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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ESCUELA DE MATEMTICA

MA 1003 CLCULO 3

CARTA AL

ESTUDIANTE

PRIMER CICLO DE 2014

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Presentacin

Este es un curso de cinco horas semanales, con un valor de cuatro crditos. Puede catalogarse como un curso de clculo avanzado, en el que se extiende a varias variables, los conceptos de clculos diferencial e integral estudiados en cursos anteriores, para que el (la) estudiante pueda aplicarlos oportunamente en el campo de la Ingeniera y la Qumica. Se hace adems una introduccin al Clculo Vectorial, estudiando las integrales de lnea y superficie y sus teoremas clsicos de Green, Stokes y Gauss.

Este documento le brinda la informacin general sobre los principales aspectos del curso que usted necesita para un desempeo adecuado en l. Le sugerimos leerlo detenidamente y consultar cualquier duda sobre la informacin que aqu se le brinda. Debe tener presente que el buen desarrollo de este curso es responsabilidad conjunta de su profesor y suya. Es importante que aproveche las clases y horas de consulta que estn a su disposicin, y que exista una buena disposicin de su parte, tanto en actitud, como en tiempo de estudio.

Para tener xito en el curso de Clculo 3 se requiere de muchas horas de estudio, tanto para aprender conceptos, definiciones y teoremas, como para la solucin de una buena cantidad de ejercicios. Adems de las cinco horas de clase semanales, usted debe dedicar al menos unas diez horas adicionales de estudio para apropiarse de los conocimientos y desarrollar las habilidades que requiere este curso. Cualquier informacin importante del curso, materiales complementarios, listas de ejercicios recomendados, aulas y fechas de exmenes, se publicar en la pgina de MA-1003. Le recomendamos revisarla peridicamente.

Para el buen desempeo en el curso MA-1003 es necesario tener un buen dominio de los contenidos estudiados en los cursos MA-1001, MA-1002 y MA 1004. Si usted considera que tiene deficiencias en algunos de ellos, es importante que dedique tiempo adicional al estudio de esos conceptos, as como solicitarle a su profesor referencias bibliogrficas para el repaso de algn tema.

Conjuntamente con la Vicerrectora de Vida Estudiantil, se cuenta con los llamados estudiaderos, los cuales son atendidos por asistentes, quienes le ayudarn aclarndole las dudas que surjan mientras estudia. Para mayor informacin al respecto dirjase al CASE, ubicado en el segundo piso del edificio de Fsica y Matemtica.

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I. Contenidos

Captulo 1: Superficies y funciones vectoriales de una variable real

1. Rectas y planos en el espacio, secciones cnicas, superficies cuadrticas. 2. Cilindros y conos oblicuos, superficies de revolucin obtenidas al girar una curva

plana o alabeada alrededor de un eje arbitrario. 3. Funciones vectoriales de una variable real y ecuaciones paramtricas. Curvas en el

espacio. Lmites y continuidad, derivadas e integrales. Vectores unitarios tangente, normal y binormal. Triedro intrnseco. Curvatura de una curva, radio de curvatura, crculo oscilador, torsin. Componentes tangencial y normal de la aceleracin. Curvas parametrizadas.

Captulo 2: Derivacin parcial y aplicaciones

1. Funciones de varias variables, campos escalares en dos y tres variables. 2. Lmites y continuidad, derivadas parciales, incrementos y diferenciales. Regla de la

cadena. 3. Derivadas de funciones definidas implcitamente por una ecuacin o por un sistema

de ecuaciones. 4. Derivadas direccionales y vector gradiente de un campo escalar, derivada direccional

a lo largo de una curva. Interpretacin geomtrica. 5. Extremos de funciones de varias variables. Interpretacin geomtrica. 6. Criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables. 7. Multiplicadores de Lagrange y problemas de extremo condicionado. Interpretacin

geomtrica. 8. Clasificacin de puntos estacionarios por el mtodo de la frmula de Taylor, diferen-

ciales de segundo orden y por hessianos orlados. 9. Funciones de varias variables, campos escalares en dos y tres variables. 10. Lmites y continuidad, derivadas parciales, incrementos y diferenciales. Regla de la

cadena. 11. Derivadas de funciones definidas implcitamente por una ecuacin o por un sistema

de ecuaciones. 12. Derivadas direccionales y vector gradiente de un campo escalar, derivada direccional

a lo largo de una curva. Interpretacin geomtrica. 13. Extremos de funciones de varias variables. Interpretacin geomtrica. 14. Criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables.

