería la nueva solución óptima?c) Suponga que la disponibilidad del recurso 1 cambia de 8 a 16. Si los valores de

las utilidades no cambian. ¿Cuál sería la solución óptima?

SOLUCION.

a) 1) 2 +4 = 8 : =0 =2:(0,2) =0 =4:(4,0)

2) 3 +4 =12 : =0 =3:(0,3)=0 =4:(4,0)

Función objetivo: Z=2 +2 = 0 =

Z es máx. en =4, =0:A(4,0) Luego: Z=2(4) + 2(0) =8

122

b) Z=10 +2 =0 =-5

Z es máx. en =4, =0:A(4,0) Luego: Z=10(4) + 2(0)=40

c) 3) 2 +4 =16 : =0 =4:(0,4) =0 =8:(8,0)

Z=2 +2 = 0 =-

Z es máx. en =0, =3:B(0,3) Luego: Z=2(0) + 2(3) =6

Para el siguiente problema de PL:

MAXIMIMAR Z= 3 + 4 + 10

SUJETO A + + 10

5 + 3 15

, , 0

BASE Z bi

II. Z 1 7 6 0 10 0 100 100+10

0

0

1

5

1

3

1

0

1

0

0

1

10

15

Suponiendo todos los cambios independientes entre sí:

a) Determine el aumento en las utilidades de , para que esta variable ingrese a la base.

b) Haga lo mismo para .c) Determine el cambio del coeficiente de utilidad de antes de que la solución

óptima cambie.d) Determine el aumento o reducción de la disponibilidad del primer recurso antes

de que la solución óptima que se tiene se vuelva no factible.e) Haga los mismo para el recurso 2.f) Suponga que se viera obligado a fabricar 4 unidades de . Calcule la nueva

solución.

SOLUCION.

a) 7 : 3 + 3 + 7 10

123

=10: Solución alternativa, sin utilidades adicionales.

>10: ingresa a la base con nueva solución óptima.

b) 6 : 4 + 4 + 6 10 = 0: Solución alternativa, sin utilidades adicionales.

>10: ingresa a la base con nueva solución.

c) Para = 10 + se tiene según la tabla óptima:Para : 7 + 0 -7Para : 6 + 0 -6Para : 10 + 0 -10

Concluyendo que: -6 10 + 10 - 6

4

Es decir que con la misma solución óptima; sin embargo, el valor de Z cambiará según la expresión 100 + 10 , -6. la solución óptima cambiará si

< 4.

d) Según la columna y la columna bi:

= 10 + 0 -10

10 + 10 -10

0e) Según la columna y la columna bi:

= 15 + 0 -15

15 + 15 -15

0

f) PRODUCTO Ó NIVEL DE PRODUCCION NIVELDE PRODUCCIONMATERIA PRIMA ORIGINAL O MATERIA NUEVO O MATERIA PRIMA NO USADA PRIMANO USADA

4

10 6

124

15 15

La utilidad para el nuevo plan de producción se reducirá en 6 (4)=24, es decir será 100-24=76.

Se comprueba por: Z= 3(0) + 4(4) + 10(6)=76.

RESULTADOS POR COMPUTADORA

Además del software SIMPLEX, tenemos otros software de optimización, como el LINDO y el SUPER LINDO.

E3. Con el aplicativo LINDO, resolver el problema de los 3 fertilizantes de la página 113.

SOLUCION.

PANTALLA DE DATOS.

Max 18.5 x1 + 20.0 x2 + 14.5 x3 St 0.05x1 + 0.05x2 + 0.05x3 <= 1100 0.05x1 + 0.10x2 + 0.05x3 <= 1800 0.10x1 + 0.05x2 + 0.05x3 <= 2000

End (CLIK en de color rojo y continuar con el cuadro de diálogo, hasta obtener los resultados, que se leerán en la PANTALLA DE RESULTADOS).

E4. Con el aplicativo LINDO, resolver todos los problemas de las unidades VIII y IX.

