maestro mate matic as 1 vol 2

3 7 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 1 7 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9 1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9 2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0 5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5 1 1 6 0 9 4 3 3 0 5 7 2 7 0 3 6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8 6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1 0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9 9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2 7 2 4 8 9 1 2 2 7 9 3 8 1 8 3 0 1 1 9 4 9 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MATEMTICAS

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Libro para el maestro

matemticas I1er Grado Volumen II

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Matemticas I. Libro para el maestro. Volumen II. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

AutoresAna Laura Barriendos RodrguezErnesto Manuel Espinosa AsuarDiana Violeta Solares Pineda

Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega NezMara Padilla Longoria

ColaboracinMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia Garca Pea,Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero,Vernica Rosainz Bonilla

Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

Primera edicin, 2006Segunda edicin, 2007Sexta reimpresin, 2013 (ciclo escolar 2013-2014)

D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

ISBN: 978-968-01-1200-5 (obra completa)ISBN: 978-968-01-1486-3 (volumen II)

Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

DiseoZona grfica

DiagramacinBruno Contreras

IconografaCynthia Valdespino

IlustracinImanimastudio, Curro Gmez, Gabriela Podest, Cecilia Varela

FotografaAriel Carlomagno, Pablo Gonzlez de Alba,Pvel Ramrez

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Mapa-ndiceClave de logos

BLOqUE 3secuencia 17 Divisin de nmeros decimalessecuencia 18 Ecuaciones de primer gradosecuencia 19 Existencia y unicidadsecuencia 20 reas y permetrossecuencia 21 Porcentajessecuencia 22 Tablas de frecuenciasecuencia 23 Grficas de barras y circularessecuencia 24 Nociones de probabilidad

BLOqUE 4secuencia 25 Nmeros con signosecuencia 26 Raz cuadrada y potenciassecuencia 27 Relacin funcionalsecuencia 28 Construccin de crculos y circunferenciassecuencia 29 El nmero Pisecuencia 30 El rea de los crculossecuencia 31 Relaciones de proporcionalidadsecuencia 32 Grficas asociadas a situaciones de proporcionalidad

BLOqUE 5secuencia 33 Cuentas de nmeros con signosecuencia 34 reas de figuras planassecuencia 35 Juegos equitativossecuencia 36 Grficas, tablas y expresiones algebraicassecuencia 37 Proporcionalidad inversasecuencia 38 Medidas de tendencia central

Propuesta de examen bimestral bloque 3Propuesta de examen bimestral bloque 4Propuesta de examen bimestral bloque 5

Bibliografa

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ndice


SEC

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1.Sistem

asdenu

meracin.

Identificarlasprop

iedadesdelsistemadenum

eracindecimaly

contrastarlasconlasdeotrossistemasnum

ricosposicionalesyno

po

sicion

ales.

1.1

Acertijosarqu

eolgicos

1.2

Otrosistem

adenum

eracin

Losn

merosm

ayas

Sistem

adenum

eracinmaya

1.3

Elsistemadecimal

2.Fraccion

esydecimalesenlare

ctanu

mrica.

Representarn

merosfraccionario

sydecimalesenlare

ctanu

mricaa

partirdedistintasin

form

aciones,analizando

lasconvencion

esdeesta

representacin

.

2.1

Elsaltodealtura

Elsaltodealtura

2.2

Densidadyfraccion

esLare

ctanu

mrica:

Fraccion

es

2.3

Elsaltodelong

itud

ylo

sn

merosdecimales

Lare

ctanu

mrica:

Fraccion

esdecimales

3.Su

cesion

esden

merosyfigu

ras.

Co

nstruirsucesion

esden

merosapartirdeunare

gladada.

Determinarexpresion

esgeneralesquedefi

nenlasreglasdesucesion

es

numricasyfigu

rativas.

3.1

Figu

rasqu

ecrecen

Figu

rasqu

ecrecen

Patron

esysecuencias1

3.2

Nm

erosquecrecen

Sucesion

es3.2Nm

erosquecrecen

(Hoja declculo)

Sucesin

3.3

Reglasdesucesion

esPatron

esysecuencias1

Patron

esysecuencias2

4.Geometra

yexpresion

esalgebraicas.

Explicarenleng

uajenaturalelsignificadodealgun

asfrmulas

geom

tric

as,interpretando

lasliteralescom

on

merosgeneralescon

losqu

eesposibleoperar.

4.1

Frm

ulasypermetros

Frm

ulasypermetros

Cuadrado

Hexgon

o

4.2

Frm

ulasyreas

Rectngu

lo4.2Frm

ulasyreas

(Hoja declculo)

Cuadrado

1

Cuadrado

5.Simetra

.

Construir fig

urassimtric

asre

spectoauneje,analizarlasyexplicitar

lasprop

iedadesqu

esecon

servanenfig

urastalescom

o:tri

ngulos

isscelesyequilteros,rombo

s,cuadrado

syrectngu

los.

5.1

Comosifueraunespejo

Simetra

depu

ntos

5.2

Papel p

icado

Simetra

depo

lgon

os5.2.Papelpicado

(Geometra

dinm

ica)

Papel

Simtric

o

5.3

Los vitrales

Vitrales

5.4

Algo

mssob

resimetra

5.4Algo

mssob

resimetra

(Geometra

dinm

ica)

Aprend

ido

6.Prop

orcion

alidad.

Identificaryre

solversituacion

esdeprop

orcion

alidaddire

ctadeltipo

valorfaltante,utilizando

demanerafle

xiblediversosprocedimientos.

6.1

Lascantidadesdire

ctam

entepropo

rcionales

6.2

Elvalorunitario

Escalasymaquetasen

arqu

itectura

6.2Valorun

itario

(Hojadeclculo)

Escalas

6.3

Lapropo

rcionalidadenotroscontextos

Varia

cin

propo

rcional1

7.Reparto prop

orcion

al.

Elaboraryutilizarprocedimientospararesolverproblem

asdereparto

prop

orcion

al.

7.1

Lakerms

Repartoprop

orcion

alVaria

cin

propo

rcional2

7.2

Mssob

rere

partoprop

orcion

al

8.Prob

lemasdeconteo.

Resolverproblem

asdeconteoutilizandodiversosrecursosyestrategias,

comotablas,diagram

asderbolyotrosprocedimientosdeenum

eracin.

8.1

Cuntoscam

inoshay?

Mapadecalles

8.2

De cuntasform

as?

Diagram

aderbol

8.3

Cuntosviajeshay

?Sabencuntoscam

inoshay?

Diagram

aderbol

8.4

Otroscon

textos

Diagram

aderbol

EV

AL

UA

CI

N

Blo

qu

e 1


Blo

qu

e 2

SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

S

Vid

eos

Inte

ract

ivo

sH

oja

s d

e tr

abaj

o

9.

Prob

lemasaditivosconn

merosfraccionario

sy

decimales.

Resolverproblem

asaditivosconn

meros

fraccion

ariosydecimalesendistintoscontextos.

9.1

Elfestivald

efin

decursos

Dndese

utilizanfracciones?

Nm

erosfraccionario

s9.1

Elfestivald

efin

decursos(H

ojadeclculo)

9.2

Marcas atlticas

9.3

Lospreciosdelacafetera

10.Multiplicacin ydivisin

defraccion

es.

Resolverproblem

asqueim

pliquenla

multiplicacinydivisin

con

nm

eros

fraccion

ariosendistintoscon

textos.

10.1D

ecomprasenelm

ercado

10.2Sup

erficiesyfraccion

es

Multiplicacindefracciones1

10.3C

mo sera

nlasmarcasatlticasenel

espacio?

Elsistemasolar

y lafuerzadegravedad



10.4H

ayteladedon

decortar

10.5Cu

ntasbo

tellasdeju

gosenecesitan?

11.Multiplicacindenm

erosdecimales.

Resolverproblem

asqueim

pliquenla

multiplicacin denm

erosdecimalesen

distintos contextos.

11.1Tresvecesym

edia

Msdetres,pero

menosdecuatro

Multip

licacindenm

erosdecimales

Escalas yn

merosdecimales

11.2Elpun

toeselasunto

reasyn

merosdecimales

11.3En dndeseusalamultip

licacindedecimales?

12.Mediatrizybisectriz.

Utilizarlasprop

iedadesdelam

ediatrizdeun

segm

entoylabisectrizdeun

ng

ulopara

resolverdiversosprob

lemasgeomtric

os.

12.1A

lam

ismadistancia

Mediatriz

12.1A

lam

ismadistancia

(Geometra

dinm

ica)

Mediatrices

12.2U

n prob

lemageom

tric

oMitadesdengu

los

Bisectriz

12.2U

nprob

lemageom

tric

o(Geometra

dinm

ica)

Bisectric

es

12.3A

pliquemosnuestroscono

cimientosde

mediatricesybisectrices

12.3A

pliquemosnuestrocon

ocimientodem

ediatrices

ybisectric

es(G

eometra

dinm

ica)

13.Polgon

osre

gulares.

Co

nstruirpo

lgon

osre

gulares

apartirdedistintasin

form

aciones.

13.1Tarjetasdefelicitacin

Felicidades

Polgon

osre

gularesngu

locentral

13.1Tarjetasdefelicitacin

(Geometra

dinm

ica)

13.2M

osaicos

Polgonosregularesngulointerio

r13

.2M

osaicos(Geometra

dinm

ica)

13.3M

ssob

repolgon

osre

gulares

13.3M

ssob

repolgon

osre

gulares

(Geometra

dinm

ica)

14.Frm

ulasparacalcularelreadepolgon

os.

