makalah efficient frontier

8/17/2019 Makalah Efficient Frontier..

1/27

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 . Latar Belakang

Dewasa ini dengan adanya prinsip pasar bebas, investasi dalam bentuk

kepemilikan aset finansial mulai diminati oleh masyarakat di Indonesia. Investasi

pada saham menawarkan tingkat pertumbuhan keuntungan yang cepat dengan risiko

yang juga sebanding. Untuk memperoleh tingkat return yang tinggi, maka investor

harus berani menanggung risiko yang tinggi juga. Oleh karena itu, pemodal harus

berhati-hati dalam menentukan saham mana yang akan dipilihnya untuk berinvestasi.

ebelum memutuskan untuk berinvestasi, hendaknya seorang investor melakukan

analisis terhadap semua saham-saham yang ada dan kemudian memilih yang dianggap

aman serta mampu menghasilkan keuntungan yang diharapkan. alah satu cara untuk

meminimumkan risiko adalah dengan melakukan diversifikasi atau menyebar

investasinya dengan membentuk portofolio yang terdiri dari beberapa saham.

!eori dasar pemilihan portofolio pertama kali dicetuskan oleh "arry #.

#arkowit$ %&'()*. +emilihan portofolio membahas tentang permasalahan

bagaimana meng-alokasikan penanaman modal agar dapat membawa keuntungan

terbanyak namun dengan resiko yang terkecil. +embentukan portofolio menyangkut

identikasi saham- saham mana yang akan dipilih dan berapa proporsi dana yang akan

ditanamkan pada masing-masing saham tersebut. +emilihan portofolio dari banyak

sekuritas dimaksudkan untuk mengurangi resiko yang ditanggung. !eori optimisasi

sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang menyangkut pengoptimalan.

anyak metode- metode optimasi yang berkembang digunakan untuk merumuskan

berbagai masalah misalnya dalam transportasi, manufaktur, penjadwalan kru

maskapai penerbangan dan investasi.

Dalam membentuk suatu portofolio, akan timbul suatu masalah.

+ermasalahannya adalah terdapat banyak sekali kemungkinan portofolio yang dapat

dibentuk dari kombinasi aktiva berisiko yang tersedia di pasar. ombinasi ini dapat

mencpai jumlah yang tidak terbatas. ombinasi ini juga memasukkan aktiva bebas

resiko dalam pembentukan portofolio. ika terdapat kemungkinan portofolio yang

jumlahnya tidak terbatas maka akan timbul pertanyaan portofolio mana yng akan


2/27

dipilih oleh investor. ika investor adalah rasional, maka mereka akan memilih

portofolio yang optimal.

+ortofolio optimal dapat ditentukan dengan model #arkowit$ atau dengan

model Indeks !unggal. Untuk menentukan porofolio yang optimal dengan model-

model ini yang pertama kali dibutuhkan adalah menentukan portofolio yang efisien.

Untuk model-model ini semua portofolio yang optimal adalah portofolio yang efisien,

karena tiap-tiap investor mempunyai kurva berbeda yang tidak sama, portofolio

optimal akan berbeda untuk masing-masing investor. Investor yang lebih menyukai

resiko akan memilih portofolio dengan return yang lebih tinggi dengan membayar

resiko yang juga lebih tinggi dibandingkan dengan investor yang kurang menyukai

resiko. ika aktiva tidak berisiko dipertimbangkan, aktiva ini dapat merubah

portofolio optimal yang mungkin sudah dipilih investor.

1.2. Rumusan Masalah

&. agaimanakah menentukan pemilihan portofolio yang effisien dan portofolio

optimal / efficient frontier 0

). agaimanakah teknik mencari titik portofolio optimal pada efficient set 0

1. agaimanakah hort sale dibolehkan dengan 2ending dan orrowing rate pada

tingkat bunga bebas resiko tersedia 0

3. agaimanakah hort sale dibolehkan, tetapi 2ending dan orrowing pada

tingkat bunga bebas resiko tidak tersedia 0(. agaimanakah hort sale tidak dibolehkan, tetapi 2ending dan orrowing rate

pada tingkat bunga bebas resiko tersedia 0

4. agaimanakah jika tidak dibolehkan hort sale, 2ending dan orrowing rate

pada tingkat bunga bebas resiko tidak tersedia0

5. agaimanakah penggabungan kendala tambahan 0

1.3. Tujuan

&. Untuk mengetahui bagaimana menentukan pemilihan portofolio yang effisien

dan portofolio optimal / efficient frontier .

). Untuk mengetahui bagaimana teknik mencari titik portofolio optimal pada

efficient set.

1. Untuk mengetahui bagaimana hort sale dibolehkan, 2ending dan orrowing

rate pada tingkat bunga bebas resiko tersedia.

3. Untuk mengetahui bagaimana hort sale dibolehkan, tetapi 2ending dan

orrowing pada tingkat bunga bebas resiko tidak tersedia.

(. Untuk mengetahui bagaimana hort sale tidak dibolehkan, tetapi 2ending dan

orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tersedia.


3/27

4. Untuk mengetahui bagaimana jika tidak dibolehkan hort sale, 2ending dan

orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tidak tersedia.

5. Untuk mengetahui bagaimana penggabungan kendala tambahan.

BAB II

PEMBAHAAN

2. 1 PEMILIHAN P!RT!"!LI!


4/27

Dalam membentuk suatu portofolio, akan timbul suatu masalah.

