UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARACENTRO DE CIENCIAS SOCIAIS E EDUCACAO

Manual do Tutor de Estatıstica

Prof. Fabrıcio Martins da Costa

fabricio estatistico@hotmail.com

2009

Unidade 11. Classifique as variaveis abaixo em quantitativas ou qualitativas:

(a) Numero de livros em uma estante de biblioteca. quantitativa

(b) Frequencia cardıaca quantitativa

(c) Diametro de arteria. quantitativa

(d) Raca qualitativa

(e) QI (Quociente de inteligencia). quantitativa

(f) Diametro de esferas. quantitativa

(g) Numero de casas de uma cidade sem rede de esgoto. quantitativa

(h) Classificacao de um paciente quanto ao estagio de uma determinada doenca. qualitativa

(i) Nota em uma prova de Estatıstica quantitativa

(j) Classificacao em um concurso quantitativa

2. Classifiquem em variaveis qualitativas ou quantitativas, as variaveis que estao no texto abaixo.

• idade(quantitativa)

• rendafamiliar(quantitativa)

• raca(qualitativa)

• grau de escolaridade(qualitativa)

• uso da camisinha (qualitativa)

• participacao em movimentos sociais(qualitativa)

• violencia sofrida (qualitativa)

• discriminacao sofrida (qualitativa)

3. Classifique cada uma das variaveis abaixo em qualitativa (nominal / ordinal) ou quantitativa (disc-reta / contınua):

(a) Turma a que o aluno foi alocado (A ou B); qualitativa nominal

(b) Intencao de voto para presidente (possıveis respostas sao os nomes dos candidatos, alem denao sei). qualitativa nominal

(c) Perda de peso de maratonistas na Corrida de Sao Silvestre, em quilos. quantitativa contınua

(d) Tolerancia ao cigarro (indiferente, incomoda pouco, incomoda muito) qualitativa ordinal

(e) Grau de satisfacao da populacao brasileira com relacao ao trabalho de seu presidente (valoresde 0 a 5, com 0 indicando totalmente insatisfeito e 5 totalmente satisfeito). qualitativa ordinal

(f) Intensidade da perda de peso de maratonistas na Corrida de Sao Silvestre (leve, moderada,forte). qualitativa ordinal

(g) Ocorrencia de hipertensao pre-natal em gravidas com mais de 35 anos (sim ou nao sao possıveisrespostas para esta variavel). qualitativa nominal

4. Qual a principal etapa da fase do metodo estatıstico?Definicao do Problema

5. Elabore uma situacao pratica e aplique as fases do metodo estatıstico.

6. Cite uma situacao do seu dia a dia, em que se observa o uso da estatıstica.

1

Unidade 21. Crie uma serie estatıstica.

2. Pesquise em livros ou na internet uma serie estatıstica.

3. Quais que elementos que compoe uma tabela estatıstica?Titulo, Cabecalho, Coluna indicadora, Coluna numerica, Corpo, Rodape.

4. Qual a serie estatıstica que e a juncao de outras duas?Serie mista.

5. Uma tabela estatıstica pode ser fechada, ou seja, ser delimitada nos extremos?Justifique.Nao pode ser fechada, pois, se assim for teremos um quadro e nao uma tabela.

6. Quais as perguntas que uma tabela estatıstica precisa responder?O que? Onde? e Quando?

7. Qual a vantagem de um grafico estatıstico com relacao a uma serie estatıstica?E que um grafico explica melhor que uma tabela, ou seja, e mais facil compreende-lo.

8. Quais os requisitos fundamentais de uma representacao grafica?Clareza, simplicidade e veracidade.

9. Quais os tipos de graficos?Diagramas, pictogramas e cartogramas.

10. Faca uma representacao grafica da serie que voce criou na questao 1.

11. Fazer uma tabela estatıstica para representar o movimento religioso de certo municıpio no perıodo1975-1977, que apresentou os seguintes dados: em 1975, houve 56.738 habitantes batizados, 15.884casamentos e 13.678 extremas-uncoes. Em 1976, houve 63483 batizados; os casamentos foram emnumero de 17.032 e as extremas-uncoes 14.328. Em 1977, realizou-se um total de 71.232 batizados;as extremas- uncoes foram 16.107 e os casamentos 16.774. Classifique esta serie estatıstica e facasua representacao grafica.

Batizados Casamentos Extremas-uncoes1975 56738 1588 136781976 63483 17032 143281977 71232 16774 16107

A serie dada acima e mista.

12. Quais os tipos de distribuicao de frequencias?Com classe e sem classe

13. Quais os passos para a construcao de uma Tabela de frequencias?

14. O que e o rol?E a Organizacao os dados de forma crescente ou decrescente.

2

15. Em certo dia foi realizado um levantamento a respeito das idades dos alunos de um curso noturno,obtendo-se a tabela abaixo:Idade (em anos) Numero de alunos

16 ` 20 820 ` 24 1624 ` 28 1228 ` 32 4∑

40

(a) A frequencia acumulada.

(b) Os pontos medios.

(c) A frequencia relativa.

(d) A percentagem de alunos com menos de 24 anos.60%As respotas dos itens:a, b e c estao na Tabela abaixo:Idade (em anos) Numero de alunos Fac Xi Freq relativa

16 ` 20 8 8 18 0,220 ` 24 16 24 22 0,424 ` 28 12 36 26 0,328 ` 32 4 40 30 0,1∑

40 1,00

16. Construa um diagrama de setores, percentual, correspondente aos empregados da Martins Ltda quepossui a seguinte distribuicao por area de trabalho: Diretoria (3 pessoas), Assessoria (6 pessoas),Transporte (18 pessoas), Administracao (5 pessoas), Area tecnica (15 pessoas) e Area operacional(33 pessoas).

17. Completar os dados que faltam:

3

Valores Fi fac Fr1 4 0,082 43 16 0,164 7 0,145 5 286 387 7 45 0,148

Solucao:A ideia e usar a formula da frequencia relativa, pois, na primeira classe e informado o valor dafrequencia simples (4) e da frequencia relativa (0,08, Logo e facil obter o valor do total. Temos que:

Fr =f i

∑ni=1

= 0, 08 =4n

= 50

Valores Fi fac Fr1 4 4 0,082 4 8 0,083 8 16 0,164 7 23 0,145 5 28 0,106 10 38 0,207 7 45 0,148 5 50 0,10

18. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuicao de um atributo financeiro (X) foramexaminados 200 itens de natureza contabil do balanco de uma empresa. Esse exercıcio produziu atabela de frequencias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e acoluna P representa a frequencia relativa acumulada. Nao existem observacoes coincidentes com osextremos das classes.

Classes Porcentagem Acumulada70`90 590`110 15110`130 40130`150 70150`170 85170`190 95190`210 100

Qual a estimativa da frequencia relativa de observacoes de X menores ou iguais a 145?Inicialmente, precisamos montar a coluna das frequencias simples.Como a Tabela nos fornece aFrequencia relativa acumulada, primeiro obteremos as frequencias acumuladas simples e depois en-contraremos as frequencias simples.

Classes P(%) Fi fi70–90 5 5 1090–110 15 10 20110–130 40 25 50130–150 70 30 60150–170 85 15 30170–190 95 10 20190–210 100 5 10

4

Observando a quarta classe verificamos que existem 60 observacoes, no intervalo de 130–150, comonosso objetivo e o percentual de observacoes de X menores ou iguais a 145, entao usaremos a Regrade tres.Chamaremos h de amplitude, ou seja, a diferenca entre o limite superior e o limite inferior.