Justificar lasfrm

ulasparacalcularel

perm

etroyelreadetri

ngulos,cuadrilteros

y po

lgon

osre

gulares.

14.1R

ompecabezas1

14.2R

ompecabezas 2

14.3D

escompo

sicin

defig

uras

14.3D

escompo

sicin

defig

uras(G

eometra

dinm

ica)

14.4O

trasformasdejustificarlasfrm

ulas

Justificacin

Frm

ulasgeomtric

as14

.4O

trasformasdejustificar(Geometra

dinm

ica)

15.Lacon

stantedeprop

orcion

alidad.

Identificarsituacion

esdeprop

orcion

alidad

directa endiversoscontextos,yresolverlas

medianteprocedimientosm

seficientes.

15.1Lacanchadebsquetbol

Varia

cin

propo

rcional3

15.1Lacanchadebsquetbol(H

ojadeclculo)

15.2M

apasyescalas

CentroHistric

o

delaCiudaddeM

xico

15.3R

utasytranspo

rte

16.Ap

licacin sucesivadeconstantesdeprop

orcion

alidad.

Interpretar elefectodelaaplicacinsucesivade

factorescon

stantesdepropo

rcionalidadendiversos

contextos.

16.1M

icroscop

ioscompu

estos

Microscopioscompuestos

Varia

cin

propo

rcional4

16.1M

icroscop

ioscompu

estos(Hojadeclculo)

16.2Escalasyre

ducciones

Varia

cin

propo

rcional5

16.3C

onsom ranchero

EV

AL

UA

CI

N

Au

la d

e m

edio

s

Arc

hiv

os

Fraccion

es

Segm

ento

Mediatrices

Figu

ra1

ngu

lo1

Bisectric

es

Ejes

Centros

Medida

ngu

lo2

ngu

lo3

Polgon

oCentral

Hexgon

oAp

otem

aFrm

ulas

Cancha

Microscopios


SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

S

Vid

eos

Inte

ract

ivo

sA

ula

de

med

ios

Ho

jas

de

trab

ajo

Arc

hiv

os

17.Divisindenm

erosdecimales.

(12

- 21

)

Resolverproblem

asqueim

pliquenladivisindenm

erosdecimales

endistintoscon

textos.

17.1Elm

etrob

sElm

etrob

sDivisi

ndenm

erosdecimales

17.2C

ambio dedinero

17.3N

merosdecimalesenlaciencia

18.Ecuacion

esdeprimergrado

.(2

2 -

31)

Resolverproblem

asqueim

pliquenelplanteamientoylare

solucin

deecuacionesdeprim

ergrado

delasform

asx+a=b;ax=b;ax+

b=c,utilizando

lasprop

iedadesdelaig

ualdad,cuand

oa,bycson

n

merosnaturalesydecimales.

18.1A

repartirnaranjas

Ecuacion

es1

18.1A

repartirnaranjas(Hoja

declculo)

Ecuacin

18.2El p

aseoescolar

Elterreno

yelro

Ecuacion

es2

18.3R

esolucin deecuacionesmixtas

Ecuacion

esdeprimergrado

19.Existenciayunicidad.

(32

- 39

)

Construirtring

ulosycuadrilteros.

An

alizarlascond

icionesdeexistenciayun

icidad.

19.1Existeonoexiste?

Desigualdadtria

ngular

19.2Esuno

oson

mucho

s?Es un

oosonmucho

s?19

.2Esun

oosonmucho

s?

(Geometra

dinm

ica)

Rombo

s

Construccion

es

20.reas yperm

etros.

(40

- 49

)

Resolverproblem

asqueim

pliquencalcularelp

ermetroyelreade

tring

ulos,rom

boidesytrapecios,yestablecerrelacion

esentrelo

selem

entosqu

eseutilizanparacalcularelreadecadaun

adeestas

figuras.

Realizarcon

versionesdem

edidasdesuperficie.

20.1Problem

asdeaplicacin

20.2R

elacionesimpo

rtantes

20.3M

edidasdesuperficie

Medidasdesuperficie

21.Porcentajes.

(50

- 59

)

Resolverproblem

asqueim

pliquenelclculodepo

rcentajes

utilizand

odem

aneraadecuadalasexpresionesfraccion

ariaso

decimales.

21.1M

xicoenelINEG

IPorcentajes1

21.2El IVA

21.2ElIVA

(Hojadeclculo)

IVA

21.3M

iscelneadeporcentajes

Losmigrantes

Porcentajes2

22.Tablasdefrecuencia.

(60

- 71

)

Interpretarycomun

icarin

form

acinmediantelalectura,descripcin

yconstruccin

detablasdefrecuenciaabsolutayrelativa.

22.1Quinllegprimero?

Unrecorridopo

relorig

en

delaestadstica

22.1Quinllegprimero?

(Hojadeclculo)

Atletism

o

Edades

22.2Tabladefrecuenciare

lativa

22.2Tabladefrecuencia

relativa(Hojadeclculo)

Frecuencias

22.3La tablarepresenta

22.3Latablarepresenta

(Hojadeclculo)

Matrc

ulas

23.Grficasdebarrasycirculares.

(72

- 83

)

Interpretar inform

acinrepresentadaengrfi

casdebarrasy

circularesdefrecuenciaabsolutayrelativa,provenientedediarioso

revistasydeotrasfuentes.

Co

mun

icarin

form

acinprovenientedeestud

iossencillos,eligiend

olaformadere

presentacin

msadecuada.

23.1Q

udicenlasgrfi

cas

23.2G

rficasdebarras

23.3G

rficacircular

Elra

ting

enlatelevisin

24.Nociones deprobabilidad.

(84

- 10

1)

Enum

erarlo

spo

siblesre

sultadosdeun

aexperie

nciaaleatoria.

Utilizarlaescaladeprobabilidadentre0y1yvinculardiferentes

form

asdeexpresarla.

Establecerculd

edo

somseventosenun

aexperie

nciaaleatoria

tienemayorprobabilidaddeocurrir;justificarlare

spuesta.

24.1Probabilidadfrecuencial

Lanzamon

edas

24.1Probabilidadfrecuencial

(Hojadeclculo)

Laruleta

24.2Probabilidadclsica

Bolsaconcanicas

24.3C

omparacin

deprob

abilidadesI

Quesmsprobable?

24.4C

omparacin

deprob

abilidadesII

EV

AL

UA

CI

N

Blo

qu

e 3


SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

S

Vid

eos

Inte

ract

ivo

sA

ula

de

med

ios

Ho

jas

de

trab

ajo

Arc

hiv

os

25.Nm

eroscon

signo

.(1

04 -

113

)

Plantearyre

solverproblem

asqueim

pliquenlautilizacin

denm

eroscon

signo

.

25.1N

iveldelm

ar

25.2D

istanciayorden

Temperaturasam

bientales

Temperaturas

25.3Valorabsolutoysimtric

os

26.Ra

zcuadradaypo

tencias.

(114

- 1

25)

Resolverproblem

asqueim

pliquenelclculodela

razcuadradaylapotenciadeexpon

entenatural,

ambasdenm

erosnaturalesydecimales.

26.1C

uadrosym

scuadros

26.1C

uadrosym

scuadros

(Hojadeclculo)

Cuadrado

2

26.2C

lculoderacescuadradas

Losbabiloniosylara

z

cuadrada

Mtod

obabilnico

26.3Cu

ntos tatarabu

elos?

Diagram

aderbol

27.Relacin

fun

cion

al.

(126

- 1

39)

An

alizarensituacionesprob

lemticaslapresenciade

cantidadesre

lacion

adasyre

presentarestare

lacin

mediante un

atablayun

aexpresinalgebraica.

27.1Laexpansindelu

niverso

Laexpansin

deluniverso

27.2Loshusoshorarios

27.3C

ocina navidea

27.3.C

ocinanavidea

(Hojadeclculo)

Pavo

27.4El recibodetelfon

o

28.Co

nstruccin

decrculosycircun

ferencias.

(140

- 1

49)

Co

nstruir crculosq

uecum

plancon

dicion

esdadasa

partir dediferentesdatos.

28.1Lascircun

ferenciasqu

epasanpo

rdo

spu

ntos

Lascircun

ferenciasqu

epasan

pordo

spu

ntos

28.2C

uerdasycircun

ferencias

Construccindecircun

ferencias

28.3Tres pu

ntosyunacircun

ferencia

Construccindecircun

ferencias

conlam

ediatriz

28.3Trespu

ntosyuna

circun

ferencia

(Geometra

dinm

ica)

Comun

idades

Comun

idad

Aplicacin

29.Elnm

eroPi.

(150

- 1

57)

Determinareln

mero

com

olara

znentrela

long

itud

delacircun

ferenciayeld

imetro.

Justificar yusarlafrmulaparaelclculodela

long

itud

delacircun

ferencia.

29.1Larelacin

entrecircun

ferenciaydimetro

Relacin

entrecircun

ferencia

y dim

etro

Ded

ndesaliPi?

29.1R

elacinentre

circun

ferenciay

dim

etro(G

eometra

dinmica)

Elnm

eroPi

29.2Permetrodelcrculo

30.Elreadelo

scrculos.

(158

- 1

63)

Resolverproblem

asqueim

pliquencalcularel

reayelp

ermetrodeun

crculo.