Nota: En los resultados por computadora, deben leerse e interpretarse, según el enunciado del problema: El valor de la función objetivo, los valores de las variables primales, los valores de las variables de holgura, los valores de las variables duales o precios sombra, las condiciones para que las variables primales que no están en la base, ingresen a la base, el análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo y el análisis de sensibilidad de los segundos miembros de las restricciones.

AUTOEVALUACIÓN

1. Explique la sensibilidad de la empresa a los cambios externos de la misma y su tratamiento computacional.

2. Explique cuando la empresa óptima, debe cambiar su modelo matemático.

3 Explique la variación de los coeficientes de la función objetivo y la variación de los segundos miembros de las restricciones.

125

PROBLEMAS ADICIONAMES

PARTE 4

1. Max. Z = 5X1 + 3X2 Por el método gráfico.St. 3X1 + 5X2 < = 15 5X1 + 2X2 < = 10 X1, X2 >= 0

2. Resolver el problema anterior por el método simplex.

3. La Watts Manufacturing Company fabrica y vende radios AM y AM/FM. La producción de un radio de AM requiere 4 horas, en tanto que la fabricación de un radio AM/FM requiere 6 horas. En la planta existe un total disponible de 96 horas-hombre semanales para la producción. Los administradores de la empresa han determinado que lo máximo que se puede vender a la semana son 30 radios AM y 20 AM/FM. La contribución a las utilidades por cada radio AM que se vende es $6, y cada radio AM/FM contribuye con $12 a las utilidades. ¿Qué cantidad de cada tipo de radio debe fabricar la compañía cada semana para maximizar sus utilidades?. Resolver por el método simplex.

4. Min. Z =2Y1 + 3Y2 Por el método gráfico.St. 2 Y1 + Y2 >=4

6Y1 +2Y2 >=8

Y1 + 5Y2 >=4

Y1, Y2>=0


6. MAXIMIZAR: Z= 8 + 12 + 10 Por el método

simplex.

S. a. 2 + 4 + 2 60 9 + 4 + 16 242 5 + 4 +6 125

Para , , 0 7. Max. Z = 2.5X1 + 3X2 Por el método gráfico.

St. 3X1 + 5X2 < = 15 5X1 + 2X2 < = 10 X1, X2 >= 0


126

9. Se dispone de información dietética de cuatro alimentos A, B, C y D referentes a calorías, vitaminas y precios en la siguiente tabla. Si el número de calorías y vitaminas requeridas son de 18 y 10 unidades respectivamente ¿ Cuánto de cada alimento debe adquirirse para satisfacer el mínimo nutricional a un costo mínimo?.

A B C D

Calorías 2 0 1 3

Vitaminas 0 3 1 4

Precios 5 10 12 15

Resuelva por el método simplex.

10. Min. Z = 15Y1 + 10Y2 Por el método gráfico.

St. 3Y1 + 5Y2 > = 2.5

5Y1 + 2Y2 > = 3

Y1, Y2 > = 0


12. Las máquinas A y B tienen 3 y 4 horas de capacidad disponibles respectivamente. La producción de 1 unidad del producto M representa 2 horas de la máquina A y 4 horas de la máquina B. La producción de 1 unidad del producto N requiere 3 horas de la máquina A y 1 hora de la máquina B. Si cada unidad de M produce una utilidad de 1 sol y cada unidad de N produce una utilidad de 2 soles. ¿ Cuántas unidades de M y N deberán producirse para obtener una máxima utilidad?. Resolver, por el método simplex.

13. Max. Z = 4X1 + 5X2 St. 3X1 + 6X2 < = 2100

6X1 + 5X2 < = 2100

X1, X2 > = 0

14. .Resolver el problema anterior por el método simplex.