130−−150, h = 20−−60(fi)

130−−145, h = 15−−n

n =15 ∗ 60

20= 45

Agora e so somarmos as frequencias anteriores com a frequencia 45, entao temos:10+20+50+45=125Para obtermos o percentual e preciso dividir a soma das frequencias, 125 pelo total 200, logo temos:

FreqRel =125200

∗ 100% = 62, 5%

19. Faca uma representacao grafica da serie dada abaixo:

Vendas de Seguros da companhia Vera Cruz 1970 - 1977 Brasil

Ano Vendas1970 2.1811971 3.9481972 5.4621973 7.5501974 10.0091975 11.7281976 18.8731977 29.076

20. Qual a diferenca entre o grafico de barras e o Histograma?No Histograma as colunas sao justapostas, enquanto que no grafico de barras as colunas sao sepa-radas.

21. Qual a diferenca entre o grafico de linhas e o polıgono de frequencias?No polıgono de frequencias o eixo das abscissas e cortado pela linha, ja o grafico de linhas nao.

22. Classifique a serie dada abaixo:

Duracao media de estudos Superiores na Europa em 1998.Paıses N de anosItalia 7,5

Alemanha 6,5Franca 5,5

Holanda 4,0Fonte: Revista Veja

5

Serie especificativa

23. Para os dados abaixo construa duas distribuicoes de frequencias: uma com classe e a outra semclasse: 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51.

Com Classe:

Classes Frequencias41`45 745`49 349`53 453`57 157`61 5Soma 20

Sem Classe:

Dados Frequencia41 342 243 144 145 146 250 151 152 154 157 158 160 1

Total 20

24. Crie uma serie de dados e faca a duas distribuicoes de frequencias: uma adotando a formula deSturges e a outra nao. Compare as diferencas.

25. O numero de gols marcados no ultimo campeonato da Federacao Paulista de Futebol pelos 20 clubesparticipantes nos seus 38 jogos e uma variavel com os seguintes valores:Clubes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Gols 32 42 73 35 79 57 37 52 35 25 55 70 42 41 68 36 74 29 47 53

(a) Classifique a variavel em estudo. Construa uma distribuicao (tabela) de frequencia para essavariavel agrupando as observacoes em intervalos de comprimento 10 a partir de 20.Classes Frequencias20`30 230`40 540`50 450`60 460`70 170`80 4Soma 20

(b) Obtenha o histograma correspondente.(c) Que porcentagem dos clubes marcou mais de 38 gols?

70%

26. O posto de saude de certo bairro mantem um arquivo com o numero de criancas nas famılias queutilizam o posto. Os dados sao os seguintes: 3, 4, 3, 4, 1, 5, 6, 3, 4, 5, 3, 4, 3, 3, 4, 3 , 5, 5, 5, 5, 6,11, 10, 2, 1, 2, 3, 1, 5 e 2.

(a) Organize uma tabela de frequencia;Classes Frequencias

1`3 53`5 145`7 97`9 09`11 2Soma 30

6

(b) Construa um histograma.

27. Uma industria de laticınios esta planejamento redirecionar seus produtos. Para tanto, decidiuinvestigar a quantidade de leite (em litros) consumida diariamente por diferentes famılias. Osdados (ordenados) estao a seguir: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4,4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8 e 15.

(a) Obtenha a distribuicao de frequencias:Inicialmente organizamos os dados em Rol,1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3,3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4,4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8 e 15.Classes Frequencias

1`3 143`5 255`7 77`9 39`11 011`13 013`15 1Soma 50

(b) Obtenha a frequencia relativa percentual.Classes Frequencias Frequencia Relativa (%)

1`3 14 283`5 25 505`7 7 147`9 3 69`11 0 011`13 0 013`15 1 2Soma 50 100

Unidade 31. Foi organizado um churrasco para comemorar a conclusao do Curso de Engenharia Mecanica. Foram

compradas as seguintes carnes aos respectivos precos: 10 Kg de file mignon R$ 12,00 o Kg 20 Kgde linguica R$ 7,00 o Kg 10 Kg de picanha R$ 16,00 o Kg Qual o valor medio do Kg de carneadquirida?

X =10 ∗ 12 + 20 ∗ 7 + 10 ∗ 16

40=

42040

= 10, 5

2. Uma escola possui 18 professores. Um deles aposenta-se e e substituıdo por um professor de 22anos. Com isso, a media das idades dos professores diminui 2 anos. Qual a idade do professor quese aposentou?

X1 =X1 + X2 + . . . + X18

18=

X1 + X2 + . . . + X17

18+

X18

18

X2 =X1 + X2 + . . . + X17

18+

2218

= X1 − 2

Logo,

7

X2 = K +2218

= K +X18

18− 2

2218

=X18

18− 2 = 22 = X18 − 36 =

X18 = 58 anos

3. Os dados a seguir foram obtidos em indivıduos contaminados pelo veneno de um certo tipo deinseto e submetidos a tratamento. A variavel de interesse Recup e definida como o tempo (emhoras) entre a administracao do tratamento e a recuperacao do indivıduo. Os valores de Recupsao os seguintes: 3, 90, 23, 46, 2, 42, 47, 37, 12, 51, 11, 1, 3, 3, 45, 3, 4, 11, 2, 8, 56, 39, 22, 16, 5 e 52.

(a) Construa a Tabela de frequencias para a variavel Recup.

AT = LS − LI = 90− 1 = 89

K =√

26 = 5 ou 6

h =896

= 14, 8333 ∼= 15

Classes fi xi Percentual (%)1`16 13 8,5 50,0016`31 3 23,5 11,5431`46 4 38,5 15,3846`61 5 53,5 19,2361`76 0 68,5 0,0076`91 1 83,5 3,85Total 26 100

(b) Obtenha a media.

X =13 ∗ 8, 5 + 3 ∗ 23, 5 + 4 ∗ 38, 5 + 5 ∗ 53, 5 + 0 ∗ 68, 5 + 1 ∗ 83, 5

26=

68626

= 26, 38

(c) O primeiro quartilPrecisamos calcular a posicao,P1 = 1∗P fi

4Neste caso, temos:

P1 =i ∗∑

fi

4=

1 ∗ 264

= 6, 5

E necessario obter a frequencia acumulada:

8

Classes fi xi Fac1`16 13 8,5 13

16`31 3 23,5 1631`46 4 38,5 2046`61 5 53,5 2561`76 0 68,5 2576`91 1 83,5 26Total 26 100

Observamos que, o primeiro quartil esta contido na primeira classe, logo:

Q1 = li +[(P1 − FAA)

fi

]∗ h = 1 +

[6, 5− 0

13

]∗ 15 = 1 + 7, 5 = 8, 5

(d) O terceiro quartilPrecisamos calcular a posicao,P3 = 3∗P fi

4Neste caso, temos:

P1 =i ∗∑

f1

4=

3 ∗ 264

= 19, 5

Observamos que, o terceiro quartil esta contido na terceira classe, logo:

Q3 = li +[(P1 − FAA)

fi

]∗ h = 31 +

[19, 5− 16

4

]∗ 15 = 31 + 13, 125 = 44, 125

4. Em um time de futebol, o jogador mais velho entre os onzes titulares foi substituıdo por um jogadorde 16 anos. Isto fez com que a media de idade dos 11 jogadores diminuısse 2 anos. Calcule a idadedo jogador mais velho que foi substituıdo.

X1 =X1 + X2 + . . . + X11

11=

X1 + X2 + . . . + X10

11+

X11

11

X2 =X1 + X2 + . . . + X10

11+

1611

= X1 − 2

Logo,

X2 = K +1611

= K +X11

11− 2

1611

=X11

11− 2 =

1611

=X11

11− 22

11= X11 − 22 = 16 = X11 = 38 anos

5. Durante um jogo de futebol entre Vasco e Flamengo foi feita uma pesquisa de idades das duastorcidas. Constatou-se que a idade media da torcida em geral era 27 anos (independente da pre-ferencia). Qual a idade media dos torcedores do Flamengo, sabendo-se que se constituem 60% datorcida presente no estadio e que os torcedores do Vasco tem em media 30 anos?

