logic proof
TRANSCRIPT
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 129
Discrete Mathematics (Ayrık Matematik)
DoccedilDrBanu DİRİ
e-mail banuceyildizedutr veya diriyildizedutrhttpwwwceyildizedutrpersonalbanud
Kaynaklar
bullDiscrete Mathematics and Its Applications
Kenneth HRosen McGraw Hill
Konular
1 Logic and Proof
propositions (oumlnermeler)
conditional propositions (şartlı oumlnermeler)
logical equivalence (mantıksal denklik)
quantifiers (nicelikler)
proof
2 The Language of Mathematics
sets (kuumlmeler)
sequences and strings (diziler) number systems
relations (ilişkiler)
equivalence relations (eşitlik bağıntıları)
matrices of relations
functions
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 229
3 Algorithms
different algorithms
4 Graph Theory
path and cycles
hamiltonian cycles
a shortest-path algorithm
isomorphisms of graph
5 Trees
terminology and characterizations of tree
spanning tree
binary tree
tree traversals
isomorphisms tree
6 Choromatic polinomial
7 Boolean Algebras and Combinatorial Circuit
8 Automata Grammars and Language
finite-state automata (sonlu durum makineleri)
language and grammars
nondeterministic finite-state automata
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 329
Boumlluumlm 1
Mantık ve İspatlar
(Logic and Proofs)
Mantık (Logic)
Mantık (Logic) = doğru ccedilıkarımı eldeetme ccedilalışmasıdır
Mantığın kullanımıMatematikte kullanımı
Teoremleri ispatlamak
Bilgisayar Bilimlerinde kullanımıProgramların kendilerinden beklenen sonucu uumlretip
uumlretmediğinin kontroluumlduumlr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429
Oumlnermeler (Propositions)
Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir
OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir
ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir
Birleştiriciler (Connectives)Oumlnermeleri (propositions) goumlstermek iccedilin
pqrst gibi değişkenler kullanılır
En ccedilok kullanılan birleştiriciler
Conjunction AND Sembol ^
Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 229
3 Algorithms
different algorithms
4 Graph Theory
path and cycles
hamiltonian cycles
a shortest-path algorithm
isomorphisms of graph
5 Trees
terminology and characterizations of tree
spanning tree
binary tree
tree traversals
isomorphisms tree
6 Choromatic polinomial
7 Boolean Algebras and Combinatorial Circuit
8 Automata Grammars and Language
finite-state automata (sonlu durum makineleri)
language and grammars
nondeterministic finite-state automata
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 329
Boumlluumlm 1
Mantık ve İspatlar
(Logic and Proofs)
Mantık (Logic)
Mantık (Logic) = doğru ccedilıkarımı eldeetme ccedilalışmasıdır
Mantığın kullanımıMatematikte kullanımı
Teoremleri ispatlamak
Bilgisayar Bilimlerinde kullanımıProgramların kendilerinden beklenen sonucu uumlretip
uumlretmediğinin kontroluumlduumlr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429
Oumlnermeler (Propositions)
Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir
OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir
ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir
Birleştiriciler (Connectives)Oumlnermeleri (propositions) goumlstermek iccedilin
pqrst gibi değişkenler kullanılır
En ccedilok kullanılan birleştiriciler
Conjunction AND Sembol ^
Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 329
Boumlluumlm 1
Mantık ve İspatlar
(Logic and Proofs)
Mantık (Logic)
Mantık (Logic) = doğru ccedilıkarımı eldeetme ccedilalışmasıdır
Mantığın kullanımıMatematikte kullanımı
Teoremleri ispatlamak
Bilgisayar Bilimlerinde kullanımıProgramların kendilerinden beklenen sonucu uumlretip
uumlretmediğinin kontroluumlduumlr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429
Oumlnermeler (Propositions)
Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir
OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir
ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir
Birleştiriciler (Connectives)Oumlnermeleri (propositions) goumlstermek iccedilin
pqrst gibi değişkenler kullanılır
En ccedilok kullanılan birleştiriciler
Conjunction AND Sembol ^
Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 429
Oumlnermeler (Propositions)