+ermasalahannya adalah terdapat banyak sekali kemungkinan portofolio yang dapat

dibentuk dari kombinasi aktiva berisiko yang tersedia di pasar. ombinasi ini dapat

mencpai jumlah yang tidak terbatas. ombinasi ini juga memasukkan aktiva bebas

resiko dalam pembentukan portofolio.

ika terdapat kemungkinan portofolio yang jumlahnya tidak terbatas maka

akan timbul pertanyaan portofolio mana yng akan dipilih oleh investor. ika investor

adalah rasional, maka mereka akan memilih portofolio yang optimal.

+ortofolio optimal dapat ditentukan dengan model #arkowit$ atau dengan

model Indeks !unggal. Untuk menentukan porofolio yang optimal dengan model-

model ini yang pertama kali dibutuhkan adalah menentukan portofolio yang efisien.

Untuk model-model ini semua portofolio yang optimal adalah portofolio yang efisien,

karena tiap-tiap investor mempunyai kurva berbeda yang tidak sama, portofolio

optimal akan berbeda untuk masing-masing investor. Investor yang lebih menyukai

resiko akan memilih portofolio dengan return yang lebih tinggi dengan membayar

resiko yang juga lebih tinggi dibandingkan dengan investor yang kurang menyukai

resiko. ika aktiva tidak berisiko dipertimbangkan, aktiva ini dapat merubah

portofolio optimal yang mungkin sudah dipilih investor.

2.1.1 Konsep Return dan Risiko

!ujuan investor dalam berinvestasi adalah memaksimalkan return, tanpa

melupakan faktor resiko investasi yang harus dihadapinya. 6eturn merupakan

salah satu faktor yang memotivasi investor berinvestasi dan merupakan imbalan

atas keberanian investor menanggunnng resiko investasi yang dilakukan.

"ubungan tingkat resiko dan return yang diharapkan merupakan hubungan yang

bersifat searah dan linier. 7rtinya semakin besar resiko suatu aset, semakin besar

pula return yang diharapkan atas aset tersebut, demikian sebaliknya. 8ambar ).&.&

berikut ini menunjukkan hubungan antara return yang diharapkan dan resiko pada

berbagai jenis aset yang mungkin bisa dijadikan alternatif investasi.

#am$ar 2.1.1

Hu$ungan r%s%k& 'an return (ang '%hara)kan


5/27

8aris vertikal dalam gambar di atas menunjukkan besarnya tingkat return

yang diharapkan dari masing-masing jenis aset, sedangkan garis horisontal

memperlihatkan resiko yang ditanggung investor. !itik 69 %risk free* pada gambar

di atas menunjukkan tingkat return bebas resiko %risk free rate* yang berarti satu

pilihan investasi yang menawarkan tingkat return yang diharapkan sebesar 69

dengan resiko sebesar nol. esimpulan yang ditarik dari pola hubungan antara

resiko dan return yang diharapkan adalah bahwa resiko dan return yang

diharapkan mempunyai hubungan yang searah dan linier. 7rtinya semakin tinggi

resiko suatu aset, semakin tinggi pula tingkat return yang diharapkan, demikian

juga sebaliknya.

2.1.2 Menentukan Portofolio Efisien

+ortofolio yang efisien %efficient portfolio* didefinisikan sebagai

portofolio yang memberikan return ekspektasi terbesar dengan resiko yang sudah

tertentu atau memberikan resiko yang terkecil dengan return ekspektasi yang

sudah tertentu.

+ortofolio yang efisien ini dapat ditentukan dengan memilih tingkat return

ekspektasi tertentu dan kemudian meminimumkan resikonya atau menentukan

tingkat resiko tertentu dan kemudian memaksimumkan return ekspektasinya.


6/27

Investor yang rasional akan memilih portofolio yang efisien ini karena merupakan

portofolio yang dibentuk dengan mengoptimalkan satu dari dua dimensi, yaitu

return ekspektasi atau resiko portofolio.

Investor dapat memilih kombinasi dari aktiva-aktiva untuk membentuk

portofolionya. eluruh set yang memberikan kemungkinan porofolio yang dapat

dibentuk dari kombinasi n-aktiva yang tersedia disebut dengan opportunity set

atau attainable set. emua titik di attainable set menyediakan semua kemungkinan

portofolio baik yang efisien maupun yang tidak efisien yang dapat dipilih oleh

investor. 7kan tetapi investor yang rasional tidak akan memilih portofolio yang

tidak efisien. 6asional investor hanya tertari dengan porofolio yang efisien.

umpulan %set* dari portofolio yang efisien ini disebut dengan efficient set atau

efficient frontier.

Dua aktiva yang membentuk portofolio dapat berkorelasi antara lain :

• orelasi +ositif empurna : Dua buah aktiva 7 dan , yaitu ; egatif empurna : Dua uah 7ktiva 7 dan , yaitu ; -&

2.1.3 Menentukan Efficient Frontier / P&rt&*&l%& !)t%mal

Portofolio Optimal Berdasarkan Preferensi Investor

#odel #arkowit$ memberikan nilai portofolio dengan resiko terkecil

untuk return ekspektasi tertentu. adangkala investor lebih memilih resiko yang

lebih besar dengan kompensasi return ekspektasi yang lebih besar juga.

Portofolio Optimal Dengan Model Markowit

#odel #arkowit$ menggunakan asumsi-asumsi sebagai berikut :

• ?aktu yang digunakan hanya satu periode

• !idak ada biaya transaksi

• +referensi Investor hanya didasarkan pada return ekspektasi dan resiko

dari portofolio.

•

!idak ada pinjaman dan simpanan bebas resiko.