X = 27 =60 ∗ (Xf ) + 40 ∗ 30

100=

9

2700 = 60 ∗ (Xf ) + 1200 = 1500− 60 ∗ (Xf )

Xf = 25 Anos

6. 65% dos alunos de uma escola para adultos tem media 20 anos. Considerando que 15% tem emmedia 30 anos. A media geral e de 27,5 anos. Qual a media dos demais alunos?

27, 5 =65 ∗ (20) + 15 ∗ (30) + 20 ∗ (X)

100=

1300 + 450 + 20X

100= 1000 = 20X

X = 50

7. O salario pago aos funcionarios de uma empresa X e de R$ 710,00. Os salarios medios pagos aosfuncionarios especializados e nao especializados correspondem respectivamente a R$ 800,00 e R$500,00. Pede-se, determinar o percentual de empregados especializados e nao especializados daempresa.

710 =P1(800) + P2(500)

1, onde P1 + P2 = 1, P1 = 1− P2

710 =800(1− P2) + P1500

1= 800− 800P2 + 500P2

710 = 800− 300P2 = −90 = −300P2

P2 = 0, 30 = 30%

P1 = 0, 70 = 70%

8. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuicao:

Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10Numero de Alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1

Calcule:

10

(a) A nota media

X =2 ∗ 1 + 3 ∗ 3 + 4 ∗ 6 + 5 ∗ 10 + 6 ∗ 13 + 7 ∗ 5 + 8 ∗ 5 + 9 ∗ 3 + 10 ∗ 1

50=

29650

= 5, 92

(b) A nota medianaE necessario construir a frequencia acumulada:

Notas fi Fac2 1 13 3 44 6 105 10 206 13 337 8 418 5 469 3 4910 1 50

A mediana sera obtida da seguinte maneira:Somamos as observacoes e dividimos por 2, 50/2 = 25, percebemos que:a posicao da Mediana e 25, logo esta posicao encontra-se na quinta classe, entao a Mediana eigual a 6.

(c) A nota modalObservando a Tabela de frequencia percebemos que a classe que apresenta maior frequencia ea quinta classe, logo a Moda e igual a 6.

9. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostraaleatoria, de 50 precos (Xi) de acoes, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidademonetaria e o dolar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. Obtenha: amedia, a mediana e a moda.

AT = LS − LI = 23− 7 = 16

K =√

50 ∼= 7

h =167∼= 3

Classes xi fi Percentual Fac4`7 5,5 7 14 77`10 8,5 21 42 2810`13 11,5 12 24 4013`16 14,5 6 12 4616`19 17,5 3 6 4919`22 20,5 0 0 4922`25 23,5 1 2 50Total 50 100

11

A Media e dada por:

X =5, 5 ∗ 7 + 8, 5 ∗ 21 + 11, 5 ∗ 12 + 14, 5 ∗ 6 + 17, 5 ∗ 3 + 20, 5 ∗ 0 + 23, 5 ∗ 1

50=

51850

= 10, 36

Para calcular a Mediana, precisamos da posicao dela e a partir daı procurar esse valor na frequenciaacumulada:A posicao P, e dada por:

P =∑

fi

2=

502

= 25

Observamos que esta posicao esta contida na segunda classe, entao trabalharemos nela para assimobtermos a Mediana:

Med = li +[(P − FAA)

]∗ h = 7 +

[(25− 7)

21

]∗ 3 = 7 +

[1821

]∗ 3 = 9, 57

Agora, calcularemos a Moda:A classe Modal encontra-se na segunda classe, pois, a frequencia e igual 21 que e superior as demais.

MO = li +[

(Fmo− fant)2 ∗ Fmo− (fant + fpost)

]∗ h = 7 +

[(21− 7)

2 ∗ 21− (7 + 12)

]∗ 3 = 7 + 1, 826 = 8, 826

10. Considere os valores dos pesos de 32 alunos de uma classe apresentados abaixo:64 68 63 67 65 64 67 64 66 67 70 67 67 66 69 66 70 62 71 64 69 65 71 66 63 70 68 69 71 68 68 68

(a) a mediaPrimeiro precisamos obter a Tabela de frequencias.

AT = LS − LI = 71− 62 = 9

K =√

32 = 5, 65 ∼= 6

h =96

= 1, 5

Classes fi xi xi*fi Fac62`63,5 3 62,75 188,25 363,5`65 4 64,25 257,00 765`66,5 6 65,75 394,50 1366,5`68 5 67,25 336,25 1868`69,5 8 68,75 550 2669,5`71 6 70,25 421,5 32Total 32 2147,50

X =2147, 50

32= 67, 10

12

(b) a mediana

P =∑

fi

2=

322

= 16

Med = li +[P − FAA

fi

]∗ h = 66, 5 +

[16− 13

5

]∗ 1, 5 = 66, 5 + 0, 9 = 67, 4

(c) a moda.

Mo = li +[

(Fmo− fant)2 ∗ Fmo− (fant + fpost)

]∗ h + 68 +

[8− 5

2 ∗ 8− (5 + 6)

]∗ 1, 5 = 68 + 0, 9 = 68, 9

11. Dos salarios de um grupo de 4000 funcionarios da empresa sao conhecidos os seguintes parametros.C95= R$ 3.600,00; Md= R$ 2.200,00; D3 = R$ 2.000,00; Q1= R$ 1600,00.Responda:

(a) O numero de funcionarios que recebem entre 1600 a 2.200 reais;25% de 4000= 1000, pois entre o Primeiro quartil e a Mediana, temos 25%.

(b) O numero de funcionarios que recebem mais R$ 3.600,00;5% de 4000= 200.

(c) O numero de funcionarios que recebem entre 2.000 e 2.200 reais;20% de 4000= 800

(d) O percentual de funcionarios que recebem entre 1600 e 2.200 reais.25%.

12. O preco medio (aritmetico) de produto quımico produzido por uma empresa e igual a 50 reais, opreco geometrico e de 40 reais. Qual o preco medio na forma harmonica?

Mg2 = X ∗Mh = 402 = 50 ∗Mh

Mh =160050

= 32

13. Um jogo completo de xadrez e composto das seguintes pecas 08 peoes, 02 torres, 02 cavalos, 01 dama,e 01 rei. Atribuem-se os seguintes valores comparativos para as pecas rei =24 pontos, dama=10pontos, cavalo=03 pontos, torres=05 pontos, e peao=01 ponto. Se neste sistema 04 ponto e valormedio de uma peca, levando em conta o jogo completo. Qual o valor comparativo da peca bispo?

X = 4 =8(1) + 2(5) + 2(3) + 1(10) + 1(24) + 2(x)

16=

58 + 2x

16= 4(16) = 58+2x = 64−58 = 2x =

62

= 3

13

14. Dada a distribuicao de frequencias dada abaixo:

Idades dos alunos da disciplinaEstatıstica no Instituto Datavox, ano de 2002.

IDADES fi

17`19 819`21 1221`23 2023`25 625`27 4Soma 50

Fonte: dados hipoteticos

Calcule: a) a media b) a moda c) a mediana

X =∑

xifi

n

IDADES fi xi fixi17`19 8 18 14419`21 12 20 24021`23 20 22 44023`25 6 24 14425`27 4 26 104Soma 50 1072

Fonte: dados hipoteticos

X =107250

= 21, 44

b) a moda

Mo = Li +[

(Fmo− Fant)2Fmo− (Fant + Fpost)

]∗ h

Neste caso, temos que:a Terceira classe contem a Moda, pois, apresenta a maior freqencia, 20, Logo:

Mo = 21 +[

(20− 12)2 ∗ (20)− (12 + 6)

]∗ 2 = 21 +

[8

40− 18

]∗ 2 = 21, 73

Agora para obtermos o valor da Mediana, temos que:Obter a posicao P =

Pfi

2 , neste caso a posicao P e igual a 25.Depois Construimos a frequencia acumulada.IDADES fi xi Fac17`19 8 18 819`21 12 20 2021`23 20 22 4023`25 6 24 4625`27 4 26 50Soma 50

14

Observamos que, a terceira classe contem a Mediana, agora aplicamos a formula.