Sonucu doğru (true) veya yanlış (false) olanifadelere proposition (oumlnerme) denir
OumlrneklerldquoCuumlneyt programcıdır bu bir oumlnermedir
ldquoKeşke bilge kişi olsaydımrdquo bu bir oumlnerme değildir
Birleştiriciler (Connectives)Oumlnermeleri (propositions) goumlstermek iccedilin
pqrst gibi değişkenler kullanılır
En ccedilok kullanılan birleştiriciler
Conjunction AND Sembol ^
Inclusive disjunction OR Sembol vExclusive disjunction OR Sembol vNegation Sembol ~Implication SembolrarrDouble implication Sembolharr
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 529
AND (conjunction) doğruluk tablosu
Conjunction doğruluk tablosu
p q p ^ q
T T T
T F F
F T F
F F F
p ve q bir oumlnerme ise conjunction (p ^ q ) veya(p and q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de doğru olduğudurumda p ^ q doğrudur
Oumlrnek
p = ldquokaplan vahşi bir hayvandırrdquo
q = ldquobalina bir suumlruumlngendirrdquo
p ^ q = kaplan vahşi bir hayvandır andbalina bir suumlruumlngendir
p ^ q yanlıştır Neden
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 629
OR (disjunction) doğruluk tablosu
Disjunction doğruluk tablosu
p q p v q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise disjunction (p v q ) veya(p or q) olarak goumlsterilir
Sadece p ve q nun her ikisinin de yanlış olduğu durumdap or q yanlıştırOumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır q = ldquoZeynep avukattırp v q = Cuumlneyt programcıdır or Zeynep avukattır
Exclusive disjunction OR(XOR)
Sadece p doğru ve q yanlış ise veya p yanlış veq doğru ise p or q doğrudur
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo q = ldquoZeynep avukattırldquop v q = ldquoNe Cuumlneyt programcıdır ne de Zeynep avukattır
p q p v q
T T F
T F T
F T T
F F F
p ve q bir oumlnerme ise exclusive disjunction OR (xor) p or q olarak goumlsterilir Exclusive disjunction doğruluk tablosu
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 729
Tersi (Negation)
p doğru iken ~p yanlıştır
p yanlış iken ~p doğrudur
p ~p
T F
F T
prsquo nin tersi ~p veya prsquo ile goumlsterilir
Oumlrnek p = ldquoCuumlneyt programcıdır~p = ldquoCuumlneyt programcı değildir
Birden Fazla Oumlnermenin
Birleştirilmesi
p q r basit oumlnermeler olsun
Birleştirilmiş ifadeleri aşağıdaki gibi goumlsterebiliriz
(porq)^r
por(q^r)
(~p)or(~q)(porq)^(~r)
ve diğer durumlarhellip
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 829
Oumlrnek (porq)^r nin doğruluk tablosu
p q r (p orororor q) ^ r
T T T T
T T F F
T F T T
T F F F
F T T T
F T F F
F F T FF F F F
Şartlı Oumlnermeler ve Mantıksal Denklik(Conditional Propositions andLogical Equivalence)
Şartlı oumlnerme (conditional proposition)
ldquoIf p then qrdquo
şeklinde goumlsterilir
Semboluuml p rarr q Oumlrnek
p = Cuumlneyt programcıdır
q = Zeynep avukattır
p rarr q = ldquoIf Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 929
p rarr q lsquonun Doğruluk Tablosu
Sadece p ve q lsquonun her ikiside doğru veyaprsquonin yanlış olduğu durumlarda p rarr qoumlnermesi doğrudur
p q p rarrrarrrarrrarr q
T T T
T F F
F T T
F F T
Hipotez ve Sonuccedil(Hypothesis and conclusion)
p rarr q şartlı oumlnermesindep antecedent veya hypothesis
q consequent or conclusion
olarak adlandırılır
ldquoif p then q mantıksal olarak p only if qldquo ileaynıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1029
Gereklilik ve Yeterlilik(Necessary and Sufficient)
Gerekli şart (necessary condition ) sonuccedil(conclusion ) tarafından ifade edilir
Yeterli şart (sufficient condition ) hipotez(hypothesis ) tarafından ifade edilir
Oumlrnek
If Cuumlneyt programcıdır then Zeynep avukattır
Necessary condition ldquoZeynep avukattırrdquo Sufficient condition ldquoCuumlneyt programcıdırrdquo
Mantıksal Denklik(Logical Equivalence)
Oumlrnek ~p or q oumlnermesi p rarr q ile logicallyequivalent lsquodır Yani aralarında mantıksal denklikvardır
p q ~p orororor q p rarrrarrrarrrarr q
T T T T
T F F F
F T T TF F T T
Doğruluk tablosundaki değerleri aynı olan ikioumlnerme iccedilin aralarında mantıksal denklik vardırdenir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1129
Yer değiştirme (Converse)
Bu iki oumlnerme arasında mantıksal denklikmevcut değildir ( not logically equivalent)
p q p rarrrarrrarrrarr q q rarrrarrrarrrarr p
