Universit e catholique de LouvainFacult e des Sciences Appliqu eesUnit e de G enie Civil et EnvironnementalM ecanique des StructuresJean-Francois RemacleVersion provisoire - 25 Novembre 2002.Table des mati` eres1 Introduction 42 La m ethode des Coupures. 52.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Structures statiquement d etermin ees et ind etermin ees. . . . . . . . 62.3Evaluation du degr e dhyperstaticit e. . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1 Ossatures planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Ossatures spatiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 Remarques importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Principe de la m ethode des Coupures. . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Syst` eme isostatique de r ef erence. . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Inconnues hyperstatiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 Equations g en erales dela m ethode des forces. . . . . . . . 172.4.4 Calcul des co efcients 0ij et 0iP. . . . . . . . . . . . . . 202.5 D etermination des co efcients 0ij et 0iP. . . . . . . . . . . . . . 212.5.1 Hypoth` eses simplicatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2 La convention de signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.3 Inertie constante par troncons. . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.4 Evaluation des int egrales du type_m0sim0sjds par lemploide tableaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.5 Inertie variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Exemple dapplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Etablissement directe des equations de compatibilit e. . . . . . . . 252.8 Liaison avec le principe du travail minimum. . . . . . . . . . . . . 263El ements nis structuraux 293.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3El ements nis structuraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4El ements unidimensionels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5El ement de barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.1 Hypoth` eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361TABLE DES MATI`ERES 23.5.2 Application du principe des travaux virtuels . . . . . . . . 363.5.3 Discr etisation et calcul de la matrice de raideur [k

] . . . . 373.5.4Etablissement des equations d equilibre locales . . . . . . 393.5.5 Calcul de la matrice de raideur [k] : treillis de barres . . . 403.5.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6El ement de Poutre de Bernoulli-Euler en exion plane . . . . . . 453.6.1 Hypoth` eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6.2 Application du principe des travaux virtuels . . . . . . . . 463.6.3 Discr etisation et calcul de la matrice de raideur [k

] . . . . 473.6.4Etablissement des equations d equilibre locales . . . . . . 483.6.5 Calcul de la matrice de raideur [k] : Ossatures planes form eesde poutres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7 Poutres de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7.1 Hypoth` eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7.2 Application du principe des travaux virtuels . . . . . . . . 603.7.3Etablissement des equations d equilibre locales . . . . . . 603.7.4 Calcul de la matrice de raideur [k

] . . . . . . . . . . . . . 623.7.5 Discr etisation et ph enom` ene de shear locking. . . . . . 623.8El ement de poutre en torsion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8.1 Hypoth` eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.8.2 Application du principe des travaux virtuels . . . . . . . . 703.8.3 Discr etisation et calcul de la matrice de raideur [k