Med = Li +[P − FAA

fi

]∗ h

Temos que:

Med = 21 +[25− 20

20

]∗ 2 = 21+, 05 = 21, 50

15. Em certa empresa trabalham 4 analistas de mercado, 2 supervisores, 1 chefe de secao e 1 gerenteque ganham, respectivamente: R$ 1.300,00; R$ 1.600,00; R$ 2.750,00, R$ 5.000,00. Qual o valor dosalario medio desses funcionarios?

X =4 ∗ 1300 + 2 ∗ 1600 + 1 ∗ 2750 + 1 ∗ 5000

8= 2018, 75

16. Uma distribuidora de refrigerantes fez um levantamento sobre o consumo semanal (em litros) porpessoa, em jan/2002, em uma cidade do litoral, obtendo a tabela abaixo:

Consumo No de Pessoas0,0 `0,5 100,5 `1,0 251,0 `1,5 91,5 `2,0 72,0 ` 2,5 6

a) Determine e interprete o consumo medio.Precisamos obter os pontos medios de cada classe e em seguida multiplica-los pelas frequencias.Depoiscolocamos os valores na formula da media ponderada.Consumo No de Pessoas ponto medio produto0,0 `0,5 10 0,25 2,50,5 `1,0 25 0,75 18,751,0 `1,5 9 1,25 11,251,5 `2,0 7 1,75 12,252,0 ` 2,5 6 2,25 13,5

X =2, 5 + 18, 75 + 11, 25 + 12, 25 + 13, 50

57=

58, 2557

= 1, 0219

b) Qual o percentual de pessoas que consomem menos de 1 litro por semana?

Agora basta somarmos oa frequencias das duas primeiras classes e depois dividirmos por 57.Percentual = 10+25

57 = 61, 40%c) Determine os intervalos que contem o consumo modal e o consumo mediano.

Consumo modal 0,5`1,0Consumo mediano 0,5`1,0

15

17. A poluicao causada por oleo em mares e oceanos estimula o crescimento de certos tipos de bacterias.Uma contagem de microorganismos presentes no petroleo (numero de bacterias por 100 mililitros),em 10 porcoes de agua do mar, indicou as seguintes medidas:49 70 54 67 59 40 71 67 67 52 Determine a media, a mediana e a moda.A media e obtida assim:

X =49 + 70 + 54 + 67 + 59 + 40 + 71 + 67 + 67 + 52

10=

59610

= 59, 6

No caso da Mediana precisamos ordenar os dados40 – 49 – 52 –54– 59–67 – 67 –67–70–71Temos que n e igual 10, logo n e par, entao a Mediana sera a media aritmetica dos valores centrais:

X =59 + 67

2= 63

Ja a Moda e facil de ser obtida, pois e so observar o valor que mais ocorre, neste caso e o 67. Logoa Moda e 67

18. Abaixo temos as notas de 15 alunos na 1a avaliacao da disciplina Analise Real:7,0 -7,5 - 5,3 - 6,8 - 5,5 - 4,2 - 8,0 - 7,0 - 7,5 - 6,5 - 5,9 - 8,0 - 2,5 - 5,7 -5,0Determine:a) o 1o quartil e 5,15; b) o 8o decil e 7,5; c) 90o percentil e 7,75 ;a) Primeiro quartil Q1

Ordenamos os dados:2,5–4,2–5,0–5,3–5,5–5,7–5,9–6,5–6,8–7,0–7,0–7,5–7,5–8,0–8,0

A posicao e dada por:

P1 = 0, 25(n + 1) = 0, 25(15 + 1) = 0, 25(16) = 4

Observando o rol, temos que o elemento que ocupa a posicao quatro e, 5,3, logo o Q1 e igual a 5,3b)D8

A posicao e dada por:

P8 = 0, 8(n + 1) = 0, 8(15 + 1) = 0, 8(16) = 12, 8

Como o valor da posicao nao e inteiro, temos que o D8 sera a media aritmetica entre o 12o e 13o

elementos.

D8 =7, 5 + 7, 5

2= 7, 5

Entao, o D8 e igual a 7,5.c) C90A posicao e dada por:

P90 = 0, 9(n + 1) = 0, 9(15 + 1) = 0, 9(16) = 14, 4

Como o valor da posicao nao e inteiro, temos que o D8 sera a media aritmetica entre o 14o e 15o

elementos.

D8 =8, 0 + 8, 0

2= 8, 0

16

Entao, o C90 e igual a 8,0.

19. O preco geometrico de produto F produzido por uma empresa e igual a 9 reais, o preco harmonicoe de 3 reais. Qual o preco medio na forma aritmetica?

Mg2 = X ∗Mh = 92 = X ∗ 3

X =813

= 27

20. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura media dos socios de um clube e 165cm, sendo ados homens 172cm e a das mulheres 162cm. Qual a porcentagem de mulheres no clube?

165 =P1(172) + P2(162)

100%=

172(100− P2) + 162P2

100%= 16500 = 17200− 172P2 = 162P2

16500− 172000 = −10P2 = −700 = −10P2 = P2 =70010

= 70

Logo, P2 = 70%(Mulheres) e P1= 30% (Homens)

21. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife - 2003) Em uma amostra, realizada para se obter informacaosobre a distribuicao salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salario medio vale R$ 1.200,00.O salario medio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00.Assinale a opcao correta e mostre os calculos.

a) O numero de homens na amostra e igual ao de mulheres.b) O numero de homens na amostra e o dobro do de mulheres.c) O numero de homens na amostra e o triplo do de mulheres.d) O numero de mulheres e o dobro do numero de homens.e) O numero de mulheres e o quadruplo do numero de homens.

letra a)

Unidade 41. Dada a tabela abaixo, Pede-se: A Variancia, o Desvio medio, o Desvio Padrao e o Coeficiente de

variacao.

Notas fi1`3 53`5 75`7 8∑

20

17

Primeiro vamos obter a Variancia:Usaremos a formula pelo processo simplificado:

s2 =∑n

i=1 x2i fi − nX2

n− 1

Precisamos dos pontos medios das classes que sao apresentados na Tabela abaixo,para assim calcu-lar a Media aritmetica:

Notas fi xi(ponto medio) produto(xi*fi)1`3 5 2 103`5 7 4 285`7 8 6 48∑

20 86

Logo, a Media aritmetica ponderada sera obtida por:

X =∑n

i=1 fixi

n=

8620

= 4, 3

Agora, utilizaremos a formula da Variancia:

s2 =(22 ∗ 5 + 42 ∗ 7 + 62 ∗ 8)− 20 ∗ 4, 32

20− 1=

420− 369, 819

=50, 219

= 2, 64

O Desvio Padrao,S, e a raiz da Variancia, entao:

S =√

S2 =√

2, 64 = 1, 63.

O coefiente de Variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

1, 634, 3

∗ 100% = 37, 90%

Agora, calcularemos o Desvio Medio:

DM =∑n

l=1 |xi − X|fi

n=|2− 4, 3| ∗ 5 + |4− 4, 3| ∗ 7 + |6− 4, 3| ∗ 8

20=

27, 220

= 1.36

2. Quinze pacientes de uma clınica de ortopedia foram avaliados quanto ao numero de meses previstosde fisioterapia, se havera (S) ou nao (N) sequelas apos o tratamento e o grau de complexidade dacirurgia realizada: alto (A), medio(M) ou baixo(B). Os dados sao apresentados na tabela abaixo:

Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Fisioterapia 7 8 5 6 4 5 7 7 6 8 6 5 5 4 5

Sequelas S S N N N S S N N S S N S N NCirurgia A M A M M B A M B M B B M M A

a) Classifique cada uma das variaveis;Paciente: variavel quantitativa discreta

18

Fisioterapia: variavel quantitativa discretaSequelas: variavel qualitativa nominalCirurgia: variavel qualitativa ordinal.

b) Divida os pacientes em dois grupos: com (S) e sem (N) sequelas. Compare os grupos em relacaoao tempo medio de fisioterapia.