30.1

readelcrculo

readelcrculo

Clculodelreadelcrculo

deArqumedes

30.1

rea delcrculo

(Geometradinm

ica)

Crculos

Polgon

osreadelcrculo

30.2

reasypermetros

31.Relacion

esdeprop

orcion

alidad.

(164

- 1

71)

Form

ularlaexpresin

algebraicaqu

ecorrespo

ndaa

lare

lacin

entredoscantidadesqu

esondirectam

entepropo

rcionales.

Asociarlossign

ificado

sdelasvaria

blesenlaexpresin

y=kxconlas

cantidadesquein

tervienenendichare

lacin

.

31.1C

ambiodem

oneda

Historia

delam

oneda

Varia

cin

propo

rcional6

31.2Expresion

esalgebraicasyre

lacion

esde

prop

orcion

alidadendistintoscontextos

32.Grficasasociadasasituacion

esdeprop

orcion

alidad.

(172

- 1

81)

Explicarlascaractersticasdeunagrficaqu

erepresente

una relacin

deprop

orcion

alidadenelplano

cartesiano.

32.1G

rficasysuscaractersticas

Grficas

32.2C

omparacin

degrfi

cas

Varia

cinproporcionalygrficas

EV

AL

UA

CI

N

Blo

qu

e 4


SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

S

Vid

eos

Inte

ract

ivo

sA

ula

de

med

ios

Ho

jas

de

trab

ajo

Arc

hiv

os

33.Cu

entas denm

eroscon

signo

.(1

84 -

199

)

Utilizarprocedimientosin

form

alesyalgortmicosdeadiciny

sustraccindenm

eroscon

signo

endiversassituacion

es.

33.1Lostomos

Lostom

osLostom

os1

33.2Sum

asden

meroscon

signo

Lostom

os2

33.3Restasdenm

eroscon

signo

Lostom

os3

33.4De todo

unpo

co

34.reas defigu

rasplanas.

(200

- 2

03)

Resolverproblem

asqueim

pliquenelclculodereasdediversas

figurasplanas.

34.1reasdefig

urasformadas

porrectas

Geometra

and

aluza

34.1reasdefig

uras

form

adasporre

ctas

(Geometradinm

ica)

Figu

ra2

Figu

ras

34.2reasdefig

urasformadas

porcrculos

34.2.reasdefig

uras

form

adasporcrculos

(Geometradinm

ica)

Regin

35.Juegosequ

itativos.

(204

- 2

17)

Recono

cer lascond

icionesnecesaria

sparaqueunjuegodeazarsea

justo,con

baseenlanocindere

sultadosequ

iprobablesyno

equiprob

ables.

35.1Cu

leslam

ejoropcin?

35.2Ruletas

Laruleta

35.3Juego

s condado

s

35.4Quinielas

Pron

sticosnacion

ales

Lanzamon

edas

36.Grficas, tablasyexpresionesalgebraicas.

(218

- 2

23)

Ca

lcularvaloresfaltantesapartirdevariasrepresentacion

es

relacion

ando

lasqu

ecorrespo

ndenalam

ismasituacin,eid

entificar

lasqu

esondepropo

rcionalidaddire

cta.

36.1Grficas,tablasyexpresiones

algebraicasasociadasaprob

lemas

depropo

rcionalidaddire

cta

Elem

entos dela

prop

orcion

alidaddire

cta

36.1Grficas,tablasy

expresionesa

lgebraicas

asociadasaprob

lemas

depropo

rcionalidad

directa(Hojade

clculo)

Aos

36.2De lagrficaalproblem

a

37.Prop

orcion

alidadin

versa.

(224

- 2

31)

Identificaryre

solversituacion

esdeprop

orcion

alidadin

versamediante

diversosprocedimientos.

37.1Elagua

37.2La velocidad

Lavelocidadcon

stante

Varia

cin

propo

rcional

inversaygrfi

cas1

37.3La hiprbola

Varia

cin

propo

rcional

inversaygrfi

cas2

37.3Lahiprbola

(Hoja declculo)

Rectngu

los

Pintores

38.Medidasdetend

enciacentral.

(232

- 2

39)

Co

mparar elcom

portam

ientodedosom

scon

juntosdedatos

referid

osaunam

ismasituacinofen

menoapartirdesusm

edidas

detendenciacentral.

38.1Promedios

Prom

edios

38.2Quprefie

rencomer?

EV

AL

UA

CI

N

Blo

qu

e 5

EJ

E 1

:Sentidonu

mricoypensam

ientoalgebraico

EJ

E 2

:Form

a,espacioym

edida

EJ

E 3

:Manejodelain

form

acin


Clave de logos

Trabajo individual

En parEjas

En Equipos

Todo El grupo

ConExin Con oTras asignaTuras

glosario

ConsulTa oTros maTErialEs

Cd dE rECursos

siTios dE inTErnET

biblioTECa

vidEo

programa inTEgrador EdusaT

inTEraCTivo

audioTExTo

aula dE mEdios

oTros TExTos


BLOQUE 3


12

secuencia 17

12

EL mEtrOBsPara empezarEn la Ciudad de Mxico hay un transporte llamado metrobs. Es un autobs ms largoque lo normal, que transita por una avenida llamada Insurgentes.

Para subirse al metrobs se usan tarjetas, las cuales se pasan por un aparato que permite el acceso.

En el aparato se marca el dinero disponible en la tarjeta, es decir, el saldo. El costo porviaje en el metrobs es de $3.50.

sEsin 1

Divisin de nmeros decimalesEn esta secuencia resolvers problemas que impliquen la divisin de nmeros decimales en distintos contextos.

Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen la divisin de nmeros decimales en distintos contextos.

Sesin Ttulo y propsitos de la sesin Recursos

1

El metrobs Dar sentido a lo que significa dividir entre un nmero con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de resolver algunas divisiones entre nmeros decimales.

Video El metrobs Interactivo

Divisin de nmeros decimales

2Cambio de dinero Conocer y practicar la tcnica para dividir entre un nmero con punto decimal.

3Nmeros decimales en la ciencia Resolver diversos problemas que implican operaciones de nmeros con punto decimal.

Eje

Sentido numrico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de los nmeros.

Antecedentes

Los alumnos aprendieron en la escuela primaria a resolver divisiones:- en las que dividendo y divisor son

naturales, hallando el cociente hasta centsimos; y

- en las que el dividendo tiene cifras decimales.

En esta secuencia los alumnos aprendern a resolver divisiones en las que el dividendo o el divisor tengan cifras decimales.

Propsito de la sesin. Dar sentido a lo que significa dividir entre un nmero con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de resolver algunas divisiones entre nmeros decimales.

Organizacin del grupo. Se sugiere trabajar en parejas durante toda la sesin, con algunos momentos de confrontacin grupal.


13

13

MATEMTICAS I

Platiquen con su grupo los resultados y la manera en que llegaron a ellos. Si utilizaronoperaciones digan cules y cmo las usaron.

Manos a la obraI. Hallar el nmero de viajes que se puede hacer con cierta cantidad de dinero, equiva

le a dividir esa cantidad entre el costo de un viaje.

Utilicen los resultados que encontraron en el problema anterior y completen la tabla.

Divisin Cociente (nmero de viajes) Residuo (lo que sobra)

24.00 3.50

37.50 3.50

75.00 3.50

115.50 3.50

Observen que al calcular el nmero de viajes, estn calculando cuntas veces cabe elcosto de cada viaje en el saldo.

Consideremos lo siguienteEn cada caso anoten para cuntos viajes alcanza el saldo de la tarjeta y cunto sobra.Recuerden que el costo de un viaje es $3.50.

Saldo $24.00

Nmero de viajes:

Sobra:

Saldo $37.50 Saldo $75.00 Saldo $115.50

Nmero de viajes:

Sobra:

Nmero de viajes:

Sobra:

Nmero de viajes:

Sobra:

Propsito de la actividad. La finalidad es que los alumnos interpreten la divisin como la operacin que permite saber cuntas veces cabe un nmero en otro. En este caso, debern calcular cuntas veces cabe el nmero 3.50 en cada una de las cantidades indicadas como saldo. Es importante que en este momento los alumnos no utilicen la calculadora para que puedan hacer uso de otras estrategias.

Posibles procedimientos. - Sumar varias veces 3.50 hasta

llegar al nmero ms cercano al saldo indicado.

- Restar 3.50 al saldo indicado las veces que sea necesario hasta agotarlo o hasta que ya no alcance el dinero para un viaje ms.

- Multiplicar 3.50 por diferentes nmeros hasta obtener un producto que se aproxime al saldo indicado.

- Dividir el saldo entre 3.50.

Sugerencia didctica. Mientras las parejas resuelven, trate de identificar qu procedimientos utilizan para, posteriormente, recuperar algunos de ellos durante la confrontacin.

6 $3.00

10 $2.50

21 $1.50

330

3

Sugerencia didctica. Es importante que el algoritmo de la divisin sea considerado como una manera ms de resolver el problema, no es la nica y no siempre la mejor; por ejemplo, si el saldo es $37.50se puede calcular ms rpidamente sabiendo que de 10viajes son $35.00 y sobran $2.50.

Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos identifiquen que la actividad que resolvieron en el apartado Consideremos lo siguiente puede solucionarse mediante una divisin. Por eso es importante que utilicen los datos que encontraron anteriormente para completar la tabla.