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15. Multiplicadores de Lagrange y problemas de extremo condicionado. Interpretacin geomtrica.

16. Clasificacin de puntos estacionarios por el mtodo de la frmula de Taylor, diferen-ciales de segundo orden y por hessianos orlados.

Captulo 3: Integrales mltiples

1. Funciones escalonadas y la integral sobre rectngulos, la integral doble de funciones continuas sobre rectngulos, propiedades y Teorema de Fubini.

2. Integrales sobre otras regiones cerradas y acotadas de 2 , cambio de variables linea-les, coordenadas polares, elpticas y otras. rea y volumen mediante integrales dobles.

3. Aplicacin de las integrales dobles al clculo de reas, volmenes y otros.

4. Integrales triples sobre cubos y otras regiones cerradas y acotadas en 3 . 5. Cambios lineales de variables, coordenadas cilndricas y esfricas. Integracin ml-

tiple sobre 3 . Aplicaciones de integrales triples a masas, momentos y centros de ma-sa.

Captulo 4: Anlisis Vectorial

1. Campos vectoriales. Integrales de lnea. Independencia de la trayectoria. 2. Teorema de Green. 3. rea de una superficie. 4. Integrales de superficie. 5. Teorema de la divergencia de Gauss. 6. Teorema de Stokes.

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II. Objetivos

1. Objetivos Generales

1.1. Continuar la formacin en geometra analtica, optimizacin y clculo diferencial e integral de varias variables, haciendo nfasis en las interpretaciones geomtricas en

2 y

3.

1.2. Continuar la formacin en Anlisis Vectorial, estudiando las integrales de lnea y superficie, y sus teoremas clsicos de Green, Stokes y Gauss.

2. Objetivos Especficos

2.1. Interpretar y manipular geomtricamente ecuaciones algebraicas, sistemas de ecua-ciones, ecuaciones vectoriales, intersecciones y proyecciones.

2.2. Aplicar correctamente la regla de la cadena generalizada a la derivacin de funcio-nes compuestas e implcitas y a otros problemas.

2.3. Determinar los extremos de funciones de dos o ms variables, mediante el criterio del segundo diferencial.

2.4. Determinar los extremos de funciones de dos o ms variables, sobre conjuntos abiertos y sobre conjuntos cerrados y acotados.

2.5. Determinar la naturaleza de un punto estacionario, por medio de los menores princi-pales de la matriz hessiana.

2.6. Determinar, usando el mtodo de Lagrange, los extremos de funciones de varias va-riables con restricciones de igualdad.

2.7. Comprender y aplicar las propiedades bsicas del clculo integral en dos y tres di-mensiones, directamente o mediante una transformacin de coordenadas.

2.8. Calcular la integral de campos escalares sobre regiones acotadas del plano y del espacio, tanto directamente, como utilizando cambios de variables.

2.9. Calcular integrales de lnea y de superficie y aplicarlas a la resolucin de problemas relacionados con los teoremas clsicos del anlisis vectorial, el teorema de Green, el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia de Gauss.

3. Objetivos de aprendizaje para el Primer Parcial

3.1. Construir, mediante el dibujo de trazas sobre los planos coordenados, la grfica o interseccin de grficas de superficies cuadrticas.

3.2. Determinar la ecuacin de un cilindro oblicuo, dada la ecuacin de la curva directriz y una recta generatriz, haciendo una interpretacin geomtrica, en casos simples.

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3.3. Determinar la ecuacin de un cono oblicuo, dado el vrtice y la ecuacin de una cur-va directriz, haciendo una interpretacin geomtrica, en casos simples.