7/27

7sumsi bahwa preferensi investor hanya didasarkan pada return ekspektasi

dan resiko dari porofolio secara implisit menganggap bahwa investor mempunyai

fungsi utiliti yang sama. enyataannya tiap-tiap investor mempunyai fungsi utiliti

yang berbeda.

ika preferensi investor terhadap portofolio berbeda karena mereka

mempunyai fungsi utiliti yang berbeda, optimal portofolio untuk masing-masing

investor akann dapat berbeda. Demikian juga jika tersedia pinjaman dan simpanan

bebas resiko, maka optimal porofolio akan dapat berbeda seandainya pinjaman

dan simpanan bebas risiko ini tersedia.

Portofolio optimal dengan adan!a "impanan dan Pin#aman Be$as Risiko

#odel #arkowit$ menggunakan kombinasi aktiva-aktiva yang berisiko.

Dengan adanya aktiva yang bebas risiko investor mempunyai pilihan untuk

memasukkan aktiva ini ke portofolionya.

uatu aktiva bebas risiko dapat didefinisikan sebagai aktiva yang

mempunyai return ekspektasi tertentu dengan varian return %resiko* yang sama

dengan nol.

Investor dapat memasukkan aktiva bebas risiko ke dalam portofolio efisien

aktiva berisiko dalam bentuk simpanan atau pinjaman. Dalam bentuk simpanan

berarti membeli aktiva bebas risiko dan memasukkannya ke dalam portofolio

efisien aktiva berisiko. Dalam bentuk pinjaman berarti meminjam sejumlah dana

dengan tingkat bunga bebas risikodan menggunakan dana ini untuk menambah

proporsi di portofolio efisien aktiva berisiko.

Model %tilitas !ang Di&arapkan

#odel utilitas yang diharapkan menyatakan bahwa para pemodal akan

memilih suatu kesempatan investasi yang diharapkan yang tertinggi. Utilitas yang

diharapkan yang tertinggi tidak selalu sama dengan tingkat keuntungan yang

diharapkan yang tertinggi. erdasarkan model ini dipergunakan beberapa aksioma

tentang perilaku pemodal dalam pengambilan keputusan investasi. 7ksioma-

aksioma tersebut adalah :

• +ara pemodal mampu memilih berbagai alternative dengan menyusun

peringkat dari alternatif-alternatif tersebut sehingga bisa diambil keputusan.


8/27

• etiap peringkat alternatif-alternatif tersebut bersifat transitif. 7rtinya kalau

investasi 7 lebih disukai daripada dan lebih disukai @, maka 7 tentu lebih

disukai daripada @.

• +ara pemodal akan memperhatikan resiko alternatif yang dipertimbangkan dan

tidak memperhatikan sifat alternatif-alternatif tersebut.

• +ara pemodal mampu menentukan certainty eAuivalent dari setiap investasi

yang tidak pasti. @ertainty BAuivalent suatu investasi menunjukkan nilai pasti

yang ekuivalen dengan nilai pengharapan dari investasi tersebut.

#odel utilitas yang diharapkan ini menggunakan asumsi terhadap sikap

pemodal terhadap risiko. ikap-sikap tersebut dikelompokkan menjadi tiga, yaitu :

• risk averse %tidak menyukai risiko*

• risk neutral %netral terhadap risiko*

• risk seeker %menyukai risiko*

Manajemen P&rt&*&l%&

#anajemen +ortofolio merupakan suatu proses bagaimana dana yangdipercayakan kepada manajer investasi dikelola. +engelolaan tersebut dapat

dilakukan secara aktif maupun pasif, menggunakan prosedur eksplisit maupun

implicit, relatip terkontrol atau tidak terkontrol.

7rah perkembangannya nampaknya adalah bahwa operasi manajemen

portofolio menjadi semakin terkontrol, sesuai dengan pendapat bahwa pasar

modal secara relatip dapat dikatakan efisien. #eskipun demikian setiap

pengelolaan investasi dapat dilakukan dengan style yang berbeda-beda, demikian

juga pendekatan yang digunakan.

erbagai lembaga mungkin membentuk portofolio sekutitas dalam

menanamkan dana yang mereka miliki. erbagai yayasan dana pensiun,

perusahaan asuransi, disamping menginvestasikan dana mereka pada berbagai

aktiva riil juga menanamkan dana mereka pada berbagai sekuritas. Dengan kata

lain disampig mereka melakukan diversifikasi investasi pada real dan financial

assets, untuk financial assets pun mereka membentuk portofolio.


9/27

2.2 TE+NI+ MEN,ARI TITI+ P!RT!"!LI! !PTIMAL PADA

E""I,IENT ET.

7da 3 persoalan portofolio yang akan dalam menentukan titik optimal pada

effisien set, yaitu :

• hort sale dibolehkan, 2ending dan orrowing rate pada tingkat bunga bebas

resiko tersedia.

• hort sale dibolehkan, tetapi 2ending dan orrowing pada tingkat bunga

bebas resiko tidak tersedia.

• hort sale tidak dibolehkan, tetapi 2ending dan orrowing rate pada tingkat

bunga bebas resiko tersedia.

• hort sale, 2ending dan orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tidak

dibolehkan.

• +enggabungan kendala tambahan.

