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Traffic flow modelling : what do we know?

J.B Lesort (LICIT)

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Introduction

• When traffic engineers meet mathematicians…• What is a useful model ?• Paul Valéry : « Tout ce qui est simple est faux,

tout ce qui est compliqué est inutilisable »• But traffic models can be complex and unusable

altogether…• So What do we know about traffic flow ? What

can models explain? How can we validate it ?

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I What do we know from empirical observation?

• On an homogeneous portion of freeway:Traffic flows from upstream to downstream ! Information may propagate in both directionsNo information can propagate faster than vehicles

(exceptions?)There is some link between flow, speed and density

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• Contd…There are various vehicles behaviours (lorries, faster

and slower cars…)There are complex bidimensionnal phenomenaPhenomenons as breakdowns, wide moving jams are

observedThere is no scale separation between microscopic and

macroscopic behaviours

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• At bottlenecksCapacity drops are observed, but not systematic

• At mergesVarious capacities repartitions do exist, no evident

explanation holds

• At divergesComplex phenomenons may exist due to variations in

traffic composition and are sometimes misunderstood (« spontaneous breakdown »)

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II The basic modelling agreement

• The conservation equation (The only universal equation !)

• The existence of a flow density relationship under steady-state conditions

0

t

K

x

Q

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III What can models explain ?(everybody agrees…)

• The global phenomenon : waves, queue propagation, travel times

• Merges and diverges, to some extent

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IV What do models try to explain

• Capacity drops at bottlenecksBounded accelerationLane changing

• Wide moving jamsSpecific modelsBounded accelerations

• Moving bottlenecksMoving boundary conditions

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• Bidimensionnal phenomena« multipipes » or unique regimesLane changing models

• Mixed flowsSystems of conservation laws« Slugs and rabbits »

• Speeds and accelerationsUnphysical in any basic modelExtensions of bounded accelerations

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V What do models fail to explain or describe

• Priority (queues at roundabouts…)• Micro/macro effects• « spontaneous » breakdowns ?• Networks effects

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VI Comparing models to reality

• Scale problems in measurement• Interpretating empirical observations

Capacity drops ?

• Any model or numerical implementation is easy to calibrate and validate to somme extent…

• Boundary conditions

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Conclusions

• The simpler the better ?

• From Ford to Toyota : toward lean traffic flow models ?

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II Les modèles

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Une vision microscopique :

Accélération = (distance, vitesse....)

Ex :

21

1

)()()()()(

txtxtxtxTtx

nn

nnn

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Intérêt et Difficultés

Facilité de traitement de véhicules hétérogènesCinématique des véhicules réalisteFacilité d’implantation d’aspects stochastiquesValable pour une voie unique (dépassements…)Difficulté de calibrage et de validation (stabilité…)Réplicabilité

=> Intérêt de modèles plus globaux

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modèles Macroscopiques

• Trois variables Q(x,t), K(x,t), U(x,t)• Relations fondamentales :

L’équation de conservation

Q=KUNécessité d’une troisième équation

0

t

K

x

Q

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•Relation d’équilibre Q = Qe(K) ou U = Ue(k) => modèles du premier ordre (LWR)

q

k

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• Equation de vitesse : modèles dits du 2ème ordre

Ross :

Payne :

Liu et al :

Aw et Rascle :

uuTdt

dux

1

x

k

kuku

Tdt

due

)(

1

ukukTt

ue

)()(

1

0))(())((

xkΡu

ut

kΡu

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Relations entre modèles macroscopiques et microscopiques

• En conditions stationnaires, on peut parfois retrouver une relation d’équilibre :

• Ex :

x

xenn

nnn k

kkvQtxtxtxtxTtx

1)()()()()( 2

1

1

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• En dynamique, c’est plus compliquéLe modèle de Payne est dérivé d’un modèle micro,

mais dérivation très approximativeDiscrétisation particulaire de modèles macroscopiques :

• Information portée par les véhicules

• Les espacements sont une estimation locale de la concentration

• Différence de nature : temps de réaction/temps de propagation

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III Les difficultés

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Vitesse et accélération

• Vitesses négatives (Ex Payne, etc…)• Accélérations non physiques (pas de bornes

explicites)Ex (1er ordre) :

xk

dkdu

kdtdw e

2

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Capacité

• Notion de débit maximum triviale avec les modèles du 1er ordre (solutions entropiques)

• Peut n’exister qu’en situation stationnaire• Problème de la capacité variable

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Discontinuités

• Spatiales (changement du nombre de voies) ou temporelles (incidents)

• Plus généralement, introduction d’un terme en • Problèmes des discontinuités mobiles (bus)

xue

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Avec modèles du premier ordre

• Pb de Riemann facile à résoudre en termes d ’offre/demande

• Discontinuité mobile => résolution en coordonnées mobiles

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Multiclasses - multiflots

• Multiclasses : types de véhicules différents (VL/PL)

• Multiflots : problème de l’écoulement sur un réseau (flots partiels par destination, pb du FIFO)

• Multivoies : problème des interactions entre voies

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Les intersections

• Convergents

• Divergents

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Confrontation modèle/réalité

• Interprétation des mesures expérimentales• Valeur des paramètres physiques (ex temps de

réaction)• Définition des conditions aux limites (Ex 1er

ordre, demande en entrée offre en sortie)

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Conclusion

• LE modèle de trafic n’existe pas• Nécessité d’adapter le modèle à son application :

que veut-on représenter ? Que veut-on évaluer ?