3.4. Determinar la ecuacin de una superficie de revolucin, dadas la curva directriz y un eje de rotacin arbitrario, haciendo una interpretacin geomtrica, en casos simples.

3.5. Calcular los vectores normal, tangente y binormal de una curva paramtrica en el espacio.

3.6. Determinar la forma paramtrica de la curva de interseccin de dos superficies en el espacio, haciendo una interpretacin geomtrica, en casos simples.

3.7. Calcular las componentes normal y tangencial de la aceleracin de un mvil que se desplaza siguiendo una curva paramtrica en el espacio.

3.8. Determinar la ecuacin del plano osculador, normal y rectificante de una curva en un punto dado de sta.

3.9. Calcular la longitud de arco de una curva paramtrica en el espacio y hacer uso de la longitud de arco para parametrizar una curva dada.

3.10. Calcular la curvatura y la torsin de una curva paramtrica en el espacio, aportando una interpretacin geomtrica.

3.11. Calcular la ecuacin del crculo de curvatura de una curva en un punto dado de sta, aportando una interpretacin geomtrica del resultado.

3.12. Aplicar la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales hasta orden de una funcin de varias variables.

3.13. Aplicar el teorema de la funcin implcita para calcular las derivadas parciales de una funcin de varias variables, definida implcitamente por una ecuacin o por un sistema de ecuaciones.

3.14. Calcular el gradiente de una funcin vectorial y la derivada direccional en un punto dado, aportando una interpretacin geomtrica del resultado.

3.15. Calcular el vector tangente y la derivada a lo largo de una curva, de una funcin vectorial dada.

3.16. Aplicar las propiedades del vector gradiente y la derivada direccional, en la resolu-cin de problemas de razn de cambio mximo de una funcin dada.

3.17. Determinar los puntos de mximo, mnimo y puntos de ensilladura de una funcin de dos variables.

4. Objetivos de aprendizaje para el Segundo Parcial 4.1. Determinar los puntos de mximo y mnimo absolutos de una funcin continua sobre

una regin cerrada y acotada.

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4.2. Determinar los puntos de mximo, mnimo y puntos de ensilladura de una funcin de varias variables, sin restricciones y con restricciones, aplicando el mtodo de Multi-plicadores de Lagrange.

4.3. Aplicar la teora de extremos de funciones de varias variables, en la resolucin de problemas concretos.

4.4. Calcular integrales dobles en coordenadas rectangulares, haciendo una representa-cin grfica de la regin de integracin.

4.5. Calcular integrales dobles mediante un cambio de variables, haciendo una represen-tacin grfica de la regin de integracin en las nuevas variables.

4.6. Aplicar las integrales dobles, al clculo de reas y volmenes, en coordenadas rec-tangulares o mediante un cambio de coordenadas, haciendo una representacin grfica de la regin de integracin en las nuevas variables.

4.7. Calcular integrales triples mediante un cambio de variables, haciendo una represen-tacin grfica de la regin de integracin en las nuevas variables.

4.8. Aplicar las integrales triples al clculo de volmenes, en coordenadas rectangulares o mediante un cambio de coordenadas, haciendo una representacin grfica de las regiones de integracin.

4.9. Calcular integrales dobles y triples, haciendo previamente un cambio en el orden de integracin.

4.10. Aplicar las integrales dobles y triples al clculo de masas, momentos de inercia y centros de gravedad de cuerpos geomtricos.

5. Objetivos de aprendizaje para el Tercer Parcial 5.1. Calcular integrales de lnea a lo largo de una curva suave a trozos. 5.2. Calcular integrales de lnea de campos vectoriales sobre curvas suaves. 5.3. Aplicar integrales de lnea al clculo del rea bajo una grfica. 5.4. Aplicar el Teorema de Green en el clculo de integrales de lnea, y en la determina-

cin del rea de una regin limitada por una curva suave y cerrada simple. 5.5. Determinar la funcin potencial de una campo conservativo, y aplicarla al clculo

del trabajo realizado por un campo de fuerzas, mediante el teorema fundamental de integrales de lnea.