!eknik-teknik mencari titik portofolio optimal pada effisien set yang perlu

dipahami yaitu sebagai berikut. ika ada portofolio 7, , @ dan D terletak pada suatu

minimum standard deviation set, maka pilihan investasi yang dapat diambil oleh

investor adalah seperti dalam #am$ar -.1. 7da investor yang memilih portofolio 7,

, atau @ dan dikombinasikan dengan asset bebas resiko. Investor yang lebih toleran

terhadap risiko akan memilih portofolio di sepanjang garis @D %semua dananya

ditempatkan dalam portofolio asset berisiko*. Investor yang memilih portofolio 7 dan

kurang toleran terhadap risiko dibandingkan dengan yang memilih portofolio @ dan

D. +ortofolio @ merupakan pilihan optimal bagi semua investor terlepas dari

preferensi investor yang bersangkutan terhadap return dan risiko.

onsep mengenai keputusan investasi %memilih portofolio 7, , @ atau D*

terdiri dari dua tugas yang terpisah yang dikenal sebagai separation theorem, yaitu :

&. #embuat portofolio risky assets yang optimal.

). #engalokasikan dana diantara risk free dan risky assets sehingga didapatkan satu

titik kombinasi antara risiko dan return yang sesuai untuk setiap investor. etiap

investor dapat mencapai tujuan investasinya %risiko dan return) melalui trade-off

antara lending dan borrowing.

Investor yang lebih konservatif terhadap risiko akan memilih kombinasi

portofolio risky assets dan meminjamkan %lending) atau menabung sebagian

uangnya dalam deposito dan / atau obligasi pemerintah. +ortofolio tersebut akan

terletak antara titik 6 f dan @, misalnya portofolio +. edangkan investor yang


10/27

lebih berani terhadap risiko akan memilih portofolio risky assets dimana sebagian

dana yang digunakan untuk investasi dalam portofolio tersebut dipinjam

%borrowing) dari pihak lain atau diperoleh melalui short sale. +ortofolio risky

assets dan borrowing pihak lain atau diperoleh melalui short sale. +ortofolio risky

assets dan borrowing akan terletak di sebelah kanan atas titik @, misalnya

portofolio B. adi pilihan investasi portofolio berisiko dan risk free asset bila

tingkat bunga lending sama dengan tingkat bunga borrowing, yaitu sebesar tingkat

bunga bebas risiko akan terletak di sepanjang garis 6 f C.

#am$ar -.1 +ortofolio 7sset erisiko dan ebas 6isiko

2.2.1 h&rt sale '%$&lehkan Len'%ng 'an B&rr&/%ng rate )a'a t%ngkat $unga

$e$as res%k& terse'%a.

Derivasi dari efisien set ketika hort sale dibolehkan, 2ending dan

orrowing rate pada tingkat bunga bebas resiko tersedia yaitu pada titik .

+ortofolio ini menghubungkan aset tanpa risiko dan portofolio berisiko yang

terletak terjauh dalam arah berlawanan . ebagai contoh, di 8ambar 4.&,

portofolio pada garis 6 9 - lebih disukai untuk semua portofolio lain diantara

aktiva berisiko. +erbatasan yang efisien adalah seluruh garis panjang yang

memperluas melalui 6 9 dan . erbagai titik sepanjang garis 6 9 - merupakan

jumlah yang berbeda dari borrowing dan / atau lending dalam kombinasi dengan

portofolio optimal aset berisiko .

BAuivalen mengidentifikasi garis 6 9 - adalah garis yang menghubungkan

aset tanpa risiko dan portofolio berisiko adalah hasil yang diharapkan dari

portofolio dikurangi tingkat bebas risiko dibagi dengan standar deviasi dari return

on portofolio. ehingga efisien set ditentukan dengan menemukan bahwa

portofolio dengan rasio terbesar ecess return % diharapkan tingkat bebas risiko

kembali minus* untuk standar deviasi yang memenuhi kendala bahwa jumlah


11/27

proporsi yang diinvestasikan dalam aset sama dengan &. Dalam bentuk persamaan

kita telah berikut : #emaksimalkan fungsi tujuan.

&2intner % &'4(* telah menganjurkan definisi alternatif short sale yang lebih

realistis. Dia mengasumsikan benar bahwa ketika investor short sale, kas tidak

diterima melainkan diadakan sebagai jaminan. elain itu, investor harus

memasang sejumlah tambahan uang tunai sama dengan jumlah saham yang dia

short sale. Investor umumnya tidak menerima kompensasi %bunga* dari dana

tersebut. >amun, jika investor adalah broker-dealer ,bunga dapat diperoleh pada

kedua uang memasang dan uang yang diterima dari short sale. +ersamaan diatas

ke kendala EF GiF ; & dan semua persamaan lainnya tidak berubah .

Ini adalah masalah maksimalisasi dibatasi. 7da teknik solusi standar yang

tersedia untuk memecahkan itu . ebagai contoh , hal itu dapat diatasi dengan

metode pengganda 2agrangian. 7da alternatif . kendala bisa diganti ke dalam

fungsi tujuan dan fungsi tujuan dimaksimalkan seperti dalam masalah tak terbatas.