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
p rarr qrsquonun converse q rarr p dir
Contrapositive (Devrik)
Bu oumlnermeler logically equivalentrsquodır
p q p rarrrarrrarrrarr q ~q rarrrarrrarrrarr ~p
T T T T
T F F F
F T T T
F F T T
p rarr q oumlnermesinin contrapositive ~q rarr ~pşeklinde goumlsterilir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1229
Ccedilift Youmlnluuml Oumlnerme(Biconditional Proposition)
p harr q (p rarr q)^(q rarr p) lsquonun logicallyequivalentrsquodır
p q p harrharrharrharr q (p rarrrarrrarrrarr q) ^ (q rarrrarrrarrrarr p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
Ccedilift Youmlnluuml oumlnerme (biconditional proposition)
ldquop if and only if qrdquo olarak tanımlanır
p harr q semboluuml ile goumlsterilir
Totoloji-Tutarlılık (Tautology)
Oumlrnek p rarr p v qp q p rarrrarrrarrrarr p v q
T T TT F T
F T T
F F T
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin doğru sonuccedil (true) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) birtautology lsquodir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1329
Ccedilelişki (Contradiction)
Eğer doğruluk tablosunda oumlnermelerin her birdurumu iccedilin yanlış sonuccedil (false) elde edilmiş isebirleştirilmiş oumlnerme (compound proposition ) bircontradiction lsquodır
p p (~p)
T FF F
Oumlrnek p ^ ~p
De Morgan Kanunu
Aşağıdaki oumlnerme ccediliftleri birbirleri ilemantıksal olarak denktir
~ (p or q) rarr (~p)^(~q)
~ (p ^ q) rarr (~p) or (~q)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1429
Nicelikler (Quantifiers)
P(x) x değişkeni ile ilişkili bir propositionalfonksiyon olsun
Oumlrneğin P(x) 2x ccedilift tamsayı
D rsquode iccedilerisindeki her x değeri iccedilin P(x)rsquoiproposition yapan bir kuumlme olsun
Oumlrneğin x tamsayılar kuumlmesinin bir elemanıdır
D P(x)rsquonin domain of discoursersquou olarakadlandırılır (ayrıntılı bilgi alanı)
Drsquo deki her x değeri P(x)rsquoi sonucu doğruveya yanlış olan bir proposition yapar
Bu sınıftakiler 18 yaşından buumlyuumlktuumlrD kuumlmesi sınıftaki oumlğrenciler olsunOumlğrencilerin bazıları propositionrsquoı doğru bazılarıda yanlış yapar
Oumlrneğin P(n) n2+2n tek sayıdır
D kuumlmesinin pozitif integer sayılardan oluşsun
if n tek sayı then n2+2n tek sayıdır
if n ccedilift sayı then n2+2n tek sayı değildir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1529
Her ve Bazı(For every and for some)
Matematik ve Bilgisayar Bilimlerindeki ccediloğuifadede for every ve for some kullanılır
Oumlrneğin For every triangle T the sum of the angles of T is180 degrees
EvrenselGenel Niteliyiciler(Universal Quantifier)
The universal quantification of P(x) is the propositionldquoP(x) is true for all values of x in the universe ofdiscourserdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki her x değeri iccedilin doğru olmalıdır
forallx P(x) veyafor all x P(x) veyafor every x P(x) şeklinde yazılır
En az bir x değeri iccedilin doğru değilse P(x) yanlış olur
ldquoEvery student in this class has studied calculusrdquo
P(x) ldquox has studied calculusrdquo
forallx P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1629
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash it follows that the universalquantificationforallx P(x) is the same as the conjunction
P(x1)ΛP(x2)Λ ΛP(xn)
since the conjunction is true if and only
if P(x1) P(x2)P(xn) are all true
Propositional fonksiyonun doğruluğu
forallx P(x) ifadesi Doğrudur Eğer P(x) doğruysa for every x isin D
Yanlıştır Eğer P(x) doğru değilse for some x isin D
P(n) sadece n tek sayı olduğunda doğrudur
P(n) n ccedilift sayı ise yanlıştır
Oumlrneğin P(n) propositional bir fonksiyon
ve P(n) n 2 + 2n tek bir sayıdır
foralln isin D = buumltuumln tam sayılar
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1729
For every real number x x2 ge 0 TRUE
For every real number x if x gt1 then x+1gt1 TRUE
For every real number x if x ge0 then x+1gt1 FALSE
For every positive integer n if n is even then
n2+n+19 prime FALSE
Varoluşsal Niteleyiciler(Existential Quantifier)
The existential quantification of P(x) is the propositionldquoThere exists an element x in the universe of discoursesuch that P(x) is truerdquo