1

Sugerencia didctica. Mientras las parejas resuelven, usted puede plantear algunas preguntas para que los alumnos vayan reflexionando sobre aspectos interesantes que revisarn en las siguientes actividades; por ejemplo, para que identifiquen cmo vara el cociente en funcin del divisor: si el saldo es de $4 a cul destino se puede ir ms veces, a uno cuyo viaje cuesta $0.50 o a otro que cuesta $0.20?

Posibles procedimientos. Los alumnos podran ir completando cantidades redondas: si el costo del viaje es de $2.50, con $5.00 se hacen 2 viajes; si el costo es de $0.20, con $1.00, se hacen 5 viajes.Tambin pueden recurrir al clculo mental para resolver varias de las divisiones, pues los nmeros que se ponen en juego son relativamente sencillos de manejar.Invite a los alumnos a que completen la tabla utilizando los procedimientos que ellos quieran; en este momento no es necesario que todos usen el algoritmo de la divisin, aunque s es importante que sepan que estn resolviendo divisiones.

Recuerde que.

46 27 3 Propsito de la actividad. Hay dos

aspectos interesantes que los alumnos trabajan:- Reconocer que al dividir no siempre

el cociente resulta menor que el dividendo; por ejemplo, al dividir 4 entre 0.50 el resultado es 8 (8 > 4).

- Al analizar en qu casos el cociente es mayor o menor que el dividendo, los alumnos podrn desarrollar, gradualmente, estrategias para estimar resultados.

Respuestas. a) Cuando el costo del viaje (divisor)

es mayor que uno.b) Cuando el costo del viaje (divisor)

es menor que uno.

secuencia 17

14

ii. Imaginen ahora un lugar donde el precio de cada viaje vara y hay costos muy bajos.Completen la tabla.

Saldo ($)(dividendo)

Costo del viaje ($)(divisor) Divisin

Nmero de viajes(cociente)

9 4.50 90 4.50

15 2.50

4.50 1.50

4.80 1.20

9 1.80

4 0.50

8.50 0.50

4 0.25

5.25 0.25

4 0.20

4.30 0.10

iii.Analicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas:

a) En cules casos el cociente es menor que el dividendo?

b) En cules casos el cociente es mayor que el dividendo?

c) Encuentren qu tienen en comn aquellas divisiones en las que el cociente esmayor que el dividendo y anoten sus observaciones:

iV. Anoten el resultado al que llegaron al dividir

4 0.50 =

Observen que este resultado equivale a multiplicar 4 por un nmero, por cul nmero?

DivisorDividendoResiduo

Cociente


1

Propsito del interactivo: Mostrar grficamente la divisin de decimales por medio de la idea "cuntas veces cabe en".

Propsito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que el resultado de una divisin tambin puede obtenerse multiplicando por el inverso del divisor. Por ejemplo, para hallar el resultado de dividir 4 0.1 se puede tambin multiplicar 4 10.En algunos casos, una manera es ms sencilla que otra, y se espera que los alumnos vayan adquiriendo habilidades para decidir cul les conviene, dependiendo de las circunstancias. Este tipo de prcticas son muy importantes porque desarrollan el sentido numrico de los alumnos.

Sugerencia didctica. Invite a los alumnos a que multipliquen los nmeros de la primera y segunda columnas. Por ejemplo, 0.5 2; 0.25 4; 0.125 8. En todos los casos se obtiene 1. Pregunte: Por qu creen que sucede esto?

Integrar al portafolios. Recupere esta actividad y analice las respuestas de los alumnos. Si lo considera necesario, revisen la secuencia 11, en ella se llena una tabla en la que se observa que dividir una fraccin es lo mismo que multiplicarla por su recproco.

Sugerencia didctica. El clculo mental es una herramienta que permite, adems de obtener algunos resultados de manera rpida, desarrollar habilidades, como el establecimiento de relaciones entre los datos y la anticipacin de resultados. Invite a los alumnos a que resuelvan mentalmente estas operaciones, se darn cuenta de lo eficaz que es este tipo de clculo y de las mltiples relaciones que pueden darse entre los nmeros.

15

MATEMTICAS IAlgunas divisiones entre un nmero con punto decimal pueden calcularse ms fcilmente con una multiplicacin. Completen la siguiente tabla.

Dividir entre: Es lo mismo que multiplicar por:Ejemplo resuelto

con divisinEjemplo resuelto

con multiplicacin

0.50 2 3 0.5 = 6 3 2 = 6

0.25

0.20

0.10

0.125

0.01

V. Resuelvan mentalmente las siguientes divisiones:

2 0.5 = 1 0.125 =

3 0.01 = 4 0.25 =

1.5 0.5 = 3 0.1 =

12. 5 2.5 = 9 0.2 =

VI.Platiquen a sus compaeros cmo resolvieron mentalmente alguna de las operaciones de la actividad anterior. Elijan una operacin y anoten en el pizarrn varios procedimientos para resolverla mentalmente. Comenten cul procedimiento es mejor ypor qu.

Dividir una cantidad entre un nmero equivale a calcular cuntas veces cabe ese nmero en dicha cantidad.

Algunas divisiones entre nmeros con punto decimal pueden resolverse ms rpida-mente con una multiplicacin, por ejemplo, 10 0.25 puede escribirse como 10 ,que como estudiaron en la divisin de fracciones, equivale a multiplicar 10 4 = 40.Al dividir una cantidad entre un nmero menor que la unidad, el resultado ser mayor que la cantidad, por ejemplo, 5 0.2 = 25, 25 es mayor que 5.

A lo que llegamos

Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que escriban en su cuaderno 2 ejemplos diferentes a los que se plantean en el recuadro de cada uno de los puntos.

4 30.25=12 34=12 5 30.20=15 35=15 10 30.10=30 310=30 8 30.125=24 38=24 100 30.01=3003100=300


1

Propsito del video. Observar el planteamiento y la solucin de problemas que involucren la divisin entre un nmero decimal. Observar qu sucede cuando se divide entre un nmero menor o mayor que la unidad.

Propsito de la sesin. Conocer y practicar la tcnica para dividir entre un nmero con punto decimal.

Organizacin del grupo. Inicie la sesin trabajando con el grupo en conjunto; posteriormente organice parejas para resolver el apartado Consideremos lo siguiente.

Sugerencia didctica. D tiempo para que los alumnos lean el apartado Para empezar y despus comente con el grupo la informacin que se presenta. Repasen las divisiones con punto decimal en el dividendo resolviendo algunas en el pizarrn. Es necesario que los alumnos sepan resolver este tipo de divisiones para que puedan continuar con la sesin.

3

Sugerencia didctica. Anime a los alumnos para que expliquen sus intentos y escuchen los de otros. En caso de que alguna pareja s haya podido resolver la divisin, pida a sus integrantes que muestren al grupo cmo lo hicieron. Si nadie logr resolverla, invtelos a que continen trabajando la sesin.

Sugerencia didctica. Es probable que los alumnos no sepan cmo resolverlas. Invtelos a que lo intenten, recuerde que en estos momentos se trata de crear en los alumnos un conflicto al darse cuenta de que estas divisiones son distintas a las que ya conocen, as como la necesidad de hallar la manera de resolverlas.

secuencia 17

16

El metrobs

Vean el video y realicen lo que ah se pide. Cuando terminen, renanse en parejas y juntos hagan un resumen que se titule La divisin con nmeros decimales. Despus lean elresumen ante su grupo.

CamBiO dE dinErOPara empezarSe van a repartir $29.60 entre 4 amigos, cunto le toca a cada uno? En la primariaaprendiste que este problema se resuelve con la siguiente divisin:

7.404 29.60 16

00

El resultado es $7.40. Estas divisiones se resuelven igual que con nmeros enteros, peroal momento de bajar el 6 "se sube el punto". Saben por qu se hace as?a) Cuando se divide 29 entre 4 se estn dividiendo 29 enteros, por eso el resultado es

entero.

b) Al bajar el 6 junto al 1 ya se estn dividiendo 16 dcimos entre 4, por eso hay queponer un punto, para indicar que el resultado corresponde a dcimos.

Ahora aprenders cmo se resuelve una divisin cuando el punto decimal est en eldivisor.

Consideremos lo siguienteAraceli tiene $19.40 y le va a dar a cada uno de sus amigos $2.50. Para cuntos amigosle alcanza y cunto le sobra?

Esta situacin tambin se resuelve con una divisin. Encuentren una manera de hallar elresultado de la siguiente divisin que resuelve el problema.

2.5 19.4

Expliquen a sus compaeros cmo resolvieron la divisin anterior y por qu lo hicieron as.

sEsin 2

1

Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos manejen la tcnica para dividir nmeros con punto decimal. Por ello debern resolver el problema utilizando una divisin y no mediante otros procedimientos (aunque sean correctos).


1

Sugerencia didctica. Los alumnos ya estudiaron esta propiedad en la escuela primaria, por lo que la actividad puede ser considerada como un repaso; no obstante, usted puede enriquecerla comentando al grupo que, si se parte de que una divisin puede escribirse como fraccin, al multiplicar dividendo y divisor por el mismo nmero, lo que se est haciendo es calcular fracciones equivalentes. Observe:

17

MATEMTICAS I

a) Cmo son los resultados entre s?

b) Observen que el dividendo (8) y el divisor (4) de la primera divisin se multiplicaron por 10 para obtener la segunda divisin (80 y 40).

c) Por cul nmero se multiplicaron dividendo y divisor de la primera divisin

para obtener la tercera divisin?

d) Por cul nmero se multiplicaron dividendo y divisor de la primera divisin

para obtener la cuarta divisin?