+rosedur terakhir ini akan diikuti selanjutnya . ita dapat menulis 69 sebagai kali

69 &. Dengan demikian kita memiliki

R F =1 R F =(∑i=1

N

X i) R f =∑i=1

N

( X i R F )

#embuat substitusi ini dalam fungsi tujuan dan menyatakan kembalinya

diharapkan dan standar deviasi pengembalian dalam bentuk umum , diturunkandalam ab 3 , hasilH

#asalah yang dinyatakan sebelumnya adalah masalah maksimalisasi sangat

sederhana dan seperti dapat diselesaikan dengan menggunakan metode standar


12/27

kalkulus dasar. Dalam kalkulus itu menunjukkan bahwa untuk menemukan

maksimum dari fungsi, anda mengambil derivatif sehubungan dengan masing-masing

variabel dan mengaturnya sama dengan $ero. Demikian solusi untuk masalah

maksimisasi hanya disajikan melibatkan temuan solusi untuk sistem berikut

persamaan simultan:

&.dθ

dX 1=0

).dθ

dX 2=0

1.dθ

dX 3=0

:

>.dθ

dXN =0

6umus :

λ X 1 σ 1 i+ λ X 2 σ 2 i+ λ X 3 σ 3 i+… .+ λ X i σ i2+…..

dƟ

d X i=−¿

N −¿1 i+ λ X N σ ¿

+ λ X N −1σ ¿+ ´ Ri− R F =0

olving masalah tanpa menghambat solusi dengan

∑i=1

N

Xi=1

imbol adalah constant. ebuah trik matematika memungkinkan

modifikasi berguna derivatif. +erhatikan bahwa setiap Gk dikalikan dengan konstan

#endefinisikan sebuah variabel baru Jk ;Gk . Kariabel Gk adalah variabel untuk

berinvestasi di setiap keamanan, dan Jk sebanding dengan variabel ini.


13/27

#engganti Jk untuk Gk menyederhanakan formulasi. Untuk mengatasi Gk

setelah mendapat Jk , satu membagi setiap Jk oleh jumlah dari Jk . #enggantikan Jk

untuk G dan memindahkan varians kovarians istilah untuk sisi kanan hasil

kesetaraan.

´ Ri− R F =Z 1σ 2 i+Z 2σ 2 i+…+Z i σ i2

+…+Z N −+Z N σ N

ami memiliki satu persamaan seperti ini untuk setiap nilai i. adi solusinya

melibatkan pemecahan sistem persamaan simultan berikut :

´ R1− R F =Z 1 σ 12+Z 2 σ 12+Z 3 σ 13+… .+Z N σ 1 N

´ R2− R F =Z 1 σ 12+Z 2 σ 22+Z 3 σ 23+… .+Z N σ 2 N

´ R3− R F =Z 1σ 13+Z 2σ 23+Z 3 σ 32+….+Z N σ 3 N

⋮

´ R N − R F =Z 1σ 1 N +Z 2σ 2 N +Z 3σ 3 N +….+Z N σ N 2

Js adalah sebanding dengan jumlah optimum untuk berinvestasi di setiap keamanan .

Untuk menentukan jumlah optimal untuk berinvestasi, pertama kita memecahkan

persamaan untuk Js. @atatan bahwa ini tidak menyajikan masalah. 7da > persamaan

%satu untuk setiap keamanan* dan > yang tidak diketahui %yang Jk untuk setiap

keamanan*. #aka proporsi optimal untuk berinvestasi di saham k adalah Gk , di mana.

X k =Z

k /∑i=1

N

Z i

#ari kita memecahkan sebuah contoh. #empertimbangkan tiga sekuritas :

olonel #otors dengan pengembalian yang diharapkan dari &3 L dan standar deviasi

dari return 4L, !erpisah Bdison dengan rata-rata return ML dan standar deviasi dari

return 1L, dan Oil unik dengan rata pengembalian )=L dan standar deviasi dari

return &(L. elain itu, menganggap bahwa koefisien korelasi antara olonel #otors

dan !erpisah Bdison =.( , antara olonel #otors dan #inyak unik adalah =,) , danantara !erpisah Bdison dan #inyak unik adalah =,3 . 7khirnya, menganggap bahwa


14/27

tanpa risiko kredit dan pinjaman rate (L . +ersamaan % 4.& * selama tiga sekuritas

adalah

´ R1− R F =Z 1 σ 12+Z 2 σ 12+Z 3 σ 13

´ R2− R F =Z 1 σ 12+Z 2σ 22+Z 3 σ 23

´ R3− R F =Z 1σ 13+Z 2σ 23+Z 3σ 32

#engganti dalam nilai-nilai diasumsikan, kita mendapatkan sistem berikut persamaan

simultan :

&3 N ( ; 14J& < %=,(*%4*%1*J) < %=,)*%4*%&(*J1

M N ( ; %=,(*%4*%1*J& < 'J) < %=,3*%1*%&(*J1

)= N ( ; %=,)*%4*%&(*J& < %=,3*%1*%&(*J) < ))(J1

1onstan samadengan % ( ´ R p− Rf ) dibagi dengan ) p.

#enyederhanakan,

' ; 14J& < 'J) < &MJ1

1 ; 'J& < 'J) < &MJ1 &( ; &MJ& < &MJ) < ))(J1

+enyederhana lebih lanjut,

olusi untuk sistem ini persamaan simultan adalah 6umus:

+embaca dapat memverifikasi solusi ini dengan menggantikan nilai-nilai ini

dari Jk ke dalam persamaan tersebut. +roporsi untuk berinvestasi di setiap

keamanan mudah untuk menentukan . ita tahu bahwa setiap Jk sebanding

dengan Gk . 7kibatnya, semua yang kita lakukan untuk menentukan G k adalah

untuk skala yang Jk sehingga mereka menambah &. Untuk masalah tersebut di

atas, 6umus :


15/27

ehingga proporsi untuk berinvestasi di setiap keamanan. 6umus :

"asil yang diharapkan dari portofolio adalah : 6umus :

Karians dari pengambilan portofolio adalah, 6umus :

Ta$el -.2 Bffisien et dengan 2ending dan orrowing bebas resiko

Bfisien set adalah garis lurus dengan mencegat di tingkat bebas risiko dari

(L dan lereng sama dengan rasio kelebihan kembali ke standar deviasi %lihat

8ambar 4.)*.