5.6. Calcular integrales de superficie de grficas, de superficies paramtricas y de cam-pos vectoriales, con proyeccin sobre cualquier plano.

5.7. Aplicar el Teorema de Stokes para calcular integrales de superficie de campos vecto-riales, as como de integrales de lnea sobre curvas suaves cerradas y simples.

5.8. Aplicar el Teorema de la Divergencia para calcular integrales de superficie de cam-pos vectoriales, as como de integrales de volumen sobre regiones slidas cerradas y simples.

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III. Bibliografa

1. Acua, O., Poltronieri J.: Ejercicios para Clculo 3, Serie Cabcar. Editorial de la Universidad de Costa Rica, San Pedro (1998).

2. Apstol, T.: Calculus. Segunda edicin, Vol. I y II. Editorial Revert, Espaa (1980).

3. Curtis, P.: Clculo con una introduccin a vectores. Primera edicin, Editorial Limu-sa, Mxico (1979).

4. Demidovich, B.: Problemas y Ejercicios de Anlisis Matemtico. Editorial Paraninfo, Madrid (1982).

5. Demidovich, B.: 5000 Problemas de Anlisis Matemtico. Editorial Paraninfo, Ma-drid (1985).

6. Edwards, H. y David Penney: Clculo con trascendentes tempranas. Editorial Pear-son, Mxico (2008).

7. Marsden, J., Tromba, A.: Clculo Vectorial. Quinta edicin, Pearson Educacin, Ma-drid (2004).

8. Rogawski, J.: Clculo: varias variables. Segunda edicin, Editorial Revert, Barcelo-na (2012).

9. Stewart, J.: Clculo Multivariable. Cuarta edicin, Thomson Learning, Mxico, D.F. (2002).

10. Thomas, G.: Clculo en Varias Variables. Decimosegunda edicin. Pearson Educa-cin, Mxico, D.F. (2008 ).

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IV. Cronograma

SEMANA FECHAS TEMAS OBSERVACIONES

1* 10 al 14 de marzo. Geometra vectorial, secciones cnicas y superficies cuadrticas.

2* 17 al 21 de marzo. Cilindros y conos oblicuos, superficies de revolucin alrededor de un eje arbitrario. Funciones vectoriales. Curvas en el espacio.

* Temas a evaluar en el Primer Parcial.

3* 24 al 28 de marzo. Triedro intrnseco, curvatura, componentes tangencial y normal de la aceleracin.

4* 31 de marzo al 04 de abril.

Funciones de varias variables. Teorema de la Funcin Implcita.

5* 07 al 11 de abril. Derivadas direccionales y vector gradiente. Derivadas parciales. Regla de la Cadena. Derivada a lo largo de una curva.

6* 14 al 18 de abril. Semana Santa

7* 21 al 25 de abril. Extremos de funciones de varias variables. Criterio del discriminante para funciones de dos variables.

** Temas a evaluar en el Segundo Parcial

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28 de abril al 02 de mayo.

Extremos condicionados y Multiplicadores de Lagrange. Diferenciales de segundo orden. Clasificacin de puntos crticos por Frmula de Taylor o por el mtodo de la matriz hessiana.

9** 05 al 09 de mayo. Integrales dobles sobre rectngulos y sobre regiones generales. Teoremas de Fubini. Primer Parcial (07/05)

10** 12 al 16 de mayo. Clculo de volmenes y reas mediante integrales dobles. Cambio de variable en integrales dobles.

11** 19 al 23 de mayo. Aplicaciones de las integrales dobles. Integrales triples.

12** 26 al 30 de mayo. Aplicacin de integrales triples. Cambio de variable en integrales triples.

*** Temas a evaluar en el Tercer Parcial.

13*** 02 al 06 de junio. Campos vectoriales. Integrales de lnea. Independencia de trayectorias. Segundo Parcial (07/06)

14*** 09 al 13 de junio. Integrales de lnea. Teorema de Green.