Grupo com sequelas: 7–8–5–7–8–6–5.Media do Grupo com sequelas:

X =7 + 8 + 5 + 7 + 8 + 6 + 5

7= 6, 57

Grupo sem sequelas: 5–6–4–7–6–5–4–5.Media do Grupo sem sequelas:

X =5 + 6 + 5 + 4 + 7 + 6 + 4 + 5

8= 5, 25

O grupo com sequelas apresentou tempo medio maior em relacao ao grupo sem sequelas.c) Qual dos dois grupos e mais homogeneo (menor dispersao) em relacao ao tempo de fisioterapia?Trabalharemos inicialmente com o Grupo com Sequelas: A variancia sera obtida por:

s2 =∑n

i=1 x2i − nX2

n− 1=

(72 + 82 + 52 + 72 + 82 + 62 + 52)− 7 ∗ 6, 572

7− 1=

312− 302, 15436

= 1, 64

O Desvio padrao,S, e igual a:

S =√

1, 64 = 1, 28.

O coeficiente de variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

1, 286, 57

∗ 100% = 19, 48%

Agora, trabalharemos com o Grupo sem Sequelas:

s2 =∑n

i=1 x2i − nX2

n− 1=

(52 + 62 + 52 + 42 + 72 + 62 + 42 + 52)− 8 ∗ 5, 252

8− 1=

228− 220, 57

=7, 57

= 1, 071

O Desvio padrao,S, e igual a:S =

√4 = 2.

O coeficiente de variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

1, 0715, 25

∗ 100% = 20, 4%

Entao, o grupo com sequelas e aparentemente mais homogeneo.

19

3. Sao apresentados abaixo o diametro (em polegadas), a altura (em pes) e o volume (em pes cubicos)de uma amostra de 10 cerejeiras.

Diametro 8,3 10,5 10,8 11,1 12,0 13,3 14,5 16,3 17,5 18,0Altura 70 72 83 80 75 86 74 77 82 80Volume 10,3 16,4 19,7 22,6 19,1 27,4 38,3 42,6 55,7 51,5

Inicialmente trabalharemos com a variavel Volume:A Media sera obtida por:

X =10, 3 + 16, 4 + 19, 7 + 22, 6 + 19, 1 + 27, 4 + 38, 3 + 42, 6 + 55, 7 + 51, 5

10= 30, 36

Agora, calcularemos a variancia:

S2 =(10, 32 + 16, 42 + 19, 72 + 22, 62 + 19, 12 + 27, 42 + 38, 32 + 42, 62 + 55, 72 + 51, 52)− 10 ∗ 30, 362

10− 1

S2 =11425, 86− 9217, 296

10− 1=

2208, 5649

= 245, 396

O Desvio Padrao, S, e igual a raiz quadrada da variancia, logo, tem-se:

S =√

245, 396 = 16, 67

O coeficiente de variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

16, 6730, 36

∗ 100% = 54, 90%

Agora trabalharemos com a segunda variavel Diametro:A Media sera obtida por:

X =8, 3 + 10, 5 + 10, 8 + 11, 1 + 12, 0 + 13, 3 + 14, 5 + 16, 3 + 17, 5 + 18, 0

10= 13, 23

Agora, calcularemos a variancia:

S2 =(8, 32 + 10, 52 + 10, 82 + 11, 12 + 12, 02 + 13, 32 + 14, 52 + 16, 32 + 17, 52 + 18, 02)− 10 ∗ 13, 232

10− 1

S2 =1846, 07− 1750, 329

9=

95, 7419

= 10, 64

O Desvio Padrao, S, e igual a raiz quadrada da variancia, logo, tem-se:

S =√

10, 64 = 3, 26

O coeficiente de variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

3, 2413, 23

∗ 100% = 24, 48%

20

Finalmente trabalahremos com a ultima variavel Altura.A Media sera obtida por:

X =70 + 72 + 83 + 80 + 75 + 86 + 74 + 77 + 82 + 80

10= 77, 9

Agora, calcularemos a variancia:

S2 =(702 + 722 + 832 + 802 + 752 + 862 + 742 + 772 + 822 + 802)− 10 ∗ 77, 92

10− 1

S2 =60923− 60684, 1

9=

238, 99

= 26, 54

O Desvio Padrao, S, e igual a raiz quadrada da variancia, logo, tem-se:

S =√

26, 54 = 5, 15

O coeficiente de variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

5, 1577, 9

∗ 100% = 6, 61%

Variaveis media DPadrao CV(%)Volume 30,36 16,67 54,90

Diametro 13,23 3,26 24,48Altura 77,9 51,52 6,61

De acordo com os valores observados, concluimos que o Volume apresenta maior variabilidade, pois,o coeficiente de variacao e superior em relacao aos valores do cv das outras variaveis estudadas.

4. (AFC-94) Entre os funcionarios de um orgao do governo, foi retirada uma amostra de dez indivıduos.Os numeros que representam as ausencias ao trabalho registradas para cada um deles, no ultimoano, sao: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, qual o valor do desvio padrao desta amostra.Primeiro calculamos a Media:

X =0 + 0 + 0 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 6 + 10

10=

3010

= 3

Agora, calcularemos a Variancia:

S2 =(02 + 02 + 02 + 22 + 22 + 22 + 42 + 4r + 62 + 102)− 10 ∗ 32

10− 1

S2 =180− 90

9= 10

O Desvio Padrao, S, e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

10 = 3, 16

.

21

5. Um experimento e conduzido para comparar dois regimes alimentares no que diz respeito ao au-mento de peso. Vinte indivıduos sao distribuıdos ao acaso entre dois grupos em que ao primeirodeles foi dada a dieta A e ao segundo a dieta B. Decorrido certo perıodo verifica-se que o ganho depeso em Kg para os indivıduos da amostra foram os seguintes:

A -1 0,0 2,1 3,1 3,3 4,3 5,0 5,2 5,5 6,8B 2,5 3,0 4,0 5,7 6,0 6,9 7,0 7,2 7,3 8,1

a) Calcule a media, mediana e desvio padrao da variavel ganho de peso para cada dieta.Para a Dieta A, temos:

X =−1 + 0, 0 + 2, 1 + 3, 1 + 3, 3 + 4, 3 + 5, 0 + 5, 2 + 5, 5 + 6, 8

10= 3, 43

A Mediana sera a media aritmetica dos valores centrais:

Mediana =3, 3 + 4, 3

2= 3, 8

Para obter o Desvio padrao, inicialmente precisamos calcular a Variancia:

S2 =((−1)2 + 0, 02 + 2, 12 + 3, 12 + 3, 32 + 4, 32 + 5, 02 + 5, 22 + 5, 52 + 6, 82)− 10 ∗ 3, 432

10− 1

S2 =172, 93− 117, 649

9=

55, 2819

= 6, 14

O Desvio Padrao e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

6, 14 = 2, 48

Para a Dieta B, temos que:

X =2, 5 + 3, 0 + 4, 0 + 5, 7 + 6, 0 + 6, 9 + 7, 0 + 7, 2 + 7, 3 + 8, 1

10= 5, 77

A Mediana sera a media aritmetica dos valores centrais:

Mediana =6, 0 + 6, 9

2= 6, 45

Para obter o Desvio padrao, inicialmente precisamos calcular a Variancia:

S2 =(2, 52 + 3, 02 + 4, 02 + 5, 72 + 6, 02 + 6, 92 + 7, 02 + 7.22 + 7, 32 + 8, 12)− 10 ∗ 5, 772

10− 1

S2 =367, 09− 332, 929

9=

34, 1619

= 3, 79

O Desvio Padrao e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

3, 79 = 1, 95

22

b) Obtenha o coeficiente de variacao e comente o resultado.Para a Dieta A, temos:O coeficiente de variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

2, 483, 43

∗ 100% = 72, 30%

Para a Dieta B, temos:

CV =S

X∗ 100% =

1, 955, 77

∗ 100% = 33, 79%

O grupo mais homogeneo e o B, pois, tem coeficiente de variacao inferior ao grupo A.