2.2.2 h&rt sale '%$&lehkan teta)% Len'%ng 'an B&rr&/%ng )a'a t%ngkat $unga

$e$as res%k& t%'ak terse'%a.

etika investor tidak ingin membuat asumsi bahwa ia dapat borrowing dan

lending pada tingkat bunga tanpa risiko, solusi yang dikembangkan di bagian

terakhir harus diubah. >amun, banyak analisis masih bisa dimanfaatkan.

+ertimbangkan 8ambar 4.1. Borrowing tanpa risiko dan tingkat suku bunga

pinjaman dari (L menyebabkan pemilihan portofolio . ika lending tanpa risiko


16/27

dan tingkat borrowing menjadi 3L, investor akan berinvestasi di portofolio 7.

ika pinjaman investor dan tingkat suku bunga borrowing adalah 4L, investor

akan memilih portofolio @. +engamatan ini menyarankan prosedur berikut.

7sumsikan bahwa tanpa risiko kredit dan pinjaman tingkat ada dan menemukan

portofolio yang optimal. emudian berasumsi bahwa lending tanpa risiko yang

berbeda dan borrowing tingkat suku bunga tersedia dan menemukan portofolio

optimal yang sesuai dengan tingkat suku bunga kedua ini. !erus mengubah tingkat

suku bunga tanpa risiko diasumsikan sampai perbatasan yang efisien penuh

dipengaruhinya.

ami menunjukkan bahwa optimal +roporsi untuk berinvestasi dalam

keamanan apapun hanyalah sebuah fungsi linear dari 6 9. elanjutnya, karena

seluruh perbatasan yang efisien dapat dibangun sebagai kombinasi dari dua

portofolio yang berbaring sepanjang itu, identifikasi karakteristik portofolio

optimal untuk setiap dua nilai-nilai sewenang-wenang 6 9 cukup untuk menelusuri

perbatasan yang efisien keseluruhan.

Ta$el -.3 +ortofolio Optimum dengan tingkat suku bunga bebas resiko

berbeda-beda.

2.2.3 h&rt sale t%'ak '%$&lehkan teta)% Len'%ng 'an B&rr&/%ng rate )a'a

t%ngkat $unga $e$as res%k& terse'%a.

hort sale tidak dibolehkan, tetapi 2ending dan orrowing rate pada tingkat

bunga bebas resiko tersedia adalah salah satu menentukan portofolio optimal.

alah satu yang memaksimalkan kemiringan garis yang menghubungkan aset

tanpa risiko dan portofolio berisiko . >amun, portofolio set yang tersedia untuk


17/27

menggabungkan dengan lending dan borrowing berbeda karena kendala baru telah

ditambahkan. Investor tidak bisa menahan sekuritas dalam jumlah negatif.

6umus :

ubject to

endala %&* dan %)* yang linear kendala. #asalahnya adalah bahwa fungsi

tujuan %ekspresi kita memaksimalkan* tidak linearH P mengandung istilah yang

melibatkan G)i dan GiG j.

2.2.0 T%'ak '%$&lehkan h&rt sale Len'%ng 'an B&rr&/%ng rate )a'a t%ngkat

$unga $e$as res%k& t%'ak terse'%a.

Ingat bahwa efisien set ditentukan oleh meminimalkan risiko untuk setiap

tingkat yang diharapkan kembali. ika kita tentukan kembali di beberapa tingkat

dan meminimalkan risiko, kita memiliki satu titik tepat pada batas efisien. Dengan

demikian, untuk mendapatkan satu titik di perbatasan yang efisien, kita

meminimalkan subjek risiko untuk kembali menjadi beberapa tingkat ditambah

pembatasan bahwa jumlah proporsi yang diinvestasikandi setiap keamanan & dan

bahwa semua sekuritas memiliki positif atau nol investasi. Ini menghasilkan

berikut masalah:

6umus :

ubject !o


18/27

ervariasi 6 + antara pengembalian portofolio varians minimum dan kembali

pada return portofolio maksimum jejak keluar efisien set. ekali lagi, masalahnya

adalah kuadrat pemrograman masalah karena kehadiran istilah seperti G )i dan GiG j

%kuadrat dan istilah cross- produk*. >amun, ada paket standar yang tersedia yang

memecahkan ini masalah.

2.2. Pengga$ungan +en'ala Tam$ahan

+engenaan kendala short sale merupakan teknik solusi yang rumit, memaksa

kita menggunakan pemrograman kuadratik. ebagai contoh, beberapa manajer

ingin memilih portofolio optimal mengingat bahwa dividen yield pada portofolio

optimal setidaknya beberapa nomor %misalnya, )L*. ika kita membiarkan D

berdiri untuk dividend yield target dan di berdiri untuk dividend yield pada saham

d i, maka kita bisa memaksakan persyaratan ini dengan menambahkan kendala

keempat untuk masalah yang dijelaskan dibagian sebelumnya :

6umus :

ika kita menginginkan kendala dividen tetapi ingin short sale dibolehkan, kita

hanya menghilangkan kendala ketiga ,

6umus :

dari masalah .