] . . . . 713.9 Ossatures tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.10 Structures bidimensionelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.10.1 Hypoth` ese de l etat plan de contraintes . . . . . . . . . . 753.10.2 Hypoth` ese de l etat plan de d eformations . . . . . . . . . 753.10.3 Application du principe des travaux virtuels . . . . . . . . 763.10.4 Discr etisation et calcul de la matrice de raideur . . . . . . 763.11 Plaques de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.11.1 Hypoth` eses cin ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.11.2 Forces et moments agissant dans la plaque . . . . . . . . . 783.11.3 Application du principe des travaux virtuels . . . . . . . . 803.11.4 Comparaison entre poutres de Bernoulli et plaques de Kir-chhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.12El ements nis de plaques de Kirchhoff en exion . . . . . . . . . 883.12.1 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . 883.12.2El ements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.12.3 Petit historique des el ements nis plaques (in English) . . 933.12.4 L el ement de plaque mince BCIZ . . . . . . . . . . . . . 963.13 Plaques de Reissner-Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.13.1 Hypoth` eses cin ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.13.2 Application du principe des travaux virtuels . . . . . . . . 103TABLE DES MATI`ERES 33.13.3 Comparaisonentre poutres de Timoshenko et plaques deReissner-Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.13.4El ements nis C0pour les plaques de Reissner et Mindlin. 1083.13.5 Ph enom` ene de shear locking pour les plaques epaisses . 1093.14 Flambage des structures elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.14.1 Hypoth` ese petites d eformations - grands d eplacements . . 1103.14.2 Calcul du ambement dossatures par el ements nis . . . 1113.14.3 Application du principe des travaux virtuels . . . . . . . . 1123.14.4 Discr etisation et calcul de la matrice de raideur . . . . . . 1133.15 Plaques de Von K` arm` an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Chapitre 1Introduction4Chapitre 2La m ethode des Coupures.2.1 IntroductionLa m ethode des Coupures appartient ` a la cat egorie plus g en erale dite des forces.Dans cette m ethode danalyse des structures hyperstatiques, les inconnues princi-palessont constitu eespardesgrandeursstatiques(effortsinterneset/oueffortsde liaison). Cette m ethodepeut etre` a une largegamme destructures. Lexpos epr esent e ici est d elib er ement restreint ` a lanalyse dossatures planes et spatiales ` anoeuds rigides. La notion dind etermination statique (degr e dhyperstaticit e) serapr ecis ee plus loin, tant qualitativement que quantitativement. Il importe toutefoisdenoterd` esmaintenant ladiff erencefondamentale, d ej` arencontr ee, entreunestructurestatiquement d etermin ee(ouisostatique)etunestructurestatiquementind etermin ee (ou hyperstatique).L etude dun syst` eme isostatique est accessible au d epart des seules equationsd equilibre de la statique tandis que la d etermination des efforts internes et/ou desefforts de liaison dans un syst` eme hyperstatique r eclame le recours suppl ementaireaux equationsdecompatibilit e. Cesont pr ecisement ceux-ci qui nouspermet-tront d evaluer les inconnues hyperstatiques. Rappelons, par comparaison, quunem ethode de type d eplacement (telle que la m ethode des el ements nis ) sappuiesur la d eterminationdu degr edind eterminationcin ematique, que les inconnuesprincipalessont constitu eespar des grandeurscin ematiques et que ceux-ci sob-tiennent par r esolution dun syst` eme d equations d equilibre. On peut donc etablirlanalogie suivante :M ethode InconnuesEquationsDes Forces Statiques De compatibilit eDes D eplacements Cin ematiques D equilibre5CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 62.2 Structures statiquement d etermin ees et ind etermin ees.Si nous consid erons un corps (structure) arbitraire soumis ` a laction dun syst` emede forces dans lespace x,y,z (Figure 2.1), son equilibre densemble peut etre d enipar les equations d equilibre statique :Fx = 0 Mx = 0Fy = 0 My = 0 (2.1)Fz = 0 Mz = 0Les sommations se rapportent ` a toutes les composantes de forces et de momentspar rapport aux 3 axes de r ef erence x, y, z. Nous pouvons donc ecrire 6 equationsFIG. 2.1 Corps tridimensionnel soumis ` a un ensemble de forcesd equilibre dans le cas g en eral dun corps tridimensionnel. Lorsque toutes les forcesagissent dans le m eme plan, seules 3 equations d equilibre sont exploitables. Dansle plan 0, x, y (2.2), ces 3 equations sont : Lorsque la structure etudi ee (suppos eeFIG. 2.2 Probl` eme bidimensionnelen equilibre) est sompos ee de diff erentes membrures,les equations de la statiquedoivent, bien entendu, etre satisfaites pour la structure consid er ee globalement. Enoutre, chaquebarre, chaquenoeuddassemblageet touteportionde la structuredoit, forc ement, etreen equilibre. Celasigniequeles equationsdelastatiquedoivent egalement etre satisfaites pour chaque composant, chaque noeud et chaqueportion de la structure etudi ee. Or lanalyse dune structure est en eralement men eede faon ` a calculer les efforts de liaison (r eactions) et les efforts internes. Donc, siCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 7Structure l NeIe4 3 15 3 212 6 6FIG. 2.3 Nombre defforts de liaison l, nombre d equations d equilibre Ne, degr edhyperstaticit e externe Ieceux-ci sont accessibles au d epart des seules equations d equilibre de la statique,la structure est dite statiquement d etermin ee, ou encore, isostatique. Si, parcontre,les efforts de liaison et/ou les efforts internes ne sont pas accessibles au d epart des equtions d equilibre de la statique, la structure est dite statiquement ind etermin eeou encore, hyperstatique. On voit donc que cette hyperstaticit e peut etre imputable` a diff erentes causes. On parlera dhyperstaticit e externe si le nombre defforts deliaison (r eactions) exc` ede le nombre d equations d equilibre. Quelques exemplesdhyperstaticit eexternesont repris` alaFigure2.3. Ilimportederemarquequecertainesstructuressontcaract eris eesparlapr esencededispositifsm ecaniquesgarantissant lannulation de lun ou lautre effort interne (Figure 2.4). La pr esencede ces dispositifs autorise g en eralement l ecriture dune equation d equilibre sta-tique suppl ementaire et donc, la d etermination dun effort de liaison additionnel.Par exemple, le cadre articul e ci-dessous(Figure 2.6) est caract eris epar 4 com-posantes de r eaction mais le moment echissantMdoit sannuler au droit de laCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 8Dispositif Sch ema Effort lib er erotule Mglissi` ere tangente Tcoulisse normale Ncoulisse axiale MTFIG. 2.4 Dispositifs de lib eration deffortsrotule(Figure2.5). Cetteconditionvient compl eter les3 equationsd equilibreFIG. 2.5 Rotule sur un pont m etallique.globaldelastructure. Il enr esultequeles4 composantesder eactionsontsta-tiquement d eterminables. Lhyperstaticit epeut egalement etreinterne. Ledegr edind etermination statique correspondra alors au nombre de coupures ` a introduirepour ramener le syst` eme` a lisostaticit e. Chaque coupurecorrespondra` a la sup-pressionduneffort interneinconnu(moment de exion, effort tranchant, effortnormal, moment de torsion). Physiquement, cette suppressionse mat erialiseparlintroductiondunerotule(M=0), duneglissi` eretangeante(T =0), dunecoulisse normale (N=0) ou encore, dune coulisse axiale (MT=0). Ces dis-positifs peuvent etre introduits simultan ement au droit dune m eme section. Silscorrespondent ` a lannulation de tous les efforts internes dans cette section, on par-CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 9FIG. 2.6 Cadre articul eFIG. 2.7Cadrehyperstatique(gauche) et introductiondunecoupurei.e. lalib eration des trois efforts M, N et T(droite).lera alors de coupe totale. La coupe repr esente donc la suppression de M, T, N etMT( eventuellement) dans la section o` u elle est pratiqu ee. Le nombre de suppres-sions n ecessaires pour rendre la structure isostatique repr esente, bien entendu, ledegr e dhyperstaticit e.Exemple : le cadre repr esent e (Figure 2.7) est statiquement ind etermin e au 3i` emedegr e. En effet, il devient statiquement d etermin e si on pratique une coupe dansluneoulautredesesmembrures(horizontalesouverticales). Lem emecadrepeut, bien entendu, etre rendu isostatiqueen introduisant3 rotules en 3 sectionsparticuli` eres (` a condition que celles-ci ne soient pas align ees sur la m eme droite)(Figure2.8). Enn, certainesstructurespeuvent etre` alafoisint erieurement etext erieurement hyperstatiques. Cest le cas du cadre repr esent e ` a la Figure 2.9. Cecadre est ext erieurement ind etermin e au 1er degr e. Toutefois, les efforts internes nepeuvent etre d etermin es par la statique m eme si toutes les r eactions sont suppos eesconnues. Par contre, en introduisant 2 coupes totales comme repr esent e ` a la Figure2.10, on rend possiblela d eterminationdes efforts internesau d epart des seules equations de la statique. Le cadre est donc int erieurementind etermin e au 6i` emedegr e et le degr e dhyperstaticit e total vaut 7.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 10FIG. 2.8 Structure rendue isostatique par lintroduction de trois rotules.FIG. 2.9 Cadre hyperstatique.2.3Evaluation du degr e dhyperstaticit e.On a vu au paragraphe pr ec edent que g en eralement le degr e dind eterminationstatique pouvait etre d etermin e par simple inspection de la structure etudi ee ou par evaluationdu nombre de coupures` a introduirepour ramener la coupure` a liso-staticit e. Pour un certain nombre de structures, en particulier celles comprenant ungrand nombre de composants, une telle approche peut se r ev eler perticuli` erementlaborieuse et donc, souce derreurs. Lutilisation dune proc edure formellese r ev` eled` es lors pr ef erable. Nous pr esentons ci-apr` es, deux formules applicable, dune partaux ossatures planes et, dautre part, aux ossatures spatiales.2.3.1 Ossatures planes.Etablissement dune formule brute.En chaque noeud (rigide) dassemblage, nous pouvons ecrire 3 equations d equilibre : equilibre de translation horizontale, equilibre de translation verticale, equilibre de rotation.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 11FIG. 2.10 Introductionde deux coupurestotales pour lever lhyperstaticit ein-terne.Si nous d esignons par n le nombre total de noeuds, il en r esulte que le nombre totald equations d equilibre est donn e par :Ne = 3nLesinconnuessont constitu eespar leseffortsinterneset leseffortsdeliaison(r eactions). Les efforts internes dans une barre quelconque dossature peuvent etrestatiquement d etermin es si 3 des 6 efforts dextr emit es F1, F2, . . . , F6 sont connus(Figure 2.11). En d esignant par b le nombre de barres et par l le nombre deffortsFIG. 2.11 El ement de poutre plane.de liaison, le nombre total dinconnues est donn e par :Ni = 3b +lIl en r esulte quune ossature plane ` a noeuds rigides est statiquement d etermin ee siNe = Nisoit, encore3n = 3b +lCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 12avec n = nombre de noeuds b = nombre de barres l = nombre de liaisons externes (r eactions) 3 ( 3 pour garantir au mini-mum lisostaticit e externe de la structure etudi ee).Si Ni> Ne (c.` a.d. si 3b +l > 3n), la structure est statiquement ind etermin ee et ledegr e dind etermination statique Is est donn e par :Is = NiNe = (3b +l) 3n (2.2)Etablissement dune formule afn ee.Si un noeud rigide est remplac e par une rotule, le nombre d equations d equilibresusceptibles d etre ecrite est r eduit dune unit e mais les moments echissants auxextr emit es des barres aboutissant en ce noeud sannulent aussi ... de sorte que lenombre dinconnues se trouve r eduit du nombre de barres aboutissant en ce noeud.Il importe donc den tenir compte et dafner en cons equence la formule (2.2).Evaluation du nombre d equationsLe nombre effectif d equations sevaluera au moyen de la relation :Ne = 3n mavec n=nombredenoeuds(lesnoeuds etant touslespointsdassemblageetdappui de la structure etudi ee), m= nombre d equations inexploitables du fait de lidentication dun noeudavec une rotule (imposant la conditionM=0), dune glissi` ere tangeante(imposant laconditionT =0)oudunecoulissenormale(imposant lacondition N= 0).Evaluation du nombre dinconnuesLe nombre effectif dinconnues sobtient par application de la relation :Ni = 3b +l r (2.3)avec b = nombre de barres (les barres etant d enies par 2 noeuds extr emit e), l = nombre defforts de liaison ( 3) (voir remarque 1 ci-apr` es), r = nombre defforts ` a priori nuls aux extr emit es des diff erentes barres comptetenu de la pr esence dune rotule, dune glissi` eere tangeante ou dune coulissenormale dextr emit e.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 13Degr e dind etermination statiqueComptetenudecequipr ec` ede, ledegr edind eterminationstatiques evalueracomme suit :Is = NiNeo` uNi = 3b +l rNe = 3n m2.3.2 Ossatures spatiales.Danslecasduneossaturespatiale(Figure2.12), lesrelationspr ec edentesprennent la forme suivante :Is = NiNeo` uNi = 6b +l rNe = 6n mDans ces relations,n, b et l ont la m eme signication que pr ec edemment. Seulesles d enitions de m et r m eritent d etre compl et ees : m est le nombre d equationsinexploitables du fait de lidentication dunnoeud avec une rotule (M= 0), une glissi` ere tangeante (T= 0), une cou-lisse normale (N= 0) ou une coulisse axiale (MT= 0) ; r est le nombre defforts internes ` a priori nuls aux extr emit es des diff erentesbarres compte tenu de la pr esencedune rotule, dune glissi` eretangeante,dune coulisse normale ou encore, dune coulisse axiale.FIG. 2.12 El ement de poutre dune ossature spatiale.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 142.3.3 Remarques importantes.1Il importe de remarquer que, jusqu` a pr esent, le degr e dhyperstaticit e a et ed eni sans faire r ef erence aux actions sexercant sur la structure etudi ee. Ence sens, le degr e dind eterminationstatique est une propri et e g eom etriquede la structure etudi ee : elle r esulte en effet exclusivement de sa topologieet des conditionsdappuis. Par ailleurs, toute structureest n ecessairementen rapport avec un support (sol, fondations, otteurs, ...). Ces points dap-pui doivent garantir, au minimum lisostaticit e externe de la structure. Danscertains cas toutefois, on peut rencontrer des structures sans points dappuiapparents. Celles-ci doivent etre n ecessairement soumises` a un syst` eme decharges en equilibre. Toute structure ant erieurement isostatique est dailleurssusceptible de se trouver dans cette cat egorie : en effet, les liaisons internespouvant etred etermin eesaud epart desseules equationsd equilibre, riennemp eche le calculateur de les remplacer, a priori, par des forces equivalentes(Figure2.13). Compte tenu du faitque la d eterminationdeIsne faitpasFIG. 2.13 Structure avec appuis(gauche)et remplacementdes appuispar descharges en equilibre avec les forces (droite).r ef erenceaucasdesollicitationenvisag e, lapplicationcorrectedudegr edind eterminationstatique par les formules vues plus haut requiert lintro-ductionde3liaisonsext erieuresctivesgarantissant lisostaticit eexternequelque soit le cas de charge.2Signalonsaussi quelad eterminationdudegr edind eterminationstatiquesest fait ici dans le cas g en eral de forces distribu ees de facon quelconque surla structure. Si le syst` eme et les sollicitations ext erieures sont sym etriques ouantisym etriques par rapport ` a un ou plusieurs axes, le degr e effectif dhyper-staticit e1peut sen trouver r eduit.Exemple : Un anneau ou un cadre rigide soumis` a un syst` eme de chargesen equilibre(Figure2.14)est, eng en eral, hyperstatiqueaudegr e3(voir1on pourrait d enir le egr e effectif dhyperstaticit e (pour un cas de charge d etermin e) comme etantle nombre dinconnues hyperstatiques dont la d etermination exige l ecriture effective des equationsde compatibilit e.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 15FIG. 2.14 Anneau rigide soumis ` a un syst` eme de charges en equilibre.FIG. 2.15 Poutre sans efforts normaux.remarque 1 ci-dessus). Cependant, lanneau repr esent e ci-dessous nest, enpratique, quune fois hyperstatique car, ` a cause de laxe de sym etrie Y Y , onaN=P/2 et ` a cause de laxe de sym etrieXX, on aT =0 ! La seuleinconnue hyperstatique est donc le moment M(= X1) au point 0.3Enn, dans le cas de poutres continues soumises exclusivement ` a des actionstransversales, les efforts normaux sont a priori nuls. Il en r esulte que deux equations d equilibre peuvent etre ecrites en chaque noeud. Par ailleurs, lesefforts internes (Met T) dans un el ement quelconque de la poutre peuvent etred etermin essi 2 des 4 effortsdextr emit essont connus(2.15)Les re-lations permettant de calculer le degr e dind eterminationstatique prennentalors la forme :Is = NiNeavec Ne = 2n mNi = 2b +l rCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 162.3.4 Exemples.n m Neb l r NiIs6 0 18 7 4 0 25 710 0 30 9 12 0 39 913 7 32 12 12 16 32 02.4 Principe de la m ethode des Coupures.2.4.1 Syst` eme isostatique de r ef erence.En d eterminant le degr e dhyperstaticit e dune structure, nous sommes ` a m emede pr eciser le nombre de coupures2` a pratiquer pour la ramener ` a lisostaticit e. Ilimportera, pour la suite du calcul, de choisir une structure isostatique de r ef erenceS0qui servira de base ` a l etude. Remarquons toutefois quil existe autant de struc-turesisostatiquesder ef erencequelonveutcaronpeutpratiquerlescoupuressimples arbitrairement. Il est vital toutefois de ne pas transformer le syst` eme struc-tural en m ecanisme ! On verra par la suite que le choix dun syst` eme isostatique der ef erence plut ot quun autre peut avoir une r epercussion sur la simplicit e des cal-culs ` a effectuer. Nous t acherons de pr eciser quelques r` egles g en erales permettantde choisir au mieux le syst` eme statiquement d etermin e de r ef erence.2Le terme coupureestpris au sens large :il sagitchaquefois dunesuppressionduneffortinterne ou dun effort de liaison.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 17Structure de d epart SnStructure isostatique Ext eriorisation des inconnuesde r ef erence S0hyperstatiques X1, . . . , Xn2.4.2 Inconnues hyperstatiques.Chaque fois que nous pratiquonsune coupure dans le syst` eme hyperstatiquede d epart, nous supprimons leffort interne ou de liaison Xj correspondant. Ainsi,lintroduction dune rotule conduit ` a la suppression du moment echissant tandisque la suppression dun appui mobile conduit ` a lannulation dune r eaction perpen-diculaire au chemin de roulement. La m ethode des forces a pr ecis ement commebut de d eterminer cesn forces inconnues (si n d esigne le degr e dhyperstaticit e).Les inconnues hyperstatiquesXjsont g en eralement repr esent ees sous une formeext erioris ee sur la structure isostatique de r ef erence.Exemple : Les coupures pratiqu ees pour obtenir le syst` eme isostatique de r ef erencepouvant etre tant internes quexternes au syst` eme, il doit etre bien entendu, danstout ce chapitre, que les mots force et d eplacement sont pris au sens g en eralis e.Le symbole Xjpeut donc correspondre` a une force ordinaire, une paire de forces egales et oppos ees, un moment ou une paire de moments egaux et oppos es tandisqueled eplacement associ ecorrespond` alaforceci-dessusc.` a.d., selonlecas,un d eplacement projet e, un d eplacement relatif projet e, une rotation projet ee surlaxe du couple ou, enn, une rotation relative projet ee sur laxe commun des deuxcouples.2.4.3 Equations g en erales dela m ethode des forces.Consid eronsune structurehyperstatiquede degr en (Sn) et la structureiso-statique de r ef erence (S0) qui lui est associ ee. SoientXj(j= 1, . . . , n) lesn in-connues hyperstatiques. Imaginons que la structure isostatique de r ef erence S0soitsoumise` a laction des forces ext erieures (P) et des forcesXjmomentan ementinconnues (j = 1, . . . , n). La r eponse structurale de ce syst` eme sobtient, en vertudu principe de superposition, en evaluant s epar ement les r eponses el ementaires dusyst` eme S0soumis successivement aux charges ext erieures (P) et aux efforts Xjpuis en sommant celles-ci. (Fig 2.16). Si nous nous interresons au d eplacement re-latif des 2 l` evres dune coupure arbitrairei, nous constatons quil se compose, enCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 18SnP=S0P,Xi=S0P=S0X1+. . .+S0Xi+. . .+S0XnFIG. 2.16 D ecomposition de la structure.vertu du principe de superposition, des d eplacements produits par chaque force Xjdu d eplacement produit par les forces extrieures P. Si on d esigne par : 0ijle d eplacement relatif (dansS0) des l` evres de la coupureI(dans la di-rectioni) d` a une force unit e agissant dans la coupurej(dans la directionj) 0iPle d eplacementrelatif(dansS0) des l` evres de la coupureI(dans ladirection i) produit par les forces ext erieures PCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 19alors, le d eplacement total Si vaut :niP=n