II. Consideren que se tiene esta divisin

2.5 20

Multipliquen dividendo y divisor por 10, qu divisin obtienen? Antenla y resulvanla.

Esta divisin es ms sencilla que 20 2.5 y, por la propiedad que recordaron en laactividad I, saben que el resultado de esta divisin es el mismo para ambas.

Manos a la obraI. Resuelvan las siguientes divisiones:

Al multiplicar un

nmero con punto

decimal por 10, se

recorre el punto un

lugar a la derecha.

Recuerden que:

Si en una divisin se

multiplica el dividendo

y el divisor por el

mismo nmero, el

resultado de la

divisin no cambia.

4 8 40 80

400 800 4 000 8 000

Sugerencia didctica. Puede pedir a los alumnos que:1. Estimen el resultado antes de que

pasen al inciso a). Por ejemplo, si est entre 1 y 10, entre 10 y 100 o entre 100 y 1000.

2. Calculen mentalmente el resultado antes de que pasen al inciso a).

3. Resuelvan la divisin y verifiquen su resultado en la calculadora.

4. Una vez resuelta, inventen un problema que se resuelva con esa operacin.

Si lo considera necesario, plantee ms operaciones de este tipo para que los alumnos las resuelvan en su cuaderno.

24= wR = wR T = qW p P = 10 20Esto implica que:

24=10 20


1

Respuestas. Se multiplica por 10, 480 12 = 40 y no sobra.

Se multiplica por 1000, 3500 125 = 28 y no sobra.

Se multiplica por 100, 450 32 = 14 y sobra. 2. Si algunos alumnos continan dividiendo obtendrn 14.0625.

Si lo considera pertinente, comente con sus alumnos lo que sucede con el residuo en esta divisin. Si bien es cierto que al multiplicar por un mismo nmero el dividendo y el divisor, el cociente no se altera, no pasa lo mismo con el residuo. ste aumenta tantas veces como el nmero por el cual se multiplic. Por ejemplo, mientras que en la divisin original (4.5 0.32) el residuo es 0.02, en la divisin transformada (450 32) el residuo es 2. El residuo de la divisin transformada es 100 veces mayor que el de la divisin original.

Propsito de la actividad. Esta actividad permite que los alumnos validen el resultado que obtuvieron en el problema inicial. Si es necesario pdales que corrijan. Puede haber discrepancia en los resultados si algunos alumnos dejaron el residuo y si otros continuaron la divisin. Es buen momento para que los anime a terminar la divisin.

Sugerencia didctica. Resuelvan en el pizarrn ms divisiones y aclare las posibles dudas.

secuencia 17

18

iii.Transformen cada divisin en una cuyo divisor no tenga punto decimal y resulvanla;elijan bien el nmero por el que tienen que multiplicar cada una.

1.2 48

0.125 3.5

0.32 4.5

iV. Resuelvan la divisin del problema inicial (19.4 2.5) transformndola en una divisin sin punto en el divisor. Comparen este resultado con el que obtuvieron al principio de la sesin.

Comenten los resultados que han obtenido hasta este momento. Pasen al pizarrn a resolver las 3 divisiones de la actividad III y expliquen por cul nmero multiplicaron eldividendo y el divisor de cada una y por qu.

A lo que llegamosPara resolver una divisin con punto decimal en el divisor:

1. Primero se transforma la divisin en otra que no tenga punto decimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor por 10, 1 00, 1 000, ... segn el divisor tenga 1, 2, 3, ... cifras decimales.

2. Despus se resuelve.

Por ejemplo, para resolver:

0.12 2.4se multiplican por 100 el dividendo y el

divisor para transformar la divisin en

12 240

Y se resuelve: 20 12 240 000El resultado de dividir 240 12 es el mismo que el resultado de dividir 2.4 0.12. Comprubenlo con una calculadora.


1

Respuestas. Araceli tiene 100 monedas (50.00 0.50). Necesita 5 monedas para hacer cada montn de $2.50, as que puede hacer 20 montones. Luis tiene 100 monedas (500.00 5.00). Necesita 5 monedas para hacer cada montn de $25.00, as que tambin puede hacer 20 montones. Entonces la respuesta correcta es c).

Respuestas. El nmero de envases siempre debe ser 14, entonces la cantidad de litros de leche a repartir hay que dividirla entre 14 para obtener la capacidad de cada envase. Si lo que conocemos es la capacidad de cada envase, entonces ese nmero se multiplica por 14 para hallar la cantidad de litros a repartir.

Respuestas. El resultado es 4.6. Se obtendra el mismo cociente con nmeros como: 92 entre 20,920 entre 200,9 200 entre 2 000,92 000 entre 20 000,920 000 entre 200 000,etctera.

19

MATEMTICAS ILo que aprendimos1. Araceli tiene $50.00 en monedas de $0.50 y quiere hacer montones de $2.50; Luis

tiene $500.00 en monedas de $5.00 y quiere hacer montones de $25.00.Cul de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Araceli har ms montones.

b) Luis har ms montones.

c) Ambos harn el mismo nmero de montones.

d) No puede calcularse quin har ms montones.

Justifica la respuesta que elijas.

2. Don Fernando va a repartir 7 de leche en envases de 0.5 . Cuntos envases ocu

par?

Completa la tabla de tal manera que el nmero de envases siempre sea el mismo que losque ocupar don Fernando.

Litros a repartir Capacidad de cada envase( ) Nmero de envases

14

1.5

28

5

10

3. Resuelve la divisin 9.2 entre 2 =Inventa 5 divisiones que, partiendo de los mismos nmeros que la anterior, tengan igualcociente.

1 14

21 14

2 14

70 14

140 14


20

Propsito de la sesin. Resolver diversos problemas que implican operaciones de nmeros con punto decimal.

Organizacin del grupo. Forme equipos para que resuelvan los problemas.

1

Propsito de la actividad. Aunque la secuencia se refiere a la divisin de nmeros con punto decimal, en la serie de problemas que aqu se presentan no siempre usarn la divisin, tambin harn uso de otras operaciones que ya han estudiado.

Sugerencia didctica. En algunos problemas puede solicitar a los alumnos que antes de hacer operaciones, den una respuesta aproximada del resultado y la anoten en una hoja. Al trmino, compararn sus estimaciones con los resultados obtenidos.

Respuestas. El diamante es 4 veces ms duro que la plata y 6.6666666 veces ms duro que el azufre (se divide 10 entre 2.5 y 10 entre 1.5). La diferencia de temperatura es de 22.5 C. Es la distancia de 4.5 a 18.5C bajo cero. Aun cuando el problema involucra nmeros con signo, se espera que los alumnos puedan resolverlo mediante sus conocimientos sobre las temperaturas bajo cero. Si nota dificultades, puede auxiliarlos. La ballena es 22 veces ms larga que una salamandra gigante y 117.857 veces ms larga que una araa Goliat (se divide 33 entre 1.5 y 33 entre 0.28).

Invite a los alumnos a que lean atentamente la pregunta del problema de la estrella Sirio; no se pide el resultado, sino las operaciones que resuelven el problema. Hay varias maneras de expresar la respuesta, una posible es:- Multiplicar 60 60 24 365

8.8 para saber cuntos segundos hay en 8.8 aos y el resultado multiplicarlo por 300 000 para saber la distancia que se pide.

Si surgen varias respuestas ser interesante analizarlas en la confrontacin y determinar si son o no equivalentes.

secuencia 17

20

sEsin 3

La estrella ms brillante que vemos en el cielo es

Sirio, que se ve durante las noches de invierno. La

luz de Sirio tarda 8.8 aos en llegar a la Tierra!

Si la luz viaja a 300 000 km/s, qu operaciones

tendramos que hacer para conocer la distancia a la

que est Sirio?

El animal ms grande del mundo es la ballena azul,

llega a medir hasta 33 m de largo. El anfibio ms

grande es la salamandra gigante de Japn, con

1.5 m de largo. La araa ms grande es la Goliath,

puede medir 0.28 m de longitud. Cuntas veces

es ms larga una ballena azul que una salamandra

gigante?

,

Y que una araa

Goliath?

El crecimiento de las bacterias a menos de 10 oC

es muy lento, por ello los alimentos en el refrige

rador se conservan ms tiempo. La temperatura

del congelador se conserva alrededor de los 18 oC

bajo cero y en el refrigerador puede estar alrede

dor de 4.5 oC. Cul

es la diferencia entre

la temperatura del

congelador y la del

refrigerador?

La dureza de un mineral puede medirse de acuerdo

con la facilidad para rayarlo. El mineral ms duro

es el diamante y su dureza es de 10. La mnima

dureza de la plata es 2.5 y la del azufre es 1.5.

Cuntas veces es ms duro el diamante que la

plata?

Y que el azufre?

nmErOs dECimaLEs En La CiEnCiaLo que aprendimosEn esta sesin aplicarn varios de los conocimientos que han adquirido a lo largo detodas las secuencias sobre nmeros con punto decimal. En cada caso, respondan la pregunta planteada.