+erhatikan bahwa sekali kita memaksakan kendala ketimpangan seperti

yang dijelaskan untuk dividen, kita harus memecahkan masalah pemrograman

kuadratik bukan sistem simultan persamaan, bahkan jika short sale dibolehkan.

enis lain dari kendala yang sering digunakan dalam memecahkan masalah

portofolio. #ungkin kendala yang paling sering adalah mereka yang

menempatkan batas atas variabel portofolio yang dapat diinvestasikan dalam

saham apapun. batas atas pada jumlah yang dapat diinvestasikan dalam satu


19/27

saham sering bagian dari piagam reksa dana. uga, batas atas %dan batas kadang-

kadang lebih rendah * sering ditempatkan pada variabel portofolio yang dapat

diinvestasikan dalam industri apapun. 7khirnya, adalah mungkin untuk

membangun kendala pada jumlah omset dalam portofolio dan untuk

memungkinkan pertimbangan biaya transaksi dalam menghitung return.

Ta$el -.0 Input data untuk alokasi data

,&nt&h

ab ini telah menyajikan teknik untuk memperoleh perbatasan yang efisien

ketika ada sejumlah besar aset untuk memilih dari. !abel 4.3 menunjukkan data

untuk alokasi aset masalah kami akan memeriksa. #anajer sedang

mempertimbangkan alokasi di tiga kategori 7 dan saham internasional. !iga

kategori 7 adalah saham besar, saham kecil, dan obligasi. aham besar diwakili

oleh indeks tandard dan +oor termasuk dividen, obligasi dengan indeks @redit

+emerintah arclays, dan saham kecil oleh +usat +enelitian di "arga eamanan

%@6+* saham kecil inde. Data internasional yang diperoleh dengan

menggunakan pengembalian reksa dana saham internasional. +ortofolio

internasional dipilih untuk membagi dunia menjadi sebanyak segmen non over

lapping mungkin. Demikian ada dana anada, dana Bropa, dana epang, dana

+asifik, dan muncul pasar modal. 7da beberapa tumpang tindih. Dana +asifik dan

dana epang memiliki saham di epang kesamaan. Demikian pula, pasar dan

+asifik dana berkembang memiliki beberapa negara bersama. +engaruh tumpang

tindih dapat dilihat dengan memeriksa koefisien korelasi. Itu korelasi antara dana


20/27

epang dan dana +acific =.51, yang merupakan korelasi tertinggi antara epang

dan setiap dana lainnya. +asar yang muncul adalah menarik. sebelum memeriksa

data, orang akan berharap bahwa korelasi akan sangat rendah dengan besar

negara. >amun, korelasi yang tinggi dengan pasar utama, menyiratkan bahwa

kinerjadari pasar negara berkembang sangat dipengaruhi oleh apa yang terjadi di

pasar utama.

orelasi matriks awalnya dihitung dengan menggunakan data pulang lebih

sebelum limatahun dan dihitung untuk pengembalian dinyatakan dalam dolar 7.

emudian, analis keamanan di perusahaan investasi perbankan besar

dibandingkan korelasi dihitung dengan menggunakan hasil dari paling periode

lima tahun terakhir dengan periode lima tahun sebelumnya. #enggunakan data ini

dan penilaian mereka, analis diubah beberapa nomor bersejarah untuk

mendapatkan estimasi terbaik mereka tentang korelasi yang mungkin terjadi di

masa depan.

tandar deviasi disajikan dalam return tahunan. #ereka juga dihitung lebih

lima tahun sebelumnya. ekali lagi, bagaimanapun, analis dimodifikasi mereka

sedikit memanfaatkan kedua data dari periode sebelumnya dan pengalaman

mereka untuk mendapatkan perkiraan subjektif terbaik mereka untuk masa depan.

#ean return adalah perkiraan dari perantara keuangan besar yang bersangkutan

dengan keputusan alokasi dianalisis di sini. +ada saat ini mereka cukup pesimis

pasar obligasi 7, saham anada, dan saham Bropa, dan ini tercermin dalam

mereka memperkirakan. Input akhir yang dibutuhkan adalah tingkat tanpa risiko

bunga, yang diperkirakan (L bagi investor 7 selama bertahun-tahun berikutnya.

Effisien frontier atau portofolio optimal tanpa lending dan borrowing bebas

resiko namun dengan short sales adalah angka melengkung yang ditunjukkan pada

8ambar 4.3. etiap kelas aset sebagai investasi yang terpisah diwakili oleh sebuah

titik pada 8ambar 4.3. +ortofolio minimum variance global yang memiliki return

rata-rata 4,3&L dan standar deviasi 1,'&L. +erhatikan bahwa obligasi yang jauh

adalah adalah asset yang paling berisiko. >amun, portofolio aset kurang berisiko

daripada obligasi, meskipun setidaknya berikutnya aset berisiko memiliki standar

deviasi lebih dari 1 kali lebih besar dari obligasi. alau tidak, portofolio optimal

dengan risiko yang sama seperti obligasi memiliki return rata-rata M.3)L, atau

&,')L lebih dari obligasi. Ini adalah sebuah ilustrasi dari kekuatan diversifikasi.

+erhatikan bahwa semua aset yang diadakan baik panjang atau pendek.


21/27

elanjutnya, perhatikan bahwa untuk keuntungan yang lebih tinggi %di atas

portofolio )*, short sale yang terlibat substansial dan akan melibatkan short

selling lebih dari persyaratan margin akan memungkinkan.

adi efficient frontier akan mengakhiri setelah portofolio ). +ada risiko

rendah, pembelian panjang utama adalah obligasi. eperti yang diharapkan

kembali adalah meningkat, Q +, saham kecil, dan dana +acific semua diadakan

panjang dalam substansial jumlah, dengan epang diadakan panjang dalam

proporsi yang lebih kecil. Ini semua adalah relatif portofolio dengan keuntungan

yang tinggi. +erhatikan, bagaimanapun, bahwa pasar negara berkembang, yang

lain tinggi berarti return portofolio, tidak masuk ke dalam optimal. "al ini karena

memiliki sangat tinggi korelasi dengan negara-negara lain dan dengan demikian

tidak memberikan kontribusi banyak untuk diversifikasi .Bropa dan obligasi yang

dijual singkat untuk portofolio dengan hasil rata-rata yang lebih tinggi. Ini

keduanya aset dengan keuntungan rendah. elain itu, Bropa memiliki keunggulan

yang relatif sangat berkorelasi dengan aset yang dimiliki panjang. etika aset

short sale, jangka kovarians dengan aset yang panjang adalah negatif, sehingga

mengurangi risiko. Oleh karena itu diinginkan untuk aset short sale sangat

berkorelasi dengan aset yang dimiliki lama.