j=10ijXj +0iP(2.4)Lobjectif consiste ` a d eterminer les efforts Xj tels quils existent r eellement dans lastructure hyperstatique de d epart. Nous cherchons donc ` a proportionner ces effortsdefaon` acequilsgarantissent bienunediform eecin ematiquement admissible(c.` a.d. continue et satisfaisantaux conditions fronti` eresg eom etriques)ouencore,compatible.Sans ces conditions, la superposition deffets que traduit l equation (2.4)fournirabien le d eplacement relatifniPdes l` evres de la coupurei sans leffet des forcesext erieures dans le syst` eme hyperstatique de d epart. On a donc bien :niP=n

j=10ijXj +0iP(2.5)pouri =1, . . . , n Soitun syst` emeden equationslin eaires` an inconnues(lesXj). Ces equationssont les equationsg en eralesde la m ethode des forces. Ellesrepr esentent les equations de compatibilit e des d eplacements relatives aux n cou-puressimplespratiqu ees. Remarquonsqueles termesniP(i =1, . . . , n) sontg en eralement nuls car, au droit des coupures pratiqu ees le syst` eme hyperstatique secaract erise habituellement par une continuit e mat erielle qui exclut tout d eplacementrelatif. Par contre, si la coupurei correspond` a la suppression dun effort de liai-son externe (suppression dune r eaction verticale par exemple) alors, le terme cor-respondant niPrepr esentele d eplacement(vertical dans ce cas) du point dap-pui dans le syst` eme hyperstatique etudi e. Le calculateur peut, effectivement, etreamen e ` a investiguer leffet de mouvements dappui (tassement, ) dans un syst` emehyperstatique. Onauraloccasiondenreparler aupoint 9. Lesrelations(2.5)peuvent egalement s ecrire sous forme matricielle avec :[0].(X) = (nP) (0P) (2.6)[0] 0ij(2.7)(nP) niP(2.8)(0P) 0iP(2.9)La r esolution de ce syst` eme lin eaire fournira les inconnues Xj(j = 1, , n). Celles-ci etant d etermin ees, le probl` eme hyperstatique est r esolu : par superposition descas el ementaires, on obtient sans peine les efforts internes en tout point de la struc-ture de d epart :MnsP= M0sP +n

j=1m0sjXj(2.10)CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 20TnsP= T0sP +n

j=1t0sjXj(2.11)NnsP= N0sP +n

j=1n0sjXj(2.12)Disposant ainsi des diagrammes de d eformation, on est ` a m eme d evaluer l etatde d eplacement en tout point de la structure etudi ee en utilisant, par exemple, leth eor` eme de la force unit e ou le second th eor` eme de Castigliano [7] (puisque lastructure est suppos ee elastique lin eaire).2.4.4 Calcul des co efcients 0ij et 0iP.0ij d esigne le d eplacement relatif des livres de la coupure i (dans la direction i)d ` a une force unit e agissant dans la coupure j (dans la direction j). Ce coefcientest donc un coefcient de exibilit e.On peut le calculer ais ement par le th eor` eme de la force unit e [7]. Dans le casdune strucutre plane form ee de barres, 0ij s evalue par la relation0ij =_s0m0sim0sjEIsds +_s0n0sin0sjEAsds +_s0t0sit0sjGA1sds (2.13)o` u m0si, n0si, t0si sont les efforts internes courants dus ` a une force unit e agissant dansla coupure i, et m0sj, n0sj, t0sj sont les efforts internes courants d u ` a une force unit eagissant dans la coupure j. On voit imm ediatement que les co efcients 0ij jouissentde la propri et e suivante :0ij = 0ji(2.14)qui nest quune forme particuli` ere du th eor` eme de r eciprocit e de Maxwell [7]. Dem eme,0iPrepr esente le d eplacement relatif des l` evres de la coupurei (dans ladirectioni) suite ` a lapplication des forces ext erieures. A nouveau,0iPs evaluepar application du th eor` eme de la force unit e :0iP=_s0m0siM0sPEIsds +_s0n0siN0sPEAsds +_s0t0sit0sPGA1sds (2.15)o` uM0sP, N0sP, T0sPd esignent leseffortsinternescourantsproduitsparlesforces ext erieures (P) dans le syst` eme isostatique de r ef erence. Dans le cas dunestructure en treillis, les expressions pr ec edentes deviennent :0ij =

n0sin0sjlEAs(2.16)0iP=

n0siN0sPlEAs(2.17)o` u la somme s etend ` a toutes les barres composant le treillis.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 21FIG. 2.17 Ponts bowstring2.5 D etermination des co efcients 0ij et 0iP.2.5.1 Hypoth` eses simplicatrices.En pratique, lorsquon analyse des poutres esentiellement echies, on n egligehabituellement les d eformations dues ` a leffort tranchant et ` a leffort normal saufpour certaines constructions particuli` eres (arcs tr` es surbaiss es par exemple). Toute-fois, il importera de ne pas n egliger les d eformations dues ` a leffort normal dans lesbarres de type treillis (tendeurs, suspentes, tirants ...) que lon trouve fr equemmentincorpor es dans des assemblages de poutres (Figure 2.17 , toitures hauban ees parexemple). Hormis ces quelques cas particuliers, levaluation des co efcients 0ij et0iPreposera sur les formules :ij0=_s0m0sim0sjEIsds (2.18)0iP=_s0m0siM0sPEIsds (2.19)Dans le cas dossatures spatiales, levaluation concr` ete des co efcients 0ij et 0iPrequiert g en eralement la prise en compte des deux moments de exion, du momentde torsion et, eventuellement, de leffort normal :0ij =_s0m0xsim0xsjEIxsds +_s0m0ysim0zsiEIysds +_s0m0tsim0tsjGJsds +_s0n0in0sjEAsds(2.20)2.5.2 La convention de signe.La formulationduprobl` emelin eairereposeessentiellement surl evaluationdes co efcients 0ij et 0iP. Les int egrales correspondantes faisant intervenir chaquefois le produit de deux efforts internes sont d` es lors ind ependantes de la conven-tion de signe adopt ee car si on inverse cette convention, les deux termes du produitCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 22FIG. 2.18 Convention de signe. Traction N> 0 , Compression N< 0, Rotationdans le sens horlogique T> 0, rotation anti-horlogique T< 0changent simultan ement de signe et le signe du produit reste donc inchang e. Il estdonc inutile de donner un signe + ou - aux efforts internes tout au moins en ce quiconcerne levalation des0ijet0iP: il suft de pouvoir discerner, rapidement etsans ambiguit e, les efforts internes de m eme sens et ceux de sens oppos es. A ceteffet, on adopte g en eralement la convention suivante pour le trace des diagrammesdes moments (M0sP, m0s1, ..., m0sn) : le diagramme des moments echissants estconstruit en reportant les moments du c ot e de la bre tendue. Lors de l evaluationdes co efcients 0ij, il est alors evident que les moments report es dun m eme c ot edune barre sont de m eme sens alors que ceux report es de part et dautre sont desensoppos es. Enn, danslediagrammenaldesmoments(obtenusparsuper-position), la position de la courbe des moments par rapport ` a la barre d etermineimm ediatement la bre tendue et la bre comprim ee. Remarquons quil nexistepas de conventionde repr esentationpour les efforts normaux et les efforts tran-chants. On prendra d` es lors la pr ecaution dappliquer la convention de signe d ecritesur la Figure 2.18.En ce qui concerne le moment de torsion, on peut adopter la convention sui-vante :FIGURE 5.2On repr esente donc laction sur les noeuds.2.5.3 Inertie constante par troncons.Habituellement, les moments dinertie sont constants par troncons. Si on d esignepar lk et Ik les longueurs et inerties des diff erents troncons composant le syst` emestructural, on peut ecrire0ij =

k1EIk_lk0m0sim0sjds (2.21)0iP=

k1EIk_lk0m0siM0sPds (2.22)o` u la somme porte sur les divers troncons su syst` eme. Les int egrales peuvent etre evalu ees ` a laide des expressions analytiques des moments.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 232.5.4 Evaluation des int egrales du type m0sim0sjds par lemploi detableaux.Dans les applications num eriques habituelles, les moments m0si,m0sj, M0sP va-rient selon une loi du 1er, 2` eme ou, plus rarement, du 3` eme degr e. Il en r esulte quelon peut all eger consid erablement les calculs si lon dispose de tableaux donnantles valeurs calcul ees de ces int egrales pour les formes courantes du diagramme desmoments. Le lecteur trouvera dans le tableau 2.19 un tel tableau qui se r ev elerasatisfaisant pour la suite.2.5.5 Inertie variable.Lorsquelinertievarie, l evaluationdesco efcients 0ijparvoieanalytiquepeut ser ev eler particuli` erement laborieuse. Danscesconditions, lesm ethodesdint egrationnum eriquesser ev` elentbeaucoupplusattractives. La m ethodedestrap` ezes et, mieux encore, la m ethode de Simpson sont g en eralement utilis ees dansce cas [?].2.6 Exemple dapplication.On d esire calculer les efforts internes et les r eactions dappui dans la structuresuivante :SnP=a) D etermination du degr e dhyperstaticit e :n = 6=Ne = 3n m = 17m = 1=Is = 5b = 5l = 8 =Ni = 3b +l r = 22r = 1b) Choix dun syst` eme isostatique de r ef erence. Supprimons lappui xe C (2efforts de liaison) et lencastrement E (3 efforts de liaison). On a doncCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 24MiMj12MiMj12MiMj13MiMj12MiMj16MiMj12MiMj16MiMj(2 xL)12Mi(Mj +M

j)16Mi(2Mj +M

j)13MiMj14MiMj13MiMj112MiMj23MiMj13MiMj23MiMj14MiMj23MiMj512MiMjFIG. 2.19 Tableau des int egrales de Mohr1L_L0MiMjdsCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 25S0=2.7 Etablissement directe des equations de compatibilit e.Lobjet de ce paragraphe est de montrer que lon peut etablir directement nim-porte quelle equation de compatibilit e ` a laide du th eor` eme de la force unit e. Illustrons-le en consid erant la poutre continue repr esent ee ` a la REFERENCE FIG 7.1. Noussouhaitons etablir directementl equationde compatibilit erelative` a la i` eme cou-pure. Celle-ci est suppos ee sidentier ` a la suppression dun appui interm ediaire.FIGURE 7.1L equation de compatibilit e dont il est question doit simplement exprimer lexis-tance dun d eplacement impos e niPau droit de cet appui dans le syst` eme hyper-statique de d epart soumis aux charges ext erieures. Ce d eplacementimpos eniPest g en eralement nul. Il peut toutefois etre diff erent de 0 si nous souhaitons investi-guer leffet dun tassement dappui par exemple. Or, pr ecis ement, le th eor` eme de laforce unit e nous permet de calculer ce d eplacement en int egrant, sur le volume dela structure etudi ee, les d eformations g en eralis ees r eelles (courbures, allongement,glissement) multipli ees par les contraintes g en eralis ees (moment echissant, effortnormal, effort tranchant) equilibrant statiquement une force unit e correspondant aud eplacement cherch e. Mais il convient de souligner que les contraintes g en eralis eesdont il est question ci-dessus ne doivent satisfaire que les equations d equilibre. Ilenr esultequele champdescontraintesg en eralis eesproduitsparlaforceunit epeut- etre d etermin e dans la structure isostatique de r ef erence la plus simple. Quant` a l etat de d eformation dont il est question ci-dessus, cest bien entendu l etat ded eformation r eel du syst` eme hyperstatique. On a doncniP=_(MnsPEIs)m0sids +_(NnsPEAs)n0sids +_(TnsPGA1s)t0sids (2.23)o` u m0si, n0si, t0si sont les efforts internes (dans un syst` eme isostatique de r ef erence)dus ` a un effort unit e appliqu e dans la coupure i, et (MnsPEIs), (NnsPEAs), (TnsPGA1s) sontlesd eformationsg en eralis ees(danslesyst` emehyperstatique) duesauxchargesext erieures. Par ailleurs, l etat de d eformation r eel est identique` a celui provoqu edans le syst` emeS0par lensemble des forces ext erieures (P) et des inconnuesCHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 26hyperstatiques (X1, ..., Xn). Dapr` es le principe de superposition, on a doncMnsP= M0sP +n