21

Respuestas. Los porcentajes de los elementos que forman el cuerpo humano suman 97.4, hace falta 2.6%, que es lo que corresponde a otros elementos. La Tierra recorre 1830km en un minuto (60 segundos). Se divide 1830 entre 30.5. Neptuno tarda 165 aos, 4 meses y 26 das (porque 0.4 de ao son 146 das). Urano tarda 83 aos, 8 meses y 12.5 das (porque 0.7 de ao son 255.5 das). La persona pesa 65kg (se divide 6.305 entre 0.097); y tendra que caminar durante 79.302 minutos (se divide 500 entre 6.305).

Integrar al portafolios. Seleccione 3 problemas de esta sesin y pida a los alumnos que los resuelvan en una hoja aparte. En caso de haber errores, analice si tienen que ver con las divisiones con decimales, con la comprensin del problema o con ambas.

21

MATEMTICAS IAl caminar rpidamente se queman

0.097 caloras por cada kilogramo de

pesoporminuto. Si unapersonacami

nando rpidamente quem 6.305

caloras en un minuto, cunto pesa?

Cunto tiempo, aproximadamente,

tendra que caminar rpido esa per

sona para quemar 500 caloras?

Comenten con otros equipos los resultados de estos problemas. Comparen los procedimientos que muestren los diferentes equipos y elijan aquellos que les parezcan msfciles.

Para saber ms

Si el tiempo que tardan los planetas en dar la vuelta al Sol

se mide en aos, se tiene que: Neptuno tarda 165.4 aos y

Urano 83.7 aos. Cul es la duracin en aos, meses y das

del tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol?

Y Urano?

La Tierra, al viajar alrededor del Sol, re

corre 30.5 kilmetros en un segundo.

En cunto tiempo recorre 1 830 kil

metros?

El cuerpo humano est formado

por varios elementos: 63% de hi

drgeno, 23.5% de oxgeno, 9.5%

de carbono, 1.4% de nitrgeno

y el resto de otros elementos.

Cul es el porcentaje que corres

ponde en total a esos otros ele

mentos?

Sobre la divisin de nmeros decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en "Relacionando multiplicacin y divisin".


22

Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolucin de ecuaciones de primer grado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad,

cuando a, b y c son nmeros naturales y decimales.

Sesin Ttulo y propsitos de la sesin Recursos

1

A repartir naranjas Interpretar la ecuacin como una expresin que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.

Interactivo Ecuaciones

Aula de medios A repartir naranjas

(Hoja de clculo)

2El paseo escolar Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax = b.

Video El terreno y el ro

Interactivo Ecuaciones

3Resolucin de ecuaciones mixtas Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.

Interactivo Ecuaciones de primer grado

Eje

Sentido numrico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes

En las secuencias 3 y 4 los alumnos se iniciaron con la utilizacin de literales para expresar patrones y frmulas geomtricas. En esta secuencia usarn literales para traducir el texto de un problema al cdigo algebraico y para resolver ecuaciones.

Propsito de la sesin. Interpretar la ecuacin como una expresin que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.

Organizacin del grupo. Se sugiere que trabajen todas las actividades organizados en parejas.

Propsitos de la actividad. Se trata de un problema sencillo que se resuelve con la suma 24 + 8. Se espera que los alumnos identifiquen cules son los datos conocidos y cul es la operacin que resuelve el problema. Es importante que identifiquen como una igualdad la expresin en la que aparece el signo igual. En este momento no es necesario que definan el concepto de igualdad, sino slo que empiecen a reconocer y a utilizar el trmino.

Posibles dificultades. Dado que aparecen las palabras tena, vendi, algunos alumnos podran pensar que el problema se resuelve con la resta 24 8. Si bien est implcita una resta, el problema se resuelve mediante una suma (cantidad final de naranjas ms cantidad de naranjas vendidas).

Sugerencia didctica. En caso de que algunos alumnos presenten una respuesta distinta a 32 kg, pdales que comenten cmo lo obtuvieron. Posteriormente invite al grupo a que resuelvan la actividad I del apartado Manos a la obra para verificar si la respuesta que dieron es correcta o no.

secuencia 18

22

En esta secuencia resolvers problemas que impliquen el planteamien-to y la resolucin de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son nmeros naturales o decimales.

A RepARtiR nARAnjAsPara empezarEn la primaria resolviste problemas en los que tenas que encontrar la solucin haciendo operaciones aritmticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuencia aprenders una nueva manera de resolver problemas: usars expresiones algebraicas para representar y encontrar valores desconocidos.

Consideremos lo siguienteUn comerciante de naranjas quiere saber cuntos kilogramos de naranjas tena al princi-pio del da si vendi 24 kg y al final se qued con 8 kg.a) Cul es el valor desconocido en este problema? Subryenlo:

Los kilogramos de naranjas que vendi.

Los kilogramos de naranjas que tena al principio.

Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final.

b) En el problema hay dos valores que s se conocen, cules son?

En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un nmero que debe estar en el recuadro azul:

24 = 8

c) Cul es el nmero que debe estar en el recuadro azul?

Comparen sus respuestas y comenten:

a) Qu operacin hicieron para encontrar el nmero que va en el recuadro azul?

b) Cuntos kilogramos tena el comerciante al principio del da?

sesin 1

Ecuaciones de primer grado

MAT1 B3 S18 maestro.indd 22 8/25/07 3:01:46 PM

23

Propsito de la actividad. Que los alumnos logren expresar mediante una igualdad, un problema que se les presenta de manera verbal. Esto implica identificar cules son los datos conocidos y desconocidos, y cmo se relacionan entre ellos:

+ 110 = 221

Posibles procedimientos. Puede hacerse restando 221 110 o pensando cunto le falta a 110 para llegar a 221.

Propsito de la actividad. En secuencias anteriores los alumnos han utilizado letras para expresar frmulas y patrones numricos; en esta secuencia se pretende que los alumnos utilicen una letra (en este caso la x) para representar al dato desconocido (incgnita) en una igualdad. Es importante que los alumnos identifiquen a la x no como una letra, sino como un nmero del que se desconoce su valor.

Propsito del interactivo. Resolver ecuaciones de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad.

Propsito de la actividad. Que los alumnos continen identificando los datos conocidos y los desconocidos de un problema, y que resuelvan problemas de suma o resta mediante la operacin inversa.

Recuerde que. Los problemas aditivos son aquellos que implican tanto a la suma como a la resta. Cuando en una suma se desconoce uno de los datos, se puede encontrar el dato faltante mediante una resta, que es la operacin inversa de la suma. En este caso, el dato desconocido de la suma se encuentra mediante una resta: 124 57 = 67. Los alumnos irn identificando estas relaciones en el transcurso de las actividades de este apartado y podrn formalizarlo al final de esta sesin.

Propsito de la actividad. Que los alumnos analicen la estructura del problema (los datos y la forma en que estn relacionados) para identificar cmo est conformada una igualdad. Aproveche diferentes momentos para que los alumnos se vayan familiarizando con el trmino igualdad; insista en que una igualdad comprende las expresiones que estn de uno y del otro lado del signo igual.

Sugerencia didctica. Es importante que se comente cmo se obtiene el resultado. Algunos restarn 124 57, otros lo harn pensando cunto le hace falta a 57 para llegar a 124; ambas formas de resolver implican a la resta.

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MATEMTICAS IManos a la obraI. Escriban el nmero que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:

24 = 8

II. Hay que encontrar un nmero que, al sumarle 57, d como resultado 124.a) En este problema hay dos nmeros que s se conocen, cules son?

En la siguiente igualdad, el nmero desconocido del problema es un nmero que debe estar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los nmeros conocidos:

+ =

b) Cul es el nmero que va en el recuadro?

c) Comprueben la solucin que encontraron:

En lugar del recuadro morado escriban el nmero que encontraron y hagan las operaciones:

+ =


Cul es el nmero que al sumarle 57 da como resultado 124?

III. Representen con una igualdad el siguiente problema: Cul es el nmero que al su-marle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el nmero desconocido.

+ =

a) Cul es el nmero que debe ir en el recuadro rojo?

b) Qu operacin hicieron para encontrarlo?

IV. Generalmente, en las matemticas se utilizan letras para representar los valores des-conocidos. Si en el problema anterior:

Cul es el nmero que al sumarle 110 da como resultado 221?

se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarse mediante la siguiente igualdad:

x + 110 = 221

Esta igualdad es la misma que: + 110 = 221

slo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo


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Sugerencia didctica. Si los alumnos tienen dificultades para completar la ecuacin, se les puede pedir que completen lo siguiente:x = 221 x =

Sugerencia didctica. Si los alumnos muestran facilidad para realizar estos ejercicios, puede proponerles que verifiquen el valor de x sustituyndolo en la ecuacin: x + 110 = 221 111 + 110 = 221 221 = 221

Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con sus alumnos. Destaque las siguientes ideas:- Las igualdades que aparecieron en

las actividades anteriores tenan slo nmeros, ahora se presentan igualdades en las que se utilizan letras para representar un dato desconocido (incgnita).

- Estas igualdades se llaman ecuaciones.

Puede pedirles que en su cuaderno respondan a la pregunta Qu es una ecuacin?. Pida a algunos alumnos que lean sus respuestas y, a partir de ellas, usted puede ampliarlas incorporando otros trminos que las enriquezcan. Por ejemplo: Es una igualdad en la que hay una incgnita que se representa con una letra. Es una expresin algebraica en la que hay una incgnita. Una vez que se hayan ledo y comentado algunas respuestas, los alumnos pueden hacer correcciones o ampliar lo que inicialmente haban escrito.


secuencia 18

24

a) Qu operacin hay que hacer para encontrar el valor de x?