Ta$el. -. E**%s%ent *r&nt%er dengan lending dan borrowing bebas resiko

dan short sales

Ta$el. -.- E**%s%ent *r&nt%er !anpa lending dan borrowing bebas resiko

dan short sales tidak dibolehkan.


22/27

ekarang mempertimbangkan solusi ketika short sale tidak diperbolehkan

dan tidak ada lending dan borrowing tanpa risiko. Efficient Frontier adalah

wilayah melengkung pada 8ambar 4.4 . omposisi untuk sejumlah portofolio

dapat dilihat pada !abel 4.3. asus di mana short sale tidak dibolehkan mungkin

kasus yang realistis untuk mempertimbangkan untuk pengelola dana pensiun yang

merupakan masalah untuk menganalisis. eperti terlihat pada !abel 4.3, portofolio

varians global minimum memiliki keuntungan yang diharapkan 4,M'L dan standar

deviasi 3,M5L. "al ini tentu saja sebuah deviasi standar yang lebih tinggi daripada

jika short sale dibolehkan. +erbandingan angka dalam tabel 4.3 dan 4.5

menunjukkan bahwa efficient frontier dengan short sale diperbolehkan berarti

menawarkan keuntungan lebih tinggi untuk risiko tertentu %baik dengan atau

tanpa lending dan borrowing tanpa risiko* ."al ini karena short sale menawarkan

peluang investasi tambahan yang digunakan.

Ta$el -. +roporsi Investasi etika Short sales tidak dibolehkan.

eperti terlihat pada !abel 4.5, portofolio minimum berisiko terutama

investasi di obligasi. !anpa short sales,risiko minimum hanya sedikit kurang dari

risiko obligasi sendiri -3,M5L dibandingkan dengan (L- dan hasil yang


23/27

diharapkan hanya =,1'L lebih tinggi. #eningkatkan risiko pada portofolio,

persentase investasi di obligasi turun, dan kami mulai berinvestasi terutama pada

saham-saham kecil dan +asifik. ebuah jumlah yang kecil di investasikan dalam

epang. #ean return portofolio tertinggi tentu saja &==L dalam aset tertinggi

kembali, obligasi +acific .

etika lending dan borrowing tanpa risiko, ef f icient frontier adalah garis

lurus ditunjukkan pada 8ambar 4.( dan 4.4. +ersamaan garis lurus yang jelas,

6umus :

ef f icient frontier dengan short sale memungkinkan lebih curam. +ortofolio

singgung untuk short sale tidak diperbolehkan memiliki kembali rata-rata &&,(&L.

euntungan yang lebih tinggi melibatkan borrowing pada tingkat suku bunga

tidak beresiko. Untuk mengelola dana pensiun yang masalah sedang dianalisis, ini

mungkin tidak layak . Untuk mengelola ini, ef f icient frontier mungkin menjadi

garis lurus segmen dari 6 9 ke titik singgung dan bentuk melengkung dari sana ke

kanan. #engingat keuntungan rendah dari portofolio singgung, pilihan

kemungkinan akan berbaring di kurva ke kanan dari portofolio singgung. "al ini

akan melibatkan obligasi, saham kecil , +acific , dan sedikit diinvestasikan di

epang. Ini akan menjadi penting untuk beragam masukan dalam kisaran yang

wajar untuk melihat bagaimanaomposisi ini akan berubah diberikan perubahan

yang wajar dalam input .


24/27

BAB III

+EIMPULAN

+ortofolio yang optimal ini dapat ditentukan dengan memilih

tingkat return ekspektasi tertentu dan kemudian meminimumkan risikonya, atau

menentukan tingkat risiko yang tertentu dan kemudian

memaksimumkan return ekspektasinya. Investor yang rasional akan memilih

portofolio optimal ini karena merupakan portofolio yang dibentuk dengan

mengoptimalkan satu dari dua dimensi, yaitu return ekspektasi atau risiko

portofolio.Dalam memilih portofolio yang optimal ada beberapa pendekatan yaitu:

+ortofolio optimal berdasarkan preferensi investor

+ortofolio optimal berdasarkan model #arkowit$

+ortofolio optimal dengan adanya simpanan dan pinjaman bebas risiko.

+ortofolio optimal berdasarkan model Indeks !unggal


25/27

PR!BLEM !LIN#


26/27

DA"TAR PUTA+A

!andelilin Bduardus, )==&. R nalisis !nvestasi dan "ana#emen

$ortofolioS,+9BTogyakarta, edisi pertama.

Jalmi Jubir, )=&&. R "ana#emen $ortofolio penerapannya dalam investasi saham%,

alemba Bmpat.

Bdwin . Blton, #artin . 8ruber, tephen . rown, ?illiam >.8oet$mann. R "odern

$ortofolio &heory and investment analysis.


27/27

makalah efficient frontier

Documents