15*** 16 al 20 de junio. rea de superficie. Integrales de superficie.

16*** 23 al 27 de junio. Teorema de la divergencia de Gauss. Teorema de Stokes.

17*** 30 de junio a 04 de julio. Ejercicios. Tercer Parcial (12/07)

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V. Calendario de exmenes

EXAMEN FECHA HORA

I Examen Parcial Mircoles 07/05/14 13:00

Reposicin I Examen Parcial Sbado 17/05/14 08:00

II Examen Parcial Sbado 07/06/14 08:00

Reposicin II Examen Parcial Mircoles 18/06/14 08:00

III Examen Parcial Sbado 12/07/14 08:00

Reposicin III Examen Parcial Martes 15/07/14 13:00

Ampliacin Sbado 19/07/14 08:00

Este calendario podra modificarse por causas de fuerza mayor, favor consultar la p-gina oficial del curso en la plataforma Claroline.

VI. Evaluacin

Segn Reglamento de Rgimen Acadmico Estudiantil (aprobado en sesin 4632-03, 09-05-01. Publicado en La Gaceta Universitaria 03-2001, 25-05-01):

ARTCULO 25. La calificacin final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Informacin, en la escala de cero a diez, en enteros y fracciones de media unidad. La escala numrica tiene el siguiente significado:

9,5 y 10,0 Excelente 7,0 Suficiente

8,5 y 9,0 Muy bueno 6,0 y 6,5 Insuficiente, con derecho a prueba de ampliacin 7,5 y 8,0 Bueno Menores de 6,0 Insuficiente

La calificacin final debe redondearse a la unidad o media unidad ms prxima. En casos intermedios, es decir, cuando los decimales sean exactamente coma veinticinco (,25) o coma setenta y cinco (,75), deber redondearse hacia la media unidad o unidad superior ms prxima. La calificacin final de siete (7,0) es la mnima para aprobar un curso.

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La nota de aprovechamiento ( )NA que el estudiante obtiene al finalizar el curso se calcula mediante la frmula:

( )40.0*35.0*25.0* 321 PPPNA ++= donde:

1P , 2P y 3P son las notas del primero, segundo y tercer parcial, respectivamente.

Si NA 6,75 el estudiante gana el curso con NA redondeada de acuerdo al Artculo 25. Si 75,675,5

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4. Uso de calculadoras y celulares Se permite el uso de calculadoras no programables en los exmenes. No se permite el uso de celulares u otros dispositivos electrnicos en exmenes ni en clases, sin la autorizacin del profesor.

5. Calificacin de exmenes. 5.1. El profesor del grupo debe entregar a los alumnos los exmenes calificados, a ms

tardar diez das hbiles despus de haberse realizado la prueba, de lo contrario el es-tudiante puede presentar el respectivo reclamo a la coordinacin.

5.2. La prdida comprobada de un examen por parte del profesor da derecho al estudiante a una nota equivalente al promedio de su aprovechamiento o, a criterio del estudiante, a repetir el examen.

5.3. El estudiante tiene derecho a reclamar ante el profesor lo que considere mal evaluado del examen, en los tres das hbiles posteriores a la finalizacin del plazo sealado en el inciso 8.4.1.

5.4. En el caso extremo de no ponerse de acuerdo el profesor y el estudiante en cuanto a la calificacin del examen, ste ltimo podr apelar ante el Director de la Unidad Aca-dmica respectiva en los tres das hbiles siguientes, aportando una solicitud escrita razonada y las pruebas del caso. El Director de la Unidad Acadmica respectiva, con asesora de la Comisin de Evaluacin y Orientacin, emitir su resolucin escrita a ms tardar siete das hbiles despus de recibida la apelacin.

Para sugerencias y observaciones, dirigirse a la Oficina 01-OM, 25 metros al este de la Rotonda de Betania, frente al parqueo este de la Facultad de Letras, o bien por medio del casillero 53, Segundo Piso, Escuela de Matemtica.

Prof. Marco Alfaro C.(malfaro28@hotmail.com, Tel. 22247051)