Compltenla:

221

Cunto vale x? x =

b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en la igualdad:

+ 110 = 221

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamosLas igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas enlas que hay un valor desconocido o incgnita que generalmente se representa con una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.

V. En la ecuacin m 1 = 7, cul es el valor desconocido o incgnita? Subryenlo: 1 m

7a) Qu operacin hay que hacer para encontrar el valor de m?

b) Cunto vale m? m =c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron:

1 = 7

A lo que llegamosPara resolver la ecuacin x + 110 = 221, en la que se est sumando, se puede hacer una resta: x = 221 110. La solucin de esta ecuacin es x = 111.

Para resolver la ecuacin m 1 = 7, en la que se est restando, se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La solucin de esta ecuacin es m = 8.

Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas.

Sugerencia didctica. Aclare a los alumnos que, en general, puede utilizarse cualquier letra para representar un valor desconocido o incgnita (no siempre es la letra x ). Para el inciso c), comente que una caracterstica fundamental de toda igualdad es que lo que aparece del lado izquierdo del signo igual, debe tener el mismo valor que lo que est en el lado derecho, por lo que es importante verificar que el valor que se le ha asignado a las incgnitas es correcto.

Sugerencia didctica. Una forma ms de ejemplificar esta informacin, es Lo contrario de sumar, es restar: si a un nmero le sumo 5 y al resultado le resto 5, obtenemos el mismo nmero. Puede preguntar a los alumnos lo siguiente:- Si en una adicin se desconoce un

sumando qu operacin se realiza para calcularlo?

- Si en una sustraccin se desconoce el minuendo qu operacin se realiza para calcularlo?


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Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para plantear las ecuaciones, repase con el grupo las actividades III y IV del apartado Manos a la obra y el II del apartado A lo que llegamos, con la finalidad de enfatizar cules son las operaciones que permiten encontrar el nmero buscado una vez que se ha planteado la ecuacin.

Respuestas.a) x + 27 = 138

x = 138 27 x = 111

b) x 2.73 = 5.04 x = 5.04 + 2.73 x = 7.77

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MATEMTICAS IVI. El comerciante quiere saber ahora cuntos kilogramos de naranja tena al principio,

si en esta ocasin vendi primero 13 kg de naranja, despus vendi 11 kg y finalmen-te se qued con 5 kg. a) Cules de las siguientes ecuaciones representan el problema?

x 13 11 + 5

x 13 + 11 = 5

x 24 = 5

x 13 11 = 5b) Resuelvan la ecuacin, cunto vale x? x =

Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten:a) Cuntos kilogramos de naranja tena el comerciante al principio?

b) Hay dos ecuaciones que representan el problema, por qu creen que la solucin de estas dos ecuaciones es la misma?

Comprueben su solucin sustituyndola en las dos ecuaciones:

13 11 = 5 24 = 5

Lo que aprendimos1. Un camin que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Reco-

ge 21 ms en otro pueblo, deja 56 en una tienda, despus deja 34 en otra tien-da. Al acabar su recorrido se qued con 15 de leche.a) En este problema hay 4 valores conocidos, cules son?

b) La ecuacin x + 21 56 34 = 15 permite resolver el problema. Resulvanla en sus cuadernos.

c) Cuntos litros tena el camin al salir del establo?

d) Comprueben si la solucin que encontraron es correcta.

2. Para los siguientes problemas plantea una ecuacin y resulvela. Hazlo en tu cuaderno.

a) Cul es el nmero que al sumarle 27 da como resultado 138?b) Cul es el nmero que al restarle 2.73 da como resultado 5.04?

Comprueba tus soluciones.

Propsito de la actividad. A la cantidad inicial, que es la incgnita del problema, se le aplican dos operaciones sucesivas y se obtiene un resultado determinado. A partir de esas transformaciones y del resultado, que son los datos conocidos, debe obtenerse el valor de la incgnita. Respuesta. Las dos ltimas ecuaciones representan el problema.

Sugerencia didctica. Pida que pasen algunos alumnos al pizarrn a resolver cada una de las ecuaciones elegidas y que identifiquen cules ecuaciones plantean el problema de manera adecuada. Es importante destacar que en el caso de la primera expresin algebraica no se plantea ninguna igualdad, a diferencia de las otras tres.

Sugerencia didctica. Subraye el hecho de que con las dos ltimas ecuaciones se obtiene la misma solucin porque plantean el mismo problema: restar primero 11 kg y despus 13 kg, es lo mismo que restar 24 kg en una sola operacin.

Posibles procedimientos. Pueden resolver el problema de distintas maneras. Una de ellas es partir de los 15 con los que se qued, e ir agregando los litros que fue entregando en cada tienda: 15 + 34 + 56 = 105 Y despus se restan los 2 que haba recogido en otro pueblo: 105 21 = 84 Otra forma es sumar las cantidades de litros entregados (56 + 34 = 90), restarles los 21 que se agregaron en otro pueblo (esos litros no salieron del primer establo): 90 21 = 69, y sumar despus los 15 que sobraron: 69 + 15 = 84

Sugerencia didctica. Aydeles a comprender cmo fueron variando las cantidades hacindoles preguntas como: Sabemos con cuntos litros de leche sali el camin del primer pueblo? Qu pas despus, entreg o recibi ms litros de leche? A qu se refiere el nmero 21? A qu se refiere el nmero 56? Posteriormente puede pedir a los alumnos que comenten por qu las ecuaciones x + 21 56 34 = 15 y x 69 = 15 tienen la misma solucin.


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Propsito de la sesin. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax = b.

Organizacin del grupo. Forme parejas para que trabajen de esa manera durante toda la sesin.

Propsito de la actividad. El problema que ahora se plantea es de tipo multiplicativo: implica a la divisin y a la multiplicacin. Encontrar el resultado es relativamente sencillo, pues los alumnos pueden identificar rpidamente que el problema se resuelve con una divisin, y los nmeros que se dividen son enteros y con pocas cifras. La parte central de la actividad es que los alumnos traten de plantear y resolver una ecuacin que represente el problema; no importa si en este momento no logran hacerlo de manera correcta, lo importante es que exploren distintas posibilidades.

Sugerencia didctica. Es posible que la mayora de los alumnos haya logrado encontrar el resultado del problema mediante la divisin 280 8, pero que no todos hayan logrado plantear la ecuacin. Pida a estos alumnos que expliquen cmo resolvieron el problema, aunque no hayan podido plantear la ecuacin; despus pida a quienes s lo hayan podido hacer, que muestren al grupo sus respuestas. Pregunte al grupo: Cmo podemos saber cul es la respuesta correcta?

Respuesta. 8y = 280. Esta ecuacin representa que en cada camin hay y nios; como hay 8 camiones, con 8y se obtiene la cantidad total de nios, que es de 280.

Respuesta. Para encontrar el valor de y se divide 280 8.


Sugerencia didctica. En caso de que algunas parejas hayan elegido ecuaciones que no corresponden con el problema, pida que hagan la comprobacin en el pizarrn. Los alumnos pueden comentar por qu esa ecuacin no permite obtener el resultado correcto. Asimismo, es importante que se contraste con la ecuacin correcta y que se muestre su comprobacin. Destaque el hecho de que la ecuacin plantea una multiplicacin, y la operacin con la que se resuelve es una divisin:

8y = 280

y = 280 8

y = 35

secuencia 18

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eL PAseO esCOLARConsideremos lo siguientePara un paseo al que asistirn 280 nios se van a rentar 8 autobuses. Todos los autobu-ses van a llevar el mismo nmero de nios. Se quiere saber cuntos nios debe llevar cada autobs.

a) Cul es el valor desconocido en el problema? Subryenlo.

El nmero de nios que asisten al paseo.

El nmero de autobuses que se rentan.

El nmero de nios que van en cada autobs.

b) Usando la letra y escriban una ecuacin que describa este problema:

c) Encuentren el valor de y

Comparen sus ecuaciones y sus resultados.

Manos a la obraEn esta actividad se usar algo que aprendieron en la secuencia 4. Recuerden que 8y es lo mismo que 8 por y; el smbolo de la multiplicacin aqu no se pone para no confun-dirlo con la letra x.

i. Una de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior. Subryenla:

280 y = 8 280 + y = 8 y + 8 = 280 8 y = 280

a) Cul de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de y?

8 280 8 280 280 8 280 8

b) Usando la operacin que sealaron encuentren el valor de y.

y =

c) Comprueben su solucin sustituyendo el valor de y en la ecuacin que escogieron. Hganlo en sus cuadernos.


Cuntos nios debe llevar cada autobs?

sesin 2


27

2

Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con los alumnos. Puede pedirles que busquen en esta misma sesin otros ejemplos en los que la ecuacin se resuelva mediante una divisin o una multiplicacin. La idea de que la multiplicacin y la divisin son operaciones inversas puede ejemplificarse de la siguiente manera: Lo contrario de multiplicar es dividir: si un nmero lo multiplicamos por 6 y el resultado lo dividimos entre 6, obtenemos el mismo nmero. Y viceversa.

Propsito de la actividad. Se espera que los alumnos establezcan relaciones entre los distintos momentos por los que han transitado en estas dos sesiones para encontrar el valor de una incgnita: el planteamiento verbal del problema, su expresin algebraica y la resolucin aritmtica.