15 La OBC se especializa en la fabricación de colchones, fabricando tres clases: matrimonial, king-size e individual. Los tres tipos de colchones se fabrican en dos plantas diferentes de la compañía. En

127

un día normal de 8 horas, la planta 1 fabrica 50 matrimoniales, 80 king-size y 100 individuales. La planta 2 fabrica 60 matrimoniales, 60 king-size y 200 individuales. El gerente de la OBC ha proyectado la demanda mensual para los tres tipos de colchones y calcula que será de 2500, 3000 y 7000 unidades respectivamente. Los contadores de la compañía indican que el costo diario de operación de la planta 1 es $ 2500 y de la planta 2 es $ 3500. Los administradores desean determinar el número óptimo de días de operación por mes en cada planta, con el objeto de minimizar el costo total de producción, al mismo tiempo que se satisface la demanda. Resuelva, mediante el dual, por el método simplex.

16 Min Z = 2100Y1 + 2100Y2 St. 3Y1 + 6Y2 > = 4

6Y1 + 5Y2 > = 5

Y1, Y2 > = 0


18. Max. Z = 50X1 + 84X2 + 60X3

Por el método simplex.

St. 3X1 + 4X2 + 2X3 < = 60 2X1 + X2 + 2X3 < = 36 X1 + 3X2 + 2X3 < = 62 X1, X2, X3 > = 0

19. La HSC fabrica estufas que usan madera como combustible para el mercado doméstico. En estos momentos, se fabrican tres tamaños de estufas: la Baby Burner (BB), la Mama Burner (MB) y la Papa Burner (PB). La HSC tiene plantas en Michigan y en Missouri. La planta de Michigan puede fabricar 120 BB, 100MB y 50 PB en un día de 8 horas, en tanto que la planta de Missouri puede fabricar 140 BB, 90 MB y 60 PB. La demanda mensual de BB es 3000 unidades, de MB es 2500 unidades y de PB es 1500 unidades. El costo diario en la planta de Michigan es de $4700, en tanto que en la planta de Missouri es de $3900. La HSC desea saber cuantos días debe trabajarse en cada planta para minimizar los costos y satisfacer la demanda.

20. Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta. La compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga: carga frágil y carga

128

normal. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo, para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada, mientras que la carga normal puede llevarse en una cabina principal no presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar más de 10 toneladas de carga. El avión tiene una restricción de peso que le impide llevar más de 28 toneladas de carga. Para mantener el equilibrio de peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual dos tercios del peso de la cabina principal, más una tonelada. La compañía recibe $1000 por tonelada de cualquiera de los dos tipos de carga que transporta. Resuelva el problema utilizando el método simplex.

FUENTES DE INFORMACIÓN

BIBLIOGRÁFICAS:

1. Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T. (2008). Estadística paraadministración y economía (10a. ed.). México: Thomson Learning : CENGAGE Learning.

2. Kazmier, Leonard J. (2006). Estadística aplicada a la administración y a la economía (4a. ed.). México: McGraw–Hill.

3. Mason, R., Douglas A., L. y Marchal, W. (2003). Estadística para administración y economía (10a. ed.). México: Alfaomega.

4. Taha, H. (1992). Investigación de operaciones (2a. ed.). México: Alfaomega.

5. Taha, Hamdy A. (2004). Investigación de Operaciones (7a. ed.). México: Prentice Hall.

6. Webster, A. (1996). Estadística aplicada a la empresa y a la economía (2a. ed.). Madrid: IRWIN.

7. Weimer, R. (1996). Estadística. México: Continental.

129

SOFTWARE ESPECIALIZADOS:

· MINITAB 15, SPSS 16· LINDO Y SUPER LINDO.NOTA: Están en el Laboratorio de Cómputo USMP.

LIBROS CUYA COMPRA SE SOLICITÓ A LA USMP:

1. HANKE, J. y Reitsch, A. G. (2003). Estadística para negocios. Madrid: Mc. Graw–Hill, IRWIN.

2. Levin, R. y Rubin, D. (2004). Estadística para administración y economía. (7a. ed.). México: Pearson Educación.

130

manual-metodos.doc

Documents

ejercicio profesional

oficina de administracin

contador pblico

oficina de grados

blanco falcn director

cueva zambrano director

senz yaya director

estudiantes dicho aprendizaje