manual laser tracking

Proceedings of the 5th Manufacturing Engineering Society International Conference – Zaragoza – June 2013

Identification and Kinematic Calculation of Laser Tracker Errors

J. Conte, J. Santolaria, A.C. Majarena, A. Brau, J.J. Aguilar

Escuela de Ingeniería y Arquitectura Universidad de Zaragoza Departamento de Ingeniería de Diseño y Fabricación E‐mail: [email protected]

RESUMEN

La calibración de Láser Trackers se basa mayoritariamente en la determinación de sus errores geométricos. Algunas normas, como la ASME B89‐4.19 [1] y la VDI 2617‐10 [2] describen diferentes ensayos para calcular las desviaciones geométricas que causan errores sistemáticos en las mediciones de los Láser Trackers.

Estos errores no se deben únicamente a desviaciones geométricas y se deben tener en cuenta otras fuentes de error. En este trabajo pretendemos expresar los errores de forma cinemática, separándolos en dos componentes diferentes, geométricos y cinemáticos. Los primeros dependen de los desplazamientos, giros y excentricidades de los componentes mecánicos y ópticos del sistema. Los errores cinemáticos son diferentes en cada posición del Láser tracker, por lo que deben formularse en función de tres variables del sistema: distancia (R), inclinación vertical (V) y ángulo horizontal (H).

El objetivo del presente estudio es establecer un procedimiento de evaluación que determine los errores geométricos y cinemáticos de los Láser Trackers.

Palabras clave: Láser Tracker; calibración; errores cinemáticos; generador sintético.

ABSTRACT

Calibration of Laser Tracker systems is based most times in the determination of its geometrical errors. Some stardards as the ASME B89.4.19 [1] and the VDI 2617‐10 [2] describe different tests to calculate the geometric misalignments that cause systematic errors in Laser Tracker measurements.

These errors are caused not only because of geometrical misalignments and other sources of error must also be taken in count. In this work we want to express the errors in a kinematic form. Errors will be split in two different components, geometric and kinematic errors. The first ones depend on the offsets, tilts and eccentricity of the mechanical and optical components of the system. Kinematic errors are different for every position of the Laser tracker, so they must be formulated as functions of three system variables: range (R), vertical angle (V) and horizontal angle (H).

The goal of this work is to set up an evaluation procedure to determine geometric and kinematic errors of laser Trackers.

Keywords: Laser tracker; calibration; kinematic errors; synthetic generator.

1. Introducción

La importancia de la precisión en los sistemas de Láser Tracker (LT) estriba en su función como elemento de medida patrón para una amplia gama de equipos e instalaciones. En el presente trabajo se trata de establecer un procedimiento de verificación y calibración simplificado que permita establecer y corregir el error cometido por el equipo en un rango de medida habitual. El procedimiento ha de estar basado tanto en mediciones de patrones con distancias conocidas y calibradas como en medición de bosques de reflectores en posiciones desconocidas buscando reducir el tiempo y coste de verificación y calibración de los equipos. Además se realizará el modelado matemático de los LT con objeto de obtener por un lado parámetros cinemáticos de error considerando su modelo y por otro establecer técnicas de evaluación de incertidumbre basadas en el método e Monte Carlo que consideren la influencia de las


fuentes de error. Esta simulación permitirá establecer a priori las condiciones idóneas para la captura de puntos, es decir las que den lugar a una menor incertidumbre de medida en los puntos capturados. Dada la gran cantidad de fuentes de error presentes en este tipo de equipos, una aproximación de estas características permitirá, antes de realizar la captura, planificar de una manera óptima la posición de los LT en el procedimiento de captura y la secuencia y coordenadas de puntos objetivo a comprobar.

2. Principio de medición de un Láser tracker

El LT es un instrumento de medida que sigue el movimiento de un reflector y calcula su posición en coordenadas esféricas. La distancia al reflector (d) puede ser medida por un interferómetro (IF) o bien por un medidor de distancia absoluta (ADM), mientras que los ángulos de inclinación (�) y azimutal (θ) son medidos por dos encóders angulares. El reflector devuelve el haz del láser al equipo, donde este haz incide en un sensor de posición (PSD) que detecta cualquier cambio de posición provocando el movimiento de los ejes del LT para que el haz del láser incida en el centro óptico del reflector. De esta forma el cabezal del LT hace un seguimiento constante de la posición del reflector. Existen también reflectores montados sobre dispositivos giratorios con dos grados de libertad que tienen la particularidad de disponer también de sistemas de seguimiento del haz del LT, con lo que permiten el movimiento simultáneo del emisor y el reflector de forma que ambos buscan su correcta alineación. Esto permite ampliar las posibilidades de medición en equipos con movimiento (máquina herramienta, robots) sin necesidad de utilizar varios reflectores ni interrumpir el proceso de medición para desplazar o reorientar los reflectores.