j=1m0sjXj(2.24)TnsP= T0sP +n

j=1t0sjXj(2.25)NnsP= N0sP +n

j=1n0sjXj(2.26)En remplacant, dans l equation (2.23), MnsP,NnsPetTnsPpar les expressionsci-dessus, on obtient, apr` es regroupement des termes,niP=_m0si(M0sP +

j m0sjXj)EIsds +_n0si(N0sP +

j n0sjXj)EAsds +_t0si(T0sP +

j t0sjXj)GA1sds (2.27)soit, compte tenu des notations d enies ant erieurement,niP= 0iP +n

j=10ijXj(2.28)qui nest autre que l equation (2.5).2.8 Liaison avec le principe du travail minimum.L enonc e du principe du travail minimum est le suivant : Les valeurs des ef-forts redondants qui se produisent r eellement dans une structure elastique lin eairerendent minimum son energie interne. Soit, en d esignant par U l energie interneemmagasin ee dans la structure etudi ee et par Xjles efforts redondants (j = 1, ...,n) :UXj= 0 , j = 1, . . . , n (2.29)Montrons que les equations (2.29) ci-dessus ne sont, en fait, rien dautre que les equations de compatibilit e etablies ci-avant. L energie interne peut se mettre sousla formeU=_(MnsP)22EIsds +_(NnsP)22EAsds +_(TnsP)22GA1sds (2.30)o` uMnsP,NnsPetTnsPsont les efforts internes qui se d eveloppentr eellementdans la structure hyperstatique de d epart.`A nouveau, ces efforts r esultent du prin-cipe de superpositionMnsP= M0sP +

jm0sjXj(2.31)CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 27TnsP= T0sP +

jt0sjXj(2.32)NnsP= N0sP +

jn0sjXj(2.33)La conditionUXj= 0 se r e ecrit sous la formeUXj=_MnsPMnsPXjEIsds +_NnsPNnsPXjEAsds +_TnsPTnsPXjGA1sds (2.34)Si on se reporte aux relations (2.31), (2.32) et (2.33), on voit queMnsPXj= m0sj(2.35)TnsPXj= t0sj(2.36)NnsPXj= n0sj(2.37)Et doncs, la conditionUXj= 0 devient_MnsPm0siEIsds +_NnsPn0siEAsds +_TnsPt0siGA1sds = 0 (2.38)En op erant ` a nouveau la substitution indiqu ee en (2.31), (2.32) et (2.33), on obtientniP=

0ijXj +0iP= 0 (2.39)qui nest autre que la i` eme equation de compatibilit e (en supposant labsance ded eplacement dans la i` eme coupure).Exemple : Traitons le cadres ci-dessous en appliquant le principe de travail mini-mum.FIGURE 8.1a) Degr e dhyperstaticit e : on voit (ou on calcule ...) sans peine que cette struc-ture est hyperstatique de degr e 3. On choisit pour inconnues hyperstatiquesles efforts dencastrement en A soit X1, X2 et X3. On ne consid` ere que lesd eformations dues ` a la exion.FIGURE 8.2b) Application du principe de travail minimum. En supposant disposer des ef-forts X1, X2 et X3, les efforts internes ( et en particulier le moment echissant)sont calculables pour chaque membrure (barre) en exploitant les equationsd equilibre.CHAPITRE 2. LA METHODE DES COUPURES. 28FIGURE 8.3L energie de d eformation prend alors la formeU= barres_M2s2EIsdso` u lint egrale porte, chaque fois, sur une barre. Soit encore compte tenu des rela-tions pr ec edentes,U= U(X1, X2, X3, P, C)Lesconditionsdecompatibilit er esultent delapplicationduprincipedutravailminimum :UX1= 0 ,UX2= 0,UX3= 0.orUXi=

barres_MsMsXiEIsdso` u les quantit es Ms etMsXisont reprises ci-apr` es :TABLEAU 49En injectant ces expressions dans 2.29 et en r ealisant le travail dint egration,on obtient un syst` eme de 3 equations ` a 3 inconnues :***************************La r esolutionde ce syst` emefournirala valeurdes inconnueshyperstatiquesX1, X2etX3*************************************Chapitre 3El ements nis structuraux3.1 IntroductionDans le Chapitre 2, on a vu comment calculer la r epartition des efforts internesdans une structure compos eee dun assemblage de poutres. Les forces etaient lesinconnues principales du probl` eme et il etait possible de calculer a posteriori lesd eplacements de la structure.Il est aussi possible dutiliser directement les d eplacements (des noeuds) de lastructure comme inconnues. Lavantage de la m ethode des d eplacements est quelleest plus syst ematique et donc plus adapt ee ` a un traitement informatique.La m ethode des d eplacements est historiquement plus r ecente que la m ethodedes forces. En fait, il a fallu attendre 1920 pour voir apparatre lid e e d etudier desassemblages de poutres en prenant comme inconnue les d eplacements comme in-connues principales. Il est certain que, dans sa phase initiale, le d eveloppement dela m ethode a et e frein e par la taille des syst` emes d equations lin eaires pouvant etrer esolus manuellement. Une technique de relaxation d evelopp ee par Cross (1932)permit toutefois dappliquer la m ethode ` a des cas relativement complexes et sim-posa pendant plus de 25 ans comme la m ethode principale danalyse structurale.Lavenue des ordinateurs dans les ann ees 1960 permit le traitement de probl` emesjusqualors inabordables.La formulation matricielle de la m ethode des d eplacement est en fait lanc` etrede la m ethode des el ements nis. Il est difcile de dire quand et o` u les el ementsnis ont et e d ecouverts, bien quil soit clair que des papiers importants aient et epubli es dans les ann ees 1940 (Courant). Cest dans le milieu des ann ees 1950 queles premi` eres publications de base sur la m ecanique structurale sont apparues. Enparticulier, il faut mentionner la s erie c el` ebre darticles par Argyris et Kelsey dansla p eriode 1954-55 (qui a et e republi ee plus tard sous la forme dun livre) ainsi quele fameux Stiffness and Deection Analysis of Complex Structures, par Turner,Clough, Martin et Topp.Les el ementsnis sont utilis esaujourdhui dans la plupartdes domainesdeling en erie, depuis les calculs du rayonnement electromagn etique des antennes jus-29CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 30quaux linteractions uides structures entre la mer et un voilier. Cest dans le cadrede la m ecanique des structures que la m ethode des el em ents nis a et e d ecouverteet, encore aujourdhui, cest dans ce domaine quelle est la plus utilis ee et o` u laquantit e de travaux de recherche est la plus importante (Figure 3.1).Dans cet expos e, nous allons etudier les el em ents structuraux les plus impor-tants dans le cadre de la m ethode des el em ents nis. On utilisera une d emarchecommune pour chacun des el ements structuraux qui seront pr esent es :1)Etablissement dhypoth` eses cin ematiques (cest-` a-dire dhypoth` eses sur lechampded eplacement u

)et dhypoth` esessurl etat decontraintedelastructure.2)Ecriture du principe des travaux virtuels en tenant compte des hypoth` esesdu point 1).3) Choix dune discr etisation de laquelle on d eduira les equations d equilibrede la structure sous forme matricielle [k

](u

) = (f

).4) D eductions des equations locales d equilibre ` a partir du principe des travauxvirtuels.5)Ecriture des equations d equilibresous forme matricielle dans le syst` emedaxes global [k](u) = (f).Les el ements structuraux que nous allons d evelopper sont les barres, les poutres deBernoulli et de Timoshenko, les poutres en torsion. A ce point, nous serons ` a m emede calculer des ossatures tridimensionelles compos ees de poutres. Nous etudieronsensuite les el ements structuraux ` a deux dimensions : les membranes, les plaques etnalement une introduction aux el ements de coques. Tous ces d eveloppements seferont dans le cadre de l elasticit e lin eaire cest-` a-dire en utilisant la loi de com-portement la plus simple. Nous etudierons nalement les ph enom` enes dinstabilit estructurales : ambement et d eversement des poutres et voilement des plaques. Cesd eveloppements n ecessiteront lintroduction deffets du second ordre.3.2 Principe des travaux virtuelsLa forme forte (ou locale) du probl` eme de l elasticit e lin eaire s ecrit commesuit. Il sagit de trouver les champs de d eplacement ui(x), de d eformations ij(x)et de contraintes ij(x) solution des equations suivantes :FF______jij +fi = 0sur (ff.1)

ij = 1/2 (iuj +jui) = u(i,j)(ff.2)ij = cijkl

kl(ff.3)ui = Uisur U(ff.4)ijnj = Fisur F(ff.5)Les equation (ff.1) sont les equations d equilibre entre contraintes (efforts int erieurs)etforcesext erieuresfi, les equations(ff.2)exprimentlacompatibilit eavechy-poth` esedepetitesd eformationset (ff.3) est uneloi decomportement detypeCHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 31FIG. 3.1 Maillage de la structure dun trimaran avec, en superposition, le champde containtes de Von-Mises.FIG. 3.2 Domaine et sa fronti` ere divis ee en deux parties disjointes Uet FCHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 32 elastique lin eaire. Dans le cas isotrope, la loi se simplie commeij = mmij + 2ijavec les coefcients de Lam e =E(1 +)(1 2), =E2(1 +),Eetsont le module de Young et le coefcientde Poissondu mat eriau. On analement les conditions aux limites (ff.4) de types d eplacements impos esUi ettractions de surfaces impos ees Fi (ff.5).Lid ee dune m ethode en d eplacements est de supposer que le comportement etla compatibilit e sont assur ees a priori. Pour cela, on choisit un champ de d eplacementdans un espace fonctionnel sufsament continu (appelons le U, sa nature exacte estde peu dint er et ici) qui v erie a priori les conditions aux limites dites essentielles(ff.4). On choisit donc u | U avec| = (u [ u U, ui = Uisur U) .Unchampu|Uest dit cin ematiquement admissible. Onintroduit undeuxi` eme espace |0|0 = (u [ u U, ui = 0sur U) .des fonctions ` a valeurs vectorielles dont la trace est nulle sur U.Choisissons donc les inconnues de d eplacement u | et munissons nous dunensemble de fonctions test v |0. En choisissant un champ u, cin ematiquementadmissible, seules les equations (ff.1) et (ff.5) sont ` a v erier a posteriori i.e. par uncalcul. Pour ce faire, on construit une forme variationelle de l equation d equilibre(ff.1) en multipliant (ff.1) par chacune des fonctions test v et en int` egrant le toutsur le domaine :_(jij +fi)vi dv = 0 vi |0. (3.1)Apr` es avoir int` egr e (3.1) par parties, on obtient_(ijjvi +fi vi ) dv +_ijnjvi ds = 0 vi |0. (3.2)D ecomposons maintenant lint egrale de surface dans (3.2) en deux parties :_ijnjvi ds =_Uijnjvi ds. .vi|U=0+_Fijnjvi ds. .ijnj|F =Fi(3.3)CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 33En tenant compte du comportement (ff.3) ainsi que du r esultat classiqueijjvi = ijv(i,j),on obtient la formulation variationelle en d eplacements :__u(i,j) cijkl v(k,l) +fi vi_dv +_FFi vi ds = 0 vi |0. (3.4)L ecriture des equations sous la forme (3.4) est remarquable` a plus dun point devue. L equation (3.4) remplace les 5 equations (ff.1-5) de la formulation forte : ellecontient les conditions aux limites et les equations diff erentielles en une seule ex-pression. Les conditions limites cin ematiques (ff.4) sont prises en compte a prioripar le choix dun champ de d eplacements cin ematiquement admissible. Les condi-tionslimites(ff.4)sont ditesessentielles. Lesconditionsauxlimites(ff.5)sontprises en compte dans le calcul, elles sont v eri ees a posteriori. Elles sont appel eesconditions limites naturelles.Notons quilexiste des formulationsbas eessur la d enitiondun champ decontraintesstatiquement admissiblecest-` a-direv eriant(ff.1) a priori. Dans lecas dune telle approche avec un champ de contraintes statiquement admissibles,les conditions aux limites (ff.4) sont naturelles et les conditions aux limites (ff.5)sont essentielles. Les formulations en contraintes sont beaucoup plus complexes ` aimpl ementer que les formulations en d eplacements car il est difcile de construirea priori un champ de d eplacements v eriant l equilibre (ff.1).3.3El ements nis structurauxLa forme (3.4) elle sert de base` a la plupartdes m ethodes num eriquesclas-siques. La m ethode des el ements nis nechappe pas ` a cette r` egle.La m ethode des el ements nis est caract eris ee par lintroduction dune doublediscr etisation. La structure est d ecompos ee en el ements g eom etriques, en g en eralde forme simple : lignes, triangles, quadrangles, t etra` edres, hexa` edres, prismes oupyramides. Le maillage est lunion des el ements g eom etriques :T=_ee(3.5)En fonction du mod` ele structural que lon d esire utiliser, le maillage sera compos ed el ements unidimensionnels (barres, poutres, cables), bidimensionnels (membranes,plaques, coques) ou tridimensionnels ( el ements volumiques). La Figure 3.3 montrequelquesexemplesdemaillages. Notonsquilestpossibleded enirdesstruc-tures compos ees dune mixture d el ements 1D et 2D, par exemple un ensemble deplaques raidies par des poutres.La deuxi` eme etape consisteapproximerles composantesuidu d eplacementu sur chaque el ement edu maillage en utilisant un nombre ni de fonctions deCHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 34Maillage 1D dun pyl one. Maillage coque dune rame de m etro.Maillage 3D dune voiture. Maillage strcutural dun h elicopt` ere.FIG. 3.3 Maillagesbase :ui =n