Sugerencia didctica. Mientras las parejas resuelven, reproduzca la tabla en el pizarrn para que puedan comparar sus respuestas. Pida a algunos alumnos que pasen a completar la tabla. Es posible que aparezcan distintas formas correctas

de expresar las ecuaciones, si no es as, es conveniente que usted las proponga, por ejemplo: En el segundo rengln, x 6 = 48 es lo mismo que y = 48. En el tercer rengln, m 25 = 165 es lo mismo que 25m = 165 (de hecho, esta ltima expresin es ms adecuada que la anterior, pues el signo de multiplicacin podra confundirse con la literal x). En el cuarto rengln, la ecuacin puede ser: y 7 = 12.5 o u = 12.5

Respuesta. Las ecuaciones que corresponden al problema son la segunda y la tercera.

Posibles procedimientos. Algunos alumnos quiz resuelvan el problema sin plantear la ecuacin, aun cuando la hayan identificado. Pueden sumar 3 veces 4, o multiplicar 3 4, que es una forma correcta de resolver, pues para encontrar el valor de J es necesario realizar la multiplicacin 3 4. Trate de identificar qu alumnos s recurren a la ecuacin y quines no.

Sugerencia didctica. Pida a dos alumnos que resuelvan en el pizarrn las ecuaciones que corresponden al problema, y que sustituyan la incgnita para hacer la comprobacin. Pregunte a los alumnos por qu las expresiones J 3 = 4 y e = 4 dan el mismo resultado. Aclare que si bien ambas ecuaciones expresan una divisin, en el lenguaje algebraico se utiliza ms la raya ( e = 4) para indicar una divisin y se usa poco el signo de la divisin.

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MATEMTICAS III. Se quiere conocer la edad de Julin y se sabe que la tercera parte de su edad es igual

a la edad de Diego, que tiene 4 aos. a) Cules de las siguientes ecuaciones corresponden a este problema? Se usa la letra

J para representar a la edad de Julin.

J 3 = 4 J 3 = 4 J 4 = 3 = 4

b) Cuntos aos tiene Julin?

c) En sus cuadernos, comprueben su solucin sustituyendo el valor de J en la ecua-cin que escogieron.

Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

a) Cules son las dos ecuaciones que corresponden a este problema?

b) Qu operacin hicieron para encontrar la edad de Julin?

c) La edad de Julin que encontraron es la cuarta parte de la edad de Diego?

III. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas, sus ecuaciones correspondien-tes y las operaciones con las que se pueden resolver. Compltenla.

Problema EcuacinOperacin que se hace

para encontrar la incgnita

Valor de la incgnita

Cul es el nmero que al multiplicarlo por 3 da 57?

Cul es el nmero que al dividirlo entre 6 da 48?

x 6 = 48

Cul es el nmero que al multiplicarlo por____ da ____? m 25 = 165 165 25

Cul es el nmero que al dividirlo entre 7 da 12.5? 12.5 ______ 87.5

Comparen sus tablas.

J

A lo que llegamosEn la ecuacin 2y = 16, el nmero 2 est multiplicando a la incgnita y. Para encontrar el valor de y se puede hacer una divisin: 16 2. La solucin de la ecuacin es y = 8.En la ecuacin s 5 = 6, el nmero 5 est dividiendo a la incgnita s. Para encontrar el valor de s se puede hacer una multiplicacin: 6 5. La solucin de la ecuacin es s = 30.Se dice entonces que la multiplicacin y la divisin son operaciones inversas.

x

y

J

J


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Propsito del video. Observar el planteamiento y la solucin de problemas con un valor desconocido.

Propsito de la actividad. Se conoce la medida del largo y la superficie total, la incgnita es la medida del ancho. Pueden resolver el problema dividiendo la superficie entre la medida del largo sin recurrir a una ecuacin. Lo relevante es que logren plantear la ecuacin y que encuentren el valor de la incgnita resolviendo la ecuacin.

Sugerencia didctica. Pida a uno o dos de los alumnos que resuelvan en el pizarrn la ecuacin que plantearon y que hagan la comprobacin.

Respuesta.17y = 238y = 238 17 (o tambin y = W q E u I )y = 14

Propsito de la sesin. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.

Organizacin del grupo.Se sugiere resolver todas las actividades en parejas, a excepcin del apartado Lo que aprendimos, que puede resolverse de manera individual.

Propsito de la actividad. Este problema implica dos transformaciones sucesivas de la cantidad inicial: primero se multiplica y luego se resta.

Posibles dificultades. Si algunos alumnos siguen utilizando el signo de la multiplicacin, usted puede sugerirles que lo cambien por la expresin 3x para evitar confusiones. Podran tener mayores dificultades para resolver la ecuacin en la que se aplican dos operaciones a la cantidad inicial: una multiplicacin y una suma. Qu se resuelve primero? Permita que los alumnos exploren la manera de encontrar el valor de la incgnita cuando la ecuacin implica una operacin aditiva.

Sugerencia didctica. Mientras los alumnos resuelven, identifique dos o tres procedimientos que puedan apoyar a los dems alumnos en el planteamiento de la ecuacin y en su resolucin. Pida a esos alumnos que muestren su solucin a todo el grupo. En las actividades del siguiente apartado tendrn oportunidad de encontrar una forma correcta de plantear y resolver la ecuacin.

Propsito de las actividades. Los alumnos podrn identificar los datos conocidos y la incgnita, as como las relaciones que se establecen entre ellos; esto les permitir identificar la ecuacin que corresponde al planteamiento del problema. Respuesta. La incgnita es el nmero que pens Juan, y la ecuacin correcta es 3x 5 = 10

secuencia 18

28

sesin 3

Lo que aprendimos El terreno y el ro

El terreno rectangular que se muestra en la figura de la iz-quierda est atravesado por un ro y no es posible medir su ancho. Cmo se puede calcular el ancho si se sabe que el terreno mide de largo 17 m y el rea que ocupa es 238m2?

a) Escriban una ecuacin para resolver el problema anterior:

b) Encuentren el valor de la incgnita.

c) Comprueben el valor que encontraron para la incgnita.

ResOLUCin De eCUACiOnes MiXTAsConsideremos lo siguienteJuan pens un nmero. Lo multiplic por 3 y a lo que le sali le rest 5. Al final obtuvo 10.

a) Escriban una ecuacin para encontrar el nmero que pens Juan.

Usen la letra x para representarlo.

b) Cul es el nmero que pens?

Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten:

Qu operaciones hicieron para resolver la ecuacin?

Manos a la obrai. Cul es la incgnita en el problema?

El resultado de multiplicar por 3. El resultado que obtuvo Juan al final.

El nmero que pens Juan.

Juan hizo dos operaciones con el nmero que pens.

a) Cul fue la primera operacin que hizo?

b) Cul fue la segunda operacin que hizo?

17 m


Cunto mide el ancho del terreno?


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Sugerencia didctica. Asegrese de que los alumnos efectivamente hagan la comprobacin en sus cuadernos; para ello, deben sustituir la incgnita por el valor que encontraron: 20 4 + 6 = 5 + 6 = 11

3

Sugerencia didctica. Anime a los alumnos para que argumenten por qu esa ecuacin no resuelve el problema (una posible respuesta es que ni las operaciones ni los nmeros coinciden con los del problema planteado). Si los argumentos no son suficientes, pueden sustituir la incgnita por el valor que ya encontraron, y ver si obtienen el mismo resultado.

Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que argumenten por qu esa ecuacin no corresponde con el problema. Deben darse cuenta de que en esta ecuacin los nmeros no corresponden con las operaciones realizadas. Puede pedir que sustituyan x por el valor encontrado anteriormente, para ver si obtienen el mismo resultado que con la ecuacin correcta.

Propsito de la actividad. Para encontrar el valor de la incgnita deben considerar que la operacin inversa de la resta es la suma; por lo tanto, para saber cul fue el nmero que obtuvo Juan al hacer la operacin 3x, es necesario sumar 5 al resultado final: 10 + 5 = 15

Propsito de la actividad. La operacin inversa de la multiplicacin es la divisin, por lo tanto, tendran que dividir 15 3 para encontrar el valor de x.

Sugerencia didctica. Puede pedir a un alumno que haga la comprobacin en el pizarrn. Pida a los alumnos que regresen a la solucin que dieron al mismo problema al inicio de la sesin, para que comparen la ecuacin y la solucin que dieron en ese momento con lo que obtuvieron ahora. Pdales que hagan las correcciones necesarias.

Propsito de la actividad. Al igual que en la actividad anterior, se pretende que los alumnos identifiquen que en la ecuacin hay dos operaciones, una multiplicativa (en este caso la divisin y 4) y otra aditiva (en este caso, la suma + 56), y que primero se resuelve la operacin aditiva mediante la operacin inversa: al resultado final se debe restar 6, que es lo que se haba agregado.

Respuesta. Pueden utilizar y 4 + 6 = 11 o tambin r + 6 = 11

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MATEMTICAS Ic) Una de las siguientes ecuaciones sirve para encontrar el nmero que pens Juan,

cul es?

3x 5x = 10 3x + 10 = 5 3x 5 = 10

Comparen sus ecuaciones y soluciones.

Comenten: la ecuacin 5 x 3 = 10 no corresponde a este problema, por qu?

II. En la ecuacin 3x 5 = 10 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 3 por x,y despus, al resultado se le resta 5.a) Qu nmero creen que obtuvo Juan al hacer la operacin: 3x?

Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

b) En la ecuacin 3x 5 = 10, cul es la operacin que hay que hacer para enco

maestro mate matic as 1 vol 2

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