Figura 1.Principio de medición del Láser Tracker

Teniendo las coordenadas esféricas, se pueden obtener las coordenadas cartesianas del reflector con respecto al sistema de referencia origen del LT:

cos sin

sin sin

cos

Estos valores son los nominales correspondientes a un LT ideal, la calibración del equipo nos dará los parámetros de corrección necesarios para corregir estos valores según los errores modelados.

3. Modelos de Láser Tracker

Existen en el mercado diversas marcas comercializadoras de equipos LT cada una de ellas con sus características particulares. Esto hace que el modelado cinemático de cada uno de ellos sea diferente, no pudiéndose establecer un modelo único para todos los equipos.

Es posible enmarcar todos los modelos de LT existentes dentro de dos familias, en función del origen del haz del láser; con origen en el cabezal giratorio del equipo o en la columna soporte del mismo con un espejo reflector en el cabezal giratorio. El modelo cinemático es diferente en ambos casos dado que el


sistema de referencia origen difiere entre ellos así como también las influencias de la geometría en los errores de medición.

3.1 Láser Tracker con fuente del haz en el cabezal giratorio

Este modelo es propio de API y FARO y la determinación de sus errores geométricos ha sido sistematizado por [3] y [4]. Según el modelo propuesto, las correcciones de calibración se basan en 15 parámetros, representando cada uno de los cuales la influencia de un error geométrico concreto en el error global del equipo:

‐ Beam Offset (x1): desplazamiento del punto de emisión del haz del láser con respecto del sistema de referencia origen. Se divide en dos componentes x1m y x1t como proyección de x1 sobre el eje de inclinación (T) del TL y sobre el eje normal al eje de inclinación y al haz del láser (M).

‐ Transit Offset (x2): desplazamiento del eje de inclinación (T) con respecto al azimutal (Z). ‐ Vertical Index Offset (x3): desplazamiento del cero en el encóder vertical. ‐ Beam Tilt (x4): inclinación del haz del láser respecto de su trayectoria nominal perpendicular al

eje de inclinación (T). Se descompone en sus proyecciones sobre el eje de inclinación (x4t) y sobre el perpendicular al haz del rayo (x4m). Este último no se considera al tener el mismo sentido que x3.

‐ Transit Tilt (x5): error de perpendicularidad entre el eje de inclinación (T) y el azimutal (Z). ‐ Encoder Eccentricity (x6 y x7): errores de excentricidad de los encóders horizontal y vertical. Se

dividen en sus componentes X,Y para el azimutal (x6x, x6y) y en componentes Z y N (proyección del haz sobre el plano XY) para el de inclinación (x7n, x7z).

‐ Bird Bath Error (x8): error de calibración en la distancia a la cuna del reflector. ‐ Scale Errors in the Encoder (x9 y x10): Errores de escala en los encóders horizontal y vertical.

Con estos parámetros de error se establecen las fórmulas que corrigen las medidas del LT (Rm, Hm, Vm) para obtener las medidas reales ( Rc, Hc, Vc):

· sin

· sin sin tan· cos · sin · sin 2 · · cos 2 ·

· cos· cos · sin · sin 2 · · cos 2 ·

3.2 Láser Tracker con fuente del haz en la columna

Modelo de LT comercializado por LEICA y cuyo modelo de errores geométricos se puede encontrar en [5]. Los errores geométricos son similares a los propios del tipo anterior pero con la particularidad de que el haz del láser que emerge por la columna del LT en dirección vertical, es dirigido hacia el reflector por medio de un espejo cuyo centro de giro nominal coincide con la intersección teórica de los ejes azimutal y de inclinación. Los errores descritos son los siguientes:

‐ Transit Axis Offset (e): desplazamiento del eje de inclinación respecto del azimutal. ‐ Mirror Offset (f): desplazamiento del plano del espejo respecto de su centro de rotación

nominal. ‐ Beam Offset (O1): desplazamiento del haz del láser respecto del eje vertical en sus

componentes X,Y (O1x, O1y). ‐ Cover Plate Offset (O2): desplazamiento del haz del láser respecto del eje vertical debido a

refracción en el cristal de salida en sus componentes X,Y (O2x, O2y). ‐ Mirror Tilt (c): inclinación del espejo respecto del eje de inclinación (T). ‐ Transit Axis tilt (i): error de perpendicularidad entre el eje de inclinación (T) y el vertical (Z). ‐ Beam Axis tilt (I): inclinación del haz del láser respecto del eje vertical (Z) en sus componentes

X, Y (Ix, Iy). ‐ Horizontal Encoder Eccentricity (E): excentricidad del encóder horizontal en sus componentes

X, Y (Ex, Ey).


‐ Vertical Encoder Eccentricity (K): excentricidad del encóder vertical en sus componentes Z, N (Kz, KN).

‐ Vertical Index Offset (j): error angular de la posición inicial (inclinación 90º) del encóder vertical.

Con estos parámetros de error se establecen las fórmulas que corrigen las medidas del LT (Rm, Hm, Vm) para obtener las medidas reales ( Rc, Hc, Vc):

2 · sin2

· · cos2

1sin

· · cos · sin1 · cos 1 · sin 2 · sin 2

cos 2· sin · cos

· sin · cos1 · sin 1 · cos 2

cos2

·2

· · cos2

· sin2

Los términos Hoff y Voff son errores de corrección de los PSD’s

4. Modelo cinemático

Los parámetros de corrección de ambos modelos de LT son siempre distancias, ángulos y proporcionalidades, los cuales se pueden representar en forma matricial como cambios de sistemas de referencia relacionados por la distancia, ángulo o proporcionalidad correspondiente. De esta forma podemos considerar el haz del láser como una cadena cinemática abierta cuyas articulaciones corresponden a los puntos en los que se producen los errores. De esta forma tenemos un modelado cinemático nominal del LT según el método Denavit‐Hartenberg [6] modificado por Hayatti‐Mirmirani [7], en el cual introducimos una serie de matrices de error que corrigen el modelo nominal en función de los parámetros de error. Para ello es preciso formular correctamente la cadena cinemática de forma que siga la trayectoria del rayo en orden.

5. Modelado de errores Láser Tracker con fuente del haz en el cabezal (Modelo 1)

El primer modelo de LT es el más sencillo, dado que el origen del haz coincide con la intersección teórica de los ejes de giro del cabezal, lo que supone que no hay desplazamiento entre los orígenes de los sistemas de referencia de cada articulación siendo más fácil la definición del modelo cinemático nominal.

Figura 2. Modelo Cinemático Láser Tracker modelo 1

De acuerdo con el criterio de sistemas de referencia establecido en la figura 2, el modelo cinemático quedaría como se muestra en la tabla 1.


Tabla 1. Parámetros cinemáticos modelo 1

θi αi Ai di

1 ‐90 ‐90 0 0

2 ‐90 90 0 0

3 ‐90 0 0 d

La matriz de transformación entre dos sistemas de referencia consecutivos j‐1 y j se obtiene en función de los parámetros cinemáticos como producto las matrices de traslación y giro que dependen de ellos:

, , , ,

1 00 1

0 00 0

0 00 0

10 1

cos sensen cos

0 00 0

0 00 0

1 00 1

1 00 1

00 0

0 00 0

1 00 1

1 00 cos

0 0sen 0

0 sen0 0

cos 00 1

cos cos sensen cos cos

sen sen cossen cos sen

0 sen0 0

cos0 1

Por lo tanto, la matriz de transformación entre el sistema de referencia 3 (reflector) y el origen del LT vendrá definida por:

0T3 = 0A1

1A2 2A3

En este caso, el valor de cada una de estas matrices será:

cos 90 0sen 90 0

sen 90 0cos 90 0

0 10 0

00 1

cos 90 0sen 90 0

sen 90 0cos 90 0

0 10 0

0 00 1

0 11 0

0 00 0

0 00 0

10 1

Con lo que podemos obtener la posición nominal del reflector con respecto al LT en función de R(d), H (θ) y V (�).

5.1 Beam Offset (x1)

El primer error considerado es el Beam Offset. En la figura 3 se puede ver que este error es equivalente a un cambio de posición en el sistema de referencia 0, en forma de desplazamiento del punto nominal “O” al punto “A”.