A=1NA uiA(3.6)o` u NA(x) est une fonction de base ou fonction de forme et o` u uiA est un coefcientinconnu ou degr e de libert e. Les degr es de libert e sont souvent li es aux valeurs de uiaux noeuds du maillage mais ceci est loin de constituer une r` egle g en erale. Notonsque, dans (3.6), on a suppos e que chaque composante ui du vecteur d eplacement u etait approxim e en utilisant la m eme base ce qui est, la aussi, loin d etre g en eral.3.4El ements unidimensionelsDans cette section, on consid` ere des structures form ees d el ements constitifsunidimensionels connect es ensemble en une s erie de points appel es noeuds de lastructure.Il est naturel de d enir un syst` eme daxes local li e ` a l el ement unidimensionnel(Figure3.4). Les variablesmuniesdunprime commeu

xsont evalu eesdansleCHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 35FIG. 3.4 Syst` eme daxes li e ` a la poutre.syst` eme daxes local.Dans tous les el ements de structure unidimensionnels, on utilise lhypoth` esed etat uniaxial de contraintes, i.e.

22 =

33 = 0. Cette hypoth` ese sera toujours encontradiction avec les hypoth` eses cin ematiques. En effet, ` a moins que le coefcientde Poisson du mat eriau ne soit nul, aucun des

ii nest nul. La justication dunetelle th eorie est son grand int er et dans les probl` emes pratiques de ling enieur. Au-cune th eorie de barres, poutres ou plaques nest ` a la fois coh erente avec le mod` eletridimensionnel et simple en pratique.Les diff erents el ements structuraux unidimensionnelspeuvent etre regroup esendiff erentescat egoriesenfonctionde lafacondontonconstruit lechampded eplacement cest-` a-dire en fonction des hypoth` eses cin ematiques.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 363.5El ement de barreFIG. 3.5 el ement barre avec effort rasant (x

) et efforts normal concentr e N.3.5.1 Hypoth` esesL el ement de barre (Figure 3.5) est le plus simple de lanalyse structurale. Il nesupporte que des d eplacements u

x dans la direction x

. Les hypoth` eses cin ematiquespour l el ement de barre sont doncu

x = f(x

)u

y = 0u

z = 0o` u f est une fonction sufsament continue (on va pr eciser ce quon entend par suf-sament continu). On suppose ensuite que les contraintes axiales sont dominantes :

xx

yy,

zz. On a donc, vu les hypoth` eses cin ematiques et lhypoth` ese d etatuniaxial de contraintes

=__fx

0 00 0 00 0 0__et

=__Efx

0 00 0 00 0 0__.3.5.2 Application du principe des travaux virtuelsOn appliqueensuitele principedes travauxvirtuels` a l el ementde barreenchoisissant des d eplacements virtuels compatibles. Vu les hypoth` eses cin ematiques,un d eplacement virtuel cin ematiquement admissible s ecritv

x = g(x

)v

y = 0v

z = 0avec g une fonction sufsament continue. Le principe de stravaux virtuels s ecrit :_L0_Sdy

dz

..AE fx

. .

xx(f)gx

..

xx(g)dx

=_L0 g dx

+Ng(a) g (3.7)CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 37FIG. 3.6 Deux degr es de libert e pour discr etiser le d eplacement horizontal de laBarre.On peut pr eciser le terme sufsament continue qui sapplique ` a f et g. Pour quela forme (3.7) ait un sens i.e. elle donne lieu ` a des valeurs nies, il est n ecessaireque fet g appartiennent` a un espace de fonctions tel que le carr e des d eriv ees estint egrable sur . Les espaces de Sobolev sont des espaces de fonctions (ou espacesfonctionnels) d enis comme suit :Hk= Hk() = u[u L2,

xu L2, . . . , x

x

. . . x

..k foisu L2 (3.8)o` uL2 = L2() = u[_L0u2dx

< (3.9)On doit donc choisir f H1et g H1. Notons quil existe un rapport direct entrele k du Hk, la dimension du probl` eme (1D,2D ou 3D) et lordre de continuit e ausens classique des fonctions dans Hk(cest le fameux Sobolev Embedding Theo-rem). Nous ne nous attarderons pas ` a ces consid erations mais nous donnerons sim-plement le r esultat suivant : pour quune fonction f dune variable x

soit dans H1,il est n ecessaire que la fonction soit continue.3.5.3 Discr etisation et calcul de la matrice de raideur [k

]Les plus simples des fonctions continues dont la d eriv ee nest pas identique-ment nulle (i.e. il existe des d eformations) sont les fonctions lin eaires. Si on sup-pose que les d eplacements de la barre varient lin eairement entre le ses extr emit esx

=0 et x

=L, on a besoinde deuxdegr esde libert epar el ementde barrepour caract eriserson d eplacement. En vue dassurerla possiblecontinuit eentreles d eplacements dun treillis de barres, on d enit les degr es de libert e comme lesd eplacements de la barre en x

= 0 et x

=L (Figure 3.6). On a besoin de deuxfonctions de base pour interpoler le d eplacement entre x

= 0 et x

= Lf(x

) = f(0)N1(x

) +f(L)N2(x

)= (f)t (N) (3.10)CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 38avec le vecteur des fonctions de bases(N) =_N1(x

)N2(x

)_. (3.11)Les fonctions de bases sont faciles ` a d eterminer en utilisant (3.10). On trouve00.20.40.60.811.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1Nix/LN1 = x/LN2 = 1 x/LFIG. 3.7 Fonctions de base pour l el ement de barre.N1(x

) = x

/LN2(x

) = 1 x

/LOn trouveraunerepr esentationgraphiquedesfonctionsdebasedelabarresurla Figure 3.7. Dans le cadre dune m ethode variationelle, on a besoin aussi dunebase pour caract eriser lespace des fonctions test. En principe, nimporte quel choixde fonctions test est valable. En pratique, on emploie le plus souvent la m ethodeditedeGalerkinqui consiste` autiliser lesm emesfonctionstest quelesfonc-tions de base. Cette m ethode ` a lavantage de conduire ` a des syst` emes d equationssym etriques (pour les probl` emes elliptiques coercifs). Le principe variationnel end eplacements s ecrit donc, pour l el ement de barref(0)_L0EAN1x

N1x

dx

+f(L)_L0EAN2x

N1x

dx

=_L0N1dx

+NN1(a)f(0)_L0EAN1x

N2x

dx

+f(L)_L0EAN2x

N2x

dx

=_L0N2dx

+NN2(a)ou sous forme matricielle[k

](u

) = (f

) (3.12)CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 39avec la matrice de raideur[k

] =_ _L0EAN1x

N1x

dx

_L0EAN2x

N1x

dx

_L0EAN1x

N2x

dx

_L0EAN2x

N2x

dx

_, (3.13)le vecteur des forces(f

) =_ _L0N1dx

+NN1(a)_L0N2dx

+NN2(a)_=_f

x(0)f

x(L)_. (3.14)et les degr es de libert e(f) =_f(0)f(L)_=_u

x(0)u

x(L)_. (3.15)Si on suppose que E et A sont constants, on trouve[k

] = EA/L_1 11 1_. (3.16)Linterpr etationde la matrice [k

] est tr` es importante. k

IJest la forcequil fautappliquer au noeud I pour obtenir un d eplacement unitaire au noeud J. La matrice[k]

est appel ee matrice de raideur de l el ement. L equation (3.12) est lexpressionmatricielledel equationd equilibre. L equationk

IIu

I+k

IJu

J=f

Iexprimel equilibre des forces au noeudI i.e. la somme des forces internes dues aux deuxd eplacementsest egale` alaforceappliqu eeaunoeud. Notonsquonar epartileffort rasant aux noeuds. Cest evidemment une approximation et cest la seulecause derreurs introduite dans le mod` ele.3.5.4Etablissement des equations d equilibre localesFIG. 3.8 Barre charg ee et x ee en x

= L.Reprenons le principe variationnel et essayons den d eduire l equation diff erentiellecorrespondante. Prenons lexemple de la barre sur la Figure 3.8. En int egrant parparties (3.7), on trouve_L0AE 2fx2gdx

+AE fx

gdx

_L0=_L0 g dx

+Pg(0) g. (3.17)CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 40En regroupant les termes et en tenant compte que g(L) = 0 car g |0, on obtient_L0AE_2fx2+_gdx

+_AE fx

P_g(0) = 0 g. (3.18)L equation (3.18) est vraie pour tout g |0. Elle est donc vraie pour une fonction 0 telle que g(0)= 0 (g=x

/L(1 x

/L) par exemple). Dans ce cas on doitautomatiquement avoir que :x

EA fx

+ = 0 (3.19)Cest l equation diff erentielle d equilibre de la barre que nous cherchions. L equation(3.18) est vraie pour g tel que g(0) = 1. dans ce cas, on en d eduit que :AE fx

[x

=0 = P. (3.20)Cest la condition limite naturelle. Si on pose, comme on le fait habituellement enr esistance des mat eriauxN= AE fx