P(x) oumlnermesi D kuumlmesi iccedilerisindeki en az bir x değeri iccedilin doğruolmalıdır
existx P(x) veyaldquoThere is an x such that P(x)rdquo veyaldquoThere is at least one x such that P(x)rdquo
şeklinde yazılır
Buumltuumln x değerleri iccedilin doğru ise P(x) yanlış olur
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1829
When all of the elements in the universe of discourse canbe listed ndash x1 x2xn ndash the existential quantification existx
P(x) is the same as the disjunction
P(x1)vP(x2)v vP(xn)
since this disjunction is true if and only if at least oneof P(x1) P(x2)P(xn) is true
For some real number x x(x2+1) = 25 TRUE
For some positive integer n if n is prime thenn+1 n+2 n+3 and n+4 are not prime TRUE n=23
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 1929
Translating Sentences into Logical Expressions
Express the statement ldquoEveryone has exactly one bestfriendrdquo as logical expression
Let B(xy) be the statement ldquoy is the best friend of x rdquo
To translate the sentence in the example note that it says that forevery person x there is another person y such that y is the best friendof x and that if z is a person other than y then z is not the best friendof x We can translate the sentence into
( ) ( ) ( )( )( ) z x B y z y x B z y x notrarrneandforallexistforall
Express the statement ldquoIf somebody is female and is a parent then
this person is someonersquos motherrdquo as logical expression
Let F(x) be the statement ldquo x is femalerdquo let P(x) be the statement ldquoxis a parentrdquo and let M(xy) be the statement ldquo x is the mother of y rdquoSince the statement in the example pertains to all people we canwrite it symbolically as
( )( ))())(( y x yM xP xF x existrarrandforall
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 20292
Counterexample
Eğer existx isin D P(x)rsquoi yanlış yaparsa universalstatement forallx P(x)rsquode yanlış olur
Oumlrnek P(x) = ldquoher x değeri bir asal sayıdır forevery tamsayı x
Fakat eğer x = 4 (bir tamsayı) bu x sayısı asalsayı değildir Oumlyleyse 4 değeri bir counterexampleolup P(x)rsquoi yanlış yapar
forallx P(x) ifadesindeki P(x) yanlış yapan xdeğeri counterexample olarak adlandırılır
Lojik iccedilin Genelleştirilmiş De Morgan Kanunu
~(forallx P(x)) rarr existx ~P(x)
~(existx P(x)) rarr forallx ~P(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 21292
ldquoEvery student in the class has taken a course in calculusrdquoThis statement is a universal quantification namely forallforallforallforallx P(x)
Where P(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquoThe negation of this statement is ldquoIt is not the case that every
student in the class has taken a course in calculusrdquo
This is equivalent to ldquoThere is a student in the class who has nottaken a course in calculusrdquo
And this is simply the existential quantification of the negation of the
original propositional function namelyexistx ~P(x)This example illustrates the following equivalence~forallx P(x) hArr existx ~P(x)
Suppose we wish to negate an existential quantification For instance consider the proposition ldquoThere is a student in this
class who has taken a course in calculusrdquo
This is the existential quantificationexistx Q(x)
Where Q(x) is the statement ldquox has taken a course in calculusrdquo Thenagation of this statement is the proposition ldquoIt is not the case thatthere is a student in this class who has taken a course incalculusrdquo This is equivalent to ldquoEvery student in this class hasnot taken calculusrdquo which is just the universal quantification of thenagation of the original propositional function
forallx ~Q(x)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 22292
)( x xPnotexist )( xP xnotforall
)( x xPnotforall )( xP xnotexist
Negating Quantifiers
Negation Equivalent Statement When is negation true When false
P(x) is false for every x There is an x for which P(x)true
There is an x for which P(x) is false P(x) is true for every x
Ccedilıkarsama Kuralları (Rules of Inference)
Doğruluğu varsayılan ya da kanıtlanmış oumlnermeleri iccedileren bir
kuumlmeden yola ccedilıkarak bu kuumlme dışındaki bir oumlnermenin doğruluğuna
varma
Ccedilıkarsama kurallarının goumlsterilimi9831521