Figura 3. Beam Offset

La matriz de transformación corresponde a un desplazamiento cuyas componentes están expresadas en función de sus componentes en los ejes M y T, por lo que se hace necesario encontrar su equivalencia


en el sistema de referencia general XYZ en función de los valores de los ángulos de inclinación y azimutal quedando la misma en la forma siguiente:

1 00 1

0 · cos · sin · cos0 · sin · cos · cos

0 00 0

1 · sin 0 1

5.2 Transit Offset (x2)

El Transit Offset es también un desplazamiento del sistema de referencia inicial de acuerdo con el modelo reflejado en la figura 4.

Figura 4. Transit Offset

De la misma forma que con el error anterior obtenemos una matriz de transformación entre O y A:

1 00 1

0 · sin0 · cos

0 00 0

1 0 0 1

6. Generador de mallas de puntos con errores sintéticos

Siguiendo el mismo proceso de obtención de natrices de cambio de sistema de referencia para cada uno de los errores, se obtiene la matriz general de transformación de coordenadas del reflector al origen del LT con todos sus errores geométricos. Esta matriz será el producto de las matrices obtenidas en el modelo nominal, con las de error intercaladas en el orden de la trayectoria del haz del láser. De esta forma estamos reproduciendo su trayectoria real incluyendo los errores geométricos asociados al modelo.

Dando valores a los errores y definiendo una serie de valores para los parámetros θ, � y d, podemos generar mallas de errores sintéticos con errores conocidos, y compararlos con los nominales. Esto será de gran ayuda para cuando queramos establecer una metodología de obtención de los errores y obtener sus valores partiendo de posiciones medidas en ensayos reales.

7. Influencia de los errores de los reflectores

Los errores de medición de los sistemas LT no son debidos únicamente al LT, el resto de los elementos del sistema también tienen influencia en el error cometido. En nuestro caso vamos a estudiar la influencia de los reflectores en la incertidumbre de la medición. Diferenciaremos dos tipos de reflectores; los SMR convencionales, en los que la el error depende del ángulo de incidencia del haz sobre el reflector de forma similar a los experimentos de [8] sobre los cat‐eye’s y los reflectores con seguimiento automático (Active Target).

7.1 Ensayos SMR

A la hora de plantear un ensayo que nos permita determinar la influencia del ángulo de incidencia de un LT sobre un SMR es preciso contar con dos elementos: un sistema de centrado giratorio preciso y un


elemento de medición de precisión. Para el posicionamiento del SMR, se ha utilizado una mesa de medición de redondez en la que una vez centrado el reflector con su base magnética, podemos girarlo de forma totalmente concéntrica. La medición se realiza con un interferómetro que detectará las variaciones de posición del reflector al girarlo. En la figura 5 se puede ver la disposición del montaje.

Figura 5. Ensayo SMR en mesa redondez

Podemos girar la mesa en un rango de ±30° tanto en horizontal como en vertical sin perder la visual entre el interferómetro y el SMR. Tomamos como medida inicial la correspondiente a la posición 0° de inclinación y 0° de azimut y a partir de este punto se gira el reflector tomando valores relativos en incrementos de 7,5° en cada eje. Los resultados se pueden ver en la tabla 2.

Tabla 2. Errores de medición en función del ángulo de incidencia en un SMR

7.1 Ensayos Active Target

El reflector con rastreo del haz tiene como característica fundamental que es capaz de alinearse con el emisor del láser, con lo que el ángulo de incidencia del haz es siempre el óptimo. Para conseguir esta alineación, el Active Target está montado en un mecanismo giratorio con dos grados de libertad similar al cabezal del LT. Aquí se encuentra su fuente de errores, en la rotación de los ejes. Para ver la influencia de estos factores se han planteado ensayos que midan las variaciones de posición del reflector al girar. El giro respecto del eje vertical es sencillo, basta con centrar el reflector en la mesa de redondez y alinearlo con un interferómetro. Al girar se puede apreciar la variación de medida del interferómetro. El giro del eje horizontal plantea mayores problemas y se ha propuesto su montaje sobre un soporte a 45° de forma que se produzca el giro simultáneo de los 2 ejes como se puede ver en la figura 6. Conociendo previamente el error del eje vertical se determina el correspondiente al eje horizontal.