,on trouve les relations classiquesNx

+ = 0 (3.21)etN[x

=0 = P. (3.22)Si leffort rasant est nul, alorslasolutionexactedel el ement debarreest und eplacementlin eaire. Les el em entsnis donnerontdonc la solutionexacte dansce cas.3.5.5 Calcul de la matrice de raideur [k] : treillis de barresLes treillis de barres sont des assemblages de barres reli ees par des rotules o` ules efforts sont appliqu es aux noeuds et pas sur les barres elle-m emes. Une ossaturespatialeform eedebarresconnect eepardesnoeudsrigidespeutfonctionnerentreillis (cest-` a-dire que lon peut n egliger la exion) sous certaines conditions :Les forces sot appliqu ees aux noeuds de la structure,La structure telle que lon remplace les noeuds par des rotules ne comportepas de m ecanismes. La structure de la Figure 3.9 nest, par exemple, pas untreillis.Le treillis de la Figure 3.9 est compos e de 5 barres et 4 noeuds. Nous allons main-tenant expliquer comment calculerlamatricederigidit eduntreillisdebarresaucomplet. Nousd etailleronsensuitecomment ajouterdescontraintesdetyped eplacement impos e et eliminer les modes rigides en vue d etre capable de calcu-ler les d eplacement de la structure.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 41FIG. 3.9 Structure` a noeudsrigidequinest pasun treillis(gauche)et treillis(droite) compos e de 5 barres et 4 noeuds.Nousavonscalcul edanslasection 3.5lamatricederigidit edunebarredansses axes propres. Une barrea deuxdegr esde libert equi correspondent aud eplacement de sesextr emit esavec unevariationlin eairedu d eplacement entreces extr emit es. Dans un treillis de barres, chaque barre a un syst` eme daxes proprea priori diff erent pour chaque barre. La premi` ere etape de lassemblage consiste ` acalculer la matrice de raideur dune barre dans un syst` eme daxes commun 0, x, y, z.Dans le cas dun treillis de barres dans le plan 0, x, y, chaque barre poss` ede quatredegr es de libert e : un d eplacement suivant chaque direction pour chaque extr emit edelabarre(Figure3.10). On ecrit l equationd equilibredelabarreentenantFIG. 3.10 Barre dans le syst` eme daxes global.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 42compte des d eplacements orthogonaux u

yEA/L__1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0______u

x(0)u

y(0)u

x(L)u

y(L)____=____f

x(0)f

y(0)f

x(L)f

y(L)____. (3.23)Nous savons en outre que, vu la congurationg eom etrique d ecrite sur la Figure3.10, que(u

) =____u

x(0)u

y(0)u

x(L)u

y(L)____=__cos() sin() 0 0sin() cos() 0 00 0 cos() sin()0 0 sin() cos()______ux(0)uy(0)ux(L)uy(L)____= [T](u)Il existe une relation identique pour les forces(f

) = [T](f).Notons que la matrice [T] est orthogonaleet que son inverse est par cons equent egal ` a sa transpos ee. L equilibre donne donc dans des axes globaux[k

](u

) = (f

) =[T]1[k

][T](u) = (f). (3.24)On d eduit de (3.24) la matrice de raideur de la barre dans les axes globaux[k] = [T]1[k

][T] =EA/L__cos2() sin() cos() cos2() sin() cos()sin() cos() sin2() sin() cos() sin2()cos2() sin() cos() cos2() sin() cos()sin() cos() sin2() sin() cos() sin2()__3.5.6 ExemplesEn vue dillustrer la mani` ere de calculer la matrice de raideur globale du treillis,onconsid` ereleprobl` emed ecrit surlaFigure3.11. Cetreillisestcomps ede3noeuds et 2 barres. Il existe donc 6 degr es de libert e dans le syst` eme i.e. 2 pourchaquenoeud. Si uid esigneled eplacement dunoeudidansladirection,l equilibre des deux barres s ecrit :EAL__1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0______ux1uy1ux2uy2____=____000F____barre 1 2CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 43FIG. 3.11 Treillis de 2 barres.EA2L__1/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/2______ux3uy3ux2uy2____=____000F____barre 3 2L equation d equilibre du treillis sobtient par assemblage des matrices de raideursdes diff erentes barresEA22L2666666422 0 22 0 0 00 0 0 0 0 022 0 1 + 22 1 1 10 0 1 1 1 10 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1377777750BBBBB@ux1uy1ux2uy2ux3uy31CCCCCA=0BBBBB@000F001CCCCCALa matricede raideurglobalenestpasinvertiblecar lesyst` emenoncontraintposs` ede un certain nombre de modes rigides i.e. des combinaisons de d eplacementsqui ne d eformentpas la structure: translationsuivant x ouyainsi quunmodede rotation. Cela se traduit par le fait que la matrice de raideur globaleposs` ede3valeurspropresnulleset3vecteurspropres1relatifsquicorrespondent ` aunetranslationsuivant x, unetranslationsuivant yetunerotation. Limpositiondecontraintes sur le champ de d eplacement permet d eliminer les modes rigides. Ilsagit demp` echerlesmodesdetranslationenxant aumoinsund eplacementsuivant chaque direction et emp` echer les rotations. Il existe 3 m ethodes principalespour imposer des conditions aux limites dans le cadre de la m ethode des el ementsnis.La premi` ere m ethode est la plus brutale et consiste ` a ajouter une raideur propre 1 elev ee au noeud et dans la directionque lon veut xer. Dans le cas delexemple de la Figure 3.12, l equation d equilibre devient :1La matrice de raideur est sym etrique ce qui entrane quelle poss` ede des valeurs propres r eelleset quelle est diagonalisable.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 44FIG. 3.12 Conditions aux limites pour le treillis de la Figure 3.11EA22L26666664 + 22 0 22 0 0 00 0 0 0 022 0 1 + 22 1 1 10 0 1 1 1 10 0 1 1 + 1 10 0 1 1 1 + 1377777750BBBBB@ux1uy1ux2uy2ux3uy31CCCCCA=0BBBBBB@000F0EA22LUy31CCCCCCACe syst` eme est invertible et donne la solution. N eanmoins, le conditionnement dusyst` eme ` a r esoudre se d egrade enorm ement 2. Cela entrne des difcult es num eriquespourlinverser. Deplus, ilest difciledechoisirapriori unevaleurdequiconvienne si les raideurs des el ements de barres sont tr` es diff erentes. Cette solu-tion est donc la plus simple mais certainement pas la plus efcace.La deuxi` eme facon dimposer les conditions aux limites est d eliminer directe-ment du syst` eme les inconnues ui dont la valeur est x ee. Dans le cas de lexemplede la Figure 3.12, on aEA22L2666666422 0 22 0 0 00 0 0 0 0 022 0 1 + 22 1 1 10 0 1 1 1 10 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1377777750BBBBBB@00ux2uy20Uy31CCCCCCA=0BBBBBB@000F001CCCCCCALes lignes correspondant aux inconnues x ees sont inutiles. Il reste donc 2 equationsEA22L_1 + 22 11 1_ _ux2uy2_=_EA22LUy3EA22LUy3F_Lasolutionduprobl` emepourlesdeuxsollicitationsprisess epar ement est es-quiss ee sur la Figure 3.13.2Le conditionnement dun syst` eme d equations lin eaires est egal au rapport des plus grande etplus petite valeurs propres.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 45Uy3 = 0 = F= 0 =ux2 =F2L2EA, uy2 = F(2+2)L2EAux2 = 0 , uy2 = Uy3FIG. 3.13 D eformations.3.6El ement de Poutre de Bernoulli-Euler en exion planeFIG. 3.14 D eection de la bre neutre pour une poutre de Bernoulli. Les sectionssubissent une rotation simple et les angles sont pr eserv es (pas de glissement).3.6.1 Hypoth` esesDans le mod` ele de Bernoulli-Euler, on adopte les hypoth` eses cin ematiques sui-vantes pour la exion pure :u

x = y

fx

u

y = f(x

) (3.25)u

z = 0CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 46avecfune fonction sufsament continue qui repr esente la d eection de la breneutre (la notion de continuit e minimum pour la exion des poutres est diff erentede celle des barres, nous allons le pr eciser plus loin). Les hypoth` eses (3.25) corres-pondent au cas o` u les sections droites de la poutres restent orthogonales` a la breneutre apr` es d eformation (Figure 3.14). Sous ces hypoth` eses, les sections droitesde la poutre ne subissent aucun glissement. En effet,2

xy =u

xy

+u

yx

=fx

fx

= 0Ceci ne veut en aucun cas dire quil nexiste pas defforts tranchants dans la sec-tion : sil existe des forces ext erieures(x

) ouT(Figure 3.14) dans le plan dela poutre, elles doivent evidemment entraner lexistance defforts tranchants. Ici,tout se passe comme si la poutre soumise ` a des efforts tranchants etait inniment ri-gide au cisaillement et ne subissait pas de glissement. Cest encore une fois une in-coh erence inh erente aux hypoth` eses de d epart mais qui ne porte pas ` a cons equensespar la suite. Dans un paragraphe suivant 3.7, nous introduirons un autre mod` ele depoutre avec dautres hypoth` eses cin ematiques qui permettront la prise en comptede leffort tranchant (mod` ele de Timoshenko).On a donc, vu les hypoth` esescin ematiqueset lhypoth` esed etat uniaxialdecontraintes

=__y2fx20 00 0 00 0 0__et

=__Ey2fx20 00 0 00 0 0__.3.6.2 Application du principe des travaux virtuelsNous d esirons maintenant ecrire le principe des travaux pour la poutre de Ber-noulli. Pour cela, on a besoin de d enir un ensemble de d eplacements virtuels vcompatibles avec les hypoth` eses cin ematiques. La facon la plus simple est de choi-sir unefonctioncontinueget desd eplacementsvirtuelsvavecv

y=g(x

), etv

x= y gx

et de construire un champ de d eformations admissible y 2gx2. Leprincipe des travaux virtuels s ecrit donc_L0_Sy2dy

dz

. .I

zE 2fx2. .

xx(f)2gx2..

xx(g)dx

=_L0g dx

+Tg(a) Mgx

(b) g.(3.26)La forme (3.26) fait intervenir le carr e des d eriv ees secondes de champs de d eplacementsf et g. Les champ de d eplacements f et g devront donc appartenir ` a H2() cest-` a-dire quil devront avoir leurs d eriv eesfx

continues aux jonctions des poutres3.3pour les barres de la section3.5, seul le d eplacement devait etre continu mais pasn ecessairement sa d eriv ee.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 47FIG. 3.15 Quatre degr es de libert e pour discr etiser le d eplacement vertical de lapoutre de Bernoulli.3.6.3 Discr etisation et calcul de la matrice de raideur [k

]En vue dobtenir une discr etisation dans C1cest-` a-dire o` u le champ de d eplacementsa sa d eriv ee continue aux jonctions des poutres, il est naturel de choisir degr es delibert es un d eplacement u

yi, i=1, 2 aux 2 extr emit es de la poutre ainsi que lad eriv e du d eplacementu

yi/x

=

zi, i = 1, 2 aux 2 extr emit es (Figure 3.15).Ce faisant, on garanti a priori la continuit e du d eplacement et de sa d eriv ee. Lesfonctions de base Ni de la poutre seront donc au minimum des cubiques. On ecritf(x

) = N1(x

) f(0)..u

y1+N2(x

)fx

(0). .

z1+N3(x

) f(L)..u

y2+N4(x

)fx

(L). .

z2. (3.27)On peut donc ais ement calculer les fonctions de base en tenant compte de (3.27).Par exemple, on a pour N2 que N2(0) = N2(L) =N2x

(L) = 0 etN2x

(0) = 1 cequi donne 4 conditions pour calculer les 4 param` etres dun cubique. On a donc, sion pose t =_x

L_,N1(x

) = (2t + 1) (t 1)2N2(x

) = Lt (t 1)2N3(x

) = t2(2t + 3) (3.28)N4(x

) = L(1 t) t2.Les polyn omes Ni de (3.28) sont des polyn omes de Hermite. Il est possible mainte-nant d ecrire l equilibre de la poutre sous la forme matricielle (3.12). La matrice deraideur [k