9831522
983152983150
983153
9831521 983134 9831522 983134 983223 983223 983223 983134 983152983150 983153rArrthere4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 23292
ekleme
983120
983152 ν983153there4
983106983137983155983145983156983148983141ş983156983145983154983149983141
983152 983134 983153
983152there4983149983151983140983157983155 983152983151983150983141983150983155
983152rarr983153
983152
983153
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137
983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
there4
983149983151983140983157983155 983156983151983148983148983141983150983155
983152rarr983153
983212983153
983212983152
983254983154983150983141983147983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150ı983154983155983137 983137983154983137983138983137 983137983148983137983139983137983147
983105983148983145 983137983154983137983138983137 983137983148983149983137983140ı
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145 983152983145983161983137983150983143983151983161983157 983147983137983162983137983150983149983137983140ı
there4
983123983151983150983157983139983157 983119983150983137983161983148983137983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı
983152rarr983153
983153
983152
(983152rarr983153 ) 983134 983153 rarr 983152 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
983254983154983150983141983147983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983161983155983137 35 983161983137şı983150ı983150
983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983117983137983140983151983150983150983137 35 983161983137şı983150ı983150 983292983155983156983292983150983140983141983140983145983154
983119 983144983137983148983140983141 983117983137983140983151983150983150983137 983105983106983108 983138983137ş983147983137983150ı983140ı983154
there4
983254983150983139983292983148983292 983129983137983140983155ı983149983137 983129983137983150ı983148983143ı983155ı983152rarr983153
983212983152
983212983153
983152rarr983153 983134 983212983152 rarr 983212983153 983138983145983154 983156983151983156983151983148983151983146983145 983140983141ğ983145983148
983152 = 983129 983153 = 983108 983145983155983141 (983129 rarr 983108) 983134 983108 rarr 983129
9832549831549831509831419831472 + 3 = 8 983145983155983141 2 + 4 = 6
2 + 3 ne 8
983119 983144983137983148983140983141 2 + 4 ne 6
there4
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 24292
983137983161ı983154ı983139ı 983147ı983161983137983155
983152 ν 983153983212983152
983153
983254983154983150983141983147
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983158983141983161983137 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983139983141983138983145983150983140983141 983140983141ğ983145983148
983119 983144983137983148983140983141 983105983148983145991257983150983145983150 983139983292983162983140983137983150ı 983149983137983155983137983155ı983150983140983137
there4
983158983137983154983155983137983161ı983149983148ı 983147ı983161983137983155
983152 rarr 983153983153 rarr 983154
983152 rarr 983154
983254983154983150983141983147
39698316435244 rarr 6698316435244
6698316435244 rarr 398316435244
983119 983144983137983148983140983141 39698316435244 rarr 398316435244
there4
983161983137983152ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155
983152 ν 983154
983153 ν 983155
983161ı983147ı983139ı 983145983147983145983148983141983149
983152 rarr 983153
983154 rarr 983155983212983153 ν 983212983155
983212983152 ν 983212983154there4there4
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147983152 rarr 983154
983154 rarr 983155
983156 ν 983212983155
983212983156 ν 983157
983212983157
983212983152
983152 rarr 983154 (1)
983154 rarr 983155 (2)
983152 rarr 983155 (1 2 983126983115) (3)
983156 ν 983212983155 (4)
983212983155 ν 983156 (4 983140983141983143983145983155983149983141) (5)
983155 rarr 983156 (5 983145983155983141) (6)983152 rarr 983156 (3 6 983126983115) (7)
983212983156 ν 983157 (8)
983156 rarr 983157 (8 983145983155983141) (9)
983152 rarr 983157 (7 9 983126983115) (10)
983212983157 (11)
983212983152 (10 11 983117983124)
983105983147ı983148 983129983292983154983292983156983149983141 983254983154983150983141ğ983145