Figura 6. Ensayo Active Target en mesa redondez

�

�

‐30 ‐22,5 ‐15 ‐7,5 0 7,5 15 22,5 30

‐30 13,4 13 12,4 11,5 10 8,3 6,5 4,3 2,6

‐22,5 8,1 7,9 7,6 6,9 6,2 4,3 3,2 1,6 0

‐15 5 4,8 4,5 3,8 3 2,1 0,8 ‐0,5 ‐1,6

‐7,5 2,4 2,2 2 1,5 0,9 ‐0,2 ‐1,1 ‐1,8 ‐2,8

0 1,2 1 0,8 0,4 0 ‐0,7 ‐1,5 ‐2,4 ‐3,4

7,5 0 ‐0,2 ‐0,4 ‐0,8 ‐1,3 ‐2 ‐2,6 ‐3,3 ‐4,1

15 0,8 0,6 0,4 0 ‐0,5 ‐1,1 ‐1,8 ‐2,6 ‐3,2

22,5 ‐0,5 ‐0,8 ‐1,3 ‐2 ‐2,7

30 ‐1,2 ‐1 ‐1,6 ‐2,4 ‐3,1


8. Conclusiones

Se ha planteado el comienzo de un proceso que ha de culminar con la formulación de un procedimiento sencillo para el calibrado de equipo de láser tracker. Dentro de las labores realizadas hasta ahora cabe destacar la realización de ensayos con SMR y el planteamiento de los mismos con Active Target. También se han definido los modelos de LT a estudiar y sus errores geométricos, estando en fase avanzada la realización de un generador automático de datos sintéticos con errores simulados.

Los trabajos que quedan por realizar son muy diversos, por un lado analizar los resultados de los ensayos con SMR y terminar los de Active Target. También es necesario terminar el generador sintético para posteriormente generar datos y calcular los errores. Una vez establecido el método de cálculo de los errores del LT será necesario validarlo por medio de valores reales, lo que supondrá la realización d ensayos experimentales de medición de mallas de puntos en el espacio. Es de esperar que los errores geométricos no sean constantes y tengan algún tipo de dependencia de la posición, por lo que habrá que relacionarlos con los valores de �, � y d. De esta forma tendremos una corrección global del error del LT en función de la posición del reflector, lo cual debería dar una mejor corrección que el simple cálculo de los errores geométricos.

9. Agradecimientos

El presente estudio se engloba dentro de las tareas asignadas en el proyecto INNPACTO denominado DICON (Desarrollo de nuevos sistemas avanzados de Control Dimensional en procesos de fabricación de sectores de alto impacto). Es por ello que queremos agradecer a los organismos públicos y privados involucrados en el proyecto todo su apoyo y colaboración en la conclusión del mismo.

10. Referencias

[1] ASME B89.4.19‐2006 Standard Performance Evaluation of Laser‐Based Spherical Coordinate Measurement Systems. www.asme.org.

[2] VDI/VDE 2011 Accuracy of Coordinate Measuring Machines: Characteristics and their Checking: Acceptance and Reverification Tests of Laser Trackers (Düsseldorf: Verein Deutscher Ingenieure) VDI/VDE 2617 part 10.

[3] B. Muralikrishnan, D. Sawyer, C. Blackburn, S. Philips, B. Borchardt, W. T. Estler 2009 AMSE B89.4.19 performance evaluation tests and geometric misalignments in laser trackers J. Res. Natl Inst. Stand. Technol. pp. 114 21–35

[4] B. Hughes, A. Forbes, A. Lewis, W. Sun, D. Veal, K. Nasr, Laser tracker error determination using a network measurement, Measurement Science and Technology, vol. 22, no. 4 (2011) pp. 045103.

[5] R. Loser, S. Kyle, Alignment and field check procedures for the Leica Laser Tracker LTD 500, Boeing Large Scale Optical Metrology Seminar (1999).

[6] J. Denavit, R.S. Hartenberg, A kinematic notation for lower‐pair mechanisms based on matrices, J. Appl. Mech. Trans. ASME 77 (1955) pp. 215‐21.

[7] S. A. Hayati, M. Mirmirani Improving the absolute positioning accuracy of robot manipulators. s.l. : Journal of Robotics Systems, Vol. 2 (1985) pp. 397‐413.

[8] T. Takatsuji, M. Goto, S. Osawa, R. Yin, T. Kurosawa, Whole‐viewing‐angle cat’s‐eye retroreflector as a target of laser trackers. Meas. Sci. Technol. 10 (1999) pp. 87‐90.

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