] de l el ement de poutre de Bernoulli est une matrice 44 dont l el ementkij =_L0EI

z2Nix22Njx2dx

CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 48-0.200.20.40.60.811.21.40 0.2 0.4 0.6 0.8 1Nix/LN1N2N3N4FIG. 3.16 Fonctions de base pour l el ement de poutre de Bernoulli.peut se calculer ais ement si linertie I

z de la poutre et le module de Young E sontconstants :[k

] =EI

zL3__12 6L 12 6L6L 4L26L 2L212 6L 12 6L6L 2L26L 4L2__. (3.29)Le vecteur des forces de la poutre s ecrit(f

) =______L0N1 dx

+TN1(a) MN1x

(b)_L0N2 dx

+TN2(a) MN2x

(b)_L0N3 dx

+TN3(a) MN3x

(b)_L0N4 dx

+TN4(a) MN4x

(b)_____(3.30)tandis que le vecteur de degr es de libert e de la poutre s ecrit(u

) =____u

y1

z1u

y2

z2____. (3.31)3.6.4Etablissement des equations d equilibre localesReprenons le principe variationnel de la poutre et essayons den d eduire l equationdiff erentielle correspondante. Prenons lexemple de la poutre sur la Figure 3.17. EnCHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 49FIG. 3.17 Poutre charg ee et x ee en x

= L.int egrant deux fois par parties (3.26), on trouve_L02x2_I

zE 2fx2_gdx

x

_I

zE 2fx2_g_L0+I

zE 2fx2gx

_L0=_L0g dx

+Tg(0) Mgx

(0) g. (3.32)En regroupant les termes et en choisissantg tel que que g(L) =g/x

(L) = 0,on obtient4_L0_2x2_I

zE 2fx2_+_gdx

+_x

_I

zE 2fx2_(0) T_g(0)dx

+_I

zE 2fx2 M_gx

(0) = 0 g. (3.33)L equation (3.33) est vraie pour tout g |0. Elle est donc vraie pour une fonctiong 0 telle que g(0) = g/x

(0) = 0 (g =N1N3 par exemple). Dans ce cas ondoit automatiquement avoir que :2x2_I

zE 2fx2_= . (3.34)Cest l equation diff erentielle d equilibre de la poutre que nous cherchions. L equation(3.33) est vraie pour g tel que g(0) = 1 et g/x

(0) = 0. On en d eduit que :x

_I

zE 2fx2_(0) = T. (3.35)Cest une condition limite naturelle. Lautre condition limite naturelle est obtenueen choisissant g tel que g/x

(0) = 1. On a la deuxi` eme condition naturelleI

zE 2fx2(0) = M. (3.36)4On a, dans ce cas, U0= {g | g H2, g(L) = g/x

(L) = 0}CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 50Si on pose, comme on le fait habituellement en r esistance des mat eriauxI

zE 2fx2= M(x

),on trouve les relations classiques2Mx2+= 0, (3.37)etMx

= T. (3.38)Si leffort tranchant est nul, alors la solution exacte de l el ement de poutre est und eplacement cubique. Les el em ents nis donneront donc la solution exacte dans cecas. Le moment de exion M(x

) peut etre ais ement calcul e en utilisant (3.36). OnaM(x

)I

zE=2f(x

)x2=1L2_2N1(t)t2u

y1 +2N2(t)t2

z1 +2N3(t)t2u

y2 +2N4(t)t2

z2_=1L2_(12t 6)u

y1 +L(6t 4)

z1 + (12t + 6)u

y2 +L(6t 2)

z2_.Le moment de exion est lin eairesur chaquepoutre. Leffort tranchantpeutluiaussi etre calcul e :T(x

)I

zE=3f(x

)x3=1L3_3N1(t)t3u

y1 +3N2(t)t3

z1 +3N3(t)t3u

y2 +3N4(t)t3

z2_=1L3_12u

y1 + 6L

z112u

y2 + 6L

z2_.ExempleOn consid` ere la poutre console de la Figure 3.17. On suppose que M= T= 0,que =1, queI

z=1, queE=1 et queL=1. La r esolutionde l equationdiff erentielle avec les conditions aux limites donne la d eform ee exacte de la poutre :fex(x

) =124_x44x

+ 3_(3.39)Voyons ce que donne la solution par el ements nis. On a__12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4______u

y1

z100____=______10N1dx

_10N2dx

_10N3dx

_10N4dx

_____(3.40)CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 51On utilise la m ethode de r eduction vue plus haut pour obtenir le syst` eme_12 66 4_ _u

y1

z1_=_1/21/12_(3.41)dont la solution est_u

y1

z1_=_3/244/24_. (3.42)La d eexion de la poutre calcul ee par la m ethode des el ements nis donne donc :fef(x

) =324N1424N2 =_(x

1)2(2x

+ 3)_.La gure 3.18 permet de comparer les solutions exacte et par el ements nis. Calculons-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020 0.2 0.4 0.6 0.8 1fx

fex : Solution exactefef:Elements nis cubiquesFIG. 3.18 Comparaison entre solution exactefex et solution par el ements nisfef de la exion dune poutre console.maintenant les contraintes g en eralis ees (moments de exion) dans la barre. EllesvalentMex = EI

z2fexx2= 1/2x2etMef= EI

z2fefx2= x/2 1/12La Figure 3.19 montre une comparaisonentreMexetMef. On voit quil existedeux points o` u les solution exactes et approch ees coincident. Ces points sont duneCHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 52grande importance dans la th eorie des el ements nis : ce sont les racines des po-lyn omes de Legendre5du deuxi` emedegr e. En ces pointsdits points de Gauss-Legendre, on observe en g en eral que les contraintes, si elles ne sont pas evalu eesexactement, le sont en tout cas avec une plus grande pr ecision. Il est commun duti-liser cette super-convergencedes contraintes aux points de Gauss-Legendre pourconstruire un champ de contraintes de degr e sup erieur par une technique dinter-polation a posteriorien utilisant comme points de contr ole les points de Gauss-Legendre. Dans notre exemple, on aurait pu reconstruireun champ de momentsMref en utilisant la valeur de Mef aux deux points de Gauss-Legendre et une autrevaleur connue enx

=0 (on sait queMex(0)=0 car la poutre est libre en cepoint). Ce champ reconstruit est exact. On peut aussi utiliser ces r esultats recons-truits pour evaluer lerreur de discr etisation :MexMef Mref MefLes estimateurs derreur d evelopp es initialement par Zienkiewicz et Zhu [?] uti-lisent la superconvergence des solutions el ements nis aux points de Gauss-Legendrepour estimer lerreur de discr etisation a posteriori.-0.100.10.20.30.40.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1MxMefMexFIG. 3.19 Comparaisonentre solutionexacteMexet solutionpar el ements -nis Mefde la exion dune poutre console charg ee uniform ement. Notons que lemoment Mef est non nul en x

= 0.Une autre remarque int eressante concernant ce probl` eme concerne le moment5Les polyn omes de Legendre peuvent se calculer par la formule de r ecurrence (n1)Pn+1(t) =(2n + 1)(t 1/2)Pn(t) nPn1(t) avec P0(t) = 1 et P1(t) = x 1/2. Ils sont orthogonaux ausens de la mesureR10PiPjdt = K(i, j)ij.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 53M en x

= 0. Ce moment Mex est nul en ce point car la poutre est libre en ce point.La solution num erique Mef nest pas nulle. Ceci nest en aucun cas une erreur dansle concept des el ements nis. Cette erreur montre que, si la solution par el ementsnis est en equilibre en moyenne cest-` a-dire le r esidu pond er e de l equilibre estnul pour chacune des fonctions test, l equilibre local, lui, nest pas n ecessairementv eri e. Sil l etait, la solution par el ements nis coinciderait avec la solution exactedu probl` eme, et ce nest evidemment pas toujours le cas. Le d efaut d equilibre enx

=0 est une image de lerreur de discr etisationcommise lorsquon r esout unprobl` eme par la m ethode des el ements nis. Il existe une cat egorie destimateursderreur a posterioriqui calculentles d efauts d equilibredes solutions el ementsnis pour estimer lerreur de discr etisation. Les travaux de Babuska, Oden et Aisn-worth [Ainsworth & Oden(2000)] sont les plus importants dans ce domaine` a cejour.3.6.5 Calcul de la matrice de raideur[k] : Ossatures planes form eesde poutresNous avons calcul e dans la section 3.5 la matrice de rigidit e dune barre sou-mise` alatractiondanssesaxespropres. Unetellepoutreposs` ededeuxdegr esde libert eu

x1 etu

x2 qui correspondent aux d eplacements suivant laxex

de sesextr emit es 1 et 2. Nous avons calcul e dans la section 3.6 la matrice de rigidit edunepoutresoumise` alaexionpuredanssesaxespropres. Unetellepoutreposs` ede quatre degr es de libert e qui correspondentaux d eplacementsu

y1etu

y2et auxrotations

z1et

z2de sesextr emit esautourde laxez

. Dans uneossa-ture plane form ee de poutres charg ees en exion et en traction, chaque poutre a unsyst` eme daxes propres. La premi` ere etape de lassemblage consiste` a calculer lamatrice de raideur dune poutre dans un syst` eme daxes commun 0, x, y. Dans cecas, chaque poutre poss` ede six degr es de libert e : un d eplacement suivant chaquedirection pour chaque extr emit e et une rotation suivant z. En posant Ra = EA/Let Rf= EI

z/L3, on ecrit l equation d equilibre de la poutre comme dhabitude[k

](u

) = (f

)avec[k

] =__Ra0 0 Ra0 00 12Rf6RfL 0 12Rf6RfL0 6RfL 4RfL20 6RfL 2RfL2Ra0 0 Ra0 00 12Rf6RfL 0 12Rf6RfL0 6RfL 2RfL20 6RfL 4RfL2__,CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 54FIG. 3.20 Poutre console avec une force concentr ee en son centre.(u

) =________u

x1u

y1

z1u

x2u

y2

z2________et (f

) =________f

x1f

y1m

z1f

x2f

y2m

z2________.La relation entre degr es de libert es dans les axes locaux et degr es de libert es dansles axes locaux s ecrit :(u

) = [T](u) et (f

) = [T](f)avec la matrice orthogonale de rotation :[T] =__cos() sin() 0 0 0 0sin() cos() 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos() sin() 00 0 0 sin() cos() 00 0 0 0 0 1__(3.43)L equilibre de la poutre dossature plane dans le syst` eme daxes globaux x, y s ecritdonc[T]1[k

][T]. .[k](u) = (f).Le calcul analytique de la matrice de raideur [k] nest pas pr esent e ici. En g en eral,on effectuera ce calcul de facon num erique.3.6.6 ExemplesExemple 1.On consid` ere le probl` eme de la Figure 3.20. Notons d` es maintenant que la solu-tion en termes de d eplacements est continue mais la d eriv ee troisi` eme du d eplacementCHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 55(leffort tranchant) est discontinueenx

=0.5. Lasolutionanalytiquedeceprobl` eme est la suivante :fex(x

) =_1/8x

+ 5/48si x

< 0.51/6(x

0.5)31/8(x

0.5) + 1/24si x

< 0.5Nous allons ensuite r esoudre ce probl` eme en utilisant un seul el ement de poutre.Dans ce cas, la solution el ements nis sera une cubique dont la d eriv ee troisi` emeest constante. On voit donc quil est impossible de r esoudre ce probl` eme exacte-ment en employant un seul el ement. La matrice de raideur de cette poutre a sonexpression donn ee dans (3.46). Le vecteur des forces est(f

) =____N1(0.5)N2(0.5)N3(0.5)N4(0.5)____et le probl` eme s ecrit donc_12 66 4_ _u

y1

z1_=_1/21/8_(3.44)dont la solution est_u

y1

z1_=_5/486/48_. (3.45)La d eexion de la poutre calcul ee par la m ethode des el ements nis donne donc :fef(x