983254983154983150983141983147(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155)
983154 rarr 983156
983212983156
983152
983154 rarr 983156 (1)
983212983156 (2)
983212983154 (1 2 983117983124) (3)
983212983154 ν 983212983155 (3 983141983147983148983141983149983141) (4)
983212(983154 983134 983155) (4 983108983117) (5)
(983212983152 ν 983212983153) rarr (983154 983134 983155) (6)
983212(983212983152 ν 983212983153) (6 5 983117983124) (7)983152 983134 983153 (7 983108983117) (8)
983152 (8 983138983137983155983145983156983148983141983155983156983145983154983149983141)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 25292
İspatlar (Proofs)
Bir matematik sistemi
Tanımlanmamış terimler (Undefined terms)
Tanımlar (Definitions)
Aksiyomlar (Axioms)
Tanımlanmamış Terimler(Undefined Terms)
Tanımlanmamı ş terimler bir matematik sisteminintemel taşını oluşturur Bu terimler bir matematikselsistemin başlangıccedil kavramları olarak da kabuledilebilir
Oumlrnek Euclidean geometride tanımlanmamış terimler Nokta (Point)
Doğru (Line)
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 26292
Tanımlar (Definitions)
Tanım (definition) yeni bir kavram yaratmakamacıyla oumlnceden kabul edilmiş kavramlarve tanımlanmamış terimlerden bir propositionoluşturmaktır
Oumlrnek Euclidean geometrideki tanımlar
Eğer iki uumlccedilgenin karşılıklı kenarları ve accedilılarıbirbirinin aynı ise bu iki uumlccedilgen eş uumlccedilgendir
İki accedilının toplamı 180 derece ise bu accedilılara birbirinitamamlayan accedilılar denir
Aksiyomlar (Axioms)
Aksiyom (axiom) matematiksel bir sistemiccedilerisinde ispat yapmaksızın doğru kabul edilenpropositionrsquodır
Matematikteki aksiyomlara oumlrnek Oumlrnek Euclidean geometrideki aksiyomlar
İki nokta verilmiş olsun Bu noktalardan geccedilen bir doğru herzaman mevcuttur
Bir doğru ve doğru uumlzerinde yer almayan bir nokta mevcutolsun Bu noktadan geccedilen doğruların bir tanesi verilen doğruyamutlaka paraleldir
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 27292
Teoremler (Theorems)
Teorem Oumlnceden ispatlanmış teoremleriaksiyomları tanımlamaları kullanarak ve p nindoğru olduğunu farzederek doğruluğuoumlnerilebilen p rarr q formundaki propositionrsquoadenir
Lemma(yardımcı teoremoumln sav)
veCorollary (bir oumlnermenin doğru sonucu)
Lemma buumlyuumlk bir teoremi ispatlamak iccedilinkullanılan kuumlccediluumlk bir teoremdir
Euclidean geometriden oumlrnek ldquoEğer bir uumlccedilgenin uumlccedilkenarı eşit ise accedilılarıda eşittir
Corollary bir başka teoremin mantıksal sonucuile diğer bir teoremin ispatlamasıdır
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 28292
İspat Ccedileşitleri
İ spat (proof) Teoremin doğruluğunubelirlemek iccedilin propositionrsquoları kullanan bir seriişlemden oluşan mantıksal ccedilıkarımdır
Dolaylı ispat (Indirect proof) (~q)rarr(~p) prarr q oumlnermesinin ccedilelişkisinden ccediloumlzuumlmeulaşmaktır
Do ğ rudan ispat (Direct proof) p rarr q q oumlnermesinin doğruluğunu elde etmek amacıylaispatlanmış teoremleri aksiyomları ve p oumlnermesinindoğruluğunu kabul ederek ccediloumlzuumlme ulaşmadır
Matemaiksel sonuccedil ccedilıkarma(Mathematical induction)
forall n isin A S(n) formundaki ifadenin ispatınabakalım
N pozitif tamsayılar veya doğal sayılardanoluşan bir kuumlme
A Nrsquonin bir alt kuumlmesi
S(n) propositional bir fonksiyon
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true
7272019 Logic Proof
httpslidepdfcomreaderfulllogic-proof 2929
Her pozitif tamsayının S(n) oumlnermesini doğruveya yanlış yaptığını farzedelim
4 Sonuccedil olarak tuumlm pozitif tamsayılar iccedilin S(n)doğrudur
3 S(i) lsquonin doğruluğundan yola ccedilıkarak S(i+1)rsquoin doğru
olduğunu goumlster S(i) rarr S(i+1)
2 n keyfi seccedililmiş pozitif bir tamsayı olsun
i pozitif bir tamsayı olup i lt n olarak belirle
1 S(1) doğru olduğunu teyit et
Matematiksel sonuccedil ccedilıkarımterminoloji
Temel adım (basis step)
S(1) lsquoin doğruluğunun goumlsterilmesi
Sonuccedil (Conclusion)
Buumltuumln pozitif tamsayılar iccedilin S(n)rsquonin doğruluğu
Tuumlmevarımsal adım (Inductive step)
S(i)rsquonin doğru farzedilmesi
İspat S(i) rarr S(i+1)if S(i) is true for all iltn+1 then S(n+1) is true