6. Em um ensaio para o estudo da distribuicao de um atributo financeiro (X), foram examinados200 itens de natureza contabil do balanco de uma empresa. Esse exercıcio produziu a tabela defrequencia abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna Prepresenta a frequencia relativa acumulada. Nao existem observacoes coincidentes com os extremosdas classes.

Classes P(%)70–90 590–110 15110–130 40130–150 70150–170 85170–190 95190–210 100

Calcule:a) Coeficiente de assimetria;Inicialmente, precisamos montar a coluna das frequencias simples.Como a Tabela nos fornece aFrequencia relativa acumulada, primeiro obteremos as frequencias acumuladas simples e depois en-contraremos as frequencias simples.

Classes P(%) Fi fi70–90 5 5 1090–110 15 10 20110–130 40 25 50130–150 70 30 60150–170 85 15 30170–190 95 10 20190–210 100 5 10

Para obtermos o Coeficiente de Assimetria precisamos calcular:A Media;A Moda:O Desvio Padrao.Para obtermos a Media e preciso dos valores dos pontos medios de cada classe, entao, tem-se:

23

Classes fi Ponto medio (xi) Produto (xi*fi)70–90 10 80 80090–110 20 100 2000110–130 50 120 6000130–150 60 140 8400150–170 30 160 4800170–190 20 180 3600190–210 10 200 2000

X =27600200

= 138

Agora, calcularemos a Moda:

Mo = 130 +[

(60− 50)2 ∗ (60)− (50 + 30)

]∗ 20 = 130 +

20040

= 130 + 5 = 135

Agora, calcularemos a Variancia, para depois obtermos o Desvio Padrao:Inicialmente precisamos calcular a Variancia:

S2 =(10 ∗ 802 + 20 ∗ 1002 + 50 ∗ 1202 + 60 ∗ 1402 + 30 ∗ 1602 + 20 ∗ 1802 + 10 ∗ 200)−200 ∗ 1342

200− 1

S2 =3976000− 3808800

199=

167200199

= 840, 20

O Desvio Padrao e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

840, 20 = 28, 98

Agora, podemos usar a formula obtermos o Coeficiente de Assimetria:

A =(X −Mo)

S=

(138− 135)28, 98

= 0, 1035

b) Classifique o coeficiente de assimetria;Como o coeficiente de Assimetria, A= 0,1035 > 0. Logo, tem-se ASSIMETRIA POSITIVAc) Coeficiente de curtose;Para obtermos o coeficiente de Curtose precisamos calcular:Primeiro Quartil (Q1);Terceiro Quartil (Q3);Primeiro Decil (D1);Nono Decil (D9);Feito isto, usaremos a formula:

K =(Q3 −Q1)

2(D9−D1)

Q1 = li +[P1 − FAA

f1

]∗ h

O valor da Posicao,P1, e dado por:

P1 =i ∗∑

fi

4=

1 ∗ 2004

= 50

24

Agora, calcularemos o Primeiro Quartil:Precisamos da Frequencia Acumulada:

Classes fi Fac70–90 10 1090–110 20 30110–130 50 80130–150 60 140150–170 30 170170–190 20 190190–210 10 200

De acordo com a Tabela acima, temos que a terceira classe contem o Primeiro Quartil:

Q1 = 110 +[50− 30

50

]∗ 20 = 110 + 8 = 118

Agora, calcularemos o Terceiro Quartil:O valor da Posicao,P3, e dado por:

P3 =i ∗∑

fi

4=

3 ∗ 2004

= 150

De acordo com a Tabela acima, temos que a quinta classe contem o Terceiro Quartil:

Q1 = 150 +[150− 140

30

]∗ 20 = 150 + 6, 67 = 156, 67

Agora, calcularemos o Primeiro Decil:O valor da Posicao,P1, e dado por:

P1 =i ∗∑

fi

10=

1 ∗ 20010

= 20

De acordo com a Tabela acima, temos que a segunda classe contem o Primeiro Decil:

D1 = 90 +[20− 10

20

]∗ 20 = 90 + 10 = 100

Agora, calcularemos o Nono Decil:O valor da Posicao,P9, e dado por:

P9 =i ∗∑

fi

10=

9 ∗ 20010

= 180

De acordo com a Tabela acima, temos que a sexta classe contem o Nono Decil:

D9 = 170 +[180− 170

20

]∗ 20 = 170 + 10 = 180

Agora, utilizaremos a formula:

K =(Q3 −Q1)

2(D9−D1)=

(156, 67− 118)2(180− 100)

=(38, 57)2(80)

= 0, 2416 ∼= 0, 242

25

d) Classifique o coeficiente de curtose.k=0,242 <0,263, Logo a curva e LEPTOCURTICA

7. O atributo do tipo contınuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtidade uma populacao de 1000 indivıduos, produziu a tabela de frequencias seguinte:

Classes Frequencia (fi)29,5 – 39,5 439,5 – 49,5 849,5 – 59,5 1459,5 – 69,5 2069,5 – 79,5 2679,5 – 89,5 1889,5 – 99,5 10

Calcule:a) Coeficiente de Assimetria.Para obtermos o Coeficiente de Assimetria precisamos calcular:A Media;A Moda:O Desvio Padrao.Para obtermos a Media e preciso dos valores dos pontos medios de cada classe, entao, tem-se:

Classes Frequencia (fi) Ponto medio (xi) Produto (xi*fi)29,5 – 39,5 4 34,5 13839,5 – 49,5 8 44,5 35649,5 – 59,5 14 54,5 76359,5 – 69,5 20 64,5 129069,5 – 79,5 26 74,5 193779,5 – 89,5 18 84,5 152189,5 – 99,5 10 94,5 945

X =6950100

= 69, 50

gora, calcularemos a Moda:

Mo = 69, 5 +[

(26− 20)2 ∗ (26)− (20 + 18)

]∗ 10 = 69, 5 +

60(52− 38)

= 69, 5 +6014

= 73, 78

Agora, calcularemos a Variancia, para depois obtermos o Desvio Padrao:Inicialmente precisamos calcular a Variancia:∑

fix2i = (4 ∗ 34, 52 + 8 ∗ 44, 52 + 14 ∗ 54, 52 + 20 ∗ 64, 52 + 26 ∗ 74, 52 + 18 ∗ 84, 52 + 10 ∗ 94, 52)∑

fix2i = 507525

Agora, tem-se:

S2 =(507525− 100 ∗ 69, 52)

100− 1=

507525− 48302599

=24500

99∼= 247, 47

O Desvio Padrao e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

247, 47 = 15, 73

26

Agora, podemos usar a formula obtermos o Coeficiente de Assimetria:

A =(X −Mo)

S=

(69, 50− 73, 78)15, 73

= −0, 272

b) Coeficiente de Curtose. Primeiro Quartil (Q1);Terceiro Quartil (Q3);Primeiro Decil (D1);Nono Decil (D9);Feito isto, usaremos a formula:

K =(Q3 −Q1)2(D9 −D1)

Q1 = li +[P1 − FAA

f1

]∗ h

O valor da Posicao,P1, e dado por:

P1 =i ∗∑

fi

4=

1 ∗ 1004

= 25

Agora, calcularemos o Primeiro Quartil:Precisamos da Frequencia Acumulada:

Classes Frequencia (fi) Fac(Frequencia Acumulada)29,5 – 39,5 4 439,5 – 49,5 8 1249,5 – 59,5 14 2659,5 – 69,5 20 4669,5 – 79,5 26 7279,5 – 89,5 18 9089,5 – 99,5 10 100

De acordo com a Tabela acima, temos que a terceira classe contem o Primeiro Quartil:

Q1 = 49, 5 +[25− 12

14

]∗ 10 = 58, 78

Agora, calcularemos o Terceiro Quartil:O valor da Posicao,P3, e dado por:

P3 =i ∗∑

fi

4=

3 ∗ 1004

= 75

De acordo com a Tabela acima, temos que a sexta classe contem o Terceiro Quartil:

Q1 = 79, 5 +[75− 72

18

]∗ 10 = 81, 17

Agora, calcularemos o Primeiro Decil:O valor da Posicao,P1, e dado por:

P1 =i ∗∑

fi

10=

1 ∗ 10010

= 10

27

De acordo com a Tabela acima, temos que a segunda classe contem o Primeiro Decil:

D1 = 39, 5 +[(10− 4)

8

]∗ 10 = 39, 5 + 7, 5 = 47

Agora, calcularemos o Nono Decil:O valor da Posicao,P9, e dado por:

P9 =i ∗∑

fi

10=

9 ∗ 10010

= 90

De acordo com a Tabela acima, temos que a sexta classe contem o Nono Decil:

D9 = 79, 5 +[(90− 72)

18

]∗ 10 = 79, 5 + 10 = 89, 5

Agora, utilizaremos a formula:

K =(Q3 −Q1)2(D9 −D1)

=(81, 17− 58, 78)

2(89, 5− 47)=

(22, 39)2(42, 5)

=22, 39

85= 0, 26

8. Obtenha a variancia, o Desvio Padrao e o Coeficiente de variacao da distribuicao de frequenciasdada abaixo:

Producao Frequencia30–39 440–49 1450–59 2960–69 3570–79 18Total 100

Primeiro calcularemos a Media aritmetica:

X =4 ∗ 34, 5 + 14 ∗ 44, 5 + 29 ∗ 54, 5 + 35 ∗ 64, 5 + 18 ∗ 74, 5

100=

5940100

= 59, 4

Agora, calcularemos a Variancia:

S2 =(4 ∗ 34, 52 + 14 ∗ 44, 5r + 29 ∗ 54, 52 + 35 ∗ 64, 52 + 18 ∗ 74, 52)− 100 ∗ 59, 42

100− 1=

364135− 35283699

= 114, 13

O Desvio Padrao e a raiz da Variancia:

S =√

114, 13 = 10, 68

O coeficiente de variacao, e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

10, 6859, 4

∗ 100% = 17, 98%

28

9. Um estudo foi realizado por um professor em tres turmas , obtendo a media e o desvio padraodas notas de sua disciplina, conforme abaixo. Qual a turma com menor variabilidade? Justifiqueadequadamente.

Turma A B CMedia 6,5 8,0 8,0

Desvio padrao 2,2 1,7 2,0

A ideia e obter o coeficiente de variacao de todas as turmas.Para turma A, temos:

CV =S

X∗ 100% =

2, 26, 5

∗ 100% = 33, 85%

Para turma B, temos:

CV =S

X∗ 100% =

1, 78, 0

∗ 100% = 21, 25%

Para turma C, temos:

CV =S

X∗ 100% =

2, 08, 0

∗ 100% = 25%

A turma B e a que tem menor variabilidade, pois possui menor coeficiente de variacao em relacaoas demais.

10. O Desvio Padrao pode ser zero? O que isso significa?Sim, significa que nao houve variacao nos dados, todos tinham o mesmo valor.

11. Na empresa Mercury Ltda. Foi observada a distribuicao de funcionarios do setor de servicos geraiscom relacao ao salario semanal, conforme mostra a distribuicao de frequencia:

Salario Semanal (em US$) fi25`30 1030`35 2035`40 3040`45 1545`50 4050`55 35Total 150

Calcule:a) O Desvio medio;Precisamos calcular os pontos medios, para obtencao da Media:

29

Salario Semanal (em US$) fi Ponto medio (xi) Produto(xi*fi)25`30 10 27,5 27530`35 20 32,5 65035`40 30 37,5 112540`45 15 42,5 637,545`50 40 47,5 190050`55 35 52,5 1837,5Total 150 6425

X =6425150

= 42, 83

DM =|xi − X|fi

n

|27, 5− 42, 83|10 + |32, 5− 42, 83|20 + |37, 5− 42, 83|30 + |42, 5− 42, 83|15 + |47, 5− 42, 83|40 + |52, 5− 42, 83|35150

DM =153, 3 + 206, 6 + 159, 9 + 4, 95 + 186, 8 + 338, 45

150=

1050150

= 7

b) O Desvio padrao.Inicialmente, calcularemos a Variancia:

S2 =(10 ∗ 27, 52 + 20 ∗ 32, 52 + 30 ∗ 37, 52 + 15 ∗ 42, 52 + 40 ∗ 47, 52 + 35 ∗ 52, 52)− 150 ∗ 42, 832

150− 1

S2 =284687, 5− 275161, 335

149=

9526, 165149

= 63, 93

O Desvio padrao e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

63, 93 = 7, 99

12. Classifique corretamente os coeficientes de Assimetria e Curtose dados abaixo:a) A= 2,45 e K= -0,367;Assimetrica positiva; leptocutica.b) A=-2,45 e K= 0,123;Assimetrica Negativa; leptocurtica .c) A= 0,35 e K= 0,267;Assimetrica positiva; platicurtica.d)A= -0,45 e K= -0,256;Assimetrica Negativa; leptocutica.e) A=-1,77 e k= 0,479.Assimetrica negativa; platicurtica.

30

13. Um banco tem a disposicao dos seus clientes duas zonas de atendimento e cada uma com duasmaquinas multibanco. Na zona Z1, os clientes formam fila unica e na zona Z2 fazem duas filasseparadas, uma para cada maquina. Registaram-se os seguintes tempos de espera de 10 clientes.

Z1 4,8 4,8 4,9 5,1 5,4 5,5 5,7 5,8 5,8 5,8Z2 2.0 3,5 4,1 4,5 5,1 5,8 5,8 5,8 8,4 8,6

a) Com base nestes dados, que conselho daria ao banco quanto ao metodo a usar, uma fila unicaou filas separadas?Inicialmente calcularemos a Media aritmetica para ambos os grupos.Para Z1 temos:

X =4, 8 + 4, 8 + 4, 9 + 5, 1 + 5, 4 + 5, 5 + 5, 7 + 5, 8 + 5, 8 + 5, 8

10=

53, 610

= 5, 36

Agora, calcularemos a Media aritmetica para Z2

X =2.0 + 3, 5 + 4, 1 + 4, 5 + 5, 1 + 5, 8 + 5, 8 + 5, 8 + 8, 4 + 8, 6

10=

53, 610

= 5, 36

Os resultados revelam que os metodos tem a mesma media, entao sera necessario calcular o desviopadrao que e uma medida de dispersao, pois, o metodo que apresentar menor desvio padrao sera omelhor.b) Calcule o desvio padrao e o coeficiente de variacao para Z1 e Z2.Para obtermos o Desvio padrao e necessario conhecermos a Variancia:Para Z1,temos:

S2 =(4, 82 + 4, 82 + 4, 92 + 5, 12 + 5, 42 + 5, 52 + 5, 72 + 5, 82 + 5, 82 + 5, 82)− 10 ∗ 5, 362

10− 1=

(288, 92− 287, 296)9

=1, 624

9= 0, 180444444

O Desvio padrao e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

0, 180444444 ∼= 0, 4248

O coeficiente de variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

0, 42485, 36

∗ 100% = 7, 92%

Agora para Z2:

S2 =(22 + 3, 52 + 4, 12 + 4, 52 + 5, 12 + 5, 82 + 5, 82 + 5, 82 + 8, 42 + 8, 62)− 10 ∗ 5, 362

10− 1=

(324, 76− 287, 296)9

=37, 464

9= 4, 162666667

O Desvio padrao e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

4, 162666667 ∼= 2, 04

31

O coeficiente de variacao e dado por:

CV =S

X∗ 100% =

2, 045, 36

∗ 100% ∼= 38%

Agora podemos responder a letra a), como o coeficiente de variacao de Z1 e menor do que ocoeficiente de variacao de Z2, logo a zona Z1 e mais homogenea, ou seja, e aparentemente melhor.