) =148_(x

1)2(4x

+ 5)_.La gure 3.21 permet de comparer les solutions exacte et par el ements nis.Exemple 2.Discr etisonsmaintenantla poutreen deux parties (Figure 3.22). Le syst` emeposs` ede d` es lors 6 degr es de libert e. Les equations d equilibre s ecrivent :__12 6 12 6 0 06 4 6 2 0 012 6 24 0 12 66 2 0 8 6 20 0 12 6 12 60 0 6 2 6 4__________u

x1

z1u

x2

z200________=____0020____(3.46)La solution exacte est donn ee en (3.39). Calculez la solution par el ements nis enutilisant 2 el ements (2 be continued...).CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 56-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020 0.2 0.4 0.6 0.8 1fx

fef:Elements nis cubiquesfex : Solution ExacteFIG. 3.21 Comparaison entre solution exactefex et solution par el ements nisfef de la exion dune poutre console charg ee en son centreExemple 3.On consid` erele treillisdela Figure3.23. Nous allonscomparerlasolutionbarres et la solution poutrespour un treillis. Chacune des barres est de sec-tion carr ee de c ot e 5cm. Le mat eriau est un acier doux avec un module de youngde 210 109Pa. La structureest charg ee par une seule force appliqu eeau noeud10delastructureetdevaleur10000N. Lebutdecetexempleestdemontrerquil est en g en eral possible de n egliger, dans un treillis, les d eformations dues ` a laexion quand les forces sont appliqu ees aux noeuds, m eme si les joints inter-barres(noeuds) ne sont pas libres en rotation (articulations) dans le cas de la mod elisationpoutre (dans lexemple, les noeuds 1 et 2 de la structuressont encastr es pour lemod` ele poutres tandis quils sont des rotules pour le mod` ele barres). Nous avonsutilis e le programme C fourni en annexe pour calculer les d eplacements de la struc-ture et le logiciellibregmsh pour les maillageset les visualisations. La Figure3.24 montre une comparaison entre les d eformations pour les mod` eles de barres etpoutres. Les diff erences sont de lordre du pourcent.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 57FIG. 3.22 Poutre console avec une force concentr ee en son centre discr etis ee endeux parties.ZYX16 15 14 1312 11 10 98 7 6 5 4 3 2 110987654321FIG. 3.23 Treillis charg e par une force verticale au noeud 10.ZYXFIG. 3.24 D eplacements (ampli es) pour une structure compos ee de barres ou depoutres.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 583.7 Poutres de Timoshenko3.7.1 Hypoth` esesDans le paragraphe 3.6, nous avons opt e pour des hypoth` eses cin ematiques quiexcluaient le cisaillement. Si h/L d esigne le rapport entre la grandeur transversalecaract eristique h de la poutre et sa longueur L, on peut montrer que

xy

xx= O_hL_et

yy

xx= O_hL_2.On voit doncque, pourdes poutrespetitesou trapues, il est n ecessairede tenircompte du cisaillement. Par contre, on n egligeratoujoursles contraintesaxiales

yy et

zz.Outre la tendance ` a d evelopper des el ements structuraux qui prennent en comptele cisaillement, on essaye de plus en plus dutiliser des sch emas num eriques qui uti-lisent des interpolations C0(continues mais pas n ecessairement d erivables au sensclassique) i.e. des champs de d eplacement dans H1. Sil est en effet assez simplede construire des interpolations continues, la mise au point de sch emas dinterpola-tion de type C1est beaucoup plus ardue et n ecessite un grand nombre de degr es delibert e pour chaque el ement structural (et donc un plus grand effort de calcul), par-ticuli` erement en 2 et 3 dimensions. Si les approchesC0am` enent une plus grandesouplesse dans les sch emas dinterpolation, elles introduisent n eanmoins une dif-cult e suppl ementaire appel ee shear locking dans la litt erature anglo-saxone [Hu-ghes(1987), Bathe(1982), Brezzi &Fortin(1991)]. Enr esum e, certainssch emasdinterpolation conduisent ` a une d egradation de la solution quand le rapporth/Ltend vers 0 cest-` a-dire, dans le cas de la poutre de Timoshenko, quand on tend versle mod` ele de Bernoulli. Cela se traduit par le fait que les seuls d eplacements admis-sibles pour cette limite sont des d eplacements nuls : la structure est donc bloqu ee.Lexplication rigoureuse de ce ph enom` ene devrait nous amener ` a discuter des as-pects math ematiques complexes li es aux formulations mixtes. Cette discussion sortducadredecetexpos e. N eanmoins, nousallonsmontrerceph enom` eneparunexemple et lui proposer une solution heuristique.Consid erons une poutre soumise au cisaillement seul. On suppose que les sec-tions telles que ab dans la Figure 3.25 qui sont initialement orthogonales ` a la breneutre se d eplacent uniquement dans la direction verticale. Les el em ents tangents ` ala bre neutre subissent une rotation comme on le voit sur la Figure 3.25. Notonsque chaque point de la bre neutre subit un angle de cisaillement

xy = .Dans ce mod` ele, on consid` ere que la d eexion de la bre neutrefx

peut etre ecrite comme la somme des d eformations dues ` a la exion et au cisaillementfx

= (x

) +o` u(x

) est la rotation des el ements dans la direction de la bre neutre due` a laexion uniquement. On ajoute donc un degr e de libert e suppl ementaire au mod` eleCHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 59FIG. 3.25 Cisaillement dune poutre de Timoshenko.de Bernoulli. Nous faisons ensuite une hypoth` ese qui se r ev elera rapidement incor-recte mais que nous ajusterons par la suite. Nous supposons que le cisaillement estconstant sur la hauteur de la poutre ( = (x

)). Cette hypoth` ese viole l equilibrecar le cisaillement doit etre nul sur les parties sup erieures et inf erieures de la poutre(en y

= h/2) dans le cas de poutres charg ees orthogonalement ` a la bre neutre.On ecrit ensuite les hypoth` eses cin ematique de la poutre de Timoshenko en su-perposant les actions dues ` a la exion et au cisaillement. Clairement, les d eplacementssuivantx

sont dus` a la exion seulement tandis que les d eplacements suivanty

sont dus au cisaillement et ` a la exion :u

x = y

(x

) = y

_fx

(x

)_u

y = f(x

) (3.47)u

z = 0.On a donc, vu les hypoth` eses cin ematiques et lhypoth` ese d etat uniaxial de contraintesque nous maintenons

=__y x

1/2(x

) 01/2(x

) 0 00 0 0__et

=__Ey x

G(x

) 0G(x

) 0 00 0 0__.En fait, les contraintes tangentielles devraient s ecrire

xy = G(x

, y

) (3.48)o` u lon tiendrait compte de la variation u cisaillement dans l epaisseur. N eanmoins,il est beaucoup plus simple de consid erer des contraintes tangentielles constantesdans l epaisseur et dintroduire un facteur correctif K tel que

xy = KG(x

).CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 60Ilexisteungrandnombreded enitionspour K. Onpeut parexemplechoisirK pour que lexpression approch ee (3.48) donne la m eme contrainte tangentiellemaximalequecellecalcul eeenutilisant unem ethodeplusne. Danslecasdecalculs en dynamique, on peut choisir K tel que les fr equences propres de la poutresoient egales ` a celles calcul ees en utilisant des calculs d elasticit e lin eaire pr ecis.Typiquement, on choisira K = 5/6 pour une poutre de section rectangulaire.3.7.2 Application du principe des travaux virtuelsNous d esirons maintenant ecrire le principe des travaux pour la poutre de Ti-moshenko. On consid` ere encore une fois la poutre de la Figure 3.8. Pour cela, on abesoin de d enir un ensemble de d eplacements virtuels v compatibles avec les hy-poth` eses cin ematiques (3.47). La facon la plus simple est de choisir deux fonctioncontinuesg et et de choisirv

y=g et v

x= y

avec v

y(L) =v

y(L) = 0. Leprincipe des travaux virtuels s ecrit donc_L0_Sy2dy

dz

. .I

zEx

. .

xx()x..

xx()dx

+2_L0_Sdy

dz

..AKG_fx

_. .

xy(,f)12_gx

_. .

xy(,g)dx

=_L0g dx

+Tg(0) M(0) g , . (3.49)Dans l equation (3.49), on voit que ce sont les d eriv ees premi` eres des champs in-connus f et dont les carr es doivent etre int egrables. Contrairement ` a la formula-tion (3.26) o` u on demandait ` a fd etre dans H2, les champs inconnus fet de laformulation variationelle (3.49) doivent uniquement etre continus i.e. dand H1.3.7.3Etablissement des equations d equilibre localesEn vue de d eduireles equationslocales de l equilibre, on int` egre(3.49) parparties pour obtenir_L0_x

_I

zEx

_GAK. ._fx

__dx

+_L0_x

__fx

___dx

+__I

zEx

_(0) M_g(0)dx

+__ fx

_T_(0) = 0 g , (3.50)CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 61o` u = GKA est la rigidit e en cisaillement. Les equations d equilibre de la poutrede Timoshenko se d eduisent directement de (3.50) en choisissant des fonctions testadapt eesx

_I

zEx

_+_fx

_= 0 (3.51)x

__fx

__= (3.52)_I

zEx

_0= M (3.53)_fx

_0= T. (3.54)Il est assez simple de retrouver les equations d equilibre de la poutre de Bernoulli6en manipulant les equations (3.51)-(3.54) tout en faisant tendre la rigidit e en ci-saillement vers linni. Pratiquement, on calcule une poutre de Timoshenko enr esolvant l equation suivant ( on a suppos e que I

z et E etaint constants)EI

z3x3= (3.55)les conditions aux limites de type moment M impos e en x

= a sont de la formeEI

zx

a= Mtandis que celles de type effort tranchant impos e Ts ecriventEI

z2x2a= T.Pour calculer le d eplacement, on utilise (3.52) i.e.fx

= EI

z2x2... (3.56)Cette derni` ere equation (3.56) permet de quantier le rapport qui existe entre langle du ` a la exion et langle de cisaillement . On a= O_EI

zL2_= = O_hL_2.Le coefcient repr esente le rapport entre les raideurs en exion et en cisaille-ment dune poutre. Il est proportionnel au rapport (h/L)2ce qui signie que la rai-deur en cisaillement est dautant plus forte (et donc n egligeable) que est faible.Lint egration de (3.56) permet de trouver f.6Dans le mod` ele de Bernoulli, = 0 ce qui implique que =fx

.CHAPITRE 3.ELEMENTS FINIS STRUCTURAUX 623.7.4 Calcul de la matrice de raideur [k

]D eveloppons maintenant une formulation el ements nis pour la poutre de Ti-moshenko. On interpole les deux champs inconnus de la facon la plus g en erale enconsid erant les expansions =n

i=1iNiet u

y =m

i=1u

yiMio` u (i, u

yi) sont des coefcients inconnus et o` u (Ni, Mi) sont les fonctions din-terpolation correspondantes. L equation d equilibre de la poutre par la m ethode deGalerkin se d eduit en introduisant les interpolations dans (3.49). On a lexpressionmatricielle_[k

]11[k

]12[k

]21[k

]22_ _(u

)()_=_(F1)(F2)_(3.57)aveck

11ij=_L0Mix

Mjx

dx

k

12ij= k

21ji= _L0NiMjx

dx

k

22ij=_L0_EINix

Njx

+NiNj_dx

F1i=_L0Mi +TMi(0)F2i= MMi(0)3.7.5 Discr etisation et ph enom` ene de shear lockingCommeonlamontr equandonadiscut el equilibredesbarres, ilestpos-sible dutiliser des champs dinterpolation lin eaires par morceaux pour interpolerdes fonctions simplement continues. On peut donc utiliser ces interpolations pourinterpoler nos deux inconnues(