14. Como parte de uma avaliacao medica em uma certa universidade, foi medida a frequencia cardıacados alunos do primeiro ano. Os dados serao apresentados em seguida.a) Obtenha a Amplitude Total.b) Obtenha a media.c) Qual o Desvio medio?d) Encontre a Variancia?e) Qual o valor do Desvio padrao?f) Calcule o coeficiente de variacao.

Frequencia cardıaca Frequencia60` 65 1165` 70 3570` 75 6875` 80 2080` 85 1285` 90 890` 95 195` 100 3

a)Obtenha a Amplitude Total:

AT = LS − LI = 60− 100 = 40

b)Obtenha a mediaPara obtermos a Media e necessario os pontos medios das classes:

Frequencia cardıaca Frequencia Ponto medio(xi) Produto(xi*fi)60` 65 11 62,5 687,565` 70 35 67,5 2362,570` 75 68 72,5 493075` 80 20 77,5 155080` 85 12 82,5 99085` 90 10 87,5 87590` 95 1 92,5 92,595`100 3 97,5 292,5

X =11780160

= 73, 625

c) Qual o Desvio medio?DM = |xi−X|fi

n

32

DM = |62,5−X|11+|67,5−X|35+|72,5−X|68+|77,5−X|20+|82,5−X|12+|87,5−X|10+|92,5−X|1+|97,5−X|3160

DM =122, 375 + 214, 375 + 76, 5 + 77, 5 + 106, 5 + 138, 75 + 18, 875 + 71, 625

160=

826, 5160

= 5, 17

d) Encontre a Variancia?S2 = (11∗62,52+35∗67,52+68∗72,52+20∗77,52+12∗82,52+10∗87,52+1∗92,52+3∗97,52)−160∗73,6252

160−1

S2 = (875300−867302,5)159 = 7997,5

159 = 50, 29e) Qual o valor do Desvio padrao?O Desvio padrao e a raiz quadrada da Variancia:

S =√

50, 29 = 7, 09

f) Calcule o coeficiente de variacao.

CV =S

X100% =

7, 0973, 625

100% = 9, 63%

15. Alunos da Escola de Educacao Fısica foram submetidos a um treinamento de resistencia por umperıodo de 2 meses. Antes de iniciarem o treinamento, foram submetidos a um teste de resistenciaquanto ao numero de quilometros que conseguiram correr sem parar. Depois de 4 meses de treina-mento, foram novamente submetidos ao mesmo teste. Os dados estao apresentados a seguir.

Faixas Antes do treinamento Depois do treinamento0`2 442 802`4 211 2054`8 128 2978`12 25 18412`16 11 4516`22 3 9

a) Calcule o Desvio medio para ambos os grupos.Antes precisamos obter as Medias para cada grupo.Para o grupo Antes do Treinamento, temos:

X =442 ∗ 1 + 211 ∗ 3 + 128 ∗ 6 + 25 ∗ 10 + 11 ∗ 14 + 3 ∗ 19

820=

2304820

= 2, 8

Para o grupo Depois do Treinamento, temos:

X =80 ∗ 1 + 205 ∗ 3 + 297 ∗ 6 + 184 ∗ 10 + 45 ∗ 14 + 9 ∗ 19

820=

5118820

= 6, 24

Agora podemos obter o Desvio medio para ambos os grupos:Desvio Medio para o grupo Antes do Treinamento

DM =|1− X|442 + |3− X|211 + |6− X|128 + |10− X|25 + |14− X|11 + |19− X|3

820

DM =1599, 2

820= 1, 95

33

Desvio Medio para o grupo Depois do Treinamento

DM =|1− X|80 + |3− X|205 + |6− X|297 + |10− X|184 + |14− X|45 + |19− X|9

820

DM =2310, 56

820= 2, 82

b) Obtenha a Variancia para ambos os grupos.Para o grupo Antes do Treinamento, temos:

S2 =(442 ∗ 12 + 211 ∗ 32 + 128 ∗ 62 + 25 ∗ 102 + 11 ∗ 142 + 3 ∗ 192)− 820 ∗ 2, 82

820− 1=

(12688− 6428, 8)819

6259, 2819

= 7, 64

Para o grupo Depois do Treinamento, temos:

S2 =(80 ∗ 12 + 205 ∗ 32 + 297 ∗ 62 + 184 ∗ 102 + 45 ∗ 142 + 9 ∗ 192)− 820 ∗ 6, 242

820− 1=

(43086− 31928, 832)819

11157, 168819

= 13, 62

c) Obtenha o Desvio padrao Para ambos os grupos.Para o grupo Antes do Treinamento, temos:

S =√

7, 64 = 2, 76

Para o grupo Depois do Treinamento, temos:

S =√

13, 62 = 3, 69

d) Qual o grupo mais homogeneo?Para o grupo Antes do Treinamento, temos:

CV =2, 762, 8

100% = 98, 57%

Para o grupo Depois do Treinamento, temos:

CV =3, 696, 24

100% = 59.13%

16. Um laboratorio clınico precisa escolher, dentre tres aparelhos (A, B, C) para dosagem de sangue,qual devera comprar. Para isto o responsavel pelas analises preparou uma substancia de concen-tracao conhecida (10 mg/ml) e extraiu varias amostras para serem dosadas pelos tres aparelhos.Os resultados obtidos em cada um deles foram os seguintes:

34

A 5 10 7 15 16 12 4 8 10 13B 10 9 20 9 11 8 9 7 8 9C 10 11 9 10 10 9 11 12 8 10

Qual instrumento lhe parece recomendavel? Justifique sua resposta.Inicialmente iremos calcular as medias dos Aparelhos(A,B e C). Para o aparelho A, temos:

X =5 + 10 + 7 + 15 + 16 + 12 + 4 + 8 + 10 + 13

10= 10

Para o aparelho B, temos:

X =10 + 9 + 20 + 9 + 11 + 8 + 9 + 7 + 8 + 9

10= 10

Para o aparelho C, temos:

X =10 + 11 + 9 + 10 + 10 + 9 + 11 + 12 + 8 + 10

10= 10

Como as medias sao iguais e recomendavel usar o desvio padrao por ser uma medida bastanterepresentativa. Neste caso, temos:Para o aparelho A, temos a Variancia e dada por:

S2 =(52 + 102 + 72 + 152 + 162 + 122 + 42 + 82 + 102 + 132)− 10 ∗ 102

10− 1=

(1148− 1000)9

=1489

= 16, 44

O Desvio padrao e dado por:

S =√

16, 44 = 4, 055

Para o aparelho B, temos a Variancia e dada por:

S2 =(102 + 92 + 202 + 92 + 112 + 82 + 92 + 72 + 82 + 92

10− 1=

(1122− 1000)9

=1229

= 16, 44

O Desvio padrao e dado por:

S =√

13, 55 = 3, 68

Para o aparelho C, temos a Variancia e dada por:

S2 =(102 + 112 + 92 + 102 + 102 + 92 + 112 + 122 + 82 + 102)

10− 1=

(1012− 1000)9

=129

= 16, 44

O Desvio padrao e dado por:

S =√

1, 33 = 1, 15

O instrumento mais recomendavel sera aquele que apresentar menor Desvio padrao, neste casotemos que:O menor Desvio padrao e do instrumento C, logo e aparentemente mais recomendavel.

35